Universite des Sciences et Technologies de LilleEcole doctorale − Sciences pour l’ingenieur

THESE

Presentee pour l’obtention du titre de :

Docteurde

L’Universite des Sciences et Technologies de Lille

Specialite :

Genie Electrique

par :

Karim BEDDEK

Propagation d’incertitudes dans les modeleselements finis en electromagnetisme − Application

au controle non destructif par courants deFoucault

Soutenue le 29 juin 2012 devant le jury :

M. Christophe Geuzaine, Professeur, Universite de Liege (Belgique) – RapporteurM. Olivier Le Maitre, Directeur de recherche au CNRS, LMSI – RapporteurM. Jean Louis Coulomb, Professeur des Universites, G2ELAB – ExaminateurM. Laurent Krahenbuhl, Directeur de recherche au CNRS, AMPERE – ExaminateurM. Roger Van Keer, Professeur, Universite de Gand (Belgique) – ExaminateurM. Olivier Moreau, Ingenieur chercheur a EDF R&D – Co-directeur de theseM. Yvonnick Le Menach, Maitre de Conference, L2EP, Universite Lille 1 – Co-directeur de theseM. Stephane Clenet, Professeur des Universites, L2EP, Arts et Metiers ParisTech – Directeur de these

Resume

La quantification d’incertitudes est une demarche consistant a prendre en compte les incertitudes descoefficients caracteristiques (materiaux, geometries, sources ...) d’un modele mathematique analytiqueou numerique en vue d’estimer l’effet de ces meconnaissances sur les grandeurs physiques recherchees.Dans ce travail de these, nous nous sommes interesses aux approches probabilistes de propagation d’in-certitudes portees par les lois de comportement (permeabilites et conductivites) aux sein de modeleselements finis de l’electromagnetisme quasi-statique a l’echelle industrielle. Cette these vise a compa-rer les deux approches spectrales NISP et SSFEM qui sont basees sur une representation fonctionnelledans le chaos polynomial des grandeurs d’interet aleatoires. Cette etude de comparaison est effectueeen terme de precision numerique et de cout de calcul, et pour des grandeurs d’interet scalaires et vec-torielles complexes. La confrontation de la precision numerique est realisee via un estimateur d’erreura posteriori base sur la non verification de loi de comportement dans un cadre statique. Les couts decalcul ont ete compares en dotant la methode NISP de procedures adaptatives permettant de reduire lenombre d’appels au code deterministe, et en mettant en œuvre une methode de resolution par bloc etde preconditionnement pour la methode SSFEM. Les applications numeriques nous ont montre que laSSFEM peut etre assez competitive par rapport a la NISP pour des problemes probabilistes a grandesdimensions stochastiques. Il en resulte que la methode SSFEM est la methode de predilection pourl’etude des systemes electromagnetiques dont les lois de comportement des materiaux sont aleatoires.En effet, la methode NISP associee aux algorithmes adaptatifs n’est pas adaptee au calcul de grandeurscomplexes vectorielles car celle-ci necessite une grandeur cible scalaire pour l’orientation de l’adaptati-vite. Enfin, les deux methodes spectrales ont ete appliquees sur un probleme de detection de bouchagepar la magnetite des plaques entretoises des generateurs de vapeur d’une centrale nucleaire. Dans cetteetude probabiliste, nous nous sommes atteles a quantifier la contribution des incertitudes, subsistantdans les conductivites et permeabilites de la magnetite et de la plaque, a la variabilite des signaux ducapteur electromagnetique et du ratio SAX. Les resultats obtenus nous ont permis de selectionner lapermeabilite de la magnetite comme le parametre le plus influent et ainsi d’orienter les futures investi-gations experimentales prioritairement vers celle-ci.

Mots cles : Quantification d’incertitudes, electromagnetisme, modelisation probabiliste, methodesspectrales stochastiques, chaos polynomial, methode des elements finis, controle non destructif par cou-rants de Foucault.

Abstract

The uncertainty quantification technique aims to quantify the effect of uncertainties of input para-meters of numerical models, e.g. material, geometry, source terms, on the quantity of interest. In thisthesis, we focus on probabilistic approaches in order to spread uncertainties of magnetic and electricbehaviour laws over large scale electromagnetic finite element models. The main objective of this workis to compare two spectral stochastic methods (Non Intrusive Spectral Projection (NISP) and SpectralStochastic Finite Element Method (SSFEM)), which are based on chaos polynomial representation ofthe random quantities. The comparison between the NISP and the SSFEM is carried out by confrontingthe computational costs and the precision when scalar and vectorial complex quantities of interest arecomputed. In the static case, a posteriori stochastic error estimator based on the constitutive relationerror is used to compare the precision of the NISP and the SSFEM. The computational costs are ana-lyzed by providing the NISP method by the adaptive sparse grid techniques which allow the reductionof the number of deterministic simulations. For the SSFEM, different solvers and preconditioners areconsidered in order to improve the efficiency of the method. The numerical applications show that theSSFEM method become as competitive as the NISP method in terms of computational cost when solvingprobabilistic problems with large number of random parameters. Thus, the SSFEM method is chosenas the best adapted to solve electromagnetic problems when the behaviour laws are random. In fact, theNISP method is inappropriate to compute vectorial complex quantities when equipped with adaptivesparse grid procedures. Finally, the NISP and SSFEM methods are used to study the clogging of theTube Support Plate (TSP) of steam generators of nuclear power plants. The effect of uncertainties of thepermeability and the conductivity of the TSP and the magnetite (clogging product) on the control signaland the SAX ratio is investigated. The obtained results show that only the permeability of the magnetiteaffect the variability of the control signal and the SAX ratio.

Keywords : Uncertainty quantification, electromagnetism, probabilistic modeling, stochastic spectralmethods, chaos polynomial, finite element method, Eddy current non destructive testing.

Table des matieres

Liste des symboles et abreviations xi

Introduction generale 1

1 Modelisation deterministe et stochastique des problemes de l’electromagnetisme 5

1.1 Probleme deterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Notations et hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Equations de Maxwell et ARQS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3 Espaces fonctionnels des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.4 Probleme magnetoharmonique continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.4.a Formulation electrique (A− ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.4.b Formulation magnetique (T − Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.5 Probleme magnetostatique continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.5.a Formulation vecteur magnetiqueA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.5.b Formulation scalaire magnetique Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.6 Probleme general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.7 Resolution par discretisation elements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.7.a Fonctions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.7.b Approximation et calcul des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Probleme stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.1 Rappels sur les probabilites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.2 Sources d’incertitudes en electromagnetisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.3 Probleme magnetoharmonique stochastique continu . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.3.a Formulation electrique stochastique (A− ϕ) . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.3.b Formulation magnetique stochastique (T − Ω) . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.4 Probleme magnetostatique stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3 Estimation d’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.1 Cas deterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.2 Cas stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

i

1.4 Conclusions du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Methodes de propagation des incertitudes 27

2.1 Incertitudes et propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Approximation de variables et de champs aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3 Methodes statistiques ou de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.1 Methode de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.2 Hypercube Latin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 Methodes d’approximation locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5 Chaos polynomial generalise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5.1 Rappels sur les polynomes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5.2 Construction de polynomes orthogonaux unidimensionnels . . . . . . . . . . . . 35

2.5.3 Construction de polynomes orthogonaux multidimensionnels . . . . . . . . . . . 36

2.5.4 Developpement de variables aleatoires dans le Chaos Polynomial . . . . . . . . 36

2.6 Approches spectrales non intrusives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.6.1 Methodes de collocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.6.2 Methodes de regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.6.3 Projection spectrale non intrusive (NISP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.6.3.a Quadratures de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.7 Approche spectrale de Galerkin (SSFEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.7.1 Formes faibles stochastiques continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.7.2 Formes faibles stochastiques discretes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.7.3 Systeme lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.7.4 Calcul explicite des matrices Sσd et Sνd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.7.5 Methodes iteratives pour la resolution deAX = B . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.8 Comparaison SSFEM vs NISP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.8.1 Description du dispositif electromagnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.8.2 Magnetoharmonique : comparaison sur le flux magnetique . . . . . . . . . . . . 51

2.8.2.a Les parametres aleatoires suivent des lois uniformes . . . . . . . . . . 51

2.8.2.b Les parametres aleatoires suivent des lois bimodales . . . . . . . . . . 56

2.8.3 Magnetostatique : comparaison a l’aide de l’estimateur d’erreur . . . . . . . . . 58

2.8.3.a Influence de l’ordre de troncature p et du maillage sur l’estimateur . . 59

2.8.3.b Influence du nombre de points de quadrature sur l’estimateur . . . . . 60

2.8.3.c Comparaison de la SSFEM et de la NISP en terme de precision . . . . 61

2.9 Conclusions du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3 Amelioration des performances de la NISP et de la SSFEM 65

3.1 Algorithme adaptatif isotrope pour la NISP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

ii

3.1.1 Definitions et introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.1.2 Determination de l’ordre de troncature du CP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.1.3 Quadratures imbriquees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.1.3.a Schema de Clenshaw-Curtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.1.3.b Schema de Gauss-Patterson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.1.4 Cubature de Smolyak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2 Algorithme adaptatif anisotrope pour la NISP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2.1 Cubature generalisee adaptative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2.2 Algorithme adaptatif anisotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2.3 Construction de la base du chaos polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2.4 Exemple d’illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.3 Solveur pour la SSFEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.3.1 Methodes de preconditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.3.1.a Preconditionneur SSOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.3.1.b Preconditionneur AINV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.3.1.c Preconditionneur NKP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.3.2 Methodes iteratives par bloc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.4 Application et comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.4.1 Resultats de la NISP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.4.1.a Adaptativite sur la partie imaginaire =(Φ(θ)) du flux . . . . . . . . . 87

3.4.1.b Adaptativite sur la partie reelle <(Φ(θ)) du flux . . . . . . . . . . . . 87

3.4.2 Resultats de la SSFEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.4.2.a Apports du preconditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.4.2.b Solveur iteratif Gauss-Jacobi par bloc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.4.3 Comparaison des couts numeriques de la SSFEM et de la NISP . . . . . . . . . 91

3.5 Conclusions du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4 Controle Non Destructif par courants de Foucault des generateurs de vapeur 93

4.1 Inspection des GV par CND-CF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.2 Modele elements finis deterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3 Etude stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.3.1 Modele probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.3.2 Traitement des incertitudes sur les impedances de surface . . . . . . . . . . . . . 99

4.3.2.a Cas deterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.3.2.b Cas stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.4 Resultats de la SSFEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.4.1 Analyse de la variabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.4.2 Analyse de la sensibilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

iii

4.4.3 Ratio SAX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.5 Resultats de la NISP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.6 Comparaison NISP vs SSFEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.7 Conclusion du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Conclusion generale 115

A Polynomes orthogonaux 125

A.1 Chaos polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

A.1.1 Chaos de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

A.1.2 Chaos generalise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

A.1.3 Polynomes de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

A.1.4 Polynomes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

B Complements sur l’approximation d’une somme de produits de Kronecker 131

C Variables aleatoires reelles, operations et developpement de variables aleatoire classiques 135

C.1 Introduction aux probabilites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

C.2 Variables aleatoires classiques dans le chaos polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

C.2.1 Variable aleatoire normale dans le chaos de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . 136

C.2.2 Variable aleatoire lognormale dans le chaos de Hermite . . . . . . . . . . . . . . 136

C.2.3 Variable aleatoire uniforme dans le chaos de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . 136

C.2.4 Variable aleatoire uniforme dans le chaos de Legendre . . . . . . . . . . . . . . 136

C.3 Operations sur des variables aleatoires developpees dans le chaos . . . . . . . . . . . . . 137

C.3.1 Somme de deux variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

C.3.2 Produit de deux variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

C.3.3 Inverse d’une variable aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

iv

Table des figures

1.1 Representation generale du domaine d’etude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Representation d’un probleme magnetodynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Illustration de l’asymetrie ou skewness d’une variable aleatoire. . . . . . . . . . . . . . 181.4 Illustration de l’aplatissement ou kurtosis d’une variable aleatoire. . . . . . . . . . . . . 181.5 CourbesHmax = f(Bmax) experimentales. Image extraite de [78]. . . . . . . . . . . . 191.6 Incertitudes geometriques dans un stator d’un alternateur VALEO. . . . . . . . . . . . . 20

2.1 Principales etapes de la demarche de propagation d’incertitudes. Schema propose dans[13, 88]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Principales etapes de resolution du probleme probabiliste. . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Division de l’intervalle de variabilite de ξi en N = 17 sous intervalles equiprobables.

Ici la variable est une loi gaussienne et la fonction de repartition F (x) est la fonctionerf(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4 Obtention des cellules equiprobables mais d’aires differentes. . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5 L’erreur relative sur le calcul de∫∫

e−x2+2sign(y) avec l’hypercube latin et Monte

Carlo en fonction du nombre d’evaluations de la fonction e−x2+2sign(y) sur [−1, 1]2. . . 33

2.6 Principe des methodes spectrales stochastiques non intrusives. . . . . . . . . . . . . . . 382.7 Geometrie du dispositif electromagnetique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.8 Configuration des problemes magnetostatique et magnetoharmonique. . . . . . . . . . . 502.9 Lois des variables aleatoires considerees pour la comparaison. . . . . . . . . . . . . . . 512.10 Evolution de la densite de probabilite du flux complexe aleatoire Φ(θ) en fonction de

l’ordre de troncature p du chaos polynomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.11 Densite de probabilite du flux complexe aleatoire Φ(θ) en prenant µ1 uniforme sur [25, 75]. 522.12 Densite de probabilite du flux complexe aleatoire Φ(θ) en prenant µ1 uniforme sur

[25, 75] et σ2 uniforme sur [25ď4, 75ď4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.13 Densite de probabilite du flux complexe aleatoire Φ(θ) en prenant µ1 et µ2 uniformes

sur [25, 75], σ3 et σ4 uniformes sur [25ď4, 75ď4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.14 Nombre de produits matrice-vecteur de taille N en fonction de l’ordre de troncature p,

et en considerant 2 variables aleatoires dans le modele probabiliste magnetoharmonique. 552.15 Nombre de produits matrice-vecteur de taille N en fonction de l’ordre de troncature p,

et en considerant 4 variables aleatoires dans le modele probabiliste magnetoharmonique. 552.16 Densite de probabilite du flux complexe aleatoire Φ(θ) en prenant µ1 bimodale sur [25, 75]. 56

v

2.17 Densite de probabilite du flux complexe aleatoire Φ(θ) en prenant µ1 bimodale sur[25, 75] et σ2 bimodale sur [25ď4, 75ď4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.18 Densite de probabilite du flux complexe et aleatoire Φ(θ) en prenant µ1 et µ2 bimodalessur [25, 75], σ3 et σ4 bimodales sur [25ď4, 75ď4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.19 Nombre de produits matrice-vecteur de tailleN en fonction de l’ordre de troncature p, eten considerant 4 variables aleatoires bimodales dans le modele probabiliste magnetoharmonique. 58

2.20 Erreur εssfem en fonction du maillage elements finis et de l’ordre de troncature p duchaos de polynomial – 1 variables aleatoire µ1(θ) dans le modele probabiliste magnetostatique. 60

2.21 Erreur εnisp en fonction du nombre de points de quadrature et de l’ordre de troncaturep du chaos de polynomial – 1 variables aleatoire µ1(θ) dans le modele probabilistemagnetostatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.22 Evolution du (εnisp − εssfem) en fonction de l’ordre p de troncature du chaos de Le-gendre, du nombre de variables aleatoires (µi(θ), i ∈ [1, 4]) et en fonction des lois despermeabilites aleatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.1 Algorithme adaptatif isotrope pour la projection spectrale non intrusive. . . . . . . . . . 67

3.2 Algorithme adaptatif isotrope pour la projection spectrale non intrusive – determinationautomatique de l’ordre de troncature. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3 Schema de Gauss-Legendre unidimensionnel a 3 points. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.4 Formule de Gauss-Patterson a 7 points. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.5 Formule de Gauss-Patterson a 15 points. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.6 Grilles obtenues pour 65 points sur chaque dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.7 Grilles obtenues pour 7 points sur chaque dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.8 Grilles obtenues pour 15 points sur chaque dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.9 Grilles obtenues pour 63 points sur chaque dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.10 Algorithme adaptatif anisotrope pour la projection spectrale non intrusive. . . . . . . . 76

3.11 Principales etapes de l’algorithme adaptatif anisotrope pour integrer e−ξ21+2sgn(ξ2) sur

[−1, 1]2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.12 Cubature generalisee construite pour integrer e−ξ21+2sgn(ξ2) sur [−1, 1]2. . . . . . . . . 79

3.13 Cubature generalisee enrichie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.14 Cout numerique de la NISP avec adaptativite sur =(Φ(θ)) en fonction du nombre devariables aleatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.15 Cout numerique de la NISP avec adaptativite sur <(Φ(θ)) en fonction du nombre devariables aleatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.16 Cout numerique de la SSFEM en fonction du nombre de variables aleatoires. . . . . . . 89

3.17 Evolution de (εssfemgj − εssfembicg ) en fonction de l’ordre de troncature p du chaos et dunombre de variables aleatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.18 Cout numerique de la SSFEM en fonction du nombre de variables aleatoires. . . . . . . 91

3.19 Comparaison des couts numeriques de la SSFEM et de la NISP en fonction du nombrede variables aleatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.1 Tubes et plaque de support dans un generateur de vapeur. . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

vi

4.2 Principe de detection par CND-CF du colmatage des foliages. . . . . . . . . . . . . . . 954.3 Signaux Lissajou obtenus avec la sonde SAX (figures issues de [64]). . . . . . . . . . . . 954.4 Modele elements finis du probleme CND-CF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.5 Colmatage des passages folies sur 5mm en profondeur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.6 Partie imaginaire du signal ∆Φ obtenue sans colmatage et dans le cas deterministe –

illustration du calcul du ratio SAX Sr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.7 Modele probabiliste pour le calcul des flux et du ratio SAX Sr aleatoires. . . . . . . . . 984.8 Realisations des parties imaginaires des flux complexes aleatoires calculees avec la SS-

FEM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.9 Realisations des parties reelles des flux complexes aleatoires calculees avec la SSFEM. . 1024.10 Moyenne et ecart-type de la partie imaginaire du ∆Φ en fonction de la position du

capteur dans le tube GV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.11 Moyenne et ecart-type de la partie reelle du ∆Φ en fonction de la position du capteur

dans le tube GV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.12 Indices de Sobol (× 100) sur la partie imaginaire du ∆Φ en fonction de la position du

capteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.13 Variances partielles sur la partie imaginaire du ∆Φ en fonction de la position du capteur. 1064.14 Indices de Sobol (× 100) sur la partie reelle du ∆Φ en fonction de la position du capteur.1074.15 Variances partielles sur la partie reelle du ∆Φ en fonction de la position du capteur. . . 1074.16 Densite de probabilite du ratio SAX Sr(θ) obtenue avec la SSFEM. . . . . . . . . . . . . 1084.17 Densites de probabilite du ratio SAX Sr en fonction du critere d’arret εglo de l’algo-

rithme anisotrope de la NISP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.18 Evolution de l’ordre d’interpolation sur chaque dimension stochastique en fonction de

la position du capteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.19 Evolution du la taille du chaos polynomial en fonction de la position du capteur. . . . . . 1104.20 Moyenne de la partie imaginaire =(∆Φ(θ)) obtenue avec la SSFEM et la NISP. . . . . . 1114.21 Moyenne de la partie reelle <(∆Φ(θ)) obtenue avec la SSFEM et la NISP.. . . . . . . . 1114.22 Ecart-type de la partie imaginaire =(∆Φ(θ)) obtenu avec la SSFEM et la NISP.. . . . . 1124.23 Ecart-type de la partie reelle =(∆Φ(θ)) obtenu avec la SSFEM et la NISP.. . . . . . . . 1124.24 Densite de probabilite du ratio SAX Sr obtenue avec la SSFEM et avec la NISP. . . . . . 1134.25 Couts numeriques de la SSFEM et NISP en terme du nombre de produits matrice-vecteur

de la meme taille que le probleme deterministe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

vii

viii

Liste des tableaux

3.1 Evolution du nombre de points de Smolyak et de Gauss Legendre tensorise. . . . . . . . 733.2 Type et intervalle de variabilite des variables aleatoires uniformes considerees dans le

cas test. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.1 Type et variabilite des variables aleatoires considerees dans le probleme du CND-CF. . . 984.2 Moments statistiques du ratio SAX Sr(θ) en fonction de la taille du plan d’experience. . 1084.3 Moments statistiques du ratio SAX Sr(θ) obtenus avec la NISP pour differents criteres

d’arret de l’algorithme adaptatif anisotrope. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.4 Comparaison de la precision, cout numerique et adequation au calcul distribue des

methodes de propagation des incertitudes NISP et SSFEM. . . . . . . . . . . . . . . . . 117

A.1 Schema de Wiener Askey. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126A.2 Polynomes de Hermite bi-dimensionnels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

ix

x

Liste des symboles et abreviations

D,Dc : Domaine d’etude, sous domaine conducteur.x : Variable reelle.x : Variable vectorielle de dimension spatiale.M : Nombre de variables aleatoires et nombre de sous domaines dans D.H,B : Champ magnetique, induction magnetique.E,J : Champ electrique, densite de courant.rot, grad, div : Operateurs differentiels : rotationnel, gradient et divergence.N : Nombre d’inconnues spatiales.A,As : matrice elements finis deterministe et stochastique.X,Xs : Vecteur d’inconnues deterministes et stochastiques.F ,F s : Vecteur du second membre deterministe et stochastique.Θ : Ensemble des realisations possibles d’une experience aleatoire.P : Mesure de probabilite.F : Tribu de Θ.L2(Θ) : Espace vectoriel des variables aleatoires a variance finie.θ : Realisation d’une experience aleatoire.ξi(θ) : Variables aleatoires independantes.ξ(θ) : Vecteur aleatoire de dimension M .fξ : Densite de probabilite de la variable aleatoire ξ.α,β : M-uplets d’entiers definissant les polynomes multidimensionnels.Ψα(ξ) : Polynome multidimensionnel, d’inconnue ξ(θ), construit a partir de polynomes

unidimensionnels donnes par α.ψn(ξ) : Polynome unidimensionnel d’inconnue ξ(θ) et d’ordre n.E [ξ] : Esperance mathematique de la variable aleatoire ξ(θ).CMp : Chaos polynomial d’ordre p de dimension M .P : Nombre de termes (polynomes multidimensionnels) dans le chaos polynomial.ρ(x) : fonction poids, positive et integrable.µ(ξ, θ), σ(ξ, θ) : Champs aleatoires (permeabilite et conductivite).M(µ(x, θ), σ(x, θ)) : modele magnetoharmonique ou magnetostatique a lois de comportement aleatoires.Y (θ) : Reponse aleartoire du modeleM.A(x, θ),T (x, θ) : Potentiels vecteurs (magnetique et electrique) aleatoires.Ω(x, θ), ϕ(x, θ) : Potentiels scalaires (magnetique et electrique) aleatoires.

xi

q : Niveau d’un schema d’integration.U in,Giq : Schema de quadrature de la dimension i de niveau q et la grille de calcul associee.QMq , G

Mq : Schema de quadrature multidimensionel et la grille de calcul associee.

