juris smotrovs latvijas universitāte

Ievads kvantu skaitļošanā

Juris Smotrovs

Latvijas Universitāte

Eiropas Sociālā fonda projekts

“Datorzinātnes pielietojumi un tās saiknes ar kvantu fiziku”

Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

Runas saturs

Kvantu skaitļošanas priekšvēsture un vēsture

Atmiņa

Kvantu bits (kubits)

Kubitu reģistrs

Skaitļošana: unitāri operatōri

Iznākumu nolasīšana: mērījumi

Veikli kvantu algoritmi

Doiča-Dţozas algoritms

Grouvera algoritms



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

Priekšvēsture: kvantu mehānika

1900. Makss Planks (Max Planck): kvantu pieņēmums

1905. Alberts Ainštains (Albert Einstein): gaismas kvantu esamība

1913. Nelss Bors (Niels Bohr): atoma uzbūves modelis

1924. Luijs de Brojī (Louis de Broglie): viļņu-daļiņu divdabība

1925. Volfgangs (Wolfgang) Pauli: izslēgšanas likums

1926. Ervina Šrēdingera (Erwin Schrödinger) vienādojums

1926. Makss Bōrns (Max Born): varbūtību blīvuma funkcija

1927. Verners Haizenbergs (Werner Heisenberg): nenoteiktības likums

1928. Pōla Direka (Paul Dirac) vienādojums

1932. Dţons fon Noimans (John von Neumann): kvantu mehānikas matemātiskie pamati

..................................



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

Priekšvēsture: skaitļošanas teorija

1931. Kurts Gēdels (Kurt Gödel): nepilnības teorēmas

1936. Emila Leona Posta mašīna

1936. Alonzo Čērčs (Church): neizšķirams uzdevums, λ-rēķini

1936. Elens Tjuerings (Alan Turing): neizšķirams uzdevums, Tjueringa mašīna

1939. Stīvens K. Kleinī (Stephen C. Kleene): rekursijas teōrija

1945. Dţona fon Noimana skaitļotāja arhitektūra

1948. Klods Šenons (Claude E. Shannon): informācijas teōrija

1956. Nouma Čomski (Noam Chomsky) gramatiku hierarhija

1965. Juris Hartmanis un Ričerds Stērns (Richard Stearns): sareţģītības teōrija

1971. Stīvens Kuks (Stephen Cook): P = NP? uzdevums

..................................



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

Kvantu skaitļošanas vēsture

1973. Čārlzs Benets (Charles Bennett): apgrieţama skaitļošana

1973. Aļeksandra Hoļevo (Александр Холево) kvantu informācijas ierobeţojumi

1981. Ričerda Fainmena (Richard Feynman) doma par kvantu skaitļotāju

1984. Čārlzs Benets un Ţils Brasārs (Gilles Brassard): kvantu protokols kriptogrāfisko atslēgu izplatīšanai

1985. Deivids Doičs (David Deutsch): universāls kvantu skaitļotājs

1993. Dena Saimona (Dan Simon) algoritms: eksponenciāls ātruma uzlabojums uzdevumā ar orākulu

1994. Pīters Šors (Peter Shor): polinomiāla laika kvantu algoritms skaitļu sadalīšanai reizinātājos

1996. Lovs Grouvers (Lov Grover): kvadrātisks ātruma uzlabojums ieraksta meklēšanai datubāzē

1998. pirmie nelielie kvantu skaitļotāji

..................................



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

Pamatdoma

Skaitļošanu var izpildīt tikai īstajā,

“taustāmajā” pasaulē kā fizisku norisi, tāpēc

tai jāpakļaujas dabas (fizikas) likumiem

Pašos pamatu līmeņos dabas likumus

apraksta kvantu mehānika

Vai no kvantu mehānikas skaitļošanai izriet

kādas atšķirības, salīdzinot ar mums

pazīstamo (klasisko) skaitļošanu? – JĀ!



