janusz german - podstawy mechaniki kompozytów włóknistych - skrypt4
DESCRIPTION
Podstawy mechaniki kompozytów włóknistychTRANSCRIPT
-
ROZDZIA 4
53
ROZDZIA 4
-
J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH
54
ROZDZIA 4 NAPRENIA I ODKSZTACENIA W LAMINACIE
KLASYCZNA TEORIA LAMINACJI
Przedmiotem rozwaa tego rozdziau bdzie laminat, rozumiany jako zbir warstw trwale ze sob poczonych. Warstwy w laminacie s tak ustawione wzgldem siebie i zarazem przyjtego arbitralnie ukadu odniesienia, aby uzyska takie charakterystyki sztywnociowe laminatu, ktre umoliwiaj formowanie elementw konstrukcyjnych zdolnych do przenoszenia obcienia o dowolnym kierunku. O cechach sprystych laminatu decyduj dwa czynniki - dobr materiau, z ktrego ma on by wykonany i sekwencja uoenia warstw w laminacie. Z punktu widzenia mechaniki interesujcy jest tylko drugi czynnik, gdy podstawowym zagadnieniem w analizie kompozytw laminatowych jest to, w jaki sposb cechy indywidualnych warstw determinuj wasnoci kompozytu. W odniesieniu do pojedynczych warstw wprowadzono pojcie gwnych osi materiaowych i zwizanej z nimi konfiguracji osiowej warstwy. O pooeniu tych osi decydowa kierunek wkien w warstwie. W przypadku kompozytw wielowarstwowych pojcie takie nie da si z oczywistych powodw zdefiniowa, zatem ich opis zawsze odbywa si w dowolnie przyjtym ukadzie wsprzdnych, ktry z punktu widzenia poszczeglnych warstw jest z reguy ukadem nieosiowym. Metoda uwzgldniania wasnoci indywidualnych warstw tworzcych kompozyt i pozwalajca na tej podstawie opisa wasnoci kompozytu nosi nazw klasycznej teorii laminacji. Niekiedy mona spotka okrelenie klasyczna teoria pyt laminatowych, co jest uzasadnione faktem wykorzystywania w teorii laminacji zaoe typowych dla teorii pyt cienkich.
4.1. Klasyczna teoria laminacji
4.1.1. Zaoenia i podstawy teorii pyt cienkich
W klasycznej teorii laminacji przyjmuje si nastpujce zaoenia
laminat skada si z warstw poczonych ze sob w sposb nierozerwalny, a poczenia s nieskoczenie cienkie (maj zerow grubo) i nie zezwalaj na cinanie midzywarstwowe. Oznacza to, e odksztacenia przebiegajce po gruboci kompozytu s cige i adna warstwa nie moe przemieszcza si wzgldem innej (nie wystpuj polizgi). Kompozyt jako cao tworzy makroskopowo jedn warstw, ale o wasnociach bdcych wypadkow wasnoci tworzcych go warstw,
obowizuje teoria pyt cienkich, tzn. przyjmuje si hipotez Kirchhoffa-Love'a, mwic, e
linia prosta i prostopada do powierzchni rodkowej pozostaje prosta i prostopada po przyoeniu obcienia dziaajcego w paszczynie rodkowej (tzw. stan tarczowy), jak i obcienia wywoujcego zginanie (tzw. stan gitny), co oznacza, e w uk. (x, y, z) - rys. 4.1
xz = yz = 0 (4.1) odcinek normalny do powierzchni rodkowej nie zmienia swojej dugoci, tzn.
z = 0 (4.2) obowizuje zaoenie o maych przemieszczeniach.
Na rys. 4.1 u, v w oznaczaj przemieszczenia w kierunku osi odpowiednio x, y, z. Przemieszczenia punktw powierzchni rodkowej w kierunku osi x oznaczono jako uo , a w kierunku osi z - wo .
-
ROZDZIA 4
55
z
A
B
CD
A
BC
D
y, v
x, u
z, w
x
a
z cw o
u o
z c
ABD
A B
Rys. 4.1. Przemieszczenie punktw w paszczynie (x, y): A. stan pocztkowy, B. stan odksztacony
Przemieszczenie dowolnego punktu C w kierunku osi x wynosi
u u ac o= (4.3)
Na mocy zaoenia o maych przemieszczeniach
a z zc c= sin (4.4)
Rwnanie (4.3) ma wwczas posta
coc zuu = (4.5)
gdzie oznacza kt nachylenia stycznej do powierzchni rodkowej do osi x i wynosi
xwo
= (4.6)
Dla dowolnego punktu "z" lecego wzdu gruboci laminatu, przemieszczenie w kierunku x wynosi
xwzuu oo
= (4.7)
Identyczne rozumowanie dla paszczyzny (y, z) pozwala zapisa przemieszczenie punktu w kierunku osi y w postaci
ywzvv oo
= (4.8)
Powysze zalenoci wynikajce z hipotezy Kirchhoffa powoduj, e zlinearyzowane rwnania geometryczne Cauchy'ego przyjmuj (w odniesieniu do pyt) nastpujce postaci
2o
2o
x xwz
xu
xu
== (4.9)
2o
2o
y ywz
yv
yv
== (4.10)
xy
o o ouy
vx
uy
vx
zw
x y= + = + 2
2
(4.11)
-
J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH
56
Odksztacenia okrelone rwnaniami (4.9)-(4.11) mona zdekomponowa na odksztacenia powierzchni rodkowej i krzywizny powierzchni rodkowej, a odpowiadajce im tensory odksztacenia zapisa w nastpujcej postaci
tensor odksztace powierzchni rodkowej
+
=
xv
yu
yvx
u
oo
o
o
oxy
oy
ox
(4.12)
tensor krzywizn powierzchni rodkowej
=
yxw
2
ywxw
o2
2o
2
2o
2
oxy
oy
ox
(4.13)
Ostatecznie zatem tensor odksztacenia zapiszemy w postaci sumy dwch powyszych
=
oxy
oy
ox
xy
y
x
+oxy
oy
ox
z
(4.14)
Istotnym wnioskiem pyncym z rwnania (4.14) jest ten, e odksztacenia zmieniaj si po gruboci laminatu liniowo. W dalszej czci rozdziau bdzie pokazane, e w przypadku stanw tarczowych (brak zginania) i dla okrelonych klas laminatw s wrcz stae po gruboci.
