kalkulus

DOSEN : ERNIATI, ST., MT / NURINSANA, ST

KALKULUS IDosen : ERNIATI, ST., MT / NURINSANA, STJurusan : Teknik Sipil, Arsitek, Kimia, ElektroSKS : 3 SKS

I. BILANGAN (2 TTM) BILANGAN ASLI dan BILANGAN BULAT FAKTOR DAN BILANGAN PRIMA PECAHAN BILANGAN DESIMAL PANGKAT

II. BILANGAN KOMPLEKS (2 TTM) PENGENALAN BILANGAN KOMPLEKS PENAMBAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN KOMPLEKS PERKALIAN BILANGAN KOMPLEKS

III. DETERMINAN (2 TTM) SIFAT-SIFAT DETERMINAN DETERMINAN ORDE KEDUA DETERMINAN ORDE KETIGA

IV. METRIKS (3 TTM) DEFENISI PENAMBAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS PERKALIAN MATRIKS TRANSPOS SUATU MATRIKS DETERMINAN SUATU MATRIKS BUJUR SANGKAR NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

V. VEKTOR (3 TTM) DEFENISI VEKTOR PENGGAMBARAN VEKTOR JENIS-JENIS VEKTOR PENJUMLAHAN VEKTOR VEKTOR DALAM RUANG HASIL KALI SKALAR DARI DUA VEKTOR HASIL KALI VEKTOR DARI DUA VEKTOR SUDUT ANTARA DUA VEKTOR

VI. DERET (2 TTM) FAKTORIAL KOMBINASI DERET BINOMIAL EKSPANSI BINOMIAL BILANGAN EKSPONENSIAL e

II BILANGAN KOMPLEKS (2 TTM)

KALKULUS I


1. PENGENALAN BILANGAN KOMPLEKS

Simbol j

Penyelesaian dari suatu persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0, dapat diperoleh dengan

menggunakan rumus ,

Sebagai contoh, jika 2x2 + 9x + 7 = 0, maka kita memperoleh

Contoh diatas penyelesaiannya sangat mudah, tetapi Persamaan 5x2 – 6x +5 = 0 jika

diselesaikan dengan cara yang sama diatas, kita akan dapatkan :

x =

tahap berikutnya ialah menentukan akar kuadrat dari -64, apakah akarnya 8 atau -

8 ??????

Tentu saja tidak satupun yang benar, karena +8 dan -8 adalah akar kuadrat dari 64 dan

bukan -64.

Sebenarnya tidak dapat dinyatakan dengan bilangan biasa, karena tidak ada

bilangan riil yang kuadratnya negatif. Akan tetapi, -64 = -1 x 64 dan oleh sebab itu kita

dapat menulis

Artinya,

Tentu saja kita masih dihadapkan dengan , yang tidak dapat dihitung seperti

bilangan riil, karena alasan yang sama seperti diatas, tetapi jika kita menulis huruf j

sebagai pengganti , maka j8. Jadi walaupun kita tidak dapat

menghitung , kita dapat menggantinya dengan j dan ini membuat pekerjaan kita

lebih rapi.

KALKULUS I


j8

Serupa halnya , j6

j2,646

Jadi dapat ditulis sebagai j5

Latihan :

Carilah nilai x dari persamaan 5x2 – 6x + 5 ????

Penyelesaian :

= =

x = x =

x = x =

Pangkat dari j

Dengan mengingat bahwa J menyatakan , marilah kita perhatikan beberapa pangkat

dari j berikut ini :

Khususnya perhatikan hasil terakhir j 4 = 1 , Jadi setiap kali muncul faktor j4 dapat

digantikan dengan faktor 1, sehingga pangkat dari j berkurang menjadi salah satu diantara

keempat hasil diatas.

Contoh :

Latihan :

a). j42 = ....................

b). j12 = ……………

c). j11 = ……………

d). jika x2 – 6x + 34 = 0, x = …………..

KALKULUS I


Penyelesaian :

a). j42 =

b). j12 = = 1

c). j11 =

d). jika x2 – 6x + 34 = 0, x = …………..

Artinya atau

INGAT :

untuk menyederhanakan pangkat dari j, kita keluarkan dari j4 yang paling

besar, dan hasilnya harus disederhanakan menjadi salah satu dari

keempat hasil berikut : j, -1, -j, 1

Hasil yang kita peroleh terdiri atas dua suku yang terpisah, yaitu 3 dan j5.