I : Ensemble de M-uplets admissibles.

SSFEM : Methode des elements finis spectraux stochastiques.NISP : Methode de projection spectrale non intrusive.LHS : Methode de l’hypercube latin.CND-CF : Controle non destructif par courants de Foucault.GV : Generateur de vapeur.TSP : Plaque entretoise de support des tubes generateurs de vapeur.

w : La pulsation ou frequence angulaire.

xii

Introduction generale

La demarche de modelisation numerique des systemes physiques est un outil complementaire auxanalyses theoriques, voire l’unique recours lorsque les theories mathematiques ne peuvent etre etabliesou resolues pour des systemes complexes. Une telle formulation numerique des equations mathematiquesrepresentatives de la physique etudiee remonte aux annees cinquante, l’epoque correspondant a l’essordes ordinateurs et leur accessibilite aux communautes scientifiques civiles. Depuis, les capacites desmodeles numeriques a reproduire la physique n’ont de cesse de croitre. Le niveau des performancesintrinseques des ordinateurs et des stations de calcul atteint, d’une part, et les progres realises dansle domaine de l’analyse numerique, d’autre part, ont permis de reduire considerablement les erreursde modelisation (dues aux simplifications geometriques et hypotheses mathematiques) et de resolution(criteres d’arret et arithmetique flottante).

Cependant, certains parametres d’entree des modeles numeriques restent assujettis a des erreursd’approximation des l’etape amont de modelisation. En effet, souvent ces parametres sont obtenusen moyennant des mesures experimentales ou par des procedures d’identification peu precises. Donc,l’information relative aux divers parametres peut etre imprecise, incomplete, fragmentaire et parfoiscontradictoire. Les materiaux des systemes electromagnetiques presentent des dispersions d’originesvariees, elles peuvent provenir des gradients de temperature, des differences de pression pas toujoursmaitrisees ou simplement d’une degradation naturelle de ces materiaux au fil du temps. La demarche demodelisation stochastique ou quantification des incertitudes consiste, alors, en la prise en compte de cesincertitudes dans les modeles mathematiques regissant les phenomenes physiques et ensuite d’analyserleur influence sur les grandeurs d’interet (grandeurs scalaires ou vectorielles recherchees). Une manierede propager les incertitudes des parametres d’entree au travers du modele numerique est d’utiliser lesapproches dites probabilistes. L’approche probabiliste consiste a modeliser les parametres aleatoires etles grandeurs d’interet en fonction de variables ou de champs aleatoires.

Pour les industriels, disposer d’outils permettant de quantifier l’effet des incertitudes dans un modelenumerique s’avere etre un enjeu majeur et un avantage competitif non negligeable. En effet, l’estimationde la variabilite de grandeurs d’interet en fonction d’une eventuelle variabilite des parametres d’entreedu modele numerique peut etre utilisee pour justifier de la fiabilite et de la duree de vie d’un produit ma-nufacture. La quantification des incertitudes peut aussi etre utilisee pour faire du dimensionnement desystemes complexes au travers des analyses de sensibilite (recherche des parametres les plus impactantssur les grandeurs d’interet), pour des etudes de robustesse ou a des fins d’identification en construisantdes modeles probabilistes inverses. Plus particulierement, Electricite De France s’interesse aux tech-

1

niques de quantification des incertitudes afin d’etablir des modeles probabilistes en vue de les utilisesdans une demarche plus globale de maıtrise de risque dans ses installations nucleaires.

Cette these co-financee par Electricite De France et le PAI (pole d’attractivite inter-universitaires )belge et realisee au sein du LAMEL, laboratoire commun a EDF R&D et le Laboratoire d’Electrotechniqueet d’Electronique de Puissance (L2EP), vise a evaluer et comparer les differentes approches de propaga-tion des incertitudes au travers de modeles elements finis d’electromagnetisme, dans un premier temps,puis appliquer la(es) methode(s) retenue(s) sur un probleme industriel de controle non destructif parcourants de Foucault dans les generateurs de vapeur des centrales nucleaires. Les travaux presentesdans ce memoire sont une continuite des recherches initiees au sein du LAMEL [36]. Ils traitent desincertitudes portees par les lois de comportement lineaires entrant en jeu dans les problemes de lamagnetoharmonique formules sous l’hypothese des regimes quasi-statiques. A noter que des travauxsur la thematique de modelisation stochastique des lois de comportement non lineaires [78] et sur la pro-pagation des incertitudes portees par la geometrie [57] font aussi objet d’etudes au sein du laboratoireL2EP.

Les objectifs de cette these se resument en quatre points :

• Comparaison des approches spectrales intrusives et non intrusives pour la propagation d’incerti-tudes portees par les lois de comportement a travers des problemes industriels (de grandes tailles).Cette comparaison consiste a confronter la precision des reponses probabilistes obtenues avec lamethode Non Intrusive Spectral Projection et avec la methode Spectral Stochastic Finite ElementMethod en utilisant un estimateur d’erreur a posteriori stochastique, et a comparer leurs coutsnumeriques et leur adequation pour le calcul distribue.

• Amelioration des performances de la NISP en proposant un algorithme base sur un schemad’integration numerique adaptatif et anisotrope. Aussi, nous presenterons un solveur iteratif pourla SSFEM permettant de rendre cette methode viable pour des problemes de grandes dimensions(avec un grand nombre d’inconnues spatiales et aleatoires).

• Etude d’un probleme industriel de controle non destructif par courants de Foucault en vue dequantifier la variabilite des signaux de controle et de l’indicateur de bouchage des plaques entre-toises dans les generateurs de vapeur d’une centrale nucleaire.

• Capitaliser les travaux de recherche dans le code Carmel3D, code elements finis developpe ausein du LAMEL et destine a la simulation numerique des systemes electromagnetiques en bassesfrequences.

Le premier chapitre de ce memoire traite des developpements mathematiques regissant les problemesd’electromagnetisme statique et magnetodynamique en regime frequentiel. Dans un premier temps, nousrappellerons les etapes permettant de bien poser le probleme et les formulations en potentiels (A − ϕ)et (T − Ω) appliquees pour resoudre le systeme d’equations de Maxwell. Ces deux formulations enpotentiels seront decrites dans le cas ou les lois de comportement sont deterministes mais aussi dans lecas ou les lois de comportement sont incertaines. On explicitera les formes faibles continues et discretes,

2

deterministes et stochastiques pour les deux formulations en potentiels, et cela dans le cas statique et dansle cas magnetoharmonique. Au cours de ce chapitre, nous presenterons aussi la methode des elementsfinis utilisee classiquement dans le cas deterministe pour resoudre les systemes d’equations de Maxwellobtenus avec les formulations en potentiels. Par ailleurs, l’extension au cas stochastique de l’estimateurd’erreur a posteriori base sur le principe de la non verification de la loi de comportement magnetique serapresentee. Cet estimateur nous permettra de comparer qualitativement, dans le cas statique, les solutionsstochastiques calculees avec les differentes methodes de propagation des incertitudes.

Le deuxieme chapitre presente l’etat de l’art des methodes de propagation des incertitudes proba-bilistes. Outre les methodes de simulation (Monte Carlo et Hypercube Latin), nous presenterons lesapproches dites spectrales qui permettent d’acceder a une representation polynomiale des grandeursaleatoires recherchees. Apres avoir situer les avantages et inconvenients des methodes spectrales parrapport aux methodes de simulation, nous comparerons les deux approches spectrales NISP et SSFEMsur des problemes de la magnetoharmonique et de la magnetostatique. En magnetoharmonique, la com-paraison porte sur les densites de probabilite du flux magnetique complexe et ses moments statistiques.En magnetostatique, l’estimateur d’erreur a posteriori est applique pour comparer ces deux methodesdu point de vue energetique. Par ailleurs, le nombre de produits matrice-vecteur de meme taille quele probleme deterministe utilise comme indicateur du cout numeriques de chaque methode sera aussicompare.

Dans le troisieme chapitre de ce memoire seront presentees differentes techniques visant a reduireles couts numeriques des deux methodes spectrales de propagation d’incertitudes SSFEM et NISP. Nousrappellerons l’etat de l’art concernant la construction de schemas de quadrature creux ou cubatures per-mettant de reduire les couts de la methode NISP. En exploitant la propriete d’imbrication du schemade quadrature de Gauss-Patterson, nous decrirons des procedures adaptatives permettant de construirede maniere automatique la grille de calcul optimale. Ces procedures adaptatives seront classees endeux categories : algorithmes adaptatifs isotropes et algorithmes adaptatifs anisotropes. Concernantla SSFEM, plusieurs preconditionneurs et techniques de resolution du systeme lineaire resultant de ladouble discretisation (spatiale et stochastique) seront etudies. Plus particulierement, nous verrons quela methode de resolution iterative par bloc permet de transformer la resolution d’une systeme lineairede tres grande taille en resolution de multiples systemes lineaires de tailles reduites. L’ensemble desameliorations de la NISP et de la SSFEM seront appliquees et comparees entre elles.

Le quatrieme et dernier chapitre est consacre a l’application industrielle du controle non destructifpar courants de Foucault des generateurs de vapeur d’une centrale nucleaire EDF. Nous detaillerons,dans un premier temps, le modele elements finis deterministe utilise pour reproduire la technique dedetection de bouchage des plaques entretoises dans les generateurs de vapeur. Dans un second temps,nous presenterons le modele probabiliste considere pour etudier l’effet de la variabilite des proprietesphysiques de la magnetite, matiere a l’origine du bouchage, et la variabilite de celles de la plaque entre-toise sur les signaux de controle et le ratio SAX, indicateur du niveau de bouchage. L’etude de sensibiliteet de la variabilite des signaux de controle revelent que le ratio SAX n’est impacte que par la variabilitede la permeabilite de la magnetite.

3

4

Chapitre 1

Modelisation deterministe et stochastiquedes problemes de l’electromagnetisme

Dans ce chapitre seront decrites les equations mathematiques, les lois de comportement et les condi-tions aux limites permettant de modeliser le cas general de la magnetoharmonique et le cas particulier dela magnetostatique. Dans un premier temps, les formes faibles continues et discretes en magnetoharmoniqueet en magnetostatique obtenues avec les deux formulations en potentiels seront presentees dans le casdeterministe. Ensuite, les formes faibles continues et semi-faibles discretes 1 dans le cas stochastiqueseront decrites pour des problemes de la magnetoharmonique et de la magnetostatique.

1.1 Probleme deterministe

Dans le domaine du calcul des champs electromagnetiques basses frequences, on est amene a considererdes systemes constitues de milieux ferromagnetiques, des milieux conducteurs et des sources de champselectromagnetiques. De maniere generale, les systemes electrotechniques etudies possedent des geometriestres complexes et des lois de comportement multiples. Par consequent, l’etude de tels systemes requieredes modeles mathematiques resolus numeriquement. Classiquement, les geometries et les lois de com-portement intervenant dans cette representation mathematique sont supposees connues et prennent desvaleurs prealablement fixees. Les modeles numeriques ainsi etablis sont dits deterministes.

Cette section resumera les notations adoptees, les hypotheses effectuees dans le cadre d’une modelisationdeterministe de systemes electrotechniques en basses frequences et les formulations en potentiels les pluscommunement utilisees pour resoudre numeriquement les problemes deterministes.

1.1.1 Notations et hypotheses

On denote par D le domaine d’etude representant le systeme entier et par Γ sa frontiere. Tout aulong de ce memoire, nous supposerons que la source de champs electromagnetiques est imposee parun inducteur bobine de densite de courant Js. On omet volontairement la variable spatiale x afin de

1. Le terme forme semi-faible est utilise ici pour designer une forme faible selon la dimension spatiale x et gardee forteselon la dimension aleatoire.

5

simplifier les notations. Ainsi, on note par exemple H pour designer H(x). On suppose aussi que lafrontiere Γ du domaine D, de vecteur unitaire la normale sortante n, est constituee de deux surfacescomplementaires ΓH et ΓE telles que representees sur la figure 1.1.

ΓE ΓH

D

FIGURE 1.1 – Representation generale du domaine d’etude.

1.1.2 Equations de Maxwell et ARQS

La modelisation mathematique d’un probleme physique permet de decrire l’ensemble des phenomenesmis en jeu par des equations mathematiques. L’electromagnetisme est regi par les equations aux deriveespartielles de Maxwell [35] permettant de decrire l’ensemble des phenomenes electromagnetiques. Cesequations sont les suivantes :

rotH = J +∂D

∂t(1.1)

rotE = −∂B∂t

(1.2)

divB = 0 (1.3)

divD = ρ (1.4)

Les grandeurs H , D, E et B representent respectivement le champ magnetique (Ampere/metre), l’in-duction electrique (Coulomb/metre2), le champ electrique (Volt/metre) et l’induction magnetique (Tesla).Le champ J est la densite de courant (Ampere/metre2), ρ est la densite volumique de charges electriques(Coulomb/metre3) et t est le temps (seconde).Le systeme d’equations (1.1−1.4) tel qu’il est formule admet une infinite de solutions. Pour assurerl’unicite de la solution sur le domaine D, des lois de comportement et des conditions aux limitesdoivent etre prises en compte. Les lois de comportement que doivent satisfaire les champs solutionsdes equations de Maxwell sont les suivantes :

D = εE (1.5)

J = σE (1.6)

B = µH (1.7)

Dans cette these, les lois de comportement qui relient les differents champs sont supposees lineaires.Ainsi, la permeabilite magnetique µ, la conductivite σ et la permittivite electrique ε ne dependent que

6

de la position dans D. En effet, on neglige la dependance de ces parametres aux variations des champselectromagnetiques, aux facteurs environnants (temperature, pressions,...) et aux contraintes residuellesdans les materiaux. Enfin, pour introduire les conditions aux limites nous permettant de bien poser leprobleme, l’unique solution du systeme d’equations (1.1−1.4) parmi l’ensemble des solutions physique-ment admissibles est celle qui verifie les relations (1.5−1.7) et les conditions aux limites suivantes :

H × n = 0 sur ΓH (1.8)

E × n = 0 sur ΓE (1.9)

Toutefois, il est bien connu que la modelisation numerique d’un probleme physique est souvent le dernierrecours pour la reproduction et la comprehension d’un phenomene physique. En effet, generalementon ne peut acceder a une expression analytique de la solution aux equations mathematiques decrivantle phenomene. Des hypotheses simplificatrices et physiquement acceptables sont souvent faites pouralleger le modele mathematique. En electrotechnique, l’Approximation des Regimes Quasi-Statiques(ARQS) est systematiquement envisagee pour simplifier les equations de Maxwell. L’hypothese ARQSconsiste a negliger les courants de deplacement ∂D

∂t en considerant les milieux conducteurs commed’excellents conducteurs et les dimensions du systeme etudie negligeables devant la longueur d’onde.On rappelle que le champ source a divergence nulle dans les inducteurs (non conducteurs) est note Js etles courants induits (a determiner) dans les conducteurs par Jind. Compte tenu de l’hypothese ARQS,l’equation d’Ampere (1.1) se reecrit :

rotH = Jind + Js (1.10)

avec

divJind = 0 sur D

divJs = 0 sur D

Nos applications toucheront des systemes lineaires fonctionnant en regime sinusoıdale ou nous nousinteresserons principalement au regime permanent. Une approche dans le domaine frequentiel s’imposeet nous obtenons ainsi les equations de la magnetoharmonique :

− Loi d’Ampere : rotH = Jind + Js (1.11)

− Loi de Faraday : rotE = −jwB (1.12)

− Conservation du flux d’induction : divB = 0 (1.13)

− Conservation du courant : divJ = 0 (1.14)

avecw = 2πf la pulsation. L’equation (1.13) exprime le fait que l’induction magnetique est a divergencenulle, elle peut etre deduite de (1.12) et l’equation (1.14) de (1.11). A ces equations s’ajoutent les loisde comportement (1.6−1.7). Avec l’hypothese ARQS, les conditions aux limites du probleme peuventetre limitees a deux surfaces complementaires ΓH et ΓE de la frontiere Γ du domaine D. En effet, ensupposant que ΓH ∪ ΓE = Γ, ΓH ∩ ΓE = ∅ et en imposant :

H × n = 0 sur ΓH (1.15)

7

alors d’apres (1.10), on a :J · n = 0 sur ΓH (1.16)

De meme, en imposant :E × n = 0 sur ΓE (1.17)

alors d’apres (1.12), on a :B · n = 0 sur ΓE (1.18)

Nous supposons maintenant que le domaine D est divise en M sous-domaines Dd, avec d ∈ [1,M ],disjoints et dotes de conductivites σd, et de permeabilites µd.

Dans ce qui suit, nous allons detailler les espaces fonctionnels dans lesquels sont recherches leschamps inconnues, et sur lesquels nous etablirons les formes faibles.

1.1.3 Espaces fonctionnels des solutions

Le modele mathematique forme par les equations de Maxwell (1.11−1.14), les lois de comportement(1.6−1.7) et les conditions aux limites (1.15−1.18) est souvent resolu en utilisant les formulations enpotentiels [46, 63]. Avant d’introduire ces formulations, on va rappeler les espaces fonctionnels danslesquels sont recherchees les solutions des equations de Maxwell.Dans ce qui suit, les espaces L2(D) et L2(D) representent respectivement les fonctions scalaires etvectorielles de carre integrable au sens de Lebesgue surD . On munit l’espace L2(D) du produit scalairesuivant :

∀(u, v) ∈(L2(D)

)2, (u, v)D =

∫Duv dγ

De maniere similaire, on definit le produit scalaire sur L2(D) par :

∀(u,v) ∈(L2(D)

)2, (u,v)D =

∫Du · v dγ

avec · le produit scalaire canonique de R3. On introduit les domaines de definition des operateursdifferentiels grad, rot et div par :

W 0(D) = u ∈ L2(D) : gradu ∈ L2(D) (1.19)

W 1(D) = u ∈ L2(D) : rotu ∈ L2(D) (1.20)

W 2(D) = u ∈ L2(D) : divu ∈ L2(D) (1.21)

En supposant que le domaine D est contractile 2, ces sous espaces de L2(D) et de L2(D) verifient lesrelations suivantes :

Ker(rot(W 1)

)= Im

(grad(W 0)

)Ker

(div(W 2)

)= Im

(rot(W 1)

)avec Ker et Im sont respectivement le noyau et l’image de l’operateur auxquels ils sont appliques. Onretrouve ainsi les deux proprietes bien connues de l’analyse vectorielle (vrai que D soit contractile ounon) :

rot(gradu) = 0 ∀u ∈W 0

2. Un domaine D est dit contractile si toute surface ou courbe fermee de ce domaine peut etre ramenee par un reductioncontinue en un point i.e. D ne possede ni cavite ni boucle [23].

8

div(rotu) = 0 ∀u ∈W 1

Et leur reciproque (vrai si D est contractile) :– Si le rotationnel d’une fonction u1 de W 1 est nul alors on peut trouver une fonction u0 de W 0

telle que u1 = gradu0.– Si une fonction vectorielle u2 de W 2 est a divergence nulle alors elle derive d’un rotationnel deu1 de W 1, c’est a dire u2 = rotu1.

On introduit deux types d’espaces, sous espaces de W 0, W 1 et W 2, contenant uniquement les fonctionsverifiant les conditions aux limites sur ΓH et ΓE . Les sous espaces obtenus par restriction sur ΓE sont :

W 0E(D) = u ∈W 0 : u = 0 sur ΓE (1.22)

W 1E(D) = u ∈W 1 : u× n = 0 sur ΓE (1.23)

W 2E(D) = u ∈W 2 : u · n = 0 sur ΓE (1.24)

et les sous espaces obtenus par restriction sur ΓH sont :

W 0H(D) = u ∈W 0 : u = 0 sur ΓH (1.25)

W 1H(D) = u ∈W 1 : u× n = 0 sur ΓH (1.26)

W 2H(D) = u ∈W 2 : u · n = 0 sur ΓH (1.27)

Enfin, on peut remarquer que les champsH ,B,E et J appartiennent respectivement aW 1H ,W 2

E ,W 1E et

W 2H . Pour resoudre le probleme magnetoharmonique (1.11−1.14), il existe deux types de formulations :

en champs et en potentiels. Les formulations en champs consistent a resoudre le probleme en considerantcomme grandeurs inconnues les champsH etE. Cependant, en electrotechnique, on prefere utiliser lesformulations basees sur des potentiels. En magnetoharmonique, on peut resoudre le probleme soit avecla formulation electrique en potentiels A − ϕ ou avec la formulation magnetique en potentiels T − Ω.Dans la suite, on va detailler ces deux formulations en potentiels dans le cas de la magnetoharmonique.Pour simplifier le modele, il est courant de supposer que le domaine D n’est pas couvert totalement parun milieu conducteur Dc (ou la conductivite n’est pas nulle), il existe alors une region non conductriceDc dans D (figure 1.2). Les equations a resoudre sur Dc sont alors celles de la magnetostatique.

ΓH ΓE

Dc (µ)H,B

Dc (µ, σ)

H,B,E,J

Js

ΓH ΓE

Dc (µ)H,B

Dc (µ, σ)

H,B,E,J

Js

FIGURE 1.2 – Representation d’un probleme magnetodynamique.

