Univerzitet u Beogradu 20. septembar 2020. Elektrotehnički fakultet

MEHANIKA 1. Dva jednaka homogena, glatka štapa AB i CD oslanjaju se u tačkama B i D na glatku horizontalnu

podlogu. Dužine štapova su iste i iznose 2L, a težine G. Središta štapova su međusobno pričvršćena cilindričnim zglobom O. Krajevi štapova A i C su spojeni užetom dužine L, kao na slici. Između gornjih polovina štapova leži tanak disk poluprečnika r i težine G1. Odrediti silu u užetu.

A

B

C

D

r

O

L

L

2. Aluminijumski provodnik (uže) nadzemnog voda je vezan za fiksne tačke A i B koje se nalaze u istoj horizontalnoj ravni. Rastojanje između tačaka vešanja je AB =200 m. Teren iznad kojeg se nalazi vod je ravan. Minimalna očekivana temperatura provodnika je tmin=-20 0C, a maksimalna tmax=60 0C. Predviđeno je da se pri temperaturi tL=-5 0C na provodnik može ravnomerno nahvatati led, čija je maksimalna podužna težina qmax= 2 N/m. Proračunati minimalnu potrebnu visinu tačaka vešanja Hmin, ako je minimalna zahtevana udaljenost provodnika od zemlje dmin=4 m, a maksimalno dozvoljeno naprezanje provodnika Pa107 7d .

Parametri užeta su: .K1022Pa;107;N/m108,2;50 -1-610342 EmmA 3. Aluminijumska greda, AB =6L=3m, oslonjena se na dva oslonca C i D, koji se nalaze u horizontalnoj ravni. Središni deo grede je ravnomerno opterećen teretom 600q N/m, kao što je prikazano na slici. Poznato je: d=8∙107 Pa, 10107 E Pa.

a) Nacrtati statički dijagram momenata savijanja grede i dimenzionisati gredu ako je ona kvadratnog poprečnog preseka (aa).

b) Koristeći rezultat iz prethodne tačke, proračunati ugibe krajeva grede (tačke A i B) pod dejstvom zadatog tereta.

Napomena: Ispit traje maksimalno 3 sata. Studenti koji su položili kolokvijum rade zadatak 3 i jedan od preostala dva zadatka po izboru. Ostali studenti rade sve zadatke.

L

A B

q

L L L L L

C D

20. 09. 2020.

MEHANIKA Rešenja zadataka

1. Posmatra se ceo sistem kao telo:

𝑁 + 𝑁 = 2𝐺 + 𝐺

Zbog simetrije: 𝑁 = 𝑁 =

A

B

C

D

r

L

L2G

G1

S S

ND NB

E

Posmatra se samo štap:

𝑀 = 𝑁 ∙𝐿

2− 𝑆

𝐿√3

2+ 𝑁 𝑂𝐸 = 0

𝑂𝐸 = 𝑟√3

2G

S

NB

NE

Posmatra se samo disk:

𝐺 = 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠60 ∙ 𝑁 𝑁 = 𝐺

G1

E

NE NE’

2𝐺 + 𝐺

2∙𝐿

2− 𝑆

𝐿√3

2+ 𝐺 𝑟√3 = 0

𝑆 =𝐺 𝑟√3 +

(2𝐺 + 𝐺 )𝐿4

𝐿√32

2. Maksimalno naprezanje u provodniku može se javiti pri temperaturi t=tmin=-200C ili pri t=tL=-50C sa maksimalnim dodatnim opterećenjem usled leda. Pretpostavimo da se maksimalno naprezanje javlja pri temperturi t=tL=-50C sa maksimalnim dodatnim opterećenjem usled leda:

46 104

1050

2

A

qLLekv N/m3, 4108,6 Lekvekv N/m3

m86,41072

100108,6

2 7

242

d

L

lf

.

Proračun dužine nezategnutog provodnika pri temperturi t=tL=-50C:

m.115,20086,4100

4

3107

100108,6

4

386,4

200

4

34

3

22

04

322

4

3

10

443

43

0

4

03

L

ekvL

ekvLL

fl

E

lf

lL

E

lflLlf

Proračun dužine nezategnutog provodnika pri temperturi t=tmin=-200C:

mLtL 049,200115,200)1022151(2)1(2 60min0 .

Prororačun naprezanja u užetu pri temperaturi t=tmin=-200C:

04

322

4

3 4

min03

E

lflLlf

476,303045,33 fff m.

7242

1003,4476,32

100108.2

2

f

l Pa < d , pretpostavka je dobra, maksimalno naprezanje se javlja pri

temperturi t=tL=-50C sa maksimalnim dodatnim opterećenjem usled leda. Maksimalan ugib se može javiti pri temperaturi t=tL=-50C sa maksimalnim dodatnim opterećenjem usled leda ili pri tempetraturi t=tmax=600C. Proračun dužine nezategnutog provodnika pri temperturi t=tmax=600C:

mLtL 4012,200115,200)1022651(2)1(2 60max0 .

Prororačun ugiba užetu pri temperaturi t=tmax=600C:

04

322

4

3 4

max03

E

lflLlf

93,503009,303 fff m.

Maksimalni ugib provodnika u opsegu definisanih mogućih stanja se javlja pri t=tmax=600C, pa je ovo stanje merodavno za proračun potrebne visine stuba, odnosno tačaka vešanja provodnika:

mdfH 93,9493,5minmaxmin .

3.

a) S.U.R: 300 LqRR DC N.

)5(2

)4(

2

)2()(0)(

5

2

4

2

2LzR

LzqLzqLzRzM D

LzLzLzCLz

225)3(max LzMM Nm

37

3max

min3maxmax

max 108

22566

6d

dx

Ma

a

M

W

M

2,56 cm.

b)

LuLuuu CDBA ''

2

)5(

6

)4(

6

)2(

2

)()('

)5(2

)4(

2

)2()(0)()("

2

5

3

4

3

2

2

1

5

2

4

2

2

LzR

LzqLzqLzRCzBu

LzRLzqLzq

LzRzMzBu

D

LzLzLz

CLz

D

LzLzLzCLz

5,1376

)(

2

)2(0

6

)(

2

)2(0)3(' 1

32

1

32

1 CLqL

RCLqL

RCLu CC Nm2

L

A B

q

L L L L L

C D

RC RD

4,250512

0256,0107

12

410

4

a

EEIB x Nm2

cm.74,2)('

0549,04,2505

5,137)(' 1

LLuuu

B

CLu

BA