Suku-suku ini tidak dapat digabungkan lagi karena suku kedua bukanlah suatu bilangan

riil (karena memiliki faktor j).

Dalam pernyataan seperti , 3 disebut bagian riil dari x, 5 disebut bagian

imajiner dari x, dan gabungan keduanya membentuk apa yang disebut bilangan

kompleks.

Jadi suatu Bilangan Kompleks = (bagian riil) + j (bagian imajineer).

2. PENAMBAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN KOMPLEKS

Dalam penambahan dan pengurangan bilangan kompleks, meskipun bagian riil dan

bagian imajinernya tidak dapat digabungkan,akan tetapi kita dapat menghilangkan tanda

kurungnya dan kemudian menjumlahkan/mengurangkan suku-suku yang jenisnya sama.

Contoh

1. (4 + j5) + (3 - j2) = 4 + j5 + 3 - j2 = (4+3) + j (5 – 2)

KALKULUS I


= 7 + j3

2. (4 + j7) – (2 – j5) = 4 + j7 – 2 + j5 = (4 – 2) + j (7 + 5)

= 2 + j12

Jadi Secara umum, (a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + d)

Latihan:

(5 + j7) + (3 – j4) – (6 – j3) = ....................

(6 + j5) – (4 – j3) + (2 – j7) = .....................

(3 + j5) – (5 – j4) – (-2 – j3) = .....................

Penyelesaian :

(5 + j7) + (3 – j4) – (6 – j3) = 5 + j7 + 3 – j4 – 6 + j3

= (5 + 3 – 6 ) + j( 7 – 4 + 3 ) = 2 + j6

(6 + j5) – (4 – j3) + (2 – j7) = 6 + j5 – 4 + j3 + 2 – j7

= (6 – 4 + 2 ) + j (5 + 3 – 7)

= 4 + j

(3 + j5) – (5 – j4) – (-2 – j3) = 3 + j5 – 5 + j4 + 2 + j3

= (3 – 5 + 2 ) + j (5 + 4 + 3)

= 0 + j12 = j 12

Ini sangat mudah, selama anda ingat bahwa bagian riil dan bagian imajiner harus

dioperasikan secara terpisah – persis seperti suku-suku x dan y pada pernyataan aljabar.

3. PERKALIAN BILANGAN KOMPLEKS

Bilangan kompleks ini dikalikan dengan cara yang sama seperti anda menentukan hasil

kali (3x + 4y)(2x + 5y).

Ambillah sebagai contoh : (3 + j4)(2 + j5)

Dari suku-suku hasilkali

(a) Kedua suku sisi kiri

(b) Kedua suku di bagian dalam

(c) Kedua suku di bagian luar

KALKULUS I

(3 + j4) (2 + j5)

(a) (d)

(b)


(d) Kedua suku sisi kanan

= 6 + j8 + j15 + j220

= 6 + j23 – 20 (karena j2 = -1)

= -14 + j23

Latihan :

(4 – j5)(3 – j2) = ...........

(3 + j4)(2 – j5)(1 – j2) = ........................

(5 + j8) (5 – j8) = ..........................

Penyelesaian :

(4 – j5)(3 – j2) = 12 – j15 + j8 – j210

= 12 – j7 + 10

= 22 – j7

(3 + j4)(2 – j5)(1 – j2) = (6 + j8 – j15 – j220)(1 – j2)

= (6 – j7 + 20)(1 – j2)

= (26 – j7)(1 – j2)

= 26 – j7 – j52 + j214

= 26 – j59 – 14

= 12 – j59

(5 + j8) (5 – j8) = 25 + j40 – j40 – j264

= 25 + 64 = 89

Perhatikan bahwa ketika kita berurusan dengan bilangan kompleks, hasil perhitungan kita

umumnya juga merupakan bilangan kompleks. Terlepas dari apa yang telah kita lihat

pada poin 3 diatas, disini kita memilki hasil yang tidak mengandung suku j. Sehingga

hasilnya merupakan bilangan riil. Ini merupakan kasus yang sangat khusus. Dapatkah

anda menemukan sesuatu yang istimewa pada kedua bilangan kompleks ini? Jika ada,

apakah itu?

