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IX. INCERTIDUMBRE Y RIESGO1 En los capítulos precedentes hemos estudiado elecciones que tienen resultados perfectamente ciertos. Pero en la realidad, hay muchas decisiones económicas importantes que involucran un elemento riesgoso. En este capítulo será analizado el esquema formal para presentar tales situaciones. 1. Riesgo e incertidumbre El economista de la University of Chicago Frank Knight2 estableció una diferencia importante entre riesgo e incertidumbre:

La incertidumbre debe ser tomada en sentido literal como radicalmente distinta de la noción familiar de riesgo, noción de la cual nunca fue debidamente separada... El hecho esencial es que el “riesgo” implica en algunos casos una cantidad susceptible de medición, en tanto que en otros se trata de algo que no tiene tal carácter, y existen diferencias cruciales en los alcances de los fenómenos según que uno u otro esté presente... Veremos que la incertidumbre medible, propiamente llamada “riesgo” – que es el uso que daremos a este término – es tan enormemente diferente de un concepto no medible que efectivamente no se trata de incertidumbre para nada.” Aunque ambos términos son usados de distintas maneras entre el público, hay muchos especialistas de teoría de la decisión, estadística y otros campos cuantitativos que han definido a la incertidumbre y al riesgo en forma más específica. Hubbard3 define a ambos de la manera siguiente:

Frank H. Knight (1885-1972)

Incertidumbre: Ausencia de certeza, Un estado de conocimiento limitado en el cual es imposible describir en forma exacta un estado existente o un resultado futuro, con más de un resultado posible. Medición de la incertidumbre: Un conjunto de estados posibles o resultados con probabilidades asignadas a cada estado posible o resultado – incluyendo la aplicación de una función de densidad probabilística a variables continuas. Riesgo: Un estado de incertidumbre en el cual algunos resultados posibles tienen un efecto indeseado o implican una pérdida significativa. Medición del riesgo: Un conjunto de incertidumbres medidas donde algunos resultados posibles

1 V. Eugene Silberberg, The Structure of Economics: A Mathematical Analysis; Mark J. Machina and Lawrence E. Blume, “Risk” (to appear in The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Ed.); GonÇalo Fonseca, “The Theory of Risk Aversion”, en el site de la New School University; Stanford Encyclopedia of Philosophy, “The St. Petersburg Paradox”, Fall 2004; Russell Davidson, “Stochastic Dominance”, Mar. 2006; Wikipedia: “Uncertainty”, “Risk”, “Normal Distribution”, “Risk Aversion”; Hal R. Varian, Microeconomic Analysis (hay traducción al español); Richard A. Brealey and Stewart C. Myers, Principles of Corporate Finance, 4th ed., 1991 (hay traducción al español); Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston and Jerry R. Green, Microeconomic Theory, Oxford Univ. Press, 1995; Niklas Luhmann, 1996, “Modern Society Shocked by its Risks”; Bellemare, Marc F. and Zachary S. Brown, “On the (Mis)Use of Wealth as a Proxy for Risk Aversion”, Working Paper, Duke University, June 2008, SSRN; Michael Rothschild and Joseph Stiglitz, “Increasing Risk: I. A Definition”, Jour. of Ec. Theo., Vol. 3 N. 3, Sep. 1970 (Cowles Commission Foundation Paper 341a). Agradezco los comentarios a una versión previa formulados por el Dr Eduardo Fernández-Pol. 2 Knight, F.H. (1921) Risk, Uncertainty, and Profit. Boston, MA: Hart, Schaffner & Marx; Houghton Mifflin Company. 3 Douglas Hubbard "How to Measure Anything: Finding the Value of Intangibles in Business", John Wiley & Sons, 2007.

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son pérdidas, y la magnitud de estas pérdidas – esto incluye también funciones de pérdida definidas sobre variables continuas. Hay también otras taxonomías de incertidumbres y decisiones que incluyen un sentido más amplio de la incertidumbre y de cómo debería aproximarse uno a tratarla desde una perspectiva ética4. Por ejemplo, si desconocemos si mañana lloverá, estamos en un estado de incertidumbre. Si aplicamos probabilidades a los resultados posibles utilizando pronósticos meteorológicos o una evaluación de probabilidad calibrada, se ha cuantificado la incertidumbre. Supongan ahora que cuantifican su incertidumbre como una probabilidad de 90% de sol brillante. Si están planeando salir de paseo al campo mañana tendrán riesgo, ya que hay una probabilidad de 10% de que llueva y la lluvia es indeseable. Más aún, si se tratara de un negocio comercial y ustedes perdieran $100,000 si llueve, entonces han cuantificado el riesgo (un 10% de probabilidad de perder $100,000). Pueden hacer más realista el ejemplo cuantificando la probabilidad de una llovizna vs. chaparrones, el costo de retrasar la partida vs. cancelarla directamente, etc. Otros representan al riesgo como una “pérdida esperada de oportunidad” (PEO) igual a la probabilidad de la pérdida multiplicada por el monto de la misma (10%x$100,000 = $10,000). Esto es de utilidad en caso de que el organizador del evento sea “neutro al riesgo”, lo que no sucede en la mayoría de los casos. Mucha gente estaría dispuesta a pagar una prima a fin de evitar la pérdida. Por ejemplo, una compañía de seguros computaría una PEO como un monto mínimo para cualquier cobertura, y luego agregaría sus costos operativos y beneficio. Como mucha gente está dispuesta a comprar seguro por diversas razones, luego está claro que la PEO por sí misma no es el valor percibido por evitar el riesgo. Los usos cuantitativos de los términos incertidumbre y riesgo son bastante consistentes entre sí en campos como la teoría de las probabilidades, la ciencia actuarial y la teoría de la información. Otros han creado nuevos términos sin que ello implique un cambio sustancial de las definiciones de incertidumbre o riesgo. Por ejemplo, “sorpresa” es una variedad de incertidumbre que a veces es usada en la teoría de la información. Pero el uso de los términos puede ser variado fuera de los usos más matemáticos, como en psicología cognitiva, donde la incertidumbre puede ser real o sólo una cuestión de percepción, como por ejemplo expectativas, amenazas, etc. La vaguedad o ambigüedad a veces es descripta como “incertidumbre de segundo orden”, cuando existe incertidumbre aún sobre las definiciones de los estados o resultados inciertos. Aquí la diferencia subyace en que la incertidumbre se refiere a definiciones y conceptos humanos que no son un hecho objetivo de la naturaleza. Hubbard ha sostenido no obstante que la ambigüedad siempre será inevitable, a diferencia de la incertidumbre – de “primer orden” – que no lo es necesariamente. La incertidumbre puede deberse exclusivamente a la carencia de conocimiento sobre hechos objetivos. Es decir, ustedes pueden tener incertidumbre acerca de si el diseño de un nuevo cohete funcionará, pero esta incertidumbre será eliminada con más análisis y experimentación. Sin embargo, la incertidumbre puede constituir una propiedad fundamental e inevitable del universo a nivel subatómico. En mecánica cuántica, el Principio de Incertidumbre de Heisenberg establece límites en torno a cuánto puede saber un observador sobre la posición y velocidad de una partícula. Lo cual no surge de la ignorancia de hechos obtenibles potencialmente sino del hecho de que no hay hechos a ser hallados. Cabe notar que existe cierta controversia en la física acerca de si la incertidumbre es una propiedad intrínseca de la naturaleza o de si existen

4 Tannert C, Elvers HD, Jandrig B (2007). "The ethics of uncertainty. In the light of possible dangers, research becomes a moral duty.". EMBO Rep. 8 (10).

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“variables ocultas” que podrían describir el estado de una partícula en forma aún más exacta que el principio de incertidumbre de Heisenberg, Luego, riesgo es un concepto que denota la probabilidad precisa de determinados eventos. Técnicamente, esta noción es independiente de la noción de valor y, en cuanto tal, los eventos pueden tener consecuencias tanto benéficas como adversas. Sin embargo, en el uso general existe una convención de concentrarse sólo sobre el impacto negativo potencial sobre alguna característica de valor que podría tener cabida en el futuro. De acuerdo con Mark Machina y Michael Durlauf, siguiendo a Knight, una situación implica riesgo si el carácter aleatorio que enfrenta un agente económico está presente bajo la forma probabilidades objetivas especificadas en forma exógena o calculadas de forma científica, como en una apuesta basada en una ruleta o en un par de dados. Una situación involucra incertidumbre si el carácter aleatorio se presenta bajo la forma de eventos posibles, como apuestas en una carrera de caballos, o decisiones que implican que haya que comprar o no un seguro contra un terremoto. 2. Breve historia del término “riesgo” Este término sólo surge en tiempos modernos. Luhmann afirma que en la Edad Media el término riscium era usado en determinados contextos, sobre todo en el transporte marítimo y los problemas legales consiguientes de pérdida y daño. Asimismo, en las lenguas vernáculas del siglo XVI eran utilizadas las palabras “rischio” y “riezgo”. En inglés, el término “risk” sólo hace su aparición en el siglo XVII, y parece ser importado de Europa continental. Cuando esta terminología se asentó, reemplazó la antigua noción de “en términos de buena y mala fortuna”. Luhmann trata de explicar esta transición: “Quizás ello se debió a la pérdida de plausibilidad de la antigua retórica de Fortuna como una figura alegórica de contenido religioso y de Prudentia como una virtud nobiliaria de la emergente sociedad comercial.” El análisis de escenarios maduró durante las confrontaciones de la Guerra Fría entre las potencias (USA-URSS). Se extendió en los círculos aseguradores de los años 1970s cuando los grandes desastres de buques cisterna transportadores de petróleo obligaron a previsiones más comprehensivas. El enfoque científico del riesgo entró en el terreno financiero en los 1980s cuando proliferaron los derivados financieros como los contratos de futuros y a término, las opciones y los swaps. En los 1990s alcanzó al ambiente profesional cuando la potencia de las computadoras personales permitió una amplia recolección de datos y procesamiento de números. En los Estados Unidos, la utilización de derivados financieros causó grandes pérdidas a causa del leverage o “compra apalancada con financiación ajena”. Los derivados permiten obtener a los inversores grandes ganancias a partir de pequeños movimientos en el precio del activo subyacente. Empero, los inversores podrían perder cuantiosas sumas de dinero si el precio de este activo se vuelve en su contra. Ha habido ejemplos de grandes pérdidas masivas: la del negocio de Nick Leeson en 1994; la quiebra del Condado de Orange en 1994, que constituyó la quiebra municipal más grande en la historia de ese país; la quiebra del Long-Term Capital Management en 2000; la pérdida de 6.400 millones de dólares del fondo Amaranth Advisors, en 2007 (que tenía una posición larga en gas natural). Las pérdidas pueden ser originadas por el riesgo de incumplimiento de una de las partes; también porque plantean un elevado nivel de riesgo a inversores pequeños, sin experiencia. Sin embargo, el uso de derivados mueve muchísimo dinero a nivel mundial. De acuerdo con estadísticas del Banco de Ajustes de Basilea, la rotación combinada en los intercambios de derivados a nivel mundial totalizó USD 344 trillones en el cuarto trimestre de 2005. En 2003, Alan

