I

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

MAJA SUDAR

JAKO DEGENERIRANI FERMIONSKI PLIN

Završni rad

Osijek, 2014.

II

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

MAJA SUDAR

JAKO DEGENERIRANI FERMIONSKI PLIN

Završni rad

Predložen Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku

radi stjecanja zvanja prvostupnice fizike

Osijek, 2014.

III

"Ovaj završni rad je izrađen u Osijeku pod vodstvom prof. dr. sc. Ramira Ristića u sklopu

Sveučilišnog preddiplomskog studija fizike na Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja

Strossmayera u Osijeku".

IV

Sadržaj

1. Uvod ......................................................................................................................................... 1

2. Teorijski dio ............................................................................................................................. 2

2.1. Potpuna degeneracija ..................................................................................................................2

2.2 Nepotpuna degeneracija .............................................................................................................5

3 Literatura ................................................................................................................................ 11

4 Životopis ................................................................................................................................ 12

V

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Završni rad

Odjel za fiziku

JAKO DEGENERIRANI FERMIONSKI PLIN

MAJA SUDAR

Sažetak

Jako degenerirani fermionski plin je fermionski plin na jako niskim temperaturama.

Glavna karkteristika jako degeneriranog fermionskog plina je da je kemijski potencijal pozitivan

i mnogo veći od termičke energije:

kT .

Stupanj degeneracije raste s povećanjem omjera μ/kT, te on postaje beskonačan na apsolutnoj

nuli. Kada dosegne apsolutnu nulu govorimo o potpuno degeneriranom fermionskom plinu, tada

će čestice popunjavati redom najniža kvantna stanja.

(12 stranica, 3 slike, 2 tablice)

Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku

Ključne riječi: degenerirani / fermionski / kemijski potencijal / plin

Mentor: Ramir Ristić, prof. dr. sc.

Ocjenjivači: Ramir Ristić, prof. dr. sc.

Rad prihvaćen:

VI

University Josip Juraj Strossmayer Osijek Bachelor of Physics Thesis

Department of Physics

NASLOV RADA

MAJA SUDAR

Abstract

Highly degenerated fermi gas is fermi gas at very low temperatures. Its main

characteristic is positive chemical potential which is a lot higher than the thermal energy:

kT .

The degree of degenaration increases with the increase of μ/kT ratio and it becomes infinite at

absoulte zero. At absoulte zero, the fermi gas is completely degenerated and the particles fill the

lowest quantum states one after the other.

(12 pages, 3 figures, 2 tables)

Thesis deposited in Department of Physics library

Keywords: degenerated / fermi / chemical potential / gas

Supervisor: Ramir Ristić, PhD, Professor

Reviewers: Ramir Ristić, PhD, Professor

Thesis accepted:

1

1. Uvod

Fermioni su čestice polucjelobrojnog spina, a njihovo ponašanje u skupini opisuje Fermi-

Diracova statistika. Valna funkcija sustava jednakih fermiona je antisimetrična. Zamjena dvaju

fermiona uzrokuje promjenu predznaka valne funkcije sustava. Sustav od dva fermiona:

baab .

Iz zahtjela da je valna funcija antisimetrična slijedi važan zaključak. Uvrstimo li u prethodnu

relaciju a=b, mora biti:

0aa .

Prethodna relacija pokazuje Paulijevo načelo: dva fermiona ne mogu se u isto vrijeme smjestiti u

isto kvantno stanje. Kvantno stanje može biti samo prazno ili popunjeno jednim jedinim

fermionom. Fermioni su ime dobili po Enricu Fermiju. U fermione spadaju elementarne čestice

kvarkovi i leptoni (elektroni i tri tipa neutrina), subatomske čestice barioni (protoni i neutroni), te

atomske jezgre s neparnim brojem nukleona (tricij, helij-3, uranije-235).

