kalkulus modul vii fungsi trigonometri
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Kalkulus I
Lukmanulhakim Almamalik VII-1
7 FUNGSI TRIGONOMETRI
A. FUNGSI TRIGONOMETRI
• Fungsi-fungsi trigonometri umum didefinisikan berdasarkan atas sudut segitiga seperti gambar berikut.
θ
miring
datar
tegak
• Dalam kalkulus, sudut diukur dalam radian daripada dalam derajat dengan persamaan
berikut.
0° = 0 radian
90° = π/2 radian
180° = π radian
270° = 3π/2 radian
360° = 2π radian
1. Sifat Dasar Sinus dan Kosinus
a. sin(θ+2π) = sin θ b. cos(θ+2π) = cos θ c. sin(-θ) = -sin θ d. cos(-θ) = cos θ e. sin (π/2 - θ) = cos θ f. cos (π/2 - θ) = sin θ
2π radian = 360°
1 radian = π2
3600
=π
0180
sin θ = miringtegak
cos θ = miringdatar
tan θ = datartegak
θ π/2+θ
Kalkulus I
Lukmanulhakim Almamalik VII-2
2. Nilai Sudut Istimewa
θ O (derajat) sin θ cos θ 0 0 0 1 π/6 30 ½
23
π/4 45
22
22
π/3 60
23
½
π/2 90 1 0 2π/3 120
23
-½
3π/4 135
22 -
22
5π/6 150 ½ -
23
π 180 0 -1
B. GRAFIK SINUS, KOSINUS, DAN TANGEN
• Grafik Sinus
Fungsi y(x) = sin x
Berulang setiap 360º atau 2π.
Nilai antara +1 dan -1.
|sin x| ≤ 1
Kalkulus I
Lukmanulhakim Almamalik VII-3
• Grafik Cosinus
Fungsi y(x) = cos x
Berulang setiap 360º atau 2π
Nilai antara +1 dan -1.
|cos x| ≤ 1
Terjadi pergeseran fase sebesar 90º dari fungsi y = sin x.
• Grafik Tangen
Fungsi y(x) = tan x
Berulang setiap 180º atau π.
Tidak dapat didefinisikan pada x=90º, 270º, …
• Fungsi trigonometri dapat ditambahkan dengan faktor pengali, suatu konstanta (angka tetap) sebelum fungsi, atau di dalam fungsi, atau keduanya, seperti dapat dilihat pada contoh fungsi berikut.
y(x) = A sin Bx
dimana A dan B adalah konstanta.
a. Faktor Pengali sebelum fungsi (A) mengubah Amplitude. b. Faktor Pengali di dalam fungsi (B) mengubah Frekuensi.
Kalkulus I
Lukmanulhakim Almamalik VII-4
Contoh 7.1
1. y(x) = 3 sin x
Berulang setiap 360º.
Nilainya sekarang antara +3 dan -3.
2. y(x) = sin 3x
Berulang setiap 120º.
Frekuensinya menjadi 3 × lebih besar.
Nilainya tetap antara +1 and -1.
C. KESAMAAN TRIGONOMETRI
• Kesamaan Ganjil-Genap Fungsi Trigonometri a. sin(-x) = - sin x b. cos(-x) = cos x c. tan(-x) = -tan x
• Kesamaan fungsi ko
a. sin (π/2 – x) = cos x b. cos (π/2 – x) = sin x c. tan (π/2 – x) = cot x
• Kesamaan Pythagoras
a. sin2 x + cos2 x = 1 b. 1 + tan2 x = sec2 x c. 1 + cot2 x = csc2 x
• Kesamaan Penambahan a. sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y b. cos(x+y) = cos x cos y – sin x sin y
c. tan (x+y) = y tan tan x.1
ytan tan x−
+
• Kesamaan Sudut Ganda
Kalkulus I
Lukmanulhakim Almamalik VII-5
a. sin 2x = 2.sin x . cos x b. cos 2x = cos2 x – sin2 x
• Kesamaan Setengah-Sudut
a. sin2 x = 22cos1 x−
b. cos2 x = 22cos1 x+
• Kesamaan Jumlah
a. sin x + sin y = 2 sin ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
2yx cos ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
2yx
b. cos x + cos y = 2 cos ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
2yx cos ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
2yx
• Kesamaan Hasil Kali
a. sin x. sin y = -½ [cos (x+y) – cos (x – y)]
b. cos x. cos y = ½ [cos (x+y) + cos (x – y)]
c. sin x. cos y = ½ [sin (x+y) + sin (x – y)]
Latihan
1. Konversikan nilai sudut berikut ke dalam bentuk radian (gunakan π dalam jawaban anda) a. 240o c. -60o e. -135o b. 540o d. 22,5o f. 6o
2. Konversikan ukuran radian berikut a. 7π/6 c. 8π b. -π/3 d. π/18
3. Konversikan nilai berikut menjadi radian (1o = 180/π) a. 33,3o b. 35o c. -1,5o
4. Hitung berapa sudut berikut a. tan(π/3) b. cos(-π/3) c. sin(π/2)
5. Buat grafik berikut pada selang [0,2π] a. y = sin 2x b. y = 2 cos 2x c. y = tan (½ x)