jože berk, jana draksler in marjana robič skrivnosti števil in...

8

Jože Berk, Jana Draksler in Marjana Robič

Skrivnosti števil in oblikUčbenik za matematiko v 8. razredu osnovne šole

8


Skrivnosti števil in oblik

8

Vse knjige in dodatna gradiva Založbe Rokus Klett dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com

CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana

51(075.2)(0.034.2)

BERK, Jože Skrivnosti števil in oblik 8. [Učbenik za matematiko v 8. razredu osnovne šole] [Elektronski vir] / Jože Berk, Jana Draksler in Marjana Robič ; [ilustracije Iztok Sitar ; stripi Vasja Kožuh (ideja, besedilo), Iztok Sitar (risba) ; fotografije Vasja Kožuh ... et al.]. - 1. elektronska izd. - El. knjiga. - Ljubljana : Rokus Klett, 2014

ISBN 978-961-271-457-4 1. Draksler, Jana 2. Robič, Marjana 274479872

Založba Rokus Klett, d. o. o.Stegne 9 b, 1000 Ljubljanatelefon: 01 513 46 00telefaks: 01 513 46 99e-naslov: [email protected]


Skrivnosti števil in oblik 8 Učbenik za matematiko v 8. razredu osnovne šole

urednika: Vasja Kožuh in Miloš Kovič (2. izdaja)recenzenti: mag. Gregor Pavlič, Nives Mihelič Erbežnik, Ema Maverdrugi recenzenti (pri prvi izdaji): Cvetka Tanjšek, Karmen Šturm in Magdalena Tankojezikovni pregled: Irena Androjna Mencinger, Tjaša Škrinjarilustracije: Iztok Sitarstripi: Vasja Kožuh (ideja, besedilo), Iztok Sitar (risba)fotografije: Vasja Kožuh, fotodokumentacija Dela, arhiv Založbe Rokus Klett, Shutterstock

Založba Rokus Klett, d. o. o. (2004). Vse pravice pridržane.

Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava ali druga uporaba avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu in postopku, kot tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.

Učbenik Skrivnosti števil in oblik 8 je Strokovni svet RS za splošno izobraževanje na svoji 161. seji, dne 19. 12. 2013, s sklepom št. 613-1/2013/142, potrdil kot e-učbenik za matematiko za 8. razred osnovne šole.

Ko hodiš,

pojdi z

meraj do

konca.

Spomladi

do rožne

cvetice,

poleti do

zrele p

šenice,

jeseni do

polne p

olice,

pozimi do

snežne

kraljice,

v knjigi

do zadnje

vrstice,

v življen

ju do pr

ave resnic

e,

a v sebi

— do rde

čice

čez eno i

n drugo

lice.

A če ne p

rideš ne

prvič ne

drugič

do krova

in praveg

a kova,

poskusi

vnovič

in zopet

in znova.

Tone Pavče

k

Leto je naokrog. ©pela in Rok sta se s prijatelji vrnila med šolske klopi ter se podala na novo matematiËno avanturo.

©e vedno vas bodo na poti pridobivanja matematiËnih uËenosti spremljali stripi, ilustrirane zgodbice s podanim matematiËnim problemom, rešeni primeri in naloge za vajo. Za popestritev pa je rubrika NekoË in danes, kjer se boste seznanili z zgodovinskim razvojem problema in njegovo uporabo v vsakdanjem življenju, ki jo potrjujejo tudi mnoge fotografije.Mnogo zakonitosti boste samostojno raziskali ob pomoËi delovnega zvezka.Rešeni primeri in naloge za vajo so razdeljeni na tri težavnostne stopnje, na enak naËin so zasnovani tudi preizkusi ob koncu vsakega poglavja, s katerimi boste preverili svoje znanje.

Z željo, da bo znanje, osvojeno na ≈matematiËnem potepanju« s ©pelo in Rokom, uporabno, vam želimo prijetno in uspešno šolsko leto.

Avtorji

DRAGE U»ENKE IN U»ENCI!

1 Racionalna πtevila NekoË in danes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Množica celih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Množica racionalnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Urejanje racionalnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Nasprotna vrednost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Absolutna vrednost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ©pela se preizkusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 RaËunanje z racionalnimi πtevili NekoË in danes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 Seštevanje in odštevanje celih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Seštevanje in odštevanje racionalnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 ©tevilski izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 Množenje celih in racionalnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 Deljenje celih in racionalnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 Povezava raËunskih operacij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 Reševanje enaËb in neenaËb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 Ekvivalentne in identiËne enaËbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ©pela se preizkusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3 Potence NekoË in danes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 Potence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602 Množenje in deljenje potenc z enakimi osnovami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633 Potenciranje produkta in koliËnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664 Kvadriranje racionalnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695 Kvadratni koren racionalnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716 Izrazi s potencami in koreni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 ©pela se preizkusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4 Izrazi NekoË in danes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801 Izrazi s spremenljivkami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822 EnoËleniki in veËËleniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853 Množenje enoËlenikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874 Seštevanje in odštevanje enoËlenikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895 Seštevanje in odštevanje veËËlenikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916 Množenje veËËlenika z enoËlenikom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937 Izpostavljanje skupnega faktorja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958 Množenje veËËlenikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 ©pela se preizkusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Vsebina

5 Funkcije in sorazmerja NekoË in danes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021 Koordinatni sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042 Medsebojno odvisne koliËine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083 Ponazarjanje odvisnosti koliËin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104 Premo sorazmerje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145 Grafi in enaËbe premega sorazmerja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176 Odstotni raËun in premo sorazmerje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217 Obratno sorazmerje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248 Grafi in enaËbe obratnega sorazmerja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289 EmpiriËne preiskave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 ©pela se preizkusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6 VeËkotniki NekoË in danes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1401 VeËkotniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1422 Diagonale veËkotnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453 Koti veËkotnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484 Pravilni veËkotniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515 Obseg in plošËina veËkotnika. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 ©pela se preizkusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

7 Krog in deli kroga NekoË in danes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1601 Obseg kroga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1622 Dolžina krožnega loka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1653 PlošËina kroga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684 PlošËina krožnega izseka in odseka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 ©pela se preizkusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

8 Pitagorov izrek NekoË in danes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1781 Pitagorov izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1802 Pitagorov izrek v pravokotnikih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1843 Pitagorov izrek v trikotnikih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1874 Pitagorov izrek v rombu in v deltoidu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915 Razdalja med toËkama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 ©pela se preizkusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

9 Kocka in kvader NekoË in danes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1981 Vse o kocki in kvadru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 ©pela se preizkusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

©pela na cilju. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Uporaba žepnega raËunala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Uporaba raËunalnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Rok in ©pela sta razdaljo od doma do πole merila s kolesom. Izmerila sta obseg gum na kolesu in πtela, kolikokrat se zavrti kolo.

RAZMISLI Zakaj je ©pela z manjπim kolesom naπtela veË obratov?

1 OBSEG KROGA

Izvedel boš:

— kakπna je odvisnost obsega kroga od premera,

— kaj je πtevilo π,

— kako izraËunamo obseg kroga.

Rok je takoj odgovoril: ≈»e imaπ pa manjπa kolesa.« Obseg kroga je odvisen od njegovega premera. Rok je izmeril premer svojega kolesa 71 cm,obseg pa 223 cm, ©pela je izmerila premer 50 cm in obseg 157 cm.

IzraËunajmo koliËnike omenjenih vrednosti:

Pri obeh kolesih je koliËnik enak in znaπa pribliæno 3,14, kar pomeni, da je obseg kroga premosorazme-ren z njegovim premerom: obseg kroga je približno 3,14-krat veËji od premera kroga. Sorazmernostni koeficient je πtevilo π, kar pomeni, da je koliËnik: o

r2=π . Vrednost πtevila π je pribliæno 3,14 oziroma 22

7

(uporabimo pribliæek, ker je π iracionalno πtevilo).

ROKOVO KOLO ©PELINO KOLO

71 cm

o = 223 cm

�

o = 157 cm

50 cm

� �

2r = 71 cmo = 223 cmo .r2= 314,

2r = 50 cmo = 157 cmo .r2= 314,

Kako iz danega obsega izrazimo premer?

o = 2πr 2πr = o 2r = o : π ali 2r = o

π

Izrazimo πe polmer: r = o : 2π ali r = o=

2π.

223 : 71 = 3,14. .157 : 50 = 3,14 Z uporabo raËunalniškega programa Cabri razišËi, ali je koliËnik pri vseh krogih enak.

DOGOVORV obrazcih (formulah) znak za množenje pogosto izpušËamo, koeficiente (števila) pa pišemo pred spremen-ljivkami: o = π 2r = 2πr.

POMNIπ 3,14 ali π 22

7

OBSEG KROGA

Obseg kroga je produkt πtevila π in premera (2r): o = π · 2r

Obseg kroga je premo sorazmeren s premerom.

Ponovi osnovne pojme o krogu.DZ − naloga 7.1

RaziπËi povezavo premera in obsega kroga.DZ − naloga 7.2

162

1 Okrogla cvetliËna greda ima premer 20 metrov. Pribliæno koliko metrov æiËne ograje potrebu-jemo, da jo ogradimo? Rezultat zaokroæi na celoπtevilËno vrednost.

Reπitev: S pomoËjo znanega premera kroga izraËunamo njegov obseg: o = π · 2r o = 3,14 · 20 o = 62,8 m Odgovor: Potrebovali bi pribliæno 63 metrov ograje.

2 IzraËunaj obseg kroga: a) s polmerom 6 cm b) s premerom 14 cm

Reπitev: Za izraËun obsega kroga potrebujemo Ker je premer kroga veËkratnik πtevila 7, njegov premer, ki je 2-kratnik polmera je za πtevilo π smiselno uporabiti pribliæek in meri 12 cm: v obliki ulomka:

o = π · 2r o = π · 2r

o = 3,14 · 12 o = 227

· 14

o = 37,68 m o = 22

7 1

⋅ ⋅⋅

14 2

o = 44 cm3 Nariπi kroænico z obsegom 11 cm.

Reπitev: Iz znanega obsega izraËunamo premer kroænice. Iz o = π · 2r sledi: 2r = o : π. Za πtevilo π uporabimo pribliæek in dobimo:

2r = 11 : 227

2r = 111

722

⋅

2r = 11

1 2

7

22

72

⋅ =

⋅

1⋅

2r = 3,5

r = 3,5 cm : 2

r = 1,75 (Ker moramo kroænico narisati, izraËunamo polmer.)

Kroænico nariπemo v okviru

natanËnosti, ki jo lahko

doseæemo pri risanju, kar

pomeni, da za polmerodmerimo 1,8 cm.

©tevilo π je IRACIONALNO ©TEVILO, kar pomeni, da se ga ne da zapisati kot razmerje dveh celih števil − ima neskonËno mnogo decimalk. Poznali so ga že Sumerci okoli leta 2000 pred našim štetjem, ki so uporabljali vrednost π = 3. Metodo za raËunanje vrednosti števila π je iznašel Arhimed (237−212 pr. n. št), kasneje pa so se mnogi matematiki ukvarjali s tem številom in postopoma doloËili zelo natanËno vrednost tega števila. Vrednost π natanËna na štiriinšestdeset decimalk je: 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 592 ... Žepno raËunalo nam za π pokaže vred-nost: 3,141592654.

RE©ENI PRIMERI

NAMIGIz znanega obsega kroga izrazimo premer:

2r = o : π oziroma 2r = oπ

DOGOVORRezultat je pogosto pribliæen, saj tudi za π uporabljamo pribliæno vrednost. Pri rezultatu po dogovoru opuπËamo znak =..

Glej stran 215.

163

NALOGE ZA VAJO

1 IzraËunaj obseg kroga. Za πtevilo π izberi ustrezni pribliæek.

a) Polmer kroga je 4 cm.

b) Polmer kroga je 312 m.

c) Premer kroga je 8,4 cm.

Ë) Premer kroga je 1622

dm.

2 Dan je krog s premerom 8 cm. Brez natanËne-ga raËunanja izberi pribliæen obseg kroga.

a) 16 cm b) 25 cm c) 48 cm Ë) 80 cm

3 Izmeri potrebni podatek in izraËunaj obseg kovanca za 2 €.

4 Koliko metrov Ëipke potrebujemo, da obro-bimo okrogel prt s premerom 1,8 m?

5 ©pela je raËunala obseg kroga na sliki. Kateri obrazec lahko uporabi, da bo dobila pravilen rezultat?

a) o = a π

b) o = π2 a

c) o = a2 π

Ë) o = π 2a

6 IzraËunaj dolæino kovinskega traku, ki ga potrebujemo za leseni sod s premerom 90 cm. Upoπtevaj, da za sklenitev obroËa potrebujemo 1 dm daljπi trak.

7 Dopolni preglednico.

polmer premer obseg

5 cm

12 m

628 cm

8 Stari matematiki so obseg kroga izraËunali tako, da so krogu vËrtali oziroma oËrtali pravilne veËkotnike in primerjali obsege. S pomoËjo programa Cabri razišËi, kako jim je to uspelo. Nariši kvadrat, vËrtaj mu krog, krogu pa vËr-taj pravilni šestkotnik. Primerjaj obsege. Kaj ugotoviš?

9 Dolæina minutnega kazalca ure na æelezniπki postaji je 45 cm. Kolikπno pot opiπe konica minutnega kazalca v eni uri?

10 NaËrtaj krog z obsegom 25,12 cm.

11 Rok je s pomoËjo vrvice izmeril obseg stare lipe na domaËem dvoriπËu. Kolikšen je premer lipe, Ëe je izmerjeni obseg 4,5 m?

12 NajveËji kvadrat na sliki ima stranico 15 cm. IzraËunaj vsoto obsegov vseh krogov, ki so

vËrtani v kvadrat.

13 Na prvem listu je narisanih pet krogov s premerom 5 cm, trije krogi s premerom 3 cm in dva kroga s premerom 2 cm. Na nov list bomo narisali enako πtevilo krogov kot jih je na prvem listu, le da bodo vsi novi krogi imeli polmer enak povpreËnemu pol-meru iz prvega lista.

a) Koliko krogov bomo narisali? b) Koliko meri premer novih krogov?

ZMOREM TUDI TO

14 Kolikokrat se kolo s polmerom 35 cm zavrti na razdalji 1,2 km?

15 Notranji premer kroæne steze za tekmovanje kolesarjev je 40 m, zunanji pa je za 10 metrov veËji. Za koliko se razlikujeta poti kolesarjev, ki vozita po skrajni notranji in zunanji stezi?

16 Za izdelavo makete olimpijskih krogov so porabili 1413 metrov æice.

Kolikπen je polmer posameznega olimpij- skega kroga v maketi?

17 ©pela je plavala ob robu okroglega bazena in v 4 krogih preplavala skupno razdaljo 125,6 metra. Koliko je preplaval Rok, ki je isti bazen zgolj 4-krat preËkal po najdaljπi moæni poti?

aS

PRIPORO»AMO ŽEPNO RA»UNALONaloge v zvezi s krogom so obiËajno

povezane z zamudnim raËunanjem

zaradi vrednosti števila π, kjer navadno

uporabimo približek 3,14.

164

rešeni primeri naloge za vajo pojdi v delovni zvezek

pozor namigpomni

izvedel boš

dogovori,opozorila in namigi

naloge za vajo

zmorem tudi to

fotografijerazmisli

razlaga

reπi naloge v delovni zvezek

rešeni primeri

zgodba

definicije in pravila

grafična vodila

zgradba poglavja

zgradba podpoglavja

Kako uporabljati uËbenik?

61234

12345678

123456789012

234567890123456

0 123456789012345678

345678901234567890123456

567890123456789012345678901

89012345678901234567890 12345678

6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5

90 123456789012345678901234567890 123456

9012345678901234567890123456789012345678

90 123456789012345678901234567890 1234567890123

901234567890123456789012345678901234567890123456

890 12345678901234567890123456789012345678901234567890

01234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567

23456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

56789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789

4 5 67 89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3

67890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012

67890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456

7890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

8901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456789

012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

3456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123

2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2

4567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

34567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123

45678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

34567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012

5678901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456

789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890

9 01 2 3 4 5 67 89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 0

1234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567

1234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

345678901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567890123

456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678

789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678

901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

8901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

78901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567

012345678901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567890

234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345

5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6

678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012

5678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345

78901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

5678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345

789012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678

901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

34567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12

3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3

345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012

5678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

2345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012

56789012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01

12345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567

012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890

23456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

9012345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789

23456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890123

456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

89012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678

56789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567

78901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345

01234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567

89012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

5678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234

2345678901234567890123456789012345678901234567890123456

234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234

90123456789012345678901234567890123456789012345

90 123456789012345678901234567890 1234567890123

78901234567890123456789012345678901234

56789012345678901234567890 123456789012

3456789012345678901234567890123456

2345678901234567890123456789012

012345678901234567890 12345

567890123456789012345678

2345678901234567890

01 2 3 4 5 6789 01 2 3

0 1234567890

2345678

7890

NEKOČ IN DANES

Oblika kroga je skozi celotno zgodovino prisotna tudi pri gradnji različnih stavb, vrtov in svetišč. Okroglo megalitsko svetišče iz pozne kamene dobe je ohranjeno v kraju Stonenhenge v Veliki Britaniji.

Število π ima dolgo zgodovino. Najstarejši približek za to število je razviden iz svetopisemske Prve knjige

kraljev, kjer dobimo vrednost 3 kot razmerje med obsegom in premerom bazena.

Pisani vir je tudi znameniti Rhindov

papirus, kjer je že znan obrazec za računanje ploščine kroga s ploščino kvadrata, ki ima za stranico 8/9 premera kroga. Iz tega sledi približek 3,16.

Zelo dober približek števila π je s pomočjo krogu včrtanih in očrtanih pravilnih 6, 12, 24, 48 in 96-kotnikov določil starogrški matematik Arhimed (240 pr. n. št.)

O številu π ...

Približek števila π je znan že dolgo. Med prvimi so ga uporabljali stari Egipčani in Babilonci.

(egipčanski π — 258

= 3,125)

(babilonski π — 10 = 3,126)

160



1 OBSEG KROGA

Izvedel boš:








7



71 cm

o = 223 cm

�

o = 157 cm

50 cm

� �

2r = 71 cmo = 223 cmo .r2= 314,

2r = 50 cmo = 157 cmo .r2= 314,


o = 2πr 2πr = o 2r = o : π ali 2r = o

π


2π.




7

OBSEG KROGA





162



1 OBSEG KROGA

Izvedel boš:








7



71 cm

o = 223 cm

�

o = 157 cm

50 cm

� �

2r = 71 cmo = 223 cmo .r2= 314,

2r = 50 cmo = 157 cmo .r2= 314,


o = 2πr 2πr = o 2r = o : π ali 2r = o

π


2π.




7

OBSEG KROGA





162



1 OBSEG KROGA

Izvedel boš:








7



71 cm

o = 223 cm

�

o = 157 cm

50 cm

� �

2r = 71 cmo = 223 cmo .r2= 314,

2r = 50 cmo = 157 cmo .r2= 314,


o = 2πr 2πr = o 2r = o : π ali 2r = o

π


2π.




7

OBSEG KROGA





162



1 OBSEG KROGA

Izvedel boš:








7



71 cm

o = 223 cm

�

o = 157 cm

50 cm

� �

2r = 71 cmo = 223 cmo .r2= 314,

2r = 50 cmo = 157 cmo .r2= 314,


o = 2πr 2πr = o 2r = o : π ali 2r = o

π


2π.




7

OBSEG KROGA





162

4 T

5 T

7 T

5 T

3 T

5 T

3 T

4 T

4 T

6 T

©pela na poti k vrhu(37—40 toËk).

©pela dodatno trenira(23—27 toËk).

©pela iπËe pomoË (manj kot 23 toËk).

©pela na dobri poti(28—36 toËk).

©pela blesti (41—46 toËk).

Moænih je 46 toËk.

1 Imenuj posamezne pojme, ki so oznaËeni na sliki.

2 IzraËunaj obseg in ploπËino kroga s polmerom 12 cm.

3 Dan je krog s premerom 6,4 cm.

a) Nariπi ga in izraËunaj njegov obseg in ploπËino. b) V narisanem krogu konstruiraj tetivo z dolæino 5 cm.

c) Izmeri velikost srediπËnega kota, ki pripada tej tetivi.

4 Bazen ima dno v obliki kroga s premerom 16 metrov. Najmanj koliko kvadratnih

metrov ploπËic bi morali kupiti, da bi tlakovali dno tega bazena? Kako dolgo ograjo

iz kamnitih kock bi potrebovali?

5 V narisanem krogu izmeri potrebne podatke in izraËunaj

ploπËino kroænega izseka, ki pripada oznaËenemu

srediπËnemu kotu.

6 IzraËunaj obseg in ploπËino lika,

ki je prikazan na sliki.

Potrebne podatke izmeri.

7 Dan je krog s premerom 6 dm in srediπËnim kotom 150o.

IzraËunaj dolæino kroænega loka, ki v dani kroænici pripada

temu kotu.

8 Kolikokrat se na razdalji 5 km zavrti kolo s premerom 80 cm?

9 IzraËunaj obseg kroga s ploπËino 144 π cm2.

10 IzraËunaj obseg in ploπËino lika, prikazanega na sliki,

Ëe meri stranica kvadrata 20 cm.

a

a

s

a) premico (A, B) b) daljico AB

c) premico p Ë) daljico CD

d) del kroænice med toËkama A in D e) premico s

f) kot ASD g) Del kroga, ki je osenËen.

DS

AB

C

s

p

S

ŠPELA SE PREIZKUSI

176

nekoË in danes podpoglavja preizkusstrip

uporabižepno

raËunalo

uporabiraËunalnik

6 12345

123456789

123456789012

12345678901234567

0 1234567890123456789

3456789012345678901234567

45678901234567890123456789012

89012345678901234567890 123456789

6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6

90 123456789012345678901234567890 1234567

89012345678901234567890123456789012345678

890 123456789012345678901234567890 12345678901234

9012345678901234567890123456789012345678901234567

7890 123456789012345678901234567890123456789012345678901

01234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678

234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

56789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890

4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4

67890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012

567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456

678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

78901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456789

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

23456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123

1 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3

34567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123

34567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

34567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123

45678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

5678901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

0 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890

9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 0

1234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

01234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

2345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678901234

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678

789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678

8901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

78901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678901

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

3 4567890

1 234 5678901 2 3 45 678901 234 567890

1 234 5678901 234

0123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

01234567890 123456789012345678901234567890

12345678901234

345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

345678901234567890 123456789012345678901234567890

1234567890123

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

12345678901234567890 123456789012345678901234567890

1234567890123

678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567

12345678901234567890 123456789012345678901234567890

1234567890123

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

12345678901234567890 123456789012345678901234567890

1234567890123

678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567

12345678901234567890 123456789012345678901234567890

1234567890123

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

12345678901234567890 123456789012345678901234567890

1234567890123

5678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567

12345678901234567890 123456789012345678901234567890

1234567890123

678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567

12345678901234567890 123456789012345678901234567890

1234567890123

5678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567

12345678901234567890 123456789012345678901234567890

123456789

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

5678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

9012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789

01234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567

89012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

89012345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789

0123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012

2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567

789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567

8901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456

89012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

56789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456

890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234

3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6

78901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234

1234567890123456789012345678901234567890123456789012

4567890 123456789012345678901234567890 12345678901234

901234567890123456789012345678901234567890123

1234567890123456789012345678901234567890123

890123456789012345678901234567890 123456

3456789012345678901234567890123456789

01234567890 123456789012345678901

01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4

901234567890 123456789012

1234567890123456789

67890 12345678901

901234567890

234567890

0 12346

NEKOČ IN DANES

Pitagorejci so ugotovili, da se kvadratni koren števila 2 ne da izraziti kot ulomek. Prepričani so bili, da je to posledica njihovega neznanja, zato so o odkritju množice iracionalnih števil, kot jo imenujemo danes, molčali.

Ne stari Grki ne Arabci niso uporabljali negativnih števil.

Okoli leta 1200 se je Leonardo iz Pise med prvimi v Evropi ukvarjal z negativnimi števili.

Indijci so že okoli leta 700 pr. n. š. uporabljali negativna števila.Negativno število so označili tako, da so nad številom zapisali piko.

V 16. stoletju se je uporaba negativnih števil nekoliko razširila. Nemec Michael Stifel

jih je uporabljal v računici iz leta 1544 in jih imenoval absurdna števila.

8

445678

12345678

567890123456

234567890 1234

45678901234567890123

7890 12345678901234567890

012345678901234567890123456

2345678901234567890 123456789012

2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01

1234567890123456789012345678901234567890

9012345678901234567890123456789012345678

23456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890

1

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456

567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012

789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

9012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234

9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789

0 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890123456789

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

78901234567890 123456789012345678901234567890

1234567890123456789

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678

789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789

7890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

45678901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567

7890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

5678901234567890 123456789012345678901234567890

1234567890123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

34 5678901 23 45 67890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890

4567890123456789012

3 4 5 678901 2 3 4 5 678901 2 3 4 5 678901 2 3 4 5 678901 2 3

345678901234567890

123456789012345678901234567890 1234567890123

0123456789012345678

901234567890123456789012345678901234

2345678901234567890

123456789012345678901234567890 12345

78901234567890123456

78901234567890123456789012345678901

2345678901234567890

123456789012345678901234567890 1234

67890123456789012345

67890123456789012345678901234567890

2345678901234567890

123456789012345678901234567890 12345

678901234567890123456

78901234567890123456789012345678901

2345678901234567890

123456789012345678901234567890 1234

67890123456789012345

67890123456789012345678901234567890

2345678901234567890

123456789012345678901234567890 12345

678901234567890123456

78901234567890123456789012345678901

2345678901234567890

123456789012345678901234567890 1234

67890123456789012345

67890123456789012345678901234567890

2345678901234567890

123456789012345678901234567890 1234

67890123456789012345

67890123456789012345678901234567890

12345678901234567890

123456789012345678901234567890 1234

678901234567890123456

78901234567890123456789012345678901

89012345678901234567890

123456789012345678901234567890 1234

67890123456789012345678901234

56789012345678901234567890123456789

90 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345

012345678901234567890123456789012 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

8901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

56789012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789

7890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678

7890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901

345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456

789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789

5678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456

5678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567

456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

89012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789

0123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012

34567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123

5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6

345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234

0123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234

2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

123

2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

56789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456

7890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

01234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901

3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4

012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901

890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1

0123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012

90123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

23456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123

67890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2

01234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789

12345678901234567890123456789012345678901234567890

78901234567890123456789012345678901234567890123456789

901234567890 123456789012345678901234567890

56789012345678901234567890123456789012345678

123456789012345678901234567890 12345678901

8901234567890123456789012345678901234

4567890 1234567890123456789012345

5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789

12345678901234567890123456

012345678901234567890

901234567890123456

6789012345678

7890123456

34567801

RACIONALNA ©TEVILA1 MNOÆICA CELIH ©TEVIL

2 MNOÆICA RACIONALNIH ©TEVIL

3 UREJANJE RACIONALNIH ©TEVIL

4 NASPROTNA VREDNOST

5 ABSOLUTNA VREDNOST

©PELA SE PREIZKUSI

V 18. stoletju je bilo veliko matematikov proti uporabi negativnih števil, za njihovo uporabo pa se je najbolj zavzemal Leonhard Euler.

V vsakdanjem življenju najpogosteje srečamo negativna števila pri merjenju temperature, označevanju nadstropij, finančnih zadevah ...

9

1 MNOÆICA CELIH ©TEVIL

Izvedel boš: — katera πtevila so negativna πtevila, — kako se imenuje πtevilska mnoæica, ki vsebuje negativna cela πtevila,— kako upodobiπ cela πtevila na πtevilski premici.

Rok je preæivel nekaj poËitniπkih dni pri stricu meteorologu na Kredarici. Vsako jutro in veËer je odËital temperaturo zraka in jo zapisal v preglednico.

RAZMISLI Ali bi lahko meritve zapisal bolj pregledno?

DOGOVORNegativno celo πtevilo zapiπemo tako, da pred zapis s πtevkami zapiπemo znak − (minus):− 1, − 2 ... −97 ... − 1387 ...

»e æelimo v banki dvigniti veË denarja kot ga imamo na raËunu, je naπe banËno stanje negativno.Kadar so temperature niæje od 0 oC, jih zapiπemo z negativnimi πtevili. 2 oC pod niËlo — 2 oC

dantemperatura

zjutraj

temperatura

zveËer

22.8. 6 oC nad niËlo 10 oC nad niËlo23.8. 0 oC 4 oC nad niËlo24.8. 2 oC pod niËlo 2 oC nad niËlo25.8. 4 oC pod niËlo 0 oC 26.8. 5 oC pod niËlo 1 oC pod niËlo

dantemperatura

zjutraj

temperatura

zveËer

22.8. 6 oC 10 oC23.8. 0 oC 4 oC24.8. − 2 oC 2 oC25.8. − 4 oC 0 oC 26.8. − 5 oC − 1 oC

V delovnem zvezku smo ugotovili, da v mnoæici naravnih πtevil ne moremo odπteti dveh naravnih πtevil, Ëe je odπtevanec veËji od zmanjπevanca. Zato potrebujemo πtevilsko mnoæico, ki bo vsebovala tudi negativna πtevila.

Doslej smo poznali mnoæico naravnih πtevil .

= {1, 2, 3, 4, 5 ...}

»e slike naravnih πtevil prezrcalimo Ëez izhodiπËe O, dobimo slike negativnih celih πtevil.

S tem smo mnoæico razπirili na mnoæico celih πtevil, ki jo oznaËimo z znakom .

= {... — 4, — 3, — 2, — 1, 0, 1, 2, 3, 4 ...}

izgovorimo ≈minus√

0 1 2 3 4

πtevilski poltrak

— 4 — 3 — 2 — 1 0 1 2 3 4negativna cela πtevila πtevilo 0 pozitivna cela πtevila

πtevilska premica

PoiπËi nekaj negativnih πtevil DZ − naloga 1.1

10

MNOŽICA CELIH ©TEVIL

Mnoæica celih πtevil je sestavljena iz: mnoæice pozitivnih celih πtevil +: 1, 2, 3, 4, 5, 6 ... mnoæice negativnih celih πtevil −: − 1, − 2, − 3, − 4, − 5, − 6 ...in πtevila niË: 0.

RE©ENI PRIMERI

Zapiπimo z matematiËnimi znaki mnoæico celih πtevil:

= — {0} ∪ +

Mnoæica celih πtevil vsebuje poleg vseh naravnih πtevil πe πtevilo 0 in negativna cela πtevila —.

Mnoæica celih πtevil ima veË podmnoæic: —, +, {0}, ... Z matematiËnimi znaki zapiπemo:

—

, + , {0} , .

1 Zapiπi z ustreznim merskim πtevilom. a) 12 oC pod lediπËem Reπitev: — 12 oC b) 29 oC nad lediπËem +29 oC ali 29 oC

2 Upodobi na πtevilski osi liha cela πtevila od vkljuËno — 21 do vkljuËno — 3.

Reπitev: Najprej si oglejmo, katere slike celih πtevil leæijo na πtevilski premici od slike πtevila — 21 do slike πtevila — 3:

Med zapisanimi πtevili so liha πtevila: — 21, — 19, — 17, — 15, — 13, — 11, — 9, — 7, — 5, — 3.

3 DoloËi za ena manjπe in za ena veËje πtevilo od πtevil — 100, 0 in 100.

Reπitev: Slike iskanih πtevil ponazorimo na πtevilski premici:

za ena manjπe πtevilo — 101 — 1 99

πtevilo — 100 0 100

za ena veËje πtevilo — 99 1 101

{0}— +

— 21 — 20 — 19 — 18 — 17 — 16 — 15 — 14 — 13 — 12 — 11 — 10 — 9 — 8 — 7 — 6 — 5 — 4 — 3 0 1

— 21 — 19 — 17 — 15 — 13 — 11 — 9 — 7 — 5 — 3 0 1

—101 —100 —99 —1 0 1 99 100 101

neposredni predhodnik

neposredni naslednik

oznaka za unijo

oznaka za podmnoæico

POMNIPredznak + pred pozitivnim πtevilom zapiπemo le, Ëe æelimo posebej poudariti, da je πtevilo pozitivno.

POZOR!Negativna πtevila v nasprotju s pozitivnimi nimajo neposrednih predhodnikov in neposrednih naslednikov.

1 OdËitaj temperature z narisanih termometrov in reπitve zapiπi s celimi πtevili.

a) b) c) Ë) d) e)

2 Preriπi preglednico v zvezek in jo dopolni.

za ena manjπe — 12 — 400 30

πtevilo — 7 — 150 0

za ena veËje — 23 — 1000 700

3 a) Izpiπi vsako drugo πtevilo od πtevila — 34 do πtevila 6.

b) Izpiπi vsako tretje πtevilo od πtevila 19 do πtevila — 20.

c) Izpiπi vsa cela πtevila, ki so deljiva s 5 in leæijo med — 41 in 32.

Ë) Izpiπi vsako Ëetrto πtevilo od πtevila — 13 do πtevila — 37.

4 Na πtevilski premici prikaæi vsa cela πtevila od vkljuËno — 9 do 5. a) Katera prikazana πtevila pripadajo mnoæici

negativnih celih πtevil? b) Katera prikazana πtevila pripadajo mnoæici

pozitivnih celih πtevil? c) Katero prikazano πtevilo ne pripada niti

mnoæici pozitivnih celih πtevil niti mnoæici negativnih celih πtevil?

5 ©pela je izmerila temperaturo Savinje v LuËah 17 oC. Naslednji teden je drugiË meri-la temperaturo in ugotovila, da se je tempe-ratura spremenila za 3 oC. Kolikπna je bila temperatura Savinje pri drugem merjenju?

6 Katera cela πtevila so oznaËena s Ërkami na πtevilski premici?

a)

b)

c)

Ë)

d)

7 Na πtevilski premici upodobi: a) slike πtevil — 1, 2, 0, — 3, — 4, 5 s toËkami

A, B, C, D, E, F. b) vsa cela πtevila od — 10 do 8. c) vsa cela πtevila od — 17 do — 29. Ë) vsa soda cela πtevila od — 12 do 12. d) vsa liha cela πtevila od — 11 do 13. e) πtevila — 160, 410, — 240, — 320, 280.

8 IzraËunaj aritmetiËno sredino πtevil: 18, — 3, 20, — 6, — 8, 12, 9.

9 IzraËunaj povpreËno jutranjo temperaturo za prvo polovico januarja, Ëe so bile izmerjene temperature v °C:

3 − 5 − 2 2 4 8 3 − 1 − 4 − 5 0 2 4 4 5

— 6— 8 — 2 0 2A

— 2 — 1 0 1A

— 20 0 10A B

1000A B C » D

— 10 100

A B

30

20

10

0

10

20

30

oC30

20

10

0

10

20

30

oC30

20

10

0

10+4

20

30

oC30

20

10

0

10

20

30

oC30

20

10

0

10

20

30

oC30

20

10

0

10

—7

20

30

oC

4 DoloËanje vrednosti koliËin.

a) Ob osmi uri je Rok izmeril temperaturo — 13 oC. Do desete ure je temperatura narasla za 4 oC. Kolikπno temperaturo je Rok izmeril ob desetih?

b) Ob devetnajsti uri je Rok izmeril temperaturo 5 oC. Do sedme ure zjutraj se je temperatura zniæala za 7 oC. Kolikπno temperaturo je Rok izmeril ob sedmih?

— 13 oC+ 4 oC

— 13 oC — 9oC

?

+ 4 oC5 oC

— 7 oC

5 oC — 2 oC— 7 oC

?

30

20

10

0

10

20

30

oC30

20

10

0

10

20

30

oC30

20

10

0

10

20

30

oC30

20

10

0

10

20

30

oC30

20

10

0

10

20

30

oC30

20

10

0

10

20

30

oC

NALOGE ZA VAJO

12

10 DoloËi konËne vrednosti temperature glede na spremembo in jih napiπi namesto vpraπaja, Ëe negativno πtevilo nad puπËico predstavlja zniæanje temperature, pozitivno πtevilo pa zviπanje.

a) b)

c) Ë)

d) e)

f) g)

h) i)

11 Æaba skaËe po πtevilski premici. Za posamezen primer je zapisana dolæina skoka v pozitivno (desno) ali negativno (levo) smer in toËka, kjer je pristala. Ugotovi, kje je stala æaba pred zaËetkom skoka.

a) b)

c) Ë)

d) e)

f) g)

h) i)

12 Prepiπi izraze v zvezek in na oznaËeno mesto vpiπi πtevila, ki jih dobiπ, Ëe premikanje v levo zapiπeπ z negativnimi πtevili, v desno pa s pozitivnimi πtevili.

a) b)

c) Ë)

d) e)

f) g)

h) i)

13 RazišËi pravilnost izjav. a) — b) c) —

Ë) + d) {6}

14 Zapiπi vsa cela πtevila: a) x, za katera velja x > — 7 in x —. b) y, za katera velja y > — 4 in y

+. c) z, za katera velja z < 7 in z +.

15 RazišËi pravilnost izjav. a) 5 ni naravno πtevilo. b) — 7 je pozitivno celo πtevilo. c) — 8 ni naravno πtevilo. Ë) — 12 je celo πtevilo. d) Predhodnik πtevila niË je negativno celo πtevilo. e) 3 1

2 je pozitivno celo πtevilo.

f) Vsa cela πtevila, ki so manjπa od niË, so pozitivna cela πtevila.

16 RazišËi pravilnost izjav. V napaËnih izjavah popravi πtevilo tako, da bo izjava pravilna.

a) — 12 b) 3 — c) 5 —

Ë) — 12 d) 0 +

17 PotapljaË je na toËki A z nadmorsko viπino — 45 m. Kolikπna je nadmorska viπina:

a) toËke B, ki jo je dosegel potapljaË, ko se je s toËke A dvignil za 17 m?

b) toËke C, ki jo je dosegel potapljaË, ko se je s toËke A spustil za 12 m?

c) toËke D, ki jo je dosegel potapljaË, ko se je s toËke C dvignil za 15 m?

Ë) Za koliko metrov se mora potapljaË dvigniti s toËke D, da doseæe toËko E, ki ima nadmorsko viπino 0 m?

18 Zapiπi naslednjih pet Ëlenov danega zaporedja celih πtevil in algebrski izraz za doloËanje Ëlenov zaporedja:

a) 19, 12, 5, — 2, — 9 ... b) — 14, — 10, — 6 ... c) 64, 32, 16, 8, 4 ... Ë) 9, 8, 6, 3, — 1 ...

19 »ez koliko let bo otrok, ki je danes star x let, konËal πolanje na osnovni πoli, Ëe je zaËel πolanje s 6 leti?

20 Prodajalec je stare avtomobile oglaševal z reklamo:

«

Rabljeni avtomobili po razliËnih cenah, povpreËno po 5000 €.« RazišËi pravilnost trditev:

a) VeËina avtomobilov stane med 4000 in 6000 €. b) Vsaj en avto stane manj kot 5000 €. c) Nekaj avtomobilov stane manj kot 5000 €. Ë) Polovica avtomobilov stane veË kot 5000 €,

polovica pa manj kot 5000 €.

5 oC ?— 8 oC

— 2 oC ?— 7 oC

— 2 oC ?+ 4 oC

23 oC ?— 14 oC

9 oC ?— 13 oC

28 oC ?— 15 oC

— 14 oC ?+ 19 oC — 21 oC ?

+ 13 oC

—8 oC ?— 17 oC

0 oC ?— 3 oC

— 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

— 4

6 ?— 4

— 3 ?— 7

3 ?+ 4

—1 ?+ 5

3 ?— 4

—22 ?— 15

—31 ?+ 27

0 ?+ 29

— 23 ?— 18

28 ?— 17

62?

— 7— 3?

0— 4?

3618?

— 23— 36?

— 1— 3?

— 12?

012?

— 67— 13?

12— 12?

13

©pela in Rok sta pri kemiji s segrevanjem talila kos ledu z zaËetno temperaturo — 1,3 oC. Po segrevanju sta namerila temperaturo 2,5 oC.

RAZMISLI Ali ti dve πtevili pripadata mnoæici celih πtevil?

2 MNOÆICA RACIONALNIH ©TEVIL

Izvedel boš: — kako oznaËiπ mnoæico racionalnih πtevil,— kako upodobiπ racionalna πtevila na πtevilski premici,— da racionalna πtevila vkljuËujejo tudi cela πtevila.

V vsakdanjem æivljenju pogosto sreËujemo poleg celih πtevil πe druga πtevila. Æe lansko leto smo spoznali pozitivne ulomke. Mnoæico vseh takih πtevil imenujemo pozitivna racionalna πtevila. Na številski premici ležijo njihove slike desno od πtevila 0. »e pozitivna racionalna πtevila prezrcalimo Ëez izhodiπËe O, dobimo negativna racionalna πtevila. Njihove slike na številski premici leæijo levo od πtevila 0.

©tevili, ki sta ju pri merjenju dobila Rok in ©pela, pripadata mnoæici racionalnih πtevil, saj je

− =−13 13

10, in 2 5 2

5

1021

2, .

— 2 — 1

— 1,3 2,5

0 1 2

Napiπimo πe nekaj pozitivnih racionalnih πtevil: 14 21

231

45,

in nekaj negativnih racionalnih πtevil: 1

22 7 3

3

54,

— 2 114

— 1 1

2

0 1

21 11

42

MNOŽICA RACIONALNIH ©TEVIL

Mnoæica racionalnih πtevil je sestavljena iz:− mnoæice pozitivnih racionalnih πtevil +,− mnoæice negativnih racionalnih πtevil − in− πtevila 0.

14

Zapiπimo z matematiËnimi znaki mnoæico racionalnih πtevil:

= — ∪ {0} ∪ +

Mnoæica naravnih πtevil in mnoæica celih πtevil sta podmnoæici mnoæice racionalnih πtevil: in .Za vse tri omenjene πtevilske mnoæice velja .

Tudi mnoæice —, + in {0} so podmnoæice mnoæice

racionalnih πtevil, zato velja — , + , {0} . {0}— +

1 Upodobi na πtevilski premici racionalna πtevila — 3,5; — 2; 3

4; 0; 1; 1,7; 2 1

2; 4.

2 Utemelji, zakaj dana πtevila pripadajo mnoæici racionalnih πtevil.

a) +21 b) 3,7 c) 0 Ë) 2

7 d) 0 3,

Reπitev:

a) +21 ali 21 je naravno πtevilo. Vsako naravno πtevilo lahko zapiπemo kot ulomek ( 21

1

42

2

63

3...).

b) 3,7 je decimalno πtevilo, ki ga zapiπemo z desetiπkim ulomkom 3710

7

103 .

c) ©tevilo 0 lahko zapiπemo z ulomkom 01

0

2

0

3 ...

Ë) 2

7 je æe ulomek, bolj natanËno negativen ulomek.

d) 0 3, je periodiËna decimalna πtevilka, ki jo zapiπemo z ulomkom 1

3 .

PeriodiËno decimalno πtevilko lahko zapiπemo v obliki ulomka, zato pripada mnoæici racionalnih πtevil.

3 Na oznaËeno mesto vstavi ustrezen znak ali tako, da dobiπ pravilno izjavo.

a) — 0,7 b) 1,8 + c) 3

7 — Ë) — 23 d) 31 + e) — 127

Reπitev:

a) — 0,7 b) 1,8 + c) 3

7 — Ë) — 23 d) 31 + e) — 127

Reπitev:— 1

— 3,5 10 1,7— 2 421

2

3

4

— 4 — 3 — 2 — 1 0 1 2 3 4

Decimalna πtevila, ki imajo neskonËno πtevilo neperiodiËnih decimalk, ne pripadajo mnoæici racionalnih πtevil, ampak pripadajo novi πtevilski mnoæici iracionalnih πtevil.VeË v uËbeniku, na strani 73.

2 3 5 6, , , ...

{0}

—

—

+

+ =

— 1,512

8

3— 12

— 8— 3

— 1,5 34 3

4

RE©ENI PRIMERI

15

NALOGE ZA VAJO

1 Katera racionalna πtevila so oznaËena s toËkami na πtevilski premici?

a)

b)

c)

2 Racionalna πtevila upodobi na πtevilski premici.

a) — 1,7; 5,8; 3,5; — 0,5; —2,6; 0,9

b) 1 3 2 5 11

2

1

4

3

4, , , ,

c) 1

8

1

4

1

2

5

2

9

4

11

8, , , , ,

3 Izpiπi πtevila, ki jih dobiπ, Ëe se po πtevilski premici premikaπ:

a) po 1

3 v desno; zaËni z —2 in konËaj s 3.

b) po 0,7; zaËni s 5 in ne presezi — 4.

c) po 0,4 od — 3,3 do 3,5.

Ë) po 1 od 8 2

11 do — 6.

4 Nekatere toËke imajo napaËno zapisane koordinate. PoiπËi te toËke in jim zapiπi pravilne koordinate.

5 Ali lahko na odseku πtevilske premice od — 3 do +3 prikaæemo slike racionalnih πtevil, ki so veËja od — 3 in manjπa od +3?

6 Nariπi πtevilsko premico, ki ima dolæino enote 1 cm. Izmeri in zapiπi dolæino daljice, Ëe sta krajiπËi daljice sliki πtevil:

a) 1,8 in 3,7 b) — 2,3 in — 3,4

c) — 1,6 in 3,2 Ë) 2,7 in — 1,4

7 Zapiπi: a) poljubna tri racionalna πtevila, ki so

hkrati pozitivna cela πtevila. b) poljubna tri racionalna πtevila, ki pripadajo

mnoæici negativnih racionalnih πtevil. c) število, ki pripada mnoæici pozitivnih

racionalnih πtevil in hkrati mnoæici negativnih racionalnih πtevil.

8 RazišËi pravilnost izjav. Utemelji svoje odgovore.

a) b) — — c) — +

Ë) d) — + = e) —

f) + +

9 Zapiπi πe 7 Ëlenov zaporedja in algebrski izraz za splošni Ëlen zaporedja.

a) − − − − −6 7 7 8 913

23

13

, , , ,

b) − − − − −12, , , ,1 2 4 8

10 V trgovini poišËi cene za 5 razliËnih znamk litrskega alpskega mleka. Razmisli, kaj vse lahko iz teh podatkov izraËunaš?

11 IzraËunaj povpreËen Ëas, ki ga uËenci vašega razreda potrebujejo za pot do πole. Kaj ti ta podatek pove?

12 V trgovskem centru poiπËi cene za vse znamke televizorjev z enako velikim ekranom, nato izraËunaj njihovo povpreËno ceno. »esa ti povpreËna cena ne pove?

13 PovreËna masa šestih osmošolk je 52 kg. Zapiši vsaj dva primera mas za posamezno osmošolko.

—1 0

C B D A

1 2

CF EA BD

0 1—1

C F E A B D

0 1—1

— 5,1 — 4,2 — 1,4 — 0,8 — 2 2,6 4,20

F B DA GCE

1

ToËka C je slika πtevila — 0,8. ReËemo, da je — 0,8 koordinata toËke C in zapiπemo C(— 0,8).

16

3 UREJANJE RACIONALNIH ©TEVIL

Izvedel boš: — kako primerjaπ po velikosti dve racionalni πtevili,— kako urediπ po velikosti veË racionalnih πtevil.

POZITIVNO IN NEGATIVNO ©TEVILO

Vsako pozitivno πtevilo je veËje od πtevila niË in od katerega koli negativnega πtevila.

Vsako negativno πtevilo je manjπe od πtevila niË in od katerega koli pozitivnega πtevila.

Primerjaj racionalna πtevila po velikosti. DZ − naloga 1.2

©pela je spremljala stanje na svojem banËnem raËunu:

mesec julij avgust septemberstanje —14 € 20 € 6 €

RAZMISLI Kateri mesec je bilo ©pelino finanËno stanje na banËnem raËunu najboljπe in kateri mesec najslabπe?

©pela je imela najveË denarja avgusta, ko je imela 20 €.©pela je imela najmanj denarja julija, ko je bila 14 € v minusu, kar pomeni, da ji je banka posodila 14 €. Ponazorimo dana πtevila na πtevilski premici in jih primerjajmo po velikosti.

Izmed dveh πtevil je manjπe tisto, katerega slika leæi na πtevilski premici bolj levo.

Primerjajmo pozitivna in negativna πtevila: Primerjajmo med seboj πe negativna πtevila:

20 > — 14 in 20 > — 6. — 14 < — 6.

0 2— 14 — 12 — 10 — 8 — 6 — 4 — 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

— 14 — 6 20

POZOR!Slika manjšega racionalnega števila leži vedno bolj levo od slike veËjega racionalnega števila.

17

5 ©tevila uredi po velikosti od najmanjπega do najveËjega.

a) 0,1; — 2,4; 1,3; — 1,6; — 0,3; 0,5

b) 12,23; — 6,27; — 13, 8; — 6, 21; 12,3; — 13,59

c) − − −18

, , , , ,14

12

32

74

98 Ë) 7

8, , , , , ,74

73

72

76

75

711

− − − −

6 Reπi neenaËbe, Ëe x pripada mnoæici celih πtevil.

a) x > — 8 b) x > — 4 c) x < — 5

Ë) — 8 < x < 6 d) — 9 x 3

7 Katera cela πtevila lahko vstavimo namesto x, da dobimo resniËno izjavo? Reπitve zapiπi πe z algebrskimi izrazi.

a) x7

< 17

b) 3x

< − 14

c) 34 < x

8

Ë)2x

>− 16

d) x9

> 39

e) 34

> − 1x

8 Zapiπi vsa tista racionalna πtevila, ki jih lahko zapiπeπ s takπnim ulomkom, da ima enomestni imenovalec, Ëe za πtevila velja, da so veËja od — 0,85 in manjπa od — 0,74.

9 Z a in b sta oznaËeni sliki dveh racionalnih πtevil na πtevilski premici. Primerjaj po veli-kosti πtevili a in b, Ëe obe števili pripadata isti množici —, +, ali pa vsako število eni izmed danih množic.

1 Primerjaj po velikosti πtevila — 3; 1

2; — 2,8; 3; 1

2 in 2,8 s πtevilom 0. Kaj ugotoviπ?

Reπitev:

— 3 < 0 1

2 < 0 — 2,8 < 0 3 > 0 1

2> 0 2,8 > 0

Vsa pozitivna πtevila so veËja od niË, vsa negativna pa manjπa od niË.

2 Upodobi slike πtevil na πtevilski premici in dana πtevila uredi po velikosti.

a) —4 ;—3;—5,8; —11

2 b) 3; —0,4; 1,8; —4 ; —21

2

Reπitev:

a) —5,8 < —4 1

2< —3 < —1 b) —4 1

2< —2 < —0,4 < 1,8 < 3

— 6 — 5 — 4 — 3 — 2 — 1 0 1

— 3— 5,8 — 141

2

— 5 — 4 — 3 — 2 — 1 0 1 2

3— 0,441

2

3

1,8— 2

1 Prepiπi v zvezek in na oznaËeno mesto zapiπi ustrezen znak (<, >, =).

a) — 2 5 b) — 13 — 17 c) — 8 8

Ë) 3 — 5 d)1

5 0 e) 2,8 0

f) — 0,5 1

2 g) 0,25 1

4

2 ©tevila upodobi na πtevilski premici in jih uredi po velikosti od najmanjπega do najveËjega.

a) 7, — 3, — 6, 4, 0, — 5, 2

b) — 12, 8, — 8, 15, 27, — 14, — 20

3 ©tevila uredi po velikosti od najveËjega do najmanjπega.

a) 73, — 37, — 1, 16, — 23, 42, 23

b) — 96, — 103, 75, 102, — 61, — 89, 93

4 PoiπËi napaËne izjave in nato πtevili pravil-no uredi po velikosti.

a) 3 < 7 b) 7 < 3 c) — 3 > — 7

Ë) — 3 < 7 d) — 7 > — 3 e) — 7 > 3

a b

RE©ENA PRIMERA

NALOGE ZA VAJO

ZMOREM TUDI TO

18

UËenci so opravljali meritve za izraËun reËnega pretoka. Rok je s svojo skupino stal na levem bregu reke, ©pelina skupina pa je opravljala meritve na desnem bregu reke. Rok je ©peli zaklical: ≈Stojiva na nasprotnih bregovih reke.√

RAZMISLI Ali obstajajo tudi nasprotna πtevila?

Izvedel boš: — kako racionalnemu πtevilu doloËiπ nasprotno vrednost,— pomen znaka — (minus).

4 NASPROTNA VREDNOST

NASPROTNA VREDNOST

Nasprotna vrednost racionalnega πtevila a je − a. Nasprotno vrednost doloËimo tako, da sliko πtevila prezrcalimo Ëez izhodiπËe πtevilske premice O.

Na enak naËin, kot smo to naredilipri celih πtevilih prezrcalimo sliki πtevil 3 in —3 Ëez toËko O.

Vidimo, da se slika πtevila 3, ki je oznaËena s toËko A, prezrcali v sliko πtevila —3, ki je oznaËena s toËko B, in slika πtevila —3 v sliko πtevila 3.

©tevili 3 in — 3 sta nasprotni πtevili. Nasprotni πtevili se pri zrcaljenju Ëez toËko O prezrcalita eno v drugo.

Nasprotna vrednost πtevila 3 je — 3. Nasprotna vrednost πtevila — 3 je 3.

— (+3) = — 3 — (— 3) = +3

Nasprotna vrednost πtevila 0 je 0.

— (a) = — a »e prezrcalimo pozitivno πtevilo, dobimo negativno πtevilo.

— (— a) = a »e prezrcalimo negativno πtevilo, dobimo pozitivno πtevilo.

—3 —2 —1 0 1 2 3

B E AO

oznaka za nasprotno vrednost

POZOR!Znak minus ima v matematiki veË pomenov:

− je znak za odπtevanje, − je predznak negativnega πtevila,− je oznaka za nasprotno vrednost πtevila.

Prezrcali racionalna πtevila.DZ − naloga 1.3

19

1 Dana so πtevila: 7; —12; 23

; —11

4; —1,6 in 0.

a) DoloËi nasprotno vrednost πtevil ter primerjaj predznak πtevila in njegove nasprotne vrednosti.

b) DoloËi obratno vrednost πtevil ter primerjaj predznak πtevila in njegove obratne vrednosti.

Reπitev:

πtevilo 7 — 12 2

3114

3,5 — 1,6 0

a) nasprotnavrednost — 7 12 2

3114

— 3,5 1,6 0

b) obratnavrednost

1

7

1

12

3

2

4

5

2

7

5

8

nima obratne vrednosti

©tevilo in njegovo nasprotno πtevilo imata razliËna predznaka. Trditev ne velja za πtevilo niË, ki nima predznaka.©tevilo in njegovo obratno πtevilo imata enaka predznaka. Trditev ne velja za πtevilo niË, ki nima obratne vrednosti.

3 5, 35

10

7

2− =−1

1

4

5

4− =− =−16, 16

10

8

5

1 ©tevilom, ki so oznaËena na πtevilski osi, poiπËi nasprotne vrednosti.


πtevilo 11 — 37 — 77 0 — 145

nasprotno πtevilo 29 — 41 — 230

3 Izberi tri dvojice nasprotnih πtevil.


πtevilo 3 — 1,2 0 212 n —t

nasprotno πtevilo 2 − 1

3

5 RazišËi pravilnost izjav.

a) Nasprotno πtevilo od πtevila 3 je +3.

b) — 2,5 je nasprotno πtevilo od πtevila 2,5.

c) ©tevilo 34

se Ëez toËko O (sliko πtevila niË)

prezrcali v πtevilo − 34

.

Ë) ©tevilo — 7 se Ëez πtevilsko premico prezrcali

v πtevilo +7.

d) Nasprotno πtevilo od πtevila — a je πtevilo a.

—5 —3 0 1 4 7

− 0 +

6 Kakπen predznak ima nasprotno πtevilo izbranega πtevila? a) Izberem poljubno pozitivno racionalno πtevilo.

b) Izberem poljubno negativno racionalno πtevilo. c) Izberem πtevilo niË.

7 DoloËi iskano πtevilo. a) c = 9 — c = ? b) n = — 6 — n =? c) — m = — 3 m =? Ë) — t = 5 t =?

8 Poenostavi. a) — (— 3) b) —(—(— 7))

c) —(—(+ 5,3)) Ë) —(—(—(—(— 2,7))))

9 Katere pomene ima znak minus? Razloæi s primeri.

10 Katero πtevilo je nasprotno πtevilo od nas-protnega πtevila?

11 Slika katerega racionalnega πtevila leæi simetriËno na sliko πtevila 6 glede na sliko πtevila niË?

12 Katero racionalno πtevilo: a) je enako svoji nasprotni vrednosti? b) je na πtevilski premici od svoje nasprotne vrednosti oddaljeno za 3,4 enote?

RE©ENI PRIMERI

NALOGE ZA VAJO

POZOR!©tevilo niË nima obratne vrednosti.

0 = =?0

01

1;

20

©pela in Rok sta v veleblagovnici, ki ima vse etaæe enako visoke. ©pela kupuje v trgovini v drugem nadstropju, Rok pa je v garaæi, ki je v drugi etaæi pod pritliËjem.

RAZMISLI Kje naj se sreËata, da opravita enako dolgo pot?

Izvedel boš: — kako racionalnemu πtevilu doloËiπ absolutno vrednost, — kaj pomeni pojem absolutna vrednost racionalnega πtevila.

5 ABSOLUTNA VREDNOST

ABSOLUTNA VREDNOST

Absolutna vrednost racionalnega πtevila a je razdalja slike πtevila a od izhodiπËa O na πtevilski premici. | a | = d(A,O)

DOGOVOR je oznaka za

absolutno vrednost.

Rok in ©pela sta med seboj oddaljena za πtiri nadstropja. »e se vsak zapelje za dve nadstropji proti drugemu, se bosta sreËala na pol poti. SreËala se bosta v pritliËju.

Pokaæimo gibanje dvigala πe na πtevilski premici. Dolæina daljice od 0 do — 2 je enako dolga kot dolæina daljice od 0 do 2. Slika πtevila 2 je za 2 enoti (v desno) oddaljena od slike πtevila 0.

Slika πtevila — 2 je za 2 enoti (v levo) oddaljena od slike πtevila 0.

Slika πtevila 0 je izhodiπËna toËka.

VËasih smer gibanja ni pomembna temveË nas zanima le razdalja od izhodiπËa. V tem primeru govorimo o absolutni vrednosti.

Absolutna vrednost πtevila 2 je 2, zapiπemo tudi 2 = 2.

Absolutna vrednost πtevila — 2 je 2, zapiπemo tudi — 2 = 2.

Absolutna vrednost πtevila 0 je 0.

— 2

— 1

2

1 ©PELA

ROK

0

2. nadstropje

1. nadstropje

pritliËje

1. klet

2. klet

— 2 — 1 210

v levo v desno

2 enoti 2 enoti

a0

Ad (A, O)O

1— a 0

A d (A, O) O

1

Ugotovi razdalje posameznih racionalnih πtevil od πtevila 0.DZ − naloga 1.4

21

1 ©tevilom, ki so oznaËena na πtevilski osi,

poiπËi absolutne vrednosti.


πtevilo 11 23 — 37 — 77 0 — 145

absolutna vrednost 29 41 — 230

3 RazišËi pravilnost izjav. a) Absolutna vrednost πtevila 3 je +3. b) — 2 je absolutna vrednost πtevila +2. c) Slika πtevila — 8 je za 8 enot oddaljena od

slike πtevila 0 na πtevilski premici. Ë) ©tevilo +7 ima enako absolutno vrednost kot

πtevilo — 7. d) Absolutna vrednost πtevila a je πtevilo — a.

4 Prepiπi v zvezek in izpolni oznaËeno mesto. a) c = 9 c = ? b) n = — 6 n = ?

c) — m = 3 m = ? Ë) — t = — 5 t = ?

5 Na πtevilski premici z enoto OE = 1cm poiπËi vse toËke, ki so od toËke O oddaljene 3,5 cm. Koliko takπnih toËk si naπel?

6 Katera racionalna πtevila imajo absolutno

vrednost 5 1

4?


πtevilo 4 — 3 2,5 — 1,2 −157

329 a — b

absolutna vrednost 5 1,8

56 x

8 DoloËi absolutne vrednosti πtevil 12; — 4; 3 1

2; 6,5; — 3,7 in —8 2

5.

9 DoloËi reπitve enaËb: a) x = 14 b) y = — 3 c) z = 0 Ë) x = — 8 d) 5 · y = 1

10 Zapiπi tri πtevila, ki so manjπa od 5 in imajo absolutno vrednost veËjo od 5.

11 Zapiπi pet πtevil, ki so veËja od πtevila — 12, njihova absolutna vrednost pa je manjπa, kot je absolutna vrednost πtevila — 12.

12 Rok je zapisal vsoto absolutnih vrednosti dveh nasprotnih πtevil in dobil 8. Kateri dve πtevili je zapisal Rok?

13 Katera cela πtevila lahko izbereπ za x, da dobiπ pravilne izjave?

a) x < 5 b) x 3,7

14 Prepiπi πtevila v zvezek in na oznaËeno mesto vstavi ustrezen znak (<, >, =).

a) 0 — 3 b) — 5 — 4 c) 0 — 3 Ë) —5 — 4 d) — 21 21 e) — 21 21

15 Poljubno racionalno πtevilo oznaËimo z x. Kolikπna je vrednost izraza x + 2?

a) 2 b) 0 c) manjπa od 0 Ë) veËja od 0 d) veËja od 2 e) veËja ali enaka 2

—5 —3 0 1 4 7

1 DoloËi absolutno vrednost πtevil 7; —12; 23

; —11

4; 3,5; —1,6 in 0

ter primerjaj predznaka πtevila in njegove absolutne vrednosti.

Reπitev:

πtevilo 7 — 12 2

3114

3,5 — 1,6 0

absolutna vrednost 7 12 2

3114

3,5 1,6 0

Absolutna vrednost je vedno pozitivna ali enaka niË, saj dolæina ne more biti negativna.

RE©ENI PRIMERI

NALOGE ZA VAJO

22

4 T

4 T

6 T

4 T

4 T

4 T

5 T

2 T

5 T

5 T

1 Zapiπi πtevilo, ki ga oznaËena toËka predstavlja

na πtevilski premici.

2 a) Nariπi πtevilsko premico od — 3 do 3 in na njej oznaËi πtevila — 1,6; 3

2 ; 2,75; — 3.

b) Dana πtevila nato πe uredi po velikosti od najmanjπega do najveËjega.


πtevilo — 13

nasprotno πtevilo — 5

absolutna vrednost 2,4

obratna vrednost 3

8

4 Na oznaËeno mesto vstavi ustrezen znak (<, > ali =).

— 2 — 3 — 4 2 — 1,7 — 7,1 1,9 — 2,1 5,6 6,3

5 Zapiπi vsa cela πtevila, ki so veËja od — 7 in manjπa od 4.

6 Dopolni.

a) cm — 2 cm b) — 2,7 oC 7,3 oC c) — 10 € €

7 RazišËi pravilnost izjav.

a) Vsako naravno πtevilo je tudi pozitivno racionalno πtevilo.

b) ©tevilo niË je naravno πtevilo.

c)

Ë) + = +

d) — (— 13) = 13

e) Nasprotni πtevili imata enako absolutno vrednost.

f) — 7

—2 —1 0 1 2 3

M A P R

—5 cm +5 €

ŠPELA SE PREIZKUSI

23

2 T

3 T

4 T

6 T







8 a) Zapiπi celo πtevilo, ki je manjπe od 7 in ima absolutno vrednost veËjo od 7.

b) Nariπi πtevilsko premico z dolæino enotske daljice 1 cm. Izmeri in zapiπi dolæino daljice

med slikami πtevil +1,9 in — 0,1.

c) Zapiπi take reπitve neenaËbe x > — 6, da bo x —.

9 RaziπËi, kdaj je neenakost a —cb

> 0 pravilna, Ëe so a, b, in c racionalna πtevila,

za katera velja, da je eno pozitivno, eno negativno, eno pa enako niË.

24

6 12345

123456789

123456789012

12345678901234567

0 1234567890123456789

3456789012345678901234567

45678901234567890123456789012

89012345678901234567890 123456789

6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6

90 123456789012345678901234567890 1234567

89012345678901234567890123456789012345678

890 123456789012345678901234567890 12345678901234

9012345678901234567890123456789012345678901234567

7890 123456789012345678901234567890123456789012345678901

01234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678

234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

56789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890

4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4

67890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012

567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456

678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456789

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

23456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123

1 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678 9 01 2 3

34567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123

34567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

34567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123

45678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

5678901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

0 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890

9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 0

1234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

01234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

2345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678901234

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678

789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678

8901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

78901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678901

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345

5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6

5678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456

67890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

5678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345

78901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

45678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345

789012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678

901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123

2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4

345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

2345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123

45678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

2345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012

456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01

012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890

23456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

9012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890123

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789

789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

6789012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234567

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

45678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345

6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 67

56789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345

890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345

67890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

78901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234

45678901234567890123456789012345678901234567890 12345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890

6789012345678901234567890 12345678901234567890123

89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5

456789012345678901234567890 1234567890123

890123456789012345678901234567890

12345678901234567890 123456789012

67890123456789012345678901

8901234567890123456789012

678901234567890 12345

12345678901234567

8901234567890

5 6789 01 2

6789078

NEKOČ IN DANES

Negativna števila so v zgodovini zelo počasi prihajala v znanost. V različnih situacijah v življenju so se že od nekdaj pojavljala, vendar so se jih dolgo izogibali in se celo trudili naloge sestaviti tako, da bi bil rezultat vedno pozitivno število.

