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Kapitel 10:
10.1 Kristallographische Gruppen10.2 Raumgruppen
(eine detaillierte Vorstellung kann und soll nicht Thema einer „Einführung in die Kristallographie“ sein)
10.3 Ebenengruppen10.4 Bandgruppen
Raumgruppen
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Kristallographische HierarchienEs gibt:
7 Kristallsysteme14 Bravais-Gitter
32 Punktgruppen (Kristallklassen)mit 47 einfachen Kristallformen
230 Raumgruppen122 AS-Punktgruppen (58 AS + 32 graue+32
einfarb.)1651 AS-Schubnikov-Gruppen
(AS: Antisymmetrie)
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SymmetriegruppenIm zweidimensionalen Fall gibt es:
4 Kristallsysteme (Parallelogramm, Rechteck, Quadrat, Rhombus)
5 Gitter10 Punktgruppen
17 ebene RaumgruppenIm vierdimensionalen Fall gibt es:
64 Bravais-Gitter 227 Punktgruppen 4783 Raumgruppen
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Raumgruppen
Die Gesamtheit aller Symmetrieoperationen in einem Gitter (oder einer Kristallstruktur) nennt man Raumgruppe.
Eine Raumgruppe ist eine Gruppe von Symmetrieoperationen unter Einschluß der Gittertranslationen.
Raumgruppensymbol: Bravais-Gitterzentrierung + erzeugende Symmetrieelementez.B. I 41/amd
Definition
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RaumgruppenEigenschaften:
Zähligkeitallgemeine Punktlage, spezielle Punktlageasymmetrische Einheit
Ableitung der zugehörigen Punktgruppe aus dem SymbolIm zweidimensionalen Fall:
Ebenengruppen Bandgruppe
Die detaillierte Behandlung der Raumgruppen kann nicht Gegenstand dieser einführenden Lehrveranstaltung sein. Als zweidimensionales Analogon werden die 17 Ebenengruppen kurz vorgestellt.
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EbenengruppenIm zweidimensionalen Fall gibt es:
4 Kristallsysteme mit : - Parallelogramm (engl.: oblique)- Rechteck (rectangular)- Quadrat (square)- Rhombus (triequiangular, hexagonal)als Elementarmasche
5 Gitter:- 4 primitive + zentriertes Rechteckgitter
10 Punktgruppen17 ebene Raumgruppen
Zahlreiche Beispielgraphiken sind dem „Escher Web Sketch“ entnommen(Autoren: Wes Hardaker und Gervais Chapuis, Univ. Lausanne,
www-sphys.unil.ch\escher)
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EbenengruppenParallelogramm
p 1
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Ebenengruppen Parallelogramm
p 2
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Ebenengruppen
1
p 1
2
p 2
Parallelogramm
Punktgruppe
Ebene Raumgruppe
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EbenengruppenRechteck
p m
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EbenengruppenRechteck
p g
Asymm.Einheit
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EbenengruppenRechteck
c m
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EbenengruppenRechteck
p 2mm
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EbenengruppenRechteck
c 2mm
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EbenengruppenRechteck
p 2mg
4 Elementar-maschen
Koordinaten äquivalenter Punktlagen:4 1 x,y -x,-y ½+x,-y ½-x,y5 m ¼,y ¾,-y2 2 0, ½ ½, ½2 2 0,0 ½, 0
Zähligkeit spezielle Lage Koordinaten
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EbenengruppenRechteckgruppen
mp 1m1
mp 1g1
mc 1m1
2mmp 2mm
2mmp 2gg
2mmp 2mg
2mmc 2mm
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EbenengruppenQuadrat
p 4
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EbenengruppenQuadrat
p 4mm
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EbenengruppenQuadrat
p 4gm
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EbenengruppenSquare
4p 4
4mmp 4mm
4mmp 4gm
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EbenengruppenRhombus(hexagonal,triequiangular)
p 3
AE
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EbenengruppenRhombus
p 3m1
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EbenengruppenRhombus
p 31m
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Ebenengruppen Rhombus
p 6
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EbenengruppenRhombus
p 6mm
+
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EbenengruppenHexagonal
3p 3
3mp 3m1
3mp 31m
6p 6
6mmp 6mm
+
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RaumgruppenAuflistung aller Raumgruppen in den Internationalen Tabellen
Beispiel: I 41/amd
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Bandgruppen
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Bandgruppen
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Übung 10• Nennen Sie Kristallsystem, Bravais-Gitter, Kristallklasse und
Zähligkeit der allgemeinen Punktlage zu folgenden Raumgruppen:
• C 2/c• Fddd• I 422• A bm2• P 312• R 3c• P 63cm• F d-3c
• Analysieren Sie Tapetenmuster, Ornamente, Modedrucke und Fliesenmuster hinsichtlich ihrer Zugehörigkeit zu einer der 17 Ebenengruppen !