juan carlos sanchez monreal febrero 2016 · cap´itulo 1. radiacion del cuerpo negro´ 6 figura...

Precuantica

Juan Carlos Sanchez Monreal

Febrero 2016

Indice general

1. Radiacion del cuerpo negro 21.1. Radiacion termica: Ley de Kirchhoff. Concepto de cuerpo negro. . . . . . . . . 21.2. Modelos experimentales de cuerpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Leyes de radiacion del cuerpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Formula de Rayleigh-Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5. Formula de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6. Teorıa de Planck del cuerpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7. Pirometro optico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8. Bibliografıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

A. Mecanica Estadıstica Clasica 16A.1. Ley de Distribucion de Maxwell-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

A.1.1. Funcion de particion y valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22A.1.2. Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

B. Demostraciones 26B.1. Radiacion del cuerpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

C. Multiplicadores indeterminados de Lagrange 33

D. Analisis Dimensional 35D.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35D.2. Sistema de unidades coherente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36D.3. Concepto de dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37D.4. Teorema de Pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

D.4.1. Metodo para formar los monomios Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

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Capıtulo 1

Radiacion del cuerpo negro

Aparecieron a finales del S. XIX una serie de desajustes entre las previsiones teoricas clasi-cas y la experiencia. Por ejemplo, los espectros de lınea en el rango de las longitudes de ondavisibles o la disminucion con la temperatura del calor molar1 de los solidos.

Del estudio de la emision de radiacion por determinados cuerpos en equilibrio termicosurgio en primer lugar la idea crucial de discretizacion (cuantificacion) de la energıa, la cual,posteriormente, se amplio a otras magnitudes y sistemas fısicos, generandose ası un cambiotrascendental en nuestra concepcion del mundo fısico.

1.1. Radiacion termica: Ley de Kirchhoff. Concepto de

cuerpo negro.

Los cuerpos solidos calentados a temperaturas suficientemente elevadas se vuelven incan-descentes, es decir, emiten radiacion en el rango de frecuencias correspondiente al espectrovisible. Por ejemplo, en un horno, conforme se va calentando una barra de hierro, su colorpasa de ser rojo oscuro a amarillo claro, e incluso, a muy altas temperaturas, presenta un tonoblanco azulado. Esto no significa que a temperaturas ordinarias (300 K) los cuerpos no radien,sino que en realidad lo hacen principalmente con frecuencias mas alla del infrarrojo. De hecho,incluso a temperaturas elevadas (≥ 1000 K), la mayor parte de la radiacion emitida por uncuerpo resulta invisible para el hombre. Es importante senalar que los cuerpos no incandescen-tes (los que observamos comunmente en nuestra vida diaria) pueden verse no por la luz queemiten, sino por la que reflejan: basta recordar que en una habitacion totalmente a oscuras noes posible ver ningun objeto a menos que se le caliente. Ası, si en un cuarto sin luz encendemosuna estufa, al poco tiempo la resistencia alcanzara el tono rojizo caracterıstico, haciendosevisible ella misma e iluminando ademas el resto de la habitacion, en este caso por reflexion dela radiacion emitida en los diversos objetos y paredes. A esta energıa electromagnetica emitida

1Se denomina calor molar de una sustancia a la cantidad de calor que es necesario comunicar a un molde dicha sustancia para elevar 1 K su temperatura. Para temperaturas altas el calor molar de los solidos secomportaba experimentalmente segun las leyes de la mecanica estadıstica clasica, pero esta no era capaz deexplicar sus disminucion con la temperatura.

2

CAPITULO 1. RADIACION DEL CUERPO NEGRO 3

por los cuerpos como consecuencia de su temperatura la denominaremos radiacion termica.Dicha radiacion presenta una distribucion espectral continua, cuya forma concreta depende dela temperatura establecida.

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Consideremos una cavidad vacıa cuya superficie in-terior es perfectamente reflectante, en la cual colo-camos un cuerpo aislado termicamente de las pa-redes de dicha cavidad, por ejemplo, que se en-cuentra suspendido de un alambre muy delgado noconductor. Ademas que las paredes de la cavidadse mantienen a temperatura constante, emitiendola correspondiente radiacion termica.

Si sobre el cuerpo incide radiacion, parte de esta sera reflejada, mientras que el resto pe-netrara en su interior. De esta ultima una fraccion volvera al exterior mediante transmisionsimple o tras multiples reflexiones internas, y otra parte sera absorbida y transformada encalor. Este calentamiento hace que el cuerpo a su vez emita radiacion, que se distribuira por lacavidad y se reflejara sobre las paredes. Se establece, por tanto, un intercambio energetico entreel cuerpo y la cavidad exclusivamente por radiacion, ya que no pueden tener lugar procesos deconduccion o conveccion al no existir sustrato material entre el cuerpo y las paredes del recin-to. Finalmente se alcanzara el equilibrio termico cuando el cuerpo emita la misma cantidad deenergıa que absorbe. En tal caso, la temperatura del cuerpo sera igual a la temperatura de lasparedes de la cavidad.

Definicion 1.1 (Radiacion termica).Es la energıa electromagnetica emitida por los cuerpos como consecuencia de su temperatura.Dicha radiacion presenta una distribucion espectral continua.

Definicion 1.2 (Irradiancia espectral Iν).Es la potencia de la radiacion termica incidente sobre el cuerpo, por unidad de area en elintervalo de frecuencias [ν, ν + dν].

Definicion 1.3 (Poder absorbente aν).Es la fraccion de Iν que el cuerpo absorbe.

Definicion 1.4 (Radiancia espectral2 Rν).Es la potencia de la radiacion termica que el cuerpo emite por unidad de area con frecuenciacomprendida entre [ν, ν + dν].

En el equilibrio se cumple queRν = aνIν

2Tambien se puede llamar emitancia expectral.


Si suponemos que existe un cierto numero de cuerpos dentro de una cavidad con un poderabsorbente diferente. Cuando se alcance el equilibrio, y considerando que Iν no cambia, ya quees el mismo para todos los cuerpos ya que se trata de la radiacion contenida en la cavidad, nosquedara

Iν =R1ν

a1ν=

R2ν

a2ν= . . . (Ley de Kirchhoff) (1.1)

Esta ley de Kirchhoff nos dice, que para cada frecuencia el cociente entre la potencia emitidapor unidad de area y el poder absorbente es, en el equilibrio,el mismo para todos los cuerpos,e igual a la irradiancia de la radiacion termica dentro de la cavidad. Aunque Iν varıa con latemperatura, la ley de Kirchhoff es valida siempre.

Esta ley implica que un buen absorbente es tambien un buen emisor y a la inversa. Recıpro-camente, un buen reflector sera un mal absorbente. Esta es la razon por la que las paredesinteriores de los termos se construyen espejadas.

A los absorbentes perfectos (aν = 1) se les denomina cuerpos negros. Es decir, Rν = Iν .

Un cuerpo negroa puede construirse practicando un pe-queno orificio en una cavidad cerrada mantenida a tem-peratura constante. La radiacion que, procedente del ex-terior, incida sobre dicho orificio penetrara en la cavidad,siendo absorbida por las paredes de esta tras sucesivasreflexiones internas. Si el tamano del agujero es muchomas pequeno que el area total de dichas paredes, la pro-babilidad de que esta radiacion vuelva a salir al exteriorpodra considerarse despreciable. El orificio se compor-tara como un absorbente perfecto. De esta forma, la ra-diacion termica emergente hacia el exterior procedentede dicho agujero sera espectralmente identica a la de uncuerpo negro.

aUn ejemplo aproximado de cuerpo negro sera cualquier objetopintado con una capa mate de negro de humo.

La densidad espectral de energıa electromagnetica ρν(T ), contenida en la cavidad, atemperatura absoluta T , se puede expresar de la siguiente forma

Rν(T ) =c

4ρν(T ) =⇒ R(T ) =

∫

∞

0

Rν(T )dν =c

4

∫

∞

0

ρν(T )dν =c

4ρ(T ).

Valida esta ecuacion para cualquier cuerpo negro en equilibrio termico.

La densidad espectral de energıa ρν de la radiacion termica en el interior de una cavidadque contiene diversos cuerpos es totalmente independiente de las propiedades y de la formade dichos cuerpos (entre los que deben incluirse las propias paredes del recinto). Por ello, elespectro de radiacion emitida por un cuerpo negro en equilibrio termico posee caracterısticas


Figura 1.1: Emitancia espectral del cuerpo negro. Observese que los maximos de radiacion se desplazan hacialas altas frecuencias conforme aumentamos la temperatura. Al mismo tiempo, la radiancia total (area bajo lascurvas) aumenta muy rapidamente con T .

universales3.

Las magnitudes Rν y ρν son funciones universales, dependientes unicamente de la frecuenciay de la temperatura absoluta.

1.2. Modelos experimentales de cuerpo negro

En 1899, aun no se conocıa la expresion analıtica exacta de Rν(T ), sin embargo, las medidasprecisas de O. Lummer y E. Pringsheim mostraron la forma de esta funcion. En la Figura 1.1se ha representado la emitancia espectral de un cuerpo negro en funcion de la frecuencia paradiferentes valores de la temperatura.

.El modelo de cuerpo negro utilizado por Lummer y Pringsheim esta esquematizado en la

Figura 1.2

Esta formado por un recipiente metalico de dobles paredes. El espacio entre las paredessirve para mantener una temperatura uniforme prefijada mediante el transito de vapor deagua o, para bajas temperaturas, llenandolo, por ejemplo, con aire lıquido. Precisamente laconsecucion de una temperatura estable y uniforme es una de las principales dificultades detipo practico con que nos enfrentamos al tratar de disenar un modelo experimental de cuerponegro.

3La razon de esta independencia se apoya en el II Principio de la Termodinamica.


Figura 1.2: Esquema simplificado del modelo experimental de cuerpo negro empleado por Lummer y Prings-heim. Las flechas indican la circulacion del aire gaseoso.

1.3. Leyes de radiacion del cuerpo negro

En 1893, W. Wien probo, empleando argumentos termodinamicos rigurosos que ρν podrıaescribirse de la forma:

ρν(T ) ≡ ρ(ν, T ) = ν3f( ν

T

)

(1.2)

donde la funcion f(

νT

)

no se deducıa explıcitamente.

Si se dispone de la densidad de energıa para una cierta temperatura T1 (por ejemplo,obtenida experimentalmente), se puede determinar la funcion ρ(ν, T ) para cualquier otratemperatura4.

