0

IV ) ÖZEL STATİK ÇÖZÜMLER

A. SO(3) SİMETRİSİ

B. SO(2) SİMETRİSİ

C. TEKRAR SO(3)

D. ÇOK-KUTUP AÇILIMI

E. MOMENTUM UZAYINDA ELEKTROSTATİK

F. DİPOL-DİPOL ETKİLEŞMELERİ

1

A) SO(3) SİMETRİSİ

Merkezden geçen herhangi bir eksen etrafındaki dönmelerde aynı kalan durumlar SO(3)

simetrisine sahiptir. Tarihsel olarak önemli bir örnek : M kütlesinin düzgün dağıldığı

R yarıçaplı bir küresel kabuğun kütle çekim alanının 17. Yüzyılda Newton tarafından

hesaplanmasıdır. Bu problemin elektrostatiğe yansıması, Potansiyel fonksiyonu düzeyinde

1 1

, 4 4

iç dış

o o

Q QV r V r

R r olur. r r sağlayarak

SO(3) simetrisine sahip yük dağılımlarının iç içe geçmiş, eş merkezli kabuklardan oluştuğu

yaklaşımı ve 2 4 dQ r dr r tanımıyla

0

1 1 1

4 4

r

ro o

dQV r dQ

r r

sonucuna varılır. Değişik bir yaklaşım da

Gauss yasası ile uzayın her yerinde E r ifadesini bulmak, sonra da

r

V r E r dr

kullanmaktır. 2

0

2

4 1

4

r

o

r dr rE r

r

r

V r dr E r

2

0

2

4 1

4

r

o

r dr rE r

r

2

2 0

1 4

4

r

ro

drV r r dr r

r

ifadesi

rr rf dg f g g df

parçalı integral metodu ile 2 2

0 4 4

r

f r dr r df r dr r

,

2

1

drdg g

r r

kullanarak

0

1 1

4

r

rro

dQV r dQ

r r

0

1 1 1

4 4

r

ro o

dQV r dQ

r r

tanıdık sonuca erişir.

Bu sonuç ileride üçüncü ve bambaşka bir yaklaşımla tekrar elde edilecektir.

2

B) SO(2) SİMETRİSİ

Merkezden geçen tek bir eksen etrafında dönmelerde aynı kalan yük dağılımları SO(2)

simetrisine sahip olurlar. Bu eksen z-ekseni olarak seçilir ve hesap kolaylığı açısından tüm

yük dağılımının sonlu yarıçaplı bir küre içinde yer aldığı, dolayısıyla bu kürenin dışında

Laplace denkleminin geçerli olacağı varsayılır. İlk akla gelen

2

2

1 , 0s V s z

s s s z

denklemi çıkmaz bir yoldur.

Doğru yaklaşım Laplace denklemini küresel koordinatlarda

2

2 2

1 1 sin , 0

sinr V r

r r r r

, cosw değişken

dönüşümü ve , V r R r W w kabul ederek çözmektir.

Yeni DD 2 2

2 2

1 1 1 0r w R W

r r r r w w

olarak yazılır ve

değişkenlere ayrıştırma sonucu 2 21 1 1

d dR d dWr w

R dr dr W dw dw elde edilir.

İleride anlaşılacak gerekçelerle iki taraf da 0 , 1 , 2 , ... olmak üzere 1

sabitine eşitlenir. 2 1 1 0d dW

w Wdw dw

Legendre DD'i olarak

adlandırılır ve fiziksel anlamlı çözümleri olan Legendre polinomları W P w ile

gösterilir. 2

2 1 , 1 , 0 , 1oF w F ile belirlenen bir

2 1 1 d dP

w Pdw dw

Sturm-Liouville Sistemi ürünü olan Legendre

polinomları 2 1

2

P w

olarak Tam ve Ortonormal bir fonksiyon küme'si

oluştururlar. Legendre polinomlarının matris cebiri kullanılarak hesaplanması problemler

arasında verilecektir. 2 , oF F çift fonksiyon oldukları için P w P w

3

yansıma özelliği geçerlidir. En önemli özellik 1 x için

2

0

1

1 2 P w x

w x x

oluşudur.

