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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
Joice D’Almeida
A Teoria Elementar dos Números sob o Ponto de Vista dos Cadernos do Professor de Matemática da Rede Estadua l de
São Paulo
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
São Paulo
2010
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
Joice D’Almeida
A Teoria Elementar dos Números sob o Ponto de Vista dos Cadernos do Professor de Matemática da Rede Estadua l de
São Paulo
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para a obtenção do título de MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA , sob a orientação da Profª. Drª Silvia Dias Alcântara Machado.
São Paulo
2010
Banca Examinadora
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___________________________________
___________________________________
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Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura : ________________________________ Local e Data: ___________________
Dedico este trabalho aos
meus pais, Abel e Célia e aos
meus irmãos, Jones e Josie .
5
AgradecimentosAgradecimentosAgradecimentosAgradecimentos
A Deus, meu refúgio e fortaleza, por tudo o que Ele é e por
todas as bênçãos que me tem concedido.
À Prof. Dra. Silvia Dias Alcântara Machado, pelo modo como
me orientou, me aconselhou, pelas observações e sugestões, pela
cordialidade com que sempre me recebeu e por ter me guiado à
conclusão deste trabalho.
Às professoras Marilena Bittar e Maria Cristina Souza de
Albuquerque Maranhão, membros da banca examinadora desta
dissertação, pelo tempo despendido à leitura e pelas valiosas
observações para esta pesquisa.
Aos professores do Programa de Estudos Pós-Graduados
da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, pelo
profissionalismo e por terem contribuído para minha formação.
Aos meus colegas de mestrado e do GPEA, pelo convívio,
pela amizade e por todos os aportes no decorrer deste trabalho.
À Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, pela
bolsa de estudos, a qual me possibilitou continuar minha formação.
Por fim, e aos mais importantes, meus amados pais, Abel e
Célia, por serem responsáveis pelo o que sou hoje, pelo apoio para
o prosseguimento nos estudos, pela paciência dispensada e pelas
constantes orações para a concretização deste sonho.
.
7
ResumoResumoResumoResumo
O presente trabalho traz uma pesquisa qualitativa, cujo objetivo foi investigar
como a abordagem dada à questão da divisibilidade e a outros temas da Teoria
Elementar dos Números, nos Cadernos do Professor de Matemática da 7ª série (8º
ano), distribuídos pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, nos anos
de 2008 e 2009. A relevância de estudos envolvendo a Teoria Elementar dos
Números repousa no fato deste ser um campo propício para a introdução e
desenvolvimento de ideias matemáticas fundamentais, além de oportunizar a
solidificação do pensamento matemático. Para atingir o objetivo proposto, são
utilizadas as ideias metodológicas para análise de conteúdo descrita por Bardin
(2009), considero como tópicos essenciais da Teoria Elementar dos Números a
serem estudados no Ensino Básico aqueles listados por Resende (2007) em sua
tese. As análises do material indicam a presença de atividades que favorecem o
estudo da questão da divisibilidade e de outros tópicos da Teoria Elementar dos
Números, apresentando, da mesma forma, abordagens inovadoras para o
desenvolvimento de alguns conteúdos.
Palavras-chave : Divisibilidade; Teoria Elementar dos Números; Caderno do
Professor de Matemática; Análise de Conteúdo
AbstractAbstractAbstractAbstract
This work presents a qualitative research whose goal is to investigate how its
approach to the issue of divisibility and other matters of Elementary Theory Numbers
in the Collection of Professor of Mathematics at the 8th grade, distributed by the
Department of State Education São Paulo, in the 2008 and 2009 years. The
relevance of studies involving the Elementary Theory of Numbers is the fact that this
is a field ripe for the introduction and development of fundamental mathematical
ideas, and to chance the solidification of mathematical thinking. To achieve this
purpose, I use ideas for methodological content analysis described by Bardin (2009)
and consider like essential topics of the Elementary Theory of Numbers to be studied
in Primary Education those listed by Resende (2007) in his thesis. The analysis of
the material indicate the presence of activities that promote the study of the issue of
severability, and other topics in the Elementary Theory of Numbers, featuring the
same way, innovative approaches to develop some content.
Keywords : Divisibility; Elementary Theory of Numbers; Notebook Professor of
Mathematics; Content Analysis
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Lista de FigurasLista de FigurasLista de FigurasLista de Figuras
Figura 1: Frações que resultam em dízimas periódicas (SÃO PAULO, 2008a, p.15) ……... 51
Figura 2: Primeira sequência de bolinhas (SÃO PAULO, 2008b, p. 11 e 12)……………….. 58
Figura 3: Segunda sequência de bolinhas (SÃO PAULO, 2008b, p.12) …………………….. 58
Figura 4: Terceira sequência de bolinhas (SÃO PAULO, 2008b, p. 13)…………………… 59
Figura 5: Trinômio Quadrado Perfeito (SÃO PAULO, 2008b, p. 16) ………………………. 60
Figura 6: Aplicação do Trinômio Quadrado Perfeito (SÃO PAULO, 2008b, p. 16) …….. 61
Figura 7: Diferença de Dois Quadrados (SÃO PAULO, 2008b, p. 17 e 18) ……………….. 61
Figura 8: O significado do valor numérico (SÃO PAULO, 2008b, p.20) …………………… 62
Figura 9: Somatória dos sete primeiros naturais (SÃO PAULO, 2008b, p. 27) …………… 64
Figura 10: Polígonos tracejados (SÃO PAULO, 2008b, p. 29) …………………………….. 65
Figura 11: Explicações sobre as equações (SÃO PAULO, 2008c, p. 14) …………………. 68
Figura 12: Ampliação de figuras (SÃO PAULO, 2008c, p. 35) …………………………….. 71
Figura 13: Redução de figuras (SÃO PAULO, 2008c, p. 36) ……………………………… 72
Figura 14: Representação gráfica de um sistema (SÃO PAULO, 2008c, p. 46) ………….. 76
Figura 15: Polígonos em malha quadriculada (SÃO PAULO, 2008d, p.16) ……………….. 83
Figura 16: Aerofotogrametria no mapa de Minas Gerais (SÃO PAULO, 2008d, p. 18) …… 84
Figura 17: Cruzamento de ruas em uma praça (SÃO PAULO, 2008d, p. 29) …………….. 86
Figura 18: Demonstração do Teorema de Tales (SÃO PAULO, 2008d, p. 34) ………….. 87
Figura 19: Sequência de figuras sobrepostas (SÃO PAULO, 2008d, p. 42) ………………. 89
Figura 20: Sistema cartesiano com ternos pitagóricos (SÃO PAULO, 2008d, p. 46) ……... 90
Figura 21: Divisão da fração 1/7 (SÃO PAULO, 2009, p.22) ………………………………. 98
Figura 22: O trinômio quadrado perfeito (SÃO PAULO, 2009a, p. 25) ……………………. 100
Figura 23: Decomposição geométrica de retângulos (SÃO PAULO (2009a, p. 20) ………. 101
Figura 24: Potências sucessivas de (a + b)n (SÃO PAULO, 2009a, p. 30) ……………….. 102
Figura 25: Coeficientes do desenvolvimento de (a + b)n (SÃO PAULO, 2009a, p. 31) …… 103
Figura 26: Situação-problema sobre fatoração (SÃO PAULO, 2009a, p. 39) …………….. 104
Figura 27: Somatória dos 100 primeiros números naturais (SÃO PAULO, 2009a, p. 43) … 104
Lista de TabelasLista de TabelasLista de TabelasLista de Tabelas
TABELA 1: Resolução de equações 1 (SÃO PAULO, 2008c, p. 15) ………………………... 69
TABELA 2: Resolução de equações 2 (SÃO PAULO, 2008c, p. 15) ………………………... 69
TABELA 3: Possibilidades de respostas (SÃO PAULO, 2008c, p. 39) ……………………... 73
TABELA 4: Possíveis resultados do sistema de equações (SÃO PAULO, 2008c, p. 46) ... 75
TABELA 5: Possíveis soluções da equação diofantina 1 (SÃO PAULO, 2008c, p. 53) …... 78
TABELA 6: Possíveis soluções da equação diofantina 2 (SÃO PAULO, 2008c, p. 54) …... 78
TABELA 7: Área de figuras pela fórmula de Pick (SÃO PAULO, 2008d, p.16) ……………. 83
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SumárioSumárioSumárioSumário
INTRODUÇÃO ……………………………………………………………………….... 13 CAPÍTULO 1 ………………………………………………………………………….... 15 PROBLEMÁTICA E OBJETIVO………………………………………………. 15 CAPÍTULO 2 …………………………………………………………………………… 21 LEITURAS E ESCOLHAS TEÓRICO-METODOLÓGICAS ……………….. 21
2.1. Estudos sobre Educação Algébrica ………………………………….... 21 2.2. O GPEA e a Teoria Elementar dos Números ……………………….... 26 2.3. Estudos sobre o ensino e a aprendizagem da Teoria Elementar dos
Números ………………………………………………………………….. 32
2.4. Os Parâmetros Curriculares Nacionais ……………………………….. 36 2.5. Metodologia e Procedimentos…………………………………………... 40
CAPÍTULO 3 …………………………………………………………………………… 43 ANÁLISE DO CORPUS DA PESQUISA …………………………………….. 43
3.1. Proposta Curricular do Estado de São Paulo de 2008 ……………… 43 3.2. Os Cadernos do Professor de Matemática de 2008 ………………… 45
3.2.1. O Caderno do Professor de Matemática da 7ª série do 1º bimestre de 2008 …………………………………………………….
48
3.2.2. O Caderno do Professor de Matemática da 7ª série do 2º bimestre de 2008 …………………………………………………….
55
3.2.3. O Caderno do Professor de Matemática da 7ª série do 66
3º bimestre de 2008 …………………………………………………….
3.2.4. O Caderno do Professor de Matemática da 7ª série do 4º bimestre de 2008 …………………………………………………….
80
3.3. Os Cadernos do Professor de Matemática da 7ª série de 2009……. 92 3.3.1. O Caderno do Professor de Matemática da 7ª série do 1º
bimestre de 2009 ………………………………………………….… 96
3.3.2. O Caderno do Professor de Matemática da 7ª série do 2º bimestre de 2009 ……………………………………………………. 99
3.3.3. O Caderno do Professor de Matemática da 7ª série do 3º bimestre de 2009 ……………………………………………………. 105
3.3.4. O Caderno do Professor de Matemática da 7ª série do 4º bimestre de 2009 ……………………………………………………. 105
CAPÍTULO 4 …………………………………………………………………………… 107 CONSIDERAÇÕES FINAIS ………………………………………………….. 107
4.1. A Proposta Curricular do Estado de São Paulo …………………….. 108
4.2. Os Cadernos do Professor de Matemática da 7ª série de 2008 ….. 108
4.3. Os Cadernos do Professor de Matemática da 7ª série de 2009 ….. 110
REFERÊNCIAS ………………………………………………………………………... 113 ANEXOS………………………………………………………………………………… 117
13
IntroduçãoIntroduçãoIntroduçãoIntrodução
O interesse em desenvolver uma pesquisa sobre o tema “Teoria Elementar
dos Números”, surgiu após meu contato com o projeto ““Qual a Álgebra a ser
ensinada na formação do professor de matemática?” que é desenvolvido pelos
membros do grupo de pesquisa sobre Educação Algébrica – GPEA – da PUC-SP.
Esse projeto supõe a realização de pesquisas que busquem investigar o que
se entende por Álgebra no campo institucional (PCN, programas nacionais e
estrangeiros, livros didáticos, entre outros), no campo docente (professores dos
Ensinos Infantil, Fundamental, Médio e Superior) e no campo discente (alunos de
todos os segmentos de ensino).
A observação sobre as dificuldades apresentadas por meus alunos do Ensino
Fundamental II ao tratar de assuntos que envolvem divisibilidade me levou a
questionar o processo de ensino e de aprendizagem da matemática nesse nível de
ensino. Após alguns estudos propostos e direcionados pelos pesquisadores do
GPEA, percebi a importância da Teoria Elementar dos Números para o ensino e a
aprendizagem em Matemática.
As decisões sobre o encaminhamento de minha pesquisa se deram ao
mesmo tempo em que a Secretaria Estadual da Educação do Estado de São Paulo,
SEE-SP, implantava a nova Proposta Curricular de 2008. Essa foi uma coincidência
feliz que me propiciou decidir a questão de pesquisa de mestrado.
Estabeleci então, como objetivo de minha pesquisa investigar como a questão
da divisibilidade e assuntos correlatos da Teoria Elementar dos Números são
abordados nos Cadernos do Professor de Matemática da 7ª série (8º ano), dos anos
2008 e 2009, cadernos esses integrantes da Proposta implantada pela SEE-SP a
partir de 2008 e entregues aos professores de matemática da rede estadual que
lecionam na 7ª série.
A seguir apresento resumidamente o que consta de cada um dos quatro
capítulos em que o texto foi organizado.
No Capítulo I, apresento a problemática e o objetivo que nortearam este
estudo, delineando os questionamentos que me levaram a escolher este tema e a
sua importância. Exponho, ainda, os tópicos que neste trabalho serão tomados
como essenciais no estudo da Teoria elementar dos Números no Ensino Básico.
No Capítulo II, destaco as ideias teóricas que fundamentaram o
desenvolvimento deste estudo, apresentando os resultados de trabalhos de
pesquisadores em Educação de Matemática sobre a Álgebra em geral, a Teoria
Elementar dos Números em particular. Apresento, resultados de alguns trabalhos
concluídos no GPEA os quais de alguma maneira influenciaram as análises dos
Cadernos. Apresento, ainda, a metodologia de pesquisa, baseada na Análise de
Conteúdo descrita por Bardin (2009) dividida em três fases: a pré-análise, a
exploração do material e o tratamento e interpretação dos resultados obtidos.
No Capítulo III, realizo a descrição e análise das comunicações escolhidas
divididas em três partes. Na primeira, apresento a análise da Proposta Curricular do
Estado de São Paulo. Na segunda parte, realizo a descrição e análise dos quatros
Cadernos do Professor de Matemática da 7ª série (8º ano) de 2008. Na última parte,
realizo uma análise comparativa dos quatro Cadernos do Professor de Matemática
da 7ª série (8º ano) de 2009, em relação ao ano anterior.
No Capítulo IV, apresento as considerações finais, destacando alguns
resultados obtidos a partir da análise da Proposta Curricular e dos Cadernos do
Professor, fazendo minhas considerações e recomendações.
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Capítulo 1Capítulo 1Capítulo 1Capítulo 1
PROBLEMÁTICA E OBJETIVO
Meu interesse pelo tema “Teoria Elementar dos Números” surgiu durante a
graduação em Licenciatura em Matemática. No primeiro ano, cursei Álgebra I,
matéria da qual fui monitora no 2º ano da licenciatura. Ao atender os alunos na
monitoria, observava que a maioria explicitava dúvidas pontuais sobre a resolução
dos exercícios propostos, dizendo não saber nem como começar tal ou tal exercício.
Na época, perguntava-me: mas como pode ter dúvida se é só olhar a definição e as
propriedades dadas para resolver o exercício?
Nos dois anos seguintes, fui monitora da disciplina Álgebra II, que tratava da
Teoria Elementar dos Números. Nestas monitorias, a maior dificuldade dos alunos
que me procuravam, estava relacionada às demonstrações. Por exemplo, frente a
um problema do tipo Prove: se a|b e b|c, então, a|c, o aluno repetia o refrão: “não sei
nem por onde começar!” O que me levava a ampliar a questão acima: mas como
pode ter dúvida se é só olhar a definição e as propriedades dadas e relacioná-las
para provar?
Ao terminar o curso de graduação, iniciei a carreira como professora efetiva
de Matemática do Ensino Fundamental II da rede pública do Estado de São Paulo,
inscrevi-me e realizei um curso de aperfeiçoamento em “Geometria e Álgebra”, na
Universidade de São Paulo.
No referido curso, observei a dificuldade de vários colegas, já professores da
rede estadual, com demonstrações e resolução de problemas, o que implicou a
reprovação de alguns. Assim, minha questão anterior continuava a me incomodar.
Na escola, como professora de Matemática das 7ª e 8ª séries, atuais 8º e 9º
anos do Fundamental II, percebi a dificuldade de alguns alunos com assuntos
tratados nas séries anteriores, como fatoração de um número inteiro, divisão de
números inteiros, fato esse que me impedia avançar com a matéria prevista. Assim,
acometeu-me a seguinte questão: Como ensinar o que demonstravam não saber,
conciliando com a matéria supostamente indicada para aquele nível?
Na tentativa de encontrar solução para esse problema, comecei a questionar
alguns colegas, professores de Matemática mais experientes, sobre a questão
acima. Qual não foi minha surpresa ao receber respostas do tipo: “Continue a sua
matéria, assim mesmo! Se não conseguiram aprender até agora, você não vai fazer
milagre!”. Assim minhas questões só se acumulavam...
No início de 2008, a Secretaria de Educação do Estado de São Paulo
elaborou uma Nova Proposta Curricular, propondo a todas as escolas da rede
pública estadual um mesmo currículo-base. Com esta Proposta Curricular,
elaboraram-se algumas apostilas, chamadas Caderno do Professor, divididas por
bimestre, por série e por disciplina, com sugestões de abordagem para o professor
dos assuntos presentes no currículo em sala de aula. Frente a esse novo
documento, outra questão surgiu: Será que no Caderno do Professor de Matemática
há abordagens que me auxiliem no ensino dessas matérias que os alunos
demonstravam não saber?
Se, por um lado, as questões do ensino de Matemática acumulavam-se em
minha mente; por outro lado, a ideia de fazer uma pós-graduação em Matemática
Pura ia se esvaindo. A oportunidade dada pela Secretaria de Educação do Estado
de São Paulo aos professores efetivos da rede de receberem bolsa de estudos para
realizar Mestrado stricto sensu, foi o elemento decisivo, para que eu decidisse
aprofundar-me nas questões de ensino e aprendizagem de Matemática.
Desse modo, ingressei no Programa de Estudos Pós-Graduados em
Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Dentre os
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grupos de pesquisas do programa, identifiquei-me com o Grupo de Pesquisa em
Educação Algébrica, que será citado pela sigla GPEA.
O GPEA tem como questão norteadora de suas pesquisas: “Qual a álgebra a
ser ensinada na formação do professor de Matemática?” O referido projeto
[...] analisa, da perspectiva da educação superior, os desafios específicos envolvidos no ensino de álgebra. Porém, a natureza da questão – Qual álgebra a ser ensinada em cursos de professores de Matemática? – juntamente com os princípios construtivistas enfatizados nas políticas públicas, clama por uma investigação da álgebra na educação escolar. (COELHO et al., 2003, p.1)1
O projeto esclarece que as investigações a serem realizadas pelos
integrantes do grupo devem seguir uma abordagem em diversos planos,
envolvendo:
[…] estudos em três planos paralelos e superpostos, com análises multidimensionais da interação entre estudantes, professores, e programas. Uma estratégia, ligando diagnóstico, intervenção e pesquisa documental, está planejada.2 (COELHO et al., 2003, p. 1)
O GPEA possui alguns subprojetos do projeto maior, dentre eles, escolhi
participar do subprojeto “Teoria Elementar dos Números no Ensino Básico e
Licenciatura”, pois julguei ser o mais apropriado para responder às questões que me
afligiam.
Desta forma, envolvida em reuniões do GPEA, partilhei das questões de
pesquisa de outros colegas do grupo, sobretudo os que participavam do subprojeto
que escolhi. Iniciei as leituras indicadas para o aprofundamento das teorias e
pesquisas já desenvolvidas no grupo ou fora dele. Isso possibilitou definir e refinar
minha questão de pesquisa.
1 This project analyses, from the perspective of higher education, specific challenges involved in the teaching of algebra. But the nature of its question - what algebra should be taught in teachers' mathematics courses? - along with the constructivist principles emphasized in political policies, calls for an investigation into algebra in school education. 2 The approach adopted involves studies in three parallel and overlapping planes, with multidimensional analyses of the interactions between students, teachers and programmes. A strategy linking diagnostic intervention and documental research is planned.
Os pesquisadores Campbell e Zazkis em sua obra editada entre 2002 e 2006,
enfatizam a escassez de trabalhos de pesquisa de Educação Matemática a respeito
do ensino e aprendizagem da Teoria dos Números. Os autores ressaltam a
necessidade premente do aumento de pesquisas envolvendo esta temática.
Corroborando com a preocupação de pesquisas sobre o ensino de Teoria dos
Números, Resende (2007), do GPEA, dedicou-se a investigar a disciplina Teoria dos
Números, enquanto saber a ensinar, na formação do professor de Matemática na
licenciatura. Segundo a pesquisadora citada o campo da Teoria dos Números
[…] é um espaço propício para o desenvolvimento das idéias matemáticas relevantes relativas aos números naturais e algumas se estendem aos inteiros, presentes na matemática escolar, como a idéia de recorrência, a indução matemática; a questão da divisibilidade; questões relativas aos números primos e à estrutura multiplicativa dos inteiros (RESENDE, 2007, p.227) (Grifo meu).
Assim, a autora salienta a importância de se explorar as ideias matemáticas
inerentes a esse campo da Matemática, em todos os níveis de escolaridade e
identifica os tópicos essenciais que deveriam ser abordados na licenciatura ao se
estudar a Teoria Elementar dos Números.
Números Inteiros: evolução histórica e epistemológica do conceito de números naturais e inteiros; representações dos números naturais, operações, algoritmos e propriedades, definição por recorrência (potências em N, seqüências, progressões aritméticas e geométricas) e princípio da indução finita; Divisibilidade: algoritmo da divisão, máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum, algoritmo de Euclides, números primos, critérios de divisibilidade, o Teorema Fundamental da Aritmética; Introdução à congruência módulo m: definições, propriedades e algumas aplicações; Equações diofantinas lineares. (RESENDE, 2007, p.228) (Grifo meu).
Ainda que possam ser considerados fundamentais, a pesquisadora ressalta
que esses assuntos, incluindo a Divisibilidade, não estão em evidência na formação
dos professores do Ensino Básico. As disciplinas que os contêm, possuem o caráter
da Matemática Científica, com o objetivo de ensinar a Matemática pela Matemática e
deixam de lado os saberes escolares necessários ao professor para o ensino.
18
19
Tendo em vista as questões que já me vinham instigando durante os
primeiros anos de prática docente na 7ª série e os fatos explicitados por Resende
(2007), percebo que o trabalho do professor na escola básica e a Divisibilidade
possibilitam uma pesquisa que trará relevante contribuição ao ensino e à
aprendizagem na Educação Matemática.
Desta forma, este estudo será norteado pela seguinte questão: “Como são
abordados assuntos referentes à Teoria Elementar dos Números, mais
especificamente, a questão da divisibilidade, nos Cadernos do Professor de
Matemática, na rede pública do Estado de São Paulo?”
Meu objetivo é investigar como a questão da divisibilidade e outros assuntos
da Teoria Elementar dos Números são apresentados e trabalhados nos Cadernos do
Professor de Matemática da 7ª série3, na rede estadual paulista de ensino.
