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ジャイロスコープの実験

2019 年版 ○ レポートは、図５を除き手書きとする。 目 的： ジャイロスコープの原理は、航空機では姿勢指示器（Attitude indicator），飛行方位計（Heading indicator），旋回計（Turn coordinator）などの計器やオートパイロット装置に利用されている。

船舶ではジャイロコンパス，自立航法装置はもちろんのこと、ローリングを抑制するジャイロス

タビライザーに利用されている。宇宙分野でも自立航法装置とともに CMG（Control moment gyros）が ISS（International Space Station）の姿勢制御として使用されている。そのほか、２

輪車の安定制御などにも利用されている。本実験では、このようにいろいろな分野で利用されて

いるジャイロスコープの基本的な性質のいくつかを実験により確認する。 理 論： 図１に示すように、 000 zyxO − の慣性

座標系（固定座標系）において角速度ωで

回転する回転体に固定されている回転座標

系 xyzO − （独楽）を考える。慣性座標系

の単位ベクトルを 000 kji , , とし、回転座

標系の単位ベクトルを kji , , として、位

置ベクトルr を両座標系で表すと次式とな

る。 jijir 00 yxyx +=+= 00 ・・・・・（１） 慣性座標系における速度と加速度を時間

微分より求めると次式が得られる。

( ) rωrjijijir×+=++

+=+=

dtd

dtdy

dtdx

dtdy

dtdxyx

dtd

dtd

0

・・・・・（２）

)(2 2

2

00002

2

rωωrωrωr

rωrωrωrrωrrr

××+×+×+=

×+×+

×+=

×+=

=

dtd

dtd

dtd

dtd

dtd

dtd

dtd

dtd

dtd

dtd

dtd

・・・・・（３） ここで、角速度ωが一定の場合は、加速度は次のようになる。

図１ 慣性座標系と回転座標系

O

0x

0y

0z

x

y

z

ω

- 2 -

)(22

2

02

2

rωωrωrr××+×+=

dtd

dtd

dtd

・・・・・（４）

慣性座標系に関するニュートンの運動に関する第２法則は次式で表される。

fr=

02

2

dtdm ・・・・・（５）

ここで、m は一定な質量で、f は外力ベクトルである。回転座標系に関するニュートンの運動に

関する第２法則は式(４)より次式となる。

frωωrωr=

××+×+ )(22

2

dtd

dtdm ・・・・・（６）

慣性座標系の運動（例えば、宇宙から地球上の台風などの動きをみている場合）を回転座標系上

でみた場合（例えば、地球上で台風の動きを見ている場合）、運動は上式の左辺第２項目と第３項

目の影響を受けたようにみえる。すなわち、それぞれコリオリ力と遠心力である。フーコーはこ

のコリオリ力を用いて地球の自転を証明する「フーコーの振り子」を考案した。なお、ジャイロ

スコープの命名者もフーコーである（ただし、実用化したのは後年の技術者である。）。 次に回転体について考える。回転運動で併進（直進）運動の質量m に相当するが慣性モーメン

ト（一定と仮定する）：

∫= dmI 2ξ ・・・・・（７）

であり、外力ベクトルに相当するのがトルクベクトルT である。回転運動に関するニュートンの

運動に関する第２法則は次のように表される。

Tω=

0dtdI ・・・・・（８）

ここで角運動量ベクトル ωH I= を導入すると次のように表される。

TH=

0dtd

・・・・・（９）

さらに、図１に示す角速度ωで回転している回転体が角速度Ωで別の軸周りに回転する場合の運

動方程式を移動座標系で表すと次のようになる。

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TωΩω=

×+

dtdI ・・・・・（10a）

角運動量を用いると次式となる。

THΩH=×+

dtd

・・・・・（10b）

ジャイロスコープの場合、角速度ωは一定と考えられるので、

THΩ =× ・・・・・（11） と簡略化できる。この式がジャイロスコープの運動を考える上で最も簡単な基礎式である。 ◎１日目の実験 実験器具および装置： ○ 地球ゴマ 実験方法（報告書では過去形で記載すること）： １．地球ゴマによる実験 注 意： 地球ゴマは精密機械です。ぶつけたり落としたりしないで丁寧に扱うこと。 １－１ 独楽の歳差運動 付録にある地球ゴマの説明書をよく