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

Atmiņa: klasiskais bits

Tas ir vai nu 0, vai 1

Klasiskajā izpratnē viena bita atmiņa ir

(klasiskās fizikas) sistēma, kurai ir divi

iespējamie (atšķirami) stāvokļi, apzīmēti ar 0

vai 1



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

Atmiņa: kvantu bits (kubits)

Divu stāvokļu kvantu sistēma

Tās divus atšķiramos stāvokļus apzīmē ar |0

un |1



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

Pirmais kvantu likums

Superpozīcijas likums: ja kvantu sistēmā iespējami n

daţādi atšķirami (“bāzes”) stāvokļi, tad tā var

atrasties arī jebkurā šo stāvokļu superpozīcijā

(“pārklājumā” vai “salikumā”), turklāt to, cik lielā mērā

tā atrodas katrā no bāzes stāvokļiem, raksturo

kompleksi skaitļi α1, α2, ..., αn, saukti par (varbūtību)

amplitūdām. Tiem jāizpildās:



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

122

2

2

1 n


Tātad kubits var atrasties arī jebkurā stāvokļu

|0 un |1 superpozīcijā, ar kādām

amplitūdām α0 un α1

Tādu superpozīcijas stāvokli apzīmē:

α0 |0 + α1 |1

α0 un α1 ir kompleksi skaitļi, kuriem izpildās:

|α0|2 + |α1|

2 = 1



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044


Kubita stāvokli var

aprakstīt arī kā vektōru

telpā C2:

1

0



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

|0

|1

α0

α1

Tā |0 = 1 |0 + 0 |1 jeb

0

1

... un |1 = 0 |0 + 1 |1 jeb

1

0

Atmiņa: kubitu reģistrs

Divus kubitus α0 |0 + α1 |1 un β0 |0 + β1 |1 var salikt kopā, veidojot divu kubitu reģistru

Tad, ja mēs nomērīsim abus kubitus, mēs iegūsim pirmajam kubitam:

atbildi |0 ar varbūtību |α0|2,

atbildi |1 ar varbūtību |α1|2

... un otrajam kubitam:

atbildi |0 ar varbūtību |β0|2,

atbildi |1 ar varbūtību |β1|2



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044


Varam skatīties uz divu kubitu reģistru arī

citādi – kā uz četru stāvokļu |0|0, |0|1,

|1|0, |1|1 sistēmu

No tāda skatpunkta mēs iegūsim:

atbildi |0|0 ar varbūtību |α0β0|2,



atbildi |1|1 ar varbūtību |α1β1|2



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044


Strādā reizināšanas likums:



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

11011000

1010

11011000

1010

|0 |0 apzīmē to pašu, ko |0 |0 jeb |00

Šo reizināšanu sauc par tenzorreizināšanu

Tā nav komutatīva:

|0 |1 nav tas pats, kas |1 |0


Matricu Kronekera (Kronecker) jeb tenzorreizināšana:



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

nlmk

BaBaBa

BaBaBa

BaBaBa

BA

lkbBnmaA

mnmm

n

n

ijij

izmēriemar

izmēriemar , izmēriemar

21

22221

11211


Piemēram, mūsu divu kubitu reģistra stāvoklis matricu pierakstā:



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

11

01

10

00

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

Pirmais kvantu likums

Superpozīcijas likums: ja kvantu sistēmā iespējami n

daţādi atšķirami (“bāzes”) stāvokļi, tad tā var

atrasties arī jebkurā šo stāvokļu superpozīcijā

(“pārklājumā” vai “salikumā”), turklāt to, cik lielā mērā

tā atrodas katrā no bāzes stāvokļiem, raksturo

kompleksi skaitļi α1, α2, ..., αn, saukti par (varbūtību)

amplitūdām. Tiem jāizpildās:



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

122

2

2

1 n


Divu kubitu reģistra vispārīgais stāvoklis:



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

1

11100100

2

11

2

10

2

01

2

00

11100100

kur


Starp šiem ir tādi stāvokļi, kurus nevar izteikt kā divu

viena kubita stāvokļu tenzorreizinājumu

Tādus stāvokļus sauc par sapītiem stāvokļiem

Tas nozīmē, ka uz divu kubitu reģistru nevar skatīties

kā uz divu neatkarīgu kubitu salikumu



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044


n kubitu reģistra vispārīgais stāvoklis:

1kur

111010000

2

111

2

010

2

000

111010000



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

Ģeometriski tas ir patvaļīgs

vienības garuma vektōrs telpā

C2n

111

010

000

Otrais kvantu likums

Stāvokļa izmaiņas kvantu likums: kvantu sistēmas

stāvokļa izmaiņa ir unitārs lineārs operatōrs

Lineārs operatōrs ir unitārs tad un tikai tad, ja tas

saglabā vektōru normu

... jeb: tas attēlo vienības hipersfēru (kur atrodas

kvantu stāvokļu vektōri) pašu par sevi

Būtībā unitāri operatōri ir pagriezieni (rotācijas)