Podobno je opaziti pri indijskih

matematikih osem stoletij pozneje, kjer opazimo že nekaj več napredka pri seštevanju in odštevanju teh števil.

Z negativnimi števili se srečamo tudi pri Celzijevi temperaturni lestvici. Na tej lestvici izhodišče (0 °C) približno ustreza tališču vode pri normalnem tlaku. Zaradi takšne izbire izhodišča se za temperature nižje od ledišča uporabljajo negativne vrednosti. Pri Kelvinovi lestvici pa negativnih vrednosti ni, saj je za izhodišče (0 K) izbrana najnižja možna temperatura v vesolju (absolutna ničla), ki je za 273 stopinj nižja od ledišča.

Prve sledi o nekakšnih pravilih za računanje z negativnimi števili najdemo v kitajski matematiki v drugem stoletju pred našim štetjem, kjer pa so negativna števila imeli zgolj za dolg in pozitivna za lastnino. Števila so upodabljali s palčkami: pozitivina s črnimi, negativna pa z rdečimi.

Šele v 17. stoletju je matematik René Descartes zapisal znanstveno definicijo negativnih števil. Še vedno pa se s temi števili ni množilo in delilo in šele po 200 letih, v začetku 19. stoletja, po mnogih sporih, so ta števila končno postala enakovredna drugim.

0 °C = 273 K 0 K = –273 °C

1 2 3 4 5 6 7 8 9

26

445678

12345678

4567890123456

234567890 1234

45678901234567890123

7890 12345678901234567890

012345678901234567890123456

12345678901234567890 123456789012

1 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01

1234567890123456789012345678901234567890

9012345678901234567890123456789012345678

23456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890

1

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345

567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012

789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

9012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234

9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789

0 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890123456789

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

78901234567890 123456789012345678901234567890

1234567890123456789

901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678

7 89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678

7890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

45678901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567

67890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

5678901234567890 123456789012345678901234567890

1234567890123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345

5 678 9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6

4567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

12345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

2345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901234

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012

3 4 5 678 9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4

234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

9012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

012345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

45678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

90 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890

01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2

901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890

901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

123456789

8901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

12345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

67890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567

89 01 2 3 4 5 678 9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789

678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

56789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

123456

5678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567

9012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

4567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901234

6789 01 2 3 4 5 67 89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 67

45678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 12345

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

3456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

1234

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567

8901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

1234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456789012

3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5

12345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 12

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

0123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

1

0123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012

456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

8901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456789

1 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678 9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3

89012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890

7890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

34567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

78901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012

34567890123456789012345678901234567890123456789012345

9012345678901234567890 12345678901234567890123456

3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 0

78901234567890123456789012345678901234567

7890123456789012345678901234567890

567890123456789012345678901234567

345678901234567890123456789

23456789012345678901234567

901234567890 123456789

67890123456789012

12345678901234

01 2 3 4 5 678

90123478

RA»UNANJE Z RACIONALNIMI ©TEVILI1 SE©TEVANJE IN OD©TEVANJE CELIH ©TEVIL

2 SE©TEVANJE IN OD©TEVANJE RACIONALNIH ©TEVIL

3 ©TEVILSKI IZRAZI

4 MNOÆENJE CELIH IN RACIONALNIH ©TEVIL

5 DELJENJE CELIH IN RACIONALNIH ©TEVIL

6 POVEZAVA RA»UNSKIH OPERACIJ

7 RE©EVANJE ENA»B IN NEENA»B

8 EKVIVALENTNE IN IDENTI»NE ENA»BE

©PELA SE PREIZKUSI

Računanje z racionalnimi števili s pridom izkoriščamo pri vodenju in preverjanju stanja na bančnem

računu.

Za negativne vrednosti na računih pogosto uporabljamo izraz rdeče številke.

Nadmorske višine označujemo s pozitivnimi in negativnimi števili.

Najvišja točka na zemeljski površini je vrh Mt. Everesta, ki je 8848 metrov nad morsko gladino.

Izraelsko mesto Jeriha leži 250 metrov pod morsko gladino in je mesto na najnižji nadmorski višini.

Pri temperaturnih

spremembah se pogosto srečamo z dodajanjemali odvzemanjem negativnih vrednosti.

0:00

36,4

36,6

36,8

37,0

37,2

37,4

37,6

37,8

4:00 8:00 12:00 16:00 18:00 24:00

tem

pera

tura

(°C

)

telesna temperatura bolnika

Nadmorska višina najvišje točke v Slovenijije 2864 metrov (vrh Triglava).

Najnižja točka je v Marianskem

jarku več kot 11.000 metrov

pod morjem.

27

1 SE©TEVANJE IN OD©TEVANJE CELIH ©TEVIL

Izvedel boš:— kako seπtevamo cela πtevila,— kako odπtevanje celih πtevil prevedemo v seπtevanje.

V vremenski napovedi za zimski dan je zapisano, da bodo jutranje temperature — 4 oC. »ez dan se bodo povzpele za 7 oC, ponoËi pa se bodo dnevne tempera-ture spustile za 10 oC.

RAZMISLI Kolikπne bodo temperature v posameznih delih dneva?

Porast temperature lahko nazorno prikaæemo na πtevilski premici s celimi πtevili:

Iz prikazane slike sledi zapis izraza:

(— 4) + (+7 ) = (+3)

Izraz lahko poenostavljeno zapiπemo brez oklepajev:

— 4 + 7 = 3

Ko πtevilu priπtejemo pozitivno πtevilo,

izvedemo premik po πtevilski osi v desno.

Kako pa je s padanjem temperature? Padec temperature oznaËimo z znakom —.

S prikazane slike sledi zapis izraza:

(+ 3) + (— 10) = (— 7)

Izraz lahko poenostavljeno zapiπemo tudi brez nekaterih oklepajev:

3 + (— 10) = — 7

Ko πtevilu priπtejemo negativno celo πtevilo, izvedemo premik po πtevilski osi v levo.

30

20

10

0

10

20

30

30

20

10

0

10

+ 7

20

30

+ 7

— 5 — 4 — 3 — 2 — 1 0 1 2 3 4

— 10

— 8 — 7 — 6 — 5 — 4 — 3 — 2 — 1 0 1 2 3 4

30

20

10

0

10

20

30

oC30

20

10

0

10

20

30

oC

—10

POZOR!Oklepaja ne moremo opustiti v primeru, ko se stikata dva predznaka (razen, Ëe se stikata dva plusa).

(— 5) + (— 4) = — 5 + (— 4)

DOGOVORPovsod, kjer je mogoËe, raËun poenostavimo tako, da izpustimo oklepaje.

Izvedi nekaj premikov v desno. DZ − naloga 2.1

28

SE©TEVANJE CELIH ©TEVIL

Vsoto celih πtevil izraËunamo tako, da:1. πtevili seπtejemo, Ëe imata obe isti predznak,2. πtevili odπtejemo, Ëe imata razliËen predznak.

OD©TEVANJE CELIH ©TEVIL

Razliko πtevil a in b izraËunamo tako, da k πtevilu a priπtejemo nasprotno πtevilo πtevila b:a − b = a + (− b)

POMNIVsota nasprotnih πtevil je vedno enaka niË.a + (− a) = 0.

RE©ENI PRIMERI

©pela je raËunala tako kot mi, da je k πtevilu 3 priπtela padec temperature — 10 oC .

3 + (— 10) = — 7

Rok se je odloËil, da bo poskusil raËunati drugaËe. Od πtevila 3 je odπtel 10 oC. 3 — 10 = — 7

Rezultata sta enaka, ker je odπtevanje enako priπtevanju nasprotne vrednosti.

a) (+5) + (+2)

Drugi seπtevanec pomeni pomik po πtevilski osi za 2 enoti v desno. To pomeni, da je konËni poloæaj za 7 enot v desno od πtevila 0:

(+5) + (+2) = 5 + 2 = 7

Vsota dveh pozitivnih πtevil je pozitivno πtevilo, vsota je seπtevek obeh seπtevancev.

c) (— 5) + (+2)

Drugi seπtevanec pomeni pomik po πtevilski osi za 2 enoti v desno. To pomeni, da je konËni poloæaj za 3 enote v levo od πtevila 0:

(— 5) + (+2) = — 5 + 2 = — 3 Vsota pozitivnega in negativnega πtevila je

negativno πtevilo, Ëe je negativni seπtevanec po absolutni vrednosti veËji (bolj oddaljen od 0), njuna vsota pa je razlika obeh seπtevancev.

b) (+5) + (— 2)

Drugi seπtevanec pomeni pomik za 2 enoti v levo. KonËni poloæaj je pri πtevilu 3, desno od 0:

(+5) + (— 2) = 5 — 2 = 3

Vsota pozitivnega in negativnega πtevila je pozi-tivno πtevilo, Ëe je pozitivni seπtevanec poabsolutni vrednosti veËji (bolj oddaljen od 0), vsota pa je razlika obeh seπtevancev.

Ë) (— 5) + (— 2)

Drugi seπtevanec pomeni pomik za 2 enoti v levo. KonËni poloæaj je pri πtevilu — 7, levo od 0:

(— 5) + (— 2) = — 5 — 2 = — 7

Vsota dveh negativnih πtevil je vedno negativno πtevilo, vsota je seπtevek obeh seπtevancev.

0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8

1 IzraËunaj. a) (+5) + (+2) b) (+5) + (— 2) c) (— 5) + (+2) Ë) (— 5) + (— 2) Reπitev: V zapisanih izrazih si lahko pomagamo s πtevilskim trakom oziroma s pomiki navzgor in navzdol: pozitivno πtevilo pomeni pomik navzgor, negativno pa pomik navzdol.

— 6 — 5 — 4 — 3 — 2 — 1 0 +1

— 8 — 7 — 6 — 5 — 4 — 3 — 2 — 1 0 +1

29

2 IzraËunaj tako, da izraz prevedeπ v seπtevanje. a) 8 — 12 b) — 22 — 64 c) — 500 — (— 700)

Reπitev: 8 + (— 12) = — 22 + (— 64) = — 500 + 700 = = — 12 + 8 = = — (22 + 64) = = 200 = — 4 = — 86

3 V Ljubljani je bila temperatura 6 oC, istega dne v Moskvi pa — 27 oC. Zapiπi raËun za razliko temperatur v teh dveh mestih.

Reπitev: Razliko zapiπemo tako, da od viπje temperature odπtejemo niæjo: (+ 6 oC) — (— 27 oC) = 6 oC + 27 oC = 33 oC.

— (— a) = +a

1 ©tevilske izraze prepiπi v zvezek in pov-sod, kjer je mogoËe, izpusti oklepaje. Nato izraËunaj vrednosti izrazov.

a) (— 5) + (+13) b) (+7) + (— 9) c) (+15) + (— 6) Ë) (— 8) + (+7) d) (— 21) + (+9) e) (— 45) + (— 17) f) (+85) + (— 104) g) (+152) + (— 75) h) (— 78) + (+78) i) (+267) + (— 356) j) (— 697) + (+788) k) (+986) + (— 763) l) (— 1050) + (— 794) m) (+9543) + (— 1607) n) (— 3721) + (— 7895) o) (— 103797) + (+ 129806)

2 Zapisane izraze prikaæi grafiËno na πtevilski premici in zapiπi rezultat.

a) — 11 + 14 b) 7 + (— 10) c) — 6 + 6 Ë) — 3 + (— 5)

3 Brez raËunanja napovej predznak vsote. a) — 78 + 184 b) 98673 + (— 98679) c) — 789 + (+507) Ë) — 1111 + 2222

4 Na osnovi slike zapiπi številski izraz in izraËunaj njegovo vrednost.

a)

b)

c)

5 IzraËunaj tako, da prevedeπ v seπtevanje. a) 6 — 10 b) 74 — 129 c) 24 — (— 15) Ë) 55 — (— 77) d) — 90 — (— 38) e) — 833 — 1907 f) — 1000 — 1000 g) 0 — (— 9) 6 Izpolni preglednico in zapiπi številski izraz.

1. seπtevanec 2. seπtevanec vsota zapis izraza— 3 8— 7 132 — 50 — 1215 9

— 6 + 18 = 12

7 S pomoËjo zapisanih trojic πtevil sestavi številske izraze s seπtevanjem.

a) — 8, — 3, 5 b) 17, — 25, — 8 c) — 15, — 9, — 24 Ë) 30, — 12, 18

8 Kolikπna je viπinska razlika med vrhom Triglava in najveËjo globino Jadranskega morja? Podatke poiπËi sam.

9 Rimski cesar Avgust je æivel od leta 63 pred naπim πtetjem do leta 14 naπega πtetja. Zapiπi izraz, s katerim boπ ugotovil njegovo starost.

10 Napovej predznak vsote: a) m + (— n ), Ëe je n > m . b) — a + b, Ëe je |a | < |b |.

11 Zapiπi vsaj tri pare πtevil, da bo veljala zapisana enakost.

a) x + y = — 5 b) u + v = 0 c) m + (— n) = 6 Ë) — c + d = — 10

0 1

10

10

NALOGE ZA VAJO

ZMOREM TUDI TO

30

»arovnik je v svojo prazno steklenice nalil 3

4 litra Ëarobnega napoja, nato je pri izvajanju nekega uroka izlil 4

5 litra Ëarobnega napoja.

Koliko tekoËine je moral dodatno priËarati?

RAZMISLI Ali je to izvedljivo tudi v resnici?

Izvedel boš: — kako pri seπtevanju in odπtevanju racionalnih πtevil uporabimo æe znana pravila za raËunanje s celimi πtevili.

2 SE©TEVANJE IN OD©TEVANJE RACIONALNIH ©TEVIL

RE©ENI PRIMERI

Æe iz prejπnjih let vemo, da pri seπtevanju in odπtevanju racionalnih πtevil upoπtevamo enaka pravila kot pri celih πtevilih. NiË drugaËe ni z negativnimi πtevili. Potrebujemo pa tudi znanje o raËunanju z ulomki in decimalnimi πtevili.Ker je Ëarovnik iz steklenice od

3

4 litra odlil 4

5 litra, zapiπemo razliko:

3

4— 4

5

Z znanjem o raËunanju z ulomki upoπtevamo, da se ulomki z razliËnimi imenovalci odπtevajo tako, da jih razπirimo na skupni imenovalec in nato odπtejemo πtevca:

34

— 45

=

= 15

20 — 16

20=

= — 1

20

Dobljeni rezultat pomeni, da je Ëarovnik v zapisani nalogi odlil veË tekoËine, kot je je bilo v steklenici.To pomeni, da bi moral priËarati

1

20 litra tekoËine in naloga v resniËnem æivljenju ni izvedljiva.

1 IzraËunaj. a) 3 + (— 7) b) — 1,25 — (— 2,76) c) − + −( )2

5

7

8

Reπitev: V vseh treh izrazih najprej odpravimo oklepaje, doloËimo predznak rezultata in izraËunamo vsoto po pravilih iz prejπnjega podpoglavja:

3 + (— 7) = — 1,25 — (— 2,76) = − + −( )=2

5

7

8

= 3 — 7 = = — 1,25 + 2,76 = =− − =− − =2

5

7

8

16

40

35

40

= — 4 = 1,51 =− =−51

40

11

401

RACIONALNA ©TEVILA

Racionalna πtevila seπtevamo in odπtevamo na enak naËin kot cela πtevila.

31

2 V treh zamrzovalnih skrinjah izmerimo temperature — 8,4 oC, — 3,7 oC, — 12,3 oC. Zunanja temperatura je 10,4 oC.

a) Za koliko je temperatura v najhladnejπi skrinji niæja od tiste, ki je najmanj hladna? b) Za koliko stopinj se razlikujeta zunanja temperatura in temperatura v srednje hladni skrinji? c) Kolikπna je vsota temperatur v dveh hladnejπih skrinjah?

Reπitev:

Razliko temperatur (primer a in b) izraËunamo tako, da od viπje temperature odπtejemo niæjo, v primeru c) pa seπtejemo dve racionalni πtevili.

a) — 3,7 — (— 12,3) = b) 10,4 — (— 8,4) = c) — 8,4 + (— 12,3) = = — 3,7 + 12,3 = = 10,4 + 8,4 = = — 8,4 — 12,3 = = 8,6 oC = 18,8 oC = — 20,7 oC

1 Odpravi oklepaje in izraËunaj vrednost izraza.

a) (+ 5) + (— 7) b) (— 13) — (+6) c) (— 3 ) — (— 9) Ë) (+11) + (+ 15) d) (+13) — (— 20)

2 Ugotovi, kateri izraz ima najmanjšo vrednost.

a) (— 132) + (— 459) b) (+ 111) — (— 189) c) (— 87) + (+ 54) Ë) (— 991) — (— 1562) d) (+ 2305) — (+ 3129)

3 Dobljene vrednosti izrazov uredi po velikosti.

a) (— 2,7) + (— 6,9 ) b) (+ 3,2) — (+ 7,4) c) (— 12,58) — (— 7,61) Ë) (+ 4,213) + (— 13,75) d) (— 805,4) — (— 805,4)

4 Odpravi oklepaje in izraËunaj.

a) −( )+ −( )3

5

4

5 b) +( )− +( )5

9

8

9

c) −( )− −( )1

4

5

6 Ë) +( )+ −( )7

8

5

6

d) −( )− −( )8 55

12

7

9

5 RazišËi, kateri izraz ima najveËjo vrednost.

a) — 7 — 15 b) 20,3 — 32,9

c) — 6328 + 9057 Ë) 7

15

9

10

d)− − −( )1 33

4

2

3

6 V preglednici lahko prebereπ dnevne najniæje in najviπje temperature v oC v nekem kraju.

PON TOR SRE »ET PET SOB NED

najniæja 3,4 0,1 — 1,4 — 2,6 — 5,1 2,4 — 3,6

najviπja 11,9 8,8 5,3 7,2 8,9 10,6 4,7

a) Kolikπna je najniæja temperatura? b) Kolikπna je najviπja temperatura? c) Za koliko se razlikujeta temperaturi v sredo? Ë) Za koliko se razlikujeta temperaturi v soboto? d) Kateri dan je temperaturna sprememba

najveËja?

NALOGE ZA VAJO

32

Izvedel boš: — kako reπujemo πtevilske izraze s seπtevanjem in odπtevanjem,— kako priπtejemo in odπtejemo vsoto πtevil,— kako odpravimo oklepaje v izrazih.

3 ©TEVILSKI IZRAZI

RE©ENI PRIMERI

PRI©TEVANJE IN OD©TEVANJE VSOTE

©tevilu priπtejemo oziroma odπtejemo vsoto πtevil tako, da priπtejemo oziroma odπtejemo vsak njen Ëlen.

»e je pred oklepajem znak:1. PLUS (+), oklepaj izpustimo, πtevila v oklepaju pa ohranijo predznak. 2. MINUS (−), oklepaj izpustimo, πtevila v oklepaju pa spremenijo predznak.

Rok in ©pela sta na orientacijskem tekmovanju iskala skriti zaklad, ki je bil zakopan nekje ob ravni poti. Od zaËetne toËke do zaklada ju je vodilo naslednje napotilo: πtiri kor-ake naprej, pet nazaj, sedem naprej, osem nazaj, tri nazaj.

RAZMISLI Kako bi Rokovo gibanje zapisal raËunsko?

Rokovo gibanje zapiπemo tako, da premike naprej oznaËimo s pozitivnimi celimi πtevili in premike nazaj z negativnimi celimi πtevili:

(+ 4) + (— 5) + (+ 7) + (— 8) + (— 3)

Izraz je preglednejπi, Ëe posebej seπtejemo negativna in posebej pozitivna πtevila:

(— 5) + (— 8) + (— 3) + (+ 4) + (+ 7) = = (— 16) + (+ 11) = — 5

Izraz bi lahko zapisali tudi brez oklepajev in tako hitreje priπli do enakega rezultata:

4 — 5 + 7 — 8 — 3 = = — 5 — 8 — 3 + 4 + 7 = = — 16 + 11 = = — 5

1 IzraËunaj vrednost izraza (— 8) + (+12) — (— 7) — (+15) + (— 6). Reπitev: (— 8) + (+12) — (— 7) — (+15) + (— 6) = = — 8 + 12 + 7 — 15 — 6 = Najprej odpravimo oklepaje, = — 8 — 15 — 6 + 12 + 7 = nato zdruæimo negativne Ëlene in pozitivne Ëlene, = — 29 + 19 = izraËunamo vsoto negativnih Ëlenov in vsoto pozitivnih = — 10 Ëlenov ter slednjiË izraËunamo konËno vsoto.

2 IzraËunaj vrednost izraza — 4,2 + 15,6 — 16,1 + 8,9. Reπitev: — 4,2 + 15,6 — 16,1 + 8,9 = V izrazu nastopajo decimalna πtevila. = — 4,7 — 16,1 + 15,6 + 8,9 = Najprej zdruæimo negativne Ëlene in pozitivne Ëlene, = — 20,8 + 24,5 = izraËunamo vsoto negativnih Ëlenov in vsoto pozitivnih = 3,7 Ëlenov ter slednjiË izraËunamo konËno vsoto.

Glej stran 214.

33

3 IzraËunaj vrednost izraza — 3

8+

1

4—

2

3—

1

2+

5

6( ) .

Reπitev: − + − − +( )=3

814

23

12

56

=− + − + − =3

814

23

12

56

=− − − + + =3

823

14

56

12

=− − − + + =9

241624

624

2024

1224

=− + =45

241824

− =− =−2724

98

18

1

4 IzraËunaj po vrstnem redu, ki je doloËen z oklepaji (— 231 + 564 ) — (— 123 — (605 — 428) + 389). Reπitev: (— 231 + 564 ) — (— 123 — (605 — 428) + 389) =

= — 231 + 564 — (—123 — 605 + 428 + 389) = = — 231 + 564 + 123 + 605 — 428 — 389 = = — 231 — 428 — 389 + 564 + 123 + 605 = = — 1048 + 1292 = 244

Vsoto Ëlenov odπtejemo tako, da odpravimo oklepaj in zaradi negativnega znaka spremenimo predznake vseh Ëlenov v oklepaju,

zdruæimo negativne Ëlene in pozitivne Ëlene,

ulomke razπirimo na najmanjπi skupni imenovalec,

izraËunamo vsoto negativnih Ëlenov in vsoto pozitivnih Ëlenov,

izraËunamo konËno vsoto, okrajπamo ulomek in ga zapiπemo s celim delom.

notranji oklepaj

Najprej odpravimo notranji oklepaj.

Odpravimo oklepaj (upoπtevamo predznak),zdruæimo Ëlene po predznakih,izraËunamo vsoto negativnih Ëlenov in vsotopozitivnih Ëlenov ter nato πe konËno vsoto.

3 Zapiπi brez oklepajev in izraËunaj.

a) − −( )+ −( )− +( )+ +( )4

5

1

8

3

4

1

2

b) −( )− +( )+ −( )− −( )5

9

2

3

5

6

3

4

c) − +( )+ −( )− −( )+ +( )3

10

2

5

1

6

4

15

Ë) − −( )− +( )+ +( )+ −( )8 3 4 21

4

1

2

2

5

3

10

d) −( )− −( )+ +( )+ −( )−( )4 2 9 2 71

6

1

5

1

4

3

10

8

15

4 IzraËunaj. a) — 7 + 4 — 9 + 1 — 5 — 9 + 6 + 11 b) 14 — 19 — 16 — 6 + 21 — 25 — 17 c) — 6 + 14 — 10 + 18 — 8 — 7 + 3 — 2 Ë) — 83 + 29 — 48 — 69 + 105 — 77 d) 678 — 511 — 179 + 1005 — 732 — 641 + 199

1 Zapiπi brez oklepaja in izraËunaj. a) (+5) — (+2) — (+4) — (— 9) + (— 3) b) — (+7) — (+6) — (— 8) + (— 2) — (— 4) c) (+15) — (+13) — (— 15) + (— 17) — (— 8) Ë) + (— 4) + (— 10) — (+6) — (+7) — (— 4) d) (— 43) — (— 65) + (— 73) + (+ 39) + (— 95)

2 Zapiπi brez oklepajev in izraËunaj. Z žepnim raËunalom preveri, ali si pravilno izraËunal.

a) — (+0,25) — (— 0,17) + (— 0,12) + (+ 0,18) b) (— 7,513) — (— 9,357) + (— 1,369) — (+2,008) c) — (— 0,7) + (+3,28) — (+4,5) + (— 7,14) Ë) (— 15,7) + (+136,51) — (+25,6) — (+ 7,39) d) (+5,04) — (— 9,6) — (+1,56) + (— 3,206) + (— 0,8)

NALOGE ZA VAJO

34

11 IzraËunaj. a) 5 + (2,7 — (— 3,5 — 6,9)) b) — (— 1,7 + 3, 5 + (— 1,2 — 7,3)) + 0,7 c) (— 4,5 — 8,9) — (— (9,2 + (5,7 — 6,4))) Ë) — (— (— (20,5 — 11,7) + 12,2) — 17,1) — 27,8 d) (— ((142,7 — 234,8) + (105,1)) — 500) + 99,9

12 IzraËunaj.

a) 34

12

23

3− −( ) − −( )56

b) − − −( )− − +( )−38

56

12

516

23

14

c) 8 2 4 935

13

12

34

715

− − −( ) + −( )512

Ë) − −( )− − − +( )− +29

56

12

23

518

79

34

14

d) 15 9 327

12

23

514

67

12

− − − −( )+ − 12

+ 56

13 IzraËunaj. Razmisli, ali boπ ulomke zapisal kot decimalna πtevila ali obratno.

a) 45

56

0 5 0 75 0 625− − − −( ), , ,

b) 3 4 7 19 0 612

14

34

710

, , ,−( )− − −( )+ −

14 IzraËunaj vrednost πtevilskega izraza — a — b + c — d, Ëe je a = — 32, b = 19, c = — 22 in d = — 45.

15 IzraËunaj vrednost πtevilskega izraza — (x + y) — (— z), Ëe je x = — 2

3 , y = — 0,4

in z = — 1

81 .

16 Utemelji: (a − b) − c a − (b − c).

17 Dana so racionalna števila a, b in c za katera velja, da je

|a| = |b| = |c|.

Razmisli pri katerem predznaku števil a, b in c ima izraz: a − b − c a) najmanjšo vrednost.b) najveËjo vrednost.

5 IzraËunaj. Dobljene rezultate uredi po velikosti.

a) — 19,5 + 15,8 — 22,7 — 8,5 + 11,4 b) — 6,35 — 7,51 + 13,32 — 28,01 + 2,95 c) 21,09 — 7,2 + 15,83 — 35,1 — 5,4 Ë) — 0,672 — 17,8 + 2,91 + 9,7 — 81,43 — 1,653 d) 7, 2 — 9,6 — 11,7 + 6,3 + 2,9 — 4,4 + 1,2 — 10,1

6 IzraËunaj.

a) − + − + −2

3

5

8

1

2

1

4

1

6

b) 1

3− − − +

1

2

3

4

2

3

5

6

c) − − − + −1 2 3 5 12

3

5

7

1

6

1

2

1

14

Ë) 8 10 6 4 122

5

1

3

1

2

7

10

5

6− + − −

d) − − − + −15 20 17 59 392

9

2

3

1

2

1

6

7 Odpravi oklepaje in izraËunaj. a) 12 — (6 — 8) + 11 b) — (7 + 15) — (— 20 + 17 — 6) c) (24 — 29) — (31 — 45) + (17 — 25) — (30 — 54) Ë) — 77 + (85 — 112) — (205 + 139 — 56) d) — (— 237 + 145) — (672 — 139 + 803) + 652

8 Odpravi oklepaje in izraËunaj. a) — (1,5 — 4,9) + (3,8 + 7,2) b) 17,34 — (18,55 — 10,95 + 5,21) c) (— 0,345 — 0,781 + 0,502) — (+0,275) + (— 0,873) Ë) — (345,2 + 489,5 — 707,8) + (121,8 — 1000,6) d) — (6,3 — 11,67 + 4,007 — 9) — (— 7,963 — 0,33)

9 Odpravi oklepaje in izraËunaj. Z žepnim raËunalom preveri, ali si izraËunal pravilno.

a) − − −( )45

12

14

b) − + − − +( )38

23

14

12

56

c) − +( )+ − −( )−16

15

1112

56

415

14

Ë) − −( )− −( )1 3 4 723

59

115

35

d) − − +( )+ − −( )+15 12 4 7 638

14

34

18

12

12

10 IzraËunaj. a) — 6 — (8 — (— 9 — 12)) b) ((— 14) — (+19)) — ((+13)+(— 21)) c) 18 — (10+ (15 — (8 — 12) + 7)) Ë) (—24 + 9) — (24 — (11 — ((13 — 22) + 15))) d) — (25 — 47) — (— (15 — 31) — (— (33 — 58) —

(41 — 27) — (19 — 66)))

ZMOREM TUDI TO

35

Izvedel boš: — kako lahko seπtevanje celih in racionalnih πtevil prevedemo v mnoæenje,— pravila za doloËanje predznaka produkta celih in racionalnih πtevil.

4 MNOÆENJE CELIH IN RACIONALNIH ©TEVIL

©pela in mama pripravljata paketke z jagodami za v zamrzovalnik. V navodilih za uporabo zamrzovalnika piπe, da se vloæenim æivilom na zaËetku temperatura zniæa vsako uro za πtiri stopinje.

RAZMISLI Kolikπna bo temperatura po treh urah, Ëe je bila na zaËetku 0 °C?

Za odgovor na vpraπanje moramo izraËunati, koliko je 3-krat 4. Produkt πtevila 3 in πtevila (— 4) lahko prevedemo v seπtevanje:

3 · (— 4) = (— 4) + (— 4) + (— 4) = — 12

Za laæjo predstavo si lahko vse skupaj tudi nariπemo.

Kaj pa, Ëe imata πtevili zamenjane predznake?

3 · (— 4) = — 12 (— 3) · 4 = — 12

Vidimo, da se predznak produkta zaradi tega ne spremeni.

Pri doloËanju predznaka produkta veË racionalnih πtevil izhajamo iz æe znanih pravil, ki veljajo pri mnoæenju dveh πtevil. Najpreprosteje je, da v zapisanem produktu poiπËemo pare πtevil z negativnim predznakom in upoπtevamo, da je njun produkt pozitiven.

— 4 — 4

— 12

— 4

— 13 — 12 — 11 — 10 — 9 — 8 — 7 — 6 — 5 — 4 — 3 — 2 — 1 0 1

Produkt ©tevilo negativnih faktorjev

Predznak produkta

(— a) · (— b) 2 +(— a) · (— b) · (— c) 3 —(— a) · (— b) · (— c) · (— d) 4 +(— a) · (— b) · (— c) · (— d) · (— e) 5 —

Podobno bi lahko sklepali za poljubno πtevilo faktorjev.

PREDZNAK PRODUKTA DVEH ©TEVIL

Produkt pozitivnega in negativnega πtevila je vedno negativno πtevilo: (+ a) · (− b) = − (a · b) (− a) · (+ b) = − (a · b)

Produkt dveh pozitivnih ali dveh negativnih πtevil je vedno pozitivno πtevilo: (+ a) · (+ b) = + (a · b) (− a) · (− b) = + (a · b)

POMNIProdukt lihega πtevila negativnih faktorjev je negativen, produkt sodega πtevila negativnih faktorjev pa je pozitiven.

RaziπËi razliËne moænos-ti predznaka produkta DZ − naloga 2.2

36

RE©ENI PRIMERI

DOGOVORPri mnoæenju lahko oklepaje opuπËamo:

1. pri prvem faktorju (— a) · (— b) = — a · (— b)2. pri vseh pozitivnih πtevilih (— a) · (+b) = — a · b

1 IzraËunaj produkte. a) (+9) · (+8) b) (+9) · (— 8) c) (— 9) · (+8) Ë) (— 9) · (— 8) Reπitev: V vseh primerih obiËajno najprej doloËimo predznak produkta in nato πtevila zmnoæimo:

a) (+9) · (+8) = b) (+9) · (— 8) = c) (— 9) · (+8) = Ë) (— 9) · (— 8) = = + (9 · 8) = = — (9 · 8) = = — (9 · 8 ) = = + (9 · 8 ) = = + 72 = 72 = — 72 = — 72 = + 72 = 72

2 IzraËunaj produkte. a) (— 4,2) · (— 0,01) b) −( )⋅ +( )13

5

15

16 c) (— 15) · (+9) · (+11)

Reπitev: a) DoloËimo predznak in b) DoloËimo predznak c) DoloËimo predznak in πtevili na pamet pomnoæimo in zmnoæimo ulomka, ki izraËunamo produkt (premik decimalne vejice). ju v produktu okrajπamo. s pisnim mnoæenjem.

(— 4,2) · (— 0,001) = −( )⋅ +( )=135

15

16 (— 15) · (+9) · (+11) =

= + (4,2 · 0,001) = =− ⋅( )=−⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅=8

5

15

16

8 15 1 3

5 16 2 1 = — (15 · 9 · 11 ) =

= 0,0042 =− =−3

2

1

21 = — (15 · 99 ) =

= — 1485

3 IzraËunaj spretno (— 0,25) · (+ 9) · (— 4 ) · (+ 125) · (— 0,8).

V izrazu nastopa pet faktorjev. KonËni predznak produkta doloËimo na osnovi πtevila faktorjev, ki imajo negativen predznak. Ker so negativni trije faktorji, bo imel produkt negativen predznak.

Vrstni red mnoæenja lahko doloËimo poljubno. V zapisanem raËunu ne mnoæimo po vrsti, ampak je smiselno pomnoæiti najprej prvi in tretji faktor ter Ëetrti in peti faktor.

(— 0,25) · (+9) · (— 4) · (+125) · (— 0,8) = = — (0,25 · 4) · (125 · 0,8) · 9 =

= — (1 · 100) · 9 = = — 100 · 9 = = — 900

37

1 IzraËunaj zaporedne produkte in opazuj zaporedje rezultatov. Kaj ugotoviπ?

a) 5 · 2; 5 · 1; 5 · 0; 5 · (— 1); 5 · (— 2) b) 2 · 9; 1 · 9; 0 · 9; — 1 · 9; — 2 · 9 c) 7 · (— 2); 7 · (— 1); 7 · 0; 7 · 1; 7 · 2

2 Zmnoæek prikaæi na πtevilski osi s pomoËjo pomika navzgor oziroma navzdol.

a) (+4) · (+5) b) (+5) · (— 2)

3 IzraËunaj produkte. a) (+8) · (+3) b) (+8) · (— 3) c) (— 8) · (+3) Ë) (— 8) · (— 3) d) (— 8) · (+9) e) (+7) · (— 7) f) (— 6) · (+18) g) (+25) · (— 11) h) (+80) · (+300) i) (— 85) · (— 286) j) (— 625) · (+321) k) (— 45) · (— 307)

4 IzraËunaj produkte. Z žepnim raËunalom preveri, ali si izraËunal pravilno.

a) (— 4,2) · (+12) b) (— 85) · (— 1,4) c) (+2,7) · (— 2,7) Ë) (— 0,03) · (— 200) d) (+2,14) · (— 9,6) e) (— 371) · (+7,5) f) (— 0,28) · (— 0,45) g) (+3240) · (— 0,51)

5 Dobljene produkte uredi po velikosti.

a) ( 4

9) · (+27) b) ( 13

4) · (— 12)

c) (+45) · ( 11

15) Ë) (— 125) · (+2 4

5)

d) ( 2 2

5) · ( 4 3

8) e) ( 16

35) · (+11

4)

f) ( 2 4

9) · ( 17

11) g) (8 3

4) · ( 7 1

5)

h) ( 119

) · (+0,3) i) (2 1

2) · (— 1,2)

j) (+0,008) · ( 10 5

8) k) (— 10) · ( 1

5)

6 IzraËunaj produkt veË faktorjev. »e je mogoËe, raËunaj Ëim bolj spretno.

a) (— 6) · (— 8) · (— 5) b) (— 15) · (+ 18) · (— 6) · (+ 5) c) (— 1) · (— 1) · (— 1) · (— 1) · (— 1) · (— 1) · (— 1) Ë) (+ 24) · (— 9) · 0 · (— 7) · (— 11) · (— 144) d) (— 250) · (— 3) · (— 4) · (— 50) · (— 4)

7 IzraËunaj produkt veË faktorjev. »e je mogoËe, raËunaj Ëim bolj spretno. Preveri pravilnost svojih izraËunov.

a) (— 0,2) · (— 0,02) · (— 0,002) b) (— 8) · (+ 0,1) · (— 0,003) · (+ 100) c) (+0,2) · (— 0,9) · (+5) · (— 2) · (+100) · (— 0,05) Ë) (— 1,8) · (+5,2) · (— 18000) · (— 0,01) · (+100) d) (+125000) · (— 2,7) · (— 0,1) · (— 0,04) · (— 1) e) (— 0,081) · (+0,49) · (— 1400)

8 IzraËunaj produkt veË faktorjev. »e je mogoËe, raËunaj Ëim bolj spretno.

a) −( )⋅ +( )⋅ −( )1

3

1

2

1

4

b) −( )⋅ −( )⋅ −( )5

7

14

15

1

2

c) +( )⋅ +( )⋅ −( )⋅ −( )2 26 253

5

10

13

Ë) −( )⋅ +( )⋅ −( )⋅ −( )7

12

16

25

5

24

6

7

d) +( )⋅ −( )⋅ +( )⋅ −( )15

16

24

35

2

3

4

52 2

e) −( )⋅ −( )⋅ −( )⋅ −( )⋅ −( )⋅ −( )⋅ −( )1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

77

9 Zmnoæi.

a) (— 8) · (+5) b) (+ 4,2) · (— 1000)

c) (— 3) · (— 15) Ë) 0 · (— 5)

d) (+ 4,2) · (+1000) e) (— 0,28) · (— 70)

f) (— 0,08) · (— 6,4) g) (+ 4,2) · (— 1,7)

h) ( 5

8) · ( 16

25) i) ( 12

5) · (+15

28)

j) (+24) · ( 3 1

8) k) (11

4) · (— 8)

10 Prepiπi preglednico v zvezek in izpolni prazna mesta.

11 Katero πtevilo moramo pomnoæiti s faktor-jem — 1,5, da dobimo produkt — 9?

12 Ko πtevilo —4 4

9pomnoæimo z nekim

πtevilom, dobimo produkt —2 2

5. Katero

πtevilo je to?

13 Izpolni kvadratke v zaporedju z ustreznimi števili:

· (−2)1

· (−2) · (−2) · (−2)

1. faktor — 7 2 — 1,5 — 0,2434

−2 25

34

−115

2. faktor 9 — 4 — 6 — 9 − 815

−114

produkt — 16 — 48 7,2 12,5 − 112

1536

NALOGE ZA VAJO

38

©pelo je zanimalo, ali je po treh urah temperatura jagodam res padla toliko, kot bi morala po navodilih. Ugotovila je, da je v treh urah padla za 15 stopinj Celzija.

RAZMISLI Za koliko stopinj se je zniæala temperatura v eni uri, Ëe se je spreminjala enakomerno?

5 DELJENJE CELIH IN RACIONALNIH ©TEVIL

Izvedel boš: — kako izraËunamo koliËnik dveh poljubnih celih in racionalnih πtevil,— kako raËunamo koliËnik veË πtevil,— pravila za doloËanje predznaka koliËnika celih in racionalnih πtevil.

RE©ENI PRIMERI

©pela je ugotovila, da se je temperatura vsako uro zniæala za 5 stopinj Celzija, ker je

3 · (— 5) = — 15

Seveda bi do enakega rezultata priπla, Ëe bi konËno temperaturo v zamrzovalniku delila s tremi urami:

(—15) : 3 = — 5

Diagram prikazuje, da sta mnoæenje in deljenje nasprotni operaciji, zato veljajo pri deljenju celih in racionalnih πtevil enaka pravila doloËanja predznakov kot pri mnoæenju le-teh.

KoliËnik veË celih in racionalnih πtevil izraËunamo od leve proti desni:

(— 80) : (+5) : (— 8) =

= (— (80 : 5)) : (— 8) =

= (— 16) : (— 8) =

= 2

Enak rezultat dobimo, Ëe deljenec najprej delimo z drugim deliteljem.

— 15

— 5

: 3 · 3

1 IzraËunaj koliËnike in naredi preizkus. a) (+27) : (+3) b) (+27) : (— 3) c) (— 27) : (+3) Ë) (— 27) : (— 3)

Reπitev: a) (+27) : (+3) = +9, b) (+27) : (— 3) = — 9, c) (— 27) : (+3) = — 9 Ë) (— 27) : (— 3) = +9,

Preizkus: Preizkus: Preizkus: Preizkus: (+9) · (+3) = +27 (— 9) · (— 3) = +27 (— 9) · (+3) = — 27 (+9) · (— 3) = — 27

POZOR!Kljub dogovoru o raËunanju od leve proti desni, v nekaterih primerih upoπtevamo drugaËen vrstni red deliteljev.

KOLI»NIK DVEH ©TEVIL

KoliËnik pozitivnega in negativnega πtevila je vedno negativno πtevilo: (+ a) : (− b) = − (a : b) (− a) : (+ b) = − (a : b)

KoliËnik dveh pozitivnih ali dveh negativnih πtevil je pozitivno πtevilo: (+ a) : (+ b) = + (a : b) (− a) : (− b) = + (a : b)

39

2 IzraËunaj koliËnike. a) 72 : (— 3) b) — 0,36 : (— 1,5) c)

2

3

4

15:

Reπitev: Tudi pri deljenju celih in racionalnih πtevil upoπtevamo dogovor, po katerem najprej doloËimo pred-

znak koliËnika in ta predznak zapiπemo pred prvi faktor. »e æelimo, lahko napravimo preizkus tako, da rezultat deljenja preverimo z mnoæenjem.

a) 72 : (— 3) = b) — 0,36 : (— 1,5) = c) − =2

3

4

15:

= — (72 : 3) = = +( 36 : 150 ) = =− ⋅ =2

3

15

4

= — 24 = 36 : 150 = =−⋅

⋅

=2 15

3 4

= 0,24 =−/ ⋅ / ⋅

/ ⋅ / ⋅=

2 3 5

3 2 2

=− =−

5

22 1

2

3 IzraËunaj spretno (— 54 ) : (— 1,2) : (— 0,09).

Reπitev: ObiËajno raËunamo od leve proti desni. Ker pa je koliËnik πtevil (— 54) in (— 0,09) hitro reπljiv,

izraËunamo najprej njun koliËnik, ki ga nato delimo πe z drugim deliteljem (— 1,2):

(— 54) : (— 1,2) : (— 0,09) = = ((— 54) : (— 0,09)) : (— 1,2) = = (+600 ) : (— 1,2) = = — 500

Enak rezultat bi dobili tudi po obiËajni poti, z raËunanjem po vrsti od leve proti desni, vendar s precej veË dela.

predznak je negativen

predznak je pozitivenpredznak je negativen

1 IzraËunaj koliËnike. Ugotovi, v katerem pri-meru je rezultat najmanjši.

a) (+24) : (+3) b) (+24) : (-3) c) (— 24) : (+3) Ë) (— 24) : (— 3) d) (— 16) : (+2) e) (+63) : (— 9) f) (— 81) : (— 3) g) (+1448) : (— 4) h) (— 200) : (— 8) i) (— 9000) : (+10) j) (— 500) : (— 1) k) 0 : (— 5) l) (— 420 ) : (+15) m) (— 1248) : (— 16) n) (+322) : (— 23) o) (+5670) : (+45)

2 IzraËunaj koliËnike. a) (+4,6) : (— 1000) b) (— 0,28) : (— 70) c) (— 6) : (+1,5) Ë) (— 0,32) : (— 0,04) d) (+ 60,8) : (— 3,2) e) (— 147,84) : (+16) f) (+7,525) : (— 0,33) g) (+45000) : (+1800) h) (+5) : (— 8) i) (+18) : (— 25) j) (— 2) : (— 9) k) (+2700) : (+3500)

3 IzraËunaj koliËnike. Pravilnost rešitev pre-veri z žepnim raËunalom.

a) +( ) +( )9

10: 3 b) −( ) −( )18

25: 27

c) −( ) +( )16

35: 4 Ë) +( ) −( )2

7: 5

d) −( ) +( )12 :3

5 e) +( ) −( )9 :

4

9

f) +( ) −( )15 :1

2 g) −( ) +( )24 :

3

8

h) +( ) −( )1 153

5: i) −( ) −( )2 223

4:

j) −( ) −( )27 8:1

4 k) +( ) +( )45 7:

2

9

4 IzraËunaj koliËnike. Rezultate uredi po velikosti.

a) −( ) +( )2

3

5

7: b) −( ) −( )15

32

5

8:

c) +( ) +( )42

65

12

13: Ë) +( ) −( )4

9

48

81:

d) −( ) −( )123

10

27: e) −( ) −( )8

15

3

5: 3

f) +( ) −( )1 85

9

1

3: g) +( ) −( )3 33

4

1

8:

h) −( ) +( )0 5 1, :1

4 i) +( ) −( )12, :

6

25

j) −( ) −( )1 0 272

25: , k) +( ) −( )1

99: ,3 3

NALOGE ZA VAJO

Glej stran 214.

40

5 IzraËunaj.

a) 8—144 —12

19— 410 —22( ) −( ): b) —8 + 4

6 —103—74 —2( ) ( ):

c) 13—194 —11

11+119 —5( ) ( ): Ë) −( ) ( )12 :

4—2014 —6

6 IzraËunaj koliËnik veË celih oziroma racio-nalnih πtevil. Pravilnost svojih rešitev pre-veri z žepnim raËunalom.

a) (+72) : (— 6) : (— 3)

b) (— 1024) : (— 8) : (+4)

c) (+1,5) : (+0,03) : (— 0,2)

Ë) (— 0,1) : (— 0,01) : (— 0,001)

d) (+450) : (— 6) : (+15)

e) (— 0,16) : (— 800) : (+0,4)

f) −( ) +( ) −( )59

1027

18

: : 1

g) −( ) −( ) −( )5 1 114

78

12

: :

7 IzraËunaj spretno. Z žepnim raËunalom preveri, ali si izraËunal pravilno.

a) (— 90) : (— 60) : (+15)

b) (— 480) : (— 70) : (+60)

c) (+0,75) : (+0,125) : (— 0,5)

Ë) (— 420) : (— 0,06) : (— 2000)

d) (— 3,12) : (— 0,025) : (+0,312)

e) (— 0,128) : (— 0,64) : (— 2,3)

f) −( ) +( ) −( )512

727

536

: :

g) −( ) −( ) −( )115

1225

411

: :

h) −( ) +( ) −( )9 5 334

13

14

: :

8 IzraËunaj vrednost izrazov z mnoæenjem in deljenjem. Razmisli o vrstnem redu raËun-skih operacij tako, da si boπ poenostavil raËunanje.

a) (+72) · (— 8) : (— 4)

b) (— 400) · (— 16) : (— 4) : (— 10)

c) (+2000) : (— 25) · (+5)

Ë) (+0,2) : (— 0,05) · (— 2000)

d) (— 0,01) · (— 1000) : (— 10)

e) (— 3000) · (+2,17) : (— 0,6)

f) −( ) +( ) ⋅ −( )35

49

19

: 1

g) −( ) ⋅ −( ) −( )1225

135

25

: 2

h) −( ) +( ) −( )9 5 134

13

13

: :

9 Dolg 4722 € razdelimo na tri osebe. Zapiπi raËun s pomoËjo negativnih πtevil in izraËu-naj, koliko je deleæ vsakega plaËnika.

10 S katerim πtevilom je treba deliti πtevilo 6 1

4,

da dobimo koliËnik —4 3

8?

11 S katerim številom je treba deliti (— 0,27 ), da dobimo πtevilo − 9

25?

12 Prepiπi preglednico v zvezek in izpolni prazna mesta.

deljenec — 15 48 — 1,2 — 0,24 − 34

−2 25

−115

delitelj 3 — 4 — 6 — 9 − 815

1536

34

koliËnik — 8 — 12 7,2 22,5 − 112

114

41

©pela je za nalogo dobila izraz (— 18) : (+ 3) — (— 5 ) · (+ 4)Racionalna πtevila je znala mnoæiti, deliti, seπtevati in odπtevati, a πe nikoli ni imela vseh operacij v enem izrazu.

RAZMISLI V kakπnem vrstnem redu naj raËuna?

Izvedel boš: — kako reπujemo πtevilske izraze z osnovnimi raËunskimi operacijami v katerih nastopajo cela in racionalna πtevila,— kako zapiπemo πtevilski izraz.

6 POVEZAVA RA»UNSKIH OPERACIJ

RA»UNSKI ZAKONI

Za seπtevanje in mnoæenje racionalnih πtevil veljata:

1. zakon o zamenjavi: a + b = b + a in a · b = b · a

2. zakon o zdruæevanju: a + (b + c) = (a + b) + c in a · (b · c) = (a · b) · c

Velja tudi zakon o razËlenjevanju: (a + b) · c = a · c + b · c

Spomnila se je, da pri izrazih z naravnimi πtevili velja vrstni red operacij: potenciranje ➙ mnoæenje/deljenje ➙ seπtevanje/odπtevanje

(— 18) : (+ 3) — (— 5) · (+ 4) =

= — 6 — (— 20) =

= — 6 + 20 =

= 14

Iz diagrama preberemo, da najprej izraËunamo koliËnik πtevil (— 18) in (+3) ter produkt πtevil (— 5) in (+4). Od koliËnika odπtejemo produkt in dobimo konËni rezultat izraza. Torej je ©pela raËunala pravilno.

— 18

+ 3

— 5

+ 4

:

·

— 6

— 20

— 14

NAMIGPri zapletenih izrazih si lahko pomagamo z diagramom oziroma slikovnim prikazom poteka, ki pregledno prikaæe vrstni red operacij.

42

RE©ENI PRIMERI

DOGOVORPri izrazih z veËkratnimi oklepaji piπemo po vrsti:a) okrogli oklepaj: (a)b) oglati oklepaj: [(a) +(b)]c) zaviti oklepaj: {[(a) +(b)] + c}

1 IzraËunaj vrednost πtevilskega izraza. Pojasni razliko v obeh raËunih. a) (— 32) + (— 8) : (— 4) b) ((— 32) + (— 8)) : (— 4)

Reπitev: V izrazu a) ima prednost deljenje pred seπtevanjem, v izrazu b) pa seπtevanje pred deljenjem zaradi

prednosti oklepaja: (— 32) + (— 8) : (— 4) = ((— 32) + (— 8)) : (— 4) = = (— 32) + (+2) = = (— 40) : (— 4) = = — 30 = 10

Rezultata sta seveda razliËna, kljub enakim πtevilom v obeh izrazih.

2 IzraËunaj vsoto produkta in koliËnika πtevil — 180 in + 15.

Reπitev: produkt: (— 180) · (+ 15) = — 2700 koliËnik: (— 180) : (+ 15) = — 12 vsota produkta in koliËnika: — 2700 + (— 12) = — 2712

3 IzraËunaj vrednost πtevilskega izraza 5

8

3

8

21

28

2

31,75 : + 2− ⋅( ) .

Reπitev:

58

38

2128

23

− ⋅ +( )=175 2, :

= − ⋅ +( )=⋅5

838

34

2821

23

1 2

= − ⋅

⋅ / ⋅

⋅+ =⋅5

838

7 28 4 1

/ ⋅4 1 21 3

23

2( )

= − ⋅ +( )=5

838

13

23

2 2

= − ⋅ =

58

38

5

= − =5

8158

=− =− =−10

854

14

1

4 IzraËunaj vrednost πtevilskega izraza: 6 · ((— 8 — 5 · (— 4)) + (— 15 + 72 : (— 9))) + (— 6) · (— 7) Reπitev:

6 · {[— 8 — 5 · (— 4)] + [— 15 + 72 : (— 9)]} + (— 6) · (— 7) =

= 6 · {[— 8 + 20] + [— 15 — 8]} + 42 = = 6 · {12 + [— 23]} + 42 = = 6 · {— 11} + 42 = = — 66 + 42 = = — 24

— v πtevilskem izrazu nastopa oklepaj, zato najprej izraËunamo vrednost izraza v oklepaju;

— ker nastopa tudi decimalno πtevilo, ga zapiπemo z ustreznim ulomkom;

— v oklepaju najprej mnoæimo, ker ima prednost pred seπtevanjem; pred mnoæenjem ulomke okrajπamo;

— nato seπtejemo Ëlena v oklepaju in s tem odpravimo oklepaj;

— mnoæimo;

— odπtevamo;

— dobljeni ulomek πe okrajπamo in zapiπemo s celim delom.

Glej stran 214.

POMNI©tevilske izraze z veËkratnimi oklepaji reπujemo tako, da zaËnemo z najbolj notranjimi (okrogli) in konËamo z najbolj zunanjimi (zaviti).

43

NALOGE ZA VAJO

1 Dani sta πtevili (+128) in (— 8). Zapiπi zahte-vane raËunske operacije in izraËunaj ustre-zne vrednosti. »e je potrebno, uporabi okle-paje.

a) vsota b) produkt c) razlika Ë) koliËnik

2 Dani sta πtevili (— 2,7) in (— 0,9). Zapiπi zah-tevane raËunske operacije in izraËunaj ustrezne vrednosti. »e je potrebno, uporabi oklepaje.


3 Dani sta πtevili 3 3

5 in — 0,8. Zapiπi zahtevane raËunske operacije in izraËunaj ustrezne vrednosti. »e je potrebno, uporabi oklepaje.


4 IzraËunaj vrednost πtevilskih izrazov. Dobljene rezultate uredi po velikosti. Z žepnim raËunalom preveri, ali si izraËunal pravilno.

a) 6 + 3 · (— 5)

b) 5 · (8 — 12)

c) 8 — 4 · 6

Ë) — 20 + 20 · (— 1)

d) 10 · (— 10) + 10 : (— 10)

e) (16 — 40) : (— 3)

f) — 30 : 5 + 5

g) 144 : (— 6) + 6

h) — 48 : 6 + (— 7) · 9

i) — 15 · (2 — 20)

j) (— 5 + 12) · (8 — 30)

k) — 15 + 10 · (— 4)

l) (— 72) : (— 3) + 24

m) (— 9 + 17) : (— 6 + 8)

n) (5 — 12) · (— 3 + 9) · (11 — 8)

o) (— 45) : (5 — 14) : (1 — 6)

p) 10 — 4 · (5 — 2 · 3)

r) 3 + 12 : (— 15 + 11)

s) (— 6) · (— 5) + 12 · (— 7) — 16

π) 15 + 5 · (— 24 + 92 : 3)

t) 2 · (— 8) + (— 4) · (— 9)

u) (— 128) : 4 — (— 180) : (— 12)

5 Prepiπi izraza v zvezek in na oznaËeno mesto vstavi znak (<, > ali =).

a) 5 + 5 · (— 5) (5 + 5) · (— 5)

b) (— 20 — 52) : (— 4) (— 20) : (— 4) + (— 52) : (— 4)

6 IzraËunaj vrednost πtevilskih izrazov. RazišËi, kateri izraz ima najveËjo in kateri najmanjšo vrednost.

a) — 1,2 + 3,2 · 5

b) — 6,4 : 0,4 + 1,6

c) 0,8 · (— 2,7) + 2

Ë) (— 4,9) : 7 + 2,3 · (— 5)

d) — 8 : (0,6 — 4,2)

e) 1,3 · (— 6) — 2,4 · (— 0,9)

f) (6,4 — 10,1) · (2,8 — 6,9)

g) (— 32) : (— 4,5 + 2,9) — 20

h) 1,5 · (— 7) — 5,4 · (— 2) + (— 6) · 3,8

i) 13,8 : (— 0,03) + 500

j) 2,5 — 7,4 · 3 — 18

44

7 IzraËunaj vrednost πtevilskih izrazov. RazišËi, ali je veË vrednosti pozitivnih ali negativnih.

a) − ⋅ +5

12

2

5

4

5

b) 1

8

5

8

15

32+ −( ):

c) −( )⋅ + −( )9

48

1

3

11

20

33

401 :

Ë) 3

5

3

4

3

4

1

2( ) − −:

d) 1 5 11

8

1

4

3

4:

e) − ⋅ −3 23

4

1

9

1

3

f) 1 3

4

1

4

3

20+ −( ):

g) 8

15

5

7

1

4− ⋅ −

7

15

h) 1 2− ⋅

3

4

8

33

8 IzraËunaj vrednost πtevilskih izrazov. a) (— 25) · (— 7) + (— 8) · (+ 18) — (— 6) · (+ 15) b) 26 · (— 54) — (— 108) : 9 + 451 c) (— 8) · (— 19) — 602 : (+ 7) + (— 7) · (+ 35) Ë) (— 21 + 32) · (7 — 13) · (— 17 — 28)

9 IzraËunaj vrednost πtevilskih izrazov. a) 50 — (+9) · (-8) — (+4) · (+13) + (— 42) : (— 14)

— (— 128): (— 8)

b) (3,8 — 1,4) · (7,9 — 13) — 0,4 · (8 — 17)

c) 49

78

27

1021

112

913

58

115

⋅ −( )− ⋅ − ⋅( )1 1 1 1:

Ë) 23

14

1027

34

⋅ −( )− ⋅ −( )0 9 1 0 6 2 5 3, , , :

10 IzraËunaj vrednost ulomka. »e je mogoËe, rezultat okrajπaj.

a) − ⋅ −− −−

− + − −

( ) ( ) ( )( ) ( )

4 5 9 40 8

7 6 2

:

:

b) −+−−

28453655

c) 3 2 5

6 20

+ ⋅ −

−( )

11 Zapiπi produkt vsote πtevil — 110 in 68 s koliËnikom πtevil 684 in — 19. Najprej zapiπi celoten izraz in nato izraËunaj njegovo vrednost.

12 ©tevilo 456 zmanjπaj za produkt πtevil 56 in — 37. Najprej zapiπi celoten izraz in nato izraËunaj njegovo vrednost.

13 Razliko πtevil 15 in 60 pomnoæi z njuno vsoto. Najprej zapiπi celoten izraz in nato izraËunaj njegovo vrednost.

14 Trikratnik πtevila (— 14) zmanjπamo za dvakratnik πtevila (— 8), dobljeno razliko delimo s 4 in k temu dodamo produkt πtevil 8 in (— 14). Najprej zapiπi celoten izraz in nato izraËunaj njegovo vrednost.

15 ©tirikratnik razlike πtevil 18 in 30 deli s πtevilom 5 ter k dobljenemu koliËniku dodaj koliËnik πtevil (— 72) in 5. Kar dobiπ, odπtej od razlike πtevil (— 20) in (— 36). Najprej zapiπi celoten izraz in nato izraËunaj njego-vo vrednost.

16 IzraËunaj aritmetiËno sredino πtevil.

5 7 253 4 218

12

; , ; ; ,

ZMOREM TUDI TO

17 IzraËunaj vrednost izrazov.

a) (— 2) · (+ 7) + ((— 3) · (— 4) + (7 — 9)) · (4 — 6 )

b) 5 · (— 4) — (( 5 — (— 3) · (— 2)) — (+ 6) · ( — 7))

· (3 — 4)

c) 6 4 3 20 5

10 6 4 5 2 8

+ ⋅ −( )+ −( )

− ⋅ − + ⋅ −( )( ) −( )

:

:

18 IzraËunaj vrednost izrazov. Z žepnim raËunalom preveri, ali si izraËunal pravilno.

a) — (— 72) : (— 8) — (2 · (3 · (— 16)) — 5 · (4 · (— 7)

+ 5 · (— 12)) + (8 — (— 4)) — 3· (— 5))

b) 1,8 · 6 — (3,4 : 0,2 — (2,4 · 30 — (0,12 : 4 — 5,2)))

c) 4 8 4, : − 0 75, : 12−( )

Ë) 23

18

⋅ −1

19 V številskem izrazu postavi oklepaje tako, da bo rezultat pravilen: a) 5 · 10 — 18 : 2 = — 20 b) 5 · 10 — 18 : 2 = 16 c) 5 · 10 — 18 : 2 = 5

3 2012⋅( )− 3

8: , ,0 75 0 5−( )

12

23

⋅ +( )415

815

: −( )821

18

23

14

:1 2− ⋅( )

I

45

Branjevka je pripravila posebno ponudbo za svoje stalne stranke. Sadje jeoznaËila s spodnjimi listki. Prvemu, ki bo pravilno izraËunal reπitev vseh enaËb, bo podarila toliko kg sadja, kot je reπitev posamezne enaËbe.

— 4 + x = — 15JABOLKA

35 : x = — 5RDE»E POMARAN»E

x : (— 2) = 7POMARAN»E

20 — x = 27HRU©KE

x + 7 = 0BANANE

— 7 · x = 63MELONE

RAZMISLI Kako reπimo posamezne enaËbe?

Izvedel boš: — kako reπujemo enaËbe in neenaËbe, ki vsebujejo cela in racionalna πtevila.

7 RE©EVANJE ENA»B IN NEENA»B

Poskusimo πe mi. Pri reπevanju enaËb si pomagamo z ravnovesjem tehtnice na uteæi.

Upoπtevamo ravnovesje tehtnice oziroma enakost mas na obeh straneh tehtnice: Ëe enako spremenimo (poveËamo ali zmanjπamo) masi na obeh straneh, se ravnovesje ohrani. Spremembe na levi in desni strani lahko izvedemo s priπtevanjem, odπtevanjem, mnoæenjem ali deljenjem.

Ravnovesje na tehtnici zapiπemo kot enakost dveh matematiËnih izrazov, v katerih nastopa neznanka, in ga imenujemo enaËba.

x + 3 = 9

S sklepanjem ugotovimo, da eni πkatlici pripada πest kroglic: x = 6

Pravimo, da je reπitev enaËbe 6.

O pravilnosti reπitve se lahko prepriËamo tako, da namesto neznanke x v enaËbo vstavimo rešitev x = 6 in tako preverimo, ali med levo in desno stranjo velja enakost.

leva stran enaËbe (L): x + 3 desna stran enaËbe (D): 9 6 + 3 = 9 L = D = 9

Ugotovimo, da sta vrednosti leve in desne strani enaËbe enaki, zato je vrednost 6 reπitev enaËbe.Takemu preverjanju pravilnosti reπitve pravimo preizkus.

x + 3 = 9

x

leva stran enaËbe desna stran enaËbe

enaËaj

Pravilnosti reπitve preverimo tako, da namesto neznanke vstavimo reπitev in preverimo, ali na obeh straneh enaËbe dobimo enako vrednost.

ENA»BA

EnaËba je enakost dveh matematiËnih izrazov z vsaj eno neznanko. Leva stran enaËbe imenujemo izraz na levi strani enaËaja, desna stran enaËbe pa izraz na desni strani.Reπitev enaËbe je πtevilo, pri katerem sta vrednosti leve in desne strani enaËbe enaki.

DOGOVORObiËajno neznano πtevilo v enaËbi oznaËimo s Ërko x, lahko pa uporabimo tudi katero koli drugo Ërko iz abecede. Oznako x (ali drugo Ërko) imenujemo neznanka.

Ponovi, kako enaËbe reπujemo s sklepanjem.DZ − naloga 2.3

46

RE©EVANJE ENA»B

1. »e na obeh straneh enaËbe priπtejemo ali odπtejemo enako πtevilo, se vrednost enaËbe ne spremeni.

2. »e obe strani enaËbe pomnoæimo ali delimo z istim πtevilom, se vrednost enaËbe ne spremeni.

EnaËbe s seπtevanjemPrimer take enaËbe je na listku z jabolki:

— 4 + x = — 15.

Na obeh straneh priπtejemo nasprotno vrednost πtevila ob neznanki x: priπtejemo 4.

— 4 + 4 + x = — 15 + 4 x = — 11»e k — 4 priπtejemo — 11 dobimo — 15.

EnaËbe z odπtevanjem Primer take enaËbe je na listku s hruπkami:

20 — x = 27.

Priπtejemo nasprotno vrednost πtevila ob neznanki x: + (— 20) = — 20.

20 — 20 — x = 27 — 20 — x = 7 x = — 7»e od 20 odπtejemo — 7, dobimo 27.

Pri enaËbah z odπtevanjem dobimo kot reπitev nasprotno vrednost spremenljivke.EnaËbe z mnoæenjem

Primer take enaËbe je na listku z melonami:

— 7 · x = 63

Obe strani enaËbe delimo s πtevilom, s katerim je pomnoæena neznanka x: delimo z — 7.

(— 7 · x) : (— 7) = 63 : (— 7) x = — 9»e — 7 pomnoæimo z — 9, dobimo 63.

EnaËbe z deljenjemEnaËbe z deljenjem so dveh vrst: neznanka je lahko deljenec ali delitelj (glej Pozor!).

Primer prve enaËbe je na listku s pomaranËami:

x : (— 2) = 7 EnaËbo reπimo tako, da obe strani pomnoæimo z deliteljem: — 2.

(x : (— 2)) · (— 2) = 7 · (— 2) x = — 14 »e — 14 delimo z — 2 dobimo 7.

