Kapitel 5 Rotation

5. Rotationsbewegung

5.1 Translation - Rotation

Kapitel 5 Rotation

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5. Rotationsbewegung5.1 Translation – Rotation

Eine Rotationsbewegung liegt vor, wenn sich ein starrer Körper relativ zu einem Inertialsystem um einen festen Punkt dreht.

Im Folgenden wollen wir eine feste Drehachse annehmen.

Beispiele: Schaukel, Karussell, Drehstuhl, ...

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Der Drehwinkel (Winkelweg)

b

Die Punkte des starren Körpers umlaufen die Achse umso schneller, je weiter sie von der Achse entfernt sind.

Drehwinkel: rb

Einheit: rad11m1m1

rb

Radiant ist dimensionslos.

In der Physik wird fast ausschließlich mit dem Bogenmaß gearbeitet.

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Eine volle Umdrehung (360°) entspricht 2 π.

Umrechnung Gradmaß Bogenmaß:

Wiederhole die Formel zur Berechnung der Bogenlänge!180

rb

180

Daraus folgt: φ ... Winkel im Bogenmaß

α … Winkel im Gradmaß

Gradmaß 0 30° 45° 57° 90° 180° 360°

Bogenmaß 0 1 π 2π6

4

2

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Führe Aufgabe A 2 S. 77 (Basiswissen 5RG) aus!

Sekundenzeiger: dreht sich in 1/2 h 30 mal. s = 30*15*2π = 900 π mm

Minutenzeiger: min = 14* π mm

Stundenzeiger: h = 12 * π /12 = mm

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Winkelgeschwindigkeitsvektor

5.2 Winkelgeschwindigkeit, Winkelbe-schleunigung, Bahngeschwindigkeit 5.2.1 Winkelgeschwindigkeit

Winkelgeschwindigkeit = Zeitbenötigte

Drehwinkelnerdurchlaufe

t

Einheit: s

rad1

Die Winkelgeschwindigkeit ist ein Vektor in Richtung der Drehachse. Seine Richtung wird mit Hilfe der Korkenzieherregel (Rechtsschraubenregel) bestimmt.

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Für eine gleichförmige Drehung gilt: ω = const.

Für viele Anwendungen ist die Zeitdauer für eine Umdrehung wichtig.

Periodendauer: T ( = Zeit für einen Umlauf)

Umdrehungszahl: f ( = Frequenz)

T1f f2

T2

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5.2.2 Winkelbeschleunigung – ungleichförmige Rotation

Wird eine Rotation schneller oder langsamer, ändert sich die Winkelgeschwindigkeit.Dies geben wir durch die Winkelbeschleunigung an.

Winkelbeschleunigung = Zeit

keiteschwindiglgWinkederÄnderung

t

Einheit: 2srad1

Die Winkelbeschleunigung ist ebenso ein Vektor in Richtung der Drehachse.

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5.2.3 Die Bahngeschwindigkeit

vr

tsv

T

r2 r

rv = x

rv

Die Geschwindigkeit ist ein Vektor.Vektorielles Produkt:

Beispiel: Berechne die Bahngeschwindigkeit der Erde am Äquator!

vms

kmh

286160

6 37 10 464 16726,

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Winkelgeschwindigkeitsvektor

Bahngeschwindigkeitsvektor

vr

rv = x

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Kreuzprodukt

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Schlag

1 2

r/2

r

Versuch:

Mit der Faust wird auf das Brett geschlagen. Dadurch werden die beiden Körper in die Höhe geschleudert.Um wie viel springt K2 höher?

Vermutung: wegen v = r → doppelt so hoch.

Richtig: Wegen der kinetischen Energie 4 mal so hoch.

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5.3 Die Zentripetalkraft

Versuch: Eine Gruppe von SchülerInnen stellt sich im Kreis auf und versucht ein Spielzeugauto auf einer Kreisbahn zu halten.

Was ist dazu notwendig?

Die Zentripetalkraft ist jene Kraft, die nötig ist, einen Körper auf einer Kreisbahn zu halten.

Sie ist zum Zentrum hin gerichtet.

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Kapitel 5 Rotation

Kapitel 5 Rotation

Kapitel 5 Rotation

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v

v

r

rtv

rs

vv

Zentripetalbeschleunigung

s

z

2

ar

vtv

rr

va 22

z

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Die Zentripetalkraft ergibt sich somit zu:

rmrvmamF 2

2

zZp

Führe Rechenbeispiel A1 S. 81 (Basiswissen 5RG) aus!