3 7ª série, atualmente, denominada 8º ano. No que se segue, utilizarei a nomenclatura antiga utilizada, igualmente, pelo Caderno do Professor de Matemática.
21
Capítulo 2Capítulo 2Capítulo 2Capítulo 2
LEITURAS E ESCOLHAS TEÓRICO-METODOLÓGICAS
Neste capítulo, apresento as principais ideias e pesquisas que embasam
minha pesquisa, além da metodologia e dos procedimentos metodológicos em seu
desenvolvimento.
2.1. Estudos sobre Educação Algébrica
Desde a década de 1990, estudos e pesquisas vêm sendo realizados com
questões relacionadas ao ensino e à aprendizagem da Álgebra, tanto nos Ensinos
Fundamental e Médio, como no Ensino Superior. Exemplificando o fato, cito o
relatório desenvolvido nos Estados Unidos da América, após uma conferência, em
novembro 2007, por pesquisadores matemáticos e educadores matemáticos,
denominado Algebra: Gateway to a Technological Future4 (2007). Neste relatório, os
pesquisadores buscam identificar pontos comuns que sirvam como base para a
melhoria do ensino da Álgebra, considerando que seu estudo inicia-se desde a pré-
escola até o ensino superior.
4 Álgebra: Passagem para um Futuro Tecnológico (tradução da autora)
Na literatura dedicada à aprendizagem de Matemática no Ensino Superior,
destaco o artigo Advanced Mathematical Thinking Process5 (1991) contido no livro
Advanced Mathematical Thinking6, de Tall (1991). Neste artigo, Dreyfus (1991)
analisa e discute processos de abstração, para que professores de Matemática
avançada, conscientes do que acontece durante esses processos, introduzam-nos
em suas salas de aula. Ainda que este seja um artigo direcionado à formação de
professores, considero importante esta discussão, já que os docentes do Ensino
Básico são formados pelos docentes do Ensino Superior.
Inicialmente, o autor cita que alguns pesquisadores estão interessados nos
processos envolvidos na aprendizagem da matemática avançada para se ter um
conhecimento teórico básico para entender o pensamento dos estudantes e
compreender os aspectos importantes no comportamento dos professores em
relação ao que esperam dos alunos. A reflexão sobre a experiência matemática é
importante para a resolução de problemas não triviais, sendo esta a característica do
pensamento avançado.
Segundo o autor, não há grande diferença entre os processos elementares e
os do pensamento avançado. A distinção está na complexidade como esses
processos são tratados. Se durante um processo, um indivíduo consegue fazer um
número de abstrações e representações relevantes, pode-se dizer que estes
processos são mais poderosos que outros que não exigem tantas abstrações e
representações. A maior parte dos estudantes aprende em seus cursos de
Matemática apenas a realizar um grande número de procedimentos matemáticos,
que serão utilizados em problemas delimitados com alto grau de formalismo. A esse
respeito, Dreyfus refere que:
Eles terminam com uma considerável quantidade de conhecimento matemático, mas sem a metodologia de trabalho de um matemático, isto é, falta-lhes o saber-fazer que permite-lhes usar seus conhecimentos de uma maneira flexível para resolver problemas de tipo desconhecido deles.
7 (DREYFUS,1991, p. 28) (Tradução da
autora)
5 Processo do Pensamento Matemático Avançado (tradução da autora) 6 Pensamento Matemático Avançado (tradução da autora) 7 They end up whit a considerable amount of mathematical knowledge but without the working methodology of the mathematician, that is they lack the know-how that allows them to use their knowledge in a flexible manner to solve problems of a type Unknown to them.
22
23
Exemplificando o fato acima, Dreyfus (1991) afirma que, ao terminar um curso
de cálculo, o aluno deveria ser capaz de resolver problemas do tipo: “Quais
condições são suficientes para assegurar que a função 3 2( )f x ax bx cx d= + + + é
crescente em x = 0?” ou buscar o erro de sinal ao ver um resultado como
em11
211
1 12dx
x x
+
−−
= − = − ∫ . Mas, o pensamento avançado presente nessas questões
exige um grande número de processos que interagem intrinsecamente e, por isso, o
professor deve estar atento a esses processos, para conseguir compreender as
dificuldades dos alunos.
A importância das representações em Matemática também é discutida pelo
mesmo pesquisador, ao afirmar que estas são indispensáveis na Matemática
Moderna. Afirma que ter várias representações de um conceito é vantajoso no
campo da Matemática, pois é possível com elas agir sob diferentes situações
matemáticas. Não considera, porém, que apenas a existência dessas
representações seja suficiente para a resolução de problemas. É necessário que
estejam corretas e que tenham uma forte ligação, de forma que se alterne de uma
para outra, sempre que esta outra se mostrar mais eficiente à próxima etapa da
resolução. Mas, como esta mudança de representação não é um exercício simples,
os estudantes limitam-se a trabalhar apenas em uma delas.
De acordo com Dreyfus (1991), uma alternativa para sanar o problema seria o
tratamento com as diversas representações e o processo de alternância desde o
começo do ensino, transitando de uma formulação de sentença matemática ou
problema a outra. Isto pode parecer óbvio para o professor, porém não acontece da
mesma forma com o aluno, por este ainda não ter a construção mental apropriada
para tal.
Além da representação, o pesquisador apresenta a generalização e a síntese
como outros conhecimentos necessários à abstração. “Generalizar é derivar ou
induzir o particular para identificar características comuns, para expandir domínios
de validade”8 (DREYFUS, 1991, p. 35). Por sua vez, sintetizar significa “combinar ou
8 To generalize is to derive or induce from particulars, to identify commonalities, to expand domains of validity.
compor partes de modo que formem um todo”9 (DREYFUS,1991, p.35). Este
processo, uma vez apreendido, é irreversível; porém, os professores normalmente
não conseguem perceber a mente de um aluno, quando o processo ainda não se
iniciou. Ao trabalhar apenas com poucos exercícios, precedidos de explicações
demoradas, o professor dificulta o desenvolvimento do poder de síntese do aluno,
mesmo que o próprio professor, à guisa de exemplos, faça o resumo do conteúdo.
Desta forma, o processo de abstração é incentivado pela generalização e pelo
alcance da síntese, porém é o que mais exige do aluno, pois, “abstração contém o
potencial tanto para generalização quanto para síntese; e vice-versa, ela alcança
seu objetivo principalmente a partir deste potencial de generalização e síntese”10
(DREYFUS, 1991, p. 37).
Assim, o caráter do processo mental da abstração é diferente daquele
presente na síntese e na generalização. O aluno precisa ter habilidade para separar
propriedade e relações existentes entre objetos matemáticos, além de conseguir
transitar entre o objeto e suas propriedades e relações. Adquirir esta habilidade pode
se tornar mais fácil, se os exemplos dados partirem de um caso apenas, para que
suas relações e propriedades sejam mais evidentes, para só assim introduzir o caso
geral, relacionando-o com o caso particular.
Ainda sobre o pensamento algébrico, mas, agora no âmbito do Ensino
Fundamental, destacamos o trabalho de mestrado de Pesquita (2007). Nele, a
autora buscou compreender como ocorre o trabalho desenvolvido pelos alunos do
8.º ano quando trabalham com situações que envolvem o pensamento algébrico,
antes e depois de uma unidade de ensino orientada para o desenvolvimento do
pensamento algébrico. Creio que saber de que forma ocorre esse desenvolvimento,
é imprescindível para que o professor consiga desenvolver um trabalho que propicie
ao aluno compreender, representar e operar algebricamente e, a partir disso, fazer
generalizações, representações e resolução de problemas.
Em sua dissertação, Pesquita (2007) traz os trabalhos de alguns
pesquisadores (GREENO, 1982; KIERAN, 1992; FILLOY; SUTHERLAND, 1996;
SOCAS et al., 1996) que se preocuparam em analisar a causa e o tipo de alguns
9 To synthesize means to combine or compose parts in a such a way that they from a whole, an entity. 10 Abstraction thus contains the potencial for both generalization and synthesis; vice versa, it gets its purpose mainly from this potencial of generalization and synthesis.
24
25
erros algébricos comumente cometidos pelos alunos ao buscarem a solução de
problemas algébricos. Acredito ser importante destacar os erros provenientes da
Aritmética para reforçar a necessidade de não se abandonar o estudo das
propriedades dos números inteiros, uma vez que este trabalho tem a 7ª série (8º
ano), como nível de escolaridade da pesquisa, momento em que se iniciam os
estudos envolvendo as letras.
Destaco a referência que Pesquita (2007) faz ao trabalho de Socas et al
(1996), ao descrever a causa de alguns erros, ao se interpretar a Álgebra apenas
como Aritmética generalizada. Esta interpretação faz com que a natureza e o
significado dos símbolos e das letras fiquem indissociáveis. Assim, um erro muito
comum é dizer que 5x + 3 é o mesmo que 8x, pois o sinal de adição é encarado
como uma ação que deve ser realizada, assim como na Aritmética. Outro erro muito
comum é dizer que, se 3x = 39, então, x = 9, pelo fato de se associar cada lugar
descrito correspondendo a um algarismo.
Conforme a autor citada, a compreensão equivocada que os alunos mostram
ter em relação à Álgebra, muitas vezes, é proveniente de problemas com a
Aritmética. Se um aluno efetua erroneamente a adição de frações como 1/4+ 1/5 =
1/9 ou a operação de números inteiros, como – (2 + 3) = – 2 + 3, é bastante provável
que ele traga estes mesmos erros ao utilizar as letras, fazendo, por exemplo, a/b+c/d
= a+c/b+d e também – (a + b) = – a + b. O objetivo das atividades e a natureza das
respostas da Aritmética e da Álgebra também são, segundo a autora, causas dos
erros dos alunos. Enquanto a Aritmética tem seus problemas baseados em
encontrar respostas concretas, a Álgebra tem em suas atividades a utilização das
relações e processos que resultam em expressões generalizadas. O aluno, não se
atentando à pontualidade da Aritmética e à generalidade da Álgebra, simplifica de
forma errada expressões algébricas, como 11x + 3y = 14xy.
Dificuldades e erros como estes apontados pela autora são comuns e, além
destes, observei outros em momentos onde a questão da divisibilidade era
solicitada. Alguns alunos, por exemplo, não sabiam utilizar os resultados da
divisibilidade na resolução de atividades em que estas seriam fundamentais. Muitas
vezes, generalizavam erroneamente o critério de divisibilidade por 2, dizendo que,
se todo número par é divisível por 2, então, todo número ímpar será divisível por 3.
A respeito disso, Pesquita (2007) acrescenta que erros não devem ser
encarados como algo negativo na aprendizagem em Matemática. Para o professor,
é de grande valia conhecer os possíveis erros que os alunos cometem, servindo de
ponto de partida para o trabalho ao qual se deve realizar. Por sua vez, o aluno deve
conceber o erro como uma oportunidade importante para se tornar um critico de si
mesmo, atentando a seu trabalho e a eventuais concepções incorretas.
2.2. O GPEA e a Teoria Elementar dos Números
Neste item, descreverei algumas pesquisas concluídas recentemente no
GPEA, que investigam questões da Teoria Elementar dos Números e assuntos
correlacionados a este tema.
Em seu trabalho de mestrado, Silva Júnior (2009) verificou quais tópicos da
Teoria Elementar dos Números, definidos por Resende (2007), estavam sendo
abordados no 1º ano do Ensino Médio das escolas da rede estadual paulista e como
estes tópicos estavam sendo abordados. Para isso, analisou o material que foi
enviado a todos professores da rede, em um momento em que a Nova Proposta
Curricular do Estado de São Paulo11 estava sendo elaborada, discutida e
implantada.
Por meio da metodologia denominada “Análise de Conteúdo” de Bardin
(2009), analisou os materiais didáticos que foram utilizados para implantação do
novo currículo. Dentre eles, destaco o Jornal do Aluno e os Cadernos do Professor
de Matemática de 2008.
O Jornal do Aluno foi utilizado nos primeiros 45 dias letivos de 2008 na rede
pública estadual, e propunha-se a trazer uma espécie de revisão dos conteúdos já
estudados até a série anterior, na intenção de suprir algumas deficiências que foram
apontadas em avaliações como Saresp12, Saeb13 e Enem14. As análises feitas por
11 Mais adiante falarei sobre a Proposta Curricular do Estado de São Paulo 12 Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo 13 Sistema de Avaliação da Educação Básica 14 Exame Nacional do Ensino Médio
26
27
Silva Júnior (2009) mostraram que os tópicos da Teoria Elementar dos Números não
foram trabalhados no Jornal, sendo mencionados ou trabalhados explícita ou
implicitamente em apenas 18% das atividades. A respeito dos resultados, o autor
comenta que “seria fundamental que um trabalho menos segmentado fosse
desenvolvido no decorrer das atividades propostas em um material para o aluno, um
trabalho no qual se procurasse facilitar a gestão do professor da tensão entre o
discreto e o contínuo” (SILVA JÚNIOR, 2009, p. 61)
Os Cadernos do Professor, também analisados por Silva Júnior (2009), foram
organizados por bimestre e trazem orientações para o professor na gestão do
currículo em sala de aula. Apresentam situações de aprendizagem que orientam o
trabalho do professor nos métodos e estratégias de ensino e avaliação da
aprendizagem dos alunos. Em suas análises, o autor mostrou que em diversos
momentos as atividades propostas pelos Cadernos do Professor podem propiciar a
retomada e a discussão de assuntos da Teoria Elementar dos Números. Estes
momentos, porém, acabaram sendo poucos (27%), comparados ao total, e no último
bimestre nenhum dos assuntos foi abordado.
Acredito, assim como Silva Júnior (2009) e outros pesquisadores que não se
deve privilegiar apenas a Teoria Elementar dos Números em detrimento da
“matemática do contínuo”, porém é necessário que estas duas Matemáticas
caminhem, de forma equilibrada, durante todo o período da escola básica. Assim,
concordo com o autor ao dizer que se devem explorar questões que envolvem a
divisibilidade e os números primos, pois
[…] sempre estiveram presentes na investigação matemática e podem ser exploradas no ensino, oportunizando o desenvolvimento das habilidades de conjecturar, de generalizar, testar e validar as conjecturas ao observar dados e padrões existentes. (SILVA JÚNIOR, 2009, p. 23).
A leitura desta dissertação possibilitou a elaboração de alguns
questionamentos como: Até que ponto a Teoria elementar dos Números que está
implícita nos Cadernos do Professor são trabalhados em sala de aula? Os
professores estão dispostos a explorar as propriedades dos números inteiros,
mesmo que estes não sejam o foco principal do conteúdo a ser dado?
Em seu trabalho de pesquisa do mestrado, Ferreira (2009) investigou como o
aluno concluinte do 1º ano do Ensino Médio, em 2008, observa, realiza e
compreende atividades que envolvem a observação e a generalização de
regularidades.
Para a coleta de dados, construiu e aplicou uma atividade diagnóstica
contendo seis questões, em duas sessões, com alunos voluntários do 1º ano do
Ensino Médio, de uma escola estadual do Vale do Paraíba. Após isso, realizou
entrevistas semiestruturadas individuais com os sujeitos de pesquisa para o
esclarecimento de algumas questões levantadas na análise dos protocolos.
A autora conclui que a maior parte dos alunos consegue escrever o termo
seguinte de uma sequência dada e mostraram dificuldade para escrever termos
mais distantes da mesma sequência, ainda que alguns tenham expressado
verbalmente a generalização existente.
Concordo com Ferreira (2009), ao afirmar a grande importância do professor
estimular os alunos a responderem os problemas propostos em diversos registros de
representação semiótica, aumentando a possibilidade de compreensão das
estratégias que utilizam.
Comenta ainda sobre a má utilização da nomenclatura Matemática. Sobre
isso, aconselha o professor que:
[…] além da observação de uma grande variedade de sequências em diferentes registros de representação semiótica, o professor esteja atento à nomenclatura utilizada em sala de aula, deforma a caracterizar termos matemáticos como: algarismo, número, multiplicação, adição, subtração entre outros termos utilizados frequentemente por todos nas aulas de Matemática. (FERREIRA, 2009, p. 137)
Pela leitura desta pesquisa, percebi a importância de utilizar a observação de
padrões, como ferramenta para o início e, até mesmo, o aprofundamento da
generalização essencialmente presente na Matemática. Além disso, por ser na
maioria das vezes um trabalho de investigação, estas atividades tornam-se
interessantes para o aluno por gerarem uma espécie de desafio.
28
29
Ainda sobre os trabalhos desenvolvidos no GPEA, Oliveira (2006); Costa
(2007) e Pommer (2008) concentraram suas investigações no estudo das equações
diofantinas lineares.
Inicialmente, Oliveira (2006) analisou em sua pesquisa os documentos oficiais
para o Ensino Médio, especificamente os PCNEM15 (1999) e o PCN+16 (2002), em
busca de considerações sobre o objeto de ensino “equações diofantinas lineares”.
Ao não encontrar menções sobre as equações diofantinas lineares, Oliveira (2006)
reformulou sua questão de pesquisa e resolveu buscar em duas coleções de livros
didáticos referência a esse tema, supondo motivos particulares dos autores destes
livros para esta inserção.
O pesquisador concluiu que as equações diofantinas lineares, como objeto do
saber, não são referenciadas nos documentos oficiais e nas coleções analisadas.
Em consequência, comenta a importância do estudo das equações diofantinas
lineares no Ensino Médio, visto que estão atreladas à questão da divisibilidade
abordada no Ensino Fundamental. Oliveira (2006) observa que o uso das equações
diofantinas lineares pode facilitar a resolução de problemas relacionados ao
cotidiano, além de seu estudo proporcionar o desenvolvimento de ideias
matemáticas, como o ato de demonstrar.
O objetivo da pesquisa de Costa (2007) era investigar se e como os
professores do Ensino Médio desenvolvem o trabalho de situações-problema,
quando estas recaem em equações diofantinas lineares.
Para isso, elaborou o roteiro para uma entrevista semiestruturada, levando
em conta atividades e outros aspetos relacionados às equações diofantinas lineares.
Entrevistou seis professores de Matemática do Ensino Médio dos Estados de Minas
Gerais e São Paulo, das redes pública e privada.
Na conclusão de sua pesquisa, Costa (2007) cita:
Considero que embora os professores entrevistados afirmassem trabalhar com problemas de matemática discreta modeláveis via equação diofantina linear, nenhum deles deu indícios de trabalhar com seus alunos utilizando das propriedades dessas equações para
15 Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio 16 Orientações Educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais
decidir se as mesmas têm solução e seriam essas soluções. (COSTA, 2007, p.114)
Segundo o pesquisador, os professores entrevistados tiveram dificuldades
para demonstrar domínio na resolução de situações-problema que resultam em
apenas uma equação com duas incógnitas. Ainda que indicassem uma solução para
o problema, não a solucionavam por meio das ferramentas indicadas pela Teoria
Elementar dos Números. Antes, utilizavam suposições, segundo a lógica e a
experiência com operações aritméticas que possuem, e a estratégia da tentativa e
erro para encontrar a solução dos problemas.
Com o intuito de investigar se, como e em que medida os alunos do Ensino
Médio explicitam conhecimentos, envolvendo as equações lineares, Pommer (2008)
elaborou uma sequência didática, contendo um jogo em uma das atividades e duas
situações-problema contextualizadas. As atividades continham um número finito de
soluções inteiras ou nenhuma solução inteira, características comuns em problemas
que envolvem equações diofantinas lineares. A sequência didática foi aplicada a dez
alunos voluntários das três séries do Ensino Médio de uma escola da rede pública
do Estado de São Paulo.
Após a análise dos dados obtidos, Pommer (2008) percebeu melhor
aproveitamento na resolução dos problemas dos alunos das séries finais do Ensino
Médio, justificada por ele pela experiência desses alunos com outros temas, como:
Sequências, Análise Combinatória e Sistemas Lineares. O pesquisador reforça que
o desafio proporcionado em situações contextualizadas traz uma motivação para a
interpretação e busca de soluções nas atividades por parte do aluno, visto que a
estratégia predominante para encontrar a solução ou soluções dos problemas foi a
tentativa e erro. Assim, Pommer (2008) conclui que
[…] é possível a alunos do Ensino Médio desenvolver conhecimentos envolvendo equações diofantinas lineares […], viabilizando a estes alunos a ação independente para desenvolver estratégia facilitadora que operacionalize conceitos da Teoria elementar do Números – múltiplos e divisores – assim como o uso da escrita algébrica como otimizadora e organizadora na busca de soluções inteiras. (POMMER, 2008, p. 123)
30
31
O pesquisador ressalta que habilidades como interpretar e conjecturar foram
desenvolvidas graças ao enfoque dado à reutilização dos conceitos aprendidos no
Ensino Básico e pertinentes à Teoria Elementar dos Números, como o conceito de
múltiplos e divisores de um número. Desta forma, não foi necessária a utilização de
algoritmos para a resolução das atividades propostas.
Observando os resultados obtidos nas pesquisas de Oliveira (2006); Costa
(2007) e Pommer (2008), percebo a necessidade premente do não abandono da
Matemática do discreto, isto é, a Teoria Elementar dos Números, após o início do
Ensino Médio, tanto nas atividades propostas em livros didáticos, apostilas e outros
materiais, como nas estratégias de resolução para as situações-problema propostas.
Sobre as soluções de equações diofantinas, particularmente, acredito que possam
ser trabalhadas antes mesmo da entrada do aluno no Ensino Médio, visto que para
sua resolução são utilizados basicamente o Algoritmo de Euclides e o máximo
divisor comum, conceitos trabalhados no início do Ensino Fundamental II.
A respeito da temática divisão, em sua pesquisa de mestrado, Castela (2005)
procurou diagnosticar as concepções de alunos de 6ª série, investigando o
conhecimento da técnica da divisão, a utilização dessa técnica na resolução de
questões contextualizadas como ferramenta e as relações estabelecidas pelos
alunos entre o divisor, dividendo, quociente e resto na divisão de Números Naturais.
Para alcançar tal objetivo, aplicou uma sequência de atividades com 12
questões, sendo oito ditas formais e quatro denominadas contextualizadas, para 28
alunos de uma 6ª série de uma escola pública do Município de São Paulo. A autora
define as questões formais como aquelas que se utilizam apenas de algoritmos, e as
questões contextualizadas são as construídas em situações da vida real.
Observou que a maioria dos alunos mostrou desconhecer a técnica da
divisão, segundo os critérios estabelecidos pela autora. Ainda assim, demonstraram
conhecer o significado dos termos quociente e resto, e todos recorreram à operação
da divisão para a resolução de, ao menos, uma das questões contextualizadas.
Segundo Castela (2005), o estabelecimento de relações entre os
componentes da divisão ficou mais evidente entre os alunos que conheciam a
técnica da divisão. Nas questões em que se solicitava a determinação do dividendo,
recorriam à operação inversa entre o divisor e o quociente, procedimento conhecido
como prova real. No entanto, nenhum dos alunos relacionou corretamente o resto
com os outros componentes da divisão, sendo o resto, segundo a autora, o
componente mais difícil de relacionar como os demais.