Tā kā unitārie operatōri ir lineāri, tad, lai tos definētu,

pietiek pateikt, kā tie pārveido bāzes vektōrus



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044


Viena kubita unitāru operatōru piemēri:



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

ieP

R

NOT

id

0

01 :nobīde fāzes

cossin

sincos :spagriezien

01

10 :operatōrs (NĒ) NOT

10

01 :operatōrs vienības


Viena kubita unitāru operatōra piemērs, Adamāra

(Hadamard) pārveidojums:

12

10

2

11

12

10

2

10



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

21

21

21

21

H


Divu kubitu unitāra operatōra piemērs, uzraudzītā NĒ

(controlled NOT, CNOT) operatōrs:

1011

1110

0101

0000



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

0100

1000

0010

0001

CNOT


Skaitļošanas piemērs, Bella stāvokļa |Φ+ radīšana:



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

CNOT

H |0

|0





Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

CNOT

H |0

|0

0000





Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

CNOT

H |0

|0

102

100

2

101

2

10

2

1





Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

CNOT

H |0

|0

112

100

2

1

Trešais kvantu likums

Jebkādu informāciju par kvantu sistēmas stāvokli var izgūt

makroskopiskajā pasaulē tikai ar mērījuma palīdzību

Matemātiski mērījums nozīmē stāvokļu telpas H sadalīšanu

ortogonālās apakštelpās: H = E1 E2 ... Ek

Ja stāvokļa vektōrs pirms mērīšanas ir



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

k

i Eiproj

1

... tad pēc mērījuma stāvoklis nejauši, ar varbūtību ||projEi ψ||2 kolapsē uz vienu no šīm apakštelpām:

ii EE projproj

Vienīgā iegūtā klasiskā informācija ir apakštelpas numurs i

Iznākuma nolasīšana: mērījums

Mērījuma piemērs:

Iznākums E1 ar varbūtību ½

Iznākums E2 ar varbūtību ½



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

|0 = E1

|1 = E2

1/√2

12

10

2

1

1/√2


Mērījuma piemērs:

Iznākums E1 ar varbūtību 1

Iznākums E2 ar varbūtību 0



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

|0

|1

1 1

2

10

2

1

E1 E2

0


Piemērs: divu kubitu sistēmā mēra tikai pirmo kubitu



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

21buar varbūtī Iznākums


11,10

01,00

112

1002

1

2

1

2

1

E

E

spanE

spanE


Piemērs: divu kubitu sistēmā mēra tikai pirmo kubitu



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044



110,010

110,010

112

1002

1

2

1

21

21

21

21

2

21

21

21

21

1

E

E

spanE

spanE


Piemērs: Doiča-Dţozas (Deutsch-Jozsa) algoritms (1992.)

Ieejā: melnās kastes funkcija f: {0,1}n → {0,1}, kas ir

vai nu konstanta (tas ir, visas tās vērtības sakrīt),

vai līdzsvarota (tas ir, puse tās vērtību ir 0, un otra puse ir 1)

Algoritms drīkst vaicāt melnajai kastei funkcijas vērtības;

algoritma sareţģītību mēra kā uzdoto vaicājumu skaitu

Melnā kaste strādā šādi: ieejā |x|b, izejā |x|b f(x)

Izejā: atbilde “konstanta” vai “līdzsvarota”



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044


Piemērs: Doiča-Dţozas algoritms (1992.)



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

f

H |0

H |0

H |0

|0

..................................

Pπ

f ................. ....

mērī

jum

s





Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

f

H |0

H |0

H |0

|0

..................................

Pπ

f ................. ....

00n

mērī

jum

s





Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

f

H |0

H |0

H |0

|0

..................................

Pπ

f ................. ....

12

00

2

1 n

xnx

mērī

jum

s





Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

f

H |0

H |0

H |0

|0

..................................

Pπ

f ................. ....

12

0)(

2

1 n

xnxfx

mērī

jum

s





Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

f

H |0

H |0

H |0

|0

..................................

Pπ

f ................. ....

12

0

)()(1

2

1 n

x

xf

nxfx

mērī

jum

s





Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

f

H |0

H |0

H |0

|0

..................................

Pπ

f ................. ....

12

0

)(01

2

1 n

x

xf

nx

mērī

jum

s





Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

f

H |0

H |0

H |0

|0

..................................

