5

1. ZAKLADY VYEJ GEODZIE Geodzia je nuka o meran Zeme alebo jej ast a o meran na zemi. (Modernejia verzia tej istej

mylienky by mohla znie: geodzia je vedn disciplna o poznvan priestoru a asu v oblasti planty Zeme pomocou merania spsobilch truktr, najm zemskho povrchu a tiaovho poa). Termn "geodzia" v zmysle aplikovanej geometrie sa naiel u Aristotela v 3. storo pred. n. l. Geodzia sa del na vyiu a niiu geodziu. (Poda - E.Buschmanna: Gedanken ber die Geodsie. Konrad Witwer 1992 sa geodzia pouva:

- v poznvacch procesoch (tvar a rozmery Zeme),

- v pracovnch procesoch (projektovanie, stavba a prevdzka rznych diel, plnovanie a pod.),

- v dokumentcii (geografick informan systmy, kataster nehnutenost).

Zkladnou lohou geodzie je uri vzjomn polohu bodov vo vodorovnom a zvislom smere a zobrazi tieto body na mape.

Technickou lohou geodzie je uri rozmer, tvar a priestorov polohu jednotlivch prirodzench alebo umelch predmetov merania a to vo vzjomnom vzahu alebo ku geodetickm zkladom.

Niia geodzia zahruje meranie, vpoty a zobrazenie malch ast zemskho povrchu, v ktorch je mon riei polohov lohy v rovine a vo vkovch prcach poklada Zem za guu.

Vyia geodzia je vedn odbor, ktor sa zaober urovanm tvaru a rozmerov zemskho telesa, jeho vonkajm tiaovm poom, ich zmenami s asom. Tto as geodetickch prc sa oznauje ako teoretick geodzia. alou lohou vyej geodzie je vybudova geodetick zklady - zkladn polohov a vkov bodov pole. Vyia geodzia zisuje vzahy medzi analyticky definovanm telesom (rotanm elipsoidom) a fyziklne definovanm telesom (geoidom). Vyia geodzia sa del na geometrick a fyziklnu. Geometrick geodzia je t as vyej geodzie, ktor sa zaober rieenm geodetickch loh bez uvaovania tiaovho poa na analytickej ploche (gua, rotan elipsoid). Fyziklna geodzia je t as vyej geodzie, ktor skma tiaov pole Zeme a jeho vyuitie v geodzii. (V inch jazykoch napr. francztine, anglitine a nemine sa nepouva prvlastok vyia, ale jednoducho Godsie, franc., Geodesy, angl., v nemine Erdmessungs. Tomu, o u ns nazvame niia alebo praktick geodzia, hovoria Franczi Topomtrie, Angliania Surveying, Nemci Landmessung).

Zkladnou lohou vyej geodzie je uri tvar relnej Zeme a jej vonkajieho tiaovho poa a jednoznane stanovi priestorov polohu geodetickch bodov na analyticky presne definovanej, pokia mono o najjednoduchej ploche (gua, elipsoid). Na tto plochu sa tieto body premietnu a ur sa poloha ich priemetu. Okrem toho sa ur vzdialenos kadho bodu nad touto plochou, teda jeho vka. V priemete na zvolenej ploche sa potom pomerne ahko rieia ostatn geodetick lohy. Z hadiska presnosti je dleit, aby sa plocha na ktor sa premieta - tzv. referenn plocha, sa o najlepie primykala ku skutonmu povrchu Zeme.

S vyou geodziou zko svisia: vyia matematika, geodetick astronmia, matematick kartografia at.).

1.1 Fyziklna geodzia

Fyziklna geodzia je zaloen na znalosti tiaovho poa Zeme. Veda o tiaovom poli Zeme sa

nazva gravimetria. M zsadn vznam pre urenie tvaru a rozmeru Zeme.

Tiaov pole Zeme Zemsk teleso hmotnosti M vytvra nad svojm povrchom v zmysle Newtonovho zkona

gravitan pole. V kadom bode priestoru v okol Zeme, ako aj na povrchu psob praliv (gravitan) sila f - prejav gravitanho poa a odstrediv sila c - dsledok otania Zeme okolo rotanej osi Or, (obr. 1.1). Rotciou gravitanho poa sa vytvra pole zemskej tiae. Je to priestor v ktorom psob sila zemskej tiae, a ktor charakterizuje tiaov zrchlenie g.

6

Gravitan pole me charakterizova intenzita gravitanho poa K, ktor charakterizuje pole z hadiska jeho silovho psobenia na hmotnostn jednotku m. Tto zloka sa v kadom bode poa rovn gravitanmu zrchleniu f ( f = K), ktor gravitan pole v tomto bode udeuje telesm.Vekos intenzity gravitanho pola guovosymetrickho telesa polomeru R (priblin tvar Zeme) na jeho povrchu v bode B vyplva z Newtonovho gravitanho zkona K = GMR-2 , kde G = 6,672 . 10-11 m3 kg-1 s-2 je gravitan kontanta a M = 5,974 . 1024 kg je hmotnos Zeme.

Vekos zloky zrchlenia tiae g je podmienen rotciou Zeme (c = w2 r, kde w je uhlov rchlos otania Zeme a r je vzdialenos bodu B od rotanej osi Zeme).

Obr. 1.1. Sily v tiaovom poli Zeme

Tiaov zrchlenie, alebo tie intenzitu tiaovho poa Zeme g tvor vektorov set zloky vektora gravitanho zrchlenia f a vektora odstredivho zrchlenia c (obr.1.1)

g = f + c . (1.1)

Ak sa silov pole znzorn siloiarami, potom je smer vektora g - smer intenzity tiaovho poa v bode B, toton so smerom dotynice k siloiare tB v bode B. Siloiara je iara, v smere ktorej psob tia. Smeruje do stredu otania Zeme. Dotynica VB sa nazva aj vertiklou v bode B.

Gravitan pole, pole odstredivej sily a tiaov pole mono charakterizova aj potencilmi prslunch pol V, P a W, ktor zvrazuj energetick vlastnosti pol. (Potencil je energia patriaca polohe danej sstavy.) Plat

W = V + P, (1.2)

kde V je gravitan potencil, P odstrediv potencil a W tiaov potencil. Ke sa bude neustle uvaova kolm smer na smer tiaovho zrchlenia, pre skuton tiaov potencil potom veobecne plat (potencil tiaovho zrchlenia)

W = C (kontanta). (1.3)

Zmenou hodnoty C dostaneme in hladinov plochu W1, W2 , v ubovolnej vke vo vzahu k hladine mora. Pre dve nekonene blzke hladinov plochy plat tzv. Brunsov teorm dW = - gdh . Ak dh je ortogonlna vzdialenos hladinovch plch (vzdialenos po tianici), potom s narastajcou vkou dh sa zmenuje vekos tiaovho zrchlenia g a naopak.

Rovnica (1.3) vyjadruje plochy, z ktorch kad m v ubovonom bode rovnak hodnotu potencilu. Plochy sa nazvaj ekvipotencilnymi, geopotencilnymi alebo hladinovmi plochami tiae. Z rovnice tie vyplva, e kad ekvipotencilna plocha je v kadom svojom bode kolm na prslun smer zemskej tiae. Siloiary tiaovho poa teda vytvraj vzhadom na hladinov plochy systm ortogonlnych trajektri (dve navzjom kolm osnovy iar definovan na uritej ploche). V dsledku nehomogenity Zeme bud siloiary tiaovho poa v jednotlivch bodoch povrchu Zeme, v zvislosti na rozloen ltok rznej hustoty a objemu meni svoj priebeh. Kee hladinov plochy s kolm k siloiaram tiaovho poa, priebeh hladinovch plch bude nepravideln (obr.1.2).

7

Hodnota tiaovho zrchlenia g rastie od rovnka k plom (odstrediv sila je tam nulov). Hladinov plochy sa aj pri svojich nepravidelnch tvaroch bud smerom k plom navzjom pribliova (obr.1.2).

Obr. 1.2. Hladinov plochy

Z mnoiny hladinovch plch s kontantnm potencilom tiae, t plocha, ktorej priebeh sa najviac zhoduje z priebehom hladn ocenov a prechdza zvolenm nulovm vkovm bodom (strednou hladinou niektorho mora) nazva sa geoid a predstavuje nulov hladinov plochu s tiaovm potencilom W0 = kont.

Geoid je uzavret spojit plocha so zloitm a nepravidelnm priebehom povrchu, ktor vyjadruje hustotn a objemov zloenie ltok zemskej kry. Veobecne sa povauje za plochu telesa, charakterizujcu tvar a vekos Zeme. Geoid nie je teda analytickou plochou a neme sa poui ako referenn plocha pre polohov vpoty. Pouva sa vak ako referenn plocha pre definovanie druhu vky.

