kalkulus iii - · pdf filepada bidang atau ruang dan diparameterisasi oleh ... misalkan = +...
TRANSCRIPT
Teorema Integral
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 1
KALKULUS III
Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 2
Integral Garis pada Fungsi Skalar
Definisi :
Jika ๐ didefinisikan pada kurva ๐ถ diberikan secara parametrik
dengan ๐ ๐ก = ๐ฅ ๐ก ๐ข + ๐ฆ ๐ก ๐ฃ + ๐ง ๐ก ๐ค, ๐ โค ๐ก โค ๐, maka
integral garis dari ๐ atas ๐ถ adalah
๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)๐๐
๐ถ
= lim๐โโ
๐(๐ฅ๐ , ๐ฆ๐, ๐ง๐)
๐
๐=1
โ๐ ๐
terpenuhi jika limitnya ada.
INTEGRAL GARIS
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 3
How to evaluate a Line Integral?
Untuk mengintegralkan fungsi f(x,y,z) atas kurva C :
1. Temukan parametrisasi smooth dari C, ๐ ๐ก = ๐ฅ ๐ก ๐ข + ๐ฆ ๐ก ๐ฃ + ๐ง ๐ก ๐ค.
2. Taksir integral nya yaitu
๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)๐๐
๐ถ
= ๐(๐ฅ ๐ก , ๐ฆ ๐ก , ๐ง(๐ก)) ๐ฃ(๐ก)
๐
๐
๐๐ก.
dimana,
๐ฃ =๐๐
๐๐ก=
๐๐ฅ
๐๐ก
2
+๐๐ฆ
๐๐ก
2
+๐๐ง
๐๐ก
2
INTEGRAL GARIS
Contoh :
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 4
Integralkan ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ฅ โ 3๐ฆ2 + ๐ง atas kurva C dengan titik
asal (1,1,1).
Solusi :
Pilih parameterisasi paling sederhana, yaitu ๐ ๐ก = ๐ก๐ข + ๐ก๐ฃ + ๐ก๐ค, 0 โค ๐ก โค 1.
Komponen tersebut memiliki turunan pertama yang kontinu
dan ๐ฃ(๐ก) = ๐ข + ๐ฃ + ๐ค = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3 tidak
pernah bernilai nol, maka parameterisasinya smooth.
Contoh :
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 5
Integral dari ๐ atas ๐ถ adalah
๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)๐๐
๐ถ
= ๐(๐ก, ๐ก, ๐ก)( 3)
1
0
๐๐ก = (๐ก โ 3๐ก2 + ๐ก)( 3)
1
0
๐๐ก
= 3 (2๐ก โ 3๐ก2)
1
0
๐๐ก
= 3 ๐ก2 โ ๐ก310
= 0
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 6
Integral Garis pada Medan Vektor
Definisi :
Misalkan ๐ญ adalah medan vektor (vector field) dengan komponen
kontinu yang didefinisikan sepanjang kurva smooth ๐ถ yang
diparameterisasi oleh ๐ ๐ก , ๐ โค ๐ก โค ๐. Maka integral garis ๐ญ
sepanjang ๐ถ adalah
๐ญ(๐) โ ๐๐
๐ถ
= ๐ญ โ๐๐
๐๐ ๐๐
๐ถ
= ๐ญ โ ๐๐
๐ถ
.
INTEGRAL GARIS
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 7
Menaksirkan Integral Garis dari ๐ญ = ๐๐ข + ๐๐ฃ + ๐๐ค sepanjang ๐ถ: ๐(๐ก) = ๐ฅ(๐ก)๐ข + ๐ฆ(๐ก)๐ฃ + ๐ง(๐ก)๐ค
1. Ekspresikan vector field ๐น dalam bentuk kurva parameterisasi ๐ถ sebagai ๐ญ(๐(๐ก)) dengan mensubstitusikan komponen x = ๐ฅ ๐ก , y = ๐ฆ ๐ก , z = ๐ง ๐ก dari ๐ dalam komponen skalar ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง), ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง), ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) dari ๐ญ.