ρ(ν2, T2) =

(

T2

T1

)3

ρ(ν1, T1) con ν2 =T2ν1T1

.

A partir de esta ultima ecuacion, se obtuvo la conocida ley de Stefan-Boltzmann, enunciadapor primera vez en 1879. La constante σ se le denomina constante de Boltzmann.

R(T ) = σT 4 (Ley de Boltzmann) (1.3)

σ = 5, 67 · 10−8 Wm2K4 .

La ley de Boltzmann nos indica que la cantidad total de energıa radiada por un cuerponegro en equilibrio termico aumenta con la cuarta potencia de su temperatura absoluta.

4Demostracion: ρ(ν2, T2) = ν32 f

(

ν2

T2

)

= ν32 f

(

ν1

T1

)

=T 32

T 31

ν31 f

(

ν1

T1

)

=

(

T2

T1

)3

ρ(ν1, T1).


λmaxT = constante (Ley de desplazamiento de Wien) (1.4)

La constante que aparece en la Ley de desplazamiento de Wien, tiene el siguiente valor:

constante = 2, 898 · 10−3 mK.

La era de la fısica cuantica surge en la necesidad de obtener una expresion analıtica exactade ρ

(

νT

)

que concuerde con los experimentos.

1.4. Formula de Rayleigh-Jeans

La teorıa cinetica clasica considera la temperatura de un gas como una medida de la energıapromedio de las moleculas que lo integran. Este se desprende del teorema de equiparticion de laenergıa, el cual asigna a cada grado de libertad de una molecula una energıa cinetica promedioigual a 1

2kBT , donde kB es la llamada constante de Boltzmann5. Este resultado se justifica

en mecanica estadıstica y es valido para sistemas en equilibrio termodinamico. Es tambienaplicable a un sistema de entes identicos en equilibrio.

Rayleigh fue el primero en usar el teorema de equiparticion en el calculo de la densidad deenergıa electromagnetica en el interior de una cavidad cerrada.

La densidad espectral de energıa ρ(ν, T ) de la radiacion en equilibrio termico con las paredesde una cavidad valdra

ρ(ν, T ) =8πν2

c3kBT (Formula de Rayleigh-Jeans) (1.5)

para la distribucion espectral de energıa del cuerpo negro.

kB : Constante de Boltzmann. (kB = 1, 38 · 10−23 J

K)

A bajas frecuencias dicha expresion guarda un buen acuerdo con los experimentos, pero aaltas frecuencias no concuerda. P.S. Ehrenfest, denomino a este hecho, la catastrofe ultra-violeta de la teorıa clasica de la radiacion, en alusion a la enorme divergencia para frecuenciasen el rango del ultravioleta y superiores.

La dependencia cuadratica con la frecuencia predice una cada vez mayor cantidad de energıaradiada conforme aumentamos la frecuencia. Esto comportarıa, por ejemplo, que serıamos abra-sados por la radiacion de rayos X emitida por cualquier horno o pedazo de hierro incandescente,lo cual, evidentemente, no ocurre.

5La constante kB esta relacionada con la constante R de los gases perfectos y con el numero de AvogadroNA mediante la relacion kB = R

NA.


Figura 1.3: Comparacion de las previsiones de la formula de Rayleigh-Jeans con los resultados experimentales(catastrofe ultravioleta).

La fısica clasica resulto incapaz de proporcionar una explicacion rigurosa o incluso cualita-tiva del espectro de radiacion del cuerpo negro, y la determinacion de la forma explıcita de lafuncion f

(

νT

)

de la Ley de Wien siguio siendo un problema abierto. La formula de Rayleigh-Jeans puede obtenerse, salvo constante de proporcionalidad, mediante analisis dimensional6.

1.5. Formula de Planck

En 1896 Wien propuso una expresion de tipo exponencial para la funcion f(ν/T )

f( ν

T

)

= αe−βνT (1.6)

donde α, β eran constantes independientes de ν a ajustar con los datos experimentales. Estaecuacion fue deducida por Wien admitiendo que la distribucion espectral de la radiacion delcuerpo negro era analoga a la distribucion de Maxwell para las velocidades de las moleculasde un gas. Aunque la concordancia con los experimentos era buena para frecuencias elevadas,sin embargo, las discrepancias se hacıa evidentes en el resto del espectro. Fue Planck quien, en1900, dio el paso decisivo en la obtencion de la formula correcta de f(ν/T ).

En su modelo de cuerpo negro, Planck asimilo los atomos que constituıan las paredes de lacavidad a cargas moviendose como osciladores lineales, las cuales interaccionaban, intercam-biando energıa, con la radiacion termica existente en el interior de dicha cavidad. Esto encajabaperfectamente con la electrodinamica clasica y la teorıa de la emision y absorcion de radiacionpor dipolos oscilantes desarrollada por Hertz7.

De hecho, igualando las tasas de emision y absorcion de los osciladores elementales de

6Ver Apendice (B.1):Demostracion dimensional de la formula de Rayleigh-Jeans7Buscar: Teorıa de la emision y absorcion de radiacion por dipolos oscilantes de Hertz.


Planck, este dedujo la siguiente expresion para ρ(ν, T )

ρ(ν, T ) =8πν2

c3E(ν, T ),

donde E(ν, T ) representa la energıa promedio de tales osciladores. La frecuencia que apareceen esta ultima ecuacion posee un doble significado fısico: por un lado puede interpretarse co-mo la frecuencia de vibracion de los osciladores de la pared, y por otro, como la frecuenciacorrespondiente a uno de los modos de radiacion. En este sentido tengase en cuenta que elconcepto generalizado de oscilador (monodimensional) se refiere a cualquier sistema fısico cuyacoordenada generalizada sea una funcion sinusoidal del tiempo8.

Basandose en ecuaciones fundamentales de la Termodinamica, y haciendo uso de la formula(1.6), Planck comprobo que se cumplıan las siguientes relaciones en los casos lımites de las altasy bajas frecuencias:

d2S

dE2∝ 1

E(altas frecuencias).

d2S

dE2∝ 1

E2(bajas frecuencias).

S: Entropıa de los supuestos osciladores.

El concepto de entropıa fue introducido por Clausius en 1865. Se trata de una magnitudcaracterıstica del estado del sistema cuyo valor depende de las variables que especificandicho estado (presion, volumen, etc). En Termodinamica de los procesos reversiblesse define en forma infinitesimal como dS = dQ

T, donde dQ denota la variacion de calor

involucrada en el proceso. En una transformacion irreversible siempre se cumpledS > dQ

T. La entropıa representa el contenido de transformacion de un cuerpo. De hecho,

del segundo principio de la termodinamica se desprende que las transformaciones en lanaturaleza (irreversibles) comportan siempre un aumento de entropıa. Dicho aumentopuede servir como medida de la perdida global de orden (o aumento de desorden) queacompana a los procesos naturales.

Se obtuvo9 la siguiente expresion para la funcion f(ν, T )

f(ν, T ) =1

eAνT − 1

A: Constante. (Se obtiene por ajuste).

El acuerdo de esta formula con los precisos datos experimentales obtenidos en 1900 porRubens y Kurlbaum fue completo. Desde entonces, todas las comprobaciones experimentalesposteriores confirmaron la extraordinaria bondad de esta ecuacion. Sin embargo, no por ellodejaba de ser una formula empırica, determinada mediante tanteo.

8Por coordenada generalizada se entiende cualquier magnitud capaz de describir la situacion instantanea deloscilador. Ası, la distancia a la posicion de equilibrio en el caso de un muelle, el angulo de giro si se trata de unpendulo, o la amplitud del campo electrico en el caso de un modo de radiacion, son ejemplos de coordenadasgeneralizadas correspondientes a sistemas equivalentes oscilatorio-armonicos.

9Para ver la obtencion de dicha expresion: ver [1], p.44.


1.6. Teorıa de Planck del cuerpo negro

En su deduccion de la funcion ρ(ν, T ) Planck abandono la termodinamica y se apoyo en lainterpretacion estadıstica del concepto de entropıa, que habıa sido introducida por Boltzmannanos atras. Su argumentacion puede resumirse como:

Supongamos que las paredes de la cavidad que conforma el cuerpo negro contienen Nosciladores, cuya energıa promedio y entropıa promedio son, respectivamente E y S. En talcaso, la energıa y la entropıa totales, ET y ST del conjunto de osciladores, esto es, de las paredesde la cavidad, valdran10:

ET = NE ST = NS.

De acuerdo con el formalismo de Boltzmann:

ST = kB logW (1.7)

W : Es una cierta funcion probabilıstica que mide el numero de formas en que la energıatotal del sistema de osciladores, supuesta fija, puede distribuirse energeticamente entre los os-ciladores individuales.

A un mismo estado macroscopico le pueden corresponder, evidentemente, un gran numerode situaciones microscopicas diferentes. A este numero le hemos designado por W . Si admiti-mos entonces que todos los estados microscopicos asociados a un cierto estado macroscopicoson igualmente probables, entonces la cantidad adimensional W es un ındice de la probabili-dad relativa de ocurrencia del mencionado estado macroscopico respecto del resto de estadosmacroscopicos posibles. En otras palabras, cuanto mayor sea el numero de combinaciones deestados microscopicos que dan lugar a un cierto estado macroscopico, tanto mas probable seraeste.

Basandonos en lo anterior, puede enunciarse la hipotesis fundamental de la mecanica es-tadıstica, a saber, que todo sistema evoluciona espontaneamente hacia el estado en el cual Wes maxima. A partir de este principio, no es difıcil inferir que la W maxima se alcanza en losestados macroscopicos correspondientes al equilibrio. Por otro lado, es bien conocido en termo-dinamica que la entropıa siempre aumenta en las transformaciones naturales, siendo maximaen la situacion de equilibrio. De ambos hechos parece desprenderse la consecuencia de que laentropıa S y la probabilidad W deben guardar una estrecha relacion11.

Para distribuir de forma facilmente evaluable la energıa total entre los osciladores, supon-dremos, al menos en principio, que ET es un multiplo de una cantidad discreta de energıa que

10La entropıa, al igual que la energıa, la masa o la carga electrica entre otras, es una variable extensiva, esdecir, aditiva respecto de las partes de un sistema. Otras magnitudes como la temperatura o la densidad nogozan de esta propiedad, y suelen denominarse intensivas.