No trabalho de Castela (2005), percebi o quanto se faz necessário o trabalho
do significado dos termos presentes na divisão e como eles se relacionam. Nesta
relação entre os termos da divisão, o entendimento do componente resto está
intimamente ligado ao conceito de divisibilidade, já que o resto será sempre zero na
divisão realizada para a busca de números divisíveis por outro.
2.3. Estudos sobre o ensino e a aprendizagem da Teo ria Elementar dos
Números
Embora consideremos que a Teoria Elementar dos Números seja parte
integrante da Álgebra, ela possui particularidades importantes exploradas em
trabalhos de pesquisa e na literatura. Assim, nos parágrafos a seguir citarei as que
considero essenciais no desenvolvimento deste trabalho de pesquisa.
O estudo da Teoria Elementar dos Números mostra-se relevante, uma vez
que possui aplicações em situações do dia a dia e os lugares onde é naturalmente
encontrada e observada. Mas, não se pode deixar de lado o aspecto formal
intrínseco a esse ramo da Matemática. Esta posição está de acordo com Campbell;
Zazkis (2002), ao julgarem prejudicial o aumento da ênfase dada à Matemática do
cotidiano. Segundo eles,
[…] o significado matemático não é apenas uma questão de fundamentação dos conceitos familiares diários de experiências do mundo real. É também uma questão de desenvolver as bases conceituais para fazer distinções abstratas claras e gerais.
17
(CAMPBELL; ZAZKIS, 2002, p. 1)
17 Mathematical meaning is not Just a matter of grounding concepts in familiar day-to-day real-world experiences. It is also a matter of developing the conceptual foundations for making clear and general abstract distinctions.
32
33
Para os autores, a Teoria Elementar dos Números é útil para o ensino e
compreensão da Matemática, pois oportuniza o desenvolvimento e a solidificação do
pensamento matemático. Além disso, oferece um início importante e natural para a
formalização algébrica da Aritmética inerente aos números inteiros.
Concordando com esta posição, Brown et al (2002) ressaltam que as
estruturas multiplicativas presentes na Teoria Elementar dos Números trazem a
oportunidade em todos os níveis de aprimorar o entendimento das propriedades da
divisão e da multiplicação em todos os níveis da Matemática, isto é, desde o Ensino
Básico até as pesquisas matemáticas. Segundo os autores, ainda,
Para aproveitar ao máximo o conceito da estrutura multiplicativa, o indivíduo deve ter experiência com a representação dos números naturais como o produto dos números primos. Isso inclui a fatoração de primos, realizar aritmética na fatoração de primos, e usar a estrutura embutida nas fatorações para reconhecer e justificar relações divisibilidade
18 (BROWN et al., 2002, p. 42)
Embora esta experiência seja considerada fundamental em todos os níveis de
Matemática, os pesquisadores afirmam haver muitos professores da Educação
Básica com dificuldades para entender e trabalhar com a representação de números
naturais, como produto de números primos. Ainda, segundo os autores, essa
dificuldade reflete-se diretamente na maneira de ensinar desses professores e na
compreensão por parte dos alunos em reconhecer as relações e as propriedades
fundamentais próprias dessas estruturas.
Problemas na aprendizagem da noção de número é também um ponto
levantado por Machado (2008) ao falar da segmentação atual dos currículos de
Matemática. A pesquisadora afirma que o ensino dos conteúdos matemáticos no
Ensino Básico, atualmente, vem sendo feita de forma sequencial e cumulativa com
maior evidência à Matemática do contínuo, evidência esta justificada pelos
resultados que esta Matemática tem trazido para o desenvolvimento do mundo. 18 To take full advantage of the concepto of multiplicative structure, the individual must have experience with the representation of natural numbers as the product of primes. This includes constructing prime factorizations, performing arithmetic on prime factorizations, and using the structure embedded in the factorizations to recognize and justify divisibility relationships.
Como consequência desse sequenciamento de conteúdos, Machado (2008)
aponta dois fatores negativos. Um deles é a impossibilidade do aluno utilizar todo
seu potencial para relacionar o que aprendeu com suas atividades do cotidiano.
Outro seria a negligência às particularidades de um determinado conjunto já
trabalhado, ao estudar conjuntos que os contêm. Desta forma, a autora citada
defende o estudo de questões dos números inteiros, permeando todo o percurso
escolar de um indivíduo em formação, tendo em vista que este conhecimento
influenciará diretamente a vida desse indivíduo como cidadão. Assim, propõe o
estudo dos números inteiros como um tema transversal em todos os níveis de
escolaridade e uma discussão maior sobre o ensino e aprendizagem da Matemática
nas licenciaturas e formações continuadas, no intuito de melhorar ou mudar as
concepções dos professores nesse tema.
Outro trabalho que considero importante é a tese de Resende (2007), cuja
questão norteadora é “Qual teoria é ou poderia ser concebida como um saber a
ensinar na licenciatura em Matemática, visando à prática docente na educação
básica?”. Para responder à questão, a autora baseou-se no prefácio e no sumário de
livros-texto sobre a Teoria dos Números, nas propostas curriculares das disciplinas
de universidades brasileiras que têm como conteúdo principal a Teoria dos Números
e no discurso de pesquisadores em Teoria dos Números, educadores matemáticos e
professores desta disciplina para buscar elementos ao que seria uma ressignificação
da disciplina Teoria dos Números em cursos de formação de professores de
Matemática para a Educação Básica.
Segundo a autora, as distinções, equivalências e interseções do que seriam a
Teoria dos Números, a Aritmética e a Álgebra não ficaram claras nos tempos das
civilizações antigas. Esta indefinição estende-se até hoje aos programas curriculares
mínimos e diretrizes curriculares nacionais, que tratam os inteiros apenas como um
subconjunto dos números reais. Tal simplificação pode trazer prejuízos ao processo
de ensino e aprendizagem, uma vez que despreza aspectos importantes presentes
nos números inteiros. Sobre isso, a autora afirma ainda que “na escola básica,
alguns temas da teoria elementar dos números, por falta de compreensão mais
ampla, vão sendo esvaziados nos currículos por não ter uma aplicação imediata”
(RESENDE, 2007, p.73)
34
35
Assim, Resende (2007) apresenta potencialidades no trabalho com este
tópico no Ensino Básico, dentre as quais destaco o tratamento de ideias próprias da
Teoria Elementar dos Números, compreendida entre os números inteiros e suas
relações, como a divisibilidade e o número primo. Estas ideias são relevantes em
Matemática e estão presentes na Matemática escolar explícita ou implicitamente, e
algumas delas não fazem sentido se tratadas em outros conjuntos que não seja o
dos naturais e seus subconjuntos.
A respeito da divisibilidade, Resende (2007) define-a como um elemento
caracterizador do conjunto dos números inteiros, já que em outros conjuntos é
possível realizar uma divisão por um número diferente de zero. Como consequência
do estudo da divisibilidade, outros temas também presentes na Matemática escolar
como a representação dos números inteiros em uma base qualquer maior que 1, o
máximo divisor comum, os critérios de divisibilidade e as equações diofantinas.
Segundo Resende (2007), o número primo é um conceito fundamental na
Teoria Elementar dos Números. Do conceito de número primo, aliado às suas
propriedades, derivam outros, que da mesma forma, são trabalhados na Matemática
do Ensino Básico, como o Teorema Fundamental da Aritmética, o reconhecimento
de um número primo e a determinação do número de divisores de um dado número.
Ao refletir sobre sua questão geradora, a autora citada afirma que os
assuntos pertinentes à Teoria Elementar dos Números não têm um papel de
destaque na formação de professores. Quando são tratados, aparecem construídos
de forma lógico-dedutiva, partindo de proposições consideradas verdadeiras, com
rigor extremo quanto à forma e com linguagem formal rebuscada. A autora ressalta
que a Teoria dos Números pode ser ressignificada, tendo como base o saber
científico, mas levando em conta as demandas de seu ensino e aprendizagem no
Ensino Básico. Para que isso seja possível, destaca que “o conteúdo e o
conhecimento pedagógico do conteúdo, a teoria e a prática, devam estar presentes
na constituição das disciplinas específicas da licenciatura em matemática”
(RESENDE, 2007, p. 229)
A autora citada descreve ainda os tópicos a serem abordados no estudo da
Teoria Elementar dos Números, os quais já citei na introdução deste texto. Mas,
para facilitar a compreensão do leitor, apresentarei novamente estes tópicos, uma
vez que em todos os momentos a que me referir sobre a Teoria Elementar dos
Números, considerarei como conteúdo deste tema a mesma definição de Resende
(2007). Conceitos da divisibilidade, também serão analisados, segundo a definição
da autora.
Números Inteiros: evolução histórica e epistemológica do conceito de números naturais e inteiros; representações dos números naturais, operações, algoritmos e propriedades, definição por recorrência (potências em N, seqüências, progressões aritméticas e geométricas) e princípio da indução finita; Divisibilidade: algoritmo da divisão, máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum, algoritmo de Euclides, números primos, critérios de divisibilidade, o Teorema Fundamental da Aritmética; Introdução à congruência módulo m: definições, propriedades e algumas aplicações; Equações diofantinas lineares. (RESENDE, 2007, p.228)
Dentre todas as leituras apresentadas, tomarei como base teórica para as
análises desta pesquisa, as ideias de Dreyfus (1991) que defende a importância das
representações, da generalização, da síntese e da abstração para agir sob distintas
situações matemáticas; Pesquita (2007) que buscou compreender como ocorre o
desenvolvimento do pensamento algébrico; Campbell; Zazkis (2002), no que se
refere à utilidade da Teoria Elementar dos Números; Brown et al (2002), na defesa
do benefício que a experiência com as estruturas multiplicativas trazem ao
entendimento sobre os números inteiros e suas propriedades; Machado (2008),
sobre o equilíbrio entre o discreto e o contínuo, assim como o sequenciamento dos
conteúdos e Resende (2007), na definição dos conteúdos essenciais no estudo da
Teoria Elementar dos Números no Ensino Básico e a própria Teoria dos Números,
com suas definições e teoremas.
2.4. Os Parâmetros Curriculares Nacionais
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) são um conjunto de orientações
para a prática escolar, em que se encontram os objetivos gerais para cada nível de
ensino da Educação Básica, assim como para cada área do conhecimento. Entre
outros, o objetivo dos Parâmetros Curriculares Nacionais para Matemática é
36
37
[…] fornecer elementos para ampliar o debate nacional sobre o ensino dessa área do conhecimento, socializar informações e resultados de pesquisas, levando-as ao conjunto dos professores brasileiros. Visam à construção de um referencial que oriente a prática escolar de forma a contribuir para que toda criança e jovem brasileiros tenham acesso a um conhecimento matemático que lhes possibilite de fato sua inserção, como cidadãos, no mundo do trabalho, das relações sociais e da cultura. (BRASIL, 1998a, p. 15)
Com isto, já é possível perceber a preocupação das autoridades em
Educação do Brasil com o distanciamento existente entre os resultados das
pesquisas acadêmicas e a prática da sala de aula na Educação Básica.
Os PCN ressaltam a influência do Movimento da Matemática Moderna, nos
anos de 1960/1970, com intenção de ampliar a aproximação entre a Matemática dos
estudiosos da Matemática praticada em sala de aula, trouxe a preocupação
excessiva com formalizações. Nos anos de 1980, porém, em um documento
chamado “Agenda para Ação”, o NCTN (National Council of Teachers of
Mathematics) traz o ensino da Matemática com “ênfase na resolução de problemas,
na exploração da Matemática a partir dos problemas vividos no cotidiano e
encontrados nas várias disciplinas.” (BRASIL, 1998a, p. 20)
Ainda que essas ideias tenahm influenciado de maneira positiva as
discussões na formulação de currículos para a Educação Básica, vale ressaltar que,
segundo os PCN, são, por muitas vezes, incorporadas de forma superficial, com
interpretações equivocadas e acabam não provocando mudanças desejáveis.
Na orientação para a seleção de conteúdos, os PCN afirmam haver um
consenso no que os currículos devem conter:
[…] o estudo dos números e das operações (no campo da Aritmética e da Álgebra), o estudo do espaço e das formas (no campo da Geometria) e o estudo das grandezas e das medidas (que permite interligações entre os campos da Aritmética, da Álgebra, e da Geometria e de outros campos do conhecimento). (BRASIL, 1998a, p. 49) (grifo da autora)
É interessante notar que o estudo dos números e das operações deve estar
presente no campo da Álgebra. Sobre isso posso supor que os PCN colocam a
Aritmética como parte integrante da Álgebra e, portanto, quando se trabalha os
números e as operações aritméticas, está se iniciando com o aluno o trabalho com a
abstração e generalização pertinentes à Álgebra.
Os PCN apresentam os objetivos para o ensino de Matemática para o ciclo
final do Ensino Fundamental, isto é, 8º e 9º anos (antigas 7ª e 8ª séries). Dentre
eles, destaco os que comentam sobre o pensamento numérico e o pensamento
algébrico.
� do pensamento numérico, por meio da exploração de situações de aprendizagem que levem o aluno a ampliar e consolidar os significados dos números racionais, resolver situações-problema envolvendo números naturais, inteiros, racionais e irracionais; selecionar e utilizar diferentes procedimentos de cálculo com números naturais, inteiros, racionais e irracionais.
� do pensamento algébrico, por meio da exploração de situações de aprendizagem que levem o aluno a produzir e interpretar diferentes escritas algébricas (expressões, igualdades e desigualdades), resolver situações-problema por meio de equações e inequacões do primeiro grau, observar regularidades e estabelecer leis matemáticas que expressem a relação de dependência entre variáveis. (BRASIL, 1998a, p. 81):
Segundo os PCN, os objetivos acima citados harmonizam-se com o momento
vivido pelos alunos deste ciclo, uma vez que estes jovens estão passando por
mudanças em diversas áreas de suas vidas, o que influencia diretamente sua
relação com os estudos. Dentre outros fatores, a inserção no mercado de trabalho e
as novas responsabilidades assumidas por eles podem interferir de forma positiva
no processo de ensino e aprendizagem de Matemática.
Assim, o ensino de Matemática deve se utilizar dessas situações para levar o
aluno a entender qual é o papel do saber científico na cultura moderna e, para isso
[…] é importante considerar que alguns aspectos associados ao desenvolvimento cognitivo dos alunos que estão no quarto ciclo em muito favorecem a aprendizagem. Por exemplo, a observação ganha em detalhes, ampliam-se as capacidades para pensar de
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forma mais abstrata e argumentar com maior clareza.. (BRASIL, 1998a, p. 81)
Sobre os conteúdos propostos para o ensino de Matemática no 4º ciclo do
Ensino Fundamental, vou me ater àqueles que condizem com o tema desta
pesquisa, a Teoria Elementar dos Números. Assim sendo, os PCN propõem a
consolidação das operações e dos números já conhecidos pelos alunos até o 3º
ciclo com a inserção dos números não racionais. Salientam também o não abandono
dos Números Naturais, tendo em vista que, nos últimos anos do Ensino
Fundamental, o estímulo maior se dá à resolução de problemas por meio de
equações e sistemas. É esperado ainda
[…] que o professor proponha aos alunos a análise, interpretação, formulação e resolução de novas situações-problema, envolvendo números naturais, inteiros e racionais e os diferentes significados das operações, e que valorize as resoluções ‘aritméticas’ tanto quanto as ‘algébricas’. (BRASIL, 1998a, p. 83)
Desta forma, o documento incita o uso de situações-problema que envolvam
a identificação de um número irracional como um número com infinitas “casas”
decimais que não possuem um período, assim como a identificação de um número
racional na reta numérica e a determinação de um número irracional existente entre
dois racionais já apresentados. O uso da calculadora também é incentivado em
procedimentos de verificação do cálculo aproximado ou exato, tanto escrito como
mentalmente de resultados em situações-problema. A escolha por este recurso deve
ser feita e incentivada em situações apropriadas, como estratégia para a resolução.
Outro ponto importante citado pelos PCN é a continuação do uso da chamada
por eles de “pré-álgebra”, já proposta em ciclos anteriores. Na “pré-álgebra”, as
noções algébricas são exploradas por meio de jogos, generalizações, gráficos e
modelos. Assim, propõem trabalho da Álgebra com atividades que envolvam a
generalização de relações entre as grandezas, como por exemplo, indicar a
expressão que relaciona o número de lados de um polígono e o número de
diagonais.
2.5. Metodologia e Procedimentos
A investigação foi realizada por meio de uma metodologia de pesquisa de
natureza qualitativa. A expressão “investigação qualitativa” é utilizada para designar
um grupo de estratégias que partilham as mesmas características; seus dados são
denominados qualitativos, pois são “ricos em pormenores descritivos relativamente a
pessoas, locais e conversas” (BOGDAN; BIKLEN, 1994, p. 16).
Segundo os autores, uma investigação qualitativa é caracterizada pela fonte
direta dos dados ser o ambiente natural, constituindo o investigador como
instrumento principal; por ser descritiva, tentando analisar os dados com todos os
detalhes necessários e possíveis; pelo interesse residir mais no processo e não
apenas nos resultados; pelos dados tenderem a ser analisados de forma indutiva;
pela busca do significado ser de grande importância, preocupando-se com a
perspectiva que cada pessoa dá à sua vida.
Para o estudo dos Cadernos do Professor de Matemática, optei pela
metodologia qualitativa descrita e denominada por Bardin (2009) de Análise de
Conteúdo.
A autora define análise do conteúdo como um conjunto de técnicas de análise
de comunicação que objetivam encontrar por meio de
[…] procedimentos sistemáticos e objectivos de descrição do conteúdo das mensagens indicadoras (quantitativas ou não) que permitam a inferência de conhecimentos relativos às condições de produção/recepção (variáveis inferidas) destas mensagens” (BARDIN, 2009, p. 44).
Desta forma, define três polos cronológicos: a pré-análise, a exploração do
material e o tratamento dos resultados, onde são feitas as inferências e as
interpretações. Assim, busco indicadores que me permitam inferir uma realidade que
vai além daquela presente no material, evidenciando a parte matemática presente
nos Cadernos do Professor.
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Na fase de pré-análise, organiza-se o trabalho de análise, escolhendo-se as
comunicações do corpus, isto é, do conjunto dos documentos tidos em conta para
serem submetidos aos procedimentos analíticos (BARDIN, 2009, p. 122),
elaborando-se as hipóteses e os indicadores para a interpretação final. Desta forma,
escolhi como corpus desta pesquisa a ser analisado os seguintes documentos: a
Proposta Curricular do Estado de São Paulo para Matemática de 2008 e os
Cadernos do Professor de Matemática da 7ª série de 2008 e 2009 relativos aos
quatro bimestres de cada ano, sendo, portanto, um total de oito volumes.
Na Proposta Curricular busco referências sobre assuntos da Teoria Elementar
dos Números e, sobretudo, sobre sua importância no desenvolvimento de ideias
matemáticas relevantes. Nos Cadernos do Professor de Matemática da 7ª série de
2008, procuro a abordagem dada à questão da divisibilidade e a outros assuntos da
Teoria Elementar dos Números, definidos por Resende (2007), ressaltando os
momentos em que estes assuntos são tratados explícita ou implicitamente. Já nos
Cadernos do Professor de Matemática da 7ª série de 2009, procuro possíveis
alterações existentes em relação aos Cadernos do Professor do ano anterior,
salientando, nos momentos em que se apresenta alguma alteração, a abordagem
dada à questão da divisibilidade e aos outros temas da Teoria Elementar dos
Números.
Na segunda etapa da análise de conteúdo, conforme Bardin (2009), deve ser
feita a exploração do material propriamente dita. Nesta fase, portanto, relato os
pontos importantes presentes na Proposta Curricular sobre o trabalho com a Teoria
Elementar dos Números, além de descrever os tópicos trabalhados nos Cadernos do
Professor de Matemática de 2009 que favorecem o trabalho de assuntos da Teoria
Elementar dos Números.
Na última fase da análise, realiza-se a inferência e a interpretação dos
resultados obtidos. Para tanto, faço a interpretação dos dados coletados, segundo o
objetivo da pesquisa, além de sugerir ideias para o trabalho da Teoria Elementar dos
Números durante todo o percurso escolar.
Saliento que, nesta pesquisa, estas três etapas não ocorrem exatamente
nessa ordem e tampouco de forma independente. Em alguns momentos, as
inferências e as interpretações são realizadas durante a exploração do material para
uma melhor compreensão das observações realizadas. Assim, nos momentos em
que há a descrição do material, propriamente dita, utilizarei o modo impessoal de
escrita. Para os momentos de inferências e interpretações, utilizarei a primeira
pessoa do singular para a descrição.
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Capítulo 3Capítulo 3Capítulo 3Capítulo 3
ANÁLISE DO CORPUS DA PESQUISA
3.1. Proposta Curricular do Estado de São Paulo de 2008
No início de 2008, a Secretaria Estadual de Educação de São Paulo (SEE-
SP) apresentou uma nova Proposta Curricular para as escolas públicas estaduais. A
elaboração desta Proposta Curricular, segundo a SEE-SP, deu-se na intenção de
oferecer a todas as escolas públicas estaduais uma base comum de conhecimentos
e competências, para que, de fato, estas escolas funcionem como uma rede. A
necessidade de homogeneização surgiu pela grande variedade de currículos
diferentes existentes no Estado de São Paulo, além da intensa mobilidade que há
dos alunos entre as escolas da rede.
Outro motivo para a elaboração da Nova Proposta Curricular foi propiciar a
melhoria da qualidade das aprendizagens dos alunos, uma vez que os resultados
dos alunos da rede estadual paulista em exames como o ENEM19, SARESP20 e
SAEB21 têm sido insatisfatórios.
A Proposta Curricular foi elaborada pela SEE-SP com o intuito de garantir
que todas as escolas públicas estaduais funcionem realmente como uma rede,
tendo a mesma base comum de conhecimentos e competências. Ao apresentar
alguns princípios curriculares norteadores, a Proposta Curricular propõe
19 Exame Nacional do Ensino Médio 20 Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo 21 Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica
[…] princípios orientadores para a prática educativa, a fim de que as escolas possam se tornar aptas a preparar seus alunos para esse novo tempo. […] esta proposta define a escola como espaço de cultura e de articulação de competências e conteúdos disciplinares. (SÃO PAULO, 2008, p. 8)
O documento reforça a necessidade premente de a escola adaptar-se às
exigências da sociedade contemporânea. Exigências essas que, muitas vezes, não
tolera a falta de acesso ao uso das tecnologias de comunicação, diferentemente de
momentos anteriores, em que a exclusão ocorria pela falta de acesso aos bens
materiais, culturais e ao conhecimento.
Desta forma, essa Proposta defende a relevância e a pertinência do que é
ensinado e aprendido na escola, para que o aluno tenha uma oportunidade real de
aprendizagem e inserção no mundo, de forma produtiva.
Tendo isto em vista, a Proposta Curricular propõe o ensino da Matemática
que busca a aproximação entre o conteúdo curricular e as situações do cotidiano,
fora de sala de aula. A justificativa para esta iniciativa vem do fato de que todas as
pessoas, sejam jovens, adultos ou crianças, utilizam a Matemática em suas ações
como cidadãos, sendo, portanto, o estudo desta disciplina..