Pole zemskej tiae je vystaven asovm globlnym, regionlnym aj loklnym zmenm. Men sa v zvislosti od gravitanho poa Mesiaca a Slnka, od presunu vzdunch a vodnch ms a od presunu ms na pevnine (napr. priehrady, bane).

Geodetick merania robme v tiaovom poli Zeme, preto sa merania vetkch prvkov vzahuj na hladinov plochu (resp. siloiaru tiaovho poa) prechdzajcu stanoviskom prstroja (obr.1.3).

Obr. 1.3. Meranie na fyzickom zemskom povrchu

Na stanoviskch A, B, postavenm vertiklnej osi prstroja do smeru siloiary tiaovho poa tA , tB,, sa pre kad stanovisko vytvor kartezinsky sradnicov systm. Os Z systmu je toton so smerom miestnej siloiary tiaovho poa tA, tB a osi X, Y tvoria zdanliv loklny horizont. V rovine urenej osami X, Y sa meraj vodorovn uhly w, v rovine na u kolmej prechdzajcej osou Z sa meraj zvisl uhly ( z, b ). V dsledku odchlok siloiar tiaovho poa, odmeran azimut strany sAB a sBA sa nebude presne li o 200g. Meranie azimutu sa uskuton v dvoch odlinch rovinch.

8

Normlne tiaov pole. Pri urovan vonkajieho tiaovho poa Zeme, t.j. tiaovho poa na a nad zemskm povrchom, sa ako jeho aproximcia pouva normlne tiaov pole. Je vytvoren telesom - tzv. normlnou Zemou - ktor m maximlne verne zobrazova skuton tvar Zeme a o najlepie nahradzova jeho skuton tiaov pole. Z geometrickho hadiska sa za takto teleso prijma rotan elipsoid, ktormu okrem geometrickch parametrov (vekej poloosi a a splotenia i = (a - b) a-1 sa prisudzuj aj fyziklne parametre Zeme (hmotnos ME a uhlov rchlos rotcie wE). Normlne tiaov pole normlneho tvaru Zeme sa potom vytvra gravitanmi a rotanmi inkami elipsoidu, priom povrch telesa (normlnej Zeme) m charakter hladinovej plochy. Takto elipsoid sa nazva hladinov alebo normlny elipsoid a je aproximciou geoidu. Mono definova rzne hladinov elipsoidy, ten elipsoid, ktorho parametre najlepie zodpovedaj relnej Zemi sa nazva stredn zemsk elipsoid. Potencil normlnej tiae oznaujeme U.

Normlne tiaov pole hladinovho elipsoidu charakterizuje normlne tiaov zrchlenie g , (obr.1.4). Je to priemet intenzity gravitanho poa normlnej Zeme fE do smeru normly k povrchu hladinovho elipsoidu na tomto elipsoide.

Obr. 1.4. Normlne hladinov plochy a normlne tiaov zrchlenie

V sasnosti pre stredn hodnotu go normlneho tiaovho zrchlenia na povrchu Zeme plat konvenn hodnota 9,80665 m.s-2.

1.1.1 Tvar Zeme a jeho aproximcie

V sasnosti sa za geometrick tvar Zeme poklad jednak geoid - hladinov plocha s tiaovm

potencilom W0 prechdzajca nulovm vkovm bodom, jednak nehladinov plocha kvzigeoid. Pri urovan geoidu sa prijma rad hypotz, pretoe nie je dostatone znme rozloenie ltok nad geoidom a skuton tiaov pole medzi geoidom a fyzickm povrchom Zeme. Tvar geoidu sa stle spresuje. Kvzigeoid je aproximcia tvaru Zeme uren vlune na zklade vykonanch geodetickch, astronomickch a gravimetrickch meran. Plochy geoidu a kvzigeoidu s si navzjom blzke. Najvie rozdiely dosahuj v oblasti pevnn s pribline 2 m. V oblasti ocenov maj obidve plochy toton priebeh.

Urenie plochy kvzigeoidu, ale aj jeho defincie, si vysvetlme nasledovnou vahou. V bode B na fyzickom povrchu Zeme (obr. 1.5) ozname potencil skutonho tiaovho poa hodnotou WB a potencil normlneho tiaovho poa hodnotou UB . Pritom potencil normlneho tiaovho poa UB zvis od zemepisnej rky a od vky h nad hladinovm elipsoidom

UB = U(j , h) . (1.4)

Hladinov elipsoid, vzan nulov plochu U0 normlneho tiaovho poa Zeme, zvolme tak aby

U0 = W0 = kont. (1.5)

9

Rozdiely skutonch a normlnych potencilov medzi hladinovmi plochami v bode B a prslunmi nulovmi plochami s vo veobecnosti rzne, teda

WB - W0 UB - U0 = U(j , h) - U0 . (1.6)

Obr. 1.5. Hladinov a referenn plochy

Na siloiare tB prechdzajcej bodom B je mon uri tak vku HN, s ktorou sa potencilny rozdiel U(j , h) - U0 bude rovna rozdielu WB - W0 , teda

WB - W0 = U(j,h) - U0 (1.7)

Vka HN na siloiare tB uruje bod B, v ktorom vzhadom na rovnicu (1.5) bude poda (1.7) plati

WB = U(j , h) = U B (1.8)

teda normlny potencil U B sa v bode B bude rovna skutonmu potencilu WB v bode B.

Vka HN sa nazva normlna vka bodu B. Je to vka bodu B nad hladinovm elipsoidom. Ak sa tto vka nanesie z bodu B z fyzickho povrchu Zeme na siloiaru tB smerom do vntra Zeme, koncov bod Q spolu s mnoinou podobne zskanch bodov determinuje plochu, ktor sa nazva kvzigeoid (normlna vka je vzdialenos bodu na fyzickom povrchu Zeme od kvzigeoidu meran pozd siloiary). Veliina x je vka kvzigeoidu nad hladinovm elipsoidom. N predstavuje vku geoidu nad elipsoidom (vkov anomlia).

Kvzigeoid je teda nehladinov plocha, ktor od zemskho fyzickho povrchu prebieha vo vzdialenostiach HN, leiacich na siloiarach normlneho tiaovho poa. Je uren tak, aby sa rozdiely potencilov skutonch W a normlnych U v bode B a prslunmi nulovmi plochami rovnali. Telluroid sa nazva tak nehladinov plocha, pre body ktorej plat WB = BU (skuton potencil sa rovn normlnemu potencilu). Kvzigeoid sa teda uruje bez hypotz o rozloen ltok vo vntri geoidu.

1.1.2 Tiaov anomlie a odchlky siloiar tiaovho poa (tianicov odchlky)

Pri meran v bode B na fyzickom povrchu Zeme sa meria tiaov zrchlenie g v skutonom poli

zemskej tiae. Pri meran v bode B0 na povrchu hladinovho elipsoidu by sa meralo zrchlenie g0. Ak prepotame vhodnmi korekciami hodnotu g na redukovan hodnotu g0, rozdiel na povrchu hladinovho elipsoidu

Dg = g0 - g0 (1.9)

10

bude anomliou tiaovho poa Zeme v bode B0, ktor vyjadruje poruchy skutonho tiaovho poa Zeme vzhadom k normlnemu tiaovmu pou. Zapriuje to hustotn nehomogenita ltok a ich rozloenie v okol merania. V ubovonom bode povrchu Zeme prslun normla a siloiara tiaovho poa nie s toton. Zvieraj medzi sebou mal uhol Q, ktor sa nazva relatvna (astronomicko-geodetick) odchlka siloiar tiaovho poa (tianicov odchlka). Z uvedenho dvodu nebud toton ani geodetick a astronomick zemepisn sradnice bodu, a tie ani geodetick a astronomick azimut uritej zmery (kap. 1.3.1 geodetick zemepisn sradnice, kap. 1.4 astronomick sradnice).

1.2 Meranie tiaovho zrchlenia Zmena potencilov medzi dvoma hladinovmi plochami je dan vzahom dW = -g dh, ktor

pouijeme na urenie geopotencilnej kty.

Vo vzahu je dleit pozna g tiaov zrchlenie.

Kad fyziklny jav, v ktorho zkonitosti vystupuje tiaov zrchlenie, umouje uri seln

hodnotu tiaovho zrchlenia vpotom z rovnice 221 gts = vyjadrujcej tto zkonitos a

obsahujcej in, pomerne ahie a priamo meran daje.

Metdy urenia tiaovho zrchlenia fyziklnych javov meme zatriedi do skupiny dynamickch metd alebo do skupiny statickch metd.

Pozorovanie doby kyvu kyvadla alebo vonho pdu patr do skupiny dynamickch metd. Porovnanie tiaovej sily s prunou silou telesa vhodnej hmotnosti patr do skupiny statickch metd.