11La ecuacion (1.7). Ver demostracion en el Apendice (B.1). Un aumento de ambas magnitudes indicaraun mayor grado de desorden. Esta ecuacion constituye el nexo de union entre los sistemas macroscopicos y elmundo atomico subyacente.


designaremos por ǫ.ET = nǫ.

Tras realizar una serie de calculos12, obtenemos:

E(ν, T ) =ǫ

eǫ

kBT − 1. (1.8)

E: Energıa promedio.

Aunque esta ultima ecuacion se ha deducido en la hipotesis de que las paredes de la ca-vidad estan constituidas por osciladores armonicos, sin embargo, recordando el argumentotermodinamico de Kirchhoff, el valor de la energıa promedio E que obtengamos finalmentesera correcto con caracter general.

Esta ecuacion debe ser compatible con la ley de Wien y con la expresion general

ρ(ν, T ) =8πν2

c3E(ν, T ),

es decir, la energıa E debe ser de la forma

E(ν, T ) =c3

8πνf( ν

T

)

.

De esta ecuacion, y de la ecuacion (1.8) se infiere que ǫ ∝ ν =⇒ ǫ = hν.h: Constante de Planck (h = 6, 626 · 10−34 J · s).

La expresion anterior constituye la ecuacion fundamental que marca el inicio del desarrollode la teorıa cinetica.

En ella se pone de manifiesto de forma evidente el caracter discreto de la energıa de unsistema fısico oscilatorio armonico. Cada uno de los osciladores elementales podrıa tener a losumo n unidades indivisibles de energıa (cuantos de energıa) y como mınimo cero. Los valoresde la energıa que puede poseer un oscilador elemental seran, por tanto

En = nhν (n = 0, 1, 2, . . .).

Esta cuantificacion de la energıa de un sistema oscilatorio armonico es igualmente aplicable acualquier sistema oscilatorio armonico lineal generalizado, es decir, a cualquier sistema fısicocuya unica coordenada generalizada sea una funcion sinusoidal del tiempo.

Por lo que, la expresion de la energıa promedio E(ν, T ) queda

E(ν, T ) =hν

ehν

kBT − 1.

12Ver Apendice (B.1). Formula (1.8).


y la densidad espectral de energıa del cuerpo negro toma la forma:

ρ(ν, T ) =

(

8πν2

c3

)

hν

ehν

kBT − 1. (1.9)

Esta ultima ecuacion coincide con la formula semiempırica obtenida anteriormente por Planck.

Su comportamiento a bajas frecuencias sigue la formula propuesta por Rayleigh-Jeans.

ν −→ 0 =⇒ ehν

kBT − 1 ≃ hν

kBT=⇒ ρ(ν, T ) ≃ 8π

ν2kBT

c3.

Integrando ρ(ν, T ) para todas las frecuencias resulta la ley de Stefan-Boltzmann, en lacual la constante σ queda expresada ahora en terminos de kB y h.

ρ(ν, T ) =8πν2

c3hν

ehν

kBT − 1, R(T ) = σT 4, I ≡

∫

∞

0

z3 dz

ez − 1=

π4

15

R(T ) =c

4

∫

∞

0

ρ(ν, T ) dν =2πh

c2

∫

∞

0

ν3

ehν

kBT − 1dν =⇒ σ =

2π5k4B

15c2h3

Hallando el maximo de la funcion ρ(ν, T ), se encuentra la ley de desplazamiento de Wien,cuya constante puede obtenerse explıcitamente a partir de los valores de h y kB.

c = λν, dν =−c

λ2dλ, α ≡ hc

kBTλmax

,

ρ(ν, T )dν = ρ(λ, T )dν

dλdλ ≡ ρ(λ, T )dλ =⇒ ρ(λ, T ) =

8πhc

λ5

1

ehc

kBTλ − 1,

dρ(λ, T )

dλ= 0 =⇒ (5− α)eα − 5 = 0 =⇒ α ≃ 4, 96511.

De la definicion de α tenemos

Tλmax =hc

kBα= constante (Ley de Wien).

Cuando h −→ 0, la ecuacion (1.9) tiende a la formula clasica de Rayleigh-Jeans los efectosde la cuantificacion de la energıa se haran mas evidentes cuando se consideran situaciones fısi-cas que involucren cantidades de energıa del orden de hν. Esto ocurrira cuando la energıa delsistema sea muy pequena o nos encontremos en el rango de las altas frecuencias, como sucedecon el cuerpo negro. El postulado de Planck acerca de la cuantificacion de la energıa es de


validez universal, incluso en situaciones perfectamente macroscopicas.

El valor medio de cualquier propiedad F (E) es

〈F 〉 ≡ 1

Z∑

i=1

F (Ei)e−

EikT ,

suponiendo cierta la estadıstica de Maxwell-Boltzmann13, con la funcion de particion

Z =∑

i=1

e−EikT ,

donde todos los estados se pueden dar con la misma probabilidad (gi = 1, ∀i)

〈E(ν, T )〉clas =

∫

∞

0

dE E e−

EkBT

∫

∞

0

dE e−

EkBT

= kBT. (Energıa media).

Lord Rayleigh calculo el numero de modos normales N(ν) por unidad de volumen y fre-cuencia, para la radiacion electromagnetica en una cavidad cerrada14.

N(ν) =8πν2

c3=⇒ ρν(T ) = N(ν)kBT =

8πν2

c3kBT.

Pero Planck, en una comunicacion al Congreso de Solvay de 1911, mostro como la estadısticaclasica debıa ser modificada. Postulo que la energıa de cada modo normal de vibracion delcampo electromagnetico en una cavidad no es una variable continua, sino que unicamentepuede tomar los valores E = nhν, (n ∈ N), siendo ν la frecuencia del modo normal.

〈E(ν, T )〉Planck =

∞∑

n=0

nhν e−

nhνkBT

∞∑

n=0

e−

nhνkBT

= KBThνkBT

ehν

kBT − 1(1.10)

ρν(T ) = N(ν)〈E(ν, T )〉Planck =8πν2

c3hν

ehν

kBT − 1(Ley de Planck)15.

lımh−→0

ρPlanck

ν (T ) = ρclasico

ν (T ).

La finitud de h conlleva a la discretizacion de la energıa para cualquier sistema de osci-ladores armonicos. Ningun oscilador, puede absorber o emitir energıa en un rango continuo,sino unicamente de manera discontinua mediante incrementos de valor hν (ν: frecuencia de

13Ver Apendice (A)14La demostracion se puede ver en el Apendice (B.1): Formula de Rayleigh-Jeans.15Ver demostracion en el Apendice (B.1): Ley de Planck


oscilacion). Los efectos de la cuantificacion de la energıa se haran mas evidentes cuando seconsideren situaciones fısicas que involucren cantidades de energıa del orden de hν.

Planck introdujo el concepto de energıa cuantificada en sistemas oscilatorios-armonicos. Loscuerpos negros se pueden tomar como un sistema de osciladores armonicos, que absorben yemiten energıa de forma cuantificada (E = nhν) en la misma proporcion. Estos osciladores sonlos que proporcionan la ρν(T ) de la cavidad resonante. La fuerza de la suposicion de Planck(que revoluciono la fısica) es su confirmacion experimental, aunque no se entienda realmentebien los fundamentos de su postulado, es el comienzo de la fısica no intuitiva.

Ejemplo 1

Un pendulo constituido por una bola de masa 1 kg suspendida de una cuerda de masa desprecia-ble y 1 m de longitud, ejecuta oscilaciones armonicas. Si mediante algun mecanismo (por ejemplo,efectos de friccion) la energıa del pendulo se va reduciendo lentamente, ¿cual es el decrecimiento mıni-mo que puede sufrir el pendulo en su energıa? Comparar con el valor maximo de su energıa potencial,si el angulo maximo θ que forma el pendulo con la vertical es θ0 = 10◦.

−mg sin θ = PT = maT = mLθ =⇒ −g sin θ = Lθ.

Si suponemos pequenas oscilaciones sin θ ≃ θ, tenemos:

θ +g

Lθ = 0 =⇒ θ(t) = A sin

(√

g

Lt+ ϕ

)

, (A,ϕ : constantes).

Como es una solucion armonica:

ω =

√

g

L=⇒ 2π

T= 2πν =

√

g

L=⇒ ν =

1

2π

√

g

L.

∆E = hν =⇒ ∆E = ~

√

g

L, ∆E = 3, 3012 · 10−34 J.

ET = Emaxp = mg(L− L cos θ0), ET = 0, 14888 J.

Como se observa la energıa total del sistema, al compararla con ∆E, se desprende que la discretizacion

de la energıa es completamente inobservable con respecto a su energıa total macroscopica.

1.7. Pirometro optico

La idea basica de un pirometro optico consiste en comparar el color de la radiacion emiti-da por un cuerpo negro a temperatura conocida y variable a voluntad con el de otro cuerponegro cuya temperatura desconocemos. Cuando se produzca la igualacion de colores podraconcluirse que ambos cuerpos negros se encuentran a la misma temperatura. En la mayorıa delos pirometros opticos se emplea el ojo humano como detector. Esto restringe su utilizaciona temperaturas lo bastante elevadas como para emitir dentro del rango visible con suficienteintensidad. Por otro lado, el color esta estrechamente relacionado con una sensacion visual,la cual depende del observador, del entorno visual, etc. Por ultimo, no todos los cuerpos deinteres en termometrıa pueden ser considerados cuerpos negros ideales, lo que hace que deban


Figura 1.4: Esquema simplificado de un pirometro optico.

incluirse las oportunas correciones en los metodos de calibracion y medida.

Pese a estos incovenientes, los pirometros opticos son de utilidad, y resultan especialmenteadecuados en la determinacion de la temperatura de hornos.

Si nos fijamos en la figura del esquema del pirometro optico, en el plano imagen del objetivode un anteojo situamos una lampara con filamento de wolframio que se calienta mediante unacorriente controlada cuidadosamente a traves de un potenciometro de precision. La temperaturadel filamento estara calibrada en funcion de la tension aplicada. La temperatura del horno sedetermina entonces enfocando la radiacion emergente de la boca del horno sobre el plano dela lampara y variando la corriente aplicada al filamento, de manera que este desaparezca alconfundirse su color con el de la imagen de la boca del horno.

1.8. Bibliografıa

El libro que he tomado como referencia ha sido [1]. Para los apendices de multiplicadoresde Lagrange (pag. 592) y la estadıstica de Maxwell-Boltzmann (pag. 446-458) han sido sacadosdel libro [2]. La demostracion de la energıa media en la Ley de Planck (formula (1.10)) fuetomada de [3] (pag. 17,18), y los comentarios que se hacen junto a dicha ecuacion (1.10) vienendados de [4].