Kedua bilangan kompleks ini identik kecuali pada tanda ditengah tanda

kurungnya, yakni (5 + j8) dan (5 – j8)

Sepasang bilangan kompleks seperti ini disebut bilangan kompleks konjugat dan hasilkali

dua bilangan kompleks konjugat selalu bilangan riil.

KALKULUS I

(c)


Contoh : (a + b) (a – b) = a2 – b2 (selisih dua kuadrat)

Serupa halnya

(5 +j8)(5 – j8) = 52 – (j8)2 = 52 – j282

= 52 + 82 = 25 + 64 = 89

Contoh lain : ( 3 – j2)(3 + j2) = 32 - (j2)2 = 9 – j24

= 9 + 4 = 13

(2 + j7)(2 – j7) = 22 – (j7)2 = 4 – j249

= 4 + 49 = 53

Dan seterusnya .

Bilangan kompleks yang berbentuk (a + jb) dan (a – jb) disebut bilangan kompleks

Konjugat

Latihan :

(a) Tulislah hasilkali yang brikut :

(i) (4 – j3)(4 + j3) (ii) (4 + j7)(4 – j7)

(iii) (a + jb)(a – jb) (iv) (x – jy)(x + jy)

(b) Kalikanlah (3 – j5) dengan faktor yang sesuai untuk memberikan suatu hasilkali

yang seluruhnya bilangan real.

Penyelesaian :

(a) (i) (4 – j3) (4 + j3) = 42 – j232 = 16 + 9 = 25

(ii) (4 + j7)(4 – j7) = 42 - j272 = 16 + 49 = 65

(iii) (a + jb)(a – jb) = a2 – j2b2 = a2 + b2

(iv) (x – jy)(x + jy) = x2 + j2y2 = x2 + y2

(b) Untuk memperoleh suatu hasil riil, kita dapat mengalikan (3 – j5) dengan

konjugatnya, yakni (3 + j5), yang menghasilkan :

(3 – j5)(3 + j5) = 32 – j252 = 9 + 25 = 34

4. Pembagian Bilangan Kompleks

Pembagian bilangan kompleks dengan bilangan riil cukup mudah, dibangdingkan dengan

pembagian bilangan kompleks dengan bilangan kompleks dimana sebelumnya kita harus

KALKULUS I


mengkonversi penyebutnya menjadi bilangan riil. Perlu diingat kembali bahwa dalam

mengkongversi bilangan kompleks menjadi bilangan riil dengan cara mengalikan

bilangan konjugatnya yakni bilangan kompleks yang sama tetapi dengan tanda yang

berlawanan ditengah tanda kurungnya.

Contoh soal :

a.

b.

5. Bilangan kompleks Yang sama

Sekarang marilah kita lihat apa yang dapat kita temukan tentang dua bilangan kompleks

yang kita sebut sama.

Misalkan bilangannya berupa a + jb dan c + jd

Kemudian kita peroleh a + jb = c + jd

Dengan menyusun kembali suku-sukunya a – c = j(d – b)

Dalam pernyaatan terakhir ini, kuantitas disisi kiri seluruhnya real, sementara kuantitas di

sisi kanan semuanya imajiner, yakni kuantitas real sama dengan kuantitas imajiner! Ini

tampaknya berlawanan dan umumnya dapat saja tidak benar. Tetapi terdapat satu kasus

khusus dimana pernyataan itu dapat menjadi benar. Yakni ketika .....Setiap sisi sama

dengan nol.

a – c = j(d – b)

dapat menjadi benar hanya jika a – c = 0, yakni a = c

dan jika d – b = 0, yakni b = d

Sehingga kita memperoleh hasil yang penting ini :

Jika dua bilangan kompleks adalah sama

(a) kedua bagian realnya sama

(b) kedua bagian imajinernya sama

contoh,

jika x + jy = 5 + j4, maka kita ketahui x = 5 dan y = 4

KALKULUS I


jika a + jb = 6 – j3, maka a = 6 dan b = -3

Jika (a + b) + (a – b) = (7 + j2), carilah nilai-nilai a dan b

Sekarang berdasarkan aturan kita tentang bilangan kompleks yang sama, apa yang dapat

kita katakan tentang (a + b) dan (a – b)? a + b = 7 dan a- b = 2

Karena kedua bagian realnya sama dan kedua bagian imajinernya sama. Ini memberi

anda dua persamaan simultan, yang dari sini anda dapat menentukan nilai-nilai a dan b.

jadi berapakah niali-nilai a dan b tersebut?

