Tugas KalkulusFungsi dari Variabel

kompleks

Nama : Yonathan Nimba RodeNIM : 1301343Jurusan : Teknik Industri B

Dosen : Sulaeman Tappi,S.Si

7.1

PEND

AHUL

UAN

Teori fungsi dari variabel kompleks adalah sangat penting dalam memecahkan sejumlah besar masalah di bidang teknik dan ilmu pengetahuan . Banyak integral yang rumit dari fungsi nyata diselesaikan dengan bantuan fungsi dari variabel kompleks .

7.2

VARI

ABEL

KO

MPLE

KS

adalah variabel yang kompleks dan dilambangkan dengan

Dimana

7.3

FUNG

SI V

ARIA

BEL K

OMPL

EKS adalah fungsi dari

variabel kompleks oleh ,

Dimana u dan v adalah

bagian real dan imajiner dari

7.4

BATA

S FU

NGSI

VAR

IABE

L KO

MPLE

KS

Biarkan adalah fungsi bernilai tunggal didefinisikan di semua titik di beberapa kawasan poin Kemudian batas sebagai adalah .

7.5

KONT

INUI

TAS

dikatakan kontinu di , jika

7.6

dife

rens

iabi

litas

Biarkan adalah fungsi bernilai tunggal dari variabel , maka :

Asalkan batas ada dan independen dari jalur sepanjang yang δz → 0 .Biarkan P menjadi titik tetap dan Q menjadi titik tetangga . Titik Q dapat mendekati P sepanjang setiap garis lurus atau jalan melengkung .

Contoh 1 . Pertimbangkan fungsi

Dan mendiskusikan Solusi .

Jika

( a) Seiring sumbu nyata :

Jika Q diambil pada horisontalLine melalui P ( x , y ) dan Q kemudian

pendekatan P bersama iniLine, kita akan memiliki

.

( b ) Sepanjang sumbu imajiner :

Jika Q diambil pada garis vertikal melalui garis melalui P dan kemudian Q mendekati P sepanjang garis ini, dengan cara

.

( c ) Sepanjang garis =x : Jika Q diambil pada garis y = x .

Pada menempatkan nilai-nilai ini memiliki

Dalam semua tiga jalur yang berbeda mendekati Q dengan P, kita mendapatkan nilai yang sama dari . Dalam kasus seperti itu , fungsi dikatakan diferensiabel di titik di wilayah tertentu .

7.7

FUNG

SI A

PLIK

ASI Suatu fungsi bernilai

tunggal yang diferensiabel di dikatakan Analytic pada titik .

Titik di mana fungsi ini tidak terdiferensiasi disebut titik singular dari fungsi.

7.8

PERL

U KO

NDIS

I UN

TUK

MEN

JADI

AN

ALYT

IC

Teorema . kondisi untuk

fungsi menjadi analitik di semua titik di wilayah R adalah

Dinyatakan

Bukti . Biarkan menjadi fungsi analitik di daerah R ,

,Dimana u dan v adalah fungsi dari x dan y .Maka dan menjadi kelipatannya dalam u dan v masing-masing sesuai dengan tahap dan

MenjadiAtau Karena δz bisa mendekati nol sepanjang jalan apapun. .

( a) Seiring sumbu nyata tetapi pada sumbu , =

Menempatkan nilai-nilai yang memiliki

Menempatkan nilai-nilai ini dalam

Jika diferensiabel , maka dua nilai dari harus sama.Dapat disimpulkan bahwa

Persamaan bilangan real dan imajiner

dikenal sebagai persamaan Cauchy Riemann .

7.9

KOND

ISI C

UKUP

UNT

UK f

( z )

MENJ

ADI A

NALY

TIC

Teorema . Kondisi yang cukup untuk fungsi f ( z ) u + iv menjadi analitik di semua titik di wilayah R adalah

(𝑖𝑖 ) 𝝏𝒖𝝏𝒙 ,𝝏𝑢𝝏𝒚 ,

𝝏𝒗𝝏 𝒙 ,

𝝏𝒗𝝏𝒚

Apakah fungsi kontinu dari x dan y di wilayah R.