Bu özellikten 1 1P , 1 1P ve

: tek 0 0P ,

2 !: çift 0

2 ! !2 2

P

olduğu kolayca

görülür. Öteki DD : 2 1d dR

r Rdr dr

ise Euler DD 'idir ve 0r içermeyip

r içeren bir bölgede fiziksel anlamlı çözüm 1

1 : R

r olur. En genel çözüm

adayı

10

1,

4dış

o

P wV r w c

r

ifadesi, henüz c katsayıları

belirlenmediği için bir çözüm sayılmaz. Sonlu yarıçaplı küre içinde yer alan yük dağılımının

etkisi, dolaylı bir biçimde c katsayılarına yansıyacaktır. Bu katsayıları belirlemek için en

kestirme yol

10

1,

4dış

o

P wV r w c

r

ifadesini z-ekseninde, yani

1 , w r z özel hali için 1

0

1 1

4dış

o

V z cz

olarak yazmaktır.

dışV z 'nin geleneksel yollarla hesaplanması, 1

z 'nin kuvvetleri cinsinden MacLaurin

açılımının yapılması c katsayılarını belirler. Bir örnek olarak x-y düzleminde, Q

yükünün düzgün dağıldığı, merkezinden z-ekseni geçen, R yarıçaplı bir halkanın

z-ekseni boyunca potansiyeli 2 2

1

4 o

QV z

z R

olur; bu özel sonuç önce

12 2

2

1 1

4 o

Q RV z

z z

biçiminde yazılıp, sonra da

12 2 42

2 2 4

31 1 ...

2 8

R R R

z z z

kullanılarak

4

42

3 5

31 82 + ...

4 o

QRQRQ

V zz z z

bulunur. Böylece

2 4

1 2 3 4

3 , 0 , , 0 , , ...

2 8o

QR QRc Q c c c c olacaktır.

c katsayıları 2 -Kutup olarak adlandırılır. Yukarıdaki örnekte Monopol terimi : Q ,

Kuadrupol ( 4-Kutup ) terimi : 2

2

QR , 16-Kutup terimi :

43

8

QR olmaktadır.

c katsayıları bu şekilde saptandıktan sonra genel çözüm

10

1,

4dış

o

P wV r w c

r

olarak yazılır.

C) TEKRAR SO(3)

: ,Lr r r çiftinin büyük olanı , : ,Sr r r çiftinin küçük olanı ,

ˆ ˆ < 1 ; cos SL S

L

rx w r r

r tanımları ile

2 2 2

1 1 1

2 1 2L L S S Lr r r r r w r r w x x

bulunur.

2

0

1

1 2 P w x

w x x

özdeşliği kullanılarak

1

0

1

S

L

rP w

r r r

ara sonucuna ulaşılır. r r sağlayarak

SO(3) simetrisine sahip yük dağılımları için Potansiyel ifadesi

3 3

10

1 1

4 4

S

o o L

r rV r d r d r r P w

r r r

5

1

2

10 10

1

4

S

o L

rV r r dr r dw P w d

r

olarak açık yazılır.

2d ve 1 1

1 1 2 o odw P w dw P w P w

özdeşlikleri ile basitleşen bu ifade

2 2

10 00

1 1 1 S

o

o L o L

rV r r dr r r dr r

r r

2 2

0 0

1 1 1 1 1 1 1 + =

4 4

r r

r ro o o o

dQr dr r r dr r dQ

r r r r

çok tanıdık bir sonucun, üçüncü defa elde edilmesidir.

D) ÇOK-KUTUP AÇILIMI

Yük dağılımının yerel olduğu, R yarıçaplı bir küre dışında 0r sağlandığı

durumlarda r içeren tüm integrallerde 0 0

R

dr dr

dönüşümü

yapılabilir; bu da pratikte r r demektir.

Bundan yola çıkarak 1r

xr

tanımı ile önce

2 2 2

1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 r r r rr r r r r x r r x

bulunur; sonra da

2

0

1

1 2 P w x

w x x

özdeşliği ile

1

0

1ˆ ˆ

rP r r

r r r

ifadesi elde edilir. Detayları ileri düzeyde bir

matematik metodları kitabından bulunacak bir özdeşlik ( Küresel harmoniklerin toplanma

teoremi ) *

4ˆ ˆ ˆ ˆ

2 1m m

m

P r r Y r Y r

olmasını öngörür. Bunun

6

1

r r ifadesine, onun sonucunun da V r formülüne yerleştirilmesi sonucu elde

edilen *

3

10

ˆ ˆ 1

2 1

m m

mo

Y r Y r rV r d r r

r

bağıntısında 3 * ˆ m mq d r r r Y r , 2 -Kutup tanımlamaları yapılarak

1

0

ˆ1

2 1

mm

mo

Y rqV r

r

'Çok-Kutup' açılımına erişilir.