Ein Auto fährt durch eine Kurve, deren kleinster Krümmungsradius r = 15 m beträgt. Welche Zentripetalbeschleunigung muss auf das Auto wirken, wenn die Kurve mit 30, 60 und 120 km/h durchfahren werden soll? Welche Werte sind realistisch? Wird die Zentripetalbeschleunigung doppelt so groß, wenn die Geschwindigkeit auf das Doppelte erhöht wird?

22

22

z sm63,4

156,330

rva

1) 30 km/h

2) 60 km/h

3) 120 km/h

22

2

z sm52,18

156,360a

22

2

z sm07,74

156,3120a

Nicht realistisch

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Straßenverkehr

Ob eine Kurve noch durchfahren werden kann, kommt auf die Straßenverhältnisse, auf die Enge der Kurve (Kurvenradius) und auf die Geschwindigkeit des Fahrzeuges an. Dabei ist zu beachten, dass die Zentripetalkraft mit dem Quadrat der Geschwindigkeit wächst („Fahre v-denke v2")!

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rmvF

2

v=const.

Indirekt proportional zu r

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F=m2r

=const.

Direkt proportional zu r

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rmvF

2 F=m2r

Auto in der Kurve

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5.4 Die Zentrifugalkraft

Ein Körper wird auf einer sich gleichmäßig rotierenden Scheibe von einer Federwaage festgehalten. Die Federwaage zeigt eine Kraft an.

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Erklärung:

1. Beobachter im Inertialsystem (außerhalb der Scheibe): Der Körper ist relativ zur Scheibe in Ruhe, relativ zum Inertialsystem auf einer Kreisbahn mit der Geschwindigkeit v = ωr. Dazu ist die Zentripetalkraft notwendig. Sie wird von der Feder aufgebracht.

rmF 2Zp

2. Beobachter auf der rotierenden Scheibe (kein Inertialsystem): Die Kugel ist trotz der wirkenden Federkraft in Ruhe. Es muss eine Kraft angreifen, die der Federkraft das Gleichgewicht hält. Sie ist nach außen gerichtet.

rmrvmF 2

2

Z

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ruhend

rotierend

Zentripetalkraft

Zentrifugalkraft

Die Zentripetalkraft bewirkt die Kurvenfahrt.

Die Zentrifugalkraft drängt mich nach außen.

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Die Zentrifugalkraft ist eine Trägheitskraft, die nur in rotierenden Systemen auftritt.

Trägheitskräfte werden eingeführt, um die Newtonsche Mechanik auch auf Nicht‑Inertialsysteme anwenden zu können.

Beachte: Die Zentrifugalkraft ist nicht die Gegenkraft zur Zentripetralkraft.

Beispiele zur Zentrifugalkraft:Zentrifuge, WäscheschleuderFliehkraftregeler (z. B. in Dampfmaschinen, Kupplungen, ...)Abplattung der Erde (Modell zeigen)

Versuch: Prinzip der Flex (Winkelschleifer)Pappscheibe in Bohrmaschine einspannen und in schnelle Rotation versetzen. → Sie ist in der Lage Holz zu durchtrennen Erklärung: Durch die Zentrifugalkraft streben alle Teilchen nach außen. Dadurch erfährt die Scheibe eine große Verbiegungsfestigkeit.

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FliehkraftreglerFliehkraftregler

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Geoida=6378km, b=6357km

Geoid mit überhöhten Abweichungen.Schwarze Linie = Greenwich-Meridian

Geoid

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Fliehkraftversuche

m12r1 = m22r2

m1r1 = m2r2

m1 : m2 = r2 : r1

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EndeEnde

Kugelschwebe

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Übungsaufgaben zu RotationRotation: Zentrifugalkraft1. In zukünftigen Weltraumstationen will man das irdische Schwerefeld simulieren. Aus diesem Grund plant man, den Stationen die Form von riesigen, hohlen Rädern zu geben. Die Wohnräume sollen sich am Außenrand des Rades (Radius r=100m ) befinden.a) Mit welcher Winkelgeschwindigkeit muss das Rad umlaufen, um außen das irdische Schwerefeld (g=10ms-2) vorzutäuschen? /(0,3s-1)b) Wie lange benötigt die Station für eine Drehung? (21s)c) Welche Geschwindigkeit (aufgrund der Rotation) hat jeder Körper in den Wohnräumen? (32ms-1)2. Beim Schispringen wird der Athlet (m=80kg) durch die Krümmung vor dem Schanzentisch in die Anlaufspur gedrückt.a) Berechne diese zusätzliche Kraft: Die Krümmung ist kreisförmig mit einem Krümmungsradius von 70m, die Geschwindigkeit des Springers ist 90km/h. (710N)b) Laut internationaler Regel darf die zusätzliche Beschleunigung durch Krümmungen die Erdbeschleunigung g nicht überschreiten. Wie groß muß der Krümmungsradius zwischen Aufsprung und Auslauf mindestens sein, um diese Forderung zu erfüllen, wenn der Springer eine Maximalgeschwindigkeit von 105km/h erreichen kann? (87m)

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5.5 Rotationsenergie - TrägheitsmomentDie Translationsenergie beträgt:

2mvE

2

K

m1m2

m3m4

r1

r4

r2

r3Die Massenpunkte haben jeweils andere , ...

