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Journées Franciliennes de Recherche Opérationnelle(24 Juin 2005)
Un algorithme de coupes pour le problème de l’affectation quadratique
Alain Faye , Frédéric Roupin
CEDRIC - IIE - CNAM
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Plan
• Problèmes quadratiques en 0-1– Méthode polyédrique (PL)
– Programmation semi-définie (SDP)
• Affectation quadratique– Inégalités valides
– Résultats numériques en PL et SDP
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min f (x) ciixii1n cijxixjj1, ji
ni1n
s.c. Ax b , x 0,1 n
Programme quadratique en 0-1
Localisation, placement de tâches sur des processeurs, affectation quadratique, partition de graphe, recherche de sous-graphes denses de cardinal fixé,...
3
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Méthode polyédrique
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Principe
• Linéariser f en posant xi xj = yi,j
5
Min f (x) s.c. xX {0,1}n
• LX = {(x,y): x X, yi,j = xi xj 1i<jn}
Lf = min
Direction du min de Lf
optimum
Pb: expliciter les facettes de P
• P = Conv(LX)
++
+
++
+
+ +
+
+
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Programmation semi-définie
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(Pb) min xtQx + ctxs.c. xtAix + di
t x = bi iIai
t x = bi i{1,…,p}
Problème en 0-1xi
2 - xi = 0 i{1,…,n}
7
=
min QY + ctx s.c. AiY + di
t x = bi iIai
t x = bi i{1,…,p}Y = x xt
y11 y12
y21 y22
x1x1 x1x2
x2x1 x2x2n=2
Relaxation semi-définie
Y ≽ x xt
(SDP)
≽
01
Yx
xt
0
1
22212
12111
21
yyx
yyx
xx
≽
≽
Problème en 0-1yii
- xi = 0 i{1,…,n}
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Affectation quadratique
Blanchard , Elloumi , Faye , Wicker. Un algorithme de coupes pour l’affectation quadratique. INFOR 41 n°1 (2003).
Roupin. From linear to semidefinite programming: an algorithm to obtain semidefinite relaxations for bivalent quadratic problems. Journal of Combinatorial Optimization. Vol.8(4) (2004).
Faye, Roupin. A cutting planes algorithm based upon a semidefinite relaxation for the Quadratic Assignment Problem. Conférence ESA
2005. A paraître dans Lectures notes in computer science.
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Affectation quadratique
min qijxijj1
n
i1
n
qij hk xijxhkk 1k j
n
h1hi
n
j1
n
i1
n
s.c.
xiji1
n 1 j N {1,... ,n}
xijj1
n
1 i N {1,..., n}
xij 0,1 i , j N {1,... ,n}
Polytope affectation quadratique Pn (Padberg, Rijal 96)
9
0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0
x =
n = 4
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Enveloppe affine
Nix
Njx
n
jij
n
iij
1
1
1
1
Nkihixy
Njkhjxy
hk
n
jhkij
hk
n
ihkij
,,
,,
1
1
O(n3) contraintes
On peut « économiser » O(n2) contraintes (description minimale)Blanchard , Elloumi , Faye , Wicker. Une famille de facettes pour le polytope de l’affectation quadratique. Rapport de recherche 330 CNAM (2002)
10
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Famille d’inégalités valides
Soit i, h, l 3 indices de lignes distincts et {j}, A, B une partition des indices de colonnes et C B
Exemple: n=5, i=2, h=4, l=3, j =1, A={2}, C={3,4}
y2133 y2134
y2142 y33 44 y33 45
y34 43 y34 45
1 2 3 4 5
12345
11
0 0
1 2 3 4 5
12345
11
0 0
11
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Propriétés
• Inégalité induit une facette de Pn si C est un sous-ensemble propre de B
• Pb de séparation NP-difficile (Max-Cut se réduit à ce pb en temps polynomial)
• Résolution du pb de séparation par une heuristique
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45**44**42**3321 yyyy 4221y
Recherche d’ inégalités violées
Soit i, h, l 3 indices de lignes et {j}, C={c} indices de colonnes,
trouver A, B,{j}, une partition des indices de colonnes et C B
Exemple: n=5, i=2, h=4, l=3, j =1, C={3}
13
453443343421 yyy
443543353521 yyy
422142**42334221 yyyy
443344**44334421 yyyy
453345**45334521 yyyy
On a A={2}, on va compléter C ={3}
4433y4533y
453443343421 yyy
C={3,4}
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Njkihjiy
Nkihixy
Njkhjxy
Nix
Njx
yqxq
hkij
hk
n
jhkij
hk
n
ihkij
n
jij
n
iij
n
i
n
i
n
j
n
ihh
n
jkk
hkijhkij
n
jijij
,,,0
,,
,,
1
1
s.c.