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Greenspan, director del Banco de la Reserva Federal de los Estados Unidos comentó que el uso de derivados había morigerado el impacto del descenso de la actividad económica a principios del siglo XXI. Aparentemente, sólo ahora algunos gobiernos están aprendiendo a utilizar métodos de riesgo sofisticados, uno de cuyos ejemplos es el de fijar estándares de regulación ambiental, p.ej. el “pathway analysis” realizado por la Agencia de Protección Ambiental de Estados Unidos. Observación Despues de leer estas considraciones preliminares, deberia ser claro que el lenguage que usan los economistas es un poco confuso porque (a veces) identifican ‘riesgo’ con ‘incertidumbre’, lo cual no es enteramente una buena idea. Es más claro hablar de incertidumbre en el sentido de Knight (o incertidumbre en sentido estricto) y riesgo. En el primer caso, la distribución de probabilidades de la variable aleatoria no puede calcularse porque no existe suficiente información cuantitativa. En la profesion económica el uso de la dicotomía introducida por Knight en 1921 es completamente standard. 3. Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad Una variable aleatoria (v.a.) es una función que mapea un resultado en una variable real. Si por ejemplo arrojamos una moneda, podemos definir una v.a. X tal que X=47 si sale cara y X=35 si sale cruz. Asociada a cada v.a. X existe una función de distribución (acumulada) F tal que: [1] F(x) = Pr[X ≤x] Continuando con el ejemplo, si la moneda no está sesgada, la distribución de X podría venir dada por:

1 para x≥47

[2] F(x)= { 0.5 para 47>x≥35 0 para x<35

Una función de distribución debe tener las propiedades siguientes, como es el caso de [2]: (1) F(∞)=1 (2) F(-∞)=0 (3) F(x) debe ser monotónicamente no decreciente en x. Las v.a. pueden ser discretas o continuas. Si la v.a. X es discreta, sólo puede tomar un número finito o infinito numerable5 de valores, por ejemplo x1,x2,x3, ... La función de densidad de probabilidad f asociada con X es 5 Existen conjuntos con un número infinito de elementos (o, simplemente, conjuntos infinitos). Los matemáticos nos enseñan que hay dos tipos de conjuntos infinitos. Si dado un conjunto infinito A es posible establecer una correspondencia uno-a-uno con el conjunto de números naturales, dicen que A es un conjunto numerable. Si esto no es possible para un conjunto infinito, p.ej. B, entonces dicen que B es no-numerable. La intuición es la siguiente: A y B son conjuntos infinitos; A es numerable y B es no-numerable; ¡esto significa que B tiene más elementos que A, a pesar de que ambos tienen infinitos elementos!

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[3] f(x) = Pr[X=x] Naturalmente, las probabilidades deben ser no negativas y sumar uno. Luego, se tiene: (1) 1≥f(x)≥0 (2) ∑x f(x) =1. Si la v.a. es continua, la probabilidad de que sea (exactamente) igual a un número determinado es cero. Sin embargo, podemos hallar la probabilidad de que la v.a. esté comprendida en un pequeño intervalo, Pr[x≤X≤x+h]. Dividiendo esta probabilidad por la longitud del intervalo y tomando el límite cuando su longitud tiende a cero, se obtiene la función de densidad de probabilidad: Pr[x≤X≤x+h] [4] f(x) = limh→0 ────────

h

F(x+h)-F(x) =limh→0 ──────── h

= F’(x). La función de densidad de probabilidad también debe satisfacer dos condiciones: (1) f(x)≥0 ∞

(2) ∫-∞ f(x) dx = 1. Es un error frecuente considerar a f(x) como la probabilidad de x, lo cual es incorrecto. De hecho, f(x) será con frecuencia mayor que 1 – por ejemplo, en el caso de una v.a. uniformemente distribuida entre 0 y ½. Media y varianza Una v.a. puede ser completamente caracterizada por su función de distribución. A menudo, empero, es útil resumir la tendencia central o promedio de la v.a. mediante un número real. La medida más importante de tendencia central es la media, también denominada valor esperado de una v.a. x y denotada mediante E[x], definida como [5] E[x]= ∑x x f(x) si x es discreta ∞

E[x]=∫-∞ x f(x) dx si x es continua. Ejemplo Tomemos la siguiente apuesta. Una moneda insesgada es arrojada hasta que aparezca “cara”. Ustedes ganan $1 si aparece en la primera tirada, $2 si aparece en la segunda, $4 si lo hace en la tercera, y en general, $2n-1 si aparece en la n-ésima. Denotando lo que ustedes ganan como una v.a. x, la probabilidad de ganar $2n-1 es (½)n. Luego, el valor esperado de x es E[x]=∑n 2n-1(½)n = ½ + ½ + ½+ ... = ∞

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Ésta es la conocida Paradoja de San Petersburgo. La Paradoja desafía la vieja idea de que la gente evalúa a las empresas aleatorias de acuerdo con su valor esperado. La Paradoja planteaba la situación en los términos siguientes: una moneda insesgada será arrojada hasta que aparezca una cara; si la primera cara aparece en la n-ésima tirada, el pago será igual a 2n ducados. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar uno por jugar este juego? La Paradoja, como hemos visto, es que el retorno esperado es infinito, pero aunque el pago esperado sea infinito ¡nadie supondrá, al menos intuitivamente, que la gente real esté dispuesta a pagar una cantidad infinita de dinero para jugarlo!

Un gráfico típico (ver gráfico de pág. 238) de las ganancias promedio recibidas en una corrida de la lotería de San Petersburgo muestra cuán ocasionalmente pagos amplios conducen a un aumento muy reducido de las ganancias promedio. Después de 20.000 jugadas de esta simulación la ganancia promedio por lotería se ubicó algo por debajo de 8 dólares. El gráfico muestra la paradoja. Por un lado, la pendiente positiva muestra que las ganancias promedio tienden hacia infinito, pero la lentitud del crecimiento (lentitud que se hace más patente con el progreso del juego) indica que será necesario un número tremendamente elevado de jugadas para lograr una ganancia modesta. Daniel Bernoulli planteó una solución involucrando dos ideas que, desde entonces, significaron una profunda revolución en economía: primero, que la utilidad que la gente deriva de la riqueza, U(W), no depende linealmente de la riqueza (W) sino que se incrementa a una tasa decreciente – la famosa idea de la utilidad marginal decreciente, U’(W)>0, y U’’(W)<0; que la evaluación de una persona de un proyecto riesgoso no consiste del rendimiento esperado del proyecto, sino más bien de la utilidad esperada de ese proyecto.

En el caso de San Petersburgo, el valor del juego para un agente (suponiendo riqueza inicial igual a cero) es:

[6] E(U) = ∑ i=1...∞ U(2n-1) (½)n =U(1).( ½) + U(2). (¼) +....<∞

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que Bernoulli conjeturó finito a causa del principio de la utilidad marginal decreciente. En consecuencia, la gente sólo estaría dispuesta a pagar un monto finito de dinero para jugarlo, aunque su retorno esperado fuera infinito6. Como fuente de consulta les sugiero leer el artículo de la Stanford Encyclopedia of Philosophy. Daniel Bernoulli (1700 -1782) fue un matemático holandés/suizo. Se destacó no sólo en matemáticas puras, sino también en las aplicadas. Hizo importantes contribuciones en hidrodinámica y elasticidad. Daniel era hijo del matemático Johann Bernoulli y nació en Groningen (Holanda), donde su padre era entonces profesor. En 1705, su padre obtuvo una plaza en la Universidad de Basilea y la familia regresó a la ciudad suiza de donde era originaria. Por deseo de su padre realizó estudios de medicina en la Universidad de Basilea, mientras que a la vez, en su casa, su hermano mayor, Nikolaus y su padre ampliaban sus conocimientos matemáticos. Daniel finalizó sus estudios de Medicina en 1721. En principio intentó entrar como profesor en la Universidad de Basilea, pero fue rechazado. En 1723 ganó la competencia anual que patrocinaba la Academia de Ciencias francesa. Christian Goldbach, matemático prusiano con el que mantenía correspondencia sobre las lecciones aprendidas con su padre, impresionado por el nivel de Bernoulli, decidió publicar las cartas escritas por Daniel. Para 1724, las cartas publicadas habían llegado a todo el mundo y Catalina I de Rusia le envió una carta proponiéndole ser profesor en la recientemente fundada Academia de Ciencias de San Petersburgo, y gracias a la mediación de su padre, logró que se ampliara la oferta a los dos hermanos: Nicolás y Daniel. Su hermano moriría en San Petesburgo en 1726 de tuberculosis. En la Academia Daniel trabajó en la cátedra de Física. Por entonces ya era conocido por ser un aventajado alumno de su padre en la Universidad de Basilea. Daniel I estuvo ocho años en San Petersburgo y su labor fue muy reconocida. En 1732 volvió a Basilea donde había ganado el puesto de profesor en los departamentos de botánica y anatomía. En 1738 publicó su obra 'Hidrodinámica', en la que expuso el que más tarde sería conocido como el Principio de Bernoulli. Daniel también hizo importantes contribuciones a la teoría de probabilidades7, que es el aspecto por el cual lo mencionamos aquí. Es notorio que mantuvo una mala relación con su padre a partir de 1734, año en el que ambos compartieron el premio anual de la Academia de Ciencias de París. Johann llegó a expulsarlo de su casa y también publicó un libro Hydraulica en el que trató de atribuirse los descubrimientos de su hijo en esta materia. Lo que se dice, ¡una complicada relacion filial!