読み、コマを高速に回転させ、説明書

下端の図（１）のように台の上に載せ

ると、地球ゴマはどのような運動をす

るか実験しなさい。この実験をいろい

ろな角度に傾けて試しなさい。 まっすぐ直立させると地球ゴマは動

かないが、図（１）のように傾けると

倒れていかないで首を振るように自転

軸が回る運動を始めるであろう。これ

が独楽の歳差運動（Precession：みそ

すり運動ともいう。）である。この歳差

運動と式(11)の関係を考える。まず地

図２ 独楽の歳差運動

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球ゴマの回転方向を記載し、図２の歳差運動を示す点線に歳差運動の方向を矢印で示しなさい。

次に歳差運動を発生させるトルクがどのような力により生じているか考え、図２に作用点を始点

とする矢印で記入しなさい。そしてトルクベクトルT 、角運動量ベクトルH、角速度ベクトルΩをコマの重心を始点とする矢印で記入し、式(11)の外積の関係を満たしているか確認しなさい。

（コマの回転方向により歳差運動の回転方向は変化する。各自、自分で実験した結果で考察する

こと。） １－２ 独楽の自立 普通の独楽を回すと、最初は歳差運動

を始めるが、だんだんとその回転半径が

小さくなりやがて垂直に立つ。すなわち、

自立する。この自立を式(11)で確認する。

まず普通ゴマの回転方向を記載し、自立

しない地球ゴマと普通の独楽の構造上の

違いに注目し、自立させる回転をどのよ

うな力によるトルクで発生させているか

考え、図３に作用点を始点とする矢印で

記入しなさい。そしてトルクベクトルT 、

角運動量ベクトルH、角速度ベクトルΩをコマの重心を始点とする矢印で記入し、

式(11)の外積の関係を満たしているか確

認しなさい。 １－３ 自転と公転 地球ゴマを高速で回転させ、コマがほぼ垂直

になるように手で持ち、水平に大きな円を描く

ように動かす、すなわち、公転させると地球ゴ

マがどうなるか実験しなさい。逆方向にも動か

しなさい。地球ゴマが垂直に安定する公転方向

と不安定になる方向があることがわかる。まず

地球ゴマの回転方向を記載し、図４の公転を示

す点線に地球ゴマが不安定になる公転方向を矢

印で示しなさい。次にコマを不安定にさせてい

るトルクがどのような力より生じているか考え、

図４にその力を作用点を始点とする矢印で記入

しなさい。そしてトルクベクトルT 、角運動量

ベクトルH、角速度ベクトルΩをコマの重心を

始点とする矢印で記入し、式(11)の外積の関係

図３ 独楽の自立

図４ 自転と公転

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を満たしているか確認しなさい。また、逆方向に公転させるとどうして垂直に安定するのか考察

しなさい。（コマの回転方向により向きが異なるので、各自、自分で実験した結果で考察すること。） １－４ ジャイロスコープ 説明書下端の図（２）において地球ゴマを垂直にたてて地球ゴマの上端を軽く指で押してみな

さい。コマが回転していなければ立てることすらできないのになかなか倒れないことがわかる。

また、説明書下端の図（３）のように台の上に水平に載せて棒の部分を軽く指で押してみなさい。

この場合も回転していない場合に比べて動きにくいことがわかる。すなわち、現在の状態を保持

しようとしていることがわかる。次に傾けて載せてみなさい。回転するであろう。回転する場合

としない場合での支持仕方にどのような違いがあるか考察しなさい。これがジャイロスコープの

構造上の特徴となります。 航空機の重要な計器の１つである「Heading Indicator」はジャイロスコープを搭載している。

地球ゴマによりこの原理を示す実験の方法を考え、実験し、ジャイロスコープのどのような性質

を用いて飛行方向を示しているのか説明しなさい。地球ゴマ以外に必要なものは各自準備してく

ること。各自で準備できる程度の実験でよい。なお、説明書下端の図（３）は不可とする。 結果および考察（図も手書きしなさい）： １－１ 独楽の歳差運動 図２をレポートに写し、地球ゴマの回転方向と歳差運動の方向を記載しなさい。次に歳差運動

