jornada de fÍsica teÓrica - ift.unesp.br · monday, july 19, 2010 campos clÁssicos 3 • campos:...

JORNADA DE FJORNADA DE FÍÍSICA SICA TETEÓÓRICARICA

INSTITUTO DE FINSTITUTO DE FÍÍSICA TESICA TEÓÓRICARICAU.N.E.S.P.U.N.E.S.P.

19 a 2319 a 23--0707--20102010

JFT2010

CAMPOS: CLCAMPOS: CLÁÁSSICOS, QUSSICOS, QUÂÂNTICOS, DE NTICOS, DE GAUGE E POR AÍ AFORAGAUGE E POR AÍ AFORA

Jornada de FJornada de Fíísica Tesica Teóórica 2010rica 2010Instituto de FInstituto de Fíísica Tesica Teóóricarica/UNESP/UNESP

Prof. Dr. Alfredo Takashi Suzuki

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Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 3

•• CAMPOS: O QUE SCAMPOS: O QUE SÃÃO ?O ?

•• REALIDADE INVREALIDADE INVÍÍSIVEL CUJOS SIVEL CUJOS EFEITOS VISEFEITOS VISÍÍVEIS PODEMOS VEIS PODEMOS OBSERVAR, ANALISAR, MEDIR…OBSERVAR, ANALISAR, MEDIR…

JFT2010JFT2010

CAMPOS: CLCAMPOS: CLÁÁSSICOS, QUSSICOS, QUÂÂNTICOS, NTICOS, DE GAUGE E POR AÍ AFORADE GAUGE E POR AÍ AFORA


•• CAMPOS: O QUE SCAMPOS: O QUE SÃÃO ?O ?

•• … E OLHAR?...… E OLHAR?...

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•• CAMPOS: O QUE CAMPOS: O QUE SSÃÃO ?O ?

•• … E APRECIAR …… E APRECIAR …•• … E SENTIR?...… E SENTIR?...

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•• EXEMPLOS DE EXEMPLOS DE CAMPOS:CAMPOS:

1. Campos Clássicos:1. Campos Clássicos:

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•• “CLÁSSICO”:“CLÁSSICO”: SIGNIFICA QUE É ANTERIOR À SIGNIFICA QUE É ANTERIOR À

MECÂNICA QUÂNTICA, MECÂNICA QUÂNTICA, ouou QUE NÃO INCLUA CONCEITOS DA QUE NÃO INCLUA CONCEITOS DA

MECÂNICA QUÂNTICAMECÂNICA QUÂNTICA

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1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS


•• EXEMPLOS DE CAMPOS EXEMPLOS DE CAMPOS (CLÁSSICOS):(CLÁSSICOS):

•• GRAVITACIONAL,GRAVITACIONAL,•• ELÉTRICO,ELÉTRICO,•• MAGNÉTICO,MAGNÉTICO,•• ……

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•• NOÇÃO DE CAMPO CLÁSSICO É NOÇÃO DE CAMPO CLÁSSICO É ABSTRAÍDO DO CONCEITO DE ABSTRAÍDO DO CONCEITO DE FORÇA.FORÇA.

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•• COMO TAL, CLASSICAMENTE, COMO TAL, CLASSICAMENTE, CAMPOSCAMPOS** TEM AÇÃO TEM AÇÃO INSTANTÂNEA SOBRE ELEMENTOS INSTANTÂNEA SOBRE ELEMENTOS DE PROVA COLOCADOS SOB SUA DE PROVA COLOCADOS SOB SUA AÇÃO.AÇÃO.

** CLÁSSICOS!CLÁSSICOS!

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gravgrav grav2 2

ˆ ˆmM MG Gr m r

F

F r G r

Tomando-se o raio da Terra como distância do centro à superfície, ou regiões próximas à superfície da Terra, obtém-se a aceleração da gravidade local,

gravgrav 2

2Terra

ˆ

ˆ

MGm r

GMR

FG r

g r


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eletelet elet2 2

ˆ ˆqQ QK Kr q r

FF r E r


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JFT2010JFT2010


eletelet elet eletq

FE E F

gravgrav grav gravm

F

G G F


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mag F B


JFT2010JFT2010



JFT2010JFT2010


magqc

F v B


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elet elet2 2

2

mag22 2

mag 2 2

mag

ˆ ˆ

ˆˆ1ˆ ˆ

ˆ

qQ QK Kr r

qQ vKqQ vr c Kr c

F r E r

F rF rF r v r

B v r

mag mag2

Q v qKr c c

B F v B


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mF a

Vetor

Vetor


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1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS• FORMALISMO LAGRANGIANO:

• 2a. Lei de Newton… Força em componentes

( ) 1,2,3,...,3i i i i idF m v m x i Ndt

;


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• Energia cinética:

2 21 1 ( ) 1,2,3,...,32 2

; i i i ii i

K m v m x i N

2 1,2,3,...,32

; j j ij i iji

K m x m x i Nx


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• PORTANTO…

( )i i i

iii i

i

dF m xdt d KFK dt xm x

x

2a. Lei de Newton


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1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• FORMALISMO LAGRANGIANO:FORMALISMO LAGRANGIANO:

•• Em sistemas Em sistemas conservativosconservativos, a força é o gradiente de um potencial:

( )1,2,3,...,3; i

ii

V xF i N

x


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•• Em sistemas Em sistemas conservativosconservativos…

( )( )

ii i

i iii

i

d KFdt x V xd K

dt x xV xF

x

2a. Lei

de Newton


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•• Sistema cartesiano de referência … Sistema cartesiano de referência …

( )i

i i

V xd Kdt x x

2a. Lei de Newton


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1 2 3 3( , , , ..., ; ) ( ; )i i N i jq q x x x x t q x t

•• FORMALISMO LAGRANGIANO:FORMALISMO LAGRANGIANO:

•• Coordenadas cartesianas Coordenadas cartesianas Generalizadas Generalizadas

Transformação Inversa (não singular)

( ; )j j ix x q t


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j j jj i

i i

dx x xx q

dt q t

( ; )j j ix x q t

•• FORMALISMO LAGRANGIANO:FORMALISMO LAGRANGIANO:

•• Da transformação inversa …Da transformação inversa …

j j

i i

x xq q


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21 ( )2 j j

jK m x

•• ENERGIA CINÉTICA:ENERGIA CINÉTICA:

jj j

ji i

jj j

j i

xK m xq q

xm x

q


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1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• ENERGIA CINÉTICA:ENERGIA CINÉTICA:

jj j

ji i

j jj j j j

j ji i i

xK m xq q

x xd K dm x m xdt q q dt q


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j j jk

ki k i i

j jk

ki k

j j

i i

x x xd qdt q q q t q

x xq

q q t

dx xq dt q


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j jj j j j

j ji i i

j jj j j j

j ji i

x xd K dm x m xdt q q dt q

x xm x m x

q q


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212

j jj j j j

j ji i i

jj j j j

j ji i

jj

j i i

x xd K m x m xdt q q q

xm x m x

q q

x KFq q


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jj

ji i i

j

j j i i

i i i

xd K KFdt q q q

xV Kx q q

K VV Kq q q


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1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• R E S U M I N D O … :R E S U M I N D O … :

( )

i i

d K K Vdt q q

( ) ( )

i i

i i

d K V K Vdt q q

d L Ldt q q

)( iqVV


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1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• R E S U M I N D O … :R E S U M I N D O … :

i i

d L Ldt q qL K V

EQUAÇÕES DE EULER-LAGRANGE


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1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• PARTÍCULAS CLÁSSICAS: PARTÍCULAS CLÁSSICAS: SISTEMAS MECÂNICOS DISCRETOSSISTEMAS MECÂNICOS DISCRETOS

•• Vamos considerar o seguinte sistema discreto e Vamos considerar o seguinte sistema discreto e estudar seu movimento oscilatório:estudar seu movimento oscilatório:


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•• Segunda lei de Newton, e lei de Hooke:Segunda lei de Newton, e lei de Hooke:

1 1i i i i imq k q q q q


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•• Energia Cinética:Energia Cinética:

212 i

iK mq 21

12 i i

iV k q q

Sistema conservativo


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•• Lagrangiana do sistema:Lagrangiana do sistema:

221

12 i i i

iL K V mq k q q


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2

,

12

jj j

j ji i i

j i j ij

ii

qL m q mqq q q

mq mq

d L mqdt q

•• Equação de EulerEquação de Euler--Lagrange:Lagrange:


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•• Equação de EulerEquação de Euler--Lagrange:Lagrange:

21

11 1

1 , 1 1 ,

1 1

12 j j

ji i

jjj j j j

j i i

j j i j j j i jj

i i i ii

L k q qq q

qqk q q k q q

q q

k q q k q q

L k q q k q qq


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•• Lagrangiana do sistema:Lagrangiana do sistema:

221

12 i i i

iL K V mq k q q


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•• Densidade Lagrangiana (linear) do sistema:Densidade Lagrangiana (linear) do sistema:

22 11 1

2 2i i

i ii i

q qmL a q ka aa a

L


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1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• PARTÍCULAS CLÁSSICAS: PARTÍCULAS CLÁSSICAS: INDO DO DISCRETO PARA O CONTÍNUO:INDO DO DISCRETO PARA O CONTÍNUO:•• N N ∞∞

1

N

i

a dx

a dx

1i i

maka Y

q q qa x


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1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• ONDASONDAS CLÁSSICAS: CLÁSSICAS: INDO DO DISCRETO PARA O CONTÍNUO:INDO DO DISCRETO PARA O CONTÍNUO:•• N N ∞∞

22

onde

12

L dx

qq Yx

L

L

=

Note que( , )iq q q t x


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1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• ONDASONDAS CLÁSSICAS: CLÁSSICAS: PRINCÍPIO DE HAMILTONPRINCÍPIO DE HAMILTON

00

0

AdtL

A dtLdt dx

L


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1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• ONDASONDAS CLÁSSICAS: CLÁSSICAS: EQUAÇÃO DE EULEREQUAÇÃO DE EULER--LAGRANGE:LAGRANGE:

0'

d ddt q dx q q

L L L

' dqqdx


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221 '2

q Y q L = 0;

;

''

q

qq

Yqq

L

L

L" 0q Yq


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2 2

2 2

'' 0

0

q Yq

d q Y d qdt d x

Equação de onda parapropagação linear em um sólido elástico unidimensional deuma perturbação comvelocidade:

Yv


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1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• PARTÍCULAS & ONDASPARTÍCULAS & ONDAS CLÁSSICAS: CLÁSSICAS: R E S U M O A T É A Q U I R E S U M O A T É A Q U I

•• PartículasPartículas que oscilam harmonicamente geram que oscilam harmonicamente geram ondasondas elásticas no meio em que se propagam.elásticas no meio em que se propagam.

•• Conexão é estabelecida quando passamos do caso Conexão é estabelecida quando passamos do caso discreto para o contínuo. discreto para o contínuo.


1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): No caso de sistemas No caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos…

JFT2010JFT2010

jj

ji i i

xd K KFdt q q q

iQ Coriolis, centrCoriolis, centríífuga, etc.fuga, etc.


1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):No caso de sistemas No caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos…Suponha que as componentes da força generalizada sejam da forma

JFT2010JFT2010

ii i

d M MQdt q q


1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sistemasE no caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos …… Exemplo: Cargas elétricas num campo E.M.

JFT2010JFT2010

??1F e E v Bc


1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sistemasE no caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos …… Exemplo: Cargas elétricas num campo E.M.

JFT2010JFT2010

1 AEc t

B A



•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sistemasE no caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos …… Exemplo: Cargas elétricas num campo E.M.

( , , )( , , )

( , , ) ( , , )( , , )

1( , , )

( , , ) ( , , )

x y zx y z

z x y y z xx y z

AE

x y z c tA A

By z x z x y

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1 AEc t

B A




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( , , ) ( , , ) ( , , )1

x y z x y z x y zF e E v Bc




JFT2010JFT2010

1 yx x x zx

AA A A AeF e y zx c t c x y z x




JFT2010JFT2010

1

1 1

yx x x zx

y zx x

AA A A AeF e y zx c t c x y z x

A AF e y z y z Ax c x x c t y z




JFT2010JFT2010

1 1

1 1

y zx x

yx zx

A AF e y z y z A

x c x x c t y z

AA Ae x y z x y z A

x c x x x c t x y z




JFT2010JFT2010

1 1

1 1

yx zx x

x

AA AF e x y z x y z A

x c x x x c t x y z

e v A x y z Ax c c t x y z




JFT2010JFT2010

( , , , )