Bukti, Biarkan f ( z ) adalah fungsi bernilai tunggal memiliki

(𝑖𝑖) 𝝏𝒖𝝏𝒙 ,𝝏𝑢𝝏𝒚 ,

𝝏𝒗𝝏 𝒙 ,

𝝏𝒗𝝏𝒚

Pada setiap titik di wilayah R. Kemudian persamaan puas .

Menurut Teorema Taylor :𝑓 (𝑧+𝛿𝑧 )=𝑢 (𝑥+𝛿𝑥 , 𝑦+𝛿 𝑦 )+𝑖𝑣 (𝑥+𝛿𝑥 , 𝑦+𝛿 𝑦 )

¿𝑢 (𝑥 , 𝑦 )+(𝜕𝑢𝜕 𝑥 𝛿𝑥+ 𝜕𝑢𝜕𝑦 𝛿 𝑦 )+…+𝑖[𝑣 (𝑥 , 𝑦 )+( 𝜕𝑣𝜕𝑥 𝛿𝑥+ 𝜕𝑣𝜕 𝑦 𝛿 𝑦 )+…]¿ [𝑢 (𝑥 , 𝑦 )+ 𝑖𝑣 (𝑥 , 𝑦 ) ]+[𝜕𝑢𝜕 𝑥 .𝛿𝑥+𝑖 𝜕 𝑣𝜕 𝑥 .𝛿 𝑥]+[ 𝜕𝑢𝜕 𝑦 .𝛿 𝑦+𝑖 𝜕𝑣𝜕 𝑦 . 𝛿𝑦 ]+…

¿ 𝑓 (𝑧 )+( 𝜕𝑢𝜕𝑥 +𝑖 𝜕 𝑣𝜕 𝑥 )𝛿𝑥+( 𝜕𝑢𝜕 𝑦 +𝑖 𝜕𝑣𝜕 𝑦 )𝛿 𝑦+…

( Mengabaikan hal kekuatan kedua dan kekuatan yang lebih tinggi )

Atau

Kini dikenal dengan persamaan C - R yaitu ,

dan 𝜕𝑢𝜕 𝑦=− 𝜕 𝑣𝜕 𝑥

Mengganti

dan

𝜕 𝑣𝜕 𝑦

oleh − 𝜕𝑣𝜕 𝑥

dan

dalam ( 1 ) kita mendapatkan

𝑓 (𝑧+𝛿𝑧 )− 𝑓 (𝑧 )=( 𝜕𝑢𝜕 𝑥 +𝑖 𝜕 𝑣𝜕 𝑥 ) .𝛿𝑥+(− 𝜕𝑣𝜕𝑥 +𝑖 𝜕𝑢𝜕 𝑥 ) .𝛿 𝑦¿ (𝜕𝑢𝜕𝑥 + 𝑖 𝜕𝑣𝜕 𝑥 ). 𝛿𝑥 (𝑖 𝜕 𝑣𝜕 𝑥 + 𝜕𝑢𝜕 𝑥 ). 𝑖 𝛿𝑦

¿ (𝜕𝑢𝜕𝑥 + 𝑖 𝜕𝑣𝜕 𝑥 ). (𝛿𝑥+ 𝑖𝛿 𝑦 )=(𝜕𝑢𝜕 𝑥 +𝑖 𝜕𝑣𝜕 𝑥 ) .𝛿 𝑧

Atau 𝑓 (𝑧+𝛿𝑧 )− 𝑓 ( 𝑧)𝛿𝑧 =

𝜕𝑢𝜕 𝑥 +𝑖 𝜕𝑣𝜕 𝑥

Atau lim𝛿 𝑧→0

𝑓 (𝑧+𝛿𝑧 )− 𝑓 (𝑧 )𝛿 𝑧 =𝜕𝑢

𝜕 𝑥 + 𝑖 𝜕𝑣𝜕 𝑥

𝑓 ′ (𝑧 )=𝜕𝑢𝜕 𝑥 +𝑖 𝜕𝑣𝜕 𝑥

𝑓 ′ (𝑧 )= 𝜕𝑣𝜕 𝑦 −𝑖

𝜕𝑢𝜕 𝑦

Contoh 2 .