を生じさせる力をその作用点を始点とする矢印で記入しなさい。そしてトルクベクトルT 、角運

動量ベクトルH、角速度ベクトルΩをコマの重心を始点とする矢印で記入し、式(11)との関係を

考察しなさい。 １－２ 独楽の自立 図３をレポートに写し、普通独楽の回転方向と歳差運動の方向を記載しなさい。次に独楽を自

立させる力をその作用点を始点とする矢印で記入しなさい。そしてトルクベクトルT 、角運動量

ベクトルH、角速度ベクトルΩをコマの重心を始点とする矢印で記入し、式(11)との関係を考察

しなさい。 １－３ 自転と公転 図４をレポートに写し、地球ゴマの回転方向と不安定になる公転方向を記載しなさい。次にコ

マを不安定にさせている力をその作用点を始点とする矢印で記入しなさい。そしてトルクベクト

ルT 、角運動量ベクトルH、角速度ベクトルΩをコマの重心を始点とする矢印で記入し、式(11)との関係を考察しなさい。また、逆方向に公転させると垂直に安定する原理も地球ゴマの回転方

向および各ベクトルを記入した図と式を用いて説明しなさい。

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１－４ ジャイロスコープ 「Heading Indicator」の原理を示す実験について、下記の項目について実験レポートのなかで

実験レポートとしてまとめなさい。 ○目 的 ： ○実験装置： ○実験方法：（どういう点に注目して実験方法を考えたかを記すこと。） ○実験結果： ○考 察 ：

最後に、ジャイロスコープは飛行機の姿勢がどのように変化してもコマが一定方向を向くように

支持されている。その支持方法およびその際の注意点をエンジニアとして恥ずかしくない用語を

用いて説明し、簡単なイラストで示しなさい。 １－５ 船のスタビライザー 船のローリングを低減する装置として普及しているものにフィンスタビライザーがある。これ

は、フィンを船の左右（水中）に設置し、飛行機の補助翼のように動かしてローリングを抑える

もので、フェリーボートなどに用いられている。しかし、停泊中はフィンに流体力が生じないた

め効果が得られない。そこでジャイロスコープを用いて停泊中でもローリングを抑えることので

きる装置として、ジャイロスタビライザーや ANTI ROLLING GYRO（商品名）と呼ばれる装置な

どが開発され、主にプレジャーボートで用いられている。ジャイロスコープを用いた船のスタビ

ライザーについて調べ、そのうちの１種類を選び、その原理を、図を用い、かつ式(11)を適用し

て説明しなさい。

１－６ Control Moment Gyros (CMG) Control Moment Gyros (CMG) について調べて記しなさい。 １－７ フィードバック制御 フィードバック制御， AD コンバータ，DA コンバータ，ロータリエンコーダ，アップダウン

カウンタについて調べて記しなさい。 １－８ その他の考察 感 想： ＜最後に実験で気がついたことなどを記しなさい。＞

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◎２日目の実験 実験器具および装置： ○ Control Moment Gyros (CMG）実験装置（制御用コンピュータを含む） ２．CMG 実験装置による実験

宇宙を飛行しているロケットや宇宙ステーションなどは、飛行経路を変更したり姿勢を変えた

りするのに地上とは異なる方法を用いなければならない。地上では反力を何らかの方法で受け止

められるが、宇宙では難しいからである。そこで、ロケットエンジンなど、質量のあるものを勢

いよく噴射することで内力として力を得ている。しかしロケットエンジン等では燃料の補給が必

要となる。国際宇宙ステーション（ISS）ではジャイロを用いて姿勢制御をしている。モータの

エネルギを太陽電池で発電された電力で賄うことで燃料補給を不要としているのである。ここで

はこの CMG（Control Moment Gyros）の原理について考える。 ２－１ リアクションホイール（Appendix に Program を添付） 宇宙でモータが生じるトルクの反作用を受け止める方法の１つは円盤の慣性によるモーメント