Korzystajc z (4.14), rwnania fizyczne (3.14) mona zapisa dla "k-tej" warstwy laminatu w postaci
[ ]
=
oxy
oy
ox
k
kxy
y
x
Q
[ ]
+oxy
oy
ox
k zQ
(4.15)
Jeli uwzgldni liniow zmian odksztace po gruboci laminatu, fakt e sztywnoci warstw go tworzcych mog by (i prawie zawsze s) rne, a take zwizek (4.15), to dla hipotetycznego laminatu o zmiennych sztywnociach warstw, rozkady odksztace i napre po gruboci laminatu mog wyglda tak, jak pokazano na rys. 4.2.
Q_
x
z
- t/2
t/2
Rys. 4.2. Przykadowy rozkad napre po gruboci laminatu.
-
ROZDZIA 4
57
4.1.2. Wypadkowe siy i momenty w laminacie Naprenia w laminacie okrela si jako wielko urednion napre warstwowych po gruboci laminatu, tzn.
dzt1 2
t
2t
kii
= (4.16)
gdzie i oznacza "i-t" skadow naprenia redniego w laminacie, ik - "i-t" skadow naprenia
w "k-tej" warstwie laminatu, za t jest gruboci laminatu.
Zazwyczaj w miejsce napre rednich wprowadza si pojcie si i momentw wypadkowych (si i momentw na jednostk szerokoci przekroju). Siy i momenty wypadkowe w paszczynie laminatu pokazano na rys. 4.3.
Siy i momenty wypadkowe okrelone s nastpujcymi rwnaniami
dztN2
t
2t
kiii
== siy wypadkowe w laminacie (4.17)
dzzM2
t
2t
kii
= momenty wypadkowe w laminacie (4.18)
x
y
z
N x
N y
N yx
N xyM y
M xM xy
M yx
Rys. 4.3. Siy i momenty wypadkowe w paszczynie laminatu.
Korzystajc z addytywnoci cakowania i oznacze jak na rys. 4.4 - przedstawiajcym ukad warstw w przekroju laminatu - rwnania (4.17) i (4.18) mona zapisa nastpujco
dzdzNNN
k
N
1k
z
z xy
y
x2t
2t
kxy
y
x
xy
y
x k
1k
=
=
=
(4.19)
dzzdzzMMM
k
N
1k
z
z xy
y
x2t
2t
kxy
y
x
xy
y
x k
1k
=
=
=
(4.20)
Na rys. 4.4 wprowadzono nastpujce oznaczenia: z k c - rodek cikoci "k-tej" warstwy, t k - grubo "k-tej" warstwy, t - cakowita grubo laminatu, N - ilo warstw w laminacie.
-
J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH
58
Rys. 4.4. Przekrj laminatu.
Po uwzgldnieniu zwizkw fizycznych dla "k=tej" warstwy (rwnanie (4.15))- rwnania wypadkowych si i momentw - (4.19) i (4.20) - przyjmuj ponisze postaci
[ ] [ ] ==
+
=
N
1k
z
z oxy
oy
ox
k
N
1k
z
z oxy
oy
ox
k
xy
y
x k
1k
k
1k
dzzQdzQNNN
(4.21)
[ ] [ ] ==
+
=
N
1k
z
z
2
oxy
oy
ox
k
N
1k
z
z oxy
oy
ox
k
xy
y
x k
1k
k
1k
dzzQdzzQMMM
(4.22)
Biorc pod uwag, e transformowana macierz sztywnoci dla dowolnej "k-tej" warstwy nie zmienia si po jej gruboci (cho oczywicie moe si zmienia od warstwy do warstwy), mona wyczy j przed znaki caek. Dalsze uproszczenia wynikaj z faktu, e odksztacenia i krzywizny powierzchni rodkowej s takie same dla wszystkich warstw i nie zale od zmiennej z. Mog wic by wyczone zarwno przed znaki sumowania jak i caek. Rwnania (4.21) i (4.22) przyjm wwczas postaci
[ ] ( ) [ ] ( )
+
=
=
=
oxy
oy
oxN
1k
21k
2kk
oxy
oy
oxN
1k1kkk
xy
y
x
zzQ21zzQ
NNN
(4.23)
[ ] ( ) [ ] ( )
+
=
=
=
oxy
oy
oxN
1k
31k
3kk
oxy
oy
oxN
1k
21k
2kk
xy
y
x
zzQ31zzQ
21
MMM
(4.24)
W klasycznej teorii laminacji wprowadza si nastpujce okrelenia na wyraenia ujte w nawiasy w rwnaniach (4.23) i (4.24)
macierz sztywnoci tarczowej
( ) ( ) ( )==
==N
1kkkji
N
1k1kkkjiji
tQzzQA (4.25)
macierz sztywnoci sprze
( ) ( ) ( ) ckN
1kkkji
N
1k
21k
2kkjiji
ztQzzQ21B
== == (4.26)
macierz sztywnoci zginania
( ) ( ) ( )==
+==
N
1k
3k2c
kkkji
N
1k
31k
3kkjiji 12
tztQzzQ
31D (4.27)
1
paszczyzna rodkowa
2
k
N
zN zN-1
zk zk-1 tk
z2 z1 z0
z
2t
2t
zkc
2tz
2tz
N
0
=
=
-
ROZDZIA 4
59
Ze wzgldu na symetri transformowanej macierzy sztywnoci i postaci rwna okrelajcych macierze [A], [B], [D], wszystkie te macierze s oczywicie, rwnie symetryczne.