Primer druge enaËbe je na listku rdeËe pomaranËe:

35 : x = — 5

EnaËbo reπimo s sklepanjem tako, da se vprašamo po delitelju: x = 35 : (— 5) x = — 7

Iskano πtevilo je — 7, saj je produkt (— 7) · (— 5) = 35.

»e 35 delimo z — 7, dobimo — 5.

POZOR!EnaËbi x : a = b in a : x = b

xa

b=

ax

b=

se razlikujeta, saj v prvem primeru iπËemo deljenec, v drugem pa iπËemo delitelj.

47

RE©ENI PRIMERI

1 S poskuπanjem (preglednica) reπi enaËbo 17 = 8 — 3 · x. Reπitev enaËbe je iz mnoæice celih πtevil.

Reπitev: Za vrednost neznanke x si izberemo negativna cela πtevila, saj ugotovimo, da bo razlika na desni strani veËja od 8 le, Ëe bo vrednost neznanke x negativno celo πtevilo.

vrednostneznanke x

vrednost levestrani enaËbe

vrednost desnestrani enaËbe

— 1 17 8 — 3 · (— 1) = 11

— 2 17 8 — 3 · (— 2) = 14

— 3 17 8 — 3 · (— 3) = 17

— 4 17 8 — 3 · (— 4) = 20

— 5 17 8 — 3 · (— 5) = 23

— 6 17 8 — 3 · (— 6) = 26

L = D = 17

Vrednost leve in desne strani enaËbe se ujemata pri vrednosti neznanke x = — 3. Reπitev enaËbe je torej x = — 3.

2 Reπi enaËbi. a) 20 — x = — 5 b) 96 : x = — 6 Reπitev: Reπitev:

20 — x = — 5 20 — x — 20 = — 5 — 20— x = — 25x = 25

96 : x = — 6 x = 96 : (— 6)x = — 16

3 Reπi enaËbi. a) 8 — (5 — x) = 12 b) (x : 2) + 15 = (3 — 10) · 3

Reπitev:

8 — (5 — x) = 12

— (5 — x) = 12 — 8 — (5 — x) = 4 5 — x = — 4 — x = — 4 — 5 — x = — 9 x = 9

Reπitev:

(x : 2) + 15 = (3 — 10) · 3

(x : 2) = — 21 — 15 x : 2 = — 36 x = — 36 · 2 x = — 72

izrazimo oznaËeni del enaËbe

izrazimo oznaËeni del enaËbe

poenostavimoizraz

POMNIObiËajno piπemo neznanko na levi strani enaËbe in znana πtevila na desni.

Torej: 5 · x = 10 in ne 10 = 5 · x, Ëeprav sta oba zapisa enakovredna.

48

NALOGE ZA VAJO

4 S katerim πtevilom moramo pomnoæiti razliko πtevil — 24 in — 16, da dobimo produkt — 400? Zapiπi ustrezno enaËbo in jo reπi.

Reπitev: Najprej zapiπemo enaËbo, kjer je neznano πtevilo x, razliko πtevil — 24 in — 16 pa zapiπemo s pomoËjo oklepaja:

(— 8) · x = — 400

x = — 400 : (— 8) x = 50

((— 24) — (— 16)) · x = — 400

1 Reπi enaËbe.

a) x + 3 = 5 d) x + 3 1

4=8 1

5

b) 5 + x = — 3 e) 5 2

9+ x = 2 1

6

c) x + 56

= 3

4 f) — 0,4 + x = 0,9

Ë) 5 2

3+ x = 3 1

2 g) x + 1,4 = — 6,3

2 Reπi enaËbe. Ugotovi, pri katerem primeru je vrednost neznanke najveËja.

a) 8 — x = 5 d) x — 4 1

2= 2 3

5

b) 1,2 — x = — 7,9 e) 5 2

9— x = 2 1

6

c) x — 38

= 1

4 f) 2,9 — x = 3,14

Ë) 12 1

2— x = 32

3 g) x — 18,3 = — 9,2

3 Reπi enaËbe. Ugotovi, pri katerem primeru je vrednost neznanke najmanjša.

a) x · 3 = 18 d) — 1,4 · x = 7,28

b) 7 · x = — 28 e) 7

10· x = 14

15

c) (— 5) · x = 75 f) x · 0,3 = 9

20

Ë) x · (— 8) = — 0,16 g) 145

· x = 7 1

5

4 Reπi enaËbe.

a) 16 : x = 2 d) — 400 : x = 2,5

b) x : (— 3) = 15 e) 15

36 : x = 5

12

c) (— 72) : x = — 12 f) x : 0,5 = 8

15

Ë) x : (— 0,16) = 500 g) x : 3 3

8 = 2 2

9

5 V zapisanih primerih najprej zapiπi ustrezno enaËbo in jo nato reπi.

a) Kateremu πtevilu je treba odvzeti 13, da dobimo razliko — 5?

b) Kateremu πtevilu je treba dodati 11, da dobimo — 2,4?

c) Katero πtevilo moramo mnoæiti z — 1,2, da dobimo produkt — 0,48?

Ë) Katero πtevilo moramo deliti s 3

5 , da dobimo koliËnik 14

5?

ZMOREM TUDI TO

6 Reπi enaËbe.

a) (7 — x) + 15 = 12 b) — 5 = 24 — (x — 8)

c) — 6 + (x : 3) = 9 Ë) — 0,4 · x + 1,5 = — 1,02

d) (7,5 + x) — 10 = — 18,2

e) 5,81 — (3,24 — x) = 20

f) 3456

12

=− − − −( )x g) − +( )=−58

34

15

: x 1

7 S katerim πtevilom moramo deliti πtevilo — 7200, da dobimo vsoto πtevil — 40 in — 16?

Zapiπi ustrezno enaËbo in jo reπi.

8 S katerim πtevilom moramo pomnoæiti −11

6,

da dobimo razliko πtevil 2 1

3in −8 4

9?

Zapiπi ustrezno enaËbo in jo reπi.

49

NeenaËbe

©pelina babica je v otroštvu živela ob Muri in je pogosto pripovedovala o tem, kako so s splavom ali Ëolnom prevažali živila in ostale potrebšËine iz enega na drugi breg reke.

RAZMISLI VreËa cementa tehta 50 kg, nosilnost Ëolna pa je 0,5 tone. NajveË koliko vreË cementa lahko naložimo na Ëoln, Ëe vemo, da je masa Ëolnarja 60 kg?

»e od nosilnosti Ëolna, ki je 0,5 tone oziroma 500 kg, odštejemo maso Ëolnarja 60 kg, dobimo 440 kg. To je najveËja dovoljena masa, ki jo lahko izkoristimo za prevoz vreË cementa. ©tevilo vreË dobimo z deljen-jem:

440 : 50 = 8, ostane pa 40 kg.

IzraËun pokaže, da lahko na Ëoln naložimo najveË 8 vreË cementa. »e število vreË cementa oznaËimo s pomoËjo neznanke ≈x«, bi lahko rešitev zapisali v obliki:

x 8.

Zgornji zapis pomeni, da bi lahko Ëolnar naenkrat peljal najveË osem vreË cementa, seveda pa jih lahko pelje tudi manj − v tem primeru opravi veË voženj. Glede na to, da je število vreË cementa lahko le naravno število, so možne vrednosti neznanke ≈x« števila: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 in 8. Pravimo tudi, da je množica rešitev neenaËbe x 8: R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

V mnogih primerih izraËun naloge s sklepanjem ni tako enostaven in v takšnih primerih si pomagamo z zapisom ustrezne neenaËbe po besedilu. NeenaËbe se od enaËb loËijo v tem, da imajo namesto znaka enakosti znak neenakosti, sicer pa jih rešujemo podobno kot enaËbe − z eno pomembno spremembo, ki jo povzroËita množenje in deljenje neenaËbe z negativnim številom (npr z −1). V tem pri-meru se znak neenakosti ≈obrne«:

-x > a /· (−1) x < - a-x < a /· (−1) x > - a

Enako velja v primeru deljenja z negativnim številom. Kako bi s pomoËjo neenaËbe rešili zaËetni problem prevažanja vreË cementa s Ëolnom z omejeno nosil-nostjo?

Po besedilu zapišemo neenaËbo: 50 · x + 60 < 500 in jo rešimo po enakih korakih kot enaËbo.

50 · x + 60 < 500 Uredimo zapis.

50 · x < 500 − 60 Na obeh straneh neenaËbe odštejemo 60.

50 · x < 440 Obe strani enaËbe delimo s 50.

x < 44050

Ulomek okrajšamo.

x < 445

oziroma x < 845

Ulomek zapišemo kot celi del in del, ki je manjši od 1.

POMNIZapisa x < 8 in zapis 8 > x sta enakovredna in pomenita, da je vrednost spremenljivke x manjša od 8. Pogosteje uporabljamo zapis, kjer je od leve proti desni najprej zapisana neznanka, podobno kot pri enaËbah, torej: x < 8.

50

Glede na to, da išËemo rešitve, ki so naravna števila, je množica rešitev neenaËbe:

R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

V neenaËbah lahko nastopajo štiri vrste neenakosti:

Znak neenakosti Pomen

x > a Vrednosti neznanke x so VE»JE kot je vrednost števila a.

x a Vrednosti neznanke x so VE»JE ali ENAKE vrednosti števila a.

x < a Vrednosti neznanke x so MANJ©E kot je vrednost števila a.

x a Vrednosti neznanke x so MANJ©E ali ENAKE vrednosti števila a.

1 V množici realnih števil reši neenaËbo: 10 + 2 · x < 4. Rešitev prikaži na številski osi.

Reπitev:10 + 2 · x < 4 Na obeh straneh neenaËbe odštejemo 10.

2 · x < 4 − 10 Obe strani enaËbe delimo z 2.

2 · x < −6 x < −3

Množica rešitev so realna števila, ki so manjša od števila −3. Množico rešitev prikažemo še na številski osi:

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 Reši neenaËbo: - 5 < 3 · x + 1 13.

Reπitev:−5 < 3 · x + 1 13 Na obeh straneh neenaËbe odštejemo 1.

−6 < 3 · x 12 Obe strani enaËbe delimo s 3.

−2 < x 4 Rešitev neenaËbe so vsa števila, ki so veËja od −2 in

manjša ali enaka 4.

1 Reši neenaËbo: 2 · x − 3 < 9. Rešitev prikaži na številski osi.

2 RazišËi, katere vrednosti lahko ima neznan-ka x v neenaËbi: 5 − 3 · x < 17. Rešitev prikaži na številski osi.

3 Reši neenaËbo: 6 · x − 1 15 + 2 · x.

4 a) Reši neenaËbo: 5 · x + 1 1. b) Ugotovi, ali je število 4 rešitev neenaËbe?

Pojasni!

5 V množici naravnih števil reši neenaËbo: 1 3 · x − 2 < 7.

NALOGE ZA VAJO

RE©ENI PRIMERI

51

Rok in ©pela ugotavljata, koliko bonbonov je v πkatlici z bonboni. Ker πkatlice ne smeta odpreti, se domislita, da bi πtevilo bonbonov ugoto-vila z enaËbo. Tehtnica je bila v ravnovesju, ko sta imela na levi strani 5 πkatlic in 4 bonbone, na desni pa 3 πkatlice in 10 bonbonov.

RAZMISLI Kako bi z enaËbo zapisal ravnovesje na tehtnici? Koliko bonbonov je v posamezni πkatlici?

8 EKVIVALENTNE IN IDENTI»NE ENA»BE

Izvedel boš: — kaj je ekvivalentno preoblikovanje enaËb,— kdaj sta enaËbi ekvivalentni,— kdaj je enaËba identiËna.

EnaËbe reπujemo tako, da jih postopno preoblikujemo v preprostejπe enaËbe z enako reπitvijo. EnaËbi, ki imata enako reπitev (a razliËno obliko), imenujemo ekvivalentni ali enakovredni enaËbi.

Reπimo uvodno enaËbo z neznanim πtevilom bonbonov v πkatlicah z ekvivalentnim preoblikovanjem enaËbe.

5 · x + 4 = 3 · x + 10.

reπevanje s sklepanjem — (tehtnica) reπevanje z ekvivalentnim preoblikovanjem

5 · x + 4 = 3 · x + 10

5 · x + 4 — 4 = 3 · x + 10 — 4

5 · x = 3 · x + 6

Na obeh straneh enaËbeodvzamemo πtiri bonbone.

— 4— 4

x

x

xx

x

x

x

x

5 · x + 4 = 3 · x + 10

5 · x = 3 · x + 10 — 4

5 · x = 3 · x + 6

»len 4 prenesemo na drugo stran enaËaja;s tem se mu spremeni predznak: — 4.

— 4

5 · x = 3 · x + 6

5 · x — 3 · x = 3 · x — 3 · x + 6

2 · x = 6

Na obeh straneh enaËbeodvzamemo tri πkatlice bonbonov.

— 3·x — 3·x

x x

5 · x = 3 · x + 6

5 · x — 3 · x = 6

2 · x = 6

»len s spremenljivko 3 · x prenesemo na drugostran enaËaja; s tem se mu spremeni predznak: — 3 · x.

— 3·x

2 · x = 6

2 · x : 2 = 6 : 2

x = 3

Na obeh straneh enaËbe prepolovimo πtevilo πkatlic oziroma bonbonov.

: 2 : 2 2 · x = 6

x = 6 · 12

x = 3

Na eni strani enaËbe odpravimo od niË razliËen faktor 2;s tem dobimo na drugi strani enaËbe obratni faktor 1

2.

: 2

x

xxx

xx

xx

POZOR!Ekvivalentni enaËbi imata kljub razliËni obliki enako reπitev, npr:

5 · x = 10 in 5 · x + 3 = 13;

x = 2 je reπitev obeh enaËb, zato sta ekvivalentni (enakovredni).Reπi enaËbe z ekvivalentnim preoblikovanjem.

DZ − naloga 2.5

52

1

IDENTI»NA ENA»BA

IdentiËna enaËba ima neskonËno mnogo reπitev.

RE©EVANJE LINEARNIH ENA»B

1. EnaËbo uredimo tako, da vse Ëlene z neznanko prenesemo na levo stran enaËbe, vsa πtevila pa na desno stran.2. SkrËimo levo in desno stran enaËbe.3. EnaËbo delimo s koeficientom pri neznanki.4. Napravimo preizkus.

POMNIIdentiËne enaËbe so enaËbe, pri katerih po poenostavitvi dobimo enakost 0 · x = 0.

RE©ENI PRIMERI

Po nekaj reπenih primerih lahko povzamemo bistvene korake pri reπevanju linearnih enaËb:

IdentiËna enaËbaReπimo enaËbo 5 · x — 7 — 2 · x = — 6 + 3 · x — 1.

5 · x — 7 — 2 · x = — 6 + 3 · x — 1 5 · x — 2 · x — 3 · x = — 6 — 1 + 7 0 · x = 0

EnaËba ima neπteto reπitev, kar pomeni, da ji ustreza vsako racionalno πtevilo.

x R = Takπno enaËbo imenjujemo identiËna enaËba.Pri identiËnih enaËbah ne piπemo preizkusa, saj bi bili leva in desna stran enaki za katerokoli racionalno πtevilo.

1 Reπi enaËbo 3 · x + 4 = 19 in napravi preizkus.

Reπitev: Na levi strani ohranimo Ëlen, ki vsebuje neznanko, na desno stran pa ≈prenesemo« πtevilo 4.

3 · x + 4 = 19 Ko prenesemo πtevilo 4 na

drugo stran enaËbe, dobimo

3 · x = 19 — 4

nasprotno πtevilo — 4.

3 · x = 15 EnaËbo delimo s πtevilom 3, torej s faktorjem pri neznanki.

x = 15 : 3

x = 5

Preizkus potrdi pravilnost reπitve, saj sta pri x = 5 vrednosti leve in desne strani enaËbe enaki.

2 Reπi enaËbo 2 = x

4 − 5 in napravi preizkus.

Reπitev: Najprej zamenjamo levo in desno stan enaËbe, saj je v navadi, da Ëlene, ki vsebujejo neznanko, zberemo na levi strani enaËbe. Pri tem se predznak Ëlenov ne spremeni.

x4

— 5 = 2

x

4 = 2 + 5

x

4 = 7

x = 7 · 4

x = 28

Reπitev x = 28 je ustrezna, saj preizkus pokaæe enaki vrednosti leve in desne strani enaËbe.

Preizkus:L: 3 · x + 4 = D: = 19 = 3 · 5 + 4 = = 15 + 4 = = 19

Preizkus:

D: = 2 L: x

4 — 5=

= 284

=

= 7 — 5 =

= 2

©tevilo — 5 prenesemo na drugo stran enaËbe.

EnaËbo mnoæimo s πtevilom 4.

53

NASVETObiËajno pri reπevanju korake zdruæimo: hkrati prenesemo vse Ëlene z neznanko x na eno stran in vsa πtevila na drugo stran enaËbe.

3 Reπi enaËbo 5 · x — 4 = 3 · x + 8 in napravi preizkus.

5 · x — 4 = 3 · x + 8

5 · x — 3 · x = 8 + 4

2 · x = 12

x = 12 : 2

x = 6

Preizkus:

L: 5 · x — 4 = D: 3 · x + 8 = = 5 · 6 — 4 = = 3 · 6 + 8 = = 30 — 4 = = 18 + 8 = Odgovor: = 26 = 26 Preizkus pokaæe, da je reπitev enaËbe x = 6 ustrezna.

Na levi strani enaËbe zberemo Ëlene z neznanko x, na desni pa πtevila: pri tem upoπtevamo, da Ëleni spremenijo predznak.

SkrËimo podobne Ëlene.

EnaËbo delimo s koeficientom (πtevilo 2) pri neznanki.

4 Reπi enaËbi. Katera enaËba ni identiËna? a) x − 8 + 4 · x = 2 + 5 · x − 10 b) 2 · x − 3 + x = 5 · x + 3 − 2 · x

Reπitev: a) x − 8 + 4 · x = 2 + 5 · x − 10 x + 4 · x − 5 · x = 2 − 10 + 8 0 · x = 0 0 = 0 R = EnaËba je identiËna.

b) 2 · x − 3 + x = 5 · x + 3 − 2 · x 2 · x + x − 5 · x + 2 · x = 3 + 3 0 · x = 6 0 6 R = { } Dobimo neenakost, zato enaËba ni identiËna. Taka enaËba nima reπitve.

54

NALOGE ZA VAJO

1 Ugotovi maso neznanega predmeta na teht-nici, ki je v ravnovesju.

a)

b)

2 Dana je enaËba 3 · x — 5 = x + 3. a) PrepriËaj se, da je x = 4 reπitev enaËbe. Utemelji odgovor. b) PrepriËaj se, da x = 0 ni reπitev zapisane enaËbe. Utemelji odgovor. c) IzraËunaj vrednost leve in desne strani enaËbe, Ëe je vrednost neznanke x = — 2.

3 a) Kdaj sta linearni enaËbi ekvivalentni? b) PrepriËaj se, ali sta dani enaËbi ekvivalentni. 2 · x = 8 in 3 · x — 2 = x + 6.

4 Reπi enaËbe in naredi preizkus. a) x + 4 = 12 b) x — 7 = 5 c) 6 · x = 30 Ë) x : 9 = 4 d) 3 · x + 9 = 21 e) 8 · x — 4 = 20 f) x : 3 + 5 = 8 g) x : 2 — 5 = 1 h) 3 · x + 26 = x + 30 i) 5 · x + 3 = 2 · x + 75 j) 7 · x — 10 = 2 · x + 15 k) 2 · x — 4 = 6 · x — 16 l) 6 · x + 1 = 4 · x + 21 m) 2 · x + 4 = 5 · x + 4 n) 8 · x + 2 = 6 · x + 30 o) 10 · x — 5 = 6 · x + 19 p) — 2 · x + 10 — x = 4 · x — 4 r) 2 · x — 13 = 8 — 6 · x + 3 s) 5 · x — 6 + 2 · x = 3 · x — 9 + x π) 6 — 7 · x + 4 = 2 · x

5 Med zapisanimi enaËbami izberi tisto, ki ni ekvivalentna preostalim.

a) x — 7 = — 4 b) — 2 · x + 7 = 3 · x — 8 c) 8 · x — 3 + x = 10 + 2 · x — 11 Ë) 9 — 2 · x = 6 — x

6 Reπi enaËbe. Katera ni identiËna? a) 5 + 3 · x — 4 = 2 · x + 1 + x b) 8 · x + 2 = 7 · x — 10 + x c) 4 + 7 · x — 1 = 4 · x + 3 + 3 · x Ë) 4 · x + 16 + 2 · x = 9 · x + 5 — 3 · x + 11

7 Med danimi enaËbami izberi ekvivalentne. a) x — 8 = 5 b) 2 · x + 3 = 15 c) 14 — x = 8 Ë) 5 + 3 · x = x + 7 d) 4 · x — 7 = 6 + 3 · x e) 9 + x = 2 · x + 8 f) 5 · x + 4 — x = x — 9 g) −2 · x + 4 = x — 14

8 DoloËi πtevilo a tako, da bosta enaËbi ekvivalentni.

3 · x + 2 = 11 in x + a + 12 = 3 · a + 13.

9 Katera enaËba ima neπteto reπitev? a) 3 · x = 0 b) 6 · x = 0 c) 0 · x = 0 Ë) 0 − x = 0

10 DoloËi πtevili a in b tako, da dobiπ identiËno enaËbo:

5 · x − 3 · b + 8 = a · x − b + 10

11 Dopolni. a) 3 · x + = 5 · x — 24, Ëe je x = 6 b) x − 18 = 17 — 2 · x, Ëe je x = 5

12 DoloËi a tako, da bosta enaËbi ekvivalentni. 3 · x — 8 = x — 4 in 4 · x — 2 · a = 2

13 Z n izrazi 4 · x — 5, Ëe je n = 2 · x + 3.

2 310 kg

1

4 111

55

4 T

5 T

5 T

5 T

6 T

4 T

4 T

4 T

8 T

10 T

5 T







1 Dani sta πtevili (+80) in (— 50). Zapiπi ustrezne raËune in izraËunaj: a) vsoto b) produkt c) razliko Ë) koliËnik

2 IzraËunaj. a) (— 9) + (— 17) b) (— 15,4) + (+11,8) c) — 698 + 701 Ë) 1

6

3

4 d) — 97628 — (— 5891)

e) (— 5) · (— 7) f) (— 7,4) · (+10,2) g) — 702 : (— 9) h) − ⋅135

5

16 i) 8,4 : (— 0,04)

3 Zapiπi Ërko P pred pravilno izjavo in Ërko N pred nepravilno izjavo. a) Produkt pozitivnega in negativnega πtevila je negativno πtevilo. b) Vsota pozitivnega in negativnega πtevila je pozitivno πtevilo. c) Produkt sedmih faktorjev z negativnim predznakom je pozitiven. Ë) Vsota nasprotnih πtevil je πtevilo 0. d) — (— a) = a.

4 IzraËunaj. a) — (+90) + (— 120) — (— 100) + (+150) b) (— 250) · (— 100) · (+4) · (— 0,03) · (+9)

5 IzraËunaj vrednost izrazov. a) (— 10 + 4 · 5) : (— 2 — 3) b) — 120 : 8 + (— 90) : (— 4) — (— 27) · (— 1)

6 Zapiπi izraz ≈Od vsote πtevil — 1,4 in 0,8 odπtej njun koliËnik.√ in izraËunaj njegovo vrednost.

7 IzraËunaj vrednost izraza: Ëe je 3 · a + b · c — d — 20, Ëe je a = b = c = d = —10.

8 Reπi enaËbe in neenaËbe. a) 10 + (x — 7) = — 25 c) 5 + x 1 b) 1,25 : (—x) = −17

8 Ë) 2 x + 3 8

9 Reπi enaËbe. Ugotovi, kateri dve sta ekvivalentni. Kaj lahko reËeπ o tisti enaËbi, ki ni ekvivalentna?

a) x — 5 = — 7 b) x — 4 = 2 · x + 1 — x — 5 c) 2 · x — 8 = 3 · x — 6

10 IzraËunaj − − ⋅ − −( )0 75, :18

12

59

1027

.0 8, −( )56

ŠPELA SE PREIZKUSI

56

6 12345

123456789

123456789012

12345678901234567

0 1234567890123456789

3456789012345678901234567

45678901234567890123456789012

89012345678901234567890 123456789

6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6

90 123456789012345678901234567890 1234567

89012345678901234567890123456789012345678

890 123456789012345678901234567890 12345678901234

9012345678901234567890123456789012345678901234567

7890 123456789012345678901234567890123456789012345678901

01234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678

234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

56789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890

4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4

67890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012

567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456

678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456789

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

23456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123

1 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678 9 01 2 3

34567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123

34567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

34567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123

45678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

5678901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

0 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890

9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 0

1234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

01234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

2345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678901234

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678

789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678

8901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

78901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678901

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345

5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6

5678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456

67890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

5678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345

78901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

45678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345

789012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678

901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123

2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4

345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

2345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123

45678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

2345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012

456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2

012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890

23456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

9012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890123

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4567890123456789012345

5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

1234567890123456789

90123456789012345678901234567890123456789012

345678901234567

4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

12345678901

12345678901234567890123456789012345678901234

567890123

1234567890 123456789012345678901234567890

123456789

01234567890123456789012345678901234567890123

456789012

901234567890 123456789012345678901234567890

123456789

90123456789012345678901234567890123456789012

345678901

901234567890 123456789012345678901234567890

123456789

01234567890123456789012345678901234567890123

456789012

1234567890 123456789012345678901234567890

123456789

5678901234567890123456789012345678901234

567890123

890

1 2 3 4 5 678901 2 3 4 5 678901 23 4 5 67890

123456789

2345678901234567890123456789012345678901234

567890123

01234567890 123456789012345678901234567890 123456789

0123456789012345678901234567890123456789012345678

890 123456789012345678901234567890 1234567890123

234567890123456789012345678901234567890123

4567890123456789012345678901234567890123

123456789012345678901234567890 123456

78901234567890123456789012345678

4567890 123456789012345678901

3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3

234567890 12345678901

4567890123456789

90 12345678901

234567890

6789034

NEKOČ IN DANES

Da je potenca krajši zapis produkta

enakih faktorjev, so vedeli že Babilonci

in Egipčani. Na znamenitem Rhindovem

papirusu so namreč našli kar nekaj nalog

s potencami.

x2

x4

x6

x8

x1

x3

x5

x7

x9

Zapis za potence se je s časom precej

spreminjal. Prvič je bil objavljen v delu

nemškega matematika Michaela Stifela v

delu Arithmetica integra (1544).

Znak za kvadratni koren, ki

ga uporabljamo danes, se je

verjetno razvil iz male črke r, ki

so jo uporabljali srednjeveški

matematiki kot okrajšavo za

besedo radix, ki pomeni koren.

Oznake, ki jih poznamo

danes, je uvedel René

Descartes.

Eden od najbolj znanih slovenskih matematikov, Jurij Vega, je imel

pomembno vlogo pri računanju s kvadrati in koreni.

Rodil se je leta 1754 v Zagorici pri Dolskem. Po končanem šolanju

se je zaposlil kot topničar. Kmalu je napredoval vse do majorja.

Začel je tudi predavati na topničarski šoli. Predavanja je skrbno

beležil in jih izdal v štirih knjigah Obče računstvo.

Leta 1794 je zaslovel s knjigo Logaritmovnik, v kateri so tabele

kvadratov in korenov prvih tisoč naravnih števil. Zaradi izredne

natančnosti so knjigo uporabljali še v 20. stoletju in jo prevedli

v več tujih jezikov.

Umrl je na Dunaju leta 1802 kot vojaški častnik, povišan

v barona.

58

445678

12345678

4567890123456

234567890 1234

45678901234567890123

7890 12345678901234567890

012345678901234567890123456

12345678901234567890 123456789012

1 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01

1234567890123456789012345678901234567890

9012345678901234567890123456789012345678

23456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890

1

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345

567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012

789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

9012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234

9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789

0 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890123456789

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

78901234567890 123456789012345678901234567890

1234567890123456789

901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678

7 89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678

7890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

45678901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567

67890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

5678901234567890 123456789012345678901234567890

1234567890123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345

5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6

4567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

12345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

2345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901234

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012

3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4

234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

9012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

012345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

45678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

90 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890

01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2

901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

123456789

8901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

12345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

67890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567

345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

8901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890

2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

89012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

89012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678

0123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

89012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

89012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

89012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678

23456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012

89012345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789

7890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 123

2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

123

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

56789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456

7890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

01234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4

012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901

890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

90123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

3456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

67890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

1 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2

34567890 123456789012345678901234567890123456789012345678

45678901234567890123456789012345678901234567890

1234567890123456789012345678901234567890123456789

34567890 123456789012345678901234567890

89012345678901234567890123456789012345678

56789012345678901234567890 1234567890

1234567890123456789012345678901234

7890 1234567890123456789012345

89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789

5678901234567890123456

4567890123456789

34567890123456

012345678

012345678

POTENCE1 POTENCE

2 MNOÆENJE IN DELJENJE POTENC Z ENAKIMI OSNOVAMI

3 POTENCIRANJE PRODUKTA IN KOLI»NIKA

4 KVADRIRANJE RACIONALNIH ©TEVIL

5 KVADRATNI KOREN RACIONALNIH ©TEVIL

6 IZRAZI S POTENCAMI IN KORENI

©PELA SE PREIZKUSI

V vsakdanjem življenju se s potencami

srečujemo pri merjenju in zapisovanju

površin in prostornin.

V mednarodnem sistemu enot

uporabljamo dogovorjene predpone, ki

nam določajo desetiški večkratnik enote:

101 = deka 10—1 = deci

102 = hekto 10—2 = centi

103 = kilo 10—3 = mili

106 = mega 10—6 = mikro

109 = giga 10—9 = nano

1012 = tera 10—12 = piko

Kilobajt

Bistvo delovanja računalnika

je dvojiški sistem. Iz tega

izhaja osnovna enota

pomnilnika, ki je en bit.

1 kb = 1024 bajtov

To je v matematiki

izjema, saj predpona kilo

pomeni 1000 enot.

Palindromi so besede in števila,

ki jih lahko enako preberemo z

leve in z desne strani. Primer

številskega palindroma so

kvadrati števil, sestavljeni iz

samih enic:

12 = 1

112 = 121

1112 = 12321

11112 = 1234321

111112 = 123454321

59

Za novoletno rajanje sta morala po dva uËenca iz vsake-ga od dveh osmih razredov prinesti vsak po dve vreËki z novoletnimi darili. V vsaki vreËki sta morali biti dve darilci in vsako darilce je moralo skrivati dve preseneËenji.

RAZMISLI Kolikπno je bilo konËno πtevilo vseh preseneËenj?

Izvedel boš: — kaj je potenca,— kako potenciramo racionalna πtevila.

1 POTENCE

Darila sta prinesla po dva uËenca iz vsakega od dveh osmih razredov — torej 2 · 2 uËenca. Vsak uËenec je prinesel dve darilni vreËki. Darilnih vreËk je bilo tako 2 · 2 · 2. V vsaki vreËki sta bili dve darilci, torej je bilo darilc 2 · 2 · 2 · 2, in vsako darilce je vsebovalo dve preseneËenji — to je 2 · 2 · 2 · 2 · 2 preseneËenj. PreseneËenj je bilo torej 32. Do enake reπitve bi lahko priπli z drevesnim diagramom.

Lahko si prihranimo nekaj pisanja in raËunanja, Ëe produkt enakih faktorjev zapiπemo s potenco. potenca potenËni eksponent (stopnja)

2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 25= 32 vrednost potence

potenËna osnova

Potenco zapiπemo s potenËno osnovo in potenËnim eksponentom, ki pove, kolikokrat moramo osnovo pomnoæiti samo s seboj. Vrednost potence je produkt, ki ga dobimo.

IzraËunajmo nekaj potenc:

43 = 4 · 4 · 4 = 64 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81

Vrednost potence s pozitivno osnovo je vedno pozitivno πtevilo.

Kadar je potenËna osnova negativno πtevilo, je vrednost potence: — pozitivno πtevilo, Ëe je potenËni eksponent sodo ali parno πtevilo; (— 2)4 = (— 2) · (— 2) · (— 2) · (— 2) = +16

— negativno πtevilo, Ëe je potenËni eksponent liho ali neparno πtevilo. (— 2)3 = (— 2) · (— 2) · (— 2) = — 8

POTENCA

Potenca je produkt enakih faktorjev: an = a · a . . . a ; n .

23 = 2 · 2 · 2n-krat

RaziπËi vrednosti potenc. DZ − naloga 3.1

NAMIGPri raËunanju potenc si lahko pomagamo z æepnim raËunalom.»e æelimo na primer izraËunati 53, preprosto vtipkamo.

= 3 y x 5

60

POZOR!(— 2)4 — 24

16 — 16

RE©ENI PRIMERI

1 Zapiπi kot potenco. a) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 b) x · x · x · x Reπitev: a) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 36 Ker je πest enakih faktorjev. b) x · x · x · x = x4 Ker so πtirje enaki faktorji.

2 IzraËunaj vrednost potence. a) 53 b) (— 4)2 c) (— 2)5 Ë) — 34

Reπitev: a) 53 = 5 · 5 · 5 = 125 b) (— 4)2 = (— 4) · (— 4) = +16 c) (— 2)5 = (— 2) · (— 2) · (— 2) · (— 2) · (— 2) = — 32 Ë) — 34 = — 3 · 3 · 3 · 3 = — 81 (osnova je πtevilo 3, zato potenciramo (mnoæimo) samo πtevilo 3)

3 IzraËunaj vrednost potenc 0,33, 0,24 in 0,012 ter ugotovi, kaj se zgodi s πtevilom decimalk. Reπitev: 0,33 = 0,3 · 0,3 · 0,3 = 0,027 ©tevilo decimalk se potroji, ker je eksponent 3. 0,24 = 0,2 · 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,0016 ©tevilo decimalk se πtirikrat poveËa, ker je eksponent 4. 0,012 = 0,01 · 0,01 = 0,0001 ©tevilo decimalk se podvoji, ker je eksponent 2.

4 IzraËunaj vrednost potence.

a) 123

2

( ) b) —3

4

3

( ) c) —4

5

2

( ) Ë) —3

5

3

Reπitev:

a) 1 22 2

2

3

5

3

5

3

5

3

5 5

3 3

25

9

7

9( ) = ( ) = ⋅ =

⋅

⋅= = b) −( ) = −( ) ⋅ −( ) ⋅ −( )=−

⋅ ⋅

⋅ ⋅=−3

4

3

4

3

4

3

4

3 3 3

4

27

64

3

4 4

c) −( ) =− ⋅ =−4

5

4

5

4

5

162

25 Ë) − =−

⋅ ⋅

=− =−35

3 3 3

527 2

5

3

55

5 Zapiπi kot potenco 25, 8, 81.

Reπitev: 25 = 5 · 5 = 52 8 = 2 · 2 · 2 = 23 81 = 9 · 9 = 92 in 81 = 3 · 3 · 3 · 3 = 34

6 Ugotovi, s katero πtevko se konËa potenca 223.

Reπitev: Potence πtevila 2 si sledijo: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 … Vidimo, da se zaporedoma konËujejo s πtevkami 2, 4, 8 in 6. Ta vrstni red se ponavlja.

Dvajseta potenca se konËuje s πtevko 6 (20 je veËkratnik πtevila 4), enaindvajseta s πtevko 2, dvaindvajseta s πtevko 4 in triindvajseta s πtevko 8.

Odgovor: 223 se konËuje s πtevko 8.

21 = 2 31 = 3 41 = 4 51 = 5

22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25

23 = 8 33 = 27 43 = 64 53 = 125

24 = 16 34 = 81 44 = 256 54 = 625

25 = 32 35 = 243

26 = 64

27 = 128 01 = 0 11 = 1 (-1)1 = -1

28 = 256 02 = 0 12 = 1 (-1)2 = +1

29 = 512 03 = 0 13 = 1 (-1)3 = -1

210 = 1024 04 = 0 14 = 1 (-1)4 = +1

Glej stran 215.

61

NALOGE ZA VAJO

1 Zapiπi kot potenco. »e se da, izraËunaj vrednost potence.

a) 5 · 5 · 5 b) (— 4) · (— 4) · (— 4) · (— 4)

c) 0,06 · 0,06 · 0,06 Ë) (— 1,2) · (— 1,2)

d) 38

3

8

3

8

3

8⋅ ⋅ ⋅ e) −( ) ⋅ −( ) ⋅ −( )2

9

2

9

2

9

f) u · u · u · u · u · u g) (— a) · (— a) · (— a) · (— a)

2 IzraËunaj vrednost potence. a) 25 b) 73 c) 92 Ë) 122 d) (— 2)6

e) (— 3)3 f) (— 1)12 g) (— 1)17 h) — 52

3 Prepiπi preglednico in jo izpolni.

potencapotenËna osnova

potenËni eksponent

vrednost potence

24

(—3)4

—73

34( )

3

−( )25

2

0,013

−49

2

xa

5 3

2 49

—2 —8

4 IzraËunaj vrednost potence. Pomagaj si z žepnim raËunalom.

a) 0,23 b) 0,032 c) 0,014 Ë) 1,12 d) 0,025

e) 0,122 f) 0,73 g) (— 0,1)3 h) (— 0,3)2

5 IzraËunaj vrednost potence.

a) 2

7( )

2

b) 3

5( )

3

c) 1

2( )

4

Ë) −( )23

3

d) −( )14

2

e) 3

7

2

f) 12

1

3( ) g) —3

3

1

2( )

6 Zapiπi πtevilo in ga preberi. a) 103 b) 105 c) 1002

Ë) 106 Ë) 10002 Ë) 102

7 Primerjaj po velikosti. Vstavi znak <, > ali =. a) 24 in 42 b) (— 1)7 in (— 1)15

c) (— 2)3 in (— 3)2 Ë) 53 in 35

d) 1012 in 1005 e) (— 1)13 in 14

f) 92 in 43 g) (— 3)3 in — 42

h) 72 in (— 3)4

8 DoloËi neznani eksponent oziroma osnovo. a) 2x = 32 b) 5a = 125 c) (— 3)m = 81

Ë) u 4 = 16 d) n 3 = — 27 e) t 2 = 81

9 Zapiπi kot potenco. a) 36 b) 49 c) 125 Ë) 32 d) 8 e) 27

10 IzraËunaj vrednost potence. Uporabi æepno raËunalo.

a) 95 b) 113 c) (— 6)5

Ë) 0,045 d) 0,36 e) 1,24

f) (— 0,7)5 g) (— 0,05)4 h) 1,17

ZMOREM TUDI TO

11 S pomoËjo žepnega raËunala razišËi, s katero πtevko se konËujejo vrednosti potence. Zapiši splošno ugotovitev za xn.

a) 2137 b) 2428 c) 338 Ë) 3153

d) 427 e) 438 f) 749 g) 7143 h) 883 i) 8241 j) 943 k) 9218

12 Zapiπi racionalne reπitve. a) x 2 = 36 b) a 2 = — 25 c) b 3 = — 8

Ë) m 8 = 1 d) c 5 = — 1 e) — r3 = — 27

13 Zapiπi mnoæico reπitev. Ugotovi, katere so ekvivalentne.

a) 1x = 1 b) 1x = — 1 c) (— 1)x = 1 Ë) (— 1)x = — 1 d) (— 5)x = — 125

14 PoiπËi nekaj celih reπitev za dane neenaËbe. a) a 3 > 2 b) b 2 < 0 c) — c 3 > —1

15 Zapiši naslednje tri Ëlene zaporedja. Zapiši ga tudi z algebrskim izrazom.

a) 3, 9, 27 ... b) 2, 8, 32, 128 ... c) 1·5, 2·25, 3·125 ... Ë) —2, 4, —8, 16 ...

S

62

UËenci so lahko za kosilo izbirali med dvema vrstama mesa, dvema prilogama in dvema solatama.Na koncu so lahko za posladek izbrali med dvema vrstama sladic in dvema pijaËama. Na koliko naËinov so se lahko sladkali?

RAZMISLI Koliko razliËnih obrokov so si lahko izbrali uËenci?

2 MNOÆENJE IN DELJENJE POTENC Z ENAKIMI OSNOVAMI

Izvedel boš: — kako mnoæimo potence z enako osnovo,— kako delimo potence z enako osnovo.

DELJENJE POTENC Z ENAKIMI OSNOVAMI

Potence z enakimi osnovami delimo tako, da osnovo prepiπemo, eksponente pa odπtejemo.

am : an = am — n; m, n , a 0

MNOŽENJE POTENC Z ENAKO OSNOVO

Potence z enakimi osnovami mnoæimo tako, da osnovo prepiπemo, eksponente pa seπtejemo.

am · an = am+n; m, n

POZOR!24 + 23 27 24 — 23 21

Za seπtevanje in odπtevanje potenc z enakimi osnovami podobno pravilo ne velja!

©pela se je lotila raËunanja. K vsaki vrsti mesa lahko izberemo dve razliËni prilogi. K vsaki kombinaciji mesa in priloge si lahko postreæemo z dvema solatama. Moænih kosil je: 2 · 2 · 2 = 23 = 8.

Po kosilu si lahko izberemo dve razliËni sladici in dve razliËni pijaËi. Moænih kombinacij priboljπkov je:

2 · 2 = 22 = 4

RazliËnih obrokov je skupaj s priboljπki:

23 · 22 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 23+2 = 25 = 32

Za tiste, ki ne marajo mesa so v kuhinji namesto mesa in priloge pripravili posebno jed. Koliko moænosti izbire imajo ti? ©pela se je odloËila raËunati v obratni smeri. Ostali imajo 32 (25) izbir, vegetarijanci pa jih imajo 4-krat (22) manj. 25 : 22 = 2

2

5

2 = 2 2 2 2 2

2 2

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

= 23 = 8

Vsako deljenje lahko zapiπemo kot ulomek in obratno.Potenco zapiπemo kot produkt enakih faktorjev; enake faktorje lahko krajπamo.

Preizkusi pravila za deljenje.DZ − naloga 3.3

Ugotovi, kako mnoæimo potence.DZ − naloga 3.2

63

RE©ENI PRIMERI

1 Zapiπi kot potenco in nato izraËunaj vrednost potence. a) 23 · 23 b) 53 · 5 Reπitev: a) 23 · 23 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 23+3 = 26 = 64 b) 53 · 5 = 5 · 5 · 5 · 5 = 53+1 = 54 = 625

2 Zapiπi kot potenco in izraËunaj vrednost potence. a) 47 : 44 b) 93 : 9

Reπitev: a) 47 : 44 = 47 — 4 = 43 = 64 b) 93 : 9 = 93 — 1 = 92 = 81

3 Zapiπi kot potenco in izraËunaj vrednost potence. a) 64 : 64 b) 27 : 210

Reπitev: a) 64 : 64 = 64 — 4 = 60; lahko pa izraËunamo tudi kot koliËnik: 64 : 64 =

/ ⋅ / ⋅ / ⋅ / ⋅

/ ⋅ / ⋅ / ⋅ / ⋅

6 6

6 6

6 6 1

6 6 1=1

1= 1

Izkaæe se, da je 60 = 1. Vrednost potence z eksponentom 0 je enaka πtevilu 1.

b) 27 : 210 = 27 — 10 = 2 — 3; lahko pa izraËunamo kot koliËnik: 27 : 210 =/ ⋅ / ⋅ / ⋅ / ⋅ / ⋅ / ⋅ / ⋅

⋅ ⋅ ⋅ / ⋅ / ⋅ / ⋅ / ⋅ / ⋅

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 1

2 2 2 2 // ⋅ / ⋅2 2 1= 1

23= 1

8

Izkaæe se, da je 2 — 3= 1

23 .

4 IzraËunaj vrednost izraza 3 3 3

3 3

2 6

4 3

⋅ ⋅

⋅

.

Reπitev: 3 3

3 3

3

3

2

4 3

9

7

⋅ ⋅

⋅

= =

36

32 = 9 Najprej izraËunamo produkta v πtevcu in v imenovalcu, nato pa izraËunamo πe koliËnik potenc.

a0= 1

a-n = ; n N1an

DOGOVORNegativni eksponent pomeni, da je potenca zapisana v imenovalcu: 2 — 4= 1

24 .

Preveri πe ta pravila za deljenje potenc.DZ − naloga 3.4

64

NALOGE ZA VAJO

1 Zapiπi kot potenco. a) 28 · 24 b) 37 · 39 c) 116 · 115 Ë) 413 · 4 d) 912 · 913 e) 78 · 76 · 73

f) 59 · 5 · 511 g) 821 · 82 · 85 h) 615 · 615 · 615

2 Zapiπi kot potenco.

a) 0,83 · 0,88 b) 1,2 · 1,29

c) (— 0,7)4 · (— 0,7)8 Ë) (— 3,7)9 · (— 3,7)2 · (— 3,7)3

d) 3

4

3

4( ) ⋅ ( )

6

e) −( ) ⋅ −( )⋅ −( )5

7

5

7

5

7

4 3

3 Zapiπi kot potenco in nato izraËunaj vred-nost potence. Z žepnim raËunalom preveri, ali si pravilno izraËunal.

a) 25 · 23 b) 3 · 33 c) 42 · 42 · 4

Ë) (— 5)2 · (— 5)2 d) (— 2)3 · (— 2)4 e) (— 6) · (— 6)2

f) 2

3

2

3( ) ⋅ ( )

2 3

g) 1

2

1

2( ) ⋅ ( )

4 2

h) −( ) ⋅ −( )1

5

1

5

2 2

i) 103 · 104 j) 1002 · 100 k) 102 · 10 · 103

4 Zapiπi kot produkt potenc z enako osnovo. Zapiπi eno od reπitev.

a) 97 b) 311 c) (-2)9 Ë) 43

5 Zapiπi kot potenco. Za izraËun vrednosti potence uporabi žepno raËunalo.

a) 811 : 85 b) 623 : 612

c) 3126 : 3124 Ë) 3517 : 3515

d) (— 3,7)16 : (— 3,7)12 e) u 13 : u 5

f) 99

7

3 g)

(—10)

(—10)

12

6

6 Zapiπi kot potenco in nato izraËunaj vred-nost potence.

a) 37 : 34 b) 215 : 29

c) 69 : 67 Ë) 43 : 4

d) (— 0,5)8 : (— 0,5)5 e) 2

5

2

5( ) ( )

8 6

:

f) (— 1,2)15 : (— 1,2)13 g) (— 0,2)12 : (— 0,2)7

h) −( ) −( )1

3

1

3

10 7

: i) 1111

8

6

j) (—9)

(—9)

11

8 k) 0,3

0,3

7

4

7 DoloËi neznani eksponent.

a) 2x · 25 = 27 b) 46 · 4a = 49

c) 711 · 7u = 716 Ë) 1,34 · 1,3m = 1,311

d) (— 0,7)n · (— 0,7)3 = (— 0,7)9

e) 2

3

2

3

2

3( ) ( ) = ( )

8 9

:

t

8 DoloËi neznani eksponent.

a) 39 : 3x = 35 b) 11a : 115 = 117

c) (— 6)10 : (— 6)u = (— 6)9

Ë) 8m : 84 = 8 d) (0,4)n : 0,4 = 0,46

e) 3

5

3

5

3

5( ) ( ) = ( )

9 4

:

t

f) 45 : 4n = 4-2

g) 78 : 7n = 1

ZMOREM TUDI TO

9 IzraËunaj vrednost izraza.

a) 4 4

4

7 3

8

⋅

b) 3 3

3 3

5 9

10

⋅

⋅

c) 2 2 2

2 2

6 3

4 4

⋅ ⋅

⋅

Ë) 7 7 7

7 7

4 3

2 6

⋅ ⋅

⋅

d)(—0,2) (—0,2)

(—0,2) (—0,2)

5 3

4

⋅

⋅

e) 6 6

6

6

6

5

2

3

2

⋅

⋅

⋅ 62

f) 5 5

5

5

5

2 5

3

4

3

⋅

⋅

⋅ 55 g) 2 2

2

2

2

7

9

6

3

⋅

⋅

⋅

⋅2 25

h) 0,3 0,3

0,3

4 5

11

⋅

⋅ 0 34, i) 4 4

4

8 2

3

⋅

: 45

j) 3 3

3

3 3

3

6

4

2 3

4

⋅ ⋅

: k) 93 · 98

94 · 994 · 93

92 :

l) (—5) (—5)

(—5)

(—5)

(—5) (—5)

2 3

4

3

2

⋅

⋅

⋅

m) 0,14 · 0,10,12 · 0,15

0,13 · 0,12

0,17 :

10 DoloËi neznani eksponent. a) 96 · 9x = 9 b) 8

8

4

m = −8 2 c) 73 : 7a = 75

11 Zapiπi kot produkt potenc z enako osnovo in izraËunaj.

a) 4 · 25 b) 27 · 32 c) — 8 · (— 2)4

12 Poenostavi izraze.

a) u 9 · u — 4 b) a 3 · a 7 · a — 2 c) x — 8 · x 2 · x 3

Ë) x

x

4

—2 d) a

a

—6

3 e) b

b

—2

—5

f) 20

5

4

2

⋅

⋅

x

x g) 6

2

—3

—7

⋅

⋅

a

a h) 1,2

0,3

—6 3

2

⋅ ⋅

⋅

b b

b

13 Dano πtevilo zapiπi kot produkt potenc z enako osnovo.

a) 81 b) — 8 c) 625 Ë) — 128

·

·

65

Rok je prodajalko prosil, Ëe mu lahko za sendviË odreæe polovico od æe odrezane polovice polkilogramskega hlebËka.

RAZMISLI Koliko kruha je dobil Rok?

Izvedel boš: — kako potenciramo produkt,— kako potenciramo koliËnik,— kako potenciramo potenco.

3 POTENCIRANJE PRODUKTA IN KOLI»NIKA

Rok je razmiπljal takole: polovica polkilogramskega hlebËka tehta Ëetrt kilograma in polovica od tega eno osmino kilograma. Kako bi to naredili raËunsko? Najprej si oglejmo kako potenciramo produkt dveh faktorjev. Upoπtevamo komutativnostni in asociativnostni zakon. (5 · 4)3 = (5 · 4) · (5 · 4) · (5 · 4) = 5 · 5 · 5 · 4 · 4 · 4 = 53 · 43 = 125 · 64 = 8000

Potencirati moramo vsak faktor posebej. Potenco produkta zapiπemo tako, da potenciramo vsak faktor produkta. Lahko pa zapiπemo tudi obratno:

53 · 43 = (5 ·4)3 = 203 = 8000

Seveda lahko raËunamo tako le, Ëe imata obe potenci enaka eksponenta.

Tudi pri potenciranju koliËnika si pomagamo s postopnim potenciranjem:

( )12

1

2

1

2

1

2

1

2

1

8

3

3

3

= ⋅ ⋅ = =

Z zgornjim raËunom smo tudi potrdili Rokovo sklepanje. Rok je res kupil 1

8 kg kruha.

Pri potenciranju koliËnika potenciramo posebej πtevec in posebej imenovalec.

Tudi koliËnik potenc z enakimi eksponenti lahko zapiπemo kot potenco koliËnika danih osnov.Osnovo, zapisano kot koliËnik, lahko najprej okrajπamo.

93

93

4

4= = =( )

4 43 81

POTENCIRANJE PRODUKTA

Produkt veË faktorjev potenciramo tako, da potenciramo vsak faktor posebej. Produkt potenc z enakimi eksponenti je enak potenci produkta obeh osnov.

(x · y)n = xn · yn in am · bm = (a · b)m ; n, m

POTENCIRANJE KOLI»NIKA

KoliËnik potenciramo tako, da potenciramo πtevec posebej in imenovalec posebej.KoliËnik potenc z enakimi eksponenti je enak potenci koliËnika danih osnov:

( )xy

x

y

n n

n= ; y 0, n in am : bm = =a

b

ab

m

m

m

( ) ; b 0, m

66

POTENCIRANJE POTENC

Potenco potenciramo tako, da osnovo prepiπemo, potenËna eksponenta pa pomnoæimo.

(a x)y = a x · y; x, y

RE©ENI PRIMERI

Tudi potence lahko potenciramo:

(22)3 = 22 · 22 · 22 = 22·3 = 26

(3x)2 = 3x · 3x = 3x+x = 32x

1 Preoblikuj v produkt potenc. a) (9 · u)2 b) (5 · x · y)3

Reπitev: Upoπtevamo pravilo za potenciranje produkta. a) (9 · u)2 = 92 · u 2 = 81 · u 2 b) (5 · x · y)3 = 53 · x 3 · y 3 = 125 · x 3 · y 3


a) 24 · 54 b) 0,257 · 47

Reπitev: a) 24 · 54 = (2 · 5)4 = 104 = 10000 b) 0,257 · 47 = (0,25 · 4)7 = 17 = 1

3 Potenciraj 2

3( )

3

in x

4( )

2

.

Reπitev:

2

3( ) = =

3 3

3

2

3

8

27 x x x

4( ) = =

2 2

2

2

4 16


a) 5

15

4

4 b) 103 : 2,53

Reπitev:

a) 5

15

5

15

1

3

1

3

1

81

4

4

4 4 4

4= ( ) = ( ) = = b) 103 : 2,53 = = =10

2 5

102 5

3 3

, ,3 ( ) 43 = 64

5 Potenciraj potence (22)4, (x3)8 in ((—1)4)5 .

Reπitev: a) 2

2 4 2 4 82 2 256( ) = = =

⋅ b) x x x3 8 3 8 24( ) = =

⋅ c) ((—1)4)5=( ) =( ) =

⋅

— —1 1 14 5 20

Osnova potence je lahko tudi potenca. Ali lahko potenciramo tudi potence? DZ − naloga 3.5

67

NALOGE ZA VAJO

1 Preoblikuj v produkt potenc.

a) 2 ⋅( )a6

b) 6 ⋅( )x3

c) 5 ⋅ ⋅( )x y4

Ë) —3 ⋅( )a3 d) 0 2, ⋅( )u

5 e) 2

3

2

⋅( )m

2 Potenciraj koliËnik.

a) ( )a

4

3

b) ( )5

2

x c) ( )a

b

4

Ë) ( )m

n

a

d) ( )2

3

3⋅ x

e) (_ )2

5

2⋅ a

3 Preoblikuj v potenco produkta in izraËunaj vrednost.

a) 2 33 3⋅ b) 5 2

6 6⋅

c) 100 0 25 5

⋅ , Ë) (— )4 254 4

⋅

d) 2 17 7

⋅ (— ) e) (— ) (— )2 503 3⋅

f) 34

25

5 5

( ) ⋅ ( ) g) 27

212

4 4

( ) ⋅ ( )

h) −( ) ⋅ ( )35

36

3 3

2 i) 4 2 13 3 3⋅ ⋅

j) 0,2 25 1002 2 2⋅ ⋅ k) 0,5 2 10

5 5 5⋅ ⋅


a) 279

4

4 b) 12525

3

3 c) 17085

6

6

Ë) ( )−12

24

3

3 d) 8

0 4

4

4,

e) 126

3

3

,

ZMOREM TUDI TO


a) 8 6

12

4 4

4

⋅ b) 2 6

4

6 6

6

⋅ c) 2 3

6

9 9

9

⋅

−( )

Ë) 3 3

6

5 3

8

⋅ d) −( ) ⋅ −( )2 2

4

5 8

13 e) 4 8

32

6 6

5

⋅

6 Potenciraj potence in izraËunaj vrednost izraza.

a) 322

( ) b) −( )( )24

3

c) −( )( )15 7

Ë) 2 23 6 9

( ) :

d) ( ) ( )34

23

23

3 2

( ) ( )⋅

e) ( )−( )20 25

210

:

f) (33)-2 · 66

7 Zapiπi 536 kot potenco z dano osnovo. a) 53 b) 56 c) 59 Ë) 52 d) 5

3( )6


a) ( )3

2

3⋅

⋅

x

y

2

b) ( )− ⋅

−( )

a b

c

2 3

2

3

c) 3 4 3

5⋅ ⋅( )u v

x 3 Ë) ( )5

3⋅ ⋅( )a b

c

3 62

4

d) ((2a)-1 · 3 · b)

5

2

e) (3·x·y2)

2

2 · z3

-2

9 Zaporedje števil 1, 2, 4, 8 ... zapiši s poten-co. DoloËi 6. in 10. Ëlen. Zaporedje zapiši z algebrskim izrazom.

10 Vzorec si sledi tako, da pri vsakem nasled-njem liku vsak trikotnik razpade na štiri enake trikotnike. RazišËi koliko trikotnikov ima peti lik in koliko deveti lik. ©tevilo trikotnikov v posameznem liku zapiπi z algebrskim izrazom.

1. 2. 3.

68

Rokovi starπi so se odloËili, da bodo na podstreπju zamenjali stara okna kvadratne oblike s stranico 2 m. ©pelo in Roka je zanimalo, kakπna je ploπËina okna.

RAZMISLI Kako bi ©peli in Roku pomagal izraËunati ploπËino okna?

4 KVADRIRANJE RACIONALNIH ©TEVIL

Izvedel boš: — kaj je kvadrat racionalnega πtevila,— kakπne lastnosti veljajo za kvadriranje racionalnih πtevil.

LASTNOSTI KVADRATA RACIONALNIH ©TEVIL

1. Kvadrat πtevila 0 je 0.2. Kvadrati vseh racionalnih πtevil, razen πtevila 0, so pozitivna πtevila.3. Kvadrata nasprotnih πtevil sta enaka.4. ©tevilo niËel, s katerimi se konËuje celo πtevilo, se pri kvadriranju podvoji.5. ©tevilo decimalk racionalnega πtevila se pri kvadriranju podvoji.

Spomnila sta se, da ploπËino kvadrata lahko izraËunata z enaËbo p = a · a. Ker ima kvadrat obe stranici enaki, mnoæimo dolæino stranice samo s seboj. Produkt racionalnega πtevila s samim seboj lahko zapiπemo kot potenco z eksponentom 2.Zaradi podobnosti z enaËbo za ploπËino kvadrata imenujemo to potenco kvadrat racionalnega πtevila.

RaËunsko operacijo, s katero izraËunamo kvadrat racionalnega πtevila, imenujemo kvadriranje.

GrafiËno lahko prikaæemo kvadriranje s ploπËinami kvadratov.

Vzorec lahko nadaljujemo. DoloËi plošËino 5., 9. in 11. lika.

Oglejmo si kvadrate prvih enaindvajsetih naravnih πtevil. Kvadrati naravnih πtevil so popolni kvadrati.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21x 2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 441

12 = 1 · 1 = 122 = 2 · 2 = 4

32 = 3 · 3 = 9

42 = 4 · 4 = 4

RaziπËi lastnosti kvadriranja racionalnih πtevil. DZ − naloga 3.6

NAMIGPri raËunanju kvadratov racionalnih πtevil si lahko pomagamo s tabelami ali z žepnim raËunalom. Kljub temu je smiselno znati nekatere kvadrate naravnih πtevil na pamet.

69

1 IzraËunaj kvadrate πtevil. Upoπtevaj lastnosti kvadriranja. a) 12 b) — 13 c) 1,1 Ë) 0,09 d) 1700 Reπitev: a) 122 = 144 b) (— 13)2 = 169 Kvadrat negativnega πtevila je pozitivno πtevilo. c) 1,12 = 1,21 ©tevilo decimalk se pri kvadriranju podvoji. Ë) 0,092 = 0,0081 ©tevilo decimalk se pri kvadriranju podvoji. d) 17002 = 2890000 ©tevilo niËel na koncu πtevila se pri kvadriranju podvoji.

2 IzraËunaj kvadrate πtevil. Uporabi æepno raËunalo. a) 59 b) 24,8 c) 3150 Reπitev: a) 592 = 3481 24,82 = 615,04 31502 = 9922500

1 IzraËunaj kvadrate πtevil. Upoπtevaj lastno-sti kvadriranja in znane kvadrate.

a) 7, 11, — 8, 17, — 3, 9, — 1

b) 0,5; 0,02; — 0,6; 0,13; 0,004; 1,5; — 1,8; 0,1

c) 40, 1100, — 7000, — 300, 2000, 100

Ë) 3

5

12

19

1

3

15

7

24

16, , , ,

d) 3 · x; — 7 · a; 1,3 · y; 0,9 · m; — 12 · x · y · z

2 Ugotovi, katere enakosti so pravilno zapisane.

a) (— 3)2 = 9 b) (—5)2 = — 25

c) — 72 = 49 Ë) — 62 = — 36

d) 1 13

5

4

9

2

( ) = e) −( ) =3

5

9

25

2

f) −( ) =−1

4

1

16

2

g) —1

8

1

64

2

( ) =

3 IzraËunaj kvadrate πtevil. Pomagaj si z æepnim raËunalom.

a) 32, 417, — 513, 256, 329, — 888, 65 b) 0,207; — 0,084; 0,94; 5,72; 19,4; — 7,6; — 33,3 c) 3420, 7500, 13600, 889000, 490, — 870, — 53700

4 Popravi napake. a) 9002 = 8100 b) 1,62 = 25,6 c) (— 1,7)2 = — 2,89 Ë) 0,0142 = 0,00196

d) 1052 = 110025 e) 4,82 = 16,64 f) — (— 19)2 = 361 g) — 1,32 = 1,69

5 DoloËi kvadrate πtevil, Ëe veπ da je 3562 = 126736. a) 3,56 b) 35,6 c) 35600 Ë) 0,356 d) 0,00356 e) 356000

ZMOREM TUDI TO

6 Prepiπi izjave v zvezek, primerjaj obe vred-nosti in na oznaËeno mesto vstavi ustrezen znak (>, < , =).

a) Kvadrat vsote πtevil 4 in 7 vsota kvadratov πtevil 4 in 7.

b) Kvadrat vsote πtevil 34 in 112 vsota kvadratov

πtevil 34

in 112

.

c) Kvadrat produkta πtevil 9 in 11 produkt kvadratov πtevil 9 in 11.

Ë) PloπËina kvadrata s stranico 3,6 cm ploπËina kvadrata z obsegom 14,8 cm.

7 Skušaj ugotoviti pravilo, ki velja za kvadri-ranje števil, ki se konËajo s števko 5 (5, 15, 25, 35 ...). Pravilo zapiši tudi z algebrskim izrazom.

RE©ENA PRIMERA

NALOGE ZA VAJO

NAMIGPri raËunanju kvadratov si lahko pomagamo z æepnim raËunalom. »e æelimo naprimer izraËunati 72, preprosto vtipkamo:

7 x 2 =

70

Pri ©peli so asfaltirali dvoriπËe kvadratne oblike. ©pela in Rok sta vedela, kolikπna je ploπËina dvoriπËa, ki so ga asfaltirali, saj so porabili 16 m2 asfalta. DvoriπËe so æeleli ograditi z novo ograjo, zato sta morala Rok in ©pela izraËunati, koliko metrov ograje potrebujejo.

RAZMISLI Kako bi ©pela in Rok izraËunala dolæino ograje?

5 KVADRATNI KOREN RACIONALNIH ŠTEVIL

Izvedel boš: — kaj je kvadratni koren racionalnega πtevila,— kako korenimo racionalna πtevila,— kako delno korenimo.

KVADRATNI KOREN

RaËunsko operacijo, s katero dobimo kvadratni koren, imenujemo korenjenje. x y=Kvadriranje in korenjenje sta obratni raËunski operaciji.

x y= natanko tedaj, ko je x y= 2 y y2 =

DOGOVORZ znakom oznaËimo pozitivno vrednost kvadratnega korena:

49 7 25 5= =;

POZOR!V resnici ne gre za povsem obratno operacijo. VeË o tem v srednji πoli.

»e æelimo izraËunati obseg kvadrata, moramo poznati dolæino njegove stranice.Ker je ploπËina kvadrata enaka a 2, lahko dolæino stranice izraËunamo tako, da poiπËemo πtevilo, katerega kvadrat je enak ploπËini. »e je ploπËina enaka kvadratu naravnega πtevila, to ni teæko.

p = 16 m2 ➙ a = 4 m, ker je 42 = 16

Sklepali smo v nasprotni smeri od kvadriranja.

RaËunsko operacijo, ki je obratna kvadriranju, imenujemo korenjenje. Zapiπemo jo s posebnim znakom.

kvadratni koren

x = y

korenski znak korenjenec (osnova)

x

x 2

( )2

Kvadratni koren πtevila x je πtevilo, ki ga moramo kvadrirati, da dobimo πtevilo x. ©tevilo, ki ga korenimo, je korenjenec.

Kvadratni koren πtevila 49 dobimo tako, da poiπËemo πtevilo, katerega kvadrat je 49.

49 7 , ker je 72 = 49

25 5 , ker je 52 = 25

Tudi pri korenjenju si lahko pomagamo s tabelami ali z æepnim raËunalom.

71

Poglejmo, kako korenimo racionalna πtevila. Kvadriranje in korenjenje sta obratni raËunski operaciji, zato si pri korenjenju pomagamo z lastnostmi kvadratov. a) 0 0 , ker je 0 0

2=

b) 1 1, ker je 1 12

= c) 36 6 , ker je 6 36

2=

Pri produktu dveh korenov si lahko pomagamo s pravili, ki veljajo za produkt kvadratov:

Ë) 36 49 36 49 6 7 42⋅ ⋅ ⋅= == , ker je 6 7 6 7 36 49

2 2 2

⋅ ⋅ ⋅( ) = =

4900 49 100 49 100 7 10 70 70 4900

2= ⋅ ⋅ ⋅= == =( )

Tudi pri koliËniku dveh korenov si lahko pomagamo s pravili za kvadriranje.

d) 9

25

9

25

3

5, ker je ( )35

9

25

2

e)

121 121100

121

100121

3

1110

11 112

2

, ,, ( , )= = = =

=

=

( ) 33 3 9 3⋅ = =f)

»e je korenjenec kvadrat racionalnega πtevila, lahko vedno najdemo reπitev kvadratnega korena v mnoæi-ci racionalnih πtevil. Vendar pa vsako racionalno πtevilo ni kvadrat nekega drugega racionalnega πtevila.