Daniel Bernoulli (1700 -1782)

6 Como función de utilidad, Bernoulli usó una función logarítmica del tipo u(x)=ln(x). En 1728, otro matemático suizo, Gabriel Cramer, había llegado a una conclusión parecida utilizando como función de utilidad la raíz cuadrada de x. Sin embargo, a diferencia de Bernoulli, utilizó como argumento la ganancia monetaria de la lotería en lugar de la riqueza total. Empero las soluciones de Cramer y Bernoulli no son completamente satisfactorias, ya que el juego puede ser fácilmente cambiado para que reaparezca la paradoja (Carl Menger puntualizó en 1934 que se puede encontrar una variante de la paradoja de San Petersburgo para cualquier función de utilidad no acotada). Empero, la función ln(x) se hace infinito a medida que su argumento tiende a infinito, pero de manera muy lenta. 7 V. Daniel Bernoulli, “Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk” (1738), trans. L. Sommer, Econometrica, 22:, 1954.

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En 1750 la Universidad de Basilea le concedió, sin necesidad de concurso, la cátedra que había ocupado su padre. Publicó 86 trabajos y ganó 10 premios de la Academia de Ciencias de París, sólo superado por Euler que ganó 12. Al final de sus días ordenó construir una pensión para refugio de estudiantes sin recursos. Hemos extendido la fórmula de valor esperado en forma natural a funciones de una variable aleatoria. Si u(x) es función de una v.a. x, la función u(x) se convierte en una v.a. y su valor esperado será [7] E[u(x)]=∑x u(x)f(x) si x es discreta, ∞

[8] E[u(x)]=∫ -∞ u(x)f(x)dx si x es continua. En general, a menos que u sea una función lineal de x, se tiene que E[u(x)]≠u(E[x]). Si u=a+bx, con a y b constantes, [9] E[a+bx]=a+bE[x]. La linealidad se aplica también a dos o más v.a. Para dos v.a. x e y, tendremos [10] E[x+y]=E[x]+E[y] ya sean o no x e y independientes8. Además del valor esperado de una v.a. como medida de su tendencia central, es importante la varianza que indica el grado de variabilidad de la v.a. La varianza de una v.a. x, denotada como var[x], se define mediante: [11] var[x]=E[(x-μ)2] donde μ=E[x]. Esta ecuación [11] puede también ser expresada de la forma siguiente: var[x]=E[x2 – 2x μ + μ2] =E[x2] – 2 μE[x] + μ2 =E[x2] – 2 μ2 + μ2 =E[x2] – μ2. Esta expresión suele mencionarse de la siguiente forma: el momento centrado de segundo orden (la varianza) es igual al momento absoluto de segundo orden menos la media al cuadrado. Propiedades de la varianza 1.- Para dos constantes cualesquiera a y b, [12] var[a+bx]= b2var[x] 8 Dos v.a. x e y son independientes si y solamente si Pr[x≤x0, y≤y0]=Pr[x≤x0]Pr[y≤y0] para todo par x0,y0. Si x e y son independientes, también se obtiene que E[xy]=E[x]E[y].

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Demostración Sea μ=E[x]. Entonces var[a+bx]=E[((a+bx) – (a+b μ))2] =E[b2(x- μ)2] =b2E[(x- μ)2] = b2var[x] 2.- Si x1,...xn son v.a. independientes, [13] var[x1+ ... +xn]=var[x1]+...+var[xn] Demostración Definimos a μi=E[xi] (i=1, ...., n). Entonces var[x1+ ... +xn]=E[(x1+ ... +xn) – (μ1+... + μn)]2 = ∑i(E[(xi- μi)2] + 2 ∑i>j (E[xixj] - μi μj) Si las v.a. xi y xj son independientes, la segunda suma es nula (v. nota 9) de lo cual se sigue la igualdad [13]. Covarianza La covarianza entre xi y xj es igual a cov[xi,xj]=E[xixj] – μi μj. Luego, en general es válida la afirmación: [14] var[x1+x2] = var[x1]+var[x2]+2 cov[xi,xj] Ejemplo: Sea x el valor de una acción de una empresa. Si σ2 es su varianza, una cartera consistente de n acciones de la empresa tendrá una varianza igual a var[nx]=n2 σ2. Por otro lado, supongan que ustedes invierten una acción en n empresas distintas, x1, ...,xn cuyos rendimientos son independientes. Si cada acción tuviera la misma varianza σ2, la varianza de esta cartera diversificada sería solamente igual a var[x1+x2+... +xn]=n σ2. 4. La función de distribución normal La distribución normal o de Gauss es una familia importante de distribuciones continuas de probabilidad que es aplicada en diversos campos. Todo miembro de la familia puede ser definido con sólo dos parámetros de ubicación y escala: la media μ y la varianza σ2, cuadrado del desvío estándar σ. La distribución normal estándar es la distribución normal con media igual a cero y varianza igual a 1 (curvas en color rojo de la derecha en la pág. 242). Carl Friedrich Gauss resultó asociado con este conjunto de distribuciones al analizar datos astronómicos mediante las mismas, y definió la ecuación de su función de densidad probabilística. A menudo es llamada la curva en campana a causa del gráfico de su función de densidad de probabilidad. Su importancia como modelo de los fenómenos cuantitativos en las ciencias naturales y de la conducta radica parcialmente en el teorema central del límite. Varias mediciones, desde las psicológicas hasta las físicas y las sociales, pueden ser aproximadas hasta cierto punto por la distribución normal.

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Aunque se desconozcan los mecanismos subyacentes, la utilización del modelo de la normal puede justificarse suponiendo que hay varios efectos pequeños e independientes que contribuyen en forma aditiva a cada observación. También es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados – uno de los métodos más simples y antiguos de estimación estadística. La distribución normal aparece en diversas áreas de la estadística. Por ejemplo, la distribución de la media muestral es aproximadamente normal, aunque no lo sea la distribución de la población de la cual la muestra ha sido tomada. Es la familia de distribuciones más usada en estadística y muchos tests estadísticos están basados en el supuesto de normalidad. En la teoría de la probabilidad, las distribuciones normales surgen como distribuciones límite de varias familias continuas y discretas de distribuciones. A fin de indicar que una función real de variable aleatoria x está distribuida normalmente con media μ y varianza σ² ≥ 0, se escribe x∼N(μ, σ²).

Funciones de distribución y de densidad de Probabilidad de la Normal (en rojo)

La función de densidad de probabilidad de la distribución normal es la función de Gauss: 1 2 2 1 x - μ [15] φμ,σ2(x) = ───e-(x – μ) /2σ = ── φ(────) 2π σ σ en la cual σ>0 es el desvío estándar, el parámetro real μ es el valor esperado, y

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2 e-x

[16] φ(x)= φ0,1(x)= ───, x∈R √2π es la función de densidad de la distribución normal estándar, es decir cuando μ=0 y σ=1. La función de densidad de probabilidad tiene ciertas propiedades notables como las siguientes:

Simetría en torno a su media μ El modo y la mediana9 de la función son iguales ambos a la media μ Los puntos de inflexión de la curva se producen a la distancia de un desvío estándar de la

media, e.d. en μ − σ y en μ + σ. La función de distribución (también llamada función de distribución acumulada) evaluada en el número x, es la probabilidad del evento de que la variable aleatoria X con esa distribución sea inferior o igual a x. La función de distribución acumulada de la distribución normal viene expresada en términos de la función de densidad como:

x 1 x (u-μ)2

[17] Фμ,σ2(x) = ∫φμ,σ2(u) du = ─── ∫ exp(- ──── ) du -∞ σ√2π -∞ 2σ2

= Ф(x-μ/σ), x∈R, fórmula en la cual la función de distribución acumulada Ф estándar es la función de distribución acumulada general evaluada en μ=0 y σ=1: 1 x

[18] Ф(x)= Ф0,1(x)=─── ∫exp (-u2/2) du, x∈R. √2π -∞ Cerca de un 68% de los valores extraidos de una distribución normal se hallan dentro de la proximidad de un desvío estándar σ de la media μ. Alrededor de un 95% de los valores se encuentran dentro de dos desvíos estándar, mientras que un 99.7% lo hace dentro de tres desvíos estándar. Esto conduce a una “regla empírica” conocida como “regla de 68-95-99.7”. 5. Preferencias 5.1 La aproximación de preferencias por el estado 9 El modo es el valor más frecuente de la distribución de probabilidad (o de un conjunto de datos). La mediana es el número que separa a la mitad superior de la distribución de probabilidad (o de una muestra o población) de la mitad inferior.

