iv. kernmodellen v. verval van kernen h.j. bulten voor ...henkjan/kernmodel.pdfvloeistofdruppel...

Inleiding kernfysica

IV. Kernmodellen

V. Verval van kernen

H.J. Bulten voor prof. J.F.J. van den Brand,

www.nikhef.nl/~henkjan/kernmodel.pdf

1Inleiding kernfysica 13 april 2010

Vloeistofdruppelmodel• Tentamenstof: dictaat pag. 25-33, 39-50

– Extra achtergrond (blz 34-38 en 51-54), geen tentamenstof

• Vloeistofdruppelmodel:– Kern gemodelleerd als vloeistof

• Intermoleculaire afstand in vloeistof klein, net als afstand tussen nucleonen in kern

• Van der Waals krachten – korte dracht, tussen naburige molekulen, net als kernkracht

• Dichtheid kern ongeveer constant:

Inleiding kernfysica 13 april 2010 2

3-fm

nucleonen17.0

Vloeistofdruppelmodel• Tentamenstof: dictaat pag. 25-33, 39-50

– Extra achtergrond (blz 34-38 en 51-54), geen tentamenstof

• Vloeistofdruppelmodel:– Kern gemodelleerd als vloeistof

• Intermoleculaire afstand in vloeistof klein, net als afstand tussen nucleonen in kern

• Van der Waals krachten – korte dracht, tussen naburige molekulen, net als kernkracht

• Dichtheid kern ongeveer constant:

• Protonen en neutronen : vrijwel gelijke massa’s en de kernkracht is ook ongeveer gelijk

• Beschouw nucleonen, met isospin

• Coulombafstoting tussen protonen wordt als aparte storing in rekening gebracht


pnppnn VVV

3-fm

nucleonen17.0

neutron1/2

proton1/2met2/1 zTT

vloeistofdruppelmodel

1. Volume energie Bv1. Constante dichtheid : interactie tussen nucleonen leidt tot een

bindingsenergie voor de nucleonen van


AaB vv




2. Oppervlakte energie– Aan oppervlakte minder naburige nucleonen: oppervlakte correctie


AaB vv

3/2AaB FF




2. Oppervlakte energie– Aan oppervlakte minder naburige nucleonen: oppervlakte correctie

3. Coulombenergie

Echter: Coulombenergie binnen het proton zelf is al verdisconteerd in de massa van het proton!


AaB vv

3/2AaB FF

MeV7.04

)(

5

3

44

34)()(

3/1

2

0

22

0

3

0

3

3

2

A

Z

R

Zedrr

rR

Zer

R

ZedrdrrVrB

R

CoulC

MeV7.0,)1(

3/1

cCC a

A

ZZaB


4. Asymmetrie-energie– Pauli-principe: discrete energieniveaus kunnen met 2 protonen en 2

neutronen bezet worden (2 spinwaarden).

– Optimaal benut volume: evenveel protonen als neutronen


Asymmetrie-potentiaal

• Fermi-gas :


dpph

VdN

dppdVhpxdd

hdxdp

n

x

2

3

2333

42

4

Volume eenheidscel

Aantal neutron toestanden tussen p en p+dp

Fermi impuls: hoogste waarde p voor Fermi gas

Asymmetrie-potentiaal

• Fermi-gas :


3/2

3/52

3/5

3/2

3/52

3/5

5

3

0

2

3

2

3

3

2

0

3

2

3

2333

8

3

5

4

8

3

5

4

5

48

2

3

88

42

4

V

Zh

mT

V

Nh

mp

hm

Vdpp

h

V

m

pT

ph

Vdpp

h

VN

dpph

VdN

dppdVhpxdd

hdxdp

p

p

n

f

N

p

n

n

f

P

n

n

x

F

Fn

Volume eenheidscel

Aantal neutron toestanden tussen p en p+dp

Fermi impuls: hoogste waarde p voor Fermi gas

Totale kinetische Energie neutronen

Totale kinetische Energie protonen

Asymmetrie-potentiaal• Asymmetrie: ontwikkel totale kinetische energie als Taylor-reeks in

verschil Z-N:

• Merk op: de term die evenredig is met A is al besloten in de volume term van de energie

• Merk op: een ongeveer evengrote term met de bijdrage van de potentiele energie met dezelfde vorm is besloten in de constante a


A

NZaB

A

NZKAT

OKAKAT

AN

AZ

A

NZ

A

NZKTTT

AA

np

2

23/2

42

3/5

3/53/5

3/5

3/2

3/53/5

9

51

2

1

)(9

102

2

1)1()1(

2

1

)1(2

),1(2

Paarenergie

6. Paarenergie. – kernen met even N en Z stabieler

• 165 stabiele even-even kernen, 6 stabiele even-oneven kernen


onevenoneven

oneveneven

eveneven

Bp 0

2/1

:eelExperiment

AaP

Vloeistofdruppel model

• Bindingsenergie

(Weizsaecker)


1

0

1)2(

)1(),( 2/12

3/13/2 AaA

ZAaAZZaAaAaZAB pACFV

Analytische schatting

• Coulomb:

• Kernkracht: Ansatz

• Schatting parameters:


R

cZdr

R

Zer

re

cZ

R

rdqrVB

re

crv

R

C

2

0

3

2

3

3

5

331)(

1)(

....21)(4

9

)(2

3

3

2

)1()1()(

dracht eindige :

lading sterke constante,koppelings

,)(

3/102

0

3/2

3

00

2

0

33

AR

k

RRR

r

eR

A

R

cg

R

A

R

cgB

Rrr

e

R

ReRe

y

cAgrV

yg

r

e

y

cgrv

4.0

fm 1 -1

g

Schillenmodel• Atomen: edelgasconfiguratie, volle schillen Z=2,10,18,36,54,86

• Kernen: 2,8,20,(28),(40),50,82,126


Schillenmodel

• Energieen eerste aangeslagen toestand


Schillenmodel• Zeer stabiel: dubbel-magische kernen (4He,16O, 40Ca, 56Fe,

208Pb, …..)– ijzer-56: hoogste bindingsenergie per nucleon

– Allen grondtoestand

– Vaak eerste aangeslagen toestand

– Indicatie voor schillenstructuur.

• Mean Field (centrale potentiaal) a la waterstofatoom– Caveat: gemiddelde afstand nucleonen ~2 fm, straal 1.6 fm, dracht

kernkracht ~ 1.4 fm

– Kortedrachtscorrelaties – numerieke berekeningen zeer gecompliceerd

– Laagstgelegen toestanden allen bezet – nucleonen kunnen wegens Pauli-principe niet gemakkelijk verstrooiien

– We gebruiken: isospin symmetrie (kernkrachten zijn ladingsonafhankelijk), en equivalentie van massaverdeling en ladingsverdeling

• Ladingsverdeling is bekend uit elektron verstrooiing.


0J 2J

Schillenmodel (extra stof)

• Woods-Saxon potentiaal:

• Vergelijk: Harmonische oscillator potentiaal:


fm25.1 fm,65.0,MeV50

1

)(

3/1

0

0

ARaV

e

VrV

a

Rr

)3)(2)(1(3

1

)2)(1()12(2

)2/3(

2)(

0

2/)1(,2/

1,0

0

22

0

2

nnnbB

nnlb

nE

rm

krrV

n

n

nn

nn

n

n

Energie niveaus

Aantal toestanden per n

Totaal aantal toestanden schil

Schillenmodel• Woods-Saxon – bepaal

eigenwaarden numeriek. Ontaarding van verschillende l-waarden wordt opgeheven

• Echter: grote spin-baan koppeling wordt waargenomen: extra term

• Werkt voornamelijk in de buurt van het oppervlak van de kern


fmafmRMeVV

edr

d

rRslVrV

ls

a

Rr

lsls

67.0,27.1,15

11

)(1

)(

00,

1

2

020,

Schillenmodel

• Verwachtingswaarde l.s :