Vrednosti nekaterih kvadratnih korenov lahko ocenimo. Poglejmo na primer 2 .

1 2 4 najprej poiπËemo πtevilu 2 najbliæja popolna kvadrata ter njune kvadratne korene:

1 2 2 Ugotovimo, da je 2 veËji od 1 in manjπi od 2.

S posebnim postopkom bi lahko naπli poljubno πtevilo decimalk kvadratnega korena πtevila 2. Nekateri kvadratni koreni imajo neskonËno decimalk. V takšnih primerih uporabimo pribliæek.

2 1414213562 141 3 1732050808 173, ... , , ... ,

KVADRATNI KOREN PRODUKTA

Kvadratni koren produkta dveh ali veË πtevil je enak produktu kvadratnih korenov teh dveh πtevil.

a b a b⋅ = ⋅

KVADRATNI KOREN KOLI»NIKA

Kvadratni koren koliËnika dveh πtevil je enak koliËniku kvadratnih korenov teh πtevil. a

ba

b=

POZOR!

x x( ) =2

POZOR!

a b a b+ ≠

+ ≠

≠ +

+

+16 9 16 9

5 4 3

NAMIGPri korenjenju si lahko pomagamo z æepnim raËunalom. »e æelimo naprimer izraËunati 36 , pritisnemo:

=3 6

Ugotovi pribliæne vrednosti korenov. DZ − naloga 3.7

72

ZAPIS VREDNOSTI KVADRATNEGA KORENA

1. Z racionalnim πtevilom, Ëe je korenjenec kvadrat racionalnega πtevila.2. S pribliækom, Ëe korenjenec ni kvadrat racionalnega πtevila.

POZOR!

a =⋅ a a

RE©ENI PRIMERI

Mnoæica iracionalnih πtevilKot æe nekajkrat doslej, moramo mnoæico πtevil, ki jo æe poznamo, razπiriti. Mnoæica racionalnih πtevil namreË ne vsebuje neskonËnih neperiodiËnih decimalnih πtevil. Dodamo ji mnoæico neskonËnih decimalnih πtevil, ki jo imenujemo mnoæica iracionalnih πtevil .Racionalna in iracionalna πtevila sestavljajo mnoæico realnih πtevil .

= ∪

Delno korenjenjePogosto bi radi le pribliæno ocenili vrednost kvadratnega korena veËjega πtevila. »e se πtevilo da zapisati kot produkt dveh πtevil, od katerih je eno πtevilo kvadrat racionalnega πtevila, si pomagamo s pravilom za korenjenje produkta.

18 9 2 9 2 23= ⋅ = =⋅ ⋅

©tevilo zapiπemo kot produkt in korenimo oba faktorja. Prvi je kvadrat racionalnega πtevila in ga lahko korenimo, drugi pa je iracionalno πtevilo in ga lahko pustimo pod korenskim znakom.

Takπno operacijo imenujemo delno korenjenje.

1 Koreni 16 6400 1,4425

36, , , .

Reπitev: a) 16 4 , ker je 42

16

b) 6400 64 100 8 10 80= = =⋅ ⋅ , ker je 80 64002

=

c) 25

36

5

6, ker je 5

6

25

36

2

( ) =

Ë) 144 12144

100

1210

, ,= 144100

= = = , ker je 2 11 442

, = ,

Tudi pri korenjenju koliËnika ravnamo podobno:

4

3

4

3

3

3=

34

3=⋅

⋅

Izraz smo tako racionalizirali.

a =⋅ a a

Da se znebimo korena v imenovalcu (da zapis poenostavimo), si pomagamo tako, da πtevec in imenovalec pomnoæimo z istim πtevilom (z imenovalcem):

16

3

16

3

4

3==

73

NALOGE ZA VAJO

2 Zapiπi kvadratna korena 145 in 0 37, na dve decimalki natanËno. Pomagaj si s tabelami in rezultat preveri z æepnim raËunalom.

Reπitev: a) 145 12 0416 12 04, , b) 0 37 0 60828 0 61, , ,37

100

37

100

6,0828

10

Z æepnim raËunalom: 145 12 04159458 12 04, , 0 37 0 608276253 0 61, , ,

3 Oceni kvadratni koren πtevila 6 na eno decimalko natanËno.

Reπitev: ©tevilo 6 primerjamo z dvema najbliæjima popolnima kvadratoma. To sta πtevili 4 in 9. 4 6 9

4 6 9

< <

< <

Torej je: 2 6 3< < 6 je veËji od πtevila 2 in manjπi od πtevila 3. 6 je bliæe 4 kot 9, zato je 6 2,4.

4 Delno koreni: a) 12 b) 27

Reπitev: a) 12 4 3 4 3 2 3= = =⋅ ⋅ ⋅ b) 27 9 3 9 3 3 3= = =⋅ ⋅ ⋅

5 Koreni in rezultat racionaliziraj: a) 911 b)

5

3

Reπitev: a) 911

= = = =

9

11

3

11

3 11

11 11

3 11

11

⋅

⋅

⋅

b) 5

3

5 3

3 3

5 3

3= =

⋅

⋅

⋅

1 Koreni πtevila 9, 25, 121, 169, 225, 289, 400, 625, 1849. Kjer je potrebno, si pomagaj z æepnim raËunalom.

2 Koreni πtevila 7, 11, 15, 47, 133, 269, 589, 1714, 4581 in kvadratni koren zaokroæi na dve decimalki. Pomagaj si z æepnim raËuna-lom.

3 Koreni 0,49; 1,69; 2,56; 0,0016. Rezultate preveri z æepnim raËunalom.

4 Koreni 12100, 90000, 8100, 40000.

5 Koreni 36

49,16

81,25

144,

1

100,441

729 .

6 IzraËunaj.

a) 4 36 4 25 72 2 3 48⋅ ⋅ ⋅ ⋅; ; ;

b) 0 09 121 2 25 0 16 0 49 0 25, , , , ,; ;⋅ ⋅ ⋅

7 Oceni kvadratne korene 7 11 17 20, , , , 27 32 60 85 120, , , , na eno decimalko

natanËno. Z žepnim raËunalom preveri, koliko si bil natanËen.

ZMOREM TUDI TO

8 Delno koreni.

9 36 16 8 24 50 753 11 5⋅ ⋅ ⋅; ; ; ; ; ; ;

44 48 500 144 3 35 0 04 2; ; ; ; , ;, ⋅ ⋅ ⋅ x

9 Koreni in rezultat racionaliziraj.

367

495

1213

62510

1,69

3

0,01

113 7 3

; ; ; ; ; ; ; ;5 7 2

⋅ a

. .

. .

74

©pela in Rok sta spretno reπevala πtevilske izraze, ko sta naletela na izraz

2 3 164+ ⋅ ,

v katerem so bile potence in kvadratni koreni.

RAZMISLI Kako naj ©pela in Rok reπita izraz?

6 IZRAZI S POTENCAMI IN KORENI

Izvedel boš: — kako reπujemo izraze, v katerih so tudi potence in kvadratni koreni.

RE©ENI PRIMERI

Potenciranje je krajπi zapis mnoæenja enakih faktorjev, zato ima prednost pred seπtevanjem in odπtevanjem. Je pa tudi moËnejπa raËunska operacija od mnoæenja razliËnih πtevil, zato vedno najprej reπimo potenciranje. Korenjenje je kvadriranju nasprotna raËunska operacija, zato za korenjenje velja enak vrstni red kot za potenciranje. potenciranje/korenjenje ➙ mnoæenje/deljenje ➙ seπtevanje/odπtevanje

Ostale zakonitosti reπevanja πtevilskih izrazov pa æe poznamo.

24 · 3 = 16 · 3 = 48 3 · 24 = 3 · 16 = 48 24 + 3 · 16 = 16 + 3 · 4 = 16 + 12 = 28

1 Reπi izraze.

a) 3 + 2 · 32 b) 5 9 4 25⋅ ⋅− c) 2 3 495+ ⋅

Ë) 144 225 4−( ) ⋅ 2 d) ( )3 36 2 9 23

2 3

⋅ ⋅ ⋅− −( ) e) 196 4 2 25 3 169, , ,− ⋅ ⋅−( )

f) 2 16 3 4

2 43

2⋅ ⋅−

+

Reπitev:

a) 3 + 2 · 32 = 3 + 2 · 9 = 3 + 18 = 21

b) 5 9 4 25 5 3 4 5 15 20 5⋅ ⋅ ⋅ ⋅− − −= = =−

c) 2 3 49 32 3 7 32 21 535+ = + = + =⋅ ⋅

Ë) 144 225 4 12 15 16 3 16 48−( ) ( ) ( )⋅ ⋅ ⋅= − = − =−2

d) ( )3 36 2 9 2 3 6 8 3 8 18 2432 3

2 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− − − − = −( ) =( ) ( ) ( )⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅− = − − = − =−( ) ( ) ( ) ( )8 6 8 36 8 2882

e) 196 4 14 4 15 3 13 142 25 3 169, , , , ,, ,− = − − = −⋅ ⋅ ⋅−( ) ( )⋅ 44 15 39 14 4 2 4 14 9 6 11⋅ ⋅− = − − = + =( ) ( ), , , , , ,

f) 2 16 3 4

2 4

2 4 9 28 2

8 1810

10103

2

1⋅ − ⋅

+

=⋅ − ⋅

+=

−=

−=−

Glej stran 215.

75

NALOGE ZA VAJO

i) 24 · 32 : 122

j) 52 · (12 — 32 — 24) + (— 2)5

k) 112

3

4

3 2

( ) + ( ) l) 2 1

2

5

8

2

( ) :

m) 2 12

3

1

4

1

3

2 3 2

( ) ⋅ ( ) + ( ) n) 7 · (— 3)2 · (— 1)7 — 23 · (5 — 9) + 2

o) 33 + 2 · ((— 4)2 — 3 · (— 5))

p) (9 — 2 · 3)2 · (— 7 — 4 · (— 2))2 + 22 · (32 — 2 · 23)

r) 25 : (— 2)3 + (32 · 4 — 3 · 23) : 22

s) (42 · (33 — 25)2 + (24 — 2 · 32)3)2

π) 23

12

32

34

2 2

⋅ ( ) − ( ):

t) 45

34

12

12

32

2

⋅ −( ) ( )( ) : 2

u) 3 25 7 49⋅ − ⋅

v) 4 3 253 2+ ⋅

z) − ⋅ − ⋅( )2 2 3 163

3 2

æ) 6 49 3 64 2 9⋅ − ⋅ + ⋅

4 IzraËunaj πtevilske izraze. Rezultate uredi po velikosti. Pravilnost svojih rešitev pre-veri z žepnim raËunalom.

a) 5 64 36 2 169 1212

⋅ − − ⋅ −( ) ( ) b) 5 3 2 3 81− ⋅ − ⋅( )3

c) 49 21 81 1443

− ⋅ −( ) Ë) 0 04 25 2 9

22

, ⋅ − ⋅( ) d) 3 169 2 144 3 2 25⋅ − ⋅ + ⋅( ), , ,

e) 0 16 0 09 0 2 0 32

, , , ,⋅ + ⋅( )

f) 7 9 36 5 32 2 3 8 2⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

g) 12 5 16 32 2 2+ + +

h) 3 2 532

−( )( ):

i) 2 2 3 2 10 2 25 4 6 2

: + ⋅ + ⋅ −( ) j) ( )122 2 2 2

22 29 25 15 3 4+ − − +( )− :

1 Uredi πtevila po velikosti od najmanjπega do najveËjega. (Namig: najprej izraËunaj vred-nost potence.)

a) 23, 32, (— 2)2, (— 1)5, 0, (— 2)3

b) 42, 33, (— 2)3, (— 5)2, (— 1)6, — 9

c) 16 2 25 49 0 3 2 813 2 3

, , , ,, , ,− − −( ) ( )

Ë) 25, — 23, (— 2)4, — 26, 22, (— 2)3

d) 5 3 2 36 9 11 4 1, , , ,, ,⋅ − −

e) 2 16 3 9 4 6 5 2 16 6⋅ − ⋅ ⋅ −⋅ ⋅, , , ,

2 Ugotovi, kaj je veË. Z žepnim raËunalom preveri, ali si pravilno izraËunal.

a) 49 ali (— 3)2

b) 3 16⋅ ali 100

c) 2 · 32 ali 256

Ë) 23 · 32 ali 5 196⋅

d) 36 9⋅ ali 32 · 22

e) 4 1212 ⋅ ali 3 36

3 ⋅

f) 2 252 + ali 81 4+

g) 2 9 22⋅ + ali 3 16 1⋅ −

h) 2 32 81 144⋅ ⋅ −( ) ali 25 2 3 1003

⋅ + ⋅( ) i) 3 64 2 16⋅ − ⋅( ) ali 9 2 25

4⋅ −( )

3 Reši πtevilske izraze. Ugotovi, kateri izraz ima najveËjo in kateri najmanjšo vrednost. Z žepnim raËunalom preveri pravilnost svojih izraËunov.

a) 32 + 4 · 23

b) (— 7)2 · (— 2)3 — 5 · (— 3)3

c) 23 · (7 · (— 4) + 2 · (— 1)5)

Ë) 32 · 23 + 42 · 24 — 52 · 25

d) 2 · (— 3) — (— 3)2 · (— 5)

e) (7 — 4)3 — (2+5)2

f) — 3 · 23 — 5 · (— 2)3

g) (— 11 + 6)2 — (— 9 + 6)3

h) (42 — 3 · 5)9 · (— 1)7

76

5 Preveri se πe v raËunanju z ulomki.

a) ( )925

481

34

169

2

⋅ +( ) ⋅

b) 14

12

34

2 2

3( ) ( ) +:

c) 144225

12

25625

3

− −( ) ⋅

Ë) 34

12

14

12

2

3 1( ) − −:

ZMOREM TUDI TO

6 Reši izraze. DoloËi v katero množico števil sodijo rešitve.

a) 1 21

234

12

25

12

23

35

3 2 3 2 5

2

( ) ( ) + ( ) ⋅ ( ) −( ) ⋅

( ) ⋅ (

: 42

)) ( )2 2

25

:

b) −( ) + ( ) ( ) ⋅ ( ) −

( ) ( ) ⋅

3 2

2

2 2 2 2

2 3

25

110

38

23

45

35

:

:

42

(( ) −( ) ⋅2 3

23

34

c) 10 0 1 2500 10 2 10

0 3 4 12

3 5 4 2 3

2 2

,, :

, ,

( ) ⋅ + ⋅ − ⋅

+ ⋅

( )−− ⋅ − ⋅ + −( )3 19 5 0 0

0 02

3 18

, ,

Ë) 2 5

5 3

7 2

2

49 20 6 11

3 9

− + −

− ⋅

+ ⋅

⋅

d)

−( ) +− ⋅ + + −

−( ) − ⋅

23

2 2

3 52

3

169 2 64 2 13 625

3 2 3 2

7 Prepiπi izjave v zvezek, primerjaj dobljene vrednosti in na oznaËeno mesto vstavi ustrezen znak (<, =, >).

a) Koren vsote πtevil 9 in 16 vsota korenov πtevil 9 in 16.

b) Vsota korenov πtevil 25 in 1 produkt korenov πtevil 25 in 1.

c) Stranica kvadrata z obsegom 25 cm stranica kvadrata s ploπËino 36 cm2.

Ë) Obseg kvadrata s stranico 1,5 cm obseg kvadrata s ploπËino 2,56 cm2.

8 Vrednost izraza ( )9 4 0 038 10

4

3

4

2

5

3 3 25 11

− −

−

: ,

:

je 5 % πtevila, ki ga iπËemo. DoloËi to πtevilo.

9 Rok je ugotovil zanimivo lastnost kvadratov πtevil od 1 do 4.

12 = 1 22 = 4 = 1 + 3 32 = 9 = 1 + 3 + 5 42 = 16 = 1 + 3 + 5 + 7

RaziπËi, ali za kvadrat poljubnega naravne-ga πtevila n velja, da je enak vsoti prvih n lihih πtevil.

77

6 T

6 T

3 T

6 T

6 T

6 T

4 T

4 T

2 T

2 T

4 T

11 T







x x 2

1 12 43 94 165 256 367 498 649 8110 10011 12112 14413 16914 19615 225

1 Zapiπi potence 35, (— 5)3 in 2

3

4

( ) kot produkt in izraËunaj vrednost potence.

2 Zapiπi kot potenco in izraËunaj vrednost potence.

a) 72 · 7 b) 67 : 65 c) (— 9)9 : (— 9)8

3 IzraËunaj neznani eksponent.

a) 33 · 3x = 38 b) 2a · 26 = 28 c) 0,55 · 0,5u = 0,56

4 Kvadriraj. Pomagaj si s tabelo kvadratov.

a) 92 b) (— 13)2 c) — 72 Ë) 6002 d) 0,032 e) 3

4

2

( )

5 Koreni. Pomagaj si s tabelo kvadratov.

a) 36 b) 121 c) 400 Ë) 0 09, d) 144, e) 4

25

6 IzraËunaj vrednost izraza. Oba rezultata primerjaj po velikosti.

a) 8

8

5

9

⋅ 86

b) 4

4

4

4

4

2

3⋅

⋅

⋅

4

42

7 Preoblikuj v potenco in izraËunaj vrednost potence.

a) 24 · 54 b) 0,258 · 48

8 Kvadrat πtevila 453 je 205209. DoloËi kvadrate naslednjih πtevil.

a) 4,532 b) 45,32 c) 0,4532 Ë) 453002

9 IzraËunaj πtevilske izraze. Dobljene rezultate uredi po velikosti.

a) 24 · 9 — 33 · 5 b) 2 121 32

144 196⋅ + ⋅ −( ) c) 3 121 2

2 3 25

3 2

4

−

−

:

10 IzraËunaj vrednost potence. a) ((— 1)9)3 b) (52)4 : 55

11 Delno koreni 4 5⋅ in 18 .

12 Koreni in rezultat racionaliziraj. a) 95 b)

20

8

ŠPELA SE PREIZKUSI

78

6 12345

123456789

123456789012

12345678901234567

0 1234567890123456789

3456789012345678901234567

45678901234567890123456789012

89012345678901234567890 123456789

6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6

90 123456789012345678901234567890 1234567

89012345678901234567890123456789012345678

890 123456789012345678901234567890 12345678901234

9012345678901234567890123456789012345678901234567

7890 123456789012345678901234567890123456789012345678901

01234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678

234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

56789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890

4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4

67890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012

567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456

678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456789

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

23456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123

1 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678 9 01 2 3

34567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123

34567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

34567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123

45678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

5678901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

0 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890

9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 0

1234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

01234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

2345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678901234

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678

789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678

8901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

78901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678901

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345

5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6

5678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456

67890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

5678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345

78901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

45678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345

789012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678

901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123

2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4

345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

2345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123

45678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

2345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012

456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01

012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890

23456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

9012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890123

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789

789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

6789012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234567

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

45678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345

6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 67

56789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345

890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345

67890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

78901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234

45678901234567890123456789012345678901234567890 12345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890

6789012345678901234567890 12345678901234567890123

89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5

456789012345678901234567890 1234567890123

890123456789012345678901234567890

12345678901234567890 123456789012

67890123456789012345678901

8901234567890123456789012

678901234567890 12345

12345678901234567

8901234567890

5 6789 01 2

6789078

NEKOČ IN DANES

Stari Grki so nauk o številih in računanje z njimi imenovali aritmetika. V Grčiji je prvi znani algebrski zapis pripravil Diofant

iz Aleksandrije, ki je uporabljal črke za preglednejši in krajši zapis.

Veja matematike, ki vključuje računanje s spremenljivkami, se imenuje algebra. Ime izvira iz naslova knjige arabskega matematika Mohameda ibn Muse al Hvarizmija »Al džebr v´almukabala«, kar pomeni dopolnjevanje in izenačevanje.

Algebra se je v zahodnem svetu zelo močno razširila v 17. stoletju. Znani matematik tega obdobja René Descartes je znane količine označeval z začetnimi črkami abecede (npr. a, b, c), neznane količine pa z zadnjimi črkami (x, y, z), kar je v veljavi še danes.

Kitajci so prvi razvili sistem reševanja algebrajskih enačb, pri katerem so komponente enačbe razvrstili v kvadratno šahovnici podobno shemo.

80

445678

12345678

4567890123456

234567890 1234

45678901234567890123

7890 12345678901234567890

012345678901234567890123456

12345678901234567890 123456789012

1 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01

1234567890123456789012345678901234567890

9012345678901234567890123456789012345678

23456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890

1

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345

567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012

789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

9012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234

9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789

0 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890123456789

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

78901234567890 123456789012345678901234567890

1234567890123456789

901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678

7 89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678

7890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

45678901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567

67890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

5678901234567890 123456789012345678901234567890

1234567890123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345

5 678 9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6

4567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

12345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

2345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901234

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012

3 4 5 678 9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4

234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

9012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

012345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

45678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

90 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890

01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2

901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890

901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

123456789

8901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

12345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

67890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567

89 01 2 3 4 5 678 9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789

678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

56789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

123456

5678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567

9012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

4567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901234

6789 01 2 3 4 5 67 89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 67

45678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 12345

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

3456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

1234

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567

8901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

1234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456789012

3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5

12345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 12

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

0123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

1

0123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012

456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

8901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456789

1 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678 9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3

89012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890

7890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

34567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

78901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012

34567890123456789012345678901234567890123456789012345

9012345678901234567890 12345678901234567890123456

3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 0

78901234567890123456789012345678901234567

7890123456789012345678901234567890

567890123456789012345678901234567

345678901234567890123456789

23456789012345678901234567

901234567890 123456789

67890123456789012

12345678901234

01 2 3 4 5 678

90123478

IZRAZI1 IZRAZI S SPREMENLJIVKAMI

2 ENO»LENIKI IN VE»»LENIKI

3 MNOÆENJE ENO»LENIKOV

4 SE©TEVANJE IN OD©TEVANJE ENO»LENIKOV

5 SE©TEVANJE IN OD©TEVANJE VE»»LENIKOV

6 MNOÆENJE VE»»LENIKA Z ENO»LENIKOM

7 IZPOSTAVLJANJE SKUPNEGA FAKTORJA

8 MNOÆENJE VE»»LENIKOV

©PELA SE PREIZKUSI

Naravoslovnih znanosti in njihovih teorij si v današnjem času brez uporabe številskih izrazov in spremenljivk sploh ne znamo več predstavljati.

Številski izrazi so pogosti tudi v tehniki ...

Einsteinov rokopis

81

Izvedel boš: — kakπne vrste izrazov poznamo,— kako izraËunaπ vrednost izraza s spremenljivkami.

1 IZRAZI S SPREMENLJIVKAMI

VREDNOST IZRAZA

Vrednost izraza s spremenljivko izraËunamo tako, da na mesto spremenljivke vstavimo vrednost spremenljivke.

DOGOVORZnane, toËno doloËene koliËine oznaËimo s πtevili.Spremenljive koliËine, ki nimajo toËno doloËene vrednosti, oznaËimo s Ërkami.

Roku je stric zastavil uganko: H kvadratu nekega πtevila priπtej πtirikratnik istega πtevila in nato odπtej 7.

RAZMISLI Kako naj Rok uganko zapiπe krajπe?

Izraze s spremenljivkami smo omenjali æe lani. »e se ne spomniπ, poglej v uËbenik za 7. razred. Tudi Rok je razmiπljal, kaj æe ve o izrazih.

Spomnil se je, da lahko zapiπe izraz s spremenljivko, ne more pa podati konËne πtevilske vrednosti. Zato je spremenljivko oznaËil s Ërko a, in zapisal izraz

a 2 + 4 · a — 7.

V drugem delu naloge je bilo navodilo, da naj nalogo reπi, Ëe je vrednost spremenljivke 5.

IzraËunal je vrednost izraza a 2 + 4 · a — 7 za a = 5, tako, da je a nadomestil s πtevilom 5.

a 2 + 4 · a — 7 = Ëe je a = 5 = 52 + 4 · 5 — 7 = = 25 + 20 — 7 = = 45 — 7 = 38

Pisanje izrazov s spremenljivkami poenostavimo tako, da v nekaterih primerih izpustimo znak za mnoæenje:

l med πtevilom in spremenljivko 3 · a ➙ 3a

l med dvema spremenljivkama a · b ➙ ab

l med πtevilom in oklepajem 7 · (a + 8) ➙ 7(a + 8)

l med spremenljivko in oklepajem a · (b + 5) ➙ a(b + 5)

l med dvema oklepajema (a + 5) · (b — 3) ➙ (a + 5)(b — 3)

PONOVIMO!Izrazi so zapisi πtevil ali spremenljivk skupaj z znaki za raËunske operacije.

©tevilski izrazi: Izrazi s spremenljivkami (algebrski izrazi)

3 · 5 + 1 3 · a + 1

1,7 · ( 34 + 6) 1,7 · (b + 6)

spremenljivka

vrednostspremenljivke

Zapiπi algebrske izraze. DZ − naloga 4.1

82

NALOGE ZA VAJO

POMNIVrednost izraza s spremenljivko se spreminja glede na izbrano vrednost spremenljivke.

RE©ENA PRIMERA

1 IzraËunaj vrednost izraza 3x + 1 za: a) x = — 1, b) x = 3, c) x =

1

2 . Reπitev:

a) 3x + 1 = b) 3x + 1 =

= 3 · (— 1) + 1 = = 3 · 3 + 1=

= — 3 + 1 = = 9 +1 =

= — 2 = 10

Vrednost izraza 3x + 1 pri x = — 1 je — 2. Vrednost izraza 3x + 1 pri x = 3 je 10.

c) 3x + 1 =

= 3 · 12

+ 1 =

= 32

+ 1 =

= 112

+ 1 =

= 2 1

2

Vrednost izraza 3x + 1 pri x = 1

2 je 2 1

2.

2 IzraËunaj vrednost izraza — 3a + 5b — 2ab za a = — 2 in b = — 4. Reπitev:

— 3a + 5b — 2ab =

= — 3 (— 2) + 5 · (— 4) — 2 · (— 2) · (— 4) =

= 6 — 20 — 16 =

= 6 — 36 =

= — 30

V istem izrazu za isto spremenljivko vstavimo isto πtevilo.

1 Prepiπi preglednice v zvezek in jih dopolni. a)

b)

c)

2 ©pela ima 100 € veË prihrankov kot Rok. Najprej izberi pravilno trditev kaj pomeni izraz x + 100, nato zapiši, kaj smo oznaËili s spremenljivko x. Kaj smo oznaËili s spremenljivko x?

a) KoliËino Rokovih prihrankov.

b) KoliËino ©pelinih prihrankov.

c) Vsoto njunih prihrankov.

Ë) Razliko njunih prihrankov.

x 12 4 0 — 2 — 8

x — 5

x 1 3 0 — 3 — 10

2x + 7

x 6 9 12 — 7 — 11

x2

POZOR!Pri vstavljanju vrednosti spremenljivk bodimo posebej pozorni na predznake πtevil.

83

3 IzraËunaj vrednosti izrazov za a = — 2 in b = 3.

a) 5a — 9b + 4

b) 7b + ab — 5a

c) a 2 + 5b — b 2

4 Ugotovi pravilnost trditev in napaËno izraËunane vrednosti popravi. a) Vrednost izraza 6m — 9n + 2 za m = — 3 in n = 4 je — 52.

b) Vrednost izraza m 2 — 3mn + n 2 za m = — 2 in n = — 3 je 31.

c) Vrednost izraza m3 + m2 — m za m = — 4 je 52.

5 Po besedilu zapiπi izraz.

a) Trikratniku πtevila x priπtej 6.

b) Vsoto πtevil a in b pomnoæi z — 7.

c) K razliki πtevil a in 4 priπtej 15.

Ë) K πtevilu 7 priπtej tretjino πtevila b.

d) Produkt razlike πtevil 19 in y in vsote πtevil

x in 34.

6 Rok (r) je 15 cm viπji od ©pele (π). Kateri izraz izraæa ©pelino viπino?

a) r + 15 b) π + 15

c) 15 · r Ë) r — 15

d) π — 15 e) r15

7 IzraËunaj vrednost izraza 2x — 3y za izbrane vrednosti spremenljivk.

Za katere vrednosti spremenljivk x in y je vred-nost izraza pozitivno πtevilo?

a) x = — 1, y = 13

b) x = — 4, y = — 6

c) x = 5, y = — 3 Ë) x = 8, y = −56

d) x = 6, y = — 12

8 Izraz opiπi z besedami.

a) 2x + 3 b) 3(a — 5)

c) b b27

4+ − 3 Ë) (x + 3)(y — 5)

9 Zapiπi obsege in ploπËine likov, ki imajo neznane koliËine oznaËene s spremenljivkami.

a) EnakostraniËni trikotnik ima stranico c. Zapiπi obseg tega trikotnika.

b) Kvadrat ima stranico z. Zapiπi obseg in ploπËino tega kvadrata.

c) Enakokraki trikotnik ima osnovnico p in kraka r. Zapiπi obseg tega trikotnika.

Ë) Romb ima stranico t in diagonali g in h. Zapiπi obseg in ploπËino tega romba.

d) Pravokotnik ima stranici m in n. Zapiπi obseg in ploπËino tega pravokotnika.

e) Trapez ima osnovnici i in j ter kraka g in h. Zapiπi obseg in srednjico tega trapeza.

f) Trikotnik ima stranice p, r, s. Zapiπi obseg tega trikotnika.

10 IzraËunaj vrednosti naslednjih izrazov za x = 10. Kaj ugotoviπ?

a) 3x + 7 b) 4x 2 + 5 · x + 2 c) 9x 3 + 6x 2 + 4x + 1 Ë) 2x 4 + 1x 3 + 3x 2 + 9x + 5 d) 8x 2 + 4 e) 6x 3 + 2x + 9

ZMOREM TUDI TO

11 Upoštevaj mestne vrednosti zapisa desetiškega števila. a) Dvomestno naravno πtevilo zapiπi s spre-

menljivkama a in b na dva naËina, nato zapiπi πe vrednost tega πtevila kot izraz s spremenljivkama.

b) Vrednost poljubnega trimestno πtevila zapiπi kot izraz s spremenljivkami d, e in f. Koliko je razliËnih moænosti?

c) Naravno πtevilo je s πtevkami zapisano kot mnopr. Zapiπi vrednost tega πtevila kot izraz s spremenljivkami.

12 Preveri pravilnost naslednjih trditev tako, da za spremenljivko izbereπ cela πtevila od — 10 do 10, Ëe velja n .

a) Poljubno sodo πtevilo zapiπemo v obliki 2n. b) Poljubno liho πtevilo zapiπemo v obliki 2n + 1.

84

©pela naËrtuje ograjo okrog zelenjavnega vrta in se odloËa med dvema moænostima:

3a

3a

2a 2a

3a

3a

2b 2b

RAZMISLI Kolikπna je dolæina ograje v obeh primerih?

2 ENO»LENIKI IN VE»»LENIKI

Izvedel boš: — kako prepoznaπ enoËlenik in veËËlenik,— kaj je koeficient enoËlenika,— kdaj sta enoËlenika podobna.

ENO»LENIKI IN VE»»LENIKI

EnoËleniki so izrazi, ki imajo en sam Ëlen, med πtevili in spremenljivkami je le raËunska operacija mnoæenja (to zajema tudi potenciranje in deljenje s πtevilom).VeËËleniki so izrazi, ki imajo veË kot en Ëlen.

DOGOVORPodobni enoËleniki imajo enake spre-menljivke (ali enak produkt spremenljivk) in razliËne koeficiente. Urejen enoËlenik ima na prvem mestu koeficient, produkt spremenljivk je zapi-san po abecednem redu spremenljivk.Koeficient enoËlenika je število, ki stoji pred spremenljivkami.

DOGOVORKoeficienta 1 ne piπemo: 1x = x, — 1x = — x

V prvem primeru so stranice iz daljic z dolæino a, zato je tudi obseg ustrezen veËkratnik dolæine a.

o = 3a + 2a + 3a + 2a o = 10a

Izraz 10a imenujemo enoËlenik, saj v njem nastopa le operacija mnoæenja.

V drugem primeru so stranice iz daljic z dolæino a in iz daljic z dolæino b, zato je obseg

o = 3a + 2b + 3a + 2b

o = 6a + 4b.

Izraz 6a + 4b imenujemo dvoËlenik, ker v njem nastopa tudi operacija seπtevanja.

EnoËleniki so: — posamezna πtevila: 3, 5, 2, — 7 ... — posamezne spremenljivke: a, b, — c ... — produkt πtevil, spremenljivk, ter πtevil in spremenljivk: 3 · 5; 7 · c; ab; — 2a; 5xyz; 6 · 5 · 8a ... — potence: a 3, — x 7, 4a 3b 2, 1

2x 5, (ab)6 ...

— ulomki, ki imajo v imenovalcu πtevilo, in koliËniki, Ëe je delitelj πtevilo: 2x

3; 7

11; 6 : 4; 2a : 5

EnoËleniki — 5x; 7x; — 1,3x; 3

4 x; 68x imajo enako spremenljivko x, razlikujejo se po koeficientu (πtevilu, ki stoji pred spremenljivko), zato so si vsi zapisani enoËleniki podobni.

6 : 4 = 6

4

2

5⋅ a2

3⋅ x

EnoËlenik b · 2 · a ni urejen. V produktu smemo vrstni red faktorjev zamenjati, zato enoËlenik b · 2 · a zapiπemo kot 2ab. Pravimo, da smo enoËlenik uredili.

Samostojno poiπËi podobne enoËlenike.DZ − naloga 4.2

85

NALOGE ZA VAJO

DOGOVORUrejen veËËlenik ima Ëlene urejene glede na rastoËe (ali padajoËe) eksponente.

RE©ENA PRIMERA

1 Poenostavi enoËlenik 2acabb (— 8)bba.

Reπitev: Najprej doloËimo koeficient tako, da mnoæimo med seboj πtevila, produkte enakih spremen-ljivk pa zapiπemo kot potence in spremenljivke uredimo po abecedi.

2acabb (— 8)bba = — 16a 3b 4c

2 Zapiπi nekaj urejenih veËËlenikov.

Reπitev:

2a — 3b + 7c; 3x 4 — 7x 3 + 5x 2 + 4x — 6

1 Preriπi v zvezek, poiπËi enoËlenike in jim doloËi koeficiente.

izraz 2+x x 2 8xy — 2x1

4a 20 a

3+b

c

enoËlenikDA/NE

koeficient

2 Izpiπi podobne enoËlenike. 3x, 3x 2, — 4x, 3a, 1

2x , 3a 2, — x

3 Uredi enoËlenike in zapiπi njihove koeficiente.

a) b · 3 b) a · (— 2) c) xy · 3x

Ë) aabb3

4 ab d) 1,2a 2 · 5a

4 Koliko Ëlenov ima veËËlenik? »e je potreb-no, veËËlenik najprej uredi, izpiπi posa-mezne Ëlene in veËËlenik poimenuj.

a) 20r 2 — 10r — 5 b) x · (— 3) + 5 — x 5

c) 12

— g ·(+8) Ë) k l m

2 3 5⋅ ⋅ + (— 3) · (— n)

5 K danemu enoËleniku zapiπi πe tri podobne enoËlenike.

a) 5ab 3 b) — d c) n2

2

6 Rok je zapisal nekaj podobnih enoËlenikov. V katerih primerih je napravil napako? a) a · 4 b) 34 a c) 23a Ë) 32 · a d) 3

a e) (5a)2

7 Uredi veËËlenike: a) — 1 + b 2 + 2b 4 — 3b — 5b 3

b) 3,7u 2 + 1 — u 4

c) 7g — 15e 4 — 2h 7 — 13f

8 a) Nariπi daljico z dolæino a. b) Nariπi daljico z dolæino 3a. c) Nariπi daljico z dolæino 1

2 a. Ë) Ali lahko nariπeπ daljico z dolæino — 2a?

9 RazišËi pravilnost izjav in popravi napaËne izjave.

a) Koeficient enoËlenika — x je —. b) Spremenljivka a je enoËlenik. c) Poljubno izbrano racionalno πtevilo ni

veËËlenik. Ë) EnoËlenika sta si podobna, Ëe vsebujeta

vsaj eno enako spremenljivko. d) EnoËlenika sta si podobna, Ëe imata enaka

koeficienta. e) Koeficienta 10 ne piπemo. f) EnoËlenik ima vsaj en Ëlen.

10 Zapiπi izraze s spremenljivkami in jih poimenuj po πtevilu Ëlenov.

a) Obseg trikotnika, ki ima stranice m, p in r. b) PloπËina paralelograma, ki ima stranico k in viπino na to stranico l.

c) Obseg romba, ki ima stranico h. Ë) Obseg deltoida, ki ima stranici t in p.

86

©pela in starπi so se odloËili za prvo moænost. Mojstra, ki je priπel postaviti ograjo je zanimalo, kolikπno povrπino bo zagradil.

RAZMISLI Kako izraËunamo ploπËino omenjenega pravokotnika?

Izvedel boš: — kako mnoæiπ enoËlenike.

3 MNOÆENJE ENO»LENIKOV

MNOŽENJE ENO»LENIKOV

EnoËlenike mnoæimo tako, da pomnoæimo med seboj koeficiente in med seboj spremenljivke. Produkt enakih spremenljivk zapiπemo s potenco.

RE©ENI PRIMERI

3a

a a

a

a

a

a

a a 2 a 2

a 2 a 2 6a 2

a 2 a 2

a

a

a2a

3a

2a

PloπËina je enaka 6a2 in bi jo lahko dobili tudi z mnoæenjem stranic 2a in 3a.

2a · 3a = 6a 2

2 · 3

a · a

·

·

1 GrafiËno prikaæi produkt enoËlenikov. a) 5a b) 3a 2 c) 6a 3

Reπitev: a) Daljica z dolæino 5 · a. b) PloπËina pravokotnika s stranicama 3a in a je 3a 2.

a

5aa

3a

3a 2

87

NALOGE ZA VAJO

c) Prostornina kvadra z robovi 3a, a in 2a je 6a 3.

2 Pomnoæi enoËlenike. Reπitev:

a) 4b · 5b 2 a) 4b · 5b 2 = 4 · 5 · b · b 2 = 20b 3

b) 3x 5 · 2x 2 · (— 5) b) 3x 5 · 2x 2 · (— 5) = 3 · 2 · (— 5) · x 5 · x 2 = — 30x 7

c) 42a · 12b : 6 c) 42a · 12b : 6 = 42 12 42a b a b a bab

⋅=

⋅ ⋅ ⋅

/=

⋅=

6

122

61

42 2

184

Ë) 9x 2 · 5y : 15x Ë) 9x 2 · 5y : 15x = 9 5392x y

x

x x y

xxy⋅

=/ ⋅ / ⋅ / ⋅ ⋅

/ ⋅ /=

15

5

15 51

3

a

2a

6a3

3a

1 Pomnoæi enoËlenike. a) 7a · 9 b) 5b · 12 c) 6 · 9c Ë) — 3 · 4d

d) 7e · (— 11) e) — 4f · (— 13) f) g · g g) i · i · i h) t · t · t · t

2 Pomnoæi enoËlenike.

a) 4 · 3 · x · y b) 8 · z · 16

c) 7s · 8s Ë) — 3x 3 · 2x4

d) 2 · 3a · 4a e) ab · ab · ab

f) — 5ab · 2ab 2 g) 2,5a · 10b

h) 12

x · 4y i) 0,3z · 0,1z

j) 3abx 2 · 2a 2bx

3 Prepiπi preglednico v zvezek in jo izpolni.

• 7x — 3y 6z

3x

7y

— 2z

4 ©pela je mnoæila enoËlenike in delala napake. Popravi napaËne rezultate.

a) 2a · 3a = 5a b) 2b 2· 6b 3 = 12b 5

c) 5x 3· 4x 3= 20x 3 Ë) 2a · 2a · 2a = 6a 3

5 Pomnoæi enoËlenike. a) e · (— 2e 2) · e 3 · (— e 2) b) (—n)(4n)(— 2n)(— n)

c) 45

12

2b b b⋅ ⋅ ( )− Ë) (—4n) · 7

8m · 3o

d) (— 34

a2b3c4)(— 12ab) e) 12

5 35x y y( )( )−

f) (— 6u 4v 4)(7u 2v 2)u 4

6 Izraze prepiπi v zvezek in na oznaËeno mesto zapiπi drugi faktor.

a) 2a · = 10a b) 5 · = 10a

c) — a · = 8a Ë) 4xy 2 · = 4xy 3

d) 4xy 3 · = xy 2 e) 12x 2y 6 · = — 2xy

7 Stranica romba meri 3c. Nariπi skico in jo oznaËi. Nato zapiπi izraz, po katerem izraËunaπ obseg tega romba, in ga izraËunaj.

ZMOREM TUDI TO

8 Rok je narisal sokota. Prvi kot je petkrat veËji od svojega sokota. Zapiπi velikost posameznega sokota kot enoËlenik s spre-menljivko x. Koliko stopinj meri posamezen narisani sokot?

9 Na sliki je prikazan kvader z oznaËeno dolžino, širino in višino.

a) Kolikšna je vsota dolžin vseh dvanajstih robov? b) RazišËi takšne celoštevilske vrednosti

za x, da lahko ta kvader naredimo iz trde žice dolžine od 200 do 400 cm.

5x

3x

x

88

©pela je postavila na mizo dva kroænika z jabolki. Na prvem kroæniku sta bili dve jabolki, na drugem pa tri. Skupaj je na mizo postavila pet jabolk.

RAZMISLI Kaj pa, Ëe bi ©pela namesto jabolk prinesla na kroænikih hruπke ali nektarine ali marelice ...

Izvedel boš: — kako seπtevaπ in odπtevaπ enoËlenike,— kako poenostaviπ (skrËiπ) veËËlenik.

4 SE©TEVANJE IN OD©TEVANJE ENO»LENIKOV

DOGOVORVeËËlenik skrËimo (poeno-stavimo) tako, da seπtejemo podobne Ëlene.

RE©ENI PRIMERI

»e jabolka oznaËimo s spremenljivko a, dobimo izraz:

2a + 3a

a + a + a + a + a = a + a + a + a + a = 5a

Spremenljivka a lahko predstavlja tudi hruπke, nektarine ali karkoli drugega.

Izraz se zato ne spremeni.

»e seπtevamo jabolka, imamo na koncu jabolka.

+ =

1 Seπtej ali odπtej. a) 5x + (— 7)x b) 8a — 6a

Reπitev: a) 5x + (— 7)x = (5 + (— 7))x = —2x b) 8a — 6a = 2a

2 SkrËi veËËlenik 2a + 3b + 5c — 3a — 4b — 7c + 5a — 6b. Reπitev:

2a + 3b + 5c — 3a — 4b — 7c + 5a — 6b = = 2a + 3b + 5c — 3a — 4b — 7c + 5a — 6b = = (+2a — 3a + 5a) + (+ 3b — 4b — 6b) + (+ 5c — 7c) = Podobne Ëlene zdruæimo. = 4a — 7b — 2c »lene uredimo po abecednem redu spremenljivk.

koeficiente seπtejemo spremenljivko prepiπemo 8 — 6 = 2

VSOTA PODOBNIH ENO»LENIKOV

Vsota podobnih enoËlenikov je enoËlenik, ki ga dobimo tako, da koeficiente seπtejemo, spremenljivke pa prepiπemo.

POZOR!Kadar enoËleniki niso podobni, jih ne moremo seπtevati: 3a + 2b = /

RaziπËi, kako seπtevamo in odπtevamo enoËlenike. DZ − naloga 4.3

89

1 Katera slika ponazarja izraz 3x + 5x? a) dolžina daljice AB

b) dolžina daljice AC

c) dolžina daljice AD

Ë) obseg lika ABCD

d) obseg lika EFGH

2 Zdruæi podobne enoËlenike. a) 7a + 4a b) 12b + 18b

c) 4c + c Ë) — 5x + 8x

d) 15m — 18m e) — 23g —16g

f) 6ab + 7 ab g) 5a 2 + 13a 2

h) 3xy — 8 xy i) 5x 2y + 7x 2y

3 Zdruæi podobne enoËlenike. a) 2a + 3b + 5a b) 5b + 5a + 4a + 9b

c) 25x — 3x + 5 Ë) 7a — 2b — 3a + 6b

d) 43 — 25x + 56 e) 3m — 5m + 4n — 7n

f) 61x — 25 + 13x g) 6m + 8n — 4m — 3m

h) 17x + 25 — 17x i) — 8m — 7n — 3n — 5m

4 SkrËi veËËlenik in rezultat uredi.

a) 3x + 4y — 3x + 4y

b) 13a — 14b — 5a + 7b

c) 3ab — 5a — 9ab + 7 Ë) 6a + 8a 2 — 6a + 4a 2

d) 5x 3 — 2x 2 + 7x — 3x 3 + 8x 2

5 IzraËunaj. a) 12xy + 3xy — 10xy

b) 8m 3 — 6m 3 — 7m 3

c) 3a 2b — 9a 2b + 6a 2b

Ë) 0,3a 5 + 1,7a 5 — 1,4a 5

d) 1

4

1

2

3

8

2 2 2a a a− +

6 Izraze prepiπi v zvezek in na oznaËeno mesto vpiπi neznani enoËlenik.

a) 15x + = 24x b) 41y — = 25y

c) 24e + 20e — = 30e

Ë) 21t — +15t = 37t

d) + 14r + 12r = 53r

7 IzraËunaj. Kaj ugotoviπ? a) 6a + a b) 4a + 3b

c) 5 + b Ë) 2a + 2b

d) 7a — a e) 9a + 1 f) — a — 8a g) — 4a — 4

8 SkrËi veËËlenik in rezultat uredi.

a) 3x + 2y — z + 2x — 3z + 5y + 6x — 4y

b) 12a — 3a 2 + a 3 — 4 + 3a 2 — 8a + 8

c) 0,3 — 1,5b + 0,1b2 — 0,1b3 + 0,2b2 + 0,5 b — 0,1

Ë) 0,2a 3x — 0,4ax + 2a 3x — 4ax 3 + 0,6ax

d) 12

34

14

18

2 2 2 21 1a b ab a b ab+ − −

e) 1 73

23

53 3

2 2 2 2 23x y xy xy x y x y+ − − +

9 Katero πtevilo je za 2a veËje od vsote πtevil 8a in 15a?

10 Prepiπi v zvezek in dopiπi manjkajoËe Ëlene zaporedja.

— 8a, — 7a, — 6a ... 6a

ZMOREM TUDI TO

11 Rok je narisal πestkotnik. Prva stranica je bila a. Vsaka naslednja stranica je bila za a4 daljπa od prejπnje. IzraËunaj obseg tega πestkotnika.

12 V nekem trikotniku je velikost kota α tri-kratnik nekega πtevila, velikost kota πtirikratnik istega πtevila in velikost kota petkratnik istega πtevila. Koliko merijo

posamezni koti tega trikotnika?

13 Dolæina pravokotnika meri 3s, πirina pa 4s. a) Obseg pravokotnika zapiπi kot enoËlenik. b) IzraËunaj dolæino in πirino pravokotnika, Ëe meri obseg 56 cm.

A D

x x x x x x x x

A B

x 8

A C

x 3 5

3xE

H

F

G

5x

A

D

B

C

3 5

x

NALOGE ZA VAJO

90

Rok je pospravljal frnikule. V vreËke je pakiral enako πtevilo frnikul. V πkatlo je najprej poloæil dve vreËki frnikul, nato pa πe tri vreËke, a je hkrati iz tretje vreËke vzel 5 frnikul.

RAZMISLI Koliko frnikul je imel Rok v πkatli?

5 SE©TEVANJE IN OD©TEVANJE VE»»LENIKOV

Izvedel boš: — kako priπtejeπ veËËlenik,— kako odπtejeπ veËËlenik.

PRI©TEVANJE IN OD©TEVANJE VE»LENIKA

VeËËlenik priπtejemo tako, da oklepaj izpustimo, vsem Ëlenom priπtevanega veËËlenika ohranimo predznake.VeËËlenik odπtejemo tako, da oklepaj izpustimo, vsem Ëlenom odπtevanega veËËlenika spremenimo predznake.

DOGOVOROklepaj izpustimo:− predznake Ëlenov znotraj

oklepaja ohranimo, Ëe je pred oklepajem +;

− predznake Ëlenov znotraj oklepaja spremenimo, Ëe je pred oklepajem −.

POZOR!— (+a) = —a in — (— a) = +a

POZOR!+(+a) = +a in +(— a) = —a

RE©ENA PRIMERA

©tevilo frnikul v vreËki oznaËimo z x, saj ne poznamo toËnega πtevila frnikul v njej. Najprej je Rok poloæil v πkatlo dve vreËki frnikul, kar zapiπemo kot 2x. Nato je poloæil πe tri vreËke in odvzel 5 frnikul, kar zapiπemo 3x — 5. V πkatli je bilo skupaj 2x + (3x — 5) frnikul. Dani izraz poenostavimo.

Priπtevanje veËËlenikov 2x + (3x — 5) =

= 2x + (+3x) + (—5) =

= 2x + 3x — 5 =

= 5x — 5

Odπtevanje veËËlenikov 2x — (3x — 5) =

= 2x — (+3x ) — (— 5) =

= 2x — 3x + 5 =

= —1x + 5

1 IzraËunaj: 4x — 5 + (x + 10). 2 IzraËunaj: 4x — 5 — (x + 10).

Reπitev: Reπitev:

4x — 5 + ( x + 10) = = 4x — 5 — ( x + 10) =

= 4x — 5 + x + 10 = = 4x — 5 — x — 10 =

= 5x + 5 = 3x — 15

Seπtevaj in odπtevaj veËËlenike. DZ − naloga 4.4

91

NALOGE ZA VAJO

1 Poenostavi. a) 2x + (3x — y) b) 2b — (4a — 3b) c) a 2 — (1 — a 2) Ë) (1 + 3x) + (5x + 3) d) (a + 2) — (—a + 3)

2 Najprej poenostavi, nato izraËunaj vrednost izraza za dano vrednost spremenljivke. a) 2x — (x + 1) za x = 3 b) 5x + (4y — 8x) za x = 2 in y = — 4 c) (2c + 3d) — (c + 2d) za c = — 3 in d = — 5

3 Prepiπi v zvezek in dopolni. a) a + b + 5 = a + ( + ) b) a + b — 5 = a + ( ) c) a — x + 3 = a + ( ) Ë) a — x + 3 = a — ( ) d) a — x — 3 = a + ( ) e) a — x — 3 = a — ( )

4 IzraËunaj. a) 3a + (— 5b + a) b) 2x — 1 — (x — 2) c) 5 — ( b + 5) Ë) x — y + (x — y) d) (1 + 3m) — (3 + 5m) e) a + (b — c) + (a — b + c) f) 3 — (n — 3) — (n + 3) g) 5z — 3z 2 — 1 — (2z — 3z 2 + 1) h) — a + b — 4 — (5 + a + b) i) x — (x + 7) — (— x + 6) j) y 2 — (3y — 1) + (— y 2 + 6y + 1)

5 Zapiπi izraz in ga poenostavi. a) Seπtej dvoËlenika 3x — 7y in 5x + 2y. b) Odπtej dvoËËlenika 4 + 3a in 6 — 8a. c) Za koliko je dvoËlenik 9x + 6 veËji od

dvoËlenika x — 2?6 Poenostavi in izraËunaj vrednost izraza.

a) a — b + (3a — 2b) — 5b za a = — 2 in b = — 1 b) — x 2 + (4x — 1) — (x 2 + 4x — 1) za x = — 5 c) (6c 3d 2 — 9b 2) — (6c 3d 2 + 5b 2) za b = — 7,

c = 9 in d = — 3

7 Vsota dveh veËËlenikov je 4x 2 — 7x + 3. IzraËunaj drugi seπtevanec, Ëe je prvi seπtevanec 2x 2 — 9x — 5.

8 Druga stranica trikotnika je dvakrat daljπa od prve, tretja stranica pa je za 5 enot krajπa od druge stranice. DoloËi dolæine posameznih stranic in obseg trikotnika.

9 Zapiπi πtevila ter izraz in poiπËi vsoto dveh πtevil, Ëe je prvo πtevilo za 8x manjπe, drugo pa za 6x veËje od πtevila 13.

10 Zapiπi izraz A — B + C in ga poenostavi, Ëe je A = 9a 2 — 3ab — b 2, B = —a 2 + ab — b 2, C = 2a 2 + 2b 2.

11 Osnovnica enakokrakega trikotnika je za 2 cm krajπa od kraka. Zapiπi stranice trikotnika in nato doloËi obseg tega trikotnika.

ZMOREM TUDI TO

12 Poenostavi. a) 2a — ((a + b) — (2b — a)) b) x — (2y — (2 x — (3y — 2x))) c) 5 — (5 — (2c + d)) — (2c + d) — 5 Ë) 1 + (x 2 — 1) — (— (—x — 1) + 1) d) x — (x — (x + (—x + 1)))

13 Cena pošiljanja paketa se izraËuna po formu-li y = 2x + 15, Ëe x pomeni težo v gramih y pa skupno ceno v evrih. NajveË koliko gramov težek paket lahko pošlješ, Ëe imaš 150 €?

14 Dan je lik, ki je sestavljen iz kvadratnih plošËic s stranico x.

a) S katerimi od prikazanih gradnikov ne moremo popolnoma in brez prekrivanja prekriti celotnega lika, Ëe so tudi gradniki sestavljeni iz kvadratnih plošËic s stranico x?

b) V zvezek preriši prekrivanje lika z vsakim možnim gradnikom. Koliko posameznih grad-nikov potrebujeπ?

A B C D E

92

©pela je morala izraËunati ploπËino pravokotnika s πirino a in dolæino b + c.

RAZMISLI Kako bi zapisal ploπËino tega pravokotnika?

Izvedel boš: — kako mnoæiπ veËËlenik z enoËlenikom.

6 MNOÆENJE VE»»LENIKA Z ENO»LENIKOM

RE©ENA PRIMERA

PloπËino pravokotnika zapiπemo kot produkt dolæine in πirine. Upoπtevajmo dane podatke: dolæina: b + c, πirina: a in zapiπimo ploπËino

p = (b + c) · a ali p = a · (b + c).

Ker imata manjπa pravokotnika skupno πirino, ploπËino zapiπemo kot produkt enoËlenika πirine a z dolæino dvoËlenikom (b + c).

PloπËino velikega pravokotnika doloËimo tudi tako, da seπtejemo ploπËini malih pravokotnikov.

p = a · b + a · c

PloπËini sta enaki, zato velja a · (b + c) = a · b + a · c.

b

b

c

c

a a

b + c

b

b

c

c

a a · b a · c a

1 Pomnoæi. a) 3 · (a + b) b) (2x + 7y) · 5 c) 2x · (3 — 2x + 4y)

Reπitev: a) 3 · (a + b) = 3 · (a + b) = 3 · a + 3 · b b) (2x + 7y) · 5 = (2x + 7y) · 5 = 5 · 2x + 5 · 7y = 10x + 35y

c) 2x · (3 — 2x + 4y) = 2x · (3 — 2x + 4y) = 2x · 3 — 2x · 2x + 2x · 4y = 6x — 4x2 + 8xy = — 4x2 + 6x + 8xy

2 Produkt 2 · (3 + x) ponazori s ploπËinami pravokotnikov.

Reπitev:

3 x 3 x

2 = 2 + 2

·· ·

·

prepoznamo zakon o razËlenjevanju

(3 + x)

2 · (3 + x) = 2 · 3 + 2 · x = 6 + 2 · x

{

MNOŽENJE VE»»LENIKA Z ENO»LENIKOM

VeËËlenik mnoæimo z enoËlenikom tako, da vsak Ëlen veËËlenika pomnoæimo z enoËlenikom: a(b + c + d) = ab + ac + ad

b c d

a a · b a · c a · d

DZ − naloga 4.5

urejen veËËlenik

93

NALOGE ZA VAJO

1 Pomnoæi. Primere a, Ë, g, l ponazori s ploπËinami pravokotnikov.

a) 2(x + y) b) 6(a — b) c) 8(m — n + p) Ë) 3( x + 2y) d) 5( x — 1) e) 7(n — 5) f) (x — 2) · 3 g) (a + 3) · 2 h) (m — 2) · n i) — 2(s + t) j) — 9(g — h) k) — 4(c — d) l) +x(y + 3) m) y(y — 2) n) 3(2x + y — 5) o) a(— a + b — 2c) p) 2(2a — 3b — 4c) r) — 1(2m — 3n + 5o)

2 Pomnoæi. Primere a, c in e ponazori s ploπËinami pravokotnikov.

a) 5a(a + b) b) 3x(y — 1) c) 2m(3m + 2n) Ë) 4b(— b + 3) d) —1(2x — 3y) e) (e + 3) · 6 f) (3a — 1) · 2a g) —m(m + 1) h) 4x(x — 3y + 2z) i) x(x — x 2 + x 3)

3 Razmisli. a) DvoËlenik 3x — 5 pomnoæi z enoËlenikom 2x.

Koliko Ëlenov ima produkt?

b) TriËlenik 2x + 3y — 4 pomnoæi z enoËleni- kom 5. Koliko Ëlenov ima produkt?

c) Poljuben skrËen veËËlenik mnoæimo z eno- Ëlenikom. Koliko Ëlenov ima produkt?

4 Zmnoæi.

a) — 2ab (a — b) b) 3x 2(x — 3)

c) b 2c(b — 2c) Ë) a 2b 3(2a + 3b)

d) 12

x 4(5x — 3xy) e) abc(ab + ac + bc)

f) 4s4(s + t — st — 4)

g) (— 3mn)(2n — 3m — mn + 1)

h) (x 4 — x 3 + x 2 — x + 1)(— x)

5 VeËËlenik X je produkt veËËlenika A z enoËlenikom B.

a) Kakπni so predznaki Ëlenov veËËlenika X, Ëe ima enoËlenik pozitivni predznak?

b) Kakπni so predznaki Ëlenov veËËlenika X, Ëe ima enoËlenik negativni predznak?

6 Poenostavi izraze. a) 3(x — y) + 2x b) 2a + 5(a — 1) c) 7m — 2(3m — 2) Ë) 6n(1 — n) + 4n(n — 1) d) 5(x — y) — 3(2x — 2y) e) 2x — (x — 5) + 3x(2x — 7) f) 2 — 4(2a — 3) — 2a(3a + 3) g) (b — 2) · 5 — (b — 1) · 4 + (b — 3)(—6)

7 Najprej izraz poenostavi, nato izraËunaj njegovo vrednost.

a) 5(4a — 2) — 7a + 4 za a = — 2 b) 2 — (u — 1)(3u) + u 2 za u = 3 c) 4(2x — y) — 3(2y — x) za x = — 1, y = 2 Ë) — 6(— b + 3) — (b — 3) + 3(3b — 1) za b = 1

2

d) 3(10y 2 — 2y — 4) — 6(5y 2 + 4y — 7) za y = — 3 e) 2y(y — z) — 3z(y — z) + 4y(y — 5) za y = 2,

z = — 5

8 Koliko kvadratnih metrov meri plošËina osenËenega dela parcele?

x m

1 m

(x + 4) m

ZMOREM TUDI TO

9 Poenostavi izraze. a) — 2 + 2(x — 2(x — 2)) b) 3(1 — a(a — 1)) + 2(a + 3) c) 2(3(b — 2) —1) + (— (b — 4) · 5) · 6 Ë) 7x 2yz(3xz — 2yz 2) — (5xyz 2 · (4xyz + 5y 2z 2)

+ 8y 3z 2 · (xz 2 — 6xz 3))

10 Dolæina nekega pravokotnika je trikratnik πirine tega pravokotnika. »e πirino tega pravokotnika poveËamo za 2 m, se ploπËina poveËa za 30 m2. Koliko merijo stranice manjπega in koliko stranice veËjega pravokotnika?

11 »e stranico kvadrata zmanjπamo za 2 cm, ima obseg 112 cm. DoloËi dolæine stranic veËjega in manjπega kvadrata.

12 »e od iskanega πtevila odπtejeπ 12 in dobljeno razliko mnoæiπ s 5, dobiπ 10. Katero πtevilo je to?

94

Rok je prebral, da izraze s spremenljivkami imenujemo tudi algebrski izrazi. Pri ©pelinem raËunu ploπËin je opazil pomembno enakost a · (b + c) = a · b + a · c.

RAZMISLI Ali velja ta enakost tudi v obratni smeri?

Izvedel boš: — kako izpostaviπ skupni faktor.

7 IZPOSTAVLJANJE SKUPNEGA FAKTORJA

DOGOVOR»e naloga ne zahteva drugaËe, vedno izpostavimo najveËji skupni faktor.

POZOR!©tevilo Ëlenov v oklepaju je enako πtevilu Ëlenov prvotne-ga veËËlenika.

RE©ENI PRIMER

Spomnimo se ©peline naloge iz prejπnjega poglavja.

V zapisu p = a · b + a · c je ploπËino zapisala kot vsoto dveh Ëlenov, ki vsebujeta faktor a. Lahko binaredila πe en korak in iz vsote izpostavila skupni faktor a.

a · b + a · c = a · (b + c)b

b

c

c

a a · b a · b a

1 V danih izrazih izpostavi skupni faktor. a) 5a + 5b b) 3b — b2 c) 15a + 35b Ë) 6bc — 10ac d) 7xyz + 7y

Reπitev: a) 5a + 5b = 5 · a + 5 · b = 5(a + b)

b) 3b — b2 = 3 · b — b · b = 3 · b — b · b = b · (3 — b)

c) 15a + 35b = 3 · 5 · a + 7 · 5 · b = 3 · 5 · a + 7 · 5 · b = 5 · (3a + 7b)

Ë) 6bc — 10ac = 2 · 3 · b · c — 2 · 5 · a · c = 2 · 3 · b · c — 2 · 5 · a · c = 2c (3b — 5a)

d) 7xyz + 7y = 7xyz + 7y = 7y(xz + 1)

Potence zapiπemo kot produkt.

»e izpostavimo celoten Ëlen, na mestu tega Ëlena zapiπemo 1 (7y = 1 · 7y).

PoiπËemo najveËji skupni delitelj in ga izpostavimo.

IZPOSTAVLJENJE SKUPNEGA FAKTORJA

»e vsi Ëleni veËËlenika vsebujejo enak faktor, skupni faktor izpostavimo in tako vsoto preoblikujemo v produkt.

a · b + a · c = a · (b + c)

a · (b + c) = a · b + a · c

Vsote preoblikuj v produkte. DZ − naloga 4.6

95

1 Izpostavi skupni faktor. a) 3x + 3y b) 7a — 7b

c) 5x — 5y + 5z Ë) ab + ac

d) 2c + 3cd e) 2a — 2 f) a — 3ab g) x 2 + x h) y — y 2 i) x 3 + x j) y 4 — y 2

2 Izpostavi najveËji skupni faktor. a) 6a — 3b b) 12x + 16y

c) 25a — 20 Ë) 12z + 8 d) 8ab — 24ac e) 4x 3 — 4x

3 Najprej izpostavi skupni faktor iz πtevilskih izrazov in nato izraËunaj vrednost izrazov.

a) 57 · 4 + 57 · 6 b) 23 · 22 — 23 · 12 c) 68 · 42 + 68 · 58 Ë) 35 · 23 — 35 · 28

4 Kateri skupni faktorji so v izrazu 6ax + 9xy? a) 6 b) 9 c) x Ë) xy

d) 3 e) 3x f) ax

Izpostavi πe najveËji skupni faktor v danem izrazu.

5 Izpostavi skupni faktor. a) 20a + 25b — 30c b) 16x — 12y + 20z c) u 2v + 3u 2 Ë) 4ab 2 + 8a

d) 9m 2n + 9m 2 e) 4x 3y + 12x 2y 2

f) 6xy + 4yz g) 3a 2 + 6ab + 12a

h) 10x 2y — 2x 2 i) — 9ab + 21a 2b

j) x 3 + x 2 + x k) 30a 3b 4 — 42a 5b 3c

6 Izpostavi faktor — 1. a) — x — 5 b) — 3 — y 2

c) z — 5 Ë) — 2a + 3b

d) 5m + 7n e) — 2c + 3d — 5e f) x 2 — 4x + 5xy g) 4a + 3b — 5c

Primerjaj predznake Ëlenov, zapisanih v okle-paju, s predznaki Ëlenov danega veËËlenika.

7 Prepiπi v zvezek in dopolni. a) 3a — 3b + 3c = · (a — b + c) b) — 6x 3 + 3x 2 —15x = · (— 2 x 2 + x — 5) c) — 10y 2 + 30y = — 10y · ( ) Ë) 42a3b2 + 12a2b3 — 30a2b2 = 6a2b2 · ( )

8 Izpostavi skupni faktor. Kakπna πtevila so koeficienti Ëlenov v oklepaju?

a) 2,4ab + 1,6a 2 — 0,8ab

b) 0,2 a 2b — 0,2 ab 2

c) 12 x +

32 x 2 —

52x 3

Ë) 23ac —

12 abc +

56 acde

9 Prepiπi v zvezek in dopolni. a) 5a 2 + a = · (5a + 4) b) + 12b = 3b · (2b + ) c) 15 c + = 5( + 30) Ë) + 3y + 9xy 2 = · (5x +1 + )

10 ©tevilo uËencev ©pelinega razreda, ki so bili nekega dne d v πoli, oznaËimo z x.