E) MOMENTUM UZAYINDA ELEKTROSTATİK

İki değişik merkez etrafında dağılmış iki madde dağılımının etkileşme potansiyel enerjisi

U r

, yoğunluklar 1 1

r , 2 2r ve maddenin nokta-nokta potansiyel

‘enerji’ ifadesi 1 2U r r r

kullanarak

3 3

1 1 1 2 2 2 1 2 U r d r r d r r U r r r

olarak yazılır.

Bunun bir ‘Çift Katlama’ integrali olduğu, yani üç tane Fourier dönüşümünün Ters Fourier

dönüşümü olduğu görülmektedir. Momentum uzayında

3

1 2 2 U k k k U k

olarak yazılan bu ilişki ‘Yapı Çarpanı’

3

2 2 F k k tanımı ile 1 2 U k F k F k U k

olarak

ifade edilir. Yapı çarpanlarının genel formülü 3 exp F k d r ik r r

,

7

* F k F k

sağlar ve SO(3) simetrisi altında

0

4 sin F k r dr kr r

k

biçimini alır. Coulomb etkileşmesi için

Hankel dönüşümü .. .. 2

o o

1 1 2 1 1

4 4U r U k

r k

verir.

Bu noktada önemli bir uyarı : { Ne , Nerede , Nasıl } bilgisinin gruplanması arzuya bağlıdır.

Bu notlarda { Ne – Nerede } Yapı Çarpanı içinde , { Nasıl } ise

U

içinde yer

alacaktır. Bundan dolayı

U

enerji değil de

2

Enerji

Yük boyutunda olacaktır, bunun

karışıklığa yol açmaması için özen gerekir. Bazı yük dağılımlarının Fourier dönüşümleri ile

elde edilen Yapı Çarpanlarının tablosu, jn(x) : küresel Bessel fonksiyonu olmak üzere

8

ile verilir. Coulomb etkileşme formülleri de

9

10

tablosu ile özetlenir. 'Özenerji' olarak adlandırılan alan enerjisi 0

2

öz

UU ise

genelde

2

3

2 2

1 1

4 4öz

o

F kU d k

k

, SO(3) simetrisi durumunda ise

2

0

1 1

4öz

o

U dk F k

ile verilir. Önemli bir uyarı: özenerji kavramı tek bir

noktasal elektrik yükünün kuantum mekaniksel dağılımı için geçerli değildir. Zira böyle bir

durumda yük 2

r ihtimal ile değişik noktalarda konuşlanır. Aynı anda iki ayrı

noktada bulunmadığına göre özenerji oluşmaz. Potansiyelin Fourier dönüşümü

2

1 2

4o

U k F kV k

kF k

ifadesinden yola çıkarak potansiyel

fonksiyonu için, genelde

3

2 2

1 1 exp

4 2o

F kV r d k ik r

k

,

SO(3) simetrisi durumunda ise • •0

1 2

4o

o

V r dk j kr F k

bulunur. Doğal olarak elektrik alanları da genelde

3

2 2

1 exp

4 2o

i d kE r k i k r F k

k

SO(3) simetrisi durumunda ise

1 0

1 2

4 o

E r k dk j k r F k

olacaklardır. Bu formüller sayesinde ilk bakışta dolambaçlı görülen, ancak internet integral

siteleri yardımı ile çok basite indirgenen bir metot kazanılmaktadır. Temelde trigonometrik

fonksiyonlardan oluşan küresel Bessel fonksiyonları doğal olarak integral tablolarında yer

almazlar. Bu tabloları kullanabilmek için

12

2

n nj x J x

x

11

özdeşliğinden yararlanılarak küresel Bessel fonksiyonlarından standart Bessel'lere geçiş

yapılır. İleri düzey tabloların en kapsamlı bölümlerinin Bessel bölümleri oluşu güven

kaynağıdır.