Se han hecho pequenas modificaciones de los textos tomados, pero en su mayorıa he con-servado la redaccion de los mismos. La ordenacion de los apartados vienen influenciados de lareferencia [1]. Los problemas provienen de los libros: [1] (pag. 51,52), [5] (pag. 15-22), [3] (pag.22-25), [6] (pag. 1-4). Salvo los del libro [3] todos los demas problemas vienen resueltos.

Apendice A

Mecanica Estadıstica Clasica

La Mecanica Estadıstica en la extension de los principios de la Mecanica a sistemas demuchas partıculas, enfatizando los metodos utilizados para obtener propiedades colectivas omacroscopicas del sistema, sin considerar el movimiento detallado de cada partıcula1.

Es necesario un tratamiento estadıstico de las propiedades macroscopicas de la materia.En un centımetro cubico de gas a temperatura y presion normales hay unas 3 · 1019 molecu-las. Es practicamente imposible a la vez que innecesario tener en cuenta el movimiento decada molecula en detalle para determinar las propiedades macroscopicas del gas, tales comosu presion o su temperatura. Pero para hacer un analisis estadıstico de un sistema con muchaspartıculas, tenemos que hacer una estimacion razonable acerca del estado dinamico de cadapartıcula, basada en las propiedades generales de las partıculas. Hacemos esa estimacion intro-duciendo el concepto de probabilidad de distribucion de las partıculas entre los diversosestados dinamicos en que pueden encontrarse. El concepto de probabilidad surge de nuestrometodo de estimar los estados dinamicos de las partıculas de un sistema, y no del mecanismopor el cual las partıculas del sistema se distribuyen en la naturaleza entre los posibles estadosdinamicos como resultado de sus interacciones.

Consideremos un sistema aislado compuesto de un gran numero N de partıculas,en el cualcada partıcula tiene a su disposicion varios estados de energıa E1, E2, . . .. En un instante dadolas partıculas estan distribuidas entre los diferentes estados, de modo que n1 partıculas tienenenergıa E1, n2 partıculas energıa E2, y ası sucesivamente. El numero total de partıculas es

N =∑

i

ni, (A.1)

y suponemos que permanece constante durante todos los procesos que ocurren en el sistema.La energıa total del sistema es

U =∑

i

niEi. (A.2)

1Incluye a las partıculas fundamentales, como el electron, o a las asociaciones de partıculas fundamentales,como los atomos o las moleculas.

16

APENDICE A. MECANICA ESTADISTICA CLASICA 17

Esta expresion de la energıa total del sistema supone implıcitamente que las partıculas nointeractuan (o que solo lo hacen ligeramente), por lo que podemos atribuir a cada partıculauna energıa que depende solamente de sus coordenadas.

Definicion A.1 (Tecnica del campo autocompatible).Cada partıcula esta sujeta a una interaccion promedio debida a las otras, teniendo una energıapotencial promedio que solo depende de sus coordenadas.

En un sistema aislado, donde su energıa total estara constituida por U =∑

i niEi, donde∑

i ni = N (numero de partıculas del sistema), Ei (energıa que tiene una partıcula i-esima)

Ei = E(i)c + E

(i)p ,

E(i)p : energıa potencial promedio utilizado en la tecnica del campo autocompatible y que solo

depende de sus coordenadas.

Si el sistema esta aislado, la energıa total U debe ser constante. Sin embargo, puede cambiarla distribucion de las partıculas (n1, n2, . . .) entre los estados disponibles de energıa (E1, E2, . . .)debido a sus interacciones y colisiones. Dada las condiciones fısicas del sistema de partıculas(el numero de partıculas, la energıa total y la estructura de cada partıcula) hay una particionmucho mas probable. Una vez alcanzada esta particion, se dice que el sistema esta en equili-brio estadıstico.

Un sistema en equilibrio estadıstico no se apartara de la particion mas probable (exceptopor fluctuaciones estadısticas) a no ser que sea perturbado por un agente externo. Esto significaque los numeros de particion {n1, n2, . . .} pueden fluctuar alrededor de los valores correspon-dientes a la particion mas probable sin que se produzcan efectos macroscopicos.

El problema clave de la Mecanica Estadıstica es hallar la particion (o Ley de distribucion)mas probable de un sistema aislado, dada su composicion. Una vez hallada la particion masprobable, el problema siguiente es idear metodos para obtener de dicha particion las propieda-des observadas macroscopicamente.

Actualmente se usan tres leyes de distribucion (tres estadısticas):

1. Distribucion de Maxwell-Boltzmann: (base de la Estadıstica Clasica).

2. Distribucion de Fermi-Dirac: (Estadıstica Cuantica).

3. Distribucion de Bose-Einstein: (Estadıstica Cuantica).

La Mecanica Estadıstica Clasica es el lımite de las dos estadısticas cuanticas.


A.1. Ley de Distribucion de Maxwell-Boltzmann

Consideremos un sistema compuesto de un gran numero de partıculas identicas y distin-guibles2.

Representamos una particion determinada {n1, n2, . . .}

E1 n1

E2 n2

E3 n3

...

Ei−1 ni−1

Ei ni

... ni: numero de partıculas que se encuentran enel nivel (i-esimo) de energıa Ei.

Cada lınea representa un estado particular deenergıa Ei y el numero de puntos indica el nume-ro ni de partıculas que hay en cada estado deenergıaa.

aHemos representado un ejemplo en el que su dis-tribucion de partıculas serıa: (n1 = 3, n2 = 0, n3 =2, . . .)

1a Suposicion: Todos los estados de energıa tienen la misma probabilidad de ser ocupa-dos. La probabilidad de una particion determinada es proporcional al numero de manerasdiferentes en que las partıculas pueden distribuirse entre los estados disponibles de energıapara producir la particion.

Vamos a obtener el numero de maneras diferentes3 en que se puede obtener una particiondada.

La expresion general del numero total de modos distinguibles diferentes de colocar n1

partıculas en el estado E1 es entonces4:

(

Nn1

)

=N !

n1!(N − n1)!.

Al pasar al segundo estado E2, solo disponemos de N − n1 partıculas para colocar n2

partıculas en el estado E2, por lo que

(

N − n1

n2

)

=(N − n1)!

n2!(N − n1 − n2)!.

2Por identicas entendemos que las partıculas tienen la misma estructura y composicion, y por distinguiblesentendemos que es posible distinguir, o decir cual es la diferencia, entre una partıcula identica y otra.

3Por diferentes queremos decir que los numeros {n1, n2, n3, . . .} son fijos, pero que las partıculas que hau encada estado son diferentes.

4Coincide con el numero de combinaciones de n1 partıculas que se pueden hacer de las N partıculas distin-guibles. El orden como esten situadas dichas partıculas no influye.


Y ası sucesivamente. El numero total de modos diferentes distinguibles de obtener la par-ticion {n1, n2, . . .} se obtiene multiplicandolas todas5

P ≡∏

j=1

N −∑

k<j

nk

nj

=

(

Nn1

)(

N − n1

n2

)

·. . .·(

N − n1 − n2 − . . .− ni−1

ni

)

·. . . = N !

n1!n2! · . . ..

2a Suposicion: La probabilidad de obtener esa particion es proporcional a P .

Hemos supuesto que todos los estados disponibles tienen la misma probabilidad de serocupados. En el caso en el que no ocurra esto, es decir, que los estados tenga probabilidadesintrınsecas gi diferentes.

gi: es la probabilidad de encontrar una partıcula en el nivel de energıa Ei.

La probabilidad de encontrar dos partıculas en un estado de energıa Ei serıa gi · gi = g2i .Entonces la probabilidad de encontrar ni partıculas en el nivel Ei es g

ni

i :

P = N !∏

i=1

gni

i

ni!=

N !gn11 gn2

2 · . . .n1!n2! · . . .

.

La probabilidad de una particion determinada en un sistema de N partıculas identicas ydistinguibles6:

P =N !gn1

1 gn22 · . . .

n1!n2! · . . ..

Para el caso de sistemas de partıculas identicas e indistinguibles, existen N ! formasdiferentes de permutar N partıculas en una estructura de N cajas. De ahı, que si las partıculasson indistinguibles, habran N ! formas identicas en la disposicion de las partıculas en los nivelesenergeticos con la misma particion:

P ′ ≡ P

N !=∏

i=1

gni

i

ni!=

gn11 gn2

2 · . . .n1!n2! · . . .

(A.3)

Nos da las diferentes formas que se distribuyen N partıculas identicas e indistinguibles enuna particion determinada (n1, n2, . . .). La expresion (A.3) es la expresion de probabilidad de

5 n0 ≡ 0.6 P ∝ P


una distribucion en la estadıstica de Maxwell-Boltzmann.

Podemos obtener el estado de equilibrio, que corresponde a la distribucion mas probable,determinando el maximo de P ′ ((A.3)) compatible con las condiciones (A.1) y (A.2) con Ny U constantes.

Proposicion A.1.La particion mas probable o de equilibrio en la estadıstica Maxwell-Boltzmann viene dada por

ni = gi e−(α+βEi) (A.4)

α,β: parametros que dependen de las propiedades fısicas del sistema.

Ejemplo 2

Un sistema esta compuesto de N = 4000 partıculas que pueden estar en uno de los tres niveles oestados de energıa igualmente espaciados cuyas energıas son {E1 = 0, E2 = ǫ, E3 = 2ǫ}, y que tienenla misma probabilidad intrınseca g. Comparar la probabilidad relativa de la particion en que hay{n1 = 2000, n2 = 1700, n3 = 300} partıculas, con la de la particion resultante de la transferencia dedos partıculas del nivel 2, una al nivel 1 y otra al nivel 3, proceso que es compatible con la conservacionde la energıa.

E1 = 0 n1

E2 = ǫ n2

E3 = 2ǫ n3

Utilizando la ecuacion (A.3), las probabilidades de la primera y segunda particion son

P1 =g4000

2000! 1700! 300!, P2 =

g4000

2001! 1698! 301!=⇒ P2

P1≃ 4, 8.