Vsi uËenci so ob novem letu naroËili po en komplet Ëestitk, po en koledar in po eno znaËko Unicefa.

Ceno za en komplet Ëestitk oznaËimo z v, ceno za en koledar s k in ceno za eno znaËko z z.

RazredniËarka je pobrala denar. Ali obstaja kakπna razlika v pobranem znesku, Ëe ga pobira tako, da

a) najprej pobere denar za komplete Ëestitk, nato denar za koledarje in nato denar za znaËke;

b) vsak uËenec hkrati odda denar za komplet Ëestitk, za koledar in za znaËko.

Zapiπi izraza za oba naËina pobiranja in ute-melji, zakaj razlika je oziroma je ni, Ëe so vsi uËenci prinesli denar.

ZMOREM TUDI TO

11 Trimestno število ima števko na mestu sto-tic za ena veËjo od števke na mestu desetic. »e ti dve števki seštejemo, dobimo števko na mestu enic. »e enice in stotice med seboj zamenjamo, dobimo število, ki je za 198 veËje od prvega števila. Kateri dve šte-vili sta to?

NALOGE ZA VAJO

96

Rok si je najprej zamislil kvadratno dno zaboja za stripe, kasneje pa je eno stranico poveËal za 3, drugo pa za 5 enot.

RAZMISLI Kolikπna je nova ploπËina pravokotnega dna?

Izvedel boš: — kako mnoæiπ veËËlenik z veËËlenikom.

8 MNOÆENJE VE»»LENIKOV

MNOŽENJE VE»»LENIKA Z VE»»LENIKOM

VeËËlenik mnoæimo z veËËlenikom tako, da vsak Ëlen enega veËËlenika pomnoæimo z vsakim Ëlenom drugega veËËlenika: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

»e prvotno dolæino stranice kvadrata oznaËimo z x, je dolæina pravokotnika x + 3, πirina pa x + 5.

Nariπimo pravokotnik z Razdelimo ga na manjπe DoloËimo ploπËine manjπih dolæino x + 3 in πirino x + 5. pravokotnike in kvadrate. pravokotnikov in kvadratov.

PloπËina veËjega kvadrata je x 2. PloπËina pravokotnika je 1x. PloπËina manjπega kvadrata je 1.

Velik kvadrat je eden, pravokotnikov je 8 in malih kvadratov 15:

p = x 2 + 5x + 3x + 15

p = x 2 + 8x + 15

Kako torej mnoæimo (x + 3)(x + 5)? (x + 3)(x + 5) = x · (x + 5) + 3 · (x + 5) (x + 3)(x + 5) = x · x + x · 5 + 3 · x + 3 · 5 = = x2 + 5x + 3x + 15 = x 2 + 8x + 15

x

5

3x

x x

1 11 11 11 11

1 1 1

1

x

x1 1

1x

x xx 2

x

5

x

5

3x

3x

x 2 3x

5x 15

ac

a

c

d

b

ad bd

bc

x

x +

5

5

3x

x ·

(x +

5)

3 ·

(x +

5)

97

1 IzraËunaj produkt dvoËlenikov a + 3 in a — 2. Reπitev: Obarvajmo Ëlena prvega veËËlenika. Drugi veËËlenik mnoæimo s prvim Ëlenom

in nato πe z drugim Ëlenom prvega veËËlenika.

(a + 3)(a — 2) =

= a · + 3(a — 2) + a + 3 · (a — 2) =

= a · a + a · (—2) + 3 · a + 3 · (— 2) = Pri mnoæenju pazimo na predznake.

= a 2 — 2a + 3a — 6 = Podobne Ëlene zdruæimo.

= a 2 + 1a — 6 =

= a 2 + a — 6 Rezultat je urejen veËËlenik.

2 IzraËunaj (x — 6)(y + 4). Reπitev: Najprej pokrijemo — 6 in x mnoæimo z obema Ëlenoma v drugem oklepaju. Nato pokrijemo x in — 6 mnoæimo z obema Ëlenoma v drugem oklepaju.

(x — 6)(y + 4) =

= x · y + x · 4 + (— 6) · y + (— 6) · 4 =

= xy + 4x — 6 y — 24 =

= 4x — 6y + xy — 24

3 IzraËunaj produkt dvoËlenika 3x + 2 in triËlenika 2x + 3y — 1.

Reπitev:

(3x + 2) (2x + 3y — 1) =

= (3x + 2) (2x + 3y — 1) = Vsak Ëlen triËlenika pomnoæimo z vsakim Ëlenom dvoËlenika.

= 3x · 2 x + 3x · 3y + 3x · (— 1) + 2 · 2x + 2 · 3y + 2 · (— 1) =

= 6x 2 + 9xy — 3x + 4x + 6y — 2 = Dobimo 6 Ëlenov, ker je 2 · 3 = 6

= 6x 2 + 9xy + x + 6y — 2 »e je moæno, Ëlene zdruæimo in veËËlenik uredimo.

4 IzraËunaj produkt vsote πtevil b in 7 ter razlike istih dveh πtevil.

Reπitev: Zapiπimo izraz po besedilu in ga poenostavimo.

(b + 7)(b — 7) = b · b + b · (— 7) + 7 · b + 7 · (— 7) =

= b 2 — 7b + 7b — 49 = b 2 — 49

+ 3 a +

POZOR!©tevilo Ëlenov v rezultatu je enako produktu med πtevilom Ëlenov obeh veËËlenikov.

RE©ENI PRIMERI

DOGOVOR»lene zapisujemo skupaj s predznaki, med posamezne Ëlene vedno zapiπemo +.

98

1 IzraËunaj produkte dvoËlenikov. Primere a, b, c in Ë πe ponazori s ploπËinami. a) (x + 1)(x + 2) b) (a + 3)(a + 5) c) (b + 4)(b + 7) Ë) (d + 6)(d + 8) d) (x + 1)(x — 2) e) (c + 3)(c — 5) f) (m + 2)(m — 6) g) (k + 2)(k + 5) h) (x —1 )(x + 2) i) (n — 4)(n + 8) j) (t — 5)(t + 4) k) (o — 2)(o + 5) l) (x — 1)(x — 2) m) (s — 3)(s — 9) n) (v — 2)(v — 8) o) (z — 4)(z — 9) p) (x — y)(a + b) r) (2 — a) (a + 4) s) (4 — y)(5 — y)

2 IzraËunaj produkte dvoËlenikov. a) (2x + 1)(3x + 4) b) (3a + 2)(2a — 3) c) (7t — 2s)(5t + 8s) Ë) (5d — 4)(3d — 2) d) (3x + 2y)(2x + 5y) e) (2a + 3b)(4a — 6b) f) (4m — 2n)(5m + 3n) g) (3k — 6m)(5k — 2m) h) (—2z + 1)(3c —1) i) (x 2 — 1)(x — 2) j) (3— y 2)(5 + y) k) (a 2 — b)(2a 2 — 3b)

3 Dolæino pravokotnika a smo poveËali za 2 enoti, πirino b pa smo poveËali za 5 enot.

a) Zapiπi dvoËlenik, ki ponazarja dolæino tega pravokotnika.

b) Zapiπi dvoËlenik, ki ponazarja πirino pravokotnika. c) IzraËunaj ploπËino tega pravokotnika.

4 Pomnoæi. Kaj ugotoviπ, Ëe primerjaπ med seboj dvoËlenika?

a) (x + 3)(x — 3) b) (7 + y)(7 — y) c) (2a + 6)(2a — 6) Ë) (3x — 2y)(3x + 2y)

5 Pomnoæi. Kaj ugotoviπ, Ëe primerjaπ med seboj dvoËlenika?

a) (a — 5)(a — 5) b) (7 + y)(7 + y) c) (2a — 6)(2a — 6) Ë) (3x + 2y)(3x + 2y)

6 Poenostavi izraze. a) (x — 2)(x + 1) — 5

b) 3a + (a — 6)(a — 4) c) 2y — (y + 3)(y — 7) Ë) 6z2 — (2z + 1)(z — 3) d) 3(x — 1) + (2x — 3)(x + 1) e) (b — 1)(b — 2) — (b — 1) · b

f) 5m — (4 — 5m) — (m + 2)(5m — 4) g) (x — 5)(x + 7) — (x + 4)(x — 3)

7 Najprej poenostavi izraze in nato izraËunaj nji-hovo vrednost za dano vrednost spremenljivke.

a) (x + 2)(x — 3) — x 2 za x = — 3

b) 3a 2 — (2a — 1)(a + 3) za a = 2

c) y(y — 2) — (y + 2)(3 — 2y) za y = 12

Ë) 2m(m + 1) + (m — 4)(2m + 3) za m = — 1

d) a(a — b) — (a + b)(2a + 2b) za a = 2; b = — 2

e) (2x + 3y)(y — 2x) — 3y(y + x) za x = 13

; y = 14

8 Pomnoæi veËËlenike.

a) (2a + 3b — 5)(a + 3)

b) (x2 — x + 2)(2x2 — 3x)

c) (x — y — z)(2x — 3z)

Ë) (3m — n + 2u)(2m + 3n — u)

d) (1,2a + 0,3b)(0,5a — 0,3b)

e) (13 x —

12 y)(3x — 2y)

f) (14 a — 2)(3b + 1

3)

g) (— 34 m + 3

2 n)(— 43 m —

23 n)

9 Zapiπi izraz po besedilu in ga poenostavi: a) K razliki πtevil 3x in 5 priπtej produkt vsote

πtevil 2x in 3 ter razlike πtevil 3x in 5. b) Od kvadrata πtevila 2a odπtej produkt πtevila

— 6a z vsoto πtevil a in 4. c) Od trikratnika πtevila — y odπtej 5 in dobljeni

izraz pomnoæi z dvoËlenikom y 2 — 3.

10 Eno stranico kvadrata skrajπamo za 5 enot, drugo pa podaljπamo za 4 enote. DoloËi ploπËino nastalega pravokotnika.

ZMOREM TUDI TO

11 Poenostavi izraze. a) —2 + 2(x — (x — 2)(2x + 2)) b) 3((1 — a)(a — 1) + 2(a + 3)) c) 2(3(b — 2)(b + 2) —1) — (b — 4)(b — 4) Ë) (3xz — 2yz2)(5xyz2 + 4xyz ) — (5y 2z2 + 8y 3z2)

(xz2 — 6xz3)

12 V enakokrakem trikotniku meri osnovnica 3m — 6n, viπina na osnovnico pa 4m — 5n.

a) IzraËunaj ploπËino tega enakokrakega trikotnika.

b) DoloËi ploπËino tega trikotnika za m = 5 in n = 2.

NALOGE ZA VAJO

99

6 T

6 T

3 T

13 T

5 T

2 T

4 T

5 T

5 T

5 T







1 IzraËunaj.

a) 3a 4 · 5a 3 b) 32x 8 : 4x c) (3a 5b)3

Ë) 5b — 9b + 2b d) 5m — 3 + m e) 7a — 2a 2 + 3a — 5a 2

2 Poenostavi izraze.

a) (6a + 7b) + (2a — 9b) b) (— 3x + 7) — (9x — 8) c) (5z 2 + 2z + 1) + (— 5z 2 — 8z + 5)

3 Izpostavi skupni faktor.

a) 20a — 25 b) 14abc + 49b c) 12x 2 + 8x

4 IzraËunaj produkte.

a) 2(5a — 2b) b) 3c(— 5c — 6d + 7) c) (x 2 — x + 1)x 2

Ë) (2a + b)(c + d) d) (x — 3y)(2x — y) e) (4a — 5b)(a + 6b)

f) (u + 3)(u — 3) g) (34 a + 2)(

34 a + 2)

5 Poenostavi izraza.

a) a 2 + (a — 2)(—a + 5) b) 12x — 3 — 4x(5x — 2)

6 IzraËunaj vrednost izraza za dano vrednost spremenljivk.

a) 4ab — 2b — 5a za a = — 3, b = 2

7 Najprej izraz poenostavi in nato izraËunaj njegovo vrednost.

a) (x + 3)(x — 3) — (x — 1)(x — 1) za x = 14

8 Najprej izraz poenostavi in nato izraËunaj njegovo vrednost.

((a — 1)(a + 2) — (a — 3) · a)(a — 1) za a = — 2

9 Od kvadrata vsote πtevil 2x in 4 odπtej produkt vsote in razlike istih dveh πtevil.

Zapiπi izraz in ga poenostavi!

10 Dan je kvadrat s stranico 4x + 3.

a) Zapiπi izraz s spremenljivkami (in ga poenostavi) za obseg tega kvadrata.

b) Zapiπi izraz s spremenljivkami (in ga poenostavi) za ploπËino tega kvadrata.

c) IzraËunaj mersko πtevilo za obseg in ploπËino, Ëe je vrednost spremenljivke x = 3.

(1 t) (1 t) (1 t)

(2 t) (2 t) (2 t)

(2 t)

(3 t) (2 t)

(2 t)

ŠPELA SE PREIZKUSI

100

6 12345

123456789

123456789012

12345678901234567

0 1234567890123456789

3456789012345678901234567

45678901234567890123456789012

89012345678901234567890 123456789

6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6

90 123456789012345678901234567890 1234567

89012345678901234567890123456789012345678

890 123456789012345678901234567890 12345678901234

9012345678901234567890123456789012345678901234567

7890 123456789012345678901234567890123456789012345678901

01234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678

234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

56789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890

4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4

67890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012

567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456

678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456789

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

23456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123

1 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678 9 01 2 3

34567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123

34567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

34567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123

45678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

5678901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

0 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890

9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 0

1234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

01234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

2345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678901234

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678

789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678

8901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

78901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678901

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345

5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6

5678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456

67890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

5678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345

78901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

45678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345

789012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678

901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123

2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4

345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

2345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123

45678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

2345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012

456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01

012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890

23456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

9012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890123

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789

789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

6789012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234567

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

45678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345

6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 67

56789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345

890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345

67890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

78901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234

45678901234567890123456789012345678901234567890 12345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890

6789012345678901234567890 12345678901234567890123

89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5

456789012345678901234567890 1234567890123

890123456789012345678901234567890

12345678901234567890 123456789012

67890123456789012345678901

8901234567890123456789012

678901234567890 12345

12345678901234567

8901234567890

5 6789 01 2

6789078

NEKOČ IN DANES

Eden najbolj zgodnjih primerov uporabe

koordinat je egipčanska zvezdna karta,

kjer so višine zvezd prikazane kot zaporedje

koordinat, pravokotnih na ure kot drugo

zaporedje koordinat.

Na zemljevidih so koordinate

podane z geografsko širino

in dolžino, na mestnih načrtih

pa s črkami oziroma števikami

stolpcev in vrstic, podobno kot

pri šahu.

René Descartes (1596—1650), je bil francoski

matematik, njegov latinski vzdevek pa je bil

Cartesius. Po njem je dobil ime koordinatni

sistem, ki se imenuje kartezični koordinatni

sistem. Ideja o koordinatnem sistemu se

mu je porodila zjutraj, v postelji, ko je na

stropu opazoval muho, ki je krožila po zraku.

Domislil se je, da lahko v vsakem trenutku

določi položaj muhe, če pozna tri med seboj

pravokotne ravnine, ki se sekajo v eni točki.

Svoja spoznanja je izdal v knjigi Geometrija.

Stari Grki so se pri svojih

potovanjih po morju orientirali

po soncu in zvezdah, za kar

je bilo potrebno zelo natančno

merjenje in poznavanje njihovih

koordinat na nebu.

102

445678

12345678

4567890123456

234567890 1234

45678901234567890123

7890 12345678901234567890

012345678901234567890123456

12345678901234567890 123456789012

1 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01

1234567890123456789012345678901234567890

9012345678901234567890123456789012345678

23456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890

1

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345

567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012

789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

9012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234

9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789

0 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890123456789

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

78901234567890 123456789012345678901234567890

1234567890123456789

901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678

7 89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678

7890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

45678901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567

67890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

5678901234567890 123456789012345678901234567890

1234567890123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345

5 678 9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6

4567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

12345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

2345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901234

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012

3 4 5 678 9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4

234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

9012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

012345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

45678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

90 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890

01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2

901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890

901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

123456789

8901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

12345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

67890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567

89 01 2 3 4 5 678 9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789

678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

56789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

123456

5678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567

9012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

4567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901234

6789 01 2 3 4 5 67 89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 67

45678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 12345

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

3456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

1234

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567

8901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

1234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456789012

3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5

12345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 12

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

0123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

1

0123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012

456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

8901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456789

1 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678 9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3

89012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890

7890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

34567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

78901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012

34567890123456789012345678901234567890123456789012345

9012345678901234567890 12345678901234567890123456

3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 0

78901234567890123456789012345678901234567

7890123456789012345678901234567890

567890123456789012345678901234567

345678901234567890123456789

23456789012345678901234567

901234567890 123456789

67890123456789012

12345678901234

01 2 3 4 5 678

90123478

FUNKCIJE IN SORAZMERJA1 KOORDINATNI SISTEM

2 MEDSEBOJNO ODVISNE KOLI»INE

3 PONAZARJANJE ODVISNOSTI KOLI»IN

4 PREMO SORAZMERJE

5 GRAFI IN ENA»BE PREMEGA SORAZMERJA

6 ODSTOTNI RA»UN IN PREMO SORAZMERJE

7 OBRATNO SORAZMERJE

8 GRAFI IN ENA»BE OBRATNEGA SORAZMERJA

9 EMPIRI»NE RAZISKAVE

©PELA SE PREIZKUSI

Pri natančnem obdelovanju

materialov stroje pogosto

krmilimo s pomočjo koordinat.

V moderno zasnovanih

mestih in naseljih se ni težko

orientirati, saj ulice tvorijo

pravokotno mrežo.

Znesek za plačilo običajno

raste premo sorazmerno s

količino.

103

1 KOORDINATNI SISTEM

Rok je bil na ekskurziji v orodjarski delavnici. Posebej zanimiv se mu je zdel raËunalniπko krmiljen koordinatni vrtalni stroj. Operater je vnesel koordinate lukenj, stroj pa je luknje samodejno izvrtal. Nekatere koordinate so bile negativne.

RAZMISLI Kako v koordinatni ravnini ponazorimo toËko, ki ima za eno ali za obe koordinati negativni πtevili?

PRAVOKOTNI KOORDINATNI SISTEM

Pravokotni koordinatni sistem je sestavljen iz dveh med seboj pravokotnih premic:— vodoravne koordinatne osi (abscisna os), ki jo oznaËimo z x,— navpiËne koordinatne osi (ordinatna os), ki jo oznaËimo z y,— koordinatnega izhodiπËa O(0, 0), ki je preseËiπËe obeh osi.

Izvedel boš: — kako upodobiπ toËko z danima koordinatama v koordinatnem sistemu,— kako doloËiπ koordinate toËke, narisane v koordinatnem sistemu.

V sedmem razredu smo na vodoravni in na navpiËni πtevilski osi prikazali le pozitivna πtevila. Tokrat pa prikaæimo πe negativna πtevila. Ker leæijo na πtevilski osi negativna πtevila nasproti pozitivnim, nariπemo slike negativnih πtevil: — na vodoravni πtevilski osi levo od slike πtevila niË; — na navpiËni πtevilski osi pod sliko πtevila niË.

»e æelimo, da bo poljubno toËko v ravnini lahko narisal kdorkoli, ravnino opremimo s pravokotnim koordinatnim sistemom.

Poglejmo, kako je sveder izvrtal luknje.

Za luknjo A(1, 3) se je sveder iz izhodiπËa premaknil 1 enoto v desno in 3 enote navzgor.

Za luknjo B(— 2, 4) se je sveder iz izhodiπËa premaknil 2 enoti v levo in 4 enote navzgor.

Za luknjo C(3, — 4) se je sveder iz izhodiπËa premaknil 3 enote v desno in 4 enote navzdol.

Za luknjo D(— 2, — 5) se je sveder iz izhodiπËa premaknil 2 enoti v levo in 5 enot navdol.

1

2

3

-2 -1 0 1 2 3

x

-1

-2

-3

-3

yordinatna os

koordinatnoizhodiπËe

abscisna os

B(-2, 4)

A(1, 3)

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2 3

x

-1

-2

-3

-4C(3, -4)

-5D(-2, -5)

-3

y

DOGOVORV koordinatnem sistemu obvezno oznaËimo izhodiπËe in enoto na posamezni osi.

1x

y

0

1

104

POZOR!(2, − 6) (− 6, 2)V urejenem paru je pomemben vrstni red.

POZOR!Obstajajo tudi drugaËni koordinatni sistemi npr. poševni koordinatni sistem.

RE©ENI PRIMERI

Koordinatni osi razdelita ravnino na πtiri kvadrante (kvadrant je latinsko Ëetrtina).

1

1

y

x

II. kvadrant

0

I. kvadrant

III. kvadrant IV. kvadrant

x < 0 y > 0 x > 0 y > 0

x < 0 y < 0 x > 0 y < 0

Kakπne so koordinate toËk T(x, y) v posameznih kvadrantih?

V I. kvadrantu so abscise x pozitivne, ordinate y pa tudi pozitivne: x > 0 in y > 0.V II. kvadrantu so abscise x negativne, ordinate y pa pozitivne: x < 0 in y > 0.V III. kvadrantu so abscise x negativne, ordinate y pa tudi negativne: x < 0 in y < 0.V IV. kvadrantu so abscise x pozitivne, ordinate y pa negativne: x > 0 in y < 0.

1 V koordinatnem sistemu nariπi toËko F, ki ima y = — 3 in x = 2. Reπitev: Najprej zapiπimo urejen par (2, — 3). V urejenem paru je vedno na prvem mestu abscisa x,

na drugem mestu pa ordinata y. Nariπimo koordinatni sistem. Na osi x oznaËimo sliko πtevila 2 in skozi oznaËeno toËko nariπemo vzporednico z osjo y (slika 1).

Vse toËke, ki leæijo na tej premici, imajo koordinato x je 2, mi pa iπËemo tisto, ki ima koordinato y je — 3, zato na osi y oznaËimo sliko πtevila — 3 in skozi oznaËeno toËko nariπemo vzporednico z osjo x (slika 2). Vse toËke, ki leæijo na tej premici, imajo koordinato y je — 3. Tam, kjer se obe premici sekata, leæi toËka F(2, — 3) (slika 3).

1

1

— 1

— 2

— 3

0 x

y

210 x

y

2 1

1

— 1

— 2

— 3F (2, — 3)

0 x

y

2

1

1

— 1

— 2

— 3

— 4

— 5

— 6 T1 (2, — 6)

T2 (— 6, 2)

0 x

y

2

2

— 6

KOORDINATE TO»KE

Vsaka toËka T(x , y) je v koordinatnem sistemu enoliËno doloËena z urejenim parom (x , y). T(x , y)

Prva koordinata je abscisa. Druga koordinata je ordinata.

1 x0

T (x0, y

0)

y0

x

y

1

0

105

2 OdËitaj koordinate toËk A, B, C in D. Reπitev:

Reπitev: OdËitati koordinate dane toËke T(x, y) pomeni doloËiti urejeni par (x, y), pri Ëemer je prva koordinata

x, druga koordinata pa y. Predznak prve koordinate pove, ali leæi toËka levo ali desno od πtevila niË. Predznak druge koordinate

pove, ali leæi toËka navzgor ali navzdol od πtevila niË. Ker toËki A in C leæita na koordinatnih oseh, je ena od koordinat enaka niË, zato koordinate kar takoj odËitamo: A(— 1, 0); C(0, 1).

Iz toËk, ki ne leæijo na koordinatnih oseh, nariπemo pravokotnici na koordinatni osi in nato odËitamo koordinate B(— 3, — 2); D(1, 2).

3 Ponazori v ravnini mnoæice toËk, za katere velja: a) y — 2 b) x > — 1

Reπitev: a) Najprej poiπËemo vse toËke, ki imajo y enak — 2, torej leæijo na premici y = — 2. Pogoju y — 2 ustrezajo toËke, ki imajo y enak ali manjπi od — 2, zato jih ustrezno obarvamo. Omenjene toËke doloËajo polravnino.

b) Najprej poiπËemo vse toËke, ki imajo x enak — 1, torej leæijo na premici x = — 1. Pogoju x > — 1 ustrezajo toËke, ki imajo x veËji od — 1, zato jih ustrezno obarvamo. ToËke, ki leæijo na premici x = — 1, ne ustrezajo reπitvi, zato jih oznaËimo Ërtkano.

1

1

A

y

x

0

D

B

C

1

1

A

y

x

0

D

B

C

2-2-34 -1

2

1

-2

1

1

— 2y — 2

y = — 2

0 x

y

1— 1

1

0 x

y

2

2

x > — 1

106

1 Nariπi koordinatni sistem in v njem toËke z danima koordinatama.

a) A(2, 1) B(— 2, 3) C(— 3, — 3) D(0, 4) E(3, — 2) F(5, 0)

b) A(1,5; — 2) B(— 0,4; — 1,6) C(— 0,8; 3) D(1,4; 2,5)

2 V koordinatni ravnini poiπËi sliko toËke G, ki ima ordinato 2, absciso pa — 5.

3 Zapiπi koordinate narisanih toËk.

4 Nariπi. a) Koordinatni sistem in v njem toËke: A (— 4, 2) B (3, 2) C (1,5; 3,5) D (— 2,5; 3,5) E (— 2; 3,5) F (— 1; 3,5) G (— 1; 4,5) H (— 2; 4,5) I (— 3,5; — 4) J (2,5; — 4) K (2,5; 2) L (— 3,5; 2) M (— 2, 0) N (— 0,5; 0) O (— 0,5; 1,5) P (— 2; 1,5 ) R (0, — 4) S (2, — 4) T (2, — 0,5) U (0, — 0,5)

b) Lomljenke ABCDA, FGHE, LIJK,

MNOPM, STUR tako, da poveæeπ zapisane toËke.

5 Nariši. a) ToËko N z absciso 3 in ordinato — 2. b) ToËko G, ki ima absciso za 1 veËjo kot toËka N, ordinato pa za 1 manjπo kot toËka N.

6 Nariši in zapiši. a) V koordinatni sistem nariπi kvadrat, ki ima stranico dolgo 3 enote ter ogliπËi A(— 2, — 1) in B(1, — 1). Koliko reπitev ima naloga?

b) Zapiπi koordinate toËk C in D.

7 Ponazori mnoæice toËk v ravnini, za katere velja:

a) x = — 2 b) x = 5 c) x = 0 Ë) y = 4 d) y = — 3 e) y = 0

8 Ponazori mnoæice toËk v ravnini, za katere velja:

a) x — 2 b) x 5 c) — 4 x 3 Ë) y < 3 d) y > — 1 e) — 2 y 3

9 Nariši in zapiši. a) Nariπi daljico, ki ima krajiπËi A(— 1, — 4) in B(4,1).

b) Zapiπi koordinati toËke C, v kateri dana daljica seka ordinatno os.

c) Zapiπi koordinati toËke D, v kateri dana daljica seka abscisno os.

10 Razmisli. a) Poglej koordinati toËke in toËke razvrsti po kvadrantih, v katerih leæijo.

A(4, — 2), B(5, 3), C(— 4, — 2), D(2, — 6), E(— 1, — 5), F(— 5, 4), G(3, 5), H(— 3, 1) b) Opiπi pogoje za absciso toËke in ordinato

toËke v posameznem kvadrantu.

11 V koordinatnem sistemu nariπi toËko T(— 3, 1).

a) Zapiπi koordinati toËke D, ki je zrcalna slika toËke T Ëez abscisno os.

b) Zapiπi koordinati toËke P, ki je zrcalna slika toËke T Ëez ordinatno os.

c) Zapiπi koordinati toËke M, ki je zrcalna slika toËke T Ëez koordinatno izhodiπËe.

ZMOREM TUDI TO

12 Dana je toËka T((a + 3),(a — 1). RazišËi pri kateri vrednosti a bo toËka T ležala

na ordinatni osi. Zapiši koordinate toËke T.

x

F

G

M

K

N

J

P

I

L

H

y

1 2 3 4 5 60—1—2—3—4—5—6

1

—1

—2

—3

—4

—5

—6

2

3

4

5

6

NALOGE ZA VAJO

107

©pelina babica je na podboj vrat πtirikrat letno zarisovala telesne viπine svojih vnukov. ©peli je prigovarjala: bolj kot si visoka, bolj si pametna. ©pela se je zamislila, saj je v njenem razredu uËenec, ki najveË zna, po telesni viπini najmanjπi.

RAZMISLI Ali sta telesna viπina in inteligentnost v medsebojni odvisnosti?

Izvedel boš: — katere koliËine so konstantne in katere spremenljive,— kdaj sta dve koliËini medsebojno odvisni.

2 MEDSEBOJNO ODVISNE KOLI»INE

Viπina podboja je vseskozi enaka, njena vrednost se ne spreminja, zato reËemo, da je konstantna.Viπina posameznega vnuka se spreminja (ker nihËe od vnukov ni starejπi od 14 let), dokler otrok raste se njena vrednost veËa, zato reËemo, da je spremenljiva.

Veliko vrednosti konstantnih koliËin æe poznamo: razdalje med kraji so zapisane na obcestnih tablah, veliko konstant pa je zapisanih v raznih priroËnikih.

Posebej zanimive za prouËevanje so koliËine, ki spreminjajo svoje vrednosti. Babica je spremljala spre-minjanje vrednosti telesne viπine posameznega vnuka v dovolj velikih Ëasovnih razmikih, da je zaznala veËanje telesne viπine.

Telesna viπina posameznega vnuka in Ëas sta med seboj odvisni koliËini, ker spremembi druge koliËine sledi sprememba prve koliËine.

Telesna viπina ne vpliva na inteligentnost, zato ti dve koliËini nista odvisni. »e se spremeni telesna viπina Ëloveka, ni nujno, da se spremeni inteligentnost Ëloveka.

Pogosto so medsebojno odvisne fizikalne koliËine, npr. Ëas in pot pri premem gibanju, hitrost in pot pri enakomerno pospeπenem gibanju ... Tudi koliËine iz geometrije so v medsebojni odvisnosti: — obseg lika je odvisen od dolæine stranic tega lika, — povrπina kocke je odvisna od velikosti roba kocke, — ploπËina romba je odvisna od dolæine stranice in viπine ...

KOLI»INE

Konstante so koliËine, ki imajo stalno (konstantno) vrednost.Spremenljivke so koliËine, ki spreminjajo svojo vrednost.

SPREMENLJIVKE

Pare spremenljivk delimo v dve skupini: − medsebojno odvisni koliËini se spreminjata v odvisnosti druga od druge,− medsebojno neodvisni koliËini se ne spreminjata v odvisnosti druga od druge.

POMNIHitrost svetlobe v vakumu je pribliæno 300 000 km/s. Viπina Triglava je 2864 m.

DOGOVORMedsebojno odvisne koliËine imenujemo kar odvisne koliËine.

108

NALOGE ZA VAJO

RE©ENI PRIMERI

1 Ugotovi, ali so dani pari koliËin medsebojno odvisni. a) Prevoæena razdalja in porabljeno gorivo. b) Dolæina stranice trikotnika in obseg trikotnika. c) ©tevilo prodanih izdelkov in zasluæek. Ë) Barva avtomobila in najveËja doseæena hitrost avtomobila. d) Dan v tednu in vreme. e) Masa πtruce kruha in njena cena. f) ©tevilo pleskarjev in Ëas, v katerem prepleskajo stanovanje. g) ©tevilo in kvadrat tega πtevila.

Reπitev: a) odvisni, b) odvisni, c) odvisni, Ë) neodvisni, d) neodvisni, e) odvisni, f) odvisni, g) odvisni

1 Ugotovi ali je koliËina konstantna ali spre-menljiva.

a) Masa 1 litra vode v zaprti posodi. b) Masa 1 litra vode v odprti posodi. c) »as, ki ga ©pela porabi za pot do πole. Ë) Dolæina Rokove poti od doma do πole. d) Prostornina kvadra. e) Hitrost svetlobe. f) Viπina Triglava.

2 Ali sta koliËini medsebojno odvisni? a) Masa kruha in cena istega kruha. b) Telesna viπina Ëloveka in barva njegovih oËi. c) Nosilnost vrvice za perilo in koliËina perila, ki ga obesimo nanjo. Ë) ©tevilo pravilnih odgovorov in ocena pri

istem testu. d) Dolæina roba kocke in prostornina kocke. e) NajveËja dovoljena hitrost na cesti in

znamka avtomobila.

3 H koliËini iz prvega stolpca poiπËi odvisno

koliËino iz drugega stolpca.

a) Dolæina stranice pravokotnika 1) obseg kroga. b) ©tevilo delovnih ur 2) ploπËina pravokotnika. c) ©tevilo kepic sladoleda 3) plaËilo za opravljeno delo. Ë) Dolæina polmera kroga 4) barva kepic sladoleda. 5) barva pravokotnika. 6) debelina kroænice. 7) znesek plaËila za sladoled.

4 Prepiπi izjave v zvezek in jih nadaljuj. a) Obseg kvadrata o je odvisen od ... b) PloπËina kvadrata p je odvisna od ... c) Obseg enakostraniËnega trikotnika o je odvisen od ... Ë) Obseg raznostraniËnega trikotnika o je odvisen od ... d) Obseg enakokrakega trikotnika o je odvisen od ... e) Prostornina kocke V je odvisna od ... f) Prostornina kvadra V je odvisna od ... g) PloπËina trikotnika p je odvisna od ...

5 Zapiπi tri dvojice medsebojno odvisnih koliËin.

6 Zapiπi tri dvojice medsebojno neodvisnih koliËin.

7 Maratonci vsako leto teËejo iz Celja v Logarsko dolino. Tekmovanja so se udeleæi-li Jure in njegovi πtirje prijatelji.

IzraËunaj povpreËen Ëas teka vseh petih prijateljev, katerim so izmerili naslednje Ëase:

6 ur 12 min 6 ur 32 min 6 ur 43 min 7 ur 24 min 7 ur 49 min

109

Vrata in podboj je bilo potrebno prebarvati. Ker babica ni hotela izgubiti dragocenih podatkov o viπini svojih vnukov, jih je prenesla v preglednico.

mesec

6 let 13 let

dec. mar. junij sept. dec.

tel. viπina (cm)

82 87 90 92 94

mesec dec. mar. junij sept. dec.

tel. viπina (cm)

142 148 148 150 150

RAZMISLI Bi znal s podatki v preglednici narisati graf?

3 PONAZARJANJE ODVISNOSTI KOLI»IN

Izvedel boš: — kako doloËiπ odvisno in kako neodvisno spremenljivko,— kako odvisnost med koliËinama prikaæeπ s preglednico, z enaËbo in z grafom (po toËkah).

Kot smo se æe nauËili v prejπnjih poglavjih, nariπemo koordinatne osi, jih oznaËimo in za vsak par koliËin nariπemo toËko.

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

mar jun sept dec mar jun sept decmesec

telesna viπina (cm)

©PELA6 let

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

mesec

telesnaviπina (cm)

©PELA13 let

Iz babiËinih zapiskov lahko preberemo veliko podatkov. Poglejmo nekatere. ©pela je pri πestih letih ob vsaki meritvi nekoliko zrasla. V enem letu je zrasla za 12 cm. ©pela je pri trinajstih letih rasla poËasneje, zato se njena telesna viπina ob nekaterih meritvah ni spreminjala. V enem letu je zrasla za 8 cm.

110

PONAZARJANJE ODVISNIH KOLI»IN

Medsebojno odvisnost koliËin prikaæemo na veË naËinov: s predpisom, s tabelo, z enaËbo, z grafom ali z diagramom.

V dvojici medsebojno odvisnih koliËin je ena koliËina neodvisna spremenljivka(vrednosti si izbiramo), druga pa odvisna spremenljivka (vrednosti izraËunamo).

POZOR!Pri medsebojno odvisnih koliËi-nah je z izbiro prve koliËine natanËno doloËena tudi druga koliËina. Velja tudi obratno.

RE©ENI PRIMER

KoliËini telesna viπina otroka in Ëas meritve sta med seboj odvisni.»as meritve je neodvisna spremenljivka, saj si je babica sama izmislila, kdaj bo meritve opravljala.Telesna viπina otroka je odvisna spremenljivka; Ëe bi si babica izbrala druge mesece meritve, bi dobila druge podatke za telesne viπine posameznega vnuka.

Babica je medsebojno odvisni koliËini ponazorila s preglednico, mi smo jih z grafom, lahko pa jih pon-azorimo tudi z enaËbo ali diagramom.

1 Dolæina stranice kvadrata in obseg kvadrata sta medsebojno odvisni koliËini. Prikaæi odvisnost med koliËinama na razliËne naËine.

Reπitev: Dolæina stranice je neodvisna spremenljivka, saj si lahko poljubno izbiramo dolæino stranice. Obseg kvadrata je od dolæine stranice odvisna spremenljivka, saj je s tem, ko si izberemo dolæino

stranice, obseg kvadrata toËno doloËen (πtirikratnik dolæine stranice).

1. predpis: Obseg kvadrata je πtirikratnik dolæine stranice.

2. preglednica:

dolæina stranice (cm) 1 2 3 4 1,5 0,5 1

4

5

4

· 4

obseg (cm) 4 8 12 16 6 2 1 5

3. enaËba: o = 4 · a

Ponovi prikazovanje koliËin. DZ − naloga 5.1

111

4. graf: Urejene pare iz preglednice ponazorimo v koordinatnem sistemu. Na vodoravno os obiËajno nanaπamo neodvisno spremenljivko, na navpiËno os pa odvisno spremenljivko.

»e bi izraËunali obseg kvadrata pri vseh mogoËih stranicah (za vsako novo izbrano vrednost dolæine

stranice bi bil obseg toËno doloËen), potem bi vse tako dobljene toËke leæale na istem poltraku.

1

2

3

4

5

6

7

8

stranica a (cm)

obseg o (cm)

0 1 2 3 4 5

14

12

54

1,5

T2

T3

T6

T1

T4

T5 1

2

3

4

5

6

7

8

stranica a (cm)

obseg o (cm)

0 1 2 3 4 5

14

12

54

1,5

T2

T3

T6

T1

T4

T5

1

2

3

obseg o

o = 4 · a ➙ a =

(cm)

dolæinastranice a (cm)

0 1 2 3 4 5 6

12

7 8

4o

1 V danem pravokotniku sta dolæina in πirina v medsebojni odvisnosti. Zapiπi odvisnost za posamezni primer z matematiËnimi znaki.

a) Dolæina a je dvakratnik πirine b.

b) Dolæina a je za 2 daljπa od πirine b.

c) Dolæina a je dvakrat krajπa od πirine b.

Ë) Dolæina a je za 2 krajπa od πirine b.

2 Kateri zapis prikazuje medsebojno odvis-nost obsega enakostraniËnega trikotnika od stranice?

a) Obseg je πtirikratnik stranice. b) Obseg je trikratnik stranice. c) Obseg je stranica, poveËana za tri. Ë) Obseg je stranica, zmanjπana za tri.

dolæ

ina

stra

nice

(cm

)

obse

g (c

m)

toËk

e

1 4 T1(1, 4)

2 8 T1(2, 8)

3 12

4 16

1,5 6 T3(1,5; 6)

0,5 2 T4(0,5; 2)

1

41 T5(

1

4, 1)

5

45 T6(

5

4, 5)

ZAMENJAVE VLOG ODVISNIH KOLI»IN

V primerih, ko izbrani vrednosti prve koliËine pri-redimo natanko eno vred-nost druge koliËine, lahko odvisni koliËini med seboj zamenjata vlogi.

NALOGE ZA VAJO

112

3 UËiteljica je izostanke uËencev v prejπnjem tednu prikazala v diagramu s stolpci.

a) Koliko uËencev je manjkalo ob posameznih dnevih?

b) Ali sta koliËini izostanek od pouka in dan v tednu v kakπni medsebojni odvisnosti?

4 Spremenljivki x in y sta med seboj odvisni: y je trikratnik x.

a) Preriπi preglednico v zvezek in jo dopolni.

x — 2 — 1 0 1 2 3

y

b) Izpiπi urejene pare in jih prikaæi v koordinatnem sistemu.

c) Odvisnost med spremenljivkama x in y zapiπi z enaËbo.

5 ©tevili a in b sta medsebojno odvisni: b je za 3 manjπe od dvakratnika a. a) Sestavi preglednico in dopolni vrednosti

spremenljivke b, Ëe je a { -3 , -2, -1, 0, 1, 2}. b) Izpiπi urejene pare in jih prikaæi v koordinat-

nem sistemu. c) Odvisnost med spremenljivkama a in b

zapiπi z enaËbo.

6 Katera preglednica pravilno prikazuje med-sebojno odvisnost obsega enakostraniËnega trikotnika od stranice?

a) a (cm) 3 6 9 12

o (cm) 1 2 3 4

b) a (cm) 30 60 30 40

o (cm) 10 20 90 120

c) a (cm) 1 a 3 4

o (cm) 2 6 9 12

7 Kateri diagram pravilno prikazuje medse-bojno odvisnost obsega enakostraniËnega trikotnika od stranice?

a) b) c)

8 Kateri graf pravilno prikazuje medsebojno odvisnost obsega enakostraniËnega trikot-nika od stranice?

a) b) c)

9 Spremenljivka y je za ena veËja od kvadrata πtevila x.

a) Sestavi preglednico in dopolni vrednosti spremenljivke y,

Ëe je x {— 2, — 1, 0, 1, 2, 12 , − 1

2 }. b) Izpiπi urejene pare in jih prikaæi v koordinatnem sistemu. c) Odvisnost med spremenljivkama x in y

zapiπi z enaËbo.

10 Zapiπi obseg in ploπËino danega pravokot-nika.

11 Katera enaËba pravilno prikazuje medse-bojno odvisnost obsega enakostraniËnega trikotnika od stranice?

a) a = 3 · o b) o = 3 · a c) o = a + 3 Ë) a = o + 3

pon. tor. sre. Ëet. pet.

πtevilouËencev

dan

3

2

1

1

2

1 2 3 4 a(cm)

3

4o (cm)

3

6

1 2 3 4 o(cm)

9

12a (cm)

1

5

1 2 3 4 a(cm)

10

o (cm)

2x

3x

10

20

30

40

50

60

70

1 2 3 4 a (cm)

o (cm)

2

4

6

8

10

12

14

2 4 6 8 a (cm)

o (cm)

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 o (cm)

a (cm)

113

Babica za vnuke πe vedno kupuje Ëokoladne bonbone. Cena bonbonov se ni spremenila. Prejπnji teden je za 12 bonbonov plaËala 3,60 €, ta teden pa za 36 enakih bonbonov 10,80 €.

RAZMISLI Kolikokrat se spremeni znesek plaËila, Ëe spremenimo πtevilo bonbonov?

4 PREMO SORAZMERJE

Izvedel boš: — kdaj sta dve koliËini v premo sorazmerni odvisnosti,— da je koliËnik dveh premo sorazmernih koliËin stalen.

PREMO SORAZMERJE

KoliËini sta premo sorazmerni, kadar sta v takπni odvisnosti, da tolikokrat kot se poveËa (ali zmanjπa) prva koliËina, tolikokrat se poveËa (ali zmanjπa) tudi druga koliËina.

KOLI»NIK

KoliËnik dveh premo sorazmernih koliËin je stalen in pove πtevilsko vrednost za enoto.

Kako sta torej odvisni koliËini πtevilo bonbonov in znesek plaËila?»e se πtevilo bonbonov 3-krat poveËa, se tudi znesek plaËila zanje 3-krat poveËa.»e se πtevilo bonbonov 2-krat poveËa, se tudi znesek plaËila zanje 2-krat poveËa. »e se πtevilo bonbonov 2-krat zmanjπa, se tudi znesek plaËila zanje 2-krat zmanjπa.»e se prva koliËina n-krat poveËa, se tudi druga koliËina n-krat poveËa.»e se prva koliËina n-krat zmanjπa, se tudi druga koliËina n-krat zmanjπa.

Tolikokrat kot se poveËa (ali zmanjπa) πtevilo bonbonov, tolikokrat se poveËa (ali zmanjπa) znesek plaËila.

Kadar za dve koliËini velja omenjena odvisnost, sta koliËini premo sorazmerni.

IzraËunajmo πe koliËnike med zneskom plaËila in πtevilom bonbonov.

3,60 € : 12 = 0,30 €; 10,80 € : 36 = 0,30 €; 7,20 € : 24 = 0,30 €; 1,80 € : 6 = 0,30 €

KoliËnik pove ceno za en bonbon in je enak ne glede na to, kako si izbiramo πtevilo kupljenih bonbonov in koliko za te bonbone plaËamo.

: 2 : 2· 2· 2· 3 · 3

12 bonbonov 3,60 €





6 bonbonov 1,80 €

RaziπËi odvisnosti premo sorazmernih koliËin. DZ − naloga 5.2

114

NALOGE ZA VAJO

RE©ENA PRIMERA

1 ©ola je za 6 DVD-predvajalnikov plaËala 414 €. Koliko stane 7 takih predvajalnikov?

Reπitev: Najprej ugotovimo, koliko stane en predvajalnik. Nato doloËimo ceno 7 predvajalnikov. Reπitev doloËimo v πtirih korakih: sklepanje, zapis raËuna, izraËun, odgovor. Najprej sklepamo iz mnoæine na enoto.

6 predvajalnikov 414 € Sklepamo: 1 predvajalnik stane 6-krat manj kot πest predvajalnikov Zapiπemo raËun: 414 : 6 IzraËunamo: 414 : 6 = 69 Odgovorimo: Ena predvajalnik stane 69 €. 1 predvajalnik ? €

Nato sklepamo iz enote na drugo mnoæino.

1 predvajalnik 69 € Sklepamo: 7 predvajalnikov stane 7-krat toliko kot en predvajalnik Zapiπemo raËun: 69 · 7 IzraËunamo: 69 · 7 = 483 Odgovorimo: Sedem predvajalnikov stane 483 €. 7 predvajalnikov ? €

2 Za pet majic plaËamo 130 €. Koliko plaËamo za dvajset takih majic?

Reπitev: VËasih lahko iz ene mnoæine sklepamo na drugo mnoæino.

5 majic 130 € 5 majic stane 130 €. 20 je 4-krat 5. Sklepamo: 20 majic stane 4-krat veË kot pet majic. Zapiπemo raËun: 130 · 4 IzraËunamo: 130 · 4 = 520 20 majic ? € Odgovorimo: Za 20 takih majic plaËamo 520 €.

: 6 : 6

· 7 · 7

· 4 · 4

1 Kateri primeri prikazujejo premo sorazmerni koliËini?

a) »e za 3 kg banan plaËamo 4,50 €, za 1 kilo-gram banan plaËamo 1,50 €.

b) »e za 2 kg orehov plaËamo 6 €, za 8 kg orehov plaËamo πtirikrat veË.

c) »e se dvakrat dlje uËimo, dobimo dvakrat viπjo oceno.

Ë) »e Ëas merjenja temperature zraka trikrat zmanjπamo, bo tudi izmerjena temperatura zraka trikrat manjπa.

d) »e peπec pri enakomerni hoji prehodi v 5 minutah 700 metrov, bo prehodil v 10 minu-tah 2000 metrov.

e) »e avto prevozi pri enakomerni hitrosti v treh urah 240 kilometrov, potem bo prevozil v dva-najstih urah 960 kilometrov. (Avto vozi s stalno hitrostjo brez postankov.)

f) »e za izdelavo æiËnega modela kroænice s polmerom 2 cm potrebujemo 12,56 cm æice, potem za kroænico s polmerom 10 cm potrebu-jemo petkrat daljπo æico.

115

2 ©portnik Alen trenira hitro hojo. »e hodi ves Ëas z enakomerno hitrostjo, prehodi v treh urah 21 km. Koliko prehodi v eni in koliko v petih urah?

3 Iz 9 kg moke speËemo 10 kg kruha. Koliko gramov moke potrebujemo za 1 kg kruha?

4 S πestimi enakimi avtobusi se je peljalo na izlet 312 otrok. Koliko otrok se je peljalo v enem avtobusu, Ëe vemo, da je bilo v vsakem avtobusu enako πtevilo potnikov?

5 Za 5 m2 asfalta plaËamo 1227 €. Koliko stane 4 m2 asfalta?

6 Janja, ki dela 8 ur dnevno prek πtudent-skega servisa, zasluæi v petih dneh 125 €. Delovni mesec ima 20 delovnih dni. Koliko je zasluæila Janja ta mesec?

7 Avto porabi za 100 km 7 litrov bencina. a) Koliko bencina porabi ta avto za 350 km?

b) Koliko km prevozi ta avto z 42 litri bencina?

8 Trgovina pri prodaji svinËnikov ponuja doloËen popust. Prodajajo po ceniku, kot ga kaæe preglednica. Ali sta koliËini premo sorazmerni? Zakaj?

©tevilo svinËnikov 5 10 15 20 25

Znesek 10 18 27 35 43

9 V enem zaboju je 12 steklenic soka. a) Koliko steklenic je v 3, 5, 9, 27 zabojih? b) V koliko zabojih je 24, 48, 84, 96 steklenic? c) Sestavi preglednico in izraËunaj manjkajoËe

vrednosti.

10 12 kg breskev stane 21,60 €. a) Koliko stane 4,5 kg teh breskev? b) Koliko kg breskev dobimo za 16,20 €?

11 ©pelina babica iz 4,5 kg moke speËe 5 kg kruha.

a) Koliko moke potrebuje za 1 kg kruha? b) Koliko moke potrebuje za 3 kg kruha? c) Koliko kruha speËe iz 10 kg moke?

12 ©pela bo pekla torto, ki bo ena in pol-krat tako velika kot v osnovnem receptu. Koliko lonËkov sladkorja potrebuje, Ëe osnovni recept zahteva tri Ëetrtine lonËka sladkorja?

13 Jure je ugotovil, da v trgovini Bonbonko prodajajo πest Ëokolad za 7,68 €, v trgovini »oko pa πtiri enake Ëokolade za 5,28 €.

Razmisli, kakπna vpraπanja si je zastavil Jure, in nanje odgovori.

14 Najprej za vsako dvojico koliËin preveri, Ëe sta medsebojno odvisni. »e sta, preveri ali je njuna odvisnost premo sorazmerna. »e je, ugotovi, kaj se zgodi z drugo koliËino, Ëe se prva dvakrat poveËa.

a) Viπina Ëloveka in barva njegovih oËi; b) dolæina stranice trikotnika in obseg

trikotnika; c) πtevilo uËencev in znesek, ki ga plaËa

posameznik za avtobus, s katerim se peljejo na izlet;

Ë) barva avtomobila in najveËja doseæena hitrost avtomobila;

d) mnoæica {—8, 7, 12 , —15} in mnoæica

{64, 49, 14 , 225};

e) dan v tednu in temperatura zraka; f) masa kruha in znesek plaËila za ta kruh; g) πtevilo pleskarjev in Ëas, v katerem prepleskajo stanovanje; h) masa jabolk in znesek plaËila; i) πtevilo in petkratnik πtevila.

ZMOREM TUDI TO

15 V Rokovem bloku æivi 12 druæin. Pet druæin ima po πtiri Ëlane, tri druæine imajo po tri Ëlane, tri druæine so petËlanske, ena druæina pa πteje dva Ëlana. Znesek za porabljeno vodo plaËujejo druæine premo sorazmerno s πtevilom druæinskih Ëlanov. Koliko bo znaπal raËun posamezne druæine za porabo vode, Ëe je celoten znesek 253 €?

16 Koliko je ©pelina mama plaËala za 5 dolæin-skih metrov tapetniπkega blaga s πirino 0,90 metra, Ëe je po isti ceni za m2 blaga teta Meta za 6 dolæinskih metrov enakega blaga s πirino 1,2 metra plaËala 360 €?

116

Rok je opazoval gibanje avtomobilËka na baterije. AvtomobilËek vozi z enakomerno hitrostjo. V eni sekundi prevozi 2 metra.

RAZMISLI Ali bi lahko z grafom ponazorili gibanje avtomobilËka?

5 GRAFI IN ENA»BE PREMEGA SORAZMERJA

Izvedel boš: — kako nariπeπ graf premo sorazmernih koliËin po toËkah,— da je graf premega sorazmerja premica,— kako z grafa odËitaπ iskano vrednost spremenljivke,— sploπno enaËbo premega sorazmerja.

Pri gibanju avtomobilËka imamo dve spremenljivki, ki sta med seboj odvisni. »e avtomobilËek vozi z enakomerno hitrostjo, sta Ëas in pot v premo sorazmerni odvisnosti.

V eni sekundi prevozi 2 metra, v dveh sekundah prevozi 4 (2 · 2) metre, v treh sekundah prevozi 6 (3 · 2) metrov, v štirih sekundah prevozi 8 (4 · 2) metrov, v polovici sekunde prevozi 1 ( 1

2 · 2) metra,

Preglednica in grafOdvisnost med obema koliËinama prikaæimo s preglednico. Upoπtevajmo, da v Ëasu niË sekund avtomobilËek opravi 0 metrov poti.

neodvisna sprem. Ëas t (v sekundah)

0 1 2 3 4 1

2

odvisna sprem.pot s (v metrih)

0 2 4 6 8 1

Urejene pare zapiπimo s toËkami: A(0, 0), B(1, 2), C(2, 4), D(3, 6), E(4, 8), F( 1

2, 1).

Slike toËk nariπemo v koordinatnem sistemu. Neodvisno spremenljivko Ëas prikaæemo na osi x, odvisno spremenljivko pot pa na osi y.

Ker se je avtomobilËek ves Ëas enakomerno gibal, lahko vse toËke poveæemo (Ëe bi opravili πe veË meritev, bi dobili πe veË toËk). Dobimo poltrak, ki ima za zaËetno toËko koordinatno izhodiπËe. Ko ima neodvisna spremenljivka t vrednost 1, ima odvisna spremenljivka s vrednost 2.

KoliËine iz vsakdanjega æivljenja imajo pogosto samo pozitivne vrednosti, zato njihov graf nariπemo le v 1. kvadrantu koordinatnega sistema.

0 1 43 52 Ëas t (min)

1

2

3

4

5

7

8

6

9

10

pot s (m)

(E 4, 8 )

12

(D 3, 6 )

(C 2, 4)

1 2B( , )

A(0, 0)

F( , 1)12

Nariπi graf premega sorazmerja. DZ − naloga 5.3

117

GRAF PREMEGA SORAZMERJA

Graf premega sorazmerja je premica, ki poteka skozi koordinatno izhodiπËe in toËko T(1, k) ali poltrak z izhodiπËem v koordinatnem izhodiπËu, ki poteka skozi toËko T(1, k).

Rok je ugotovil, da je v omenjenem primeru odvisna spremenljivka dvakratnik neodvisne spremenljivke.

y = 2 · x

Dvakratnike lahko doloËamo tudi negativnim πtevilom, kar pa nima veË povezave z gibanjem avtomo-bilËka, saj negativni Ëasi ne obstajajo. Za matematiËni spremenljivki x in y lahko nariπemo graf tudi za negativne vrednosti. Odvisnost med obema koliËinama prikaæimo s preglednico, ki je le dopolnjena prejπnja preglednica.

neodvisna spremenljivka x —1 —2 —3 —4 — 1

20 1 2 3 4 1

2

odvisna spremenljivka y —2 —4 —6 —8 —1 0 2 4 6 8 1

0 1 43 52 x

2

1

3

4

5

7

8

6

9

10

y

(E 4, 8)

12

3D( , 6)

C(2, 4)

( , B 1 2)

A(0, 0)

,( 1F 1)2

—

—

2

1

—3

—4

—5

—

—7

—8

6

—9

—10

( 1K — , —1)2

—G( 1, —2)

H(—2, —4)

I(—3, —6)

( , 8J —4 — )

12

——1—2—3—4

Nove urejene pare zapiπemo s toËkami:

G (— 1, — 2), H (— 2, — 4), I (— 3, — 6),

J (— 4, — 8), K (— 1

2, — 2)

in jih dodamo prejπnjim:

A (0, 0), B (1, 2), C (2, 4), D (3, 6),

E (4, 8), F ( 1

2, 1).

Slike toËk nariπemo v koordinatnem sistemu. Neodvisno spremenljivko x pri-kaæemo na abscisni osi, odvisno spre-menljivko y pa na ordinatni osi.

»e bi po istem predpisu (y je dvakrat-nik x) zapisali πe veË toËk, bi vse toËke leæale na isti premici.

Rešitev preveri z raËunalniškim programom Graph.

118

ENA»BA PREMEGA SORAZMERJA

Sploπna enaËba premega sorazmerja je y = k · x.

KOEFICIENT PREMEGA SORAZMERJA

Koeficient premega sorazmerja je koliËnik med vrednostjo odvisne in neodvisne spremenljivke. KoliËnik dveh premo sorazmernih koliËin je ves Ëas enak − je stalen.IzraËunamo ga po enaËbi k = x

y.

RE©ENI PRIMER

1 Hitrost vlaka je 250 km/h in je ves Ëas enaka. a) RaziπËi odvisnost med prevoæeno potjo in Ëasom. b) Z grafa odËitaj, koliko km prevozi vlak v 4,5 ure. c) Zapiπi enaËbo za odvisnost med prevoæeno potjo in Ëasom. Ë) IzraËunaj, koliko vlak prevozi v 2,5 ure. d) IzraËunaj, v kolikπnem Ëasu vlak prevozi 1100 km.

Ëas t (h) 1 2 3 4 5 6

pot s(km) 250 500 750 1000 1250 1500

b) Na vodoravni osi poiπËimo 4,5 ure in nariπimo iz te toËke vzporednico z osjo y (navpiËno). NavpiËna premica seka poltrak v neki toËki T. Iz toËke T nariπemo vzporednico z osjo x (vodoravno). Na osi y odËitamo iskano vrednost 1125 km.

c) s = 250 · t

Ë) s = 250 · 2,5 = 625 V 2,5 ure vlak prevozi 625 km.

d) t = s : 250 = 1100 : 250 = 4,4 Vlak prevozi 1100 km v 4,4 ure oziroma v 4 urah in 24 minutah.

pot(km)

Ëas (h)0 1 2 3 4 5 6

250

500

750

1000

1250

1500

1125

4,5

T

Ëas t (v sekundah) 0 1 2 3 4 1

2 · 4: 4

pot s (v metrih) 0 2 4 6 8 1

koeficient k 2 2 2 2 2

Rokovi preglednici, ki prikazuje gibanjeavtomobilËka, dodajmo πe tretjo vrsticoin vanjo vpiπimo koeficient med koliËinama.

odvisna sprem. pot sneodvisna sprem. Ëas t

= =k =Temu koliËniku pravimo koeficient premega sorazmerja.

Pot izraËunamo tako, da Ëas pomnoæimo s koeficientom 2. EnaËba je s = k · t, torej s = 2 · t.Odvisno spremenljivko y izraËunamo tako, da neodvisno spremenljivko x pomnoæimo s koeficientom k:

y = k · x

»as izraËunamo tako, da pot delimo s koeficientom 2. EnaËba je t = s : k, torej t = s : 2.Neodvisno spremenljivko x izraËunamo tako, da odvisno spremenljivko y delimo s koeficientom k:

x = ky

Reπitev: a) IzraËunajmo opravljeno pot

v eni, dveh, treh, πtirih, petih in πestih urah in zapiπimo vrednosti v preglednico. Nato nariπimo πe graf.

Glej stran 216.

119

NALOGE ZA VAJO

1 V posodo priteËe vsako minuto 1

2 litra vode. a) Koliko litrov vode priteËe v posodo v

t minutah, Ëe je t = 1, 2, 3, 4, 5, 6. b) Sestavi preglednico, zapiπi enaËbo in nariπi

graf odvisnosti prostornine od Ëasa. Z grafa odËitaj vrednost V za t je 7 minut.

2 Kolesar prevozi v treh urah 18 km dolgo pot. a) Kolikπno pot prevozi kolesar 1, 5, 7 urah?

b) V kolikπnem Ëasu prevozi kolesar 12, 24, 48 km?

c) Sestavi preglednico, zapiπi enaËbo in nariπi graf odvisnosti poti od Ëasa.

Z grafa odËitaj, v kolikπnem Ëasu kolesar prevozi 15 km.

3 Kvadrat s stranico a (cm) ima obseg o (cm). Sestavi tabelo, zapiπi enaËbo in nariπi graf odvisnosti obsega od stranice, za a = 1, 2, 3, 3˙5, 4

1

2 , 5˙25.

4 1 liter olja tehta 0,9 kg. a) Koliko tehta 5; 8,5; 12 litrov olja? b) Sestavi preglednico in nariπi graf.

5 Spremenljivki x in y sta premo sorazmerni, koeficient sorazmerja je enak 4.

a) IzraËunaj spremenljivko y, Ëe je x = 2, 5, 7, 1

2 , 1

4 . b) Nariπi graf.

6 Vsak gram srebra stane 2 €. Nariπi graf. a) Preberi z grafa, koliko srebra dobiπ za 12 €

in koliko za 5 €. b) Preberi z grafa, koliko stane 10 gramov srebra?

7 Stroj izdela v osmih urah 4000 plastiËnih lonËkov. Koliko lonËkov izdela ta stroj

v 1 uri, 2 urah, 3 urah, 1,5 ure? Sestavi preglednico, zapiπi enaËbo in nariπi

graf. (Vodoravna os: 1 h = 1 cm; navpiËna os: 1000 lonËkov = 2 cm.)

a) Z grafa odËitaj, koliko lonËkov naredi ta stroj v petih urah.

b) Z grafa odËitaj, v kolikπnem Ëasu naredi stroj 3000 lonËkov.

8 V katerem primeru narisani graf prikazuje premo sorazmerni koliËini?

a) b)

c) Ë)

d) e)

9 V zvezek nariπi graf odvisnosti cene metrskega blaga od njegove dolæine, Ëe stane 3 m blaga 100 €.

(Vodoravna os: 1 cm pomeni 1 m; navpiËna os: 2 cm pomeni 100 €.)

10 Dan je graf premo sorazmernih koliËin a in b.

a) Prepiπi preglednico v zvezek in jo dopolni z vrednostmi, ki jih najdeπ na grafu.

a 3 12 4

b 30

b) Zapiπi odvisnost med koliËinama a in b z enaËbo.

b

a

d

c

r

p

s

r

v

u

y

x

b

a

10

20

1 2 3 4 50

120

Razred je moral za konËni izlet plaËati 900 €. Prvi mesec so morali oddati 10 % zneska, drugi mesec 20 %, tretji mesec 30 % in Ëetrti mesec 40 %.

RAZMISLI Ali je znesek, ki so ga plaËali drugi mesec, dvakrat veËji od zneska za prvi mesec?

6 ODSTOTNI RA»UN KOT PREMO SORAZMERJE

Izvedel boš: — da so odstotki in deleæi premo sorazmerni,— kako s sklepanjem reπujeπ naloge o odstotkih.

POMNI»e se odstotki n-krat poveËajo, se tudi deleæi n-krat poveËajo.

PROCENTNI RA»UN

Deleæi in odstotki sta premo sorazmerni koliËini.KoliËnik je razmerje med deleæem in odstotki in je konstanten.

BlagajniËarka Maπa je pripravila izraËun s pomoËjo sklepanja:

% znesek sklepanje

100 900 €

10 90 € 10 % je celota, deljena z 10.

20 180 € 20 % je 10 % pomnoæeno z 2.

30 270 € 30 % je 10 % pomnoæeno s 3.

40 360 € 40 % je 10 % pomnoæeno s 4.

Sklepanje spominja na premo sorazmerne koliËine.Preverimo, ali sta koliËini deleæi in odstotki premo sorazmerni.

% znesek koliËnik (deleæ : odstotki)

10 90 € 90

20 180 € 90

30 270 € 90

40 360 € 90

KoliËnik je stalen in predstavlja 1 % celote (1 % cene izleta), zato sta koliËini deleæi in odstotki premo sorazmerni.

·3

·2

:10

·4

·3

·2

:10

·4

·3

·2

·4

·3

·2

·4

deležiodstotki

k =

Ali so odstotki in deleæi premo sorazmerni? DZ − naloga 5.4

121

NALOGE ZA VAJO

RE©ENI PRIMERI

2 a) Prikaæi ulomke 1

4,

2

4 , 3

4 , 4

4 z deli kroga in z odstotki. b) Za vsak primer zapiπi pripadajoËi srediπËni kot. c) Primerjaj ulomke in srediπËne kote v pripadajoËih delih kroga. Kaj ugotoviπ?

Reπitev: a)

1

425 %

2

450 %

3

475 %

4

4100 %

b) α1 = 90o α2 = 180o α3 = 270o α4 = 360o

c) Dvakrat veËjemu ulomku pripada dvakrat veËji srediπËni kot v pripadajoËem delu kroga. Trikrat veËjemu ulomku pripada trikrat veËji srediπËni kot v pripadajoËem delu kroga. ©tirikrat veËjemu ulomku pripada πtirikrat veËji srediπËni kot v pripadajoËem delu kroga. Ulomek in srediπËni kot v pripadajoËem delu kroga sta premo sorazmerna (trditev velja za ulomke,

ki so veËji od niË in manjπi od 1).