9

Les formulations en potentiels ont l’interet de coupler naturellement les inconnues sur Dc et sur Dc, etc’est pourquoi elles sont souvent utilisees en electrotechnique. Dans le domaineDc, le champ electriqueE n’est pas defini et seuls le champs H et B sont inconnus, le courant J est egal au courant inducteurJs. Les formes semi-discretisees des formulations en potentiels en magnetostatique seront presentees demaniere plus resumee apres avoir bien detaille celles de la magnetoharmonique.

1.1.4 Probleme magnetoharmonique continu

Dans cette partie, on va decrire les deux formulations en potentiels avec lesquelles on va resoudrele probleme magnetoharmonique donne par les equations (1.11−1.14) et les deux lois de comportement(1.6) et (1.7) liant respectivement le champ d’induction magnetique B au champ magnetique H et ladensite de courant Jind au champ electrique E. Avec les formulations en potentiels on arrive a expri-mer un ou plusieurs champs electromagnetiques en fonction de potentiels de maniere a ce que l’uneou plusieurs equations de Maxwell soient verifiees implicitement. On suppose dans cette partie que ledomaine D est totalement conducteur i.e. D = Dc. Nous verrons ensuite le cas ou le domaine n’estpas conducteur (en magnetostatique) puis le couplage lorsque le domaine D possede simultanement desmilieux conducteurs et non conducteurs.

1.1.4.a Formulation electrique (A− ϕ)

Cette formulation consiste a exprimer le champ electriqueE en fonction de potentiels. D’apres l’ana-lyse vectorielle, la relation de conservation du flux d’induction magnetique (1.13) implique l’existenced’un potentiel vecteur magnetiqueA tel que :

B = rotA (1.28)

La composante normale de B est nulle sur ΓE (cf. relation (1.18)). Dans le cas general, pour assurercette condition, on imposera en general que la composante tangentielle de A est nulle 3. En substituantla relation (1.28) dans la loi de Faraday (relation (1.12)), celle-ci devient :

rot(E + jwA) = 0 (1.29)

Cette derniere relation implique a son tour l’existence d’un potentiel scalaire electrique ϕ tel que :

E = −jwA− gradϕ avec ϕ|ΓE= 0 (1.30)

En exprimant le champH en fonction de l’induction magnetiqueB et en substituant les equations (1.28)et (1.30) dans la loi d’Ampere, le probleme magnetoharmonique exprime en formulation electriqueA− ϕ est donne par :

rot(

1

µrotA

)+ σ(jwA+ gradϕ

)= Js (1.31)

Les equations (1.12) et (1.13) sont implicitement verifiees avec cette formulation. En notant que ladensite de courant source Js est a divergence nulle (cf. relation (1.14)), l’equation de conservation descourants induits Jind s’ecrit :

div(σ(jwA+ gradϕ)

)= 0 (1.32)

3. Cela depend des proprietes topologiques de ΓE . Si ΓE n’est pas simplement connexe alors il peut etre necessaired’effectuer un traitement numerique complementaire [47].

10

Cependant, le probleme magnetoharmonique (1.31) n’admet pas une unique solution (A − ϕ) car ilexiste une infinite de potentiels A et ϕ verifiant (1.28) et (1.30). Pour assurer l’unicite de la solution, ilest possible d’imposer une jauge [1, 50].Pour pouvoir resoudre ce probleme avec la methode d’approximation de solution par elements finis, ilest necessaire d’en deriver une forme faible. La forme faible du probleme magnetoharmonique exprimeen potentiels (A − ϕ) est obtenue par application de la methode des residus ponderes sur le probleme(1.31). On montre alors que la forme faible continue du probleme magnetoharmonique en formulation(A− ϕ) s’ecrit comme :

TrouverA ∈W 1E(Dc) et ϕ ∈W 0

E(Dc), tels que :∫Dc

1

µrotA · rotu dγ +

∫Dc

σ(jwA+ gradϕ) · u dγ =

∫Dc

Js · u dγ(1.33)

Cette equation est verifiee pour toute fonction test u ∈ W 1E(Dc). On remarque aussi que comme pour

tout v ∈ W 0E(Dc), on a gradv ∈ W 1

E(Dc). L’utilisation de (1.33) pour une fonction test u = gradv

conduit a : ∫Dc

σ(jwA+ gradϕ) · gradv dγ =

∫Dc

Js · gradv dγ (1.34)

Cette equation est la forme faible de 1.32 et sera utilisee lors de l’etablissement de la forme faiblediscrete du probleme magnetoharmonique en formulation (A− ϕ).

1.1.4.b Formulation magnetique (T − Ω)

Dans cette formulation, c’est le champ magnetique H qui sera exprime en fonction de potentielset d’un champ source Hs verifiant rotHs = Js et la condition aux limites Hs × n = 0 sur ΓH . Ladivergence nulle de la densite de courant implique l’existence d’un potentiel vecteur electrique T , definidans le domaine conducteur, tel que :

Jind = rotT (1.35)

On impose T × n = 0 sur ΓH pour assurer J · n = 0 sur la frontiere ΓH de D. De maniere similairequ’en formulation en potentiels (A − ϕ), les conditions aux limites sur ΓH dependent de la topologiede celle-ci. Un traitement numerique supplementaire peut etre necessaire si ΓH n’est pas simplementconnexe. La loi d’Ampere (1.11) redevient ainsi :

rot(H −Hs − T ) = 0 (1.36)

Cette equation implique l’existence d’un potentiel scalaire magnetique Ω tel que :

H = Hs + T − gradΩ, avec Ω|ΓH= 0 (1.37)

Pour assurer l’unicite de la solution, une condition de jauge doit etre appliquee. En utilisant cette ex-pression deH et les lois de comportement, on montre que la formulation (T − Ω) s’ecrit :

rot(

1

σrotT

)+ jwµ

(T − gradΩ

)= −rot

(1

σrotHs

)− jwµHs (1.38)

La forme faible continue du probleme magnetoharmonique exprime en formulation (T − Ω) s’ecrit :Trouver T ∈W 1

H(Dc) et Ω ∈W 0H(Dc), pour tout u ∈W 1

H(Dc) , tels que :∫Dc

1

σrotT · rotu dγ + jw

∫Dc

µ(T − gradΩ) · u dγ = −jw∫Dc

µHs · u dγ −∫Dc

1

σrotHs · rotu dγ

(1.39)

11

De maniere analogue au cas de la formulation A − ϕ, on peut deduire de (1.39), en prenant commefonction test u = gradv, v ∈W 0

H(Dc), la forme faible de la conservation de l’induction suivante :∫Dc

µ(T − gradΩ) · gradv dγ = −∫Dc

µHs · gradv dγ (1.40)

1.1.5 Probleme magnetostatique continu

Le probleme magnetostatique est obtenu en supposant cette fois-ci que le domaine d’etude estentierement non conducteur i.e. D = Dc. En notant que le champ electrique et les courants induitsn’apparaissent pas dans les domaines non conducteurs Dc, le probleme magnetostatique decoule dusysteme d’equations de Maxwell (1.11−1.14) et s’ecrit :

rotH = Js avecH × n|ΓH= 0

divB = 0 avecB · n|ΓE= 0

B = µH

(1.41)

Comme dans le cas magnetoharmonique, le probleme magnetostatique peut etre resolu avec les deuxformulations en potentiels, mais dans ce cas un seul potentiel est necessaire par formulation.

1.1.5.a Formulation vecteur magnetiqueA

De la meme maniere qu’en section 1.1.4.a, en introduisant le potentiel vecteur magnetique A, leprobleme magnetostatique consiste alors a chercher le potentiel vecteurA defini sur Dc tel que :

rot( 1

µrotA

)= Js

Une condition de jauge peut etre introduite pour assurer l’unicite de A. La forme faible continue duprobleme magnetostatique enoncee en formulation vecteur s’ecrit :

Trouver A ∈W 1E(Dc) , pour tout u ∈W 1

E(Dc) , tel que :∫Dc

1

µrotA · rotu dγ =

∫Dc

Js · u dγ(1.42)

1.1.5.b Formulation scalaire magnetique Ω

Toujours en supposant que le domaineD est contractile, on peut introduire le potentiel scalaire Ω telque :

H = Hs − gradΩ

En introduisant cette expression du champ magnetique H et la loi de comportement magnetique dansl’equation de conservation de l’induction magnetique, le probleme magnetostatique enonce en potentielscalaire consiste a chercher le potentiel scalaire Ω sur D = Dc verifiant :

divµ(Hs − gradΩ) = 0

La forme faible du probleme magnetostatique (1.41) s’ecrit :Trouver Ω ∈W 0

H , pour tout v ∈W 0H , tel que :∫

Dc

µgradΩ · gradv dγ =

∫Dc

µHs · gradv dγ(1.43)

12

1.1.6 Probleme general

Comme nous l’avons signale precedemment, l’utilisation des potentiels permet de lier naturellementle probleme magnetoharmonique sur Dc et le probleme magnetostatique sur Dc. Pour simplifier lesnotations, on suppose par la suite que l’inducteur n’est present que dans le milieu non conducteur et queles proprietes geometriques de Dc (connexite) permettent de confiner le champ source dans celui-ci. Laformulation electrique en potentiels (A− ϕ) s’ecrit :

TrouverA ∈W 1E(D) et ϕ ∈W 0

E(Dc), pour tout u ∈W 1E(D) et v ∈W 0

E(Dc), tels que :

∫D

1

µrotA · rotu dγ +

∫Dc

σ(jwA+ gradϕ) · u dγ =

∫DJs · u dγ∫

Dc

σ(jwA+ gradϕ) · gradv dγ = 0

(1.44)

Et le probleme magnetoharmonique enonce en formulation magnetique (T − Ω) s’ecrit :

Trouver T ∈W 1H(Dc) et Ω ∈W 0

H(D), pour tout u ∈W 1H(Dc) et v ∈W 0

H(D), tels que :

∫Dc

µT · gradv dγ −∫DµgradΩ · gradv dγ = −

∫DµHs · gradv dγ∫

Dc

1

σrotT · rotu dγ + jw

∫Dc

µ(T − gradΩ) · u dγ = −jw∫Dc

µHs · u dγ

−∫Dc

1

σrotHs · rotu dγ

(1.45)

1.1.7 Resolution par discretisation elements finis

De maniere generale, les differentes formes faibles continues vues precedemment ne peuvent etreresolues numeriquement. En effet, les espaces de ponderation et les espaces de definition des poten-tiels sont de dimensions infinies et ne peuvent donc pas etre consideres dans leur totalite lors d’uneimplementation informatique. Par consequent, la resolution numerique necessite l’introduction d’es-paces de dimension finie et on parle alors d’espaces de discretisation. La methode des elements finis estla methode la plus populaire utilisant ce principe de discretisation. Le domaine d’etude D est decoupeen un certain nombre de sous-domaines elementaires de formes geometriques simples appeles elementsfinis. L’ensemble des volumes elementaires de D est appele maillage de D. Sur chaque element fini, uneapproximation de la fonction solution du probleme est recherchee.

1.1.7.a Fonctions de base

La methode des elements finis a l’origine est basee sur une approximation nodale de la solution,c’est-a-dire cette approximation est determinee par les valeurs approchees de la solution sur les nœudsde l’element considere. En electromagnetisme, les sous domaines elementaires peuvent etre des trianglesou des quadrangles dans le cas 2D et des tetraedres, des prismes ou des hexaedres dans le cas 3D. Lessolutions approchees peuvent etre construites soit sur les nœuds de ces formes simples, soit sur les aretesou sur les facettes. Dans cette these, le maillage du domaine D est suppose constitue de n tetraedres, den0 nœuds, n1 aretes et n2 facettes. On fait correspondre a ce maillage les espaces vectoriels discrets W 0,

13

W 1 et W 2. L’espace W 0 est engendre par les fonctions d’interpolation scalaires w0i 1≤i≤n0 , continues

sur D, de type nodale et a variation lineaire sur chaque element fini et qui verifient w0i (xj) = δij sur les

coordonnees des nœuds. L’espace W 1 est engendre par les fonctions vectorielles w1i 1≤i≤n1 definies

comme :w1k = w0

i gradw0j − w0

jgradw0i

avec w0j la fonction nodale associee au nœud de depart de l’arete k et w0

j la fonction nodale associeeau nœud d’arrivee de l’arete k. L’espace W 2 est lui engendre par les fonctions vectorielles w2

i 1≤i≤n1

(cf. [63]). Ainsi, toute fonction scalaire v de W 0 peut s’ecrire comme une combinaison lineaire desfonctions de base w0

i i.e :

v =n0∑i=1

viw0i

De meme, toute fonction vectorielle u de W 1 peut etre representee comme une combinaison lineairedes fonctions de base vectorielles w1

i i.e :

u =

n1∑i=1

uiw1i

avec ui qui represente les circulations de u sur l’arete i. Aussi, toute fonction vectorielle u de W 2 peuts’ecrire comme :

u =n2∑i=1

uiw2i

ou ui represente le flux de u a travers les facettes i. On peut aussi introduire l’espace de discretisationW 3 engendre par les volumes des tetraedres. Le lecteur peut trouver la definition de ces espaces dans [63]et [46].

1.1.7.b Approximation et calcul des solutions

De la meme maniere que pour la definition des espaces continus W 0, W 1 et W 2 dans la section1.1.3, on definit des espaces discrets W 0

H , W 1H , W 2

H et W 0E , W 1

E , W 2E par restriction des espaces

W 0,W 1 et W 2 sur les conditions aux limites sur ΓH et ΓE . On a ainsi :

W 0G = u ∈ W 0 : u = 0 sur ΓG (1.46)

W 1G = u ∈ W 1 : u× n = 0 sur ΓG (1.47)

W 2G = u ∈ W 2 : u · n = 0 sur ΓG (1.48)

avecG ∈ H,E. Reprenons la forme faible du probleme magnetoharmonique dans le domaine continuenonce en formulation magnetique (A−ϕ) (systeme (1.44)). On cherche une approximation du potentielvecteur A ∈ W 1

E et une approximation du potentiel scalaire ϕ ∈ W 0E . Ces deux potentiels s’ecrivent

alors :

A =∑

i∈AE(D)

Aiw1i (1.49)

ϕ =∑

i∈NE(Dc)

ϕiw0i (1.50)

14

avec AE (resp. NE) l’ensemble des aretes (resp. nœuds) de D n’appartenant pas a ΓE . En appliquantla methode de Galerkin qui consiste a choisir comme fonctions test dans la forme faible les fonctionsdes espaces d’approximation W 1

E et W 0E , la forme faible discrete du probleme magnetoharmonique en

formulation (A− ϕ) (1.44) s’ecrit :

TrouverA et ϕ de formes :A =∑

i∈AE(D)

Aiw1i et ϕ =

∑j∈NE(Dc)

ϕjw0j

tels que : ∀m ∈ AE(D),∀l ∈ NE(Dc) on a :∫D

1

µrotA · rotw1

m dγ +

∫Dc

σ(jwA+ gradϕ) ·w1m dγ =

∫DJs ·w1

m dγ∫Dc

σ(jwA+ gradϕ) · gradw0l dγ = 0

(1.51)

Le terme source Js est discretise sur les facettes du maillage [63]. On l’ecrit comme :

Js =n2∑i=1

J isw2i

On rappelle que le domaine d’etudeD est divise enM sous-domainesDd (d ∈ [1,M ]) tel que sur chaquesous-domaine, la permeabilite µd et la conductivite σd soient constantes. En developpant la forme faiblediscrete (1.51), on montre que les inconnues Aii∈AE(D) et ϕii∈NE(Dc) du probleme sont obtenuesen resolvant un systeme lineaire de la forme :

AX = B (1.52)

avec A une matrice complexe, symetrique, obtenue par assemblage sur l’ensemble des sous-domainesde D comme :

A =

M∑d=1

1µdRrrd + σd R

wwd σd R

gwd

σd Rgwd σd R

ggd

(1.53)

Les blocs matricielsRXX sont donnes par :(Rrrd

)ij

=

∫Dd

(rotw1i · rotw1

j ) dγ(Rwwd

)ij

= jw

∫Dcd

(w1i ·w1

j ) dγ(Rgwd

)ij

=

∫Dcd

(gradw0i ·w1

j ) dγ(Rggd

)ij

=−jw

∫Dcd

(gradw0i · gradw0

j ) dγ

Le vecteur inconnuX s’ecrit sous la forme :

X = (A1, . . . , An1 , ϕ1, . . . , ϕn0)t

15

Le second membreB est donne par :

B =

Jww 0

0 0

Js

0

ou Js = (J1

s , . . . , Jn2

s )t. La matrice Jww obtenue par discretisation du terme source Js est de taillen2 × n2. Elle s’ecrit comme : (

Jww)ij

=

∫D

(w2i ·w1

j ) dγ

Par la suite, on designe par Gd(µd, σd) la matrice assemblee uniquement sur le sous-domaine Dd dudomaine D. Plus clairement :

Gd(µd, σd) =

1µdRrrd + σd R

wwd σd R

gwd

σd Rgwd σd R

ggd

(1.54)

En procedant de la meme maniere pour la formulation T − Ω, la forme faible discrete obtenue s’ecrit :

Trouver T et Ω de formes : T =∑

i∈AH(Dc)

Tiw1i et Ω =

∑j∈NH(D)

Ωjw0j

tels que : ∀m ∈ AH(Dc),∀l ∈ NH(D) on a :∫Dc

µT · gradw0l dγ −

∫DµgradΩ · gradw0

l dγ = −∫DµHs · gradw0

l dγ∫Dc

1

σrotT · rotw1

m dγ + jw

∫Dc

µ(T − gradΩ) ·w1m dγ = −jw

∫Dc

µHs ·w1m dγ

−∫Dc

1

σrotHs · rotw1

m dγ

(1.55)

avec AH (resp. NH ) l’ensemble des aretes (resp. nœuds) de D n’appartenant pas a ΓH .

Le champ source est discretise sur l’ensemble des aretes du domaine et s’ecrit :

Hs =n1∑i=1

H isw

1i

Comme pour les formulations precedentes, en substituant les expressions discretes de T , Ω et de Hs

dans cette forme faible, on montre que la matrice du systeme lineaire a resoudre s’ecrit comme unesomme sur l’ensemble des sous domaines de D de matrices complexes, symetriques, determinees par lapermeabilite µd et conductivite σd de chaque sous-domaine Dd, avec d ∈ [1,M ].

16

1.2 Probleme stochastique

Comme indique dans les objectifs de la these, nous ne traitons que des problemes ou les incertitudessont portees par les lois de comportement. Les termes sources restent deterministes et les grandeurs lo-cales et globales deviennent des grandeurs stochastiques. L’alea ou la dimension aleatoire est representeepar la variable θ. Toujours pour des raisons de clarte, on omet tant que possible la dimension spatiale x.Par exemple,H(θ) designe le champ aleatoireH(x, θ).

1.2.1 Rappels sur les probabilites

Pour decrire mathematiquement les problemes stochastiques d’electromagnetisme, nous allons rap-peler quelques notions non exhaustives de probabilites necessaires pour la modelisation des incertitudes.Au besoin, nous renvoyons le lecteur a l’annexe C pour une presentation plus etendue sur la theorie desprobabilites. On note Θ l’ensemble des resultats possibles d’une experience aleatoire et P la mesure deprobabilite de recurrence d’une tribu F de Θ. L’ensemble Θ, la tribu F et la mesure de probabilite Pforment l’espace probabilise (Θ,F ,P). La fonction de repartition d’une variable aleatoire reelle X(θ)

est definie comme la fonction FX qui, pour tout reel z associe la probabilite que cette variable aleatoireX(θ) prenne une valeur inferieure ou egale a z, i.e. :

FX(z) = P(X ≤ z) (1.56)

La fonction fX est dite densite de probabilite de la variable aleatoire reelle X(θ) si, pour z reel quel-conque, on verifie l’egalite :

P(X ≤ z) =

∫ x

−∞fX(ξ)dξ (1.57)

L’esperance mathematique ou la moyenne d’une variable aleatoire X(θ), notee E [X] est alors definiepar :

E [X] =

∫[a,b]

ξfX(ξ)dξ

avec X(θ) definie sur l’intervalle [a, b]. Pour caracteriser une variable aleatoire, on utilise les momentscentres mn d’ordre n qui sont definis de la maniere suivante :

Pour n ≥ 2 : mn = E [(X − E [X])n]

La variance ou dispersion de X(θ) est definie comme le moment centre reduit d’ordre 2 de celle-ci.L’ecart-type de X(θ) par rapport a sa moyenne est la racine carree de la variance de X(θ). L’ecart-typeest donc donne par :

σ = E[(X − E [X])2

]1/2=(∫

[a,b](ξ − E [X])2fX(ξ)dξ

)1/2

L’asymetrie ou skewness d’une variable aleatoire X(θ) mesure la symetrie de X(θ) par rapport a samoyenne E [X]. En d’autres termes, l’asymetrie est un indicateur de la position de la queue de distribu-tion de X(θ). Si le skewness est negatif, alors la queue de la distribution sera plutot etendue vers le cotegauche par rapport a E [X], et si le skewness est positif alors la queue de la distribution sera etendue

17

vers le cote droit par rapport a E [X] (cf. figure 1.3). Le skewness est le rapport entre le moment centrereduit d’ordre 3 et le cube de l’ecart-type i.e :

skew =E[(X − E [X])3

]σ3

L’aplatissement ou kurtosis d’une variable aleatoire X(θ) represente l’aplatissement de sa densite deprobabilite par rapport a la distribution normale centree reduite (cf figure 1.4). C’est une quantite nor-malisee definie comme le ratio entre le moment centre reduit d’ordre 4 et σ4 .i.e :

kurt =E[(X − E [X])4

]σ4

Remarque : Le skewness d’une variable aleatoire de loi normale centree reduite est nul, et son kurtosisvaut 3.

Skewness < 0

@@@R

Skewness > 0

FIGURE 1.3 – Illustration de l’asymetrie ou skewness d’une variable aleatoire.

?

Kurtosis < 3

@@@@R

Loi normalecentree reduite

Kurtosis > 3

FIGURE 1.4 – Illustration de l’aplatissement ou kurtosis d’une variable aleatoire.