Entonces, la simple transferencia de dos partıculas de un total de 4000 a otros niveles, cambia laprobabilidad en un factor 4, 8. Esto significa que las particiones P1 y P2 estan lejos de ser la particionde equilibrio. Esto se debe a una poblacion excesiva en el nivel intermedio. Por lo tanto, el sistematratara de evolucionar hacia un estado en que el nivel intermedio (nivel 2) este menos poblado. Vamosa plantear dos opciones mas:

1. Cambiar dos partıculas del nivel 2 al nivel 1, y otras dos partıculas del nivel 2 al nivel 3:

P1 =g4000

2000! 1700! 300!, P ′

2 =g4000

2002! 1696! 302!=⇒ P ′

2

P1≃ 22, 85.


2. Poner dos partıculas mas en el nivel intermedio, una del nivel superior y otra del inferior:

P1 =g4000

2000! 1700! 300!, P ′′

2 =g4000

1999! 1702! 299!=⇒ P ′′

2

P1≃ 0, 21.

Ejemplo 3

Determinar la particion mas probable o de equilibrio para el sistema del ejemplo anterior.

El sistema esta compuesto de N = 4000 partıculas, y su energıa total es 1700ǫ+300(2ǫ) = 2300ǫ.Utilizando la expresion de la Proposicion (A.1) de la particion mas probable, y con gi ≡ g, (i = 1, 2, 3)

n1 = ge−α, n2 = ge−(α+βǫ), n3 = ge−(α+2βǫ); x ≡ e−βǫ,

tenemos entonces, n2 = n1x y n3 = n1x2. por lo que las condiciones (A.1) y (A.2) que dan

respectivamente el numero total de partıculas y la energıa total, se convierten en

n1 + n1x+ n1x2 = 4000, (n1x)ǫ+ (n1x

2)(2ǫ) = 2300ǫ

n1(x2 + x+ 1) = 4000, n1(x+ 2x2) = 2300.

Eliminando n1, obtenemos la ecuacion

47x2 + 17x− 23 = 0 =⇒ x ≃ 0, 5034 =⇒ {n1 ≃ 2277, n2 ≃ 1146, n3 ≃ 577} .

Calculemos el cambio que se produce en P cuando se saca dos partıculas del nivel intermedio yse transfieren una al nivel superior y otra al inferior

(n1, n2, n3) −→ (n1 + 1, n2 − 2, n3 + 1), P −→ P ′.

P =g4000

2277! 1146! 577!, P ′ =

g4000

2278! 1144! 578!=⇒ P ′

P≃ 0, 9966.

Por lo tanto, las dos probabilidades son esencialmente iguales como tenıa que ser, ya que si P esmaxima, ∆P debe ser cero o muy pequena para un cambio pequeno en los numeros de distribucionde una particion de equilibrio.

Si utilizamos la regla clasica de colocar electrones: para el nivel n entrarıa 2n2 electrones. Vamos asuponer los tres primeros niveles de energıa {E1 = ǫ, E2 = 2ǫ, E3 = 3ǫ}, y con la misma probabilidadintrınseca de ocupacion. Tendrıamos una particion {n1 = 2, n2 = 8, n3 = 18} de electrones. Si toma-mos x ≡ e−βǫ, su energıa total (que se conservarıa) serıa E = 72ǫ. A partir de aquı, obtendrıamos lasdos ecuaciones algebraicas

n1(x2 + x+ 1) = 28, n1(3x

2 + 2x+ 1) = 72 =⇒ x ≃ 2, 6942, n1 ≃ 2, 5563 =⇒

=⇒ n2 = n1x ≃ 6, 8874, n3 = n1x2 ≃ 18, 5563.


Redondeando los {n1, n2, n3} a numeros naturales proximos que conserve el numero de partıculastotales, tendrıamos:

n1 ≃ 3, n2 ≃ 6, n3 ≃ 19.

(n1, n2, n3) −→ (n1 − 1, n2 + 2, n3 − 1), P −→ P ′.

Vamos a calcular la ∆P de mi sistema ultimo (N = 28),

P =g28

3! 6! 19!, P ′ =

g28

2! 8! 18!=⇒ P ′

P≃ 1, 0178.

Cuando pasamos un electron del nivel 3 al 2, y del nivel 1 al 2, nos quedarıa la particion (n1 =

2, n2 = 8, n3 = 18); la probabilidad de que se de esta particion es casi la misma que la particion mas

estable (n1 = 3, n2 = 6, n3 = 19).

A.1.1. Funcion de particion y valor medio

Vamos a definir la funcion de particion (Z):

N =∑

i=1

ni =∑

i=1

gie−(α+βEi) ≡ e−αZ, Z ≡

∑

i=1

gie−βEi .

La ecuacion (A.4) se puede reescribir como

ni =N

Z gie−βEi (Ley de distribucion de Maxwell-Boltzmann).

La cantidad β esta relacionada con la energıa del sistema, o mas precisamente con la energıamedia de una partıcula.

Definicion A.2 (Valor medio).El valor medio (para una particion determinada) de una propiedad fısica F (E) expresable enfuncion de la energıa E de una partıcula, esta dado por

F =1

N

∑

i=1

niF (Ei),

y para la distribucion mas probable o de equilibrio tenemos

F =1

Z∑

i=1

gi F (Ei) e−βEi . (A.5)

Ejemplo 4

Si las partıculas de un sistema solo pueden estar en dos estados de energıa, E1 = +ǫ y E2 = −ǫ,ambos con igual probabilidad (g1 = g2 = 1), se tiene

Z = e−βE1 + e−βE2 = e−βǫ + eβǫ = 2cosh βǫ,


y la energıa media de una partıcula es

E =1

Z (E1e−βE1 +E2e

−βE2) = −ǫ tanh βǫ.

La energıa total esU = NE = −Nǫ tanhβǫ,

que nos permite hallar β en funcion de U .

A.1.2. Temperatura

El parametro β de la ecuacion (A.5) esta directamente relacionado con la temperatura. Laecuacion dimensional de β es necesario que sea

[β] = M−1L−2T 2, [β]SI = J−1.

es decir, unidades de energıa a la inversa.

Proposicion A.2.La energıa total de un sistema de partıculas en equilibrio estadısticos es

U = −Nd

dβ(lnZ),

que es una relacion importante entre la energıa total y la funcion de particion de un sistemaen equilibrio estadıstico. Entonces la energıa media de una partıcula es

E =U

N= − d

dβ(lnZ).

Demostracion:

U =∑

i=1

niEi =N

Z∑

i=1

giEie−βEi = −N

Zd

dβ

(

∑

i=1

gie−βEi

)

= −N

ZdZdβ

= −Nd

dβ(lnZ).

�

Definicion A.3 (Temperatura absoluta (T )).Dado un sistema fısico descrito por las gi y las Ei; la funcion de particion Z (y por tanto, laenergıa total U) y la energıa media E de una partıcula son funciones de β (y tambien de otrosparametros que determinan el estado macroscopico, como el volumen y la presion). Podemosusar, por lo tanto, el parametro β para caracterizar la energıa interna del sistema. Sin embargo,se ha encontrado que es mas conveniente introducir una nueva cantidad fısica en vez de β. Estacantidad se denomina temperatura absoluta, se designa con T y se define de la forma

kT =1

β. (A.6)

k: constante de Boltzmann. Su valor depende de la eleccion de las unidades de T .

k = 1, 3805 · 10−23 J K−1 = 8, 6178 · 10−5 eV K−1.


Queda pendiente demostrar que la temperatura que se ha definido aquı coincide con la tem-peratura medida con un termometro de gas. La unidad de temperatura kelvin (K) se introduceantes que se desarrollara la Mecanica Estadıstica.

La definicion estadıstica de temperatura dada en la ecuacion (A.6) solo es valida para unsistema en equilibrio estadıstico, por lo que, no se aplica a una sola partıcula o a un sistemaque no esta en equilibrio. La razon de esto es que el parametro β solo aparece en relacion conel calculo de la particion mas probable de un sistema, la cual corresponde por definicion alestado de equilibrio.

Si introducimos la temperatura en las expresiones anteriores, tendremos:

Funcion de particion: Z =∑

i=1

gie−EikT

No de ocupacion en el equilibrio: ni =N

Z gie−

EikT

Energıa total: U = kNT 2 d

dT(lnZ), (dβ = − 1

kT 2dT )

Energıa media por partıcula: E =U

N= kT 2 d

dT(lnZ)

La ecuacion de la energıa media por partıcula establece una relacion entre la energıa mediapor partıcula de un sistema en equilibrio estadıstico y la temperatura del mismo. La relacionexacta depende evidentemente de la estructura microscopica del sistema, expresada por lafuncion de particion Z, y es diferente para un gas ideal, un gas real, un lıquido o un solido.Podemos decir entonces que la temperatura de un sistema en equilibrio estadıstico es una can-tidad relacionada con la energıa media por partıcula del sistema, dependiendo dicha relacionde la estructura del sistema.

El valor medio de cualquier propiedad F (E) asociada con las partıculas

F =1

Z∑

i=1

giF (Ei)e−

EikT .

En el sistema compuesto de partıculas con energıas +ǫ y −ǫ, la energıa media de unapartıcula es

E = −ǫ tanh( ǫ

kT

)

.

A partir de ni =N

Z gie−

EikT , se ve que la ocupacion de los estados disponibles para las

partıculas disminuye a medida que aumenta la energıa. A temperaturas muy bajas, sololos niveles mas bajos estan ocupados; pero a temperaturas altas aumenta la poblacion


relativa de los niveles altos a expensas de la poblacion de los niveles bajos. La relacionentre los numeros de ocupacion de dos niveles de enegıa Ei y Ej es

nj

ni

=gjgie−

∆EkT ,

donde ∆E es la diferencia de energıa entre los dos niveles. Luego ni y nj solo son com-parables si ∆E es mucho menor que k.

Apendice B

Demostraciones

B.1. Radiacion del cuerpo negro

Ley de Boltzmann 1.3:

ρ(T ) =

∫

∞

0

ρ(ν, T ) dν =

∫

∞

0

ν3 f( ν

T

)

dν si hacemos el cambio de variable α ≡ ν

T

ρ(T ) = T 4

∫

∞

0

α3f(α)dα ≡ aT 4 =⇒ R(T ) =c

4ρ(T ) = σT 4, σ =

ac

4.

�

Ley de desplazamiento de Wien 1.4: La densidad de energıa en el intervalo de frecuencias [ν, ν+dν] vale ρ(ν, T )dν, por lo que esa misma energıa en el intervalo de longitudes de onda equivalente se escribiracomo ρ(λ, T )dλ, es decir

ρ(ν, T )dν = ρ(λ, T )dλ.