Pπ

f ................. ....

konstantaalīdzsvarot

12

0konstanta

12

0

)(,0

2

1,01

2

1EExspanEx

nn

xnx

xf

n

mērī

jum

s


Ekonstanta ir viendimensionāla: Ekonstanta = span(|θ), kur

Tādējādi |ψ projekcijas uz Ekonstanta garums sakrīt ar absolūto

vērtību no |ψ un |θ skalārā reizinājuma, ko apzīmē ψ|θ:

12

00

2

1 n

xnx



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

12

0

)(12

0

)(1

2

1

2

11

2

1 nn

x

xf

nx n

xf

n

... kas pēc absolūtās vērtības ir 1, ja f ir konstanta, un 0, ja f ir līdzsvarota

Kvantu algoritms dod pareizo atbildi ar varbūtību 1 un tikai 2

vaicājumiem (klasiski sliktākajā gadījumā vajag 2n-1+1)


Cits piemērs: Grouvera (Grover) algoritms (1996.)

Ieejā: melnās kastes funkcija f: {0,1}n → {0,1},

tāda ka f(x) = 1 tieši vienai (nezināmai) vērtībai, x = x0; visām citām vērtībām f(x) = 0

Algoritms drīkst vaicāt melnajai kastei funkcijas vērtības; algoritma sareţģītību mēra kā uzdoto vaicājumu skaitu

Melnā kaste uz klasiskiem vaicājumiem strādā šādi:

ja ieejā ir |x, tad izejā ir (−1) f (x)|x

Izejā: x0



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044


Piemērs: Grouvera algoritms (1996.)



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

f

H |0

H |0

H |0

..................................

D

........ ....

atkārtot O(√N) reizes

mērī

jum

s

N = 2n


f-vaicājuma matrica



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

0

10000

01000

00100

00010

00001

vaicājums-

x

f


D (difūzijas) pārveidojuma matrica



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

IJDN

NNN

NNN

NNN

2

222

222

222

1

1

1


D atspoguļo sava argumentvektōra komponentes pret to aritmētisko vidējo



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

N

aaam

amm

amm

amm

am

am

am

a

a

a

IJ

a

a

a

D

N

NNN

N

N

21

2

1

2

1

2

1

22

1

kur

)(

)(

)(

2

2

2





Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

f

H |0

H |0

H |0

..................................

D

........ ....

n0

mērī

jum

s






Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

f

H |0

H |0

H |0

..................................

D

........ ....

TN

x NNNx

N

1111 1

0

mērī

jum

s



Stāvokļa vektōra komponenšu vērtības



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

0

1/√N

2/√N

3/√N

4/√N

5/√N

−1/√N

−2/√N

−3/√N

|0 |1 |2 |x0−1 |x0 |N−2 |x0+1 |N−1

..... .....


Pēc f-vaicājuma



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

0

1/√N

2/√N

3/√N

4/√N

5/√N

−1/√N

−2/√N

−3/√N

|0 |1 |2 |x0−1

|x0

|N−2 |x0+1 |N−1

..... .....


Pēc f-vaicājuma



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

0

1/√N

2/√N

3/√N

4/√N

5/√N

−1/√N

−2/√N

−3/√N

|0 |1 |2 |x0−1

|x0

|N−2 |x0+1 |N−1

vidējais ..... .....


Pēc difūzijas



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

0

1/√N

2/√N

3/√N

4/√N

5/√N

−1/√N

−2/√N

−3/√N

|0 |1 |2 |x0−1 |x0 |N−2 |x0+1 |N−1

..... ..... vidējais


Pēc f-vaicājuma



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

0

1/√N

2/√N

3/√N

4/√N

5/√N

−1/√N

−2/√N

−3/√N

|0 |1 |2 |x0−1

|x0

|N−2 |x0+1 |N−1

..... .....


Pēc f-vaicājuma



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

0

1/√N

2/√N

3/√N

4/√N

5/√N

−1/√N

−2/√N

−3/√N

|0 |1 |2 |x0−1

|x0

|N−2 |x0+1 |N−1



Pēc difūzijas



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

0

1/√N

2/√N

3/√N

4/√N

5/√N

−1/√N

−2/√N

−3/√N

|0 |1 |2 |x0−1 |x0 |N−2 |x0+1 |N−1



Pēc O(√N) atkārtojumiem |x0 amplitūda praktiski

sasniedz 1

Tādējādi mērījums tajā brīdī dod |x0 ar varbūtību

(gandrīz) 1

Klasiski nepieciešami O(N) vaicājumi



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

Paldies par uzmanību!

Jautājumi?

juris smotrovs latvijas universitāte

Documents