4321 m,m,m,m4321 v,v,v,v

2rm

2vmE

2211

211

1K

2rm

2vmE

2222

222

2K

2rm

2vmE

22nn

2nn

nK

……….

Weil n21 ...

2rm...

2rm

2rmE

22nn

2222

2211

rot

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2rm...

2rm

2rmE

22nn

2222

2211

rot

22nn

222

211rot )

omentTrägheitsm...Irm...rmrm(

21E

2IE

2

rot

Rotationsenergie

m1m2

m3m4

r1

r4

r2

r3

Das Trägheitsmoment hängt von der Masse des Körpers und vom Abstand der Masse vom Drehzentrum ab.Das Trägheitsmoment spielt bei der Rotationsbewegung dieselbe Rolle wie die Masse bei der Translationsbewegung.Das Trägheitsmoment ist für unregelmäßige Körper schwierig zu bestimmen. Für regelmäßige Körper gibt es Berechnungsformeln (mit Integralrechnung 8. Klasse)

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Vollzylinder (mit Drehachse = Körperachse): 2

mrI2

5mr2I

2

Kugel:

Versuch:Ein Hohl- und ein Vollzylinder mit gleicher Masse rollen eine schiefe Ebene hinunter. Welcher der beiden ist zuerst unten?

Ergebnis: Der Vollzylinder.

Ansatz: 2I

2mvmgh

22

Hohlzylinder: 2

22222

mvrv2

mr2

mv2

I2

mvmgh

ghv

Vollzylinder: 2

22222

mv43

rv22mr

2mv

2I

2mvmgh

3gh4v Im Hohlzylinder steckt

mehr Rotationsenergie.

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Beispiele, wo sich das Trägheitsmoment auswirkt:

Schwungräder (bei Dampfmaschine, Automotoren, ...)

Autoreifen auswuchten (Schwerpunkt muss in der Drehachse liegen, sonst unruhiger Lauf).

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5.6 Der Drehimpuls Analog zum Impuls bei der Translation wollen wir den Drehimpuls festlegen.

Translation: Impuls p = mv

Rotation: Drehimpuls:

5.6.1 Der Drehimpulssatz im abgeschlossenen SystemTranslation: nn2211 vm...vmvmP

= konstant

Rotation: Gesamtdrehimpuls: ttankonsI...IIL nn2211

Im abgeschlossenen System bleibt der Drehimpuls erhalten.

Anhand von Versuchen soll der Drehimpulssatz überprüft werden.

L

IL

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L = I ·

Drehimpulsvektor

L

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Drehschemelversuch

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Versuch 1:

Nun zieht die VP die Gewichte ganz nahe an sich.

→ VP rotiert schneller.

Versuchsperson sitzt auf Drehschemel und bekommt in beide Hände ein Gewicht. Die Versuchsperson wird bei gestreckten Armen (Gewichte außen) in Rotation versetzt.

Mit gestreckten Armen: ttankonsIL 11

Mit angezogenen Armen: ttankonsIL 22

aus 1212 II

Man könnte auch mit Kräften argumentieren: Durch das Hereinziehen tritt eine zusätzliche Kraft auf (Kräftezerlegung), die eine Erhöhung der Winkelgeschwindigkeit bewirkt.

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Versuch 2:

Die Versuchsperson sitzt auf dem Drehschemel und hält ein Rad mit Drehachse parallel zur Schemelachse. Beide sind in Ruhe.

Gesamtdrehimpuls: 0L

Die VP beginnt das Rad von oben gesehen gegen den Uhrzeigersinn zu drehen.

Die VP mit dem Schemel dreht sich im Uhrzeigersinn.

2121 LL0LLL

Bremst die VP das Rad wieder ab, kommen VP und Rad zur Ruhe.

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Versuch 3

Die Versuchsperson sitzt auf dem Drehschemel in Ruhe. Sie bekommt ein rotierendes Rad mit Drehachse parallel zur Schemelachse.

Gesamtdrehimpuls: RLL

Die VP mit dem Schemel dreht sich nicht.

Nun bremst die Versuchsperson ab.