Karena a + b = 7 2a = 9 a = 4,5

a – b = 2 2b = 5 b = 2,5

Mari kita lihat bahwa suatu persamaan yang melibatkan bilangan kompleks mengarah ke

sepasang persamaan simultan dengan membuat

(a) Kedua bagian realnya sama

(b) Kedua bagian imajinernya sama

Ini merupakan hal yang sangat penting untuk diingat.

TUGAS

1. Sederhanakanlah

a. j12 b. j12 c. j23

2. Sederhanakanlah

a. (5 – j9) – (2 – j6 ) + (3 – j4 )

b. (6 – j3) – (2 + j5 ) + (6 – j2 )

KALKULUS I


c. (4 – j3)2

d. (5 – j4) (5 – j4 )

3. Kalikanlah (4 –j3) dengan faktor yang sesuai untuk mendapatkan hasil kali

yang seluruhnya riil.

4. sederhanakanlah

a. b. c.

KUIS

1. Carilah nilai dari masing - masing soal berikut

a. 24 : 8 + : 7 – 1 + 12 – 3 x 4 + 8 : 2b. 10 – 4 (9 + [- 4 - 2] + [ 9 - 6]) + 24 - 8

2. a. Sebutkan faktor dari 10, 22 dan 39b. Carilah faktorisasi prima dari 42 dan 212

KALKULUS I


3. Sederhanakanlaha. j16 b. J40

c. (6 – j3) – (2 + j5 ) + (6 – j2 )d. (4 – j3)2

4. Sederhanakanlah

a.

b.

III DETERMINAN (2 TTM)

A. DETERMINAN ORDE KEDUA

disebut Determinan Orde Kedua karena ada dua baris dan dua

kolom.

Determinan Orde Kedua ini mewakili bentuk a1 b1 – a2 b2 .

Latihan :

KALKULUS I


a.

b.

c.

Penyelesaian :

a.

b.

c.

Dalam memecahkan persamaan

kita peroleh bahwa ; pembilang dan penyebutnya masing-masing

dapat dituliskan dalam bentuk determinan.

;

Jika kita eliminasi x dari persamaan semula dan kita cari pernyataan untuk y, kita

peroleh

Jadi untuk setiap pasangan persamaan simultan

Kita peroleh dan

KALKULUS I


Jadi masing-masing pembilang dan penyebut dapat dinyatakan dalam bentuk

determinan maka :

dan

Kita dapat menggabungkan hasil ini dalam bentuk :

Jadi Jika

MAKA

BISA DITULIS

Contoh : Carilah nilai x dan y dengan cara determinan pada persamaan berikut :

a.

b.

Penyelesaian

a.

KALKULUS I


Kunci dari cara determinan :

......... (1)

......... (2)

......... (3)

Subtitusikan nilai kedalam kunci di atas, maka diperoleh

→

b.

Kunci dari cara determinan :

......... (1)

......... (2)

......... (3)

Subtitusikan nilai kedalam kunci di atas, maka diperoleh

→

KALKULUS I


B. DETERMINAN ORDE KETIGA

Sebuah determinan orde ketiga mempunyai 3 baris dan 3 kolom, yaitu :

Masing-masing elemen dalam determinan ini berkaitan dengan MINOR-nya yang diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom yang memuat elemen tersebut.

Misalnya, minor dari a1 adalah yang diperoleh dari

minor dari b1 adalah yang diperoleh dari

minor dari c1 adalah yang diperoleh dari

Perhitungan Determinan Orde Ketiga

Dalam perhitungan determinan orde ketiga, kita tuliskan elemen-elemen dari baris yang

atas, kemudian masing-masing kita kalikan dengan minornya dan kita berikan tanda

plus dan minus bergantian pada suku-sukunya.

Ingat dalam menyelesaikan orde kedua yakni dengan mengalikannya secara diagonal

Sebetulnya kita juga boleh menguraikan determinan sembarang baris atau kolom

dengan cara yang serupa , yaitu kita kalikan masing-masing minornya, asal saja pada

KALKULUS I


masing-masing perkalian kita berikan tanda plus (+) atau minus (–) yang sesuai. ’Tanda

Tempat’ yang sesuai diberikan oleh

Dst., dst.