Comoν =

c

λ=⇒ |dν| = c

λ2dλ

y aplicando la formula de Wien tenemos

ρ(λ, T )dλ = ρ(ν, T )dν = ν3f( ν

T

)

dν =c4

λ5f

(

c

(λT )

)

dλ.

El maximo de dicha distribucion se alcanzara en el punto λmax para el cual se cumple

dρ(λ, T )dλ = 0, β ≡ c

λT=⇒ se obtiene para λmax, β

df(β)

dβ+ 5f(β) = 0. (B.1)

Resolviendo (B.1) obtendrıamos un cierto valor numerico de β. Entonces tomando ese punto como β0 ydeshaciendo el cambio de variable, tendrıamos

c

λmaxT= β0 =⇒ λmaxT = constante.

�

Formula de Rayleigh-Jeans 1.5: Como consecuencia de su temperatura, las paredes de la cavi-dad emitiran radiacion termica, la cual se reflejara sobre las mismas. El campo electromagnetico dentro de lacavidad puede descomponerse formalmente en ondas estacionarias de diferentes frecuencias, direccion y pola-rizacion. Son estas ondas los entes aludidos antes. Cuando se alcanza el equilibrio termico entre la radiaciony las paredes de la cavidad, la aplicacion del teorema de equiparticion nos da para la energıa media asociada

26

APENDICE B. DEMOSTRACIONES 27

Figura B.1: Cavidad elegida para el calculo del numero de modos de radiacion. Las paredes son paralelas alos ejes de coordenadas, y sobre ellas las ondas se anulan.

a cada una de las ondas estacionarias (modos de radiacion) un valor igual a kBT , que resulta de la suma delas energıas promedio correspondientes a los campos electricos y magneticos, cada una de ellas igual a 1

2kBT .

Recuerdese en este sentido que la energıa promedio de un oscilador armonico (igual a kBT ) es la suma de laenergıa cinetica media (1

2kBT ) y la energıa potencial media (1

2kBT ) de dicho oscilador.

La densidad espectral de energıa ρ(ν, T ) de la radiacion se obtendra, por tanto, multiplicando la cantidadkBT por el numero de modos por unidad de volumen (Nν) en el intervalo de frecuencias [ν, ν + dν] contenidosen la cavidad. Este calculo fue finalizado por Jeans a partir del procedimiento senalado por Rayleigh. Vamos adeterminar ahora, el numero de modos de la radiacion.

La funcion ρ(ν, T ) es independiente de la forma y naturaleza de las paredes de la cavidad, por comodidadelegiremos una cavida con forma de paralelepıpedo de paredes metalicas perfectamente conductoras.

El vector campo electrico E dentro de dicha cavidad verificara la ecuacion de ondas en el vacıo.

∂2Ei

∂x2+

∂2Ei

∂y2+

∂2Ei

∂z2=

1

c2∂2Ei

∂t2(i = x, y, z). (B.2)

Utilizamos el metodo de separacion de variables para resolver la ecuacion (B.2)

Ei = X(x)Y (y)Z(z)T (t).

Entonces nos dara

1

X

∂2X

∂x2+

1

Y

∂2Y

∂y2+

1

Z

∂2Z

∂z2=

1

c2T

d2T

dt2=⇒

=⇒ 1

X

∂2X

∂x2+

1

Y

∂2Y

∂y2+

1

Z

∂2Z

∂z2≡ −k2 (constante)

1

c2T

d2T

dt2= −k2 (constante)

(B.3)

1

X

∂2X

∂x2= −k2x,

1

Y

∂2Y

∂y2= −k2y,

1

Z

∂2Z

∂z2= −k2z ,

1

c2T

d2T

dt2= −k2 (B.4)

k2 = k2x + k2y + k2z . (B.5)

La solucion de la ecuacion (B.4) nos da la dependencia temporal de Ei.

T (t) = A sin(kct) = A sinωt, ω = ck, A = Constante.


ω: Frecuencia angular de la onda solucion (B.4).

k: Numero de onda asociado.ν: Frecuencia.λ: Longitud de onda.

ω = 2πν, k =2π

λ

La radiacion electromagnetica tiene un campo electrico E que es perpendicular a su direccion de propa-gacion. Y como la direccion de propagacion es perpendicular a las paredes, entonces su campo electrico E esparalelo a dichas paredes.

Cuando un campo electrico incide sobre una pared metalica vibrando paralelamente a su superficie, segenera un movimiento de cargas que lo neutraliza, anulandolo. Esto equivale a decir que, en todo instante:

Sobre los planos y = 0, y = Ly; z = 0, z = Lz el campo Ex = 0.

Sobre los planos x = 0, x = Lx; z = 0, z = Lz el campo Ey = 0.

Sobre los planos x = 0, x = Lx; y = 0, y = Ly el campo Ez = 0.

Como en el interior de la cavidad es una region libre de corriente y cargas, por las ecuaciones de Maxwellel campo electrico E debe verificar

div E ≡ ∇ · E ≡ ∂Ex

∂x+

∂Ey

∂y+

∂Ez

∂z= 0. (B.6)

A partir de la ecuacion (B.6) y de las condiciones de contorno sobre las paredes de la cavidad se obtienenlas ondas estas estacionarias que representan los modos de radiacion

Ex = E0x cos kxx sin kyy sin kzz sinωtEy = E0y sinkxx cos kyy sin kzz sinωtEz = E0z sin kxx sin kyy cos kzz sinωt

ki =niπ

Li

, ni ∈ N∗ (i = x, y, z).

{E0x, E0y, E0z}: Constantes que cumplen las condiciones de transversalidadE0×k = 0, siendoE0 = (E0x, E0y, E0z)y k = (kx, ky, kz). El vector E0 expresa una de las caracterısticas fundamentales de la radiacion electromagneti-ca (polarizacion).

Cada uno de los modos de radiacion existentes en la cavidad lleva asociado una triada de numeros{nx, ny, nz}. La relacion (B.5) se puede escribir de la forma

n2x

L2x

+n2y

L2y

+n2z

L2z

=4

λ2=

4ν2

c2. (B.7)

Las frecuencias permitidas de los modos de radiacion son aquellos que verifican la ecuacion (B.7).

Vamos a determinar el numero de modos diferentes que existen en la cavidad en el intervalo de frecuencias[ν, ν + dν] a partir de las posibles combinaciones de los numeros {nx, ny, nz} compatibles con (B.7), ası comolas diferentes polarizaciones1 del campo ({E0x, E0y, E0z}).

1Es un hecho conocido en Optica que a cada direccion de propagacion unicamente pueden asociarse dospolarizaciones independientes (ortogonales).


Figura B.2: Representacion de un octante del elipsoide (B.7). El punto senalado en el vertice del cubo delado unidad tiene de coordenadas nx = ny = nz = 1.

Fijado ν, la ecuacion (B.7) es la ecuacion de un elipsoide con semiejes{

2νLx

c,2νLy

c, 2νLz

c

}

. El volumen de

un octante de dicho elipsoide2 vale

N ≡ 1

8

4π

3

(

2νLx

c

)(

2νLy

c

)(

2νLz

c

)

=4πν3

3c3V (B.8)

siendo V el volumen total de la cavidad (V = LxLyLz).

El volumen dado en (B.8) (a falta de un factor 2 que tenga en cuenta las dos polarizaciones independientesasociadas a cada triada {nx, ny, nz} del interior del elipsoide) nos proporciona justamente el numero de modosde la cavidad con frecuencias menores que la ν dada, ya que a cada cubo de lado unidad le corresponde preci-samente un modo. Por lo que el numero total de ondas estacionarias con frecuencias inferiores a ν sera el dobleque el dado en (B.8).

El numero de modos por unidad de volumen que se encuentra en el intervalo de frecuencias [ν, ν+dν] vienedado de la forma

Nν ≡ 1

V

dN

dν=

8πν2

c3.

Por tanto, la densidad espectral de energıa ρ(ν, T ) de la radiacion en equilibrio termico con las paredes de unacavidad valdra

ρ(ν, T ) = NνkBT ≡ 8πν2

c3kBT

que constituye la formula de Rayleigh-Jeans para la distribucion espectral de energıa del cuerpo negro. �

Demostracion dimensional de la formula de Rayleigh-Jeans 1.4: Las magnitudes que in-tervienen en una distribucion de energıa en un cuerpo negro son: ρν , ν,Θ, kB, c. Se puede conseguir una relacionentre estas magnitudes en el intervalo dν, donde la correspondiente densidad de energıa espectral vendra dada,en dicho intervalo por ρνdν.

c = νλ =⇒ 0 = λdν + νdλ, {M,L, T,Θ}base dimensional de la Fısica Atomica y de la Mecanica Estadıstica.

2El volumen de un elipsoide de semiejes {a, b, c}: x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1 es V = 4π

3abc.


ρ ν Θ kB c

M 1 0 0 1 0L -1 0 0 2 1T -1 -1 0 -2 -1Θ 0 0 1 -1 0

[ρ] = ML−1T−1, [kB] = ML2T−2Θ−1,

[ν] = T−1, [c] = LT−1, [Θ] = Θ

Vamos a utilizar el Teorema de Pi.

s = 1. Solo habra un monomio. Fijo ǫρ = 1.

ǫρ + ǫk = 0, −ǫρ + 2ǫk + ǫc = 0, −ǫρ − ǫν − 2ǫk − ǫc = 0, ǫΘ − ǫk = 0

ǫk = −1, ǫc = 3, ǫρ = 1, ǫν = −2, ǫΘ = −1.

constante = k−1

B c3ν−2Θ−1ρν =⇒ ρν = 8πkBΘν2

c3.

Hemos obtenido la ecuacion de Rayleigh-Jeans mediante el Analisis Dimensional. Le hemos dado el valor a laconstante de 8π.

c = λν =⇒ ρλdλ = constantekBΘc2

λ2c3−c

λ2dλ = constante

kBΘ

λ4dλ (Formula de R-J salvo una constante).

Otra forma de resolver este problema:

N(λ)dλ = AV f(λ)dλ. (B.9)

N(λ)dλ: Numero de modos que hay entre el intervalo [λ, λ+ dλ].A: constante.f(λ): es una funcion arbitraria que va a depender de λ. Y que nos ayudara a ajustar dimensionalmentela expresion (B.9).

Entonces f(λ) tiene que tener de ecuacion dimensional

[f(λ)] = L−4, [V ] = L3, [λ] = L;

ya que N(λ)dλ.

