iv mecanica statica
TRANSCRIPT
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
1/71
.
,
,
.. , ,
r
,
. ,
'l
, . ,.
, - _
IOAN RADU
MECANICA
STATICA
Editura MIRTON
Timigoara
2001
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
2/71
r.g.z. FruNcrprur-
lcTruHrt
roRTet
Forta care
ac{ioneazi
asupra
unui
corp
ii
imprimd
acesluia
o
acceleratie
dirijata dupd suportul
sdu avdnd
acelagi
sens
cu forta
iar modulul
egal
cu raportul
dintre modulul
fo(ei si masa corpului.
Matematic
putem
scrie:
F
m
Expresia
vectorial6
a
principiului
acliuniifo(ei
este:
F=mE-
(1.1)
(1.2)
(1.4)
(1.5)
{
1.1. OBIECTUL
MECANICII
Mecanica
este
o gtiinld
a
naturii
care
studiazd
legile
obiective
ale
echilibrului
9i
migcdrii
corpurilor
materiate
in scopul
aplicdrii
lor
in
activitatea
productivd
a
omului.
1.2.
DlVlZluNlLE
MECANICII
Din
punct
de vedere
didactic
mecanica
se imparte
in
trei
pdrtj:
1)
statica
-
care studiazd
echilibrul
gorpurilor
sub
acliunea
fo(elor;
2) Cinematica
-
care
studiazS
migcarea
corpurilor
ldrd a
line
seama de
masele
gi
fortele
care
actioneazd
asupra
corpurilor
(studiazi
geometria
migcdrii);
3)
Dinamica
-
care
studiazd
migcarel
corpuriloflindnd
seama
de masele
si
fo(ele
care
aclioneazd
asupra
lor.
1.3.
PRINCIPIILE
MECANICII
1-3.1- PRINCIPIUL
IT\iERTIEI
un corp
tinde
sd-gi
pdstreze
starea
de
repaus
relativ
sau
de
miscare
rectilinie
uniformd
atdt
timp
c6t
nu
intervine
o
actiune
mecanicd
din
exterior
care
si-i
modifice
aceaste
stare.
1.3.3. PRINCIPIUL
PARALELOGRAMULUI
Doui fortp care
actioneazi
simultan
asupra unui
corp
au
acelagi efect
asupra
corpului
ca
9i
o
fo(a unicd
avdnd
mdrimea,
direc{ia
9i
sensul
diagonalei
paralelogramului
construit
de cele
doud
fo(e
(fig. 1.1.a).
n=E*E
(1.3)
Tn
legdturd cu
elementele
paralelogramului OABC
din
geometrie
sunt
cunoscute relaliile:
R=
9i:
tt_=
=
,r==
=_-L
sin
<
(R;
F,
)
sin
<
(R; Ft
)
sin
<
(Fr;
F,
)
Pentru suma
fortelor
E
gi F, se
mai
poate
folosi
si
regula
triunghiului
(fig.
1.1.b).
Astfel, la extemitatea
fortpi
E
=
oA
se
ataseazd
fo4"
E
=Ee
.
Rezultanta
R va avea
originea
in originea
fo(ei
F,,
9i
extremitatea
in
extremitatea
fo(ei
F,
(n
=
OC).
a)
Fig.
1.1
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
3/71
Un
sisJem
de
nedeformabilfald
de
care
se
raporteazd
pozi{iile
iul cu
trei
dimensiuni
cel
mai
frecvent
sistem
de
r
de
referintd
triortogonal
drept
(fig.
1.2.a).
Mecanica
*
Statica
Fig.2.1
Fig.2.2
Notalia
vectorului
se
face
printr-o
literS
cu
barS
deasupra
(cu
scopul
de a
se
deosebi
de
m6rimile
scalare)
sau cu
un
grup
de
doud
litere
cu
bard
deasupra'
2.1.
CLASIFICAREA
VECTORILOR
I
,
Mdrimile
scalare
gi
mdrimile
vectoriale
fac
parte
din
categoria
mdrimilor
fizice
utilizate
in
mecanicd
cu
deosebitd
importantd
in
tehnicS
9i
practicd.
Mdrimile
scatare
-
sunt
acele
merimi
pentru
a cdror
determinare
este
suficient
sd
se
indice
un
numdr.
Astfel
putem enumeE
aria
unei
suprafe{e,
temperatura,
tura$a
unui
motor,
etc.
Mdrimite
vectoriate
-
sunt
acele mirimi
care sunt
determinate
de
urmdtoarele
elemente:
-
punct
de
aplica{ie;
-
directie;
-
sens;
-
modul
(mdrime).
simbolul
matematic
atagat
unei
mdrimi
vectoriale
se
numeste
vector'
conventional
el
fiind
reprezentat
geometric
printr-ui segment
de dreaptd
orientat
(fis.2.1).
Fig.1.2
sistemul
de
referinld
ine(ial
este
un
sistem
de
referintd
in
repaus
sau
in
miscare
de
translatie
r.""iilini"
9i
uniformd
fa{d
de
_un
alt sistem.de
referinld
in
repaussauinmigcaredetranslalieuniformd.Convenlionalseadmiteca
sistem de
referintp
inerlial
un
sistem
av6nd
originea
in
soare
si
axele
orientate
cdtre
trei
stele
considerate
fixe'
Migcarea
raportata
la un
sistem
de
referinld
considerat
lix
se
numegte
absolutd,
iar
miscarea
raportatd
la
un
sistem
de
referintd
mobil
se
numegte
migcare
relativd.
Parametrii
geometrici
independenti
care
determind
pozitia
unui
sistem
materialinraportcuunsistemdereferintdsenumesccoordonate
generalizate.
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
4/71
Mmrnice
r
St*tic$
De exernplu
ve€torul din
figura 2.1
se
psate
ftota cu
V
o
respctiv
p$n
AE
Conform defrni$ei.
elernentele
unui
v€€'{or
suni:
- punctul
de
aplicalie
-
A
{origineah
-
direclia
-
(a);
-
sensul
- (de
la
A
sPre
B);
- modulut
-
V; lVl
(valoarea
numericd
a
segmentului
AB).
Se definegte
a
versor
sau
yecfor
unitate
vectorul
al cdrui
modul este
egal cu
unitatea.
Oricdrei
directii
(A)
i
se
poate
atasa
un
vercor.
in
consecinli,
notand cu
E
versorul
direcliei
(A)
dupa
care este
dirijat
vectorul
v
(fig.
2.2)
se
poate
scrie:
{
lttecrricr
o
Stttist
al
vectori
liberi
(fig.
2.3)
- sunt
vec.{orii care
pot
evea
pur}6tul
de
aplica$e
oriErnde
in
cuprinsul
unui
sistern
dal,
dar
igi
pdstreazii
modulul,
direc$a
9l'sensul.
Exisilenla
vectorilor
liberi
este
o
realitate
materiaEl.
Astfel
considerSnd
un
solid
rigid
in migcare
de
translalie
in
fiecare
punct
al sdu
(A,
8...",
E) viteza
este
datd de
un
vec{or
vitezd V,
vec'torii
virlezi al
diferitelor
puncte
fiind
paraleli,
egali
si
de
acetagi
sens,
diferind numai prin punctul lor de
aplicalie. lntreaga
migcare
de
transla{ie
a solidului
rigid
este
complet
determinatd
de
oricare
dintre
acesti
vectorivitezd
V.
b)
veslaaJpsati
-
sunt
vectorii
ai
cdror
punct
de
aplicatie
este
fix. Un exemplu
de vector
legat este
vectorul
fo(E
aplicat
unui
punct
material
M
(fig.
2'
)'
cl vectori
alunecdtori
-
sunt
vectorii
la
care
punctul
de
aplicalie
poate
fi mutat
oriunde
pe
suportul
lor,
directia,
modulul
si
sensul
rdmdndnd
neschimbate.
Exemplultipic
al unui
astfel
de
vector este
forta aplicati
asupra
unui
solid
rigid
(s),
efectul
ei fiind
acelagi
la
deplasarea
fo(ei
pe
dreapta
suport
(a) (fig.
2.5).
modul.
O
multime
de
vectori constituie
un
sistem
de
vectori.
in
functie
de
caracterul
acestora
se disting sisteme
de
vectori
liberi,
legati,
alunecdtori,
fiecdruia
fiindu-i specific
un anumit
mod de
calcul.
.
.
2.2.
ALGEBRA
VECTORILOR
LIBERI
2.2.1.
ADUNAREA
VECTORILOR.
Suma
(rezuttanta)a
doivectori
liberi
V.
Ei
%(ng.
2.6.a)
este
prin
definitie
un
vector
V reprezentat
in
mirime,
direbtje
9i
sens
prin
diagonala
paralelogramului construit
cu ceidoi
vectori
(regula
paralelogramului)
(fig.
2.6'bt.
Vectorul
rezultant
V
poate
fi
oblinut
9i
prin
aplicarea
regulei
triunghiului
care
este
o
variantd
a
regulei
paralelogramului. in
acest
scop
(fig.
2.6.c)
se
construiegte
un
vec{or
echipolent
cu
V2 av6nd
originea
in
exlremitatea
vectorului
[,. UninO
originea
vectorului
-\
cu extremitatea
vectorului
-\i
se
V=V.a=lvl.c
Rezultd
astfelcS:
U
=-
v
Orice
alt vector E
avind aceeasi
direciie
cu
(A)
se
poate
exprima
astfel:
E
=
a-E
(2.3)
unde
a este modululvectorului
d.
in cazul
in
care
vectorul
d are
acelagi
sens cu versorul
E, scalarul
"a"
este
pozitiv,
iar dacd
vectorul
d este
de
sens opus
versorului
E, atunci scalarul
"a"
este
negativ.
Realitatea
fizicd conduce
la identificarea
a
trei
tipuri de
vectori
si
anume:
vectori
liberi, legali
gi
alunec5tori.