Dentre os conteúdos fundamentais estabelecidos pela Proposta Curricular,
enfatizo um dos grandes blocos denominado números , que
[…] tem por objetivo principal a ampliação da ideia do campo numérico por meio de situações significativas que problematizem essa necessidade. Tais situações podem estar apoiadas na história, como, por exemplo, a ampliação dos números naturais para os inteiros devido às necessidades prementes do desenvolvimento comercial e financeiro dos séculos XV e XVI, ou ainda em situações concretas de medida, onde se pode articular desde a relação entre notação decimal e fracionária de um número até a ampliação para o campo real, com a necessidade de utilizar as raízes para representar (SÃO PAULO, 2008, p. 45)
Analisando este documento, considero importante sinalizar que ele não deixa
explícita a preocupação com o estudo dos números inteiros e suas propriedades. A
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Teoria Elementar dos Números é encontrada de forma implícita em tópicos, como a
ideia de ordem e de equivalência, mas não é enfatizada a relevância de seu estudo.
Antes, o documento descreve que, ao final do Ensino Fundamental, o
aluno deve saber operar no campo real para, no Ensino Médio, fazer
aproximações de números racionais em resolução de situações-problema e
ampliar o campo numérico para os complexos. Esta ideia corrobora com
Machado (2008) que salienta a importância de haver um equilíbrio entre o
contínuo e o discreto na apresentação da Matemática durante todo o percurso
escolar.
3.2. O Caderno do Professor de Matemática de 2008
Após o envio do Caderno sobre a Proposta Curricular de 2008 e do “Jornal do
aluno”22 no início do ano letivo de 2008, a SEE-SP enviou, a partir de meados de
março de 2008, para as escolas da rede pública do Estado de São Paulo, o
chamado “Caderno do Professor”. Cada escola, por sua vez, deveria distribuir a
seus professores os Cadernos destinados às disciplinas que lecionavam no ano
vigente.
Os Cadernos do Professor foram apresentados em quatro encartes, relativos
a cada bimestre e para cada uma das séries/ano de cada disciplina.
A seguir, descreverei aspectos gerais presentes, especificamente, nos quatro
Cadernos do Professor de Matemática23 de 2008.
Entre outras informações, os Cadernos trazem, em sua primeira página, o
nome do Coordenador da Área de Matemática, Nilson José Machado, conhecido
pesquisador da Educação Matemática da Universidade de São Paulo e dos autores
dos Cadernos.
22 O Jornal do aluno é um material utilizado como reforço para suprir deficiências apontadas no SARESP. Apresenta atividades (situações-problema com a temática da disciplina e o desenvolvimento das habilidades do Saresp), de acordo com o número de aulas previstas para cada disciplina, em um período de 45 dias. 23 No que se segue, o Caderno do Professor de Matemática será chamado por Caderno do Professor ou, simplesmente, Caderno.
Todos os encartes dos Cadernos do Professor de 2008 trazem uma mesma
carta endereçada ao professor, assinada por Maria Helena Guimarães de Castro,
Secretária da Educação do Estado de São Paulo do ano em questão. Nesta carta, a
Secretária da Educação informa que uma das prioridades do governo para a área da
educação é proporcionar um ensino de qualidade e que essa meta será
concretizada essencialmente na sala de aula, pelo professor e seus alunos. (SÃO
PAULO, 2008a, p. 3). Castro explica sua expectativa de que o professor aproveite e
implemente as orientações didático-pedagógica (sic) contidas nos Cadernos do
Professor e informa que, se necessário, podem haver ajustes e adaptações, a fim
de um trabalho eficaz.
Na página seguinte, em todos os Cadernos, o sumário é apresentado,
contendo a localização das páginas das Situações de Aprendizagem, da “Ficha do
Caderno” e dos conteúdos de Matemática por série e bimestre do Ensino
Fundamental. Só nos Cadernos do Professor dos 2º e 3º bimestres da 7ª série (8º
ano), nível a que esta pesquisa se dedica, há um item de título “Recursos para
ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema”, em
que são informados “sites”, bibliografia, “softwares”, vídeos e outros materiais
contendo atividades diversas sobre o conteúdo a ser trabalhado. Só nos Cadernos
dos 1º e 2º bimestres há um item de considerações sobre a avaliação final. Os
Cadernos relativos aos 3º e 4º bimestres apresentam orientações para recuperação.
Vale observar que o Caderno do Professor do 1º bimestre de 2008 possui 32
páginas, o do 2º bimestre, 40, e os Cadernos do Professor dos 3º e 4º bimestres
possuem 64 páginas cada um.
Talvez o reduzido número de páginas do 1º bimestre deva-se ao fato de que o
“bimestre” já havia se iniciado quando os cadernos chegaram às escolas.
Após os sumários, é apresentada a carta da Coordenadora Geral da Proposta
Curricular para o Ensino Fundamental – Ciclo II e Ensino Médio do Estado de São
Paulo, Maria Inês Fini, com considerações sobre a Proposta Curricular, os Cadernos
do Professor e seus objetivos. A Coordenadora afirma que a Proposta Curricular foi
liderada pela SEE-SP e elaborada em parceria com professores coordenadores
assistentes pedagógicos, diretores e supervisores, tendo em vista o aprimoramento
do trabalho pedagógico da rede pública de ensino paulista. A Coordenadora
comenta ainda que “A Proposta não pretende ser mais uma novidade pedagógica,
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mas atuar como uma retomada dos diversos caminhos curriculares que esta
Secretaria já traçou e que muitas escolas já incorporaram em suas práticas.” (SÃO
PAULO, 2008a, p. 5).
A exposição dos objetivos e das ideias principais da Proposta Curricular no
Caderno do Professor, repetida pela Coordenadora em sua carta, ratifica o que já
havia sido explicitado no caderno da Proposta Curricular, propriamente dita. Talvez
essa repetição deva-se à importância de ênfase nos objetivos da Proposta.
A seguir à carta da Coordenadora, é apresentada a “Ficha do Caderno”
relativa ao Caderno em questão (ver anexo 1). Na ficha, constam o nome e a área
da disciplina, a série, o período letivo, a quantidade de aulas semanais, semanas, e
aulas no bimestre a serem utilizadas para o desenvolvimento dos temas e conteúdos
descritos. No final das fichas dos Cadernos 2º, 3º e 4º bimestres, constam os nomes
dos membros da equipe e de seu coordenador responsáveis pela elaboração de
cada Caderno. No Caderno do 1º bimestre constam, apenas, os nomes dos autores
(ver anexos 2, 3 e 4)
A seguir, nos Cadernos de Matemática dos 2º, 3º e 4º bimestres existe o
tópico “Orientação sobre os Cadernos”, precedendo as orientações sobre os
conteúdos do bimestre. Estas orientações sugerem a não desvinculação do que está
presente nos Cadernos do Professor daquilo que usualmente é ensinado nas
escolas. Antes,
[…] as inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem, sugerida ao longo do Caderno de cada um dos bimestres. Busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática, em como os elementos culturais internos e externos à matemática. (SÃO PAULO, 2008b, p. 8)
Acrescenta-se ainda que o aprofundamento e a duração ao explorar os
conteúdos apresentados ficam a critério do professor, segundo a necessidade e o
interesse de cada sala e de cada situação de aprendizagem específica. Explica-se
que os Cadernos do Professor estão organizados em oito unidades com,
aproximadamente, a mesma extensão e, por isso, a orientação sugere que o
professor contemple todas as unidades, já que “juntas, compõem um panorama no
conteúdo do bimestre, e muitas vezes, uma das unidades contribui para a
compreensão das outras” (SÃO PAULO, 2008b, p. 8).
Comenta-se ainda que apenas algumas unidades foram apresentadas com
atividades nos Cadernos do Professor, porém espera-se que a abordagem dada a
aos temas não contemplados seja a mesma daquela adotada no decorrer do
Caderno.
A presença desta orientação sobre os Cadernos em todos os bimestres,
exceto no primeiro, permite-me inferir que isto se fez necessário pela aparente falta
de informação ou conhecimento dos propósitos dos Cadernos do Professor, que não
era impositivo, inflexível e concluído nesse momento, mas, sugestivo, conforme
explicitado na Proposta Curricular de 2008, a qual muitos professores possivelmente
não haviam lido.
Nas orientações sobre os conteúdos do bimestre que aparecem em todos os
Cadernos de Matemática de 2008, encontram-se os temas centrais de cada
bimestre, as ideias e questões principais que devem ser trabalhadas, a abordagem a
ser dada em cada tema e os objetivos das quatro situações de aprendizagem
apresentadas em cada bimestre.
Descritos e observados os aspectos gerais que compõem os Cadernos do
Professor de Matemática de 2008, farei, a seguir, a descrição e a análise das
atividades presentes em cada situação de aprendizagem, bimestralmente
apresentadas nos Cadernos do Professor de Matemática destinados à 7ª série,
seguindo a ordem de aparição das mesmas. Para que o objetivo desta pesquisa seja
alcançado, observarei o que há de Teoria Elementar dos Números, salientando a
questão da divisibilidade nas atividades e a abordagem dada a cada tema.
3.2.1. O Caderno do Professor de Matemática da 7ª s érie do 1º bimestre de 2008
O Caderno do Professor do 1º bimestre da 7ª série enfoca como temas
centrais as frações e as potências. No espaço reservado às frações, permite-se o
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estudo de ideias matemáticas, como o infinito, nas discussões sobre as dízimas
periódicas e as classes de equivalência na organização das frações.
A ideia de potência, segundo o Caderno, será ampliada ao serem usadas
bases e expoentes com números inteiros e suas propriedades operatórias, uma vez
que na série anterior já se tinha explorado potências com bases de números inteiros
e expoentes com números naturais. Sobre as propriedades operatórias das
potências, comenta-se:
A opção de não apresentar nas situações de aprendizagem e sugestões de atividades deste caderno uma proposta específica para o trabalho com as propriedades operatórias das potências não implica que o assunto não seja importante. Espera-se de um aluno de 7ª série que seja capaz, ao longo do ano, de trabalhar com as propriedades operatórias das potências com razoável destreza e agilidade. (SÃO PAULO, 2008a, p. 8)
O Caderno do Professor traz, ainda, um quadro apresentado a seguir com as
unidades a serem trabalhadas no bimestre em questão e, na página final do encarte,
um quadro que assinala a correlação dos conteúdos a serem trabalhados com
assuntos já trabalhados ou que serão trabalhados nas outras séries do Ensino
Fundamental II (ver anexo 5):
Quadro geral de conteúdos do 1º Bimestre da 7ª série
Unidade 1 Frações e os números racionais
Unidade 2 Decimais finitas e as dízimas periódicas
Unidade 3 Frações geratriz de uma dízima / Reconhecimento de dízimas a partir da fração irredutível
Unidade 4 Potências: definição e contextos
Unidade 5 Potências: aplicações práticas
Unidade 6 Potências: aplicações práticas e propriedades operatórias
Unidade 7 Propriedades operatórias das potências
Unidade 8 Potências e problemas de contagem
Fonte: SÃO PAULO (2008a, p. 9)
No quadro de correlações dos assuntos (anexo 5) é possível ver os temas
deste bimestre – Números Racionais e Potenciação – relacionados aos Números
Racionais do 1º bimestre da 6ª série e aos Números Decimais, do 2º bimestre da 5ª
série.
A primeira situação de aprendizagem do Caderno do Professor de 2008 tem
por objetivo estudar “diferenças e semelhanças envolvendo as frações, a razão entre
dois números quaisquer e números racionais” (SÃO PAULO, 2008a, p. 9). Com isto
em vista, pretende esclarecer, dentre outras, a questão: “Qual é a diferença entre
uma fração e um número racional?”.
Para responder a esta questão, é proposta uma abordagem diferente daquela
tradicionalmente apresentada nos livros didáticos, explorando a noção de classes de
equivalência. A partir de exemplos de conjuntos inicialmente desorganizados, como
o conjunto de automóveis que circula na cidade, o Caderno do Professor de 2008
incita a ideia de organização desse conjunto, segundo um critério preestabelecido.
Para o conjunto de automóveis, um critério escolhido para definir a relação de
equivalência poderia ser o fabricante dos automóveis; feita a organização do
conjunto de automóveis, o mesmo pode ser reduzido a uma espécie de mostruário,
no qual um representante de cada fabricante seria o suficiente para mapear todo o
conjunto relação. Com o conjunto das frações, a organização em classes será feita
se considerarmos como equivalentes todas as frações irredutíveis que representam
a mesma parte da unidade; o mostruário destas frações será desta forma, o conjunto
dos racionais. A exploração desta ideia está presente nos exercícios numerados
como A1, A2 e A3. O exercício A2 tem o seguinte enunciado:
A2. Considere o conjunto dos números inteiros não nulos representados na reta numerada e a relação de equivalência seguinte: dois números inteiros são equivalentes se, e somente se, situam-se à mesma distância da origem, onde está o número zero. Nesse caso,
a) quais seriam as classes de equivalências?
b) qual seria o mostruário? (SÃO PAULO, 2008a, p.13)
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Apesar das classes de equivalência não pertencerem à lista de tópicos
essenciais dentro da Teoria Elementar dos Números, considero interessante notar
que a escolha de critérios para “organizar” um conjunto de números também está
presente nas congruências módulo m24. A diferença é que nas congruências módulo
m quer se “organizar” o conjunto dos números inteiros.
Outro tópico da Teoria Elementar dos Números que esta situação de
aprendizagem apresenta é o critério de divisibilidade para se encontrar frações
equivalentes. É possível que uma fração não seja dada em sua forma irredutível e,
por isso, pode-se simplificar esta fração para encontrar outra que pertence a mesma
classe.
A segunda situação de aprendizagem do Caderno do Professor de 2008
apresenta como título “As dízimas periódicas são previsíveis…”, por objetivar a
instrumentalização dos alunos para reconhecerem, quando uma fração irredutível
qualquer gerará uma dízima periódica, no caso de se dividir o numerador pelo
denominador.
Propõe-se, então, a confecção de uma tabela de dupla entrada, com os
números de 1 a 9, que mostra algumas combinações possíveis para o numerador e
o denominador. Construída a tabela, pede-se aos alunos que dividam o numerador
pelo denominador das frações representadas e assinalem com um “X” as casas que
correspondem às dízimas periódicas. A tabela ficaria como se segue, na Figura 1:
NUMERADOR
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3 X X X X X X
4
5
6 X X X X X X
7 X X X X X X X X
DE
NO
MIN
AD
OR
8
24 Congruência Módulo m: Seja m um inteiro fixo. Dois inteiros a e b são congruentes módulo m se, e somente se, eles têm como resto o mesmo inteiro quando dividimos por m. (MILIES; COELHO, 2003, p.105-106)
9 X X X X X X X X
Figura 1: Frações que resultam em dízimas periódicas Fonte: SÃO PAULO (2008a, p.15)
Em seguida, sugerem-se sete questões, B1 a B7, para reflexão sobre a
tabela, tais como: “B1. Quando uma fração irredutível não gera uma dízima
periódica, se for dividido numerador por denominador?”, “B2. Quando uma fração
com denominador igual a 3 não gera uma dízima?” B4. “Escreva a seqüência dos
números primos menores do que 30.”, “B7. Quando a divisão entre numerador e
denominador de uma ração irredutível gera uma dízima periódica?” (SÃO PAULO,
2008a, p.15, 16). Espera-se com a reflexão destas questões a percepção de que
uma fração irredutível resultará em uma dízima periódica apenas, se em seu
denominador houver qualquer fator primo diferente de 2 ou 5.
Finalizando esta situação de aprendizagem, apresenta-se a obtenção da
geratriz de uma dízima periódica simples e composta da maneira tradicional para
este nível de conhecimento, isto é, por meio de equações multiplicadas por
potências de 10.
Nesta situação de aprendizagem, observo forte presença de um dos tópicos
que tomamos, por Resende (2007), como essenciais da Teoria Elementar dos
Números. Para decidir a presença ou não dos fatores 2 ou 5 no denominador de
uma fração irredutível, antes é necessário que o aluno domine a decomposição de
números em fatores primos, onde estará utilizando, implicitamente, o Teorema
Fundamental da Aritmética25.
Da mesma forma, o conhecimento do conceito de número primo,
consequentemente, está implícito no desenvolvimento desta situação de
aprendizagem. Sem estes conceitos internalizados, não é possível realizar a
decomposição em fatores primos nem, tão pouco, decidir a presença de fatores
primos nos denominadores de frações irredutíveis dadas. Esta análise pauta-se nas
possibilidades de desdobramentos próprios da Teoria dos Números. Percebemos
também a necessidade da utilização do algoritmo da divisão para efetuar as divisões
25 Teorema Fundamental da Aritmética: Seja a um inteiro diferente de 0, 1 e –1. Então, existem primos positivos p1 < p2 < … < pr, e inteiros positivos n1, n2, …, nr, tais que a = E·p1
n1·p2n2· …·pr
nr, em que E = ± 1, conforme a seja positivo ou negativo. Alem disso, essa decomposição é única (MILIES; COELHO, 2003, p. 81)
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presentes na tabela de dupla entrada. Estes cálculos, porém, poderiam ser
efetuados com o auxílio da calculadora, sem trazer prejuízos aos objetivos previstos
para a realização da atividade.
Na terceira situação de aprendizagem do Caderno do Professor de 2008, o
tema central é o estudo das potências para a representação de números muito
grandes ou muito pequenos como justificativa do estudo de suas propriedades
operatórias. Apresenta-se, para tal, a seguinte questão: “Dentre os números 210, 103
e 107, qual deles é escrito com maior número de dígitos” (SÃO PAULO, 2008a,
p.18). A discussão desta questão permite a retomada do significado e do cálculo de
potências, além de possibilitar a percepção de que, ao escrever um número como
uma potência de base 10, pode-se saber a quantidade de algarismos desse número,
observando o expoente dessa potência. Para a exploração desse significado,
propõem-se questões contextualizadas como o exercício C1:
C1. Em astronomia, a distância que a luz percorre em um ano é chamada ano-luz. Pergunta-se:
a) Quantos metros tem 1 ano-luz?
b) Qual é a distância entre a Terra e o Sol em anos-luz, sabendo que essa distância é aproximadamente igual a 150 000 000 000 m?
c) Quanto tempo um feixe de luz que parte do Sol leva, aproximadamente, para chegar à Terra?
d) Por que os astrônomos utilizam uma unidade “tão grande” como ano-luz para medir distâncias? (SÃO PAULO, 2008a, p.18, 19)
A contextualização do estudo das potências continua ao ser apresentado o
número googol, nome dado pelo matemático americano Edward Kasner ao número
1 acompanhado de 100 zeros, isto é, o número 10100. Este número é comparado às
quantidades presentes no mundo real, menores que 1 googol, como a quantidade de
gotas de chuva que caem em um século no Estado de São Paulo, o número total de
grão de areia das praias do litoral brasileiro e o número de elétrons em todo
universo. Contextualizações como esta são apresentadas nos exercícios C2 e C3,
além da sugestão de trabalho com calculadoras científicas para a discussão do tipo
de linguagem utilizada por esta tecnologia na representação das potências de base
10.
Finalizando a situação de aprendizagem, são apresentadas as potências com
expoentes negativos para representar números muito pequenos. Para tal, utiliza-se a
regularidade presente no Sistema Posicional Decimal e outros números que podem
ser representados com potências de expoentes negativos como: “1 cm = 10–2 m, 1
mm = 10–3 m, 1µm = 10–6 m, 1 nanômetro = 10–9m, 1 angstrom = 10–10m, Massa da
molécula de água = 3.10–23g, diâmetro de uma célula = 15 a 350.10–9m,
Comprimento da luz visível = 7 a 4. 10–7m.” (SÃO PAULO, 2008a, p.22). O trabalho
com as transformações existentes nesta tabela está presente nos exercícios C4, C5,
e C6.
Como se pode observar, esta situação de aprendizagem foi totalmente
voltada ao estudo das potências, um dos tópicos relacionados à Teoria Elementar
dos Números, definidos por Resende (2007) como essenciais. Com as potências,
percebo uma variação na representação dos números naturais ao serem utilizadas
as potências de 10. Esta variação permite um trabalho eficaz na realização de
cálculos com potências, da mesma forma que leva o aluno a ter mais experiência
com outras representações de números naturais. A experiência com representações
dos números inteiros é defendida por Brown et al. (2002) por entenderem que ela
trará um entendimento melhor dos números inteiros e de suas propriedades. Ainda
sobre as representações, Dreyfus (1991) afirma que seu uso possibilita ao aluno
saber como agir em diferentes situações matemáticas,
Outro tópico explicitado, ainda que de forma ínfima em apenas um exemplo,
são as sequências para a observação de regularidades numéricas, ao se apresentar
potências com expoentes negativos. A observação de padrões tem sido um dos
assuntos amplamente investigados atualmente na Educação Algébrica. Sobre este
tema, pesquisas como a de Ferreira (2009), apontam que as atividades, em que há
a observação de regularidades, contribuem significativamente para o
desenvolvimento do pensamento algébrico, como já foi dito anteriormente.
A quarta e última situação de aprendizagem presente no Caderno do
Professor de 2008 apresenta diversas atividades contextualizadas, relacionando as
potências e as unidades de memória dos computadores. Comenta-se que o termo
54
55
byte26 e seus múltiplos são amplamente utilizados nos dias de hoje. Por sua
natureza, são representações de números binários, isto é, potências de base 2. Seu
significado, porém, tem sido mudado pelos fabricantes de memória que adotam a
representação decimal para facilitar o entendimento do usuário. Isto acaba gerando
uma diferença entre o que é registrado no sistema operacional e da real capacidade
de memória do computador. Na exploração desse tema, são utilizadas atividades
envolvendo as transformações entre bytes em seus múltiplos e vice-versa.
Com base no Sistema Internacional, faça as seguintes transformações e dê a resposta na forma de potência de dez:
a) 10 megabytes em bytes
b) 1 gigabyte em quilobyte
c) 100 quilobytes em gigabytes
d) 20 terabytes em megabytes
e) 1 megabyte em terabytes (SÃO PAULO, 2008a, p.27)
Partindo da pergunta: “Quantos algarismos usamos para escrever as
potências de 2?” (SÃO PAULO, 2008a, p. 29), propõe-se a construção de uma
tabela, seguida de um gráfico, no qual se relacionam o expoente e o número de
algarismos das potências de 2. Após a construção da tabela e do gráfico, pede-se
para que, observando o padrão existente, se determine o número de algarismos do
número 2100.
Analisando a situação de aprendizagem, observei novamente uma ampla
utilização das potências em contextualizações e a exploração de suas propriedades
em cálculos envolvendo transformações das unidades de memória. Mais uma vez, a
ideia da observação e generalização de padrões é utilizada para determinar a
quantidade de algarismos de uma potência. Afirmo, novamente, a grande
importância do uso de observação e generalização de regularidades, concordando
com Ferreira (2009). na conclusão de sua dissertação e Katz (2007) ao dizer que a
generalização de padrões numéricos propicia que os alunos tornem-se proficientes
em expressar como as quantidades covariam em relação umas às outras. (KATZ,
2007, p. 13).
