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Kapitel 9
Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - 2010, version 2.3
Betafunktion und optische
Parameter
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2
Was bisher geschah....
Fokussierung damit Teilchen nicht auseinanderlaufen und gegen die Vakuumkammer laufen
Geometrische (schwache) Fokussierung nur in horizontaler Ebene - reicht nicht aus
Daher: Fokussierung mit Quadrupolen (Linsen)• Magnetische Quadrupole fokussieren nur in einer Ebene
• Zwei Quadrupole fuer Fokussierung in beiden Ebenen
Beschreibung der Teilchenbewegung mit Transformationsmatrizen
Differentialgleichung für Teilchenbewegung in einem Quadrupol – ähnliche Resultate wie beim harmonischer Oszillator
F0D0 Zelle (QF, Drift, QD, Drift, QF)
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4
Vor-und Nachteile der Bahnberechnung mit Matrizen
• Für jedes Teilchen lässt sich die Bahn mit Matrizen berechnen• Diese Methode ist notwendig, und mit Hilfe von Computerprogrammen
prinzipiell "relativ" einfach• Für viele Fragenstellungen ist diese Methode zu komplex
• Was passiert, wenn ein Teilchen im Magneten 122 um einen Winkel von 0.01 mrad abgelenkt wird?
• Über die Bewegung eines Vielteilchensystems lässt sich nur wenig aussagen
Daher wird ein neuer Formalismus eingeführt:
Betatronfunktion und Betatronschwingung
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Übersicht
Differentialgleichung für die Teilchenbewegung II
Betafunktion
Betatronschwingung
Phasenellipse und Twiss Parameter
Strahlgrösse
Berechnung der Betafunktion
Arbeitspunkt
Closed Orbit
Dispersion
Momentum Compaction
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6
Differentialgleichung im Beschleuniger
0k : sonst
0k : Quadrupol nderFokussiere
0k : Quadrupol renderDefokussie
konstantdx
sdpe
kmit0sxk(s)' x' z0
:
)()(
B
• Es werden nur Quadrupolfelder betrachtet• Das Quadrupolfeld in einer Ebene ist in der Regel stückweise konstant
(entweder 0, oder konstant mit einem Wert k)
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7
Differentialgleichung der Teilchenbewegung
pp
s1
sxsks
1(s)'x'
2
)(
)()()(
0sxsk(s)'x'
: Typ schenHill' vom galgleichunDifferenti die gilt etAblenkmagn ohne
Strecken für und ichung,Impulsabwe ohne Teilchen Für
)()(
0uu2AuskuuA
:folgt Einsetzen mit
su(s)Ax(s)
: atzLösungsans
2
)sin('''')cos()('''
))(cos(
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8
Lösungsweg
0usku1
-'u'
: weiterman erhält Damit
du
1(s)
:man erhält nIntegratio Durch
0uu
2
0usk'u -'u'
:folgt daher sein, richtig 0A für und Phasen alle für muss Gleichung Diese
3
s
02
2
)(
)(
'
'''
)(
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9
Betafunktion und Betatronschwingungen
d1
(s) :aseBetatronph die für gilt Ausserdem
s(s)x(s)
:hnTeilchenba die für sich ergibt
Teilchens einzelnen eines Emittanz der und
su:(s)
:Funktion- der Einführung Mit
s
0
i
i
2
)(
))(cos(
)(
Es ist noch keine Aussage gemacht worden, wie man Betatronfunktion und Betatronphase ausrechnet
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10
)cos(
)sin(
)cos(
)(
))(cos(
)(
saa(s)'z'
saa(s)z'
saz(s)
:folgt sas und (s) : Ansatzdem Mit
s(s)z(s) : AnsatzGenereller
0szk(s)'z'
:betrachtet Ebene vertikalen der in Bewegung
die nur wirdes ,k konstantk(s) : Annahme
2
0i
0i
0i
0
i
0
0
Zur Illustration ein Beispiel: „kontinuierliches“ Quadrupolfeld
z
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)cos(:
))(cos(
skk
1z(s)ergibt
s(s)z(s)
:in Einsetzen
0
0
i
i
0
s
0
0
00
2
0i0
2
0i
k1
ss
1(s)d
1(s)
sks
ka 0ka
:sich ergibt daraus
0saksaa
:folgt galgleichunDifferenti die in Einsetzten mit
)()(
')(
)(
)cos()cos(
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Betafunktion für die Teilchenbewegung im "kontinuierlichen" Quadrupolfeld (Bewegung nur in einer Ebene stabil!)