Par la suite, on entend par moments statistiques d’une variable aleatoire sa moyenne E [X], son ecart-type σ, son skewness skew et son kurtosis kurt. On note L2(Θ) l’ensemble des variables aleatoires dontla variance est finie.

18

1.2.2 Sources d’incertitudes en electromagnetisme

Tout est une histoire de priorites. Pourquoi allons nous chercher d’infimes variations d’un parametresachant que le modele numerique est tres approximatif et peu precis ? pourquoi allons nous mener descompagnes de mesure tres couteuses sachant qu’un leger surdimensionnement de la structure suffit arepondre aux criteres de fiabilite ? telles seraient les reponses d’un ingenieur auquel on suggerait detenir compte des incertitudes dans son modele durant les annees 90. Cependant, avec les puissancesde calcul et les capacites des memoires des clusters actuels, on est capable de resoudre des problemesmathematiques complexes en utilisant des modeles numeriques finement mailles et d’une resolutioninegalee. Les sources d’erreurs de modelisation (introduites par les hypotheses et simplifications) etnumeriques (induites par les methodes numeriques) deviennent alors tres faibles. Ainsi, l’effet de la va-riabilite des grandeurs d’entree auparavant negligees ne peuvent plus l’etre pour certaines applications.Alors, tenir compte des incertitudes dans les modeles peut devenir un avantage competitif pour cer-tains industriels. En electromagnetisme, peu de travaux se sont interesses a cette thematique. Le L2EPet EDF R&D au travers du LAMEL est l’un des precurseurs dans le domaine du calcul de champselectromagnetiques en introduisant des 2004 des activites de recherche dans le domaine de la propa-gation d’incertitudes en electromagnetisme. Les sources des incertitudes auxquelles s’interesse ce la-boratoire commun a EDF et L2EP sont principalement celles portees par les lois de comportement,celles issues des tolerances d’usinages des composants (geometriques) et celles provenant des sourcesd’alimentation.

Lois de comportement

Parallelement a ces travaux de these, des caracterisations experimentales du comportement aleatoiredes materiaux ferromagnetiques sont menees au sein du laboratoire L2EP [78]. La figure 1.5 representeles courbesB(H) mesurees experimentalement pour differents stators d’un meme materiau. Une modelisa-tion numerique de tels stators necessite de considerer donc une loiB(H) aleatoire pour tenir compte decette variabilite.

FIGURE 1.5 – CourbesHmax = f(Bmax) experimentales. Image extraite de [78].

19

La permeabilite et la conductivite de la magnetite qui se depose dans les plaques de fixation des tubesgenerateurs de vapeur ne sont pas parfaitement connues. En effet, le peu de mesures experimentaleseffectuees sur ce melange d’oxyde montrent une importante variabilite de ces parametres physiquesavec la frequence d’excitation.

Geometries

Outre la variabilite des proprietes physiques de la magnetite, EDF est aussi confronte au probleme dela variation de l’entrefer entre le capteur est le tube generateur de vapeur lors de l’inspection des zonesde dudgeonnage (zones ou le diametre d’un tube varie). Ce probleme est un probleme stochastique oule parametre incertain du modele numerique est l’entrefer capteur-tube. Par ailleurs, dans le cadre dela these de Hung Mac menee avec VALEO, on s’interesse a la prise en compte des incertitudes surles dimensions [57]. Les mesures radiales des dents de stator, realisees dans le cadre de cette theseet resumees dans la figure 1.6, montrent clairement que les rayons des dents ne sont pas constants etpresentent un caractere aleatoire notable.

(a) Stator d’un alternateur (b) Rayons des dents du stator

FIGURE 1.6 – Incertitudes geometriques dans un stator d’un alternateur VALEO.

Termes sources

Enfin, les sources de champs electromagnetiques ne sont pas necessairement parfaitement connues.On peut, par exemple, rencontrer des disparites de la valeur d’une induction remanente des aimants, dememe, les tensions et les courants d’alimentation d’une machine peuvent connaıtre des fluctuations.

Comme presente precedemment, il apparait donc des sources de variabilite sur les donnees d’entreequ’on doit imperativement prendre en compte dans les modeles numeriques. Les approches probabi-listes, entre autres, consiste a considerer les parametres d’entree comme des variables ou des champsaleatoires. Dans la suite, nous allons presenter les equations continues et semi-discretes (discretisationsur la dimension spatiale uniquement) qui seront utilisees par la suite et qui sont basees sur les equationsdeterministes presentees precedemment.

20

1.2.3 Probleme magnetoharmonique stochastique continu

Considerant le probleme magnetoharmonique donne par le systeme d’equations (1.11−1.14) et leslois de comportement electrique (1.6) et magnetique (1.7). Comme nous nous interessons seulement auxincertitudes portees par la loi de comportement, nous supposerons dans la suite que les dimensions etles sources sont parfaitement connues. Consequence du caractere aleatoire des lois de comportement(µ(x, θ) notee µ(θ) et σ(x, θ) notee σ(θ)), les champs solutions du probleme magnetoharmoniquedeviennent aleatoires (Z := Z(θ),Z ∈ H,B,E,J). En vue de bien poser le probleme, on supposequ’on a les encadrements suivants : 0 < µmin ≤ µ(θ) ≤ µmax et 0 < σmin ≤ σ(θ) ≤ σmax, pour toutθ ∈ Θ. On a ainsi les relations suivantes :

B(θ) = µ(θ)H(θ) (1.58)

J(θ) = σ(θ)E(θ) (1.59)

Le probleme magnetoharmonique decrit par le systeme d’equation (1.11−1.14) devient stochastique ets’ecrit :

rotH(θ) = Jind(θ) + Js (1.60)

rotE(θ) = −jwB(θ) (1.61)

divB(θ) = 0 (1.62)

divJind(θ) = 0 (1.63)

ou les champsH,E,B et J appartiennent a l’espace D⊗L2(Θ), avec ⊗ le symbole de Kronecker quisymbolise le produit tensoriel de deux espaces [36]. Pour resoudre ce probleme on utilise les deux for-mulations en potentiels decrites dans le cas deterministe. En effet, les formulations en potentiels restentvalides dans le domaine stochastique car les operateurs differentiels rot, grad et div ne s’appliquentque sur la dimension spatiale, qui est dans notre cas independante de l’alea. Nous allons maintenantdecrire les formulations en potentiels stochastiques et les formes semi-faibles (faibles sur la dimensionspatiale et fortes sur la dimension aleatoire) du probleme stochastique.

1.2.3.a Formulation electrique stochastique (A− ϕ)

On peut toujours introduire un potentiel vecteur magnetique stochastique A(θ) ∈ D × L2(Θ)

verifiant :B(θ) = rotA(θ) pour tout θ ∈ Θ

Les frontieres ΓE et ΓH du domaine D sont supposees deterministes, le potentiel vecteur A verifie lacondition aux limites suivante :

A(θ)× n|ΓE = 0 pour tout θ ∈ Θ

On a donc A(θ) ∈ D × L2(Θ). On peut aussi introduire le potentiel scalaire stochastique ϕ(θ) ∈Dc × L2(Θ) verifiant :

E(θ) = −jwA(θ)− gradϕ(θ) pour tout θ ∈ Θ

21

avec ϕ(θ)|ΓE = 0. En substituant ces potentiels dans les equations de Maxwell, on montre que leprobleme magnetoharmonique stochastique enonce en formulation electrique (A− ϕ) s’ecrit comme :

Sur D : rot( 1

µ(θ)rotA(θ)

)+ σ(θ)

(jwA(θ) + gradϕ(θ)

)= Js

Sur Dc : div(σ(θ)

(jwA(θ) + gradϕ(θ)

))= 0

(1.64)

De la meme maniere qu’en deterministe, la forme semi-faible continue de ce probleme est obtenue enappliquant la methode des residus ponderes sur la dimension spatiale. Elle s’ecrit :

TrouverA ∈W 1E(D)⊗ L2(Θ) et ϕ ∈W 0

E(Dc)⊗ L2(Θ),∀u ∈W 1E(D) et ∀v ∈W 0

E(Dc),

tels que pour tout θ ∈ Θ, on a :

∫D

1

µ(θ)rotA(θ) · rotu dγ +

∫Dc

σ(θ)(jwA(θ) + gradϕ(θ)) · u dγ =

∫DJs · u dγ∫

Dc

σ(θ)(jwA(θ) + gradϕ(θ)) · gradv dγ = 0

(1.65)

En discretisant la dimension spatiale avec la methode des elements finis classique, les potentiels A(θ)

et ϕ(θ) sont respectivement recherches dans W 1E(D) ⊗ L2(Θ) et W 0

E(Dc) ⊗ L2(Θ) sous les formessuivantes :

A(θ) =∑

i∈AE(D)

Ai(θ)w1i (1.66)

ϕ(θ) =∑

i∈NE(Dc)

ϕi(θ)w0i (1.67)

avec AE et NE sont les memes ensembles introduits dans la section 1.1.7.b de ce chapitre. A chaquedegre de liberte spatial (nœud et arete) etait associe en deterministe un scalaire. Dans le cas stochas-tique, on y associe une variable aleatoire ϕ(θ)i a chaque nœud et Ai(θ) a chaque arete. En appli-quant la methode de Galerkin sur la dimension spatiale, la forme semi-faible discrete du problememagnetoharmonique stochastique en formulation (A− ϕ) s’ecrit :

TrouverA et ϕ de formes :

A(θ) =∑

i∈AE(D)

Ai(θ)w1i , ϕ(θ) =

∑j∈NE(Dc)

ϕj(θ)w0j

tels que : ∀m ∈ AE(D),∀l ∈ NE(Dc), pour tout θ ∈ Θ, on a :

∫D

1

µ(θ)rotA(θ) · rotw1

m dγ +

∫Dc

σ(θ)(jwA(θ) + gradϕ(θ)) ·w1m dγ =

∫DJs ·w1

m dγ∫Dc

σ(θ)(jwA(θ) + gradϕ(θ)

)· gradw0

l dγ = 0

(1.68)

Pour obtenir un systeme discret complet, les variables aleatoires Ai(θ) et ϕi(θ) necessitent d’etre a leurtour discretisees, ceci fera l’objet du chapitre suivant.

1.2.3.b Formulation magnetique stochastique (T − Ω)

On introduit un potentiel vecteur electrique stochastique T (θ) ∈ Dc × L2(Θ) tel que :

Jind(θ) = rotT (θ) pour tout θ ∈ Θ

22

et un potentiel scalaire magnetique stochastique Ω(θ) ∈ D × L2(Θ) tel que :

H(θ) = Hs + T (θ)− gradΩ(θ) pour tout θ ∈ Θ

La forme forte du probleme magnetoharmonique stochastique en formulation magnetique T − Ω estdonnee par :

Sur D : div(µ(θ)[T − gradΩ(θ)]

)= −div

(µ(θ)Hs

)Sur Dc : rot

(1

σ(θ)rotT (θ))

+ jwµ(θ)(T (θ)− gradΩ(θ)

)=

−rot( 1

σ(θ)rotHs

)− jwµ(θ)Hs

(1.69)

Le potentiel vecteur electrique T (θ) est defini uniquement dans Dc × L2(Θ), alors que le potentielscalaire magnetique Ω(θ) est defini dans tout le domaine D×L2(Θ). La forme semi-faible continue duprobleme magnetoharmonique stochastique exprime en formulation (T − Ω) s’ecrit :

Trouver T ∈W 1H(Dc)⊗ L2(Θ) et Ω ∈W 0

H(D)⊗ L2(Θ),∀u ∈W 1H(Dc) et ∀v ∈W 0

H(D),

tels que pour tout θ ∈ Θ, on a :∫Dc

µ(θ)T (θ) · gradv dγ −∫Dµ(θ)gradΩ(θ) · gradv dγ = −

∫Dµ(θ)Hs · gradv dγ∫

Dc

1

σ(θ)rotT (θ) · rotu dγ + jw

∫Dc

µ(θ)(T (θ)− gradΩ(θ)

)· u dγ =

−jw∫Dc

µ(θ)Hs · u dγ −∫Dc

1

σ(θ)rotHs · rotu dγ

(1.70)

On peut montrer que la forme semi-faible discrete du probleme magnetoharmonique stochastique enformulation (T − Ω) s’ecrit :

Trouver T et Ω de formes :

T (θ) =∑

i∈AH(Dc)

Ti(θ)w1i , Ω(θ) =

∑j∈NH(D)

Ωj(θ)w0j

tel que : ∀m ∈ AH(Dc),∀l ∈ NH(D), pour tout θ ∈ Θ, on a :∫Dc

µ(θ)T (θ) · gradw0l dγ −

∫Dµ(θ)gradΩ(θ) · gradw0

l dγ = −∫Dµ(θ)Hs · gradw0

l dγ∫Dc

1

σ(θ)rotT (θ) · rotw1

m dγ + jw

∫Dc

µ(θ)(T (θ)− gradΩ(θ)

)·w1

m dγ = 0

−jw∫Dc

µ(θ)Hs ·w1m dγ −

∫Dc

1

σ(θ)rotHs · rotw1

m dγ

(1.71)

ou pour chaque nœud est associee la variable aleatoire Ωj(θ) et pour chaque arete est associee la variablealeatoire Ti(θ), qu’il conviendra de discretiser pour obtenir un modele numerique discret et complet.

1.2.4 Probleme magnetostatique stochastique

Si le domaineD ne contient pas de milieux conducteurs, on doit alors resoudre un probleme magnetostatiquestochastique qui, pour tout θ ∈ Θ, verifie :

rotH(θ) = Js avecH(θ)× n|ΓH= 0

divB(θ) = 0 avecB(θ) · n|ΓE= 0

B(θ) = µH(θ)

(1.72)

23

La forme semi-faible discrete du probleme magnetostatique en formulation potentiel vecteur A est ob-tenue a partir de (1.68) en considerant uniquement les sous domaines non conducteurs (σ = 0). Celle-ciest donc donnee par :

TrouverA de forme :A(θ) =

∑i∈AE(D)

Ai(θ)w1i

tel que : ∀m ∈ AE(D) et pour tout θ ∈ Θ, on a :

∫D

1

µ(θ)rotA(θ) · rotw1

m dγ =

∫DJs ·w1

m dγ

(1.73)

La forme semi-faible discrete du probleme magnetostatique en formulation potentiel scalaire Ω est obte-nue a partir de (1.71) en considerant uniquement l’equation sur tout le domaine D et en prenant T = 0.Celle-ci est donc donnee par :

Trouver Ω de forme :Ω(θ) =

∑j∈NH

(D)Ωj(θ)w0j

tel que : ∀l ∈ NH(D) et pour tout θ ∈ Θ, on a :

∫Dµ(θ)gradΩ(θ) · gradw0

l dγ =

∫Dµ(θ)Hs · gradw0

l dγ

(1.74)

1.3 Estimation d’erreur

Une modelisation numerique d’un probleme physique, par definition, introduit toujours des erreursdans sa solution. Ces erreurs peuvent etre d’origines variees. Elles peuvent provenir des simplificationsphysiques et geometriques necessaires a la construction du modele mathematique, c’est a dire de l’en-semble des hypotheses effectuees pour l’etablissement du systeme d’equations. La qualite de la solutiondu probleme est aussi alteree par la restriction de l’espace de definition de cette solution, ce sont leserreurs de discretisation spatiale ou de maillage. Et enfin, les erreurs sur la solution peuvent aussi etredues aux methodes de resolution du systeme d’equations (critere d’arret des solveurs iteratifs, arrondisnumeriques). Quantifier la distance entre la solution numerique et la solution exacte d’un probleme a tou-jours ete un interet majeur dans le domaine de la simulation numerique. En effet, ceci permet de controlerla qualite de la solution numerique obtenue et de permettre une automatisation de l’amelioration qua-litative de la solution (maillages adaptatifs). Comme dans le cas deterministe, disposer d’un estimateurd’erreur permettant de quantifier les erreurs stochastiques (dues a la dimension aleatoire) en plus deserreurs de discretisation spatiale devient un axe de recherche d’interet croissant dans le domaine de laquantification des incertitudes.Dans cette partie du chapitre, on s’interessera uniquement a l’erreur de discretisation de la dimensionspatiale et de discretisation de la dimension aleatoire et ceci uniquement dans le cadre de l’electro-magnetisme statique. On developpera l’ecriture d’un estimateur d’erreur a posteriori stochastique pourl’estimation qualitative de la solution d’un probleme d’electromagnetisme statique stochastique. Cet es-timateur nous sera utile par la suite pour comparer differentes methodes de resolution des problemes

24

stochastiques dans le cas statique 4.

1.3.1 Cas deterministe

Les estimateurs ont ete initialement introduits dans le domaine de la mecanique pour estimer leserreurs de maillage elements finis. Il existe deux types d’estimateurs : a priori et a posteriori. Lesestimateurs d’erreur a priori [3] permettent de quantifier l’ordre de grandeur de l’ecart entre la solutionnumerique et la solution exacte bien avant tout calcul. Ils sont construits a partir des connaissances apriori du modele numerique (taille des elements, degre d’interpolation des fonctions) et ils sont utilespour le controle de la qualite du maillage. Dans cette partie, on s’interesse aux estimateurs d’erreur aposteriori. Ceux-ci sont introduits dans [4] pour l’estimation des residus des equations d’equilibre demecanique dans les cas simples et lineaires. P. Ladeveze [54] avait propose une autre version baseesur l’erreur de non verification de la loi comportement. En electromagnetisme statique, cette derniereapproche des estimateurs a posteriori transposee de la mecanique a fait l’objet de plusieurs travaux derecherche [59, 60, 79]. Nous rappellerons le principe de l’estimateur base sur la non verification de laloi de comportement dans le cas deterministe, et puis on explicitera l’extension de cet estimateur au casstochastique tel decrit dans [24].Soit un champ magnetique admissibleHad et un champ d’induction deterministe admissibleBad i.e. ilsverifient le systeme d’equations (1.41) du probleme magnetostatique et les conditions aux limites (1.15)et (1.18). On definit deux produits scalaires 〈·, ·〉µ et 〈·, ·〉ν (µ et ν representent la permeabilite et lareluctivite qui sont des grandeurs strictement positives) par :

〈X,Y 〉µ = 〈X, µY 〉D (1.75)

〈X,Y 〉ν = 〈νX,Y 〉D (1.76)

avec 〈·, ·〉D le produit scalaire usuel sur D. On associe a ces deux produits scalaires les normes ‖X‖2µ =

µ‖X‖2D et ‖X‖2ν = ν‖X‖2D. Le theoreme de Prager-Synge [76] nous assure l’egalite suivante :

ε =‖ Bad − µHad ‖2ν = ‖Had −Hex ‖2µ + ‖ Bad −Bex ‖2ν (1.77)

= 4 ‖ Bad + µHad

2−Bex ‖2ν (1.78)

ou le couple (Hex,Bex) designe la solution exacte du probleme magnetostatique.Une estimation de la distance entre le champ moyen (Bad + µHad)/2 et la solution exacte Bex peutetre ainsi obtenue. Par un simple developpement de (1.77), on montre que les energies magnetiques WB

et WH calculees respectivement avec les deux formulations en potentiels (A−ϕ) et (T −Ω) encadrentla valeur exacte de l’energie Wex :

‖Bad‖2ν = 2WB ≤ 2Wex ≤ 2WH = ‖Had‖2µ (1.79)

Cet encadrement n’est vrai que si la source de champs electromagnetiques est imposee par une densitede courant Js ou par une force magnetomotrice unique. Dans le cas ou la source est imposee par un fluxalors cette relation doit etre inversee.

4. Le developpement d’un estimateur d’erreur a posteriori en magnetoharmonique est tres complexe et depasse le cadre decette these. Cependant, des travaux de recherche en ce sens sont en cours au sein du laboratoire pour formuler des estimateursdans le cas deterministe.

25

1.3.2 Cas stochastique

Dans ce paragraphe, l’estimateur d’erreur deterministe decrit precedemment est etendu au cas sto-chastique. On considere deux champs stochastiques admissibles Had(x, θ) et Bad(x, θ) c’est-a-direverifiant, pour tout θ ∈ Θ, le systeme d’equations (1.72). On montre dans [24] qu’en presence d’incer-titudes sur la loi de comportement magnetique, on peut construire une erreur ε(θ) s’ecrivant :

ε(θ) =‖ Bad(x, θ)− µ(x, θ)Had(x, θ) ‖2ν (1.80)

ε(θ) est une variable aleatoire a valeurs positives. Si son esperance s’annule alorsBad(x, θ) etHad(x, θ)

verifient la loi de comportement pour presque tout θ ∈ Θ. Il en resulte que E [ε(θ)] dont l’expression estdonnee par :

E [ε(θ)] = E[‖ Bad(x, θ)− µ(x, θ)Had(x, θ) ‖2ν

](1.81)

est un estimateur de l’erreur numerique commise, prenant en compte a la fois les erreurs de discretisationliees a la dimension spatiale et les erreurs de discretisation sur la dimension aleatoire.

1.4 Conclusions du chapitre

Les systemes d’equations qui gouvernent la repartition des champs electromagnetiques dans un dis-positif electrotechnique, dans le cas statique et magnetodynamique en regime frequentiel, ont ete rap-peles dans ce chapitre. Les formulations en potentiels permettant de resoudre ces systemes d’equationsont ete presentees dans le cas deterministe et stochastique. La methode des elements finis appliqueea la dimension spatiale du probleme magnetoharmonique et magnetostatique a aussi ete detaillee. Laresolution numerique des problemes stochastiques decrite necessite de discretiser aussi la dimensionaleatoire. Les differentes techniques pouvant etre utilisees pour la discretisation de la dimension aleatoireseront introduites dans le chapitre suivant. Dans ce premier chapitre, nous avons aussi introduit l’exten-sion au cas stochastique de l’estimateur d’erreur a posteriori base sur le principe de la non verificationde la loi de comportement magnetique. Cet estimateur n’est defini que dans le cas statique, mais il nouspermettra neanmoins de realiser une comparaison des methodes de propagation d’incertitudes.