Promatramo idealni fermionski plin izvan djelovanja vanjskih sila uz aproksimaciju da se

svaka čestica ponaša kao materijalna točka. Pretpostaviti čemo da je individualna energija

fermiona odeređena izrazom:

m

pE

2

2

,

iz čega slijedi da je minimalna energija čestice jednaka nuli. Proučavamo ponašanje sustava u

granici kada je kemijski potencijal pozitivan i mnogo veći od termičke energije:

kT ,

što nam govori da se radi o jako degeneriranom fermionkom plinu. U tom području Paulijev

princip daje osnovno obilježje statističkoj raspodjeli fermiona. Na apsolutnoj nuli čestice će

popunjavati redom najniža kvantna stanja, što nazivamo potpuno degeneriranim fermionskim

plinom. O nepotpunoj degeneraciji govorimo kada imamo fermionski plin na niskoj, ali konačnoj

temperaturi.

2

2. Teorijski dio

2.1. Potpuna degeneracija

Značenje Paulijeva principa snažno se manifestira u izgledu funkcije raspodjele osnovnog

stanja fermiona. Aproksimirajući Fermi-Diracovu funkciju:

1

1

kT

E

e

f

na T=0, dobivamo:

1, 0E

0, 0E .

(*)

Iz relacije (*) možemo vidjeti da je μ0 granična energija koju fermioni zauzimaju na apsolutnoj

nuli. Tu energiju nazivamo Fermijevom energijom. Na apsolutnoj nuli sva stanja ispod

Fermijeve energije su zauzeta, a iznad nje su sva stanja prazna.

Funkcija raspodjele fermiona na apsolutnoj nuli predočena je Slikom 1.. Opisana

zakonitost u raspodjeli nastaje djelovanjem Paulijeva načela. Suprotno pretpostavci klasične

fizike, fermioni na apsolutnoj nuli ne padaju u najniže energijsko stanje. Svako kvantno stanje

Sl. 1. Fermijeva funkcija na apsolutnoj nuli

μ0

E

1

f

f

3

može prihvatiti samo jedan fermion, pa će na apsolutnoj nuli fermioni redom popunjavati najniža

dostupna kvantna stanja.

Iz Paulijeva načela neposredno zaključujemo da definicija temeprature postavljena u

klasičnoj statističkoj fizici

kTm

p

2

3

2

2

gubi valjanost pri niskim temperaturama. Zahvaljujući Paulijevu načelu, energija fermiona i pri

najnižim temperaturama može biti ogromna.

Zauzeta stanja na T=0 možemo prikazati kuglom u prostoru valnog vektora. Ona se

naziva Fermijevom kuglom, a pripadni radijus Fermijevim valnim vektorom. Fermijev valni

vektor kF određuje graničnu energiju:

m

kF

2

22

0

,

Koju često nazivamo i Fermijevom energijom. Temperatura pridružena Fermijevoj energiji

iznosi:

KTF

0

naziva se temperaturom degeneracije. Fermionski plin degeneriran je u temperaturnom području

u kojemu vrijedi:

FTT .

Brzinu čestice s vrha Fermijeve raspodjele možemo izraziti pomoću Fermijeva valnog vektora:

m

kv F

F

.

To je graničnabrzina fermiona na apsolutnoj nuli. Fermijev valni vektor pomoću koncentracije

čestica možemo zapisati na slijedeći način:

4

3

2

)12(

6

Vs

NkF

,

odakle dobivamo da je Fermijeva energija:

3

2

22

0)12(

6

2 Vs

N

m

.

Granična energija opada s porastom mase, a raste s povećanjem gustoće. To je standardna

kvantna veličina koja iščezava u limesu =0.

Ukupna energija osnovnog stanja fermionskog plina iznosi:

Fk

F Nm

kV

sdkk

m

kV

sfEdNU

0

0

52

2

222

205

3

102

12

22

12

,

a srednja energija:

00

05

3

N

UE .

Jednadžba stanja određena je relacijom:

VPU 002

3 ,

odakle je:

005

2

V

NP .

Tlak fermionskog plina proporcionalan je Gibbsovu potencijalu plina G0 =N 0 .