Ein Beschleuniger für Elektronen mit dem Impuls p0 1.6GeV
c mit einer
Vakuumkammer mit dem Radius dr 0.05m , und einem Magnetfeld an der
Eisenoberfläche von Bx 0.1T
Quadrupolstärke k0
e0
p0
Bx
dr => k0 0.375
1
m2
Die Ablage eines Teilchens ist durch: z s( )= i1
k0 cos k0 s i gegeben
Betafunktion: => z1
k0 => z 1.634 m
Emittanz des Teilchen : i 10 6 m und Phase des Teilchen: i2
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0 4 8 12 16 20 240.002
0.001
0
0.001
0.002
z pos( )
pos
Annahme: Der Beschleuniger hat eine Länge von Lacc 24m
Die Länge für eine volle Schwingung ist : s22k0
=> s2 10.264 m
Die Anzahl der Schwingungen pro Umlauf ist : Qz
Lacc
s2 =
0
Lacc
s1
s( )
d =>
Qz 2.338
Die maximale Teilchenamplitude ist: zs24
1.278 10 3 m
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14
Vergleich mit dem harmonischen Oszillator
x0
x
F(x)
Bei gegebener Energie des Teilchensist die maximale Auslenkung umgekehrtproportional zur Rückstellkraft (Federkonstante).
Je grösser die Kraft, desto kleiner die Auslenkung
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15
Betafunktion und Betatronschwingungen
2s
(s) :mit
ssss
(s)x'
s(s)x(s)
:sitionTeilchenpo der Ableitung der aus sich ergibt nkelTeilchenwi Der
i
i
)('
))(sin())(cos()()(
))(cos(
)()(
)(')()(')()()()(
)(
ss1
(s) :mit
sxssxsxs2sxs
: wirdeliminiert nGleichunge den
auss Phase die indem man, erhält sPhasenraum des
onKonstrukti zur (s)x' und x(s) zwischen Beziehung Eine
2
i
22
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16
Phasenellipse – allgemeiner Fall
i
22 )s('x)s()s('x)s(x)s(2)s(x)s(
x
x’
imaxx
i
i
imax'x
i
i
iF
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17
Phasenellipse – im Zentrum eines Quadrupols oder im Fokus
i
22 xx1
:folgt 0s d.h. ,0dsd
mit
')(
x
x’
ix max
ix max'
iF
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Betatronschwingungen für viele Teilchen
))(cos( s(s)x(s) i
(s)sx i )(max
Maximale Amplitudeeines Teilchensan einer Position s
Eigenschaft der Teilchen
Eigenschaft des Beschleunigers
Eigenschaft der Teilchen
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19
Betatronschwingungen für viele Teilchen
Bild aus K.Wille
(s)s und (s)s zzzxxx )()(
Strahlgrösse ander Position s:
Die Strahlemittanzen x und z sind statistische Grössen
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20
Beispiel für Teilchenverteilung im Strahl
In einem Strahl sind die Teilchen in guter Näherung gaussförmig verteilt. Die transversalen Dimensionen sind durch z 1 mm und x 1 mm gegeben. Die
Anzahl der Teilchen im Bunch ist N 1011
Die transversale Teilchendichte ist: x z( )N
2 x ze
x2
2 x2
z2
2 z2
Zur Kontrolle: Gesamtanzahl der Teilchen:
N5
5
z5
5
x x z( )
d
d N 9.99999 1010
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22
Optische Funktionen entlang einer Zelle
von E.Wilson, Vorlesung 2001
B2 B2 B2 B2B1 B1 B1 B1QFQD QD
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23
Beispiel: Low Beta Insertion (z.B. für hohe Luminosität im Collider)
Quadrupol QuadrupolFokus
Beta-Funktion
Gespiegelte Beta-Funktion
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24
Layout of insertion for ATLAS and CMS Layout of insertion for ATLAS and CMS
200 m
inner quadrupoletriplet
separationdipole (warm)
recombinationdipole
quadrupoleQ4
quadrupoleQ5
ATLAS or CMS
inner quadrupoletriplet
separationdipole
recombinationdipole
quadrupoleQ4
quadrupoleQ5
collision point
beam I
Example for an LHC insertion with ATLAS or CMS
24 m
beamdistance194 mm
beam II
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25
distance about 100 m
Interaction point
QD QD QF QD QF QD
Experiment