(2.1)
(2.2)
F
M
n+v\
*
Fig.
2.3
Fig.2.4
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
5/71
\4atx3iar,]tr*
n
};.lilhis
'$
Vl
$Uii,l nfi,u1ir
*tc
;j"tl:r'ti':1,,',rrl
\lo'srtmrmrx
i
Mt$t[
{-liir;iii
flr
ri ,,$i
idr[fl
de,rnctr,s.r',m,lini
/,r,,'s
5:r#{
.if'nln{ltr
$ryf$btCe
@Wnet*}lt$
a-
iii|lrlt
ftiidr,$.i
./*{S#rftfu$'
a
i,S$,r.Ilr4r$j'd{l#le'fi:
lV,
"
Vn
i"
V*
,,
vn
-
ffo
,
tu
,{
ta-sj
bi
cnn-rr.itativ,itate,a.
V,*4-4"q
(2.6)
Diferenla
a doi vectori se obline adunand
primul
vector
cu
cel
de-al doilea
vector
luat cu semn schimbat
(frg.
2.8).
2.2.2.
iNMULTTREA
UNU|
VECTOR CU UN SCAI-AR
inmultirea
unui
vector
V'
cu un scalar
"m'are
ca
rezultat
oblinerea
unui
alt vector definit
astfel:
V=rnVl
(2.7)
care are direc{ia
lui Vr,
acelasi sens
sau de sens
contrar dupd cum
'm'
este
pozitiv
(m
>
0) sau
negativ
(m
<
0),
iar
modulul sdu
este egal
cu
valoarea
absolutd
a
scalarului
"m"
inmultitd cu modululvectorului
-q
1ng-
2.S1.
v=q
-q
I
-Vzt
I
Fig.2.8
Fig. 2.9
o
a)
b)
inmultirea unui
vector
cu
un
scalar are urmitoarele
proprietdti:
asociativitatea:
m(n[:
mnV
comutativitatea:
mV=Vm
(2.8)
(2.e)
cd)tpre
FB{.i€dul
f'eJLdi'3till
'r'
i.i+-r:ii V'
'
iil
'{.}r:i\-1,r?/
\r1
Ltr
S.flr C*
t'I"ir:"biX',r",llul
;;'*i3
[li,"ufr-Jl
ir*,
:
i,iIA
ii
85i{}
v? v."
-
v;
"
2V,v, cos
iV,:V,
i
Modalitatea
de calcul
grafic
al
vectorului
rezultant bazald
pe
regula
triunghiului
poate
li
generalizatd pentru
un
numdr
oarecare de
vectori,
construindu-se
poligonul
vectorilor echipolenti,
astfel ca
fiecare vector sd
aibd
originea
in
extremitatea vectorului
precedent.
Vectorul
rezultiant
V
este
segmentul de
inchidere al
poligonului avdnd originea
Tn
originea
primului vector
si extremitatea in
extremitatea ultimului
vector (fig.2.7
-al.
Dacd
in
poligonul
vectorilor echipolenli
originea
primului
vector
coincide
cu
extremitatea ultimului
vector,
vectorul rezultant
este nul
(fig.
2.7.b). Regula de
insumare a vectorilor este valabild
atdt in
plan
c6t
gi
in spaliu.
O=An
Vn-t
An-t
v,
Al
A"--'t
Fis.2.7
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
6/71
tr\{ecanice
*
Staticr
c)
distributivitatea
fa.td de adunarea
scalarilor si adunarea
vectorilor:
(m+n)V=mV+nV
L
m(Vr +Vr,l=mV1
+mV.
ab
:
Prr
AB: Pro
V
Se constatd
cd:
ab=PraV=Vcosct
Asadar,
proiectia
unui
vector
pe
o
axi
reprezintd
un
scalar.
relaliei
(2.13)
se
constati
urmdtoarele:
Proiectia
vectorului
V
pe
axa orientatd
(A)
de
versor
E,
vectorul
V
si
axa
(A)
fiind situate
in acelasi
plan,
se
obline
proiectAnd
originea
9i
extremitatea
vectorului
pe
axa
datd
(fig.2.10).
Segmenfulab
determinat
pe
axa
(A)
se
noteazd:
Mccanica
+
Statica
d)
Proiec{ia
este
egald
cu
modulul
vectorului
dat
atunci
c6nd
cr
=
0
9i
c,
=
n, respectiv
c6nd
vectorul
este
agezat
pe
axa
orientatd
sau
este
paralel
cu
ea. Semnul
proiectiei
este
in aceste
cazuri
poziliv
cdnd
sensul
vectorului
coincide
cu
sensul
axei
(a=0)
sau
va
fi negativ
€nd
sensul
vectorului este
contrar sensului
axei
(o
=
n
).
in cazul
in
care vectorul
V
gi axa
orientatd
(A)
nu se
afld
in
acelagi
plan,
proieclia
vectorului
V: AB
pe
axa orientatd
(A)
este
segmentul
ab
de
pe
axa
consideratd
cuprinsd
intre
punctele
de
interseclie
a
planelor
[P"]
9i
[P"]
perpendiculare
pe
axa
(A)
trecSnd
prin
extremitSlile
A
9i
B
ale vectorului
(frg.
2.11).
Aga
cum
rezultd din
figura
2.1 1
mdrimea
proiectiei se
calculeazd
tot
cu
relatia
(2.13)
deoarece
ab
=
AB'= Vcosa.
in
cazul
unui
sistem
de vectori
se
demonstreazd
"teorema
proiecliilor"
care
se enunte
asffe|
Proieclia
vectorului
rezultante
De
o axe
este
eoale
cu
Pentru
a demonstra
teorema
Se
considerd
un
sistem
de vectori
q,q,...,q
$g.2.12).
intre acegtivectori
se
poate
scrie
relalia:
R=q
*%
*...+-v.:iV,
An-t
vn
An
(2.10)
(2.11\
(2.12',)
(2.13)
Din
examinarea
(2.14)
Fig.
2.10 Fig. 2.11
a)
Proiectia vectorului este
pozitivd
atunci €nd 0 < o
.I
deoarece este
2
indreptati in
sensulpozitiv
al
axei orientate;
b) Proiectia vectorului
este
negativd
atunci €nd
1<
cr
<
7r deoarece este
2
indreptati in sens contrar
sensului
pozitiv
al axei orientate;
c)
Proiectia
este
nuld
atunci
€nd
o
=1
gi
o
={,
respectiv
atunci
cand
2', 2'
vectorul
V
este
perpendiculat pe
axa
orientatd;
(a).o.i
:
I
I
I
:
a1
a2
a3
?n-1
?n
Fi1.2.12
Proiectdnd
fiecare
vector
pe
axa
(A)
oblinem
valorile:
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
7/71
rrr[ilil[f,iltilIltrIlIrI
Mecanica
*
Statica
Mecanica
+
Strtics
Pro(V.'):
Oa'
Pro
(%)
=
?1?z
(2.15)
Pro(Vn):?n_r?n
Proiectdnd rezultanta
R
pe
axa
(A)
avem:
Pro
(R)
=
Odn
Din construclia
geometricd rezultd:
oan
:
oat + a1a2
+.--
+
an-lan
sau:
Pro
(n-)
:
Pto
M)
+ Pro(V,
)
+
---
+
Pro
(V'
)
n_
Pro(R)
=
lPro(V')
i=1
Rezulti,
cd
in cazul
unui contur
vectorial inchis, suma
proieqilor
vectorilor
pe
o
axd
este
nuld.
2.2.4. DESGOMPUNEREA
UNUI
VECTOR
Operatia
de
descompunere
a
unui
vector
este
inversul operaliei
de
compunere,
€re are
labazd
regula
paralelogramului.
Se disting doud
cazurisianume:
a) Descompunerea
unuivector
dupi doud
direclii
date
Fiind
date
directiile
(Ar)
gi
(Ar)
coplanare
gi
vectorul V,
descompunerea
vectorului V Oupa aceste
direclii
presupune
determinarea
vectorilor
V,
Ei
%
astfel
inc6t
(fig.
2.13):
V=Vr+Vz
in
particular
dacd
(1.')=
9a
Ox siOy avem:
V,l
=vr'i
%:vr'j
unde:
Vz
=
Prov
(V)
:
Vy
=
V sin
ct
Agadar,
vectorul
V are
urmdtoarea
expresie
analiticd:
V= V.r'i+V,'J=
v''i+V,'i
(2.24',)
(2.25)
(2.16)
(2.17)
(2.18)
(2.1s)
(2.20)
9i
(Az)=Oy
(fi9.
2-14) iar i si
j
suntversoriiaxelor
(2.21)
(2.22)
(2.23)
b) Descompunerea
unui
vector
dupi trei
direcliiin
spafiu
Fiind date
direc$ile
(ar),
(AJ
gi
(Ae)
in spatiu
si
vectorul
V, componentele
acestuia
de-a
lunguldirecliilor
menlionate
sunt
V.,,- ,%
tng
2.15).
Se observd
cd
vectorul
V este
diagonala
paralelipipedului oblic
format
cu
Vr,Vr,V.
astfel
cd se
poate
scrie:
V=q*%*%
(2.26)
Dacd:
(Ar)=Ox
;
(Ar)=Oy
;
(As)=Oz.; iar
i,j,k
sunt
versorii
axelor
Ox,
Oy,
Oz,
rezultd
(fig.2.16):
V.l
=
V*i
v,
=
vrj
(2.27)
%
=v.x
unde:
Vr:V,
=Pro*(V)=Vcosa
Vz:Vv
=Proy(V):VcosP
e'28)
Vs
=V.