1 Rok je izpolnil preglednico na osenËenih poljih. Ali je izpolnil pravilno? Zakaj?

% deleæ

5 % 50

10 % 60

15 % 70

20 % 80

25 % 90

30 % 100

2 Prepiπi preglednico v zvezek in jo dopolni.

% deleæ

1 % 12

8 %

10 %

35 %

60

120

156

1 IzraËunaj s sklepanjem. a) 50 % od 500 m b) 10 % od 500 m c) 1 % od 500 m

Reπitev: a) 50 % od 500 m je? b) 10 % od 500 m je? 100 % je 500 m. 100 % je 500 m. 50 % od 500 m je 250 m. 10 % od 500 m je 50 m.

c) 1 % od 500 m je? 100 % je 500m 1 % od 500 m je 5 m

: 2 : 2

:100 :100

:10 :10

122

3 Rok je ob koncu teËaja italijanπËine oprav-ljal test, ki obsega 50 vpraπanj. Vsaj na koliko vpraπanj je treba pravilno odgovo-riti, da opraviπ teËaj, Ëe za opravljeni teËaj zadostuje 70 % pravilnih odgovorov na vpraπanja?

4 Æana je prebrala 30 strani knjige, kar je natanËno 20 %.

a) Koliko strani je 10 %, 30 %, 50 % knjige? b) Koliko strani ima knjiga?

5 a) Rok je narisal krog s polmerom 3 cm. Z obarvanim delom kroga je prikazal ulomek

1

2 . Koliko % kroga je pobarval? Koliko meri srediπËni kot obarvanega dela?

b) ©pela je narisala krog s polmerom 3 cm. Z obarvanim delom kroga je prikazala ulomek

1

3 . Koliko % kroga je pobarvala? Koliko meri srediπËni kot obarvanega dela?

c) Jure je narisal krog s polmerom 3 cm. Z obarvanim delom kroga je prikazal ulomek

3

4. Koliko % kroga je pobarval? Koliko meri

srediπËni kot obarvanega dela?

Ë) Kaja je narisala krog s polmerom 3 cm. Z obarvanim delom kroga je prikazala ulomek 1

6. Koliko % kroga je pobarvala?

Koliko meri srediπËni kot obarvanega dela?

6 Prepiπi izjave v zvezek in jih dopolni s sklepanjem.

a) 1 % = uËencev b) 20 % = uËencev c) 5 % = uËencev Ë) 17 % = uËencev d) celota = uËencev

7 ©pela dobi od prodaje novoletnih voπËilnic 9 % provizije. Za kolikπen znesek je prodala voπËilnice, Ëe je zasluæila 99 €?

8 Stranico kvadrata poveËamo za 20 %. Za koliko % se poveËa obseg tega kvadrata?

9 Prikaæi ulomka 1

3 in 2

3 z deli kroga in izraËu-naj srediπËne kote v pripadajoËih delih kroga.

10 Nariπi 9 krogov s polmerom 2 cm. Prvega pobarvaj 10 %, drugega 20 % ... devetega 90 %.

11 OËe je kupil nov digitalni fotoaparat. Kolikπna je trgovinska cena tega fotoapara-ta, Ëe je oËe s 7-odstotnim popustom zanj odπtel 1009,98 €?

12 Hana je prvi teden prebrala 120 strani knjige, kar pomeni 30 % vseh strani v knjigi.

Drugi teden je prebrala 150 strani. Koliko strani mora πe prebrati, da bo prebrala celotno knjigo?

13 Gorivo euro diesel se je decembra podraæilo za 10 %, nato pa januarja pocenilo za 10 %. Kakπna je cena goriva januarja glede na december?

Pozanimaj se o dejanski ceni za 1 liter goriva euro diesel, jo poveËaj za 10 %, nato pa zmanjπaj za 10 %.

14 Prikaži ulomke 18

, 28

, 38

, 48

, 58 , 6

8 , 78 , 88 z deli

kroga in z odstotki. a) RaziπËi odnos med grafiËnim prikazom

ulomkov in odstotki. b) Za vsak grafiËni prikaz ulomka zapiši še

pripadajoËi središËni kot.

15 Prikazani so enakostraniËni trikotniki, katerih dolžine stranic si sledijo po nekem vzorcu.

a) Zapiši dolžine stranic za naslednje štiri trikotnike tega vzorca in nato pravilo z algebrskim izrazom.

b) Zapiši dolžino stranice 27. trikotnika iz vzorca in nato še obsega tega trikotnika.

c) Koliko odstotkov obsega petega trikotnika predstavlja obseg Ëetrtega trikotnika?

60 uËencev

1x 4x 9x 16x

ZMOREM TUDI TO

123

©pela je naroËila pico. Na obisk je priπel Rok, zato je nameravala pico razrezati na polovici. Ko je raznaπalec dostavil pico, sta na obisk priπli πe Urπka in Lucija. Pico so praviËno razrezali na πtiri enake dele in si jo razdelili.

RAZMISLI Kako je velikost posameznega dela odvisna od πtevila otrok?

7 OBRATNO SORAZMERJE

Izvedel boš: — kdaj sta dve medsebojno odvisni koliËini obratno sorazmerni,— da je produkt dveh obratno sorazmernih koliËin stalen.

: 2

1 otrok 1 pica

2 otroka 1

2 pice

· 2 : 3· 3

1 otrok 1 pica

3 otroci 1

3 pice

: 4· 4

1 otrok 1 pica

4 otroci 1

4 pice

»e πtevilo otrok dvakrat poveËamo, se del pice,

ki ga dobi posameznik, dvakrat zmanjπa.

»e πtevilo otrok trikrat poveËamo, se del pice,

ki ga dobi posameznik, trikrat zmanjπa.

»e πtevilo otrok πtirikrat poveËamo, se del pice,

ki ga dobi posameznik, πtirikrat zmanjπa.

Kako sta torej odvisni koliËini πtevilo otrok in dobljeni del pice?

»e se πtevilo otrok 2-krat poveËa, se del pice, ki jo dobi posameznik, 2-krat zmanjπa.



»e se prva koliËina n-krat poveËa, se druga koliËina n-krat zmanjπa.

Tolikokrat, kot se poveËa πtevilo otrok, tolikokrat se zmanjπa del pice, ki ga dobi posameznik.Kadar za dve koliËini velja omenjena odvisnost, sta koliËini obratno sorazmerni.

OBRATNO SORAZMERJE

KoliËini sta obratno sorazmerni, kadar sta v takπni odvisnosti, da tolikokrat, kot se poveËa (ali zmanjπa) prva koliËina, tolikokrat se zmanjπa (ali poveËa) druga koliËina.

RaziπËi odvisnost obratno sorazmernih koliËin. DZ − naloga 5.5

124

RE©ENI PRIMERI

PRODUKT PRI OBRATNEM SORAZMERJU

Produkt dveh obratno sorazmernih koliËin je stalen.

IzraËunajmo πe produkt πtevila otrok in dela pice, ki ga dobi posameznik.

πtevilo otrok 1 2 4 5 3

del pice 1 1

2

1

4

1

5

1

3

produkt 1 1 1⋅ = 2 1⋅ =1

24 1⋅ =

1

45 1⋅ =

1

53 1⋅ =

1

3

Vidimo, da je produkt stalen. V naπem primeru predstavlja celo pico.

1 Miha je v trgovini videl nogometno æogo, ki je stala 60 €. Æelel jo je kupiti, a ni imel dovolj denarja. Razmiπljal je in predlagal bratu Petru, da skupaj kupita to æogo tako, da oba prispevata enaka zneska.

a) Koliko bi za æogo prispeval vsak izmed njiju? b) Rok je bister fant in je predlagal, da bi æogo kupili skupaj s prijatelji. Rok in Miha imata

10 prijateljev, tako da je vseh otrok, ki bodo kupili æogo, 12. Koliko bo moral plaËati vsak izmed njih, Ëe bodo vsi prispevali enak znesek?

c) Kako sta koliËini medsebojno odvisni? Pojasni. Ë) Katera koliËina je v nalogi stalna in kaj predstavlja?

Reπitev: a) Sklepanje: Ker se je πtevilo otrok 2-krat poveËalo, se je znesek plaËila 2-krat zmanjπal.

· 21 otrok 60 €

: 2

2 otroka 30 €

Miha in brat bi prispevala za æogo vsak po 30 €. b) Sklepanje: (glede na zaËetno stanje)

Ker se je πtevilo otrok 12-krat poveËalo, se je znesek plaËila 12-krat zmanjπal.

· 121 otrok 60 €

: 12

12 otrok 5 €

»e bi æogo kupilo 12 otrok, bi vsak prispeval po 5 €.

c) Tolikokrat, kot se poveËa πtevilo kupcev æoge, tolikokrat se zmanjπa znesek posameznega kupca. KoliËini sta obratno sorazmerni.

Ë) Stalna je cena æoge. Predstavlja produkt med πtevilom kupcev in prispevkom posameznega kupca.

·

125

NALOGE ZA VAJO

1 Prepiπi preglednico v zvezek in ugotovi, kako sta odvisni spremenljivki x in y.

x y x · y

3 4

2 6

12 1

24 0,5

6 2

4 3

2 Prepiπi preglednico v zvezek in izpolni prazna mesta, Ëe veπ, da sta koliËini a in b obratno sorazmerni.

a b a · b

6 15

30

18

10 3 Vsako nedeljo vnuki obiπËejo babico.

Babica je pripravila za svoje tri vnuke 12 Ëokoladnih bonbonov. To nedeljo pa je hkrati z vnuki priπel πe sosedov Miha. Babica je Ëokoladne bonbone praviËno raz-delila med vse 4 otroke.

a) Koliko Ëokoladnih bonbonov je dobil vsak otrok? b) Koliko Ëokoladnih bonbonov bi dobil vsak

vnuk, Ëe bi babica bonbone delila le med vnuke?

4 5 obiralcev jabolk obere sadovnjak v 6 urah. Vsi obiralci v enakem Ëasu naberejo enako koliËino jabolk.

a) Koliko ur bi ta jabolka obiral 1 obiralec? b) V kolikπnem Ëasu bi sadovnjak obrali

3 obiralci? c) Koliko obiralcev bi moralo obirati sadovnjak,

da bi bil obran v 1 uri?

5 Na gorski postojanki imajo za 100 planincev zalogo hrane za 30 dni. Koliko dni traja zalo-ga, Ëe se z njo prehranjuje 120 planincev in vsi dobijo enake obroke?

6 Avtoprevozniπtvo prevozi tovor z 12 tovor-njaki, Ëe prevaæa vsak tovornjak po 9 ton.

S koliko tovornjaki, ki prevaæajo po 6 ton, bi prevozili isti tovor?

7 Naslednja naloga je iz uËbenika Aritmetika za niæje gimnazije dr. Franca MoËnika iz leta 1916:

≈Ako se razdeli volilo med 36 reveæev, dobi vsak 3 3

4 goldinarja. Koliko bi dobil vsak, Ëe bi

se volilo razdelilo med 45 reveæev?√.

8 Prepiπi preglednico v zvezek in jo s sklepanjem dopolni.

πtevilo delavcev Ëas za opravljeno delo (h)

1 16

2

4

16

9 Polnilnica s petimi stroji napolni v 12 urah

66 000 steklenic. a) V kolikπnem Ëasu bi polnilnica napolnila

isto πtevilo steklenic z osmimi stroji? b) Koliko strojev bi potrebovala polnilnica,

da bi napolnila isto πtevilo steklenic v 6 urah?

c) Koliko steklenic bi napolnilo 5 strojev v 10 urah?

Ë) Koliko steklenic bi napolnilo 8 strojev v 12 urah?

10 En delovni stroj izkoplje jarek v 51

3 ure. Koliko ur in minut je potrebnih za izkop jarka, Ëe ga kopljejo πtirje enako sposobni delovni stroji?

126

11 »e voda iz bazena odteka skozi 8 cevi, je bazen prazen po 12 urah.

a) Koliko ur je potrebno za izpraznitev bazena, Ëe voda odteka le po 4 ceveh?

b) Koliko ur je potrebno za izpraznitev bazena, Ëe voda odteka po 6 ceveh?

c) Skozi koliko cevi je odtekala voda, Ëe je bil bazen prazen po 32 urah?

12 Motorist Janez je doloËeno pot vozil s stalno hitrostjo 75 km/h in jo prevozil v treh urah. Koliko Ëasa bi za isto pot potreboval motorist Janez s stalno hitrostjo 90 km/h?

13 Na cilju kolesarske tekme so udeleæencem delili Ëaj. Ker se je prijavilo 150 udeleæen-cev, so za vsakega udeleæenca pripravili 3 dl Ëaja. ©e preden so zaËeli deliti Ëaj, so sklenili, da bodo Ëaj delili tudi organizator-jem in spremljevalcem, tako da so Ëaj raz-delili med 225 oseb. Koliko dl Ëaja je dobila vsaka izmed 225 oseb?

14 Janez projektira zunanje stopnice z viπinsko razliko 3,6 metra. Pripravil je dva predloga. V posameznem predlogu so stopnice enako visoke.

a) Koliko stopnic viπine 24 cm je predlagal v prvem predlogu?

b) V drugem predlogu je naËrtoval 18 stopnic. Koliko je bila visoka posamezna stopnica?

15 UËenci se bodo na ekskurzijo odpeljali z avtobusom. IzraËunali so, da bo vsak uËenec plaËal 14 €. Dan pred ekskurzijo je eden od uËencev zbolel. Koliko je moral plaËati vsak od 35 udeleæencev izleta?

ZMOREM TUDI TO

16 Petnajst vrtnarjev mora mestni park urediti v 22 dneh. Po πestih dneh dela so pet delavcev premestili na drugo delo. V kolikπnem Ëasu bo park urejen?

17 Ladijska posadka πteje 8 mornarjev. Ob izplutju so natovorili zalogo hrane za 63 dni. Po treh dneh plovbe so reπili 2 brodolomca in ju sprejeli na ladjo. Za koliko Ëasa bo dejansko znaπala zaloga hrane, Ëe je koliËina hrane na osebo na dan ostala nespremenjena?

18 ©tudentka Ana se je pripravljala na izpit, ki ga ima Ëez 18 dni. Da bi predelala vso snov, bi morala vsak dan preπtudirati 16 strani. Prvih sedem dni je delala po naËrtu, nato pa je zbolela in tri dni ni πtudirala. Koliko strani mora preπtudirati dnevno, da bo do izpita predelala vso snov?

19 Na 10,8 m visok navpiËen tovarniški dimnik pritrdimo kovinsko lestev, ki se zaËne in konËa z klinom. Vsi klini so v obliki pravo-kotnih plošËic.

RazišËi veË možnosti za število klinov in njiho-ve razdalje, Ëe morajo biti v eni lestvi v enakih razmakih.

127

Rok in ©pela sta pri fiziki merila Ëas gibanja avtomobilË-ka na baterije. AvtomobilËku sta pred posamezno voænjo spremenila hitrost (ves Ëas posamezne voænje pa je bila hitrost stalna) in merila Ëas, v katerem je avtomobilËek prevozil 80 metrov.

RAZMISLI Kako bi meritve predstavil z grafom?

8 GRAFI IN ENA»BE OBRATNEGA SORAZMERJA

Izvedel boš: — kako nariπeπ graf obratno sorazmernih koliËin po toËkah,— da je graf obratnega sorazmerja krivulja, ki jo imenujemo hiperbola,— kako z grafa odËitaπ iskano vrednost spremenljivke,— sploπno enaËbo obratnega sorazmerja.

V opisanem primeru sreËamo dve spremenljivki, ki sta med seboj odvisni.»as in hitrost sta v tem primeru v obratno sorazmerni odvisnosti. Pot je konstantna (80 metrov).

»e vozi s hitrostjo 80 m/min, prevozi pot 80 m v eni minuti.

»e vozi s hitrostjo 40 m/min, prevozi pot 80 m v dveh minutah.

»e vozi s hitrostjo 20 m/min, prevozi pot 80 m v πtirih minutah.

»e vozi s hitrostjo 10 m/min, prevozi pot 80 m v osmih minutah.

»e vozi s hitrostjo 5 m/min, prevozi pot 80 m v šestnajstih minutah.

Preglednica in grafOdvisnost med obema koliËinama prikaæimo s preglednico.

neodvisna spremenljivka Ëas t (min)

1 2 4 8 5 16 10 20 40 80

odvisna spremenljivkahitrost v (m/min)

80 40 20 10 16 5 8 4 2 1

Urejene pare zapiπimo s toËkami:

A (1, 80), B (2, 40), C (4, 20), D (8, 10), E (5, 16) ...

Slike toËk poiπËimo v koordinatnem sistemu. Neodvisno spremenljivko Ëas prikaæemo na osi x, odvisno spremenljivko hitrost pa na osi y.

»e bi izraËunali in narisali zelo veliko toËk in jih povezali s prosto roko, bi dobili krivuljo, ki se pribliæuje koordinatnima osema, a se ju nikoli ne dotakne.

KoliËine iz vsakdanjega æivljenja imajo pogosto samo pozitivne vrednosti, zato njihov graf nariπemo le v 1. kvadrantu koordinatnega sistema.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

10

20

30

40

50

60

70

80

hitrost(m/min)

Ëas(min)

A(1, 80)

B(2, 40)

C(4, 20)

E(5, 16)

D(8, 10)

Nariπi graf obratnega sorazmerja. DZ − naloga 5.6

Glej stran 217.

128

PREMO SORAZMERJE

Graf obratnega sorazmerja je krivulja, ki jo imenujemo hiperbola. Pribliæuje se koordinatnima osema, a se ju nikoli ne dotakne.

Rok je opazil, da iπËemo takπne dvojice spremenljivih koliËin x in y, katerih produkt je stalen. Kako bi izgledal graf dveh obratno sorazmernih koliËin x in y, katerih produkt je enak 1.Odvisnost med obema koliËinama najprej prikaæimo s preglednico.

x 1 2 4 1

2

1

4— 1 — 2 — 4 1

2

1

4

y 1 1

2

1

42 4 — 1 1

2

1

4— 2 — 4

x · y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1


A(1, 1), B(2, 12

), C(4, 1

4), D( 1

2, 2),

E( 1

4, 4), F(— 1, — 1), G(— 2, 1

2 ),

H(— 4, 1

4 ), I( 1

2 , — 2), J( 1

4 , — 4).

MatematiËni spremenljivki x in y zavzameta tudi negativne vrednos-ti, zato je graf sestavljen iz dveh vej. »e bi narisali veliko toËk in jih med seboj s prosto roko povezali, bi dobili krivuljo, ki se pribliæuje koordinatnima osema, a se ju niko-li ne dotakne.

VËasih ostanejo toËke na grafu nepovezane, npr. pri nalogah iz vsakdanjega æivljenja, ki govorijo o ljudeh, mizah, stolih ...

Slike toËk nariπemo v koordinatnem sistemu.

1

2

3

4

0 1 2 3 4

-1-3 -2-4

-1

-3

-2

-4

x

y

E( , 4)

D( , 2)

A(1, 1)

B(2, ) C(4, )

F(-1,-1)

14

12

12

14

J( , -4)14

I( , -2)12

G(-2, )12

H(-4, )14

1

2

1 2 3 4 5 πt. otrok

del pice

129

ENA»BA OBRATNEGA SORAZMERJA

Sploπna enaËba obratnega sorazmerja je x · y = c.

y

x

0 1 3 42

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

-1-2-3-4

A(1, 2)

B(2, 1)

H(-2, -1)

G(-1, -2)

D(4,1 ) 2

E(3, 2) 3

C(1 , 4)

2

F( 2 , 3)

3

K(-3, -2) 3

J(-4, -1) 2

L(-2 , -3)

3

I(-1 , -4)

2

»e spremenljivki oznaËimo z x in y, konstanten produkt pa s c,dobimo sploπno enaËbo obratnega sorazmerja. Sploπna enaËba obratnega sorazmerja je x · y = c.

RE©ENI PRIMER

1 Nariπi graf za odvisnost spremenljivk x in y, Ëe sta spremenljivki obratno sorazmerni in zanju velja x · y = 2.

Reπitev: DoloËimo vrednosti za spremenljivki x in y in jih zapiπimo v preglednico.

x 1 2 1

24 3 2

3— 1 — 2 1

2— 4 — 3 2

3

y 2 1 4 1

2

2

33 — 2 — 1 — 4 1

2

2

3— 3

x · y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2


A (1, 2), B (2, 1), C ( 1

2, 4), D (4, 1

2),

E (3, 23

), F ( 23

, 3),

G (—1, — 2), H (—2, — 1), I ( 1

2 , — 4),

J (— 4, 1

2 ), K (— 3, 2

3), L ( 2

3, — 3).

Nato nariπemo graf, Ëe vemo, da je x .

Rešitev preverimo z raËunalniškim programom Graph.

EnaËba»e Rokovo preglednico dopolnimo s tretjo vrstico in vanjo vpiπemo produkt obeh koliËin, opazimo, da je produkt stalen. Znaπa 80 in je enak razdalji, ki jo prevozi avtomobilËek.

neodvisna spremenljivka Ëas t (min)

1 2 4 8 5 16 10 20 40 80

odvisna spremenljivkahitrost v (m/min)

80 40 20 10 16 5 8 4 2 1

s = Ëas · hitrost = t · v 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80

Hitrost izraËunamo tako, da konstanto 80 delimo s Ëasom. EnaËba je v = 80 : t, torej v = s : t. Odvisno spremenljivko y izraËunamo tako, da konstanten produkt delimo z neodvisno spremenljivko: y c

x.

»as izraËunamo tako, da konstanto 80 delimo s hitrostjo. EnaËba je t = 80 : v, torej t = s : v.Neodvisno spremenljivko x izraËunamo tako, da konstanten produkt delimo z odvisno spremenljivko: x c

y.

130

NALOGE ZA VAJO

1 Rok reæe 2 metra dolge palice na manjπe, med seboj enako velike kose.

a) Nariπi v zvezek tabelo, tako da v 1. vrstici prikaæeπ dolæino kosa (l), v 2. vrstici πtevilo kosov (n) in v 3. vrstici produkt (l · n). Koliko kosov dobimo iz posamezne palice, Ëe jo razreæe na enake koπËke z dolæinami po 1, 2, 4, 5, 8, 10, 25, 40 in 50 cm? b) Nariπi graf tega obratnega sorazmerja.

c) Zapiπi enaËbo tega obratnega sorazmerja, Ëe je dolæina kosa l, πtevilo kosov pa je n.

2 a) Nariπi v zvezek in ugotovi, katera od danih toËk A(4, 9), B(12, 3), C(2, 17), D(1, 36), E(6, 6) ne leæi na istem grafu obratnega sorazmerja?

b) Ali bi lahko ugotovil brez risanja? c) Zapiπi enaËbo tega obratnega sorazmerja.

3 RazišËi dolžino in širino pravokotnika s ploπËino 10 cm2. Raziskuj s pomoËjo enega od programov dinamiËne geometrije (Graph, Geogebra ...).

4 V katerih primerih so narisani grafi obratne sorazmernosti?

a) b) c)

Ë) d) e)

5 ©tirje stroji izdelajo v πestih urah predpi-sano koliËino plastiËnih lonËkov.

a) V kolikπnem Ëasu bi isto koliËino lonËkov izdelalo 1, 2, 3, 6, 8, 12, 24 enako zmogljivih strojev?

b) Koliko enako zmogljivih strojev bi potrebovali, da bi izdelali enako koliËino lonËkov v 1, 2, 3, 4, 8, 12 in 24 urah?

c) Sestavi preglednico, zapiπi enaËbo in nariπi graf.

Ë) IzraËunaj, v kolikπnem Ëasu bi isto koliËino lonËkov izdelalo 5 oziroma 9 strojev.

6 ©tevilo 18 si predstavljaj kot produkt dveh celih πtevil. a) Zapiπi vse moænosti.

b) V kakπnem sorazmerju sta posamezna faktorja v produktu?

c) Urejene pare, ki predstavljajo produkte, predstavi v koordinatnem sistemu.

Ë) Ali lahko toËke med seboj poveæeπ? Zakaj? d) Zapiπi enaËbo za to odvisnost.

7 Graf prikazuje odvisnost med πtevilom koscev in Ëasom, v katerem pokosijo travnik. S podatki iz grafa sestavi pregled-nico.

8 Ugotovi, katera preglednica prikazuje obrat-no sorazmerni koliËini. Zapiπi enaËbo in nariπi ustrezen graf.

a)

x 10 9 8 7

y 7 8 9 10 b)

a 1 2 4 5 10

b 20 10 5 4 2

9 Sestavi preglednico in nariπi graf obratne sorazmernosti za x · y = — 1.

Kdaj je graf narisan v 1. in 3. kvadrantu, kdaj pa v 2. in 4. kvadrantu?

2

4

6

8

10

12

14

16

0 1 2 4 6 8 10 12 14 16

πtevilokoscev

Ëas (h)

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

131

RAZMISLI Ali bodo zbrani podatki pokazali pravo stanje na πoli? Ali so vsa vpraπanja primerna?

9 EMPIRI»NE PREISKAVE

Izvedel boš: — kakπne vrste vpraπanj naj vsebuje vpraπalnik,— kako izdelaπ preprost vpraπalnik,— kako izdelaπ preprosto empiriËno preiskavo.

POZOR!Pred zastavljanjem vpraπanj se vpraπaj: Kaj hoËem izvedeti?

UËenci 6., 7., 8. in 9. razreda so pri razredni uri izpolnjevali vpraπalnik, ki ga πola potrebuje za raziskavo: Uporaba raËunalnikov med uËenci naπe πole. 1. Ime, priimek spol: M, Æ2. Ali imaπ doma raËunalnik? Da Ne3. Koliko ur na dan uporabljaπ raËunalnik? 4. V kakπne namene najpogosteje uporabljaπ raËunalnik? a) za igranje igric b) za πolske potrebe c) za brskanje po internetu Ë) drugo 5. Kdo je kupil domaËi raËunalnik?

Najbolj realno sliko dobimo, Ëe anketiramo vse uËence πole. »e anketiramo le del uËencev, moramo zajeti vse starosti od 1. do 9. razreda. Zbranih podatkov ne smemo prehitro posploπevati. Za izvajanje raziskave moramo dobro premisliti, koga vkljuËiti: razliËne starosti, razliËno okolje, razliËne spole...

Oglejmo si posamezna vpraπanja v vpraπalniku.

1. vpraπanje ni primerno, saj zahteva zapis imena in priimka. Vpraπalniki so ponavadi anonimni, veËinoma zadostujeta spol in starost anketiranca, dobro pa je vkljuËiti tudi razred.

2. vpraπanje je tipiËno za vpraπalnike, saj ponuja le odgovora DA ali NE. »e bi vpraπalnik vseboval vpraπanje ≈Ali si želiπ imeti raËunalnik?√, bi bilo smiselno ponuditi odgovore DA, NE, NE VEM.

3. vpraπanje bo imelo prost odgovor. Takπne odgovore je treba pred obdelavo grupirati.

4. vpraπanje je izbirnega tipa. Pri takπnih vpraπanjih moramo ponuditi vse možne odgovore. Da res zajamemo vse možnosti, dodamo tudi odgovor ≈drugo«.

5. vpraπanje je pri raziskavi o uporabi raËunalnika nesmiselno. Takπno vpraπanje ne zadosti ciljem ankete. Raje ga nadomestimo z vpraπanjem: Ali si v Ëasu πolanja izbral izbirni predmet iz raËunalniπtva?

Vpraπanja sestavljamo glede na cilj preiskave (kaj hoËemo izvedeti).− Vpraπanje naj bo jasno, razumljivo in enoliËno (en odgovor).− Primerna so vpraπanja da-ne, izbirna vpraπanja in vpraπanja s πtevilskimi odgovori.− »im manj naj bo vpraπanj s prostimi odgovori. − Vpraπanja ne smejo žaliti anketiranca.− Vpraπalnik naj ne vsebuje nepotrebnih vpraπanj, zagotovo pa naj vsebuje vsa tista vpraπanja, katerih odgovori bodo prikazali dejansko stanje situacije, ki jo prouËujemo.

Veliko raziskav delajo po telefonu. Kdaj ste doma prejeli zadnji klic v zvezi z anketiranjem?

132

1 Poglejmo, kako je ©pela raziskovala uporabo raËunalnika med uËenci svoje πole.

1. Pripravila je vpraπalnik in anketirala vse uËence predmetne stopnje.

2. Zbrane podatke je uredila v raËunalniπke preglednice in narisala diagrame.

3. Predstavljene podatke je preuËila in interpretirala (navedemo dejstva, ki smo jih s preiskavo ugotovili).

Izpolnjene vpraπalnike najprej pregledamo, morebitne neveljavne izloËimo.

Anketirali smo vse uËence predmetne stopnje. V anketo je bilo zajetih 177 uËencev. Ker ima samo 158 uËencev raËunalnik, je na vsa nadaljnja vpraπanja odgovarjalo 158 uËencev. Ker πtevilo anketi-ranih fantov (90) ni bilo enako πtevilu anketiranih deklet (68), bo potrebno v obdelavi to upoπtevati − odgovore na vpraπanja, kjer bomo ugotavljali razlike po spolu, bomo zapisali z odstotki.

VPRA©ALNIK Spol: M Æ razred

1. Ali imaπ doma raËunalnik?

DA NE

2. Koliko ur na dan uporabljaπ raËunalnik?

3. V kakπne namene najpogosteje

uporabljaπ raËunalnik?

a) za igranje igric

b) za πolske potrebe

c) za brskanje po internetu

Ë) __________ (drugo)

4. Ali si v Ëasu svojega πolanja izbral izbirni

predmet iz raËunalniπtva? DA NE

5. Lažje bi se odpovedal

a) raËunalniku b) mobitelu

©pela tega ni vkljuËila v

vpraπalnik, zato je imela težave pri

obdelavi.

POZOR!»e želimo ugotavljati razlike med spoloma, naj bo zaradi lažje obdelave podatkov πtevilo anke-tirancev moπkega in ženskega spola enako.

RE©ENI PRIMERI

EMPIRI»NA PREISKAVA

Izdelava preiskave je postopek, ki vkljuËuje:− naËrtovanje raziskovanja,− zbiranje podatkov: preπtevanje, merjenje, anketiranje,− analizo podatkov: urejanje, prikazovanje, preuËevanje,− interpretacijo: ugotovitve,− predstavitev raziskave

133

Prikazovanje podatkov, zbranih na osnovi vpraπalnika

1. vpraπanje: Ali imaπ doma raËunalnik?

domaËi raËunalnik dekleta fantje skupaj

da 68 90 158

ne 10 9 19

Z raËunalnikom nariπemo ustrezen diagram. Zanima nas, ali obstajajo med uËenci, ki nimajo domaËega raËunalnika, razlike glede na spol.

2. vpraπanje: Koliko ur na dan uporabljaπ raËunalnik?

dnevna uporaba raËunalnika dekleta fantje skupaj

do 0,5 ure 16 8 24

0,5 do 1 ure 28 22 50

1 do 2 uri 17 28 45

veË kot dve uri 7 32 39

Na diagramu opazimo precejπnjo razliko glede na spol, zato nariπimo πe diagram posebej za dekleta in posebej za fante.

DomaËi raËunalnik pri dekletih DomaËi raËunalnik pri fantih DomaËi raËunalnik − skupaj

13 %

87 % 91 %

9 %

89 %

11 %

dane

dane

dane

0

10

20

30

40

50

πtev

ilo u

Ëenc

ev

uporaba v urahdekleta fantje skupaj

Dnevna uporaba raËunalnika — po spolu

do 0,5 ure0,5 do 1 ure1 do 2 uriveË kot dve uri

41 %

10 %

25 %

24 % do 0,5 ure0,5 do 1 ure1 do 2 uriveË kot dve uri

31 %

24 %36 %

9 %

do 0,5 ure0,5 do 1 ure1 do 2 uriveË kot dve uri

Dnevna uporaba raËunalnika pri dekletih Dnevna uporaba raËunalnika pri fantih

134

3. vpraπanje: V kakπne namene najpogosteje uporabljaπ raËunalnik?

a) za igranje igric b) za πolske potrebe c) za brskanje po internetu Ë) __________(drugo).

namen uporabe raËunalnika dekleta fantje skupaj

igrice 20 55 75

πola 26 19 45

internet 16 11 27

drugo 6 5 11

0

10

20

30

40

50

dele

ž od

govo

rov

v %

uporaba v urah

do 0,5 ure 0,5 do 1 ure 1 do 2 uri veË kot 2 uri

Dnevna uporaba raËunalnika

dekletafantjeskupaj

0

10

20

30

40

50

60

70

80

namen uporabe

dekleta fantje skupaj

dele

ž od

govo

rov

v %

Namen uporabe raËunalnika po spolu

igriceπolainternetdrugo

Namen uporabe raËunalnika

0

10

20

30

40

50

60

70

dele

ž od

govo

rov

v %

namen uporabeigrice πola internet drugo

dekletafantjeskupaj

135

4. vpraπanje: Ali si v Ëasu svojega πolanja izbral izbirni predmet s podroËja raËunalniπtva?


da 24 58 82

ne 44 32 76

dane

Izbor pri dekletih

dane

Izbor pri fantih

fantjedekleta

Izbor skupaj

64 %

36 %

52 %48 %

35 %

65 %

Na to vpraπanje uËenci 6. razreda niso mogli odgovoriti pritrdilno, ker se izbirni predmeti uËijo πele v 7. razredu. »e bi imeli na vpraπalnikih anketiranci zapisan razred, bi lahko uËence 6. razreda pri tem vpraπanju izloËili. Tega vpraπanja ne moremo dokonËno obdelati. Smiselno bi bilo zastaviti vpraπanje, ali obstajajo razlike v izboru izbirnega predmeta iz raËunalniπtva tudi glede na razred, in tudi na to vpraπanje ne moremo odgovoriti. Iz odgovorov vidimo le, da obstajajo razlike v izboru glede na spol.

5. vpraπanje: Lažje bi se odpovedal: a) raËunalniku b) mobitelu


raËunalnik 43 30 73

mobitel 25 60 85

raËunalnikmobitel

raËunalnikmobitel

Fantje bi lažje pogreπali

raËunalnikmobitel

Lažje bi pogreπali skupajDekleta bi lažje pogreπala

37 %

67 %54 %

63 %

33 %46 %

NASVET»e bi vpraπalnik vseboval podatek o razredu, bi lahko iz tega vpraπanja razbrali tudi, kako se priljubljenost raËunalnika v primerjavi z mobitelom razlikuje po razredih. To bi bilo gotovo zanimivo vedeti.

136

NALOGE ZA VAJO

Interpretacija

Ugotovili smo, da ima veËina uËencev doma raËunalnik, brez njega je le dobra desetina uËencev. Dekleta uporabljajo raËunalnik manj kot fantje, saj najveË deklet uporablja raËunalnik od 0,5 do 1 ure,

najveË fantov pa veË kot dve uri. Dekleta uporabljajo raËunalnik predvsem za πolsko delo, fantje pa predvsem igrajo igrice. Fantje si pogosteje kot dekleta izbirajo izbirni predmet iz raËunalniπtva. Dekleta bi se raje odpovedala raËunalniku, medtem ko je pri fantih ravno nasprotno, raje bi se odpo-

vedali mobitelu. Na sploπno lahko reËemo, da je raËunalnik kot medij bolj priljubljen pri fantih, saj ga tudi veË upo-

rabljajo za zabavo, dekleta pa raËunalnik uporabljajo najpogosteje za delo, zabavo pa si poiπËejo drugje.

1 S pomoËjo vpraπalnika v delovnem zvezku raziπËi uporabo mobilnih telefonov med uËenci svojega razreda. Rezultate predstavi z diagrami in predstavi ugotovitve.

2 Sestavi vpraπalnik, s pomoËjo katerega boπ raziskal hiπne ljubljenËke med svojimi soπolci. Rezultate predstavi z diagrami in predstavi ugotovitve.

3 RaziπËi vkljuËenost osmošolcev vaπe πole v izbirne predmete.

4 RaziπËi πportne aktivnosti osmošolcev vaπe πole.

5 RaziπËi priljubljenost matematike v primer-javi z drugimi predmeti med uËenci zadnje triade vaπe πole.

1 Nariπi koordinatni sistem in v njem poiπËi toËke A(1, 2), B(4, — 1), C(— 3,— 4), D(0, 2), E(— 1, 0).

2 Zapiπi koordinate narisanih toËk. a) b)

0 1

1

x

y

BA

F

E

G

D

C0

A B C

100

5 T

10 T

RaziπËi uporabo mobilnih telefonov.DZ − naloga 5.7

ŠPELA SE PREIZKUSI

137

7 T

4 T

4 T

4 T

4 T

4 T

11 T

11 T

4 T

2 T

2 T







3 Ugotovi, v katerih primerih je odvisnost med koliËinama prema in v katerih obratna. a) Naravno πtevilo in njegov trikratnik. b) ©tevilo uËencev v skupini in πtevilo skupin. c) Viπina in masa odraslega Ëloveka. Ë) »as in prevoæena pot ob enakomerni hitrosti. d) Hitrost avtomobila in Ëas, ki je potreben, da avto prevozi 100 km. e) Masa jagod in cena za 1 kg teh jagod. f) Masa krompirja in znesek za dano maso krompirja.

4 Zapiπi dve premo sorazmerni koliËini in dve obratno sorazmerni koliËini.

5 IzraËunaj 20 % od 120 in 50 % od 1250.

6 V enem zaboju je 12 steklenic soka. Koliko steklenic soka je v 17 zabojih?

7 ©ola je za 6 reflektorjev plaËala 414 €. Koliko bi plaËala za 2 takπna reflektorja?

8 1,8 metra dolga kovinska palica ima maso 0,81 kg. a) Odæagamo jo kos, dolg 1 m. Kolikπno maso ima? b) Kolikπno maso ima ostanek?

9 ©portno druπtvo, ki ima 52 Ëlanov, je najelo telovadnico za rekreacijo. »e bi se rekreacije udeleæevali vsi, bi plaËal vsak 15 €. IzraËunaj, koliko je moral plaËati vsak izmed njih, Ëe je rekreacijo obiskovalo 40 Ëlanov.

10 a) Dopolni preglednico, v kateri sta spremenljivki x in y premo sorazmerni. b) Nariπi graf. c) Zapiπi enaËbo tega premega sorazmerja.

11 a) Dopolni preglednico, v kateri sta spremenljivki x in y obratno sorazmerni.

b) Nariπi graf. c) Zapiπi enaËbo tega obratnega sorazmerja.

12 Televizor, ki je stal 500 €, se je podraæil na 540 €. IzraËunaj, za koliko % se je televizor podraæil.

13 Andrej je prebral 42 strani knjige, kar predstavlja 35 % celotne knjige. IzraËunaj, koliko strani ima knjiga.

x 1 6 1000

y 30 45 100

k

x 2 3 5 100

y 7 48

c

(5 t)

(5 t)

(4 t)

(4 t)

(2 t)

(2 t)

138

6 12345

123456789

123456789012

12345678901234567

0 1234567890123456789

3456789012345678901234567

45678901234567890123456789012

89012345678901234567890 123456789

6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6

90 123456789012345678901234567890 1234567

89012345678901234567890123456789012345678

890 123456789012345678901234567890 12345678901234

9012345678901234567890123456789012345678901234567

7890 123456789012345678901234567890123456789012345678901

01234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678

234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

56789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890

4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4

67890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012

567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456

678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456789

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

23456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123

1 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678 9 01 2 3

34567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123

34567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

34567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123

45678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

5678901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

0 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890

9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 0

1234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

01234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

2345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678901234

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678

789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678

8901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

78901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678901

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345

5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6

5678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456

67890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

5678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345

78901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

45678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345

789012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678

901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123

2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4

345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

2345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123

45678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

2345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012

456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01

012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890

23456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

9012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890123

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789

789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

6789012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234567

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

45678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345

6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 67

56789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345

890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345

67890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

78901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234

45678901234567890123456789012345678901234567890 12345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890

6789012345678901234567890 12345678901234567890123

89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5

456789012345678901234567890 1234567890123

890123456789012345678901234567890

12345678901234567890 123456789012

67890123456789012345678901

8901234567890123456789012

678901234567890 12345

12345678901234567

8901234567890

5 6789 01 2

6789078

NEKOČ IN DANES

Ljudje so se z večkotniki v zgodovini srečali že zelo zgodaj – ko so začeli ograjevati svoje posesti.

Uporabo večkotnikov pogosto zasledimo tudi v arhitekturi.

Že v starih matematičnih zapisih najdemo večkotnike.

140

445678

12345678

4567890123456

234567890 1234

45678901234567890123

7890 12345678901234567890

012345678901234567890123456

12345678901234567890 123456789012

1 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01

1234567890123456789012345678901234567890

9012345678901234567890123456789012345678

23456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890

1

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345

567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012

789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

9012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234

9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789

0 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890123456789

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

78901234567890 123456789012345678901234567890

1234567890123456789

901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678

7 89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678

7890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

45678901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567

67890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

5678901234567890 123456789012345678901234567890

1234567890123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345

5 678 9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6

4567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

12345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

2345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901234

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012

3 4 5 678 9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4

234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

9012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

012345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

45678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

90 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890

01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2

901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890

901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

123456789

8901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

12345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

67890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567

89 01 2 3 4 5 678 9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789

678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

56789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

123456

5678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567

9012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

4567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901234

6789 01 2 3 4 5 67 89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 67

45678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 12345

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

3456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

1234

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567

8901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

1234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456789012

3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5

12345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 12

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

0123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

1

0123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012

456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

8901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456789

1 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678 9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3

89012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890

7890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

34567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

78901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012

34567890123456789012345678901234567890123456789012345

9012345678901234567890 12345678901234567890123456

3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 0

78901234567890123456789012345678901234567

7890123456789012345678901234567890

567890123456789012345678901234567

345678901234567890123456789

23456789012345678901234567

901234567890 123456789

67890123456789012

12345678901234

01 2 3 4 5 678

90123478

VE»KOTNIKI1 VE»KOTNIKI

2 DIAGONALE VE»KOTNIKA

3 KOTI VE»KOTNIKA

4 PRAVILNI VE»KOTNIKI

5 OBSEG IN PLO©»INA VE»KOTNIKA

©PELA SE PREIZKUSI

Predmete, ki imajo obliko večkotnikov, srečamo na vsakem koraku.

Večkotnike najdemo tudi pri nekaterih igrah.

141

Rok se je se je med Ëakanjem deda v njegovi delavnici zabaval z mizarskim metrom. Z “lomljenjem” metra je ustvarjal zanimive oblike.

RAZMISLI Kakπne oblike lahko ustvari z mizarskim metrom?

1 VE»KOTNIKI

Izvedel boš: — kaj je lomljenka,— kaj so veËkotniki,— kako delimo veËkotnike

Mizarski meter je sestavljen iz veË delov, ki so med seboj povezani tako, da so gibljivi. Zato lahko z metrom ustvarimo: ravno Ërto, lomljeno Ërto ali pa ga oblikujemo v zakljuËnen lik (zaËetek in konec se stikata). Enako lahko poveæemo tudi daljice. Pri tem dobimo lomljeno Ërto ali lomljenko.

Lomljenke so lahko:enostavne ali neenostavne, sklenjene ali nesklenjene.

ToËke A, B, C, D … so ogliπËa veËkotnika.Daljice, ki povezujejo dve sosednji ogliπËi, so stranice veËkotnika: AB, BC, CD …Daljice, ki povezujejo dve nesosednji ogliπËi, so diagonale veËkotnika: AC, AD ...Notranji koti veËkotnika so koti, ki jih tvorita dve sosednji stranici.Kot pri ogliπËu A je α (alfa), kot pri ogliπËu B je (beta), kot pri ogliπËu C je (gama), kot pri

ogliπËu D je (delta) ...Sokoti notranjih kotov so zunanji koti: α

1,

1,

1,

1 …

B

A

E

D

C

αα

LOMLJENKA

Lomljenka je krivulja, ki je sestavljena iz dveh ali veË med seboj povezanih daljic.

VE»KOTNIKI

Enostavne sklenjene lomljenke tvorijo geometrijske like, ki jih imenujemo veËkotniki (trikotniki, πtirikotniki, petkotniki, πestkotniki …). Imenujemo jih po tem, koliko ogliπË (stranic, notranjih kotov in zunanjih kotov) imajo.

142

A

B

AB

A

KONVEKSENNEKONVEKSEN

1 Katere od narisanih krivulj so lomljenke? a) b) c) Ë) d)

Reπitev: Lomljenka je krivulja, ki je sestavljena iz dveh ali veË daljic, torej sta lomljenki krivulji a in d.

2 Ugotovi, kakπne so narisane lomljenke, in povej, koliko daljic jih sestavlja. »e je mogoËe, poimenuj nastali lik.

a) b) c) Ë) d)

Reπitev: a) Lomljenka je enostavna in nesklenjena, sestavljena iz treh daljic. b) Lomljenka je neenostavna in nesklenjena, sestavljena iz πtirih daljic. c) Lomljenka je neenostavna in sklenjena, sestavljena iz sedmih daljic. Ë) Lomljenka je enostavna in sklenjena, sestavljena iz petih daljic; tvori vdrti petkotnik. d) Lomljenka je enostavna in sklenjena, sestavljena iz πestih daljic; tvori izboËeni πestkotnik.

3 V danem liku poiπËi in poimenuj vse veËkotnike.

Reπitev: trikotniki: ABF, ABD, ABC, BCF, BCD, ACD, AFD, FCD, ADE

πtirikotniki: ABCD, ABDE, AFDE, ACDE

petkotniki: ABCDE, ABCDF, ABFCD, ABCFD, AFBCD

πestkotniki: ABCFDE, ABFCDE, AFBCDE

A B

F

E

D

C

RE©ENI PRIMERI

DOGOVOR»e ne bomo posebej poudarjali, za kakπen veËkotnik gre, imamo vedno v mislih KONVEKSEN veËkotnik.

»e obstajata v veËkotniku vsaj dve toËki, takoda daljica, ki ju povezuje, ne leæi v celoti v notranjostiveËkotnika, je veËkotnik vdrt ali nekonveksen.»e take daljice ne moremo najti, je veËkotnik izboËenali konveksen.

143

NALOGE ZA VAJO

1 Katere od narisanih krivulj so lomljenke? a) b) c) Ë) d)

2 Ugotovi, kakπne so narisane lomljenke, in povej, koliko daljic jih sestavlja. Dobljene like poimenuj.

a) b) c) Ë) d)

3 Nariπi poljuben petkotnik. Vriπi mu tudi vse diagonale ter izpiπi vse stranice in vse dia-gonale.

4 Nariπi lomljenke. a) enostavno, nesklenjeno iz petih daljic b) neenostavno, sklenjeno iz πtirih daljic c) enostavno, sklenjeno iz sedmih daljic Ë) neenostavno, nesklenjeno iz treh daljic d) enostavno, sklenjeno iz πestih daljic tako,

da bo nastali veËkotnik izboËen ali konveksen e) enostavno, sklenjeno iz petih daljic tako,

da bo nastali veËkotnik vdrt ali nekonveksen

5 Približno preriši toËke in jih poveæi tako, da bodo nastale predpisane lomljenke:

a) enostavna, nesklenjena b) neenostavna sklenjena c) enostavna in sklenjena Ë) neenostavna in nesklenjena

6 Kateri od narisanih veËkotnikov so nekon-veksni in zakaj?

a) b)

c) Ë)

7 V raËunalniškem programu Cabri nariši poljuben veËkotnik (npr. n = 5 ali 6). Z vleËenjem enega od oglišË razišËi, kdaj postane veËkotnik nekonveksen ali vdrt. Ali lahko notranji kot veËkotnika meri 180°?

ZMOREM TUDI TO

8 Preriπi veËkotnike in jim, Ëe se da, vriπi vsaj eno daljico tako, da ne bo v celoti leæala v notranjosti lika . Razloæi, kakπni so liki, kjer tako daljico lahko nariπemo, in kakπni so tisti, kjer je ne moremo narisati.

a) b)

c) Ë)

144

©pela je pri tehniki in tehnologiji delala sliko iz volne, pri Ëemer si je pomagala z æebljiËki. ÆebljiËke je zabila v ogliπËa πestkotnika in jih med seboj povezala z volno na vse moæne naËine.

RAZMISLI Koliko je notranjih povezav med æebljiËki?

2 DIAGONALE VE»KOTNIKA

Izvedel boš: — kako izraËunaπ πtevilo diagonal v poljubnem veËkotniku.

POZOR!Trikotnik nima diagonal, saj nima nesosednjih ogliπË.

C

BA

©TEVILO DIAGONAL VE»KOTNIKA

©tevilo vseh diagonal v izboËenem n-kotniku je:

πtevilo diagonal = n n⋅ ( )−3

2 .

©pela si je narisala πtirikotnik, petkotnik in πestkotnik ter vanje vrisala vse diagonale.

©TIRIKOTNIK PETKOTNIK ©ESTKOTNIK

2 diagonali 5 diagonal 9 diagonal

Opazila je, da πtevilo diagonal s πtevilom ogliπË raste, a zveze ni takoj odkrila. Zato je poskuπala sklepati, koliko diagonal lahko nariπemo iz vsakega ogliπËa.

Nariši vzorec tako, da narišeš vse diagonale iz enega oglišËa za n = 4, 5, 6, 7, 8. Kaj ugotoviš?

Iz vsakega ogliπËa lahko nariπemo 3 diagonale manj kot je ogliπË, ker ne moremo narisati diagonale v ogliπËe samo in tudi ne v sosednji dve ogliπËi. Zapisala je ugotovitev, da lahko iz vsakega oglišËa nariše (n − 3) diagonal. To storimo v vsakem oglišËu, torej n · (n − 3) diagonal. Ugotovila je, da je vsako diago-nalo štela dvakrat, zato je dobljeni produkt delila z 2 in dobila obrazec:

πt. diagonal = n n⋅ −( )3

2

πtevilo ogliπË Ker vsako povezavo (diagonalo) štejemo dvakrat, moramo produkt deliti z 2.

πtevilo povezav iz enega ogliπËa

Vzorec lahko še nadaljujemo.

Koliko diagonal ima poljuben veËkotnik? DZ − naloga 6.1

145

RE©ENI PRIMERI

1 Nariπi izboËeni ali konveksni πestkotnik in mu vriπi vse diagonale. ©tevilo dobljenih diagonal preveri z raËunom.

Reπitev: Nariπemo izboËeni πestkotnik in mu vriπemo vse diagonale. Najprej nariπemo vse diagonale iz ogliπËa A. Ker ima ogliπËe A le tri nesosednja ogliπËa, lahko iz ogliπËa A

nariπemo le tri diagonale. Nariπemo πe diagonale iz ostalih ogliπË. Vseh narisanih

diagonal je 9.

©tevilo diagonal preverimo πe z raËunom: πtevilo diagonal = n n⋅

=

⋅

= =

( —3)

2

6 3

2

18

29 .

2 Iz vsakega ogliπËa nekega izboËenega ali konveksnega veËkotnika lahko nariπemo 8 diagonal. Ugotovi, kateri veËkotnik je to, in izraËunaj πtevilo vseh njegovih diagonal.

Reπitev: Iz vsakega ogliπËa lahko nariπemo (n — 3) diagonal. OgliπË je torej za tri veË, kot je diagonal iz vsake-

ga ogliπËa. Naπ veËkotnik je torej 11-kotnik. Sedaj izraËunamo πe πtevilo vseh diagonal za enajstkotnik:

πtevilo diagonal = n n⋅

=

⋅

= =

( — 3)

2

11 8

2882

44.

Odgovor: Imamo enajstkotnik. ©tevilo vseh njegovih diagonal je 44.

3 Kateri veËkotnik ima 27 diagonal?

Reπitev:

n n⋅

=

( — 3)

227

n · (n — 3) = 27 · 2

n · (n — 3) = 54

Nalogo reπimo tako, da razišËemo, pri kateri vrednosti števila n dobimo pravilen rezultat.

n n — 3 n · (n — 3)n n⋅ ( — 3)

2

4 1 4 2

5 2 10 5

6 3 18 9

7 4 28 14

8 5 40 20

9 6 54 27 Odgovor: 27 diagonal ima devetkotnik.

A B

E D

F C

146

NALOGE ZA VAJO

4 Na taborjenje je priπlo 8 uËencev. Vsi so se med seboj rokovali. Kolikokrat so si podali roke?

Reπitev: Vsak od osmih uËencev je dal roko 7 uËencem (sebi je ni dal). Rokovanj bi bilo 8 · 7 = 56,

vendar smo pri tem vsako rokovanje πteli dvakrat. Roke so si torej podali 56 : 2 = 28-krat.

Odgovor: Roke so si podali 28-krat.


trikotnik πtirikotnik petkotnik osemkotnik desetkotnik petnajstkotnik

πtevilo stranic

πtevilo diagonal iz enega ogliπËa

πtevilo vseh diagonal

2 Nariπi konveksni πestkotnik in sedemkotnik. Vriπi jima vse diagonale ter πtevilo dobljenih diagonal preveri z raËunom.

3 Koliko diagonal lahko nariπeπ iz vsakega ogliπËa konveksnega veËkotnika?

a) n = 8 b) n = 12 c) n = 24 Ë) n = 38

4 IzraËunaj πtevilo diagonal za konveksni veËkotnik, Ëe lahko iz vsakega njegovega ogliπËa nariπeπ:

a) 11 diagonal b) 9 diagonal c) 15 diagonal Ë) 6 diagonal

5 IzraËunaj πtevilo diagonal za konveksni n-kotnik.

a) n = 18 b) n = 38 c) n = 99 Ë) n = 360

6 V nekem konveksnem veËkotniku smo nari-sali 170 diagonal. RazišËi, kateri veËkotnik imamo.

7 RazišËi, kateri konveksni veËkotnik ima 77 diagonal.

8 Na πahovskem turnirju se je zbralo 7 tek-movalcev. Vsak je z vsakim odigral po eno partijo. Koliko partij je bilo odigranih?

9 Na sprejem k æupanu je bilo povabljenih 16 nagrajencev. Æupan se je rokoval z vsa-kim od njih, pa tudi vsi nagrajenci so se med seboj rokovali. Kolikokrat je æupan stisnil roko in koliko je bilo vseh rokovanj?

10 Na dræavnem nogometnem prvenstvu sode-luje 12 ekip. Vsaka ekipa z vsako odigra dve tekmi (eno doma in eno v gosteh). Koliko je vseh odigranih tekem?

11 Prvi veËkotnik ima tri stranice veË kot drugi in 15 diagonal veË. Katera veËkotnika imamo?

ZMOREM TUDI TO

147

©pela in Rok sta se povzpela na Ljubljanski grad, katerega znamenitost je tudi petkotni stolp. Roka je zanimalo, kaj so pridobili s temi petimi koti, saj je menil, da morajo ti meriti toliko kot πtirje, kar je za stolpe obiËajno.

RAZMISLI Ali je imel Rok prav?

3 KOTI VE»KOTNIKA

Izvedel boš: — kolikπna je vsota notranjih kotov veËkotnika,— kolikπna je vsota zunanjih kotov veËkotnika.

KOTI VE»KOTNIKA

Vsota notranjih kotov n-kotnika je enaka (n − 2) · 180°.Vsota zunanjih kotov poljubnega veËkotnika je vedno 360°.

Tudi pri poljubnem veËkotniku bi lahko, podobno kot pri trikotniku ali πtirikotniku, posamezne notranje kote izrezali in jih zlepili tako, da bi imeli skupen vrh, kot smo to naredili v 7. razredu.Pri pet- in veËkotnikih bi dobili veË kot polni kot (veË kot 360o).

©pela je opazovala, kaj se zgodi, Ëe iz enega oglišËa nariše vse možne diagonale.

©TIRIKOTNIK PETKOTNIK ©ESTKOTNIK

2 trikotnika2 · 180°

3 trikotniki3 · 180°

4 trikotniki4 · 180°

Kaj lahko poveš o številu nastalih trikotnikov v posameznem veËkotniku? DoloËi število nastalih trikotnikov za n = 7, 9 in 12.

Opazimo, da πtirikotnik razpade na 2 trikotnika, petkotnik na tri, πestkotnik na 4 ... (vedno na dva manj kot je oglišË), n-kotnik pa na (n — 2) trikotnikov.

Ker je vsota notranjih kotov poljubnega trikotnika 180°, je vsota notranjih kotov πtirikotnika 2 · 180° = 360°, petkotnika 3 · 180° = 540° ... n-kotnika pa (n — 2) · 180°.

Vzorec lahko še nadaljujemo.

Kako izraËunamo vsoto notranjih kotov in kako vsoto zunanjih kotov veËkotnika?DZ − naloga 6.2

148

RE©ENI PRIMERI

1 IzraËunaj vsoto notranjih kotov in vsoto zunanjih kotov za poljuben sedemkotnik.

Reπitev: Sedemkotnik s pomoËjo diagonal iz enega ogliπËa razdelimo na 5 trikotnikov — (n — 2).

Vsota notranjih kotov v vsakem trikotniku je 180o.

Vsota notranjih kotov sedemkotnika je torej (n — 2) · 180o = (7 — 2) · 180o = 5 · 180o = 900o. Vsota zunanjih kotov je 360o.

2 V πestkotniku merijo notranji koti 80o, 110o, 155o, 120o in 100o. Koliko meri πesti notranji kot?

Reπitev: Vsota vseh notranjih kotov πestkotnika je: (n — 2) · 180o = (6 — 2) · 180o = 4 · 180o = 720o.

Vsota danih kotov je 80o + 110o + 155o + 120o + 100o = 565o.

ManjkajoËi kot meri: 720o — 565o = 155o.

Odgovor: ©esti notranji kot πestkotnika meri 155o.

3 Koliko meri vsak notranji kot desetkotnika, Ëe so vsi notranji koti med seboj enaki?

Reπitev: Vsota notranjih kotov desetkotnika je: (10 — 2) · 180o = 8 · 180o = 1440o.

Ker je vseh deset notranjih kotov enakih, meri vsak desetino celotne vsote:

1440

10144

o o

.

Odgovor: »e so v desetkotniku vsi notranji koti med seboj enaki, meri vsak 144o.

4 RazišËi, pri katerem konveksnem veËkotniku je vsota notranjih kotov 1620o.

Reπitev: Vsota notranjih kotov je: (n — 2) · 180o = 1620o

(n — 2) = 1620o : 180o n — 2 = 9 n = 9 + 2 = 11. ©tevilo ogliπË je torej 11. Odgovor: Pri enajstkotniku je vsota notranjih kotov 1620o.

149

2 IzraËunaj vsoto notranjih in vsoto zunanjih kotov za dane veËkotnike.

a) n = 5 b) n = 8 c) n = 9 Ë) n = 13 d) n = 15 e) n = 22

3 Notranji koti petkotnika merijo α = 82o, = 120o, = 103o, = 96o.

a) Koliko meri peti notranji kot? b) IzraËunaj vse zunanje kote ter preveri, Ëe je

njihova vsota res 360o.

4 RazišËi, koliko meri neznani kot veËkotnika. a) b)

c) Ë)

5 Z uporabo raËunalniškega programa Cabri razišËi, ali je vsota notranjih kotov v poljub-nem veËkotniku ves Ëas enaka, tudi Ëe velikosti kotov spreminjaš.

6 V πtirikotniku merita kot α = 110o in kot = 100o. Ostala dva kota sta enaka.

DoloËi njuni velikosti.

7 V sedemkotniku merijo notranji koti 132o 45’, 117o 37’, 135o, 92o 57’, 144o in 123o 29’. Koliko meri sedmi notranji kot?

8 V petkotniku merijo notranji koti α = 101o, = 143o, = 111o in = 87o. Koliko meri

zunanji kot ?

ZMOREM TUDI TO

9 Pri katerem veËkotniku je vsota notranjih kotov:

a) 3240o b) 2160o c) 4860o

10 IzraËunaj vsoto notranjih kotov in vsoto zunanjih kotov za veËkotnik, ki ima 44 diagonal.

11 V veËkotniku, ki ima 5 diagonal, so vsi notranji koti med seboj enaki. RazišËi, koliko meri vsak notranji kot in koliko vsak zunanji kot.

12 V πestkotniku merijo notranji koti: α = 53o, = 2α , = 3

2 , = α + 62o, = α + .

Koliko meri πesti notranji kot ?

13 RazišËi, koliko je najveËje možno število pravih kotov v izboËenem šestkotniku.

14 Koliko stranic ima veËkotnik, pri katerem je vsota notranjih kotov petkrat veËja od vsote zunanjih kotov? Koliko ima ta veËkotnik diagonal?

50o

108o

84o

125o

140o

132o 132o

130o

122o

157o

117o 121o

132o

113o 115o

125o

98o 99o

127o

1 Prepiπi preglednico v zvezek in jo dopolni za pravilne n-kotnike. Pomagaj si s skicami.

n 4 6 10 12 18 20 100 n

πtevilo stranic

πtevilo diagonal

πtevilo notranjih kotov

vsota notranjih kotov

velikost notranjega kota, Ëe so vsi enaki

vsota zunanjih kotov

NALOGE ZA VAJO

150

©pela si je z mamo ogledovala vzorce tlakovcev, ki sta jih izbirali za na dvoriπËe. ©peli so bili πe pose-bej vπeË simetriËni, ki so imeli enako dolge stranice in enake kote.

RAZMISLI Kakπnih oblik so bili ti tlakovci?

4 PRAVILNI VE»KOTNIKI

Izvedel boš: — kateri veËkotniki so pravilni,— kako nariπemo pravilen veËkotnik z znano stranico,— kako nariπemo pravilen veËkotnik, ki je vËrtan ali oËrtan kroænici.

SIMETRALE PRAVILNEGA VE»KOTNIKA

Pravilni veËkotniki so osno simetriËni. Imajo toliko simetral, kolikor imajo stranic. Pravilni veËkotniki, ki imajo parno πtevilo stranic, so tudi srediπËno simetriËni.

Tlakovci so zelo razliËnih oblik — vsi pa imajo obliko veËkotnikov. Nekateri med njimi, ki so pritegnili ©pelino pozornost, pa imajo vse stranice enako dolge in vse notranje kote enako velike. Pravimo jim pravilni veËkotniki.

ENAKOSTRANI»NITRIKOTNIK

KVADRAT PRAVILNIPETKOTNIK

PRAVILNI©ESTKOTNIK

a

a a a a

a aa a

a aa a

a

a

a a

a

Iz prejπnjega poglavja vemo, da je vsota vseh notranjih kotov poljubnega n-kotnika (n — 2) · 180°.

Ker ima pravilni n-kotnik vseh n notranjih kotov enakih, meri posamezen kot: ( )nn

− ⋅2 180o

.

Oglejmo si, zakaj so bili ©peli posebej vπeË simetriËni tlakovci. Pravilnim veËkotnikom nariπimo simetrale notranjih kotov in simetrale stranic.

Vzorec lahko nadaljujemo in ugotovimo, koliko simetral ima poljuben pravilen veËkotnik.Opazimo, da vsaka simetrala notranjega kota razpolavlja nasprotno stranico ali nasproti leæeËi kot.

PRAVILNI VE»KOTNIKI

VeËkotniki, ki imajo vse stranice enako dolge in vse notranje kote skladne, so pravilni veËkotniki. Vsi pravilni veËkotniki so izboËeni ali konveksni.

151

RE©ENI PRIMERI

Vse simetrale pravilnega veËkotnika se sekajo v eni toËki — srediπËu. Ta toËka je enako oddaljena od vseh ogliπË veËkotnika in enako oddaljena od vseh stranic veËkotnika. To pomeni, da lahko vsakemu pravilnemu veËkotniku vËrtamo in oËrtamo kroænico.

Lahko pa naredimo tudi obratno — kroænici z danim polmerom vËrtamo ali oËrtamo pravilni veËkotnik. Pri tem moramo poznati velikost posa-meznega srediπËnega kota. To je kot, ki ima vrh v srediπËu kroænice, kraka pa potekata skozi dve sosednji ogliπËi pravilnega veËkotnika. Pri pravilnem veËkotniku so vsi srediπËni koti med seboj enaki.

»e poznamo velikost srediπËnega kota in polmer kroænice, lahko nariπemo pravilni veËkotnik, ki je kroænici vËrtan ali oËrtan.

r

R

srediπËni kot = 360o

n

1 Nariπi pravilni petkotnik s stranico 3 cm.

Reπitev: »e æelimo narisati pravilni petkotnik, moramo poleg dolæine stranice poznati πe velikost posameznega notranjega kota. Njegovo velikost dobimo tako, da vsoto vseh notranjih kotov razdelimo na 5 enakih delov.

Vsota notranjih kotov = (n — 2) · 180o = (5 — 2) · 180o = 3 · 180o = 540o.

En notranji kot meri 540

5

o

ali 108o.

Notranji kot pravilnega petkotnika torej meri 108o. Sedaj lahko petkotnik naËrtamo. Potek naËrtovanja: 1. NaËrtamo stranico |AB | = a = 3 cm. 2. V ogliπËih A in B odmerimo kota 108o. — Na obeh nosilkah odmerimo dolæino stranice a = 3 cm in dobimo ogliπËi C in E.

