juan diego rodriguez

Trabajo de trigonometria primer Quinquimetres

Juan Diego rodriguez

14 de Enero de 2013

juan [email protected]

Demostrar que las suguientes igualdades son iden-tidades

1 ejercicio tgx senx + cosx = secx

1.1 Demostacion Analiticasenxcosx sen x + cos x = sec x

sen2

cosx+ cos = sec x

sen2+cos2xcosx = secx

1cosx= secx

sec x = sec

1.2 Demostacion Grafica

1

2 ejercico ctgx - secx cscx (1 - 2 sen2x) = tgx

2.1 Demostacion Analiticacosxsenx - 1

cosx - 1senx (1- sen2x) = tg x

cos2−senxcosx+senxcosx(1−2sen2xsenxcosx = tg x

cos2x(1−2sen2x)sexcosx = tg x

cos2−(1−2(1−cos2))senxcosx = tg x

cos2x(1−2+2−cos2)senxcox = tgx

cos2x−1+2−2cos2senxcosx = tg x

1−cos2xsenxcosx= tg x

sen2xsenxcosx= tg xsexcosx= tg x

tgx= tgx

2.2 Demotracion Grafica

3 Ejercico (tg x + ctg x) sen x cos x = 1

3.1 Demotracion Analitica( senxcosx+ cosx

senx ) sen x cos x

(sen2xcos2x)senxcosxsenxcosx = 1

sen2x cos2x = 1

1 = 1

2


4 Ejercico seny1+cosy = 1−cosy

seny

4.1 Denotracion Analiticaseny

sen2ycos2y+cosy= 1−cosyseny

1senycos2y+cosy= 1−cosy

seny

sen2cos2

senycos2y+cosy= 1−cosyseny

(1−cos2y)cos2ysenycos2+cosy = 1−cosy

seny

1−cos2ysenycosy= 1−cosy

seny

1−cosyseny = 1−cosy

seny

4.2 Demotacion Grafica

3

5 Ejercico tg x sen x cos x + sen x cos x ctg x=1

5.1 Demostacion Analiticatg x sen x cos x + sen x cos x ctg x =1senxcosx sen x cos x + senx cos x cosx

senx=

sen2+ cos2x = 1

5.2 Demostracion Grafica

6 Ejercicio cts2x = cos2+(ctg x cos)2

6.1 Demostacion Analiticacos2xsen2x=cos2x + ( cosxsenxcosx)2

cos2

sen2 = cos2x + cos4xsen2x

cos2

sen2 = sen2x+cos4

sen2x

cos2x = cos2x (cos2x + sen2x)

1=(cos2x+sen2x)


4

7 Ejercicio (sec y + csc y) (1-ctg y) = (sec y -csc y ) (1 + ctg y)

7.1 Demotacion Analitica(sec y + csc y)(1- ctg y ) = (sec y -csc y)(1+ctg y)

Secy+Cscy-SecyCtgy-CscyCtgy=Secy+SecyCtgy-Cscy-CscyCtgy

1cosy+ 1

seny+ 1cosy ·

cosyseny - 1

seny ·cosyseny - 1

seny - 1seny ·

cosysen2y

1cosy+ 1

sen - 1seny - cosysen2 = 1

cosy - cosysen2y

1cosy - cosysen2y= 1

cosy - cosysen2y


8 Ejercicio sen2z + cos2 z ctg z + 2sen z cos z =tg z + ctg z

8.1 Demotracion Analiticasen2z tg z + cos2z ctgz+2sen z cos z = tgz + ctgz

5

sen2z· senzcosz ·cos2z · coszsenz+2 ·senz cosz= senzcosz+ cosz

senz

sen4z + cos4z +2sen2zcos2z= sen2z+cos2z

sen4z+cos4z+2sen2cos2zcoszsenz - sen

2z+cos2zcoszsenz

(sen2+cos2z)2= 1

(1)2= 1

1 = 1

8.2 Demostracio Grafica

9 Ejercicio sen3x + cos3x = (sen x+cos x ) (1-sen x cos x)

9.1 Demostracion Analiticasin3x + cos3x = (sin x + cos x ) (1- sin x cos x)

sin3x + cos3x = sin x - sin2x cos x - (sin x - cos2)

sin3x + cos3 x = sin x (1-cos2 x) + cos x(1-sin2 x)

sin2 x + cos3 x = sin x (1-cos2 x) + cos x (1-sin2 x)

sin3 x + cos3 x = sin x sin2 x + cos x cos2 x

sin3 x + cos3 x = sin3 x + cos3 x

6


10 Ejercicio sen6x+ cos6x= sen4x- sen 2x cos2x

10.1 Demotracion Analiticasen6 x+cos6 x=sen4 x+cos4 x-1

1=sen4 x+cos4 x-sen6 x-cos6 x

1=-(sen2 x-cos6 x)

1=(sen2 x+cos2 x)

1=1


11 Ejercicio sen B tg2B + csc B sec2B = 2 tg Bsec + csc B- sen B

11.1 Demostracion AnaliticasenB sen3B

cosB + 1senB+ 1

cos2B=2 ( senBcosB )( 1cosB )− senB

sen3

cos2 + 1senBcos2B= 2 ( senBcosB )+( 1−sen

2B)senB )

sen2+1senBcos2B=( 2senBcos2B )+( 1−sen

2BsenB )

sen2BsenBcos2B=( 2sen

2B+1−sen2Bcos2Bcos2BsenB )

7

sen2BsenBcos2B= ( 2sen

2B+1−1cos2BsenB )

sen2BsenBcos2 =( sen2B

cos2BsenB )


12 Ejercicio cos (x+y) cos (x-y) = cos2x - sen2y

12.1 Demotracion Analiticacos(senx cosy-cosx seny)cos(cosx cosy+senx seny)=cos2 x-sen2 y

(senx cos2- x-cos2 xseny)(cos2 xcos2 y+senxseny)=cos2 x-sen2 y

senxcos4 ycos2 x+sen2 xseny cos2 y-cos4 xcos2 y seny-cos2 xsenx sen2 y=cos2x-sen2 y

senx cos2 x cos4 y+sen4 x seny cos2 y-senycos2 y cos2 y-senx sen2 ycos2x=cos2 x-sen2 y