=Pro.(V)=VcosY
(a')
Fig.2.13
Oix
Fig.2.14
rr
(r,r\
V':Pro,(V)=V,
=Vcosg
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
8/71
TI II
II
I
L il [ [
il [
I I
I
I I
I I
I
T I
T
Mecanica
t
Static{
Mecanica
+
Ststicr
Vr
.V,
=
VrVz
coscr
(2.31)
Analiz6nd
relalia
(2.31)constatdm
cd
dacS:
0
< a.1
-
produsulscalareste
pozitiv;
2
L.
a
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
9/71
rre[ilililil[f,ilIrrrrrrrtt
Mecanica *
Statica
Mecanica
*
Statica
aceea
produsul
vectorial
al
unui vector
cu
el insusi
este nul (VxV:O).
Produsul
vectorial
a
doi vectori
are urmdtoarele
proprietiiti:
a) asociativitatea:
_\
t(Vt
'
-%
)=
.-V'
'
V,
=
V'
* .V,
-rVr
,
.r%
=
(mrm,
{v-q
"
V,
)
b)
anticomutativitatea:
q.%
:
-Fu,
"V,,)
c) distributivitatea
fatd de
adunarea vectorilor:
t_
Vt
x
(V,
+V.)=
Vr
"V,
+V.,
xV.
(2.42\)
2.2.5.3.
PRODUSUL
MIXT
Produsul
mixt
a
trei
vectori
q,%,V.
este
produsur
scarar ar
unui vector
cu
produsul
vectorial
al
celorlalti
doi
si
reprezintd
un
scalar avdnd
valoarea
egald
cu
volumul
Vol
al
paralelipipedului
construit
cu
cei trei
vectori
dati.
Matematic
putem
scrie:
(2.3e)
(2.40)
(2.41)
v2
u
o
Se considerd sistemul de referintd cartezian triortogonal drept (fig.
2.2O)
la
care axele de
coordonate
Ox, Oy, Oz au versorii
i,j,E.
npticand
proprietdtile
produsului
scalar,
vectorial
si mixt intre versorii
axelor se
pot
scrie urmdtoarele
relatii:
=t2:j2:i2
:t
I.
j:l.F=
r.I=o
i"j=[
j'k:i
F'i=J
(2.56)
si
Fig.2.18
(2.54)
,
(2.55)
{u'
jxi=-k
k"J=-i
irk=-j
(t
vr\"
q
Fv,
*-q):
rvot
Fig.2j9
(2.43)
Fig.2.20
Fi1.2.21
(2.57)
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
10/71
-
L
I
L
IT
U
I
I
I I
r
U
Mecgnics
*
Statica
Mecanica
*
Statica
(2.58)
fi.i
E)=(E
i
I):[,
r.])=-'
(2.5e)
Dacd
u
este
versorul
vectorului
v
Ei
v,,vy,v,
sunt
proiec(iile vectorului
V
pe
axele
Ox, Oy,
Oz,
iar
.',
P, T
sunt
unghiurile
pe
care
vectorul
V
le
face
cu
axele
sistemului
de
coordonate
$g.2.21')
atunci
se
pot
scrie
relatiile:
i=xI+
yj+zi
(2.68)
Modulul
vectorului
de
pozitie are valoarea:
(2.6e)
Suportulsdu
face cu axele Ox,
OY,
Oz
unghiurile
cr,
P,
Y,
date
de
relatiile:
V:
Vxi +
Vri
+
V.k
x
COS(I
:
-
r
cosF
=
I
f
z
cosY=-
f
(2.7o1
(2.71)
(2.72)
Fi1.2.22
(2.60)
(2.61)
(2.62)
(2.63)
(2.64)
(2.65)
(2.66)
(2.67)
v,
coscl=-=
vx
2.2.s.
oPERATII
CU
VECTORI
a)
Suma
vectorilor
Fiind
dalivectorii:
V,,
=Vr*i*VrrJ+Vr.k
%
=vr'i*vrrj+Vr'F
Vectorul
sumd
este
dat
de
rela-tia:
I
V=q
+:vr=(vr,
*vr*)i+(ur,
*vrr)i*(vl.
+vr.)F
Pentru
un
numdr
de
"n"
vectori
avem:
-n -n
-n
V=i;v"
+
jtvi"
+klvo
l=1
i=f
i--1
v,[w
cos3=L=4
v
Ju,.
*
vl
+v
::s"=Y=L
v
Jul*vl+v
V:
v.u
[
=
cosa.
i +
cosp.
j
+cosY'
k
i2
--
u2
:
Gos2
o
*
cos2
p
+
cos2
y
:
1
(2.73)
(2.74)
(2.7s)
(2.761
2.2.8.
VEGTOR
DE
POZITIE
Vectorul
de
pozilie (raza vectoare)
a unui
punct
oarecare
M(x,y,z)
din
spaliu
in raport
cu originea
o
a
sistemului
de
referinld
oxyz
(fig. 2.22) este
vectorul
?
=
OM cu
originea
in O si
extremitatea
in M a cdrui
expresie
analiticd
este:
inmultirea
vectorului
V'
Oe1nit
de
relalia
(2.731
cu
un
scalar
"m"
are ca
rezultat
obtinerea
vectorului
:
V=mL
=mvr,i+mVrrl+mVr.F
(2'77)
CARTEZIAN
DREPT
LI
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
11/71
Iil'[tril'til
,
[
'
It
-t
Mecanica
+
Statica
Mc.canica
t
Strtica
c) Produsul scalar
Produsul scalar
al vectorilor
q
qi
%
defini[i
de
relaflile
(2.731
1i
(2.7a)
este scalarul:
q
V,
=VrVz
cosa
(2.781
sau:
q
%:Vrrvz,
*vrvvzv
+vr.vr,
(2.79)
Din relaliile
(2.78)
gi
(2.79)
se
poate
determina
unghiul
"a'format
de
vectorii
Vt
si
V,
astfel:
cos
cr
:
vr'vz
Vr*Vz, + VrvVzv
+YpY2.
(2.80)
(2.85)
Din
paragraful (2.2.5.2)
cunoastem
ca:
V=VrVzsina:F
"Vrl
Rezultd
unghiul
"a"
dintre
cei
doi
vectori:
E"ql
SlIl
cr
:
. -
'
vrv,
Dacd sincr=O, rezultii cd cei doi vectori sunt
coliniari
sau
paraleli.
Agadar,
conditia
ca doi
vectori
sd fie
coliniari
sau
paraleli
este ca
produsul
lor vectorial
sd fie nul.
q
"q
=o=Vrllv-z
Condi,tia de coliniaritate sau
paralelism
a
celor doi
veclori se
poate
analitic
astfel:
vr^
_vr, _v.,'
vz, vr, vz,
e) Produsulmixt
Frrnd
dati
vectorii V'
si
V,
definiti de
relaliile
vectorul
V,
oennit de
relalia:
V3
=
V3ri+
V3"i
+
V.=k
produsul
mixt
este
un
scalar definit de determinantul:
(2.73) respectiv
(2.74) gi
(2.e0)
(2.e1)
"
=lJ;:
J;l
=v,.v,,
-v,,V,*
(2.86)
e.e7)
(2.88)
exprima
(2.8e)
v.,v,
lwM.w,
in
cazul
in
care
coscr:0
rezultd ci
veclorii
V.l
gi
%
sunt
perpendiculari.
Asadar,
condilia
ca doi
vectori sd
fie
perpendiculari
este
ca
produsul
lor scalar
sd fie
nul.
Vr
-v,:o=14rv,
d) Produsul
vectorial
(2.81)
Produsul
vectorial a
vectorilor
q
Ei %
definili
de relatiile
(2.73)
respectiv
(2.74)
este vectorul
V dat
Oe determinantul:
I
Vtt
vz.
Componentele scalare
ale vectorului
V
sunt:
"
=
lJ;;
Y;l=
v,vv,'
-v,-vzv
l;'2
l'
t
V=VrxVr=[Vr,
Vr,
lvr'
Yr,
(2.82)
(2.83)
(2.84)
lu.,
vr,
vr.l
fq%%)=
lur,
Yr,
vr,l
lut'
vt,
vt'l
",
=-lY;:
J;l=Vr.vz*
V',tVr=
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
12/71
-
c il r
il il il
il I I
r I
I
l'l
t r I I t
Mecanica
*
Statics
3.
FORTA.
SISTEME
DE FORTE
----t-
3.1.
FORTA
CA
VEC'IQR
ln
conceplia
moderna
fo(a este
definiti
ca
o
merime
vectoriale
ce
mdsoard
interactiunea
gitransmiterea
migcdrii
me@nice
?ntre corpuri
(simbol
F,F,d,.--,etc.).
Caracterulvectorialalforteieste
evident
prin
faptulcS
efectul
acesteia
depinde
nu
numai de
intensitatea
acesteia
(modul)
ci
9i
de
orientarea
eiin spatiu,
decide
directia
sisensulacesteia
(fi9.3.1).
Fig.3.1
caracterul
vectorial
al
fo(ei
oferd avantajul
de
a
putea
analiza
matematic fenomenul
de
interactiune
mecanicd
intre corpuri
prin
utilizarea
cuno,stintelor
de
"
calcul
vectorial
"
.
Pentru
a
putea
opera
corect
cu
aceastd
mdrime
mecanicd
trebuie
retinute
urmdtoarele
aspecte:
a) Fo(a
aplicatd
unui
punct
material
are
caracter
de vector
legat;
b)
Forla aplicatd
unui solid
rigid
are caracter
de
vector
alunecdtor.
Din figura 3.2
se
intelege
cd oriunde
se
plaseazd
punctul
de
aplicafie
al fo(ei
F
pe
suportul
(A)
efectul
mecanic
asupra
solidului
rigid
(S)
este
acelasi'
Aceeasi concluzie
se desprinde
gi
din figura 3.3
unde
se
presupune
cd
asupra solidului
rigid
(S)
ac$oneazd
doud
forte egale
side
sens
contrar
(F
si
-F)
situate
pe
acelagi
suport
(A).