Meranie tiaovho zrchlenia vo zvolenom bode, ktor sa vykonva nezvisle od meran na inch bodoch je absoltne meranie. Naproti tomu meranie rozdielu tiaovho zrchlenia dvoch bodov, z ktorch tiaovho zrchlenie na jednom z nich je znme, je relatvne meranie. Absoltne meranie tiaovho zrchlenia vyaduje mimoriadnu starostlivos a priazniv podmienky. Preto sa kon iba na ojedinelch miestach zemskho povrchu. Tiaov zrchlenie na ostatnch volench bodoch sa odvod metdou relatvneho merania.

1.2.1 Absoltne meranie tiaovho zrchlenia V sastnej dobe sa na absoltne meranie tiaovho zrchlenia pouvaj absoltne balistick

gravimetre, ktor uruj tiaov zrchlenie z merania asu na meranej dke pohybujceho sa telesa vo vkuu. Na meranie dky seku sa pouva laserov interferometer a na meranie asu rubdiov atomov osciltor. Prv prstroje tohto druhu vznikli okolo roku 1960. Stle sa zdokonauj a dnes dosahuj presnos niekoko desiatok nms-2. Meranie sa vykonva v laboratrnom prostred v dlhom asovom seku napr. 24 h. Prstroje maj vek hmotnos ale sa daj transportova.

U absoltnych balistickch gravimetrov existuj dva spsoby tiaovho zrchlenia. Symetrick spsob je zaloen na zvislom vrhu nahor a nslednom vonom pde telesa a nesymetrick spsob, ktor vyuva von pd pozorovanho objektu.

1.2.1.1 Urenie tiaovho zrchlenia z pozorovania vonho pdu

Drhu s vykonan za dobu t vone padajcim telesom vo vkuu vyjadruje vzah

2

21 gts = , (1.10)

v ktorom sa vyskytuje tiaov zrchlenie g pre zvolen miesto zemskho povrchu.

V pokusoch sa pouva homognna, kovov alebo sklenen gua. Za predpokladu, e teleso pad vo vzduchoprzdnom priestore a z vky menej ako 10 m, pouije sa vzah

11

tvtgs 02

021

+= , (1.11)

kde g0 je tiaov zrchlenie.

Telesu udelme zaiaton rchlos v0 . Padajce teleso vykon za dobu ti drhy si. Dostaneme rovnice

iii tvtgs 02

021

+= ,

ktorch rieenm odvodme tiaov zrchlenie g0 vo zvolenom mieste zemskho povrchu, ako aj udelen zaiaton rchlos v0 .

1.2.1.2 Urenie tiaovho zrchlenia reverznm kyvadlom

Kyvadlov prstroje umouj dosia najpresnejie absoltne merania tiaovho zrchlenia. Km o nich budeme hovori, je potrebn sa aspo krtko zmieni o matematickom a fyzickom kyvadle.

Matematick kyvadlo je hmotn bod hmotnosti m zavesen na bezvhovej (so zanedbatenou hmotnosou proti hmotnosti m) pevnej nerozanej niti dky l. Najvia zvolen vchylka z rovnovnej polohy kyvadla je amplitda a (obr. 1.6).

Obr. 1.6. Matematick kyvadlo

as potrebn na vykonanie drhy po asti oblka krunice (z krajnej polohy A do krajnej polohy B), teda z jednej najvej amplitdy (pravej) po druh (av), t.j. as, ktor uplynie medzi dvoma po sebe idcimi prechodmi hmotnho bodu rovnovnou polohou, je doba t, ie polovica kmitu. Vo vzduchoprzdnom priestore je doba kyvu t zvolenej amplitdy a dan vzorcom (Huyghensov vzah)

....2

sin649

2sin

411 42

+++=

aap

glt (1.12)

Zo vzorca vidme, e doba kyvu t nezvis od hmotnosti m.

S ohadom na tak mal amplitdy meme rovnicu (1.12) po vynechan tretieho a, prirodzene i alch (neuvedench) lenov psa v tvare

.16

12

+=

ap

glt (1.13)

Pre nekonene mal amplitdu a je doba kyvu matematickho kyvadla dan vzahom

glt p= , (1.14)

12

nezvis u ani od amplitdy.

Tiaov zrchlenie g vo zvolenom bode zemskho povrchu meme uri z rovnice

2

2

tlg p= (1.15)

za predpokladu, e dka l je znma a t meriame.

Musme zisti vyadovan presnos urenia l a doby kyvu t.

Matematick kyvadlo je vlastne fiktvne a nie je mon ho realizova. V praxi sa pracuje s kyvadlom fyzickm, vo veobecnosti je to kad teleso aj nhodnho tvaru, ktor kva bez trenia okolo vodorovnej osi v bode O, teda neprechdzajcej jeho aiskom S.

Na predenej spojnici SO (obr. 1.7) skusmo vyhadme tak miesto O pre nov os rovnoben s osou prechdzajcou bodom O, aby doba kyvu okolo tejto novej osi s dobou okolo pvodnej osi bola rovnak. Meranm doby kyvu t1 a t2 v oboch polohch (O,O) reverznho kyvadla urme dobu kyvu t = t1 + Dt , ktor potrebujeme pozna na relatvne meranie tiaovho zrchlenia.

Obr. 1.7. Reverzn kyvadlo

1.2.2 Relatvne meranie tiaovho zrchlenia Na tdium zemskho telesa, ako aj pre geodetick ely je potrebn pozna tiaov zrchlenie na

rozlinch bodoch celho zemskho povrchu. Videli sme, e absoltne merania tiaovho zrchlenia vyaduj pecilne podmienky, vemi zdhav a starostliv merania, elne zariaden miestnos so stlou teplotou a monosou pozorova kyvy kyvadla v priestore s nzkym tlakom vzduchu. Treba zisova mnostvo korekci, o vyaduje mnoho asu. Preto opsan spsob absoltneho merania tiaovho zrchlenia nie je mon aplikova na zvolench miestach kdekovek v terne.

Bola teda vypracovan tak metda na urenie tiaovho zrchlenia na zvolench bodoch v prrode, pri ktorej vemi starostliv urenie dky kyvadla a niekokch korekci odpad.

Invariabilita kyvadla, tj. nemennos dky kyvadla poas merania a prenosu na druh bod sa kontroluje tm, e sa pouvaj tri a tyri kyvadl rznej alebo rovnakej doby kyvu. Zisten zmena doby kyvu (jednho kyvadla na niektorom bode oproti dobm kyvu ostatnch kyvadiel) upozoruje na zmenu dky kyvadla. Tieto kyvadl nie s zva reverzn. S polsekundov, dlh 25 cm.

Spsob odvodenia tiaovho zrchlenia na zvolenej stanici sa opiera o tzv. zkladn bod, na ktorom sa tiaov zrchlenie urilo absoltnym meranm. Teda tiaov zrchlenie g0 v tomto bode je znme. Urovanie tiaovch zrchlen na zvolench bodoch sa zane na spomenutom zkladnom bode, na ktorom sa ur doba kyvu t0 kyvadla ponej kyvadlovej spravy. Potom sa kyvadlov sprava prena na zvolen body, na ktorch sa ur doba kyvu t. Meranie sa kon na zkladnom bode. Shlas db kyvu t0 na zaiatku merania a na konci merania potvrdzuje invariabilitu kyvadla. Z meranch db kyvu t a doby kyvu t0 sa na zkladnom bode odvod zmena Dg tiaovho zrchlenia na zvolench bodoch, ako aj tiaov zrchlenia g na tchto bodoch. Touto cestou odvoden tiaov zrchlenia charakterizuj relatvnu metdu merania tiaovho zrchlenia. Pre zkladn bod so znmou hodnotou tiaovho zrchlenia g0 a meranou dobou kyvu t0 plat vzah

13

lt

g 20

2

0p

= (1.16)

a pre zvolen stanicu, na ktorej sa merala doba kyvu t , plat vzah

lt

g 22p

= . (1.17)

Z oboch tchto rovnc na urenie tiaovho zrchlenia g vyplva vzah

2

20

0 ttgg = . (1.18)

Ak vzjomn vzdialenosti zvolench bodov nie s prli vek, vzah (1.18) sa podstatne zjednodu pravou

2

00

-

=

ttgg . (1.19)

K zlomku v okrhlej ztvorke pripotame a odpotame 1 a po menej prave dostaneme 2

0

00

2

00 111

--

-+=

-+=

tttg

ttgg (1.20)

Vzah (1.20) rozvinieme do radu poda vzahu

( )...321

11 2

2 ++-=+xx

x (1.21)

-

-+

--=

-+=

-

...t

ttt

ttg

ttt

gg2

0

0

0

00

2

0

00 3211 . (1.22)

Pretoe pre pomerne blzke zvolen body je rozdiel ttt D=- 0 mal, na dan ely plne vyhovuje, ak z radu (1.22) pouijeme len prv dva leny.