26 Byte é a unidade básica de armazenamento de memória no computador, constituído por 8 bits.Um bit é a menor unidade lógica da de armazenamento do computador, sendo seu valor 0 (descarregado) e 1 (carregado).
3.2.2. O Caderno do Professor de Matemática da 7ª s érie do 2º bimestre
de 2008
O Caderno do Professor do 2º Bimestre da 7ª série de 2008 traz como tema
central a manipulação dos símbolos algébricos, isto é, o estudo das expressões
algébricas, os produtos notáveis e as fatorações algébricas. Segundo esse Caderno,
esta proposta de organização curricular interfere diretamente na ordem tradicional
de abordagem dos temas da álgebra, porém sugere uma forma diferente de tratá-
los, especialmente no que diz respeito ao cálculo algébrico […]. (SÃO PAULO,
2008b, p. 9).
Desta forma, quatro funções são conferidas ao estudo da Álgebra: a
generalização da Aritmética, a elaboração de processos para resolução de
problemas, a representação de grandezas e a formalização de estruturas algébricas.
Segundo o Caderno do Professor, estas funções devem ser exploradas
concomitantemente e não como blocos isolados. Assim, o Caderno apresenta
atividades que buscam estabelecer relações entre estas quatro funções.
Assim como no 1º bimestre, é apresentado um quadro geral com as unidades
a serem trabalhadas e, na página final do encarte, outro quadro com os conteúdos a
serem trabalhados no bimestre, relacionados aos conteúdos de outras séries do
Ensino Fundamental (ver anexo 6).
Quadro geral de conteúdos do 2º Bimestre da 7ª série
Unidade 1: Expressões algébricas: equiva-lência e transformações.
Unidade 2: Expressões algébricas: operações. Unidade 3: Produtos notáveis e fatoração:
abordagem geométrica Unidade 4: Produtos notáveis e fatoração:
abordagem algébrica Unidade 5: Produtos notáveis e fatoração:
abordagem algébrica Unidade 6: Fatoração e simplificação de
frações algébricas. Unidade 7: Fatoração e simplificação de
frações algébricas.
56
57
Fonte: SÃO PAULO (2008b, p. 10)
Os conteúdos que estão sombreados nos dados do quadro (anexo 6)
mostram o que os proponentes do Caderno do Professor sugerem como sendo
conteúdos correlacionados desse bimestre com os das séries do Ensino
Fundamental II. Pode-se observar, porém, que o conteúdo proposto para o 2º
Bimestre da 7ª série – Expressões Algébricas – não está sombreado, o que pode
induzir erroneamente, a dizer que não há relações explícitas com temas de outras
séries. Sob um olhar mais atento, percebe-se que as Expressões Algébricas estão
relacionadas com todos os outros temas sombreados: Números Naturais, Frações,
Números Decimais e Sistemas de Medida dos 1º e 2º bimestres da 5ª série,
Sistemas de Numeração, Números Negativos e Números Racionais do 1º Bimestre
da 6ª série, Números Racionais e Potenciação do 1º bimestre da 7ª série e Números
Reais no 1º bimestre da 8ª série. A ausência deste sombreado pode se dever a erro
na impressão dos Cadernos.
Sobre as situações de aprendizagem propostas, a abordagem sugerida traz
na primeira situação de aprendizagem o trabalho exploratório com sequências
formadas por conjuntos de bolinhas arranjadas geometricamente, isto é, o trabalho
com a observação de padrões e generalização.
Todas as atividades apresentadas objetivam determinar diferentes
expressões algébricas para a quantidade de bolinhas presentes na enésima figura e
mostrar a equivalência dessas expressões. Para tanto, são sugeridas algumas
estratégias para facilitar a contagem das partes das situações-problema desta
situação de aprendizagem.
Uma delas é a identificação da regularidade por meio da quantidade de
colunas e de linhas de bolinhas que formam as figuras, como exemplificado na figura
a seguir.
Figura 2: Primeira sequência de bolinhas Fonte: SÃO PAULO (2008b, p. 11 e 12)
No caso ilustrado no item II da Figura 2, percebe-se que a primeira linha
sempre terá uma bolinha a mais que a segunda linha, e esta mesma quantidade
refere-se à posição ocupada pela figura em questão. Pode-se concluir que na
posição genérica n haverá n + (n – 1) bolinhas.
Observando-se as colunas (item III, Figura 2), pode-se notar que há duas
bolinhas em cada coluna, sendo a quantidade de colunas a mesma da posição
ocupada pela figura representada 2n. Mas como na última coluna há uma bolinha a
menos, ela deve ser desconsiderada ao final da expressão, chegando à expressão
2n – 1.
A outra estratégia sugerida pelo Caderno é o preenchimento das figuras da
sequência com bolinhas que serão “subtraídas”; em seguida, para se obter
quadrados e retângulos “perfeitos”, como no exemplo abaixo:
(I)
(II) (III)
(I) (II)
58
59
Figura 3: Segunda sequência de bolinhas Fonte: SÃO PAULO (2008b, p.12)
Ao completar a figura inicial, têm-se retângulos “perfeitos”, com suas
dimensões sendo quatro colunas e a quantidade de linhas, segundo a posição da
figura em questão. A expressão correspondente aos retângulos seria 4n, mas como
se deve subtrair a bolinha que foi acrescentada, a expressão final correspondente é
4n – 1.
A última estratégia apresentada é o processo de reagrupamento das bolinhas
para se obter uma melhor observação da regularidade existente.
Figura 4: Terceira sequência de bolinhas Fonte: SÃO PAULO (2008b, p. 13)
No item III da Figura 4, a reorganização das bolinhas permitiu a construção de
quadrados, acrescentando uma diagonal, que possui uma bolinha a mais que o
número da posição da figura (bolinhas vermelhas) e acrescentando uma quantidade
igual àquela que se quer contar (bolinhas verdes). Desta forma, em cada quadrado
há (n + 1) colunas e linhas representadas por (n + 1)² bolinhas, mas, como o que se
quer contar é a quantidade de bolinhas dos triângulos, deve-se descontar a diagonal
e dividir esse resultado por dois. Assim, a expressão correspondente será
( ) ( )2
1n1n 2 +−+ .
(III)
(I)
(II)
Em razão das atividades tratarem-se da observação e da generalização de
padrões, assunto este relacionado por Resende (2007), como essenciais na Teoria
Elementar dos Números, é possível ver a utilização da divisibilidade em diversos
momentos.
Um aspecto da divisibilidade presente em todas as estratégias é o emprego
de múltiplos e divisores ao se relacionar a quantidade de bolinhas na figura e o
número da posição da figura. Este movimento permite ao aluno generalizar a
definição de múltiplo de um número, até então utilizada apenas com números
inteiros.
A segunda situação de aprendizagem apresentada tem os produtos notáveis
como seu tema principal, desenvolvidos com base na Geometria. Nesta abordagem,
defende-se o uso de diversas linguagens de representação para uma apropriação
significativa da álgebra, uma vez que este assunto é por muitas vezes trabalhado
sem fazer nenhum sentido ao aluno.
Inicialmente, são representados os quadrados perfeitos decompostos em
quadrados, retângulos menores que equivalem às expressões algébricas
conhecidas como trinômio quadrado perfeito representado na Figura 5.
Figura 5: Trinômio Quadrado Perfeito Fonte: SÃO PAULO (2008b, p. 16)
60
61
Após o trabalho com as expressões que representam o trinômio quadrado
perfeito, são apresentados dois exemplos para que se faça a representação
geométrica, assim como a realizada com o quadrado de lado a + b.
Figura 6: Aplicação do Trinômio Quadrado Perfeito Fonte: SÃO PAULO (2008b, p. 16)
Outra expressão algébrica apresentada, utilizando-se a decomposição em
quadrados e trapézios é a diferença de dois quadrados, partindo de um quadrado de
lado a, como mostra a Figura 7 a seguir:
Figura 7: Diferença de Dois Quadrados Fonte: SÃO PAULO (2008b, p. 17 e 18)
Ao observar as atividades desta situação de aprendizagem, não notei a
exploração explícita de temas relativos à Teoria Elementar dos Números. Mas,
implicitamente, posso observar o uso dos múltiplos e divisores na transição da
escrita algébrica para a representação geométrica dos produtos notáveis.
Em continuação ao estudo dos produtos notáveis, a situação de
aprendizagem 3 apresenta fatorações e frações algébricas de forma
contextualizada, iniciando com o trabalho de situações-problema com enunciados na
linguagem materna para a tradução na linguagem algébrica. Além disso, a raiz de
um polinômio e as atividades que propiciam a atribuição de significados ao valor
numérico em uma expressão algébrica, como verificação de uma igualdade também
são trabalhadas. Para tanto, são apresentados, por exemplo, retângulos com
dimensões envolvendo a soma de constantes e variáveis, questionando, em
seguida, o valor da área desses retângulos, quando a variável assumir diferentes
valores, assim como na Atividade 1 mostrada a seguir. As atividades 2 e 3 são
propostas com o mesmo objetivo.
Figura 8: O significado do valor numérico Fonte: SÃO PAULO (2008b, p.20)
Para atribuir significado ao valor numérico que verifica uma igualdade, o
Caderno do Professor propõe a seguinte atividade:
62
63
A soma de certo número positivo com 3 é elevada ao quadrado, e o resultado final é 64.
a) Descubra esse número utilizando apenas cálculo mental.
b) Chamando o número procurado de a, escreva uma sentença matemática que traduza o enunciado do problema.
c) Em quais das seguintes sentenças podemos substituir a letra a pelo número que você descobriu “de cabeça” e, efetuando os cálculos, verificar que a igualdade é verdadeira? I. (a +3) . (a + 3) = 64 II. a² + 6a + 9 = 64 III. (a + 9) . (a + 1) = 20 IV. (a – 5) . (a + 11) = 0 V. (a – 1) . (a – 2) = 12. (SÃO PAULO, 2008b, p.22).
Com base nos resultados destas substituições, sugere-se a inclusão da ideia
de que sentenças com a mesma raiz são equivalentes, ainda que estejam fatoradas
de formas diferentes. No caso, é possível observar este fato nos itens I, II e IV, cujas
raízes são 5 e –11.
O significado atribuído às fatorações é trabalhado com base em adivinhações
como: “Pense em um número. Agora faça o seguinte: multiplique-o por 5; adicione o
resultado a 15; divida o resultado anterior pelo número adicionado a 3. O resultado,
vamos ‘adivinhar’, é igual a 5, certo? Descubra como conseguimos” (SÃO PAULO,
2008b, p. 23). Além desta atividade apresentada, outras três são propostas. Acredito
que atividades como esta permitem a utilização das fatorações inerentes aos
produtos notáveis, fazendo com que estes também ganhem sentido.
Na terceira situação de aprendizagem, a preocupação está voltada aos
produtos notáveis, tema este em que o trabalho com as letras, possui maior
evidência. A simplificação de expressões é realizada por meio da divisão de
polinômios, havendo, assim, uma analogia à divisibilidade dos números inteiros.
Noto, também, uma referência implícita ao Teorema Fundamental da Aritmética, se o
polinômio for tomado como um número inteiro, e a forma fatorada desse polinômio
como a decomposição do número inteiro em fatores primos.
A quarta e última situação de aprendizagem presente no Caderno do
Professor do 2º Bimestre pretende utilizar a linguagem escrita integrada com as
linguagens aritmética, algébrica e geométrica em problemas que generalizam
situações aritméticas, permitindo o desenvolvimento de habilidades relativas ao
cálculo algébrico. Para isso, relembra-se, inicialmente, a história de que o conhecido
matemático Gauss, aos 10 anos de idade, teria calculado a soma dos 100 primeiro
números naturais a partir de 1 em alguns segundos.
Percebendo que a soma da primeira com a última parcela é igual à soma da
segunda com a penúltima parcela, e à soma com a terceira com a antepenúltima
parcela e, assim, sucessivamente, Gauss teria concluído, segundo o Caderno, que a
soma das 100 parcelas seria 50. 101, já que a soma 101 repete-se por 50 vezes.
Dando uma tradução para a linguagem geométrica ao problema resolvido por
Gauss na forma aritmética, são propostas duas formas triangulares reunidas, tendo
em cada uma delas uma bolinha na primeira linha e chegando a sete bolinhas na
sétima (Figura 9, item I). A soma destas bolinhas está representada por S7 = 1 + 2 +
3 + 4 + 5 + 6 + 7.
Figura 9: Somatória dos sete primeiros naturais Fonte: SÃO PAULO (2008b, p. 27)
Ao observar essa representação retangular (Figura 9, item II), percebe-se
que as oito bolinhas em cada linha são o resultado da soma das bolinhas brancas e
pretas presentes em cada linha. Desta forma, pode-se concluir que o valor de S7 é
dado por 287 ⋅
.
Para utilizar a linguagem algébrica no problema de Gauss, propõe-se a
seguinte atividade: “Raciocinando com o Gauss, e inspirado nas formas geométricas
acima, você é capaz de generalizar e indicar como calcularia a soma dos n primeiros
números naturais, a partir de 1?” (SÃO PAULO, 2008b, p. 27). Sua resolução traz
que a generalização é ( )2
1nnSn
+⋅= , independente do valor de n ser par ou ímpar.
(I) (II)
64
65
Partindo desta fórmula, são trabalhadas algumas identidades algébricas no intuito de
exercitar a manipulação algébrica dos alunos. Estas ideias são exploradas em
outras quatro atividades.
Em outras três atividades, a questão da soma dos ângulos internos e a
quantidade de diagonais de um polígono convexo são exploradas. Desta forma,
propõe-se a descoberta da soma dos ângulos internos de um pentágono, de um
octógono e de um quilógono (polígono de 1000 lados).
Nos dois primeiros casos, são desenhados os polígonos e, partindo de um
dos vértices de cada figura, traçadas as diagonais, obtendo triângulos, como na
Figura 10 a seguir.
Figura 10: Polígonos tracejados Fonte: SÃO PAULO (2008b, p. 29)
No pentágono, são encontrados três triângulos e no octógono, cinco
triângulos. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, e os ângulos
internos destes polígonos coincidem com os ângulos internos dos triângulos,
teremos a soma dos ângulos internos do pentágono, valendo 3 . 180º = 540º, e a
soma dos ângulos internos do octógono sendo 6 . 180º = 1080. Para a soma dos
ângulos internos do quilógono, parte-se do mesmo princípio, porém agora não
necessitando do desenho da figura, e sim, fazendo uma análise dos resultados já
encontrados para os ângulos internos do pentágono e do octógono. Como nos dois
primeiros casos, o número de triângulos formados é diminuído de dois da
quantidade de lados do polígono em questão, conclui-se que a soma dos ângulos
internos de um quilógono será dado por 998 . 180º = 179640º. Tendo este raciocínio
como base, conclui-se que, para um polígono com n lados, a soma Si de seus
ângulos internos será dada por Si = (n – 2) . 180º.
Sendo o objetivo desta situação de aprendizagem a integração das
linguagens aritmética, algébrica e geométrica, percebo a ênfase dada à linguagem
algébrica, quando encontramos mais da metade das atividades voltadas para a
demonstração de propriedades provenientes das identidades algébricas.
A Aritmética, isto é, a Teoria Elementar dos Números da mesma forma não é
deixada de lado. Na soma dos ângulos internos de um polígono, se for tomado como
o primeiro a ser considerado na contagem o primeiro polígono, no qual é possível
haver e contar ângulos internos, um triângulo seria a figura 1, um quadrado de figura
2, um pentágono de figura 3 e, assim, por diante.
Considerando, agora, que a soma dos ângulos internos do triângulo é 1 . 180°
= 180°, a soma dos ângulos internos do quadrado é 2 . 180° = 360, a soma dos
ângulos internos de um pentágono é 3 . 180° = 540° e, assim, por diante, seria
possível observar a utilização dos múltiplos e da observação de regularidade para a
determinação da soma dos ângulos internos de um polígono, segundo o número da
figura correspondente ao polígono. Esta abordagem, assim como aquela
apresentada no Caderno do Professor, segundo pesquisas, como a de Pesquita
(2007), auxiliaria no desenvolvimento do pensamento algébrico do indivíduo, pois
permite as aluno compreender, representar e operar algebricamente.
3.2.3. O Caderno do Professor de Matemática da 7ª s érie do 3º bimestre de 2008
O Caderno do Professor de Matemática da 7ª série de 2008 objetiva o
aprofundamento do estudo das equações do 1º grau, a apresentação do sistema
cartesiano de coordenadas e as equações com mais de uma incógnita em sistemas
de equações e equações que possuem apenas soluções inteiras.
A seguir, o quadro apresenta as unidades a serem trabalhadas no 3º bimestre
e os conteúdos e suas correlações com temas trabalhados em outras séries estão
no anexo 7.
66
67
Quadro geral de conteúdos do 3º Bimestre da 7ª série
Fonte: SÃO PAULO (2008c, p. 10)
Assim, nos dados do quadro em anexo, tem-se o tema central do 3º bimestre
– Álgebra/Equações – correlacionado aos Múltiplos, Divisores, Números Primos e
Problemas de Contagem dos 1º e 4º bimestres da 5ª série, Ângulos, Polígonos,
Simetrias, Proporcionalidade direta e inversa e Álgebra nos 2º, 3º e 4º bimestres da
6ª série, Equivalências e transformação de expressões algébricas do 2º bimestre da
7ª série, Noções básicas sobre funções e as ideias de interdependência do 2º
bimestre da 8ª série.
A primeira situação de aprendizagem traz em seu objetivo a importância do
trabalho com a leitura, interpretação de enunciados e a transcrição das informações
obtidas nesses enunciados para a linguagem algébrica.
Desta forma, apresentam-se, inicialmente, enunciados como “Se X operários
constroem um muro em Y horas, quantas horas serão necessárias para que o triplo
de operários construa o mesmo muro? (Naturalmente, estamos supondo que todos
Unidade 1: Equações do 1º grau (problemas). Unidade 2: Equações e inequacões do 1º
grau (problemas). Unidade 3: Sistema de coordenadas carte-
sianas. Unidade 4: Transformações geométricas no
plano. Unidade 5: Sistemas de equações lineares
(método da adição). Unidade 6: Sistemas de equações lineares
(método da substituição). Unidade 7: Sistemas de equações lineares
(interpretação gráfica). Unidade 8: Equações com soluções inteiras.
os operários têm rendimento igual no desempenho da tarefa de construção)” (SÃO
PAULO, 2008c, p. 12).
Em sua resolução, propõe-se um exemplo numérico para X = 1 operário e Y =
6 horas e enfatizando que com X = 3 operários, o muro será construído mais
rapidamente, já que as grandezas envolvidas são inversamente proporcionais. Com
este exemplo, pretende-se justificar um possível equívoco ao afirmar que a resposta
seria 3Y. Outras três atividades são sugeridas com o mesmo objetivo.
Um ponto importante levantado no Caderno do Professor é em relação aos
procedimentos da resolução de equações. A proposta vinda desde a 6ª série é
apresentar os métodos de resolução, baseados nas operações inversas e nas
equações equivalentes. Assim, sugere-se ao professor evitar o uso de frases, tais
como “muda de lugar e troca o sinal” ou “passa para o outro lado dividindo”, pois,
além de apresentarem uma ideia errada sobre a resolução de equações, podem
causar alguns erros, como por exemplo, a equação 3x = 7, resultar em 4 como
consequência de x = 7 – 3. Estudos sobre erros dessa natureza estão presentes no
trabalho de Pesquita (2007). Esses erros podem ser explicados pela interpretação
errônea do significado dos símbolos e pela utilização da Álgebra apenas como a
Aritmética generalizada.
Para que esse tipo de erro seja evitado, sugere-se ao professor uma
explicação, conforme a Figura 11:
Figura 11: Explicações sobre as equações Fonte: SÃO PAULO (2008c, p. 14)
68
69
Esta forma de explicitar as operações envolvidas permite ao professor um
trabalho implícito sobre os múltiplos e divisores, sobretudo, em equações que
possuem frações envolvidas. Nelas, deve-se saber por qual número multiplicar
ambos os membros de uma equação, observando que este número necessita ser
um múltiplo comum a todos os números presentes no denominador das frações. Um
exemplo é a equação 23
x241
3x2 +−=− , cujo número a ser multiplicado em ambos os
membros pode ser 12 ou seus múltiplos.
A Atividade 5 presente na primeira situação de aprendizagem é a que se
segue:
Ao repartir uma conta de R$ 78,00 no restaurante AL GEBRÁ, três amigos estabeleceram que:
- Rui pagaria ¾ do que Gustavo pagou;
- Cláudia pagaria R$ 10, 00 a menos que a terça parte do que Gustavo pagou.
Qual valor da conta coube a cada um dos três amigos? (SÃO PAULO, 2008c, p. 15).
A orientação aos professores é para que trabalhem estes problemas com os
alunos utilizando, primeiramente, os recursos aritméticos, a fim de que o aluno
perceba que apenas utilizando estes recursos, a resolução seria de certa forma
complicada. Diagnosticada esta necessidade, o professor deve incentivar o aluno a
utilizar adequadamente os recursos algébricos das equações para encontrar a
solução procurada.
No caso do problema citado, a resolução com recursos algébricos está
organizada na forma de tabelas, com os possíveis equacionamentos do problema ao
variar o posicionamento do valor de x.
TABELA 1 : Resolução de equações 1 TABELA 2 : Resolução de equações 2
Fonte: SÃO PAULO (2008c, p. 15) Fonte: SÃO PAULO (2008c, p. 15)
A primeira tabela apresenta o equacionamento que um aluno faria
normalmente na 7ª série, pois foi ensinado desta forma, isto é, o valor pago por
Gustavo é x, já que esta quantia é base para o cálculo da quantia paga pelos outros
dois amigos. Ainda assim é importante a exploração de todos os casos possíveis,
observando também todos os passos necessários para a resolução das equações
resultantes. Além desta apresentada, há mais sete atividades que exploram a
mesma ideia.
Observando a atividade descrita, percebo que, em todas as resoluções, os
múltiplos comuns aos denominadores que serão usados para se multiplicar ambos
os membros da equação, ficando mais uma vez explícito o uso da divisibilidade na
resolução das equações.
Na situação de aprendizagem 2, do Caderno do Professor do 3º Bimestre, há
o trabalho com o recurso da representação de figuras por meio de coordenadas
intitulado “Coordenadas cartesianas e transformações no plano”. Ainda que,
segundo o Caderno do Professor, esta ideia de representação já tenha sido
trabalhada em séries anteriores, ela aparece novamente. Agora, vem com a
representação por coordenadas utilizadas em guias de ruas, mapas e o trabalho
com as transformações do plano: translação, reflexão, ampliação e redução.
Para introduzir o sistema de coordenadas cartesianas de forma significativa
para o aluno, propõe-se, inicialmente, a localização de uma rua em parte de uma
página de um guia de ruas e, também, a localização de um ralo a ser construído em
uma planta de uma cozinha em escala.