Ogln procedur wyznaczania macierzy sztywnoci dla laminatu, skadajcego si z warstw tego samego materiau o staych inynierskich E1, E2, G12 i 12 pokazano na rysunku 4.5. Ostatecznie wypadkowe siy i momenty dla laminatu mona przedstawi w postaci
+
=
oxy
oy
ox
662616
262212
161211
oxy
oy
ox
662616
262212
161211
xy
y
x
BBBBBBBBB
AAAAAAAAA
NNN
(4.28)
+
=
oxy
oy
ox
662616
262212
161211
oxy
oy
ox
662616
262212
161211
xy
y
x
DDDDDDDDD
BBBBBBBBB
MMM
(4.29)
lub te w skrconej postaci symbolicznej
=
o
o
DBBA
MN
(4.30)
Macierz Bi j wywouje sprzenie stanu tarczowego i gitnego w laminacie. Tak wic w oglnym przypadku laminatu o cakowicie dowolnej budowie - stanom tarczowym (dla przykadu sia skupiona dziaajca w paszczynie laminatu) towarzysz stany gitne (zginanie, zwichrzenie) i odwrotnie.
W wikszoci przypadkw, typowych i najczciej stosowanych klas laminatw (przez klas rozumie si tu grup laminatw o specyficznym ukadzie ktowym warstw i sekwencji ich uoenia), przedstawionych w dalszej czci rozdziau, sprzenie stanw tarczowych i gitnych nie wystpuje, w wyniku czego stany tarczowe mona opisa macierz sztywnoci tarczowej [A] , a stany gitne macierz [D].
4.1.3. Podatno w laminatach
W poprzednim rozdziale okrelono macierze sztywnoci dla laminatu. Pojawia si naturalne pytanie o posta macierzy podatnoci.
W przypadku pojedynczej warstwy kompozytowej, czy to w konfiguracji osiowej, czy te zupenie dowolnej, odpowied bya oczywista i prosta - macierz podatnoci jest macierz odwrotn do macierzy sztywnoci, odpowiednio - zredukowanej i transformowanej. W rozdziale 2 i 3 podano odpowiednie "przepisy" okrelajce rne postaci macierzy podatnoci.
W przypadku laminatu sytuacja jest bardziej skomplikowana. Aby to wykaza, wystarczy odwrci zwizki fizyczne w postaci (4.30). Odwrcenie pierwszego z rwna daje
{ } [ ] { } [ ] [ ] { }o11o BANA = (4.31) Podstawiajc ten zwizek do drugiego z rwna (4.30) i dokonujc elementarnych przeksztace otrzymujemy zwizek midzy krzywiznami powierzchni rodkowej i wypadkowymi siami i momentami
{ } [ ] { } [ ] [ ][ ] { } [ ] [ ] [ ][ ] [ ]BABDHNABHMH 1111o == ; (4.32) Rwnanie (4.31) po wykorzystaniu (4.32) przyjmuje posta
{ } [ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ]( ) { } [ ] [ ][ ]( ) { }MHBANABHBAA 111111o ++= (4.33) Wprowadzajc nastpujce oznaczenia macierzy wystpujcych w rwnaniach (4.32) i (4.33)
[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] 111111 HBABABHBAAA =+= (4.34)
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] 111 HDBABHB ===
-
J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH
60
otrzymujemy poszukiwane rwnania odwrotne do (4.30) w postaci
=
MN
DBBA
o
o
(4.35)
Otrzymane rezultaty pokazuj, e adna z macierzy [A ' ] , [B ' ] , [D' ] nie jest macierz odwrotn do "odpowiadajcej" jej macierzy sztywnoci. Z tego wzgldu w odniesieniu do laminatu nie operuje si w oglnym przypadku pojciem macierzy podatnoci.
Powysze komplikacje znikaj w przypadku laminatw, w ktrych nie wystpuje sprzenie stanu tarczowego i gitnego, tzn. gdy macierz sztywnoci [B] = [0] . Z rwna (4.34) wynika, e wwczas
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 11 DD0BAA === (4.36)
4.1.4. Macierze sztywnoci jako funkcje niezmiennikw
Bardzo "zgrabny", a przy tym uatwiajcy zrozumienie charakterystyk sprystych laminatu, sposb wyznaczania skadowych macierzy [A] , [B] i [D] wynika z zastosowania funkcji ktw wielokrotnych i wielkoci niezmienniczych dla warstwy kompozytowej (rozdzia 3.2.1.).
Zilustrowany on bdzie na przykadzie macierzy sztywnoci tarczowej [A] . Odgrywa ona w mechanice kompozytw specjaln rol, gdy w przypadku laminatw o budowie, ktra eliminuje sprzenie stanu tarczowego i gitnego (tzn. [B] = [0] ), obcionych wycznie siami dziaajcymi w paszczynie laminatu, daje peny opis jego cech sprystych - z rwna (4.28), (4.29) pozostaje bowiem wwczas jedynie rwnanie
=
oxy
oy
ox
662616
262212
161211
xy
y
x
AAAAAAAAA
NNN
(4.37)
Z sytuacj opisan powyej mamy czsto do czynienia w badaniach dowiadczalnych kompozytw, w ktrych z reguy znane s siy, a mierzone odksztacenia.
Oglne okrelenie elementw macierzy [A] podaje rwnanie (4.25). Wida, e w celu wyznaczenia sztywnoci tarczowej naley skorzysta z transformowanych macierzy sztywnoci dla wszystkich warstw tworzcych laminat. W charakterze przykadu, obliczymy skadow A11. Korzystajc ze wzorw transformacyjnych podanych w tab. 3.2 i rwnania (4.25) otrzymujemy
+++=++= N111NN
1111
1111 tUtUtQtQA ..............
