kapitel 2 die rationalen und die irrationalen zahlen
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Kapitel 2
Die rationalen und die irrationalen Zahlen
Kapitel 2
Die rationalen und die irrationalen Zahlen
Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen
© BeutelspacherApril 2005
Seite 2
InhaltInhalt
2.1 Was sind die rationalen Zahlen?
2.2 Wie rechnet man mit rationalen Zahlen?
2.3 Ordnung in den rationalen Zahlen
2.4 Dezimalbrüche
2.5 Die Entdeckung der Irrationalität
2.6 Wie viele rationale Zahlen gibt es?
2.1 Was sind die rationalen Zahlen?
2.2 Wie rechnet man mit rationalen Zahlen?
2.3 Ordnung in den rationalen Zahlen
2.4 Dezimalbrüche
2.5 Die Entdeckung der Irrationalität
2.6 Wie viele rationale Zahlen gibt es?
Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen
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Seite 3
2.1 Was sind die rationalen Zahlen?2.1 Was sind die rationalen Zahlen?
Erinnerung: Die Menge N der natürlichen Zahlen ist abgeschlossen
bzgl. Addition und Multiplikation. D.h. Summe bzw. Produkt von je zwei
natürlichen Zahlen ist wieder eine natürliche Zahl.
Die Menge Z der ganzen Zahlen ist zusätzlich abgeschlossen
bezüglich der Subtraktion. D.h. die Differenz je zweier ganzer Zahlen
ist wieder eine ganze Zahl.
Es gelten die bekannten Rechenregeln. Beispiele:
2 – 3 = –1, –1 – 3 = –4, 3(–5) = –15, j (–3)(–5) = 15, usw.
Erinnerung: Die Menge N der natürlichen Zahlen ist abgeschlossen
bzgl. Addition und Multiplikation. D.h. Summe bzw. Produkt von je zwei
natürlichen Zahlen ist wieder eine natürliche Zahl.
Die Menge Z der ganzen Zahlen ist zusätzlich abgeschlossen
bezüglich der Subtraktion. D.h. die Differenz je zweier ganzer Zahlen
ist wieder eine ganze Zahl.
Es gelten die bekannten Rechenregeln. Beispiele:
2 – 3 = –1, –1 – 3 = –4, 3(–5) = –15, j (–3)(–5) = 15, usw.
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Weshalb rationale Zahlen? Weshalb rationale Zahlen?
Aber: Der Quotient zweier ganzer Zahlen ist jedoch meistens keine
ganze Zahl (z.B. ist 5/3 keine ganze Zahl). Das heißt: Man kann
nicht (ohne Rest) dividieren. Mathematisch ausgedrückt: Die Menge
Z der ganzen Zahlen ist nicht abgeschlossen bzgl. der Division.
Ziel: Einführung der Menge der „rationalen Zahlen“, die bezüglich
der Division durch jede Zahl 0 abgeschlossen ist.
Bemerkung: In Schulunterricht geht man derzeit so vor, dass man
zunächst die positiven Bruchzahlen einführt und erst anschließend
die gesamten rationalen Zahlen. Daher wird der Begriff „rationale
Zahl“ oft mit „negativer Zahl“ assoziiert. Das ist aber die falsche
Vorstellung.
Aber: Der Quotient zweier ganzer Zahlen ist jedoch meistens keine
ganze Zahl (z.B. ist 5/3 keine ganze Zahl). Das heißt: Man kann
nicht (ohne Rest) dividieren. Mathematisch ausgedrückt: Die Menge
Z der ganzen Zahlen ist nicht abgeschlossen bzgl. der Division.
Ziel: Einführung der Menge der „rationalen Zahlen“, die bezüglich
der Division durch jede Zahl 0 abgeschlossen ist.
Bemerkung: In Schulunterricht geht man derzeit so vor, dass man
zunächst die positiven Bruchzahlen einführt und erst anschließend
die gesamten rationalen Zahlen. Daher wird der Begriff „rationale
Zahl“ oft mit „negativer Zahl“ assoziiert. Das ist aber die falsche
Vorstellung.
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Rationale Zahlen als BrücheRationale Zahlen als Brüche
Definition. Ein Bruch ist ein Paar (p, q) ganzer Zahlen mit q 0.
Wir schreiben dafür auch (manchmal auch p/q).
Wir nennen p den Zähler und q den Nenner dieses Bruches.
Jeder Bruch stellt eine rationale Zahl (Bruchzahl) dar.
(ratio (lat.) = Verhältnis)
Problem: Jede rationale Zahl kann durch unendlich viele Brüche
dargestellt werden.
Definition. Ein Bruch ist ein Paar (p, q) ganzer Zahlen mit q 0.
Wir schreiben dafür auch (manchmal auch p/q).
Wir nennen p den Zähler und q den Nenner dieses Bruches.
Jeder Bruch stellt eine rationale Zahl (Bruchzahl) dar.
(ratio (lat.) = Verhältnis)
Problem: Jede rationale Zahl kann durch unendlich viele Brüche
dargestellt werden.
q
p
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Erweitern von BrüchenErweitern von Brüchen
Definition. Zwei Brüche und stellen dieselbe rationale Zahl dar,
falls pq' = p'q ist.
Es folgt, dass für jede ganze Zahl a 0 die Brüche und
dieselbe rationale Zahl darstellen.
Das bedeutet: Erweitern und Kürzen mit einer ganzen Zahl 0
ändert die zugehörige Bruchzahl, also den “Wert” eines Bruches nicht.
Jede rationale Zahl wird also durch unendlich viele Brüche dargestellt!
Beispiel: Die Bruchzahl wird auch durch folgende Brüche
dargestellt:
Definition. Zwei Brüche und stellen dieselbe rationale Zahl dar,
falls pq' = p'q ist.
Es folgt, dass für jede ganze Zahl a 0 die Brüche und
dieselbe rationale Zahl darstellen.
Das bedeutet: Erweitern und Kürzen mit einer ganzen Zahl 0
ändert die zugehörige Bruchzahl, also den “Wert” eines Bruches nicht.
Jede rationale Zahl wird also durch unendlich viele Brüche dargestellt!
Beispiel: Die Bruchzahl wird auch durch folgende Brüche
dargestellt:
q
p
'q
'p
q
p
qa
pa
15
6
...,100000
40000,
25
10,
10
4,
5
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Äquivalenz von BrüchenÄquivalenz von Brüchen
Definition. Wenn die Brüche und dieselbe rationale Zahl
darstellen, schreiben wir auch
und nennen die Brüche und gleich (vorsichtiger: äquivalent).
Jede rationale Zahl wird durch unendlich viele äquivalente Brüche
dargestellt.
Es ist also zunächst gefährlich zu sagen, eine rationale Zahl “ist” ein
Bruch. Besser wäre es zu sagen, dass eine rationale Zahl eine
unendliche Menge („Äquivalenzklasse“) von Brüchen ist.
Definition. Wenn die Brüche und dieselbe rationale Zahl
darstellen, schreiben wir auch
und nennen die Brüche und gleich (vorsichtiger: äquivalent).