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El enfoque desarrollado en capítulos anteriores puede ser generalizado en forma directa de modo de abarcar también la conducta bajo incertidumbre. Así como una manzana consumida hoy es algo diferente de una manzana consumida mañana, tomar un refresco en un día caluroso es diferente de hacerlo en un día frío. En problemas relacionados con la incertidumbre, es posible tratar al mismo bien físico consumido en distintos estados del mundo como bienes distintos. Mediante este enfoque, la utilidad es definida en términos de mercancías estado-contingentes. Un bien estado-contingente es un bien que sólo puede ser consumido si se verifica cierto estado del mundo. Por ejemplo, consideremos un contrato para entregar 100 l. de bebidas cola si la temperatura se ubica por encima de 25 ºC (pero nada en otros casos). Supongan que hay sólo dos estados posibles, y denotemos como W1 y W2 las cantidades de bienes estado 1 y estado 2-contingentes, respectivamente. W1 y W2 podrían ser vectores como si fueran canastas de mercancías, pero serán usados mayormente como escalares que representan a la riqueza o a un consumo compuesto. Si las probabilidades de ambos estados son respectivamente π1 y π2, con π1+ π2=1, las preferencias del consumidor pueden ser representadas por una función de utilidad como la siguiente: [19] U(W1,W2; π1, π2). En tal caso la utilidad queda definida sobre el plan de consumo contingente (W1,W2). ¿Por qué están las probabilidades? Pues porque el valor de una mercancía estado-contingente depende de cuán probable es que ocurra ese estado. Si existen mercados completos en los que se puedan comprar bienes estado-contingentes a precios exógenos, el análisis de la elección de consumo bajo incertidumbre resulta formalmente equivalente al caso de certidumbre. La unidad consumidora elegirá W1 y W2 de modo de maximizar la utilidad sujeta a restricciones presupuestarias. Las funciones de demanda de bienes estado-contingentes resultantes satisfarán todos los teoremas derivados en los capítulos IV y V. Pero el requerimiento de que existan mercados completos es muy exigente, ya que si hay n bienes diferentes y s estados posibles del mundo, tendría que haber ns mercados separados. Piensen ustedes en las grandes dimensiones del problema. Arrow10 demostró que el comercio de bienes estado-contingentes puede ser sustituido por el intercambio de derechos estado-contingentes (es decir, contratos financieros que dan lugar a distintas cantidades de dinero en estados distintos del mundo). Luego un conjunto completo de mercados sólo requiere n mercados de bienes más s mercados de valores. Pero los mercados contingentes son difíciles de ser organizados (especificación y medición difícil del estado). Luego esta aproximación puede resultar compleja como para ser llevada a cabo. Si los bienes estado-contingentes no son comercializados, debemos explorar alguna otra alternativa para tratar la existencia de incertidumbre. 5.2 La hipótesis de sofisticación probabilística Aunque este enfoque ha conducido a adelantos importantes en los análisis de elección bajo incertidumbre, la teoría moderna de la probabilidad condujo a los economistas a hacer la hipótesis de que aún las creencias individuales pueden ser representadas mediante probabilidades personales o subjetivas, que adoptan la forma de una medida de probabilidad subjetiva aditiva μ(.) en un espacio de estados S. En tal caso, una canasta de pagos según el estado (c1,...,cn) será considerada como generando el resultado ci con probabilidad μ(si), de modo que el individuo evaluará la canasta (c1,...,cn) de la misma forma en que evaluaría una apuesta en un casino que le depare los pagos (c1,...,cn) con probabilidades (μ(s1), ..., μ(sn)). La hipótesis de que los individuos tienen tales creencias probabilísticas y que evalúan a las canastas de esta manera es

10 Kenneth J. Arrow (1964) “The Role of Securities in the Optimal Allocation of Risk Bearing”, Rev. Eco. Stud. 31.

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denominada la hipótesis de sofisticación probabilística, y permite una aplicación unificada de la teoría de la probabilidad al análisis de decisiones tanto bajo un riesgo objetivo como bajo incertidumbre subjetiva11. 5.3 Teoría de la Utilidad Esperada La función de utilidad [19] es muy general. Para imponerle más estructura hay algunos axiomas adicionales como los siguientes: 1.-Independencia del estado. Una perspectiva incierta que proporciona x en el estado 1 e y en el estado 2 es igualmente preferida a una perspectiva de y en el estado 1 y x en el estado 2, si la probabilidad de recibir x en ambos estados es la misma. La independencia del estado significa que las preferencias dependen de las probabilidades de los estados del mundo, no de los estados en sí mismos12. 2.- Reducción de las loterías compuestas. Si x es una perspectiva incierta consistente de y y z con probabilidades π y 1-π, entonces la perspectiva que consiste de x y z con probabilidades π* y 1- π* es igualmente preferida que una perspectiva de y y z con probabilidades π π* y 1- π π* e igualmente preferida a la perspectiva de y y z con probabilidades π π* y 1- π π*. Lo que el axiona afirma es que las preferencias de un consumidor por perspectivas inciertas dependen únicamente de las probabilidades de percibirlas y no de cómo se forman las probabilidades13. 3.- Continuidad. Si x es preferido a y y éste preferido a z, existe un cierto valor de probabilidad π tal que y será preferido a una combinación incierta consistente de x y z, con x realizado con probabilidad π y z con probabilidad 1- π14. 4.- Independencia de alternativas irrelevantes. Si x es preferido a y, luego para cualquier z una perspectiva incierta consistente de x y z con probabilidades π y 1-π será preferida a la perspectiva incierta consistente de y y z con idénticas probabilidades15. Teorema Bajo los axiomas [1]-[4], si los valores W1 y W2 con probabilidades respectivas π1 y π2 están dados, es posible hallar una función de utilidad u(.) – que será llamada la “función de utilidad elemental o de Bernoulli” – tal que [20] U(W1,W2; π1 , π2) = π1u(W1)+ π2u(W2)

11 La hipótesis de sofisticación probabilística sin recurrir a la teoría de la utilidad esperada ha sido analizada en M. Machina and D. Schmeidler (1992), “A More Robust Definition of Subjetive Probability”, Econometrica, 60. Reimpreso en J. Hey (ed.), (1997), The Economics of Uncertainty, Vol. II: Uncertainty and Dynamics, Cheltenham, Edward Elgar. 12 La validez de este supuesto depende del contexto; por ejemplo, en los problemas de seguro médico, las preferencias pueden depender del estado de salud aún si son cubiertos todos los gastos médicos. 13 Si un consumidor tuviera una inclinación particular hacia el suspenso, este axioma sería violado. 14 Podría sostenerse que este axioma no es válido si x es $2, y es $1, y z es la muerte. Por otra parte, a menudo la gente asume el riesgo de cruzar la calle de forma imprudente sólo para ganar unos segundos. 15 Este axioma no debe ser confundido con un axioma con el mismo nombre usado en la teoría de la elección social. Si hay certidumbre, este axioma de independencia es un postulado fuerte, porque entre dos bienes pueden existir todo tipo de relaciones de complementariedad y de sustitución, ya se consuman en forma simultánea o sucesiva en el tiempo. Para perspectivas inciertas, empero, un individuo nunca recibirá x y z conjuntamente, o y y z conjuntamente. Luego, la presencia de z es improbable que afecte las preferencias por x e y.

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Esta función U(.) es llamada función de utilidad de Von Neumann-Morgenstern en honor a la contribución pionera de estos autores en teoría de la decisión16. Como resultado se obtiene que las preferencias –expresadas por U(.) – son el valor esperado de la función de utilidad elemental o de Bernoulli, aditivamente separable en los resultados W1 y W2 y lineal en π1 y π2. La separabilidad es una consecuencia del axioma 4. Si no se cumple el axioma 4 de independencia del estado pero se mantienen los restantes, la utilidad puede ser expresada como π1u1(W1)+ π2u2(W2), donde u1 y u2 son funciones diferentes. 5.4 Utilidad cardinal y utilidad ordinal Tal como en el caso bajo certidumbre, la función de utilidad no es nada más que una manera conveniente de representar preferencias. Si se tiene que x≿y siempre que U(x)≥U(y), U(.) es una función de utilidad válida. Como U(x)≥U(y) implica F(U(x))≥F(U(y)) para cualquier transformación monótona creciente F, F(U(.)) también es una función de utilidad válida. Lo que implica que la utilidad permanece siendo un concepto ordinal en el análisis de la conducta bajo incertidumbre. Por ejemplo, si x es una perspectiva incierta consistente de montos W1 y W2 con probabilidades π1 y π2 y las preferencias pueden ser representadas mediante la función de utilidad [21] U(x)=π1 log W1 + π2 log W2 luego también será válida como función de utilidad: [22] V(x)=eU(x)=W1

π1 W2

π2.

Pero en este ejemplo existe una diferencia importante entre [21] y [22]. Si escribimos u(W)=logW, la ecuación [21] satisface la propiedad de la utilidad esperada, mientras que resulta imposible escribir [22] como el valor esperado de una función de utilidad. En general, la propiedad de la utilidad esperada no será válida bajo transformaciones monótonas crecientes de la función de utilidad. A fin de preservar la propiedad de la utilidad esperada la transformación debe ser lineal. Para verificarlo, supongamos que U=π1u(W1)+π2u(W2) y que la sometemos a la transformación lineal V=a+bU creciente (ya que supondremos que b>0). Como π1+π2=1, tenemos que [23] V=a+b(π1u(W1)+π2u(W2))=π1(a+bu(·W1))+π2(a+bu(W2)) ecuación que sí satisface la propiedad de la utilidad esperada con la función de utilidad de Von Neumann-Morgenstern igual a a+bU(.). Es importante distinguir entre la función de utilidad elemental U(x) y la función de utilidad de Von Neumann-Morgenstern V(W). En tanto que cualquier transformación monótona creciente de U será una función de utilidad válida para representar las preferencias por perspectivas inciertas, una transformación monótona creciente de V no producirá necesariamente una función de utilidad de Von Neumann-Morgenstern que represente a las mismas preferencias. Las funciones de utilidad de Von Neumann-Morgenstern son únicas solamente hasta una transformación lineal. Por ejemplo, si las preferencias vienen representadas por la ecuación [21] previa, la función de utilidad elemental es u(W)=log W. Si la sometemos a una transformación monótona v=eu y

16 J.von Neumann and O.Morgenstern, Theory of Games and Economic Behavior, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1944. Para una demostración de este teorema, v. R.D. Luce and H. Raiffa, Games and Decisions, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1957.

