11. xy' - y = x3 + B Jawab : xy' - y = x3 + 7. . . . . . . . . ( i ) a. Solusi umum Persamaan Diferensial Homogen ( yh )

ln y = ln x + cln y - ln x = c

ln = c yh = e.x . . . . . . . . ( ii ) b.Solusi khusus Pers. Diferensial tidak homogen (yk) yk = .yh yk = .c.x ; misal c = 1 maka yk = x. . . . . . . . . ( iii )Subtitusikan pers ( iii ) ke pers ( i ) didapat : x (x)' - (x) = x3 + 7x ['x + ] - (x) = x3 + 7'x2 + x - x = x3 + 7

' = ' = (x + 7 ) dx

= . . . . . . . . ( iv ) Subtitusikan pers. ( iv ) ke pers. ( iii ) didapat :

yk= .x

yk = c.Jadi didapat solusi umum persamaan diferensial yaitu : y = yh + yk

y = c.x +

12. y'' - 2y' + By = x + cos 2xJawab : y'' - 2y' + 7y = x + cos 2x . . . . . . . . ( i ) a. Solusi umum Persamaan Diferensial homogen ( yh )2 - 2 + 7 = 0 D = P2 - 4aq = (-2)2 - 4.(1).(4) = 4 - 16 D = -12 D < 0, maka 1,2 = a bi / 1,2 = a b -1 dimana a,b R dan i = -1 ( bilangan imaginer ) Solusi umum : yh = eax ( c1 cos bx + c2 sin bx )

a = 1 dan b = 2

Jadi, yh = ex ( c1 cos 2 + c2 sin 2 ) b.Solusi khusus Persamaan Diferensial tidak homogen: (yk) = F(x) = Ax + B + C sin 2x + D cos 2x yk = Ax + B + C sin 2x + D cos 2x . . . . . . (ii)yk' = A + 2C cos 2x - 2D sin 2x . . . . . . (iii) yk'' = - 4C sin 2x - 4D cos 2x . . . . . . (iv) Subtitusikan Pers. (ii), (iii) dan (iv) ke dalam Pers. (i) y'' - 2y' + 9y = x + cos 2x (- 4C sin 2x - 4D cos 2x ) -2(A + 2C cos 2x - 2D sin 2x)+ 9(Ax + B + C sin 2x + D cos 2x) = x + cos 2x - 4C sin 2x - 4D cos 2x - 2A - 4C cos 2x + 4D sin 2x + 9Ax + 9B + 9C sin 2x + 9D cos 2x = x + cos 2x - 2A + 9Ax + 9B - 4C sin 2x + 9C sin 2x - 4C cos 2x + 4D sin 2x + 9D cos 2x - 4D cos 2x = x + cos 2x - 2A + 9Ax + 9B + 5C sin 2x - 4C cos 2x + 4D sin 2x + 5D cos 2x = x + cos 2x . . . . . . . (v) Berdasarkan bentuk koefisiennya maka : x 9A = 1

A =

-2x + 9B = 0

+ 9B = 0

9B =

B =

B = Sin 2x 5C = 0 cos 2x -4C = 1

C = 0 C = 4D = 0-4C + 5D = 1 D = 0 1 + 5D = 1 5D = 1-1 D = 0

+ 0 + cos 2x + 0 = x + cos 2x

x + cos 2x - x + cos 2x Subtitusikan nilai A,B,C dan D ke pers. (ii)yk = Ax + B + C sin 2x + D cos 2x

yk =

yk = c.Solusi umum persamaan diferensial y = yh + yk

y = ex ( C1 cos 22 + C2 sin 22 ) +

13.y'' + y' + y = x + B + 3ex Jawab : y'' + y' + y = x + 7 + 3ex. . . . . . . . . (i) a.Solusi umum persamaan diferensial homogen (yh) 2 + + 1 = 0 D = p2 - 4aq = 1 - 4(1).(1) = 1- 4D = -3 D < 0, maka 1,2 = a bi / 1,2 = a b -1 dimana a,b R dan i = -1 ( bilangan imaginer ) Solusi umum: yh = eax ( C1 cos bx + C2 sin bx )

a = dan b =

Jadi, yh = b.Solusi khusus persamaan diferensial tidak homogen (yk) = F(x) = Ax + B + Aex yk = Ax + B + Aex . . . . . . . . . . (ii) yk' = A + Aex . . . . . . . . . . (iii) yk'' = Aex . . . . . . . . . . (iv) Subtitusikan pers. (ii), (iii) dan (iv) ke dalam pers. (i) y'' + y' + y = x + 7 + 3ex Aex + ( A + Aex) + ( Ax + B + Aex) = x + 4 + 3ex Aex + Aex + Aex + Ax + A + B = x + 4 + 3ex3ex + A x + A + B = x + 4 + 3exKoefisien ex 3A = 3 A = 1 x A = 1 c A + B = 71 + B = 7 B = 7 - 1 B =6Buktikan : 3ex + A x + A + B = x + 7 + 3ex 3ex + x + 1 + 6 = x + 7 + 3exx + 7 + 3ex = x + 7 + 3exSubtitusikan nilai A, B ke pers. (ii) yk = x + 7 + ex c.Solusi umum persamaan diferensial y = yh + yk

y = + x + 7 + ex14. x2y'' + 3xy' + 4y = Bx Jawab : x2y'' + 3xy' + 4y = 7x. . . . . . . . . .(i) a. Solusi umum Persamaan Diferensial homogen (yh) p = 3 dan q = 4 2 + (p - 1) + q = 0 2 + 2 + 4 = 0 D = p2 - 4aq = (2)2 - 4(1).(4) = 4 - 16 D = -12D < 0, maka 1,2 = a bi / 1,2 = a b -1 dimana a,b R dan i = -1 ( bilangan imaginer ). Solusi umum : y = xa [K cos ( b lan x ) + L sin ( b lan x ) ]

a = -1dan b = b =

Jadi, solusi umum: yh = x-1 [K cos ( lan ) + L sin ( lan x ) ]b.Solusi khusus Persamaan Diferensial tidak homogen (yh) = F(x) = Ax + B yk = Ax + B . . . . . . . . . (ii)yk' = A. . . . . . . . . (iii) yk'' = 0 . . . . . . . . . (iv) Subtitusikan pers. (ii), (iii) dan (iv) ke pers. (i) x2y'' + 3xy' + 4y = 4xx (0) + 3x(A) + 4(Ax + B) = 4x3Ax + 4Ax + 4B = 4x 7x + 4B = 4x Koefisien x 7A = 4

A = 4B = 0 B = 0 Buktikan : 7x + 4B = 4x

7 + 4(0) = 4x 4x = 4x Subtitusikan nilai A dan B ke pers. (ii) yk = Ax + B

yk = x + 0 c.Solusi umum Persamaan Diferensial y = yh + yk

y = x-1 [K cos ( lan ) + L sin ( lan x ) ] + x

TUGAS KALKULUS IIISEMESTER GENAP TAHUN AKADEMIK 2014/2015

OlehZERIZKYESKA NUGRAHAYU NURULIQRANIM. DAB 114 004

Dosen :MURNIATI, S.T.,M.T.NIP.19760111 200501 2 002

KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGIUNIVERSITAS PALANGKA RAYAFAKULTAS TEKNIKJURUSAN/PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL2015