Jede rationale Zahl wird durch unendlich viele äquivalente Brüche
dargestellt.
Es ist also zunächst gefährlich zu sagen, eine rationale Zahl “ist” ein
Bruch. Besser wäre es zu sagen, dass eine rationale Zahl eine
unendliche Menge („Äquivalenzklasse“) von Brüchen ist.
q
p
'q
'p
q'
p'
q
p
q
p
'q
'p
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Q als Erweiterung von ZQ als Erweiterung von Z
Definition. Wir bezeichnen die Menge aller rationalen Zahlen mit Q.
Beobachtung. Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl, denn für
jedes z Z ist z = eine rationale Zahl.
Insofern ist Q eine Erweiterung von Z. Das heißt, dass Z Q gilt.
Insgesamt haben wir also N schrittweise wie folgt erweitert:
N Z Q.
Definition. Wir bezeichnen die Menge aller rationalen Zahlen mit Q.
Beobachtung. Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl, denn für
jedes z Z ist z = eine rationale Zahl.
Insofern ist Q eine Erweiterung von Z. Das heißt, dass Z Q gilt.
Insgesamt haben wir also N schrittweise wie folgt erweitert:
N Z Q.
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z
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2.2 Wie rechnet man mit rationalen Zahlen?2.2 Wie rechnet man mit rationalen Zahlen?
Wir haben die Menge der rationalen Zahlen definiert, wissen aber noch
nicht, wie man mit rationalen Zahlen rechnet.
Bei der Definition der Rechenoperationen + und soll gelten:
1. Die üblichen Gesetze: Assoziativgesetz, Kommutativgesetz,
Distributivgesetze usw.
2. Als Summe oder Produkt soll immer die gleiche rationale Zahl
herauskommen, auch wenn man mit verschiedenen äquivalenten
Brüchen startet.
Wir haben die Menge der rationalen Zahlen definiert, wissen aber noch
nicht, wie man mit rationalen Zahlen rechnet.
Bei der Definition der Rechenoperationen + und soll gelten:
1. Die üblichen Gesetze: Assoziativgesetz, Kommutativgesetz,
Distributivgesetze usw.
2. Als Summe oder Produkt soll immer die gleiche rationale Zahl
herauskommen, auch wenn man mit verschiedenen äquivalenten
Brüchen startet.
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Die ProblemstellungDie Problemstellung
Da jede rationale Zahl durch unendlich viele äquivalente Brüche dar-
gestellt werden kann, stellt sich folgendes Problem:
Ich wähle die Brüche und und berechne die Summe
Sie wählen aber statt den dazu äquivalenten Bruch und berech-
nen entsprechend die Summe
Dann muss zwar nicht der gleiche Bruch, wohl aber die gleiche
rationale Zahl herauskommen; denn das Ergebnis darf schließlich nicht
davon abhängen, wer dies ausgerechnet hat!
Entsprechendes muss beim Produkt gelten!
Da jede rationale Zahl durch unendlich viele äquivalente Brüche dar-
gestellt werden kann, stellt sich folgendes Problem:
Ich wähle die Brüche und und berechne die Summe
Sie wählen aber statt den dazu äquivalenten Bruch und berech-
nen entsprechend die Summe
Dann muss zwar nicht der gleiche Bruch, wohl aber die gleiche
rationale Zahl herauskommen; denn das Ergebnis darf schließlich nicht
davon abhängen, wer dies ausgerechnet hat!
Entsprechendes muss beim Produkt gelten!
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q
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WohldefiniertheitWohldefiniertheit
An eine sinnvolle Addition und Multiplikation stellen wir daher folgende
Anforderungen:
Seien und zwei rationale Zahlen, und sei äquivalent zu .
Dann muss gelten
+ = +
=
Entsprechend muss man auch den zweiten Bruch durch einen äquiva-
lenten ersetzen können. Wenn diese Eigenschaften gelten, nennt man
die Operationen wohldefiniert.
An eine sinnvolle Addition und Multiplikation stellen wir daher folgende
Anforderungen:
Seien und zwei rationale Zahlen, und sei äquivalent zu .
Dann muss gelten
+ = +
=
Entsprechend muss man auch den zweiten Bruch durch einen äquiva-
lenten ersetzen können. Wenn diese Eigenschaften gelten, nennt man
die Operationen wohldefiniert.
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Multiplikation rationaler ZahlenMultiplikation rationaler Zahlen
Definition. Seien und zwei rationale Zahlen. Wir definieren ihr
Produkt durch
Das bedeutet: Zwei rationale Zahlen werden multipliziert, indem man
darstellende Brüche betrachtet und Zähler mit Zähler und Nenner mit
Nenner multipliziert.
Bemerkung. Man kann sich anschaulich Produkte wie 3 4/7 klar
machen, aber 1/2 1/3 ist schwierig vorzustellen. Dafür ist die
algorithmische Berechnung einfach!
Definition. Seien und zwei rationale Zahlen. Wir definieren ihr
Produkt durch
Das bedeutet: Zwei rationale Zahlen werden multipliziert, indem man
darstellende Brüche betrachtet und Zähler mit Zähler und Nenner mit
Nenner multipliziert.
Bemerkung. Man kann sich anschaulich Produkte wie 3 4/7 klar
machen, aber 1/2 1/3 ist schwierig vorzustellen. Dafür ist die
algorithmische Berechnung einfach!
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Wohldefiniertheit der MultiplikationWohldefiniertheit der Multiplikation
2.2.1 Satz. Die Multiplikation von rationalen Zahlen ist wohldefiniert.
Beweis. Seien und zwei rationale Zahlen, und sei eine
rationale Zahl, die zu äquivalent ist. Das bedeutet p1q1' = p1'q1.
Wir müssen zeigen, dass und äquivalent sind.
2.2.1 Satz. Die Multiplikation von rationalen Zahlen ist wohldefiniert.
Beweis. Seien und zwei rationale Zahlen, und sei eine
rationale Zahl, die zu äquivalent ist. Das bedeutet p1q1' = p1'q1.
Wir müssen zeigen, dass und äquivalent sind.
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BeweisBeweis
Dies folgt so: Nach Definition der Multiplikation gilt
und
Die beiden Brüche auf den rechten Seiten sind äquivalent, denn es
gilt
(p1p2)(q1'q2) = (p1q1')(p2q2) (Kommutativität in Z)
= (p1'q1)(p2q2) (Voraussetzung)
= (p1'p2)(q1q2) (Kommutativität in Z).
Äquivalenter Bruch an der zweiten Stelle: Übung!
Dies folgt so: Nach Definition der Multiplikation gilt
und
Die beiden Brüche auf den rechten Seiten sind äquivalent, denn es
gilt
(p1p2)(q1'q2) = (p1q1')(p2q2) (Kommutativität in Z)
= (p1'q1)(p2q2) (Voraussetzung)
= (p1'p2)(q1q2) (Kommutativität in Z).
Äquivalenter Bruch an der zweiten Stelle: Übung!