000 2 t

tgggg D-=D=- . (1.23)

V tejto rovnici Ktg

=-0

02 (kontanta) a na stanici uren rozdiel tiaovho zrchlenia

tKg D=D (1.24) sa odvod vemi jednoducho nsobenm rozdielu db kyvu zistench na zkladnom bode a na

stanici s kontantou K. Algebraickm pripotanm tiaovho rozdielu gD k tiaovmu zrchleniu zkladnho bodu sa

odvod tiaov zrchlenie na zvolenej stanici ggg D+= 0 (1.25)

Relatvne urenie tiaovho zrchlenia predpoklad, aby sme na jednom bode mali tiaov zrchlenie vemi starostlivo uren absoltnym meranm. Na konci minulho a na zaiatku nho storoia (v rokoch 1898 1904) takto meranie vykonali Khnen a v Postupime na Geodetickom stave v bode so sradnicami j = 5222,9 l = 1304,1 vchodne od Greenwicha s nadmorskou vkou h = 87 m. Pre tento bod urili tiaov zrchlenie

003,0247,981 =g cm s-2 . (1.26) Tento bod dosiahol medzinrodn vznam a stal sa zkladnm tiaovm bodom tzv. postupimskej

svetovej tiaovej sstavy.

14

U ns tiaov bod zvolil v roku 1926 prof. B. Kladivo v suterne budovy eskej techniky v Brne a v postupimskej tiaovej sstave relatvnou metdou Fechnerovm tvorkyvadlovm prstrojom odvodil jeho tiaov zrchlenie, ktorho hodnota je

g = 980,961,1 0,93 mgal. (1.27)

1.3 Geometrick geodzia

Na zloitej a nepravidelnej ploche geoidu alebo kvzigeoidu nie mon v praxi riei geodetick

lohy, alebo na ne zobrazi vie asti zemskho povrchu, pretoe tieto plochy nie je mon analyticky jednoducho vyjadri. Aproximciami geoidu, resp. kvzigeoidu na vpotov a zobrazovacie prce s rzne definovan elipsoidy, guov plochy a roviny.

1.3.1 Referenn elipsoid

Parametre zemskho elipsoidu sa uruj z tzv. stupovch meran. Z rzne rozsiahlych a stle

presnejch stupovch meran boli postupne uren parametre viacerch rotanch zemskch elipsoidov. Plochu geoidu by najlepie aproximoval trojosov zemsk elipsoid. Geometria trojosovho elipsoidu je vak tak zloit, e v geodetickej praxi sa zsadne pouvaj rotan elipsoidy. Ak je urit zemsk elipsoid zvolen pre geodetick systm, nazva sa referenn elipsoid.

Z hladinovch elipsoidov sa ako optimlna aproximcia geoidu prijma stredn zemsk elipsoid. K tomuto optimlnemu modelu Zeme sa pribliovali rzne referenn elipsoidy napr. Besselov (1841), Krasovskho (1940). Oba tieto elipsoidy tvoria zklad kartografickho zobrazenia a polohovho sradnicovho systmu v bvalom eskoslovensku a teraz na Slovensku. V sasnosti stredn zemsk elipsoid najlepie aproximuje referenn elipsoid IAG 1980, prijat na 17. valnom zhromaden Medzinrodnej geodetickej a geofyziklnej nie. Oznauje Eurpsky terestrick referenn systm 1989 (ETRS 89). Je definovan takto:

- dka vekej poloosi ekvipotencilneho elipsoidu a = 6 378 137 2 m, b = 6 356 877 m,

- geocentrick gravitan kontanta GM = (3 986 005 0,5)109 m3 s-2,

- dynamick splotenie ( zonlny geopotencilny koeficient druhho stupa) J2 = (1082,63 0,005)10-6,

- uhlov rchlos rotcie Zeme w = 7,292115.10-5 rad s-1.

Rovnakmi parametrami je definovan Svetov geodetick systm WGS 84.

Vo veobecnosti kad rotan zemsk (referenn) elipsoid je jednoznane definovan dvoma parametrami meridinovej elipsy (vekou poloosou a a malou poloosou b, resp. poloosou a a splotenm elipsoidu i ).

Besselov elipsoid m parametre a = 6 377 397,15508 m a i = 1 : 299,152 812 853.

Obr. 1.8. Geodetick elipsoidick sradnice

15

1.3.2 Systm geodetickch zemepisnch sradnc

Sradnicovm systmom na rotanch referennch elipsoidoch s geodetick elipsoidick

zemepisn sradnice

SE (jg, lg, H), (obr.1.8)

kde SE je stred elipsoidu,

jg je geodetick zemepisn rka,

lg je geodetick zemepisn dka,

H je elipsoidick (geodetick) vka. Za nult poludnk je zvolen ten, ktor prechdza danm bodom astronomickho observatria v

Greenwichi.

Geocentrick rka b

Pri rieen niektorch loh v matematickej kartografii sa namiesto rky j bodu P zavdza geocentrick rka b. Je to uhol, ktor zviera spojnica bodu P so stredom elipsoidu (rdius vektor r, obr. 1.9). Druhou sradnicou zostva geodetick dka l .

Obr. 1.9. Pravouhl sradnice x, y a geocentrick rka b

Obr. 1.10. Redukovan rka y

16

Redukovan rka y

V niektorch teoretickch odvodeniach sa pouva redukovan rka y. Bodom P(j) veme rovnobeky s osami X, Y. Oblk krunice s polomerom a, opsan zo stredu S meridinovej elipsy, pretne rovnobeku s osou Y v bode Q. Uhol, ktor zviera spojnica SQ s rovinou rovnka (na obr. 1.10 s vekou poloosou meridinovej elipsy), je redukovan rka y. Druhou sradnicou ostva geodetick dka l.

,cosyax = yy sin)100cos( bby =-= . (1.28)

1.3.3 Priestorov pravouhl sradnice X, Y, Z

Rieenie geodetickch loh v priestorovch pravouhlch sradniciach m vemi dleit lohu v

druicovej geodzii pri vyjadrovan priestorovej polohy bodov vo svetovom sradnicovom systme (WGS 84).

Poiatok sradnicovho systmu je v strede elipsoidu. Os Z je toton s osou rotcie. Os X je priesenicou roviny rovnka s rovinou nultho poludnka, os Y je v rovine rovnka kolm na os X (obr. 1.11).

Priestorov sradnice bodu P s dan vzahmi

( ) ,sin1,sincos,coscos 2 jljlj eNyZNYNX -==== (1.29) kde N je prieny polomer krivosti v bode P. Rovnice (1.29) s odvoden v kap. 1.3.7.

Obr. 1.11. Priestorov sradnice X, Y, Z

1.3.4 Elipsa

Elipsa je mnoina bodov roviny, ktorch set vzdialenost od dvoch pevnch bodov nazvanmi ohniskami F1 a F2 je kontantn.

Ozname 2c vzdialenos medzi ohniskami F1 a F2 (obr. 1.12). Sradnice ohnsk elipsy bud F1(-c, 0), F2 (c, 0).

M(x, y) je ubovonm bodom elipsy. Potom pre vzdialenos r1 a r2 bodu M(x, y) od bodov F1(-c,0) a F2 (c,0) je

( ) 221 ycxr ++= , (1.30)

( ) 222 ycxr +-= .

17

Set tchto vzdialenost mus by kontantn, ozname ho 2a

arr 221 =+ . (1.31)

Ak nsobme rovnicu (1.31) rozdielom r1 r2 , dostaneme

( )212221 2 rrarr -=- a z toho dostvame

arrrr

2

22

21

21-

=- . (1.32)

Obr. 1.12. Elipsa

Ak do itatea pravej strany rovnice (1.32) namiesto r1 a r2 dosadme hodnoty (1.30), dostaneme

( ) ( )( ) ( ) xcycxcxycxcxycxycxrr 422 22222222222221 =++--+++=+--++=- (1.33) Rovnica (1.32) po prave bude

acxrr 221 =- . (1.34)

Z rovnice (1.32 ) a (1.34) po ich spotan a odtan dostaneme

aacxr 222 1 += , a

cxar 222 2 -= ,

acxar +=1 , a

cxar -=2 . (1.35)

Ak teraz do prvej rovnc (1.35) dosadme namiesto r1 jeho hodnotu z rovnice (1.30), dostaneme

( )acxaycx +=++ 22 .

Umocnenm a zlenm dostaneme

( )

,022

,22

22242222222

2

222222

222

=---+++

++=+++=

+=++

xccxaayacacxaxaa

xcaacxaycxcx

acxaycx

( ) ( )22222222 caayaxca -=+- . (1.36) Pretoe z defincie elipsy r1 + r2 > F1F2 = 2c plat 2a > 2c, meme poloi

18

.222 bca =-

Rovnica (1.36) nadobudne tvar 222222 bayaxb =+ .

Ke rovnicu predelme vrazom 22ba dostaneme rovnicu elipsy

122

2

2

=+by

ax . (1.37)

Ak v rovnici elipsy (1.37) polome b = a, dostaneme rovnicu krunice 222 ayx =+ , (1.38)

ktor je zvltnym prpadom elipsy.