12.2 Demotracio Grafica

8

13 Ejercico sen (A+B) sen (A-B) = cos2B cos2A

13.1 Demotracion Analitica(sen2 A cosB+cosA senB)(senA cosB-cosA senB)=cos2 B-cos2 A

sen2Acos2-A-senAcosBcosBsenB+senAcosBsenB-sen2 B=cos2 B-cos2

sen2 A-sen2 B=cos2 B-cos2 A


14 Ejercico cos(x−y)cos(x+y)=

1+tgx∗tgy1−tgx∗tgy

14.1 Demotracion Analiticacosxcosy+senxsenycosxcosy−senxseny=

senxcosx−

senycosy

1− senxcosx + seny

cosy

cosxcosy+senxsenycosxcosy−senxseny=

1+ senxycosxy

1− senxycosxy

cosxy+senxycosxy−senxy=

cosy+senycosy

cosxy−senxycosxy

cosxy+senxycosxy−senxy= cos2xy+senxycosxy

cos2xy−cosxseny


9

15 Ejercicio tg A - tg B = senABcosAcosB

15.1 Demotracion AnaliticatanA - tanB = senA−b

cosA−B

senAcosA - senBcosA

cosAcosB= sen(A−BcosAcosB

senAcosB−cosAsenBcosAcosB = senAcosB−cosBsenA

cosAcosB

1=1


16 Ejercicio cos x sen(y-z)+cosy sen(z-x)+coszsen(x-y)=0

16.1 Demotracion Analiticacos x (sen x cos z - cos z sen ycos z)+cos y (sen z cos x-cos z sen x+cos z)sen xcos y-cos y-cos x sen y = 0

cos x sen y cos x-cos x sen y cos z+cos x sen y sen z-sen x cos z = 0 sen x cosy cos z-cos x sen y cos z = 0

10


17 Ejercicio Ctg2x=cos2x +(ctg x cos x)2

17.1 Demotracion Analiticacos2xsen2x=cos2x +( cosxsenxcosx)

cos2

sen2x=cos2x + cos4

sen2x

cos2

sen2x= sen2xcos2x+cos4xsen2x

cos2x = cos2x (cos2x+sen2x)

1= (cos2x +sen2x)

1=1


18 Ejercicio tg(θ−φ)+tgφ1−tg(θ−φ)tgφ =tg θ

18.1 Demotracion Analiticatgφ

1−tg(θ−φ)tgφ= tg φ

1tgθ+tgφ= tgφ1

tg2φ=tgφ- tgφ

1tg2φ= tg2φ

1

11


19 Ejercicio tan x = sen2x1+cos20

19.1 Demotracion Analiticatan x = 2senxcosx

sen2x+cos2x+cos22x−sen22x

tan x = 2senxcosx2cos22x

tan x = sinxcosx

tanx = tanx


12

20 Ejercicio cosxsen(y-z)+cosy sen(z-x)+cosz sen(x-y)=0

20.1 Demotracion Analiticacos x(sen ycos z-sen zcos y)+cos y(sen zcos x - sen x cos z)+cos z (sen xcos y -sen y cos x) = 0

cos x sen y cos z - cos x sen z cos y + cos y sen z cos x- cos y sen x cos z + cosz sen x cos y - cos z sen y cos x = 0

cos x sen ycos z - cos x sen z cos y + cos y sen z cos x - cos y sen x cos z + cosz sen x cos y - cos z sen y cos x = 0


13

21 Ejercicio cos5α cos4α+sen5α sen4α = cosα

21.1 Demotracion Analiticacos(x-y)= cos

cos(5-4) =cos

cos(1)-cos

cos=cos


22 Ejercicio sen(x+75)cos(x-75)-cos(x+75) sen(x-75)=1

2

22.1 Demostracion analiticasen(x+75)cos(x-75)-sen(x-75)cos(x+75) = 1

2

14

sen(x-y) = 12

sen[(x+75)-(x-75)] = 12

sen(150) = 12

12 = 1

2


23 Ejercicio: cot x = sen2x1−cos2x

23.1 Demostracion analiticacot x = 2senxcosx

sen22x+cos22x−cos22x+sen22x

cot x = 2senxcosx2sen22x

cot x = cosxsenx

23.2 Demostracion grafica

15

24 Ejercicio: tg x = sen2x1+cos2x

24.1 Demostracion analiticatg x = 2senxcosx

sen2x+cos2x+cos22x−sen22x

tg x = 2senxcosx2cos22x

tg x = senxcosx

tg x = tg x


25 Ejercicio: (1+sen2x)1−sen2x = ( tgx+1

tgx−1)2

25.1 Demostracion analitica1+2senxcosx1−senxcosx =

sen2xcos2x

+ 2senxcosx +1

sen2xcos2x

− 2senxcosx +1

senx2+2senxcosx+cos2x

cos2xsen2x−2senxcosx+cos2x

cos2x

2senxcosx1−senxcosx = 2senxcosx

1−senxcosx

16


26 Ejercicio: cos 2x = (2−sec2x)(sec2x)

26.1 Demostracion analitica1

cos2x (2cos2x - 1) = 2 - (1)cos2x

(2cos2x−1)cos2x = (2cos2x−1)

cos2x


27 Ejercicio: ctg y - tg y = 2 ctg 2y

27.1 Demostracion analiticacosyseny - senycosy = 2( 1

tg2y )

cos2y−sen2ysenycosy = 2( 1

2tgy

1−tg2y

)

cos2y−sen2y

senycosy = 1−tg2ytgy

cos2y−sen2ysenycosy =

1−sen2y

cos2ysenycosy

17

senycosy ( cos

2y−sen2ysenycosy ) = cos2y−sen2y

cos2y

cos2y = cos2y


28 Ejercicio: 2 csc 2x = sec x csc x


sen2x = 1cosx* 1

senx

22senxcosx = 1

cosxsenx


29 Ejercicio: 1sen2x - 2 = 1

sen2x (2cos2x - 1)

