1. fejezet

Fibonacci-szmok

1.1. definci. Legyen F0 = 0, F1 = 1 s n 2-re legyen Fn = Fn1 + Fn2. Azgy denilt Fn sorozatot Fibonacci-sorozatnak, az elemeit pedig Fibonacci-szmoknaknevezk.

Megjegyzs. Az F0 = 0, F1 = 1 a sorozat kezdrtkei, mg az Fn = Fn1 + Fn2kplet a rekurzi, amit a sorozat teljest. Egy sorozatot denil kpletet ltalban akkorneveznk rekurzinak, ha az n. tag denillshoz flhasznlja a sorozat nhny kisebbindex tagjt is. rdemes kicsit megismerni a sorozat els nhny rtkvel. A fenti kplet szerint ezaddik:

F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F160 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987

Nhny plda a Fibonacci-szmok elfordulsra:

Plda. Egy n fokbl ll lpcs tetejre szeretnnk feljutni gy, hogy minden lpsben egyvagy kt fokot haladunk flfel. Hnyflekppen rhetnk fl?

Megolds. Itt teht a lehetsges lpssorozatokat akarjuk megszmolni; az nem szmt,hogy sszesen hnyat lptnk, csak az a fontos, hogy a lpcs tetejre rjnk. Jellje avlaszt Ln (brmennyi is legyen ez; egyelre nem tudjuk). Kzzel knny ellenrizni,hogy L1 = 1, L2 = 2 (1+1 vagy 2), L3 = 3 (1+1+1, vagy 1+2 vagy 2+1). Bontsukkt csoportra a j lpssorozatokat aszerint, hogy az els lpsnl egy vagy kt fokothaladunk-e. Ha az els lpsben egy fokot haladtunk, akkor mg n 1 fokot kell meg-msznunk ugyanazon szably szerint, amit Ln1-flekppen tehetnk meg. A mssodiktpus lpssorozatoknl mg n 2 lpcsfokot kell megmsznunk, amit Ln2-flekppentehetnk meg. sszesen teht Ln = Ln1 + Ln2. Azaz L1 = F2, L2 = F3, s a sorozatugyanazt a rekurzit teljesti, mint Fn, gy Ln = Fn+1.

Plda. Az {1,2,. . . , n} halmaznak hny olyan rlszhalmaza van, ami nem tartalmaz szom-szdos szmokat?

1

2 1. FEJEZET. FIBONACCI-SZMOK

Megolds. Jellje a vlaszt an. Knnyen lthat, hogy a1 = 2 (gondoljunk az reshalmazra is) s a2 = 3. Bontsuk kt csoportra a felttelnek megfelel H rszhalmazo-kat aszerint, hogy az utols elem, n benne van-e. Ha n H, akkor a felttel miattn 1 / H, s H-nak az {1, 2, . . . , n 2}-be es rsze brmi lehet, ami nem tartalmazszomszdos elemeket; ilyen H rszhalmazbl teht an2 darab van. Ha n / H, akkor Haz {1, 2, . . . , n1} brmelyik szomszdmentes rszhalmaza lehet, amibl an1 darab van.gy teht an = an1 + an2, teht az an sorozatra ugyanaz a rekurzi teljesl, mint az FnFibonacci-szmokra. sszevetve a kezdrtkeket an = Fn+2 addik. Nhny teljes indukcival belthat llts a Fibonacci-szmokra:

1.2. ttel. Minden n 1-re F1 + F2 + . . . + Fn = Fn+2 1.Bizonyts. Az lltst az n-re vonatkoz teljes indukcival bizonytjuk. Ha n = 1, akkor1 = F1 = F3 1 = 2 1 teljesl. Tegyk fl, hogy F1 + . . . + Fn = Fn+2 1. EkkorF1 + . . .+Fn +Fn+1 = Fn+21+Fn+1 = Fn+1 +Fn+21 = Fn+31, teht az llts igazn + 1-re is, gy minden n-re. (Az els egyenlsgnl az indukcis feltevst, az utolsnl aFibonacci-szmok rekurzijt hasznltuk.)

