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Experimento

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Jogo das amebas

Objetivos da unidadeAnalisar conceitos de probabilidade a partir de um jogo;1. Identificar estratégias para ganhar um jogo que depende 2. de eventos aleatórios com probabilidade conhecida.

O experimento

análise de dados e probabilidade

licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons

O experimento

SinopseNeste jogo, acompanharemos a evolução de uma família de amebas, representadas por grãos de feijão, até a quinta geração. Começando com uma única ameba na geração zero, cada ameba da família pode, com a mesma probabilidade, ou morrer ou se dividir em outras duas, dando origem a uma nova geração. O que é mais provável: que exista pelo menos uma ameba na 5ª geração ou que não exista nenhuma? Os alunos, organizados em times, tentarão responder a essa pergunta, realizando o jogo diversas vezes e analisando os resultados observados. No fechamento, conduzidos pelo professor, os alunos formalizarão o contexto do jogo, obtendo a resposta do experimento a partir de cálculos matemáticos.

ConteúdosProbabilidade: Definições Básicas, Representação Gráfica, �

Independência, Probabilidade Condicional e Análise de Jogos.

ObjetivosAnalisar conceitos de probabilidade a partir de um jogo;1. Identificar estratégias para ganhar um jogo que depende de eventos 2. aleatórios com probabilidade conhecida.

DuraçãoUma aula dupla.

Jogo das amebas

Jogo das amebas O Experimento 2 / 9

Introdução

Quais condições de reprodução levam uma espécie ao seu desaparecimento? Ou a uma explosão demográfica? Intuitivamente, espécies com maior número de descendentes por ninhada (bactérias, baratas e células doentes, por exemplo) têm maior chance de sobrevivência do que espécies com menor número de descendentes (pandas gigantes, por exemplo). Modelos probabilísticos podem ser utilizados para responder a essa pergunta. Um deles é o processo de ramificação: imagine uma árvore em que cada galho pode se ramificar em novos galhos com uma certa probabilidade ou não se ramificar e secar, com probabilidade complementar. A pergunta se traduz em quanto deve valer essa probabilidade para que a árvore tenha infinitos galhos?

Em um caso extremo, se a probabilidade de novos galhos for 1, então com certeza a árvore será ilimitada (a espécie persistirá se essas condições se mantiverem). No outro extremo, se a probabilidade for zero, então a árvore certamente será limitada. Neste experimento, apresentamos o caso em que essa probabilidade é ½ e o número de novas ramificações por galho é igual a 2, utilizando o processo de ramificação para modelar uma família fictícia de amebas. Qual é a probabilidade de que a família exista até a 5ª geração?


O Experimento

Material necessário

Uma moeda comum; �

70 grãos de feijões � (para representar as amebas).

Materiais alternativosGrãos de milhos de pipoca; �

Bolinhas de papel. �

Preparação

Divida a classe em grupos de 4 ou 5 alunos, que se organizarão em duas equipes, e entregue os materiais necessários. Professor, com a folha do aluno já distribuída, leia as regras do jogo para garantir a participação dos alunos no experimento. No caraoucoroa, a equipe ganhadora deve escolher ser o time A ou o time B, definidos nas regras do jogo.

Regras do jogo

Cada feijão representará uma ameba, que 1. pode se dividir em duas amebas ou morrer, dependendo do resultado do lançamento de uma moeda;Se sair cara, a ameba morre; se sair coroa, 2. ela se divide em duas amebas; As amebas podem ser classificadas em gerações. A geração zero, G0G1G2G3G4G5G6G7G8G9, é formada por uma única ameba inicial; a primeira geração,

G0G1G2G3G4G5G6G7G8G9, é formada pelas duas amebas nascidas da divisão da primeira; a segunda geração,

G0G1G2G3G4G5G6G7G8G9, é formada pelas amebas nascidas da geração 1, e assim por diante.

fig. 1

Cada lançamento decide !sobre a divisão ou a morte de apenas uma ameba.


O tabuleiro

Jogar apenas com feijões não deixa claro em que geração se encontram as amebas. Sugerimos, então, o uso de um tabuleiro como o da figura 2 a seguir.

Este tabuleiro representa uma árvore genealógica e, durante o jogo, as amebas são colocadas em suas devidas posições, de acordo com a geração a que pertencem. Na página seguinte, um exemplo de como usar o tabuleiro. O tabuleiro pode ser impresso e entregue aos alunos ou desenhado na lousa para copiar no caderno.

O time A ganha um ponto na rodada se na 3. geração 5, G0G1G2G3G4G5G6G7G8G9, não houver nenhuma ameba; já o time B ganha um ponto na rodada se houver pelo menos uma das 2⁵ = 32 amebas possíveis na quinta geração.Em cada rodada, uma das equipes faz os 4. lançamentos da moeda, até a rodada acabar;Ganha o jogo a equipe que marcar 10 pontos 5. primeiro.

A questão do jogo é: qual dos dois times tem mais chances de vencer?

É importante frisar ºquantas amebas podem existir na 5ª geração, que é no máximo 32 amebas. Os próprios alunos podem calcular esse valor.

fig. 2 Tabuleiro

G0

G1

G2

G3

G4

G5


fig. 3 Resultado da moeda: coroa → A ameba inicial se multiplica.

fig. 5 Resultado da moeda: cara → 2ª ameba da geração 1 morre.

fig. 4 Resultado da moeda:coroa → A 1ª ameba da geração 1 se multiplica.

fig. 6 Resultado da moeda: cara → A 1ª ameba da geração 2 morre.

fig. 7 Resultado da moeda: cara → A 2ª ameba da geração 2 morre. O time A ganha 1 ponto.