2. Temukan turunan (kecepatan) vektor ๐๐ ๐๐ก .
3. Taksir integral garis yang bergantung pada parameter ๐ก, ๐ โค ๐ก โค ๐, untuk mendapatkan
๐ญ(๐) โ ๐๐
๐ถ
= ๐ญ ๐ ๐ก โ ๐โฒ ๐ก ๐๐ก
๐
๐
INTEGRAL GARIS
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 8
Taksirkan ๐ญ(๐) โ ๐๐๐ถ
dimana ๐ญ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ง๐ข + ๐ฅ๐ฆ๐ฃ โ ๐ฆ2๐ค
sepanjang kurva C yang diberikan oleh
๐ ๐ก = ๐ก2๐ข + ๐ก๐ฃ + ๐ก๐ค, 0 โค ๐ก โค 1.
Solusi :
Diketahui
๐ ๐ ๐ก = ๐ก๐ข + ๐ก3๐ฃ โ ๐ก2๐ค
dan
๐๐
๐๐ก= 2๐ก๐ข + ๐ฃ +
1
2 ๐ก๐ค.
Contoh :
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 9
Sehingga,
๐ญ(๐) โ ๐๐
๐ถ
= ๐ญ ๐ ๐ก โ ๐โฒ ๐ก ๐๐ก
1
0
= 2๐ก3
2 + ๐ก3 โ1
2๐ก3
2 ๐๐ก
1
0
=3
2
2
5๐ก5
2 +1
4๐ก4
10
=17
20.
Contoh :
INTEGRAL GARIS
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 10
Integral garis pada bidang
Hitung nilai integral garis dari (1) saat
๐ญ ๐ = โ๐ฆ, โ๐ฅ๐ฆ = โ๐ฆ๐ข โ ๐ฅ๐ฆ๐ฃ
dan C adalah lengkungan yang digambarkan sebagai berikut
INTEGRAL GARIS
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 11
Integral garis pada bidang
Solusi :
๐ถ dapat kita nyatakan sebagai
๐ ๐ก = cos ๐ก, sin ๐ก = cos ๐ก ๐ + sin ๐ก ๐,
dimana 0 โค ๐ก โค ๐ 2 . Maka ๐ฅ ๐ก = cos ๐ก, ๐ฆ ๐ก = sin ๐ก, dan
๐ญ ๐(๐ก) = โ๐ฆ ๐ก ๐ข โ ๐ฅ ๐ก ๐ฆ ๐ก ๐ฃ = โ sin ๐ก ๐ข โ cos ๐ก sin ๐ก ๐.
Dengan diferensial diperoleh
๐โฒ ๐ก = โ๐ ๐๐ ๐ก ๐ + cos ๐ก ๐,
INTEGRAL GARIS
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 12
Integral garis pada bidang
Sehingga,
๐ญ(๐) โ ๐๐
๐ถ
= โ sin ๐ก , cos ๐ก sin ๐ก โ [โ๐ ๐๐ ๐ก, cos ๐ก]
๐ 2
0
= sin2 ๐ก โ cos2๐ก sin ๐ก ๐๐ก
๐ 2
0
= 1
21 โ cos 2๐ก ๐๐ก
๐ 2
0
โ ๐ข2 โ๐๐ข
0
1
=๐
4โ 0 โ
1
3
โ 0.4521
Misal : cos ๐ก = ๐ข
INTEGRAL GARIS
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 14
Integral garis pada ruang
Perhitungan integral garis pada ruang pada dasarnya sama
dengan integral garis pada bidang.
Hitung nilai integral garis dari (1) saat
๐ญ ๐ = ๐ง, ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ง๐ข + ๐ฅ๐ฃ + ๐ฆ๐ค
dan C adalah spiral yang
digambarkan sebagai berikut
๐ ๐ก = cos ๐ก, sin ๐ก , 3๐ก
= cos ๐ก ๐ + sin ๐ก ๐ + 3๐ก ๐ค
dimana 0 โค ๐ก โค 2๐.