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Eigenschaften der MultiplikationEigenschaften der Multiplikation
2.2.2 Satz. Die Multiplikation rationaler Zahlen erfüllt folgende
Gesetze:
(a) Assoziativgesetz.
(b) Kommutativgesetz.
(c) Existenz eines neutralen Elements, nämlich der Zahl 1.
(d) Existenz von inversen Elementen: Zu jeder rationalen Zahl r 0
gibt es eine rationale Zahl r' mit rr' = 1.
Beweis. (a) Übungsaufgabe.
(b) Seien und zwei rationale Zahlen. Zu zeigen: =
2.2.2 Satz. Die Multiplikation rationaler Zahlen erfüllt folgende
Gesetze:
(a) Assoziativgesetz.
(b) Kommutativgesetz.
(c) Existenz eines neutralen Elements, nämlich der Zahl 1.
(d) Existenz von inversen Elementen: Zu jeder rationalen Zahl r 0
gibt es eine rationale Zahl r' mit rr' = 1.
Beweis. (a) Übungsaufgabe.
(b) Seien und zwei rationale Zahlen. Zu zeigen: =
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q
p
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BeweisBeweis
Dies folgt so:
= = = .
(c) Die Zahl 1 erfüllt
(1 ist neutrales Element in Z).
(d) Sei r = p/q 0. Dann ist nicht nur q 0, sondern auch p 0.
Also ist auch q/p eine rationale Zahl, und es gilt
Also ist q/p das multiplikativ inverse Element zu p/q.
Dies folgt so:
= = = .
(c) Die Zahl 1 erfüllt
(1 ist neutrales Element in Z).
(d) Sei r = p/q 0. Dann ist nicht nur q 0, sondern auch p 0.
Also ist auch q/p eine rationale Zahl, und es gilt
Also ist q/p das multiplikativ inverse Element zu p/q.
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pq
qp
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Die Summe rationaler ZahlenDie Summe rationaler Zahlen
Die Summe rationaler Zahlen ist anschaulich völlig klar: Man addiert
zwei rationale Zahlen, indem man die entsprechenden Größen
zusammenfügt.
Die formelmäßige Berechnung bereitet jedoch Schwierigkeiten.
Definition. Seien und zwei rationale Zahlen. Wir definieren
ihre Summe durch
+ =
In Worten: Wir erweitern zunächst die beiden Brüche so, dass sie den gleichen Nenner q1q2 haben und addieren dann die Zähler.
Die Summe rationaler Zahlen ist anschaulich völlig klar: Man addiert
zwei rationale Zahlen, indem man die entsprechenden Größen
zusammenfügt.
Die formelmäßige Berechnung bereitet jedoch Schwierigkeiten.
Definition. Seien und zwei rationale Zahlen. Wir definieren
ihre Summe durch
+ =
In Worten: Wir erweitern zunächst die beiden Brüche so, dass sie den gleichen Nenner q1q2 haben und addieren dann die Zähler.
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q
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qpqp
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BeispieleBeispiele
(a) (b)
(c)
In Worten: „Gleichnamige“ Brüche werden addiert, indem man die
Zähler addiert.
Problem der Wohldefiniertheit: Das Ergebnis einer Addition darf nicht
von der Darstellung der einzelnen Summanden abhängen!
2.2.3 Satz. Die Addition rationaler Zahlen ist wohldefiniert.
Beweis: Übungsaufgabe.
(a) (b)
(c)
In Worten: „Gleichnamige“ Brüche werden addiert, indem man die
Zähler addiert.
Problem der Wohldefiniertheit: Das Ergebnis einer Addition darf nicht
von der Darstellung der einzelnen Summanden abhängen!
2.2.3 Satz. Die Addition rationaler Zahlen ist wohldefiniert.
Beweis: Übungsaufgabe.
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b
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)'aa(b
bb
'abab
b
'a
b
a
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Eigenschaften der AdditionEigenschaften der Addition
2.2.4 Satz. Die Addition rationaler Zahlen erfüllt folgende Gesetze:
(a) Assoziativgesetz,
(b) Kommutativgesetz,
(c) Existenz eines neutralen Elements, nämlich der Zahl 0,
(d) Existenz eines inversen Elements („negativen Elements“): Zu
jeder rationalen Zahl r gibt es eine rationale Zahl r' mit r + r' = 0.
Beweis. (a) Prinzipiell so wie (b), aber technisch komplizierter.
(b) Seien und rationale Zahlen. Z.z.:
2.2.4 Satz. Die Addition rationaler Zahlen erfüllt folgende Gesetze:
(a) Assoziativgesetz,
(b) Kommutativgesetz,
(c) Existenz eines neutralen Elements, nämlich der Zahl 0,
(d) Existenz eines inversen Elements („negativen Elements“): Zu
jeder rationalen Zahl r gibt es eine rationale Zahl r' mit r + r' = 0.
Beweis. (a) Prinzipiell so wie (b), aber technisch komplizierter.
(b) Seien und rationale Zahlen. Z.z.: 1
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q
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Be weisBe weis
Dies folgt so
(c) Die Zahl 0 erfüllt:
(d) Sei r = p/q eine rationale Zahl. Dann ist auch –r := –p/q eine
rationale Zahl. Es gilt:
Dies folgt so
(c) Die Zahl 0 erfüllt:
(d) Sei r = p/q eine rationale Zahl. Dann ist auch –r := –p/q eine
rationale Zahl. Es gilt:
.q
p
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qpqp
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Kommutativität in Z
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q
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q
)p(p
q
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q
p)r(r
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Seite 21
Das DistributivgesetzDas Distributivgesetz
Das Distributivgesetz verbindet die Addition mit der Multiplikation.
2.2.5 Satz. Die Addition und Multiplikation in Q erfüllen das
Distributivgesetz. Das heißt, für alle rationalen Zahlen r, s, t gilt
r(s+t) = rs + rt.
Beweis. Seien rationale Zahlen. Wir müssen
zeigen,
dass folgende Gleichung gilt:
Das Distributivgesetz verbindet die Addition mit der Multiplikation.
2.2.5 Satz. Die Addition und Multiplikation in Q erfüllen das
Distributivgesetz. Das heißt, für alle rationalen Zahlen r, s, t gilt
r(s+t) = rs + rt.
Beweis. Seien rationale Zahlen. Wir müssen
zeigen,
dass folgende Gleichung gilt:
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q
pund
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Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen
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Seite 22
Beweis des DistributivgesetzesBeweis des Distributivgesetzes
Wir beginnen mit der linken Seite:
Die rechte Seite ergibt sich als
Wir müssen zeigen, dass diese beiden Brüche äquivalent sind. Dies
folgt so:
(p1p2q3+p1p3q2)q1q2q1q3 = p1p2q3q1q2q1q3 + p1p3q2q1q2q1q3
= (p1p2q1q3 + p1p3q1q2)q1q2q3 .