の利用である。式(８)よりモータで発生させたトルクは、円盤に角加速度を生じさせ、円盤の慣

性によるモーメント（左辺）とつりあう。一方、モータが固定されている宇宙構造物（実験では

ジンバル（外枠））の慣性モーメントを I ′、角速度ベクトルをω′とすれば、作用反作用の法則よ

り構造物に関する運動方程式は次のように得られる。

Tω=

′′

0dtdI ・・・・・（12）

したがって、モータのトルクにより姿勢を変化（回転）させられることがわかる。すなわち、円

盤が加減速する際に生じる慣性によるモーメントによりトルクの反作用を受け止めることで宇宙

構造物の姿勢を変化させられるのである。 CMG 実験装置の垂直（ヨーイング）軸を固定し、円盤を垂直、ジンバルを水平にし、フィー

ドバック制御を起動する。そして、ジンバルを動かそうと軽い力を加えたときに円盤の回転数と

回転方向がどのように変化するか確認しなさい。 ２－２ コントロールモーメントジャイロ（Appendix に Program を添付）

次にジャイロ効果を利用したコントロールモーメントジャイロについて考える。式(11)の関係

より、角運動量ベクトルHに垂直なトルクT を与えるとそれらの軸に直交する軸回りに角速度

Ωが発生する。すなわち、小さなモータで大きなモーメントを得ることができるのである。 円盤が垂直になるようにジンバルを固定し、垂直（ヨーイング）軸のみ自由にする。次に円盤

の自転軸に水平面内で直交する軸をモータで回転させると垂直軸に回転が生じる。その方向を観

察し、図５に角運動量ベクトルH、角速度ベクトルΩ、トルクベクトルT を円盤の重心を始点

とする矢印で記入しなさい。そして式(11)の外積の関係を満たしているか確認しなさい。

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結果および考察： ２－１ リアクションホイール 図５をレポートに写し、ジンバルを動かそうとした方向と、円盤の回転数が増加する方向を記

入しなさい。そして、リアクションホイールの問題点を記しなさい。 ２－２ コントロールモーメントジャイロ 図５をレポートに写し、角運動量ベクトルH、角速度ベクトルΩ、トルクベクトルT を円盤

の重心を始点とする矢印で記入しなさい。そして式(11)の関係を確認し、どうしてリアクション

ホイールより使いやすいのか検討しなさい。 ２－３ その他の考察 感 想： ＜最後に実験で気がついたことなどを記しなさい。＞

図５ コントロールモーメントジャイロ実験装置

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Appendix ○ 数学基礎（わかりやすくするため、厳格な説明ではありません。）

（忘れてしまった人は、各自で調べなさい。） １．ベクトル： 大きさと方向を持つ量（大きさのみ

の場合はスカラー量という）で、始点

から終点に向かって矢印で示し、一般

的にボールド体（太字）で記載する。

また、始点と終点を表す記号を並べて

書き、その上に矢印を書いて表すこと

もある。 直交座標系（デカルト座標系）の各

軸に沿い、大きさが１のベクトルを単

位ベクトル（ kji , , ：それぞれ zyx , , 方

向）という。任意のベクトルa は単位

ベクトルを用いて次のように表される。

kjia zyx AAAOA ++==

・・・・・（A1） ２．内 積（スカラー積）：

定 義： θcosbaba =⋅ ・・・・・（A2）

ベクトルa の大きさにベクトルbの大きさとベクトルなす角

θ の余弦を掛けたもので、スカラー量となる。 1=⋅=⋅=⋅ kkjjii 0=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅ ijjkkiikkjji ・・・・・（A3） zzyyxxzyxzyx BABABABBBAAA ++=++⋅++=⋅ )()( kjikjiba ・・・・・（A4）

x

y

z

O

xA

yA

zA

i j

k

A a

ixA

jyA

kzA

a

b

θ

θcosb

図 A1 ベクトル

図 A2 ベクトルの内積

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３．外 積（ベクトル積）：

定 義： θsinbanba =× ・・・・・（A5）

ベクトルa およびbに挟まれた部分の面積の倍に相

当する大きさを有し、ベクトルa およびbを含む平面

に垂直な単位ベクトルn（右ネジの進む方向）の方向

のベクトルとなる。 kji =× ， ikj =× ， jik =× ， kij −=× ， ijk −=× ， jki −=× ， 0kkjjii =×=×=× ・・・・・（A6）

zyx

zyx

xyyxzxxzyzzy

zyxzyx

BBBAAA

BABABABABABABBBAAA

kji

kjikjikjiba

=

−+−+−=

++×++=×

)()()(

)()(

・・・・・（A7） ４．回転ベクトル： 右ネジを締める方向の回転に関するベクトルは、右ネジの進む方向のベクトルとなる。また、

角速度ωで回転する物体における中心からベクトルr にある点の周速度 vは rωv ×= 、中心から

ベクトルr に作用している力FによるモーメントMは FrM ×= （ベクトル表記の場合、外積に

より θsin がかけられるためr とFは直交している必要はない。）となる。 ５．回転座標系における単位ベクトルの微分： 図 A4 に示す回転座標系におけるベクトルの微分を次に示す。