Em atividades posteriores, são definidos e exemplificados elementos do plano
importantes na localização de coordenadas: o ponto de origem, o sentido, a unidade
e o par ordenado. Tendo estes conceitos definidos, propõem-se atividades, como a
determinação dos vértices de figuras representadas no gráfico e o desenho de
polígonos no plano cartesiano, a partir das coordenadas dos vértices dados. Um
jogo parecido com uma batalha naval no plano cartesiano também é apresentado.
70
71
Nele, cada aluno desenha figuras em seus respectivos quadrantes, e o objetivo é
“dar um tiro” nos vértices das figuras do oponente.
Posteriormente a estes momentos de definições, inicia-se a definição das
transformações no plano com a translação. A translação consiste no movimento
horizontal, vertical e diagonal de figuras no plano cartesiano, partindo de alterações
em suas coordenadas. Quando se quer movimentar uma figura horizontalmente
sobre o plano em a unidades, deve-se somar a unidades à abscissa dos pontos
desta figura. No movimento vertical de uma figura, devem-se somar as unidades
desejadas às ordenadas dos pontos da figura.
Já a reflexão em relação aos eixos do plano cartesiano consiste em
multiplicar as coordenadas dos pontos a serem refletidos por –1. Se o objetivo for a
reflexão em relação ao eixo y, deve-se multiplicar as coordenadas x por –1; se a
intenção for a reflexão em relação ao eixo do x, a multiplicação por – 1 deverá
ocorrer nas abscissas dos pontos.
Como últimas transformações do plano, são apresentadas a ampliação e a
redução de figuras. Para a ampliação de figuras, deve-se multiplicar as coordenadas
da figura pelo número relativo à quantidade de vezes que se deseja ampliar, como a
seguir:
Figura 12: Ampliação de figuras
Fonte: SÃO PAULO (2008c, p. 35)
A Figura 12 mostra uma atividade na qual se deseja duplicar as dimensões do
triângulo. Para isso, basta multiplicar as coordenadas de cada vértice do triângulo
por 2. Variando o número, maior que 1, pelo qual se multiplica, varia-se também em
quantas vezes a figura é ampliada.
Com um raciocínio parecido é que se faz a redução de uma figura. Mas, os
números a serem usados para a multiplicação devem estar entre 0 e 1, como na
atividade abaixo, em que foi usado o número 41 .
Figura 13: Redução de figuras Fonte: SÃO PAULO (2008c, p. 36)
Na Figura 13, vemos que a multiplicação das coordenadas pela constante 41
provocou uma redução para 25% da figura original.
Durante esta situação de aprendizagem, observei que pouco se citou por
algum tópico definido como sendo da Teoria Elementar dos Números. Talvez tenha
sido pelo fato do Sistema de Coordenadas Cartesianas não proporcionar situações
72
73
propícias à exploração de atividades que envolvam o tema. Vejo, porém, a forte
ideia de covariação, proveniente da proporção, entre as coordenadas dos vértices
das figuras.
Ainda assim, nas atividades em que se tinha a ampliação e redução de
figuras, há referência aos múltiplos dos números quando se refere à multiplicação
das coordenadas por uma constante. Mas, como o número a ser multiplicado pode
ser tanto um número inteiro, como qualquer outro número real. Ainda assim, é
possível dizer que esta situação de aprendizagem favoreceu o estudo da Teoria
Elementar dos Números e a questão da divisibilidade.
A situação de aprendizagem 3 tem como tema principal os sistemas de
equações lineares e seus procedimentos de resolução, sendo eles pelo método da
adição de equações e pelo método da substituição. Como atividade inicial, é
proposto o seguinte problema: “A soma das idades de João e Maria é 28 anos. Qual
a idade de cada um deles?” (SÃO PAULO, 2008c, p. 39). Depois de transcrever o
problema na linguagem algébrica, isto é, x + y = 28, faz-se a seguinte tabela:
TABELA 3: Possibilidades de respostas
Figura 11
Fonte: SÃO PAULO (2008c, p. 39)
Na tabela, estão presentes todas as possibilidades em que se tem a soma de
dois números inteiros e positivos, resultando em 28. Mas, apenas com esta primeira
informação o problema fica com mais de uma solução e, portanto, é indeterminado.
A equação resultante do equacionamento pode admitir, dependendo do conjunto em
que se está trabalhando, até infinitas soluções. Desta forma, propõem-se algumas
possibilidades para se escolher o par de números que melhor se enquadraria na
situação proposta.
2. Se o enunciado também informasse que João é 4 anos mais velho que Maria, mais uma equação seria acrescentada ao problema, delimitando o número de soluções
3. Se o problema nos informa que a idade de João é o triplo da de Maria, teríamos que x = 3y.
4. Consideremos, agora, o caso em que a idade de Maria é o dobro da idade de Maria é o dobro da idade de João.
5. Podemos operar com as equações dadas para resolver p problema do item anterior (SÃO PAULO, 2008c, p. 39, 40)
Com as informações dadas em cada um dos itens, novas situações e
equações são formadas, encontrando diferentes respostas para solucionar o
problema. Após este momento de descoberta das sentenças matemáticas, define-se
o método da substituição de equações, ao propor a operação com as equações
dadas para resolver o exercício.
O Caderno do Professor faz, uma analogia entre o método da substituição e a
balança de pratos. Nesta analogia, explora-se o princípio da equivalência entre as
equações, isto é, a substituição do valor de uma das incógnitas pelo seu equivalente
em termos da outra.
Para o método da adição também é feita a analogia com a balança de pratos,
em que a ideia principal é a de poder somar e subtrair equações. Sobre um dos
exemplos resolvidos pelo método da adição, o Caderno do Professor ainda afirma:
74
75
Embora tenha sido feita uma diferença entre equações deve-se comentar com os alunos que subtrair é equivalente a adicionar o oposto. Portanto, adicionando a equação I à equação II multiplicada por menos um, obteremos o mesmo resultado.
+
−=−−=+
10,4yx
60,6yx2
50,1x
)10,4(60,6)y(y)x(x2
=−+=−++−+
(SÃO PAULO, 2008c, p. 43, 44)
Nesta citação, a ideia que está sendo explicitada é a de que se pode
adicionar ou subtrair um mesmo número em ambos os membros da igualdade,
assim como multiplicar ou dividir os termos dos dois lados da equação, por um
mesmo número diferente de zero. Com esta consideração, apresentam-se exemplos
resolvidos diversos, multiplicando-se as equações por números positivos e negativos
e somando-se a outras equações que poderiam ou não estar multiplicadas por um
número.
Após definir os métodos de resolução de sistemas de equações, o Caderno
traz à discussão a representação gráfica desses sistemas. Para isso, propõe a
seguinte questão: “A soma de dois números inteiros e positivos é 12 e a diferença
entre eles é 4” (SÃO PAULO, 2008c, p. 46), cujo equacionamento fica da seguinte
forma: x + y = 12 (I) e x – y = 4 (II). Na busca das soluções, propõe-se a confecção
de uma tabela, contendo os possíveis valores de x e y que satisfaçam as equações
resultantes do problema, seguida do gráfico com os valores das tabelas de cada
equação.
TABELA 4 : Possíveis resultados do sistema de equações
Fonte: SÃO PAULO (2008c, p. 46)
Figura 14: Representação gráfica de um sistema Fonte: SÃO PAULO (2008c, p. 46)
Ao cruzar as informações dos gráficos com os possíveis resultados das
equações, encontra-se um único par de números em comum, o par (8,4). Ao
considerar que a situação proposta não se restrinja apenas ao domínio dos naturais,
os gráficos I e II da Figura 14 apresentam retas como respostas, em que pares
ordenados não naturais como (7,5; 4,5) e (-1,13) também fariam parte da solução.
No caso de o aluno ter se apropriado dos procedimentos para a resolução de um
sistema linear e sua representação no plano cartesiano, o Caderno traz a discussão
dos possíveis tipos de soluções que um sistema pode proporcionar, onde são
propostos exemplos dos tipos: possível e determinado, possível e indeterminado e
impossível.
Nesta terceira situação de aprendizagem, é interessante observar a
abordagem feita sobre os sistemas lineares. O primeiro ponto a se ressaltar é o fato
de se considerar como possíveis pares de x e y para a solução do problema das
idades de João e Maria apenas números naturais, o que pode mostrar a
preocupação com a mudança de referência para conjunto no trabalho com as
operações. Outro ponto a ser levantado é a maior parte dos exemplos e exercícios
trabalhados referir-se ao conjunto dos números inteiros, tanto nos coeficientes das
incógnitas e nos números a serem multiplicados pelas equações do sistema, como
na solução final das atividades, evidenciando a mesma preocupação.
(I) (II)
76
77
Outro fato relevante a ser comentado é a maneira como se introduziu a
representação gráfica das soluções de um sistema linear. É possível perceber o
cuidado ao representar as soluções do sistema apenas com coordenadas positivas,
ou seja, em um campo numérico que já vem sendo trabalhado em séries anteriores,
para só então representar as soluções do sistema como uma reta de números reais.
Como consequência dos sistemas lineares, a última situação de
aprendizagem do Caderno do Professor de Matemática da 7ª série objetiva trabalhar
com problemas que conduzem apenas a uma equação com duas incógnitas. Além
disso, objetiva o trabalho com os múltiplos e divisores de um número e a contagem.
É interessante observar que, pela primeira vez, neste Caderno está presente
nos objetivos das Situações de Aprendizagem a intenção explícita do trabalho com
temas relacionados à Teoria Elementar dos Números, mais especificamente, à
divisibilidade. A importância desse estudo, segundo os autores do Caderno verifica-
se pela proximidade existente entre problemas desse tipo e situações do cotidiano,
além de serem propícias ao desenvolvimento de várias habilidades matemáticas.
Desta forma, propõem-se alguns exemplos resolvidos para o trabalho das
equações com soluções inteiras, como as que se seguem:
Exemplo 1 – Para agrupar 13 ônibus em filas de 3 ou 5 em uma garagem, quantas filas serão formadas de cada tipo?
Exemplo 2 – Quantas quadras de vôlei e quantas quadras de basquete são necessárias para que 80 alunos joguem simultaneamente? E se forem 77 alunos? (dado: uma partida de basquete é disputada por 5 jogadores, e uma de vôlei por 6). (SÃO PAULO, 2008c, p, 51)
Para a resolução das questões, primeiro faz-se o equacionamento das
situações. As equações têm como equacionamento 3t + 5c = 13 , com t sendo o
número de filas com 3 ônibus e c, o número de filas com 5 ônibus no Exemplo 1 e
12v + 10b = 80 ou 12v + 10b = 77 na situação do Exemplo 2, sendo v o número de
pares de times de vôlei e b o número de pares de times de basquete.
Em seguida, confecciona-se uma tabela com pares de números inteiros,
fixando-se inicialmente t = 0 para a primeira situação e v = 0 para o segundo
problema, variando o valor das outras duas variáveis.
TABELA 5 : Possíveis soluções da equação diofantina 1
Fonte: SÃO PAULO (2008c, p. 53)
TABELA 6 : Possíveis soluções da equação diofantina 2
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79
Fonte: SÃO PAULO (2008c, p. 54)
Na Tabela 5, a possibilidade de haver como resposta t = 0 ou c = 0 fica
excluída, uma vez que o resultado da equação não é um múltiplo de 5 nem um
múltiplo de 3. Assim, continuando a variação do valor de t e c, a solução será t = 1 e
c = 2.
O segundo problema traz como consequência de seu enunciado duas
equações. Na primeira equação (12v + 10b = 80), temos uma primeira resposta
quando v = 0 e b = 8. Ao fixar b = 0, é possível perceber que não existe valor inteiro
para v que satisfaça a equação. Continuando, portanto, a variar os números,
teremos como segunda resposta para o problema v = 5 e b = 2, como pode-se
observar na Tabela 6.
A segunda equação resultante do segundo problema (12v + 10b = 77) não
possui um par de inteiros como solução. Isto repousa no fato de, como os múltiplos
de 12 terminarem em 0, 2, 4, 6 e 8 e os múltiplos de 10 terminarem em 0, a soma
12v + 10b também terminaria nos algarismos 0, 2, 4, 6, e 8, diferente do que
acontece com o algarismo das unidades do número 77. Assim, o Caderno do
Professor apresenta o seguinte teorema da Teoria Elementar dos Números: “Uma
equação diofantina ax + by = c tem solução inteira se, e somente se o máximo
divisor comum entre a e b for um número que divide c.” (SÃO PAULO, 2008c, p. 55)
Na tentativa de demonstração do teorema acima citado, o Caderno do
Professor apresenta alguns “passos” que justificam este teorema, isto é, se um
número m divide a e b, então, m dividirá a+b e a.b. Como consequência, quase que
imediata, tem-se o algoritmo de Euclides em que, se d é o MDC (a,b), então, existem
dois inteiros r e s, tais que a . r + b . s = d. Todos estes “passos” de demonstração
são apresentados com exemplos numéricos de forma a facilitar a compreensão do
teorema, usando resultados e propriedades da divisibilidade.
Enunciado esse teorema, outros problemas foram resolvidos utilizando esse
procedimento, como o que se segue: “Um caixa eletrônico disponibiliza para saque
apenas notas de R$ 20,00, R$ 50,00 e R$ 100,00, Se um cliente desejar sacar R$
250,00, de quantas maneiras diferentes ele pode receber as notas?” (SÃO PAULO,
2008c, p. 51)
Chamando x o total de notas de R$ 20,00, y, o total de notas de R$ 50,00 e z,
o total de notas de R$ 100,00, o a equação diofantina resultante é 20x + 50y + 100z
= 250. Como o MDC(20,50,100) = 10 e 10 divide 250, existem soluções inteiras
(x,y,z) para este problema,sendo elas (0,1,2), (0,3,1), (0,5,0), (5,1,1), (5,3,0),
(10,1,0).
Nesta situação de aprendizagem, assim como supomos e como titulo já nos
predizia, houve a ampla utilização da divisibilidade dos números inteiros na
resolução das atividades propostas, pelas equações diofantinas serem tema
específico da Teoria Elementar dos Números, segundo definição de Resende
(2007). É interessante notar que o uso da tabela é um recurso bastante importante
no desenvolvimento desta situação de aprendizagem, sendo feita por meio dela as
análises dos possíveis resultados das equações diofantinas.
Outro ponto relevante é a apresentação das equações diofantinas resolvidas
por meio do resultado de teoremas da Teoria Elementar dos Números, ao contrário
da forma como tradicionalmente se apresenta nos livros didáticos. O fato de os livros
didáticos não utilizarem teoremas da Teoria Elementar dos Números para resolução
de equações diofantinas lineares foi uma das conclusões às quais chegou Oliveira
(2006) ao verificar como é abordado este tema nos livros didáticos para o Ensino
Médio. Antes, afirma que a estratégia mais utilizada e sugerida é a da tentativa e
erro.
Desta forma, é possível afirmar que a apresentação das equações diofantinas
lineares por meio de teoremas, para este nível de ensino é uma forma de
abordagem inovadora.
3.2.4. O Caderno do Professor de Matemática da 7ª s érie do 4º bimestre de 2008
No Caderno do Professor do 4º Bimestre, os temas a serem explorados são
próprios da Geometria: o cálculo de áreas, os teoremas de Tales e de Pitágoras e os
prismas.
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Segundo o Caderno do Professor, as operações com os produtos notáveis, já
trabalhados no 2º bimestre, retornarão na utilização das deduções das áreas de
figuras comuns, como o paralelepípedo, o losango, o trapézio e o triângulo. As
fórmulas serão apresentadas como a síntese de uma ideia para orientar a leitura do
enunciado e a identificação dos termos necessários para a resolução do problema
proposto.
Sobre o Teorema de Tales, comenta-se que sua apresentação dar-se-á pela
proporcionalidade entre segmentos determinados por transversais, para que a
ligação entre a abordagem geométrica e numérica seja fortalecida. Assim, são
sugeridas demonstrações apoiados nos cálculos de áreas de triângulos.
Para o estudo do Teorema de Pitágoras, cria-se um conjunto de situações-
problema que levam o aluno a perceber a relação existente entre a área do
quadrado construído sobre a hipotenusa e a soma das áreas dos quadrados
construídos sobre os catetos. Desta maneira, muitos fatos métricos podem ser
trabalhados associados a polígonos.
A seguir, apresento o quadro com as unidades que serão trabalhadas no 4º
bimestre e, no anexo 8, estão os temas correlacionados com o Teorema de Tales, o
Teorema de Pitágoras, a Área de figuras planas e o Volume do prisma.
Quadro geral de conteúdos do 3º Bimestre da 7ª série
Unidade 1: Apresentação do Teorema de Tales.
Unidade 2: Reconhecimento e aplicação
do Teorema de Tales em situações de contexto.
Unidade 3: Apresentação o Teorema de
Pitágoras. Unidade 4: Reconhecimento e aplicação
do Teorema de Pitágoras em situações de contexto.
Unidade 5: Apresentação do cálculo de
áreas de figuras planas. Unidade 6: Áreas de figuras planas. Unidade 7: Prismas. Unidade 8: Problemas métricos envol-
vendo área e volume de prisma.
Fonte: (SÃO PAULO, 2008d, p. 11)
Os dados do quadro (anexo 8), mostram o tema destinado aos estudos do 4º
Bimestre – Geometria – correlacionado aos Sistemas de Medida, Formas
Geométricas, Perímetro e Área dos 2º e 3º bimestres da 5ª série, Geometria,
Proporcionalidade e Álgebra dos 2º, 3º e 4º bimestres da 6ª série, Expressões
Algébricas e Equações dos 2º e 3º bimestres da 7ª série e Proporcionalidade na
Geometria e Corpos Redondos nos 3º e 4º bimestres da 8ª série.
Desta forma, na primeira situação de aprendizagem há a exploração da forma
intuitiva de se calcular a área de um polígono por meio da equivalência de figuras,
isto é, polígonos com a mesma área, mas, com formatos diferentes. Como ponto de
partida, é apresentado um quadrado com 4 m de lado seguido de um retângulo com
dimensões 2 m e 8 m. Ainda que seja um quadrado e um retângulo, ambos os
polígonos possuem o mesmo valor para área: 16.
Em outra atividade, ainda buscando a equivalência entre figuras, é
considerado um hexágono regular e apenas com um corte deseja-se construir um
paralelogramo equivalente ao hexágono. Para tal feito, basta traçar uma das
diagonais do hexágono que o divide em duas partes iguais, o que resultaria em dois
trapézios. Ao colocar estes dois trapézios um ao lado do outro, é possível encontrar
o paralelogramo equivalente procurado.
Além da ideia da equivalência entre polígonos, o Caderno do Professor traz a
estimativa da área de polígonos pela fórmula de Pick e pela Aerofotogrametria.
A fórmula de PIck é a associação entre a área de um polígono e a quantidade
de pontos de malha que se situam em seu interior e sobre seu perímetro. A fórmula
de Pick, para um polígono cujos vértices são pontos de uma malha quadriculada, é
1I2B
A −+= , em que A é a área do polígono, B é a quantidade de pontos de malha
situados na fronteira do polígono e I é o número de pontos da malha existente no
interior do polígono. Este cálculo foi feito para os três polígonos da Figura 15. a
seguir e os dados são mostrados na Tabela 7:
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Figura 15: Polígonos em malha quadriculada Fonte: SÃO PAULO (2008d, p.16)
TABELA 7 : Área de figuras pela fórmula de Pick
Fonte: SÃO PAULO (2008d, p.16)
Em todos os casos acima, é possível perceber a exatidão do valor da área
obtido pela fórmula de Pick comparada à fórmula usual, utilizando as medidas da
base e a altura dos polígonos em questão.
Para a estimativa de áreas irregulares, há a utilização da aerofotogrametria
que é um conjunto de técnicas para a elaboração de mapeamentos baseada em
fotografias tiradas por câmeras instaladas em aviões ou por satélite. Para determinar
as áreas destas regiões fotografadas, são usados alguns métodos específicos. Em
um desses métodos, é apresentada a estimativa da área de regiões irregulares,
partindo de um sistema de projeções que conserva a proporcionalidade entre as
áreas representadas e as reais. Neste método, conta-se o número de unidades da
malha inteiramente contidas na região (A1), o número de unidades de malha que
envolve totalmente a região (A2) e calcula-se a média aritmética entre A1 e A2.
Figura 16: Aerofotogrametria no mapa de Minas Gerais Fonte: SÃO PAULO (2008d, p. 18)
No exemplo ilustrado na Figura 16, cada quadrado da malha possui a área
unitária valendo 53400 km², há 4 unidades de malha totalmente contidas na região
do Estado de Minas Gerais e 18 unidades de malha que a envolve totalmente. A
média aritmética entre esses valores resultaria em u112
114 =+ . Desta forma, a área
aproximada da região do Estado de Minas Gerais seria 11 . 53 400 = 583 000 km².
Após o trabalho com áreas utilizando a equivalência de polígonos e a
estimativa por meio de malhas, o Caderno propõe a demonstração usual de
fórmulas que resultem nas áreas de outros polígonos, além do retângulo e
quadrado, como o paralelogramo o losango e o trapézio. Para isso, sugere que a
demonstração destas fórmulas seja feita, utilizando figuras construídas em papelão,
para que as transformações nas figuras sejam mais bem vislumbradas.
Durante esta primeira situação de aprendizagem, o uso de tópicos da Teoria
Elementar foi ínfimo, porém existiu. Ao serem explorados os métodos das unidades
de malhas das fórmulas de PIck e da aerofotogrametria, percebo a possibilidade da
utilização dos múltiplos para a determinação das áreas. No quadrado da Figura 15,
se cada unidade de malha fosse dividida em quatro partes haveria 16 pontos
84
85
situados fronteira e 9 pontos internos à figura, resultando, pela fórmula de Pick em
uma área de 16 unidades. A discussão sobre o porquê a variação do tamanho da
unidade da malha resulta em um valor diferente de área propiciaria um interessante
trabalho com múltiplo e divisores.
A mesma ideia de variação do tamanho da unidade de malha poderia ocorrer
na estimativa da área de regiões irregulares da aerofotogrametria. Se cada unidade
de malha da Figura 16. fosse dividida em quatro partes, isto é, valendo 13 250 km²,
haveria 29 unidades de malhas internas e 57 unidades de malha que envolve
totalmente a região sendo, portanto, a média aritmética de 43 unidades. Como cada
unidade valeria 13 250 km², a área da região do Estado de Minas Gerais seria de
589 625 km², outra aproximação do valor real deste Estado que é de 586 528 km².
A segunda situação de aprendizagem apresenta o teorema de Tales e suas
aplicações como temas principais. Inicialmente, as proporções expressas no
teorema de Tales é feita de forma intuitiva. Propõe-se, então, traçar paralelas em um
triângulo e observar a variação de valores correspondentes. A primeira noção a ser
explorada é a de que quando uma reta é paralela a um lado de um triângulo e
intersecta os outros dois lados do triângulo, então, os segmentos que surgem são
proporcionais.
Para isso, propõe-se o seguinte problema:
Silvio é um jardineiro que está trabalhando no projeto de um canteiro triangular, em uma esquina da praça de seu bairro.