1.3.5 Vzah medzi geodetickou rkou jg ( j) bodu P a jeho pravouhlmi sradnicami v rovine meridinovej elipsy

Bodom P na elipsoide prechdza poludnk (meridin) o zemepisnej dke l . Je to elipsa s

poloosami a, b, ktor nazvame meridinov elipsa. Ak zvolme zaiatok pravouhlho rovinnho sradnicovho systmu v strede S meridinovej elipsy, vek poloos za os X, mal za os Y, bude rovnica tejto elipsy (1.37), (obr.1.13)

Uhol, ktor zviera normla n k elipse v tomto bode s vekou poloosou X, je geodetick rka j bodu P. (Pre jednoduchos budeme pouva oznaenie j, nie jg, pretoe nie je potrebn rozliova medzi geodetickou rkou jg a astronomickou rkou ja. Dotynica t v bode P zviera s osou X uhol 100g + j. Jej smernica je dan vzahom

k = dydx

= tg (100g + j) = - cotg j . (1.39)

Obr. 1.13. Pravouhl sradnice v rovine meridinovej elipsy

Derivovanm rovnice elipsy (1.37) dostaneme

2 2 02 2xdxa

ydyb

+ = ,

dydx

b xa y

= -2

2 . (1.40)

Z rovnc (1.39) a (1.40) vyplva

19

cotg j = b xa y

2

2 . (1.41)

Tto rovnica vyjadruje geodetick rku j ako funkciu pravouhlch sradnc x , y v rovine meridinovej elipsy. Dosame do rovnice (1.41)

cotg j = cossin

jj

,

rovnicu umocnime na druh a upravme

cossin

2

2

j

j = b x

a y

4 2

4 2,

a4y2cos2j - b4x2sin2j = 0. (1.42)

alej vyuijeme upraven rovnicu meridinovej elipsy (1.37)

b2x2 + a2y2 - a2 b2 = 0 (1.43)

Rieme tieto dve rovnice. Z rovnice (1.43) vyjadrme x2 a dosadme do rovnice (1.42) a vypotame sradnicu y

x2 = a b a yb

2 2 2 2

2- ,

a4y2cos2j - b4( a b a yb

2 2 2 2

2- )sin2j = 0,

a2y2cos2j - b4 sin2j + b2 y2 sin2j = 0,

y2(a2cos2j + b2 sin2j) - b4 sin2j = 0,

y = b

a b

2

2 2 2 2

sin

cos sin

j

j j+ . (1.44)

Podobne odvodme

x = a

a b

2

2 2 2 2

cos

cos sin

j

j j+ . (1.45)

Okrem splotenia i = (a - b) a-1 je alm parametrom charakterizujcim rotan elipsoid tzv. prv excentricita

e a ba

22 2

2=

- . (1.46)

Vzah (1.46) meme upravi na tvar

b a e2 2 21= -( ) = -b a e1 2 , a b

e=

-1 2 (1.47)

a dosadi do rovnc (1.44) a (1.45). Postup pravy menovatea v rovniciach (1.44) a (1.45):

(a2cos2j + b2 sin2j) = a2[cos2j + (1- e2) sin2j] = a2[(cos2j + sin2j )- e2 sin2j] = a2(1 - e2 sin2j).

20

Spolu s pravou itatea potom bude

( )y

a e

a e=

-

-

2 2

2 2 2

1

1

( ) sin

sin

j

j =

-

-

a e

e

( ) sin

sin

1

1

2

2 2

j

j =

-

-

b e

e

1

1

2

2 2

sin

sin

j

j, (1.48)

( )x

a

a e=

-

2

2 2 21

cos

sin

j

j =

-

a

e

cos

sin

j

j1 2 2. (1.49)

Ke ozname W e= -1 2 2sin j , rovnice (1.48) a (1.49) zapeme

( )y

a e

W=

-1 2 sinj a x a

W=

cosj . (1.50)

Rovnice (1.44), (1.45), (1.48) a (1.49) s parametrick rovnice meridinovej elipsy. Parametrami s zemepisn rka j, obe poloosi a, b a prv excentricita e2.

Vzah medzi geocentrickou rkou b a geodetickou rkou j

Poda obr. 1.14

( ) ( ) jj

jb tge

aea

xytg 2

2

1cos

sin1-=

-== . (1.51)

Geocentrick polomer (rdius vektor) po dosaden za x a y (1.49) (1.48) bude

( ) ( )

( ) .sin21

sin21cossin1cos

242

242222222

222

j

jjjjr

eeWa

eeWae

Wayx

--=

=+-+=

-+=+=

(1.52)

Obr. 1.14 Geocentrick rka b a redukovan rka y

21

Vzah medzi redukovanou rkou y a geodetickou rkou j

Z predchdzajceho vieme, e

,cosyax = ysinby = a odtia xy

batg =y . (1.53)

Poda rovnice (1.51)

( ) jb tgetgxy 21-== (1.54)

alej plat

21

1

eba

-= . (1.55)

Po dosaden hodnt (1.54) a (1.55) do rovnice (1.53) dostaneme zkladn vzah medzi redukovanou rkou y a geodetickou j rkou v tvare

( )j

jy tge

etgetg 22

2

11

1-=

-

-= . (1.56)

1.3.6 Polomery krivosti v danom bode na elipsoide

Normlou k elipsoidu v bode P meme preloi nekonene mnoho rovn, ktor s kolm k

povrchu elipsoidu. Existuj dva extrmne normlov rezy, ktorch krivos je maximlna a minimlna. S to hlavn normlov rezy a zodpovedajce polomery krivosti s hlavn polomery krivosti: meridinov polomer krivosti M a prieny polomer krivosti N (v rovine kolmej na poludnk).

Meridinov polomer krivosti

Normlov rovina preloen osou rotcie elipsoidu a bodom B pretna elipsoid v poludnku. Bod B m geodetick rku j a pravouhl sradnice v rovine meridinu x, y (obr.1.15).

Obr. 1.15. Meridinov polomer krivosti

Ak prejdeme z bodu B o dkov element ds do bodu B, zmen sa geodetick rka o dj, sradnice x a y sa zmenia o hodnoty - dx a + dy (x-ov sradnica sa zmen). Z obr. 1.15 je zrejm, e

22

ds = M dj . (1.57)

Elementrny oblk ds vyjadrme z trojuholnka BBD

sin j = - = -dxds

ds dxsinj

. (1.58)

Po dosaden rovnice (1.58) do rovnice (1.57) dostaneme vzah:

M = - 1sinj j

dxd

. (1.59)

Hodnotu dxdj

, ktor potrebujeme dosadi do vzahu (1.59) vypotame derivovanm funkcie

x =-

a

e

cos

sin

j

j1 2 2 = ( )a ecos sin /j j1 2 2 1 2- -

poda j.

[ ( ) ( ) ( ) ]jjjjjjj

cossin2sin121cossin1sin 22/3222/122 eeea

ddx

--

-+--=

--=

( )=

-

-+

-

ae

ae

e

sin( sin )

sin cos

sin

j

j

j j

j1 12 2 1 2

2 2

2 2 3 2 =

( )( )

- - +

-

a e ae

e

sin sin sin cos

sin

j j j j

j

1

1

2 2 2 2

2 2 3 2=

( )( )

=- - -

-=

a e e

e

sin sin cos

sin

j j j

j

1

1

2 2 2 2

2 2 3 2

[ ( )]( )

- - +

-=

a e

e

sin sin cos

sin

j j j

j

11

1

2 2 2

2 2 3 2

6 7444 8444

( )( )

=- -

-

a e

e

sin

sin.

j

j

1

1

2

2 2 3 2 (1.60)

Po dosaden do rovnice (1.59) dostaneme pre meridinov polomer krivosti vzah

M( )

( )=

-

-

a e

e

1

1

2

2 2 3 2sin j =

( )a eW

1 2

3

- . (1.61)

Zo vzahu (1.61) je zrejm, e meridinov polomer krivosti M pre urit elipsoid s parametrami a, e2 je funkciou len geodetickej rky j. Minimlnu hodnotu m na rovnku (j = 0g,

sinj = 0) ( )M a e0 21= - a maximlnu na ploch (j = 100g, sin j = 1) ( )M a e100 2 1 21= - - / . Ak by sme plynulo vyetrovali priebeh meridinovho polomeru krivosti od plu (Ps ) po rovnk

vo vetkch kvadrantoch, geometrick miesta stredov polomeru krivosti M leia na krivke hviezdicovho tvaru (obr. 1.15).

Prieny polomer krivosti

Rovina, ktor obsahuje normlu n v danom bode P a je kolm k rovine poludnka, pretna

elipsoid v prienom normlovom reze. Je to tie elipsa okrem prpadu ke bod P le na rovnku,

23

vtedy je to krunica. Normly k elipsoidu skontruovan vo vetkch bodoch tej istej rovnobeky s geodetickou rkou j, sa pretnaj v bode V na malej ose elipsoidu (obr. 1.16).