Após cada partida, indicamos que sejam anotados os valores totais, o que facilitará o trabalho dos alunos e do professor nas próximas etapas. A tabela 2 é uma sugestão que deve também ser feita no caderno.

Aquisição de dados

Nesta primeira etapa, os alunos coletarão informação a partir da realização de partidas do jogo. Deixe que os alunos joguem por cerca de 20 minutos. Neste período esperamos que seja possível a realização de duas partidas pela maioria dos grupos. É importante, contudo, que os mais lentos realizem ao menos uma partida. Como notação, sugira aos alunos usarem “k”, para cara, e “c”, para coroa. Os alunos deverão anotar os resultados obtidos pelo grupo durante o jogo usando uma tabela como a do exemplo a seguir, onde está apresentado o resultado de uma partida com 11 rodadas (tabela 1). A equipe A ganhou o jogo por 10 a 1. A tabela deve ser construída no caderno dos alunos individualmente. Enfatizamos que a coleta deste dados é fundamental para a segunda parte do experimento. Além disso, frise aos alunos que deve ser construída uma tabela para cada partida.

etapa

1Sequência de lançamentos Total

de carasTotal de coroas

Total de gerações

Time ganhador

k 1 0 0 A

k 1 0 0 A

k 1 0 0 A

ckk 2 1 1 A

ccckckkkk 5 4 3 A

k 1 0 0 A

ckk 2 1 1 A

ckk 2 1 1 A

cccckkckkckkc 6 7 5 B

k 1 0 0 A

k 1 0 0 A

tabela 1 Tabela para ser reproduzida no caderno.

Cara Coroa Total de gerações Time ganhador

0 1 2 3 4 5 A B

23 14 6 3 0 1 0 1 10 1

tabela 2 Tabela a ser reproduzida no caderno, com o resumo de cada partida.


Gráfi co 2: 2. Faça um gráfi co de frequência para o total de gerações por família. Exemplo:

Gráfi co 3: 3. Faça um gráfi co de frequências com os resultados de cada rodada. Exemplo:

Cada aluno deve fazer os gráfi cos em seu caderno a partir dos dados coletados durante as partidas jogadas.

Representação gráfi ca

Tendo em mãos os dados obtidos na etapa anterior, os alunos deverão sistematizar essas informações em gráfi cos de frequência. Para isso, proponhalhes as seguintes construções:

Gráfi co 1: 1. Faça um gráfi co de frequência com os resultados dos lançamentos. Exemplo:

etapa

2

0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

time A time B�

�

�

�

�

��

cara coroa�

�

��

��

��

��

fig. 9 Total de gerações.

fig. 10 Resultado da rodada.

fig. 8 Resultado do lançamento.

Estes exemplos de gráfi cos ºrepresentam as infor-mações totais da sala mostradas na TABELA 2.


1ª geração � – Na 1ª geração podemos ter ou 0 ou 2 amebas, dependendo do resultado do primeiro lançamento da moeda. Portanto, a probabilidade de que não exista nenhuma ameba em G1 é igual à probabilidade de obter cara no primeiro lançamento, que é 1/2 = 50%.2ª geração – Na 2ª geração, podemos ter 0, ou 2 ou 4 amebas, como no esquema abaixo:

Pr(4 amebas em G2) = P (ccc) = 1/2 1/2 1/2 = 1/8

Pr(2 amebas em G2) = P (cck ou ckc) = P (cck) + P (ckc) = 1/2 1/2 1/2 + 1/2 1/2 1/2 = 1/4



Pr(0 amebas em G2) = 1− 1/4 − 1/8 = 5/8 ≈ 62, 5%

Para as gerações seguintes, a conta é mais árdua, mas segue o mesmo raciocínio:

Pr(0 amebas em G3) ≈ 70% Pr(0 amebas em G4) ≈ 74, 2% Pr(0 amebas em G5) ≈ 77, 5%



Isso mostra que o time A tem aproximadamente 77,5% de chance de ganhar o jogo.

Fechamento

Discussão sobre os resultados obtidosO Gráfico 1, � figura 8, mostra o total de caras e coroas obtidas no jogo. Assumindo que a moeda é balanceada e que os lançamentos não favorecem nenhuma das faces, esperamos que metade dos lançamentos seja cara. No entanto, flutuações em torno de 50% são plausíveis de ser observadas.O Gráfico 2, � figura 9, permite analisar quão frequentemente observamos 5 gerações em uma família de amebas. Ele nos entrega o primeiro indício da baixa probabilidade da família sobreviver sob as condições do jogo.O Gráfico 3, � figura 10, apresenta uma estimativa das chances de cada time vencer, indicando que as condições são mais favoráveis para o time A.

Aspectos TeóricosNesta parte do fechamento, os alunos podem determinar a probabilidade de não existir nenhuma ameba na 5ª geração. A solução apresentada aqui envolve o conceito de independência de eventos e uma análise sistemática das possibilidades existentes. Mostraremos as contas para as primeiras gerações e as gerações seguintes podem ser analisadas da mesma maneira.

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorJosé Tadeu JorgeVice-ReitorFernando Ferreira da Costa

Grupo Gestor de Projetos Educacionais (ggpe – unicamp)CoordenadorFernando ArantesGerente ExecutivaMiriam C. C. de Oliveira

licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons

AutoraLaura Letícia Ramos Rifo

Coordenação de redaçãoFabrício de Paula Silva

RedaçãoMariana Sacrini Ayres Ferraz

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos Patrocínio Língua PortuguesaCarolina Bonturi

Projeto gráfico e ilustrações técnicasPreface Design

IlustradorLucas Ogasawara de Oliveira FotógrafoAugusto Fidalgo Yamamoto

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