Iniciamente, ele propõe que o canteiro seja composto por dois tipos diferentes de folhagens rasteiras, e que a divisão entre elas seja feita pode uma faixa paralela à base BC, indicada na figura pelo segmento DE. Desse modo, Silvio fez as seguintes medições no canteiro: AD = 4m, DB = 4m e AE = 3m. Qual deve ser a medida de EC?
(SÃO PAULO, 2008d, p. 26)
Nas conjecturas sobre a solução desse problema, é possível que os alunos
estabeleçam intuitivamente que, como o ponto D está no ponto médio de AB, o
ponto E também será o ponto médio de AC, sendo EC = 3 cm.
Posteriormente a esta primeira exploração, deve-se propor a situação quando
D não é o ponto médio de AB, sendo AD = 2 m, DB = 6 m e AE = 1,5 m e continuar o
questionamento sobre o segmento EC. Ao se perceber a proporcionalidade de 2
para 1,5 ou de 2 para 6, conclui-se que EC = 4,5
Ainda na situação vivida por Sílvio, o canteiro agora será dividido mais uma
vez com uma paralela BC, com o objetivo de plantar outro tipo de folhagem.
Pergunta-se, então, a medida dos segmentos EG e GC. Por meio de uma
generalização do raciocínio da situação anterior, encontrar-se-ia o resultado com EG
= 3,75 m e GC = 0,75 m.
Em outra atividade, apresenta-se a ilustração da Figura 17, sobre quatro ruas
que partem da praça central e cruzam-se nas ruas 1, 2 e 3.
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Figura 17: Cruzamento de ruas em uma praça Fonte: SÃO PAULO (2008d, p. 29)
Considera-se que as medidas de GH = 50 m, HI = 40 m, DE = 60 m e EF =
48 m e é pedida a verificação da proporção EFDE
HIGH = , que já ganha a denominação
de Teorema de Tales. No caso, teríamos 4860
4050 = e, consequentemente, 50 . 48 =
60 . 40 = 2400.
Após apresentado e verificado, o teorema é utilizado para o cálculo de outros
segmentos, como BC e KL, informando a medida de outros segmentos como JK =
32 m.
Um pequeno relato histórico sobre a vida de Tales é descrito, assim como o
enunciado do teorema que leva seu nome: “se um feixe de paralelas é intersectado
por duas transversais, então, os segmentos determinados pelas paralelas sobre as
transversais são proporcionais”. A demonstração deste é realizada com base no
desenho do triângulo utilizado no exemplo do canteiro de flores, onde se encontra a
igualdade ECAC
DBAB = . Como a generalização para o teorema propriamente dito, não
é imediata, cria-se uma nova base PQ, paralela à BC.
Figura 18: Demonstração do Teorema de Tales Fonte: SÃO PAULO (2008d, p. 34)
Por meio de algumas igualdades provenientes desta nova construção, e
desconsiderando o “bico” do triângulo, chega-se à conclusão que, quando duas
paralelas são cortadas por transversais, os segmentos obtidos são proporcionais.
Feita a demonstração, outras aplicações do teorema de Tales são
apresentadas, como a atividade que se segue:
Como alternativa à crise energética, uma cidade resolveu construir uma pequena hidrelétrica aproveitando a correnteza de um rio situado nas suas proximidades. A figura a seguir representa parte do projeto da construção da barragem da hidrelétrica. Considerando DE paralelo a BC, qual deve ser o comprimento da barragem a ser construída?
(SÃO PAULO, 2008d, p.35)
Neste caso, o valor de EC é 60 – 18 = 42 m. Ao observar a proporção
existente, tem-se 4218
x24 = , de onde vem que x =
24224 ⋅
= 56 m, sendo este valor o
comprimento da barragem.
Nesta situação de aprendizagem, fica evidente a forte presença dos múltiplos
e divisores nas atividades propostas, visto que o foco principal foi o trabalho com as
proporções existentes em segmentos resultantes de interseções entre paralelas e
transversais. Isto é possível observar na atividade do canteiro de flores em que, no
segundo momento do exercício, o segmento AD = 2 m e DB = 6 m, pode-se pensar
nos múltiplos de 2 para identificar a relação envolvida, assim como nos divisores de
6. Este raciocínio, ainda que por alguns seja considerado um modo intuitivo de se
pensar, auxilia no desenvolvimento do pensamento algébrico, necessidade
premente neste nível de ensino.
A terceira situação de aprendizagem tem como foco principal o estudo do
teorema de Pitágoras. Partindo de uma perspectiva histórica, são apresentadas
88
89
atividades com padrões numéricos que reforçam os argumentos para a
demonstração desse teorema. Como passo inicial, é apresentada uma sequência de
figuras, com o objetivo de se descobrir padrões numéricos em representações
figurativas, assim como fez Pitágoras.
Figuras 19: Sequência de figuras sobrepostas Fonte: SÃO PAULO (2008d, p. 42)
No item I da Figura 19, a sequência numérica que representa a sequência de
figuras é 1, 3, 5, 7, 9, 11,… A cada sobreposição feita, utilizando as figuras
anteriores, como é mostrado no item II da Figura 19, um novo quadrado é formado,
com o seu lado tendo uma unidade a mais que o anterior. Com este fato, pode-se
dizer que o quadrado de um número natural n, não nulo, pode ser obtido pela soma
dos n primeiros números ímpares.
Com a intenção de se construir o triângulo de lados 3, 4, 5, o Caderno do
Professor sugere a construção, em uma malha quadriculada, de quadrados com 3, 4
e 5 unidades de lado, em seguida, conte quantos quadradinhos há em cada
quadrado, observe e reflita sobre uma possível relação entre os valores numéricos
destes quadrados. A relação esperada dar-se-ia pela expressão 3² + 4² = 5², o que
forma o triângulo retângulo, conhecido como triângulo (terno) pitagórico primitivo.
Na busca de outros triângulos retângulos que possuam a mesma propriedade
do triângulo pitagórico primitivo, é proposta a confecção de um sistema cartesiano,
na malha quadriculada, com um vértice do triângulo pitagórico primitivo –, o que
corresponde ao ângulo de 90° – na origem do sistema , como na Figura 20 a seguir.
(I) (II)
Figuras 20: Sistema cartesiano com ternos pitagóricos Fonte: SÃO PAULO (2008d, p. 46)
Os pontos (0,0), (0,3), (4,0) serão os vértices do triângulo pitagórico primitivo.
Para ampliar em duas vezes as dimensões do triângulo, assim como foi mostrado no
Caderno do Professor do 3º Bimestre, multiplicam-se as coordenadas dos vértices
por 2, sendo o novo triângulo pitagórico de vértices (0,0), (0,6), (8,0); para triplicar
basta multiplicar as coordenadas do vértice por 3, obtendo-se outro terno pitagórico
com vértices (0,0), (0,9), (16,0). Faz-se assim a correspondência
Ainda na busca de triângulos pitagóricos, faz-se a seguinte pergunta: “Como
encontrar outros ternos de números inteiros que sejam lados de um triângulo
retângulo, sem que estejam relacionados a ampliações do triângulo 3, 4 e 5? (SÃO
PAULO, 2008d, p.47). Para responder a esta pergunta, utiliza-se a mesma ideia do
encaixe das figuras, do início da situação de aprendizagem, até se obter um
quadrado perfeito. Assim, descobrem-se os ternos (5, 12, 13), (7, 24, 25), (9, 25, 49).
Seguido este momento da busca de triângulos pitagóricos, propõe-se a
demonstração do teorema de Pitágora, partindo de quatro triângulos retângulos
congruentes e três quadrados, sendo um de lado igual à hipotenusa dos triângulos
retângulos anteriores, e os outros dois com o lado possuindo a mesma medida dos
catetos do triângulo retângulo já citado. Após algumas transformações geométricas
e com a ajuda do professor, o teorema de Pitágoras estará provado e enunciado:
“Em todo triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é
igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.”
90
91
Nesta situação de aprendizagem, fiz a suposição de que não haveria tópicos
da Teoria Elementar dos Números pelo teorema de Pitágoas tradicionalmente ser
estudado e demonstrado, utilizando a manipulação algébrica ou geométrica. Qual
não foi minha surpresa ao encontrar em alguns momentos a Matemática do discreto.
O primeiro momento em que percebi sua utilização, foi na primeira atividade
citada, onde as figuras deveriam ser encaixadas. Ao solicitar que o aluno procure
alguma relação entre o quadrado dos números naturais com os números primos,
está instigando a observação e a generalização dos padrões existentes nas figuras e
em seus números correspondentes, assunto este que é um tópico explorado em
diversas atividades dos Cadernos deste bimestre.
Em outro momento, percebi a utilização de múltiplos, assunto da
divisibilidade, ao se procurar outras ternas pitagóricas provenientes da terna (3, 4,
5). Esta construção também poderia ser explorada ao se encontrar as outras ternas
que não se relacionam diretamente com a terna primitiva. Da terna (5, 12, 13),
teríamos outras ternas, como (10, 24, 26) ou (50, 120, 130)
A quarta e última Situação de Aprendizagem continua tendo como objetivo o
estudo da Geometria, focando, agora, a Geometria Espacial. Assim, apresenta-se
uma atividade que explora o reconhecimento, a planificação, a representação plana
e as relações métricas dos prismas retos. Inicialmente, são indicados os elementos
principais (faces, vértices e arestas) e alguns conceitos básicos referentes aos
prismas. Para isso, propõe-se a apresentação de alguns objetos concretos, como
embalagens de pizza e caixa de fósforos para, em seguida, desmontá-los. Por meio
deste trabalho exploratório, inicia-se a discussão sobre a planificação de um prisma
e a determinação de sua área.
As duas próximas atividades exploram-se o cálculo da diagonal e do volume
de um prisma quadrangular reto. Para a apresentação do cálculo da diagonal de um
prisma, propõe-se o seguinte problema:
“Uma caixa de sapatos tem o formato de um paralelepípedo reto retângulo com 3 cm de comprimento, 4 cm de profundidade e 12 cm de altura, conforme figura a seguir. Encontre a medida do segmento AB, também chamado de diagonal do prisma.”
(SÃO PAULO, 2008d, p.59).
Para a resolução do problema, aplica-se o Teorema de Pitágoras no triângulo
retângulo formado pela diagonal do retângulo da base e as arestas 3 e 4 e, em
seguida, utiliza-se novamente o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo com
seus lados sendo a diagonal do prisma, a diagonal do retângulo da base e a aresta
12.
O conceito de volume V de um prisma é apresentado, determinando a
quantidade de cubinhos, com 1 unidade de aresta, que cabe em um paralelepípedo
reto resultando disto a expressão V = Abase . H, sendo Abase, a área da base e H, a
altura. Como generalização desta expressão, apresenta-se o Princípio de Cavalieri,
que consiste em “caracterizar os prismas pela sobreposição de placas idênticas
umas sobre as outras.” (SÃO PAULO, 2008d, p. 60). Após isto, seguem-se duas
últimas atividades que exploram o uso da expressão que representa o volume de um
prisma e a determinação da área superficial de um prisma.
Por esta Situação de Aprendizagem ter seu foco na Geometria Espacial, não
percebi o favorecimento do trabalho de tópicos da Teoria Elementar dos Números.
Além disso, o espaço reservado para o trabalho dos conceitos presentes nesta
situação de aprendizagem é pequeno em comparação às situações anteriores, o
que pode ter dificultado a relação entre trabalho com prismas e outros campos da
Matemática.
3.3. O Caderno do Professor de Matemática da 7ª sér ie de 2009
Durante o ano de 2008, além dos materiais enviados às escolas da rede
estadual paulista e distribuídos aos professores, a SEE-SP promoveu uma série de
fóruns de discussões sobre a implantação da nova Proposta entre os professores,
A 12
3 4 B
92
93
em busca de relatos de boas experiências vividas em sala de aula da rede pública,
além de vídeos explicativos para o professor se inteirar das expectativas que os
formuladores dos Cadernos do Professor tiveram quando elaboraram os cadernos.
Desta forma, em 2009, foi enviada uma versão revisada do Caderno do
Professor de 2008 a todas as escolas e distribuídos aos docentes da rede estadual
de ensino, seguindo as sugestões e críticas que se apresentaram durante os fóruns
de discussões e relatos de experiências do ano anterior. Neste capítulo, portanto,
apresento as mudanças realizadas nos Cadernos do Professor de Matemática da 7ª
série, de 2009, em relação aos de 2008.
Inicialmente, mostrarei aspectos gerais dos Cadernos do Professor da 7ª
série de 2009, em comparação àqueles apresentados em 2008 por meio de um
quadro comparativo. Em seguida, comentarei com mais detalhes o conteúdo e as
mudanças existentes nos Cadernos de 2009.
Quadro Comparativo dos aspectos gerais dos Cadernos do Professor
O Caderno do Professor do 1º bimestre de 2009 traz em sua folha inicial,
entre outras informações, o nome dos integrantes da equipe responsável sua pela
elaboração.
Caderno do Professor de 2008 Caderno do Professor d e 2009 Contêm 32 páginas Contêm 48 páginas p. 2: aparece o nome do Coordenador da área e os autores.
p. 2: aparece o nome da equipe.
p. 3:Carta de M. H. G. Castro p. 3: Carta de M. H. G. Castro p. 4: Sumário p. 4: Sumário p. 5-6: Carta de M. I. Fini p. 5-6: Carta de M. I. Fini p. 7: Ficha do Caderno p. 7: Ficha do Caderno
Não há p. 8: Orientação Geral sobre os Cadernos
1º B
imes
tre
p. 8: Orientação sobre os conteúdos do Bimestre
p. 9 – Conteúdos do Bimestre
Contêm 40 páginas Contêm 56 páginas p. 2: aparece o nome da equipe. p. 2: aparece o nome da equipe. p. 3: Carta de M. H. G. Castro p. 3: Carta de P. R. Souza p. 4: Sumário p. 4: Sumário p. 5-6: Carta de M. I. Fini p. 5-6: Carta de M. I. Fini p. 7: Ficha do Caderno p. 7: Ficha do Caderno p. 8: Orientação Geral sobre os Cadernos
p. 8: Orientação Geral sobre os Cadernos
2º B
imes
tre
p. 9 – Conteúdos do Bimestre p. 9 – Conteúdos do Bimestre Contêm 64 páginas Contêm 64 páginas p. 2: aparece o nome da equipe. p. 2: aparece o nome da equipe. p. 3: Carta de M. H. G. Castro p. 3: Carta de P. R. Souza p. 4: Sumário p. 4: Sumário p. 5-6: Carta de M. I. Fini p. 5-6: Carta de M. I. Fini p. 7: Ficha do Caderno p. 7: Ficha do Caderno p. 8: Orientação Geral sobre os Cadernos
p. 8: Orientação Geral sobre os Cadernos
3º B
imes
tre
p. 9 – Conteúdos do Bimestre p. 9 – Conteúdos do Bimestre Contêm 64 páginas Contêm 64 páginas p. 2: aparece o nome da equipe. p. 2: aparece o nome da equipe. p. 3: Carta de M. H. G. Castro p. 3: Carta de P. R. Souza p. 4: Sumário p. 4: Sumário p. 5-6: Carta de M. I. Fini p. 5-6: Carta de M. I. Fini p. 7: Ficha do Caderno p. 7: Ficha do Caderno p. 8: Orientação Geral sobre os Cadernos
p. 8: Orientação Geral sobre os Cadernos
4º B
imes
tre
p. 9 – Conteúdos do Bimestre p. 9 – Conteúdos do Bimestre
94
95
Na página seguinte, apresenta uma carta da Secretária da Educação do
Estado de São Paulo, Maria Helena Guimarães de Castro, dizendo que o material
enviado objetiva atender a uma das prioridades do governo que é o ensino de
qualidade. Mas, salienta que nestes encartes há, agora, incorporadas “as sugestões
e ajustes sugeridos pelos professores, advindos da experiência e da implementação
da nova proposta em sala de aula no ano passado” (SÃO PAULO, 2009, p. 3).
Nos Cadernos do Professor dos bimestres restantes a carta de apresentação
é feita por Paulo Renato de Souza, o novo Secretário da Educação do Estado de
São Paulo em 2009. Seu discurso, porém é o mesmo da gestão anterior, buscar
ensino de qualidade medido pelos indicadores de proficiência dos alunos. Sobre isso
comenta que “melhorar esse indicadores, porém, não é tarefa de presidentes,
governadores ou secretários. É dos professores em sala de aula no trabalho diário
com os seus alunos.” (SÃO PAULO, 2009a, p. 3)
Na página seguinte de todos os encartes, há o sumário com exatamente os
mesmo itens: Algumas considerações sobre a Proposta Curricular para o Estado de
São Paulo, a Ficha do Caderno, a Orientação geral sobre os Cadernos, os títulos
das Situações de Aprendizagem, as Orientações para a Recuperação, a
apresentação de Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para
a compreensão do tema, a Orientação para Recuperação, Considerações finais e os
Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental.
Nas considerações sobre a Proposta Curricular para o Estado de São Paulo,
a Coordenadora Geral do Projeto São Paulo Faz Escola, Maria Inês Fini, comenta
sobre o impacto positivo causado nas escolas publicas estaduais paulista pelo
recebimento e utilização do material enviado. Comenta, ainda que
A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição. Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de significados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e consideram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o que estava sendo proposto. (SÃO PAULO, 2009, p. 5)
Relembra que os Cadernos, parte integrante da Proposta Curricular, tentam
integrar a teoria e a prática, inter-relacionando disciplinas e séries e definindo
conteúdos, competências, habilidades, metodologias, avaliação e recursos didáticos.
Na “Ficha do Caderno”, há em todos os encartes o nome e a área da
disciplina, a etapa da Educação Básica, a série, o período letivo, e os Temas e
conteúdos a serem trabalhados. Aqui, diferentemente do Caderno do professor de
2008, não há os nomes do Coordenador Geral e de sua equipe técnica. Vale
salientar ainda a mudança na quantidade de páginas que houve em alguns encartes:
no 1º bimestre, o número de página passou de 32 para 48 páginas, e no 2º bimestre,
de 40 para 56 páginas. Os encartes dos 3º e 4º bimestres continuaram com a
mesma quantidade de páginas, 64 páginas.
Na página seguinte, onde há a orientação geral sobre os Cadernos, não
houve alteração em relação àquela apresentada a partir do 2º bimestre do ano
anterior.
Descritos e observados os aspectos gerais que compõem os Cadernos do
Professor de Matemática de 2009, farei, a seguir, a análise das mudanças nas
atividades presentes em cada situação de aprendizagem, bimestralmente
apresentadas nos Cadernos do Professor de Matemática, destinado a 7ª série,
seguindo a ordem de aparição das mesmas. E, para que o objetivo desta pesquisa
seja alcançado, observarei da mesma forma, o que há de Teoria Elementar dos
Números, salientando a questão da divisibilidade nas atividades e a abordagem
dada a cada tema.
3.3.1. O Caderno do Professor de Matemática da 7ª s érie do 1º Bimestre de 2009
Os temas centrais, o texto referente aos conteúdos do bimestre e o quadro
geral das unidades são os mesmos nos Cadernos de 2008 e 2009. Mas, houve
mudança do quadro que apresenta os conteúdos correlacionados àqueles
trabalhados nas séries do Ensino Fundamental (ver anexo 9).
A correlação entre os temas do 1º bimestre da 7ª série – Números Racionais,
Potenciação e Tratamento da Informação – acontece com os Números Naturais e
96
97
Frações no 1º bimestre da 5ª série, com os Números Naturais, os Números Inteiros
e os Números Racionais do 1º bimestre da 6ª série e com os Números Reais do 1º
Bimestre da 8ª série.
Assim como as atividades apresentadas no Caderno do Professor da 7ª série
do 1º bimestre de 2008, na primeira situação de aprendizagem do Caderno do
Professor de 2009, a ideia de apresentar o conjunto dos racionais, como um
mostruário das frações, provenientes de classes de equivalência, separadas
segundo o critério de representar a mesma parte do todo, continua sendo proposta.
O que se acrescentou a esta situação de aprendizagem, foi a localização dos
números racionais na reta numérica. Desta forma, para representar um número
racional na reta com denominador n, devemos dividir cada segmento de
comprimento unitário em n partes iguais; os pontos da subdivisão representarão as
frações na forma nm
(SÃO PAULO, 2009, p. 16).
Fazendo isto com alguns denominadores, seria possível observar que as
classes de equivalências estão presentes também na localização dos números
racionais na reta numérica. Ao localizar uma fração, atribuindo-lhe um ponto na reta,
ali estariam também localizadas, todas as frações equivalentes a esta primeira. Para
a exploração desta ideia, são apresentadas três atividades.
Como já foi dito, a ideia de classes de equivalência pode ser remetida à ideia
da congruência módulo m, convergindo, portanto, para os tópicos essenciais da
Teoria Elementar dos Números
Outra ideia apresentada é a de que entre dois racionais existem infinitos
números, além do fato de não haver possibilidade, no conjunto dos racionais, de se
determinar o sucessor ou antecessor de um número. Para a exploração desta ideia,
apresentam-se atividades como “Encontre um racional entre 31
e 43
”. Nestas
atividades, observei a possibilidade da manipulação das operações com números
racionais, onde implicitamente estará o conceito do mínimo múltiplo comum na soma
das frações, outro tópico considerado importante na Teoria Elementar dos Números.
O colorido na apresentação das figuras e na representação das classes de
equivalência das atividades propostas é o que primeiro chama a atenção. A
apresentação colorida traz uma clareza maior no entendimento dos conceitos
trabalhados.
Na segunda situação de aprendizagem do Caderno do Professor de 2009, o
foco no estudo das dizimas periódicas e a previsão do comportamento de seus
períodos permanece, sendo acrescido o trabalho com a previsão das frações sobre
ser ou não dízimas periódicas, em que há o estudo da observação do ciclo presente
nos períodos de frações com mesmo denominador, quando efetuada a divisão
correspondente. Exemplificando este fato, apresenta-se a divisão da fração 71
e uma
tabela com o quociente e os restos da divisão, como ilustrado a seguir:
1 0 | 7 .
3 0 0,142857...
2 0
6 0
4 0
5 0
1 . . .
Figura 21: Divisão da fração 1/7 Fonte: SÃO PAULO (2009, p.22)
A partir da tabela do item II, da Figura 21, é possível prever o ciclo decimal de
todas as frações cujo denominador é 7, bastando para isso, observar o primeiro
resto decimal da divisão. O primeiro número do quociente decimal será consultado
nesta tabela, segundo o número correspondente ao primeiro resto decimal. Os
próximos números do quociente seguirão o ciclo apresentado na tabela.