Efectul
acestor
fortp este
nul
indiferent
Mccanica
+
Statica
@nctele
de aplicalie
in
A
9i
B sau
C si
tind sd
se
depirteze
sau
sd se
aPropie.
Fig.
3.2
3.3.
MASURAREA
FORTELOR
Mdsurarea efectivi a
forlelor se face cu ajutorul
dinamometrelor
avdnd
la
bazd efectul
static
de
?ntindere
sau de compresiune
a unui
resort la care
deformati ile sunt
proportionale
cu solicitdrile
Fo(a
care aclioneazd asupra
unui corp
cu masa
I
acestuia acceleratia
de
1
m/s2 este denumitd
newton
si
unitate de
mdsurd a fortpiin Sistemul
lntemational
(S.l).
F:m.a=MLT-2
(3
1)
Notiunea
de
moment
al
unei
forle
in
raport cu un punct
a fost
introdusd
in mecanicd din doud
motive
gianume:
-
o forli
care ac$oneazd
asupra
unui
solid
rigid nu
poate
fi
complet
definitd numai
prin proiectiile
sale
pe
axe
(aga
cum este
cazul
vectorilor
liberi)
deoarece este
un vector
alunec6tor;
-
momentul exprimd capacitatea
forlei de a
roti
solidul
rigid
in
jurul
unei
axe
care
trece
printr-un punct
al solidului
rigid.
kg
9i
ii
imprimd
se utilizeazd ca
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
13/71
I I C
If L
il il il
il
f,
il
il I-I.T-I,I
I
I
I
Mecanica
*
Stetica
-
Momentul este un
vector
legat
aplicat
in
punctul
O
avdnd directia
perpendiculard
pe
planul
definit
de
vectorii
i
gi
F;
-
Sensul vectorului moment
este acela
pentru
care vectorii i,
F
si
-nl, (F)
formeazd
un
triedru
drept. Sensul
vectorului
moment mai
poate
fi
determinat
si cu regula
burghiului;
-
Modulul vectorului moment este egal
cu
produsul dintre modulul fortei
9i
distanla masuratd
pe
perpendiculara
dusi
din
O
pe
suportulforlei.
l-r.qfi)l=E lrl
"i'.'"
MrF)=
r-F.sincr
Dar:
r.sinq:d
Se obtine:
Mo
(F):
F
.d
Mecanica
*
Statica
Din aceste
motive
in mecanicd
un
vector
alunecdtor
este
caracterizat
prin
proiectiile
sale
pe
axele
de
coordonate
9i
prin proiecliile
momentului
seu
in raport
cu originea
O
a
axelor,
pe
aceleagi
axe.
se
numegte
moment
al
uneifo(e
F in raport
cu un
punct
o
numit
pol,
vectorul
egal
cu
produsul
vectorial
dintre
vectorul
de
pozitie
i
=
OA
al
punctutui
de aplicalie
alforlei
fatS
de
punctul
o
si vectorul
fo(d F
(fig.
3.5)
9i
are
expresla:
_L\
Mo(F):
Fx
F
(3.2)
(3
3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
itice
ale
i=x.i+y.j+z.k
F=F,.i+Fr-j*F,
li
-/-\
I
Mo(FJ=1xf=lx
lr,
(3.7)
(3.8)
(3.e)
(3.10)
(3.11)
pe
axele
(3.12\
Fig.
3.5
La definirea
vectorului
moment
trebuie
sd
se
precizeze
forla si
punctul
in raport cu
care
se
calculeazd
momentul.
Din
acest motiv
in
notalia
vectorului
moment
se
indicd
punctul
in
raport
cu care
se
calculeazd
(ca
indice),
precum
9i
fo(a
al
cdrui
moment
se
calculeazd
(in
parantezd).
Elementele
caracteristice
ale
momentului
fortei
in
raport cu
un
punct
rezultd din
proprietdlile
produsului vectorial:
M,
F):
(yr.
-
zr,
).i+
(=F,
-
xF.).
j+
(*F,
-
yF,)
['
Deoarece:
-r\
nlt.fr)=
M,
-i+
M,
.
I
+
M.
.F
din
relatiile (3.10)
9i
(3.11)
rezultd
proiectiile
vectorului moment
sistemului de coordonate
ales:
M*=y.F.-2.F,
M,
=='F
-x'F
Mz=x'Fr-Y'F
Dacd
fo(a
F este situati
in
planul
Ory
atunci
vectorul moment este dirijat
dupd
axa
Oz
deoarece
z
=
0
gi
F.
:0.
in
aceastd
situa{ie rezultd
urmdtoarele
expresii:
12
A(x,Y,z)
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
14/71
rrffifiil-il"rffif'"f
Mecanica
+
Staticn
Mecanica
r
Ststics
Mr
:0
Mv
:
o
(3'13)
Mz=x'Fy-Y'Fx
3.42.
PROPRETAFLE
MOMENTU =UI
FoRTEI
lN
RAPORT
CU
UN
PUNCT
Se
disting
urmdtoarele
propriete,ti
:
a)MomentulforteiinraportGuunpfJnct(pol)estenuldacSF=0saudacd
suportul
tortgi
trece
prin
punct
(pol)
(i
:
0
)'
b)
Momentul
fortpi
in
raport
cu
un
punct
(pol)
nu
se
modificd
dacd
forta
alunecd
pe
propriul
ei
suport,
adicd
este
un
invariant
fatd
de
operalia
de
deplasare
a
punctuluide
aplicatie
alfortpi
pe
propriul ei
suport
(fi9' 3'6)'
Fig.
3.6
Scriem
expresia
momentului
fo(ei
F
cu originea
in
A
si A1
de
pe
suportul
(A)
in
raport
cu
punctul
O'
Avem:
-
,-\
Mo(F)=
Fx
F
-
,l--\
Mo
(F)=
t'''F
dar:
1(x1,
Y1,zr )
Fr
=i+AAr
inlocuind
relatia
(3'16)
in relatia
(3'15)
9i
efectuAnd
calculele
rezultd:
ilr'(F):
('-*M.,)'
=
ixF-il',
^F
M'
ap
=0
(M'
-coliniarcu
F)
Obtinem:
fro'F)=
-.
F
=
Mr (F)
c)Momentutfo(eiinraportcuunpunct(pol)nusemodificddac6punctulde
reducere
se
deplasea
i
p"
odreaptd
paraleld
cu
suportul
fortpi
(fig' 3'7)'
Prin
polul
O ducem
o
dreapti
(41)
//
(A)
pe
care
ludm
un,
nou
pol
O''
Calculind
momentele
fald
de
polulO
si
O'
ob{inem:
.
-
/-\
(3.20)
Mo(F)=FxF
(3.16)
(3.14)
(3.15)
Fig.3.7
_L\
Mo'FJ
=
F'x
F
dar:
i'=60+?
inlocuind
relatia
(3'22\in
relatia
(3'21) giefectuAnd
calculele
obtinem:
frr,(F)
=
p5
+
?)"
F
=
ffi
^
F
-
i
^
F
66'F
=
o
too
ll
Fl
(3.17)
(3.18)
(3.1e)
(3.21)
(3.22)
(3.23)
(3.24\
A(x,y,z)
(a,')tt1r1
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
15/71
r r
r
r
r--'
Mecanica
+
Statica
Rezultd:
Mr,(-r)=
ixF
=
M.F)
(3.25)
Momentul
fortei
este
acelagi
ca
mdrime,
directie
si
sens
dar
diferd
ca
punct
de
aplicalie.
d)
Momentul
fortei
in
raport
cu
un
punct
(pol)
se
modifice
odatd
cu
schimbarea
punctului
(polului)
de
reducere
dupd
legea
(ftg' 3'8):
M.,F):fr,F).oo"F
Fatd
de
polulO
avem
momentul:
ilo(t)=
t"F
Mutdm
polul
din
O
in
O'
fald
de
care
avem
momentul:
-4\
Mo,[F)
=
i'x
F
dar:
?':OE+i
egale
in
modul
9i
de
sens
opus
formeazd
un
cuplu
(3.26)
(3.27)
(3.28)
(3.2e)
Doud
forle
Paralele
de
fo(e
(fig.
3.12).
lnlocuind
relatia
3.29)
in
relatia
(3.28) obtinem:
Mn
[F)
=
to'o
+
i)x
F
Efectuind
calculele
oblinem:
m..F)=i^F*oo^F
nanF)=
Mo(FJ+o'ox
F
(3.30)
(3
31)
(3.32)
Fig.3.12
Pentru
a araclerizacomplet
un cuplu
de fo(e
trebuie
sd
se
cunoascS:
-
planul cuplului
[P]
definit
de
suporturile
fortelor;
-
bratul
cuplului
-
d
(distanta
intre
suporturile
forlelor);
-
modululcuPlului;
-
sensul
cupiului
(sensulin
care
fo(ele
au tendinla
si
roteascd)'
ConsiderAnd
cuplul
de
fortp
din
figura
3'12
se observ6
c6:
-
suma oroiectiilor
fo(elor
pe
o
axd
oarecare
(A)
de
versor
E
este
nuld:
ernfi)*'ern(-
F)=
F'E
+
|
f
)'u
=
o
(3's0)
-
rezultanta
cuPluluieste
nuld:
xrYrz)
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
16/71
-u
-_il
-
Illecanica
*
Statica
Modululc
Mo
Mecenica
r
Ststlca
n:F+(-F)=F-F:o
(3.s1)
-
momentul
cuplului
in raport cu un
punct
oarecare
O
are
valoarea:
it
=6E'F*il,,(-t)=F"-oo)"F=4s-"f
(3.52)
ExaminAnd
relalia momentului se
observd cd acesta
nu conline in expresia
lui
punctul
O in
raport
cu
care se calculeazd
momentul ci
numai
punctele
A
;i
B care
reprezintd
punctele
de aplicatie
a
celor doud
fortp.