( ) ( )=++++++ NN3113NN2112 t4Ut4Ut2Ut2U cos.......coscos.......cos (4.38) ( ) ( )NN113NN1121 t4t4Ut2t2UtU cos.......coscos.......cos ++++++=
Wprowadmy pojcie objtociowego udziau warstwy w caym laminacie, zdefiniowanego jako
tt
tAtA
VV
v wwL
ww === 1v
N
1kk =
=
(4.39)
Rwnanie (4.38) mona wwczas zapisa w postaci
( ) ( )[ ]NN113NN112111 4v4vU2v2vUUtA cos.......coscos.......cos ++++++= (4.40) Wprowadmy nastpujce wspczynniki, zalene tylko od konfiguracji i udziau objtociowego warstw
k
N
1kk1 2vV
=
= cos* kN
1kk2 4vV
=
= cos* (4.41)
-
ROZDZIA 4
61
k
N
1kk3 2vV
=
= sin* kN
1kk4 2vV
=
= sin*
Kady z powyszych wspczynnikw, ze wzgldu na warunek (4.39), musi spenia nierwnoci
1V1 i * (4.42)
Pierwsza skadowa macierzy sztywnoci tarczowej (4.40) ma wwczas posta **
2312111 VUVUUtA ++= (4.43)
W analogiczny sposb mona wyznaczy pozostae skadowe macierzy [A] . Przedstawiono je w tabeli 4.1, ktra ma identyczn struktur, jak tabela 3.2 dla transformowanej macierzy sztywnoci warstwy. Tak wic sztywnoci tarczowe laminatu mona bezporednio porwnywa z odpowiednimi sztywnociami tworzcych go warstw, co daje dobry obraz wpywu poszczeglnych warstw na sztywno globaln laminatu. Naley tu jeszcze poczyni krtk uwag dotyczc terminologii. Macierz [A], jak to ju powiedziano, okrela si mianem macierzy sztywnoci tarczowej, natomiast macierz powsta przez podzielenie wszystkich wartoci [A] przez grubo laminatu t - unormowan macierz sztywnoci tarczowej, unormowan w tym sensie, e jej elementy maj taki sam wymiar, jak elementy macierzy zredukowanej i transformowanej (tzn. wymiar naprenia).
1 U2 U3 A11 / t U1 V1* V2* A22 / t U1 - V1* V2* A12 / t U4 0 - V2* A66 / t U5 0 - V2* A16 / t 0 1/2 V3* V4* A26 / t 0 1/2 V3* - V4*
TABELA 4.1. Unormowana macierz sztywnoci tarczowej laminatu.
Rys. 4.5. Oglna procedura wyznaczania macierzy sztywnoci dla laminatu.
1
2
x
y
x
y
1
2
k
Stae materiaowe dla warstwy w gwnych osiach materiaowych
E1, E2, G12, 12
Rw. (2.42)
Rw. (3.20)
Tabela 3.1 lub Tabela 3.2
Rw. (4.25) lub (4.39)+(4.41)+tabl. 4.1 Rw. (4.26) Rw. (4.27)
Zredukowana macierz sztywnoci dla warstwy
Q11, Q22, Q12, Q66
Wspczynniki geometryczne U1, U2, U3, U4, U5
Transformowane macierze sztywnoci dla warstw k=1 ...N
k26
k16
k66
k12
k22
k11 Q,Q,Q,Q,Q,Q
Macierze sztywnoci dla laminatu [A], [B], [D]
-
J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH
62
4.1.5. Stae inynierskie
Ze wzgldu na moliwoci dowiadczalnej weryfikacji staych inynierskich, zostanie tu podany sposb okrelania tych staych tylko dla laminatw, w ktrych nie wystpuje sprzenie stanu tarczowego i gitnego. Zakada si jednoczenie, e obcienie laminatu stanowi siy (naprenia), dziaajce w jego paszczynie. Mwic bardzo precyzyjnie, naleaoby zatem mwi o tarczowych staych inynierskich.
Korzystajc z odwrconego rwnania (4.27), zwizku midzy si wypadkow i napreniem rednim w laminacie (4.17), a take wykonujc dla laminatu seri testw, analogicznych do tych, pokazanych na rys. 3.5 dla pojedynczej warstwy, otrzymamy nastpujce zwizki okrelajce stae inynierskie w paszczynie laminatu
tA1G
tA1E
tA1E
66
Lyx
22
Ly
11
Lx
=
=
= (4.44)
Ly26
Lyxy
Lx61
Lyxx
Lx12
Lyx EtAEtAEtA === ,,
Pozostae inynierskie wynikaj z symetrii macierzy [A ' ] i wynosz
Ly
LyxL
yxyL
yyxLx
LyxL
yxxL
xyxLx
LyL
yxLxy E
G
E
G
E
E,,,, === (4.45)
Procedura wyznaczenia staych inynierskich w paszczynie laminatu jest nastpujca
wyznaczy macierz sztywnoci tarczowej [A] wg procedury pokazanej na rys. 4.5,
wyznaczy macierz [A ' ] przez odwrcenie macierzy [A] , zgodnie z zasadami odwracania macierzy,
wyznaczy stae inynierskie wg (4.44) i (4.45).
4.2. Teoria laminacji z uwzgldnieniem wpywu temperatury
W rozdziale 1.4.3 wspomniano o procesie utwardzania laminatu, ktry zachodzi w temperaturze powyej stu stopni Celsjusza. Jeeli temperatura w jakiej laminat jest wykorzystywany rni si od temperatury utwardzania to w analizie napre powinny by uwzgldnione efekty tym wywoane.
W liniowej teorii sprystoci odksztacenia cakowite s sum odksztace czysto mechanicznych i odksztace cieplnych tzn.
i i j j iS T i j= + = , , ,1 2 6 (4.46)
gdzie T oznacza rnic midzy temperatur eksploatacji, a temperatur utwardzania, za i s wspczynnikami rozszerzalnoci cieplnej. W gwnych osiach materiaowych istniej tylko wspczynniki rozszerzalnoci liniowej tzn. 1 i 2 . Zwizek odwrotny do (4.46) ma posta
( ) 621jiTQ jjjii ,,, == (4.47) Czon Q Ti j j oznacza naprenia termiczne w stanie bezodksztaceniowym laminatu - tzw. naprenia resztkowe.
Tak wic zwizek fizyczny dla warstwy w gwnych osiach materiaowych ma posta
=
6
22
11
66
2212
1211
6
2
1
TT
Q000QQ0QQ
(4.48)
Biorc pod uwag laminat, naprenia w jego "k-tej" warstwie, wyraaj si w osiach laminatu (x, y) zwizkiem
-
ROZDZIA 4
63
kxyxy
yy
xx
k662616
262212
161211
kxy
y
x
TTT
QQQQQQQQQ
=
(4.49)
gdzie x , y i xy to tzw. pozorne wspczynniki rozszerzalnoci cieplnej, ktre otrzymuje si poprzez zastosowanie odpowiedniej transformacji (dodatniej lub ujemnej) wspczynnikw 1 i 2 , analogicznie jak dla tensora odksztace.