• Grote opsplitsing voor hoge l

• Indringers vanuit de n+1 schil


2/1 voor )1(

2/1 voor

2

)1()1()1(2

}{2

1

2

2

222

ljl

ljl

sslljj

sljsl

Verval van kernen


Vervalsprocessen

• Neutron-emissie

• Proton-emissie


nXX A

Z

A

Z 1

pYX A

Z

A

Z

1

1

Vervalsprocessen• Neutron-emissie

• Proton-emissie

• Beta-min verval

• Beta-plus verval

• Zwakke wisselwerking:


nXX A

Z

A

Z 1

pYX A

Z

A

Z

1

1

e

A

Z

A

Z eYX

1

1

e

A

Z

A

Z eYX

1

1

e

e

enp

epn


• Proton-emissie

• Beta-min verval


• Electron-invangst– (zware kernen, K-schil), gevolgd door Roentgenstraling

• Alpha-verval:

• Gamma-verval

• Spontane splijting e.g.


nXX A

Z

A

Z 1

pYX A

Z

A

Z

1

1

e

A

Z

A

Z eYX

1

1

e

A

Z

A

Z eYX

1

1

e

A

Z

A

Z YeX 1

YX A

Z

A

Z

2

2

n5TcCsCf *105

43

*142

55

252

98

XX A

Z

A

Z

*


• Proton-emissie

• Beta-min verval



• Gamma-verval


nXX A

Z

A

Z 1

pYX A

Z

A

Z

1

1

e

A

Z

A

Z eYX

1

1

e

A

Z

A

Z eYX

1

1

e

A

Z

A

Z YeX 1

XX A

Z

A

Z

*


• Proton-emissie

• Beta-min verval



• Gamma-verval

• Alpha-verval:

• Spontane splijting e.g.


nXX A

Z

A

Z 1

pYX A

Z

A

Z

1

1

e

A

Z

A

Z eYX

1

1

e

A

Z

A

Z eYX

1

1

e

A

Z

A

Z YeX 1

YX A

Z

A

Z

2

2

n5TcCsCf *105

43

*142

55

252

98

XX A

Z

A

Z

*

Bindingsenergie, Q-waarde• Massa neutraal atoom M

– 1 amu = 1/12 deel massa van 12-C atoom

• Bindingsenergie– De energie die nodig is om een atoom te ontbinden in Z waterstofatomen

en N neutronen

– Bindingsenergie elektronenwolk verwaarloosbaar

• B.v deuterium:

• Dus ook:

• Reactie

– Endoterm: Q<0. Exotherm Q>0. Elastisch: Q=0


2)( cMNmZmB nH

eVBMeVB electronnucleair 6.13,22.2

2)( cmNmZmB Knp

)...(:

)...(

..21

1

2

1

ntb

ntb

TTTTQook

cmmmmQ

ntb

Vervalsreacties• Levensduur van een kern hangt af van de wisselwerking

(sterk/zwak/elektromagnetisch)

• van de Q-waarde : hoge Q-waarde geeft kortere levensduur

• Van de overlap in golffuncties tussen begin en eindtoestand (e.g. parteitsbehoud) of van tunneleffect)


vervalswet

• Aantal vervallen/tijdseenheid is evenredig met het aantal nog niet vervallen deeltjes:

• Levensduur

• Halfwaardetijd

• Twee-deeltjes verval in het rustsysteem:

• Alpha-verval: niet-relativistisch (massa’s >> Q/c2)

– Discreet energiespectrum


teNtNtNdt

dN 0)()(

/1

/2ln2/1

021 2121 dd pppenEEEd

Qmm

mTQ

mm

mT

21

12

21

21 ,

Alpha verval


Alpha-verval


ex

ex

ETQT

EcmE

2

2

22

Drie-deeltjes verval, beta-verval

• Energiebehoud en impulsbehoud zijn niet voldoende om de energieen van de drie dochterdeeltjes te bepalen: continu spectrum– Continue spectra in beta-verval : Pauli postuleert neutrino.


e

e

eNiCu

eZnCu

6464

6464

Zie ookWu+Albert, PR75, 315 (1949)

0:

0)0(1,0:

0,0:

forcecontact :itionweak trans

lforbidden

JbehalveJTellerGamow

JFermi

Potentiaalbarriere

• Positief geladen deeltjes uit kern: Coulomb barriere


Tunneleffect

• Een eenvoudige schatting: beschouw eendimensionale vlakke golf, rechthoekige potentiaalbarriere.