Obr. 1.16. Prieny polomer krivosti

Prieny polomer krivosti N je dan sekou normly N . Z obr. 1.16 je zrejm, e x N= cosj a teda

N x=cos

.j

(1.62)

Ak dosadme za x rovnicu (1.49)

N =-

a

e

cos

sin

j

j1 2 2.cos

1j

= a

e

aW1 2 2-

=sin j

. (1.63)

Na rovnku (j = 0g) je N0 = a a na ploch (j = 100g) ke 1 2- =eba

je

N100 =( )

a

e

aba

1 21 2

-= = a

b

2. (1.64)

Stredn polomer krivosti

Stredn polomer krivosti je dan geometrickm priemerom hlavnch polomerov krivosti M a N

R = MN . (1.65)

Po dosaden za M a N meme psa

R = ( )

( )a e

e

a

e

1

1 1

2

2 2 3 2 2 2

-

- -sin.

sinj j=

a ee

11

2

2 2

-- sin j

. (1.66)

24

Polomer nhradnej zemegule

V niektorch menej nronch vpotoch sa cel zemsk elipsoid nahradzuje guou. Polomer R tejto zemegule sa uruje tromi spsobmi:

1. Gua m rovnak objem ako elipsoid, t. j.

baR 2334

34

pp = a teda 3 2baR = . (1.67)

2. Gua m rovnak povrch ako elipsoid, t. j.

++++= ...

74

53

32144 64222 eeebR pp a teda

...74

53

321 642 ++++= eeebR (1.68)

3. Gua m polomer rovn aritmetickmu priemeru vetkch troch poloos elipsoidu

3abaR ++= . (1.69)

Vetky tri hodnoty R s po zaokrhlen na 0,1 km prakticky rovnak:

R = 6 370,3 km pre elipsoid Besselov,

R = 6 371,1 km pre elipsoid Krasovskho,

R = 6 371,0 km pre elipsoid WGS 84.

1.3.7 Vzah medzi geodetickmi zemepisnmi sradnicami j, l a priestorovmi pravouhlmi sradnicami X, Y, Z

Obr. 1.17. Vzah geodetickch zemepisnch sradnc j, l a priestorovch sradnc X, Y, Z

25

Na obr. 1.17 je nult Greenwichsk poludnk nakreslen v rovine obrzka. Bodom P prechdza poludnk PS - P - PJ - PS o geodetickej dke l. V rovine tohto poludnka m bod P pravouhl sradnice dan rovnicami (1.50).

Poda defincie pravouhlho sradnicovho systmu v kap. 1.3.3 a obr. 1.17 plat

X x Y x Z y= = =cos , sin ,l l . (1.70)

Ke dosadme do rovnc (1.70) sradnice x a y z rovnc (1.50) dostaneme

X aW

N= =cos cos cos cosj l j l ,

Y aW

N= =cos sin cos sinj l j l , (1.71)

( ) ( )Z aW e N e= - = -1 12 2sin sinj j ,

ke prieny polomer krivosti N aW

= (kap. 1.3.6).

1.3.8 Vpoet dky oblka poludnka a rovnobeky

Vpoet dky oblka poludnka (rektifikcia meridinu)

Na meridinovej elipse le bod B(j). V diferencilnej vzdialenosti ds od bodu B je bod B(j+ dj) (obr. 1.15).

Polomer krivosti meridinu v bode B je M. Z obrzku 1.15 je

jMdds = a po dosaden do rovnice (1.61) dostaneme diferencil oblka

( )( ) jj deeads 2/3222 sin11 ---= . (1.72) Oblk s od rovnka (j = 0) po bod s geodetickou rkou j vypotame integrcii rovnice (1.72)

( ) ( ) -

--==j j

jjj0 0

2/3222 sin11 deeaMds . (1.73)

Eliptick integrl na pravej strane rovnice (1.73), ktor nem uzatvoren rieenie, je mon pota dvojakm spsobom:

1. rozvinutm funkcie ( ) 2/322 sin1 -- je do radu poda binomickej vety alebo 2. numerickou integrciou na PC. Takmer kad softvr, uren pre numerick metdy, obsahuje

program pre numerick integrciu.

Dka oblka rovnobeky

Rovnobeka o geodetickej rke j je krunica s polomerom jcosNr = (obr. 1.16).

Oblk s rovnobeky medzi bodmi o geodetickch dkach l1, l2 je oblkom krunice s polomerom r pri stredovom uhle 12 lll -=D , t. j.

26

ljrr

lj D

=

D

= coscos NNs (1.74)

Poznmka: Veliina rj /cos sa zostavuje do tabuliek k argumentu j.

1.3.9 Povrch asti a celho elipsoidu Sie poludnkov a rovnobeiek vytvra na povrchu elipsoidu elipsoidick lichobenky (obr. 1.18).

Diferencilny lichobenk meme povaova za rovinn obdnik o stranch jMd a ljdN cos , ktorho obsah je

ljj ddMNdP cos= (1.75)

Ak dosadme za M, N dostaneme

( )( )

ljj

j dde

eadP222

22

sin1

cos1

-

-= . (1.76)

Obr. 1.18. Povrch asti zemskho elipsoidu

Obsah lichobenka, obmedzenho poludnkmi l1, l2 a rovnobekami j1, j2, by sme dostali integrciou rovnice (1.76) v medziach l1, l2 a j1, j2 . Plocha sa pota od rovnka (j = 0) po rovnobeku j1, resp. j2:

( ) ( )

( )( ) ( )

-

-

---=

=--=

j

jl

l

j

jjjll

ljjj

0

22212

22

0

222220

.sin1cos1

sin1cos12

1

deea

ddeeaP

(1.77)

Potan plocha P je 12

00jj PPP -= (1.78)

Eliptick integrl na pravej strane rovnice (1.77) je mon (podobne ako u dky oblka meridinu) riei dvojakm spsobom:

1. rozvinutm funkcie ( ) 222 sin1cos -- jj e do rady poda binomickej vety alebo 2. numerickou integrciou na PC.

27

1.3.10 Normlov rezy a geodetick iara na referennom elipsoide Medzi dvoma bodmi na referennom elipsoide P1 a P2 s rznymi geodetickmi rkami a

dkami existuj dva normlov rezy (obr. 1.19).

Obr. 1.19. Normlov rezy na elipsoide medzi dvoma bodmi

Normla n1 k elipsoidu v bode P1 pretne jeho mal os v bode V1 , normla n2 v bode P2 v bode V2. Rovina uren bodmi P1 V1 P2 obsahuje teda normlu n1. Je to normlov rovina v bode P1, ktor prechdza bodom P2. Tto rovina pretna rotan (referenn) elipsoid v priamom normlovom reze s1. Normlov rovina, obsahujca normlu n2 a bod P1 preto pretne elipsoid v sptnom normlovom reze s2. Priamy a sptn normlov rez s vzjomn normlov rezy (obr.1.19). Vzjomn normlov rezy splyn v jedin iaru, ak leia body P1 a P2 na rovnakom poludnku alebo na rovnakej rovnobeke.

Geodetick iara - najkratia spojnica dvoch bodov na ploche - je tak iara, ktorej hlavn normla je v kadom bode toton s normlou plochy. Jej geodetick krivos (krivos pravouhlho priemetu dkovho elementu geodetickej iary na dotykov rovinu plochy vo zvolenom bode) je rovn nule. Z tejto defincie geodetickej iary je zrejm, e normlov rezy nie s geodetickmi iarami na elipsoide, pretoe tto defincia plat len pre vchodiskov body.

Obr.1.20. Geodetick iara a normlov rezy

Medzi dvoma bodmi na elipsoide existuj vo veobecnosti dva normlov rezy, ale len jedna geodetick iara s (obr. 1.20).

Rieenie geodetickch trojuholnkov na rotanom elipsoide (obr. 1.21), bude jednoznan len vtedy, ak spojme ich vrcholy geodetickmi iarami, pretoe si treba uvedomi, e zmern roviny pri meran teodolitom pretnaj elipsoid v normlovch rezoch a teda meran uhly a azimuty sa vzahuj k normlovm rezom. Preto sa tieto uhly a azimuty redukuj z normlovch rezov na geodetick iary.

Na guli je geodetickou iarou hlavn krunica tzv. ortodrma, v rovine je to priamka.

28

Obr.1.21. Elipsoidick trojuholnk

Vlastnosti geodetickej iary 1. Pre geodetick iaru na ubovonej rotanej ploche plat Clairotov veta: Pre kad bod uritej

geodetickej iary je sin prslunho polomeru rovnobeky (obr. 1.16) a snusu azimutu hodnota kontantn

r N konst ki i i i isin cos sin .a j a= = =( . (1.79)

2. Geodetick iara pretna poludnky pod dvoma azimutami, ktor ak s rovnak, jeden meriame od severnej vetvy, druh od junej vetvy poludnka (obr. 1.22).