iωi×=

dtd

（ j 方向のベクトル量）

jωj×=

dtd

（ i− 方向のベクトル量）

0=×= kωkdtd

・・・・・（A8）

a

b

θ

n

ba×

θsinba

図 A3 ベクトルの外積

i dtdi

ω

i

図 A4 回転座標系の微分

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○ 地球ゴマの説明書

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○ リアクションホイールのプログラム ;***********define user variables ************** #define Ts q2 #define kp q3 ; proportional gain #define kd q4 ; derivative gain #define gain q5 ; scaling gain #define kdd q6 #define past_pos3 q7 #define past_cmd1 q8 ;************Initialize variables**************** Ts=.00884 past_cmd1=0 past_pos1=0 ; initialize memory term past_pos3=0 kp=10 ; set prop. gain kd=.8 kdd=kd/Ts gain=-1 ; set scaling gain m136=0 ;********* real time code which is run every servo period *** begin ;control_effort1=gain*(kp*(cmd2_pos-enc3_pos)+kdd*((cmd1_pos-past_cmd1)-(enc3_pos-past_pos3))) control_effort1=gain*(kp*(cmd2_pos-enc3_pos)-kdd*(enc3_pos-past_pos3)) past_pos3=enc3_pos past_cmd1=cmd1_pos end

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○ コントロールモーメントジャイロのプログラム ;***********define user variables ************** ;INITIALIZE SPEED TO 300 RPM ;SET Ts to 0.00884 ;Turn Brake 3 on, Brake 4 off #define kw2 q2 ; #define kq4 q3 ; #define kw4 q4 ; #define ka2 q5 ; #define past_pos2 q6 ; #define past_pos4 q7 #define past_cmd q8 #define uval q9 ; unscaled control_effort #define gain q14 ; scaling gain #define speed_cmd q15 #define Ts q16 #define enc2_dif q17 #define enc2_rate q18 #define enc4_dif q19 #define enc4_rate q20 #define cmd_rate q21 ;************Initialize variables**************** Ts=.00884 past_pos1=0 ; initialize memory term past_cmd=0 past_pos4=0 enc4_pos=0 enc2_dif=0 enc2_rate=0 enc4_dif=0 enc4_rate=0 cmd_rate=0 kw2=-1.5 ; kw4=6 kq4=60 gain=-.1 ; set scaling gain ; ;********* real time code which is run every servo period ***

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begin enc2_dif=enc2_pos-past_pos2 enc2_rate=enc2_dif/Ts enc4_dif=enc4_pos-past_pos4 enc4_rate=enc4_dif/Ts cmd_rate=(cmd_pos-past_cmd)/Ts ;Below uses forward path derivative gain, decomment as appropriate ;control_effort2=gain*(kq4*(cmd1_pos-enc4_pos)-kw2*enc2_rate+kw4*(cmd_rate-enc4_rate)) ;Below uses return path derivative gain control_effort2=gain*(kq4*(cmd1_pos-enc4_pos)-kw2*enc2_rate-kw4*(enc4_rate)) past_pos2=enc2_pos past_cmd=cmd_pos past_pos4=enc4_pos end ○ 評価基準

採点は減点法とし、下記の項目で不充分なところについて 0.5点ずつ減点する。また、指示さ

れていない自分で考えた検討については１点ずつ加点する。

＜第１日目＞ 実験参加： ２点 レポート： ４点 １－１ 独楽の歳差運動： 外力の説明、ベクトル図の完成、考察 １－２ 独楽の自立： 外力の説明、ベクトル図の完成、考察 １－３ 自転と公転： 外力の説明、ベクトル図の完成、考察（安定な場合を含む） １－４ ジャイロスコープ： 実験、考察（実験結果および支持方法と注意点を含む） １－５ 船のスタビライザー： ベクトル図および原理の説明 １－６ Control Moment Gyros (CMG)の説明 １－７ フィードバック制御、AD コンバータ、DA コンバータ、ロータリエンコーダ、アップ

ダウンカウンタの説明 ＜第二日目＞ 実験参加： ２点 レポート： ２点 ２－１ リアクションホイール： 図の完成、問題点の説明

２－２ コントロールモーメントジャイロ： ベクトル図の完成、検討 以 上