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tratamos a v como si fuera una función de utilidad de Von Neumann-Morgenstern, en tal caso las preferencias por perspectivas inciertas serían [24] V=π1W1+π2W2 que son distintas de [21] o [22]. A los índices únicos hasta una transformación lineal positiva se los llama índices cardinales. Una vez que están determinados el origen y el intervalo de los incrementos el índice cardinal queda determinado únicamente. Un ejemplo de escala cardinal es la temperatura. La conversión de grados Fahrenheit (F) a grados Celsius (C) viene expresada mediante C=(F-32)/1.8, que es obviamente lineal. La conversión inversa es F=1.8C+3217. Los índices sometidos a transformaciones lineales tienen la propiedad de que no cambia el signo de su segunda derivada. Si W es la riqueza y u’’(W) es negativa (utilidad marginal decreciente), se tiene que d2

[25] ─── (a+bu(W))=bu’’(W) dW2 y por consiguiente toda transformación de u mantendrá la propiedad de utilidad marginal decreciente. Que sea creciente o decreciente como veremos seguidamente tiene implicancias importantes sobre la actitud hacia el riesgo de un individuo. Pero como siempre, no justifica que los cambios de la satisfacción subjetiva puedan ser comparados, dado que la función de utilidad de Von Neumann-Morgenstern sólo constituye una forma conveniente de representar las preferencias del consumidor. 6. Teoría de la aversión al riesgo Luego de la axiomatización de von Neumann y Morgenstern de la hipótesis de utilidad esperada, los economistas comenzaron de inmediato a buscar las aplicaciones potenciales de la teoría a cuestiones como la elección de cartera, la actividad aseguradora, etc. Estas aplicaciones usaban modelos simples en los que los resultados estaban expresados en un único bien, “riqueza”, y por consiguiente el conjunto de resultados X era simplemente la recta real R. En consecuencia, una “lotería” era definida como una variable aleatoria z∈R. La conducta frente al riesgo está estrechamente vinculada con la convexidad de las curvas de indiferencia. Bajo certidumbre, un consumidor indiferente entre a. 2 manzanas y 0 naranjas, y b. 0 manzanas y 2 naranjas, si su curva de indiferencia es estrictamente convexa, preferirá a ambas alternativas la canasta c. 1 manzana y 1 naranja. De forma similar, como hemos visto en el cap. VIIII, en la teoría del consumo intertemporal, la convexidad implica que una trayectoria suavizada de consumo es preferible a una trayectoria errática. Analizando ahora la conducta bajo riesgo, si dibujamos un mapa de indiferencia poniendo en cada eje “ingreso en el estado 1” e “ingreso en el estado 2”, pueden ver que un ingreso seguro de $1 en cualquier estado es preferible a un ingreso incierto de $2 en uno de los estados y $0 en el otro. En otras palabras, las curvas de indiferencia convexas implican un consumidor adverso al riesgo.

17 A partir de su creación en 1750 la unidad de la escala Celsius fue denominada grado centígrado (se escribía °c, en minúscula). Pero en 1948 se decidió el cambio en la denominación oficial para evitar confusiones con la unidad de ángulo también denominada grado centígrado (grado geométrico), aunque la denominación previa se sigue empleando extensamente en el uso coloquial.

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Veamos ahora la vinculación entre convexidad de curvas de indiferencia y la forma de la función de utilidad elemental. Una curva de indiferencia típica de utilidad de Von Neumann–Morgenstern es la siguiente: [26] π1u(W1)+ π2u(W2)≡U0 Diferenciando con respecto a W1 :

dW2 π1u′(W1) [27] ─── = – ──────── dW1 π2u′(W2)

Con curvas de indiferencia convexas en todo su dominio, la derivada segunda

d2W2 π1u''(W1)( π2u'(W2))2+ π2u''(W2)( π1u'(W1))2 [28] ─── = – ────────────────────────── dW1

2 (π2u'(W2))3 es positiva para todos los valores de W1 y W2. Si hacemos W1=W2=W, la derivada segunda es: d2W2 π1 π2 (π1+ π2) u''(W)u'(W2)2 π1 u''(W) [29] ─── = – ────────────────── = – ──────── dW1

2 (π2u'(W))3 π22 u'(W)

Esta expresión es positiva si y solamente si u''(W)<0. Luego hemos demostrado la equivalencia entre el postulado de que las curvas de indiferencia son convexas por doquier y el supuesto de que la función de utilidad elemental es cóncava. La desigualdad de Jensen Si la función elemental de utilidad es cóncava, la utilidad marginal del ingreso es decreciente. En general se tiene que para todo individuo con una función de utilidad cóncava, la perspectiva de un ingreso seguro es preferible a una perspectiva de ingreso incierto con igual valor esperado. Esto es consecuencia de la desigualdad de Jensen, que establece que para cualquier variable aleatoria z y toda función estrictamente cóncava u(z), [30] E[u(z)]<u(E[z]) (v. gráf. adjunto). La utilidad esperada viene dada por la altura de la cuerda AB en E(z) (punto E) en tanto que la utilidad del ingreso esperado está dada por la altura de la curva en E(z) (punto D). Con dos eventos z1 y z2, la utilidad esperada es E(u)=π1u(z1)+(1–π1)u(z2). Naturalmente, la posición de E en la cuerda AB depende de las probabilidades, π1 y (1–π1). Supongan que hay dos loterías, una de las cuales paga E(z) con certidumbre, y otra que paga z1 o z2 con probabilidades

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respectivas π1 y (1–π1). La utilidad de la primera lotería es U(E(z)) dado que E(z) es recibido con certidumbre; la utilidad de la segunda lotería es U(z1, z2; π1, 1–π1)= π1u(z1)+(1–π1)u(z2). Pero aunque el ingreso esperado de las dos es igual, es obvio que una persona intolerante o aversa al riesgo preferirá E(z) a recibir con certeza que con incertidumbre, es decir que elegirá la primera en lugar de la segunda. Esto se refleja en la figura por el hecho de que u[E(z)]>E(u). Equivalente con la certidumbre Otra forma de captar este efecto es hallando una asignación que represente un “equivalente con la certidumbre”. Consideren una tercera lotería que genera un ingreso C(z) con certidumbre. Como resulta obvio por construcción, la utilidad de esta asignación es igual que la utilidad esperada de la perspectiva aleatoria, es decir u(C(z))=E(u). A este ingreso se lo conoce como el equivalente cierto de la lotería, o sea la lotería segura que proporciona la misma utilidad que la lotería incierta. No obstante, observen que el ingreso C(z) es menor que el ingreso esperado, C(z) < E(z). Pero sabemos que el agente estaría indiferente entre recibir C(z) con certidumbre y recibir E(z) con incertidumbre. La diferencia, que será denotada π(z)=E(z)– C(z) es conocida como prima de riesgo, a saber, el ingreso monetario máximo al que un agente está dispuesto a renunciar a fin de obtener una asignación sin riesgos18. Tipos de conducta hacia el riesgo Teniendo en cuenta una función de utilidad elemental continua u: R→R de una variable aleatoria z con función de distribución acumulada Fz(x)=P{z≤x} y función de densidad f(x), para una z

determinada el valor esperado de será igual a E(z)=∫R xf(x)dx z y la utilidad esperada igual a

E(u(z))=∫R u(x)f(x)dx. Definimos como Cu(z) a la asignación equivalente con la certidumbre, es decir Cu(z)∼z y la prima de riesgo como πu=E(z)– Cu(z) (el superíndice “u” recuerda que tanto la asignación equivalente con la certidumbre como la prima de riesgo dependen de la función de utilidad elemental). Definimos:

Aversión al riesgo: un agente es “adverso al riesgo” si Cu(z)≤E(z) o πu(z)≥0 para todo z de su dominio de definición. Esta definición formaliza simplemente lo expuesto en la figura de p. 248. Naturalmente, podemos visualizar a un agente que no sea adverso al riesgo, por ejemplo si no se preocupa por el mismo, en cuyo caso Cu(z)=E(z) y πu(z)=0. Esto requiere que la función de utilidad elemental u(z) sea una línea recta de modo que los puntos D y E coincidan. Luego:

Neutralidad al riesgo: un agente es “neutral al riesgo” si Cu(z)=E(z) o πu(z)=0 para todo z de su dominio de definición. Finalmente se tendrá un agente amante del riesgo, en cuyo caso esperamos que prefiera recibir E(z) con incertidumbre antes que hacerlo con certidumbre, en cuyo caso u(E(z))<E(u). En tal caso su función elemental de utilidad debe ser tal que el punto E se encuentre arriba del punto D, como es propiedad de una función convexa. Es fácil apreciar que en este caso el agente estaría dispuesto a pagar una prima por asumir el riesgo, o de manera equivalente, que debería pagársele para que acepte una asignación equivalente con la certidumbre, luego Cu(z)>E(z) y πu(z)<0. Entonces:

Propensión al riesgo: un agente es “propenso al riesgo” (o “amante del riesgo”) si Cu(z)>E(z) o πu(z)<0 para todo z de su dominio de definición. 7. Medidas de aversión al riesgo

18 J.W. Pratt (1964) “Risk Aversion in the Small and in the Large”, Econometrica, Vol. 32.

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Intuitivamente, a mayor concavidad de la función de utilidad, tanta mayor aversión al riesgo tendrá el consumidor. Arrow y Pratt19 han propuesto una medida de aversión al riesgo invariante a cambios de la función de utilidad esperada, normalizando la segunda derivada de la función por la primera derivada, y así obtenemos la medida de Arrow-Pratt de aversión (absoluta) al riesgo: u'’(z) [31] r(z) = – ─── u’(z) Como caso interesante, se tiene que la función de utilidad exponencial u(z)=–e-az implica una medida constante de aversión al riesgo ru(z), igual al parámetro a. Sea V(z) la función de utilidad indirecta de un agente, donde z corresponde a su riqueza monetaria y supongamos que dicho agente maximiza el valor esperado de la utilidad indirecta de su riqueza según el enfoque de Von Neumann y Morgenstern de comportamiento en condiciones de riesgo. La variable z será una variable aleatoria que para simplificar puede asumir n valores discretos zi con probabilidades qi no negativas que suman la unidad. Por lo tanto, resuelve: máx. E[V(z)] = ∑i=1

n qi V(zi). Definiendo como costo monetario del riesgo al monto de riqueza cierta que el consumidor estaría dispuesto a ceder a fin de evitar el riesgo considerado, y denotándolo como ζ, se satisfará la ecuación siguiente: [32] V(E(z) – ζ) = ∑i=1

n qi V(zi). Obtendremos una aproximación a ζ que mostrará en forma simple su dependencia directa de la concavidad de la función V(..) y de la varianza de la riqueza incierta. A tal efecto se formula una aproximación lineal al primer miembro de [32] en un entorno de E(z), a cuyo efecto supondremos que ζ es suficientemente pequeño. Tal aproximación es: [33] V(E(z) – ζ) = V(E(z)) – ζ V’ (E(z)) Ahora obtendremos una aproximación hasta el segundo orden de la función V(zi): [34] V(zi) = V(E(z)) + V’(E(z)) (zi – E(z)) + ½ V’’(E(z)) (zi – E(z))2 Reemplazando [34] en [32]: [35] V(E(z)) – ζ V’(E(z)) = ∑i=1

n qi [V(E(z)) +V’(E(z)) (zi – E(z)) + ½ V’’(E(z)) (zi – E(z))2] = = V(E(z)) + ½ V’’ σz