29.1 Demostracion analitica1−2sen2xsen2x = 2cos2x−1

sen2x

18

2 = 2cos2x + 2sen2x

1 = cos2x sen2x

29.2 Demostracion grafica\

30 Ejercicio:cos 2x = cos4x - sen4x

30.1 Demostracion analiticacos 2x = (cos2x + sen2x) (cos2x + sen2x)

cos 2x = 1(cos2x + sen2x)

cos 2x = (cos2x + sen2x)

cos 2x = cos 2x


31 Ejercicio: tg P + ctg P = 2 csc P

31.1 Demostracion analiticasencosP + 1

tgP = 2 csc P

tg P + tg P = 2 csc P

2 csc P = 2 csc P

19


32 Ejercicio: cos 2x = 1−tg2x1+tg2x

32.1 Demostracion analiticacos 2x = sen2x+cos2x− senx

cosx

sen2x+cos2x+ senxcosx

cos 2x = sen2x+cos2x+cos2xsen2x+cos2x

cos 2x = cos 2x


33 Ejercicio: sen 2x = 2tgx1+tg2x

33.1 Demostracion analiticasen 2x = 2tgx

2tg2x

20

sen 2x = 2 sencos x

2( sencos )2x

sen 2x =2senx2cosx4senx4senx


34 Ejercicio: tg (45 + C) + tg (45 - C) = 2 sec2C

34.1 Demostracion analiticatg 45 + tg C+ tg 45 - tg C = 2 sec 2C

2 tg 45 = 2 sec 2C

2sen452cos45 = 2 sec 2C

12csc45

2cos45 = 2 sec 2C

12csc45(2cos45) = 2 sec 2C

12cos2C = 2 sec 2C

2 sec 2C = 2 sec 2C


21

35 Ejercicio: tg (45 + x) - tg (45 - x) = 2 tg 2x

35.1 Demostracion analiticatg 45 + tg x - tg 45 + tg x = 2 tg 2x

tg x + tg x = 2 tg 2x

2tg 2x = 2 tg 2x


36 Ejercicio:cot(45−y)cot(45+y)=

1+2senycosy1−2senycosy

36.1 Demostracion analiticacos(45−y)sen(45−y)cos(45+y)sen(45+y)

= 1+2senycosy1−2senycosy

22

cos45cosy+sen45senysen45cosy−cos45senycos45cosy−sen45senysen45cosy+cos45seny


√4

2 (cosy+seny)2√

22 (cosy−seny)2


(cosy+seny)2

(cosy−seny)2 = 1+2senycosy1−2senycosy

1+2senycosy1−2senycosy = 1+2senycosy

1−2senycosy


37 Ejercicio: cos (2x + y) cos (x + 2y) + sen (2x+ y) sen (x + 2y) =cos x cos y + sen x sen y

37.1 Demostracion analiticacos ((2x + y) - (x + 2y)) = cos x cos y + sen x sen y

cos(2x + y -x - 2y) = cos x cos y + sen x sen y

cos (x - y) = cos x cos y + sen x sen y

cos x cos y + sen x sen y = cos x cos y + sen x sen y


23

38 Ejercicio sen2 x = 14

38.1 Demotracion Analitica

sen=√

14

sen x =(12 )x= arc sen1

2x = 30

39 Ejercicio csc2x = 2

39.1 Demostacion Analiticacsc x =

√2

1sen(x)=

√2

1√2= sen x

x= arc (√22 )

x= 45

40 Ejercicio tg2x -3= 0

40.1 Demostacion Analiticatg2x = 3

tgx =√

3x = arc tg (

√3)

x=-60x=60

41 Ejercicio sec2x - 4=0

41.1 Demotacion Analiticasec2x = 4

sec x=√

41

cosx=√

41

cosx=2

24

12=cosxx=arccos 12x= 60x=120x=240x=360

42 Ejercicio tg 2 x - 3 = 0

42.1 Demostracion Analitica2x = arctg(1)

2x= 45x= 45

2x= 202.5x=-+ 22.5

43 Ejercicio 2 cos 2x +√3=0

43.1 Demotacion Analitica2 cos 2x =

√3

cos 2x =−√3

2

2x= arc cos(−√3

2 )x= arcos (−

√3

2 )x=75x=-75x=255x=-255

44 Ejercicio sen22x = 1

44.1 Demostracion Analiticasen22x =1

sen22x =√

1x= arcsen

√2

x=arcsen√1

2x=45

25

45 Ejercicio ctg2x2=3

45.1 Demostracion Analiticactgx2=

√3

1tang x

2=√

31√3= tanx2

x2=arctang 1√

3

x=2 arctang 1√3

x= 60

46 Ejercico 4cos2 2x -1= 0

46.1 Demostacion Analitica4cos22x=1

cos22x= 14

cos2x=√

14

2x=arc cos√

14

x=arcos√

14

2x=30

47 Ejercicio sec2x2=2

47.1 Demotacion Analiticasecx2=

√2

1cos x

2=cosx2

1√2= cosx2

x2= arccos x√

2

x=2 arccos 1√2

x=90

48 Ejercicio (tg x+ 1)(√3ctg x -1)=0

48.1 Demotacion Analitica(tg x +1 )

[ √3

tg(x) − 1]= 0

√3−tg x +

√3

tx(x) - 1 = 0- tg2x + (

√3- 1) tg x +

√3 = 0

tg 2x -(√

3-1) tg x -√

3 = 0

26

tg 2x + ( 1-√

3 ) tg x -√

3= 0

tg x = −(1−√3)+√

(1−√3)2−4(1)(−

√3)

2 = −(1−√3)+√

1−2√3+3+4

√3

2

tg x =√3−1−1−

√3

2 = - 2√3

2 =-1x = tg−1(-1)x = 315 = ( 74

∏)

x = 135 = ( 34∏

)tg x =

√3−1+1+

√3

2 = 2√3

2 =√

3x = 60 = ( 13

∏)

x =240= ( 43∏

)

49 Ejercicio (2 cos x + 1)(sen x - 1)=0

49.1 Demostracion Analiticaposibilidades

a) (1)()b) (0)(1)c) (0)(0)A) 2 cos x +1 = 12 cos x = 0cosx = 0x =

∏2 ; 3

2

∏sen x -1 = 0sen x = 0x = 2

∏,0

B) 2cos x +12cos x = -1cos x = −1

2

x = 1∏3 , 4

3

∏sen x -1 = 1sen x = 2x = no existe∴B) no es valido

50 Ejercico (4 cos2- 3)(csc+2)=0

50.1 Demotacion AnaliticaPosilidades : a)=(0)(0)

b)=(1)(0)=0c)=(0)(1)=0A) 4cos2θ - 3 = 0cos2θ = 3

4

cos=√34

27

cosθ =√32

θ =∏6 ; 11

∏6

θ= 5∏6 ; 7

∏6

csc +2 = 01

senθ= -2senθ = - 12θ = 7

∏6 ; 11

∏6

51 Ejercicio 2ctg sen + ctg=0

51.1 Demostracion analitica2 cosθsenθ senθ + cosθ

sen = 02 cos + cosθ

senθ= 02 sen θcosθ+ cosθ - 04 sen θ cos2θ= cos2θ4 sen 2θ= 1sen2θ = 1

2senθ = 1

2

θ=∏6 ; 5

∏6

θ = 11∏6 ; 7

∏6

52 Ejercicio tg2- (1+√3) tg x +

√3 = 0

52.1 Demostracion analitica

tg x = (1+√3)+

√(1+√

3)2−4(1)(√3)

