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Kapitel 9Fuzzy-Regelung
29. Juni 2005
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Plan
I Klarung der prinzipiellen Unterschiede zwischen derklassischen Regelungstechnik, und der Fuzzy-Regelung,
I Vorstellen von zwei intuitiv motivierte Methoden derFuzzy-Regelung,
I einzelnen Schritte des Entwurfs und Probleme, die bei Entwurfund Optimierung eines Fuzzy-Reglers auftreten konnen,
I Entwicklung eines Fuzzy-Reglers, dem eine saubere Semantikauf der Basis von Gleichheitsrelationen zugrundeliegt. Es stelltsich heraus, daß dadurch einer der intuitiv motiviertenFuzzy-Regler auf einer formalen Basis hergeleitet werden kann.
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Allgemeiner Ansatz
I Methoden der Fuzzy-Regelung werden anhand eines sehrvereinfachten Modells einer Regelstrecke vorgestellt,
I Fuzzy-Regelung wird als Moglichkeit aufgefaßt, nichtlineareKennfeldregler zu definieren, wobei die nichtlineareUbertragungsfunktion definiert werden kann, ohne jedeneinzelnen Wert des Kennfeldes angeben zu mussen,
I Entwicklung entspricht einer Art wissenbasierter Interpolation.
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Modell eines regelungstechnischen Problems
I gegeben: technisches System (z.B. Motor, Klimaanlage)
I wir schreiben ein gewunschtes Verhalten vor (z.B. bestimmteDrehzahl, Raumtemperatur)
I Ausgangsgroße: eine Große, die sich im Laufe der Zeitverandern kann, die auf einen vorgegebenen Sollwerteingestellt werden soll (Drehzahl, Raumtemperatur),
I Ausgangsgroße wird durch eine Stellgroße, die wir regulierenkonnen, beeinflußt ( Stromzufuhr, Gaspedal, Große derOffnung des Thermostatventils),
I Storgroßen, die ebenfalls einen Einfluß auf die Ausgangsgroßeausuben und sich im Zeitverlauf andern konnen (Beladung,Außentemperatur, Sonneneinstrahlung durch ein Fenster).
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Meßwerte
I der aktuelle Stellwert wird auf der Basis der aktuellenMeßwerte fur die Ausgangsgroße ξ und fur die Anderung derAusgangsgroße M ξ = dξ
dt bestimmt,
I Wird die Ausgangsgroße in diskreten Zeittakten gemessen,setzt man M ξtn+1 = ξtn+1 − ξtn , so daß M ξ nicht zusatzlichgemessen werden muß.
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Stabbalance-Problem
F
g
M
m
θ
F Kraft
M punktformige Masse
m punktformige Masse
g Erdbeschleunigung
θ Neigungswinkel
1
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Meßgroßen und Stellgroße
Meßgroßen Winkel θ und Winkelgeschwindigkeit θ = dθdt ,
Ausgangsgroße Winkel relativ zur vertikalen Achse,
Stellgroße Kraft F .
Eine negative Winkelgeschwindigkeit entspricht einer Bewegungdes Stabes im Uhrzeigersinn.
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Bezeichnungen
I i.A. wird nicht nur ξ und ξ gemessen, sondern auch hohereAbleitungen von ξ oder weitere Großen,
I aktuelle Stellgroße darf als weitere Meßgroße verwendetwerden,
I Meßgroßen bzw. Eingabegroßen ξ1, . . . , ξn mit Werten aus Xi
und eine”Stellgroße“ η mit Werten aus Y
I Losung der regelungstechnischen Aufgabe: Bestimmung einergeeigneten Kontrollfunktion
ϕ : X1 × . . .× Xn → Y mit: (x1, . . . , xn) 7→ y
x1, . . . , xn– Meßwerte, y– Stellwert
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Fortsetzung– Stabbalance-Problem
X1 = [−90, 90] fur den Winkel (in Grad),X2 = [−45, 45] fur die Winkelgeschwindigkeit (in Grad proSekunde)Y = [−10, 10] fur die Kraft (in Newton)
I klassisch wird ϕ oft als Losung von Differentialgleichungenermittelt,
(M+m)sin2θ·l ·θ+m·l ·sinθ·cosθ·θ2−(m+M)·g ·sinθ = −F ·cosθ
F (t) muß so bestimmt werden, daß limt→∞{θ(t)} = 0 und θgeeigneten Verlauf hat.