2 De aquí obtenemos el costo monetario absoluto del riesgo de Arrow-Pratt, despejando ζ: V’’(E(z)) [36] ζ = – ────── σz

2 2V’(E(z))

19 K.J. Arrow (1965) Aspects of the Theory of Risk–Bearing. Helsinki: Yrjö Hahnsson Foundation. Pratt, ob. cit.

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Como se observa, el costo monetario absoluto del riesgo (ζ) depende de la medida de Arrow-Pratt r(z) = - V’’(E(z))/V’(E(z)). Es decir, ζ es igual al producto de una medición subjetiva r(z) y de la varianza objetiva de la riqueza del inversor σz

2. El coeficiente de aversión relativa al riesgo de Arrow-Pratt que denotaremos ρ es la elasticidad de la función V’(z), es decir: [37] ρ = - V’’(z) z / V’(z) Luego obtenemos: ζ σz [38] ─── = ½ ρ [ ──]2 E(z) E(z) Ésta es una medida muy útil, con un significado intuitivamente preciso: el costo monetario absoluto del riesgo, en proporción a la riqueza esperada, está directamente relacionado con el coeficiente de variación de la riqueza20, que es una medida de la dispersión de la distribución de probabilidades de la riqueza, elevado al cuadrado. Éste es un parámetro objetivo. El otro parámetro interviniente es el coeficiente de aversión relativa al riesgo de Arrow-Pratt ρ. En problemas de elección intertemporal, la elasticidad de sustitución intertemporal a menudo es la misma que el coeficiente de aversión relativa al riesgo.

o La medida de aversión absoluta al riesgo (ARA) derivada por Arrow y Pratt, dada la función de utilidad u(z), fue definida como r(z)=– u''(z)/u'(z). Las afirmaciones siguientes están vinculadas con este término:

• La utilidad exponencial con la forma u(z)=–e–αz es la única que muestra una aversión absoluta al riesgo constante (CARA): r(z)=α es constante respecto de z.

• Existe aversión decreciente/creciente absoluta al riesgo si r(z) es decreciente /creciente (DARA/IARA). Un ejemplo de una función DARA es u(z)=ln (z), r(z)=1/z, en tanto que u(z)=z–αz2, α>0, r(z)=2α/(1–2αz) representa a una función IARA.

• La evidencia experimental y empírica es más bien consistente con la hipótesis de aversión absoluta decreciente al riesgo.

• En sentido contrario a lo supuesto en diversos estudios empíricos, la riqueza no constituye una buena variable “proxy” para la aversión al riesgo cuando se estudia la distribución de riesgos dentro de un contexto de principal–agente. En otras palabras, aunque la aversión sea monótona con respecto a la riqueza sea bajo DARA o IARA y constante bajo CARA, las pruebas de distribución del riesgo

20 El coeficiente de variación (CV) es una medida estandarizada de dispersión de una distribución de probabilidad. Se define como la proporción del desvío estándar a la media: CV=σ/μ. Solamente está definido para una media distinta de cero, y resulta especialmente ǘtil para variables siempre positivas. El INDEC lo utiliza en forma rutinaria, aclarando: "El coeficiente de variación es un indicador de la dispersión de los datos respecto a su promedio. Generalmente se expresa en porcentaje y no tiene unidad de medida. Cuanto menor sea el coeficiente de variación, menor será la diferencia entre los datos observados y mejor representados estarán por su promedio."

IX. Incertidumbre y riesgo

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contractual que descansan en la riqueza como una “proxy” para la aversión al riesgo están no identificadas21.

o La medida Arrow–Pratt de aversión relativa al riesgo (RRA) o coeficiente de aversión relativa al riesgo fue definida como –z u''(z)/u'(z). Tal como con la aversión absoluta, son usados los términos correspondientes aversión relativa constante al riesgo (CRRA) y aversión relativa decreciente/creciente (IRRA). Esta medida tiene la ventaja de que sigue siendo válida como medida de aversión al riesgo, aunque la persona pase de ser adverso al riesgo a propenso al riesgo, e.d. no es una función estrictamente convexa o cóncava para todo z. Una RRA constante implica una ARA decreciente (pero no a la inversa). No obstante, como ejemplo específico, la función de utilidad u(z)=Log(z) implica RRA=1.

o En problemas de elección intertemporal, a veces es difícil diferenciar a la elasticidad de sustitución intertemporal del coeficiente de aversión relativa al riesgo. La función “isoelástica” u(z)=z1–ρ/(1–ρ) exhibe aversión relativa constante al riesgo RRA=ρ y elasticidad de sustitución intertemporal ε=1/ρ. Cuando ρ=1 y se resta uno del numerador (para facilitar la regla de l'Hospital), se simplifica al caso de utilidad logarítmica, y los efectos ingreso y sustitución sobre el ahorro se compensan exactamente. 8. Apuestas, seguro y diversificación Si no hay otras restricciones sobre la forma de la función de utilidad, la hipótesis de la utilidad esperada es consistente tanto con una conducta inclinada a asumir riesgos como con una conducta destinada a evitarlos. Friedman y Savage22 sostuvieron que si la función de utilidad tiene la forma indicada más abajo en esta página, un individuo comprará seguro y billetes de lotería al mismo tiempo. Observen que u(z) es cóncava hasta el punto de inflexión B y luego es convexa hasta el nuevo punto de inflexión C, después del cual pasa a ser cóncava nuevamente. Friedman y Savage trataron de usar esta construcción para explicar por qué la gente puede tomar riesgos de baja probabilidad pero con pagos elevados (p.ej. billetes de lotería), y al mismo tiempo asegurarse contra riesgos moderados con pagos moderados (p.ej. comprar seguro con el pasaje aéreo). Para apreciar esta posibilidad, supongan que se encuentran en B, punto de inflexión entre la aversión al riesgo y la propensión al riesgo. Supongan que tienen frente a ustedes dos loterías, una que otorga A o B y otra que otorga B o C. Estas loterías están representadas por las cuerdas entre sus pagos respectivos AB y BC. La utilidad esperada de la primera se indica como E(z) y está representada en el punto E, en el cual E(u) resulta obviamente menor que la utilidad del resultado esperado de la primera apuesta, u(E(z)). Luego un agente adverso al riesgo pagará una prima por evitarlo. La segunda apuesta da lugar a una utilidad esperada E(u) en el punto E' de la cuerda BC – mayor que la utilidad del resultado esperado u(E(z')) y, en este caso, un apostador amante del riesgo pagaría una prima para realizarla. De tal forma puede considerarse que la aversión al riesgo en el tramo AB es un caso de asegurarse contra pequeñas pėrdidas, en tanto que la inclinación al riesgo en BC es un caso de compra de billetes de lotería.

21 Bellemare, Marc F. and Zachary S. Brown, “On the (Mis)Use of Wealth as a Proxy for Risk Aversion”, Working Paper, Duke University, June 2008, SSRN. 22 Milton Friedman and L.J.Savage, “The Utility Analysis of Choices Involving Risk”, Journal of Pol. Ec., 56.

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Markowitz23 ha controvertido la hipótesis de que la gente, al menos a nivel agregado, tenga curvas de utilidad con tales dobles inflexiones. Notó que una persona en F tambiėn aceptaría una apuesta que lo dejase en F'. Recíprocamente, una persona en F' o levemente debajo de ese punto no pagaría una prima para no terminar en F, es decir, no se asegurará contra situaciones de grandes pérdidas de baja probabilidad. Finalmente, los muy ricos, arriba de F' nunca entrarán en apuestas justas – algo que entra en contradicción con fenómenos empíricos tales como los casinos de Monte Carlo, etc. Lo que propuso en su lugar fue que los z sean considerados no como “niveles de ingreso” como Friedman y Savage, sino como “cambios del ingreso”. Agregó asimismo un punto adicional de inflexión en la región inferior. El ingreso “normal” de la gente – cualquiera fuera su ubicación en la pirámide distributiva – vendría dado por un punto como B y lo demás reflejaría desvíos de este ingreso promedio. De esta forma, la paradoja aparente de la lotería–seguro sería resuelta sin invocar las extrañas implicancias de la hipótesis original de Friedman–Savage. Con funciones cóncavas de utilidad la gente tomará medidas para reducir su exposición al riesgo.

9] maxQ πu(W–x–πQ+Q) +(1–π)u(W–πQ)

s condición de 1er orden:

0] πu'(W–x–πQ*+Q*) (1–π) +(1–π)u'(W–πQ*)(–π)=0.

sto es,

1] u'(W–x–πQ*+Q*)= u'(W–πQ*)

omo u es estrictamente cóncava, constituye una función biyectiva

Un enfoque es adquirir un seguro en el mercado. Supongan que un individuo tiene una riqueza inicial W y que existe una chance de perder x con probabilidad π a causa de un robo. El individuo, supondremos, tiene la posibilidad de comprar un seguro actuarialmente equitativo, pagando una prima πQ de pesos por Q pesos de cobertura. Debe elegir su monto de cobertura Q maximizando su utilidad esperada: [3 E [4 E [4 C , por lo cual se tiene que Q*=x.