2 = (1+√3)+√

(1−√3)2

2

tg x = (1+√3)+(1−

√3)

2 = 1+√3+1−

√3

2 =1x = 1+

√3+1−

√3

2

x =∏4 ; 5

∏4

x= (1+√3)+(1−

√3)

2 = 2√3

2 =√

3

x =∏3 ; 4

∏3

53 Ejercicio 2 sen 2 x + (2 -√3) sen x -

√3 = 0

53.1 demostracion analitica

sen x = −(1−√3)+√

(2−√3)2−4(1)(

√3)

4

sen x = (√3−2)+

√(2+√3)2

4 = (√3−2)+(2+

√3)

4

senx = 2√3

4 =√32 x =

∏3 ; 3

∏3

28

sen = −44 = -1 x = 3

∏2

x = 120; 240

54 Ejercicio 2 sen x + 3 cos x = 0

54.1 Demostracion analitica2 (1-cos2x) +3cos x = 0

2-2cos2x+3cos x = 02sen2x-3cos x-2 = 0cos = 3+−

√32−4∗2∗22∗2

cos x = 3+−54

cos x = 84

cos x = - 12x = arc cos - 12x = 120

55 Ejercicio cos2- sen2 = -12

55.1 Demostracion analiticacos2- ( 1 - cos2) = 1

22 cos2= 3

2

cos2=32

2cos2= 3

4

cos =√

34

α = arc cos√

34

α = 30

56 Ejercicio 2√3 cos2 = sen x

56.1 Demostracion analitica2√

3-2√

3sen2x = sen x2√

3sen 2 x + sen x - 2√

3 = 0

sen x = −1+−√

1−4(2√3)(−2

√3)

(2√3)2

sen x = −1+−√1+48

4√3

sen x = −1−+74√3

sen x = 64√3= 3

2√3

sen x = 3√3

6

sen x =√32

29

x = arc sen (√32 )

x = 60

57 Ejercicio sen2y - 2 cos y + 14 = 0

57.1 Demostracion analitica(- 1 cos2y) - 2 cos y + 1

4=01- cos 2y + 1

4 = 0- cos2y + 2 cos y - 54 = 0

cos y = −8−+√

82−4(4)(−5)2∗4

cos y = −8+−√144

8cos y = −8+−12

8cos y = −8−12

8 = - 208cos y = −8+12

8 = 48

cos y = − 12

y = cos−1( 12 )y = 60

58 Ejercicio 4 sec2y - 7 tg2y = 3

58.1 Demostracion analitica4 1cos2y -7 sen2y

cos2y = 34

cos2y - 7(1cos2y)

cos2y = 34

cos2y−7

cos2y+ 7cos2ycos2y = 3

−3cos2y = -4cos2y = 3

4

cos y =√

34

cos y =√32

y = arc cos (√32 )

y = 30

59 Ejercicio tg B + ctg B = 2

59.1 Demostracion analiticatg2B+ 1= 2tgB

tg2B - 2tgB + 1 = 0tgy = 1√

3y=30y=150

30

y=210y=330

60 Ejercicio sen x + cos x = 0

60.1 Demostracion analiticasenx =-cos x

1= - cosxsenx

senxcosx = 1tgx=-1x=135x=315

61 Ejercicio senx + cosx= 1

61.1 Demostracion analiticasen x + 1 - cos x

sen2x = 1-2cosx +cosx +cos2x1-cos2x = 1-2cosx + cos2+ cos2x2cos2x-2cos x = 02cos x(cos x-1)=0cos x =0cos-1=0cos x = 1x = 90x = 270x = 0x = 2Π

62 Ejercicio 2 tg2x + 3 sec x = 0

62.1 Demostracion analitica2(sec2x - 1) + 3 sec x = 0

2 sec2x +3 sec x - 2 =0sec x = −3−+

√9−4(2)(−2)6

x=−3+−56secx = −8

6 = - 32sec x = 2

6= ( 13 )x = 120x = 240

31

63 Ejercicio cos2x + 2 sen x + 2= 0

63.1 Demostracion analitica(1-sen2x ) + 2 sen x +2 =0

-sen2+2sen x +3= 0sen2x -2 sen x -3 =0sen x = 2−+

√4−4(1)(−3)4 = 2−+4

4sen x = 2+4

4 = 64= 3

2sen x = - 24= - 12x = 330x = 210

64 Ejercicios cts2α- 3 csc +3 =0

64.1 Demostracion analiticacsc2α-1-3csα + 3 = 0

css2α- 3 csc α +2 = 0cscα = 3+−

√9−4(1)(2)2 = 3+4

2cscα = 4

2 = (2)cscα = 1x = 30x = 90x =150

65 Ejercicios tg2x + ctg2 x - 2 = 0

65.1 Demostracion analiticatg4x +1-2tg2x = 0

tgx4- 2 tg2x +1

tg2x = 2+−√

4−4(1)(1)2

1+−02 =1

tg x = +-1x = 45x = 135x = 225x = 315

66 Ejercicios csc x ctg x = 2√3

66.1 Demostracion analitica( 1senx )( cosxsenx ) = 2

√3

32

2√

3cos2x + cos x - 2√

3 = 02√

3(1- cos 2x ) =cos x2√

3cos2x + cos x -2√

3=0

cos x = −1−+√

1−4(2√3)(−2

√3)

4√3

= −1+−74√3

cos x = -( 2√3) cos x ( 3

2√3)

x = 30x = 330

67 Ejercicios senx cos x + 14= 0

67.1 Demostracion analiticasen x cos x = - 14

sen2x cos2 x = - 116

sen2x (1- sen2x ) = 116

sen4x -sen2x + 116= 0

sen2x = 1+−√1−4(1)( 1

6 )

2

sen2x = 1−√

34

2

sen2x = 1−+√

34

2x= 75 x = 105 x = 255 x = 285x = 15 x= 105 x= 285

68 Ejercicios cos 2x +cos x = -1

68.1 Demostracion analitica-1 + 2 cos2x +cos x = -1

2 cos2 + cos x + 1 = 0cosx (2 cos x + 1 ) = 0cos x - 0x = 90 , 2702 cos x + 1 = 0cos x = - 12x =120, 240