Zwizek fizyczny (4.49) zapisany macierzowo w postaci
{ } [ ] { } [ ] { } TQQ kkkkk = (4.50) wraz z rwnaniem (4.13), zapisanym dla "k-tej" warstwy
{ } { } { }ook z += (4.51) po zastosowaniu procedury identycznej z t dla klasycznej teorii laminacji (rozdz. 4.1.2), prowadzi w efekcie do wypadkowych si i momentw w postaci
+
=
Txy
Ty
Tx
oxy
oy
ox
662616
262212
161211
oxy
oy
ox
662616
262212
161211
xy
y
x
NNN
BBBBBBBBB
AAAAAAAAA
NNN
(4.52)
+
=
Txy
Ty
Tx
oxy
oy
ox
662616
262212
161211
oxy
oy
ox
662616
262212
161211
xy
y
x
MMM
DDDDDDDDD
BBBBBBBBB
MMM
(4.53)
gdzie
{ } =
=
=N
1kk
kxy
y
x
k662616
262212
161211
Tyx
Ty
Tx
T tQQQQQQQQQ
TNNN
N
(4.54)
oznacza wektor wypadkowych si termicznych, natomiast
{ } =
=
=N
1k
ckk
kxy
y
x
k662616
262212
161211
Tyx
Ty
Tx
T ztQQQQQQQQQ
TMMM
M
(4.55)
oznacza wektor wypadkowych momentw termicznych.
Przenoszc w rwnaniach (4.52) i (4.53) wypadkowe siy i momenty termiczne na lewe strony, mona je traktowa jak rwnowane siy i momenty mechaniczne. Rwnania te przyjmuj wwczas postaci
{ } { } [ ] { } [ ] { }ooT BANNN +=+= (4.56) { } { } [ ]{ } [ ] { }ooT DBMMM +=+= (4.57) Wielkoci N Mi i i nosz nazwy, odpowiednio - fikcyjnych si i momentw wypadkowych. Podobnie jak w klasycznej teorii laminacji - (4.56) i (4.57) mona zapisa wsplnie w postaci
=
o
o
DBBA
MN
(4.58)
-
J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH
64
lub te po odwrceniu
=
MN
DBBA
o
o
(4.59)
przy czym macierze [A ' ] , [B ' ] , [D' ] okrelone s rwnaniami (4.34).
4.3. Przykady
Przykad 1
Wyznaczy wartoci staych inynierskich dla laminatu o kodzie [0, 90n]s w zalenoci od iloci warstw 90 dla kompozytu grafit/epoksyd (T 300 / epoksyd Vicotex 174), dla ktrego stae materiaowe wynosz E1=137 GPa, E2=10.04 GPa, G12=4.8 GPa, 12=0.3.
W zwizku z symetri laminatu wartoci staych inynierskich moemy wyznaczymy z rwna (4.44). Wymagaj one znajomoci macierzy sztywnoci tarczowej [A]. Do jej okrelenia wykorzystamy procedur pokazan na rys. 4.5.
Zredukowana macierz sztywnoci dla pojedynczej warstwy jest okrelona rwnaniem (2.42). Ma ona nastpujc posta
[ ]
=
840001110033003391137
Q.
....
[GPa] (4.60)
Z rwna (3.20) obliczamy wartoci wspczynnikw Ui . Otrzymujemy wwczas (w [GPa])
U1 = 58.665 U2 = 63.902 U3 = 15.344 U4 = 18.378 U5 = 20.144
Z rwna (4.39) i (4.41) wyznaczamy parametry geometryczne laminatu.
Uwzgldniajc, e oglna liczba warstw wynosi N = 2n+2, liczba warstw 0 - 2, a warstw 90 -2n, objtociowe udziay warstw 0 i 90 oraz wspczynniki Vi* , wynosz:
vo = 2 / (2n + 2) v90 = 2n / (2n + 2)
V1* = vo - v90 = (2 - 2n) / (2n + 2) V2* = vo + v90 = 1 V3* = V4* = 0
Elementy macierzy sztywnoci tarczowej [A] /t wyznaczamy z tabeli 4.1 ( w [GPa]).
Elementy A12 i A66 nie zale od objtociowych udziaw warstw i wynosz
A12/ t = 3.034 = Q12 A66/ t = 4.8 = Q66 elementy A16 i A26 ze wzgldu na zerowanie si V3* i V4* s rwne zero
elementy A11 i A22 zale od udziau warstw i wynosz
A11/ t = 74.009 + 63.902 V1* A22/ t = 74.009 - 63.902 V1*
Dalsze obliczenia przebiegaj ju dla konkretnych wartoci n. W tabeli 4.2 podano wartoci skadowych unormowanej macierzy sztywnoci tarczowej w zalenoci od liczby n
n V1* A11 / t A22 / t A12 / t A66 /t 0 1 137.911 10.107 1 0 74.009 74.009 2 -0.333 52.708 95.3108 3 -0.5 42.058 105.960 3.034 4.8 4 -0.6 35.668 112.350
10 -0.8181 21.726 126.292 20 -0.9048 16.190 131.828
Tabela 4.2. Unormowane macierze sztywnoci tarczowej dla laminatu [0, 90n]s
-
ROZDZIA 4
65
Obecnie naley znale macierze odwrotne do macierzy [A] dla kolejnych "n", a nastpnie znale wartoci staych inynierskich z relacji (4.44) i (4.45). Niezerowe stae inynierskie przedstawiono na rysunku 4.6.
Analiz wynikw pozostawmy czytelnikowi - zauwamy jedynie, e dla n=0 laminat skada si z dwch warstw 0 i wartoci staych inynierskich s takie same jak dla pojedynczej warstwy kompozytowej w konfiguracji osiowej (patrz - stae materiaowe w temacie zadania).