Luego, un individuo adverso al riesgo comprará un seguro completo si está disponible a una prima que resulte justa desde el punto de vista actuarial. Empero, es frecuente que la probabilidad y la cantidad de daño no puedan fijarse: si es costoso observar los esfuerzos a fin de reducir la chance y la cuantía de daño, la adquisición de seguro reducirá los incentivos individuales a realizar tales

23 H. Markowitz (1952) “The Utility of Wealth”, Jour. Pol. Ec., Vol. 60.

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esfuerzos. Este problema es conocido como riesgo moral. Existen mėtodos para mitigarlo, como el coseguro y los gastos deducibles24. Otra forma de reducir la exposición al riesgo es mediante diversificación. Si un individuo invierte

2] u(W–P)=E[u(W+(1/n) x )]

omando una aproximación de Taylor miembro a miembro y reordenando:

3] P= (½σx /n ) a

i los retornos de los n proyectos son independientes, la prima de riesgo total será

4] nP = ½ (σx /n) a,

ue es sólo 1/n de la prima de riesgo de la inversión sin diversificar.

. Aplicaciones

en un proyecto riesgoso, la ecuación [36] indica que la prima de riesgo es aproximadamente igual a ½ σz

2a, donde a es el coeficiente de aversión absoluta al riesgo. Por otra parte, si el individuo invierte en n proyectos diferentes, asignando una fracción igual a 1/n en cada uno, la prima de riesgo P de cada proyecto viene dada por: [4 T

2 2[4 S

2[4 q 9

.1 La asignación de riqueza a activos riesgosos 9

ran parte de las decisiones económicas son tomadas bajo condiciones de incertidumbre. Como

5] maxx E[u(W+xR)]

i la función de utilidad está bien comportada, es posible diferenciar dentro del signo de

6] E[u'(W+xR) R]=0

E[u''(W+xR) R ]≤0

l supuesto de que el individuo es adverso al riesgo (u''<0) permite asegurar que la condición de segundo orden se satisface. La primera condición define el monto invertido en el activo riesgoso

Geconomistas, vamos a postular que los individuos eligen de forna de maximizar su utilidad esperada. Comenzamos con el problema más sencillo de asignar la riqueza W a un activo seguro (por ejemplo, mantenerla en forma de dinero) con tasa de retorno cero, y a un activo de riesgo cuya tasa de retorno25 es una variable aleatoria R. Si el individuo invierte x pesos en el activo riesgoso, su riqueza final (digamos, despuės de pasado un año) será (W–x)+x(1+R)=W+xR pesos. El individuo elige x en tal forma de maximizar la utilidad esperada de su riqueza: [4 Sexpectativa26 para obtener las condiciones de primero y segundo orden: [4

2 E

24 V.p.ej. Kenneth J. Arrow, “Uncertainty and the Welfare Economics of Medical Care”, Am. Ec. Rev., 53, 1963; Bengt Holmstrom, “Moral Hazard and Observability”, Bell Jour. Of Ec., 10, 1979. 25 Se entiende por tasa de retorno tanto la tasa de interés a que da lugar la posesión del activo como la apreciación o, con signo contrario, la pérdida de valor) que pudiere tener lugar luego de transcurrido el período. 26 Podemos verlo como si se hiciera la diferenciación debajo del signo de integral.

IX. Incertidumbre y riesgo

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como una función de la riqueza inicial, x=x*(W). Sustituyendo esta expresión en lugar de x en la condición de primer orden y diferenciando con respecto a W, se obtiene: [47] E[u''(W+xR)(1+R x*'(W)) R]≡0. Utilizando la propiedad aditiva del operador esperanza matemática,

E[u''(W+xR)R] 9] x*'(W)= – ───────────

igno de x*'(W) es el mismo que el signo del numerador. Y ste signo es positivo si se verifica la propiedad DARA, es decir que

0] ─────── ≤ ───── para R≥0

─────── ≥ ───── para R≤0

por –u(W+xR)R que es un número negativo para la primera esigualdad y positivo para la segunda, tenemos:

1] u''(W+xR)R ≥ ──── u'(W+xR)R

ca m. a m.:

2] E[u''(W+xR)R] ≥ ───── E[u'(W+xR)R]

l 1º miem ro es nulo ición de primer orden. Luego, x*'(W)≥0. En conclusión, si la

[48] E[u''(W+xR)R] + E[u''(W+xR)R2 x*'(W)] ≡0. Por consiguiente, [4 E[u''(W+xR)R2] Como el denominador es negativo, el se –u''(W+xR) –u''(W) [5 u'(W+xR) u'(W) –u''(W+xR) –u''(W) u'(W+xR) u'(W) Multiplicando ambos miembros d u''(W) [5 u'(W) Tomando la esperanza matemáti u''(W) [5 u'(W) E b por la condaversión absoluta al riesgo es decreciente con la riqueza, un aumento de ésta conducirá a una disminución del monto invertido en activos riesgosos. 9.2 Decisiones de producción con incertidumbre sobre el precio

ando el efecto del cambio de un arámetro no aleatorio, la riqueza inicial. Bajo condiciones de incertidumbre, sin embargo, es

En 9.1 fue derivado un resultado de estática comparativa analizptípico que los factores exógenos resulten aleatorios. Cuando se presenta este caso, el análisis debe realizarse preguntándose sobre cómo los cambios de la distribución de una variable aleatoria afectan al comportamiento. Analizaremos el modelo de la empresa competitiva bajo incertidumbre sobre el precio de su producto. Supongan una firma precio–aceptante adversa al

IX. Incertidumbre y riesgo

256

riesgo, que debe tomar decisiones de producción antes de conocer el precio de su producto. Su objetivo será maximizar la utilidad esperada de los beneficios: Maxy E[u(py–c(y))] donde p es una v.a. que representa el precio del producto, y es la producción de la empresa, y (y) es su función de costos. Obtenemos las condiciones de máximo diferenciando con respecto a

] E[u'(py–c(y))(p–c'(y))]=0

– u'(py–c(y))c''(y)]<0

condición de segundo orden D<0 se umple estrictamente.

ducción con incertidumbre de precio con la del caso de certeza. Sea θ la edia de la v.a. p, y escribamos la condición de 1º orden como E[u'(py–c(y))p]=E[u'(py–c(y)c'(y)].

)(c'(y) – θ)]

imer miembro de [54] es la covarianza (pág. 241) entre el precio y la utilidad marginal del greso. Cuando el precio es elevado, los beneficios también, y, como consecuencia de la utilidad

c'(y)≤ θ

tros té producción con incertidumbre de precio se caracteriza por un costo marginal

cy: [53 D=E[u''(py–c(y))(p–c'(y))2

Como hemos hecho habitualmente, supondremos que lac Es útil comparar la promEntonces, restando E[u'(py–c(y)) θ] m. a m.: [54] E[u'(py–c(y))(p– θ)] = E[u'(py–c(y) El prinmarginal decreciente del ingreso, la utilidad marginal es baja. En forma similar, la utilidad marginal será elevada cuando el precio sea bajo. Así el término de la covarianza es negativo, lo que implica: [55] En o rminos, lainferior al precio esperado. Con costos marginales crecientes, para un mismo precio la producción

er término que la roducción y* es función de la distribución de p. Para hacer estática comparativa tenemos que ver

)]≡0

identid

y–c(y))] 7] ──── = ───────────────── + ──────────

l segundo ino es ositivo, ya n (v.p.ej. pág. 190). l signo del primero depende del grado de aversión absoluta al riesgo. Si designamos mediante x

bajo incertidumbre del precio será más reducida que la situación bajo certeza. A efectos de obtener resultados de estática comparativa, observen en primpla respuesta a cambios de los parámetros de la distribución del precio. Por ejemplo, como la media de p es θ, podemos escribir p= θ+e, donde e es una variable aleatoria con media cero. La condición de 1º orden puede ser escrita entonces: [56] E[u'(θ+e)y*( θ–c(y*( θ)))(( θ+e)–c'(y*( θ)) Esta ad puede ser diferenciada con respecto a θ: dy* yE[u''(py–c(y))(p–c'(y))] E[u'(p[5 d θ –D –D E térm claramento p que se trata del efecto sustitucióE

IX. Incertidumbre y riesgo

257

a los beneficios cuando p=c'(y), y la aversión absoluta al riesgo a decreciente, entonces tendremos: –u''(py–c(y)) –u''(x)

8] ───────── ≤ ────── para p≥c'(y)

───────── ≥ ────── para p≤c'(y)

))(p–c'(y)), se obtiene finalmente

9] u''(py–c(y))(p–c'(y)) ≥ ──── u'(py–c(y))(p–c'(y)) para todo p

bros, comprobamos a partir de la condición de rimer orden [53] que el segundo miembro tiene valor esperado igual a cero. Por lo tanto, el primer

[5 u'(py–c(y)) u'(x) –u''(py–c(y)) –u''(x) u'(py–c(y)) u'(x) Multiplicando m. a. m. por –u'(py–c(y u''(x) [5 u'(x) Tomando la esperanza matemática en ambos miemptérmino de la ec. [57] es positivo. Representa una suerte de efecto riqueza. Como aumenta el precio esperado, también lo hará la riqueza y, bajo condiciones de aversión al riesgo decreciente, la empresa estará dispuesta a asumir más riesgo aumentando su producción. El efecto riqueza juega en el mismo sentido que el efecto sustitución, generando una respuesta positiva de la producción al precio esperado. 9.3 Aumento del grado de riesgo

do un esquema para analizar, mediante métodos de la estática su impacto sobre otras variables. El

plicar la desigualdad de Jensen (pág. 247), usando el método de ctativa

entido de que su distribución de media, su utilidad esperada para

una v.a. Las condiciones suficientes de maximización son:

[62] E[fx(x,z)]=0, E[fxx(x,z)]<0

Rothschild y Stiglitz han introduciomparativa, cambios del grado de riesgo de una v.a. y c

enfoque consiste en relacionar el aumento del grado de riesgo de una v.a. mediante “márgenes que conservan la media” (mean–preserving spreads). Si una v.a. z es reemplazada por z+=z+e, donde e es una v.a. con media cero, luego z y z+ tienen la misma media, y resulta natural decir que z+ es más riesgosa que z. Resulta finalmente que agregar ruido a una v.a. (e.d. reemplazar z por z+) es equivalente a remover parte de la masa de probabilidad desde la parte central de la densidad hacia sus colas. Esta noción de márgenes que conservan la media es útil porque si z+ es uno de ellos respecto de z, luego para toda función cóncava u(.), [60] E[u(z+)]≤E[u(z)]. Esta inecuación surge de a

xpe s iteradas, e

[61] E[u(z+e)]=E[E[u(z+e)│z]] ≤ E[u(z+E[e│z)] = E[u(z)].

