Birbirlerine uç noktalarından bağlanmış çubuk elemanların oluşturduğu sistemlerdir.

Kafes Sistemler

Birçok uygulama alanları vardır. • Çatı sistemlerinde, • Köprülerde, • Kulelerde, • Ve benzeri bir çok yapılarda kullanılır.

Kafes Sistemler

Kafes Sistemler

Başlıca Özellikler ve Kabuller:

Bağlantı noktalarında (düğümlerde) sadece tekil

kuvvetler oluşur. Bağlantılardaki moment tepkisi

ihmal edilir.

Herbir çubuğa ekseni doğrultusunda kuvvet düşer.

Tüm çubuklar çift kuvvet elemanıdır.

Çubuk ağırlıkları ihmal edilir.

Sisteme sadece bağlantı noktalarından dış

kuvvetler etki eder.

Herbir bağlantı noktasına «düğüm noktası» ismi verilir.

Kafes Sistemler

Ders kapsamında amacımız: Dış kuvvetler belli iken, herbir çubuğa veya belirli çubuklara düşen kuvvetleri hesaplamaktır. Ders kapsamında sadece düzlem kafes sistemler incelenecektir.

1- Uzay Kafes Sistemleri: 3 Boyutlu sistemlerdir.

Tipleri:

2- Düzlem Kafes Sistemleri: 2 boyutlu sistemlerdir.

(3 boyutlu olmasına rağmen, geometri, yükleme ve dış bağlantıların

simetrikliliği söz konusu ise 2 boyutta incelenebilen sistemler de olabilir.)

Kafes Sistemler

Çubuk veya Düğümlere Düşen Kuvvetler ve Hesaplama Yöntemleri :

• Kafes sistemlerde herbir düğüm noktasına ve çubuklara düşün

kuvvetleri daha net görebilmek için yandaki örneği inceleyelim.

• Dikkat edilirse herbir düğüme, bağlı olduğu çubukların herbirinden bir kuvvet gelir.

• Çubuklara ise eşit şiddette-zıt yönde bağlı olduğu herbir düğümden bir tepki kuvveti gelir (etki-tepki).

• Tüm düğüm ve çubuk kuvvetleri sistemin iç kuvvetleri olarak isimlendirilir ve toplamları sıfırdır.

• Bir iç kuvvetin ( örn: ) doğrultusu mutlaka çubuğa paraleldir. Yönü sağa mı sola mı seçilmeli? Bu sorunun cevabı ise:

İlk kez bu kuvvet yerleştirilirken sağ veya sol yönden birisi keyfi seçilir. Ancak aynı kuvvetin yönü 2., 3., yerleştirmede keyfi seçilemez. İlk yerleştirmeye bağlı olarak

seçilir. Örneğin kuvveti ilk kez yerleştirilirken keyfi olarak A düğümüne sola doğru etki ettirlimiş. AC çubuğunun A ucuna mecburen sağa olmalıdır (etki-tepki). AC

çubuğunun C ucuna sola doğru olmaldır ki çubuk dengede olsun. C düğümüne ise sağa olmalıdır (etki-tepki). Hesaplar sonucu kuvvetin işareti «-» çıkarsa seçtiğimiz

yönün tersine yönde olduğunu gösterir. Ancak bu durumda kuvvetin yönü çevrilmez, hesaplarda «-» işareti ile birlikte kullanılır.

30kN

Çubuk veya Düğümlere Düşen Kuvvetleri Hesaplama Yöntemleri :

Aynı örneğe devam edersek:

Öncelikle bağlantı noktalarındaki kuvvetler

tüm sistemin dengesinde hesaplanır. Bu

hesaplamada sistem

𝐹𝑥=0 → −𝐸𝑥 + 𝑇. cos 30𝑜 = 0

𝐹𝑦=0 → 𝐸𝑦 + 𝑇. 𝑠𝑖𝑛 30𝑜 − 30 − 20 = 0

𝑀𝐸=0 → −𝑇. 5 + 20.5 + 30.10 = 0

T= 80kN

𝐸𝑥= 69.28kN

𝐸𝑦=10 kN

bulunur.

Çubuk veya Düğümlere Düşen Kuvvetleri Hesaplama Yöntemleri :

Şimdi iç kuvvet ismi verdiğimiz çubuk ve düğümlere

düşen kuvvetleri hesaplayacağız. Bunun için 2

yöntem vardır:

1. Yöntem : Düğüm Yöntimi

• Bu yöntemde herbir düğümün dengesi yazılır ve

kuvvetler hesaplanır.

• Herbir düğüm için 𝐹𝑥=0 , 𝐹𝑦=0 olmak üzere

2 denklem yazılabilir. Tüm kuvvetler aynı

noktadan geçtiği için moment denklemi

yazılamaz. Bu nedenle bir düğümde 2

bilinmeyen olması gerekir. Çözüm aşamasında

düğüm sırası önemlidir. Örnekten bu durum

daha iyi anlaşılacaktır.

Çözüm: A düğümünden başlanabilir. Çünkü 2 bilinmeyen kuvvet vardır.