V0

L

I II III

continu en

:

,:

:

,))((

2

0

2

0

2

2

2

2

ikx

xx

ikxikx

EeIII

kvDeCeII

BeAeI

II

IIII

kv

kkxV

dx

d

2

0

2

0

22

0

2

2

02

)(

kvkv

km

E

Lxvm

xV

Tunneleffect

• Een eenvoudige schatting: beschouw eendimensionale vlakke golf, rechthoekige potentiaalbarriere.


V0

L

I II III

continu en

:

,:

:

,))((

2

0

2

0

2

2

2

2

ikx

xx

ikxikx

EeIII

kvDeCeII

BeAeI

II

IIII

kv

kkxV

dx

d

ikLLL

ikLLL

ikEeDeCe

EeDeCe

DCBAik

DCBA

)(

)()(

x=0

Tunneleffect• We hebben vier vergelijkingen met 5 onbekenden (A,…,E). We kunnen dus

B,C,D en E uitdrukken in A. In het bijzonder geldt voor de transmissiecoefficient

• Exponentiele afname, met Gamow-factor

• Niet-rechthoekige potentiaal:


14

||

|| 2

222

2

Lvoore

k

k

A

ET L

LG 2





• (a en b de grenzen van het gebied waar V groter dan E is)

• Coulomb Barriere:


14

||

|| 2

222

2

Lvoore

k

k

A

ET L

LG 2

dxExVmGeT

b

a

G

)(22

,

2

22

arccos8

22

b

R

b

R

b

R

c

bZZmcdrE

r

cZZmG tb

b

R

tb





• (a en b de grenzen van het gebied waar V groter dan E is)

• Coulomb Barriere:


14

||

|| 2

222

2

Lvoore

k

k

A

ET L

LG 2

dxExVmGeT

b

a

G

)(22

,

2

22

arccos8

22

b

R

b

R

b

R

c

bZZmcdrE

r

cZZmG tb

b

R

tb

c

ZZmcB

E

mcZZA

E

cZZb

RBAGRb

tbtb

tb

22 32,

2,

:

Levensduur alpha-verval


levensduur als functie van de alpha-energie voor verschillende kernen.

Merk op, dat de de data 28 orden van grootte omspannen

Empirische relatie (curves) :

3/2

2/1 7.17.28log ZE

Zt

Schatting levensduur

• We hebben empirisch

• Onze schatting van de transmissiecoefficient bij de Coulombpotentiaalbarriere is

• nucleon in kern, typische snelheden 0.1-0.2c– Botst ongeveer

– Halfwaardetijd

– Invullen voor

– schatting :


3/2

2/1 6.19.28log ZE

Zt

c

ZZmcB

E

mcZZA

E

cZZb

eTRBAGRb

tbtb

tb

G

22 32,

2,

,:

HzR

v 2110

.sec2ln10 21

2/1

Get

6/160

60 4.16.2 ZZRARR

3/221

2/1 7.17.28)2ln10log(log ZE

ZGt

Fusie reacties• Ook in de botsing tussen twee geladen deeltjes dient de Coulomb-

barriere geslecht te worden. De werkzame doorsnede is gegeven door

• S-factor : gewoonlijk een langzaam varierende functie van de energie.

• Fusie in zon:

• Eerste reactie is zwakke wisselwerking, 2e sterke wisselwerking

• In sterren: Gamow-factor sterke functie van temperatuur (centrum zon: ongeveer 16 miljoen K, levensduur protonen 10 miljard jaar)

• Fusie : hoge deeltjesdichtheid nodig en hoge temperatuur


22

22

,)(

)( tbGE

E

ZZmc

EeE

ESE

G

MeVm101.8:

MeVm108.3:

228

253

Sntd

Svedpp e

iv. kernmodellen v. verval van kernen h.j. bulten voor ...henkjan/kernmodel.pdfvloeistofdruppel...

Documents