Wir beginnen mit der linken Seite:
Die rechte Seite ergibt sich als
Wir müssen zeigen, dass diese beiden Brüche äquivalent sind. Dies
folgt so:
(p1p2q3+p1p3q2)q1q2q1q3 = p1p2q3q1q2q1q3 + p1p3q2q1q2q1q3
= (p1p2q1q3 + p1p3q1q2)q1q2q3 .
.qqq
qppqpp
qqq
)qpqp(p
qpqp
q
p
q
p
q
p
q
p
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231321
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23321
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p .qqqq
qqppqqpp
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Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen
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Seite 23
Der Körper der rationalen ZahlenDer Körper der rationalen Zahlen
Definition: Eine Menge K mit + und bildet einen Körper, wenn
– die beiden Operationen assoziativ und kommutativ sind,
– es ein neutrales Element 0 bzgl. der Addition und ein neutrales
Element 1 0 bezüglich der Multiplikation gibt,
– jedes Element ein additives Inverses und jedes von 0
verschiedene Element ein multiplikatives Inverses hat,
– das Distributivgesetz gilt.
Ein Körper ist eine Struktur, in der man wie gewohnt rechnen kann.
2.2.6 Satz. Die Menge Q der rationalen Zahlen bildet zusammen
mit + und einen Körper. (2.2.3, 2.2.4, 2.2.5). Man spricht auch
vom Körper der rationalen Zahlen.
Definition: Eine Menge K mit + und bildet einen Körper, wenn
– die beiden Operationen assoziativ und kommutativ sind,
– es ein neutrales Element 0 bzgl. der Addition und ein neutrales
Element 1 0 bezüglich der Multiplikation gibt,
– jedes Element ein additives Inverses und jedes von 0
verschiedene Element ein multiplikatives Inverses hat,
– das Distributivgesetz gilt.
Ein Körper ist eine Struktur, in der man wie gewohnt rechnen kann.
2.2.6 Satz. Die Menge Q der rationalen Zahlen bildet zusammen
mit + und einen Körper. (2.2.3, 2.2.4, 2.2.5). Man spricht auch
vom Körper der rationalen Zahlen.
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Seite 24
2.3 Dezimalbrüche2.3 Dezimalbrüche
Erinnerung bzw. Vorschau:
Wir berechnen Dezimalbrüche aus rationalen Zahlen, indem wir
dividieren:
3/8 = 3 : 8 = 0,375
3/7 = 3 : 7 =
Erinnerung bzw. Vorschau:
Wir berechnen Dezimalbrüche aus rationalen Zahlen, indem wir
dividieren:
3/8 = 3 : 8 = 0,375
3/7 = 3 : 7 =
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Seite 25
DezimalbrücheDezimalbrüche
Definition. Ein Dezimalbruch ist eine Folge z0, z1 z2 z3 ….
Dabei ist z0 eine natürliche Zahl (die 0 sein kann!), und z1, z2, z3,
… sind natürliche Zahlen zwischen 0 und 9 („Ziffern“). Die Folge der zi kann endlich oder unendlich sein.
Der Wert dieses Dezimalbruches (die Dezimalzahl) ist
z0 + z1/10 + z2/100 + z3/1000 + z4/104 + …
Definition. Ein Dezimalbruch ist eine Folge z0, z1 z2 z3 ….
Dabei ist z0 eine natürliche Zahl (die 0 sein kann!), und z1, z2, z3,
… sind natürliche Zahlen zwischen 0 und 9 („Ziffern“). Die Folge der zi kann endlich oder unendlich sein.
Der Wert dieses Dezimalbruches (die Dezimalzahl) ist
z0 + z1/10 + z2/100 + z3/1000 + z4/104 + …
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Seite 26
Endliche DezimalbrücheEndliche Dezimalbrüche
Ein Dezimalbruch heißt endlich, wenn die Folge seiner Ziffern
endlich ist (bzw. wenn ab einer Stelle nur noch Nullen kommen).
Klar: z0, z1 z2 z3…zk = z0 + [z110k–1 + z210k–2 +…+ zk–110 + zk] /10k.
Zum Beispiel: 3,26 = 3 + 26/100; 72,1829 = 72 + 1829/10000; …
Das bedeutet: Ein endlicher Dezimalbruch entspricht einem
gewöhnlichen Bruch, dessen Nenner (nach Kürzung) eine Zahl ist,
die nur die Primfaktoren 2 und 5 enthält.
Es gilt auch die Umkehrung:
Ein Dezimalbruch heißt endlich, wenn die Folge seiner Ziffern
endlich ist (bzw. wenn ab einer Stelle nur noch Nullen kommen).
Klar: z0, z1 z2 z3…zk = z0 + [z110k–1 + z210k–2 +…+ zk–110 + zk] /10k.
Zum Beispiel: 3,26 = 3 + 26/100; 72,1829 = 72 + 1829/10000; …
Das bedeutet: Ein endlicher Dezimalbruch entspricht einem
gewöhnlichen Bruch, dessen Nenner (nach Kürzung) eine Zahl ist,
die nur die Primfaktoren 2 und 5 enthält.
Es gilt auch die Umkehrung:
Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen
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Seite 27
Endliche Dezimalbrüche IIEndliche Dezimalbrüche II
2.3.1 Satz. Sei p/q eine vollständig gekürzte Bruchzahl. (D.h.
ggT(p, q) = 1.) Ohne Einschränkung sei p < q (d.h. die Bruchzahl ist
< 1). Dann gilt: Genau dann entspricht p/q ein endlicher
Dezimalbruch, wenn q nur Primfaktoren 2 und 5 enthält.
Beweis. Die eine Richtung wurde bereits gezeigt.
Umgekehrt sei p/q eine Bruchzahl, die < 1 istmöge q nur die
Primfaktoren 2 und 5 enthalten. Dann kann man den Bruch so zu
p‘/q‘ erweitern, dass der Nenner q‘ eine Zehnerpotenz 10k ist. Das heißt p/q = p‘/q‘ = p‘/10k. Also ist p/q = p‘/q‘ = 0, z1 z2 z3…zk , wobei
die zi die Ziffern von q‘ sind.
2.3.1 Satz. Sei p/q eine vollständig gekürzte Bruchzahl. (D.h.
ggT(p, q) = 1.) Ohne Einschränkung sei p < q (d.h. die Bruchzahl ist
< 1). Dann gilt: Genau dann entspricht p/q ein endlicher
Dezimalbruch, wenn q nur Primfaktoren 2 und 5 enthält.
Beweis. Die eine Richtung wurde bereits gezeigt.
Umgekehrt sei p/q eine Bruchzahl, die < 1 istmöge q nur die
Primfaktoren 2 und 5 enthalten. Dann kann man den Bruch so zu
p‘/q‘ erweitern, dass der Nenner q‘ eine Zehnerpotenz 10k ist. Das heißt p/q = p‘/q‘ = p‘/10k. Also ist p/q = p‘/q‘ = 0, z1 z2 z3…zk , wobei
die zi die Ziffern von q‘ sind.