Tunjukkan bahwa kompleks variabel fungsi

𝑓 (𝑧 )=|𝑧|2

diferensiabel hanya pada titik asal.

Solusi . 𝑓 (𝑧 )=|𝑧|2 dimana 𝑧=𝑥+ 𝑖𝑦

Tetapi

𝑓 (𝑧 )=𝑥2+𝑦2Atau

Jika f ( z ) terdiferensialkan maka or or and or or

C – R equations yang satisfield hanya ketika:

x = 0 , y = 0

Dengan demikian fungsi f diberikan ( z ) diferensiabel hanya pada asal .

Contoh 3 . menunjukkan bahwa fungsi 𝑒𝑥 (cos 𝑦+𝑖 sin 𝑦 )adalah fungsi analitik

Solusi . Let

Jadi or then

Di sini kita melihat bahwa 𝜕𝑢𝜕𝑥=

𝜕 𝑣𝜕 𝑦 ,

𝜕𝑢𝜕 𝑦=− 𝜕𝑣𝜕 𝑥

Ini adalah persamaan C - ROleh karena itu𝑒𝑥 ¿ adalah analitik .𝑓 (𝑧 )=𝑢+𝑖𝑣=𝑒𝑥¿

𝑓 ′ (𝑧 )=𝜕𝑢𝜕 𝑥 +𝑖 𝜕𝑣𝜕𝑥=𝑒𝑥 cos 𝑦+𝑖𝑒𝑥sin 𝑦 ¿=𝑒𝑥 ( cos 𝑦+𝑖 sin 𝑦 )=𝑒𝑥 .𝑒𝑖𝑦=𝑒𝑥+𝑖𝑦 ¿

.

Contoh 4 .menggunakan persamaan Cauchy - Riemann , menunjukkan bahwa

𝑓 (𝑧 )=𝑧3

adalah analitik di seluruh z -pesawat .Solusi . 𝑓 (𝑧 )=𝑧3=(𝑥+𝑖𝑦 )3=𝑥3+3 𝑥2 (𝑖𝑦 )+3 𝑥(𝑖𝑦 )2+(𝑖𝑦 )3

¿ 𝑥3−3 𝑥𝑦2+ 𝑖 (3 𝑥2 𝑦− 𝑦3 )

Juga

…(1) …(2)

…(3) …(4)

Dari ( 1 ) dan ( 4 ) 𝜕𝑢𝜕𝑥=𝜕 𝑣𝜕 𝑦

Dari ( 2 ) dan ( 3 ) 𝜕𝑢𝜕 𝑦=− 𝜕 𝑣𝜕 𝑥Oleh karena itu f ( z ) adalah fungsi analitik .

Contoh 5 .menguji analyticity fungsi𝑤=sin 𝑧dan karenanya berasal bahwa :

𝑑𝑑𝑧 (sin 𝑧 )=cos 𝑧

Solusi .𝑤=sin 𝑧=sin (𝑥+ 𝑖𝑦 )=sin𝑥 cos 𝑖𝑦+cos𝑥 sin 𝑖𝑦¿ sin 𝑥 cosh 𝑦+𝑖cos 𝑥 sinh 𝑦

Jadi sehingga kondisi C-R .

Oleh karena itu dosa z adalah fungsi analitis .𝑑𝑦

𝑑𝑧 (sin 𝑧 )= 𝑑𝑑𝑧 [sin 𝑥cosh 𝑦+ 𝑖cos 𝑥 sinh 𝑦 ]

¿𝜕𝜕𝑥 (sin 𝑥cosh 𝑦+ 𝑖cos 𝑥 sinh 𝑦 )

¿𝑐𝑜𝑠𝑥 h𝑐𝑜𝑠 𝑦−𝑖 sin 𝑥 sinh 𝑦=cos 𝑥cos 𝑖𝑦− sin 𝑥 sin 𝑖𝑦¿cos (𝑥+𝑖𝑦 )=cos 𝑧

Contoh 6 .