Ainda que não esteja nos tópicos relacionados à divisibilidade listados por
Resende (2007), considero relevante comentar que a abordagem sobre o ciclo dos
períodos das dízimas periódicas suscita a ideia da observação e generalização de
padrões. Sobre esta temática, Vale et al. (2005) comentam que:
Quocientes Restos
1
4
2
8
5
7
1
3
2
6
4
5
1
(II) (I)
98
99
Quando apelamos aos padrões no ensino da matemática é normalmente porque queremos ajudar os alunos a aprender uma matemática significativa e/ou a envolver-se na sua aprendizagem facultando-lhes um ambiente de aprendizagem que tenha algo a ver com sua realidade e experiências. O estudo de padrões vai ao encontro a este aspecto, apoiando a aprendizagem dos estudantes para descobrirem relações, encontrarem conexões, fazerem generalizações e também previsões. (VALE et al., 2005, p.5)
Desta forma, observar a regularidade presente em uma sequência numérica
pode ser uma atividade motivadora, impelindo os alunos a descobrirem estratégias e
métodos próprios para descrever o padrão observado na busca de uma
generalização.
Ao analisar as atividades contidas nas terceira e quarta situações de
aprendizagem do Caderno do Professor de 2009, não observei diferenças
representativas na abordagem proposta no Caderno do Professor do ano anterior.
3.3.2. O Caderno do Professor de Matemática da 7ª s érie do 2º Bimestre de 2009
O Caderno do Professor do 2º Bimestre de 2009 apresenta inicialmente o
texto com o mesmo conteúdo presente no Caderno do Professor de 2008,
mostrando o foco principal explorado. O quadro geral com as unidades a serem
estudadas continua a ser apresentado, porém no quadro com a correlação de
conteúdos (ver anexo 10), entre as séries do Ensino Fundamental apresenta
algumas alterações que vale a pena serem comentadas.
. Primeiramente, a alteração do nome do tema a ser estudado: de Expressões
Algébricas para Álgebra. Esta mudança parece-me, de acordo com a concepção que
o GPEA defende ser equivocada. Nós, do GPEA, tomamos como Álgebra todas as
ações que permitem desenvolver o pensamento algébrico, o que não se inicia,
necessariamente, apenas com o uso das letras. Uma criança, ao perceber que
fixando um número da tabuada e variando o outro, tem o resultado da multiplicação
mudado, já apresenta um desenvolvimento em seu pensamento algébrico.
Outra diferença verifica-se nas correlações de temas com outras séries. A
Álgebra a ser estudada no bimestre em questão está correlacionada aos Números
Naturais, às Frações e à Geometria dos 1º e 3º bimestres da 5ª série, aos Números
Naturais, aos Números Inteiros, aos Números Racionais e à Álgebra dos 1º e 4º
bimestres da 6ª série, aos Números Racionais, à Potenciação, ao Tratamento da
Informação, às Equações de 1º grau, aos Teoremas de Tales e Pitágoras dos 1º, 3º
e 4º bimestres da 7ª série e aos Números Reais e às Equações de 2º grau dos 1º e
2º bimestres da 8ª série.
Desta forma, na primeira situação de aprendizagem são apresentadas
atividades que objetivam determinar diferentes expressões algébricas para a
quantidade de bolinhas presentes na enésima figura e mostrar a equivalência destas
expressões, assim como em 2008. Mas, observei a presença de um número maior
de atividades para a exploração deste tema, seis problemas. Há, do mesmo modo,
resoluções mais detalhadas ao se apresentar as possíveis soluções de
generalização para as expressões que representam a quantidade de bolinhas,
A segunda situação de aprendizagem continua com o mesmo objetivo
daquele trabalhado em 2008, isto é, o trabalho dos produtos notáveis apoiados pela
Geometria. Mas, algumas diferenças de caráter estético e de aprofundamento são
claramente observadas. No caráter estético, destaco o fato das figuras a serem
decompostas estarem coloridas, como na Figura 22, em que está decomposto
geometricamente o trinômio quadrado perfeito.
Figura 22: O trinômio quadrado perfeito Fonte: SÃO PAULO (2009a, p. 25)
100
101
Ainda que a questão estética para alguns possa soar como um fato supérfluo,
creio ser relevante esta observação. Primeiro, pela atratividade natural existente nas
cores e segundo, pela facilitação que as cores geram quando se decompõem as
figuras em quadrados, retângulos e trapézios, pois trazem uma relação quase que
imediata das partes iniciais e finais.
Na questão de aprofundamento, há atividades com decomposições de figuras
diferentes daquelas que representam os produtos notáveis. A determinação da área
de retângulos, observando as dimensões do retângulo maior ou decompondo-o em
outros retângulos para encontrar expressões equivalentes é um exemplo disso:
Figura 23: Decomposição geométrica de retângulos Fonte: SÃO PAULO (2009a, p. 20)
Em resultado ao trabalho com estas atividades, tem-se o aprofundamento de
ideias relativas às propriedades comutativa e distributiva em relação à multiplicação,
em que os polinômios apresentados, notáveis ou não, são transformadas em
produtos, assim como estes são transformados em polinômios. Além disso, em
todas as atividades propostas, a transição entre a linguagem algébrica e a
linguagem geométrica está presente. Ora partindo da linguagem geométrica para se
escrever a expressão algébrica representada pela figura geométrica, ora iniciando-
se de uma expressão algébrica pedindo-se para desenhar a figura geométrica
correspondente àquela expressão.
Se uma análise destas atividades for realizada apenas focando seus temas
principais, não será possível observar a utilização efetiva da Teoria Elementar dos
Números nem, tampouco, a questão da divisibilidade. Analisando, porém, as
atividades, com foco nos elementos necessários para sua resolução, pude fazer um
paralelo com a decomposição em fatores primos, de forma implícita, uma vez que
para se realizar a decomposição é necessário identificar os fatores dos coeficientes
e da parte literal das expressões, para que seja possível escrever a expressão
algébrica pedida.
O Caderno do Professor também traz um tópico denominado “Uma noção de
outras potências (a+b)”. Neste tópico, apresenta-se a investigação de regularidades
presentes no desenvolvimento de potências sucessivas do binômio (a + b)n. Assim,
inicialmente propõe-se a construção de uma tabela com o desenvolvimento da
expressão (a + b)n, para n = 0, 1, 2 e 3. Com isto, espera-se que o aluno perceba
que o número de termos é sempre uma unidade a mais que o expoente.
Partindo desta consideração, apresenta-se um quadro com o
desenvolvimento dos termos das potências sucessivas de (a + b)n, sem que seja
necessária a utilização dos processos de distribuição.
Figura 24: Potências sucessivas de (a + b)n
Fonte: SÃO PAULO (2009a, p. 30)
Além do diagrama ilustrado na Figura 24, uma pirâmide com os coeficientes
dos termos do desenvolvimento das potências de (a+b)n é ilustrada, para salientar
que cada valor escrito na face do cubo é igual à soma dos que estão na face sobre
ele.
102
103
Figura 25: Coeficientes do desenvolvimento de (a + b) Fonte: SÃO PAULO (2009a, p. 31)
A partir da pirâmide ilustrada na Figura 25, diversas regularidades podem ser
observadas. A primeira é a ocupação dos extremos pelo número 1, outra seria a
igualdade de dois termos que possuem a mesma distância e também que a soma de
dois elementos consecutivos de uma mesma linha será o número da linha seguinte
que está entre eles.
Ainda que os Binômios de Newton e o Triângulo de Pascal sejam objetos de
estudo do Ensino Médio, considero importante a proposta desta investigação neste
nível de ensino para a exploração das estratégias para observação e generalização
de regularidades, diferentes daquelas trabalhadas no primeiro bimestre.
A terceira situação de aprendizagem permanece com o objetivo do ano
anterior que é a continuação do estudo dos produtos notáveis e fatorações.
Em relação à abordagem proposta, não observei nenhuma mudança. Apenas
foi acrescida uma atividade no momento em que se atribui significado às fatorações.
Nesta atividade, sugere-se pensar em dois números que tenha o produto valendo 36
e a soma sendo 15, para desenvolver certa agilidade no processo de fatoração do
trinômio quadrado perfeito. Embora a solução do problema possa ser feita com o
cálculo mental, propõe-se a exploração de alguns aspectos dessa situação: o
produto sendo positivo estabelece que os dois números pensados possuam o
mesmo sinal, isto é, ambos terem sinal positivo ou ambos com sinal negativo. Se o
produto fosse zero, um dos dois números pensados ou ambos os números seriam
zero. Partindo desta análise, propõe-se a construção da tabela abaixo, com a
decomposição do número 36 em dois fatores inteiros positivos (36 e 1, 18 e 2, 12 e
3, 9 e 4), tendo, portanto, como solução do problema os números 12 e 3.
Figura 26: Situação-problema sobre fatoração Fonte: SÃO PAULO (2009a, p. 39)
Na atividade, percebo claramente a utilização da divisibilidade em sua
resolução. Ao buscar dois fatores do número descrito como o valor do produto, no
caso 36, é necessário pensar nos fatores e nos múltiplos de alguns números, para
se obter as possíveis soluções. Da mesma forma, podemos citar a possibilidade de
que, nas outras atividades como esta, sejam utilizados os critérios de divisibilidade
na busca dos fatores do número que representa o produto.
Na quarta situação de aprendizagem, não há mudanças em relação ao
objetivo conteúdo e abordagem. O foco continua sendo o trabalho integrado das
linguagens aritmética, algébrica e aritmética, buscando o desenvolvimento de
habilidades relativas ao cálculo algébrico.
Vale, ainda, ressaltar que mais uma vez as cores foram amplamente
utilizadas.
104
105
Figura 27: Soma dos 100 primeiros números naturais Fonte: SÃO PAULO (2009a, p. 43) Na história sobre o cálculo da soma dos 100 primeiros números naturais a
partir de 1, a soma das parcelas são apresentadas de forma mais explícita, como na
figura acima. A ilustração torna mais fácil a identificação das somas apresentadas na
história de Gauss.
3.3.3. O Caderno do Professor de Matemática da 7ª s érie do 3º bimestre de 2009
Observando o Caderno do Professor de Matemática da 7ª série de 2009, não
encontrei nenhuma mudança em relação às atividades presentes no material
enviado para o mesmo período no ano anterior. Aliás, o material é o mesmo, exceto
pela carta, na página 3, escrita pelo Secretário da Educação do Estado de São
Paulo, Paulo Renato Souza.
3.3.4. O Caderno do Professor de Matemática da 7ª s érie do 4º bimestre de 2009
Assim como o Caderno do Professor de Matemática do bimestre anterior, as
atividades contidas no material enviado para o trabalho no quarto bimestre são as
mesmas do ano de 2008, com a ressalva da carta do Secretário da Educação, Desta
forma, não há mudanças a serem discutidas e analisadas.
107
Capítulo 4Capítulo 4Capítulo 4Capítulo 4
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Esta pesquisa objetivou investigar como são abordados a questão da
divisibilidade e outros temas da Teoria Elementar dos Números nos Cadernos do
Professor de Matemática da 7ª série (8º ano) de 2008 e 2009 da rede pública
estadual paulista.
A escolha para se analisar a questão da divisibilidade deu-se, pois, segundo
algumas pesquisas, o trabalho com este tema e outros assuntos da Teoria
Elementar dos Números é útil no ensino e na compreensão da Matemática, assim
como oferece uma oportunidade de se iniciar a formação algébrica e aritmética
própria dos números inteiros. Além disso, o estudo de questões relativas à
divisibilidade é algo que me desperta grande interesse. A escolha por analisar o
material da 7ª série (8º ano) ocorreu por ser nesta série o momento em que
atividades que exploram o uso de variáveis começam a prevalecer em relação
àquelas que utilizam a Aritmética.
Assim, apresento minhas considerações finais sob uma visão global de todo
processo da pesquisa realizada, tomando como base as análises já realizadas
durante a descrição das comunicações. Inicialmente, descrevo conclusões sobre
cada comunicação analisada e em seguida apresento algumas reflexões e
questionamentos que podem ser utilizados para futuras pesquisas sobre o mesmo
tema ou afim.
4.1. A Proposta Curricular do Estado de São Paulo
Na análise deste documento, busquei referências sobre os tópicos da Teoria
Elementar dos Números, definidos por Resende ( 2007) e a importância de seu
estudo para o desenvolvimento de ideias matemáticas relevantes. Contudo, não
observei referências explícitas à relevância do estudo dos números inteiros e suas
propriedades, tampouco menção à questão da divisibilidade. A preocupação maior
está voltada para a problematização de situações que mostrem a necessidade de
ampliação da ideia do campo numérico. Em um momento único, percebi uma
referência implícita ao estudo das classes de equivalência e à ideia de ordenação de
um conjunto, temas pertencentes aos tópicos essenciais da Teoria Elementar dos
Números.
Acredito ser interessante a diminuição da distância entre a matemática
aprendida na escola e aquela utilizada no dia a dia e, até mesmo, a utilização da
história da humanidade para justificar algumas descobertas matemáticas. Mas, creio
ser da mesma forma importante a exploração de competências que somente são
desenvolvidas ao se trabalhar com a Matemática como abstrair, representar,
generalizar, sintetizar para a resolução de problemas. O trabalho com estas
competências potencializariam o desenvolvimento do pensamento matemático.
4.2. Os Cadernos do Professor de Matemática da 7ª s érie de 2008
Nestes materiais, busquei a abordagem dada à questão da divisibilidade e a
outros temas da Teoria Elementar dos Números, segundo a definição feita por
Resende (2007), ressaltando os momentos em que estes assuntos são tratados de
forma implícita ou explícita.
No Caderno do Professor do 1º bimestre, foram utilizados conhecimentos
relativos à questão da divisibilidade e à Teoria Elementar dos Números. De forma
explícita, houve o uso das potências e suas propriedades, a representação dos
108
109
números inteiros nas potências de 10. Implicitamente, observei a utilização dos
critérios de divisibilidade, do conceito de número primo, do Teorema Fundamental
da Aritmética, conhecida como decomposição em fatores primos e da observação e
generalização de regularidades em diversas tabelas apresentadas. Vale ressaltar a
inovação na abordagem, ao se apresentar a organização do conjunto dos números
racionais por meio das classes de equivalência. De forma implícita, as classes de
equivalência apresentam aspectos parecidos àqueles presentes nas congruências
módulo m, assunto da Teoria Elementar dos Números.
A análise do Caderno do Professor do 2º bimestre mostrou a utilização
implícita da questão da divisibilidade e de temas da Teoria Elementar dos Números
na maior parte das atividades, sendo revelado o uso de conhecimentos sobre
múltiplos e divisores e o Teorema Fundamental da Aritmética. As atividades que
tratam observação e generalização de regularidades presentes nas sequências de
bolinhas, exploradas nas primeiras atividades, são os únicos momentos em que se
trabalha explicitamente com a Teoria Elementar dos Números. Creio que a ínfima
utilização desses temas, deve-se ao enfoque maior dado ao estudo das expressões
algébricas por meio da Geometria.
Já no Caderno do Professor do 3º bimestre, a análise revelou pouca utilização
de temas da Teoria Elementar dos Números nas duas primeiras situações de
aprendizagem, destinadas à interpretação e transcrição de enunciados, às
coordenadas cartesianas e ao trabalho com as transformações. Em lugar disso, a
ideia de covariação pertinente à proporcionalidade esteve presente em grande parte
das atividades observadas. Os conceitos relacionados à divisibilidade implicitamente
utilizados foram os múltiplos e divisores.
Em contrapartida, as duas situações de aprendizagem finais apresentam uma
grande exploração de temas da Teoria Elementar dos Números. A abordagem dada
à resolução dos sistemas de equações permite a observação e generalização de
regularidades, ao apresentar uma tabela para descobrir os possíveis valores que
satisfazem as equações do sistema, Além disso, os coeficientes e os números a
serem multiplicados pelas equações são todos números inteiros; a representação
gráfica dos sistemas é, primeiramente, apresentada com coordenadas inteiras
positivas, para só assim ser apresentada a reta real, representando todas as
soluções do sistema. Vale ressaltar que este é o primeiro momento, na análise dos
Cadernos do Professor que há referência ao conjunto dos números reais.
No trabalho com problemas traduzidos por apenas uma equação e duas
incógnitas, há o trabalho explícito com a Teoria Elementar dos Números, mais
especificamente, a questão da divisibilidade, uma vez que as “equações diofantinas
lineares" estão definidas por Resende (2007). Assim, para a resolução das
atividades são utilizados o algoritmo da divisão, o máximo divisor comum, o
algoritmo de Euclides e o Teorema Fundamental da Aritmética.
Na análise do Caderno do Professor do 4º Bimestre, observei a utilização
implícita da questão da divisibilidade e da Teoria Elementar dos Números nas
atividades, ainda que o foco principal tenha sido os teoremas de Tales e de
Pitágoras, temas pertinentes à Geometria. Foram utilizados, de forma implícita,
conhecimentos sobre os múltiplos e divisores, os números primos e a observação e
generalização de padrões. Creio que a escolha em utilização da história da
Matemática para a abordagem no desenvolvimento das atividades, pode propiciar a
utilização dos tópicos citados, visto que estas atividades propunham
questionamentos enfrentados na época em que estes teoremas foram
demonstrados.
4.3. Os Cadernos do Professor de Matemática da 7ª s érie de 2009
Nas análises dos Cadernos referentes ao ano de 2009, procurei alterações
que eventualmente possam ter acontecido em relação ao ano anterior, uma vez que
o material enviado foi reformulado e reenviado. Desta forma, busquei a abordagem
dada a temas da Teoria Elementar dos Números e, de forma específica, a questão
da divisibilidade presentes nas mudanças ocorridas.
Pela análise nos Cadernos do Professor do 1º bimestre, observei o aumento
de atividades relativas ao tema proposto, isto é, Números Racionais. Nestas
atividades, pude perceber referências implícitas à questão da divisibilidade, na
utilização da ideia de mínimo múltiplo comum nas operações com racionais. Na
obtenção de dízimas periódicas, houve também o trabalho com a observação e
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generalização de padrões, tópico considerado importante na Teoria Elementar dos
Números.
No Caderno do Professor referente ao 2º bimestre, percebi um
aprofundamento nas questões que se referem às expressões algébricas que
descrevem a área de figuras que não representam produtos notáveis e nas
fatorações de expressões algébricas. Neste aprofundamento, notei o trabalho
implícito com ideias sobre a distributiva da multiplicação em relação à adição,
propriedade dos números inteiros, a decomposição em fatores primos e os critérios
de divisibilidade, na investigação de fatores que representam um número dado.
Um tópico totalmente acrescido neste Caderno do Professor refere-se ao
estudo de outras potências relativas ao binômio (a + b)n. Ainda que possa parecer
inapropriada a abordagem deste tema nesta série, acredito ter sido interessante sua
apresentação para a observação e generalização de regularidades e propriedades
existentes nos binômios.
Vale ressaltar o fato deste Caderno do Professor conter mais páginas que o
do ano anterior, além de sua apresentação estética ser bastante colorida e mais
agradável.
Nos Cadernos do Professor dos dois últimos bimestres da 7ª série de 2009,
não houve nenhuma alteração em sua abordagem.
De forma geral, a questão da divisibilidade foi explorada explícita ou
implicitamente nos Cadernos do Professor de 2008 e 2009, utilizando todos os
conceitos definidos por Resende (2007): o algoritmo da divisão, o máximo divisor
comum, o mínimo múltiplo comum, o algoritmo de Euclides, os números primos, os
critérios de divisibilidade e o Teorema Fundamental da Aritmética os assuntos da
Teoria Elementar dos Números. Sobre outros temas da Teoria Elementar dos
Números foram encontradas as representações dos números Inteiros, suas
operações, algoritmos e propriedades, potências e suas propriedades, a
congruência módulo m e as equações diofantinas lineares.
Desta forma, concluo que nos Cadernos do Professor de Matemática da 7ª
série de 2008 e 2009, a Teoria Elementar dos Números e, especificamente a
divisibilidade é abordada de forma a auxiliar a transição entre o discreto e o
contínuo. É utilizada como suporte aos novos conceitos a serem aprendidos, não
sendo totalmente abandonada pelo início do estudo das variáveis, propriamente
dias.
Destaco ainda, algumas abordagens inovadoras que se apresentaram nestes
Cadernos, como a organização dos números racionais por meio das classes de
equivalência, a intensa utilização da observação e generalização de regularidades
para descrever os fenômenos em figuras e tabelas, a proposta de iniciação ao
Binômio de Newton e a solução de equações diofantinas lineares utilizando
resultados da Teoria Elementar dos Números. Estas novas abordagens evidenciam
uma aproximação maior dos resultados de pesquisa em Educação Matemática e nos
conteúdos trabalhados em sala de aula.
Finalizo este trabalho levantando algumas questões, que surgiram durante o
desenvolvimento desta pesquisa.
• Como os professores da 7ª série trabalham a questão da divisibilidade e
outros temas da Teoria Elementar dos Números presentes nos Cadernos do
Professor?
• De que forma são percebidos os materiais enviados pela SEE/SP pelos
professores e alunos?
• Os professores percebem o caráter implícito da Teoria Elementar dos
Números existente nos Cadernos do Professor? E se há esta percepção,
como estes tópicos são explorados?
• A questão da divisibilidade tem permeado todo o percurso escolar de um
indivíduo?
Enfim, as questões são diversas. Isto demonstra a necessidade premente de
investigação deste tema.
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__________. Secretaria de Estado da Educação. Caderno do Professor – Matemática da 7ª série do Ensino Fundamental . 3º bimestre de 2008 . São Paulo: SEE, 2008c.
__________. Secretaria de Estado da Educação. Caderno do Professor – Matemática da 7ª série do Ensino Fundamental . 4º bimestre de 2008 . São Paulo: SEE, 2008d.
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__________. Secretaria de Estado da Educação. Caderno do Professor – Matemática da 7ª série do Ensino Fundamental . 2º bimestre de 2009 . São Paulo: SEE, 2009a.
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AnexosAnexosAnexosAnexos
1. Ficha do Caderno do 1° Bimestre
Fonte: SÃO PAULO, (2008a, p. 7)
2. Ficha do Caderno do 2º Bimestre
Fonte: SÃO PAULO, (2008b, p. 7)
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3. Ficha do Caderno do 3º Bimestre
Fonte: SÃO PAULO, (2008c, p. 7)
4. Ficha do Caderno do 4º Bimestre
Fonte: SÃO PAULO, (2008d, p. 7)
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5. Conteúdos de Matemática por série/bimestre do En sino Fundamental II – 1º Bimestre de 2008
Fonte: SÃO PAULO, (2008a, p. 31)
6. Conteúdos de Matemática por série/bimestre do En sino Fundamental II – 2º Bimestre de 2008
Fonte: SÃO PAULO, (2008b, p. 35)
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7. Conteúdos de Matemática por série/bimestre do En sino Fundamental II – 3º Bimestre de 2008
Fonte: SÃO PAULO, (2008c, p. 63)
8. Conteúdos de Matemática por série/bimestre do En sino Fundamental II – 4º Bimestre de 2008
Fonte: SÃO PAULO, (2008d, p. 64)
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9. Conteúdos de Matemática por série/bimestre do En sino Fundamental II – 1º Bimestre de 2009
Fonte: SÃO PAULO (2009, p. 46)
10. Conteúdos de Matemática por série/bimestre do E nsino Fundamental II – 2º Bimestre de 2009
Fonte: SÃO PAULO, (2009a, p. 54)
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