26

Chapitre 2

Methodes de propagation des incertitudes

Ce chapitre vise a faire l’etat de l’art sur les methodes de propagation des incertitudes. Apresune presentation generale de la methodologie pour quantifier l’effet des incertitudes dans les modelesnumeriques, les methodes utilisees pour introduire l’aspect probabiliste dans les modeles elements finisdeterministes seront presentees. Ces methodes sont classees dans ce memoire en deux categories : lesmethodes statistiques et les methodes dites spectrales du chaos polynomial. Les methodes statistiquesreferent a l’ensemble des techniques utilisant des tirages aleatoires des donnees incertaines pour ca-racteriser la variabilite des solutions numeriques. Les methodes spectrales du chaos polynomial sontcelles se basant sur une representation fonctionnelle des solutions stochastiques.

2.1 Incertitudes et propagation

Les progres realises, ces deux dernieres decennies, dans le domaine du calcul scientifique (methodesnumeriques, moyens informatiques) ont permis a la simulation numerique, dans une demarche deterministe,de tres bien reproduire l’experience. Tenir compte des incertitudes dans les modeles numeriques estdevenu alors une etape evidente, voire necessaire, pour ameliorer les predictions et la robustesse dessimulations numeriques. Le developpement des outils et des methodes de propagation des incertitudesdes donnees d’entree lors des simulations numeriques a fait objet de recherches actives dans les do-maines precurseurs de la mecanique et de la meteorologie. Et pour cause, les parametres des modelesmeteorologiques (vents, pressions, temperatures ...) sont fortement soumis a des variabilites, et en dyna-mique des structures, les sollicitations mecaniques peuvent connaitre de grandes variabilites. La metho-dologie de propagation des incertitudes dans les modeles numeriques est resumee dans la figure 2.1.Differentes methodes peuvent etre employees pour faire de la quantification des incertitudes (algebredes intervalles, logique floue, approches probabilistes). Dans nos travaux, nous nous focalisons sur l’ap-proche probabiliste. La demarche de quantification des incertitudes comprend quatre etapes qui sont :

• Etape A : elle consiste a proposer un modele mathematique du systeme physique etudie. Dans lechapitre 1, nous avons donne le modele probabiliste a resoudre dans le cas de la magnetoharmoniqueet de la magnetostatique, et cela pour les deux formulations en potentiels (A− ϕ) et (T − Ω).

• Etape B : elle a pour objectif de modeliser les parametres sujets a des variabilites (proprietesintrinseques des materiaux, geometrie du modele ou les champs sources) sous formes de va-

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riables ou champs aleatoires. Cette etape est cruciale pour une bonne analyse stochastique carelle requiere des essais experimentaux et le jugement d’experts. Une modelisation insuffisam-ment representative des parametres aleatoires peut conduire a des conclusions erronees sur lesreponses aleatoires du systeme reel. La mise en œuvre de methodes probabilistes suppose quela loi conjointe de toutes les grandeurs d’entree aleatoires est connue. Or, ce n’est souvent pasle cas en pratique du fait que les donnees experimentales manquent ou sont inexistantes car trescouteuses a obtenir, voire meme inaccessibles. De plus, dans la culture de l’ingenieur, les donneesd’entree sont souvent supposees connues et il existe peu de modeles dans la litterature de lois decomportement probabilistes. Les analyses stochastiques des systemes reels ou les incertitudes sontidentifiees a partir des mesures experimentales sont rares. Dans le cas ou suffisamment de mesuresexperimentales sont disponibles, les methodes les plus repandues dans la litterature pour modeliserles incertitudes sont la methode de vraisemblance [29, 72], la methode des noyaux [75, 80] ou lesmethodes Bayesiennes.

• Etape C est l’etape de propagation des incertitudes de l’etape B a travers le modele construit al’etape A. Elle peut necessiter un effort plus au moins consequent en implementation informatiquesuivant la methode de propagation retenue.

• Etape D : cette etape de post-traitement nous permet d’exploiter les resultats de l’etape C. Ellepermet en particulier d’obtenir les densites de probabilite des grandeurs locales et globales et derealiser une etude de sensibilite. Cette derniere permet de classer les parametres d’entree aleatoiressuivant leurs influences sur les solutions.

FIGURE 2.1 – Principales etapes de la demarche de propagation d’incertitudes. Schema propose dans[13, 88].

Les travaux resumes dans cette these traitent de l’etape C et de l’etape D. Les entrees sont considereescomme des variables stochastiques aleatoires de densites connues (uniformes, normales,...). Ils ont pourobjectifs d’une part de comparer les performances et la precision des methodes de propagation des

28

incertitudes dans le cadre de l’electromagnetisme a basses frequences, et d’autre part, d’ameliorer lesperformances des methodes de propagation des incertitudes utilisees dans l’etape C.

2.2 Approximation de variables et de champs aleatoires

Il est parfaitement naturel de considerer des variables aleatoires pour modeliser les incertitudes dansun systeme quelconque dans le cadre probabiliste. Dans certains cas, modeliser les incertitudes avecune unique variable aleatoire peut suffire pour realiser une etude stochastique. Par exemple, si dans unsysteme electromagnetique, l’unique parametre aleatoire est l’amplitude de la densite de courant im-posee alors on peut parfaitement modeliser cette incertitude par une seule et unique variable aleatoire.Cependant, la variabilite des parametres aleatoires dans les modeles numeriques presentent souvent unecertaine dependance spatiale (conductivites, permeabilites ...) ou temporelle ( phenomenes d’hysteresis).La modelisation de telles incertitudes necessite non plus l’utilisation d’une variable aleatoire mais deschamps aleatoires. Typiquement, si l’on considere par exemple la permeabilite µ supposee varier spa-tialement alors elle sera notee µ(x, θ), avec x la variable spatiale et θ l’alea appartenant a l’espace(Θ,F ,P). A chaque point de l’espace x, la permeabilite est representee par une variable aleatoire.

La notion de champ aleatoire refere donc ici a un processus stochastique parametre par la variablespatiale x. L’utilisation directe d’un champ aleatoire dans un schema numerique est tres difficile. Ilest necessaire de l’exprimer en fonction d’un ensemble de variables aleatoires. Ces variables aleatoiressont alors considerees comme des dimensions non necessairement independantes dans l’espace aleatoireL2(Θ). Une methode conduisant a une approximation d’un champ aleatoire par un ensemble de va-riables aleatoires a ete proposee par Karhunen-Loeve. La discretisation de Karhunen-Loeve [55] vise arepresenter le champ aleatoire µ(x, θ) comme une serie comportant des variables aleatoires independanteset des fonctions spatiales deterministes. Cette discretisation est basee sur une decomposition spectralede la fonction d’auto-covariance Cov(x,y) du champ aleatoire µ(x, θ) :

µ(x, θ) ≈ µ0(x) +∞∑i=1

ξi(θ)√λifi(x) (2.1)

ou µ0(x) represente la moyenne du champ aleatoire, ξi(θ) des variables aleatoires decorrelees, demoyenne nulle et de variance egale a 1. En pratique, le developpement (2.1) est tronque a M termes.(λi, fi(x)) sont les valeurs propres et les fonctions propres solutions du probleme aux valeurs propresgeneralise : ∫

Cov(x,y)fi(y)dy = λifi(x) (2.2)

La decomposition (2.1) est unique si les λi et les fi(x) sont solutions de (2.2). Cette decompositionest interessante car elle est optimale dans le sens qu’elle minimise l’erreur quadratique moyenne (ausens de la norme L2) entre le champ aleatoire et son approximation. Outre la difficulte de resoudrele probleme aux valeurs propres (2.2), cette methode necessite la connaissance de la fonction d’auto-covarianceCov(x,y). Dans les applications disponibles dans la litterature, un champ aleatoire donne estsouvent considere comme gaussien ou log-normal. Ainsi, les ξi(θ) constituent un ensemble de variablesaleatoires gaussiennes et independantes. A noter que, souvent, la decomposition de Karhunen-Loeve

29

conduit a des ξi(θ) decorrelees mais non independantes. Il existe des techniques permettant d’exprimerles ξi(θ) en fonction de variables aleatoires independantes.De maniere generale, il est donc possible de donner en entree du modele probabiliste des champsaleatoires qui s’expriment sous la forme :

µ(x, θ) =M∑i=1

ξi(θ)fi(x) (2.3)

Nous supposerons par la suite que les donnees d’entree du probleme (permeabilites, conductivites)s’ecrivent sous la forme (2.3), avec ξi(θ) des variables aleatoires de variances finies et independantes.Sous ces hypotheses, les problemes probabilistes Y (θ) =M(µ(x, θ), σ(x, θ)), consistant a rechercherla reponse aleatoire du modeleM lorsque les lois de comportement sont aleatoires et qui seront traitesdans cette these, peuvent etre modelises par la procedure decrite dans la figure 2.2.

ξ1(θ)...

ξM (θ)

Parametrisation des

champs aleatoires

µ(x, θ)

et

σ(x, θ)

Modele numerique

magnetoharmonique

Y =M(u(ξ))

Y (θ) = Y (µ(x, θ), σ(x, θ))

= Y (ξ1(θ), . . . , ξM (θ))

= Y (ξ(θ))

FIGURE 2.2 – Principales etapes de resolution du probleme probabiliste.

2.3 Methodes statistiques ou de simulation

2.3.1 Methode de Monte Carlo

La methode de Monte Carlo a ete formalisee pour la premiere fois par S. Ulam, J.N. Neumannet Metropolis en donnant une interpretation probabiliste d’un probleme de diffusion neutronique dansle cadre du projet Manhattan 1. Ces auteurs l’on denommee Monte Carlo en reference a la reputationde la principaute de Monaco pour les jeux de hasard. Son principe consiste a generer un nombre N derealisations ξiNi=1 desM grandeurs d’entree du modele Y =M(ξ), et ensuite a traiter statistiquementles N realisations YiNi=1 de la solution aleatoire Y (θ). Avec l’essor de la simulation par ordinateur,cette technique est generalisee a tous les domaines de la physique. Elle est devenue une methode dereference pour decrire le comportement aleatoire des modeles numeriques. C’est une methode robuste,facile a implementer et pratique pour realiser du calcul distribue. Son application est immediate des quela grandeur recherchee peut etre exprimee sous la forme simple d’une esperance. Pour estimer E [Y ], ouY (θ) est la reponse du modeleM dont les entrees aleatoires sont modelisees par le vecteur aleatoire ξ, ilsuffit de tirer un echantillon de realisations independantes ξiNi=1 suivant la loi de probabilite conjointede ξ et de calculer :

E [Y ] ' 1

N

N∑i=1

Yi =1

N

N∑i=1

M(ξi) (2.4)

1. Projet de recherche Americain qui a permis de realiser la premiere bombe atomique de l’histoire en 1945.

30

Cette methode ne s’applique pas que sur des modele stochastiques mais aussi a un champ importantd’applications a priori deterministes pour lesquelles les quantites d’interet pouvant se mettre sous laforme d’esperance relatives a un probleme stochastique. Ainsi, par exemple, la methode de Monte Carloest souvent illustree sur un probleme, a priori deterministe, de calcul d’une integrale de la forme :

I =

∫RMM(ξ)ρ(ξ)dξ (2.5)

avec ρ(ξ) une fonction positive et verifiant∫ρ(x)dx = 1. L’integrale I peut etre vue comme la moyenne

d’une variable aleatoire Y fonction d’un vecteur aleatoire ξ qui suit la loi ρ. Par definition de l’esperancemathematique E [·], on peut exprimer donc l’integrale I sous la forme I = E [M(ξ)]. On peut doncappliquer Monte Carlo et approcher l’integrale (2.5) par :

I ≈ I =1

N

N∑i=1

M(ξi) (2.6)

avec ξi des realisations independantes du vecteur ξ. La loi des grands nombres assure une convergencepresque sure de I vers I lorsque N tend vers l’infini. Plus precisement, le theoreme central limite im-plique I − I tend vers zero en σ√

N, avec σ l’ecart-type de I . En pratique, la mesure qualitative de

l’approximation I de I est donnee par l’ecart type σ√N

ou bien par l’intervalle de confiance a 95% de I .

L’intervalle de confiance a 95% de I correspond a l’intervalle :[I − 1.96

σ√N, I + 1.96

σ√N

](2.7)

Cette expression requiere le calcul de l’ecart type σ. Celui-ci peut etre estime avec l’estimateur sansbiais de la variance empirique de la maniere suivante :

σ2 ' 1

N − 1

N∑i=1

(M(ξi)− IN

)2 (2.8)

L’un des avantages de la methode de Monte Carlo est que sa vitesse de convergence ne depend pas ex-plicitement de la dimension de l’integration contrairement aux methodes de quadrature. Les methodesde Monte Carlo presentent aussi l’avantage d’etre insensible a l’irregularite des fonctions intervenantdans le probleme et qu’elle permettent de quantifier l’erreur du resultat obtenu (en estimant l’intervallede confiance). Cependant, la convergence de la methode de Monte Carlo est lente et l’augmentationde la dimension de l’integrale induit une augmentation de la variabilite de la sortie. A noter que sou-vent dans les applications numeriques tres peu de dimensions influent reellement sur la variabilite dessolutions, les methodes deterministes de discretisation ou de quadrature peuvent etre meilleures queles methodes de Monte Carlo. Les methodes adaptatives basees sur des grilles creuses d’integration,qui seront presentees dans le chapitre 3, peuvent etre une alternative aux methodes de Monte Carlo(en grandes dimensions stochastiques et lorsque peu de variables aleatoires sont predominantes dans lemodele probabiliste). Aussi, cette methode devient tres prohibitive si le cout de l’evaluation du modeleest consequent ou si l’on s’interesse aux queues des distributions des solutions aleatoires (approches fia-bilistes). De maniere generale, lorsque les methodes de Monte Carlo sont appliquees pour des problemesd’analyse numerique (calcul d’integrales, resolution d’EDP, resolution de systemes lineaires) pour les-quelles des methodes deterministes sont disponibles, la question de savoir si celles-ci sont competitives

31

se pose. Il existe des variantes ameliorees de la methode de Monte Carlo classique. Les methodesde reduction de variance permettent de reduire la variance du probleme considere. Ainsi, comme laprecision (intervalle de confiance) des methodes de Monte Carlo depend du nombre N de simulations,reduire la variance σ permet de reduire significativement le nombre N . Parmi ces methodes, on cite lamethode d’echantillonnage preferentiel ou importance sampling et les methodes de stratification (Hy-percube latin decrite ci-dessous).

2.3.2 Hypercube Latin

La methode de simulation de l’Hypercube Latin (LHS) est introduite pour la premiere fois parMcKay et al [61]. Elle a depuis ete utilisee dans diverses etudes statistiques des systemes complexes[70,71,93]. Son avantage par rapport a la methode classique de Monte Carlo est qu’elle reduit le nombrede simulations ou d’echantillons pour une precision similaire. En effet, l’inconvenient de la methode deMonte Carlo est qu’il y a un risque que les realisations de l’echantillon utilise soient focalisees sur unecertaine region au depend d’autres faiblement sondees. Le LHS utilise un schema de simulation par stra-tification pour ameliorer la couverture de l’espace des entrees aleatoires du modele. La stratification estrealisee en divisant l’axe vertical (axe y dans la figure 2.3) de la fonction de repartition Fξide la variablealeatoire d’entree ξi en N intervalles equidistants. Par transformation F−1

ξi(inverse de la fonction de

repartition), on obtient N intervalles pas necessairement equidistants de l’axe horizontal (axe x). L’in-tervalle de realisation de ξi est ainsi stratifie en N intervalles equiprobables de probabilite 1/N . Les Nvaleurs obtenues pour la variable ξ1 sont aleatoirement associees avec les N valeurs de la variable ξ2

pour obtenir N couples de valeurs. Ces N couples sont a leur tour associes de maniere aleatoire aux Nvaleurs de ξ3 pour former N triplets. On reproduit le processus jusqu’a l’obtention de N M-uplets.

Mathematiquement parlant, on definit une matrice de permutation P de taille N × M contenant surchaque colonne une permutation aleatoire de 1, ..., N (indices de sous intervalles de la variable ξ) etune matriceA de N ×M contenant des nombres aleatoires entre [0, 1] et independants. Le i-ieme pointd’experience (xi1, xi2, . . . , xiM ) est obtenu par :

xij = F−1ξj

( 1

N(Pij −Aij)

)

Sur la figure 2.5, on presente a titre d’illustration une comparaison entre la methode de l’hyper-cube latin et la methode de Monte Carlo pour estimer l’integrale bi-dimensionnelle de la fonctione−x

2+2sign(y) sur [−1, 1] × [−1, 1] representee sur la figure 2.5(a). On observe sur la figure 2.5(b),que l’erreur relative de la methode du LHS converge plus vite que celle de Monte Carlo.

32

ξ10

ξ11

ξ12

ξ13

ξ14

ξ15

ξ16

ξ17

ξ9ξ8ξ7ξ6ξ5ξ4ξ3ξ2ξ1

F−1(ξ1) . . . . . . F−1(ξ17)

FIGURE 2.3 – Division de l’intervalle de variabilite de ξi en N = 17 sous intervalles equiprobables. Icila variable est une loi gaussienne et la fonction de repartition F (x) est la fonction erf(x).

F−1(ξ11) . . . . . . F−1(ξ117)

F−1(ξ21)

...

...

F−1(ξ217)

Seco

nde

dim

ensi

onξ2

Premiere dimension ξ1

FIGURE 2.4 – Obtention des cellules equiprobables mais d’aires differentes.

-1

0

1 -1

0

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

(a) Fonction e−x2+2sign(y)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0 2000 4000 6000 8000 10000

Latin Hypercube SamplingMonte Carlo sampling

(b) Erreur relative sur∫∫

e−x2+2sign(y) en fonction de

la taille N de l’echantillon.

FIGURE 2.5 – L’erreur relative sur le calcul de∫∫

e−x2+2sign(y) avec l’hypercube latin et Monte Carlo

en fonction du nombre d’evaluations de la fonction e−x2+2sign(y) sur [−1, 1]2.

33

2.4 Methodes d’approximation locale

Les methodes se basant sur une approximation locale peuvent s’averer comme des bonnes alter-natives aux methodes de simulation de type Monte Carlo si uniquement la moyenne et la variance dela reponse aleatoire sont recherchees [16, 38]. Cependant celles-ci ne sont applicables que lorsque lescoefficients de variation des variables aleatoires d’entree sont assez faibles. Dans la litterature, deuxmethodes sont souvent decrites comme des methodes d’approximation locale.

La methode des perturbations basee sur un developpement en series de Taylor des grandeurs aleatoiresdans le modele numerique autour de leur valeur moyenne [15, 16]. Les details du calcul de la moyenneE [M(X)] et la variance V ar[M(X)] peuvent etre trouves dans [20,36]. Le calcul de ces deux quantitesnecessite alors le calcul des derivees du modeleM(X) par rapport aux differentes variables aleatoiresau point moyen. Ce calcul de derivees peut etre assez complique et couteux, ce qui limite l’emploi decette methode uniquement a l’ordre 1 et pour des modeles ayant une certaine regularite.

La methode de Neumann [15,33] vise a developper en serie l’operateur definissant la reponse du modele.SoitA une matrice inversible et supposons que la reponse aleatoire Y (θ) peut s’ecrire sous la forme :

Y (ξ) =M(ξ) ⇔ (A−k∑i=1

Bi(ξ))Y (ξ) = F (ξ) (2.9)

avec Bi(ξ) des matrices pouvant etre singulieres et F (ξ) un terme source. La solution Y peut doncs’ecrire comme :

Y (ξ) =(I −

k∑i=1

A−1Bi(ξ))−1A−1F (ξ) (2.10)

avec I la matrice identite. En developpant l’inverse de la somme a l’aide du developpement en serie deNeumann, la solution sera donnee par :

Y (ξ) =[ ∞∑j=0

( k∑i=1

A−1Bi(ξ))j]A−1F (ξ) (2.11)

En tronquant l’expression (2.11), on remarque que cette ecriture est semblable a ce qui peut etre obtenuen utilisant les preconditionneurs polynomiaux de Neumann sur le systeme (2.9).

On remarque aussi que la methode de Neumann ne converge que si la plus grande valeur propre de∑A−1Bi(ξ) est superieure a 1. En pratique, la convergence de la methode n’est garantie que lorsque la

variation des Bi(ξ) est faible. L’autre inconvenient de cette methode reside dans le fait que l’inversionde A peut etre tres couteuse en temps et en memoire. Dans le cas d’un probleme elements finis parexemple, la matrice A est creuse mais par contre son inverse est une matrice pleine tres couteuse acalculer et a stocker en memoire. En pratique, les methodes d’approximation locale decrites ci-dessussont utilisees principalement dans le cas ou les variabilites des entrees sont faibles.

34

2.5 Chaos polynomial generalise

2.5.1 Rappels sur les polynomes orthogonaux

Soit ρ = ρ(x) une fonction poids sur [a, b], c’est-a-dire une fonction positive et integrable. Pourtoutes fonctions f et g definies sur [a, b], on definit le produit scalaire (f, g)ρ =

∫[a,b] f(x)g(x)ρ(x)dx

de norme ‖f‖ρ =√

(f, f)ρ associee sur l’espace fonctionnel :

L2ρ(a, b) =

f : [a, b]d −→ R,

∫[a,b]

f2(x)ρ(x)dx <∞

(2.12)

L’ensemble des polynomes ψn, n = 0, 1, . . . , p de degre maximal p sont dits deux a deux orthogonauxpar rapport a la fonction poids ρ(x) si :

(ψn, ψm)ρ = ‖ψn‖2ρδnm (2.13)

avec δnm le symbole de Kronecker.

Nous allons maintenant rappeler le principe de la construction des polynomes orthogonaux classiques.

2.5.2 Construction de polynomes orthogonaux unidimensionnels

Pour une fonction poids ρ(x) donnee, correspond une seule et unique famille de polynomes ortho-normes et de degres differents. Cette suite de polynomes peut etre construite a partir de la base canoniquede R[X] (base des monomes xn, n = 0, 1, . . . , p) par le procede d’orthogonalisation de Gram Schmittou par la resolution d’une equation differentielle. Les polynomes orthogonaux classiques (Hermite, Le-gendre,...) sont des solutions d’une equation differentielle d’ordre 2 s’ecrivant :

a(x)ψ′′n(x) + b(x)ψ

′n(x) + c(n)ψn(x) = 0 (2.14)

Les fonctions polynomiales a(x), b(x) et c(n) sont determinees de maniere unique par la fonction ρ(x).