R11 LLabgebremstRad

0LL

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Zusatzversuch: VP bekommt wieder das rotierende Rad.Gesamtdrehimpuls: RLL

Nun dreht die VP die Achse des rotierenden Rades um 180°.

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Gesamtdrehimpuls am Beginn: RLL

Gesamtdrehimpuls nach Drehen der Radachse um 180°:

gedreht

LLL R1

RR1 LLL

R1 L2L

Die Versuchsperson dreht sich in die ursprüngliche Richtung des Rades (vor Drehen) aber mit höherer Geschwindigkeit als im Abbremsversuch.

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In einem abgeschlossenen System bleibt der Gesamtdrehimpuls nach Betrag und Richtung konstant.

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5.6.2 Das Drehmoment

5.6.2.1 Gleichgewichtsbedingung

Der Hebel

F1

F2

b1b2r1

r2 r

F┴

Wir heben die Last F1. Dazu üben wir eine Kraft F2 längs b2 aus.Arbeit: W1 = W2

F1 b1 = F2 b2

2211 rFrF

Hebelgesetz: 2211 rFrF

Kraft x Kraftarm = Last x Lastarm

Gleichgewichtsbedingung am Hebel: Wenn die Summe der Drehmomente 0 ist.

Das Produkt r·F wird als Drehmoment bezeichnet.

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Wir haben vorausgesetzt. r

┴ F

Es kommt aber auch auf den Winkel zwischen r und F an.

Die Einheit des Drehmoments ist 1 Nm.

Definition des Drehmoments als Vektor:

FrM

M ist ein Vektor in Richtung der Drehachse (Rechtsschraubenregel)

vektorielles Produkt

M = 0 wenn r║ FM = max wenn r ┴ F

Ein Drehmoment bewirkt eine Beschleunigung oder Verzögerung einer Drehbewegung.

r

F

r0

M

. ))F,r(sin(FrM

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5.6.3 Bewegungsgleichung für die Rotation

Analog zu F = m·asetzen wir:

M = I·α wobei: M .... Drehmoment;

I ... Trägheitsmoment;

α... Winkelbeschleunigung

Ursache für eine beschleunigte Rotationsbewegung ist ein Drehmoment.

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tLMtML

5.6.4 Drehimpulssatz im nicht abgeschlossenen System

M

FL

L

Versuch: Rad einseitig aufhängen und in Rotation versetzen.

Ergebnis: Durch das zusätzliche Drehmoment wird der Drehimpuls verändert.

neuL

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Die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist gleich dem gesamten von außen angreifenden Drehmoment.

MtL

Der Drehimpulsvektor sucht sich zum angreifenden Drehmoment gleichsinnig parallel einzustellen.Regel vom gleichsinnigen Parallelismus.

Die Achse kippt also nicht, sondern weicht senkrecht dazu aus.

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F

M L1

LL

r

Kippt man das Fahrrad nach links, entsteht ein Drehmoment, welches eine Richtungsänderung der Radachse nach links hervorruft.

M

ΔL

L

L1

F

Beispiel: Kurve mit dem Fahrrad fahren.

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Präzession der Erde

L

FZ

FG

FR

M

Sonne

Auf der sonnenzuge-wandten Seite ist die Gravitationskraft größer, auf der abgewandten Seite die Zentrifugalkraft.Die resultierenden Kräfte rufen ein Drehmoment hervor. Erde kippt nicht, sondern weicht senkrecht dazu aus. Präzessionskegel.

Diese Präzession dauert 26000 Jahre und hat zur Folge, dass in 13000 Jahren die Wega im Norden steht und nicht mehr der Polarstern.

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5.7 Analogien Translation-Rotation

Erstelle eine Tabelle ähnlich wie im Buch auf Seite 93!Füge zusätzlich noch die Einheiten dazu!

Größe Formel Einheit Größe Formel EinheitWeg m Winkelweg rad

Geschwindigkeit

Winkel-geschwin-digkeit s

radsm

tsv

t

Translation Rotation

s

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Translation

Zeit

Weg

Geschwindigkeit

Beschleunigung

Masse

Impuls

Impulssatz n.abg.S.

Kinetische Energie

Bewegungsgleichung

t

tva

t

tsv

t tZeit

m

Drehwinkel

Winkelgeschwindigkeit

Drehimpuls

Trägheitsmoment

Winkelbeschleunigung

Rotationsenergie

Drehimpulss.n.abg.S.

Bewegungsgleichung

I=m·r2

Rotation

vmp

IL

tFp

tML

amF

IMEndeEnde

221

kin vmE 221

rot IE

s

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Frisbee

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Kreiselachse einseitig aufgehängt

schräggestellter Kreisel

F=m·g

M

L