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Seite 28
Periodische DezimalbrüchePeriodische Dezimalbrüche
Sei p/q eine „ausgekürzte“ Bruchzahl. Man erhält den zugehörigen
Dezimalbruch, indem man p durch q teilt. Dabei können zwei Fälle
auftreten:
1. Fall: Irgendwann entsteht als Rest bei der Division 0. Dann
entstehen ab dieser Stelle immer nur Nullen. D.h. es liegt ein
endlicher Dezimalbruch vor.
2. Fall. Alle Reste sind 0. Da die Reste < q sind, müssen sie sich
nach spätestens q–1 Schritten wiederholen. Es liegt ein
periodischer Dezimalbruch vor. Die Periodenlänge ist q– 1.
Sei p/q eine „ausgekürzte“ Bruchzahl. Man erhält den zugehörigen
Dezimalbruch, indem man p durch q teilt. Dabei können zwei Fälle
auftreten:
1. Fall: Irgendwann entsteht als Rest bei der Division 0. Dann
entstehen ab dieser Stelle immer nur Nullen. D.h. es liegt ein
endlicher Dezimalbruch vor.
2. Fall. Alle Reste sind 0. Da die Reste < q sind, müssen sie sich
nach spätestens q–1 Schritten wiederholen. Es liegt ein
periodischer Dezimalbruch vor. Die Periodenlänge ist q– 1.
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Rein periodische DezimalbrücheRein periodische Dezimalbrüche
Sei ein rein periodischer Dezimalbruch. Der zugehörige
gewöhnliche Bruch ist
Beispiele.
Sei ein rein periodischer Dezimalbruch. Der zugehörige
gewöhnliche Bruch ist
Beispiele.
k21 zzz0,
110
z10z10z10zk
k1k2k
21k
1
.3
1
9
33,0 .
99
1717,0 .
999
875875,0 .1
9
99,0
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Nicht periodische DezimalbrücheNicht periodische Dezimalbrüche
Ein nicht-endlicher, nichtperiodischer Dezimalbruch ist eine reelle
Zahl, die nicht rational ist.
Beispiele: 0,1010010001000010000010000001…
(u.ä.)
2 = 1,41421356237309504880168872420969807856967187537 …
= 3,1415926535897932384626433832795028841971693993 …
Ein nicht-endlicher, nichtperiodischer Dezimalbruch ist eine reelle
Zahl, die nicht rational ist.
Beispiele: 0,1010010001000010000010000001…
(u.ä.)
2 = 1,41421356237309504880168872420969807856967187537 …
= 3,1415926535897932384626433832795028841971693993 …
Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen
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2.4 Ordnung in den rationalen Zahlen2.4 Ordnung in den rationalen Zahlen
Ziele: 1. Einführung einer Ordnungsrelation (<): Rückführung auf <
in Z. 2. Untersuchung der Eigenschaften
Sei eine rationale Zahl. Dann kann man den Nenner positiv
wählen. (Wenn dies nicht der Fall sein sollte, erweitert man den
Bruch zum Beispiel mit –1).
Definition. Seien und zwei rationale Zahlen mit positiven
Nennern.
Wir definieren
< p1q2 < p2q1 .
Zum Beispiel ist 1/3 < 2/5, da 15 < 23 ist.
Ziele: 1. Einführung einer Ordnungsrelation (<): Rückführung auf <
in Z. 2. Untersuchung der Eigenschaften
Sei eine rationale Zahl. Dann kann man den Nenner positiv
wählen. (Wenn dies nicht der Fall sein sollte, erweitert man den
Bruch zum Beispiel mit –1).
Definition. Seien und zwei rationale Zahlen mit positiven
Nennern.
Wir definieren
< p1q2 < p2q1 .
Zum Beispiel ist 1/3 < 2/5, da 15 < 23 ist.
1
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q
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Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen
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Erste EigenschaftenErste Eigenschaften
• Die Operation < ist wohldefiniert. Das heißt: Wenn < ist,
dann erfüllt auch jeder zu äquivalente Bruch die Beziehung
< .
(Dies folgt so: Aus der <-Beziehung folgt p1q2 < p2q1 .
Da q1' > 0, gilt also auch p1q2 q1' < p2q1 q1'.
Die Äquivalenz der Brüche sagt p1 q1' = q1p1'.
Einsetzen in die Ungleichung: q1p1'q2 < p2q1 q1',
also p1'q2 < p2 q1, da q1 > 0. Das ist die Behauptung.)
• 2. Die Operation ist eine „totale Ordnung“ auf Q. D.h.: für je zwei
verschiedene rationale Zahlen r, s gilt entweder r < s oder s < r.
• Die Operation < ist wohldefiniert. Das heißt: Wenn < ist,
dann erfüllt auch jeder zu äquivalente Bruch die Beziehung
< .
(Dies folgt so: Aus der <-Beziehung folgt p1q2 < p2q1 .
Da q1' > 0, gilt also auch p1q2 q1' < p2q1 q1'.
Die Äquivalenz der Brüche sagt p1 q1' = q1p1'.
Einsetzen in die Ungleichung: q1p1'q2 < p2q1 q1',
also p1'q2 < p2 q1, da q1 > 0. Das ist die Behauptung.)
• 2. Die Operation ist eine „totale Ordnung“ auf Q. D.h.: für je zwei
verschiedene rationale Zahlen r, s gilt entweder r < s oder s < r.
1
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'q
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Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen
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Addition einer rationalen ZahlAddition einer rationalen Zahl
2.4.1 Satz. Wenn man zu beiden Seiten einer Ungleichung dieselbe
rationale Zahl addiert, bleibt die Ungleichung erhalten.
Das bedeutet: Seien und rationale Zahlen mit < ,
und sei eine beliebige rationale Zahl. Dann gilt
+ < + .
Beispiel. Aus 5/6 < 9/10 folgt durch Addition von –1/4 die
Ungleichung 7/12 < 13/20.
2.4.1 Satz. Wenn man zu beiden Seiten einer Ungleichung dieselbe
rationale Zahl addiert, bleibt die Ungleichung erhalten.
Das bedeutet: Seien und rationale Zahlen mit < ,
und sei eine beliebige rationale Zahl. Dann gilt
+ < + .
Beispiel. Aus 5/6 < 9/10 folgt durch Addition von –1/4 die
Ungleichung 7/12 < 13/20.
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BeweisvorbereitungBeweisvorbereitung
Beweis. Wir können annehmen, dass die Nenner positiv sind.
Nach Voraussetzung gilt: p1q2 < p2q1 .
Wir bringen die Brüche der Behauptung auf einen Hauptnenner:
<
Nach Definition lautet die Behauptung jetzt:
(p1q + pq1)q2q < (p2q + pq2)q1q .
Beweis. Wir können annehmen, dass die Nenner positiv sind.
Nach Voraussetzung gilt: p1q2 < p2q1 .