( , , , )

t x y z

A A t x y z




JFT2010JFT2010

x x x x x

x

dA A A A Ax y z

dt t x y z

x y z At x y z




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x x y zA xA yA zAx

v Ax




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x x x x

x

A A A Ad v A x y zdt x t x y z

x y z At x y z




JFT2010JFT2010

1 10

1

x x x x

x

A A A Ad v A x y zdt x c c t x y z

x y z Ac t x y z

1 10

1

x x x x

x

A A A Ad v A x y zdt x c c t x y z

x y z Ac t x y z




JFT2010JFT2010

1 1

1

xdF e v A v Adt x c x c

de v Adt x x c




JFT2010JFT2010

1

1 1

1

x

y ii i

z

dF e v Adt x x c

d dF e v A F e v Adt y y c dt x x c

dF e v Adt z z c

MM




JFT2010JFT2010

1

ii i

dF Mdt x x

M e v Ac

onde




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j ji j

j ji j j i

x xd M MQ Fq dt x x q




JFT2010JFT2010

j ji

j j i j i

j j j

j j i j i j i

x xd M MQdt x q x q

x x xd M M d Mdt x q x dt q x q




JFT2010JFT2010

j j ji

j j i j i j i

x x xd M M MQdt x q x q x q

j j

i i

x xq q

j j

i i

x xddt q q

j j

i i

x xq q




JFT2010JFT2010

ii i

d M MQdt q q




JFT2010JFT2010

0

1

ondei i

d L Ldt q q

L K M K e v Ac

RESUMO PARA SISTEMAS NÃO CONSERVATIVOS: CAMPO E.M.



•• FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO:Momento generalizadoMomento generalizado

JFT2010JFT2010

0i i

ii

ii

d L Ldt q qd Lpdt q

Lpq

Se a Lagrangiana não depender explicitamente da coordenada generalizada, o momento se conserva.



•• FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO:Momento generalizadoMomento generalizado

21 12 i

iL K M m q e v A

c

JFT2010JFT2010

i i ii

L ep mq Aq c



•• FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO: Por um lado …Por um lado …

JFT2010JFT2010

( , , )i i

i ii i i

L L q q t

dL L L Lq qdt t q q



•• FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO: Por outro lado …Por outro lado …

JFT2010JFT2010

i i ii i i

i ii i

d L d L Lq q qdt q dt q q

L Lq qq q



•• FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO: Então, consequentemente …Então, consequentemente …

ii i

ii i

i ii

dL L d L qdt t dt q

d L Lq Ldt q t

d Lp q Ldt t

JFT2010JFT2010

( , , )i i i ii

H p q t p q L



•• FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO: Por um lado …Por um lado …

JFT2010JFT2010

( , , )i i

i ii ii i

H H p q tH H HdH dt dp dqt p q



FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO: Por outro lado …Por outro lado …

JFT2010JFT2010

i ii

i i i ii i

H p q L

dH p dq q dp dL



•• FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO:Mas…Mas…

JFT2010JFT2010

( , , )i i

i ii ii i

i i i ii i

L L q q tL L LdL dt dq dqt q qLdL dt p dq p dqt



•• FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO: Então…Então…

JFT2010JFT2010

i i i ii i

i i i i i i i ii i i i

i i i ii i

dH p dq q dp dL

LdH p dq q dp dt p dq p dqt

LdH dt q dp p dqt



•• FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO: ComparandoComparando--se as duas expressões para se as duas expressões para dHdH……

JFT2010JFT2010

i ii ii i

ii

i i i ii i

ii

L HH H H t tdH dt dp dqt p q HqL pdH dt q dp p dqt Hp

q



•• FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO: Equações de Hamilton para o movimento…Equações de Hamilton para o movimento…

JFT2010JFT2010

i ii i

H Hq pp q

L Ht t



•• FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO: COLCHETES DE POISSON: Se F = F(p,q,t):COLCHETES DE POISSON: Se F = F(p,q,t):