𝐹𝑥=0

𝐹𝑦=0

→ −𝐹𝐴𝐶+𝐹𝐴𝐵 cos 60𝑜=0

-30+𝐹𝐴𝐵 sin 60𝑜=0 →

→ 𝐹𝐴𝐶= 17.32𝑘𝑁, 𝐹𝐴𝐵= 34.64kN

𝐹𝑥=0 → −𝐹𝐵𝐶cos 60𝑜 + 𝐹𝐵𝐷 − 34.64 cos 60

𝑜=0

𝐹𝑦=0 → 𝐹𝐵𝐶 . 𝑠𝑖𝑛 60𝑜 − 34.64. 𝑠𝑖𝑛 60𝑜=0

→ 𝐹𝐵𝐶= 34.64𝑘𝑁, 𝐹𝐵𝐷= 34.64kN

𝐹𝑥=0 → 𝐹𝐵𝐶cos 60𝑜 + 𝐹𝐴𝐶 − 𝐹𝐶𝐸 − 𝐹𝐶𝐷 cos 60

𝑜=0

𝐹𝑦=0 → −𝐹𝐵𝐶 . 𝑠𝑖𝑛 60𝑜 + 𝐹𝐶𝐷 𝑠𝑖𝑛 60

𝑜-20 = 0

→ 𝐹𝐶𝐷= 57.74𝑘𝑁, 𝐹𝐶𝐸= 63.51kN

Benzer şekilde E veya D düğümlerinin dengesinden 𝐹𝐷𝐸= 11.55𝑘𝑁 𝑏𝑢𝑙𝑢𝑛𝑢𝑟.

2. Yöntem : Kesim Yönetimi

Bu yöntem mekaniğin önemli bir prensibi olan ayırma prensibine

dayanır.

Ayrıma prensibi: dış kuvvetlerin etkisindeki bir sistem dengede

ise, hayâli bazda ayırdığımız bir parçası da iç ve dış kuvvetlerin

etkisiyle ayrı ayrı dengededir.

İncelediğimiz örnekteki kafes sistem dış kuvvetlerin etkisi ile

dengededir. O halde hayali olarak yaptığımız I-I kesiminden

sonra sol veya sağ parçası da dengededir.

Bu parçalara, kesilen bölgeden çubuk kuvvetleri dış kuvvet gibi

etki ettirilir. Ve 3 denge denklemi ( 𝐹𝑥=0, 𝐹𝑦=0, 𝑀𝐸=0 )

yardımıyla bu çubuk kuvvetleri bulunur.

I - I kesiminde sol tarafın SCD si ve dengesi

𝐹𝑥=0 → 𝐹𝐵𝐶cos 60𝑜 − 𝐹𝐵𝐷 + 𝐹𝐴𝐶=0

𝐹𝑦=0 → −𝐹𝐵𝐶 . 𝑠𝑖𝑛 60𝑜-30 = 0

𝑀𝐶=0 → 𝐹𝐵𝐷. 5. 𝑠𝑖𝑛60𝑜-30x5= 0

𝐹𝐵𝐶 = 𝐹𝐵𝐷=− 34.64𝑘𝑁,

işaretinin negatif «-» çıkması seçtiğimiz yönün tersine olduğunu gösterir.

Kuvvet yönleri ilk defa keyfi seçilir. 3 denklemden 3 bilinmeyen bulanabileceği için genelde ilk kesimde 3 çubuk kesilir..

I - I kesiminde sağ tarafın SCD si ve dengesi

𝐹𝑥=0 → − 𝐹𝐵𝐶cos 60𝑜 + 𝐹𝐵𝐷 − 𝐹𝐴𝐶 - 69.28 + 80. cos 30𝑜 =0

𝐹𝑦=0 → 𝐹𝐵𝐶 . 𝑠𝑖𝑛 60𝑜 + 80. sin 30𝑜 − 20 + 10 = 0

𝑀𝐸=0 → 𝐹𝐵𝐷 . 5. 𝑠𝑖𝑛60𝑜 + 𝑇. 5 − 20.5 + 𝐹𝐵𝐶 . sin 60𝑜= 0

𝐹𝐵𝐶 = 𝐹𝐵𝐷= − 34.64𝑘𝑁,

Diğer çubuk kuvvetlerini bulmak için II-II kesimi yapılabilir

II

II

Örnek Problem: Verilen kafes

sistemindeki çubuk kuvvetlerini düğüm

metodunu kullanarak bulunuz.

𝑆𝐴𝐵 − 𝑆𝐴𝐷.sin 𝜃 = 𝑆𝐴𝐵 − 𝑆𝐴𝐷.3

5

𝑆𝐴𝐷.𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 20 = 𝑆𝐴𝐷.4

5 − 20

𝑆𝐷𝐸 − 𝑆𝐴𝐷.sin 𝜃 + 𝑆𝐷𝐵 Sin 𝜃 = 𝑆𝐷𝐸 − 25.3

5+𝑆𝐷𝐵

3

5

−𝑆𝐴𝐷.Cos 𝜃 +𝑆𝐷𝐵 𝐶𝑜𝑠 𝜃 = 25.4

5+𝑆𝐷𝐵

4

5

Örnek: Şekildeki kafes sistemde GE, GC ve BC çubuklarındaki kuvvetleri bulunuz

Çözüm: a

a

G

BC

BC

M 0

300(4) 400(3) F (3) 0

F 800 N (T)

C

GE

GE

GE

M 0

300(8) F (3) 0

F 800 N

F 800 N (C)

y

GC

GC

F 0

3300 F 0

5

F 500 N (T)

Örnek: CF çubuğundaki kuvveti bulunuz.

Çözüm:

Mesnet tepkileri bulunur. a

a

O

o

CF

CF

M 0

F sin45 12m 3kN 8 m 4.75kN 4m 0

F 0.589kN C

Örnek: EB çubuğundaki kuvveti bulunuz.

a

a b

b

B

oED

ED

ED

M 0

1000(4) 3000(2) 4000(4)

F sin 30 (4) 0

F 3000 N

F 3000 N (C)

x

o oEF

EF

EF

y

o oEF EB

EB

F 0

F cos30 3000cos30 0

F 3000 N

F 3000 N (C)

F 0

F sin 30 3000sin 30 1000 F 0

F 2000 N (T)

a-a kesimi

b-b kesimi