3. V ogliπËih C in E odmerimo kot 108o. — Kjer se obe nosilki sekata, dobimo ogliπËe D.

slika 1 slika 2 slika 3

2 Kroænici s polmerom 3,5 cm vËrtaj pravilen osemkotnik.

Reπitev: »e æelimo kroænici vËrtati pravilen veËkotnik, moramo poznati velikost srediπËnega kota.

SrediπËni kot za pravilen osemkotnik meri 3608

o

= 45o.

B

108o108o

A

E C

B

108o108o

A

E C

D

BA

1 cm

45o

S

A

B

slika 1152

NALOGE ZA VAJO

Potek naËrtovanja: 1. Nariπemo kroænico s srediπËem v toËki S in polmerom 3,5 cm. V srediπËu S nariπemo srediπËni kot 45o. Dobljeni toËki na kroænici poveæemo. Dolæina daljice je dolæina stranice pravilnega osemkotnika. 2. To dolæino sedaj natanËno nanaπamo na kroænico. Tako dobimo vsa ogliπËa pravilnega osemkotnika. Vsa ogliπËa med seboj poveæemo.

3 Kroænici s polmerom 2 cm oËrtaj pravilni πtirikotnik.

Reπitev: IzraËunamo velikost srediπËnega kota. Ker riπemo πtirikotnik, polni kot razdelimo na πtiri enake dele.

SrediπËni kot je enak: 3604

o

= 90o.

Potek naËrtovanja: 1. Nariπemo kroænico s srediπËem v toËki S in polmerom 2 cm. V srediπËu S odmerimo srediπËni kot 90o. Razdaljo med dobljenima toËkama nanaπamo na kroænico. 2. Nariπemo daljice od srediπËa do dobljenih toËk na kroænici in v teh toËkah nariπemo tangente na kroænico. Dobljeni lik je pravilen πtirikotnik.

slika 2

45o

S

A

B

C

D

E

F

G

H

1 IzraËunaj velikost notranjega kota za pra-vilen veËkotnik.

a) n = 6 b) n = 10 c) n = 12 Ë) n = 15 d) n = 18

2 Nariπi pravilen veËkotnik, Ëe meri njegova stranica 2 cm. Opiši postopek naËrtovanja.

a) n = 4 b) n = 5 c) n = 8 Ë) n = 9 d) n = 10

3 Nariπi pravilen πestkotnik, Ëe meri njegova stranica. Opiši postopek naËrtovanja.

a) 3 cm b) 17 mm

4 Koliko merijo srediπËni koti pri pravilnih veËkotnikih?

a) n = 5 b) n = 8 c) n = 10 Ë) n = 18 d) n = 20

5 Kroænici s polmerom 3 cm vËrtaj pravilen veËkotnik. Opiši postopek naËrtovanja.

a) n = 3 b) n = 5 c) n = 8 Ë) n = 9 d) n = 10

6 Kroænici s polmerom 2 cm oËrtaj pravilen veËkotnik.

a) n = 5 b) n = 6 c) n = 8 Ë) n = 12

ZMOREM TUDI TO

7 Kroænici s polmerom 4 cm hkrati vËrtaj in oËrtaj pravilen πtirikotnik. Primerjaj plošËino obeh πtirikotnikov.

8 Kroænici s polmerom 3,5 cm vËrtaj pravilno petkrako zvezdo.

9 Kroænici s polmerom 3 cm vËrtaj pravilno πestkrako zvezdo.

S

A B

D C

90°

153

©pela je pri babici nasadila roæe na gredico, ki ima obliko nepravilnega veËkotnika. Gredico je æelela ograditi in po potrebi prekriti, da bi roæe obvarovala pred sosedovo maËko in morebitno pozebo.

RAZMISLI Koliko metrov ograje potrebuje ©pela in kako veliko ponjavo mora imeti?

5 OBSEG IN PLO©»INA VE»KOTNIKA

Izvedel boš: — kako izraËunamo obseg veËkotnika,— kako izraËunamo ploπËino veËkotnika.

OBSEG VE»KOTNIKA

Obseg veËkotnika je enak vsoti dolæin vseh stranic.Obseg pravilnega n-kotnika je o = n · a.

c

ba

db

e ba a

a ad c

a

c

a a

a

©pela se je najprej lotila dolæine ograje. Ker ve, da je obseg katerega koli lika enak vsoti dolæin njegovih stanic, je preprosto seπtela dolžine stranic gredice.

o = a + b + c o = a + b + c + d o = a + b + c + d + e o = 6 · a

Z velikostjo ponjave pa je imela precej veË teæav. A spomnila se je, da lahko, podobno kot pri raËunanju notranjih kotov, tudi tokrat veËkotnik razdeli na trikotnike in πtirikotnike. Kako izraËunati njihove ploπËine, pa æe ve.

TRIKOTNIK ©TIRIKOTNIK PETKOTNIK PRAVILNI©ESTKOTNIK

p1

p2

p3

p = p1 + p

2 + p

3

c

ab

h

k2 k1

a

b

a

b

a

c

bd

pa v b v c va b c

=

⋅ ⋅ ⋅

= =

2 2 2p

k k=

⋅1 2

2

p a b= ⋅ p a v b va b= ⋅ ⋅= p a+c v= ⋅

2 = s · v

154

RE©ENI PRIMERI

PLO©»INA VE»KOTNIKA

PloπËina veËkotnika je enaka vsoti ploπËin trikotnikov, na katere ga lahko razstavimo. PloπËina pravilnega n-kotnika je enaka p = n · p .

Pravilne veËkotnike razdelimo na enakokrake trikotnike z vrhom v srediπËu oËrtane kroænice. PloπËina pravilnega veËkotnika je:

p = n · p .

p = 6 · p

1 IzraËunaj pribliæen obseg narisanega lika. Dolžine stranic izmeri.

Reπitev: Obseg lika je enak vsoti dolæin vseh stranic. o = a

1 + a

2 + a

3 + a

4 + a

5 + a

6

o = 2,8 + 1 + 2 + 2 + 1,6 + 3,3 o = 12,7 cm

Odgovor: Obseg lika meri pribliæno 12,7 cm.

2 IzraËunaj pribliæen obseg in ploπËino lika na sliki. Potrebne koliËine izmeri.

Reπitev: Obseg izraËunamo tako, da izmerimo dolæine vseh stranic in jih seπtejemo.

o = a1 + a

2 + a

3 + a

4 + a

5

o = 4,5 + 1,9 + 4,7 + 2,5 + 2,3 o = 15,9 cm

PloπËino izraËunamo tako, da lik razdelimo na trikotnike, izmerimo potrebne koliËine za ploπËino posameznega trikotnika, izraËunamo ploπËine in jih seπtejemo.

p = p1 + p

2 + p

3

p1 = 3,4 1,7

2

⋅

p2 = 4,7 3,2

2

⋅ p3 = 4,5 1,8

2

⋅

p1 = 2,89 cm2

p2 = 7,52 cm2 p

3 = 4,05 cm2

p = 2,89 + 7,52 + 4,05

p = 14,46 cm2

Odgovor: Obseg lika na sliki meri pribliæno 15,9 cm, ploπËina pa pribliæno 14,5 cm2.

a6

a1

a2

a3

a4

a5

p1 p

2

p3

a1

a2

a3

a4

a5

155

NALOGE ZA VAJO

4 IzraËunaj obseg in ploπËino pravilnega osemkotnika, Ëe meri njegova stranica 2 cm.

Reπitev: Obseg o = 8 · a = 8 · 2 = 16 cm.

»e æelimo izraËunati ploπËino pravilnega osemkotnika, ga najprej nariπemo. V ta namen moramo izraËunati velikost notranjega kota. notranji kot 6 180

8

o⋅

= 135o

Nato izmerimo viπino trikotnika. v = 2,4 cmIzraËunamo ploπËino srediπËnega trikotnika in jo pomnoæimo z 8.

p = 2 v

2

2 2,4

2

⋅

=

⋅

p = 2,4 cm2

p = 8 · p = 19,2 cm2

Odgovor: Obseg pravilnega osemkotnika meri natanËno 16 cm, ploπËina pa pribliæno 19,2 cm2.

v

v = 2,4 cm

1 IzraËunaj pribliæen obseg narisanega lika. Potrebne koliËine izmeri. a) b) c)

3 IzraËunaj plošËino narisanega lika. Pomagaj si z merjenjem.

Rešitev: Lik razdelimo na tri pravokotnike in izraËunamo posamezne plošËine (p = a · b).

p = p1 + p2 + p3

p1 = 4,6 . 2,3 p1 = 10,58 cm2

p2 = 2,5 · 1,3 p2 = 3,25 cm2

p3 = 1,8 · 1 p3 = 1,8 cm2

p = 10,58 + 3,25 + 1,8 p = 15,63 cm2

Odgovor: PlošËina narisanega lika meri 15,63 cm2.

p1

p2

p3

NAMIGPri nekaterih primerih je smiselno, Ëe si pri delitvi pomagamo z delitvijo na πtirikotnike.

156

4 IzraËunaj obseg in ploπËino pravilnega veËkotnika. (Pomagaj si z risanjem.)

a) n = 5 b) n = 9 a = 3 cm a = 2,5 cm 5 Sosed Miha je pokosil del pravokotnega

travnika kot kaæe slika. Kolikπna sta obseg in ploπËina nepokoπenega dela travnika? IzraËun plošËine predstavi na dva naËina.

a)

b)

6 Rokovi starπi so asfaltirali 20 m dolgo in 15 m πiroko dvoriπËe. Na sredini dvoriπËa imajo cvetliËno gredo v obliki pravilnega πestkotnika s stranico 2 m. Koliko m2 asfaltne prevleke so poloæili?

13 m

12 m 5 m

7 m

11 m

5 m

7 m

3 m

6 m

2 m

2 IzraËunaj pribliæne ploπËine danih likov. Potrebne koliËine izmeri. a) b)

3 IzraËunaj približne obsege in plošËine narisanih likov. Potrebne koliËine izmeri. a) b)

ZMOREM TUDI TO

157

6 T

4 T

4 T

4 T

2 T

4 T

4 T

4 T

4 T

4 T







4 VeËkotnik s pomoËjo diagonal iz enega ogliπËa razdeli na trikotnike ter izraËunaj vsoto notranjih kotov.

5 Kateri veËkotnik ima 14 diagonal?

6 V πestkotniku merijo notranji koti 125o, 163o, 115o, 106o in 84o. IzraËunaj velikost πestega notranjega kota.

7 Nariπi pravilen devetkotnik, ki je vËrtan kroænici s polmerom 3 cm. Opiši potek naËrtovanja.

8 IzraËunaj obseg in ploπËino narisanega lika.

9 IzraËunaj vsoto notranjih kotov veËkotnika, ki ima 20 diagonal.

10 Vsota notranjih kotov pravilnega veËkotnika je 1260o. Koliko meri vsak notranji kot in koliko vsak zunanji kot?

11 m

2 m

3 m

5 m

3 m

4 m

8 m

1 Kakπna je lomljenka in koliko daljic jo sestavlja?

a) b) c)

2 Nariπi lomljenke: a) enostavno in nesklenjeno iz b) neenostavno in sklenjeno iz πestih πtirih daljic. daljic.

3 a) VeËkotniku na sliki vriπi vse diagonale. (veËkotnik preriši v zvezek). b) ©tevilo narisanih diagonal primerjaj s πtevilom diagonal, ki jih izraËunaπ.

ŠPELA SE PREIZKUSI

158

6 12345

123456789

123456789012

12345678901234567

0 1234567890123456789

3456789012345678901234567

45678901234567890123456789012

89012345678901234567890 123456789

6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6

90 123456789012345678901234567890 1234567

89012345678901234567890123456789012345678

890 123456789012345678901234567890 12345678901234

9012345678901234567890123456789012345678901234567

7890 123456789012345678901234567890123456789012345678901

01234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678

234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

56789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890

4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4

67890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012

567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456

678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456789

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

23456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123

1 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678 9 01 2 3

34567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123

34567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

34567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123

45678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

5678901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

0 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890

9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 0

1234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

01234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

2345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678901234

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678

789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678

8901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

78901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678901

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345

5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6

5678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456

67890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

5678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345

78901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

45678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345

789012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678

901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123

2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4

345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

2345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123

45678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

2345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012

456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01

012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890

23456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

9012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890123

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

8901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678

567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567

678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456

012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

56789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345

01234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345

456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

45678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456

1234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234

890123456789012345678901234567890123456789012345

890 123456789012345678901234567890 1234567890123

678901234567890123456789012345678901234

456789012345678901234567890 123456789012

23456789012345678901234567890123456

12345678901234567890123456789012

9012345678901234567890 123456

4567890123456789012345678

12345678901234567890

9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3

90 1234567890

12345678

678909

NEKOČ IN DANES

Oblika kroga je skozi celotno zgodovino prisotna tudi pri gradnji različnih stavb, vrtov in svetišč. Okroglo megalitsko svetišče iz pozne kamene dobe je ohranjeno v kraju Stonenhenge v Veliki Britaniji.

Število π ima dolgo zgodovino. Najstarejši približek za to število je razviden iz svetopisemske Prve knjige

kraljev, kjer dobimo vrednost 3 kot razmerje med obsegom in premerom bazena.

Pisani vir je tudi znameniti Rhindov

papirus, kjer je že znan obrazec za računanje ploščine kroga s ploščino kvadrata, ki ima za stranico 8/9 premera kroga. Iz tega sledi približek 3,16.

Zelo dober približek števila π je s pomočjo krogu včrtanih in očrtanih pravilnih 6, 12, 24, 48 in 96-kotnikov določil starogrški matematik Arhimed (240 pr. n. št.)

O številu π ...

Približek števila π je znan že dolgo. Med prvimi so ga uporabljali stari Egipčani in Babilonci.

(egipčanski π — 258

= 3,125)

(babilonski π — 10 = 3,126)

160

445678

12345678

4567890123456

234567890 1234

45678901234567890123

7890 12345678901234567890

012345678901234567890123456

12345678901234567890 123456789012

1 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01

1234567890123456789012345678901234567890

9012345678901234567890123456789012345678

23456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890

1

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345

567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012

789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

9012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234

9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789

0 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890123456789

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

78901234567890 123456789012345678901234567890

1234567890123456789

901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678

7 89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678

7890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

45678901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567

67890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

5678901234567890 123456789012345678901234567890

1234567890123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345

5 678 9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6

4567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

12345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

2345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901234

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012

3 4 5 678 9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4

234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

9012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

012345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

45678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

90 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890

01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2

901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890

901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

123456789

8901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

12345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

67890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567

012345678901234567890 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234

45678901234567890123456

7890123456789012345678901234567890 123456

67890123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345

012345678901234567890

12345678901234567890 1234567

67890123456789012345678

90123456789012345678901234567890

7890123456789012345678

9012345678901234567890 123456

56789012345678901234567

89012345678901234567890123456789

7890123456789012345678

9012345678901234567890 12345

45678901234567890123456

78901234567890123456789012345678

6789012345678901234567

89012345678901234567890 12345

45678901234567890123456

78901234567890123456789012345678

5678901234567890123456

789012345678901234567890 1234

34567890123456789012345

67890123456789012345678901234567

5678901234567890123456

789012345678901234567890 1234

34567890123456789012345

67890123456789012345678901234567

4567890123456789012345

6789012345678901234567890 123

23456789012345678901234567

89012345678901234567890123456789

345678901234567890123456789

012345678901234567890 1234

1234567890123456789012345678901234

56789012345678901234567890123456

567890123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3

9012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890

7890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

90123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

34567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

23456789012345678901234567890 123456789012345678901234567

789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01

123456789012345678901234567890123456789012345678

1234567890123456789012345678901234567890

89012345678901234567890123456789012345678

90 123456789012345678901234567890

5678901234567890123456789012345678

2345678901234567890 1234567890

89012345678901234567890123

4567890123456789012345

4 5 6789 01 2 3 4 5 6789

23456789012345

0123456789

012345678

KROG IN DELI KROGA1 OBSEG KROGA

2 DOLÆINA KROÆNEGA LOKA

3 PLO©»INA KROGA

4 PLO©»INA KROÆNEGA IZSEKA IN ODSEKA

©PELA SE PREIZKUSI

Holandski matematik Ludolf

van Ceulen, ki je z metodo krogu včrtanih in očrtanih večkotnikov izračunal π na 36 decimalk (po njemu se π imenuje tudi Ludolfovo

število.)

Slovenski matematik Jurij

Vega (1754—1802) je izračunal približek števila π na 140 decimalk, njegov izračun pa je bil točen do 136. decimalke. Po njem je poimenovan celo krater na Luni. Ovekovečen je bil tudi na bankovcu za 50 SIT.

Obliko kroga lahko vidimo pri številnih predmetih iz vsakdanjega življenja, prav tako na številnih zgradbah, v umetniških delih ... Okrogli so kovanci, kolesa, zgoščenke (CD-ji), nekateri prometni znaki, mnoga okna, vzorci na prtih in preprogah ter številni drugi predmeti.

161



1 OBSEG KROGA

Izvedel boš: — kakπna je odvisnost obsega kroga od premera,— kaj je πtevilo π,— kako izraËunamo obseg kroga.





7



71 cm

o = 223 cm

�

o = 157 cm

50 cm

� �

2r = 71 cmo = 223 cmo .r2= 314,

2r = 50 cmo = 157 cmo .r2= 314,


o = 2πr

2πr = o 2r = o : π ali 2r = o

π


2π.




7

OBSEG KROGA

Obseg kroga je produkt πtevila π in premera (2r): o = π · 2rObseg kroga je premo sorazmeren s premerom.



162

1 Okrogla cvetliËna greda ima premer 20 metrov. Pribliæno koliko metrov æiËne ograje potrebu-jemo, da jo ogradimo? Rezultat zaokroæi na celoπtevilËno vrednost.

Reπitev: S pomoËjo znanega premera kroga izraËunamo njegov obseg: o = π · 2r

o = 3,14 · 20 o = 62,8 m Odgovor: Potrebovali bi pribliæno 63 metrov ograje.

2 IzraËunaj obseg kroga: a) s polmerom 6 cm b) s premerom 14 cm

Reπitev: Za izraËun obsega kroga potrebujemo Ker je premer kroga veËkratnik πtevila 7, njegov premer, ki je 2-kratnik polmera je za πtevilo π smiselno uporabiti pribliæek in meri 12 cm: v obliki ulomka:

o = π · 2r o = π · 2r

o = 3,14 · 12 o = 22

7· 14

o = 37,68 m o = 22

7 1

⋅ ⋅⋅

14 2

o = 44 cm3 Nariπi kroænico z obsegom 11 cm.

Reπitev: Iz znanega obsega izraËunamo premer kroænice. Iz o = π · 2r sledi: 2r = o : π. Za πtevilo π uporabimo pribliæek in dobimo:

2r = 11 : 227

2r = 111

722

⋅

2r = 11

1 2

7

22

72

⋅ =

⋅

1⋅

2r = 3,5

r = 3,5 cm : 2

r = 1,75 (Ker moramo kroænico narisati, izraËunamo polmer.)

Kroænico nariπemo v okviru

natanËnosti, ki jo lahko

doseæemo pri risanju, kar

pomeni, da za polmerodmerimo 1,8 cm.

©tevilo π je IRACIONALNO ©TEVILO, kar pomeni, da se ga ne da zapisati kot razmerje dveh celih števil − ima neskonËno mnogo decimalk. Poznali so ga že Sumerci okoli leta 2000 pred našim štetjem, ki so uporabljali vrednost π = 3. Metodo za raËunanje vrednosti števila π je iznašel Arhimed (237−212 pr. n. št), kasneje pa so se mnogi matematiki ukvarjali s tem številom in postopoma doloËili zelo natanËno vrednost tega števila. Vrednost π natanËna na štiriinšestdeset decimalk je: 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 592 ... Žepno raËunalo nam za π pokaže vred-nost: 3,141592654.

RE©ENI PRIMERI

NAMIGIz znanega obsega kroga izrazimo premer:

2r = o : π oziroma 2r = oπ

DOGOVORRezultat je pogosto pribliæen, saj tudi za π uporabljamo pribliæno vrednost. Pri rezultatu po dogovoru opuπËamo znak =..

Glej stran 215.

163

NALOGE ZA VAJO

1 IzraËunaj obseg kroga. Za πtevilo π izberi ustrezni pribliæek.

a) Polmer kroga je 4 cm.

b) Polmer kroga je 3 1

2m.

c) Premer kroga je 8,4 cm.

Ë) Premer kroga je 1 6

22dm.

2 Dan je krog s premerom 8 cm. Brez natanËne-ga raËunanja izberi pribliæen obseg kroga.

a) 16 cm b) 25 cm c) 48 cm Ë) 80 cm

3 Izmeri potrebni podatek in izraËunaj obseg kovanca za 2 €.

4 Koliko metrov Ëipke potrebujemo, da obro-bimo okrogel prt s premerom 1,8 m?

5 ©pela je raËunala obseg kroga na sliki. Kateri obrazec lahko uporabi, da bo dobila pravilen rezultat?

a) o = a π

b) o = π2 a

c) o = a2 π

Ë) o = π 2a

6 IzraËunaj dolæino kovinskega traku, ki ga potrebujemo za leseni sod s premerom 90 cm. Upoπtevaj, da za sklenitev obroËa potrebujemo 1 dm daljπi trak.


polmer premer obseg

5 cm

12 m

628 cm

8 Stari matematiki so obseg kroga izraËunali tako, da so krogu vËrtali oziroma oËrtali pravilne veËkotnike in primerjali obsege. S pomoËjo programa Cabri razišËi, kako jim je to uspelo. Nariši kvadrat, vËrtaj mu krog, krogu pa vËr-taj pravilni šestkotnik. Primerjaj obsege. Kaj ugotoviš?

9 Dolæina minutnega kazalca ure na æelezniπki postaji je 45 cm. Kolikπno pot opiπe konica minutnega kazalca v eni uri?

10 NaËrtaj krog z obsegom 25,12 cm.

11 Rok je s pomoËjo vrvice izmeril obseg stare lipe na domaËem dvoriπËu. Kolikšen je premer lipe, Ëe je izmerjeni obseg 4,5 m?

12 NajveËji kvadrat na sliki ima stranico 15 cm. IzraËunaj vsoto obsegov vseh krogov, ki so

vËrtani v kvadrat.

13 Na prvem listu je narisanih pet krogov s premerom 5 cm, trije krogi s premerom 3 cm in dva kroga s premerom 2 cm. Na nov list bomo narisali enako πtevilo krogov kot jih je na prvem listu, le da bodo vsi novi krogi imeli polmer enak povpreËnemu pol-meru iz prvega lista.

a) Koliko krogov bomo narisali? b) Koliko meri premer novih krogov?

ZMOREM TUDI TO

14 Kolikokrat se kolo s polmerom 35 cm zavrti na razdalji 1,2 km?

15 Notranji premer kroæne steze za tekmovanje kolesarjev je 40 m, zunanji pa je za 10 metrov veËji. Za koliko se razlikujeta poti kolesarjev, ki vozita po skrajni notranji in zunanji stezi?

16 Za izdelavo makete olimpijskih krogov so porabili 1413 metrov æice.

Kolikπen je polmer posameznega olimpij- skega kroga v maketi?

17 ©pela je plavala ob robu okroglega bazena in v 4 krogih preplavala skupno razdaljo 125,6 metra. Koliko je preplaval Rok, ki je isti bazen zgolj 4-krat preËkal po najdaljπi moæni poti?

aS

PRIPORO»AMO ŽEPNO RA»UNALONaloge v zvezi s krogom so obiËajno povezane z zamudnim raËunanjem

zaradi vrednosti števila π, kjer navadno uporabimo približek 3,14.

164

Rokov ded ima star kmeËki voziËek, s katerim prevaæa pridelek z njive. Z oboda kolesa je odpadel eden od πestih enakih delov kovinskega obroËa.

RAZMISLI Kako bi doloËil dolæino manjkajoËega dela obroËa?

2 DOLÆINA KROÆNEGA LOKA

Izvedel boš: — kako izraËunamo dolæino kroænega loka, ki pripada poljubnemu srediπËnemu kotu.

DOLŽINA KROŽNEGA LOKA

Dolæina kroænega loka je premo sorazmerna produktu pripadajoËega srediπËnega kota in polmera kroga:

l r=

⋅ ⋅π α

180o

Ko raËunamo manjkajoËi del oboda kolesa, raËunamo en del obsega kroga — dolæino ustreznega kroæne-ga loka. V opisanem primeru je krog razdeljen na πest enakih delov, kar pomeni, da je dolæina kroænega loka πestina ( 1

6) obsega kroga:

l = 16

· o

l = 16

· π · 2rKer je premer kolesa 80 cm, je dolæina manjkajoËega dela kolesa:

l = 16

· 3,14 · 80

l = 42 cm

S pomoËjo prikazanega vzorca lahko ugotovimo, kako bi izraËunali dolžino krožnega loka, ki pripada poljubnemu središËnemu kotu.

α

srediπËni kot α

30o 45o 60o 90o 120o 180o 360o 1o α

deleæ pol-nega kota

30

360

o

o

1

12

45

360

o

o

1

8

60

360

o

o

1

6

90

360

o

o

1

4

120

360

o

o

1

3

180

360

o

o

1

2

360

360

o

o 11

360

o

o

1

360 360o

dolæina loka l

1

12⋅o

1

8⋅o 1

6⋅o 1

4⋅o

1

3⋅o 1

2⋅o o

1

360⋅o α

360o ⋅o

Iz preglednice razberemo, da je dolæina kroænega loka pripadajoËi del obsega kroga doloËen s koliËnikom med srediπËnim kotom in polnim kotom:

r r r r

= ⋅ =

⋅

⋅

=⋅ ⋅

=α α π α π π α

π360

2

360 180 180 180o o

oo2 ool o= ⋅

α

360o

60°= 16

od 360°

.

Ugotovi, kako izraËunaπ dolæino kroænega loka.DZ − naloga 7.3

165

RE©ENI PRIMERI

Iz znane dolæine kroænega loka izrazimo polmer in nato πe pripadajoËi srediπËni kot.Pomagamo si z znanjem o reπevanju enaËb in iz obrazcev izrazimo iskano koliËino:

polmer kroga srediπËni kot

π α

π α

π α

⋅ ⋅=

= ⋅

=⋅

⋅

⋅ ⋅ °

r

l

l

r l

r

180

180

o

o

180

π α

π

π α

α

⋅ ⋅=

= ⋅

=⋅

⋅

⋅ ⋅ °

r

lr

l

r l

180

180

o

o

180

1 IzraËunaj dolæino kroænega loka s premerom 4 cm in srediπËnim kotom 105o. Nariπi sliko in oznaËi ustrezni lok. Rezultat zapiπi na eno decimalno mesto natanËno.

Reπitev: Uporabimo obrazec za raËunanje dolæine kroænega loka in vstavljene podatke okrajπamo, saj je tako izraËun preprostejπi:

l

l l

r=

⋅ ⋅

=⋅ ⋅

=⋅ / ⋅ ⋅

π α

1803 14 2 105

180

3 14 2 105

o

o

o

o, , 11 21 7

180 90 18 6

3 14 7

6

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅=

⋅o o

,

l = 3,7 cm

2 IzraËunaj obseg narisanega lika, Ëe je a = 10 cm in b = 6 cm. ToËka S je srediπËe kroænice. Rezultat izrazi s pomoËjo πtevila π.

Reπitev: Obseg lika je dolæina Ërte, ki omejuje lik. To pomeni, da obseg prikazanega lika izraËunamo kot vsoto dolæin stranice „a”, dveh dolæin stranice „b” in dolæine kroænega loka, ki je doloËen s srediπËnim kotom 180o. Dolæino kroænega loka najenostavneje izraËunamo kot polovico obsega kroga, katerega premer je stranica a = 10 cm:

l

l

r=

⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

π α

π180

12

10

o

obseg lika je: o = 10 cm + 6 cm + 6 cm + 5 · π cm o = 22 cm + 5 · π cm = l = 5 · π cm o = (22 + 5 · π) cm o 37,7 cm 3 Dolæina kroænega loka v krogu s polmerom 30 cm je 4 cm. IzraËunaj pripadajoËi srediπËni kot.

α

r

l

π · r · α180˚

l =

π · 30 · α180˚

4π =

α6

4 =

24 = α

α = 24˚

V enaËbo za raËunanje krožnega loka vstavimo znane podatke, števila krajšamo in na koncu izrazimo iskano koliËino, ki je v našem primeru velikost središËnega kota α:

a

b

S

166

NALOGE ZA VAJO

1 Obseg kroga meri 90 cm. Koliko meri kroæni lok, ki pripada srediπËnemu kotu?

a) 60o b) 90o c) 120o

Ë) 20o d) 200o e) 300o

2 IzraËunaj dolæino loka. a) r = 20 cm, α = 75o

b) 2r = 30 cm, α = 120o

c) r = 12 cm, α = 108o

3 IzraËunaj dolæino loka. a) b)

4 Kolikπno razdaljo prepotuje konica minut-nega kazalca z dolæino 18 cm v 12 minutah?

5 Kolikπen kroæni lok tvori na ekvatorju Zemlje srediπËni kot 1o? Potrebne podatke poiπËi sam.

6 IzraËunaj pribliæno dolæino krive Ërte na sliki, Ëe je: d(S

1, S

2) = 6 cm, d(S

2, S

3) =10 cm

in polmer polkroænice 4 cm.

7 Stranica kvadrata meri 12 cm. ToËke S so srediπËa kroænic. DoloËi obsege prikazanih likov.

8 Dan je enakostraniËni trikotnik. V vsakem ogliπËu nariπemo kroænice tako, da se medsebojno dotikajo. DoloËi dolæino stra-nice trikotnika, Ëe je obseg lika 54 π cm.

9 IzraËunaj obseg lika, Ëe je razdalja AB = 60 cm.

10 IzraËunaj obseg narisanega lika, Ëe je stra-nica kvadrata a.

11 Obseg danega lika meri 5 (π + 1) cm. DoloËi stranico kvadrata.

a

a = 6 cm

r = 4 cm

S1

S2

S3

150o 120o

S4

S3

S1

S2

S4

S3

S1

S2

S4 S3

S1 S2

S3

S1

S2

S1A B

S2

S1

a

a

S2

a) b)



167

Rok æeli izmeriti ploπËino okrogle ploskve, ki jo bo prebarval.Iz 7. razreda se spomni, da lahko ploπËino doloËi s πtetjem enotskih kvadratkov, kar je precej zamudno.

RAZMISLI Ali obstaja enostavnejπi naËin?

3 PLO©»|NA KROGA

Izvedel boš: — kako izraËunamo ploπËino kroga,— kako izraËunamo ploπËino kroænega kolobarja.

PLO©»INA KROGA

PloπËino kroga izraËunamo kot produkt πtevila π in kvadrata polmera kroga.

p = π · r 2

PloπËina kroga je premo sorazmerna s kvadratom polmera.

Najprej poskusimo preπteti kvadratke.

Na mreæi nariπemo kroænico in nato oznaËimo rob kvadratkov, ki se ji Ëim bolj prilegajo. „Lomljeno” linijo nariπemo enkrat zunaj kroga in drugiË v krogu, tako da je vsota dodanih ploπËin pribliæno enaka vsoti izpuπËenih. Rezultat je natanËnejπi, Ëe uporabimo manjπe kvadratke.

PoiπËimo bolj praktiËno in natanËno reπitev. Krog poskusimo razdeliti na manjπe like, ki jim znamo izraËu-nati ploπËino. Razdelimo ga na kroæne izseke in jih zloæimo drugega ob drugega v ravno vrsto.

»e krog razdelimo na dovolj veliko πtevilo enakih kroænih izsekov, lahko iz delov kroga sestavimo parale-logram. Odpadejo zakrivljeni deli zgoraj in spodaj, dolæina paralelograma je enaka polovici obsega kroga, njegova viπina pa polmeru kroga. PloπËina paralelograma je enaka ploπËini kroga:

p a v

p o r

p r r

p r

a=

=

=/

=

⋅

⋅

⋅ ⋅ / ⋅

⋅

121

22π

π 2

DODANO

ODVZETO

pparalelograma

rr

r

1

2⋅o

�

�

� � � �

� � �

�

�

�

�

�

�

�

RaziπËi odvisnost ploπËine kroga od polmera. DZ − naloga 7.5

Kako doloËiπ ploπËino kroga s πtetjem kvadratkov. DZ − naloga 7.4

168

POZOR!Obrazca za obseg in ploπËino sta si na videz zelo podobna. LoËiπ ju lahko po kvadratu oziroma enotah.

obseg ploπËina

1 cm

o = π · 2r p = π · r 2

1 cm2

RE©ENI PRIMERI

Kroæni kolobar je mnoæica toËk v ravnini, ki leæi med dvema kroæni-cama s skupnim srediπËem in razliËnima polmeroma.

PloπËino kolobarja (pk) doloËimo

z razliko ploπËin obeh krogov:

pk = p

2 — p

1

pk = πr

2

2 — πr1

2

pk = π (r

2

2 — r1

2)

Sr

2

r1

1 IzraËunaj ploπËino kroga, Ëe je njegov polmer 5 cm.

Reπitev: Uporabimo obrazec za raËunanje ploπËine in vstavimo polmer, ki ga moramo kvadrirati. p = π · r 2

p = 3,14 · 52

p = 3,14 · 25 p = 78,5 cm2

2 IzraËunaj ploπËino kroænega kolobarja, ki ga tvorita kroænici s polmeroma 3 cm in 4 cm. Koliko odstotkov ploπËine veËjega kroga predstavlja ploπËina kolobarja? Nariπi sliko kolobarja.

Reπitev: IzraËunamo ploπËini obeh krogov in nato njuno razliko. Rezultat lahko zapiπemo s pomoËjo πtevila π, kar bo poenostavilo tudi izraËun odstotkov.

p1 = π · r

1

2 p2 = π · r

2

2 pk = p

1 — p

2

p1 = π · 16 p

2 = π · 9 p

k = 16 π — 9 π

p1 = 16 π cm2 p

2 = 9 π cm2 p

k = 7 π cm2

Deleæ: 7

167 16 0 4375 43,75%

/

/= = =

π

π: ,

Odgovor: PloπËina kolobarja predstavlja 43,75 % ploπËine veËjega kroga.

S1

S2

Kako iz dane ploπËine izrazimo polmer?

p = πr2

πr2 = p

r2 = p

π

r = p

π

PloπËina kroænega kolobarja

169

3 Mizar æeli izdelati okroglo okno, ki bo prepuπËalo enako koliËino svetlobe kot kvadratno okno s stranico 2,4 m. Kolikπne dimenzije mora imeti steklo?

Reπitev: Najprej izraËunamo ploπËino stekla kvadratnega okna, ki je hkrati ploπËina stekla okroglega okna. Iz znane ploπËine kroga nato izrazimo polmer. steklo kvadratnega okna: steklo okroglega okna:

p = a 2 p = 5,76 m2

p = 2,42 r = ?

p = 5,76 m2 5,76 = 3,14 · r 2

3,14 · r 2 = 5,76

r 2 = 5,76 : 3,14

r 2 = 1,83

r = 1,83

r = 1,35 m

Odgovor: Okroglo okno mora imeti polmer pribliæno 1,35 m oziroma premer 2,7 m.

1 IzraËunaj ploπËino kroga, Ëe je:

a) polmer 45 mm b) polmer 7,4 dm

c) polmer 125

cm

Rezultate zapiπi v podanih enotah.

2 IzraËunaj ploπËino kroga, Ëe je:

a) premer 125 cm b) premer 2,7 m

c) premer 3 2

11m

Rezultate zapiπi v podanih enotah.

3 IzraËunaj ploπËino kroga in rezultat izrazi s pomoËjo πtevila π, Ëe je:

a) polmer kroga 40 cm b) premer kroga 1,5 dm

4 IzraËunaj ploπËino kovanca za 2 €. Potrebni podatek izmeri Ëim bolj natanËno.

5 IzraËunaj ploπËino kroga, vËrtanega kvadratu s stranico 12 cm. Kolikπna je ploπËina obarvanega dela?

6 Na tarËi za pikado je premer najveËjega kroga 20 cm, najmanjπega pa 2 cm.

IzraËunaj razliko ploπËin najveËjega in najmanjπega kroga na tarËi.

7 Na okrogli gredi premera 30 m posejemo travo. Koliko semena potrebujemo, Ëe za kvadratni meter povrπine povpreËno potrebujemo 5 dag semena?

NALOGE ZA VAJO



NAMIGIz znane ploπËine kroga izrazimo njegov polmer.

rp2

=

π oziroma r p

=

π

170


polmer premer obseg ploπËina

8 cm

75,36 m

15 mm

1256 dm2

9 Sredi kvadratne grede je okrogel vodomet, ki se dotika vseh πtirih stranic kvadrata. DoloËi povrπino, ki jo zajema vodomet, Ëe je dolæina ograje kvadratne grede 64 m.

10 IzraËunaj ploπËino kroga, ki ima obseg: a) 18,84 cm b) 32 π cm c) 22 cm

11 IzraËunaj ploπËino obarvanega lika, ki ga sestavljajo skladni kvadratki in krogi.

20 cm

12 Iz kvadratnega papirja s stranico 10 cm izreæemo πtiri najveËje moæne enake kroge. Kolikπna je ploπËina posameznega kroga?

13 NaËrtaj kroænico, ki ima ploπËino pribliæno 18 cm2. Kolikπen je njen obseg?

14 Koliko % povrπine okrogle tarËe je obarvane z rdeËo barvo, Ëe ima tarËa pet rdeËe obar-vanih kolobarjev? Premer prvega kroga, ki je rdeË, je 2 dm, razmik med enim in drugim kolobarjem (bela polja) pa je 2 cm.

15 PloπËina kroga meri 49,6 cm2. Za koliko odstotkov se spremeni ploπËina kroga, Ëe mu polmer poveËamo za 50 %?

16 Kolikπen je presek odprtine cevi za kanali-zacijo, Ëe je zunanji obseg 136 cm, debelina cevi pa je 2 cm?

17 Okroglo gredo s premerom 30 metrov bodo obdali z okroglo potjo πirine 1,2 metra. Koliko m2 asfalta potrebujejo?

18 IzraËunaj obseg in ploπËino obarvanega lika, Ëe je stranica manjšega kvadrata v mreži 10 cm.

a) b)

19 Polmer kroga poveËamo n-krat (n N). Kolikokrat se zaradi tega poveËa plošËina kroga? Utemelji odgovor.

ZMOREM TUDI TO

171

Rokov uËitelj matematike je zastavil vpraπanje o raËunanju ploπËine kroænega izseka in vpraπanje ponazoril s sliko tarËe s premerom 36 cm in poljem, ki zajema srediπËni kot 18o.

RAZMISLI Ali lahko izraËunamo ploπËino posameznega dela tarËe?

4 PLO©»INA KROÆNEGA IZSEKA IN ODSEKA

Izvedel boš: — kako izraËunamo ploπËino kroænega izseka, ki pripada poljubnemu srediπËnemu kotu.

PLO©»INA KROŽNEGA IZSEKA

PloπËina kroænega izseka je premo sorazmerna produktu pripadajoËega srediπËnega kota in kvadrata polmera kroga:

p r

i

2

=⋅ ⋅π α

360o

Kroæni izsek predstavlja doloËen del kroga, kar pomeni, da lahko izhajamo iz obrazca za raËunanje ploπËine in upoπtevamo deleæ, ki ga srediπËni kot predstavlja v razmerju do polnega kota. Ker je srediπËni kot enak 18o, je ploπËina kroænega izseka ena dvajsetina ( 1

20) ploπËine kroga:

pi = 1

20· p

pi = 1

20· π · r 2

Premer kroga meri 36 cm (polmer 18 cm), kar pomeni, da je ploπËina kroænega izseka:

pi = 1

20· 3,14 · 324

pi = 50,87 cm2

S pomoËjo prikazanega vzorca lahko ugotovimo, kako bi izraËunali plošËino krožnega izseka, ki pripada poljubnemu središËnemu kotu.

α

srediπËni kot α

30o 45o 60o 90o 120o 180o 360o 1o α

deleæ pol-nega kota

30

360

o

o

1

12

45

360

o

o

1

8

60

360

o

o

1

6

90

360

o

o

1

4

120

360

o

o

1

3

180

360

o

o

1

2

360

360

o

o 11

360

o

o

1

360 360o

ploπËina izseka p

i

112⋅p 1

8⋅p 1

6⋅p 1

4⋅p 1

3⋅p 1

2⋅p p

1360

⋅p α

360o ⋅p

Iz preglednice razberemo, da je ploπËina kroænega izseka pripadajoËi del ploπËine kroga, doloËen s koliËnikom med srediπËnim kotom, ki ga doloËa kroæni izsek, in polnim kotom: p p

p r

i o

i2

= ⋅

= ⋅

α

απ

360

360

o

o

pi=

απ

360o

r2

182 = 324Kako bi izraËunal ploπËino poljubnega kroænega izseka? DZ − naloga 7.6

172

RE©ENI PRIMERI

Kroæni odsekkroæni odsek je mnoæica toËk kroænega izseka, ki jo dobimo tako, da izseku odvzamemo trikotnik, doloËen s srediπËem kroga in toËkama, kjer kraka srediπËnega kota sekata kroænico.

Iz znane ploπËine kroænega izseka izrazimo polmer in nato πe pripadajoËi srediπËni kot.Pomagamo si z znanjem o reπevanju enaËb in iz obrazcev izrazimo neznano koliËino. Neznano koliËino, polmer kroga (r) ali središËni kot (α), lahko izraËunamo tudi tako, da v enaËbo vstavimo podatke, okrajšamo števila in nato izraËunamo iskano koliËino.

raËunamo polmer kroga raËunamo srediπËni kot

π α

π α

π α

⋅ ⋅=

= ⋅

=⋅

⋅

=

⋅ ⋅ °

rp

p

p

r p

r

r

2

i

2i

2

360

360

360

o i

o

ii⋅

⋅

360o

π α

π α

π

π α

α

⋅ ⋅=

= ⋅

=⋅

⋅

⋅ ⋅ °

rp

p

r

r p

2

i

2i

360

360

3602

o i

o

odsek

trikotnik

izsek

6 cm

1 IzraËunaj ploπËino kroænega izseka. Potrebne podatke preberi na sliki. Rezultat zaokroži na eno decimalno mesto natanËno.

Reπitev: Iz slike preberemo, da je premer kroga 6 cm, torej meri polmer 3 cm. SrediπËni kot je pravi kot, torej meri 90o. Uporabimo obrazec za raËunanje ploπËine izseka ali pa izraËunamo Ëetrtino ploπËine kroga.

p

p

p

i

i

i

=°

=⋅ ⋅ ⋅

⋅

=⋅

π α

π

r

o

o

2

360

3 90 1

360 43 14 9

4

2

,

pi = 7,1 cm2

ali

p p

p r

p

p

i

i

i

i

2

= ⋅

= ⋅

= ⋅ ⋅

= ⋅

14141414

314 9

28 26

π

,

,

pi = 7,1 cm2

PLO©»INA KROŽNEGA ODSEKA

PloπËina kroænega odseka je razlika ploπËine izseka in ploπËine trikotnika: p

o = p

i — p

173

2 IzraËunaj ploπËino obarvanega lika na sliki, Ëe meri stranica kvadrata 8 cm in so S1 , S

2 , S

3 , S

4

srediπËa kroænic. Reπitev: ©tirje kroæni izseki v kvadratu tvorijo polni krog. PloπËino obarvanega lika izraËunamo tako, da od ploπËine kvadrata odπtejemo ploπËino kroga, katerega polmer je enak polovici stranice kvadrata:

p = a 2 — πr 2

p = 82 — 3,14 · 42

p = 64 — 3,14 · 16

p = 64 — 50,24

p = 13,76 cm2

3 PloπËina lika na sliki meri 96 π cm2. IzraËunaj stranico kvadrata.

Reπitev: Obarvani del lika tvorita kroæna izseka, ki predstavljata vsak 3

4 celotnega kroga, s polmerom enakim stranici kvadrata.

Vsota 34

34

+ predstavlja 64

oziroma 1,5 polnega kroga in ta ploπËina meri 96 π cm2:

1,5 · p = 96π

1,5 · πr 2 = 96π

1,5 · r 2 = 96

r 2 = 961,5

r 2 = 64

r = 64

r = 8 cm Odgovor: Stranica kvadrata meri 8 cm.

S4

S3

S1

S2

S2

S1

1 Izmeri potrebne podatke in izraËunaj ploπËine kroænih izsekov. a) b) c)

NALOGE ZA VAJO



174

2 Dana je ploπËina kroga. IzraËunaj ploπËino kroænega izseka za znani srediπËni kot.

a) p = 30 cm2, α = 120o

b) p = 2,4 dm2, α = 30o

c) p = 81 cm2, α = 45o

3 IzraËunaj ploπËine kroænih izsekov. a) Polmer kroga meri 4 cm, srediπËni kot pa 20o. b) Polmer kroga meri 12 cm, srediπËni kot pa

180o. c) Premer kroga meri 18 cm, srediπËni kot pa

270o. Ë) Premer kroga meri 5 dm, srediπËni kot pa

predstavlja 40 % polnega kota. d) Obseg kroga meri 16 π cm, srediπËni kot pa

je πestina polnega kota.

4 Koliko m2 stekla potrebuje steklar, da zastekli okna, prikazana na sliki?

Pravokotni del okna meri po πirini 2 m in po viπini 3 m.

ZMOREM TUDI TO

5 IzraËunaj ploπËino obarvanega lika, Ëe veπ, da je stranica kvadrata 18 cm, S1, S2, S3, S4 pa so središËa stranic kvadrata.

a) b)

6 IzraËunaj ploπËino obarvanega lika. Stranica kvadrata meri 10 cm.

a) b)

7 IzraËunaj ploπËino obarvanega lika, Ëe meri obseg pravilnega πestkotnika 36 cm.

a) b)

8 IzraËunaj ploπËine kroænih odsekov. a) r = 4 cm b) r = 6 cm

9 PloπËino obarvanega lika izrazi s pomoËjo spremenljivke „a”, ki predstavlja dolæino stranice kvadrata.

a) b)

S2

S1

S

S1

S3

S4 S2

175

4 T

5 T

7 T

5 T

3 T

5 T

3 T

4 T

4 T

6 T







1 Imenuj posamezne pojme, ki so oznaËeni na sliki.

2 IzraËunaj obseg in ploπËino kroga s polmerom 12 cm.

3 Dan je krog s premerom 6,4 cm. a) Nariπi ga in izraËunaj njegov obseg in ploπËino.

b) V narisanem krogu konstruiraj tetivo z dolæino 5 cm. c) Izmeri velikost srediπËnega kota, ki pripada tej tetivi.

4 Bazen ima dno v obliki kroga s premerom 16 metrov. Najmanj koliko kvadratnih metrov ploπËic bi morali kupiti, da bi tlakovali dno tega bazena? Kako dolgo ograjo iz kamnitih kock bi potrebovali?

5 V narisanem krogu izmeri potrebne podatke in izraËunaj ploπËino kroænega izseka, ki pripada oznaËenemu srediπËnemu kotu.

6 IzraËunaj obseg in ploπËino lika, ki je prikazan na sliki. Potrebne podatke izmeri.

7 Dan je krog s premerom 6 dm in srediπËnim kotom 150o. IzraËunaj dolæino kroænega loka, ki v dani kroænici pripada temu kotu.

8 Kolikokrat se na razdalji 5 km zavrti kolo s premerom 80 cm?

9 IzraËunaj obseg kroga s ploπËino 144 π cm2.

10 IzraËunaj obseg in ploπËino lika, prikazanega na sliki, Ëe meri stranica kvadrata 20 cm.

a

a

s

a) premico (A, B) b) daljico AB

c) premico p Ë) daljico CD

d) del kroænice med toËkama A in D e) premico s

f) kot ASD g) Del kroga, ki je osenËen.

DS

AB

C

s

p

S

ŠPELA SE PREIZKUSI

176

6 12345

123456789

123456789012

12345678901234567

0 1234567890123456789

3456789012345678901234567

45678901234567890123456789012

89012345678901234567890 123456789

6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6

90 123456789012345678901234567890 1234567

89012345678901234567890123456789012345678

890 123456789012345678901234567890 12345678901234

9012345678901234567890123456789012345678901234567

7890 123456789012345678901234567890123456789012345678901

01234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678

234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

56789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890

4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4

67890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012

567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456

678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456789

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

23456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123

1 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678 9 01 2 3

34567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123

34567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

34567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123

45678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

5678901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

0 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890

9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 0

1234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

01234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

2345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678901234

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678

789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678

8901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

78901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678901

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345

5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6

5678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456

67890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

5678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345

78901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

45678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345

789012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678

901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123

2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4

345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

2345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123

45678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

2345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012

456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01

012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890

23456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

9012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890123

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789

789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

6789012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234567

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

45678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345

6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 67

56789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345

890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345

67890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

78901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234

45678901234567890123456789012345678901234567890 12345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890

6789012345678901234567890 12345678901234567890123

89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5

456789012345678901234567890 1234567890123

890123456789012345678901234567890

12345678901234567890 123456789012

67890123456789012345678901

8901234567890123456789012

678901234567890 12345

12345678901234567

8901234567890

5 6789 01 2

6789078

NEKOČ IN DANES

Egipčani, ki so morali po vsakoletnih poplavah reke Nil na novo določiti meje posestev, so si pri merjenju pomagali z napenjanjem vrvi. Vedeli so, da dobijo pravi kot, če napnejo vrv, ki je sestavljena iz treh delov, dolgih 3, 4 in 5 dolžinskih enot.

Kitajci so že pred Pitagorejci poznali problem pravokotnega trikotnika. O njem so namreč ohranjeni zapisi že iz obdobja okrog 1100 pr. n. št. Domnevajo celo, da je Pitagora zanj izvedel iz Kitajske.

Čeprav so pomen Pitagorovega izreka poznali že prej, so bili Pitagorejci najverjetneje prvi, ki so ga dokazali, zato je po njih tudi dobil ime.

Pri Babiloncih pa je znana glinena ploščica (okrog leta 1800 pr. n. št.), s številnimi nalogami s Pitagorovim izrekom.

178

445678

12345678

4567890123456

234567890 1234

45678901234567890123

7890 12345678901234567890

012345678901234567890123456

12345678901234567890 123456789012

1 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01

1234567890123456789012345678901234567890

9012345678901234567890123456789012345678

23456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890

1

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345

567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012

789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

9012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234

9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789

0 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890123456789

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

78901234567890 123456789012345678901234567890

1234567890123456789

901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678

7 89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678

7890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

45678901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567

67890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

5678901234567890 123456789012345678901234567890

1234567890123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345

5 678 9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6

4567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

12345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

2345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901234

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012

3 4 5 678 9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4

234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

9012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

012345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

45678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

90 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890

01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2

901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890

901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

123456789

8901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

12345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

67890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567

89 01 2 3 4 5 678 9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789

678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

56789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

123456

5678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567

9012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

4567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901234

6789 01 2 3 4 5 67 89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 67

45678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 12345

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

3456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

1234

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567

8901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

1234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456789012

3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5

12345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 12

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

0123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

1

0123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012

456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

8901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456789

1 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678 9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3

89012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890

7890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

34567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

78901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012

34567890123456789012345678901234567890123456789012345

9012345678901234567890 12345678901234567890123456

3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 0

78901234567890123456789012345678901234567

7890123456789012345678901234567890

567890123456789012345678901234567

345678901234567890123456789

23456789012345678901234567

901234567890 123456789

67890123456789012

12345678901234

01 2 3 4 5 678

90123478

PITAGOROV IZREK1 PITAGOROV IZREK

2 PITAGOROV IZREK V PRAVOKOTNIKIH

3 PITAGOROV IZREK V TRIKOTNIKIH

4 PITAGOROV IZREK V ROMBU IN V DELTOIDU

5 RAZDALJA MED TO»KAMA

©PELA SE PREIZKUSI

Slike iz vsakdanjega življenja.

179

Rok je pri zgodovini izvedel, da je eden od najbolj znanih pojmov v geometriji dobil ime po starogrπkem filozofu in matematiku Pitagori.

RAZMISLI Za kateri pojem gre?

Izvedel boš: — kakπna je povezava med dolæinami stranic pravokotnega trikotnika,— kako izraËunamo dolžino neznane stranice v pravokotnem trikotniku.

1 PITAGOROV IZREK

PITAGOROV IZREK

PloπËina kvadrata nad hipotenuzo je enaka vsoti ploπËin kvadratov nad katetama.

c 2 = a 2 + b 2; h2 = k12 + k

22

Rok je na svetovnem spletu odkril, da Pitagorov izrek opisuje odnose med dolæinami stranic v pravokot-nem trikotniku. Od lani se spomni, da ima pravokotni trikotnik en pravi kot, stranice pa imajo posebna imena:

— stranica, ki leæi nasproti pravega kota, je najdaljπa stranica in se imenuje hipotenuza (h);

— obe krajπi stranici se imenujeta kateti (k1 in k2) in sta pravokotni druga na drugo.

Ponavadi kateti pravokotnega trikotnika oznaËimo z a in b, hipotenuzo pa s c.

Nad vsako stranico pravokotnega trikotnika nariπimo kvadrat. Vidimo, da je:

PloπËina kvadrata nad k1 9 kvadratnih enot (k1 = 3 enote). PloπËina kvadrata nad k2 16 kvadratnih enot (k2 = 4 enote). PloπËina kvadrata nad h 25 kvadratnih enot (h = 5 enot).

ba

c

k1

k2

h

PloπËina kvadrata nad hipotenuzo je

enaka vsoti ploπËin kvadratov nad

obema katetama.

25

916

43

5 25 = 9 + 16

52 = 32 + 42

c 2 = a 2 + b 2

h2 = k12 + k2

2

Samostojno preveri pravilnost Pitagorovega izreka.DZ − naloga 8.1

180

RE©ENI PRIMERI

»e torej v pravokotnem trikotniku poznamo dolžini dveh stranic, lahko z uporabo Pitagorovega izreka vedno izraËunamo dolžino tretje stranice.

c 2 = a 2 + b 2 a 2 = c 2 — b 2 b 2 = c 2 — a 2

c = a b2 2+ a = c b

2 2 b = c a2 2

ba

c

1 V pravokotnem trikotniku merita kateti 8 cm in 15 cm. IzraËunaj dolæino hipotenuze ter obseg in ploπËino tega trikotnika.

Reπitev: 1. Z uporabo Pitagorovega izreka najprej izraËunamo dolæino hipotenuze:

h 2 = k12 + k2

2

h 2 = 82 + 152

h 2 = 64 + 225 = 289 h = 289 = 17 cm

2 IzraËunaj obseg in ploπËino trikotnika na sliki.

Reπitev: Obseg trikotnika je enak vsoti vseh treh stranic. Ker v danem trikotniku tretje stranice ne poznamo, trikotnik pa je pravokoten, lahko tretjo stranico izraËunamo z uporabo

Pitagorovega izreka. Najdaljπa stranica, hipotenuza, meri 13 cm, ena od katet pa 5 cm. IzraËunamo drugo kateto.

1. IzraËunajmo kateto:

132 = x 2 + 52

x 2 = 132 — 52

x 2 = 169 — 52 = 144 x = 144 = 12 x = 12 cm

8 cm

15 cm

x

5

13

2. Sedaj izraËunamo πe obseg in ploπËino trikotnika: o = k1 + k2

+ h p = k k1 2⋅2

o = 8 + 15 + 17 o = 40 cm p = 8 15

2

⋅ = 60 cm2

Odgovor: Hipotenuza meri 17 cm, obseg 40 cm, ploπËina pa 60 cm2.

2. Sedaj izraËunajmo πe obseg in ploπËino.

o = k1 + k

2 + h p =

k k1 2⋅2

o = 5 + 12 + 13 p = 5 12

2

⋅ = 30

o = 30 cm p = 30 cm2

Odgovor: Obseg trikotnika meri 30 cm, ploπËina pa 30 cm2.

PITAGOREJSKE TROJICE 3 4 5 5 12 13 7 24 25 8 15 17 9 40 4111 60 6112 35 3713 84 8516 63 6520 21 2933 56 65

. . . Trojice naravnih števil (a, b, c), ki predstavljajo dolžine stranic pravokotnega trikotnika in zanje velja Pitagorov izrek, imenu-jemo Pitagorejske trojice. Obstaja neskonËno mnogopitagorejskih trojic.

Z uporabo raËunalniškega programa Cabri razišËi, ali pravilo velja za vsak pra-vokotni trikotnik.

181

NALOGE ZA VAJO

3 Ugotovi, ali je trikotnik s stranicami 5 cm, 8 cm in 10 cm pravokoten.

Reπitev: »e je trikotnik pravokoten, v njem velja Pitagorov izrek. Preverimo, ali za dani trikotnik Pitagorov izrek velja. Zanima nas torej ali je 102 = 52 + 82.

102 = 100 52 + 82 = 25 + 64 = 89

Odgovor: Ker kvadrat najdaljπe stranice ni enak vsoti kvadratov obeh krajπih stranic (ker ne velja Pitagorov izrek), trikotnik s stranicami 5 cm, 8 cm in 10 cm ni pravokotni trikotnik.

4 Kako dolga mora biti lestev, da bo, prislonjena k steni, dosegla okno na viπini 8 m, Ëe je njen spodnji konec 6 m odmaknjen od hiπe?

Reπitev: Hiπa je navpiËna na tla. Lestev torej s hiπo tvori pravokotni trikotnik. Dolæina lestve je njegova hipotenuza.

y 2 = 62 + 82

y 2 = 36 + 64 = 100

y = 100 = 10

y = 10 m

Odgovor: Lestev mora biti dolga 10 m.

8 m

6 m

y

1 V danih pravokotnih trikotnikih zapiπi vse moæne povezave za dolæine stranic.

a) b)

c) Ë)

2 V danih pravokotnih trikotnikih izraËunaj dolæino neznane stranice.

a) b)

3 IzraËunaj dolæino hipotenuze, obseg in ploπËino pravokotnega trikotnika, Ëe poznaπ dolæini obeh katet.

a) t = 6 cm b) a = 7 dm c) u = 16 cm

m = 8 cm b = 24 dm v = 30 cm

Ë) x = 2 dm d) m = 5 cm

y = 21 cm n = 11 cm

4 IzraËunaj dolæino druge katete v pravokot-nem trikotniku, Ëe poznaπ dolæino hipote-nuze in ene od katet. Vsem trikotnikom izraËunaj πe obseg in ploπËino.

a) c = 17 cm b) s = 101 cm c) t = 37 dm

a = 8 cm r = 99 cm u = 12 dm

Ë) m = 7,3 m d) x = 13 cm e) h = 10 m

n = 5,5 m y = 2 cm k = 2 2 m

m

n

o

z x

y

rs

p

e

c

d

x

5 cm

13 cmy

4 cm

3 cm

182


k1

6 cm 9 dm 20 dm 4 m 12 dm

k2

8 cm 24 m 21 dm 7 m 5 m

h 15 dm 34 m 25 m 4 dm

6 Ugotovi, kateri trikotniki so pravokotni, Ëe so podane dolæine njegovih stranic.

a 3 m 5 dm 7 cm 9 mm 9 dm 60 m 40 cm

b 4 m 12 dm 24 cm 13 mm 40 dm 91 m 80 cm

c 5 m 17 dm 25 cm 15 mm 41 dm 109 m 89 cm

7 IzraËunaj obseg in ploπËino narisanega lika. a) b)

c)

8 Televizijska antena je pritrjena z jekleno æico. Kako dolga je æica, Ëe je antena pritrje-na na viπini 8 m in je æica vpeta na tla 24 m stran od antene?

9 Urina kazalca sta dolga 8 cm in 15 cm. Kako daleË narazen sta njuna vrhova ob treh popoldan?

10 Dva drogova, visoka 8 m in 18 m, sta 24 m narazen. Kako dolgo vrv moramo imeti, da lahko poveæemo njuna vrhova? (Nariπi ustrezno sliko.)

11 Kako visoko je drevo, Ëe je dolæina njegove sence 9 m, razdalja med vrhom drevesa in koncem sence pa je 41 m? (Nariπi ustrezno sliko.)

12 Rok je preplaval 8 m πiroko reko. Na drugi strani je pristal 15 m juæneje, kot je zaËel plavati. Trdil je, da je pri tem preplaval raz-daljo dvakratne širine reke. Ali je imel prav? Odgovor utemelji.

13 ©pela je stekla po najkrajπi bliænjici, Rok pa je πel ob robu 91 m dolgega in 60 m πirokega nogometnega igriπËa. Primerjaj dolžini obeh poti. Za koliko m se razlikujeta?

ZMOREM TUDI TO

14 Jure bi rad skotalil sod po stopnicah. Kako dolgo desko mora poloæiti Ëez πtiri stopnice, Ëe je vsaka stopnica visoka 21 cm in glo-boka 20 cm? (Nariπi ustrezno sliko.)

15 Med neurjem je veter prelomil 49 m visoko drevo na viπini 24 m. Kako daleË od vznoæja drevesa se je vrh dotaknil tal? (Nariπi ustre-zno sliko.)

16 Primerjaj plošËini osenËenega in neosenËe-nega lika. Za koliko cm2 se razlikujeta?

17 Rob strehe na 7 m široki hiši bi radi okrasili s svetlobno cevjo. Koliko m te cevi potrebu-jemo, Ëe je streha na sredini dvignjena za 1,2 m?

15

29

21 9

12

5

8 cm8 cm

6 cm

7 m

35 5 4

12

2

183

Mama je Roka prosila, da napelje vrv za suπenje perila iz enega vogala pravokotnega dvoriπËa v nasprotni vogal.

RAZMISLI Kako dolga naj bo vrv?

2 PITAGOROV IZREK V PRAVOKOTNIKIH

DOGOVORKer je 2 neskonËno decimalno πtevilo, dobimo le pribliæno vrednost za dolæino diagonale. Ponavadi za

2 vzamemo pribliæek 1,41.

PITAGOROV IZREK V PRAVOKOTNIKU IN KVADRATU

d = a b2 2+ d = a ⋅ 2

KvadratPravokotnik

Rok se je pravkar nauËil, da velja Pitagorov izrek le v pravokotnem trikotniku, vendar se je spomnil, da lahko pravokotnik s pomoËjo diagonale razdeli na dva pravokotna trikotnika.

Pravokotnik

V vsakem od nastalih trikotnikov je diagonala hipotenuza, stranici a in b pa sta kateti.

Uporabimo Pitagorov izrek:

d 2 = a 2+ b 2

d = a b2 2+

Lahko pa izrazimo tudi eno od katet:

a 2 = d 2 — b 2 b 2 = d 2 — a 2

a = d b2 2 b = d a

2 2

Kvadrat

Diagonala tudi kvadrat razdeli na dva skladna pravokotna trikotnika.

Z uporabo Pitagorovega izreka lahko izraËunamo dolæino diagonale, Ëe poznamo stranico kvadrata:

d 2 = a 2+ a 2

d = a a a a a2 2 2 2+ = = ⋅ = ⋅⋅2 2 2

d = a ⋅ 2

Iz zapisa d = a ⋅ 2 lahko izrazimo stranico a:

a = d d

2=

⋅ 22

d b

a

da

a

RaziπËi uporabo Pitagorovega izreka v geometrijskih likih. DZ − naloga 8.2

Izvedel boš: — kako lahko Pitagorov izrek uporabimo v pravokotnikih in v kvadratih.

184

RE©ENI PRIMERI

1 IzraËunaj dolæino diagonale v pravokotniku, ki je 8 cm dolg in 6 cm πirok.

Reπitev: Diagonala je hipotenuza v pravokotnem trikotniku s katetama 6 in 8 cm.

Z uporabo Pitagorovega izreka izraËunamo:

d 2 = a 2+ b 2

d 2 = 82 + 62

d 2 = 64 + 36 = 100

d = 100

d = 10 cm Odgovor: Diagonala meri 10 cm.

2 IzraËunaj obseg in ploπËino pravokotnika z dolæino 12 cm, Ëe meri njegova diagonala 13 cm.

Reπitev: »e æelimo izraËunati obseg in ploπËino pravokotnika, moramo poznati dolæini obeh stranic. Dolæino druge stranice pravokotnika izraËunamo z uporabo Pitagorovega izreka.

Odgovor: Obseg pravokotnika meri 34 cm, plošËina pa 60 cm2.

3 IzraËunaj dolæino diagonale v kvadratu s stranico 5 cm.

Reπitev: Diagonala je hipotenuza v pravokotnem trikotniku s katetama a in a.

Reπimo lahko na dva naËina:

1. 2.

d 2 = a 2+ a 2 d = a ⋅ 2

d 2 = 52 + 52 d = 5 2⋅ = 5 · 1,41

d 2 = 25 + 25 = 50 d =̇ 7,05

d = 50 =̇ 7,07

Odgovor: Diagonala kvadrata meri pribliæno 7,1 cm.

d b = 6

a = 8

d = 13 b

a = 12

b 2 = d 2 — a 2

b 2 = 132 — 122

b 2 = 169 — 144 = 25

b = 25

b = 5 cm

o = 2 · a + 2 · b p = a · b

o = 2 · 12 + 2 · 5 p = 12 · 5

o = 24 + 10 = 34 p = 60 cm2

o = 34 cm

d

a = 5

a = 5

185

NALOGE ZA VAJO

4 Diagonala kvadrata meri 11,28 cm. IzraËunaj obseg in ploπËino tega kvadrata.

Reπitev: Iz podatka za diagonalo najprej izraËunamo dolæino stranice a, potem pa πe obseg in ploπËino.

d = a ⋅ 2 = a · 1,41 o = 4 · a p = a 2

11,28 = a · 1,41 o = 4 · 8 p = 82

a = 11,28 : 1,41 = 8 o = 32 cm p = 64 cm2

a = 8 cm

Odgovor: Obseg kvadrata meri 32 cm, ploπËina pa 64 cm2.