69 Ejercicios 2 sen y= sen 2y

69.1 Demostracion analitica2 sen y = 2 sen y cos y

cos y = 1y = 0, 2Π= 360

33

70 Ejercicio cos 2x = cos x

70.1 Descripcion analitica2 cos2x -1 = cos x

2cos2x - cos x -1 = 0cos x = 1+−

√1−4(2)(−1)4

cos x = 1+−34

cos x = 1cos x = - 12x = 0 , 360x = 120 , 240

71 Ejercicio cos 2x = cos2x

71.1 Descripcion analitica2cos 2x - 1 = cos2x

cos2x = 1cos x = +-1x = 0 , π , 2π

72 Ejercicio tg (x + 45) = 1 + sen 2x

72.1 Descripcion analiticatgx+tg451−tgxtg45 = 1- sen 2x

tgx+11−tgx = 1 - 2 cos x sen xsenxcosx +1

1− senxcosx

= 1- 2 cos x sen xsenx+cosxcosx−senx = 1-2 cos x sen xx = 0 , 135 , 180 , 315 , 360

73 Ejercicio sen (60 - x) - sen (60 + x) =√

32

73.1 Descripcion analitica

sen 60 cos x - cos 60 sen x - (sen 60 cos x + cos 60 sen x) =√32√

32 cos x - ( 12 ) sen x -

√32 cos x - 1

2 sen x =√32

-sen x =√32

sen x = -√32

x = 300 , 240

34

74 Ejercicio sen (30 + x) - cos (60 + x) = -√

32


sen 30 cos x + cos 30 sen x - (cos 60 cos x - sen 60 sen x ) = -√32

12cos x +

√32 sen x - 1

2 cos x +√32 sen x = -

√32√

3sen x = -√32

sen x = - 12x = 330 , 210

75 Ejercicio tg (45 - x) + ctg (45 - x) = 4

75.1 Descripcion analiticatg45−tgx1+tg45tgx + 1

tg45−tgx1+tg45tgx

= 41−tgx1+tgx + 1+tgx

1−tgx = 4(1 - tg x) (1 - tg x) (1 + tg x)2= 4 (1- tg2x)1-2 tg x + tg2x +1 + 2 tg x + tg2x = 4 - 1 tg2x2(1 + tg2x) = 4 (1 - tg2x)1 + tg 2x - 2 + 2tg2x = 03 tg 2x - 1 = 0tg x = +- 1√

3x = 30 , 150 , 210, 330

76 Ejercicio sen x sen x x2 = 1 - cos x


sen x√

1−cosx2 = 1 - cos x

(1 - cos2x)( 1−cosx2 ) = 1 - 2 cos x + cos2x1−cosx−cos2x+cos3x

2 = 1 - 2 cos x + cos2xcos3x - 3 cos 2x + 3 cos x - 1 = 0(cos x - 1)3= 0cos x = 1x = 0.360

77 Ejercicio sen x2 + cos x = 1

77.1 Descripcion analitica√2−cosx

2 = 1 - cos x1−cosx

2 = 1 - 2 cos x + cos 2x

35

2 cos2 x - 3 cos x + 1 = 0cos x = 3+−

√9−4(2)(1)4 = 3+−1

4cos x = 1

2cos x = 1x = 60, 300x = 0 , 360

78 Ejercicio csc y + ctg y =√3

78.1 Descripcion analitica1

seny + cosyseny =

√3

1 + cos2y =√

3 sen y1 + 2 cos2 y + cos4 y =

√3(1 - cos2 y)

cos 4y + (2 +√

3) cos2 y + (1 -√

3) = 0y = 60

79 Ejercicio 3 (sec 2a + ctg2a) = 13


3[

1cos2a + cos2a

sen2a

]= 13

3(

1cos2asen2a

)= 13

3 = 13 sen2a (1 - sen2x)3 = 13 sen2a - 13 sen4x13 sen 4x - 13 sen2a + 3 = 0sen 2x = 13+−

√169−4(13)(3)26 = 13+−

√13

26x = 53.05 , 143.05 , 36.95 , 126.9

80 Ejercicio sen x = 3cos x

80.1 Demostracion analiticatg x = 3

x = 71 34 , 521 34

81 Ejercicio 2 cos x = cos 2x

81.1 Demostracion analitica2 cos x = 2 cos2x - 1

2 cos 2x - 2 cos x - 1 = 0cos x = 2+−

√4−4(2)(−1)4

36

cos x = 2+−√12

4 = 1+−√3

2x = 111.97

82 Ejercicio tg x = tg 2x

82.1 Demostracion analiticatg x = 2tgx

1−tg2xtg x (1 - tg2x) = 2 tg x- tg3x + tg x - 2 tg x = 0tg 3 + tg x = 0tg x (tg2x + 1) = 0tg x =0x= 0,360tg 2x + 1 = 0

83 Ejercicio 3 cos2x + 5 sen x - 1 = 0

83.1 Demostracion analitica3 (1 - sen2x) + 5 sen x - 1 = 0

-3 sen 2x + 5 sen x +2 = 0sen x = 5+−

√25−4(3)(−2)

6 = 5+−76

sen x = - 13x = 19.47 , 109.47

84 Ejercicio 3 sen x tg x - 5 tg x + 7 = 0

84.1 Demostracion analitica3sen2xcosx - 5senx

cosx + 7 = 03 sen 2x - 5 sen x + 7 cos x = 03 sen 2x - 5 sen x = -7 cos x5 sen x - 3 sen2x = 7 cos xcomparo : x = 70 , 32 ; 289 , 28