Wir bringen die Brüche der Behauptung auf einen Hauptnenner:
<
Nach Definition lautet die Behauptung jetzt:
(p1q + pq1)q2q < (p2q + pq2)q1q .
pqqp
1
11 qq
pqqp
2
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Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen
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Seite 35
BeweisdurchführungBeweisdurchführung
Wir formulieren dies schrittweise äquivalent um
(p1q + pq1)q2q < (p2q + pq2)q1q
p1q q2q + pq1q2q < p2q q1q + pq2q1q
p1q q2q < p2q q1q (entsprechendes Gesetz in Z)
p1q2 < p2q1 (Multiplikation mit (1/q)2 > 0) .
Dies ist die Voraussetzung des Satzes. Also ist dies eine richtige
Aussage. Somit gilt auch die Behauptung.
Wir formulieren dies schrittweise äquivalent um
(p1q + pq1)q2q < (p2q + pq2)q1q
p1q q2q + pq1q2q < p2q q1q + pq2q1q
p1q q2q < p2q q1q (entsprechendes Gesetz in Z)
p1q2 < p2q1 (Multiplikation mit (1/q)2 > 0) .
Dies ist die Voraussetzung des Satzes. Also ist dies eine richtige
Aussage. Somit gilt auch die Behauptung.
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Multiplikation mit einer positiven rationalen ZahlMultiplikation mit einer positiven rationalen Zahl
2.4.2 Satz. Wenn man eine Ungleichung mit einer beliebigen
positiven rationalen Zahl multipliziert, bleibt die Ungleichung
erhalten. Das bedeutet: Seien und rationale Zahlen
mit < , und sei eine positive rationale Zahl. Dann gilt
< .
Beispiel: Aus 1/2 < 5/9 folgt durch Multiplikation mit 3/2 die
Ungleichung 3/4 < 5/6 .
2.4.2 Satz. Wenn man eine Ungleichung mit einer beliebigen
positiven rationalen Zahl multipliziert, bleibt die Ungleichung
erhalten. Das bedeutet: Seien und rationale Zahlen
mit < , und sei eine positive rationale Zahl. Dann gilt
< .
Beispiel: Aus 1/2 < 5/9 folgt durch Multiplikation mit 3/2 die
Ungleichung 3/4 < 5/6 .
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q
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pq
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Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen
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BeweisBeweis
Beweis. Wir können annehmen, dass die Nenner positiv sind.
Dann ist auch p positiv.
Nach Voraussetzung gilt: p1q2 < p2q1 .
Wir wollen zeigen:
< ,
das heißt p1pq2q < p2pq1q
Da pq eine positive ganze Zahl ist, ist dies gleichbedeutend mit p1q2 < p2q1 .
Dies gilt aber nach Voraussetzung. Also gilt auch die Behauptung.
Beweis. Wir können annehmen, dass die Nenner positiv sind.
Dann ist auch p positiv.
Nach Voraussetzung gilt: p1q2 < p2q1 .
Wir wollen zeigen:
< ,
das heißt p1pq2q < p2pq1q
Da pq eine positive ganze Zahl ist, ist dies gleichbedeutend mit p1q2 < p2q1 .
Dies gilt aber nach Voraussetzung. Also gilt auch die Behauptung.
pp
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Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen
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Seite 38
Multiplikation mit einer negativen rationalen ZahlMultiplikation mit einer negativen rationalen Zahl
2.4.2 Satz. Wenn man eine Ungleichung mit einer beliebigen
negativen rationalen Zahl multipliziert, dreht sich die Ungleichung
um. Das bedeutet: Seien und rationale Zahlen
mit < , und sei eine negative rationale Zahl. Dann gilt
> .
Beispiel: Aus 1/2 < 5/9 folgt durch Multiplikation mit –3/4 die
Ungleichung –3/8 > –15/36 .
2.4.2 Satz. Wenn man eine Ungleichung mit einer beliebigen
negativen rationalen Zahl multipliziert, dreht sich die Ungleichung
um. Das bedeutet: Seien und rationale Zahlen
mit < , und sei eine negative rationale Zahl. Dann gilt
> .
Beispiel: Aus 1/2 < 5/9 folgt durch Multiplikation mit –3/4 die
Ungleichung –3/8 > –15/36 .
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Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen
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Seite 39
BeweisBeweis
Beweis. Wir können annehmen, dass die Nenner positiv sind.
Dann ist p negativ.
Nach Voraussetzung gilt: p1q2 < p2q1 .
Wir wollen zeigen:
> ,
das heißt p1pq2q > p2pq1q
Da pq eine negative ganze Zahl ist, ist dies gleichbedeutend mit p1q2 < p2q1 .
Dies gilt aber nach Voraussetzung. Also gilt auch die Behauptung.
Beweis. Wir können annehmen, dass die Nenner positiv sind.
Dann ist p negativ.
Nach Voraussetzung gilt: p1q2 < p2q1 .
Wir wollen zeigen:
> ,
das heißt p1pq2q > p2pq1q
Da pq eine negative ganze Zahl ist, ist dies gleichbedeutend mit p1q2 < p2q1 .
Dies gilt aber nach Voraussetzung. Also gilt auch die Behauptung.
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Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen
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2.5 Die Entdeckung der Irrationalität2.5 Die Entdeckung der Irrationalität
Die Entdeckung der Irrationalität bei den Pythagoräern (ca. 500 v.
Chr.) war ein Schock. Denn die Pythagoräer waren davon
überzeugt, dass „alles Zahl ist“, und das heißt „rationale“, und damit
im wesentlichen „ganze“ Zahl ist.
Die Pythagoräer entdeckten, dass es Zahlen gibt,
-- die unzweifelhaft existieren, da sie geometrische Größen sind,
-- von denen man aber beweisen kann, dass man sie nicht durch
einen Bruch darstellen kann.
Definition. Eine Zahl heißt irrational, wenn sie keine rationale Zahl
ist. Zwei Zahlen heißen inkommensurabel, wenn ihr Verhältnis
keine rationale Zahl ist.
Die Entdeckung der Irrationalität bei den Pythagoräern (ca. 500 v.
Chr.) war ein Schock. Denn die Pythagoräer waren davon
überzeugt, dass „alles Zahl ist“, und das heißt „rationale“, und damit
im wesentlichen „ganze“ Zahl ist.
Die Pythagoräer entdeckten, dass es Zahlen gibt,
-- die unzweifelhaft existieren, da sie geometrische Größen sind,
-- von denen man aber beweisen kann, dass man sie nicht durch
einen Bruch darstellen kann.
Definition. Eine Zahl heißt irrational, wenn sie keine rationale Zahl
ist. Zwei Zahlen heißen inkommensurabel, wenn ihr Verhältnis
keine rationale Zahl ist.
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Seite 41
Das reguläre FünfeckDas reguläre Fünfeck
Die Pythagoräer entdeckten die Irrationalität am regulären Fünfeck.
Es gilt das folgende sensationelle Ergebnis:
2.5.1 Satz. Das Verhältnis von Länge einer Diagonale zur
Seitenlänge eines regulären Fünfecks ist keine rationale Zahl.
Mit anderen Worten: Die Seitenlänge und die Diagonalenlänge eines
regulären Fünfecks sind inkommensurabel.
