Lukmanulhakim Almamalik II- 1

 

10 INTEGRAL

10.1 ANTI TURUNAN (INTEGRAL TAK TENTU)

• Integral adalah anti derivatif atau anti turunan. • Rumus Umum dari Integral Tak Tentu

∫ −≠++

= + 11

1 1 nCxn

dxx nn ,

Contoh 10.1 Cari anti turunan yang umum dari f(x) = x2 Penyelesaian:

∫ x2 dx = =+

+12

121 x

x 3

3 + C

Contoh 10.2 Cari anti turunan yang umum dari f(x) = 20x4 Penyelesaian:

∫ 20x4 dx = 14

20+

x4+1 = 5x5 + C

Contoh 10.3 Cari anti turunan yang umum dari fungsi 2

3xy =

      

3 32 2

3 22 2

52

52

( 1)

32

( )

3 22 2

52

1( 1)

1( )1

25

x dx x C

x C

x C

x C

+

+

= ++

= ++

= +

= +

∫

Lukmanulhakim Almamalik II- 2

 

RUMUS UMUM INTEGRAL

1. k dx kx C= +∫

2. ( ) ( )k f x dx k f x dx=∫ ∫

3. [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫

4. 1 1 ln | |x dx dx x Cx

− = = +∫ ∫

5. x xe dx e C= +∫

Contoh 10.3 Cari anti turunan yang umum dari fungsi ( )52 7x dx−∫

Penyelesaian

Contoh 10.4

1. Cxxdxx +=+

= +∫ 6155

61

151

2. ∫ x .dx = ∫ x½.dx = 3

2 3

23

23 xx=

/ + C

3. ∫ 13x

.dx = ∫ x-3. dx = 213

1 213

−=

+−

−+− xx = - 1

2 2x + C

4. ∫ 2m2.dm = 3

212

2 312 mm =

++ + C

5. ∫ 5 λ .dλ = 3

101

553

1

21

21

21 λλλ =

+= + +C

6. ∫ 1θ

.dθ = ∫ θ-½.dθ = θ θ 221

21

=/

/+C

7. 3

2

2

1 23 3

x dxx

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

( )5 5

5

5 1

6

2 7 2 7

2 7

12 75 1

1 73

x dx x dx dx

x dx dx

x x C

x x C

+

− = −

= −

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟+⎝ ⎠

= − +

∫ ∫ ∫∫ ∫

 

Lukmanulhakim Almamalik II- 3

 

( )

( )

3 32 2

32

32

52

52

2 2

2

( 1)2 1

32

1

1 2 1 23 3 3 3

1 23 3

1 1 2 13 2 1 3 1

1 2 23 3 5

1 43 15

x xdx dx dxx x

x dx x dx

x x C

x x C

x Cx

−

+− +

−

⎛ ⎞− = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

= −

⎛ ⎞⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

= − − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

8. 3 2 5xe dxx

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠∫

3 12 5 3 2 5

3ln | | 2 5

x x

x

e dx dx e dx dxx x

x e x C

⎛ ⎞+ + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + + +

∫ ∫ ∫ ∫

9. culnu

du+=∫

10.

Latihan

1. ∫ (3x2 + 7x).dx

2. ∫( x + 1

2x +

53

2x + 4x3)dx

ATURAN PANGKAT YANG DIPERUMUM

'( ) ( ( ))nf x f x dx⎡ ⎤⋅⎣ ⎦∫ = Cn

xf n

++

+

1

1)]([

Contoh 10.5 Cari ∫ + dxxx 22 16 )(

Penyelesaian: Misalkan f(x) = x2+1 maka f′ (x) = 2x

Jadi menurut aturan '( ) ( ( ))nf x f x dx⎡ ⎤⋅⎣ ⎦∫ = Cn

xf n

++

+

1

1)]([

Lukmanulhakim Almamalik II- 4

 

= Cx+

++ +

121 122 ][

= Cx ++ 32 131 ).(/ Contoh 10.6 Carilah ∫ + dxxx 132

Penyelesaian: Jika kita ambil 3( ) 1f x x= + , sehingga kita misalkan 3 1u x= + .

Kita diferensiasikan u menjadi dxx

dudxxduxdxdu

=→=→= 222

333

Sekarang kita substitusikan 3 1x + dengan u dan dx dengan 23dux

, sehingga kita dapatkan

persamaan berikut.

2 3 221

3dux x dx x ux

+ =∫ ∫

Selanjutnya integralkan

( )

12

32

32

13

131 23 329

u du

u du

u C

u C

=

=

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

= +

∫

∫

Sekarang kita harus substitusikan kembali u dengan 3 1x + untuk menemukan jawaban akhir.

∫ + dxxx 132 = ( )3

232 19

x C+ +

Lukmanulhakim Almamalik II- 5

 

Cx

Cu

duu

dxxxdxxx

dxxduxu

dxxx

++=

+⋅=

=

⋅+=⋅+

⋅=+=

⋅+

∫

∫∫

∫

232

23

21

2122

2

2

131

32

21

21

12211

2 1misalkan

1 2

/

/

/

/

)(

)(

;.

Latihan 1. ∫ ++ dxxxx )()( 1266 253

2. ∫ + dxxx .)( 102 4

3. ∫ + dxxx .)( 222

32

Persamaan Diferensial Rumus Umum ∫ += CxFdxxf )()(

Hal ini benar asalkan F′(x) = f (x). Jika F′(x) = f (x) maka ini setara dengan dF(x) = f(x) dx. Dengan demikian maka kita bisa tuliskan persamaan tersebut dalam bentuk ∫ += CxFdxxf )()(

Integral Sinus dan Kosinus ∫ cos x.dx = sin x + C

∫ sin x.dx = - cos x + C

∫ tan x.dx = - ln (cos x) + C