85 Ejercicio csc2x (1 + sen x ctg x) = 2


sen2x (1 + senxcosxsenx ) = 2

1 + cos x = 2 sen2x1 + cos x = 2 (1 - cos2x)2 cos 2x + cos x - 1 = 0

37

cos x = −1+−√

1−4(2)(−1)4 = 1+−3

4x = 0.2π = 360x = 120 ; 240

86 Ejercicio tg x + sec2x -3 = 0

86.1 Demostracion analiticatg x + (1 + tg 2x) - 3 = 0

tg2x + tg x -2 = 0

tg x = −1+−√

1−4(1)(−2)2 = −1+−3

2tg x1= 1x1= 45 ; 225tg x2 = -2x2= 296 , 33 ; 116 , 34

87 Ejercicio sen x + cos 2x = 4 sen 2x - 1

87.1 Demostracion analiticasen x + (1 - 2sen2x) = 4 sen2x - 1

sen x +1 -2 sen2x = 4 sen2x - 16 sen 2x - sen x - 2 = 0sen x = −1+−

√1−4(6)(−2)12 = −1+−

√49

12 = −1+−712

sen x1 = 12

x1 = 30 , 150sen x2 = - 23x2= 318 , 11 ; 221 , 48

88 Ejercicio sen (2 x - 180) = cos x

88.1 Demostracion analiticasen 2 x cos 180 - cos 2x sen 180 = cos x

-2 sen x cos x = cos xsen x = − 1

2-2 sen x cos x - cos x = 0cos x (2 sen x + 1)cos x = 0x = 90 , 270x = 330 , 210

38

89 Ejercicio sec (x+ 120) + sec (x - 120) = 2 cosx


cos(x+120) + 1cos(x−120) = 2 cos x1

cosxcos120−senxsen120 + 1cosxcos120+senxsen120 = 2 cos x

1

− 12−√

32 senx

+ 1

− 12 cosx+

√3

2 senx= 2cos x

- 12cos x +√32 sen x + (− 1

2cos x −√32 sen x) = 2 cos x (14cos2x - 3

4 sen2x)-cos x = 2 cos

[14cos

2x− 34 (1− cos2x)

]-cos x = 2 cos

[14cos

2 − 34 + 3

4cos2x]

-cos x = 2 cos x (cos2x - 34 )-cos x = 2 cos3x - 32cos x-2 cos x = 4 cos 3x - 3 cos x4 cos3x - cos x = 0cos x (4 cos2x-1) = 0cos x = 0x = 90 , 2704 cos2x - 1 = 0cos x = +- 12x = 60 , 120 , 240 , 300

90 Ejercicio cos2x + 2 sen x = 0

90.1 Demostracion analitica(1 - sen 2x ) + 2 sen x = 0

1 +2 sen x - sen 2x = 0sen x = +2+−

√4−4(−1)(1)2 = 2+−2

√2

2 = 1 +-√

2

x = sen−1(1 +-√

2)x = 335 , 31 ; 204 , 28

91 Ejercicio sec2x - 4 tg x = 0

91.1 Demostracion analitica(1 + tg2x) - 4 tg x = 0

tg2x - 4 tg x + 1 = 0

tg x = 4+−√

16−4(1)(1)2 = 4+−2

√3

2 = 2+-√

3

x = tg−1 (2+-√

3)x = 75 , 255x = 15 , 195

39

92 Ejercicio 55 sen22x - sen 2x -2=0


sen (2x) = 1√

1−4(1)(−2)2 = 1+3

2sen x = 1+3

2 = 22x = sen−1(2)sen 2x = 1−3

2 = -12x = sen−1(1)2sex = -90x = -45, 135, 315

93 Ejercicio tg2(x2)- tg x2-2 = 0


tg(x2 ) = 1+√

1−4(1)(−2)2

x2= tg−1( 1+3

2 )x2= tg−1(2)x = 126; 52x2 = -45x= 270

94 Ejercicio 4 sen x +3 cosx = 3

94.1 Descripcion analitica[4senx]

2+3 [3− (cosx)]2

16 sen2x = 9 ( 1-2cosx +cos2x )16 (1- cos2x ) = 9(1- 2 cosx +9 cos2x16-16 cos2x - 18 cos x - 7 = 0cos x =18+

√182−4(25)(−7)2(25) = 18+

√1024

50 = 18+3250

x = cos−1( 18−3250 )x = cos−1(1) = 0 , 360x = cos−1(-0.28) = 106 ; 15

95 Ejercicio 5 senx =4 cos x +4

95.1 Descripcion analitica25 sen2x = 16 cos2x +32 cos x +16

25(1-cos2x) = 16 cos2x +32 cosx +16-41 cos2x -32 cos x +9 = 041 cos2x +32cos x -9 =0

40

cos x = −32+√

322−4(4)(−9)82 = −32+50

82x = cos −1(-1) = 180x = cos (0.22195) = 77◦19′

96 Ejercicio senx + sen 2x + sen 3x = 0

96.1 Descripcion analiticasen x + 2 sen x cos x + sen x cos 2x +cos x sen 2x = 0

sen x +2 sen x cos z + sen x (1+2 sen2x ) + cos x ( 2 sen x cos x ) = 0sen x + 2 sen cos x + sen x - 2 sen 3x + 2 sen x 2 sen cos2 = 0sen x + 2sen x cos x + sen x - 2 sen3 x + 2 sen x - 2 sen 3x = 04 sen x - 4 sen 3x + 2 sen xcos x = 02 sen x ( 2-2sen2x+cos )2 sen x = 0sen x = 0x = 0; 3602 - sen 2x+ cos x2-(2)sen x + cos x2-(2) + 2 cos 2x + cos x = 0cos x ( 2 cos x + 1)= 0cos x = 0x = 90 , 270cos x = - 12x =120,240

97 jercicio tg x + tg2x +tg3x = 0

97.1 Demotacion Analiticatg x + 2tgx

1−tg2x+ tg (x+2x) = 0

tg x + 2tgx1−tg2x + tgx+tg2x

1−tgxtg2x=0

tg x + 2tgx1−tgx2 +

tgx+ 2tgx

1−tgx2x

1−tgx 2tgx

1−tg2x

=0

tg x + 2tgx1−tg2x+ tgx(1−tg2x)+2tgx

(1−tg2x)−2tg2x = 0

tg x + 2tgx1−tg2 + tgx−tg3+2tgx

1−3tg2xtg x (1-tg2x)(1-3tg2x)+2tg x (1- 3tg2x)+(3tg x -tg3x )(1-tg2x)=0(tg x -3tg2x)(1-3tg5x + 2tg x -6tg2x+3tg x -3tg x - tg3x +tg5x = 04tg5x -8tg3x-6tg2x + 6 tg x = 0 ÷22tg5x -4 tg3x - 3tg2x + 3tgx =0tg x (2tg4x - 4tg2- 3tg x +3)2tg4x -4 tg2x + 3=0tgx = no tiene solucion real

41

tgx = 0x = 0,360

98 Ejercicio sen 4 x - cso 3 x = sen 2x

98.1 Descripcion analiticasen ( 2x +2x ) - cos ( x +2x) = 2 senx cosx

sen x (2x) cos (2x) + cos2x sen2x - [ cos x (1-2sen2x ) - senx(2) sen x cos]=2 sen x cos x