ρλdλ =(N(λ)dλ)kBΘ

V,

nos da la densidad de energıa en el intervalo [λ, λ + dλ]. Hemos partido del Teorema de Equiparticionde la energıa, que nos dice que a cada orientacion o grado de libertad habra una energıa promedio kBΘ.

ρλdλ ∝ kBΘ

λ4dλ.

Otra forma de obtener la Formula R-J, sin utilizar el Teorema de Pi, pero viendonos obligado a usar elTeorema de Equiparticion de la energıa.

�

Ley de Planck. Formula 1.10: Etiquetando α ≡ hνkBT

.


E ≡ 〈E(ν, T )〉Planck =

∞∑

n=0

nhν e−

nhνkBT

∞∑

n=0

e−

nhνkBT

= kBT

∞∑

n=0

nα e−nα

∞∑

n=0

e−nα

=

= kBTαd

dαln

∞∑

n=0

e−nα = −hνd

dαln

∞∑

n=0

e−nα = −hνd

dαln

1

1− e−α=

hν

eα − 1=

hν

ehν

kBT − 1

�

Formula 1.7: Consideremos dos sistemas con entropıas S1 y S2. Como S es una magnitud extensiva,entonces la entropıa del conjunto sera S ≡ S1 + S2. La probabilidad de ocurrencia conjunta W de dos sucesosindependientes viene dada por el producto de las probabilidades de ocurrencia de cada uno de ellos por separadoW1 y W2, es decir

W = W1W2.

Si escribimos S = f(W ), la funcion f debera satisfacer la ecuacion

f(W1W2) = f(W1) + f(W2),

por tanto, debe ser de tipo logarıtmico en W . �

Formula 1.8: Como el numero de osciladores es N , el calculo de W es equivalente a la determinaciondel numero de formas de distribuir n unidades indivisibles de energıa entre los N osciladores. Por lo que

W ′ = CRNn =

(

N + n− 1N

)

.

Como n,N son numeros muy grandes, podemos aproximar

W ′ ≃(

N + n

N

)

≡ W

donde

W =(N + n)!

n!N !.

A partir del desarrollo asintotico:

ln x! = (x lnx)− x+ ln√2πx+ ln

(

1 +1

12x+

1

288x2− . . .

)

entonces cuando x >> 1, nos queda la formula de Stirling:

lnx! ≃ −x+ x lnx.

Si utilizamos la expresion (1.7), tenemos

ST = kB lnW = kB (ln(N + n)!− lnn!− lnN !) ≃ kB ((N + n) ln(N + n)− n lnn−N lnN) =

= NkB

((

1 +n

N

)

ln(

N(

1 +n

N

))

− n

Nlnn− lnN

)

=

= NkB

[(

1 +n

N

)

ln(

1 +n

N

)

−( n

N

)

ln( n

N

)]

=

= NkB

[(

1 +E

ǫ

)

ln

(

1 +E

ǫ

)

−(

E

ǫ

)

ln

(

E

ǫ

)]


Hemos utilizado la expresionET = NE = nǫ.

Como ST = NS, tenemos

S = kB

[(

1 +E

ǫ

)

ln

(

1 +E

ǫ

)

−(

E

ǫ

)

ln

(

E

ǫ

)]

.

En el equilibrio se cumple la ecuacion termodinamica fundamental (a volumen constante)

dS

dE=

1

T.

Entonces,

dS

dE=

(

kB

ǫ

)

ln

[

(

1 + Eǫ

)

(

Eǫ

)

]

=1

T=⇒ E(ν, T ) =

ǫ

eǫ

kBT − 1.

�

Proposicion A.1: La particion mas probable o de equilibrio corresponde (por definicion) al maximode P ′. Este maximo corresponde a su vez a la situacion en que el cambio de P ′ es practicamente cero (dP = 0)para cambios pequenos {dn1, dn2, . . .} de los numeros de ocupacion {n1, n2, . . .} Sin embargo, en vez de obtenerel maximo de P es matematicamente mas facil obtener el maximo de lnP , que corresponde al mismo valor de P .3

A partir de la ecuacion (A.3), tenemos

P ′ =∏

i=1

gni

i

ni!=⇒ lnP ′ =

∑

i=1

ni ln gi − lnni!.

Utilizando la formula de Stirling4 y las condiciones (A.1) y (A.2):

lnP ′ ≃∑

i=1

ni ln gi − ni lnni + ni = N −∑

i=1

ni lnni

gi. (B.10)

Diferenciando (B.10), y recordando que N es constante (dN = 0),

d(lnP ′) = −∑

i=1

dni lnni

gi−∑

i=1

dni,

y de la ecuacion (A.1), se deduce que∑

i=1

dni = 0. Igualamos a cero d(lnP ′) = 0 porque buscamos el

estado de equilibrio para el cual P es maxima.

−d(lnP ′) =∑

i=1

(dni) lnni

gi= 0.

Aplicamos la tecnica de los multiplicadores de Lagrange5, ya que los dni no son linealmente independientes,y estan sometidas a las restricciones que nos ofrece las expresiones (A.1) y (A.2), es decir,

∑

i=1

dni lnni

gi= 0,

∑

i=1

dni =∑

i=1

Eidni = 0.

Introducimos los dos multiplicadores de Lagrange α y β (dos parametros arbitrarios)

∑

i=1

(α + βEi + lnni

gi)dni = 0 =⇒ α+ βEi + ln

ni

gi= 0 =⇒ ni = gie

−α−βEi .

�

3 ∀f(x) ∈ R+, h(x) ≡ ln f(x), h′(x) =

f ′(x)

f(x)= 0 ⇔ f ′(x) = 0.

4 lnx! ≃ −x+ x lnx.5Ver Apendice (C).

Apendice C

Multiplicadores indeterminados deLagrange

Es un metodo que sirve para hallar los puntos crıticos de una funcion de varias variablesF (x1, . . . , xn) cuando las variables no son independientes sino que estan relacionadas a partirde unas ecuaciones de ligadura

φi(x1, . . . , xn) = 0, (i = 1, . . . ,M).

M : numero de ecuaciones de ligadura.

Por lo que, solo tendremos n−M variables independientes. Los puntos crıticos de F (x1, . . . , xn)son los valores {x1, . . . , xn} para los cuales dF = 0 para pequenas variaciones de las variables.Pero

dF =

n∑

i=1

∂F

∂xi

dxi = 0

no implica que ∂F∂xi

= 0 porque las variaciones {dx1, . . . , dxn} no son independientes, ya queestan restringidas por las condiciones

dφj =n∑

i=1

∂φj

∂xi

dxi = 0, (j = 1, . . . ,M).

dφj =

n∑

i=1

∂φj

∂xi

dxi = 0 =⇒M∑

j=1

αjdφj = 0

dF =n∑

i=1

∂F

∂xi

dxi = 0

Entonces

dF +

M∑

j=1

αjdφj = 0 =⇒∑

i=1

(

∂F

∂xi

+

M∑

j=1

αj

∂φj

∂xi

)

dxi = 0.

33

APENDICE C. MULTIPLICADORES INDETERMINADOS DE LAGRANGE 34

Tenemos n + M variables {x1, . . . , xn, α1, . . . , αM}. A los parametros {α1, . . . , αM} se lesllama multiplicadores de Lagrange.

Tenıa n−M variables independientes, las M variables restantes linealmente dependientesal ponerlas en funcion de estos parametros de Lagrange, se convierten en variables linealmenteindependientes

{x1, . . . , xn−M} (V. indep.), {xn−M+1(α1, . . . , αM), . . . , xn(α1, . . . , αM)} (V. indep.),

por lo que, puedo tomar los dxi como si fueran linealmente independientes, y por lo tanto,

∂F

∂xi

+M∑

j=1

αj

∂φj

∂xi

= 0, (i = 1, . . . , n).

Este sistema de n ecuaciones nos permite obtener {x1, . . . , xn} en un punto crıtico de F enfuncion de los multiplicadores de Lagrange ({αj}j=1,...,M). Estos multiplicadores se obtienen apartir de

φj = 0, (j = 1, . . . ,M).

Apendice D

Analisis Dimensional

D.1. Introduccion

Los observables son caracterısticas de los objetos que podemos percibir a traves de lossentidos.

Definicion D.1 (Observables comparables).Dos observables (A1) y (A2) de un objeto se dice que son comparables cuando se puede relacio-nar de la siguiente forma

(A1) = n12(A2)

n12: Expresa cuantas veces (A1) es mayor que (A2).

Definicion D.2 (Magnitud).Una magnitud es el conjunto de todos los observables comparables entre sı, y que se expresa enel mundo real en forma de una cantidad concreta.

Definicion D.3 (Igualdad y sumas de observables).Si (A1) = n10(A0), (A2) = n20(A0), y (A3) = n30(A0), entonces

(A1) = (A2) si n10 = n20 (Igualdad)(A1) + (A2) = (A3) si n10 + n20 = n30 (Suma)

Definicion D.4 (Unidad).La unidad de una magnitud es una cantidad de la misma, elegida arbitrariamente, con la quese comparan las restantes cantidades de la misma magnitud.

Sea UA la unidad elegida(A) = nUA,

entonces proporciona la medida n de (A) con relacion a la unidad UA.

Definicion D.5 (Medida).La medida es un numero que indica cuantas veces una cantidad dada contiene a la unidadelegida

Cantidad = Medida · Unidad

35

APENDICE D. ANALISIS DIMENSIONAL 36

Definicion D.6 (Magnitudes primarias y secundarias).Las magnitudes primarias son aquellas que no estan definidas a partir de otras magnitudes.Por ejemplo: masa, longitud, tiempo, temperatura, carga electrica, etc. Y las magnitudes se-cundarias son aquellas que se expresan a partir de las magnitudes primarias. Por ejemplo, lavelocidad, aceleracion, fuerza, superficie, volumen, etc.

La eleccion de las magnitudes primarias se hace por convenio.

Ejemplo 5

m = 5 kg

Magnitud fısica primaria: Masa.Unidad: kg (kilogramo).Cantidad: 5 kg.Medida: 5.

v = 20 ms

Magnitud fısica secundaria: Velocidad.Unidad: m

s(metro/segundo).

Cantidad: 20 ms.

Medida: 20.

D.2. Sistema de unidades coherente

Las leyes fısicas se pueden expresar como productos de monomios formados por cantidadesde diferentes magnitudes

(y) ∝n∏

i=1

(xi)βi ≡ (x1)

β1 · (x2)β2 · . . . · (xn)

βn (D.1)

βi ∈ R, numeros fijos obtenidos por las diferentes leyes fısicas.