Focusing quadrupole for beam 1, defocusing for beam 2 High gradient quadrupole magnets with large aperture (US-JAPAN) Total crossing angle of 300 rad Beam size at IP 16 m, in arcs about 1 mm
Crossing angle for multibunch operation
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LHC IR5 insertion
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27LHC IR5 insertion
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28
TI8 3 km lange Transferlinie zwischen SPS und LHC
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29
TI 8: Beam spot at end of line
L.R. Evans – EDMS Document No. 521217
SPC
2
TI 8 commissioning
TI 8 commissioning / V.Mertens / TCC, 29.10.2004
First shot on BTVI87751 on 23 October 2004, 13:39
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30
Strahlprofil im LEP Beschleuniger - Synchrotronlicht
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31
Gemessenes Strahlprofil im LHC Beschleuniger –Beam 2
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32
Gemessenes Strahlprofil im LHC Beschleuniger –Beam 1
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34
Arbeitspunkt
dss1
21
2Q
WertQ
L
0
)(
:
• Der Q-Wert gibt die Anzahl der Schwingungen der Teilchen pro Umlauf an
• Die Q-Werte für die Bewegung in der horizontalen Ebene und in der vertikalen Ebene sind im allgemeinen unterschiedlich
• Durch eine leichte Änderung der Quadrupolstärken ändern sich die Q-Werte
• Der Q-Wert ändet sich mit der Energie der Teilchen - für Teilchen mit grösserer Energie ist der Q - Wert kleiner, da die Fokussierung schwächer ist
ds)s()s(k4
1p/p
Q
:tätChromatizi
L
0
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35
Arbeitspunkt – LHC bei 3.5 TeV
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36
Quadrupolaufstellfehler und Teilchenbahnen
fehlaufgestellter Quadrupolmagnet und Einfluss auf die Teilchenbahn
Idealbahn
gestörte Bahn
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37
Teilchenschwingungen und ’closed orbit’
Ringbeschleuniger
IdealbahnKick und Betatronschwingungen
Ringbeschleuniger
IdealbahnMagnetfehler und closed orbit
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38
Transformationsmatrix für Teilchenkoordinaten
General case for a transformation of particle coordinates from s0 to s1 (with phase
advance in between )
M
1
0cos 0 sin
0 1 cos 1 0 1 sin
1 0
1 0 sin
0
1cos 1 sin
The transfer matrix around the ring for a position where = 0
M
cos 2Q sin 2Q
sin 2Q
cos 2Q
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39
Berechnung des closed orbit ( = 0)
x1 cos 2Q x0 sin 2Q xp0
xp1sin 2Q
x0 cos 2Q xp0
Assume an additional dipole distortion that changes the angle of the particle:
x1 cos 2Q x0 0 sin 2Q xp0
xp1sin 2Q
0 x0 cos 2Q xp0
The closed orbit is the trajectory that closes itself after one turn, that is:
x1= x0 = x and xp1= xp0 = xp
x0
2
sin 2 Q 1 cos 2 Q x
0
2
1
tan Q
xp1
2
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40
Closed Orbit für einen Ringbeschleuniger
Wenn an einer Stelle des Beschleunigers der Strahl zusätzlich abgelenkt
wird, und der Ablenkwinkel:
Q)(2
s)sx( 0
0 tan
)(
lBp
e z
0
ist der closed orbit:
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41
Horizontaler und vertikaler Orbit bei LHC
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Orbit Swiss Light Source, PSI
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43
Einfluss der Impulsabweichung: Dispersion
Verschiedene Teilchen haben einen unterschiedlichen Impuls. Die Impulsabweichung liegen im allgemeinen bei 10-4 – 10-2 vom Sollipuls.
p
p
s
1sx
s
1(s)'x'
:folgt dann
0s
1 Quadrupole im daher und Quadrupol, im AblenkungKeine
p
p
s
1sxsk
s
1(s)' x'
2
2
)()(
)(
)(
)()()(
)(
24 1010pp
...