2 sen x cosx [1- 2sen2x](2) sen x sen x - [ cosx-2sen2x) - senx (2) sen x cosx] = 2sen x cos x

2senx cosx - 8 sen3cosx - cosx +4 sen3x cos - (cosx -2sen2x cos x -2 sen2xcos x= 2 sen2x cos x 2 sen x cos x

4 sen x - 8 sen3x + 4 sen2xcos x= 2 sen x2 sen x - 8 sen3+ 4 sen2= 0sen x(2-8sen2x+4 sen2x )-8 sen2x + 4 sen x +2 = 08 sen2x - 4sen x -2 = 02sen2- senx -1 = 0sen x = 1+

√1−4(2)(−1)2(2) = 1+3

4

sen x = 44= 1 x = 90

senx = -12 x = 330; 210

99 Ejercicio sen 3x - sen = sen5x

99.1 Demostracion Analiticasen (x+2x) - senx = sen (2x +3x)

senx cosx +cosx sen2x - senx = sen 2x cos3x + cos2x sen3xsenx(1-2sen2x) + cosx (2senx cosx ) - senx = 2senx cosx cos 2x +(1- 2sen2x)(sen(x+2x))senx-2sen3x +2 sen x cos2x - sen x = 2 sen x cos x [cos x cos 2x - sex sen

2x]+(1-2sen2x)[ sen x cos 2x + cos x sen 2x]-2sen3x + 2 senx cos 2x = 2 sen x cos x (2senx cosx)]+ (1-2sen2x [sen x (1-2

senx )+cos x (2senx cosx)]+ (1-2 sen2x )[senx (1-2sen2x)+cosx(2senx cosx)]2sen x -4sen 2x= 2 sen x(1-sen2x ) -4 sen3(1-sen2x) -a sen 3x (1-sen2x) +

sen x - 2 sen 3x2sen x - 2 sen 3x - 2 sen 3x + 4 sen 5x - 4 sen 3x +4 sen 5x2 sen x - 4 sen2x = 2 sen x - 2sen 3x - 4 sen3x + 4 sen 5x - sen3x +4 sen5x

+ sen x - 2 sen3x2 sen x - 2sen3x- 2 sen3x +4 sen5x - 4 sen 3x + 4sen5x2 sen x - 4 sen2x = 5 sen x - 20 sen3x + 16 sen 5x16 sen5x - 20 sen2x + 4 sen2x + 3 sen x = 0sen x(16 sen4- 20 sen2x +4 sen x +3 )= 0senx = 0

42

x = 0 ; 36016 sen 4- 20 sen 2x + 4 sen x +3 = 0x = no tiene solucion real

100 Ejercicio: ¿Cuales son los angulos agudos deun triangulo rectangulo si la diferencia de loscuadrados de los catetos es igual al doble desu producto?

a = c sen Ab= c sen Bab = c2sen A sen Ba2= c2sen2Ab2= c2sen2Bc2(sen2A - sen2B2)2 c2sen A sen Bsen2A - sen2B = 2 sen A sen B[sen(90 +B)]

2 - [sen(A+ 90)]2 = 2 sen (90 + B) sen (90 + A)

[senA]2- [sen(A+ 90)]

2= 2 sen (90 + B) sen (90 +A)[senA]

2- [sen(A+ 90)]2= 2 sen A sen (90 + A)

sen2A−[senAcos90+cosAsen90]2senA[senAcos90+cosAsen90] =

sen 2A - cos 2A = 2 sen A cos Asen2A (1 - sen2A) = 2 sen A

√1− sen2A

(2 sen 2A - 1)2= 4 sen2A (1 - sen2A)4 sen 4A - 4 sen2A +1 = 4 sen2 A - 4 sen 4A8 sen4- 8 sen2A + 1 = 0sen2A = 8+−

√64−4(8)(1)16 = 4(2+−

√2)

16 == 2+−

√2

4sen A 1= 8 , 25 , 15.81sen A 2= 58 , 36 , 1.03

101 Ejercicio: ¿Que angulos comprendidos entre90 y 270 satisfacen la ecuacion cos (x + 60)cos (x - 60) = -1

2?

cos (x + 60) cos (x - 60) = − 12

[cosxcos60− senxsen60][cosxcos60 + senxsen60][12cosx−

√32 senx

] [12cosx+

√32 senx

]= - 12

14cos2x +

√34 sen x cos x -

√34 sen x cos x - 34 sen2x = − 1

214 (1 - sen2x)- 34 sen2 x = - 12

43

14 - 1

4 sen2x - 34 sen2x = - 12

+ sen2x = 34

sen x = +-√32

x = 60 , 120

102 Ejercicio 1 cos2A=12+

12cos2A

102.1 Demostracion Analiticacos2A=cosAcosA-senAsenA

cos2A=cos2AsinA

cos2A=cos2A-(1-cos2A)cos2A=cos2A-1+cos2Acos2A=2cos2A-11+cos2A=2cos2A2cos2A=1+cos2Acos2A= 1+cos2A

2cos2A= 1

2+ 12cos2A

102.2 Demostacion Grafica

44

102.3 Comprovacion Analitica

A=∏6

cos2A=(∏6 )= 1

2+ cos(2∗∏6 )

234=1 1

2+ 14

34= 3

4

103 Expancion 2 sin2A=12-

12cos2A

103.1 Demostracion Analiticacos2A=cos2A-sin2A

cos2A=1-sin2A-sin2Acos2A=1-sin2

2cos2A=1-cos2Asin2=1-cos2Acos2A= 1

2 - 12cos2A

45


103.3 Comprovacion NumericaA=0

sin2(0)= 12 - 12cos2(0)

0= 12 - 12

0=0

104 Expancion 3 cos3A=34cosA+1

4cos3A

104.1 Demostracion Analiticacos3A=cos(A+2A)

cos3A=cosAcosA-sin2AsinAcos3A=cosA(2cos2A-1)-(2sinAcosA)cos3A=2cos3A-cosA-(2sin2AcosA)cos3A=2cos3A-cosA-2sin2A-cosAcos3A2cos3A-ocsA-2(1-cos2A)cosAcos3A2cos3A-cosA-2(cos2A-cos3A)cos3A=2cos3A-cosA-2cosA+2cos3Acos3A=-3cos3A+4cos3A4acos3A=3cosA+cos3Acos3A= 3