I dazu muß die Gleichung ein gutes Modell der Realitat sein,d.h. man braucht physikalische Kenntnisse uber den Prozeß!
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Alternative
I ein Mensch kann Fahrrad fahren, ohne uberhaupt zu wissen,was Differentialgleichungen sind,
I bei der klassischen regelungstechnischen Methode wird derProzeß modelliert,
I stattdessen soll das Verhalten eines Menschen, der diesenProzeß regeln kann, zu modelliert und zu simuliert werden.
I Das Aufstellen eines Modells fur das Verhalten einesmenschlichen
”Regelungsexperten “heißt kognitive Analyse
I der Experte formuliert sein Wissen in Form von linguistischenRegeln.
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Fuzzy IF-THEN-Regeln
Wenn θ ungefahr Null und θ ebenfalls ungefahr Null ist,dann muß auch F ungefahr Null sein.
I Pramisse beschreibt eine Situation in Form einer (unscharfen)Spezifikation der Werte der Meßgroßen, Konklusion gibt einengeeigneten (unscharfen) Stellwert fur diese Situation,
I eine automatisierte Regelung erfordert aber, daß beigegebenen scharfen Werten fur die Meßgroßen ein geeigneterscharfer Wert fur die Stellgroße berechnet wird.
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Architektur eines Fuzzy-Reglers
fuzzy fuzzy
Meß-
werte
nicht
fuzzy
nicht
fuzzy
Regler-
ausgabe
Wissens-
basis
Fuzzyfikations-
interface
Defuzzyfikations-
interface
Entscheidungs-
logik
geregeltes-
System
1
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Komponenten eines Fuzzy-Reglers
I Fuzzifizierungs-Interface nimmt den Meßwert auf,transformiert ihn gegebenenfalls in einen geeignetenWertebereich (Skalierung), umwandeln des Meßwertes ineinen linguistischen Term oder eine Fuzzy-Menge,
I Wissensbasis beinhaltet zum einen Informationen uber dieWertebereiche der Meß- und Stellgroßen, eventuelleNormierungen und die zu den linguistischen Termenassoziierten Fuzzy-Mengen (Datenbasis), enthalt eine(Fuzzy-)Regelbasis,
I Entscheidungslogik aus den Meßgroßen werden mit Hilfe derWissensbasis Informationen uber die Stellgroße gewonnen,
I Defuzzifizierungs-Interface bestimmt aus den gewonnenenInformationen uber die Stellgroße einen scharfen Stellwert.
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Partitionierung
I Experte formuliert sein Wissen in Form von linguistischenRegeln,
I linguistische Terme werden festgelegt: jede der MengenX1, . . . ,Xn und Y wird mit Hilfe von Fuzzy-Mengen
”partitioniert“,
I auf X1 definiert man p1 verschiedene Fuzzy-Mengen
µ(1)1 , . . . µ
(1)p1 ∈ F(X1) und assoziiert jede dieser Fuzzy-Mengen
mit einem linguistischen Term (negativ klein, negativ mittel,ungefahr Null)
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Partitionierung auf R
Falls X1 = [a, b] ⊂ R,”im Inneren“oft Dreiecksfunktionen:
µx0,ε(x) = 1−min{ε · |x − x0|}
”am linken Rand“
µ(1)1 (x) =
{1, falls x ≤ x1;
1−min{ε · (x − x1), 1}, sonst.
”am rechten Rand“
µ(1)p1 (x) =
{1, falls xp1 ≤ x ;
1−min{ε · (xp1 − x), 1}, sonst.
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Partitionierung
I linguistische Terme wie”ungefahr Null“,
”positiv klein“
konnen, bezogen auf die Meßgroße ξ1, durchaus etwas anderesbedeuten als fur die Meßgroße ξ2
I Dreiecksfunktionen werden vor allem deswegen verwendet,weil die innerhalb des Fuzzy- Reglers durchzufuhrendenBerechnungen bei stuckweise linearen Funktionen sehr einfachwerden
I haufig werden die Fuzzy-Mengen so gewahlt, daß sie derDisjunktheitsforderung
i 6= j ⇒ sup{min{µ(1)i (x), µ
(1)j (x)}} ≤ 0.5.
entsprechen.
