Kap 4 - Trigonometri

1

GENOMGÅNG 4.1

2

• Cosinus, Sinus & Tangens• Exakta värden• Två speciella trianglar• Cirkelns ekvation• Enhetscirkeln

TRIGONOMETRITrigonometri i rätvinkliga trianglar

3sin

5v

4cos

5v

3tan

4v

TRIGONOMETRITrigonometri i rätvinkliga trianglar

sin va

b cosv

c

b tan v

a

c

TRIGONOMETRIDefinitioner

motstående katetsin

hypotenusa

avb

närliggande katetcos

hypotenusa

cvb

motstående katettan

närliggande katet

av

c

TANGENSDefinitioner

motståendetan

närliggande

av

c

Var har du sett detta förr??y

x

( ) ( )f x h f x

h

'( )f x 'y

Kärt barn har många namn.

kdy

dx

TRIGONOMETRIDefinitioner

2

130sin

2

160cos

3

130tan

30

2

1sin 1

60

2

1cos 1

303

1tan 1

Tvåspeciella trianglar

1sin 45

2 1

tan 45 11

1sin 30

2 3

cos302

1cos 45

2

1tan 30

3

1cos 60

2 3

sin 602

3

tan 60 31

OBS!

1 2

22

1 3

33

2

2

21

2 2

3

3

31

3 3

Exakta värden

Finns i formelsamlingen!!OBS!

Tangen för 90° ???

Varför är inte tan 90° definierat?

Uppgift 4114, sid209

1

3

1

3

1

23

21

2

1

2

3

2

1

2

1 3

33

Cirkelns ekvation

2 22r x a y b

( , ) punkt på cirkelrandenx y ( , ) cirkelns medelpunkta b

cirkelns radier

Cirkelns ekvation

2

2

1

1

y x

y x

2 22r x a y b

2 22

2 2 2

2 2 2

2 2

1 0 0

1

1

1

x y

x y

y x

y x

Cirkelns ekvation – ett exempel

En cirkel har radien r = 4 och medelpunkten (3,-1).Bestäm denna cirkels ekvation.

2 22r x a y b

2224 3 1x y Cirkelns ekvation är

2 216 3 1x y

Cirkelns ekvation – ett exempel

Ligger punkten (5, 2) på cirkelranden, innanför cirkelnEller utanför? 2 2

16 3 1x y

Vi sätter in x = 5 och y = 2 i ekvationens högerled:

2 2 2 2HL 5 3 2 1 2 3 13

Eftersom HL < 16 (= r²) ligger punkten innanför cirkeln.

ENHETSCIRKELN

xx

v

yy

v

1cos

1sin

Vad vinner man på att sättaradien till värdet 1?

ENHETSCIRKELN

OBS!

ENHETSCIRKELN

x

yRadien = 1 längdenhetPsin

cos

sincos( ),

x-koordinat

y-koordinat

sin(180°- v) = sin v

sin v1 = sin v2 = 0,72

cos(180°- v) = -cos v

cos v1 = - cos v2

-0,69

0,69

GENOMGÅNG 4.2

27

• Areasatsen• Sinussatsen• Cosinussatsen

Triangelsatserna

AREASATSENmotstående / hypotenusa

mult. båda led med 2,8

SINUSSATSEN

SINUSSATSEN

a

Ett exempelVi vill veta längden avsidan BC (a)

NÄR GER SINUSSATSEN TVÅ FALL?

Hur skall vi rita den 3:e sidan?

Vi får alltså 2 fall, nämligen…

och

NÄR GER SINUSSATSEN TVÅ FALL?

Sinussatsen ger Bsin

0,15

0,37sin

0,10

4728...0,902722530,10

0,37sin0,15sin

B

64,5

0,10

0,37sin0,15sin 1B

64,547280,90272253sin 1B

Vi får 2 fall

B1 ≈ 64,5°B2 ≈ 180° - 64,5° = 115,5°

NÄR GER SINUSSATSEN TVÅ FALL?

B1 ≈ 64,5°B2 ≈ 180° - 64,5° = 115,5°sin(180°- v) = sin v

COSINUSSATSEN

Med egen text:Kvadraten på sidan c är lika med kvadraten på sidan a plus kvadraten på sidan b minus produkten av 2 gånger a gånger b gånger cosinus för C

LärarDalle

Sammanfattning Kapitel 4

DE TRIGONOMETRISKA FUNKTIONERNA FÖR GODTYCKLIGA VINKLAR