JFT2010JFT2010

,,

i ii ii i

i i i i i

q p

dF F F FF p qdt t p q

F F H F Ht q p p qF F Ht



•• FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO: COLCHETES DE POISSON: Se F = F(p,q,t):COLCHETES DE POISSON: Se F = F(p,q,t):

,, q pFF F Ht

JFT2010JFT2010

,, q p i i i i i

F H F HF Hq p p q



•• FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO: COLCHETES DE POISSON ESPECIAIS:COLCHETES DE POISSON ESPECIAIS:

JFT2010JFT2010

, , 0;

, ;

i j i j

i j ij

q q p p

q p



JFT2010JFT2010JFT2010JFT2010



•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA:: ALÉM DA MECÂNICA NEWTONIANA…ALÉM DA MECÂNICA NEWTONIANA… Da experiência Da experiência

–– Interação instantânea não existe na natureza;Interação instantânea não existe na natureza;–– O tempo é relativo;O tempo é relativo;–– A velocidade da luz é constante e máxima.A velocidade da luz é constante e máxima.

JFT2010JFT2010



•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA:: EVENTO:EVENTO:

Qualquer fenômeno especificado pelas coordenadas do Qualquer fenômeno especificado pelas coordenadas do local e pelo instante de tempo em que ocorre. local e pelo instante de tempo em que ocorre.

JFT2010JFT2010



•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA:: EVENTO 1:EVENTO 1:

* Emitir um sinal de luz em* Emitir um sinal de luz em

EVENTO 2: EVENTO 2: * Chegada do sinal de luz em * Chegada do sinal de luz em

1 1 1 1 1( , , , )P x y z t

JFT2010JFT2010

2 2 2 2 2( , , , )P x y z t



•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA:: Distância percorrida pelo sinal luminoso:Distância percorrida pelo sinal luminoso:

Intervalo entre dois eventos:Intervalo entre dois eventos:

2 2 22 1 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )c t t x x y y z z

JFT2010JFT2010

2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0x x y y z z c t t

2 2 2 2 212 2 1 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )s c t t x x y y z z



•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA:: Intervalos são invariantes:Intervalos são invariantes:

Intervalo infinitesimal:Intervalo infinitesimal:

2 212 12's s

JFT2010JFT2010

2 2 2 2 2 2ds c dt dx dy dz

2 2'ds ds



•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA:: Da invariância dos intervalos: Da invariância dos intervalos:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2' ' ' '

ds c dt dx dy dz

c dt dx dy dz

JFT2010JFT2010



•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA:: No referencial K’, relógios fixos:No referencial K’, relógios fixos:

JFT2010JFT2010

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

'

' 1

ds c dt dx dy dz c dt

ds dx dy dzdt dtc c dt

2 2 22 2 2 2

2dx dy dz x y z v

dt



•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA:: No referencial K’, relógios fixos:No referencial K’, relógios fixos:

JFT2010JFT2010

2' 1dsdt dtc

vc



•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA:: TRANSFORMATRANSFORMAÇÕES DE LORENTZÇÕES DE LORENTZ

JFT2010JFT2010

2

' ' ; '; ';

' '

x x vt y y z z

vt t xc

1/221



•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA:: QUADRIVETORES:QUADRIVETORES:

JFT2010JFT2010

0

1

2

3

,

,

,

x ct

x x

x y

x z

0 0 1 2 3, , , ,x x x x x x x



•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA:: QUADRIVETORES:QUADRIVETORES:

JFT2010JFT2010

0

1

2

3

,,,

x ctx xx yx z

0 0 1 2 3, , , ,x x x x x x x



•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA:: PRODUTO ESCALAR (INVARIANTE):PRODUTO ESCALAR (INVARIANTE):

JFT2010JFT2010

32

0

0 1 2 30 1 2 3

0 2 1 2 2 2 3 2

0 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

( )

x x x x x

x x x x x x x x

x x x x

x

x



•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA: : PARTÍCULA LIVREPARTÍCULA LIVRE AÇÃO E O PRINCÍPIO DE HAMILTON:AÇÃO E O PRINCÍPIO DE HAMILTON:

2

1

t

tS L dt

JFT2010JFT2010

2

1

2

'