Obr. 1. 22. Azimuty geodetickej iary

3. Geodetick iara, ktor spja body P1 a P2 veobecne prebieha medzi obidvoma normlovmi rezmi s1 a s2 (obr. 1.20). Uhol n medzi priamym normlovm rezom s1 a geodetickou iarou je prakticky rovnak ako uhol medzi sptnm normlovm rezom s2 a geodetickou iarou a rovn sa tretine uhla w medzi obidvoma normlovmi rezmi:

nw

3

. (1.80)

Vo zvltnych prpadoch, ke s obidva koncov body na rovnakej rovnobeke, normlov rezy splyn do jednho rezu, avak geodetick iara prebieha mimo nich.

Priebeh iar v obecnom sfrickom trojuholnku A, B, C je schmaticky znzornen na obr. 1.21. Tenmi iarami s vykreslen normlov rezy, hrubmi iarami geodetick iary medzi vrcholmi sfrickho trojuholnka.

1.4 Referenn gua Rieenie geodetickch a kartografickch loh si meme podstatne zjednodui tm, e sa as

plochy referennho elipsoidu nahrad guou, tzv. referennou guou. Najastejie sa nahradzuje plochou gule so strednm polomerom krivosti R = MN . Naprklad pre bval zemie eskoslovenska sa asto pouvala gua o polomere, ktor sa rovn strednmu polomeru krivosti pre

29

stredn zemepisn rku jm = 55g (49 30). Pri rieen elipsoidickch trojuholnkov m gua nhradn polomer rovn strednmu polomeru krivosti elipsoidu pre aisko trojuholnka.

Na rozdiel od elipsoidu m gua kontantn krivos a vetky jej normly sa pretnaj v strede gule. Normlov roviny prechdzaj stredom gule a pretnaj ju v hlavnch kruniciach o polomere R. Oblk, ktor spja dva body na guli (najkratia spojnica - geodetick iara) je ortodrma. Dka ortodrmy s sa vyjadruje pomocou stredovho uhla (s / R) r, kde r je radin, uhlu 3cc (1") prislcha dka asi 31 m.

Loxodrma je krivka, ktor pretna poludnky pod kontantnm azimutom.

Oblky hlavnch krunc (ortodrm), ktor spjaj tri body na guli vytvraj sfrick trojuholnk.

Sradnicovm systmom na referennch guovch plochch je sstava sfrickch zemepisnch sradnc (obr. 1.23)

SG (j, l, V),

kde SG je stred referennej gule,

j je sfrick zemepisn rka,

l je sfrick zemepisn dka,

V je sfrick vka.

Obr.1.23. Sfrick sradnice

1.4.1 Sfrick exces Set vntornch uhlov sfrickho trojuholnka je vdy v ako 200g (180) o hodnotu, ktor

nazvame sfrick exces a oznaujeme e . Hodnota excesu zvis na vekosti trojuholnka a dosahuje 3cc (1") v trojuholnku so stranami pribline 20 km (v trojuholnku so stranami 1 km je sfrick exces 0,01cc).

e = A + B + C - 200, (1.81)

kde A, B a C s meran uhly. Na referennej guli s polomerom R vypotame sfrick exces zo vzahu

e rcc ccP

R= 2 , (1.82)

kde P je plocha trojuholnka.

Rovnicu (1.82) dokeme takto: Na obr.1.24 je znzornen sfrick, trojuholnk s vrcholmi QA, QB, QC a dkovo vyjadrenmi stranami a, b, c tak, e strana c le v rovine papiera. Plochu

30

tohoto trojuholnka ozname P. Z obrzku s zrejm alie tri sfrick trojuholnky: QAQBQC s plochou P1, QAQBQC s plochou P2, QBQAQC s plochou P3, ktor sa s trojuholnkom QA,QB,QC doplaj na tri sfrick dvojuholnky s uhlami A, B a C.

Plocha celej gule PG = 4p R2.

Plochy jednotlivch dvojuholnkov (pre uhly vyjadren v gonoch) bud

Obr. 1.24. Sfrick trojuholnk

,400

4 21

gA A

RPPP p=+=

,400

4 22

gB B

RPPP p=+=

.400

4 23

gC C

RPPP

p=+=

Po spotan tchto rovnc dostaneme

2P + (P + P1+ P2 + P3)= 2

200

2p R A B C( )+ + . (1.83)

Set plch trojuholnkov v ztvorke na avej strane rovnice (1.83) dva plochu pologule 2pR2 take meme psa:

2P + 2pR2 = 2200

2p R A B C( )+ + .

Po prave dostaneme

P = pe

R A B C2

200200( )+ + -

6 7444 8444. (1.84)

Vraz v ztvorke je sfrick exces, take ho meme vyjadri:

ep

=200

2

PR

.

Pretoe 200/p = r (radin) napeme vsledn vzorec v tvare

31

e r=P

R 2, (1.85)

ak dosadme radin v grdovch sekundch rcc= 636620cc plat rovnica (1.82).

1.4.2 Rieenie elipsoidickch a sfrickch trojuholnkov Pri bench triangulanch prcach svisiacich s rieenm elipsoidickch trojuholnkov (s < 60

km) povaujeme tieto trojuholnky za sfrick na referennej guli s polomerom rovnm strednmu polomeru krivosti R = MN pre stredn zemepisn rku j j j j= + +( )QA QB QC 3 . Veobecn vzorce sfrickej trigonometrie nie s z praktickho hadiska vhodn pre rieenie tchto trojuholnkov (strany s vyjadren v uhlovej miere a s vemi mal vzhadom k polomeru gule; vpoty je potrebn vykonva s vekm potom desatinnch miest), preto sa sfrick trojuholnky rieia zvltnymi metdami: excesovou a adimentovou metdou.

Excesov metda je zaloen na Legendreovej vete: Sfrick trojuholnk meme v geodzii riei ako rovinn s rovnakmi stranami, ak zmenme kad jeho uhol o tretinu excesu. Ak je napr. dan strana a sfrickho trojuholnka, obr. 1.14, vypotame jeho strany b a c so snusovej vety

a : b : c = sin A : sin B : sin C, (1.86)

kde A= A - e3

, B = B - e3

, C = C - e3

. (1.87)

Aditamentova (Soldnerova 1920) metda

Pri tejto metde m nhradn rovinn trojuholnk dva uhly rovnak ako sfrick trojuholnk (obr.

1.25).

Obr. 1.25 Sfrick a rovinn trojuholnk

Vo sfrickom trojuholnku je set uhlov v ako 180 o sfrick exces. Nhradn rovinn trojuholnk m rovnak uhly a, b ale m kratie strany a, b. Poda sfrickej snusovej vety na guli o polomere R plat

RbRa

BA

sin

sin

sinsin

= . (1.88)

V nhradnom rovinnom trojuholnku je snusov veta

ba

BA

=sinsin

. (1.89)

32

Rovnice (1.88) a (1.89) porovnme a funkcie Rasin a

Rbsin rozvinieme do radu poda Mac

Laurina. Rozvoj funkcie sin x m tvar .50401206

...!7!5!3

sin753753

+-+-=+-+-=xxxxxxxxx

Na vyjadrenie rozvoja funkcie snus postaia prv dva leny

2

3

2

3

3

3

3

3

6

6

6

6

Rbb

Raa

Rb

Rb

Ra

Ra

ba

-

-=

-

-

. (1.90)

Z rovnice (1.90) vyplva, e strany v nhradnom rovinnom trojuholnku maj hodnoty

2

3

6Raaa -= a 2

3

6Rbbb -= . (1.91)

Druh vetn leny v rovniciach (1.91) predstavuj linerny aditament (prdavok).

Pri rieen sfrickho trojuholnka, ak mme dan stranu a a uhly A, B a potrebujeme vypota

stranu b, od strany a sfrickho trojuholnka odpotame hodnotu linerneho aditamentu 23

6Ra

.

= -a a aR

3

26. (1.92)

Potom zo snusovej vety meme vypota stranu b

= b a BA

sinsin

.

Stranu b vypotame tak, e k strane b pripotame prslun linerny aditament b3/6R2

b b bR

= +3

26. (1.93)

Hodnoty linerneho aditamentu v S JTSK pre R = 6 380 703,6105 s uveden v tab. 1.1.

Linerny aditament

Tab. 1.1

s 10 km 20 km 30 km 40 km 50 km 75 km 100 km

S3/6R2 4,1 mm 32,7 mm

110,5 mm

262,0 mm

511,7 mm

1727,0 mm

4093,7 mm

Ak dky s s kratie ako 10 km a vyadujeme presnos vpotov na cm, vtedy vpoty vo sfrickom trojuholnku rieime ako lohy v rovinnom trojuholnku.