Por lo tanto, si un proyecto se hace más riesgoso en el s sufre una modificación del margen que conserva laprobabilidad

un individuo adverso al riesgo caerá. En forma similar, como E[u(z+)]>E[u(z)] para toda función u(.) convexa, un individuo amante del riesgo siempre preferirá perspectivas de ingreso más riesgosas.

Podemos hacer estática comparativa usando el concepto del margen que conserva la media. x a fin de maximizar su función objetivo E[f(x,z)], en la que z es Supongan que un individuo elige

IX. Incertidumbre y riesgo

258

Ahora suponemos que α es un parámetro que representa un margen que conserva la media de la distribución de z. La condición de primer orden define una función de elección x=x*( α). Un cambio

α afectará a x* así como el valor de E[f (x,z)] en formade xprimer orden con respecto a α se obtiene:

directa. Diferenciando la condición de

i fx(x,z) es a en z, E[fx(x,z)] decrecerá a medida que z experimenta un margen do término de [63] será negativo. Como E[fxx(x,z)] es ∂x*/∂ α<0. Recíprocamente, si fx(x,z) es convexa en

, ∂x*/∂ α>0

ntreverarnos con los problemas dinámicos involucrados. El productor debe elegir el

el productor es neutral al riesgo, elegirá K

el capital es creciente asegura el cumplimiento de la ición d ora representamos con α a un margen que conserva la media de

os la condición de primer orden con respecto a α:

ue conserve la media aumentará el valor de E[π^(p,w)]. El cual ∂K*/∂α>0. Si la cantidad de trabajo no puede ser

ada lu os beneficios esperados no resultarán afectados en la edida que e nezca sin cambios. Pero en este modelo el productor puede

∂x* ∂ [63] ─── E[fxx(x,z)] + ─── E[fx(x,z)]≡0 ∂ α ∂ α S una función cóncavque conserva la media. Por lo tanto, el segun

gundo orden,negativo por la condición de se. z

Ilustremos el método mediante un modelo sencillo de inversión bajo incertidumbre. Sea una función de producción f(K,L) en donde K es el capital, L el trabajo, y f es homogénea de grado 1. Para simplificar supongamos que el capital dura por el término de un período, de manera que no enemos que et

nivel de K antes de conocer el precio del producto. Luego de elegido K, se revela el precio del producto y el productor determina la cantidad de trabajadores que usarán este capital. El salario es w y el costo del capital está dado por una función convexa c(K). Suponemos que el productor es neutral al riesgo. Para cualquier K, el productor elegirá L a fin de maximizar beneficios. La función de beneficio indirecto puede ser definida como [64] π(p,w,K) = maxL pf(K,L) – wL. Esta función es convexa en los precios (v. pág. 189) y lineal en K (ya que es homogénea de grado

). Luego es posible escribir π(p,w,K)= Kπ^(p,w). Como 1de manera de maximizar sus beneficios: [65] E[π^(p,w) – c'(K) =0 –c''(K)<0

l supuesto de que el costo marginal dEcond e segundo orden. Ahla distribución de p. Si diferenciam ∂ ∂K* [66] ── E[π^(p,w)] – c'(K) ─── =0 ∂α ∂α Como π^(p,w) es convexa, un margen qprimer término de [66] es positivo, por lo

just re ado, la ego que el precio es vel la media del precio p rmam

contratar a más trabajadores cuando el precio del producto es alto. Luego, el aumento de beneficios será más que proporcional que el incremento del precio. Por otra parte, si el precio es bajo, el productor puede disminuir el número de asalariados de forma tal que la reducción de beneficios sea menos que proporcional que la caída del precio. En consecuencia, el retorno de la

IX. Incertidumbre y riesgo

259

inversión será más elevado cuando el precio del producto resulte más variable, aumentando la cuantía de la inversión. 9.5 Formalizaciones alternativas En lugar de trabajar con la función de frecuencias f(.) será más útil emplear la función de

x

ay tres fo n as de la noción de que una función de distribución acumulada F(.) con la misma media. En lo siguiente, supondremos

ue todas las distribuciones están definidas sobre el intervalo de resultados [0,M] a menos que se

riesgo odian”. Es decir, un incremento del riesgo produce una baja de la tilidad esperada de todos los que son adversos al riesgo. Formalmente:

Es decir, existirán pares F(.) y F*(.) con la misma media, pero tales que algunas nciones de utilidad con aversión al resgo preferirán F(.) sobre F*(.) pero otras funciones con

distribución acumulada: F(.), dada por x→FZ(x)=P(Z≤x)= ∫–∞ f(t)dt. H rmalizacio es alternativF*(.) es más riesgosa que otra distribuciónqindique lo contrario. 1) La primera definición de un riesgo acrecentado capta la noción de que “el riesgo es aquello que la gente adversa al u (A) F*(.) y F(.) tienen la misma media y ∫U(x) f*(x) dx ≤∫U(x) f(x) dx para toda función de utilidad cóncava U(x). Observar que esta relación no será satisfecha por cualquier par de distribuciones que tengan la misma media. fuaversión al riesgo preferirán F*(.) sobre F(.). Esto refleja que el riesgo comparado constituye un orden parcial más que un orden completo sobre la familia de distribuciones de probabilidad, aún para familias de distribuciones que tienen una media común. 2) La segunda caracterización de que una v.a. y' con distribución F*(.) es más riesgosa que otra variable x' con distribución F(.) es que y' consiste de la variable x' más un término adicional con

edia nula de ruido blanco ε. El ruido blancom

Ejemplo de forma de onda de un ruido blanco

es una señal aleatoria (proceso estocástico) que se

e arece el estimador de la PSD a

SD no o está

iendo de la forma que tenga el gráfico de la PSD del ruido se

caracteriza porque sus valores de señal en dos instantes de tiempo diferentes no guardan correlación estadística. Como consecuencia de ello, su densidad espectral de potencia (PSD, Power Spectral Density) es una constante, e.d. su gráfico es plano. En el gráfico de la figura se puede ver la PSD de una secuencia de ruido blanco. Debería ser perfectamente "plano" pero no lo es debido a que para estimarlo se analizó un registro de señal (realización temporal del proceso) de longitud finita (106 muestras). Cuanto más largo es el registro de ruido blanco analizado, más spuna recta perfectamente plana. Esto significa que la señal contiene todas las frecuencias y todas ellas tienen la misma potencia. Igual fenómeno ocurre con la luz blanca, lo que motiva la denominación. Si la Pes plana entonces se dice que el ruid"coloreado" (correlacionado). Dependdefinen diferentes colores.

IX. Incertidumbre y riesgo

260

Es posible que ε sea estadísticamente independiente de x', pero esta condición es demasiado

erte en el sentido de que no permite que la varianza de ε dependa de la magnitud de x' – como

ectivas de las v.a. x' y x'+ ε, con propiedad E[ε│x]≡0 para todo valor de x.

es la ya comentada de un margen que conserva la

fues el caso del ruido heterosedástico. En el trabajo mencionado de Rothschild y Stiglitz (1970) la adición de ruido fue modelizada mediante la condición siguiente: (B) F(.) y F*(.) son las funciones de distribución acumuladas respla 3) La tercera noción de un riesgo crecientemedia, debida a Rothschild y Stiglitz (1970). Intuitivamente, este margen consiste en mover la masa de probabilidad desde alguna región central de la distribución de probabilidad hacia sus colas de tal manera que se mantenga el valor esperado (ver la página 7 del artículo de Machina y Rothschild, Figuras 4 y 5). En el caso discreto (Fig. 4) la masa de probabilidad es movida desde el par de resultados b y c hacia los resultados a y d. En el caso continuo (Fig. 5) la masa de probabilidad es movida desde el intervalo (b,c) hacia los intervalos (a,b) y (c,d). Se puede unificar, generalizar y formalizar esta condición estipulando que F*(.) difiere de F(.) por medio de un “margen que conserva la media” si ambas tienen la misma media y existe un único punto de cruce x0 tal que F*(.) ≥ F(.) para todo x≤x0 y F*(.)≤F(.) para todo x≥x0 (ver los paneles intermedios de las Figuras 4 y 5). Como esta secuencia de márgenes también conducirá a distribuciones más riesgosas, esta tercera caracterización de un riesgo creciente puede plantearse de la manera siguiente: (C) F*(.) puede ser obtenida a partir de F(.) mediante una sucesión finita, o como límite de una ucesión, de márgenes que conservan la media. s

Si ustedes observan las integrales de las funciones de distribución acumuladas, verán que los

aneles inferiores de las Figuras 4 y 5 muestran que un margen que conserva la media siempre

s no negativa para todo x>0, y es igual a 0 en x=M.

os mismos, emostrando que las condiciones (A), (B) y (C/C') son equivalentes. Machina y Pratt en 1997

pservirá para elevar o mantener el valor de la integral para cada x. La condición (C) también puede ser escrita de la forma siguiente: x (C') La integral ∫0 [F*(ξ) – F(ξ)] dξ e Rothschild y Stiglitz demostraron que los tres conceptos de riesgo creciente son ldfortalecieron y extendieron la formulación original de Rothschild y Stiglitz. Una observación final En ciertos contextos, el uso del material presentado en este capitulo debe

alizarze con cautela cuando se trata de predecir fenómenos reales. Siempre es conveniente reexplorar las realidades del mercado antes de pasar al terreno predictivo. Por ejemplo, en mercados donde existe incertidumbre en sentido estricto o incertidumbre en sentido de Knight el análisis desarrollado en este capítulo no se puede aplicar porque no tenemos informacion acerca de la distribución de probabilidades.