By Gökhan Bilhan 1

Kalkülüs II

Hafta 9-Çift Katl� �ntegral

Hat�rlatma.

Riemann Integrali

�imdi de çift katl� integrale bakal�m.

Kapal� bir aral�kta tan�ml� iki de§i³kenli bir f fonksiyonu dü³ünelim.

S, f 'in olu³turdu§u, R üzerindeki cisim olsun. Yani,

By Gökhan Bilhan 2

Amac�m�z S in hacmini bulmak.

Tan�m (Çift Katl� �ntegral) f in bir R dikdörtgeni üzerindeki çift katl� integrali

dir.

Ard�³�k �ntegraller

By Gökhan Bilhan 3

Örnek �u ard�³�k integralleri hesaplayal�m.

Teorem(Fubuni Teoremi) E§er f R = {(x, y)|a 6 x 6 b, c 6 y 6 d} dörtgeni üzerinde sürekli ise,bu durumda

Örnek �u çift katl� integrali çözelim

∫∫R

(x− 3y2)dA öyle ki R = {(x, y)|0 6 x 6 2, 1 6 y 6 2}

By Gökhan Bilhan 4

Örnek Çift katl� integrali çözelim.

∫∫R

ysin(xy)dA öyle ki R = [1, 2]× [0, π]

Örnek Eliptik paraboloid x2 + 2y2 + z = 16, düzlemler x = 2 ve y = 2 ve üç koordinat düzlemitaraf�ndan olu³turulan S cisminin hacmini bulal�m.

By Gökhan Bilhan 5

Al�³t�rmalar.

1.

∫ 1

0

∫ 1

0

xy√x2 + y2 + 1

dydx

2.

∫ π2

0

∫ π2

0

sin(x+ y)dydx

By Gökhan Bilhan 6

3.

∫∫R

xsin(x+ y)dA öyle ki R = [0,π

6]× [0,

π

3]

4.

∫∫R

1 + x2

1 + y2dA öyle ki R = {(x, y)|0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1}

By Gökhan Bilhan 7

BÖLÜM II

Tek de§i³kenli integraller için integrali ald�§�m�z bölge daima bir aral�kt�r. Fakatçift katl� integraller için durum farkl�d�r. f fonksiyonunu sadece dörtgensel bir bölgeüzerinde de§il, ayn� zamanda çok daha genel bir ³ekle sahip olan D gibi bölgeler üz-erinde de görebiliriz.

D, dikdörtgensel bir R bölgesi içine konulabilir,

Dikdörtgensel bir bölge üzerinde nas�l integral alaca§�m�z� bildi§imize göre, ³öylebir fonksiyon tan�mlayal�m.

Bu durumda, e§er çift katl� integral F , R üzerinde tan�mlan�rsa, f in çift katl� in-tegralini D üzerinde ³öyle tan�mlar�z.∫∫

D

f(x, y)dA =

∫∫R

F (x, y)dA

By Gökhan Bilhan 8

Tip I Bölge

E§er iki tane, sürekli "x" e ba§l� fonksiyonlar�n gra�kleri aras�nda kal�rsa, Bir Ddüzlemine Tip I-bölge deriz.

Tip I bölgeler a³a§�daki gibidir.

∫∫R

f(x, y)dA integralini Tip I bölgesi olan D üzerinde hesaplayabilmek için, ³öyle

bir dikdörtgen seçeriz.

R = [a, b]× [c, d] öyle ki, D bölgesini kapsar.

F 'i daha önce söyledi§imiz gibi tan�mlar�z. Yani,

By Gökhan Bilhan 9

∫∫D

f(x, y)dA =

∫∫R

F (x, y)dA =

∫ b

a

∫ d

c

F (x, y)dydx

E§er y < g1(x) veya y > g2(x) ise, F (x, y) = 0 d�r.

Bu durumda formülümüz ³öyle olur.

By Gökhan Bilhan 10

Tip II Bölge

öyle ki, h1 ve h2 sürekli fonksiyonlard�r.

Formülümüz bu kez ³öyledir.

By Gökhan Bilhan 11

Örnek �u ard�³�k integrali hesaplay�n�z.∫ 1

0

∫ 1

x sin(y2)dydx

By Gökhan Bilhan 12

Al�³t�rmalar.

1. Verilen çift katl� integrali hesaplay�n�z.∫∫

R

xcosydA, D bölgesi

y = 0, y = x2, x = 1 taraf�ndan s�n�rland�r�lm�³t�r.

2. Verilen çift katl� integrali hesaplay�n�z.∫∫

R

(x+ y)dA, D bölgesi y =√x, y = x2

taraf�ndan s�n�rland�r�lm�³t�r.