INTEGRAL GARIS
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 15
Integral garis pada ruang
Solusi :
Dari persamaan (2) diperoleh
๐ฅ ๐ก = cos ๐ก , ๐ฆ ๐ก = sin ๐ก , ๐ง ๐ก = 3๐ก
Maka
๐ญ ๐ ๐ก โ ๐ ๐ก= (3๐ก๐ข + cos ๐ก ๐ฃ + sin ๐ก ๐ค) โ (โ sin ๐ก ๐ข + cos ๐ก ๐ + 3๐)
Dengan perkalian product didapatkan
๐ญ ๐ ๐ก โ ๐ ๐ก = โ3๐ก sin ๐ก + cos2 ๐ก + 3 sin ๐ก
INTEGRAL GARIS
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 16
Integral garis pada ruang
Maka diperoleh,
๐น(๐)
๐ถ
โ ๐๐ = (โ3๐ก sin ๐ก + cos2 ๐ก + 3 sin ๐ก
2๐
0
)๐๐ก
= 6๐ + ๐ + 0 = 7๐ โ 21,99
SIFAT-SIFAT INTEGRAL GARIS
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 17
Sifat integral garis sesuai dengan sifat integral tentu dalam
Kalkulus, yaitu :
1. ๐๐ญ โ ๐๐๐ถ
= ๐ ๐ญ โ ๐๐๐ถ
(k konstanta)
2. (๐ญ + ๐ฎ) โ ๐๐๐ถ
= ๐ญ โ ๐๐๐ถ
+ ๐ฎ โ ๐๐๐ถ
3. ๐ญ โ ๐๐๐ถ
= ๐ญ โ ๐๐๐ถ1
+ ๐ญ โ ๐๐๐ถ2
PATH INDEPENDENCE
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 18
TEOREMA 1
Path Independence
Suatu integral garis dengan fungsi kontinu ๐น1, ๐น2, ๐น3 pada
domain ๐ท dalam ruang dimensi 3 adalah garis edar bebas (path
independence) di ๐ท jika dan hanya jika ๐ = ๐น1, ๐น2, ๐น3 adalah
gradien dari beberapa fungsi ๐ di ๐ท,
๐ญ = grad ๐, sehingga ๐น1 =๐๐
๐๐ฅ, ๐น2 =
๐๐
๐๐ฆ, ๐น3 =
๐๐
๐๐ง
Contoh :
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 19
Tunjukkan bahwa integral
๐น โ ๐๐๐ถ
= (2๐ฅ ๐๐ฅ + 2๐ฆ ๐๐ฆ + 4๐ง ๐๐ง)๐ถ
adalah path independent pada setiap domain di ruang dan hitung nilai integrasi dari ๐ด: 0,0,0 ke ๐ต: 2,2,2 .
Solusi :
๐น = 2๐ฅ, 2๐ฆ, 4๐ง = grad ๐, dimana ๐ = ๐ฅ2 + ๐ฆ2 + 2๐ง2, karena ๐๐
๐๐ฅ= 2๐ฅ = ๐น1,
๐๐
๐๐ฆ= 2๐ฆ = ๐น2,
๐๐
๐๐ง= 4๐ง = ๐น3.
Maka berdasarkan Teorema, integralnya adalah path independent.
Nilai integrasi ๐ ๐ต โ ๐ ๐ด = ๐ 2,2,2 โ ๐ 0,0,0 = 4 + 4 + 8 = 16
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 20
Integral Garis pada Bidang Konservatif
TEOREMA 1- Teorema Dasar Integral Garis
Misalkan C kurva smooth yang menggabungkan titik A ke titik B
pada bidang atau ruang dan diparameterisasi oleh ๐(๐ก).
Misalkan ๐ fungsi diferensiabel dengan vektor gradien kontinu
๐น = ๐ป๐ pada domain ๐ท yang mengandung ๐ถ. Maka
๐ญ โ ๐๐
๐ถ
= ๐ ๐ต โ ๐ ๐ด .