Elemen Kunci (pada sudut kiri atas) selalu +, yang lainnya bergantian + atau - bila

bergerak sepanjang baris atau turun sepanjang kolom.

Contoh

1.

= 3 (12 – 63 ) – 2 ( 8 – 14 ) + 5 ( 36 – 12 )

= 3 (- 51) – 2 (- 6) + 5 (24)

= -153 +12+120

= -21

2.

= 2 ( 6 – 27 ) – 4 ( 7 – 45) + 8 ( 21 – 30 )

= -42 + 152 – 72 = 38

C. SIFAT-SIFAT DETERMINAN

Dalam menjabarkan determinan yang elemen-elemennya sangat banyak akan sangat

menjenuhkan, tetapi bila kita mengetahui sifat-sifat determinan, kita dapat

menyederhanakan perhitungannya. Ada beberapa sifat pokok determinan :

1. Harga suatu determinan tetap tidak berubah jika baris diganti menjadi kolom dan

kolom menjadi baris

=

2. Jika dua baris (atau kolom) ditukarkan tempatnya, tanda determinan berubah.

KALKULUS I


= -

3. Jika ada dua baris (atau kolom) yang identik, maka harga determinan tersebut sama

dengan nol.

= 0

4. Jika elemen-elemen salah satu baris (atau kolom) semua dikalikan dengan faktor

yang sama, maka determinannya pun dikalikan dengan faktor tersebut.

= k

5. Jika elemen-elemen salah satu baris (atau kolom) ditambah (atau dikurangi) dengan

kelipatan elemen-elemen baris (atau kolom) lain yang bersesuaian, maka harga

determinannya tidak berubah.

=

Catatan : Sifat-sifat yang dituliskan di atas berlaku secara umum dan dapat

diterapkan tidak hanya pada determinan berorde dua saja, tetapi juga pada harga

determinan berorde sembarang.

Contoh 1. Hitunglah :

Penyelesaian :

a. Cara Biasa : (427 x 371) – (369 x 429) = 116

b. Dengan menggunakan sifat-sifat determinan ;

= (Kaidah 5)

=

KALKULUS I


= (Kaidah 5)

=

= (58 x 2) – ( 0) = 116

Contoh 2. Hitunglah

Penyelesaian :

=

=

=

= (-2 x -1) – ( -5 x -3) = -13

Contoh 3. Hitunglah

Penyelesaian :

= 8

KALKULUS I

Kolom 2 dikurangi kolom 3 akan memberikan sebuah nol

Kolom 3 dikurangi dua kali (kolom 1) akan memberikan sebuah nol lagi

Keluarkanlah faktor 2 dari masing-masing baris, sehingga didapatkan faktor 23, yaitu 8 diluar determinan


= 8

= 8

= 8 Dirubah menjadi determinan

orde 2

= 8 Baris 2 + baris 1

= - 8 = - 8 = -8 ( 0 – 4 )

= 32

Contoh 4. Pecahkanlah persamaan = 0

Penyelesaian :

dapatkan faktor yang sama, dengan baris dan 3 kita tambahkan pada

baris 1, maka diperoleh ;

= 0

keluarkan faktor yang sama (x + 2), maka diperoleh ;

= 0

Kolom 2 dan kolom 3 kita kurangi dengan kolom 1, maka diperoleh ;

KALKULUS I

Kolom 2 dikurangi kolom 3 akan memberikan sebuah nol pada baris paling atas

Kolom 1 dikurangi dua kali (kolom 3) akan memberikan sebuah nol pada baris yang sama


= 0

lakukan penjabaran sepanjang baris atas dengan mengubahnya

menjadi determinan orde kedua, maka diperoleh ;

= 0

jika determinannya kita buka, maka diperoleh ;

(x + 2 ) [ (x – 4) (x + 1) – 4 ] = 0

(x + 2) (x2 – 3x – 8) = 0

x + 2 = 0 atau x2 – 3x – 8 = 0

x = - 2 atau

Literatur : Matematika untuk Teknik by KA STROUD / ERWIN SUCIPTO, edisi ketiga (hal 102 – 135)

KALKULUS I

kalkulus

Documents