I entsprechende Partitionierung µ1, . . . µp ∈ F(Y ) wird auchfur Y vorgenommen.
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Partitionierung Stabbalance
-90 negativ mittel ungefahr Null positiv mittel 90
negativ groß negativ klein positiv klein positiv groß
1
0.5
1
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Partitionierung Stabbalance
I fur X1 wie Abbildung, Dreiecke haben eine Breite von 45 (einViertel des Grundbereichs),
I fur X2 (Winkelgeschwindigkeit) Tragermengen mit eine Breitevon 22.5,
I fur Y = [−10, 10] Tragermengen der Fuzzy-Mengen mit einerBreite von 5
Die Partitionierungen und zugohrigen linguistischen Terme bildendie Datenbasis
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Regelbasis
I Regelbasis besteht aus k Kontrollregeln der Form
if ξ1 is Ai1,r and . . . and ξn is Ain,r then η is B | (r = 1, . . . , k).
I Ai1,r , . . . ,Ain,r und B sind linguistische Terme, die den
Fuzzy-Mengen µ(1)i1,r
, . . . µ(n)in,r
bzw. µir gemaß denPartitionierungen der Mengen X1, . . . ,Xn bzw. Y entsprechen
I Kontrollregeln werden beim Ansatze von Mamdani nicht alsImplikationen, sondern im Sinne einer stuckweise definiertenFunktion verstanden werden.
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Regelbasis Stabbalance
θ
θ
ng nm nk uN pk pm pg
ng pk pgnm pmnk nm nk pkuN ng nm nk uN pk pm pgpk nk pk pmpm nmpg ng nk
if θ is ungefahr Null and θ is negativ mittelthen F is positiv mittel.
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Entscheidungslogik
I zunachst wird jede Regel Rr einzeln ausgewertet,
if ξ1 is Ai1,r and . . . and ξn is Ain,r then η is B
I man bestimmt den Erfullungs- oder Akzeptanzgrad zu demdie Pramisse bei vorgegebenen Meßwert erfullt ist, furj = 1, . . . n berechnet man µ(j)(xj), d.h. wie gut xj demlingustischen Term von µ(j) entspricht
I da (x1, . . . , xn) die Terme Ai1,r , . . . Ain,r erfullen soll, mussen
die Werte µ(j)ij,r
(xj) konjunktiv verknupft werden,
αr := min{µ(1)i1,r
(x1) . . . µ(n)in,r
(xn)}
αr gibt den Erfullungsgrad der Regel Rr an.
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Ausgabe
I als Ausgabe von Rr ergibt sich die Fuzzy-Menge vonStellwerten, die man durch
”Abschneiden“ der Fuzzy-Menge
µir der Regel Rr beim Grad αr
I zu jedem moglichen Stellwert y berechnen wir:
µoutput(Rr )x1...,xn (y) = min{µ(1)
i1,r(x1) . . . µ
(n)in,r
(xn), µir (y)}
I falls µ(1)i1,r
(x1) = . . . = µ(n)in,r
(xn) = 1, folgt
µoutput(Rr )x1...,xn (y) = µir (y),
falls fur ein j gilt µ(j)ij,r
(xj) = 0 dann folgt µoutput(Rr )x1...,xn (y) = 0.
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Output-Stabbalance I
I Sei θ = 36◦, (θ) = −2.25◦ · s−1.
I Es gibt nur zwei Regeln, fur die der Wert αr nicht Null wird,namlich:
R1 if θ is positiv klein and ˙theta is ungefahr Null then Fis positiv klein, und
R2 if θ is positiv mittel and ˙theta is ungefahr Null thenF is positiv mittel.
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Output-Stabbalance I
αr = 0.4 = min{0.4, 0.8} und wir erhalten:
µoutput(R1)36,−2.25 (y) =
25 · y , falls 0 ≤ y ≤ 1,
0.4, falls 1 ≤ y ≤ 4,
2− 25 · y falls 4 ≤ y ≤ 5,
0, sonst.
