jó e-könyv: irhf.unideb.hu/~jsztrik/education/14/opkut.pdf sztrik jános

PPKE ITK

2009/10tanév

8.félév

(tavaszi)

Távközlő rendszerekforgalmi elemzése

Tájékoztatáshttp://digitus.itk.ppke.hu/~gosztony/

12-1.

Jó e-könyv: http://irh.inf.unideb.hu/~jsztrik/educa

tion/14/opkut.pdf Sztrik János RAKTÁROZÁSI ÉS KISZOLGÁLÁSI

PROBLÉMÁK MATEMATIKAI MODELLEZÉSE

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2010. 04. 15. 2

http://irh.inf.unideb.hu/~jsztrik/education/14/opkut.pdf

http://irh.inf.unideb.hu/~jsztrik/education/14/opkut.pdf


1. Delay Systems

2. Applied Queuing theory

3. Network of Queues

Várakozásos rendszerek

TPV rendszerekben, számítógépes hálózatokban, Internetben, IP rendszerekben … ez a szokásosüzemmód.


Delay Systems

A rendszer• n egyforma kiszolgáló szerv• teljes elérhetőség• ∞ számú várakozási hely

Vizsgált esetek

1. Erlang várakozásos rendszer – M/M/n – PCT-I

2. Palm féle gép-javítási modell – PCT-II


Erlang – M/M/n 1.

A rendszer állapotát az benne tartózkodó összes igény (kiszolgálás alatt lévő és várakozó együtt) darabszáma mutatja.


Erlang – M/M/n 2.Állapotegyenletek A=/μ


Erlang – M/M/n 3.Várakozás valószínűsége

igény érkezik, amikor minden vonal foglalt______________________________________________________ igény érkezik bármikor

Erlang C képlet:

Jelölések:

Az azonnali kiszolgálás valószínűsége


Erlang – M/M/n 4.Lebonyolított forgalom (= felajánlott !)

Van várakozó igény:

Sorhosszúság mint v.v. = L

Alkalmazott összefüggés:ha i < n

)1i(p.n)i(p. ha i ≥ n

AnnnpAE n

)()(,2


Erlang – M/M/n 5.Erlang C kiszámítása 1.

2.

ahol

korábbi rekurziós képletből


Erlang – M/M/n 6-1.



The average utilization per channel for a fixed probability of delay E2,n(A) as a function of the number of channels n.


Erlang – M/M/n 7.Átlagos sorhosszúság tetszőleges időpontban

PASTA !Idő- és hívás átlagokegyformák


Erlang – M/M/n 8-1.Átlagos sorhosszúság – tetszőleges időpontban

miatt a sor abszolút konvergens és így adifferenciálás kihozható a sor összegezése elé

Értelmezhető mint a várakozási helyek forgalma.PASTA !

Ha akkor:


Erlang – M/M/n 8-2.Átlagos sorhosszúság – tetszőleges időpontbanMás levezetés

miatt a sor abszolút konvergens és így a levezetés lehetséges

nA1

1

nA1

nA

nA1

nA

nA1

1nA

nA1

1

........nA1

nA

....nA

nA

nA1

nA

....nA

nA

nA

nA1

nA

....nA

nA

nA

nA

...nA3

nA2

nA

nAi

2

i

1i

3

43

2

432

432

32i

1i


Erlang – M/M/n 8-3.Átlagos sorhosszúság – tetszőleges időpontbanMás levezetés

miatt a sor abszolút konvergens és így a levezeté lehetséges

Értelmezhető mint a várakozási helyek forgalma.

PASTA !

An

AAEL

AnA

Annp

AnnAp

nA

nA

pnAipL

nn

nn

n

i

inn

,2

2

21 1


Erlang – M/M/n 9.Átlagos sorhosszúság – ha van sor

Feltételes valószínűség.Feltétel:

=PASTA !


Erlang – M/M/n 10.Átlagos várakozási idő – minden igénylőre

Little tétele miatt

ahol:

(érkezési gyakoriság)x (átlagos várakozási idő)

továbbá,

mivel L értelmezhető várakozási forgalomként

és miatt


Erlang – M/M/n 11.Átlagos várakozási idő – a tényleg várakozókra

wn (feltételes valószínűség) == átlagos várakozási idő – minden igénylőre / várakozás valószínűsége

0

WpWw n

n


Erlang – M/M/n 12.

Átlagos várakozási idő – a tényleg várakozókra:

Átlagos várakozási idő – minden igénylőre:

Átlagos sorhosszúság – ha van sor :Átlagos sorhosszúság – tetszőleges időpontban:

Van várakozó igény – véletlen időpontban:

Lebonyolított forgalom (= felajánlott !)

Várakozás valószínűsége:

Azonnali kiszolgálás valószínűsége:


Erlang – M/M/n 13.Improvement functions – Annak valószínűsége, hogy egy csatorna hozzáadásával

1. Mennyire csökken a várakozást észlelő forgalom:

2. Mennyire rövidül az átlagos sorhosszúság:

További részletek a tankönyvben.

Little tétel alkalmazása !!


Mi az eloszlása annak, hogy a várakozási idő W kisebbmint t ? Azaz:

Erlang – M/M/n 14.

Ha a kiszolgálás módja csak a bemeneti folyamattólfügg, akkor az átlagos várakozási idő mindenkinek egyforma. A kiszolgálási stratégia csak az egyesigények várakozási idejének eloszlását befolyásolja.

Modell: igény érkezik és a rendszer állapota (n + k) Kiszolgálás kezdődhet, ha n igény kiszolgálása véget ért – a távozási folyamat intenzitása: nμ

t időnél kevesebbet kell várni, ha nμ intenzitású Poisson folyamat során legalább k+1igény megszűnik (FIFO esetén).

Várakozási idő eloszlása (FIFO)


Erlang – M/M/n 15.Annak feltételes valószínűsége, hogy az igény érkezésekor az (n+k) állapont van, azaz n igénytkiszolgál a rendszer és k igény várakozik:

igény érkezik az (n+k) állapotban___________________________________________ igény érkezik bármikor


Erlang – M/M/n 16.A várakozási idő eloszlása a várakozó igényekre

Átalakítások után (lásd a tankönyv):

exponenciális eloszlás !

A várakozási idő eloszlása az összes igényre:


Erlang – M/M/n 17.Érdekes kettősség:

Az (n+k) állapotban érkező igény

• Megszámolhatja a várakozókat és egy súlyozott Erlang (k+1) eloszlású várakozási időt tételezhet fel

vagy

2. tudomásul veheti, hogy a várakozási idő (nμ-) paraméterű exponenciális eloszlású

Pontos megfeleltetés a tankönyvben.


Erlang – M/M/n 18.FCFS/FIFO

first infirst outLCFS/LIFOlast in first outSIRO/RANDOM service in random order


Erlang – M/M/n 19.Példa: M/M/1

mivel

hiszen: A1

10pA1

A10pA)0(p0p11i

i

és


Erlang – M/M/n 20.Példa: M/M/1

Tartózkodási idő = várakozási idő + kiszolgálási idő(sojourn time, válaszidő)

Átlagos tartózkodási idő, W1 felhasználásával

jó e-könyv: irhf.unideb.hu/~jsztrik/education/14/opkut.pdf sztrik jános

Documents