En considerant comme fonction poids la densite normale ρ(x) = 1√2πe−x

2/2 definie sur R, les po-lynomes orthogonaux obtenus sont ceux de Hermite. Ils verifient l’equation differentielle (2.14) aveca(x) = 1, b(x) = −x et c(n) = n. Cette equation differentielle definissant les polynomes de Hermitepeut etre reformulee en une relation de recurrence (cf. section A.1.3 de l’annexe A) :

ψn+1(x) = x

√1

n+ 1ψn(x)−

√n

n+ 1ψn−1(x) (2.15)

avec ψ0(x) = 1 et ψ1(x) = x.

Les polynomes de Legendre sont definis pour la fonction poids ρ(x) = 1. Ils verifient la relation derecurrence suivante (cf. section A.1.4 de l’annexe A) :

ψn+1(x) = (2x− 1)

√(2n+ 1)(2n+ 3)

n+ 1ψn(x)− n

√(2n+ 3)/(2n− 1)

(n+ 1)ψn−1(x) (2.16)

avec ψ0(x) = 1 et ψ1(x) =√

3(2x− 1).

35

2.5.3 Construction de polynomes orthogonaux multidimensionnels

Soit X = (x1, . . . , xM ) un vecteur de M variables, et α = (α1, . . . , αM ) ∈ NM un M-uplet

d’entiers naturels. Soit p un entier tel que p = |α| =M∑i=1

αi, p est la L1-norme de α. On appelle

une suite de polynomes multidimensionnels ou M-dimensionnels, de degre p et d’indeterminees X , lespolynomes Ψα definis par :

Ψα(X) = Ψα(x1, ..., xM ) =M∏i=1

ψαi(xi) (2.17)

avec ψαi(xi) un polynome unidimensionnel de variable xi.

Si les polynomes monodimensionnels ψαi sont orthogonaux entre eux par rapport a ρi(x) pour i fixe etsi les variables xi sont independantes (aucune dependance avec les autres) alors les polynomes multidi-mensionnels Ψα sont orthogonaux deux a deux par rapport a la fonction poids ρ(X) =

∏Mi=1 ρi(xi).

En effet, pour tout M-uplet α et β on a :

(Ψα(X),Ψβ(X)

)ρ

=( M∏i=1

ψαi(xi),

M∏j=1

ψβj (xj))ρ(

Ψα(X),Ψβ(X))ρ

=M∏i=1

(ψαi(xi), ψβi(xi)

)ρi(

Ψα(X),Ψβ(X))ρ

=

M∏i=1

δαiδβi = δαβ

δαβ = 1 si et seulement si les M-uplets α et β sont egaux. Les polynomes multidimensionnels Ψαforment alors une base de RM [X]. On rappelle que le degre p d’un polynome a plusieurs indetermineesest le plus haut degre du monome a M indeterminees. Le nombre total P d’elements de cette base de

degre p est egal a P =(M+pp

)=

(M + p)!

M !p!.

2.5.4 Developpement de variables aleatoires dans le Chaos Polynomial

Le developpement dans le chaos polynomial est a l’origine introduit par Wiener [89] comme unegeneralisation du developpement en serie de Fourier dans le domaine des champs aleatoires. Ghanemet Spanos [42] l’ont applique en mecanique pour resoudre les equations aux derivees partielles sto-chastiques. Wiener utilisait les polynomes de Hermite multidimensionnels et comme indeterminees desvariables aleatoires gaussiennes centrees reduites afin de developper les processus aleatoires appartenanta l’espace de Hilbert L2(Θ,F ,P) i.e. de variances finies. Le developpement dans le chaos polynomialde la variable aleatoire Y (θ) de L2(θ) consiste a le representer comme une combinaison lineaire decoefficients deterministes yα et de polynomes multidimensionnels Ψα(ξ(θ)), [92] :

Y (θ) =∑α∈NM

yαΨα(ξ(θ)) (2.18)

36

ou les M -uplets α contiennent l’ordre des polynomes orthogonaux unidimensionnels ψαi , associesa la mesure de probabilites fξi , utilises pour construire les polynomes multidimensionnels Ψα. Ledeveloppement en serie (2.18) converge en moyenne quadratique car l’ensemble des polynomes de Her-mite forment une base orthonormee et complete de l’espace L2(Θ,F ,P). Les polynomes Ψα sontorthogonaux par rapport a la mesure de probabilites fξ =

∏fξi pour 1 ≤ i ≤M . C’est-a-dire :

E[Ψαi(θ)Ψαj (θ)

]=

∫Ω

Ψαi(θ)Ψαj (θ) dP(θ) =

∫RM

Ψαi(ξ)Ψαj (ξ)fξ d ξ = δij (2.19)

ou E [·] denote l’esperance mathematique et δij le symbole de Kronecker. Cette representation polyno-miale est a l’origine utilisee par Wiener en considerant les polynomes de Hermite a indeterminees gaus-siennes centrees reduites pour representer les processus gaussiens. Le chaos ainsi construit est appelechaos de Hermite ou le chaos homogene. Le developpement dans le chaos de Hermite est a conver-gence exponentielle pour les processus gaussiens mais aussi pour certains processus non-gaussiens[42, 92]. Afin de pouvoir traiter d’autres processus non-gaussiens, le chaos de Hermite est generaliseen considerant non plus des polynomes de Hermite mais aussi d’autres polynomes orthogonaux. Lechaos ainsi construit est appele le chaos polynomial generalise. Les polynomes orthogonaux multidi-mensionnels constituant le chaos generalise sont construits a partir des polynomes monodimensionnelsψi, orthogonaux pour la densite de probabilite de ξi composante du vecteur ξ, en utilisant la relation(2.17). Le choix des polynomes orthogonaux monodimensionnels est regi par le schema de Wiener [92]qui donne la correspondance entre la densite de probabilite de ξi et le type de polynomes monodimen-sionnels. Ainsi par exemple, si la variable aleatoire ξi suit une loi uniforme alors on lui associe lespolynomes de Legendre (cf. Tableau A.1).

Le developpement dans le chaos generalise est dit optimal car la vitesse de convergence d’undeveloppement dans le chaos generalise est superieure a la vitesse d’un developpement dans un autrechaos polynomiaux. Par exemple dans [92], il a ete monte que le chaos polynomial de Legendre est plusadapte pour representer des variables aleatoires uniformes. Aussi, nous avons montre dans [7] que laconvergence d’un modele probabiliste lineaire, dont les entrees aleatoires suivent des lois uniformes, estplus rapide avec un chaos polynomial de Legendre que avec un chaos polynomial de Hermite.

En pratique, le developpement (2.18) est tronque a l’ordre p i.e. on ne considere que les polynomesΨα de degres au plus egaux a p. Par la suite, on designera par SMp l’espace des M -uplets α quiverifient : |α| =

∑i αi ≤ p. Le nombre total de termes dans le developpement dans le chaos est egale a

P = #(SMp ) =(M+pp

). On designera aussi par CMp l’espace contenant les P polynomes orthogonaux

multidimensionnels.

Remarque 1 : Pour certains types de variables aleatoires classiques, on dispose d’une expressionanalytique du developpement en polynomes de Hermite.

Remarque 2 : La principale difficulte du developpement dans le chaos reside dans l’augmentationgeometrique du nombre de termes P avec le nombre de variables aleatoires M et du degre de troncaturep.

Remarque 3 : Il existe d’autres bases avec lesquelles on peut representer des variables aleatoires. Oncite par exemple les ondelettes [58] et les polynomes doublement orthogonaux [5, 25].

37

Dans la suite, nous allons presenter les differentes methodes que l’on peut utiliser pour determinerles coefficients yα du developpement dans le chaos polynomial.

2.6 Approches spectrales non intrusives

De maniere generale, les methodes stochastiques spectrales sont une classe de methodes permettantd’obtenir une representation fonctionnelle de la reponse Y (ξ) du modeleM(ξ) via une decompositionde l’alea sur un ensemble de fonctions Ψi∞i=0. En considerant yi∞i=0, un ensemble de coefficientsdeterministes, cette representation fonctionnelle peut etre exprimee comme :

Y (ξ) =

∞∑i=0

yiΨi(ξ) (2.20)

Par methodes non intrusive, on entend l’ensemble des methodes ne necessitant aucune modificationdu code deterministe pour obtenir des informations statistiques de la reponse d’un modele numeriqueayant des entrees aleatoires. Ces methodes requierent uniquement des evaluations du code deterministecorrespondant a certaines valeurs des parametres d’entree. La methode de Monte Carlo et de l’hypercubelatin, par exemple, peuvent etre qualifiees de methodes non intrusives. Ainsi, les methodes spectrales nonintrusives sont clairement ces methodes visant a representer la solution stochastique Y (ξ) sous la forme(2.20) et a determiner les coefficients yi a partir d’evaluations du modele deterministe dont les valeursdes entrees sont judicieusement choisies. Les methodes probabilistes de propagation des incertitudessont toutes basees sur le principe decrit dans la figure 2.6. Le plan d’experience sur lequel est evalue lemodele numerique est propre a chaque methode non intrusive. Dans ce qui suit, nous presenterons lesfamilles de polynomes couramment choisies comme fonctions Ψi dans la representation 2.20 et nousdecrirons les approches numeriques permettant d’obtenir les grilles de calcul (ensemble des points surlesquels sera evalue le modele numerique).

Variablesstochastiques

ξ

Entrees aleatoires

µ(ξ), σ(ξ)

Modele numerique

Y =M(µ(ξ), σ(ξ))

Developpement en serie

Y (ξ) =

∞∑k=0

ykΨk(ξ)

FIGURE 2.6 – Principe des methodes spectrales stochastiques non intrusives.

2.6.1 Methodes de collocation

De maniere generale, la methode de collocation est utilisee dans l’analyse numerique pour interpolerla reponse d’un modele numerique en un nombre fini N de realisations ou de valeurs experimentalesdistinctes Yi de la reponse Y (ξ) = M(ξ). A ces realisations, on associe N valeurs d’interpolation ξiappelees points de collocation. L’approximation recherchee Y (ξ) de la solution Y (ξ) est telle que :

Y (ξi) = Yi, pour i = 1, . . . N (2.21)

Il existe deux manieres pour resoudre le probleme (2.21). Si les N points de collocations Yi sont donnesalors le probleme consiste a exhiber un polynome d’interpolation, d’un certain ordre, permettant de

38

verifier les equations (2.21). Cette interpolation peut aisement etre realisee, du moins dans le cas unidi-mensionnel, en utilisant les polynomes de Lagrange. Cependant, l’interpolation de Lagrange dans le casmultidimensionnel (M ≥ 2 ) peut s’averer tres delicate du fait que la determination meme de ces po-lynomes multidimensionnels pour des points de collocation quelconques est un probleme mal pose [90].Une autre maniere de resoudre ce probleme de collocation consiste a fixer une forme polynomiale del’interpolant et a calculer les points de collocation permettant de determiner de maniere unique cetteinterpolation. En supposant que l’approximation Y (ξ) s’exprime sous la forme :

Y (ξ) =∑α∈SMp

yαΨα(ξ) (2.22)

et en la substituant dans les egalites (2.21), le vecteur des coefficients yα determinant l’approximation Yest solution d’un systeme lineaire aN equations et P+1 inconnues. Par consequent, pour determiner lescoefficients deterministes yi, il faut au moinsN fonctions de base Ψα, ce qui se traduit par la condition :N ≤ P + 1. Le choix des fonctions de base Ψα et des points de collocation ξi a ete abondammentdiscute dans la litterature. Dans [12, 56], on preconise l’emploi des points de collocation selectionnes apartir de l’ensemble des uplets obtenus par la tensorisation des racines des polynomes unidimensionnelsde Hermite d’ordre maximal p = N − 1. Cette selection consiste a prendre les N uplets ayant les plusgrandes probabilites d’apparition.A noter que les methodes statistiques d’echantillonnage (Monte Carlo, LHS, ...) peuvent etre vuescomme des methodes de collocation dans le sens qu’elles verifient toutes sur les echantillons le systemed’equations regissant le modeleM i.e. elles verifient sur les points de simulation (2.21).

2.6.2 Methodes de regression

La methode de regression, aussi connue sous l’appellation minimisation aux sens des moindrescarres, est une approche probabiliste non intrusive. Elle consiste a approcher la reponse Y (ξ) d’unmodele numerique avec une surface de reponse de maniere a ce que cette surface de reponse coıncideavec la reponse du modele sur un ensemble fini de valeurs. Dans le cadre de la modelisation probabiliste,cette methode est decrite plus en details et appliquee dans [11–13]. Elle est disponible dans le logiciellibre OpenTURNS 2 developpe conjointement par EDF, Phimeca et EADS.

Supposons toujours qu’on dispose d’un echantillon YjNj=1 de la reponse du modele M(ξ) pour unplan d’experience de taille N (N realisations du vecteur ξj). On cherche l’approximation Y s’ecrivantsous la forme (2.20) et minimisant la variance V ar(Y − Y ). Cette approximation verifie donc :

minyα

(Y − Y ) = minyα

N∑j=1

(Yj − Y (ξj)) (2.23)

On cherche donc l’ensemble des coefficients yαα∈SMp annulant les derivees partielles ∂(Y − Y )/∂yα

pour tout α de SMp . On montre dans [88] que le vecteur inconnu y = (yα0 , . . . , yαP ) est solution dusysteme lineaire suivant :

y = (QtQ)−1QtY (2.24)

2. http ://www.openturns.org/

39

ou Y = (Y1, . . . , YN )t designe le vecteur echantillon etQij = Ψj(ξi) .

Cette methode est fortement dependante du choix du plan d’experience ξj . Un plan d’experience inadequatpeut conduire a un systeme lineaire (2.24) singulier ou mal conditionne. De plus, on montre dans [13,88]que la taille du plan d’experience N doit etre au moins egale a la taille du chaos polynomial utilise i.eN ≥ (M+p)!

M !p! , ce qui peut s’averer tres couteux en grandes dimensions aleatoires. Toutefois, les tech-niques de construction de chaos polynomiaux creux et adaptatifs proposees dans [13, 14] permettent dereduire le cout numerique de la methode en reduisant le nombre de termes dans le chaos polynomial.

2.6.3 Projection spectrale non intrusive (NISP)

La methode de projection spectrale consiste a projeter la reponse du modele sur la base du chaospolynomial et de l’exprimer sous la forme (2.20). La NISP differe des autres approches non intrusivesde la maniere dont sont calcules les coefficients deterministes yαα∈SMp qui determinent de maniereunique l’ecriture (2.20). Avec la NISP, ces coefficients sont determines en projettant la forme spectrale(2.20) de la reponse aleatoire Y (ξ) sur la base du chaos polynomial Ψα(ξ)α∈SMp . On ecrit alors :

E [Y (ξ)Ψβ(ξ)] =∑α∈SMp

yαE [Ψα(ξ)Ψβ(ξ)] , ∀β ∈ SMp (2.25)

De part l’orthogonalite des polynomes multivaries Ψα(ξ)α∈SMp , on deduit :

yβ =E [Y (ξ)Ψβ(ξ)]

E[Ψ2β

] , ∀β ∈ SMp (2.26)

Cette expression indique que les coefficients de projection yα sont les resultats d’integrales multidi-mensionnelles normalisees. L’evaluation numerique de ces integrales peut etre achevee soit a l’aide desmethodes de simulation (Monte Carlo, Hypercube Latin ...) ou l’integrale est approchee comme unemoyenne empirique, ou soit avec les methodes de quadrature ou l’integrale est evaluee avec les schemasde quadrature multidimensionnelles et les cubatures (quadratures creuses) de type Smolyak [85].

Dans ce qui suit, nous allons decrire les methodes de quadrature utiles pour le calcul des integralesmultidimensionnelles.

2.6.3.a Quadratures de Gauss

L’integration des fonctions multivariees apparait tres frequement en statistiques et en physique. Lescouts de calcul, qui en decoulent, ont contribue au developpement de nouvelles techniques alternatives ala methode de Monte Carlo. Les investigations ont permis alors de developper la methode de quasi MonteCarlo [53, 77] conduisant a une reduction consequente des couts de calcul. L’autre axe de rechercheconcerne les methodes basees sur le produit tensoriel des schemas de quadrature monodimensionnels.Dans le cas unidimensionnel, on rappelle que la plupart des formules de quadrature classiquesQ evaluantl’integrant f aux points x1, ..., xn ∈ [a, b] afin d’estimer

∫ ba f(x)dx peuvent s’ecrire :

If =

∫ b

af(x)dx ≈ Qf =

n∑k=1

wkf(xk) (2.27)

40

ou xk et wk sont, respectivement, les points et les poids de quadrature.Des lors qu’en pratique, l’evaluation de f est couteuse en temps de calcul (calcul elements finis parexemple), le nombre d’evaluations necessaire pour atteindre une certaine precision est, typiquement,le critere retenu pour mesurer la performance du schema d’integration. Du point de vue precision, leschemas de Gauss est optimum. En effet, le degre d’exactitude est maximal puisque avec n points onarrive a integrer exactement un polynome d’ordre 2n − 1. La construction d’un schema de quadraturemultidimensionnel a partir des schemas monodimensionnels consiste alors a sommer tous les produitspossibles des facteurs du schema monodimensionnel, c’est-a-dire :∫

[a,b]Mf(x)dx ≈ Q1 ⊗ ...⊗QM =

n1∑i1=1

...

nM∑iM=1

w1i1 ...w

Midf(x1

i1 , ..., xMiM

) (2.28)

Si le nombre de points de quadrature sur chaque dimension est n, alors le nombre d’evaluation du modelef est de nM . Le nombre de points de quadrature augmente exponentiellement avec la dimension, c’est cequ’on appelle le fleau de la dimension. On comprend que si f est un modele numerique (calcul elementsfinis) couteux en temps de calcul, ce type de construction atteindra vite ses limites lorsque la dimensionM sera grande. Pour remedier a cette difficulte, des schemas creux ou cubatures ont ete developpes.Ainsi en 1963, le mathematicien russe Smolyak avait propose une construction d’une formule de qua-drature creuse a partir l’ecriture complete du produit tensoriel. A noter que les quadratures de Gauss nesont pas, en general, imbriquees i.e les grilles de calcul (nœuds de quadrature) du schema a n points nese retrouvent pas dans le schema a n + 1 points. Ainsi par exemple, si on souhaite dans une procedureadaptative de calcul augmenter la precision, il faut augmenter le nombre de points de quadrature de na n + 1. Neanmoins, les n + 1 points de Gauss sont differents des n precedents, ce qui necessite doncn+ 1 nouveau calculs. Une methode de quadrature imbriquee connue est celle de Clenshaw-Curtis [53]qui reste neanmoins moins precise que les schema de type Gauss. En effet, Il faut n points pour integrerexactement un polynome d’ordre n− 1. Il est par contre beaucoup plus interessant lorsque il est utilisedans l’algorithme de Smolyak. A noter l’existence d’autres schemas a grilles emboitees. On trouve leschema trapezoıdale qui reste encore moins precis que les schemas de Gauss. On trouve aussi le schemade Gauss-Patterson qui offre une precision nettement plus superieure que le Clenshaw-Curtis et prochede celles de Gauss.

La construction de Smolyak et des schemas de quadrature imbriques seront decrits dans les sectionsdu chapitre 3 dediees a la construction de schemas d’integration en utilisant des algorithmes adaptatifsisotropes et anisotropes.

2.7 Approche spectrale de Galerkin (SSFEM)

A l’instar des methodes non intrusives decrites precedemment, la methode spectrale de Galerkin,aussi appelee elements finis stochastiques spectraux (SSFEM), permet d’obtenir une representation fonc-tionnelle de la reponse aleatoire Y (ξ(θ)) sous la forme (2.20). Outre son aspect intrusive, cette methodese differencie des methodes spectrales non intrusives par la maniere de calculer les coefficients yαiPi=0

caracterisant les grandeurs aleatoires exprimees sous la forme (2.20). Dans le cas de la SSFEM, lesproblemes magnetoharmoniques stochastiques presentes dans le chapitre 1 seront resolus en appliquant

41

la methode des residus ponderes sur la dimension aleatoire a l’image de ce qui est realise classiquementpour la dimension spatiale. Ainsi, les formes faibles discretes sur la dimension spatiale et sur la di-mension aleatoire sont obtenues a partir des formes semi-faibles presentees auparavant dans le chapitre1 (systemes d’equations (1.68) et (1.71) dans le cas magnetoharmonique, et les systemes d’equations(1.73) et (1.74) pour le magnetostatique). On decrit aussi dans cette partie la methodes du BiCG per-mettant de resoudre le systeme lineaire resultant de la double discretisation (spatiale et stochastique) desformes faibles discretes obtenues.

2.7.1 Formes faibles stochastiques continues

La forme faible continue du probleme magnetoharmonique enoncee en formulation electrique (A−ϕ) est obtenue en appliquant la methode des residus ponderes au systeme d’equations (1.65). On ecritainsi :

TrouverA ∈W 1E(D)⊗ L2(Θ) et ϕ ∈W 0

E(Dc)⊗ L2(Θ) :

∀u ∈W 1E(D),∀v ∈W 0

E(Dc) et ∀Ψ ∈ L2(Θ) :

E[Ψ(∫D

1

µ(θ)rotA(θ) · rotu dγ +

∫Dc

σ(θ)(jwA(θ) + gradϕ(θ)) · u dγ −∫DJs · u dγ

)]= 0

E[Ψ

∫Dc

σ(θ)(jwA(θ) + gradϕ(θ)) · gradv dγ]

= 0

(2.29)

De la meme maniere, la forme faible continue du probleme magnetoharmonique enoncee en formulationmagnetique (T −Ω) est obtenue en appliquant la methode des residus ponderes au systeme d’equations(1.70) :

Trouver T ∈W 1H(Dc)⊗ L2(Θ) et Ω ∈W 0

H(D)⊗ L2(Θ) :

∀u ∈W 1H(Dc),∀u = gradv, v ∈W 0

H(D)et ∀Ψ ∈ L2(Θ) :

E[Ψ

∫Dc

µ(θ)T (θ) · gradv dγ −∫Dµ(θ)gradΩ(θ) · gradv dγ

]= −E

[Ψ

∫Dµ(θ)Hs · gradv dγ

]E[Ψ

∫Dc

1

σ(θ)rotT (θ) · rotu dγ + jw

∫Dc

µ(θ)(T (θ)− gradΩ(θ)

)· u dγ

]=

−E[Ψjw

∫Dc

µ(θ)Hs · u dγ +

∫Dc

1

σ(θ)rotHs · rotu dγ

](2.30)

Par la suite, nous allons detailler uniquement la formulation en potentiels (A−ϕ), et les developpementsen formulation (T − Ω) suivent la meme logique qu’en formulation (A− ϕ).