0
20
40
60
80
100
120
140
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
liczba warstw 90 "n"
mod
uy
Youn
ga [G
Pa]
ExEy
137
10.04
0
1
2
3
4
5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
liczba warstw 90 "n"
mod
u
cina
nia
[GPa
]0
0.06
0.12
0.18
0.24
0.3 wspczynnik Poissona
Gxynixy
4.8
dla n=2 nixy=0.032
Rys. 4.6. Zaleno staych inynierskich od liczby warstw 90 dla laminatu [0, 90n]s
Przykad 2
Wyznaczy wartoci staych inynierskich dla laminatu o kodzie [ 0, , - ]s w zalenoci od kta dla kompozytu grafit/epoksyd (T300/epoksyd Vicotex174), dla ktrego stae materiaowe wynosz E1=137 GPa, E2=10.04 GPa, G12=4.8 GPa, 12=0.3.
x
y
+
Rys. 4.7. Orientacja warstw w laminacie [ 0, , - ]s .
Rozpatrywany materia jest identyczny jak w przykadzie 1, zatem wspczynniki Ui nie ulegaj zmianie i wynosz :
U 1 = 58.665 U 2 = 63.902 U 3 = 15.344 U 4 = 18.378 U 5 = 20.144
Z rwna (4.39) i (4.41) wyznaczamy parametry geometryczne laminatu.
Udziay objtociowe warstw wynosz : vo = 1/3, v = 1/3, v = 1/3
Wspczynniki Vi* wobec symetrii funkcji cos x i antysymetrii funkcji sin x wynosz
-
J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH
66
V1* =0.333 (1 + 2 cos 2 ) V2* =0.333 (1 + 2 cos 4 ) V3* = V4* = 0
Elementy unormowanej macierzy sztywnoci tarczowej [A] /t wyznaczamy z tabeli 4.1 ( w [GPa]) :
elementy A16 i A26 ze wzgldu na zerowanie si V3* i V4* s rwne zero, za pozostae elementy
zale od wartoci kta i wyraaj si rwnaniami
A11/ t = U 1 + V1* U 2 + V2* U 3
A22/ t = U 1 - V1* U 2 + V2* U 3
A12/ t = U 4 - V2* U 3 A66/ t = U 5 - V2* U 3
Dalsze obliczenia przebiegaj ju dla konkretnych wartoci kta . W tabeli 4.3 podano wartoci skadowych unormowanej macierzy sztywnoci tarczowej w zalenoci od kta .
V1* V2* A11/ t A22/ t A12/ t A66/ t
0 1.0 1.0 137.911 10.107 3.034 4.8 15 0.911 0.667 127.114 10.685 8.144 9.910 30 0.667 0 101.288 16.042 18.378 20.144 45 0.333 -0.333 74.835 32.276 23.488 25.254 60 0 0 58.665 58.665 18.378 20.144 75 -0.244 0.667 53.307 84.492 8.144 9.910 90 -0.333 1.0 52.730 95.288 3.034 4.8
Tabela 4.3. Unormowane macierze sztywnoci tarczowej dla laminatu [ 0, , - ]s
Ostatni krok to znalezienie macierzy odwrotnych do macierzy [A] dla kolejnych ktw , a nastpnie wyznaczenie wartoci staych inynierskich z relacji (4.44) i (4.45). Niezerowe stae inynierskie przedstawiono na rysunku 4.8.
0
20
40
60
80
100
120
140
0 15 30 45 60 75 90 105
kt
mod
u E
x [G
Pa]
0
15
30
45
60
75
90
105
modu Ey [G
Pa]
ExEy
137
10.04
0
6
12
18
24
30
0 15 30 45 60 75 90
kt
mod
u
cina
nia
[GPa
]
0
0.24
0.48
0.72
0.96
1.2
wspcz. Poissona
Gxynixy
4.8
0.3
0.032
Rys. 4.8. Zaleno staych inynierskich dla laminatu [ 0, , - ]s od kta .
Zauwamy, e analizowany laminat w przypadku, gdy kt =0 skada si z 6 warstw 0. Podobnie jak to miao miejsce w przykadzie 1 dla dwch takich warstw tak i teraz stae inynierskie s identyczne jak dla pojedynczej warstwy 0.
-
ROZDZIA 4
67
W przypadku, gdy kt =90 laminat ma kod [0, 902]s, a wic taki sam, jak laminat w przykadzie 1 dla n=2. Wartoci staych inynierskich dla tego przypadku, uzyskane w obu przykadach, pokazano na rys. 4.6 i rys. 4.8. Wida, e s takie same, co potwierdza poprawno uzyskanych wynikw.
Wykresy zamieszczone w obu przykadach pokazuj, jak silnie stae spryste zale od ukadu warstw laminatu, a jednoczenie wskazuj jak wan rol ma do spenienia projektant, ktry znajc wymagania stawiane konstrukcji moe tak dobra budow laminatu, aby speni je optymalnie.
Przykad 3
Wyznaczy rozkady napre i odksztace w belce o przekroju prostoktnym, poddanej zginaniu momentem M' i rozciganiu si podun N'. Belka skada si z dwu warstw izotropowych o moduach sprystoci E1=200 GPa, E2=120 GPa, 1=2=0.3 (podane stae odpowiadaj odpowiednio stali i miedzi).
Belka stanowica przedmiot zadania jest szczeglnym przypadkiem belki laminatowej, skadajcej si z dwu warstw izotropowych. Teoria laminacji umoliwia uzyskanie rozwizania dla belek o cakowicie dowolnym ukadzie warstw kompozytowych, dlatego celowe jest przypomnienie oglnych zalenoci, ktre nastpnie wykorzystamy dla przypadku szczeglnego. Obcienie i ukad osi dla belki pokazano na rys. 4.9.
y
z
y
x
x
yz
t/2t/2
bN' N'
M' M'
z
x
Rys. 4.9. Belka laminatowa poddana zginaniu i rozciganiu.