Eğitici bir örnek olarak :

Hidrojen atomu taban seviyesinin potansiyel fonksiyonunu hesaplamakta

F V V zinciri kullanarak

2 2

2 2

20 2 2

2 41 2

4 4

1 4

o

o

o

o o

k a

e k aV r dk j kr

k a

2 1 1 exp 4 o o

o

e rV ra r a

bulunur.

F) DİPOL-DİPOL ETKİLEŞMELERİ

İdeal bir p elektrik dipolü için 2

az noktasında Q , 2

az

noktasında Q olan bir yapıda 0 , , a Q Q a p limiti alınır.

Bu dipolün yapı çarpanı için 2 2

a ar Q x y z z

kullanarak F k i p k

bulunur. İki özdeş ve paralel elektrik dipolün etkileşme

potansiyel enerjisinin Fourier dönüşümü

2 21 2 1 2ˆ ˆ p cos4 4

o o

U k p k p k

ifadesini Legendre polinomları cinsinden ifade ederek

2

2

1 2 2 1 cos

4 3 3o

U k p P

ve

12

f r f k

1

cos P

r

22 cos

12 2

k Pi

2

3

cos 3

2

P

r

2 cos P

3

22 r 1

Fourier dönüşüm tablosunu kullanarak

2 2 2

3

1 3 cos

4 3o o

p pU r r

r

sonucuna erişilir.

Bu sonucun dipol büyüklüğü ve yönü açısından genelleştirilmiş hali, biraz daha karmaşık bir

hesapla ve küresel harmonikler kullanarak

1 2 1 2

1 23

ˆ ˆ 3 1 1

4 3o o

p p r p r pU r p p r

r

biçiminde bulunur. 4-Akım'ın sadece sıfırıncı bileşeninin Fourier dönüşümünü yapıp, Yapı

Çarpanı olarak adlandırmak, ancak J r vektörünü hiç hesaba katmamak relativite

mantığına ters düşer. Aslında 1

J rc

akım vektörünün de Fourier dönüşümü

hesaplanarak, Yapı Çarpanının vektör kısmı oluşturulur. İdeal bir magnetik dipol ,

x-y düzleminde, merkezinden z-ekseni geçen ve I akımı taşıyan, R yarıçaplı bir

halka için 2 0 , , R I R I limiti alınarak elde edilir. Bu yapının

akım yoğunluğunu

ˆ r R

J r I wR

olarak yazıp Fourier dönüşümünü

alarak F k i kc

elde edilir. Elektrik ve magnetik dipol yapı çarpanları

arasındaki benzerlik ve farklar ilginçtir. İki özdeş ve paralel magnetik dipolün etkileşme

potansiyel enerjisinin Fourier dönüşümü, baştaki eksi işareti Minkowski metriğinden

13

kaynaklanmak üzere

2 22 2ˆ ˆ sin4 4

o oU k k k

ile

verilir, Elektrik Magnetik geçişinde 2 2 2cos sin cos 1

oluşundan özel durum için

2

2 2

3

21 3 cos

4 3

o oU r rr

veya genelde

1 2 1 2

1 23

ˆ ˆ 3 2

4 3

o or r

U r rr

bulunur.

Bu etkileşmelerin 1 2

1

3o

p p r

ve 1 2

2

3

o r

terimleri

elektromagnetik teorinin en üstü kapalı geçilen ifadeleridir.

PROBLEMLER

P.1 ) R yarıçaplı bir kürede Q yükü ; 0Nr A r N ile dağılmış olsun.

A parametresini Q ve R cinsinden ifade edin. Önce Gauss yasası kullanarak E r ,

sonra da V r ifadelerini bulun. Sonuçlarınızı 0N , düzgün dağılım özel hali ile

karşılaştırarak kontrol edin.

14

P.2 ) Thomson Hidrojen atomu modeli R yarıçaplı bir kürede düzgün dağılmış bir Q

yükü ve merkezde noktasal bir Q yükü öngörür. Bu modelin E r ve V r

ifadelerini bulun.

P.3 ) Kuantum Mekaniksel Hidrojen atomu taban durumu, merkezde e yüklü noktasal

bir proton ve etrafında 3

2 exp oo

e rraa

bir elektron dağılımı öngörür.

Bu atomun E r ve V r ifadelerini bulun.