Bemerkung: Dieses Verhältnis ist der „goldene Schnitt“.
Die Pythagoräer entdeckten die Irrationalität am regulären Fünfeck.
Es gilt das folgende sensationelle Ergebnis:
2.5.1 Satz. Das Verhältnis von Länge einer Diagonale zur
Seitenlänge eines regulären Fünfecks ist keine rationale Zahl.
Mit anderen Worten: Die Seitenlänge und die Diagonalenlänge eines
regulären Fünfecks sind inkommensurabel.
Bemerkung: Dieses Verhältnis ist der „goldene Schnitt“.
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Seite 42
BeweisvorbereitungBeweisvorbereitung
Beweis. Wir stellen uns ein „großes“ reguläres Fünfeck vor.
Seien D und F die Längen der Diagonalen und der Fünfecksseite.
Wenn man die Diagonalen einzeichnet, ergibt sich ein „kleines“
reguläres Fünfeck mit Seitenlänge f und Diagonalenlänge d. Da
das große und das kleine reguläre Fünfeck ähnlich sind, sind
entsprechende Längenverhältnisse gleich. Daher gilt D/F = d/f.
Angenommen, das Verhältnis D/F wäre rational. Dann ist dieses
Verhältnis ein Bruch (mit positivem Zähler und Nenner).
Sei p/q (mit p > q) dieses Verhältnis als Bruch mit positivem Zähler,
so dass dieser kleinstmöglich ist. Das heißt: Es gibt keine Darstel-
lung von D/F als Bruch p‘/q‘ mit positivem p', so dass p' < p ist.
Beweis. Wir stellen uns ein „großes“ reguläres Fünfeck vor.
Seien D und F die Längen der Diagonalen und der Fünfecksseite.
Wenn man die Diagonalen einzeichnet, ergibt sich ein „kleines“
reguläres Fünfeck mit Seitenlänge f und Diagonalenlänge d. Da
das große und das kleine reguläre Fünfeck ähnlich sind, sind
entsprechende Längenverhältnisse gleich. Daher gilt D/F = d/f.
Angenommen, das Verhältnis D/F wäre rational. Dann ist dieses
Verhältnis ein Bruch (mit positivem Zähler und Nenner).
Sei p/q (mit p > q) dieses Verhältnis als Bruch mit positivem Zähler,
so dass dieser kleinstmöglich ist. Das heißt: Es gibt keine Darstel-
lung von D/F als Bruch p‘/q‘ mit positivem p', so dass p' < p ist.
Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen
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Seite 43
Der BeweisDer Beweis
Wir zeigen, dass es doch ein solches p' gibt.
Aus der Zeichnung erkennen wir: D = 2d+f und F = d+f.
Sei g = ggT(2d+f, d+f). Damit folgt aus (2d+f)/(d+f) = D/F = p/q,
dass 2d+f = pg und d+f = qg ist. Es folgt
d = (2d+f) – (d+f) = pg – qg = (p–q)g und f = qg – d = (2q–p)g .
Daraus folgt d/f = (p–q)g/(2q–p)g = (p–q)/(2q–p).
Dies ist eine Darstellung von d/f (= D/F) als Bruch mit positivem
Zähler, der kleiner als p ist: Widerspruch.
Also ist D/F tatsächlich keine rationale Zahl.
Wir zeigen, dass es doch ein solches p' gibt.
Aus der Zeichnung erkennen wir: D = 2d+f und F = d+f.
Sei g = ggT(2d+f, d+f). Damit folgt aus (2d+f)/(d+f) = D/F = p/q,
dass 2d+f = pg und d+f = qg ist. Es folgt
d = (2d+f) – (d+f) = pg – qg = (p–q)g und f = qg – d = (2q–p)g .
Daraus folgt d/f = (p–q)g/(2q–p)g = (p–q)/(2q–p).
Dies ist eine Darstellung von d/f (= D/F) als Bruch mit positivem
Zähler, der kleiner als p ist: Widerspruch.
Also ist D/F tatsächlich keine rationale Zahl.
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Seite 44
22
Der berühmteste Irrationalitätsbeweis ist der für 2.
2.5.2 Satz. Die Zahl 2 ist keine rationale Zahl.
Beweis. Angenommen, 2 wäre rational. Dann gäbe es ganze
Zahlen p und q mit q 0, so dass gilt 2 = p/q.
Wir können p und q so wählen, dass sie teilerfremd sind, also ggT
1 haben. Insbesondere sind nicht beide Zahlen p und q gerade.
Wir quadrieren obige Gleichung und multiplizieren dann mit q2:
2 = p2/q2 , also 2 q2 = p2.
Dies ist die Schlüsselgleichung. Diese müssen wir betrachten!
Der berühmteste Irrationalitätsbeweis ist der für 2.
2.5.2 Satz. Die Zahl 2 ist keine rationale Zahl.
Beweis. Angenommen, 2 wäre rational. Dann gäbe es ganze
Zahlen p und q mit q 0, so dass gilt 2 = p/q.
Wir können p und q so wählen, dass sie teilerfremd sind, also ggT
1 haben. Insbesondere sind nicht beide Zahlen p und q gerade.
Wir quadrieren obige Gleichung und multiplizieren dann mit q2:
2 = p2/q2 , also 2 q2 = p2.
Dies ist die Schlüsselgleichung. Diese müssen wir betrachten!
Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen
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Seite 45
Der BeweisDer Beweis
Die linke Seite ist ein Vielfaches von 2, also eine gerade Zahl.
Also muss auch die rechte Seite eine gerade Zahl sein.
Daher ist p2 gerade, also muss auch p gerade sein (Eindeutigkeit
der Primfaktorzerlegung).
Dann ist p2 sogar durch 4 teilbar.
Da die rechte Seite durch 4 teilbar ist, muss auch die linke Seite
(also 2q2) durch 4 teilbar sein. Also ist q2 durch 2 teilbar, und
daraus folgt, dass auch q durch 2 teilbar ist.
Somit sind p und q beide durch 2 teilbar: Widerspruch zur Wahl
dieser Zahlen! Also ist 2 tatsächlich eine irrationale Zahl.
Die linke Seite ist ein Vielfaches von 2, also eine gerade Zahl.
Also muss auch die rechte Seite eine gerade Zahl sein.
Daher ist p2 gerade, also muss auch p gerade sein (Eindeutigkeit
der Primfaktorzerlegung).
Dann ist p2 sogar durch 4 teilbar.
Da die rechte Seite durch 4 teilbar ist, muss auch die linke Seite
(also 2q2) durch 4 teilbar sein. Also ist q2 durch 2 teilbar, und
daraus folgt, dass auch q durch 2 teilbar ist.
Somit sind p und q beide durch 2 teilbar: Widerspruch zur Wahl
dieser Zahlen! Also ist 2 tatsächlich eine irrationale Zahl.
Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen
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Seite 46
2.6 Wie viele rationale Zahlen gibt es?2.6 Wie viele rationale Zahlen gibt es?
Wir wissen: Z und N sind gleichmächtig, d.h. Z ist „abzählbar.