2.7.2 Formes faibles stochastiques discretes

Pour appliquer la methode de Galerkin, les dimensions du probleme doivent etre discretisees. Dansle chapitre 1, on a presente les espaces W 1

E et W 0E (resp. W 1

H et W 1H ) utilises en formulation electrique

(A−ϕ) (resp. en formulation magnetique (T−Ω)) pour discretiser la dimension spatiale. La discretisationde la dimension aleatoire est realisee en considerant le chaos polynomial CMp compose des polynomes

42

orthogonaux multidimensionnels (de dimensionM ) de degre maximal p, introduits dans la section 2.5.4.Les expressions des potentielsA et ϕ donnees par les relations (1.66) et (1.67) traduisent le fait que cespotentiels sont des champs aleatoires (de meme pour les potentiels T et Ω). En effet, les inconnuesassociees aux nœuds du maillage (les potentiels scalaires) et celles associees aux aretes (potentiels vec-teurs) deviennent des variables aleatoires. En discretisant ces inconnues aleatoires sur la base du chaospolynomial i.e. en ecrivant :

Ai(θ) =∑α∈SMp

AiαΨα(ξ(θ)) (2.31)

ϕi(θ) =∑β∈SMp

ϕiβΨβ(ξ(θ)) (2.32)

et en substituant ces relations dans (1.66) et (1.67), on obtient les formes discretes des potentiels comme :

A(θ) =∑

i∈AE(D)

∑α∈SMp

AiαΨα(ξ(θ))w1i (2.33)

ϕ(θ) =∑

i∈NE(Dc)

∑β∈SMp

ϕiβΨβ(ξ(θ))w0i (2.34)

La forme faible discrete stochastique est obtenue en appliquant la methode de Galerkin c’est-a-dire en in-troduisant les relations (2.31) et (2.32) dans la forme semi-faible discrete du probleme magnetoharmoniquestochastique enonce en formulation electrique (A−ϕ) et donne dans (1.68), et en projetant cette forme-semi faible sur la base du chaos polynomial CMp . La forme faible du probleme magnetoharmoniquestochastique en formulation (A− ϕ) s’ecrit donc :

TrouverA ∈W 1E(D)⊗ CMp et ϕ ∈W 0

E(Dc)⊗ CMp de formes :

A(θ) =∑

i∈AE(D)

∑α∈SM

p

AiαΨα(ξ(θ))w1i

ϕ(θ) =∑

i∈NE(Dc)

∑β∈SM

p

ϕiβΨβ(ξ(θ))w0i

tels que : ∀m ∈ AE(D),∀l ∈ NE(Dc), ∀Ψ ∈ CMp , on a :

E[Ψ(∫D

1

µ(θ)rotA(θ) · rotw1

m dγ +

∫Dc

σ(θ)(jwA(θ) + gradϕ(θ)) ·w1m dγ −

∫DJs ·w1

m dγ)]

E[Ψ

∫Dc

σ(θ)(jwA(θ) + gradϕ(θ)

)· gradw0

l dγ]

= 0

(2.35)

En procedant de la meme maniere, la forme faible du probleme magnetoharmonique stochastique enonceeen formulation (T − Ω) est obtenue en ecrivant les potentiels T et Ω comme :

T (θ) =∑

i∈AH(Dc)

∑α∈SMp

T iαΨα(ξ(θ))w1i (2.36)

Ω(θ) =∑

i∈NH(D)

∑β∈SMp

ΩiβΨβ(ξ(θ))w0

i (2.37)

43

2.7.3 Systeme lineaire

Pour simplifier les notations, on suppose que le domaine d’etudeD est compose deM sous-domaineset que la permeabilite et la conductivite de chaque sous-domaine Dd sont aleatoires. Aussi, on note ν(θ)

la reluctivite definie comme l’inverse de la permeabilite µ(θ). En developpant la formulation faible(2.35), les potentielsA(θ) et ϕ(θ) recherches sont solutions du systeme d’equations suivant :

Pour tout g ∈ AE(D), l ∈ NE(Dc) et β ∈ SMp

∑α∈SM

p

∑j∈AE(D)

AjαE[ΨβΨα

( ∫Dν(θ)rotw1

j · rotw1g dγ + jw

∫Dc

σ(θ)w1j ·w1

gdγ)]

+

∑α∈SM

p

∑i∈NE(Dc)

ϕiαE[ΨβΨα

∫Dc

σ(θ)gradw0i ·w1

g dγ]

= E[Ψβ

] ∫DJs ·w1

g dγ∑α∈SM

p

∑j∈AE(D)

AjαE[ΨβΨα

(jw

∫Dc

σ(θ)w1j · gradw0

l dγ)]

+

∑α∈SM

p

∑i∈NE(Dc)

ϕiαE[ΨβΨα

∫Dc

σ(θ)gradw0i · gradw0

l dγ]

= 0

(2.38)

La permeabilite µ(x, θ) et la conductivite σ(x, θ) sont des champs aleatoires que l’on peut approchersous la forme 2.3. Dans la suite, on supposera que µ(x, θ) et σ(x, θ) sont constants par sous-domainesmais aleatoires. On ecrit alors :

µ(x, θ) =M∑d=1

µd(θ)Indd(x)

σ(x, θ) =

M∑d=1

σd(θ)Indd(x)

(2.39)

avec Indd(x) la fonction indicatrice definie comme :

Indi(x) =

1 si x ∈ Di0 sinon

(2.40)

ou Di le i-ieme sous-domaine du domaine d’etude D. Cette hypothese ne modifie en rien la generalitede l’approche mais permettra de donner une interpretation plus physique aux variables aleatoires µd(θ)et σd(θ). En substituant ces expressions des permeabilites et des conductivites aleatoires dans le systemed’equations (2.38), celui-ci redevient :

44

Pour tout g ∈ AE(D), l ∈ NE(Dc) et β ∈ SMp

M∑d=1

( ∑j∈AE(D)

∑α∈SM

p

AjαE[ΨβΨα

(νd(θ)

∫Dd

rotw1j · rotw1

g dγ + jwσd(θ)

∫Dc

d

w1j ·w1

g dγ)]

+

∑i∈NE(Dc)

∑α∈SM

p

ϕiαE[ΨβΨασd(θ)

] ∫Dc

d

gradw0i ·w1

g dγ)

= E[Ψβ

] ∫DJs ·w1

g dγ

M∑d=1

∑α∈SM

p

E[ΨβΨασd(θ)

]( ∑j∈AE(D)

Ajαjw

∫Dc

d

w1j · gradw0

l dγ+

∑i∈NE(Dc)

ϕiα

∫Dc

d

gradw0i · gradw0

l dγ)

= 0

(2.41)

En reprenant les blocs matriciels permettant de definir le systeme matriciel deterministe et donnes dans(1.54), le systeme d’equations (2.41) s’ecrit :

Pour tout g ∈ AE(D), l ∈ NE(Dc) et β ∈ SMp

M∑d=1

∑α∈SM

p

( ∑j∈AE(D)

AjαE[ΨβΨανd(θ)

](Rrr

d )jg +∑

j∈AE(Dc)

E[ΨβΨασd(θ)

](Rww

d )jg+

∑i∈NE(Dc)

ϕiαE[ΨβΨασd(θ)

](Rgw

d )ig

)= E

[Ψβ

]B

M∑d=1

∑α∈SM

p

E[ΨβΨασd(θ)

]( ∑j∈AE(Dc)

Ajαjw(Rgwd )jl +

∑i∈NE(Dc)

ϕiα(Rggd )il

)= 0

(2.42)

avecRd les matrices definies dans le cas deterministe (cf. page 15 du chapitre 1).

45

On montre alors que le systeme lineaire issu de (2.42) peut etre exprime sous la forme :

AsU s = Bs (2.43)

avec

As =

M∑d=1

(Sνd )11Rrrd . . . (Sνd )1PR

rrd

......

(Sνd )P1Rrrd . . . (Sνd )PPR

rrd

0

0 0

+

(Sσd )11Rwwd . . . (Sσd )1PR

wwd

......

(Sσd )P1Rwwd . . . (Sσd )PPR

wwd

(Sσd )11Rgwd . . . (Sσd )1PR

gwd

......

(Sσd )P1Rgwd . . . (Sσd )PPR

gwd

(Sσd )11Rgwd . . . (Sσd )1PR

gwd

......

(Sσd )P1Rgwd . . . (Sσd )PPR

gwd

(Sσd )11Rggd . . . (Sσd )1PR

ggd

......

(Sσd )P1Rggd . . . (Sσd )PPR

ggd

(2.44)

ou (Sνd )ij = E[Ψαi(θ)Ψαj (θ)νd(θ)

]et (Sσd )ij = E

[Ψαi(θ)Ψαj (θ)σd(θ)

].

C’est une matrice carree de taille P×N , c’est-a-dire P fois la taille du systeme lineaire deterministe. Parconsequent, le stockage de As peut s’averer tres couteux. On introduit les matrices Hν

d et Hσd definies

de la maniere suivante :

Hνd =

Rrrd 0

0 0

et Hσd =

Rwwd Rgw

d

Rgwd Rgg

d

(2.45)

Utilisant ces notations, on montre que la matrice As peut etre exprimee sous la forme tensorielle sui-vante :

As =M∑d=1

(Sνd ⊗Hνd + Sσd ⊗Hσ

d ) (2.46)

Ainsi, ecrire la matrice As du systeme lineaire sous la forme (2.46) permet de reduire sensiblementle cout memoire du stockage. En effet, pour stocker As il suffit de garder en memoire 2M matrices(Hν

d et Hσd ) de meme taille que le systeme deterministe mais fortement creuses, et 2M matrices (Sνd

et Sσd ) de taille P × P . Le vecteur solution U s = (u1,u2, . . . ,uP )t est constitue de P vecteurs detaille N . Chaque vecteur ui contient le i-ieme coefficient du chaos polynomial de la solution U , i.e.ui = (A1i, . . . , An1i, ϕ1i, . . . , ϕn0i)

t. En notantB le vecteur su second membre deterministe, le secondmembreBs du systeme stochastique est donne par :

Bs = (BE [Ψα0(θ)] , . . . ,BE [ΨαP (θ)])t (2.47)

Consequence de l’orthogonalite des polynomes Ψi(θ) du chaos polynomial et de leur normalisation, lesecond membre devient : Bs = (B, 0, . . . , 0)t. A noter que le systeme lineaire obtenu est complexe,symetrique mais pas hermitien car As = (As)T et As 6= (As)

T.

46

2.7.4 Calcul explicite des matrices Sσd et Sνd

Les matrices carrees et reelles Sσd et Sνd sont relatives a la dimension aleatoire. Elles sont de tailleP et leurs composantes sont donnees par :

(Sσd )ij = E[Ψαi(θ)Ψαj (θ)σd(θ)

], ∀i, j ∈ [1, P ] (2.48)

(Sνd )ij = E[Ψαi(θ)Ψαj (θ)νd(θ)

], ∀i, j ∈ [1, P ] (2.49)

En pratique, pour calculer explicitement ces matrices, on utilise le developpement dans le chaos poly-nomial de σd(θ) et de νd(θ). Ainsi, l’expression de σd(θ) dans le chaos polynomial s’ecrit :

σd(θ) =∑

α∈SMpin

σdαΨα(ξ(θ)), avec σdα ∈ R (2.50)

L’introduction de cette ecriture de σd(θ) dans l’expression (2.48), la matrice Sσd est alors donnee par :

(Sσd )ij =∑

α∈SMpin

σdαE[Ψα(ξ)Ψβi(ξ)Ψγj (ξ)

], ∀i, j ∈ [1, P + 1] (2.51)

Pour des polynomes multidimensionnels Ψ construits a partir de polynomes unidimensionnels ψ clas-siques (Hermite, Legendre), les esperances E

[Ψα(ξ)Ψβi(ξ)Ψγj (ξ)

]sont calculees de maniere analy-

tique (cf. annexe A). Aussi, en supposant que la permeabilite relative aleatoire µd(θ) sur le sous-domaineDd possede un developpement dans le chaos sous la forme :

µd(θ) =∑

α∈SMpin

µdαΨα(ξ(θ)), avec µdα ∈ R (2.52)

alors on montre dans l’annexe C.3.3 que la reluctivite aleatoire νd(θ) (inverse de µd(θ)) s’ecrit :

νd(θ) =∑

α∈SMp∗in

νdαΨα(ξ(θ)), avec νdα ∈ R (2.53)

avec p∗in est tel que :(M+pinpin

)= 2

(M+p∗inp∗in

).

En formulation (T−Ω), les matrices a calculer sontSµd etS1/σd . On aura donc besoin du developprement

dans le chaos polynomial de l’inverse de la conductivite 1σd(θ) .

2.7.5 Methodes iteratives pour la resolution deAX = B

Les methodes iteratives sont bien connues pour etre plus adaptees a la resolution de systemeslineaires de grandes tailles. Leurs algorithmes ne font intervenir aucune decomposition des matrices deces systemes, contrairement aux methodes dites directes. Elles sont d’autant plus avantageuses que cesmatrices sont creuses, ce qui est le cas avec la methode des elements finis. En effet, les decompositions(LU ,...) effectuees avec les methodes directes induisent le phenomene du remplissage (fill-in) condui-sant ainsi a manipuler plusieurs matrices de meme taille que l’originale mais fortement pleines. Ilexiste neanmoins des techniques permettant de rendre les methodes directes applicables a des matrices

47

creuses bien particulieres [30, 82]. Le principe des methodes iteratives est de construire une suite devecteurs Uk telle que, apres une infinite d’iterations, Uk converge vers la solution exacte du systemeAU = B. En pratique, on cherche un vecteur Uk suffisamment proche de la solution exacte U , pourune norme vectorielle donnee, en realisant des iterations de la forme :

U0 donne, Uk+1 = Uk + fk (2.54)

La methode du gradient conjugue [48] est certainement la plus connue des methodes iteratives. Elle estbien adaptee pour des matrices reelles, symetriques et definies positives. Cependant, comme indiquedans la section 2.7.3 precedente, la matrice du systeme lineaire issue du probleme magnetoharmoniquestochastique est complexe et l’utilisation du gradient conjugue pour resoudre de tels systemes resulteen de multiples relations de recurrence dans son algorithme 3. D’autres methodes plus performantes quele gradient conjugue pour resoudre des systemes a matrices complexes, symetriques et non definies ontete developpees dans le passe. Entre autre, on trouve la methode du gradient bi-conjugue (BiCG) [34].Le BiCG est propose pour resoudre les systemes complexes non symetriques. L’algorithme du BiCGpreconditionne utilise pour resoudre le probleme magnetoharmonique est celui decrit dans [19]. On leresume par :

U0 donne ; r0 = Bs −AsU0; r0 = P−1r0

g0 = r0; a0 = Asg0; w0 = P−1a0

Pour k = 0, . . .

Uk+1 = Uk + αkgk; αk = (wk)trk/(wk)tak

rk+1 = rk − αkak

rk+1 = rk − αkwk

zk+1 = Asrk+1

gk+1 = rk+1 − βkgk; βk = (wk)tzk+1/(wk)tak

ak+1 = zk+1 − βkak

wk+1 = P−1ak+1

(2.55)

Dans cet algorithme, la matrice du systeme lineaire intervient uniquement dans des produits matrice-vecteur Asrk+1. Pour realiser ce produit matrice-vecteur sans stocker directement la matrice As ousans la construire pour chaque produit matrice-vecteur, on utilise la propriete du produit tensoriel ⊗appelee vectorisation. L’operateur de vectorisation vec est defini comme un operateur qui transformeune matrice quelconqueC a n lignes et m colonnes en un vecteur Y de taille nm ou les n composantesY ((i − 1) ∗ N + 1 : i ∗ N) est la i-ieme colonne de la matrice C. L’operateur vec possede desproprietes tres interessantes lorsqu’il est associe au produit de Kronecker ⊗ (voir [45] pour plus dedetails). On rappelle notamment la propriete suivante :

(Q⊗R)Y = vec(RCQt) avecQ ∈ Cn×n et symetrique ,R ∈ Cm×m (2.56)

3. Aux relations d’orthogonalisation par rapport a A, s’y ajoute celles d’orthogonalisation par rapport a AT .

48

Ainsi, en supposant que rk+1 = vec(C), le produit matrice-vecteur Asrk+1 dans l’algorithme du BiCGest accompli de maniere suivante :( M∑

d=1

(Sνd ⊗Hνd + Sσd ⊗Hσ

d ))rk+1 =

M∑d=1

[vec(HνdC(Sνd )t

)+ vec

(HσdC(Sσd )t

)](2.57)

Remarque 1 :Les systemes obtenus avec les deux formulations en potentiels peuvent etre, bien sur resolus avecd’autres methodes iteratives adaptees aux systemes complexes non hermitiens tel que le GMRes [83].Cependant, cette derniere methode est plus couteuse en stockage que le BiCG puisqu’elle necessite degarder en memoire, pour chaque iteration de l’algorithme, le vecteur solution et le residu. Ce coutmemoire est equivalent a stocker deux matrices de taille (NP ) × N iter, avec NP est le nombre d’in-connues (taille des vecteurs iterations) et N iter est le nombre total d’iterations du GMRes.

Remarque 2 :A noter que, a ce stade des travaux, seul le preconditionneur de Jacobi ou diagonal a ete utilise. D’autrespreconditionneurs plus performants seront proposes dans le chapitre 3. Il faut aussi noter que dans cetravail, le stockage CSR (Compressed Sparse Row) a ete utilise pour stocker les matrices creuses Hν

d ,Hσd , Sνd et Sσd .

2.8 Comparaison SSFEM vs NISP

Dans cette partie, nous allons comparer la methode de projection spectrale non intrusive NISP avecla methode de projection de Galerkin intrusive SSFEM pour resoudre un probleme magnetoharmoniqueet un probleme magnetostatique representatifs des problemes decrits dans le chapitre 1. Comme nousne disposons pas d’estimateurs d’erreur en magnetoharmonique, les deux methodes sont comparees surle calcul d’une grandeur globale, en l’occurrence le flux magnetique complexe traversant l’inducteurbobine. En magnetostatique, l’estimateur d’erreur stochastique decrit dans la section 1.3.2 est utilisepour confronter la precision des deux approches. Les couts numeriques de la NISP et de la SSFEMseront aussi presentes pour resoudre le probleme magnetoharmonique.

A noter que les systemes lineaires resultant de la methode SSFEM seront par la suite resolus par lamethode iterative BiCG ou le produit matrice-vecteur est adapte a la structure tensorielle des matricesde ces systemes lineaires. Pour la NISP, le schema d’integration numerique considere est le schema deGauss-Legendre tensorise. Aussi, le chaos polynomial avec lequel on travaille est celui de Legendre.

2.8.1 Description du dispositif electromagnetique

L’exemple d’etude est une bobine a noyau de fer rectangulaire parcourue par un courant constant etdeterministe (figure 2.7). Le noyau de fer est constitue de deux couches, chacune d’elles est constitueed’un assemblage de quatre parties de meme geometrie. Le noyau est donc decompose en 8 sous-domaines. Deux maillages de la geometrie sont realises afin de discretiser la dimension spatiale. Le

49

premier maillage contient 11616 elements finis donnant 12460 inconnues en formulation (A − ϕ) et4829 inconnues en formulation (T − Ω). Le second maillage possede 46464 elements finis correspon-dant a 50460 inconnues en formulation (A− ϕ) et 19421 inconnues en formulation (T − Ω).

Dans un premier temps, on supposera que les sous-domaines constituant le noyau de fer sont des conduc-teurs dont leurs permeabilites µi et leurs conductivites σi sont supposees constantes sur chaque partiemais pouvant etre aleatoires (figure 2.8(b)). Le probleme magnetoharmonique regi par les equations(1.11−1.14) est ainsi obtenu. Ensuite, le noyau de fer est suppose constitue uniquement de milieux nonconducteurs (figure 2.8(a)). Les permeabilites µi sont supposees constantes sur chaque sous-domaine dunoyau mais dont les valeurs peuvent etre aleatoires. On obtient ainsi un probleme magnetostatique decritpar le systeme d’equations (1.41).

? ?

1

-

µ2, σ2 µ4, σ4

µ6, σ6

µ8, σ8

Bobine(i = 1A, N tours= 1)

µ1σ1

µ3, σ3

µ5σ5

µ7, σ7

FIGURE 2.7 – Geometrie du dispositif electromagnetique.

-

Les 8 sous-domaines sontnon conducteurs (µi)

Bobine

f = 0Hz

(a) Probleme magnetostatique

-

Les 8 sous-domaines sontconducteurs (µi, σi)

Bobine

f = 50Hz

(b) Probleme magnetoharmonique

FIGURE 2.8 – Configuration des problemes magnetostatique et magnetoharmonique.

50

2.8.2 Magnetoharmonique : comparaison sur le flux magnetique

La comparaison de la SSFEM et de la NISP sera faite en considerant deux cas differents. Premierement,on analysera ces deux methodes en considerant les parametres du modele probabiliste comme des va-riables aleatoires suivant la loi uniforme sur un intervalle fini [a, b] (figure 2.9(a)). Dans le second cas, lesvariables aleatoires du modele probabiliste sont supposees suivre une loi non classique, en l’occurrencela loi bimodale sur l’intervalle [a, b] telle que representee sur la figure 2.9(b). La loi bimodale sur [a, b]

est generee a partir de l’expression suivante : a+b2 + (b−a)

2 ψ1(ξ)− (b−a)40 ψ3(ξ) + (b−a)

40 ψ5(ξ), ou ψn(ξ)

sont les polynomes de Legendre d’ordre n et d’indeterminee la variable aleatoire uniforme sur [0, 1].

a b

(a) Loi uniforme

a b

(b) Loi bimodale

FIGURE 2.9 – Lois des variables aleatoires considerees pour la comparaison.