P.4 ) 0 3 Legendre polinomları : P w , 4-Boyutlu

3

oa

a

katsayı vektörü

ile temsil ediliyor. i) d

dw DO'ünün 4 4 matris temsilini bulun,

ii) 2

2

d

dw DO'ünün 4 4 matris temsilini bulun,

iii) 2

2

d

dw matris temsilinin

d

dw matris temsilinin karesi olduğunu gösterin,

iv) 2

2

2

dw

dw ve

dw

dw operatörlerinin matris temsillerini bulun,

v) 2

2

21 2

d dw w

dw dw Legendre DO'ünün matris temsilini bulun,

vi) Bu temsilin özdeğer ve özvektörlerini hesaplayın. Özdeğerlerin 1 , bunlara

karşılık gelen özvektörlerin de Legendre polinomları olduğunu gösterin.

P.5 ) Noktasal bir Q yükü z D noktasında yer alıyor.

15

i) r ifadesini sırası ile Kartezyen, Silindir ve Küresel koordinatlarda yazın,

ii) ( )V z ifadesini hesaplayın, iii) 2 -Kutup ifadelerini bulun 0 3 ,

iv) ,V r w potansiyelinin Çok-Kutup açılımını yapın.

P.6 ) Noktasal 9 , 5 , 4Q Q Q yükleri sırası ile , 0 , z a a noktalarında

yer alıyor.

i) r ifadesini sırası ile Kartezyen, Silindir ve Küresel koordinatlarda yazın,

ii) ( )V z ifadesini hesaplayın, iii) 2 -Kutup ifadelerini bulun 0 2 ,

iv) ,V r w potansiyelinin Çok-Kutup açılımını yapın.

v) Bu yaklaşımın 9 , 5 , 4 = 0 , 8 , 0 2.5 , 0 , 2.5 6.5 , 13 , 6.5

açılımına eşdeğer olduğunu, dolayısıyla Monopol : 8 Q , Dipol : 5 Q a ,

Kuadrupol : 213 Q a eşleştirmesini oluşturun.

P.7 ) Q yükü uzunluğunda bir çubuk üzerinde düzgün olarak dağılmış, çubuk da

z-ekseni üzerinde 2 2

z arasında yer alıyor.

i) Sadece U : Basamak ve : Delta fonksiyonlarını kullanarak r

ifadesini sırası ile Kartezyen, Silindir ve Küresel koordinatlarda yazın,

ii) ( )V z ifadesini hesaplayın, iii) 2 -Kutup ifadelerini bulun,

iv) ,V r w potansiyelinin Çok-Kutup açılımını yapın.

16

P.8 ) Q yükü uzunluğunda bir çubuk üzerinde düzgün olarak dağılmış, çubuk da

z-ekseni üzerinde 0 z arasında yer alıyor.

i) Sadece U : Basamak ve : Delta fonksiyonlarını kullanarak r

ifadesini sırası ile Kartezyen, Silindir ve Küresel koordinatlarda yazın,

ii) ( )V z ifadesini hesaplayın, iii) 2 -Kutup ifadelerini bulun,

iv) ,V r w potansiyelinin Çok-Kutup açılımını yapın.

P.9 ) Q yükü iç yarıçapı a , dış yarıçapı b olan halkada düzgün olarak dağılmış.

Halka x-y düzleminde ve merkezinden z-ekseni geçiyor.

i) Sadece U : Basamak ve : Delta fonksiyonlarını kullanarak r

ifadesini Silindir ve Küresel koordinatlarda yazın,

ii) ( )V z ifadesini hesaplayın, iii) 2 -Kutup ifadelerini bulun,

iv) ,V r w potansiyelinin Çok-Kutup açılımını yapın,

v) Sonuçları a b R : Çember özel durumunda değerlendirin,

vi) Sonuçları 0 , a b R : Disk özel durumunda değerlendirin,

P.10 ) Q yükü iç yarıçapı a , dış yarıçapı b olan halkada düzgün olarak

dağılmış. Halka x-y düzleminde ve merkezinden geçen z-ekseni etrafında o açısal hızı

ile dönüyor.

i) Sadece U : Basamak ve : Delta fonksiyonlarını kullanarak J r

ifadesini Silindir ve Küresel koordinatlarda yazın,

ii) Sonucu a b R : Çember özel durumunda değerlendirin,

iii) Sonucu 0 , a b R : Disk özel durumunda değerlendirin,

17

P.11 ) 1

ˆmY r

r ifadesinin Fourier dönüşümünün

22 ˆ 12

2

mk Y ki

olduğunu gösterin. Kısıtlamaları inceleyin.