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44
Differentialgleichung für die Dispersion
)()(
)()()(
)( s1
sDs
1(s)''D
s1
sxs
1(s)''x
:D(s) sbahnDispersion die für galgleichunDifferenti die folgt damit
1pp
:atzLösungsans
22
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45
Lösung der Dispersionsbahn
Die Lösung für die Dispersion ergibt sich aus drei Termen:
)sin()cos()sin()('
))cos(()sin()cos()(
ss'D
sDsD
s1
s'D
sDsD
00
00
Im Unterschied zur Betatronmatrix ergibt sich eine Dispersion, wenn ein
Teilchen ohne Dispersion und Dispersionsableitung in einen
Ablenkmagneten läuft
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46
Matrix für die Dispersion
1
D
D
100
sss1
s1
ss
1
sD
sD
0
0
')sin()cos()sin(
))cos(()sin()cos(
)('
)(
Um die Dispersionbahn mit einer Matrix zu beschreiben, sind 3 Terme notwendig:
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47
Dispersionsbahn in einem Ablenkmagneten
0pp
210pp
x0 = 0
x’0 = 0 x1 = 2.91 mm
x’1 = 3.83 mrad
Beispiel für einen Ablenkmagneten mit einer Länge von 1.5 m und einem Ablenkradius von = 3.82 m
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Die Bahnabweichung nach einer Strecke von s 1.5m wird berechnet
D1
Dp1
dummy
coss
1m
sin
s
0
m
sins
coss
0
m
1 coss
sins
1
D0
Dp0
dummy
D1
Dp1
dummy
0.291
0.383
1
Für ein Teilchen mit Impulsabweichung p= p
p0, mit p 10 2 gilt:
x1 D1 p 1m( ) xp1 Dp1 p
xp1 3.827 10 3x1 2.908 mm
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49
Dispersionsfunktion am LHC bei 1.18 TeV, Strahl 1
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50
Bahnverlängerung – Momentum Compaction
pp
LL
/
Ein Teilchen mit Impulsabweichung läuft auf einer anderen Bahn um, deren Länge im allgemeinen unterschiedlich von der Länge der Sollbahn ist.Der momentum compaction factor wird als relative Längenänderung für Teilchen mit Impulsabweichung definiert:
dsssD
L1
0
)(
)(
Es lässt sich zeigen, dass für den momentum compaction factor gilt:
Die Bahnlänge für eine Teilchen mit
Impulsabweichung ist : pp
LL
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51
Transformation der Betatronfunktion
wurdeneingeführt mationhntransforTeilchenba
die für die zen,tionsmatriTransforma die sind
und
:gilt s nach s von Matrix-Beta der
tionTransforma die für dass (K.Wille), zeigen kann Man
:s Position der an Matrix-Beta
:s Position der an Matrix-Beta der Definition
11TT
T
01
10
11
11
11
00
00
00
M
1MM1MM
MBMB
B
B
)(
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52
Transformation der Betafunktion durch eine Driftstrecke
Beispiel: Transformation der Beta Matrix in einer Driftstrecke
M1
0
0
0
1
0
0
MD1
0
L
1
MD1
0
L
1
M2 MD M1 MDTMD
M2
0L2
0
L
0
L
0
1
0
MDT MD
T
1
1
0
0
1
und MD MD1
1
0
0
1
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53
Betatronfunktion für Kreisbeschleuniger
2212
2111
00
00
2221
1211
00
00
T
ring0ring0
T
0110
00
00
0
0
mm
mm
mm
mm
:ausserdem gilt
leunigerKreisbesch im ätPeriodizit der Aufgrund
:gilt s nach s
von Matrix-Beta der tionTransforma die Für
:s Position der an Matrix-Beta der Definition
MBMB
MBMB
B
s0s1
)s()Ls(
)s()Ls(
k(s)L)k(s
:ngenätsbedinguPeriodizit
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54
Berechnung der optischen Funktionen
0mmm2m2
:gilt wennLösung, eine dann nur gibt Es
1
m2
mm
mmm2m2
m2
:berechnen Funktionen optischen die sich lassen Damit
2
222112
2
11
0
2
00
0
12
22110
2
222112
2
11
120
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55
Zusammenfassung: Lösungsweg
• Differentialgleichung für die Teilchenbahn
• Ansatz von neuen Funktionen, der Betafunktion und der Phase
• Ein Teilchen macht harmonische Schwingungen in einem neuen
Koordinatensystem
• Man kann die Betamatrix mit Hilfe der bekannten Übertragunsmatrizen
transformieren, dadurch kann man die Betamatrix um den ganzen
Kreisbeschleuniger transformieren
• Man berücksichtigt die Periodizitätsbedingung nach einem Umlauf
• Damit kann man die Betafunktion errechnen