RezultEi cd
vectorul mornent al cuplului
este acelagi
?n
orice
punct
din spa{iu,
adicd este un
vector liber deoarece
nu depinde de acest
punct.
Din
acest
motiv momentul cuplului
nu mai
primeste
indicele
punctului
fald de care se
calculeazd.
(3.53)
a) Un
cuplu
de fortp
poate
fi rotit
9i
deplasat oricum
in
planul
sdu
sau
intr-un
plan paralel
cu
planul
sdu'deoarece
efectul mecanic
nu
se schimbd
(fis.3.13).
Fig.3.13
b)
Un cuplu de
fo(e
F,-F,O)
poate
fi inlocuit cu un alt cuplu de fortp
coplanare
(tt,
,-E
,0.,
)
cu condilia
sd aibd acelagi
moment
(r
.
o
=
F,,
.
d'
)
gi
acelagi sens de rotalie. Cuplurile
de
forle
care
produc
acelasi efect
mecanic,
au acelasi moment,
sunt
cupluri echivalente.
Staticaseocupdcustudiulforlelorsirezolviurmdtoarelecategoriide
probleme:
"i
n"Ju".r"a
sistemelor
de
fo(e
care
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
17/71
ffiffif,rl-il-iliffit
Mecanica
+
Steticl
A
reduce
un sistem
de forte
concurente
inseamnd
a
determina
in
mdrime, direclie
gi
sens
o fo(d
unicd
numitd
rezultantd
care
sd
produci
acelasi
efect mecanic
ca
9i
sistemul
de
fortp
dat.
Rezultanta
se
poate
determina
prin
metode
grafice
sau
analitice.
4.1.r.
REpUCEREA
FORTELOR
COJ.ICURENTE
PRIN
METODA
@FrcA
Reducerea
acestor
fo(e se
bazeazd
pe
principiul
paralelogramului.
a) Gazul
a
doui
fo4e
concurente
Cunosc6nd
fortple
E
gi
E
(fig.
a.3)
in mdrime,
direclie
si sens,
precum
si
unghiul
"a"
dintre
supo(ii
lor, se
reprezintd
grafic
fo(ele
la o
scard
l$ a
fo(elor arbitrar
aleasd
prin
segmentele:
F.
F2
MA= ' :MB=-
KF.
KF
Rezultanta
se
obline construind
paralelogramul fo(elor.
rezultanteiva
fi:
R:
MG.KT
b)
Cazul
a
"n"
fo4e concurente
Cunosc6nd
fortele
E,E,...,-F"
care
actioneazd
asupra
punctului
M se
construiegte
poligonul
fortelor
(poligonul vectorilor
echipolenli)
la o scard
Kp
a
forlelor arbitrar
aleasd
(fig. a.a).
Mecenicr
r
Sbtic{
Segmentul
ce
nnchide
poligonul vectorilor
echipolenli
este
rezultanta
fortplor
concurente.
(4.3)
(4.1)
Modulul
(4.2)
R=MMn'Kr
Regula
paralelogramului
vectorilor
echipolen[i
nu
introduce
restriclii
in
privinta
suporturilor
fortplor
care
pot
fi oricum
in spatiu.
Dacd
fortple
concurente
sunt
coplanare
poligonul fortelor
rezultd
in
plan,
iar
dacd
forlele
concurente
sunt
in
spa{iu
poligonul fortelor
este
in spatiu-
Dacd
poligonul
forlelor
nu se inchide
rezultanta
fortelor este
complet
determinatd
prin
segmentulde
inchidere
al
poligonului.
Dacd
poligonul
fortplor
se
inchide
rezultanta
fo(elor
concurente
este
nuld iar
punctul
material
este
in echilibru.
4.r.2.
REDUCEREA
FORTELOR
CONCURENTE
PRIN
lrEToDA
ANAL]TICA
se
consideri
un
punct
material
M
(fig.
4.5)
asupra
cdruia
aclioneaza
un
sistem
de forte
concurente
E,E,...,F^.
Atagdm
in
punctul
M sistemul
de
referintd
Oxyz
(O
=
M)
pe
axele
c5ruia
proiectdm
fortple
date
cunosc6nd
unghiurile
cr1, F1, T1
pe
care acestea
le
formeazd cu axele sistemului:
Fig.4.5
Fig.4.6
B
Fig.4.3
Mn
Fig.4.4
Fo(ele
E,E,.--,-F.
cunoscute
in mdrime,
directie
si
sens
se
reprezint6
la
scara
fortplor
Kp astfel
inc6t
originea
unui
vector echipolent
sd
coincidd cu
extremitatea
vectorului
echipolent
precedent.
E
:
Fr'T
+
F.,,
i
+
Fr.
[
=
Fl coscr',I
+
Fl
cos
p',j
+
F,
coslrF
Fz
=Fz'1+Fzri+Fz.i=F,
coscrri+F,
cosprj+
F,
cosyrF
M1
E
:
F,,ri+Fn,
i+F,.'k
=
Fn
cosctnf
+Fn cospni+Fn
cosynR
(4.41
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
18/71
ILL[[ililililriltr[-frtlt
Mecanica
*
Statica
4.1.3.
CAZURI
PARTIGUI.ARE
a)
Doui
forfe
concurente
de
direc{ii
oarecare
(fi9'
4'7):
n=E*E
a=@
F.F'R
.'t("
-
Pt
-
-inP
sin(n
-
ct)
Rezultanta
R
poate
fi
scrisd
in
functie
astfel:
R=R''I+Ry'. +R''E
(4'6)
Rezultd:
R,
i+n,
i+Rz-E:[it")
t.[3'")
i.[i")
I
$7\
Din
relatia
(4.7)
rezultd
conform
teoremei
proiecliilor:
n
R1
=
)F*
i4
n
(4.8)
Rv
=
IFiy
Fl
n
Rz
=
tFiz
i=t
Modulul
rezultantei
va fi:
n=nffipnl
(4'e)
Unghiurilepecareleformeazdrezultantacuaxelesistemuluidecoordonate
ales
sunt:
R-
Rr
cosr=E=ffi
Rv
Ry
(4.10)
cosii=R=JRFE?=E'
R.
Rz
cosl=
*t=6
Dacd
fortete
conculnte
sunt
coplanare
(fig. 4.6)
atunci
proiecliite
pe
axa
oz
sunt
nule
tiro
=
0;
R'
=
0)'
iar
relatiile
de mai
sus
devin:
i=1
n
Rx
=
IFit
i=1
n
R,
=
)Fiy
i=1
(4.11)
(4.12\
b)
Doud
forle
concurente
perpendiculare
(fig' 4'8):
-'--i.=F.,'*F,
[13
n=,[-ri
rl
F"
(4'1e)
tga
=:
rl
'
directie
siacelasisens
(fig'
4'9):
c)
Doud
fo(e
concurente
avind
aceeasl
I
-'
-
-
-:
F,
*F,
t^:'),\
R
=
Fr
+Fz
*.22)
tga=0
d)
Doui
torle
concurente
avind
aceeagi
direcfie
dar
sensuri
opuse
(fig.
a.10):_
g.231
n
=E
*E
(4.24)
R
=
Fr
-
Fz
(4.2S)
tgo=0
_Ry
tgct
=
R;
(4.13)
(4.14)
(4.15)
(4.16)
Fig.4.7
Fig.4.8
Fr
CT
p
e)
Trei
forle
concurente
de
direclii
oarecare
in
spaliu
(fi9'
4'1
1):
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
19/71
rrrrrr-tlttrrr
Mecanlca
r
Statlcs
ecanics
t
Strtica
R=Fr+Fr+F.
R=
F^MRF.
^ - r-.
Fig.4.10
Pentru
a
solutiona
aceastd
sistemulde
fortp dat
cu
un
sistem
orice
punct
al solidului
rigid
acela
de
fo(e initial. Conform
teoremei
de echivalen{d,
doud
sisteme
de
fortp care
aclioneaze
asupra
unui
Solid rigid
9i
produc
Tn
orice
punct
al
acestuia
acelasi
efect
mecanic,
sunt
sisteme
echivalente.
Avdnd
in
vedere
faptul
cd fo(ete
care
actioneaze
asupra
unui
solid
rigid
au
caracter
de
vector
alunecdtor'
pentru
obtinerea
unor sisteme
de
fo(e echivalente
se aplicd
urmdtoarele
operalii
numite operatii
elementare
de echivalenld:
a) Se
poate
deplasa
punctul
de
aplicalie al
fortei
pe propriul
ei
suport;
b) Se
pot
introduce
sau Se
pot
suprima
in acelagi
punct
doud
forte avdnd
acelagi
suport,
acelasi
modul
dar
sensuri
opuse;
c) Se
pot
inlocui
mai
multe
fo(e
concurente cu rezultanta
lor;
d)
se
poate
descompune
o fo(d dupd
doud
sau
trei direclii
concurente.
4.2.1. REDUCEREA
UNEI
FORTE
INTR-UN
PUNCT
AL
UNUI
SOLID
RIGID
Se considerd
solidul
rigid
(S)
actionat
in
punctul A
de o
forld F
(fig.4.12.a).