4cosA+ 14cos3A

46


104.3 Demostracion NumericaA=0

cos3(0)= 34cos(0)+ 1

4cos3(0)1=1

105 Expancion sin3A=34sinA-1

4sin3A

105.1 Demostracion Analiticasin3A=sin(A+2A)

47

sin3A=sinA+cos2A+cosA+sin2Asin3A=sin(1-2sin2A)+cosA(sin2AcosA)sin3A=sinA-2sin3A+2sinAcos2Asin3A=sin A-2sin3A+2sin(1-sin2A)sin3A=sin A-2sin3A+2sinA-2sin3Asin3A=3sinA-4sin3A4sin3A= 3

4 sinA- 14 sin3



4sin3(0)= 34 sin(0)- 14 sin3(0)

0=0

48

106 Expancion cos4A=38+

12cos2A+1

8cos4A

106.1 Demostracion Analiticacos4A=cos(2A+2A)

cos4A+cos2Acos2A-sin2Asin2Acos4A=(2cos2A-1)cos2A-2(2sinAcosA)(2sinAcosA)cos4A=2cos2Acos2A-cos2A-4sin2Acos2Acos4A=2cos2A(2cos2A-1)-cos2A-4sin2Acos2Acos4A=4cos4A-2cos2A-cos2A-cos2A-(1-4cos2A)cos2Acos4A=4cos4A - 2cos2A - cos2A - (4 - 4cos2A)cos2Acos4A=4cos4A - 2cos2A - cos2A - cos2A - 4cos2A + 4cos2Acos4A=8cos4A -6cos2A - cos2Acos4A=8cos4A -6( 1

2 + 12 cos2A)- cos2A

cos4A=8cos4A - 62 - 6

2cos2A - cos2Acos4A=8cos4A - 3 - 3cos2A - cos2Acos4A=8cos4A - 4cos2A - 3cos4A=4cos2A + 3 + 4cos4Acos4A= 4

8 cos2A + 38 + 1

8 cos4Acos4A= 3

8+ 12cos2A+ 1

8cos4A


49

106.3 Demolstracion NumericaA=0

cos40= 38+ 1

2cos20+ 18cos40

1=1

107 Expancion sin4A=38-

12cos2A+1

8cos4A

107.1 Demostracion Analiticacos4A=cos(2A+2A)

cos4A=cos2Acos2A-sin2sin2Acos4A=(cos2A-sin2A)(cos2A-sin2A)-(2sinAcosA)(2sinAcosA)cos4A=(1 - sin2A - sin2A)(4sen2A(sin2A))cos4A=(1 - sin2A - sin2A)(4sin2Asin4A)cos4A=1 - sin2A - 4sin4A - sin4Acos4A=-(-1 + cos2A - 4sin4A - sen4A8sin4A = 1 - cos2A + 4cos4A + 28sin4A = 3 - cos2A + 4cos4Asin4A = 3

8 - 12 cos2A + 1

8 cos4A



sin4(1) = 38 - 1

2 cos2(1) + 18 cos4(1)

0=0

50

108 Expancion cos5A=58cosA+ 5

16cos3A + 116cos5A

108.1 Desmotracion Analiticacos5A = cos(2A + 3A)

cos5A = cos2Acos3A - sin2Asin3Acos5A = 4cos3A - 3cosAcos2A - sin2A - 3sinA - 4sin3A2sinAcosAcos5A = 4cos3A - 3cosAcos2A - (-1 - cos2A) - 6sin2AcosA - 8sin4AcosAcos5A = 4cos3A - 3cosAcos2A - 1 + cos2A - 6(1 - cos2A)cosA - 8(1 - cos2A)(1

- cos2A)cosAcos5A = 16cos5A + 12cos3A + 9cosAcos5A= 5

8cosA+ 516cos3A + 1

16cos5A


51


cos5(0)= 58cos(0)+ 5

16cos3(0) + 116cos5(0)

1=1

109 Expancion sin5A=58sinA- 5

16sin3A+ 1

16sin5A

109.1 Demostracion Analiticasin5A = sinA(2A + 3A)

sin5A = sin2Acos3A + sin2Acos3Asin5A = 3sinA - 4sin2Acos2A - sin2A + 2sinAcosA(4cos3A - 5cosA)sin5A = 3sinA - 4sin2A + 4sin4A - sin2A + 2sin4A(1 - sin2A)(1 - sin2A) -

2sinA3cos2Asin5A = 5sinA - 5sin2A + 4sin4A - 2sin3A + 8sin5A8sin5A = 5sinA - 5sin2A + 4sin4A - 2sin3A + sin5Asin5A= 5

8 sinA- 516 sin3A+ 1

16 sin5A

52



sin5(0)= 58 sin(0)- 5

16 sin3(0)+ 116 sin5(0)

0=0

110 Expancion cos6= 516+

1532cos2A+ 3

16cos4+ 132cos6A

110.1 Demostracion Analiticacos6A = cos(3A + 3A)

cos6A = cos3Acos3A - sin3Asin3Acos6A = (4cos3A - 3cosA)(4cos3A - 3cosA) - (3sinA - 4sin3A)(3sinA - 4sin3A)cos6A = 16cos6A - 12cos4A - 12cos4A + 9cos2A - 9(1 - cos2A + 12(1 -

cos2A)(1 - cos2A) - 12(1 - cos2A)cos6A = 32cos6A + 24cos4A - 30cos2A + 1932cos6A = cos6A + 24cos4A - 30cos2A + 19

53

cos6A = 516+ 15

32cos2A+ 316cos4+ 1

32cos6A



cos6(0) = 516+ 15

32cos2(0)+ 316cos4+ 1

32cos6(0)

111 Expancion sin6A = 516 - 15

32cos2A + 316cos4A -

13cos6A

111.1 Demostracion Analiticacos6A = cos(3A + 3A)

cos6A = cos3Acos3A - sin3Asin3Acos6A = (4cos3A - 3cosA)(4cos3A - 3cosA) - (3sinA - 4sin3A)(3sinA - 4sin3A)cos6A = 16cos6A - 12cos4A - 12cos4A + 9cos2A - 9(1 - cos2A) + 12(1 -

cos2A)(1 - cos2A) - 12(1 - cos2A)cos6A = 32cosA + 24cos4A - 30cos2A + 1932cos6A = cos6A + 24cos4A - 30cos2A + 19sin6A = 5

16 - 1532cos2A + 3

16cos4A - 13cos6A

54


111.3 Demotracion NumericaA=0

sin6(0) = 516 - 15

32cos2(0) + 316cos4(0) - 1

3cos6(0)0=0

55

juan diego rodriguez

Documents