Frage: Ist Q abzählbar?
Klar: N ist eine echte Teilmenge von Q. Also ist die Menge der
rationalen Zahlen viel „größer“ als die Menge der natürlichen Zahlen.
Wir werden beweisen, dass Q und N gleichmächtig sind, also
„gleich viele Elemente“ enthalten.
Achtung! Bei unendlichen Mengen sind Dinge möglich, die wir
zunächst nicht für möglich halten.
2.6.1 Satz. Die Menge Q der rationalen Zahlen ist abzählbar.
Wir wissen: Z und N sind gleichmächtig, d.h. Z ist „abzählbar.
Frage: Ist Q abzählbar?
Klar: N ist eine echte Teilmenge von Q. Also ist die Menge der
rationalen Zahlen viel „größer“ als die Menge der natürlichen Zahlen.
Wir werden beweisen, dass Q und N gleichmächtig sind, also
„gleich viele Elemente“ enthalten.
Achtung! Bei unendlichen Mengen sind Dinge möglich, die wir
zunächst nicht für möglich halten.
2.6.1 Satz. Die Menge Q der rationalen Zahlen ist abzählbar.
Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen
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Seite 47
BeweisstrategieBeweisstrategie
Beweis. Z. z.: Man kann die rationalen Zahlen durchnummerieren:
rationale Zahl Nr. 1,
rationale Zahl Nr. 2,
rationale Zahl Nr. 3, ...
Dabei muss jede rationale Zahl genau einmal vorkommen.
Der Beweis hat zwei Teile.
1. Teil (trickreich): Man kann die positiven rationalen Zahlen
durchnummerieren.
2. Teil (einfach): Man kann die Menge aller rationalen Zahlen
durchnummerieren.
Beweis. Z. z.: Man kann die rationalen Zahlen durchnummerieren:
rationale Zahl Nr. 1,
rationale Zahl Nr. 2,
rationale Zahl Nr. 3, ...
Dabei muss jede rationale Zahl genau einmal vorkommen.
Der Beweis hat zwei Teile.
1. Teil (trickreich): Man kann die positiven rationalen Zahlen
durchnummerieren.
2. Teil (einfach): Man kann die Menge aller rationalen Zahlen
durchnummerieren.
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Seite 48
Beweis: 1. TeilBeweis: 1. Teil
Die positiven rationalen Zahlen werden so angeordnet, dass in jeder
Zeile die Zahlen stehen, bei denen die Summe aus Zähler und
Nenner konstant ist. Jede rationale Zahl wird nur einmal erfasst.
1/1 (Zähler + Nenner = 2)
1/2 2/1 (Zähler + Nenner = 3)
1/3 3/1 (Zähler + Nenner = 4)
1/4 2/3 3/2 4/1 (Zähler + Nenner = 5)
1/5 5/1 (Zähler + Nenner = 6)
1/6 2/5 3/4 4/3 5/2 6/1 (Zähler + Nenner = 7)
1/7 3/5 5/3 7/1 (Zähler + Nenner = 8)
... (Zähler + Nenner = ...)
Die positiven rationalen Zahlen werden so angeordnet, dass in jeder
Zeile die Zahlen stehen, bei denen die Summe aus Zähler und
Nenner konstant ist. Jede rationale Zahl wird nur einmal erfasst.
1/1 (Zähler + Nenner = 2)
1/2 2/1 (Zähler + Nenner = 3)
1/3 3/1 (Zähler + Nenner = 4)
1/4 2/3 3/2 4/1 (Zähler + Nenner = 5)
1/5 5/1 (Zähler + Nenner = 6)
1/6 2/5 3/4 4/3 5/2 6/1 (Zähler + Nenner = 7)
1/7 3/5 5/3 7/1 (Zähler + Nenner = 8)
... (Zähler + Nenner = ...)
Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen
© BeutelspacherApril 2005
Seite 49
Beweis: 1. Teil, AbschlussBeweis: 1. Teil, Abschluss
Klar: Jede positive rationale Zahl kommt in irgend einer Zeile vor.
Denn die Summe aus Zähler und Nenner ist irgendeine natürliche
Zahl, und in der entsprechenden Zeile kommt diese Zahl vor.
Damit ergibt sich eine Nummerierung der rationalen Zahlen:
Zuerst kommen die Zahlen in der ersten Zeile, dann die in der
zweiten Zeile, dann die in der dritten usw.
Klar: Jede positive rationale Zahl kommt in irgend einer Zeile vor.
Denn die Summe aus Zähler und Nenner ist irgendeine natürliche
Zahl, und in der entsprechenden Zeile kommt diese Zahl vor.
Damit ergibt sich eine Nummerierung der rationalen Zahlen:
Zuerst kommen die Zahlen in der ersten Zeile, dann die in der
zweiten Zeile, dann die in der dritten usw.
Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen
© BeutelspacherApril 2005
Seite 50
Beweis: 2. TeilBeweis: 2. Teil
Zu zeigen: Die Menge aller rationalen Zahlen ist abzählbar.
Dies folgt nun einfach: Nach dem ersten Teil gibt es eine Nummerierung r1, r2, r3, ... der positiven reellen Zahlen.
Daraus erhalten wir auf folgende Weise eine Nummerierung aller
rationalen Zahlen:
0, r1, –r1, r2, –r2, r3, –r3, ...
In dieser Folge kommt jede rationale Zahl genau einmal vor: Die Null zuerst, jede positive rationale Zahl als ri und jede negative rationale
Zahl als –ri.
Also ist die Menge der rationalen Zahlen abzählbar!
Zu zeigen: Die Menge aller rationalen Zahlen ist abzählbar.
Dies folgt nun einfach: Nach dem ersten Teil gibt es eine Nummerierung r1, r2, r3, ... der positiven reellen Zahlen.
Daraus erhalten wir auf folgende Weise eine Nummerierung aller
rationalen Zahlen:
0, r1, –r1, r2, –r2, r3, –r3, ...
In dieser Folge kommt jede rationale Zahl genau einmal vor: Die Null zuerst, jede positive rationale Zahl als ri und jede negative rationale
Zahl als –ri.
Also ist die Menge der rationalen Zahlen abzählbar!
Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen
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Seite 51
Wie viele irrationale Zahlen gibt es?Wie viele irrationale Zahlen gibt es?
Wir werden später zeigen, dass die Menge R der reellen Zahlen
überabzählbar ist.
Daraus folgt dann, dass auch die Menge der irrationalen Zahlen
(d.h. die reellen Zahlen, die keine rationalen Zahlen sind)
auch überabzählbar ist.
Also ist „fast jede“ reelle Zahl eine irrationale Zahl!
Wir werden später zeigen, dass die Menge R der reellen Zahlen
überabzählbar ist.
Daraus folgt dann, dass auch die Menge der irrationalen Zahlen
(d.h. die reellen Zahlen, die keine rationalen Zahlen sind)
auch überabzählbar ist.
Also ist „fast jede“ reelle Zahl eine irrationale Zahl!