Se
cere
sd se
determine
efectul
mecanic
exercitat
de fortp
F
avdnd
punctul
de aplicatie
in A
in
raport cu
un
punct
oarecare
O apartin6nd
solidului
rigid
(S),
sau
altfel
spus,
sd
se reducd
fo(a
F in
raport cu
punctul
O.
punctul
o
doud
fo(e egale
gi
de sens
contrar
care
au
suportul
(Al
)
//
(A)
9i
de
modulegalcu
alfortpi
F o"ta
(fig.4.12.b)-
Fo4a
F
cu
punctul
de aplicatie
in A
9i
fo(a
-
F
cu
punctul
de
aplicalie
in O
formeazd
un cuplu
de
fo(e
al c6rui.moment
este:
lq
=oA*F=i"F=ilrtFl
(4.28)
Prin
urmare,
fo(a
data
F se
reduce
mecanic
echivalent
in r4port
cu
punctul
O arbitrar
ales, apartjnAnd
solidului
rigid
(S),
la
doud
elemente
vectoriale
care
constau
dintr-o
fo(d
F egald,
paraleld
9i
de
acelagi
sens
cu
fo(a datd
si un
moment
reprezentat
prin
momentul
fortpi date
in raport
cu
punctulO
(fig. 4.12.c).
,
)rr1t
a)
b)
c)
Fi1.4.12
Ansamblul celor doud elemente
mecanice
vectoriale
F
9i
Mo
aplicate
in
O se
numegte
torsor de
reducere
in
raport
cu
punctul
O al
fo(ei
F aplicatd
(4.23',)
(4.27\
F3
-l
-E
, Er
-
r1"I-r2
-->
rz
Fig. 4.11
in A
9i
se
noteazd
simbolic:
IF
t^{-
-lMo=?xF=oAxF
(4.2s\
Se
menlioneazd
d
momentul
cuplului
a
fost
notat cu
indice,
degi
este
un
vector
liber, deoarece
punctul
in care
s-a
fdcut reducerea
determind
elementele
cuplului
(planul
cuplului,
bralul
cuplului,
modulul
cuplului,
sensul
cuplului).
18
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
20/71
f
t
[
il
il
il
f
[
il [ if f rr
-
-
Mrrrnlcu
l}
Slatlrt
;".-t"t"mul
Ee
tbrte
c"ncursnt'o
9l
sistenrut
Oe
punctalsoliduluirigicldeofo4ecareactioneazdintr-unaltpunctalsolidului
rigid.
Torsoruldereducerereprezintdcelmaisimplusistemdefo(e.A9adar'
prin
reducerea
unui
sistem
de
fo(e
oarecare
se
intelege
inlocuirea
sistemului
de
fortp
cu
torsorul
sdu.
Dacdsefacereducereafo(eiintr-unaltpunctalsoliduluirigid,de
exemplu
O'(fig
4-12.b),
torsorul
de
ieducere
care se obtine va
fi:
Se
?eOuc
in
raport
cu
O
sistomul
de
forte
vectorimomentconcurentirezultAndelementeletorsoru]uidereducereal
sistemului
de forte
dat;ianume:
n_
R=E+Fr+..'*Fn=IFi
l=1
Mo
=Mo'
+Mo,
+"'+Mo.
=
iMo,
=
it-t:
"El
(4.33)
(4.34)
fF
"
imo,,r,
=
rvro
(F) +
6o,.
F
(4.31)
4.2.2.
REDUCEREA
UNUI
slsTEM
pE-FORTE INTR-UN
PUNCT
AL
UNUI SOLID
RIGID
(4.32)
Seconsiderdunsolidrigid(S)aclionatinpuncteleAr'Az'"''A'de
fortpte
E,E,.--,(
(fig.
a'13'a)'
Se
cere
sd
se
determine
efectul
mecanic
produsdeacestefo(eintr-unpunctoarecareoapartindndsoliduluirigid,sau
altfelspusseceresdsereducdsistemuldefortedatinraportcupunctulo
aparlinAnd
solidului
rigid.
Adoptdm
in
puictul
o
un
sistem
de
referintS
convenabil
ales
oryz
9i
reducem
pe
rand
toate
fortele
sistemului
in
raport
cu
punctul
o
ob$n6ndu-se
in
acest
punct
(fig.4.13'b)
un
sistem
de
"n"
forte
concurente
F"F""''F'
(echipolentecuforteledate)giunsistemde'n"vectorimomentconcurenli
lrr.
tE
l,
l,l.
tE
),...,
lrto
(
r"
),
care au expresiile
:
b)
a)
Mo
tE
t
=
r,r-01
=6Tl
*Fl
=
q
"Fl
Mo(Fr)
=M-0,
=6f2
,F
"--ir'F,
rvro(E)
=Mon
=iln
t
F.
=
r"
h
unde
ir,ir,..-,in
sunt
vectorii
de
pozilie
in
raport
cu
punctul
O
ai
fo(elor
initiale.
Fig.4.13
Sistemulmecanicastfeloblinut(fig.4.13.c)formatdinelementelevectoriale
sistemul
de
fo(a
dat
9i
se
numegte
re
,
dat
in
raPort
cu
Punctul
O'
notat
simbolic:
(4.35)
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
21/71
Expresia
analiticd
a
rezultantei
este:
R-
=
Rri+
Rri+
RrE
Expresia
analiticd
a
vec{orului
moment
rezultant
va fi:
(4.3e)
(4.40)
Mo
:
M,i+
Mri+
M.k=
if,
"
El
i=1
,,li
I
k
Mri +
Mri
+
Mrk
=
)l*'
Yi
zi
'oltn
Fiy
Fiat
(4.41)
Dezvoltdnd determinantul
dupi
i,J,k
giegal6nd
membrul
stAng
cu
membrul
drept
dupd
i,j,F oblinem:
n
M,
:
I(YiFi,
-ziFiv)
i=1
n
u,
=
i(z,Fn
-x;F2)
@'42)
i=t
n
M.
=
I(xrFry
-YrFn
)
i='l
Modulul
vectorului
moment
rezultant
va fi:
Fig'
4'14
Fdc6nd
reducerea
in
raport
cu
polul
O'
vectorul
moment
Mo. care
are
expresia:
n-
Mo,
=
)iix
F,
Fig.4.15
obtinem
aceeagi
rezultantd
F
si
(4.46)
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
22/71
rI lr
l
l
I
Mecanica
tl
Statica
dar:
-ri'=
O'O
+-ri
/4 47)
inlocuind relatia
$.afi
in
rela,tia
(a.a6)
9i
efectudnd calculul
ob{inem:
Mccanicn
+
Stltica
Mo,=Mo=M
(4.58)
6)
Locul
geometric
al
punctelor
de
reducere
in
raport cu
€re
momentul
rezultant
rdmine
neschimbat
cand
R +
0 sunt
drepte
paralele
cu
rezultanta'
Din relalia
(4.44)
pentru
ca
-tvto
=
M-o' este necesar
ca:
I
I
n
-
n
fr-- \
-l
n
r--
-\
1l
r
-\
o,
=
I
t''
F,
=
I
[(o'o
+ rr
l"
Fr
l=
|
(o'o><
r,
J
*
I
(:r,
"
r,
J
n_n,_
Mo,:Ir,x[+O'OxlI
i=1 i=1
-tt.,
:
-;4
+
65'
n
(4.48)
(4.4e)
(4.50)
3) Produsul
scalar dintre vectorul rezultant
R
gi
vectorul
moment
rezultanl
Mo
este o mdrime
constantd
gi
se numegte trinom invariant.
Se
inmultegte
relalia
(4.44)
scalar cu
R-.
Vom
avea:
rq,
.R-:
(rq + oo,. R).R
-Mo,
.
R-
:
lro
.
n
*
po"
R). R
dar:
-_\_
O'O" RJ.R
=
0
obtinem:
-[ttr, .R-=
-ltito
.R
=
cst.
(4.54)
Dacd
scriem
n
$
nto in functie
de
componentele
lor
scalare fatd de un
sistem de
referintd
avem:
R-
=
R,l
+
Rri + R.k (4.55)
t,to
:
il,l
+
M"l
+
M.k (4.56)
tt4o
.R
:
R
._Mo
:
RrM,
+
RrM,
+R.M.
=
6s1. (4.57)
Dupd
cum vedem
membrul drept
al
relaliei
(4.57)
este compus din
trei
termeni
ceea
ce
justificd
denumirea
de
trinom invariant.
Trinomul
invariant
se mai numeste
si scalarul
torsorului
sistemului
de
forte
dat.
4)
Daca torsorul de
reducere
al sistemului
de
fortp dat fa 6
de
un punct
este
nul
atunci
el
este
nul in raport
cu orice alt
punct
de reducere. Din relatia
(4-44)
dacd
R
=O;
Mo
=0
rezulti
d
l%,
=0.
Un
asemenea
sistem de
fortp
@rc are
torsorul
nul nu
produce
nici un
efect mecanic
asupra
solidului
rigid
asupra cdruia actioneazi,
solidul
rigid
fiind in
echilibru.
5) Dacd
n:O;
Mo
*0,
vectorul moment rezultant
al sistemului de
forte
dat
este
un invariant fald
de
polul
de
reduc,ere
si
are caracter de
vector liber. Din
relatia (4.
Qdacd
R=0 rezultd:
(4.5e)
7)
Proiectia
momentului
rezultant
Mo
pe
suportul
rezultantei
R
este
constantd
oricare
ar
fi
pozilia
polului
de
reducere
(fig'
a.15).
(4.60)
(4.61)
(4.62)
l4=m**lv\u
unde:
il*
-
este componenta
dupd directia
rezultantei
R;
in
aceste
relatii
Me
este proiectia
vectorului
14
p"
suportul
rezultantei
R,
iar
u*
este
versorul
rezultantei.
4.2.2.2. TORSOR
MINIMAL.
AXA
CENTRALA
Dupd
cum
s-a
observat
prin
reducerea
unui
sistem
de
forte intr-un
punct
se obline
o
fo(d
rezultantd
R
gi
un moment
rezultant
4
""
inchid intre
direcliile
lor
un unghi
"a"
(fig.4.16).
Dacd o=0
sau
o=r vectorulrezultant
R
givectorul
moment
rezultant
-lrrlo
sunt
coliniari.
in acest
caz
torsorul de
reducere
poartd
denumirea
de
torsor
minimal sau
rdsucitor.