İpucu : Rayleigh bağıntısı ( Bölüm I , Sayfa 10 ) & Gradshteyn-Ryzhik 6.561.17

P.12 ) 2

ˆ1

4 o

p rV r

r

potansiyelinin Fourier dönüşümünü hesaplayın.

P.13 ) Noktasal bir Q yükü ( , , )r a b c noktasında yer alıyor.

i) r ifadesini sırası ile Kartezyen, Silindir ve Küresel koordinatlarda yazın,

ii) mq Çok-Kutup ifadelerini bulun 0 2 ,

iii) V r potansiyelinin Çok-Kutup açılımını yapın.

P.14 ) Çok kutup tanımından yola çıkarak elektrik dipol'ün p dQ r integral

gösterimini ispatlayın. 'Kütle' merkezi kavramıyla ilişkilendirin. İçinde Q yükünün

düzgün dağıldığı R yarıçaplı, H yüksekliğindeki bir koni, ekseni z-ekseninde, sivri

ucu merkezde olmak üzere yerleştiriliyor. p elektrik dipol momentini hesaplayın.

P.15 ) Kenarları 2a olan bir kübün merkezine 4Q , 8 köşesinden 4 tanesine de

iki tane Q komşu olmayacak şekilde Q yükü yerleştiriliyor. Bu yapının iki karşılıklı

yüzeyin merkezlerinden geçen bir eksen üzerindeki potansiyel fonksiyonunu hesaplayın.

18

P.16 ) 1

0

ˆ1

2 1

mm

mo

Y rqV r

r

Çok-Kutup açılımının Fourier

dönüşümünü yaparak Momentum Uzayında V k ifadesinin Çok-Kutup açılımını bulun.

P.17 )

2

3 0

0

Fr

F

tanımı ile bir yük dağılımının Yapı Çarpanı ifadesinin

2 2

1 ... 6

r kF k Q

olarak açılabileceğini gösterin.

P.18 ) İçinde Q yükünün düzgün dağıldığı R yarıçaplı, H yüksekliğindeki

2 2

H Hz bir silindirin F k Yapı Çarpanı ifadesini hesaplayın.

Bu sonucun i) Disk , ii) Çubuk özel durumlarını bulun.

P.19 ) SO(2) simetrisine sahip bir ,s z yük dağılımının Yapı Çarpanı'nın

3 0

, 2 exp ,o zF k s ds J s dz ik z s z

olduğunu gösterin.

P.20 ) SO(2) simetrisine sahip bir ,s z yük dağılımı için

2 2 0

exp1 1, ,

4

z

o z z

o z

ik zV s z d J s dk F k

k

olduğunu

gösterin.

P.21 ) Q yükünün düzgün dağıldığı R yarıçaplı bir küresel kabuğun özenerjisini Yapı

Çarpanı yaklaşımı ile hesaplayın.

P.22 ) Q yükünün düzgün dağıldığı R yarıçaplı bir kürenin özenerjisini Yapı Çarpanı

yaklaşımı ile hesaplayın.

19

P.23 ) Hidrojen atomu taban durumu, merkezde e yüklü noktasal bir proton ve

etrafında 3

2 exp oo

e rraa

bir elektron dağılımı öngörür. Yapı Çarpanı

metoduyla proton-elektron etkileşme potansiyel enerjisini hesaplayın. Sonra da 2

UE

olmasını öngören Virial teoremini kullanarak Hidrojen atomunun taban enerjisini bulun.

P.24 ) Bir elektrik dipol'ün V r

skalar potansiyelini bulun, sonra E r

elektrik alanını hesaplayın.

P.25 ) Bir magnetik dipol'ün

A r

vektör potansiyelini bulun, sonra

B r

magnetik alanını hesaplayın.

P.26 ) Toplam kütlesi M , toplam yükü Q olan bir cisim sabit bir eksen etrafında

dönüyor. Kütle ve yük'ün benzer dağıldığını varsayarak magnetik moment ve açısal

momentum arasındaki 2

QL

M ilişkisini ispat edin.