1

b

ab

at

t

S ds

cdt

c dt

21L c




21L c

JFT2010JFT2010

2211

2 2vL c cc

212

L mv

mc




22 2 2

21 1 vL mc mcc

JFT2010JFT2010



•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA: : PARTÍCULA LIVREPARTÍCULA LIVREMOMENTO LINEAR:MOMENTO LINEAR:

ii

Lpq

L

pv

JFT2010JFT2010

2 22 2

2 2

1/222

2 2

2

2

1 1

1 1 22

1

vL mc mcc c

L mcc c

m

c

v

v vv

vpv

mp v



•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA: : PARTÍCULA LIVREPARTÍCULA LIVRE FORÇA:FORÇA:

mt

pF v

JFT2010JFT2010



•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA: : PARTÍCULA LIVREPARTÍCULA LIVRE ENERGIA:ENERGIA:

H pq LL

p v

E

JFT2010JFT2010



•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA: : PARTÍCULA LIVREPARTÍCULA LIVRE ENERGIA:ENERGIA:

2 22

22

2

2 2 2

2 22

2

1

1

1

1

m mcc

c

mcc c

c

v v

v

v v

v

E

JFT2010JFT2010

22

21

mc mc

E

20 mcE



•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA: : PARTÍCULA LIVREPARTÍCULA LIVRE RELAÇÃO ENERGIARELAÇÃO ENERGIA––MOMENTO:MOMENTO:

JFT2010JFT2010

2

2

1

mcE

21 βm

vp

2

22

2

2

1

1

c

βcmc

βm

v

v

vp

E

2cvp

E




JFT2010JFT2010

βvp

ccE

E 2

2222

2

22

22

2

2

222

2

2

2

2

2

22

22

1

1

cmc

c

c

c

p

pp

pp

p

E

E

E

E

22 11 β

cmβ

m

βvp




JFT2010JFT2010

2222

2

cmc

pE



•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA: : PARTÍCULA LIVREPARTÍCULA LIVRE QUADRIQUADRI--MOMENTO:MOMENTO:

JFT2010JFT2010

2 2 2

,pc

p m c

pE

22 0 2p p p p p



•• SISTEMAS MECÂNICOS DISCRETOS E CONTÍNUOS:SISTEMAS MECÂNICOS DISCRETOS E CONTÍNUOS:•• Equação de EulerEquação de Euler--Lagrange:Lagrange:

JFT2010JFT2010

'd ddt q dx q q

L L L



•• CAMPOS CLÁSSICOS:CAMPOS CLÁSSICOS:•• Equação de EulerEquação de Euler--Lagrange em 3Lagrange em 3--D:D:

JFT2010JFT2010

3

1

( , )

/ /i i i

q t x

t t dx x

L L L



•• CAMPOS CLÁSSICOS:CAMPOS CLÁSSICOS:•• Equação de EulerEquação de Euler--Lagrange Lagrange

em notação covariante:em notação covariante:

JFT2010JFT2010

/x x

L L



•• CAMPOS CLÁSSICOS:CAMPOS CLÁSSICOS:•• Equação de EulerEquação de Euler--Lagrange Lagrange

em notação covariante:em notação covariante:

JFT2010JFT2010

( )

x

L L

Equações de EulerEquações de Euler--LagrangeLagrange

são covariantes se a densidadesão covariantes se a densidade

LL for um escalar de Lorentzfor um escalar de Lorentz



•• CAMPOS CLÁSSICOS:CAMPOS CLÁSSICOS:•• Campo escalar (KleinCampo escalar (Klein--Gordon):Gordon):

JFT2010JFT2010

2 2 2

2

22 2

2 2

0 onde

1c t

L =



•• CAMPOS CLÁSSICOS:CAMPOS CLÁSSICOS:•• Campo escalar (KleinCampo escalar (Klein--Gordon):Gordon):

JFT2010JFT2010

*

*

1( , )2

1( , ) ( ) ( )2 2

i t i t

i t i t

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k kk k

k k

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x

x

discr

cont

2 2 onde

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jornada de fÍsica teÓrica - ift.unesp.br · monday, july 19, 2010 campos clÁssicos 3 • campos:...

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