Solusi .

¿ log𝑟 ( cos𝜃+𝑖 sin𝜃 )=𝑙𝑜𝑔𝑒𝑟 .𝑒𝑖 𝜃

¿ 𝑙𝑜𝑔𝑒𝑟+ 𝑙𝑜𝑔𝑒𝑒𝑖 𝜃=log 𝑟+𝑖𝜃

¿ log √𝑥2+𝑦 2+𝑖 𝑡𝑎𝑛− 1 𝑦𝑥

Tunjukkan bahwa bagian real dan imajiner dari fungsi

𝑤=log 𝑧 .persamaan Cauchy - Riemann saat z tidak nol .

Contoh 7 . menemukan titik di mana persamaan Cauchy - Riemann puas untuk fungsi 𝑓 (𝑧 )=𝑥𝑦 2+ 𝑖𝑥2𝑦 dimana 𝑓 ′ (𝑧 )Dimana f ( z ) adalah analitik ?Solusi . 𝑓 (𝑧 )=𝑥𝑦 2+ 𝑖𝑥2𝑦= 𝑓 (𝑧 )=𝑢+𝑖𝑣

Jika f ( z ) adalah fungsi analitik , maka C-R akan memuaskan persamaan C-R .

…(1)

or …(2)

Pemecahan ( 1 ) dan ( 2 ) kita mendapatkan x = y = 0Pada asal C-R persamaan f ' ( z ) ada di asal saja dan tidak ada tempat lain . Oleh karena itu f ( z ) analitik di asal saja.

Contoh 8 .Tunjukkan bahwa fungsi z | z | tidak analitik di mana saja.

Solusi 𝑤=𝑧|𝑧| and

or and

¿𝑥2+𝑦2+𝑥2

√𝑥2+ 𝑦2¿𝑥2+ 𝑦2+𝑦 2

√𝑥2+𝑦 2𝜕𝑢𝜕𝑥=

𝜕 𝑣𝜕 𝑦 kecuali bila x = y

7.10

C -

R PE

RSAM

AAN

DALA

M BE

NTUK

POL

AR 𝜕𝑢𝜕𝑟 =

1𝑟𝜕𝑣𝜕𝜃

𝜕𝑢𝜕𝜃=−𝑟 𝜕𝑣𝜕 𝜃

Bukti . Kita tahu𝑥=𝑟 cos𝜃 , 𝑦=𝑟 sin 𝜃dan u adalah fungsi x dan y𝑧=𝑥+ 𝑖𝑣=𝑟 (cos𝜃+𝑖 sin 𝜃 )=𝑟 𝑒𝑖𝜃

𝑢+𝑖𝑣= 𝑓 (𝑧 )= 𝑓 (𝑟 𝑒𝑖 𝜃)

7.11

KUR

VA

ORTH

OGON

ALDua kurva dikatakan ortogonal satu sama lain , ketika mereka berpotongan pada sudut yang tepat pada titik persimpangan mereka .

Fungsi analitik terdiri dari dua keluarga kurva 𝑢 (𝑥 , 𝑦 )=𝑐1dan 𝑣 (𝑥 , 𝑦 )=𝑐2

yang merupakan sistem orthogonal .

…(1)…(2)

Membedakan ( 1 ) , or

Demikian pula dari ( 2 ) ,

𝜕 𝑦𝜕 𝑥=−

𝜕𝑣𝜕 𝑥𝜕𝑣𝜕 𝑦

=𝑚2

Produk dari dua lereng

𝑚1𝑚2=(−𝜕𝑢𝜕 𝑥𝜕𝑢𝜕 𝑦

)(−𝜕𝑣𝜕 𝑥𝜕𝑣𝜕 𝑦

)=(−𝜕𝑢𝜕𝑥𝜕𝑢𝜕 𝑦

)(−−𝜕𝑢𝜕 𝑦𝜕𝑢𝜕𝑥

)𝑚1𝑚2=−1

7.12

FUN

GSI

HARM

ONIC

Setiap fungsi yang memenuhi persamaan Laplace dikenal sebagai fungsi harmonik .