Denumirea
lui
este
legatd
de
migcarea
pe
€re
o
imprima corpului
un
asemenea
torsor
(translatie
in lungul suportului
rezultantei
9i
rotalie
datd de
momentul
rezultant in
jurul
axului
comun),
asemenea
cu
migcarea
unui
gurub.
Locul
geometric
al
punctelor
de
reducere
in
raport cu
care
un sistem
de
fo(e oarecare
se
reduce
la
un
torsor
minimal, se
numeste
axd centald.
Descompunem
vectorul
moment
rezultant
astfel:
(4.51)
(4.52)
(4.53)
Prp(Mo)
=
Mo cosa
=
MR
Mn
=
Mo coscr,
=
-14
.U-
=
yb
I
M^
.R
M._
U
-
^R
MrR, +MrR,
+MrR.
{ffi
=
cst.
(4.63)
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
23/71
.
L
f
I
L
I
I
T
T
I
I
I
I
I
I
T
T
T
I
I
Mecanica
*
Statica
Mecanica
rr
Statics
m
_
*t"
".,"p"*^ta-dupe
o
direclie
perpendiculard
la
R
gicuprinsd
in
planul
determinat
de
Mo
9i
R.
Se
constatd
cd
modificdrile
veotorului
n,lo
."
datoresc
numai
componentei
fr*
(O"o"r.ce
ilR
este
un invariant). Din
relatia
(4.63)
se
observd
c6
valoarea
minimd
a
vectorului
ilo
se
obline
atunci
c€nd
M*
=
0
'
adic6:
(4.64)
llr"
--
etutlth)
=
mo
cosc
=
Mo
'E*
(4.66)
(4.67)
(4.68
Mmin
=
Mo
'uR
=
mo'F
fro.F
-
.,n
=Mrnin'IR
=T-'u*
Fig'
4.16
in acest
caz
momentul
minim
este
coliniar
cu
rezultanta
F.
Torsorul
n
Ei
ll.*
se
numegte
torsor
minimal
si
simbolic
are
expresia:
ln
=;E
+
-l
'''"
l-n'b
:
M'"
alcdtuit
din
(4.65)
Agadar:
[F='E
"'t-*"=E'uo*
Itlo
=
Lh
=il..in
P(x,Y,z)
Fi1.4.17
(4.6e)
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
24/71
r
r
r r
r
I I
I
-
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I I
I
Mecanica
+
Statica
Iltccanica
*
Statica
Pentru
a determina
axa
centrald
presupunem
ca
punct
de
pe
axa centrale
si
indeplineste conditia:
wt"
=f
'n
punctul
C
(fiS.
4.17)
este un
Notand:
R.7
R2
l
(4.70)
rezultanta
R
(4.71\
(4.85)
(4.87)
F,
dreapta
(4.e0)
(4.e1)
(4.s2)
unde
fr este un scalar
arbitrar, adicd
momentul
din
punctul
C
si
sunt
coliniari. in
acest
caz
putem scrie:
nrltl"
=tt4"n:O
ln
baza relatiei (4.44)
putem
scrie:
t%=l't+cO*R
CO=-OC=-r
-t%
=-tttt
-ixR
MultiplicSm
relatia
(4.74)
veclorial
la
st6nga cu
R-. Vom
avea:
R^Mc
-R^Mo-R*(i*R;
in baza
relatiei(4.71)
avem:
Rt tt4o
-Rx(7tR;
=9
Descompunem dublul produs
vectorialfolosind
relatia lui
Gibbs:
R"
Mo
-(R.R).r-(R.a).Rl
=
0
nrttlo+(n.D.R-R2.r=O
Relatia
(4.78)
este
o
ecuatie vectoriala
de
gradul
intdi
care
aratd
geometric
al
extremitdlii vectorului F
este
o dreaptd. Fie
Codefinit de
punct particular
al
acestei drepte care
satisface
conditia:
n
to=O
(R1to)
Astfel relatia
(4.78)
devine:
n.mo
-R'.%:0
Scddem relatia
(4.80)
din relatia
(a.78)
9i
obtinem:
Rl
*t,
+1n.11.R-n2.i-(R"
M0
-R'.h)=o
1n.4.n-R2.(F-Fo)=o
R.i=
Rt
n=r-l'o
obtinem:
:
(4.g6)
F:io
+
LrR
Relatia(4.86)reprezintaecuatiavectorialdaaxeicentrale.seobservacdaxa
centraldesteodreaptdparaleldcurezultantaR,dreaptdsituatdladistanlaro
de
polul O.
Din
relalia
(4-80)rezultd:
lR"Mrl
R.Mosino
Mosincr
'o
--R2
R2
R
Putem
afirma
cd
axa
centrald
este
o
dreaptd
paraleli cu
rezultanta
situatd
ta
distanla
,o:"0tn"
de
potut o,
distanla
mdsuratd
perpendicular
pe
planul vectorilor
F
9i
Mo
in
sensul
produsului
vectorial
n
"
l4
pentru a
obtine
ecualia
axei centrale
sub
formd
analiticd
considerdm
un
punct
curent
P(x,y,z)
apartindnd
axei
centrale'
in acest
punct
momentul
are expresia:
--
-
Mr'--
M;
-
oP,
n
(4'BB)
Ir
j
rl
FG
=I,I+M,l+M.k-l'
-'I
(4'8e)
'
lRx
Ry
P,l
(4.72)
(4.73)
(4.74)
(4.75)
(4.76)
(4.77)
(4.78)
cd
locul
f
:ro
UII
(4,7e)
(4.80)
(4.81)
(4.82)
(4.83)
(4.84)
tl,
=
tt'lr -
(yR.
-
zR,
)li
+
[Mv -
(zR'
-
xR.
)lj
+
r
[M,
-
(xRv
-
YR'
)lk
Scriem
condilia
ca
fit"
9i
F sd
fie
coliniari'
Vom
avea:
M*
=Mt'=M"tRx Ry
'Rz
Asadar:
M'
-(YR.
-zRy)
-
Mr
ltR'41-
Itlt'
-(xR,
-YR')
R,
Ry
Rz
r:Hu..
Reralia
(4.e21
reprezint6
ecua.til
JL"il*o':
i:1".1':^::^:"^T::':,iltj:::i
#i[.':""1;";il;.
r^
,Jlri"
t+.e2)
x,
y,
z sunt'coordonatere
unui
punct
curent
al
axei
centrale,
iar
R,
,R,
,&
gi
M*
M'
M.
se
calculeazd
cu
rela{iile
cunoscute.
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
25/71
frftftfrf
rf
rI
f
f
f
I
I
Mecanica
*
Statica
Prin
reducerea
unui
sistem
de
fo(e dat
in raport
cu
un
punct
oarecare
al
solidului
rigid
se
poate
obtine
unul
din
urmdtoarele
cazuri:
lI
rI'tI'tI
tI
rI
l-
l-
-'
Mecanica
+
Staticr
c) Gazul
3
[n*o
'ot*
=
o
(4'e6)
Daca
R-
+ O
9i
Mo
=
0 sistemul
de
fo(e dat este
echivalent cu
o rezultantd
unicd
R- care are
ca
suport
axa
centrald,
axd ce
trece
prin punctul(polul)
O.
d) Gazul
4
ln+o
"'t-*
*o
(4'e7)
Dacd R-+0
9i
Mo+0,
pot
fi
deosebite
doud
erzudr in funclie
de invariantul
scalar
R-.[4-o
astfel:
a)
b)
Fig.4.'19
1) R.Mo
=O
adicd Ff
U-0.
Cand
R
.Mo
=
0 sistemul
este echivalent
cu
o
rezultantd unicd
R
in
raport
cu
punctele
axei centrale, axd
ce nu
trece
prin pol.
ln acest caz
(fig.
4.19) axa
centrald este
situatd intr-un
plan
[P]
perpendicular
pe
vectorul fro,
plan
ce
trece
M^
prin punctul
O.
Axa
centrald
este
plasatd
la
distanta
d:
R
de
punctul
O,
distanli mdsurati
in
sensul
produsului
vectorial n
*
lq.
(4.s3)
Dacd
F=O
Ei
l4
=0,
sistemulde
fo(e
este
echivalent
cu
zero,
sau altfel
spus
solidul
rigid
asupra
cdruia
actioneazd
sistemul
de forle
este
in echilibru'
b) Gazul
2
(4.e4)
Fig.4.1B
Dacd
R
=
O
Ei
l4
+ 0 sistemul
de
fortp
este
echivalent
cu un
cuplu
de
forte
1F,-F,01
situat
intr-un
plan
[P]
perpendicular
pe
suportul
vectorului
-\,
cuplu
ce
creazd
un
moment
ce
are aceeasi
mdrime,
aceeagi
directie
9i
acelagi
sens
cu
momentul
lvto
(ng. +.tg).
Agadar:
Mo
=
F'd
(4.ss)
l*)
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
26/71
I
t r r t r I r r r il-l-l-il--t--il--il -
Mecanicr
+
Statica
Mecrnica
+
Staticf,
2)
R.Mo+0
sistemul
de
fo(e
dat
este
echivalent
cu
un
torsor
minimal
(rdsucitor)
avand
ca
suport
axa
centrale
(fig.
4.20)'
Fig.4.20
Este
cazul
cel
mai
general
de
reducere
a unui
sistem
de
fo(e
dat'
in acest
caz
axa centrala
este
o dreaptd
paraleld
cu
suportul
rezultantei
R
plasatd la
M^ sinq
--
-,^-..r
distanla
o
=
*to
il""
,
distant5
mdsuratd
perpendicular
pe planul
vectorilor
R
9i
Mo in sensul
produsului
vectorial
n
"
nno.