Kod fermionskog plina samo se 2s+1 čestica može smjestiti u stanje minimalne energije,

dok su Bose-Einsteinove čestice pri temperaturi T=0 na najnižem energetskom nivou, što je

poslijedica Paulijeva principa. Poslejdica toga je da je u makroskopskim sustavima granična

energija različita od nule.

5

2.2 Nepotpuna degeneracija

Porastom temperature fermioni se pobuđuju i prelaze na energijske nivoe smještene iznad

0 . Što je energija nekog stanja veća, manja je vjerojatnost da će to stanje biti zaposjednuto.

Kada imamo energiju:

EE ,

funkcija fermionske raspodjele postaje:

1

1)(

KT

E

e

Ef ,

iz čega slijedi:

1)()( EfEf .

U specijalnom slučaju, kada je E =0, dobivamo:

2

1)( f .

Kemijki potencijal je ona vrijednost energije pri kojoj Fermi-Diracova funkcija

raspodjele pada na polovicu maksimalne vrijednosti. Promjene Fermijeve funkcije u okolišu

kemijskog potencijala navedene su u Tablici 1.

6

KTE / )( Ef )( Ef

0 0,5 0,5

0,5 0,6225 0,3775

1 0,7310 0,2690

1,5 0,8176 0,1824

2 0,8808 0,1192

2,5 0,9241 0,0759

3 0,9526 0,0474

3,5 0,9707 0,0293

4 0,9820 0,0180

4,5 0,9890 0,0110

5 0,9933 0,0067

Procijeniti ćemo iznos energije i tlaka jako degeneriranog fermionskog plina

zagrijavanjem od apsolutne nule do temperature T. Kada se nalazimo u području iznad apsolutne

nule funkcija Rermi-Diracove raspodjele uvijek je manja od jedan. Ona će iščezavati ako je

E- 0 znatno veće od KT. Kada je energija najniža moguća tada praktički imamo iščezavanje

eksponencijalne funkcije. Sva stacionarna stanja duboko ispod granične energije 0 su

zaposjednuta. Fermijeva funkcija jako se mijenja samo u pojasu:

KTEKT 44 0 .

Tablica 1. Funkcija raspodjele u okolišu kemijskog potencijala

7

Kada se nalazimo u blizini granične energije 0 tada možemo Fermijevu funkciju aproksimirati

ravnom crtom. Pri zagrijavanju od apsolutne nule do T fermioni prelaze iz gornjeg iscrtkanog

područja u donje. Ta su područja približno trokuti s visinom ½ i osnovicom 4KT, te je njihova

površina KT. Ukupan broj fermiona proporcionalan je s površinom pravokutnika baze 0 i

visine 1, te iz toga slijedi:

0

KT

N

N ef .

Iz čega se može dobiti da je broj fermiona iznad granične energije:

0

KTNNef .

Udaljenost težišta obaju trokuta na energetskoj osi iznosi 8KT/3. Čitav prirast energije iznosi:

2

0

)(3

8

3

8KT

NKTNU ef

,

iz čega slijedi da su ukupna energija i tlak:

2

0

009

401

5

3

KTNUUU ,

Sl. 2. Fermijeva funkcija za tri različite temperature

8

2

0

09

401

5

2

KTNP .

U području degeneracije ukupna energija i tlak plina neznatno se mijenja s povećanjem

temperature. Osnovne vrijednosti tih veličina određene su doprinosom koji potječe od Paulijeva

principa, a temperaturni efekt uzrokuje samo male popravke.

Derivacijom energije po temperaturi dobivamo izraz za toplinski kapacitet:

0

22

2

NTKCV .

Taj izraz izveo je Sommerfeld 1928. godine. Pri niskim temperaturama toplinski kapacitet

fermiona proporcionalan je temperaturi. Za razliku od klasičnog izraza za toplinski kapacitet

idealnog plina (formula (**)), odgovarajući kvantni izraz teži nuli u limesu apsolutne nule.