INTEGRAL GARIS
Contoh :
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 21
Suppose the force field ๐น = ๐ป๐ is the gradient of the function
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = โ1
๐ฅ2+๐ฆ2+๐ง2 .
Find the work done by F in moving an object along a smooth curve C
joining (1,0,0) to (0,0,2) that does not pass through the origin.
Solusi :
Dengan Teorema 1 diperoleh
๐ญ โ ๐๐
๐ถ
= ๐ 0,0,2 โ ๐ 1,0,0 = โ1
4โ โ1 =
3
4
Note :
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 22
Kecepatan gravitasi yang disebabkan oleh planet, dan kecepatan
listrik yang berhubungan dengan partikel yang bermuatan,
keduanya dapat dimodelkan dengan bidang ๐น yang diberikan
pada contoh 1 hingga konstanta yang bergantung pada unit
pengukuran.
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 23
Integral Garis pada Bidang Konservatif
TEOREMA 2- Bidang Konservatif adalah Bidang Gradien
Misalkan ๐ญ = ๐๐ข + ๐๐ฃ + ๐๐ค adalah bidang vektor yang
komponennya kontinu diseluruh daerah terhubung sederhana ๐ท
pada ruang. Maka ๐น konservatif jika dan hanya jia ๐น bidang
gradien ๐ป๐ untuk fungsi diferensiabel ๐.
INTEGRAL GARIS
Contoh :
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 24
Find the work done by the concervative field
๐น = ๐ฆ๐ง๐ + ๐ฅ๐ง๐ + ๐ฅ๐ฆ๐ = ๐ป๐, dimana ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ฅ๐ฆ๐ง,
Along any smooth curve C joining the point ๐ด(โ1,3,9) to ๐ต 1,6,โ4 .
Solusi :
Dengan ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ฅ๐ฆ๐ง, kita punya
๐ญ โ ๐๐
๐ถ
= ๐ป๐ โ ๐๐
๐ต
๐ด
= ๐ ๐ต โ ๐ ๐ด
= ๐ฅ๐ฆ๐ง 1,6,โ4
โ ๐ฅ๐ฆ๐ง โ1,3,9
= 1 6 โ4 โ โ1 3 9
= โ24 + 27 = โ3
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 25
Integral Garis pada Bidang Konservatif
TEOREMA 3 โ Sifat perputaran bidang konservatif
Pernyataan dibawah ini adalah ekuivalen.
1. ๐น โ ๐๐๐ถ
= 0 disekitar putaran (yang merupakan kurva
tertutup ๐ถ) di ๐ท.
2. Bidang ๐น konservatif di ๐ท
INTEGRAL GARIS
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 26
Menghitung potensial untuk Bidang Konservatif
Misalkan ๐น = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง ๐ข + ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง ๐ฃ + ๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง ๐ค
adalah bidang pada daerah tertutup dan daerah tertutup
sederhana yang komponen fungsinya memiliki turunan parsial
yang kontinu. Maka F konservatif, jika dan hanya jika
๐๐
๐๐ฆ=
๐๐
๐๐ง,
๐๐
๐๐ง=
๐๐
๐๐ฅ dan
๐๐
๐๐=
๐๐
๐๐ฆ
INTEGRAL GARIS
Contoh :
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 27
Tunjukkan bahwa ๐น = ๐๐ฅ cos ๐ฆ + ๐ฆ๐ง ๐ข + ๐ฅ๐ง โ ๐๐ฅ cos ๐ฆ ๐ฃ + xy + z ๐ค
atas domain bilangan asli dan hitung funsi potensialnya.