Reducerea
sistemelor
de
fo(e
prezentate
pentru
cazul
general
are
elemente
specifice
si este
mult
mai simptd
pentru
cazurile
particulare
ale
fortelor
coplanare
9i
forlelor
Paralele.
4.3.1.1.
REDUCEREA
STSTEMELOR DE FORTE
COPLANARE PE
CALE ANALITIC'
Se consider5 sistemul
de
forle coplanare
E,E,...,F"
care actioneaz
asupra
suprafetei materiale
[P]
in
punctele
A1,A2,...,A,,. Se cere
se se
reduc
sistemul
de
forte
dat
in raport
cu
punctul
O
apartindnd
pldcii
tPl.
in
acest
scol
atagdm
in
punctul
O sistemul
de referinld Oxyz de
versori
i,j,F
astfel
orienta
inc6t
planul
Oxy
sd
coincidd cu
placa
tPl
(ng.
4.21).
Fig.4.2'l
Particularizind
rezultatele oblinute
la
cazul
general
al
fo(elor spaliale
tratate
ir
capitolulanterior, fdcdnd
Fi,
=0
9i
z,
=0
adicd:
b)
)
E
=Fo'I*r,r'j
fi
=Xt'l+Yi'J
(4.e8)
(4.ee)
si redu€nd sistemul de fortp
in
raport
cu
punctul
O, se
obline o rezultantd
R
definitd de expresia:
n_
n
_
n
_
R
:
I
Fi
:
(IF-,
)i
+
(lFry)l
(4.100)
i=l i=1
i=l
situatd
in
planul
fortplor
si
un moment rezultant
Mo
definit de
expresia:
M^
sina
d---
\
A,(x,,y,,0)
Problema
poate
fi solutionatd
pe
cale
analitic6
sau
pe
cale
graficd.
25
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
27/71
'-il[
rrrrr rrrttrttr
Mecanica
*
Statica
(4.101)
perpendicular
pe planul fo(elor deoarece momentul fiecdrei fo(e
in
raport cu
punctul
O
este
un vec'tor
perpendicular pe planul Oxy.
Asadar:
Mo
=
M.
'k
(4.102)
Torsorul
de
reducere
va fi:
[n=n,.i+Rr.i
t^{-
'
-
(4.103)
"Lnt=u".r
unde:
nnn
R,
:
lF;.;
Rr
:
)F1r;
M.
:
l(x;F;,
-
YiFi* )
(4.1C/.)
i=t
i=1
i=l
Fald
de un
punct
G(x,y,O) apa(indnd axei centrale
sistemul de forle
coplanare se reduce la
o
rezultanti
unicd
R-
deoarece momentul minim este nul
pentru
ca
llo
f n
.
Exprimdnd
analitic
elementele torsorului de reducere in
raport cu
originea
O a sistemului cartezian
Oxfz giav6nd
in
vedere d
R.
=0;
Mr:0;
Mv
=0,
ecualiile axei centrale
(4.92)
devin:
=*,
=
-zR,
=
M.
-(xR, -VRr)
RrRy0
sau:
M--(xRr-YR')=0
9i
z=0
ceea ce
reprezintd
o
dreaptd
in
planul
forlelor
Oxy
care
coordonate in
punctele:
nt9.o.ot
'Rv'
'
ero.-L.or
'
Ry.-
Axa
centrald
este
o
dreaptd
paralel6
cu rezultanta
dup6 cum aratd coeficientul
unghiular:
=
i*r
=
il"
J
il
=
ieo,
-v,F,.)
k
i-1
'=tlto
Fry
ol
i='
Prin
sistem
de
forte
paralele
se intelege
sistemul
alcdtuit
din forte care
au
directia
comund.
Reducerea
sistemelor
de
fo(e
paralele
se
poate
face
analitic
sau
grafic.
4.3.2..I.
REDUCEREA
SISTEMELOR
DE FORTE PARALELE
PE
CALE
ANALITCA
Se
considerd
un
sistem de
forte
paralele
E
,
E
,...,
E
ce actioneazd
asupra
unui
solid rigid,
fortele
fiind
paralele
cu directia
(A
)
de versor
u
.
se
cere sd
se
reducd
acest
sistem
de
fo(e in
raport cu
un
punct
oarecare
o
apartinand
solidului
rigid.
in
acest
scop
atasdm
in
punctul
o
sistemul de referinti
oxyz
(fis.
a.2e).
O
fortd
oarec€lre
a
sistemului
F,
se
poate
exprima
prin
relatia:
F,=F,'u
unde
F;
este
scalarulfo(ei.
(4.126)
CAnd F,
>
0 forla
are
acelasi
sens
cu
versorul
r',
iar
c6nd F,
<
0
forta
are
sens
opus
versorului
E.
Efectu6nd
reducerea
sistemului
de
fo(e in
raport
c-u
punctut
o
se
ouline
un
torsor
format
din vectorul
rezultant
R
avAnd
directia
comund
cu a
fortelor
date
si
un
vector
moment
rezultant
fro
Oenn4i
de relaliile:
(4.127)
-
Rezultanta
R
a sistemului
de
forte
are
aceeasi
directie
cu fortple
date,
iar
mdrimea
sa
este
datd
de
suma
atgeoricd
a
scalarilor
tuturor
fortelor
sistemului;
-
Momentul
rezultant
-lVlo
este
un
vector
perpendicular
pe
fiecare
din
fortele
^sistemului,
fiind:gadar perpendicurar
pe
versorur
u
si
pe
rezurtanta
R-.
intruc6t
lrt,
J-
n
se
deduce
cd
trinomul
invariant
este nul
(n
.fvfo
=
O).
Mo
(4.105)
(4.106)
taie axele
de
(4.1o7)
(4.108)
(-
n_
n
n
lR
=
tq
=
IFi
.u
=
uIF,
-
)
il
i=l
i-l
Ol_
n
_
n
n
I
Mo
=
Ir,'Fi
=
It'Fi.u
=
IG
.Fi)"
u
I
i-r
i=1
i=l
Ry
Rx
tgu
=
(4.10s)
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
28/71
M'
=I(yiFa
-zfiyl
M,
=i(=,Fn
-xiFr)
M.
=l1x,r"
-yiFi,)
(4.131)
Dacd
se
arege
sistemur
de
referin,ta
oxyz
in
asa
fer
in€t
axa
oz
sd
fie
aralerd
cu
directia
comund
a fortpror,
atunci
vectorur
rezurtant
R
va
fi
pararel
cu
axa
oz,
iar
vectorur
moment
rezurtant
ttro
u"
t
"*rili';
pranur
oxy.
Proiectiire
vectorutui
rezurtant
R-
gi
a vectorurui
moment
rezurtant
4
p"
axele
sistemului
de
coordonate
in
acest
caz
vor
fi:
Fi1.4.29
Rezultanta
R-
a
sistemuluide
forte
are
urmdtoarea
expresie
analiticd:
R
=
Rri+
Rrl+
R.F
Proiecliile
vectorului
rezultant
R-
pe
axele
sistemului
oxlz
ales
vor fi:
n
R,
=
IFL
i=1
n
Rr
:
IFi"
i=l
'
n.
=
lro
F-l
Vectorul
moment
rezurtant
nlio
are
urmdtoarea
expresie
analiticd:
t-
n
_
"li
j
kl
Mo=IttE=Ilxi
Vi
=,1
=1
=tlrn
Fiy
rol
Proiec$ile
vectorurui
moment
rezurtant
Mo
p"
axere
sistemurui
o4z
ares
vor
I
fi:
,v,,,e,,r
re.urra'r
tytg
pU
axete
SlSIemUlUl
g).r_
q,vs
yvr
I
Zl
]
(4.132)
(4.12e)
n
M,
=Iy,Fi
i=1
(4.129)
n
M,
=-)x,F,
(4.133)
-
i=t
Mt =0
(4.130)
n
R,
=
)Fn
:0
i=l
n
R,
=
IF,"
=0
i=l
'
nn
R.
=IFi,:tF,
i:'t i:l
-
8/17/2019 IV Mecanica Statica
29/71
II',At
Mccanica
+
Statica
n_
Mo
=IMi
i=1
(4.164)
unde
cu
wt, t-"
notat
momentul
cuplului
(E,-E,d,).
se
observa
cd momentul
rezultant
al
sistemului
de
cupluri
este
un
invariant
(vector liber)
deoarece
fiecare
vector
moment
M, este
invariant
fatd
de
polul
de
reducere.
Modulul
momentului
rezultant al
sistemului
de cupluri
se
poate
calcula
cu
relatia:
(4.165)
Considerdnd
un
cuplu
(F,-F,d)
plasat
intr-un
plan
peipendicular
pe
vectorul
ItIo,
acesta
Tnlocuieste mecanic
echivalent
momentul
rezultant
fr'o
dacd
momentul
sdu
este egal
cu
Mo in
sens
si
modul,
deci
dacd:
F.d
=
Mo
(4.166)
Din cele expuse
rezultd
ci
un sistem
de
cupluri
situate
in
plane
diferite
poate
fi
inlocuit
cu
un
cuplu
unic
numit
si cuplu
rezultant.
La reducerea
sistemelor
de
cupluri
se
poate
intalni
9i
cazul
c6nd
-14
=
O.
Un
asemenea
sistem
de cupluri
este
echivalent
cu
un torsor
nul deci
este
in
echilibru.
lnteracliunile
mecanice
pot
fi
considerate
ca.forte
concentrate
numai
in
cazul
in
care
domeniul
de
transmitere
al
fortei este
foarte
mic sau
practic
neglijabil.
Dacd
cel
pulin
una dintre cele
trei dimensiuni
ale
regiunii
unde
este
transmisd
forta nu
poate
fi
neglijatd, sarcina
se numegte
"distribuitd"
sau
continue.
Putem
avea agadar
distribulii
de sarcind
liniard,
superficiald