Toplinski kapacitet jako degeneriranog fermionskog plina ponaša se u skladu s trećim zakonom

termodinamike, on je proporcionalan s temperaturom samo u niskotemperaturnom području.

Povišenjem temperature ovisnost toplinskog kapaciteta o temperaturi postaje sve slabija. U

limesu visokih temperatura toplinski kapacitet približava se klasičnoj vrijednosti 3Nk/2 (Slika 4).

Sl. 3. Fermijeva krivulja u blizini granične energije može se aproksimirati ravnom crtom. Elektroni iz vodoravno

iscrtkanog područja prelaze pri zagrijavanju na temperaturu T u okomito iscrtkano područje.

9

NKCkl

V 2

3 (**)

Kada znamo toplinski kapacitet možemo izračunati i entropiju. Pri konstantnom

volumenu entropija je određena izrazom:

T

dTCS V ,

iz čega dobivamo:

0

0

22

2S

TkNS

.

Kemijski potencijal ima maksimum na apsolutnoj nuli. Pri visokim temperaturama taj

izraz više nije ispravan. U području T<<TF kemijski potencija se ne razlikuje bitno od 0 . Što

je temperatura viša, kemijski potencijal je manji. U blizini temperature degeneracije kemijski

potencijal postaje negativan, a na još višim temperaturama njegov iznos je toliko velik da

počinje vrijediti uvjet:

KT

koji označuje prijelaz u domenu klasične statistike. Vrijednost kemijskog potencijala, unutrašnje

energije, slobodne energije i entropije u području T TF vidimo u Tablici 2.

Sl. 4. Toplinski kapacitet idealnog jednoatomskog fermionskog plina kao funkcija temperature

10

T/TF / 0 U/U0 F/U0 S/NK

0,0 1,000 00 1,000 00 1,000 00 0,000 00

0,05 0,997 94 1,010 25 0,989 73 0,246 12

0,1 0,991 64 1,040 47 0,959 08 0,488 31

0,15 0,980 73 1,088 93 0,908 60 0,721 32

0,2 0,964 58 1,152 53 0,839 28 0,939 75

0,25 0,942 62 1,227 85 0,752 45 1,140 95

0,3 0,914 58 1,312 07 0,694 60 1,324 93

0,35 0,880 45 1,403 17 0,532 08 1,493 03

0,4 0,840 35 1,496 15 0,401 15 1,646 99

0,45 0,794 49 1,599 37 0,257 92 1,788 54

0,5 0,743 11 1,702 73 0,103 37 1,919 25

0,55 0,686 49 1,808 42 -0,061 68 2,040 48

0,6 0,624 87 1,916 90 -0,236 48 2,153 38

0,65 0,558 50 2,026 82 -0,420 38 2,258 95

0,7 0,487 61 2,138 23 -0,612 80 2,358 02

0,75 0,412 42 2,250 90 -0,813 22 2,451 30

0,8 0,333 14 2,364 65 -1,021 20 2,539 39

0,85 0,249 94 2,479 67 -1,236 33 2,622 82

0,9 0,163 00 2,594 83 -1,458 22 2,702 04

0,95 0,072 48 2,711 05 -1,686 90 2,777 44

1,0 -0,021 46 2,827 90 -1,921 03 2,849 36

Tablica 2. Ovisnost kemijskog potencijala, ukupne energije, slobodne energije i entropije fermiona o temperaturi

11

3 Literatura

Supek, I. Teorijska fizika i struktura materije II. Zagreb: Školska knjiga, 1990.

Šips, V. Uvod u statističku fiziku. Zagreb: Školska knjiga, 1990.

12

4 Životopis

Maja Sudar rođena je 06.05.1992. godine u Našicama. Pohađala je Osnovnu školu Ivana

Kukuljevića u Belišću, te nakon toga upisuje Opću gimnaziju u Srednjoj školi Valpovo. Nakon

završene gimnazije upisuje Preddiplomski studij fizike na Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa

Jurja Strossmayera u Osijeku. U slobodno vrijeme aktivno se bavi kajakom i postiže zapažene

rezultate.