kalkulus
DESCRIPTION
:)TRANSCRIPT
KOORDINAT TABUNG DAN KOORDINAT BOLA
NURHANI RESTU UMI07.5447II KS 2
SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIKJAKARTA
2009
KOORDINAT TABUNG DAN KOORDINAT BOLA
Dalam perhitungan integral rangkap tiga dari suatu fungsi tiga peubah atas bangun ruang G seringkali dijumpai beberapa kesulitan dalam pengintegralan. Untuk itu, dilakukan tarsnformasi dari kordinat cartesius ke dalam koordinat tabung dan koordinat bola.
Bila dalam koordinat cartesius P( x,y,z ) dan dalam koordinat tabung P( r,,z ) maka diperoleh hubungan berikut :
x2 + y2 = r2
x = r cos y = r sin z = z
Bila dalam koordinat cartesius P ( x,y,z ) dan dalam koordinat bola P ( ,,) maka didapatkan hubungan berikut :
ρ2= x2 + y2 + z2
x = ρ sin ф cos θy= ρ sin ф sin θz= ρ cos ф
Untuk mentransformasikan integral dari koordinat cartesius ke dalam koordinat tabung atau koordinat bola digunakan metode determinan jacobi.
Koordinat tabung
∂ x∂r
∂ x∂θ
∂ x∂ z
cos θ -r sin θ 0
J(r,θ,z) = ∂ y∂ r
∂ y∂θ
∂ y∂ z
= sin θ r cos θ 0 = r
∂ z∂ r
∂ z∂θ
∂ z∂ z
0 0 1
∭ f (x , y , z )dV=∫θ1
θ2
∫r1(θ)
r2(θ)
∫v1 (r ,θ)
v2 (r ,θ)
f ¿¿¿¿¿
Koordinat bola
∂ x∂ ρ
∂ x∂θ
∂x∂ф
sinф cosθ -ρ sinф sinθ ρ cosф cosθ
J(ρ,θ,ф) = ∂ y∂ ρ
∂ y∂θ
∂ y∂ф
= sinф sinθ ρ sinф cosθ ρ cosф sinθ = ρ2 sinф
∂ z∂ ρ
∂ z∂θ
∂ z∂ф
cosф 0 -ρ sinф
∭ f (x , y , z )dV=∫θ1
θ2
∫ρ1(θ)
ρ2(θ)
∫v1 (ρ ,θ )
v2 (ρ ,θ )
f (ρ ,θ ,ф ) ρ2 sinфdфdρdθ
Dalam penerapan, bila bangun ruang G simetris terhadap suatu sumbu ( garis ) maka digunakan koordinat tabung. Sedangkan koordinat bola digunakan bila bangun ruang G simetri terhadap suatu titik.
Contoh soal :
1. Gunakan koordinat tabung untuk menghitung integral ∫0
3
∫0
√9− x2
∫0
2
√x2+ y2dz dy dx
Jawab : ∫0
3
∫0
√9− x2
∫0
2
√x2+ y2dz dy dx= ∫0
3
∫0
π /2
∫0
2
r2dz dθdr
= ∫0
3
r 2[∫0π /2
(∫0
2
dz )dθ] dr
= 9π
2. Gunakan koordinat bola untuk menghitung ∫0
2
∫0
√4−x 2
∫0
√4− x2− y 2
z dzdy dx
Jawab : ∫0
2
∫0
√4−x 2
∫0
√4− x2− y 2
z dzdy dx = ∫0
2
∫0
π /2
∫0
π /2
ρ cosф ρ2 sinфdфdθdρ
= ∫0
2
ρ3[∫0π /2
(∫0
π /2
cosфsinфdф)dθ]dρ = π3. Gunakan koordinat tabung untuk menghitung volume benda diatas bidang xy yang dibatasi
oleh paraboloid z = x2+y2 dan silinder x2+y2 = α2
Jawab : ∭dv = ∫0
2π
∫0
α
∫0
r2
r dz dr dθ
G
= ∫0
2π
∫0
α
r3dr dθ
= ∫0
2π14α 4dθ
= α4
2π
4. Gunakan koordinat bola untuk menghitung volume benda yang bagian atasnya dibatasi oleh bola x2 + y2 + z2 = 16 dan bagian bawah dibatasi kerucut z = √ x2+ y2
Jawab : ∭dv = ∫0
2π
∫0
π /4
∫0
4
ρ2sinфdρdфdθ
G
= ∫0
2π
∫0
π /4643
sinфdфdθ
= 643
∫0
2π
(1−12
√2)dθ =
643π (2−√2 )
5. Tentukan volume suatu benda padat yang dibatasi oleh paraboloid z = x2+y2 dan bidang z = 9
Jawab : ∭dv = ∫0
2π
∫0
3
∫r2
9
r dz dr dθ
G
= ∫0
2π
∫0
3
r (9−¿¿r 2)dr dθ ¿¿
= ∫0
2π812
−814dθ
= 812π