Excesov metda je vhodn na vpoet dok strn v trojuholnkoch, ke je dan jedna strana a uhly. Aditamentov metda je vhodn na vpoet dok v trojuholnkovch reazcoch, ke bola dan vchodiskov strana a ke ide o vpoet koncovej strany. Vtedy potame len aditament vchodiskov a koncovej strany. Aditamenty ostatnch strn reazca nie je potrebn pota.

33

Prklad 1:

lohou je uri stredn polomer krivosti pre aisko elipsoidickho trojuholnka (Besselov elipsoid). Dan s geodetick rky vrcholov trojuholnka

Meridinov, prieny i stredn polomer krivosti urite vpotom a kontrolu vykonajte urenm strednho polomeru krivosti z tabuliek.

a) Vpotom:

Parametre Besselovho elipsoidu s: a = 6 377 397,155 m,

b = 6 356 078,963 m,

e2 = 0,006 674 372.

Stredn geodetick rka: )(j j j js A B C= + + 3 = 56,0118g . Meridinov polomer krivosti:

M( )

( )=

-

-

a e

e

1

1

2

2 2 3 2sin j= 6 372 684 m,

Prieny polomer krivosti:

N =-

a

e1 2 2sin j = 6 390 074 m.

Stredn polomer krivosti: R = MN = 6 381 373 m.

b) Z tabuliek:

Kontrolu vpotu strednho polomeru krivosti sme vykonali pomocou Schreiberovch tabuliek (J.Ryav: Vy geodesie). Pre prcu s tmito tabukami prevedieme j sg z gnov na esdesiatinn delenie t.j. stupne a minty j so = 50 24,64. (Gny na stupne prevedieme vynsobenm 0,9 - 56,0118 . 0,9 = 50,41062o, as za desatinnou iarkou prevedieme na minty vynsobenm 0,6 - 0,40162 . 0,6 = 24,64 ).

log R pre 50 20 = 6,804 91 360

pre 4,64 = 53

_______________________

pre 50 24,64 = 6,804 91 413 R = 6 381 373 m.

34

Prklad 2:

lohou je vypota dku strany a na Besselovom elipsoide excesovou metdou. Dan s uhly A = 67,72598g , B = 54,59209g a strana c = 60 079,63 m. Ide o ten ist elipsoidick trojuholnk, ako v prklade 1. Hodnoty geodetickch rok preberieme.

Pre aisko elipsoidickho trojuholnka vypotame stredn polomer krivosti (preberieme ho z prkladu 1), vypotame plochu trojuholnka a sfrick exces pre referenn guu. Opravme meran uhly a nakoniec zo snusovej vety vypotame dku a na Besselovom elipsoide.

Plochu P vypotame ako v rovinnom trojuholnku:

P = c A BC

2

2sin sin

sin= c A B

A B

2

2sin sin

sin( )+ = 1,2704.109 m.

Sfrick exces: e rcc cc PR

= 2 = 19,862cc , (rcc = 636 620cc).

Pri aplikcii excesovej metdy sa dky ponechaj a uhly sa zmenia o tretinu excesu:

A= A - e3

= 67,72532g , B = B - e3

= 54,59143g.

Nakoniec dosadenm do snusovej vety (pre rovinn trojuholnk) vypotame dku strany a na elipsoide:

a = c BA

sinsin

= 55 923,89 m.

1.4.3 Rieenie zkladnch geodetickch loh na guli

Zkladn (tie hlavn) geodetick lohy s definovan (pre guu aj elipsoid) takto:

I. zkladn geodetick loha:

S dan geodetick sradnice j1, l1 bodu P1, azimut a12 a dka geodetickej iary s12 na bod P2. Mme vypota geodetick sradnice j2, l2 a azimut a21 v bode P2 (obr. 1.25).

II. zkladn geodetick loha:

S dan geodetick sradnice j1, l1 a j2, l2 bodov P1 a P2. Mme vypota dku geodetickej krivky s12 a obidva azimuty a12 a a21 v danch koncovch bodoch krivky.

Vo sfrickom trojuholnku (obr. 1.25) platia vzahy poda nasledovnch vzorov:

Acbcba cossinsincoscoscos +=

aCBCBA cossinsincoscoscos +-=

aAcC

sinsinsinsin =

Obr. 1.26. Sfrick trojuholnk

35

Rieenie: I. zkladnej geodetickej lohy na guli v zemepisnch sradniciach

Na guli s polomerom R je dan bod P1(j1,l1), dka geodetickej krivky (ortodromy) s medzi bodmi P1 a P2 a jej azimut v bode P1. Mme vypota sradnice a azimut v bode P2(j2,l2,A2).

Obr. 1.27. Zkladn geodetick lohy na guli

Vo sfrickom polrnom trojuholnku P1P2Ps (obr. 1.26) plat kosnusov veta

( ) ( ) ( ) 1112 cossin90sincos90cos90cos ARRs

js

jj -+-=-

po prave

1112 cossincoscossinsin ARRs

js

jj += (1.94)

alej je poda snusovej vety

( ) 21

2

1

cossin

sin90sinsin

sinsinj

sj

sl

AR

AR

=-

=D , (1.95)

( )R

AAAA/sin

sincoscossin

cossinsin180sin 12

11222 s

lj

jj

D==-==- (1.96)

Z rovnice (1.94) vypotame j2, z rovnice (1.95) Dl a alej lll D+= 12 . Kvadranty uhlov Dl a j2 sa uria vpotom z kosnusovch viet vo sfrickom trojuholnku.

Rieenie II. zkladn geodetick lohy na guli v zemepisnch sradniciach

Na guli s polomerom R s dan zemepisn sradnice bodov P1(j1,l1) a P1(j1,l1). Mme vypota dku oblka geodetickej iary (ortodromy) s12 medzi bodmi P1 a P2 a azimuty A1, A2 v tchto bodoch.

Vo sfrickom trojuholnku (obr. 1.26) platia Neperove analgie

2cos

2cos

2 ba

baBAtg

+

-

=+ cotg

2C ,

36

2sin

2sin

2 ba

baBAtg

+

-

=- cotg .

2C

Veobecne platn vzahy goniometrickch funkci s:

cos(-a) = cosa,

sin (-a) = -sina,

tg (-a) = -tga,

cotg(-a) = -cotga,

tg(j+90) = -cotgj,

tg(a-90) = -cotga,

cos(90-j) = sinj.

Pre uhly ( )( )21 180 AA -+ vo sfrickom trojuholnku (obr. 1.26) plat

( )

2cot

29090

cos

29090

cos

2180

21

12

21 ljj

jjD

-+-

---

=+-

gAA

tg ,

2cot.

2sin

2cos

2cot

21

21

21 ljj

jjD

+

-

=-

- gAA

g ,

22

cos

2sin

2 12

21

12 ljj

jjD

-

+

=-

tgAA

tg . (1.97)

Pri odvoden rovnice (1.93) sme pouili pravy:

-=

--2

cot2

cot 1221AAgAAg ,

( )2

cos2

cos2

cos 121221jjjjjj -

=

--=

-,

( )( ) ( )2

sin2

180cos 2121 jjjj +=+- .

Pre uhly ( )( )21 180 AA -- vo sfrickom trojuholnku (obr. 1.26) plat

37

( )

,2

cot

29090

sin

29090

sin

2180

12

12

21 ljj

jj

D

-+-

---

=-+

gAA

tg

1./2

cot.

2cos

2sin

2cot.

2cos

2sin

2cot

21

12

21

21

21 -D

+

--

=D

+

-

=+

-l

jj

jj

ljj

jj

ggAA

g

22

sin

2cos

2 12

21

21 ljj

jjD

-

+

=+

tgAA

tg (1.98)

Pri odvoden rovnice 1.94 sme pouili pravy:

--=

--2

sin2

sin 1212jjjj

.

av strany rovnc (1.97) a (1.98) vypotame z funkci arctg pravch strn rovnc. Stom a rozdielom upravench rovnc 1.97 a 1.98 vypotame neznme uhly A1 a A2.

221212

2AAAAA +

+

-= ,

221212

1AAAAA -

-

+= a

= 18022 AA . (1.99)

Poda snusovej vety je alej

( )( ) l

jl

sD=

--

D= sin180sin90sin

sinsin2

1

AR( )

1

2

sin90sin

Aj-

.

Po prave, ke sme pouili (sin(180 - 2A )) = sin 2A dostaneme

1

2

2

1

sincos

sinsincos

sinsinAARj

lj

ls

D=

D= . (1.100)

Z rovnc 1.100 vypotame s/R v uhlovej miere; dka oblka (strany) v dkovej miere je

rs

s

=R

R. (1.101)

Kvadranty azimutov A1, 2A a kladn alebo zporn zmysel dky s sa zvyajne uruje na mape, na globe alebo z vhodnho obrzka.