Siy i momenty wypadkowe (patrz rys. 4.3)
{ }
=00
bNN
/ { }
=00
bMM
/ (4.61)
Rwnania fizyczne
=
o
o
DBBA
MN
=
MN
DBBA
o
o
(4.62)
gdzie
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]BABDH 1= (4.63)
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1111 ABHBAAA += (4.64)
[ ] [ ] [ ] [ ] 11 HBAB = (4.65) D H' = 1
(4.66)
-
J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH
68
Macierze sztywnoci
[ ] [ ]=
=N
1kkk tQA (4.67)
[ ] [ ] ckN
1kkk ztQB
=
= (4.68)
[ ] [ ]=
+=
N
1k
3k2c
kkk 12t
ztQD (4.69)
Dla czsto stosowanych laminatw o jednakowej gruboci wszystkich warstw, zwanych laminatami regularnymi macierzy te mona przedstawi znacznie prociej. Przyjmujc, e liczba warstw wynosi N, a ich gruboci tk=t/N (k=1...N) - wsprzdne rodkw cikoci mona wyrazi nastpujco
tN2
1Nk2zck
=
za macierze sztywnoci przyjmuj postaci
[ ] [ ]=
=N
1kkQN
tA (4.70)
[ ] [ ] ( )1Nk2QN2tB
N
1kk2
2=
=
(4.71)
[ ] [ ] ( )( )=
+=N
1k
2k3
31Nk231Q
N12tD (4.72)
Odksztacenia laminatu
{ } { } { } zo += (4.73) { } [ ] [ ]( ){ } [ ] [ ]( ){ }[ ]MDzBNBzA +++= (4.74) Naprenia warstwowe
{ } [ ] { } kk Q= (4.75) { } [ ] [ ] [ ] [ ]( ){ } [ ] [ ] [ ] [ ]( ){ }[ ]MDQzBQNBQzAQ kkkkk +++= Dobrym sprawdzianem poprawnoci powyszych relacji jest zastosowanie ich do przekroju jednowarstwowego. Niezalenie od tego czy warstwa jest izotropowa, czy te ortotropowa, a w tym drugim przypadku niezalenie rwnie od jej orientacji wzg. ukadu odniesienia (x, y), macierz sprze [B] jest macierz zerow, co prowadzi do nastpujcych relacji
[ ] [ ]QtA =
[ ] [ ]Q12tD
3=
1 2
k N
t
z
y
tk zkc
-
ROZDZIA 4
69
[ ] [ ]DH = (4.76)
[ ] [ ] [ ] 11 Qt1AA ==
[ ] [ ]0B =
[ ] [ ] [ ] 131 Qt12DD ==
Podstawiajc te zwizki do rwnania okrelajcego naprenia warstwowe, po elementarnych przeksztaceniach otrzymujemy
zIM
AN
yx
+
= y x y= = 0 (4.77)
gdzie
tbA = pole przekroju poprzecznego
12tbI
3
y = moment bezwadnoci przekroju
Otrzymalimy zatem dobrze znane z wytrzymaoci materiaw rozwizanie dla przekroju mimorodowo rozciganego.
Przystpimy obecnie do wyznaczenia napre i odksztace w belce dwuwarstwowej, bdcej tematem zadania - rys. 4.10.
Rys. 4.10. Przekrj belki dwuwarstwowej
Ze wzgldu na izotropi, zredukowana i transformowana macierze sztywnoci dla pojedynczej warstwy s takie same. Korzystajc z (2.42) otrzymujemy macierze o nastpujcych skadowych
[ ] ][.
....
MPa1097600
0821996509658219
Q 31
= (4.78)
[ ] ][.
....
MPa1024600
0913163906399131
Q 32
=
Dalsze obliczenia polegaj na wyznaczeniu macierzy sztywnoci oraz wykonaniu operacji odwracania i mnoenia macierzy, prowadzcych do znalezienia odksztace i napre. Oznacza to w praktyce, e nawet w najprostszej sytuacji (2 warstwy izotropowe) niezbdne jest uycie odpowiedniego oprogramowania komputerowego. Pominiemy tu wszystkie wyniki porednie i ograniczymy si do podania kocowego wyniku.
Naprenia w warstwie grnej "1" wynosz
+
+
+
= z
IM311
IMt0820z
AN
t980
AN311
yy1x ..
.. (4.79)
01xy1y ==
t/2
t/2
E1,
E2,
y
z
-
J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH
70
Naprenia w warstwie dolnej "2" maj wartoci
+
+
+
= z
IM7840
IMt0490z
AN
t590
AN790
yy2x ..
.. (4.80)
02xy2y ==
Jak wida z podanych rozwiza, niezerowe s jedynie naprenia normalne podune. Wyraenia ujte w pierwszym nawiasie dotycz wycznie rozcigania, a w drugim wycznie zginania. Wykresy napre odpowiadajcych tym dwm przypadkom przedstawiono, odpowiednio, na rys. 4.11 i 4.12.
+ =+
+
-
+
1
2
1.31
0.79 0.295
0.49 0.83
1.310.79
1.085
(N ' /A) -1x N
x
z
x
Rys. 4.11. Naprenia normalne przy rozciganiu.
+ =
+
1
2
0.082
0.049 0.392
0.655 0.573
0.0820.049
0.441
(M t / I ) -1x M
x
z
xy
+
+
- -
Rys. 4.12. Naprenia normalne przy zginaniu
Przedstawione wykresy mog w pierwszym momencie budzi zaskoczenie. W przypadku rozcigania, wida e oprcz napre skokowo zmieniajcych si w miejscu poczenia warstw (skutek rnych sztywnoci warstw), ale staych na ich wysokoci, wystpuj naprenia o liniowym przebiegu, charakterystyczne dla zginania. Jest to bezporedni skutek sprzenia stanu tarczowego i gitnego. Zauwamy, e naprenia wywoane efektem sprzenia nie s bynajmniej pomijalnie mae w stosunku do napre wynikajcych wycznie ze stanu tarczowego.
Poprawno uzyskanego rozwizania potwierdza obliczenie siy wypadkowej, jak uzyskuje si w wyniku scakowania napre po przekroju poprzecznym. Otrzymujemy
( ) ( ) Nb2t
AN31183050b
2t
AN790085150W =
++
+= ......