Teorema Jika 𝑓 (𝑧 )=𝑢+𝑖𝑣adalah fungsi analitik , maka u dan v keduanya fungsi harmonik .

Bukti Biarkan 𝑓 (𝑧 )=𝑢+𝑖𝑣

menjadi fungsi analitik , maka kita harus𝜕𝑢𝜕𝑥=

𝜕 𝑣𝜕 𝑦

𝜕𝑢𝜕 𝑦=− 𝜕 𝑣𝜕 𝑥

Similiar 𝝏𝟐𝒖𝝏𝒙𝟐+

𝝏𝟐𝒖𝝏 𝒚𝟐=𝟎 𝝏𝟐𝒗

𝝏𝒙𝟐+𝝏𝟐𝒗𝝏𝟐 𝒚

=𝟎

7.13

MET

ODE

UNTU

K ME

NCAR

I kon

juga

t FUN

GSI

Mengingat𝑓 (𝑧 )=𝑢+𝑖𝑣, dan u dikenal .

Untuk menemukan . v , fungsi konjugat .. Jika

Metode .Kita tahu

𝑑𝑣=𝜕𝑣𝜕 𝑥 .𝜕 𝑥+

𝜕𝑣𝜕 𝑦 .𝜕 𝑦

Mengganti dengan −𝜕𝑢𝜕 𝑦

dan 𝜕 𝑣𝜕 𝑦

dengan

kita mendapatkan 𝑑𝑣=− 𝜕𝑢𝜕 𝑦 .𝜕𝑥+𝜕𝑢𝜕𝑥 .𝑑𝑦

ContohBiarkan𝑓 (𝑧 )=𝑢 (𝑥 , 𝑦 )+𝑖𝑣 (𝑥 , 𝑦)menjadi fungsi analitik . Jika 𝑢=3 𝑥−2 𝑥𝑦kemudian menemukan dan mengungkapkan

𝑓 (𝑧 )Ke dalam .Solusi .

𝑢=3 𝑥−2 𝑥𝑦𝜕𝑢𝜕𝑥=3−2 𝑦 , 𝜕𝑢𝜕 𝑦=−2 𝑥

¿2 𝑥𝑑𝑥+(5−2 𝑦 )𝑑𝑦

𝑣=∫ 2𝑥𝑑𝑥+∫ (3−2 𝑦 )𝑑𝑦=𝑥2+3 𝑦− 𝑦2+𝑐𝑓 (𝑧 )=𝑢 (𝑥 , 𝑦 )+𝑖𝑣 (𝑥 , 𝑦 )=(3 𝑥−2 𝑥𝑦 )+𝑖(𝑥2+3 𝑦− 𝑦2+𝑐)

¿ 𝑖(𝑥+𝑖𝑦 )2+3 (𝑥+ 𝑖𝑦 )+𝑖𝑐=𝑖 𝑧 2+3 𝑧+𝑖𝑐

7.14

Met

ode

Miln

e TH

OMSO

N

Dengan metode ini f ( z ) secara langsung dibangun tanpa menemukan u dan metode ini diberikan di bawah ini :Karena

and

𝑥=𝑧+𝑧2 , 𝑦=

𝑧− 𝑧2 𝑖

𝑓 (𝑧 )≡𝑢 (𝑥 , 𝑦 )+𝑖𝑣 (𝑥 , 𝑦 )𝑓 (𝑧 )≡𝑢( 𝑧+𝑧

2, 𝑧−𝑧2 𝑖 )+𝑖𝑣 ( 𝑧+𝑧

2, 𝑧−𝑧2𝑖 )

Hubungan ini dapat dianggap sebagai formal mengidentifikasi dua variabel independen 𝑧dan .

kita mendapatkan 𝑓 (𝑧 )≡𝑢 (𝑧 ,0 )+ 𝑖𝑣 (𝑧 ,0 )

TERIMA KASIH