min
1
1
1
1
1 1 1 1 11
PL initial
PL de Resende, Ramakrishnan, Drezner 9514
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01
,
,,,0
1
1
,,
,,
1
1
s.c.
min
1 1
1 1
1
1
1
1
1 1 1 1 11
Yx
x
Njixy
Nkhjiy
Niy
Njy
Nkhixy
Nkhjxy
Nix
Njx
yqxq
t
ijijij
hkij
n
j
n
kikij
n
i
n
hhjij
hk
n
jhkij
hk
n
ihkij
n
jij
n
iij
n
i
n
i
n
j
n
h
n
khkijhkij
n
jijij
≽
SDP initial
15
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Propriété de SDP initial
SB atteint solution quasi-optimale en assez peu d ’itérations
Spectral Bundle method (Helmberg)
Ex: Nug20. valeur optimale de SDP initial = 2503 (~15h)
en 1h30 valeur atteinte = 2492 > borne de Rendl-Sotirov
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Quelques résultats numériques
PL
SDP
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Comparaison des approches au niveau temps de calcul
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Synthèse des résultats numériques
CPLEX9.0 pour PLsur Pentium IV
PL initial (Resende, Ramakrishnan, Drezner 95) SDP initial
SB method pour SDP
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L ’ajout des coupes accélère la résolution du SDPmeilleure convergence de SB
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Conclusion
• Ajout des coupes – améliore les relaxations classiques PL et SDP
au niveau de la borne– améliore la relaxation classique SDP au niveau
du temps de calcul
• Travaux futurs– attaquer problèmes plus gros n>30– améliorer le démarrage à « chaud » en SDP
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FIN
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Linéarisation produit (Adams, Sherali 86)
• remplacer produit xixj par une variable wi,j
(1) w i,j 0 (1i<jn)
(2) xi - wi,j 0 (1i<jn)
(3) xj - wi,j 0 (1i<jn)
(4) 1 - xi - xj + wi,j 0 (1i<jn)
• multiplication des contraintes par xi (1in)1j<in Aj wj,i + 1i<jn Ajwi,j (b- Ai) xi
• multiplication des contraintes par 1 - xi (1in)1j<in Aj (xj - wj,i ) + 1i<jn Aj(xj - wi,j ) b (1 - xi)
24
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(Pb) min xtQx + ctxs.c. xtAix + di
t x = bi iIai
t x = bi i{1,…,p}
Problème en 0-1xi
2 - xi = 0 i{1,…,n}
25
Relaxation lagrangienne de (Pb) = dual de (SDP)(Lemaréchal, Oustry 99)
Relaxation semi-définie
(SDP) min QX + ctx s.c. AiX + di
t x = bi iIai
t x = bi i{1,…,p}X ≽ x xt
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Recherche d’ inégalités valides violées
Soit i, h, l 3 indices de lignes et {j}, C={c} indices de colonnes,
trouver A, B,{j}, une partition des indices de colonnes et C B
Exemple: n=5, i=2, h=4, l=3, j =1, C={3}
26
45**44**42**3321 yyyy
453443343421 yyy
443543353521 yyy
45**44**42213321 yyyy
45**443342213321 yyyy
4533443342213321 yyyy
422142**42334221 yyyy
443344**44334421 yyyy
453345**45334521 yyyy
45344334
453344334221
3421
3321
yy
yyy
y
y
On a A={2} maintenant on va compléter C ={3}
Finalement C={3,4}
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1 2 3 4 5
12345
11
0 0
1 2 3 4 5
12345
11
0 0
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01
Yx
xt
0
1
22212
12111
21
yyx
yyx
xx
≽
≽
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L ’ajout des coupes accélère la résolution du SDPmeilleure convergence de SB
had14
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