1 IzraËunaj dolæine diagonal v pravokotnikih s stranicami:

a) a = 12 cm b) a = 15 cm b = 9 cm b = 8 cm c) a =1,1 dm Ë) a = 8 dm b = 6 dm b = 39 cm

2 IzraËunaj dolæino diagonale v kvadratu s stranico a.

a) 3 cm b) 2,4 dm c) 0,4 m Ë) 8 cm d) 5 ⋅ 2 cm

3 IzraËunaj obseg in ploπËino pravokotnika, Ëe poznaπ dolæino diagonale in ene od stranic pravokotnika.

a) b = 3 cm b) a = 10 cm d = 5 cm d = 26 cm c) a = 30 cm Ë) b = 12 cm d = 34 cm d = 3,7 dm d) d = 74 cm a = 5 cm

4 IzraËunaj obseg in ploπËino kvadrata, Ëe poznaπ diagonalo.

a) 14,1 cm b) 19,74 cm

2 = 1,41 2 = 1,41

c) 7 · 2 cm Ë) 50 cm

5 IgriπËe, dolgo 21 m in πiroko 20 m, bi radi po diagonali razdelili na dva enaka dela. Kako dolga mora biti ograja?

6 Obseg kvadrata meri 32 cm. IzraËunaj njegovo ploπËino in dolæino diagonale.

7 PloπËina kvadrata meri 121 cm2. IzraËunaj njegov obseg in dolæino njegove diagonale.

8 V pravokotniku meri stranica a = 8 cm, diagonala pa meri 11

4 -krat veË kot stranica

a. IzraËunaj obseg in ploπËino tega pravo-kotnika.

9 Ali je letvica dolæine 3,7 m ustrezna, da kabinet z dolžino 3,5 m in širino 1,2 m z njo razdelimo po diagonali na dva enaka dela? Odgovor utemelji.

10 PloπËina pravokotnika z dolæino 2 dm je 4,2 dm2. IzraËunaj dolæino diagonale.

ZMOREM TUDI TO

11 Obseg pravokotne mize, ki je πiroka 8 dm, meri 4,6 m. Miza je prekrita s stekleno ploπËo, ki je poËila po diagonali. Kako dolga je razpoka?

12 IzraËunaj obseg in ploπËino kroga, ki ga oËrtamo pravokotniku z dolæino 48 cm in πirino 14 cm. Koliko % ploπËine kroga pred-stavlja ploπËina pravokotnika?

13 Kvadratu s ploπËino 16 cm2 je oËrtan krog. IzraËunaj ploπËino tega kroga.

14 Krogu s polmerom 10 cm je vËrtan kvadrat. IzraËunaj obseg in ploπËino tega kvadrata. Koliko % je odpadka, Ëe iz kroga izreæemo kvadrat?

186

©pela in Rok sta opazovala gasilce, ki so imeli vajo. K steni πole so prislonili dolgo lestev.

RAZMISLI Kako bi ugotovil, ali bo lestev segla do oken?

3 PITAGOROV IZREK V TRIKOTNIKIH

Izvedel boš: — kako lahko Pitagorov izrek uporabimo v trikotnikih.

DOGOVORZa 3 obiËajno uporabimo pribliæek 1,73.

PITAGOROV IZREK V TRIKOTNIKU

a vc

c2 22

2= +( )

ENAKOKRAKI ENAKOSTRANI»NI

v a

v

a

a

2 22

2

2=

=

−

3

( )

Rok se je domislil, da lestev s steno in tlemi tvori pravokotni trikotnik, za katerega zna s Pitagorovim izrekom izraËunati dolžine stranic. Kaj pa Ëe trikotnik ni pravokoten?

Enakokraki trikotnik

Enakokrak trikotnik lahko z viπino na osnovnico razdelimo na dva skladna pravokotna trikotnika.

Uporabimo Pitagorov izrek:

a v c2 22

= +( )c 2

Izrazimo viπino:

v a cc

2 22

= −( )2

v a cc= −( )2

2

2

PloπËina in obseg: Izrazimo stranico c:

pc vc

=

⋅

2

EnakostraniËni trikotnik

EnakostraniËni trikotnik je enakokrak trikotnik, pri katerem je osnovnica enaka kraku, zato tudi njega viπina razdeli na dva pravokotna trikotnika.

v a a2 22

= −( )2

v a a2 2

= −

2

4

v a a a2

= − =4

4 4

3

4

2 2 2

v a a3

4

3

2

2

PloπËina in obseg:

p a v=

⋅

2

p a

=

⋅2 3

4

vc

a

c

2

v

a

a

2

cc

cc

c

a v

a v

c · a v

2

2

2

( ) =

=

=

−

−

−

22 2

2 2

2 2

Iz zapisa v = a a= = 32

lahko izrazimo stranico a:

a

a

v

v

=

=

2

3

2 33

o 2 · a + c=

o 3 · a =

187

RE©ENI PRIMERI

1 IzraËunaj obseg in ploπËino enakokrakega trikotnika, Ëe meri osnovnica 8 cm, krak pa 5 cm.

Reπitev: Najprej izraËunamo obseg, saj poznamo vse podatke. o = 2 · a + c o = 2 · 5 + 8 o = 18 cm

Nato se lotimo raËunanja ploπËine, za katero moramo najprej izraËunati viπino.

p = c vc⋅

2 v

c2 = a 2 — c

2( )2

vc2 = 52 — 42 = 9

p = 8 32⋅ v

c = 9

p = 12 cm2 vc = 3 cm

Odgovor: Obseg trikotnika meri 18 cm, ploπËina pa 12 cm2.

2 V enakostraniËnem trikotniku s stranico 6 cm izraËunaj viπino, obseg in ploπËino.

Reπitev: Obseg lahko izraËunamo iz podatka za stranico a.

o = 3 · a o = 3 · 6 o = 18 cm Viπino izraËunamo s pomoËjo Pitagorovega izreka ali po izpeljanem obrazcu.

v = a a22

−( )2 v = a ⋅ 32

v = 6 —32 2 ali v = 6 3

2⋅

= ⋅3 3

v = 36—9 27= v = 3 · 1,73 = 5,19 cm

v = 5,19 cm V obeh primerih dobimo enako vrednost.

Sedaj moramo izraËunati πe ploπËino. Lahko jo izraËunamo s pomoËjo æe izraËunane viπine ali pa po izpeljanem obrazcu.

p = a va⋅

2 p = a2 3

4

⋅

p = 6 5,19

2

⋅ p = 6 3

4

36 3

4

2⋅

=

⋅

= ⋅9 3

p = 3 · 5,19 ali p = 9 · 1,73

p = 15,57 cm2 p = 15,57 cm2

V obeh primerih dobimo enako vrednost.

Odgovor: Viπina enakostraniËnega trikotnika meri 5,19 cm, obseg 18 cm, ploπËina pa 15,57 cm2.

vc

c = 8

a = 5

a = 5 cmc = 8 cmo =p =

va = 6

a = 6

a = 6 cmv =

o =p =

188

3 IzraËunaj obseg enakostraniËnega trikotnika, Ëe meri viπina 9 cm.

Reπitev: Iz obrazca za viπino va

=

⋅ 3

2 izrazimo a: a v=

⋅2

3. Zapis racionaliziramo in dobimo:

a v=

⋅ ⋅2 3

3

a =

⋅ ⋅2 9 3

3

a = 6 · 1,73

a = 10,38 cm

Sedaj, ko poznamo dolæino stranice a, pa lahko izraËunamo obseg:

o = 3 · a

o = 3 · 10,38

o = 31,14 cm

Odgovor: Obseg enakostraniËnega trikotnika meri 31,14 cm.

Pitagorov izrek, ki ga uporabimo v enakokrakem trikotniku, nam koristi tudi pri raËunanju dolžin stranic v enakokrakem trapezu.

4 V enakokrakem trapezu merita osnovnici a = 42 cm in c = 22 cm, viπina pa je 24 cm. IzraËunaj obseg in ploπËino.

Reπitev: PloπËino enakokrakega trapeza lahko izraËunamo iz danih podatkov:

p va c=

+⋅

2

p =+

⋅42 22

224

p = 32 · 24

p = 768 cm2

Da bi lahko izraËunali obseg, moramo s pomoËjo Pitagorovega izreka izraËunati dolæino kraka b. V ta namen lahko v trapez vriπemo enakokraki trikotnik. Njegove stranice pa znamo izraËunati.

o = a + 2 · b + c b va c2 2 2

= +−

( )2

b2 2

22= +

−24

42 2

2( )

b 2 = 576 + 100 = 676

o = 42 + 2 · 26 + 22 b = 676

o = 116 cm b = 26 cm Odgovor: PloπËina enakokrakega trapeza meri 768 cm2, obseg pa 116 cm.

v

aA B

CD c

b

v

a

A B

CD c

b

c a c−2

189

NALOGE ZA VAJO

»eprav se morda sliπi nenavadno lahko Pitagorov izrek uporabimo tudi v krogu.

r

BA

S

d

Tetiva povezuje dve toËki na kroænici. Razdalja tetive od srediπËa (d (S, AB)) je dolæina pravokotnice, ki poteka iz srediπËa na tetivo.

r d

AB2 2

2

= +( )2

1 IzraËunaj obseg in ploπËino enakokrakega trikotnika z osnovnico c.

a) a = 10 cm b) vc =12 dm c) c = 18 m

c = 16 cm c = 10 dm vc = 40 m

Ë) a = 6,1 m d) a = 37 dm e) a = 8 12

dm

c = 12 m vc = 12 dm c = 7 1

5dm

2 V enakostraniËnem trikotniku izraËunaj viπino, obseg in ploπËino.

a) a = 8 cm b) a = 5,4 cm c) a = 2 23 m

Ë) a = 3 cm d) a = 2 12⋅ m

3 Obseg enakostraniËnega trikotnika meri 21 cm. IzraËunaj njegovo ploπËino.

4 Kako visoko sega sadjarska lestev, ki ima obliko Ërke A, Ëe je vsak krak dolg 2,5 m in sta kraka na tleh razmaknjena 1,4 m?

5 V enakokrakem trikotniku s ploπËino 240 cm2 meri viπina 24 cm. IzraËunaj obseg tega trikotnika.

6 Za parkovni nasad v obliki enakokrakega trikotnika z osnovnico 16 m potrebujejo 50 m ograje. Koliko m2 zaπËite potrebujejo, da ta nasad pokrijejo?

ZMOREM TUDI TO

7 Dana je viπina enakostraniËnega trikotnika. IzraËunaj njegov obseg in ploπËino.

a) v = 6 cm b) v = 15,57 dm c) v = 2 3⋅ m

8 V pravokotniku z dolæino 24 cm in πirino 35 cm je vrisan enakokrak trikotnik, ki ima vrh v razpoloviπËu stranice, osnovnica pa je nasprotna stranica pravokotnika. IzraËunaj obseg nastalega trikotnika. Koliko je moænosti? Za koliko se razlikujejo?

9 Viπina enakostraniËnega trikotnika z osnovnico 80 cm je stranica kvadrata, ki mu oËrtamo krog.

IzraËunaj obseg kvadrata in ploπËino kroga, ki mu ga oËrtamo.

10 V enakokrakem trapezu izraËunaj obseg in ploπËino.

a) a = 17 cm b) a = 26 cm c) a = 24 dm c = 7 cm c = 1 dm b = 15 dm v = 12 cm v = 1,5 dm c = 6 dm Ë) a = 17 m d) a = 21 cm b = 10 m c = 9 cm v = 8 m e = 17 cm

11 Æelezniπki nasip ima v prerezu obliko ena-kokrakega trapeza s podatki: a = 3,4 m, c = 2,7 m in b = 1,3 m. Kako visok je nasip?

12 V enakokrakem trapezu izraËunaj dolžino diagonale, obseg in plošËino (nariši dobro skico).

a) a = 21 cm b) b = 17 m c = 9 cm c = 28 m v = 8 cm a = 44 m

13 V trapezu meri kot α = 90°. IzraËunaj obseg in ploπËino.

a) a = 14 cm b) a = 19 m c) b = 15 cm c = 9 cm b = 17 m c = 6 cm v = 12 cm c = 11 m v = 9 cm

190

4 PITAGOROV IZREK V ROMBU IN V DELTOIDU

Izvedel boš: — kako lahko Pitagorov izrek uporabimo v rombu in v deltoidu.

RE©ENI PRIMERI

Rok se je spomnil, da se v rombu in deltoidu diagonali sekata pod pravim kotom.

Romb

Diagonali razdelita romb na πtiri skladne pravo-kotne trikotnike.

a e f22 2

= ( ) +( )2 2

Izrazimo lahko obe diagonali:e fa2 2( ) = −( )

22

2

in f ea2 2( ) = −( )

22

2

e fa2 4

2

= −

2

f ea2 4

2

= −

2

e a f= −⋅2

2

4

2

f a e= −⋅2

2

4

2

Deltoid

Diagonali razdelita deltoid na dva para skladnih pravokotnih trikotnikov.

x ce2 2

2

= −( )2

y a e2 22

= −( )2a

a

e

2f

2

1 Diagonali romba merita e = 8 cm in f = 6 cm. IzraËunaj obseg in ploπËino romba.

Reπitev: PloπËino lahko izraËunamo iz danih podatkov.

p e f=

⋅

2

p =

⋅

=

8 6

2482

p = 24 cm2

Za obseg pa potrebujemo dolæino stranice a. Pomagamo si s Pitagorovim izrekom.

a e f22 2

= ( ) +( )2 2

a 2 = 42 + 32 = 25

a = 25

a = 5 cm

e f

a

aay

e

xc c

A C

D

B

f

f x y= +

e = 8 cm

f = 6 cm

o =

p =

PITAGOROV IZREK V ROMBU IN V DELTOIDU

af

2

2e

2

2= +( )( ) x c

e2 22

2= – ( )

y ae2 2

2

2= – ( )

ROMB DELTOID

o = 4 · a

o = 4 · 5

o = 20 cmObseg romba meri 20 cm, ploπËina pa 24 cm2.

Rok je doma izdelal papirnatega zmaja, ki ga je æelel ob robovih oblepiti s svetleËim trakom.

RAZMISLI Koliko traku potrebuje?

191

NALOGE ZA VAJO

2 IzraËunaj obseg in ploπËino deltoida, Ëe je a = 17 cm, c = 10 cm in e = 16 cm.

Reπitev: a = 17 cm Obseg lahko izraËunamo iz danih podatkov:

c = 10 cm o = 2 · a + 2 · c

e = 16 cm o = 2 · 17 + 2 · 10

o = o = 34 + 20

p = o = 54 cm

Za ploπËino p e f=

⋅

2potrebujemo dolæino diagonale f. IzraËunamo

jo z uporabo Pitagorovega izreka.

f = x + y

x 2 = c 2 — e2( )

2

y 2 = a 2 — e2( )

2

x 2 = 102 — 82 y 2 = 172 — 82

x 2 = 100 — 64 = 36 y 2 = 289 — 64 = 225

x = 36 y = 225

x = 6 cm y = 15 cm

f = x + y = 6 + 15 = 21 cm Odgovor: Obseg deltoida meri 54 cm, ploπËina pa 168 cm2.

aa

y

xc c

A C

D

B

e2

e2

f

Sedaj izraËunamo πe ploπËino:

p e f=

⋅

=

⋅

2

16 21

2

p = 168 cm2

1 IzraËunaj obseg in ploπËino romba, Ëe poznaπ dolæini obeh diagonal.

a) e = 24 cm b) e = 4 m

f = 10 cm f = 4,2 m

c) e = 14 25

dm Ë) f = 6 2⋅ cm

f = 13 dm e = 2 7⋅ cm

2 PloπËina romba z diagonalo e = 22 cm meri 1320 cm2. IzraËunaj njegov obseg in viπino.

3 Obseg romba meri 160 cm, diagonala f pa 64 cm. IzraËunaj ploπËino tega romba in njegovo viπino.

4 EnakostraniËni trikotnik s stranico 16 cm in romb z diagonalo e = 12 3⋅ cm imata enak obseg.

Primerjaj njuni ploπËini. Za koliko % se raz-likujeta?

5 IzraËunaj obseg in ploπËino deltoida, Ëe poznaπ naslednje podatke.

a) a = 20 cm b) c = 17 cm c) a = 74 cm c = 13 cm e = 30 cm e = 48 cm e = 24 cm f = 44 cm f = 77 cm

ZMOREM TUDI TO

6 PloπËina deltoida z diagonalo e = 32 cm in stranico c = 34 cm meri 1488 cm2 . IzraËunaj njegov obseg.

7 Obseg deltoida s stranico a = 41 cm in diagonalo e = 18 cm meri 112 cm. IzraËunaj njegovo ploπËino.

8 V deltoidu s stranicama a = 37 cm in c = 13 cm meri diagonala f = 40 cm. RazišËi, koliko meri diagonala e ter izraËunaj plošËino in obseg tega deltoida. Ali obstaja ena sama rešitev (vse dolžine so naravna števila)?

192

Na poletni prireditvi sta se ©pela in Rok udeleæila igre iskanje skritega zaklada. Naloga se je glasila takole: „Do prve postojanke pojdi 80 m proti vzhodu in nato 150 m proti severu. Tam je skrit zaklad. Z njim se moraπ vrniti na start po najkrajπi poti.”

RAZMISLI Ali je pot po bliænjici — po najkrajπi poti — res veliko krajπa?

5 RAZDALJA MED DVEMA TO»KAMA

Izvedel boš: — kako uporabimo Pitagorov izrek v koordinatnem sistemu,— kako izraËunamo dolæino daljice v koordinatnem sistemu.

RAZDALJA MED DVEMA TO»KAMA

Razdalja med toËkama v koordinatnem sistemu je enaka:

d(A, B) = x x y y2 2−( ) + −( )1

2

1

2

Da bomo znali izraËunati najkrajπo pot, si najprej poglejmo razdaljo med toËkama v koordinatnem sistemu. Izberimo toËki A (2, 1) in B (6, 4).

Razdalja med toËkama A in B (d (A, B)) je enaka dolæini daljice, ki ti dve toËki povezuje |AB|.

d (A, B) = |AB |

Daljica AB je hipotenuza v pravokotnem trikotniku ATB. Njeno dolæino izraËunamo z uporabo Pitagorovega izreka.

Najprej doloËimo dolæini obeh katet: daljice |AT | — poteka od 2. do 6. enote, torej |AT | = 6 — 2 = 4 enote;daljice |TB | — poteka od 1. do 4. enote, torej |TB | = 4 — 1 = 3 enote.

Ko imamo dolæine obeh katet, lahko izraËunamo dolæino daljice AB.

|AB |2 = |AT |2 + |TB |2

|AB |2 = 42 + 32

|AB |2 = 16 + 9 = 25

|AB | = 25 = 5 enot

Tako lahko izraËunamo dolæino poljubne daljice v koordinatnem sistemu.

y

4

1

0 1 2

4

6

B

A

T

} 3

x

}

Koliko so si tekmovalci skrajπali pot? DZ − naloga 8.3

Z uporabo raËunalniškega programa Cabri razišËi ali povezava

velja za poljubni toËki v ravnini.

d (A,B) x( ) )(−2 x2 2

1 y −+2 y1

=

193

RE©ENI PRIMERI

1 IzraËunaj dolæino daljice, ki jo doloËata toËki P (1, 5) in R (7, — 3).

Reπitev: Dolæina daljice PR je dolæina hipotenuze. DoloËimo najprej obe kateti.

Kateta TR poteka od 1 do 7: d (T, R ) = 7 — 1 d (T, R ) = 6 enot Kateta TP poteka od — 3 do 5: d (T, P ) = 5 — (— 3) = 5 + 3 d (T, P ) = 8 enot Sedaj izraËunamo dolæino daljice PR:

|PR|2 = 62 + 82

|PR |2 = 36 + 64 = 100

|PR | = 100 =10 enot

Odgovor: Daljica PR je dolga 10 enot.

2 IzraËunaj obseg in ploπËino lika, ki ga omejujejo toËke A (1, 1), B (13, — 4) in C (5, 4).

Reπitev: Najprej toËke nariπimo na koordinatni sistem.

Obseg trikotnika ABC je vsota dolæin vseh treh stranic, zato najprej s Pitagorovim izrekom izraËuna-mo vse tri dolæine stranic.

|AB |2 = 122 + 52 |AC |2 = 42 + 32 |BC |2 = 82 + 82

|AB |2 = 144 + 25 = 169 |AC |2 = 16 + 9 = 25 |BC |2 = 64 + 64 = 128

|AB | = 169 =13 enot |AC | = 25 = 5 enot |BC | = 128 = 11,3 enot

IzraËunajmo sedaj obseg:

o = |AB | + |AC | + |BC |

o = 13 + 5 + 11,3

o = 29,3 enote

y

x1

R

0

1

T

P

y

x1

B

0

1 A

C

194

NALOGE ZA VAJO

PloπËino pa izraËunamo tako, da od ploπËine pravokotnika, ki ga trikotniku oËrtamo (glej zeleni pravokotnik), odπtejemo ploπËine „vogalnih” pravokotnih trikotnikov.

Stranici pravokotnika merita: osnovnica od 1 do 13, torej 12 enot; viπina od — 4 do 4, to je 8 enot.

p = a · b = 12 · 8 p = 96 kvadratnih enot

PloπËine trikotnikov pa so:

p1

12 5

2=

⋅

= 30 p2

4 3

2=

⋅

=6 p3

8 8

2=

⋅

=32

Vsota ploπËin vseh trikotnikov je 30 + 6 + 32 = 68 kvadratnih enot.

PloπËina trikotnika ABC pa: 96 — 68 = 28 kvadratnih enot.

Odgovor: Obseg trikotnika meri 29,3 enote, ploπËina pa 28 kvadratnih enot.

1 IzraËunaj dolæine daljic, ki jih omejujejo dane toËke.

a) C (7, 3) b) P (3, 16) c) A (—7, —6) D (10, 7) R (11, 1) B (14, 14) Ë) K (—6, 15) d) E (3, 8) L (4, —9) F (9, 2)

2 S koordinatne mreæe odËitaj koordinate toËk in izraËunaj dolæine posameznih daljic.

3 IzraËunaj obseg in ploπËino lika, ki ga doloËajo toËke.

a) A (2, 3) b) K (— 4, 2) B (5, 7) L (0, — 1) C (7, 15) M (2, 10)

c) P (— 6, — 3) Ë) M (— 2, — 6) R (6, 2) N (10, — 1) S (2, 3) O (4, 7) P (— 5, — 2)

ZMOREM TUDI TO

4 DoloËi neznano koordinato toËke B (3, y), Ëe veπ, da je dolæina daljice AB 26 enot, koordinate toËke A pa so (— 7, 1).

5 IzraËunaj obseg in ploπËino kroga, Ëe veπ, da je daljica, ki jo doloËata toËki A (— 5, — 2) in B (3, 13), njegov premer. RazišËi, kako se spremenita obseg in plošËina, Ëe toËki B spremenimo koordinate: B (— 2, 1)

6 ToËke A (2, 3), B (17, 11), C (2, 19) in D (— 4, 11) so ogliπËa deltoida. IzraËunaj njegov obseg in ploπËino.

y

x1

B

0

A

C

D

E

F

195

3 T

3 T

4 T

4 T

4 T

3 T

3 T

3 T

3 T







1 Dopolni izjave:

2 IzraËunaj obseg in ploπËino pravokotnega trikotnika, Ëe meri ena od katet 15 cm, hipotenuza pa 17 cm.

3 V zvezek nariπi pravokotnik s stranicama 4,5 cm in 2,8 cm. Izmeri dolæino diagonale in izmerjeno dolæino primerjaj z izraËunano.

4 25 m visoko drevo se prelomi na viπini 12 m od tal. Kako daleË od vznoæja drevesa se vrh dotakne tal? V zvezek nariπi skico.

5 Diagonala kvadrata meri 7,05 cm. IzraËunaj njegov obseg in ploπËino.

6 V rombu merita diagonali e = 32 cm in f = 24 cm. IzraËunaj obseg in ploπËino tega romba ter njegovo viπino.

7 V zvezek nariπi ustrezno sliko ter izraËunaj dolæino daljice, ki je podana s toËkama P (— 3, 2) in R (1, 5).

8 Osnovnica c v enakokrakem trikotniku meri 12 cm, ploπËina trikotnika pa 48 cm2. IzraËunaj njegov obseg.

9 V enakokrakem trapezu merita osnovnici a = 25 cm in c = 11 cm, krak b pa 24 cm. IzraËunaj obseg in ploπËino tega enakokrakega trapeza.

k

lm

m2 =

l =

k2 =

ŠPELA SE PREIZKUSI

196

6 12345

123456789

123456789012

12345678901234567

0 1234567890123456789

3456789012345678901234567

45678901234567890123456789012

89012345678901234567890 123456789

6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6

90 123456789012345678901234567890 1234567

89012345678901234567890123456789012345678

890 123456789012345678901234567890 12345678901234

9012345678901234567890123456789012345678901234567

7890 123456789012345678901234567890123456789012345678901

01234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678

234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

56789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890

4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4

67890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012

567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456

678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456789

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

23456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123

1 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678 9 01 2 3

34567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123

34567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

34567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123

45678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

5678901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

0 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890

9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 0

1234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

01234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

2345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678901234

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678

789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678

8901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

78901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678901

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345

5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6

5678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456

67890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

5678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345

78901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

45678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345

789012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345678

901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123

2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4

345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

2345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123

45678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

2345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012

456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01

012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890

23456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

9012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890123

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789

789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

6789012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234567

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

45678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345

6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 67

56789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345

890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345

67890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

78901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234

45678901234567890123456789012345678901234567890 12345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890

6789012345678901234567890 12345678901234567890123

89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5

456789012345678901234567890 1234567890123

890123456789012345678901234567890

12345678901234567890 123456789012

67890123456789012345678901

8901234567890123456789012

678901234567890 12345

12345678901234567

8901234567890

5 6789 01 2

6789078

NEKOČ IN DANES

Znan matematični problem je tudi “delski” problem. Prebivalci otoka Delos v Egejskem morju so se želeli rešiti epidemije, ki je vladala na otoku. Podvojili naj bi zlat žrtvenik boga Sonca, ki je imel obliko kocke. Podvojiti bi ga morali tako, da bi imel dvakratno prostornino in bi še vedno obdržal obliko kocke. Tega problema samo s šestilom in ravnilom niso znali rešiti. Šele v prvi polovici 19. stoletja so dokazali, da se samo s šestilom in ravnilom takšna kocka ne da konstruirati.

Največja piramida v Egiptu je sestavljena iz več kot 2 milijonov kamnitih blokov, ki imajo obliko kvadra.

Eden največjih astronomov, Johannes Kepler, je verjel, da v vesolju vlada poseben red, ki temelji na geometriji pravilnih poliedrov, med katere sodi tudi kocka.

Pitagorovi učenci (Pitagorejci) so s pravilnimi telesi povezovali nastanek sveta. Po njihovi teoriji je Zemlja nastala iz kocke.

198

445678

12345678

4567890123456

234567890 1234

45678901234567890123

7890 12345678901234567890

012345678901234567890123456

12345678901234567890 123456789012

1 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01

1234567890123456789012345678901234567890

9012345678901234567890123456789012345678

23456789012345678901234567890123456789012345678

01234567890 123456789012345678901234567890

1

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345

567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012

789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

9012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234

9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789

0 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890123456789

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

78901234567890 123456789012345678901234567890

1234567890123456789

901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678

7 89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678

7890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

45678901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567

67890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

5678901234567890 123456789012345678901234567890

1234567890123456

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345

5 678 9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6

4567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

12345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012345

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

2345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901234

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

78901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678

9012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890123456789012

3 4 5 678 9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4

234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

9012345678901234567890123456789012345678901234567890 123456789012

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

012345678901234567890 123456789012345678901234567890

12345678901

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

45678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

90 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890

01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2

901234567890 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567890

901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

123456789

8901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

12345678901234567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012

4567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456

67890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567

89 01 2 3 4 5 678 9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789

678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 1234567

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

56789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

123456

5678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567

9012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

4567890 123456789012345678901234567890 1234567890123456789012345678901234

6789 01 2 3 4 5 67 89 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 67

45678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 12345

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

3456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

1234

3456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567

8901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

1234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456789012

3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5

12345678901234567890 1234567890123456789012345678901234567890123456789012

90123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 12

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123

0123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

1

0123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012

456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234

6789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

8901234567890 123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456789

1 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 678 9 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3

89012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890

7890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

34567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

6789012345678901234567890 123456789012345678901234567890

012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

78901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012

34567890123456789012345678901234567890123456789012345

9012345678901234567890 12345678901234567890123456

3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 01 2 3 4 5 6789 0

78901234567890123456789012345678901234567

7890123456789012345678901234567890

567890123456789012345678901234567

345678901234567890123456789

23456789012345678901234567

901234567890 123456789

67890123456789012

12345678901234

01 2 3 4 5 678

90123478

KOCKA IN KVADER1 OSNOVNI POJMI

2 POVR©INA IN PROSTORNINA

3 PLOSKOVNE DIAGONALE

4 TELESNE DIAGONALE

5 DIAGONALNI PRESEKI

©PELA SE PREIZKUSI

1 cm 1 cm2 1 cm3

1 centimeter 1 kvadratni centimeter 1 kubični centimeter

merjenje dolžine merjenje površine merjenje prostornine

V vsakdanjem življenju pogosto opazimo predmete, ki imajo obliko kocke oziroma kvadra.

V naravi srečujemo tri vrste merjenja dimenzij.

199

Babica je prosila Roka, da ji prinese zdravila iz njenje noËne omarice. V predalu je naπel cel kup razliËnih πkatlic za zdravila,tudi raztrgane in razgrnjene. Spraπeval se je, kakπno obliko so imele poπkodovane πkatlice.

RAZMISLI Se da iz raztrgane in razgrnjne πkatlice ugotoviti njeno prvotno obliko?

1 VSE O KOCKI IN KVADRU

Izvedel boš: — kateri so osnovni pojmi, ki opisujejo kocko in kvader,— kako izdelamo mreæo kocke in kvadra,— kako izraËunamo povrπino in prostornino kocke in kvadra ter kako uporabljamo Pitagorov izrek.

PONOVIMOKVADER je geometrijsko telo, ki je omejeno s πestimi pravokotniki, od katerih sta po dva nasprotna skladna.Kocka je geometrijsko telo, ki je omejeno s πestimi skladnimi kvadrati.

ObiËajno imajo πkatlice obliko kocke ali kvadra, ki si ju æe spoznal v preteklih letih. Ker se Rok πe dovolj dobro spomni, kaj je takrat izvedel o teh dveh geometrijskih telesih, je brez teæav ugotovil, kakπne oblike so bile πkatlice.

Osnovni pojmiVeËino geometrijskih teles lahko opiπemo z naslednjimi osnovnimi pojmi (nimajo vsa telesa vseh):

• OgliπËe je toËka, kjer se stikajo robovi telesa.• Osnovni rob je daljica, ki povezuje sosednji ogliπËi osnovne ploskve telesa.• Stranski rob ali viπina je razdalja med osnovnima ploskvama.• Osnovna ploskev je tista mejna ploskev, na kateri telo stoji, in tista, ki je z njo vzporedna.• Stranska ploskev je tista mejna ploskev telesa, ki ni osnovna.• Ploskovna diagonala je daljica, ki povezuje nasprotni ogliπËi izbrane mejne ploskve telesa.• Telesna diagonala je daljica, ki povezuje nasprotni ogliπËi vzporednih ploskev kocke oziroma kvadra.

KOCKA KVADER

• 12 ogliπË• vsi robovi so enako dolgi• vse ploskve so skladni kvadrati• vse ploskovne diagonale so enako dolge

• 12 ogliπË• po πtirje nasprotni robovi so enako dolgi• nasprotne ploskve so paroma skladni pravokotniki

DoloËi manjkajoËe πkatlice.DZ − naloga 9.1

200

POVR©INA KOCKE IN KVADRA

KOCKA: P = 6a 2

KVADER: P = 2(ab + bc + ac)

Povrπina in prostorninaIz oblike obeh teles lahko zapiπemo obrazce za povrπino in prostornino, ki smo jih spoznali æe v 6. razredu.

Povrπina kvadra je sestavljena iz treh razliËnih, paroma skladnih pravokotnikov, katerih ploπËino izraËu-namo s produktom ustreznih stranic:

P = ab + ab + bc + bc + ac + ac

P = 2 ab + 2 bc + 2 ac

P = 2(ab + bc + ac)

Pri kocki upoπtevamo enakost vseh robov (a = b = c) in dobimo

P = 6a2

Prostornino kvadra izraËunamo kot produkt velikosti osnovne ploskve in viπine: V = O · v

Ker je osnovna ploskev kvadra pravokotnik s ploπËino O = a · b in je viπina kvadra enaka robu c, dobimo:

V = a · b · c

V kocki upoπtevamo enakost robov (a = b = c) in dobimo: V = a 3

a

a

c c

cc c

c

b b

b a a

a a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

c

b

a

ad

d

Iz modela izriπemo pravokotni trikot-nik, v katerem najdemo diagonalo osnovne ploskve in diagonalo stran-ske ploskve. Vsi trikotniki in vse diago-nale so skladne.

V kvadru imamo v nasprotju s kocko opraviti s tremi razliËnimi diagona-lami, saj imamo tri razliËne ploskve — pravokotnike:

a d

a

a

bd1

c

b

d2 c

a

d3

d a a

d a

d a

d a

2 2 2

2 2

2

=

=

=

=

+

⋅

2

2

2

d a b1=

2 2

+ d b c2=

2 2

+ d a c3=

2 2

+

d3

a

b

cd

2

d1

PROSTORNINA KOCKE IN KVADRA

KOCKA: V = a 3

KVADER: V = a · b · c

Ploskovne diagonale

201

D 2 = d 2 + a 2 d 2 = a 2 + a 2

D 2 = a 2 + a 2 + a 2

D 2 = 3a 2

D =

D =

D 2 = d12 + c 2 d1

2 = a 2 + b 2

D 2 = a 2 + b 2 + c 2

D = a b c2 2 2+ +

D

d1

3

3

a

a

2

⋅3

3

a

a ⋅

Pri kocki lahko naredimo takπen presek sicer na veË naËinov, vendar pa so vsi ti preseki ploπËinsko enaki, kot so enake tudi vse ploskovne diagonale v kocki.

d1

p1

c

d2p2

a

d

p1

a

dp2

a

p1 = d1 · c p2 = d2 · a p3 = d3 · b

d3

p3

b

p1 = p2 = p = d · a

p = a22

D

d

Kvader lahko z ravninami skozi ogliπËa presekamo na veË naËinov in tako dobimo ploπËinsko razliËne preseke. Ker preseËne rav-nine potekajo po ploskovnih diagonalah kvadra, jih imenujemo diagonalni preseki.

Ker so diagonalni preseki kvadra pravokotniki, njihovo ploπËino izraËunamo kot produkt dolæin ustreznih diagonal in stranic:

PLOSKOVNE IN TELESNE DIAGONALE

KOCKA: d = a ⋅ 2 , D = a ⋅ 3

KVADER: d1 = a b2 2+ , d2 = b c

2 2+ , d3 = a c2 2+ , D = a b c

2 2 2+ +

Telesne diagonale

Diagonalni preseki

202

RE©ENI PRIMERI

1 Akvarij ima obliko kvadra z dolæino 1,5 metra, πirino 4 dm in viπino 32 cm. Koliko litrov vode lahko nalijemo v akvarij, da bo poln do vrha? Pribliæno koliko m2 stekla potrebujemo za njego-vo izdelavo, Ëe nima pokrova?

Reπitev: RaËunamo prostornino kvadra (koliËina vode) in povrπino brez ene osnovne ploskve (koliËina stekla).

Pri raËunanju je treba vse merske enote poenotiti — najpreprosteje je, Ëe jih spremenimo v cm.

V = abc

V = 150 · 40 · 32 V = 192000 cm3

V = 192 dm3 (10000 cm3 = 1 dm3 = 1 liter) V = 192 litrov

RaËunamo povrπino kvadra, ki nima ene osnovne ploskve (brez pokrova), kar pomeni, da obrazec

ustrezno popravimo in namesto 2ab, piπemo ab:

P = ab + 2ac + 2bc

P = 150 · 40 + 2 · 150 · 32 + 2 · 40 · 32 P = 6000 + 9600 + 2560 P = 18160 cm2 (10000 cm2 = 1 m2) P = 1,816 m2

Odgovor: V akvarij bi lahko nalili 192 litrov vode, za njegovo izdelavo bi potrebovali pribliæno1,8 m2 stekla.

2 V kvadru poznamo robova b = 5 cm in c = 16 cm, diagonala osnovne ploskve pa meri 13 cm. IzraËunaj dolæini drugih dveh ploskovnih diagonal in telesno diagonalo. Koliko meri lomljenka, po kateri vodi najkrajπa pot iz enega v drugo krajiπËe telesne diagonale?

Reπitev: Koristno je, Ëe si pri nalogi nariπemo skico in oznaËimo podatke. Iz znanega roba osnovne

ploskve in diagonale izraËunamo drugi rob osnovne ploskve in nato πe drugi dve ploskovni diagonali

po Pitagorovem izreku:

d12 = a 2 + b 2 d2

2 = b 2 + c 2 d32 = a 2 + c 2

a 2 = d12 — b 2 d2

2 = 52 + 162 d32 = 122 + 162

a 2 = 132 — 52 d22 = 25 + 256 d3

2 = 144 + 256

a 2 = 169 — 25 d22 = 281 d3

2 = 400

a 2 = 144 d2 = 281 d3 = 400

a = 144 d2 =16,8 cm d3 = 20 cm

a = 12 cm

Ker koren πtevila 281 ni racionalno πtevilo, rezultat zapiπemo s pomoËjo korena ali pa poiπËemo ustrezni racionalni pribliæek.

.

d3

d1

d2

a

b

c

203

Telesno diagonalo izraËunamo po obrazcu: Lomljenko sestavljajo robovi kvadra, kar pomeni, da

je najkrajπa pot vsota vseh treh robov:

D 2 = a 2 + b 2 + c 2

D 2 = 52 + 122 + 162 l = a + b + c

D 2 = 25 + 144 + 256 l = 5 cm + 12 cm + 16 cm

D 2 = 425 l = 33 cm

D = 425 = 25 17⋅ = 5 17⋅ cm

Odgovor: Ploskovni diagonali merita 20 cm in 16,8 cm, telesna diagonala pa 5 17⋅ cm. Dolæina najkrajπe lomljenke, ki povezuje krajiπËi telesne diagonale, je 33 cm.

3 Kocka ima povrπino 864 cm2. Kolikπna je viπina kvadra z dolæino 12 cm in πirino 8 cm, Ëe veπ, da imata kocka in kvader enako prostornino?

Reπitev: Iz znane povrπine kocke izraËunamo rob in nato Ker ima kvader enako prostornino kot kocka,

prostornino kocke: lahko iz znane prostornine kvadra izraËunamo

tretji, neznani rob kvadra:

P = 6a 2 V = a 3 a = 12 cm

a 2 = P : 6 V = 123 b = 8 cm

a 2 = 864 : 6 V = 1728 cm3 V = 1728 cm3

a 2 = 144 c =

a = 144 V = abc

a = 12 cm c = V : (a · b)

c = 1728 : (12 · 8)

c = 18 cm Odgovor: Viπina kvadra meri 18 cm. 4 PloπËina diagonalnega preseka kocke meri 64 · 2 cm2. Koliko meri prostornina te kocke?

Reπitev: PloπËino diagonalnega preseka v kocki izraËunamo po obrazcu: p = a 2 · 2

Iz obrazca izrazimo in nato izraËunamo stranico S pomoËjo znane stranice izraËunamo kocke, saj ploπËino preseka poznamo: πe prostornino:

a 2 = p

2

a 2 = 64 2

2

⋅

a 2 = 64

a = 64

a = 8 cm

Odgovor: Prostornina kocke meri 512 cm3.

V = a 3

V = 83

V = 512 cm3

a 2

a

aa

204

NALOGE ZA VAJO

3 IzraËunaj povrπino in prostornino kocke, Ëe je podan rob.

a) 7 m b) 23 cm c) 12, 4 mm

d) 5 13 dm e) 5 cm f) 2 11 cm

4 IzraËunaj povrπino in prostornino kvadra s podanimi robovi:

a) 4 cm, 5 cm in 6 cm b) 150 cm, 80 cm in 90 cm c) 7,5 mm, 9,4 mm in 11,2 mm

5 Poimenuj telesa, ki so na sliki, in izraËunaj njihovo povrπino in prostornino.

a) b)

c)

6 Pribliæno koliko peska so porabili za nasutje 5 km dolgega odseka avtoceste, ki je πiroka 8 metrov, Ëe je debelina nasutega peska 1,5 metra?

7 Soba ima dimenzije 6 m x 8,5 m x 2,5 m. a) IzraËunaj prostornino sobe. b) Kolikπno povrπino moramo prepleskati, ko

obnavljamo to sobo? c) Koliko nas stane barva za pleskanje, Ëe 1 kg

barve stane 0,46 € in je porabimo 200 g za m2?

8 Osnovna ploskev steklene posode v obliki kvadra meri 150 cm2. Koliko litrov vode lahko nalijemo v to posodo, Ëe je visoka 6 dm?

9 Kolikπna je prostornina kartonske πkatle v obliki kocke z robom 12 decimetrov? Rezultat zapiπi v m3, dm3 in cm3.

10 Nariπi mreæo kvadra z robovi ter izraËunaj njegovo povrπino in prostornino.

a) 3 cm, 2 cm in 4 cm b) 5 cm, 2,5 cm in 1 cm. Z uporabo ustreznega raËunalniškega pro-

grama razišËi, kako se spreminja plašË kvadra, Ëe zamenjamo dolžine robov (za a in b primer).

11 Nariπi mreæo kocke z robom ter izraËunaj njeno povrπino in prostornino.

a) 3 cm b) 2,4 cm

1 Iz katerih spodnjih mreæ na sliki lahko sestavimo kocko? »e nisi prepriËan, preriπi mreæe na karirast papir, jih izreæi in poskuπaj zloæiti v kocko.

a) b) c) Ë) d) e)

2 Slika prikazuje mreæe kvadrov, od katerih so pravilne samo nekatere. IzloËi vse, ki niso pravilne. V zvezek nariπi popravljene mreæe nepravilnih slik.

a) b) c) Ë)

4,5 dm

4,5 dm4,5 dm

18 cm18 cm

0,72 m

1,2 m2 dm

35 cm

205

12 Skiciraj poljuben model kvadra in v njem oznaËi oziroma pobarvaj:

a) osnovni ploskvi z rdeËo barvo b) diagonalo osnovne ploskve z modro barvo c) telesno diagonalo z zeleno barvo d) stranske robove z vijoliËasto barvo

13 Nariπi poljuben model kvadra in mu vriπi vse telesne diagonale. Koliko jih je? Kaj lahko poveπ o njihovi dolæini? Enako napra-vi πe za kocko.

14 Dopolni preglednico za kocko.

a P V D

9

216

1000

15 3

15 Dopolni mreæo kvadra in doloËi njegovo povrπino in prostornino. Potrebne podatke izmeri na sliki.

16 Dopolni preglednico za kvader.

a b c P V

7 6 10

9 25 420

8 30 1200

4 15 960

17 V kvadru z robovi a = 6 cm, b = 8 cm in c = 10 cm izraËunaj:

a) povrπino in prostornino b) ploπËino osnovne ploskve c) ploπËino plaπËa Ë) dolæino vseh treh ploskovnih diagonal d) dolæino telesne diagonale e) ploπËino diagonalnega preseka, ki ga tvorita

diagonala osnovne ploskve in viπina kvadra.

18 V kocki z robom 4 dm izraËunaj: a) povrπino in prostornino. b) ploπËino osnovne ploskve c) ploπËino plaπËa Ë) dolæino ploskovne diagonale d) dolæino telesne diagonale e) ploπËino diagonalnega preseka

19 Koliko kg barve porabimo za pleskanje sobe (sten in stropa) z dimenzijami 6 m x 4,5 m x 2,2 m, Ëe za kvadratni meter porabimo 2 dag barve?

20 Kocka ima enako povrπino kot lesena letev z robovi 3 cm x 6 cm x 190 cm. Koliko m3 lesa vsebuje kocka?

21 Iz podatkov na sliki izraËunaj povrπino in prostornino kvadra.

a)

b)

22 IzraËunaj neznane koliËine v kvadru.

a) O = 180 cm, V = 3600 cm3, d3 = 25 cm pl = ?, P = ?, d1 = ?, d2 = ?, D = ?

b) pl = 70 cm2, a = 3 cm, b = 4 cm V = ?, d1 = ?, d2 = ?, d3 = ?, D = ?

c) D = 7 cm, c = 2 cm, d2 = 5 cm pl = ?, P = ?, d1 = ?, d3 = ?, V = ? Ë) a = 9 cm, V = 2160 cm3, d1 = 15 cm pl = ?, P = ?, d2 = ?, d3 = ?, D = ?

a = 21 cm

d3 = 29 cm

b = 10 cm

d1 = 17 cm

a = 15 cm

c = 12 cm

206

23 IzraËunaj zahtevane koliËine v kocki.

a) O = 64 cm a = ?, pl = ?, P = ?, d = ?, D = ?

b) d = 6 · 2 cm a = ?, pl = ?, P = ?, V = ?, D = ?

c) D = 10 cm a = ?, pl = ?, P = ?, V = ?, d = ?

Ë) pl = 4900 cm2

a = ?, O = ?, P = ?, V = ?, d = ?, D = ?

24 Hladilna skrinja ima prostornino 1,8 m3. Kako visoka je, Ëe so dimenzije osnovne ploskve 1,5 m x 0,8 m?

25 PlaπË kocke meri 1024 cm2. a) Koliko meri telesna diagonala kocke? b) Koliko litrov vode lahko nalijemo v posodo,

ki ima obliko take kocke?

26 Koliko litrov dræi posoda v obliki kocke, Ëe je velikost njene osnovne ploskve 324 cm2?

ZMOREM TUDI TO

27 Koliko tehta lesen tram dolæine 1,2 metra, πirine 2 dm in viπine 15 cm, Ëe je gostota lesa 600 kg/m3?

28 Dopolni manjkajoËe dele mreæ kvadra in kocke ter izrazi njuno povrπino in prostorni-no kot funkcijo ustrezne spremenljivke.

a) kocka b) kvader

29 Delavec je na viliËarja naloæil 8 æeleznih nosilcev, ki imajo obliko kvadra z dimen-zijami: 80 cm x 20 cm x 20 cm. Gostota æeleza je 7,9 · 103 kg/m3.

Ali sme naloæiti tolikπen tovor, Ëe je dovo-ljena nosilnost vozila 5 ton?

30 Telo sestavljajo enake kocke, ki imajo skup-no prostornino 32000 cm3 (prva slika).

a) DoloËi povrπino posamezne kocke. b) DoloËi povrπino telesa.

c) RazišËi, kako se spreminja prostornina telesa, Ëe postopno dodajamo po eno kocko v vsaki smeri.

31 Darilni paket v obliki kocke je zvezan z vrvi-co dolæine 360 cm (brez vozla in pentlje). DoloËi povrπino in prostornino tega paketa.

32 Zapiši izraz za povrπino in prostornino kvadra, ki ga prikazuje slika.

33 IzraËunaj povrπino in prostornino telesa, ki ga prikazuje slika, Ëe so znane mere:

a = 50 cm, b = 80 cm, c = 30 cm, d = 90 cm

34 Kocke z robom a zlagamo v vrsto tako, da zlepimo dve ploskvi. Zapiši površino 3., 5. in 8. telesa. Kako se spreminja površina sestavljenega telesa v odvisnosti od števila zlepljenih kock? Zapiši površino za n-to telo.

ma

3a

2a

x + 2x — 2

x

b

d

a

a

c

;

207

5 T

5 T

5 T

6 T

4 T

1 Slika prikazuje model geometrijskega telesa, ki ima vse robove enako dolge. Odgovori na vpraπanja oziroma reši.

a) Kako se imenuje geometrijsko telo na sliki? b) Kako se imenuje ploskev, ki jo doloËajo toËke A, B in C? c) Katera ploskev ima enak naziv? Ë) Pobarvaj ploskve, ki tvorijo plašË telesa. d) Kako imenujemo daljico AB? e) Kaj predstavlja daljica AC? f) Kako izraËunamo dolžino daljice AG? g) Zapiši vsaj eno daljico, ki je z daljico EH: — vzporedna; — pravokotna. h) Kako bi izraËunal plošËino osnovne ploskve tega telesa?

2 IzraËunaj povrπino in prostornino kocke z robom 18 cm. Površino izrazi še v dm2, prostornino pa v litrih.

3 V zvezek nariπi mreæo kvadra, ki ga prikazuje slika. IzraËunaj njegovo povrπino in prostornino z uporabo ustreznih obrazcev. DoloËi πe plošËino osnovne ploskve kvadra.

4 Koliko litrov vode lahko nalijemo v bazen, ki ima dolæino 30 metrov, πirino 20 metrov in je visok 2,5 metra? Najmanj koliko plastiËne ponjave potrebujemo, da bazen z njo pokrijemo?

5 Preriπi v zvezek in dopolni mreæo kvadra, ki je narisana v zmanjπanem merilu. a) IzraËunaj dolæino najkrajπe ploskovne diagonale. b) IzraËunaj dolæino telesne diagonale. c) Koliko meri plaπË tega kvadra?

A B

CD

E F

GH

3 cm1,5 cm

2 cm

20 cm

4 cm

10 cm

ŠPELA SE PREIZKUSI

208







6 IzraËunaj povrπino in prostornino kvadra, Ëe merita robova osnovne ploskve 12 cm in 9 cm, telesna diagonala pa meri 25 cm.

7 Povrπina kvadra z roboma osnovne ploskve a = 8 cm in b = 12 cm, meri 592 cm2.

a) IzraËunaj neznani rob kvadra. b) IzraËunaj velikost plaπËa kvadra.

8 Telo na sliki je sestavljeno iz 5 enakih kock z robom a. Izrazi njegovo površino in prostornino z robom a.

9 a) IzraËunaj ploπËino lika, ki je oznaËen na sliki, Ëe meri dolæina ploskovne diagonale kocke 8 · 2 cm.

b) IzraËunaj diagonalni presek kocke.

10 PloπËina osenËenega trikotnika meri 200 cm2. IzraËunaj prostornino kvadra.

D = 25 cm

12 cm

9 cm

5x

3x

4x

5 T

5 T

5 T

4 T

4 T

209

7 T

3 T

3 T

11 T

4 T

3 T

3 T

3 T

5 T

5 T

10 T

1 IzraËunaj vrednost izrazov.

a) — 11 + (— 24) = b) — 7,6 + 21,3 =

c) 302 · (— 4) = Ë) 3 — 2 · 6 + 8 : 2 — 5 =

d) ((3 — 2 · 6) + 8) : 2 — 5 = e) ( )− +( ) ⋅ −( ) −( )2 3 4 512

14

435

17

: =


a) 24 · 22 = b) 38 : 35 =

c) 5

5

3⋅

⋅

5 5

54

3

2= Ë) 3 144 2

2

81 121− ⋅ −( )2

=

3 Kvadrat πtevila 256 je 65536. DoloËi kvadrate naslednjih πtevil. a) 2,562 b) 25,62 c) 0,2562 Ë) 256002

4 Voznik tovornjaka je razvozil drva v 12 urah. V kolikπnem Ëasu bi enako koliËino drv razvozili trije vozniki? Nariπi graf.

5 Iz 11,5 kg orehov dobimo 4,6 kg orehovih jedrc. Koliko kg orehovih jedrc dobimo iz 30 kg orehov?

6 »e peπec prehodi na uro 6 km, pride iz kraja A v kraj B v 2 13

ure. V kolikπnem Ëasu bi priπel iz kraja A v kraj B, Ëe bi prehodil na uro le 4 km?

7 SkrËi. a) 6x — 4x + 9x — 7x — 2x = b) 4a 2 — (2a 2 — 5a + 6) + (3a 2 — 7a — 5) = c) 3u · (7u — 4) = Ë) (3x — 4) · (5x — 2) — (6x — 3) · 2x =

8 IzraËunaj vrednost izraza za a = — 2. (5a — 7) · (— 2a + 4) — (— 3a + 5) · (4a — 3) =

9 a) VeËkotniku na sliki vriπi vse diagonale. b) ©tevilo narisanih diagonal primerjaj s πtevilom diagonal, ki si jih izraËunal. c) IzraËunaj vsoto notranjih kotov za dani veËkotnik.

(2,5 t)

(2 t) (4 t)

(2,5 t)

(3 t)

(1 t)

(1 t)

(2 t)

(2 t)

(3 t)

(3 t)

ŠPELA NA CILJU

210







4 T

6 T

3 T

2 T

4 T

5 T

5 T

6 T

4 T

4 T 10 IzraËunaj obseg in ploπËino kroga s premerom 12 cm.

11 Obseg kroga meri 25,12 cm. IzraËunaj ploπËino kroænega izseka, ki pripada srediπËnemu kotu α = 90o.

12 IzraËunaj obseg in ploπËino osenËenega lika.

13 Preriπi v zvezek in dopolni enakosti.

x = z 2 = y =

14 Gasilci so 13 m dolgo lestev prislonili k stolpnici tako, da je bila na tleh od zgradbe odmaknjena 8 m. Do katere viπine je segala lestev?

15 Diagonali romba merita e = 16 cm in f = 12 cm. a) IzraËunaj obseg in ploπËino tega romba. b) V rombu izraËunaj tudi viπino.

16 Izraπunaj obseg in ploπËino trikotnika, ki ga doloËajo toËke A(— 1, — 2), B(3, — 2) in C(3, 1).

17 IzraËunaj povrπino in prostornino kvadra, Ëe merita osnovna robova a = 6 cm in b = 3 cm, viπina pa 4,2 cm.

18 PlaπË kocke meri 144 cm2. IzraËunaj njeno povrπino in prostornino.

19 V kvadru meri viπina 9 cm, diagonala stranske ploskve d3 = 15 cm in diagonala osnovne ploskve d1 = 13 cm. IzraËunaj povrπino, prostornino in ploπËino diagonalnega preseka tega kvadra.

4 cm

z

y

x

(3 t)

(1 t)

211

UPORABA ŽEPNEGA RA»UNALA

V vsakdanjem življenju uporabljamo razliËne vrste raËunal, od enostavnih do zahtevnejših. Med seboj se loËijo po številu raËunskih operacij, ki jih lahko z njimi opravimo in po tem, ali upoštevajo pravilni vrstni red raËunskih operacij: množenje oziroma deljenje pred seštevanjem oziroma odštevanjem. RaËunala se pogosto razlikujejo tudi po razporeditvi tipk in po oznakah raËunskih operacij: enake raËun-ske operacije so lahko razliËno oznaËene. Prav je, da pred uporabo preberemo navodila proizvajalca in se s tem izognemo morebitnim napakam zaradi nepravilne uporabe raËunala. Prav tako je smiselno pre-izkusiti delovanje posameznih tipk na primerih, ki jih lahko izraËunamo tudi na pamet. S tem preverimo pravilno uporabo tipk na svojem raËunalu.

Enostavno raËunalo ima manjše število tipk, ki

omogoËajo izvedbo najosnovnejših raËunskih oper-

acij: seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje,

kvadriranje in korenjenje.

Enostavno raËunalo obiËajno ne upošteva pravil-

nega vrstnega reda raËunskih operacij, kar lahko

preizkusiš z raËunom:

3 + 4 • 5 =

Rezultat 35 pomeni, da imaš pred sabo enostavno

raËunalo, ki izraËuna vrednost izraza po vrsti.

Zahtevnejše raËunalo ima veËje število tipk, ki

omogoËajo izvedbo osnovnih, pa tudi nekaterih

zahtevnejših raËunskih operacij, kot je na primer

potenciranje. Uporabljamo lahko tudi tipke za

število π, oklepaje in še nekatere druge.

Zahtevnejše raËunalo upošteva pravilni vrstni red

raËunskih operacij, kar lahko preizkusiš z raËunom:

3 + 4 • 5 =

Rezultat 23 pomeni, da imaš pred sabo zahtevnejše

raËunalo, ki upošteva vrstni red raËunskih operacij.

212

Z uporabo raËunala si pri matematiki pogosto olajšamo izraËun razliËnih, predvsem bolj zamudnih raËun-skih operacij ali pa ga uporabimo za preizkus dobljenih rezultatov, ki smo jih dobili po obiËajni poti, brez uporabe raËunala.PriporoËamo uporabo zahtevnejšega raËunala. Na spodnji sliki je prikazana funkcija posameznih tipk na takšnem raËunalu. Tistih, ki niso oznaËene, pri delu v osnovni šoli ne boš potreboval. Nekatera zahtevnejša raËunala omogoËajo celo programiranje, kar je na raËunalu posebej oznaËeno. Pred uporabo se prepriËaj, Ëe je raËunalo v ≈obiËajnem« stanju, kar pomeni, da ga boš uporabil za raËunske operacije in ne za programiranje.

Potenca števila

©tevilo π = 3,141

Kvadrat števila

Koren števila

Obratna vrednost

Decimalna pika (vejica)

Negativno število

Desni oklepaj

Levi oklepaj

Ulomek

Deljenje

Množenje

Odštevanje

Seštevanje

�

�

POZOR!VeËina zahtevnejših raËunal ima posebno tipko, ki je za uporabo zelo pomembna. Po navadi je to tipka, ki je drugaËne barve od ostalih in na njej je zapisna oznaka 2ndF, SHIFT ali INV. Z uporabo te tipke dosežemo veljavnost tistih operacij, ki so na raËunalu zapisane nad tipkami, z enako barvo kot omenjena tipka. V osnovni šoli veËine teh operacij ne potrebujemo.

213

V nadaljevanju so rešene nekatere naloge, ki si jih že rešili po obiËajni poti, torej brez uporabe raËunala. Seveda lahko poskusiš rešiti še druge podobne naloge in na ta naËin preveriš dobljene rezultate ter hkra-ti spoznaš vse možnosti uporabe raËunala.

PRIMER 1: RA»UNANJE VREDNOSTI ©TEVILSKEGA IZRAZA S SE©TEVANJEM IN OD©TEVANJEM

Stran 33, RE©EN PRIMER št. 1 Reševanje z raËunalom

IzraËunaj vrednost izraza:

(-8)+(+12)-(-7)-(+15)+(-6) =

Razen tipk za števila in raËunske operacije uporabimo tipke za levi in desni oklepaj ter tipko za negativni predznak števila. Pri pozitiv-nem predznaku pišemo samo število, brez znaka +.

( ± 8 ) + ( 12 ) - ( ± 7) - ( 15 ) + ( ± 6 ) = -10

Preverimo, ali je dobljeni rezultat z raËunalom enak tistemu, ki je v rešenem primeru.

PRIMER 2: RA»UNANJE VREDNOSTI ©TEVILSKEGA IZRAZA Z DELJENJEM


IzraËunaj spretno:

(-54) : (-1,2) : (-0.09) =

Razen tipk za števila in raËunske operacije uporabimo tipke za levi in desni oklepaj ter tipko za negativni predznak števila. Pri pozitiv-nem predznaku pišemo samo število, brez znaka +.

( ± 54 ) : ( ± 1,2 ) : ( ± 0,09) = -500


PRIMER 3: RA»UNANJE VREDNOSTI ©TEVILSKEGA IZRAZA Z VSEMI ©TIRIMI OPERACIJAMI



58

=38

2128

23

− · 1,75 : + 2

Razen tipk za števila (tokrat potrebujemo tudi tipko za zapis ulomka bc

a ) in raËunske operacije uporabimo tipke za levi in desni oklepaj.

5 bc

a 8 - 3 bc

a 8 x ( 1,75 : 21

bc

a 28 + 2 bc

a 2 bc

a 3 ) = -1.25


214

PRIMER 4: RA»UNANJE VREDNOSTI POTENC


IzraËunaj vrednost potenc:

a) 53 =

b) (-4)2 =

c) (-2)5 =

Ë) -34 =

Razen tipk za števila uporabimo še tipke za potenco y x, za levi in desni oklepaj ter tipko za negativni predznak števila. a)

5 y x 3 = 125

b)

( ± 4 ) y x 2 = 16

c)

( ± 2 ) y x 5 = -32

Ë)

± 3 y x 4 = -81


PRIMER 5: RA»UNANJE VREDNOSTI ©TEVILSKEGA IZRAZA S POTENCAMI IN KORENI

Stran 75, RE©EN PRIMER št. 1 c Reševanje z raËunalom


25 + 3 · 49 =

Razen tipk za števila uporabimo še tipke za potenco y x in za kvadratni koren x .

2 y x 5 + 3 x x 49 = 53


PRIMER 6: RA»UNANJE OBSEGA KROGA

Stran 163, RE©EN PRIMER št. 2 a) Reševanje z raËunalom

IzraËunaj obseg kroga s polmerom 6 cm.

Obseg kroga raËunamo po formuli o = π · 2r, kar pomeni, da izraËunamo vrednost izraza o = π · 12. Na raËunalu uporabimo tipke za število 12, množenje in za število π.

π x 12 = 37,68

V primeru, ko raËunalnik izpiše veËje število decimalnih mest rezultat primerno zaokrožimo:a) »e v nalogi piše, na koliko mest moramo zaokrožiti rezultat,

potem upoštevamo to navodilo.b) »e v nalogi ne piše, na koliko mest moramo zaokrožiti rezultat,

potem ga zaokrožimo tako, da je rezultat enako natanËen, kot je natanËen zaËetni podatek − v našem primeru je zaokrožen rezultat 38 cm.


UPORABA RA»UNALNIKA

Za reševanje matematiËnih problemov je dandanes na voljo veliko namenske programske opreme, ki pa je mnogokrat namenjena specifiËnim podroËjem (aritmetika, trigonometrija, statistika …). Mnogo matematiËnih nalog lahko uspešno rešimo z uporabo programa Excel, ki je del programskega paketa Microsoft Office, ali pa brezplaËnega programa Calc, ki je del programskega paketa Open Office. Delo v obeh programih se nekoliko razlikuje, a bistvo vseeno ostaja enako.Na dveh primerih nalog iz uËbenika bomo prikazali možnost uporabe Excela 2010. Potrebno je omeniti, da to niso uporabniška navodila, paË pa samo prikazana možnost uporabe. Seveda pa mora uporabnik ostale prilagoditve preuËiti sam in vsako rešitev prilagoditi trenutni situaciji. Program Excel je v osnovi sicer namenjen obdelavi veËjih koliËin podatkov.Ko enkrat poznamo osnove delovanja programa, se Excel spremeni v izredno moËno orodje, ki nam lahko precej olajša delo. Njegova dodana vrednost pa se kaže predvsem v tem, da lahko z njegovo pomoËjo preverimo pravilnost rešitev posameznega matematiËnega problema, ki smo ga sicer rešili na tradicionalen naËin.

GRAF PREMEGA SORAZMERJA

1. Vnesemo podatke v tabelo. Neodvisno spremenljivko vnesemo v levi stolpec, odvisno pa v desnega. Vrednosti za neodvisno spremenljivko morajo biti urejene narašËajoËe!

2. Vse podatke oznaËimo in izberemo ukaz Vstavljanje/Grafikoni in izberemo X Y raztreseni grafikon z ravnimi Ërtami.

3. Grafikon, ki se nam izriše, po potrebi popravimo, vpišemo naslove osi in po potrebi dodamo mrežne Ërte.

UËbenik, stran 119, RE©ENI PRIMER: Graf gibanja vlaka − POT V ODVISNOSTI OD »ASA

216

GRAF OBRATNEGA SORAZMERJA

1. Vnesemo podatke v tabelo. Neodvisno spremenljivko vnesemo v levi stolpec, odvisno pa v desnega. Vrednosti za neodvisno spremenljivko morajo biti urejene narašËajoËe!

2. Vse podatke oznaËimo in izberemo ukaz Vstavljanje/Grafikoni in izberemo X Y raztreseni grafikon z glajenimi Ërtami.

3. Grafikon, ki se nam izriše, po potrebi popravimo, vpišemo naslove osi in dodamo mrežne Ërte.

UËbenik, stran 128: Graf spreminjanja Ëasa v odvisnosti od hitrosti avtomobilËka

217

Več o devetletni osnovni šoli najdetena naslovu www.devetletka.net.


Skrivnosti števil in oblik 8 Učbenik za matematiko v 8. razredu osnovne šole

izdala in založila: Založba Rokus Klett, d. o. o.

za založbo: Maruša Kmet

direktor produkcije: Klemen Fedran

oblikovna zasnova naslovnice: Jasna Karnar

oblikovna zasnova notranjosti: Jasna Karnar

prelom: Danilo Frlež

1. elektronska izdaja

Ljubljana 2014

jože berk, jana draksler in marjana robič skrivnosti števil in...

Documents