Solusi :
Dengan mengaplikasikan pernyataan pada slide sebelumnya ๐ = ๐๐ฅ cos ๐ฆ + ๐ฆ๐ง, ๐ = ๐ฅ๐ง โ ๐๐ฅ cos ๐ฆ , ๐ = ๐ฅ๐ฆ + ๐ง
Hitung, ๐๐
๐๐ฆ= ๐ฅ =
๐๐
๐๐ง,๐๐
๐๐ง= ๐ฆ =
๐๐
๐๐ฅ,๐๐
๐๐ฅ= โ๐๐ฅ sin ๐ฆ + ๐ง =
๐๐
๐๐ฆ
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 28
Turunan parsialnya kontinu, maka persamaan tersebut
menyatakan bahwa ๐น konservatif, maka terdapat fungsi ๐
dengan ๐ป๐ = F.
Kita dapat menemukan ๐ dengan mengintegrasikan persamaan
berikut :
๐๐
๐๐ฅ= ๐๐ฅ cos ๐ฆ + ๐ฆ๐ง,
๐๐
๐๐ฆ= ๐ฅ๐ง โ ๐๐ฅ cos ๐ฆ ,
๐๐
๐๐ง= ๐ฅ๐ฆ + ๐ง. (3)
Integralkan persamaan pertama terhadap ๐ฅ, anggap ๐ฆ dan ๐ง tetap,
diperoleh
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐๐ฅ cos ๐ฆ + ๐ฅ๐ฆ๐ง + ๐ ๐ฆ, ๐ง .
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 29
Konstanta integrasi dituliskan fungsi terhadap ๐ฆ dan ๐ง karena
nilai tersebut dapat bergantung pada ๐ฆ dan ๐ง, bukan pada ๐ฅ.
Lalu hitung ๐๐
๐๐ฆ dari persamaan, lalu samakan dengan ekspresi
๐๐
๐๐ฆ pada persamaan (3). Diperoleh,
โ๐๐ฅ sin ๐ฆ + ๐ฅ๐ง +๐๐
๐๐ฆ= ๐ฅ๐ง โ ๐๐ฅ sin ๐ฆ
Maka, ๐๐
๐๐ฆ= 0. Sehingga, ๐ adalah fungsi dari ๐ง sendiri, dan
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐๐ฅ cos ๐ฆ + ๐ฅ๐ฆ๐ง + โ ๐ง .
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 30
Sekarang hitung ๐๐
๐๐ง dari persamaan dan samakan dengan bentuk
๐๐
๐๐ง dalam persamaan (3). Diperoleh,
๐ฅ๐ฆ +๐โ
๐๐ง= ๐ฅ๐ฆ + ๐ง, atau
๐โ
๐๐ง= ๐ง.
Maka,
โ ๐ง =๐ง2
2+ ๐ถ.
Jadi,
๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐๐ฅ cos ๐ฆ + ๐ฅ๐ฆ๐ง +๐ง2
2+ ๐ถ.
Kita punya jumlah tak terbatas fungsi potensial F, salah satunya adalah C.
Soal
Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 31
Tunjukkan apakah fungsi berikut konservatif !
1. ๐น = ๐ฆ๐ง๐ข + ๐ฅ๐ง๐ฃ + ๐ฅ๐ฆ๐ค
2. ๐น = ๐ฆ๐ข + ๐ฅ + ๐ง ๐ฃ โ ๐ฆ๐ค
3. ๐น = โ๐ฆ๐ข + ๐ฅ๐ฃ
4. ๐น = (๐ฅ + ๐ฆ)๐ข + ๐ง๐ฃ + (๐ฆ + ๐ฅ)๐ค
5. ๐น = ๐ฆ sin ๐ง ๐ข + ๐ฅ sin ๐ง ๐ฃ + ๐ฅ๐ฆ cos ๐ง ๐ค
Cari fungsi potensialnya !
6. ๐น = 2๐ฅ๐ข + 3๐ฆ๐ฃ + 4๐ง๐ค
7. ๐น = ๐ฆ + ๐ง ๐ข + (๐ฅ + ๐ง)๐ฃ + (๐ฅ + ๐ฆ)๐ค
8. ๐น = ๐ฆ sin ๐ง ๐ข + (๐ฅ sin z) ๐ + (๐ฅ๐ฆ cos ๐ง)๐ค