αr = 0.6 = min{0.6, 0.8} und wir erhalten:
µoutput(R2)36,−2.25 (y) =
25 · y − 1, falls 2.5 ≤ y ≤ 4,
0.6, falls 4 ≤ y ≤ 6,
3− 25 · y falls 6 ≤ y ≤ 7.5,
0, sonst.
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Auswertung der Regel R1
22.5 36 450
positiv klein
Winkel θ
0.4
1
-11.5 -2.25 11.25
θ
ungefahr Null
Winkelgeschwindigkeit
0.4
1
0 2.5 5
positiv klein
Kraft F
0.4
1
Auswertung der Regel R2
4536 67.522.5
positiv klein
0.6
1
-11.5 -2.25 11.25
θ
ungefahr Null
1
2.5 5 7.5
F
positiv klein
0.4
1 1
1
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Auswertung
I Fuzzy-Mengen, die aus der Auswertung der anderen Regelnkommen, brauchen nicht berucksichtigt zu werden,
I nachdem die Entscheidungslogik jede einzelne Regelausgewertet hat, mussen die Ergebnis-Fuzzy-Mengen mittelsMaximumbildung zu einer Fuzzy-Menge zusammengesetztwerden
I µx1...,xn(y) = maxr=1,...k{min{µ(1)i1,r
(x1) . . . µ(n)in,r
(xn), µir (y)}}I diese Fuzzy-Menge geht an das Defuzzyfizierungs-Interface.
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Die Fuzzy-Menge µoutput36,−2.25
0.4
0.6
1
1 3.5 4 6 7.5
1
I Entscheidungslogik berechnet keinen scharfen Stellwert,sondern beschreibt den Stellwert nur in Form einerFuzzy-Menge
I Aufgabe des Defuzzifizierungs- Interface ist es, aus derFuzzy-Menge µoutput fur jedes x1, ..., xn einen scharfenStellwert y zu gewinnen:
”defuzzifizieren“ .
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Max-Kriterium-Methode
I es wird ein beliebiger Wert y ∈ Y ausgewahlt, fur den dieFuzzy-Menge µoutput
x1,...,xn ihren maximalen Zugehorigkeitsgradannimmt, (im Beispiel y ∈ [4, 6])
I Vorteil: Methode ist auch anwendbar, wenn Y eine keineTeilmenge der reellen Zahlen ist,
I Nachteil: das Verhalten des Fuzzy-Reglers istnicht-deterministisch, kann sehr sprunghaft sein.
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Mean-of-Maxima-Methode (MOM)
Y muß ein Intervall sein,
Max(µoutputx1...,xn
) = {y ∈ Y | ∀y ′ ∈ Y : µoutputx1...,xn
(y ′) ≤ µoutputx1...,xn
(y)}
muß nicht leer und (Borel-)meßbar sein.
η =1∣∣Max(µoutputx1...,xn)
∣∣ · ∑y∈Max(µoutput
x1...,xn )
y
η =1∫
y∈Max(µoutputx1...,xn ) dy
·∫
y∈Max(µoutputx1...,xn )
ydy
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Beispiel
Fuzzy-Regler soll ein Modellauto so lenken, daß es Hindernissenautomatisch ausweicht. Ergebnis der Entscheidungslogik beiHindernis genau in Fahrtrichtung
1
Weiche nach links oder nach rechts aus
1
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Mean-of-Maxima-Methode (MOM)
I nicht unbedingt η ∈ Max(µoutputx1...,xn),
I fuhrt (bei Dreiecksfunktionen auf Y ) zu einem unstetigemVerlauf der Stellgroße.
I oft wird Max(µoutputx1...,xn) durch die Fuzzy-Menge µir bestimmt,
bei der der Erfullungsgrad der Pramisse von Rr am großten ist,
I Max(µoutputx1...,xn) ist dann ein symmetrisches Intervall um den
Punkt yir , bei dem µir den Wert 1 hat,
I erreicht eine andere Regel Rs hohere Prioritat pendelt andertsich das Verhalten sprunghaft zu yis .