Sprzenie stanu tarczowego i gitnego widoczne jest take w przypadku napre normalnych wywoanych wycznie zginaniem. Tu oprcz skadowej liniowo zmiennej po wysokoci, wystpuje dodatkowo skadowa staa na wysokoci warstwy, charakterystyczna dla rozcigania. Jest ona jednak znikomo maa w stosunku do tej pierwszej.
-
ROZDZIA 4
71
Take w tym przypadku sprawdmy warunek rwnowagi. W wyniku scakowania napre otrzymamy moment wypadkowy
+
=2t
31b
2t
ItM0820
21
2t
32b
2t
ItM5730
21M
yyw ..
M2t
32b
2t
ItM3920
21
4tb
2t
ItM0490
yy=
+
+ ..
Wystpowanie sprzenia lub te jego brak jest cile zwizane z budow laminatu. Warunki, jakie musi on spenia, aby sprzenie stanu tarczowego i gitnego nie wystpowao, bd szczegowo przedstawione w rozdziale 5.
Odksztacenia laminatu wyraaj si zwizkami
+
+
+
=
z
t10365100834
ItMz
t104910665
AN 77
y
77
x... (4.81)
+
+
=
z
t1061910231
ItMz
t1071410719
AN 77
y
77
y.... (4.82)
0xy = (4.83)
Rozkady odksztace liniowych, podunych i poprzecznych, przedstawiono na rys. 4.13 i 4.14.
+
1
2
x
z
x+
41.1 x 10-7
90.1 x 10-7
N'A
N'A
-
36.7 x 10-7 M' tIy
28.6 x 10-7 M' tIy
+
Rys. 4.13. Rozkad odksztace podunych.
1
2
y
z
y-
12.35 x 10 -7 N'A
34.4 x 10-7 N'A 11.03 x 10
-7 M' tI y
8.57 x 10-7 M' tIy
+
-
+
Rys. 4.14. Rozkad odksztace poprzecznych.
-
J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH
72
Przykad 4
Walcowy zbiornik cinieniowy (rys. 4.15) wykonano metod nawijania obwodowego i rubowego (patrz - rozdz. 1) z wysokowytrzymaego kompozytu grafit/epoksyd w taki sposb, e uzyskano sekwencj warstw opisan kodem [03/+60/-60]s. Wyznaczy maksymalne cinienie, jakie moe przenie zbiornik, jeeli odksztacenie obwodowe (rwnolenikowe) nie moe przekroczy 1%. Obliczy wielko odksztacenia poudnikowego, odpowiadajcego cinieniu maksymalnemu. Promie zbiornika wynosi R=0.5 m, grubo pojedynczej warstwy to=0.15 mm, stae inynierskie dla pojedynczej warstwy przyjmuj wartoci (tab. 2.2): E1=145 GPa, E2=10 GPa, G12=4.8 GPa, 12=0.25.
Z teorii powok, ktrych szczeglnym przypadkiem jest cienkocienna powoka obrotowa w postaci walca, obcionego cinieniem wewntrznym p wynika, e stan naprenia w powoce okrelony jest napreniem obwodowym (rwnolenikowym) x i osiowym (poudnikowym) y, opisanymi nastpujcymi rwnaniami
tRpx = (4.84)
tRp
21
y = (4.85)
gdzie R jest promieniem warstwy rodkowej powoki walcowej.
2 R
x
y
+ 60
- 60xx
y
y
tp
Rys. 4.15. Ukad warstw i naprenia w cienkociennym kompozytowym zbiorniku cinieniowym.
W celu rozwizania zadania naley najpierw okreli macierze sztywnoci dla laminatu w ukadzie odniesienia (x, y). Ze wzgldu na symetri uoenia warstw macierz sztywnoci sprze [B] jest macierz zerow. Stan naprenia w powoce jest tzw. stanem bonowym, co oznacza, e nie wystpuj momenty zginajce, a zatem wektor momentw wypadkowych {M} jest wektorem zerowym. Ostatecznie rwnanie fizyczne (4.35) po uwzgldnieniu (4.36) upraszcza si do postaci
{ } [ ] { }NA 1= (4.86) Macierz sztywnoci tarczowej [A] wyznaczymy obliczajc kolejno: skadowe macierzy sztywnoci [Q] dla warstwy w jej osiach materiaowych (rw. (2.42)), wspczynniki materiaowe (3.20), wspczynniki geometryczne (4.39), (4.41) i wreszcie, korzystajc z tab. 4.1
macierz sztywnoci warstwy
-
ROZDZIA 4
73
[ ] ][.
....
GPa8400
00410512051263145
Q
= (4.87)
wspczynniki materiaowe
U1 = 61.40 U2 = 67.80 U3 = 16.43 U4 = 18.94 U5 = 21.23 [GPa] (4.88)
objtociowe udziay warstw
v0 = 0.6 v-60 = v+60 = 0.2 (4.89)
wspczynniki geometryczne (4.41)
V V V V1 2 3 40 4 0 4 0* * * *. .= = = =
(4.90)
macierz sztywnoci tarczowej
[ ] 31002200
036161806186142
A
=
.....
[GN/m] (4.91)
macierz odwrotna
[ ]
=
454500099162220222307
A 1
.....
[GN/m] -1 (4.92)
Odksztacenia w powoce zbiornika okrelone s zatem zwizkiem
=
xy
y
x
yx
y
x
NNN
454500099162220222307
.....
(4.93)
przy czym skadowe wektora si wypadkowych zwizane s ze skadowymi tensora naprenia rwnaniami
Nx = x t = p R Ny = y t = 0.5 p R Nxy = 0 (4.94) Maksymalne cinienie, jakie moe przenie zbiornik wynika z warunku narzuconego na warto dopuszczaln odksztace obwodowych w nastpujcej postaci
010p0953Rp50222Rp307x ..... === (4.95)
Ostatecznie wic maksymalne dopuszczalne cinienie wynosi
p = 3.23 MPa (4.96) Odksztacenie poudnikowe przy takiej wielkoci cinienia wynosi
%....)...( 011010105010233509916222 3y ==+= (4.97)
-
J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH
74