La expresion (D.1) es independiente del sistema de unidades elegido. fin Si hacemos untratamiento matematico a partir de la expresion (D.1), podemos escribir

y = Cn∏

i=1

xβi

i = Cxβ1

1 · xβ2

2 · . . . · xβn

n .

Definicion D.7 (Constantes caracterısticas y universales).Las constantes introducidas en las ecuaciones puede ser de dos tipos, si dependen del medioo del cuerpo que interviene en el fenomeno considerado se llaman caracterısticas, y en casocontrario: universales.

Es imposible elegir un sistema de unidades que elimine, simultaneamente, todas las cons-tantes universales de las leyes fısicas fundamentales.

Constantes ineludibles:


Constantes de la gravitacion: G = 6, 670 · 10−11 Nm2/kg2

Numero de Avogadro: NA = 6, 0225 · 1023 moleculas/molConstante de Boltzmann: k = 1, 38 · 10−23 J/KConstante de Planck: h = 6, 6256 · 10−24 J · sVelocidad-luz en el vacıo: c = 2, 9979 · 108 m/sPermitividad del vacıo: ǫ0 = 8, 85 · 10−12 C2/Nm2

El resto de constantes universales, se denominan superfluas.

Permeabilidadmagnetica del vacıo

µ0 = 1, 2566 · 10−6 mkg/c2

c2 =1

ǫ0µ0

Constante de los gasesR = 8, 31 J/KmolR = kNA

Definicion D.8 (Sistema de unidades coherente).Se dice que un sistema de unidades es coherente con un determinado conjunto de leyes, cuandohace igual a uno el valor de las constantes superfluas asociadas a dichas leyes.

D.3. Concepto de dimension

Consideramos una teorıa fısica con t ecuaciones fundamentales utilizando un sistema deunidades coherentes con las mismas {Ui} ≡ {U1, U2, . . . , Un}, vienen expresadas mediante

n∏

i=1

xβij

i = 1 (j = 1, . . . , t).

xi: Representan tanto las medidas como las constantes ineludibles y caracterısticas.

Si construimos otro sistema de unidades coherente {U ′

i}i=1,...,n:

n∏

i=1

x′

iβij = 1.

Entonces,

[xi] ≡xi

x′

i

=U ′

i

Ui

=⇒n∏

i=1

[xi]βijx′

iβij = 1.

Entonces, la condicion que ha de verificar el segundo sistema de unidades para que tambiensea coherente

n∏

i=1

[xi]βij = 1.

Como [xi] son numeros, entonces

n∏

i=1

[xi]βij = 1 =⇒

n∑

i=1

βij ln[xi] = 0 (j = 1, . . . , t)


n: Es el numero de magnitudes y constantes que intervienen en las leyes fısicas fundamentalesconsideradas.

Si h es el rango de la matriz formada con los exponentes βij

h = rango(βij), m = n− h.

Podemos elegir arbitrariamente m corchetes [xi], esto implica que podemos elegir arbitraria-mente las unidades de m magnitudes, que constituiran la base dimensional de la teorıa fısica.El valor m es la multiplicidad de la base.

Definicion D.9 (Formula dimensional).Escogemos {x1, x2, . . . , xm} magnitudes para formar la base, entonces cualquier [xr] se puedeexpresar en funcion de la base como:

[xr] =m∏

k=1

[xk]αrk (D.2)

Formula dimensional de la magnitud xr (D.2)

Definicion D.10 (Magnitudes fundamentales y derivadas).Se denominan magnitudes fundamentales aquellas que se han elegido para formar la base di-mensional, y derivadas, las restantes; es decir, las que se obtienen a partir de las fundamentales.

La formula dimensional proporciona la dependencia de la medida de la cantidad de unacierta magnitud, o el valor de una constante ineludible o caracterıstica, con el sistema coherentede unidades utilizado.

Definicion D.11 (Dimensionalmente independientes).Un conjunto de magnitudes {x1, x2, . . . , xn} son dimensionalmente independientes cuando laecuacion

n∏

i=1

[xi]ωi = 1

solo se satisface en el caso ωi = 0 (i = 1, . . . , n), es decir, ningun corchete (formula dimen-sional) es producto de otros.

Esta condicion de independencia la tienen que cumplir las m magnitudes que forman unabase dimensional.

Las magnitudes fundamentales: masa, longitud, tiempo, temperatura y carga electrica; suscorchetes se pueden representar como:

[m] ≡ M, [l] ≡ L, [t] ≡ T, [θ] ≡ Θ, [q] ≡ Q.

La formula dimensional tambien informa sobre como ha de variar la unidad de xr si se modi-fican las unidades de la base, para seguir formando un sistema de unidades coherente.

Para el caso de la Mecanica[xr] = MαrmLαrlT αrt


Definicion D.12 (Homogeneidad dimensional).Una ecuacion fısica es homogenea dimensionalmente si todos los terminos de la ecuacion tienenla misma formula dimensional.

Definicion D.13 (Dimension nula).Un monomio o una magnitud tiene dimension nula cuando son cero todos los exponentes desu formula dimensional.

Definicion D.14 (Monomios dimensionalmente independientes).Un conjunto de monomios {Π1,Π2, . . . ,Πq} son dimensionalmente independientes cuando laecuacion

Πω11 · Πω2

2 · . . . ·Πωq

q = 1

solo se satisface en el caso en que ωi = 0 (i = 1, . . . , q).

Ejemplo 6

Sean Π1 = x2y, Π2 = xyz2, Π3 = y. Comprobaremos si son o no dimensionalmente independientes.

Π1ω1Π2

ω2Π3ω3 = 1 =⇒ x2ω1+ω2yω1+ω2+ω3z2ω2 = x0y0z0 = 1

2ω1 + ω2 = 0ω1 + ω2 + ω3 = 02ω2 = 0

−→ h = rango

2 1 01 1 10 2 0

= 3 =⇒ ω1 = ω2 = ω3 = 0

Π1,Π2,Π3 son monomios independientes.

Definicion D.15 (Conjunto de monomios completo).Un conjunto de monomios Π dimensionalmente independientes, formados a partir de una seriede magnitudes, se dice que es completo cuando cualquier otro monomio Π′ que puede formar-se con las mismas magnitudes se puede obtener a partir de este conjunto de monomios Pimultiplicando y exponenciando.

D.4. Teorema de Pi

Teorema D.1.

1. La forma mas general de una ecuacion fısica homogenea f(x1, x2, . . . , xn) = 0 es del tipoF (Π1, . . . ,Πs) = 0, siendo F una funcion desconocida, y los {Πk}k=1,...,s un conjuntocompleto de monomios de dimension nula, formados con las magnitudes {x1, . . . , xn}.

2. El numero de monomios Π independientes que pueden formarse es

s = n− h.

h: Es el rango de la matriz formada con los exponentes dimensionales de dichas magni-tudes.


D.4.1. Metodo para formar los monomios Π

La forma mas general de un monomio es

Π = xǫ11 · xǫ2

2 · . . . · xǫnn ,

tenemos que averiguar los valores de {ǫj}j=1,...,n, a partir de la adimensionalidad de los mono-mios Π.

[Π] = x1ǫ1x2

ǫ2 · . . . · xǫnn = 1,

y si[xj ] = Mαj1Lαj2T αj3Θαj4Qαj5 ,

entonces,M

∑nj=1 αj1ǫjL

∑nj=1 αj2ǫjT

∑nj=1 αj3ǫjΘ

∑nj=1 αj4ǫjQ

∑nj=1 αj5ǫj = 1

n∑

j=1

αjkǫj = 0 (k = 1, . . . , 5)

El numero de incognitas ǫj que pueden elegirse arbitrariamente es s = n − h. El numero demonomios Π independientes que pueden formarse es s.

Hay que incluir las constantes independientes, tanto caracterısticas como universales inelu-dibles, que previsiblemente esten relacionadas con el fenomeno en estudio y que se trataran,en el calculo, como una magnitud mas.

x1 x2 · · · xn

MLTΘQ

Cuando aparecen magnitudes de igual dimension, su cociente, llamado Factor de forma,es de dimension nula. Cuando esto ocurre, conviene simplificar el problema eliminando delcalculo una de dichas magnitudes, e introduciendo el factor de forma directamente. Lo mismoocurre si intervienen magnitudes adimensionales como los angulos.

Ejemplo 7

Mediante el analisis dimensional, la relacion que liga la presion P de un gas, con el volumen V ,la masa m, y el peso molecular relativo M (factor de forma). Se puede establecer una posible depen-dencia

p = p(V,m,M, θ,R)

incluye la temperatura y la constante de los gases (R).


P V m θ R

M 1 0 1 0 0

L -1 3 0 0 2

T -2 0 0 0 -2

Θ 0 0 0 1 -1

h = 4 =⇒ s = 5− 4 = 1. Tenemos un solo monomio independiente Π.

ǫp + ǫm = 0, −ǫp + 3ǫV + 2ǫR = 0, −2ǫp − 2ǫR = 0, ǫθ − ǫR = 0.

Como s = 1, el numero de incognitas que pueden elegirse arbitrariamente. Puesto que p es lavariable que se considera dependiente en el problema es conveniente elegir

ǫp = 1 =⇒ ǫm = −1, ǫR = −1, ǫθ = −1, ǫV = 1

que corresponden al monomio

Π =pV

mRθ.

Igualandolo al factor de forma ϕ(M) =⇒ pVmRθ

= ϕ(M), entonces,

p =1

VmRθϕ(M)

Bibliografıa

[1] Carlos Sanchez del Rıo. Fısica Cuantica. V Edicion. Ediciones Piramide. 2015.

[2] M. Alonso, E. J. Finn. Fısica. Fundamentos cuanticos y estadısticos. Volumen II.Fondo Educativo interamericano, S.A. Mexico. 1976.

[3] Robert Eisberg. Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Parti-cles. II Edicion. John Wiley & Sons. 1985.

[4] Alberto Galindo, Pedro Pascual. Mecanica cuantica (I). Eudema S.A. 1989.

[5] Alberto Galindo, Pedro Pascual. Problemas de mecanica cuantica. Eudema S.A.1989.

[6] Ramon Fernandez Alvarez-Estrada, Jose Luis Sanchez Gomez. Problemasde fısica cuantica. Eudema S.A. 1989.

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