I ruckartige Anderungen in der Regelstrecke und starkeBelastung der Stelleinrichtung sind die Folge
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Schwerpunktsmethode (Centre-of-Gravity-Methode, COG)
I Voraussetzungen wie bei MOM,
I η berechnet sich als Wert, der unter dem Schwerpunkt derdurch µoutput
x1...,xn und der y-Achse begrenzten Flache liegt,
η =1∫
y∈Y µoutputx1...,xn(y)dy
·∫
y∈Yy · ∈ µoutput
x1...,xn(y)dy
I Vorteil: fast immer ein relativ glattes Regelverhalten,
I Nachteile: Schwerpunktsbildung ist formal aus der Sicht derTheorie der Fuzzy-Mengen kaum zu rechtfertigen, ist sehraufwendig zu berechnen, Anomalien konnen trotzdemauftreten.
I heißt auch Centre-of-Area-Methode (COA)
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Beispiel
Defuzzyfizierung fur Stabbalance mit Mittelwerts- undSchwerpunktmethode
0.4
0.6
1
1 3.5 4 6 7.5
COG MOM
1
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Konvexe Fuzzy-Mengen
I Anomalie bei Defuzzyfizierung mit MOM oder CGA tritt beikonvexen Fuzzy-Mengen nicht auf,
I Konvexe Fuzzy-Mengen konnen als Reprasentation eineseinzelnen (unscharfen)Wertes oder Intervalls aufgefaßt werden,
I manchmal sind aber zwei gegensatzliche Kontrollaktionenplausibel,
I die Kontrollregeln beschreiben in diesem Fall einnicht-deterministisches Verhalten des Kontrollexperten, dersich zwischen zwei Alternativen (z.B. nach links oder nachrechts auszuweichen) entscheiden kann
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Defuzzifizierung
(i) Umwandlung einer Fuzzy-Menge in scharfe Werte,
(ii) Auswahl einer Aktion unter mehreren Kontrollaktionen.
I falls die zu defuzzifizierende Fuzzy-Menge einen einzelnen(unscharfen) Stellwert reprasentiert, entfallt (ii),
I falls die Fuzzy-Menge aber eine Menge mit mehrerenElementen darstellt, mussen die Aufgaben (i) und (ii)durchgefuhrt werden, wobei die Reihenfolge beachtet werdenmuß,
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Defuzzifizierung
I zuerst (ii): bestimmen eine (Teil-)Fuzzy-Menge aus µoutputx1...,xn ,
die nur ein Element wiedergibt und defuzzyfizieren diese (z.B.mit MOM oder COG),
I zuerst (i), wir erhalten eine mehrelementige Menge moglicherWerte und wahlen danach einen beliebigen Wert aus
I Ausweg: Kontrollregeln so formulieren, daß sie einendeterministischen Kontrollexperten modellieren,
I bessere Zuverlassigkeit und Vorhersagbarkeit,
I formal: bei der Spezifikation der Regeln werden keineRelationen R ∈ ((X1 × ...× Xn)× Y ) beschrieben, sondernsich auf eine Funktion ϕ : X1 × ...× Xn → Y
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Der Unterschied
I ist eine Modifizierung des Ansatzes von Mamdani,
I die Mengen X1, . . . Xn fur die Meßgroßen werden wie beiMamdani durch Fuzzy-Mengen partitioniert,
I die moglichen Stellwerte Y werden nicht partitioniert,
I Regelbasis besteht aus k Kontrollregeln der Form
if ξ1 is Ai1,r and . . . and ξn is Ain,r then η = fr (ξ1 . . . ξn)
I f : X1 × ...× Xn → Y , meist linear: fr (x1, . . . , xn) =∑
a(r)i xi
η(ξ1 . . . ξn) =
∑i=1,.k αr · fr (ξ1 . . . ξn)∑
i=1,.k αr
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Tagaki-Sugeno
I die mit den Erfuullungsgraden der Pramissen gewichteteSumme der Ausgabewerte der einzelnen Regeln wird alsStellwert verwendet,
I eine Defuzzifizierung ist daher beim Sugeno-Regler nichtnotwendig.
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