1.3. ttel. Minden n 1-re F 21 + F 22 + . . . + F 2n = Fn Fn+1.Bizonyts. Az lltst az n-re vonatkoz teljes indukcival bizonytjuk. Ha n = 1, akkor1 = F 21 = F1 F2 = 1 1 teljesl. Tegyk fl, hogy F 21 + . . . + F 2n = Fn Fn+1. EkkorF 21 + . . . + F

2n

+ F 2n+1 = Fn Fn+1 + F 2n+1 = Fn+1(Fn + Fn+1) = Fn+1 Fn+2, teht az

llts igaz n + 1-re is, gy minden n-re. (Az els egyenlsgnl az indukcis feltevst, azutolsnl a Fibonacci-szmok rekurzijt hasznltuk.)

A tmakr ltalunk trgyalt legnehezebb rsze a Fibonacci-szmok explicit kpletneklevezetse. Explicit kplet alatt olyan formult rtnk Fn-re, ami csak n-tl fgg (tehtnem rekurzv, hanem kzvetlenl kiszmthat).

1.4. ttel. Minden n 0-ra

Fn =15

((1 +

5

2

)n

(

152

)n)

.

Bizonyts. Egy tetszleges an (n 0) sorozatot nevezznk Fibonacci-tpusnak, ha ki-elgti a Fibonacci-szmokra vonatkoz rekurzit, azaz minden n 2-re an = an1 +an2.(A kezdeti rtkekre nincs fltevs, azok brmilyen szmok lehetnek, akr nem egszekis.) Vegyk szre, hogy ha egy Fibonacci-tpus an sorozatra a0 = 0 s a1 = 1, akkoran = Fn minden n 0-ra. A megolds kulcsgondolata a kvetkez.llts: Ha an s bn Fibonacci-tpus sorozatok, s , tetszleges (vals) szmok, akkora cn = an + bn sorozat is Fibonacci-tpus.Bizonyts. Azt kell teht ellenriznnk, hogy cn = cn1 + cn2 fennll-e minden n 2-re. A cn sorozat dencijt, valamint az an s bn sorozatok Fibonacci-tpus voltt

3kihasznlva

cn = an + bn = (an1 + an2) + (bn1 + bn2) == an1 + bn1 + an2 + bn2 = cn1 + cn2.

Folytassuk a ttel bizonytst. A clunk most az, hogy talljuk valahogyan kt, explicitkplettel megadott, Fibonacci-tpus sorozatot. Ezeket alkalmas szorzkkal sszekombi-nlva el fogjuk rni, hogy a keletkez j, az lltsunk szerint Fibonacci-tpus sorozatkezdeti rtkei megegyezzenek az Fn sorozatval; teht ellltjuk a Fibonacci-sorozatot.

tlet: Keressnk Fibonacci-tpus mrtani sorozatot! Azaz tegyk fl, hogy an = qn

egy mrtani sorozat; a q milyen rtke mellett lesz an Fibonacci-tpus? Persze a q = 0j megolds, de nem hasznos; tegyk fl, hogy q 6= 0.an Fibonacci-tpus an = an1 +an2 qn = qn1 + qn2 q2 = q +1 q2 q 1 = 0. (A qn2-vel val oszts valban ekvivalens talakts, mert q 6= 0.) Ennekaz egyenletnek kt megoldsa van:

q1,2 =15

2.

Teht pontosan ez a kt q rtk van, melyre an = qn Fibonacci-tpus. Legyen bn =qn1 + q

n

2 . A fenti llts szerint bn is Fibonacci-tpus. gy akarjuk megvlasztani s rtkt, hogy b0 = F0 s b1 = F1 teljesljn, azaz

b0 = q0

1 + q0

2 = 0,

b1 = q1

1 + q1

2 = 1.

fennljon. A hatvnyozst elvgezve s berva q1 s q2 rtkt az albbi egyenletrendszertkapjuk -ra s -ra:

+ = 0,

(1 +

5

2

)+

(15

2

)= 1.

Az egyenletrendszert megoldva = 15, = 1

5addik, ami igazolja az lltst.

Megjegyzs. Vilgos, hogy a kt kezdrtk s a rekurzi egyrtelmen meghatrozza aFibonacci-szmok sorozatt, azonban egy nagy index tag, mondjuk az F1000 kiszmtsaa denci alapjn nehzkes. Az exlpicit formula ebbl a szempontbl elnys.