Pour ces deux configurations etudiees, les precisions et les couts numeriques de la NISP et la SSFEMsont compares sur la partie reelle et sur la partie imaginaire du flux magnetique aleatoire φ(θ) vu par labobine. A noter que les densites de probabilite qui seront reportees par la suite ont ete obtenues avec laformulation (T − Ω). Les conclusions qui seront faites pour le cas de la formulation de (T − Ω) sontaussi verifiees en (A− ϕ).

2.8.2.a Les parametres aleatoires suivent des lois uniformes

Les intervalles de variabilite des variables aleatoires qui seront considerees dans la comparaison sontfixes a [a, b] = [25, 75] pour les permeabilites relatives et [a, b] = [25ď4, 75ď4] pour les conductivites.Les permeabilites relatives et les conductivites considerees dans le modele magnetoharmonique commedes grandeurs deterministes sont fixees a 50 pour les permeabilites, et 50ď4 pour les conductivites.

Premier cas : 1 variable aleatoire

Dans un premier temps, on considere une seule variable aleatoire dans le modele probabiliste magneto-harmonique. Ainsi, la permeabilite relative µr1 est supposee aleatoire et uniforme sur [a, b] = [25, 75].On commence par chercher l’ordre de troncature p du chaos polynomial adapte a ce probleme stochas-tique en utilisant la methode SSFEM. On choisit la SSFEM pour l’identification de p car cette methodene requiere pas d’autres parametres de calcul contrairement a la NISP, ou le nombre de points de qua-drature doit etre specifie en plus de l’ordre de troncature p du chaos polynomial. Sur la figure 2.10 sont

51

reportees les evolutions de la densite de probabilite de la partie reelle <(Φ) et imaginaire =(Φ) du fluxen fonction de l’ordre de troncature p du chaos polynomial. On observe clairement sur cette figure queles traces des densites de probabilite de <(Φ(θ)) et =(Φ(θ)) se stabilisent a l’ordre p = 4. Cette obser-vation est confirmee par les moments statistiques normalises de ces deux grandeurs aleatoires puisque,en passant de l’ordre p = 4 a p = 5, une erreur inferieure a 0.001% est obtenue sur la moyenne etl’ecart-type, et une erreur inferieure a 1% pour l’asymetrie et l’aplatissement de <(Φ(θ)) et de =(Φ(θ)).

5.8e-08 6e-08 6.2e-08 6.4e-08

SSFEM - ordre 2SSFEM - ordre 3SSFEM - ordre 4

(a) Densite de probabilite de <(Φ(θ))

-2.4e-09 -2.2e-09 -2e-09 -1.8e-09

SSFEM - ordre 2SSFEM - ordre 3SSFEM - ordre 4

(b) Densite de probabilite de =(Φ(θ))

FIGURE 2.10 – Evolution de la densite de probabilite du flux complexe aleatoire Φ(θ) en fonction del’ordre de troncature p du chaos polynomial.

Le flux magnetique aleatoire tronque a l’ordre p = 4 est, cette fois-ci, calcule via la methode NISP enprenant comme schema d’integration numerique le schema de quadrature de Gauss-Legendre unidimen-sionnel pour differents nombre de points de quadrature.

5.8e-08 6e-08 6.2e-08 6.4e-08

SSFEMNISP - 3 pointsNISP - 4 points

(a) Densite de probabilite de <(Φ(θ))

-3e-09 -2.8e-09 -2.6e-09 -2.4e-09

SSFEMNISP - 3 pointsNISP - 4 points

(b) Densite de probabilite de =(Φ(θ))

FIGURE 2.11 – Densite de probabilite du flux complexe aleatoire Φ(θ) en prenant µ1 uniforme sur[25, 75].

On constate a partir des traces de la densite de probabilite du flux, representes sur la figure 2.11, une

52

convergence des resultats obtenus avec la NISP, dotee d’un schema a 4 points, vers ceux obtenus avec laSSFEM. L’ecart entre les moyennes, les ecart-types, les asymetries et les aplatissements du flux donnespar les deux methode est inferieur a 0.01% pour les deux grandeurs <(Φ(θ)) et =(Φ(θ)). Le coefficientde variation de la partie reelle <(Φ) du flux est egal a 3% alors que il vaut 7% pour la partie imaginaire=(Φ).

Deuxieme cas : 2 variables aleatoires

Cette fois-ci, en plus de la permeabilite µ1 qui suit la loi uniforme sur [25, 75], la conductivite σ2

est aussi consideree comme une variable aleatoire uniforme sur [25ď4, 75ď4]. L’ordre de troncature duchaos polynomial de Legendre est toujours fixe a p = 4. Sur la figure 2.12, on observe que la densite dela <(Φ(θ)) est quasiment la meme que celle obtenue dans le cas d’une seule variable aleatoire (figure2.12(a)) alors que la densite de =(Φ(θ)) a change de forme. Cette remarque s’explique par le fait quela variabilite de la partie reelle <(Φ(θ)) du flux est principalement impacte par celle de la permeabiliteuniforme µ1. La partie imaginaire quand a elle est influence par les deux variables aleatoires µ1 et σ2.

5.8e-08 6e-08 6.2e-08 6.4e-08

SSFEMNISP - 3 pointsNISP - 4 points

(a) Densite de probabilite de <(Φ(θ))

-3.2e-09 -2.8e-09 -2.4e-09 -2e-09

SSFEMNISP - 3 pointsNISP - 4 points

(b) Densite de probabilite de =(Φ(θ))

FIGURE 2.12 – Densite de probabilite du flux complexe aleatoire Φ(θ) en prenant µ1 uniforme sur[25, 75] et σ2 uniforme sur [25ď4, 75ď4].

Les ecarts entre les moyennes, les ecarts-types, l’asymetrie et l’aplatissement du flux donnes par lesdeux methodes sont plus important que ceux obtenus avec une seule variable, mais restent relativementfaibles. L’ecart le plus important est observe sur les asymetries, il est inferieur a 0.05%. Il est aussiinteressant de signaler une augmentation de la variabilite de =(Φ(θ)) avec l’augmentation du nombrede parametres aleatoires dans le modele probabiliste magnetoharmonique.

Troisieme cas : 4 variables aleatoires

La figure 2.13 illustre les densites de probabilite de <(Φ) et =(Φ(θ)) calculees en prenant µ1 et µ2

aleatoires sur [25, 75], ainsi que σ1 et σ2 uniformes sur [25ď4, 75ď4]. Ici, on obtient une autre forme dedensite de probabilite de la partie reelle du flux aleatoire. En effet, cette fois-ci <(Φ(θ)) ne depend pas

53

que de µ1 mais aussi de µ2. Ici aussi, on remarque une augmentation de la variabilite des deux grandeursaleatoires de sortie avec l’augmentation du nombre de variables aleatoires d’entree.

5.6e-08 6e-08 6.4e-08 6.8e-08

SSFEMNISP - 3 pointsNISP - 4 points

(a) Densite de probabilite de <(Φ(θ))

-3.5e-09 -3e-09 -2.5e-09 -2e-09 -1.5e-09

SSFEMNISP - 3 pointsNISP - 4 points

(b) Densite de probabilite de =(Φ(θ))

FIGURE 2.13 – Densite de probabilite du flux complexe aleatoire Φ(θ) en prenant µ1 et µ2 uniformessur [25, 75], σ3 et σ4 uniformes sur [25ď4, 75ď4].

Pour resumer, dans les trois cas de figures etudies, la NISP dotee d’un schema de Legendre unidimen-sionnel a 4 points de quadrature par dimension aleatoire permet d’obtenir des densites de probabilitedes grandeurs aleatoires <(Φ(θ)) et =(Φ(θ)) tres proches de celles obtenues avec la SSFEM. Cetteconstatation visuelle (sur les traces des densites) est confirmee avec la comparaison des moments statis-tiques des grandeurs d’interet. Neanmoins, il est extremement difficile, voire impossible, de situer cesdeux methodes en terme de precision en l’absence de solution exacte excepte le fait que ces methodesconvergent vers la solution exacte. Apres discussion des performances numeriques (cout numerique) desdeux methodes, on comparera de nouveau la NISP et SSFEM sur la grandeur globale aleatoire Φ(θ) maisavec des lois de comportement aleatoires suivant des lois bimodales au lieu de lois uniformes.

Comparaison des couts numeriques

La confrontation des deux methodes spectrales NISP et SSFEM est realisee en comparant le total desproduits matrice-vecteur de taille N , c’est-a-dire l’equivalent de produit d’une matrice carree de tailleN et d’un vecteur de taille N , ou N est le nombre de degres de liberte sur la dimension spatiale. Lescout numeriques qui seront reportes pour les deux formulations en potentiels ne comprennent pas ceuxde l’assemblage matriciel et du post-traitement, ils comportent uniquement ceux de l’etape de resolution.Les couts numeriques reportes sont en fonction de l’ordre p de troncature du chaos polynomial de Le-gendre. La NISP est realisee dans ce cas pour differents nombres de quadrature dans le schema tensorisede Gauss-Legendre. La figure 2.14 reporte le nombre de produits matrice-vecteur en fonction de l’ordrep de troncature du chaos en considerant 2 variables aleatoires. La figure 2.15 quand a elle resume lecout pour le cas ou on dispose de 4 variables aleatoires. Premierement, on observe que le cout de laformulation (A− ϕ) est beaucoup plus important que celui de la formulation (T − Ω).

Deuxiemement, le cout numerique des deux approches spectrales evolue exponentiellement avec l’aug-

54

mentation du nombre de variables aleatoires dans le probleme probabiliste. En effet, avec la NISP, lenombre de resolution de systemes de taille N a effectuer est egal a nMq , avec nq le nombre de pointsde quadrature par dimension aleatoire et M le nombre de variables aleatoires. Ainsi, par exemple, avec5 points de quadrature par dimension aleatoire, la NISP requiere 6800 produits matrice-vecteur pourresoudre le probleme probabiliste a deux variables aleatoires et en formulation (A − ϕ) (cf. figure2.14(a)), alors qu’elle necessite plus de 169000 produits dans le cas a 4 variables aleatoires et pourla meme formulation. La meme constatation peut etre faite pour la SSFEM. On observe aussi une re-lation exponentielle entre le cout numerique et l’ordre p de troncature du chaos. Cette dependance estclairement visible sur les traces de la SSFEM fournis sur les figures 2.14 et 2.15. A noter que les coutsnumeriques de la NISP montres sur ces deux figures sont constants en fonction l’evolution de l’ordre detroncature p car le nombre de points de quadrature nq = 5 considere est celui qui donne des resultatscorrects a l’ordre p = 4. En pratique, le nq optimal pour les ordres p =0 a p =3 doit etre inferieur a 5.

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

0 1 2 3 4

SSFEMNISP - 3 pointsNISP - 4 pointsNISP - 5 points

(a) Cout numerique en (T − Ω)

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

0 1 2 3 4

SSFEMNISP - 3 pointsNISP - 4 pointsNISP - 5 points

(b) Cout numerique en (A− ϕ)

FIGURE 2.14 – Nombre de produits matrice-vecteur de taille N en fonction de l’ordre de troncature p,et en considerant 2 variables aleatoires dans le modele probabiliste magnetoharmonique.

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

180000

0 1 2 3 4

SSFEMNISP - 3 pointsNISP - 4 pointsNISP - 5 points

(a) Cout numerique en (T − Ω)

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

0 1 2 3 4

SSFEMNISP - 3 pointsNISP - 4 pointsNISP - 5 points

(b) Cout numerique en (A− ϕ)

FIGURE 2.15 – Nombre de produits matrice-vecteur de taille N en fonction de l’ordre de troncature p,et en considerant 4 variables aleatoires dans le modele probabiliste magnetoharmonique.

55

2.8.2.b Les parametres aleatoires suivent des lois bimodales

Dans le cas precedent, les variables aleatoires dans le modele probabiliste sont toutes supposeessuivre la loi uniforme et le chaos polynomial utilise pour la representation fonctionnelle du flux complexeet aleatoire est celui de Legendre. En accord avec le schema d’Askey, represente par le tableau A.1(cf. Annexe A), cette representation spectrale possede une convergence exponentielle en fonction del’ordre de troncature. Ceci implique que une bonne approximation peut obtenue meme avec des ordresp de troncature faibles (p = 1 ou p = 2). Pour ne pas travailler avec chaos polynomial generalise, onconsidere cette fois-ci des variables aleatoires suivant des lois non classiques i.e. bimodales. Le chaospolynomial qui sera utilise est toujours celui de Legendre.

On rappelle que les intervalles de variabilite [a, b] des variables aleatoires qui seront considerees dansla comparaison sont fixes a [a, b] = [25, 75] pour les permeabilites et [a, b] = [25ď4, 75ď4] pour lesconductivites. Les permeabilites relatives et les conductivites considerees dans le modele probabilistecomme des grandeurs deterministes sont fixees a 25, pour les permeabilites, et 75 pour les conductivites.

Premier cas : 1 variable aleatoire

Nous commencons tout d’abord avec un modele a une variables aleatoire µ1 bimodale sur [25, 75].On cherche donc a identifier avec la SSFEM un ordre de troncature p permettant de bien representer lesdensites de probabilite de <(Φ(θ)) et =(Φ(θ)). On observe sur la figure 2.16 la stabilisation des courbesdes densites a partir de l’ordre p = 7. On suppose 4 par la suite que l’ordre p = 8 permet de representer,avec une grande precision, les densites de probabilite de <(Φ(θ)) et =(Φ(θ)). Nous supposerons dans lasuite que cela est vrai lorsque le nombre de variables aleatoires dans le modele probabiliste augmente.

5.6e-08 6e-08 6.4e-08

SSFEM - ordre 4SSFEM - ordre 5SSFEM - ordre 6SSFEM - ordre 7SSFEM - ordre 8

(a) Densite de probabilite de <(Φ(θ))

-2.5e-09 -2.3e-09 -2.1e-09 -1.9e-09 -1.7e-09

SSFEM - ordre 4SSFEM - ordre 5SSFEM - ordre 6SSFEM - ordre 7SSFEM - ordre 8

(b) Densite de probabilite de =(Φ(θ))

FIGURE 2.16 – Densite de probabilite du flux complexe aleatoire Φ(θ) en prenant µ1 bimodale sur[25, 75].

4. Cette hypothese est toutefois verifiee numeriquement. Pour chaque cas d’etude, on s’assure que les densites n’evoluentplus a partir de l’ordre p = 8.

56

Deuxieme cas : 2 variables aleatoires

Nous allons maintenant confronter les deux densites des grandeurs d’interet calculees avec la SSFEMet la NISP lorsque la permeabilite µ1 suit la loi bimodale sur [25, 75] et la conductivite σ2 suit la memeloi mais sur [25ď4, 75ď4]. Les deux figures 2.17(a) et 2.17(b) montrent que la NISP necessite un schemad’integration a 9 points de quadrature pour des resultats visuellement proches de ceux de la SSFEM.

5.6e-08 6e-08 6.4e-08 6.6e-08

SSFEMNISP - 8 pointsNISP - 9 points

(a) Densite de probabilite de <(Φ(θ))

-2.6e-09 -2.2e-09 -1.8e-09 -1.4e-09

SSFEMNISP - 8 pointsNISP - 9 points

(b) Densite de probabilite de =(Φ(θ))

FIGURE 2.17 – Densite de probabilite du flux complexe aleatoire Φ(θ) en prenant µ1 bimodale sur[25, 75] et σ2 bimodale sur [25ď4, 75ď4].

Troisieme cas : 4 variables aleatoires

Avec 4 variables aleatoires dans le modele (µ1 et µ2 bimodales sur [25, 75], σ3 et σ4 bimodales sur[25ď4, 75ď4]), on observe une augmentation logique de la variabilite de <(Φ(θ)) et =(Φ(θ)) par rapportaux cas avec 1 et 2 variables aleatoires et un changement des formes des densites de probabilite.

5e-08 5.4e-08 5.8e-08 6.2e-08 6.6e-08 7e-08

SSFEMNISP - 8 pointsNISP - 9 points

(a) Densite de probabilite de <(Φ(θ))

-3e-09 -2e-09 -1e-09

SSFEMNISP - 8 pointsNISP - 9 points

(b) Densite de probabilite de =(Φ(θ))

FIGURE 2.18 – Densite de probabilite du flux complexe et aleatoire Φ(θ) en prenant µ1 et µ2 bimodalessur [25, 75], σ3 et σ4 bimodales sur [25ď4, 75ď4].

57

En augmentant le nombre de variables aleatoires en entree du modele, les densites de probabilite de<(Φ(θ)) et =(Φ(θ)) tendent vers des densites normales. Ce resultat est aussi observe dans le cas ou lesentrees suivent des lois uniformes.

Comparaison des couts numeriques

En terme de comparaison de cout numerique, les constations faites dans le cas ou les entrees suiventdes lois uniformes restent vraies dans ce cas. Le nombre de produits matrice-vecteur avec les deuxformulations en potentiels (T − Ω) et (A− ϕ) est tout de meme represente dans les figure 2.19.

0

200000

400000

600000

800000

1e+06

1.2e+06

1.4e+06

3 4 5 6 7 8

SSFEMNISP - 8 pointsNISP - 9 points

(a) Cout numerique en (T − Ω)

0

500000

1e+06

1.5e+06

2e+06

2.5e+06

3 4 5 6 7 8

SSFEMNISP - 8 pointsNISP - 9 points

(b) Cout numerique en (A− ϕ)

FIGURE 2.19 – Nombre de produits matrice-vecteur de taille N en fonction de l’ordre de troncature p,et en considerant 4 variables aleatoires bimodales dans le modele probabiliste magnetoharmonique.

2.8.3 Magnetostatique : comparaison a l’aide de l’estimateur d’erreur

On a vu precedemment que la comparaison de la NISP et la SSFEM en terme de precision et dans lecadre de la magnetoharmonique est difficile a realiser. En effet, on ne peut conclure sur la precision deces deux methodes en etudiant les densites ou les moments statistiques des grandeurs globales aleatoiresen absence de solution exacte au probleme ou d’indicateur de l’erreur globale en magnetoharmonique.

Dans cette section, l’estimateur d’erreur globale stochastique decrit dans le paragraphe 1.3.2 du chapitre1 sera utilise dans le cadre magnetostatique afin d’atteindre l’objectif : comparer numeriquement laprecision de la SSFEM et de la NISP. L’expression de l’estimateur stochastique implementee est la memepour les deux approches spectrales. En d’autres termes, les permeabilites aleatoires et leurs inverses yapparaissant ont les memes developpements dans le chaos polynomial. Ainsi, en adoptant l’ecriture(2.52) des permeabilites aleatoires et l’ecriture (2.53) pour leurs inverse et en ecrivant les deux champs,d’induction et magnetique, admissibles et aleatoires sous les formes spectrales suivantes :

Bad(x, θ) =∑α∈SMp

bα(x)Ψα

Had(x, θ) =∑α∈SMp

hα(x)Ψα

58

l’estimateur stochastique s’ecrit alors :

E [ε(θ)] =∑

α∈SMp∗in

να∑β∈SMp

∑γ∈SMp

bβ(x) · bγ(x)E [ΨαΨβΨγ ] (2.58)

+∑

α∈SMpin

µα∑β∈SMp

∑γ∈SMp

hβ(x) · hγ(x)E [ΨαΨβΨγ ] (2.59)

−∑α∈SMp

bα(x) · hα(x) (2.60)

Cette ecriture fait clairement apparaıtre l’esperance E [ΨαΨβΨγ ]. Pour les polynomes de Legendre, cesesperances sont calculees de maniere analytique telle que presentee dans l’annexe A.

On considere donc le cas magnetostatique decrit dans la figure 2.8(a) et on compare la SSFEM et la NISPa l’aide de l’estimateur d’erreur stochastique. Comme dans le cas magnetoharmonique, la comparaisonsera faite pour differents nombres de variables aleatoires et pour des lois uniformes et des lois bimodales.

2.8.3.a Influence de l’ordre de troncature p et du maillage sur l’estimateur

L’estimateur d’erreur stochastique donne par la relation (2.58) est de nature global. Il englobe l’er-reur de discretisation spatiale, de discretisation aleatoire et l’interaction entre les deux dimensions. Nousnous interessons dans cette partie au comportement de cet estimateur lorsque les discretisations sontprogressivement affinees. Pour etudier l’influence de la discretisation spatiale sur l’estimateur, deuxmaillages elements finis sont etudies : maillage avec 11616 elements et maillage avec 46000 elements.L’influence de la discretisation de la dimension aleatoire (taille du chaos polynomial) sur ce meme es-timateur est analysee en incrementant l’ordre de troncature p. Cette analyse est realisee en considerantdeux modeles probabilistes : modele dont l’entree aleatoire µ1(θ) suit la loi uniforme sur [25, 75], etmodele dont l’entree µ1 suit la loi bimodale sur [25, 75]. Le chaos polynomial considere est celui deLegendre dans les deux cas et la methode de propagation retenue est la methode SSFEM.

Les resultats obtenus et illustres sur la figure 2.20(a), dans le cas ou µ1 est uniforme, montrent que leraffinement de la dimension spatiale fait diminuer l’erreur d’une meme valeur quelque soit l’ordre detroncature p du chaos. L’incrementation de l’ordre p de 0 a 1 fait diminuer l’erreur de 30% pour les deuxmaillages elements finis. On observe sur cette meme figure une stabilisation de l’erreur pour des ordressuperieurs a p = 1. En effet, l’erreur est alors portee par la dimension spatiale. Sur la figure 2.20(b), sontrepresentes les resultats du modele probabiliste ou µ1(θ) suit la loi bimodale. L’effet du raffinement dela dimension spatiale est le meme que celui observe dans le cas precedent (cas avec µ1(θ) est uniforme).Cependant, on observe un comportement differents de l’estimateur avec l’enrichissement de la basedu chaos polynomial (raffinement de la dimension aleatoire). Dans ce cas, l’estimateur d’erreur ne sestabilise que a partir de l’ordre p = 3. Ceci s’explique par le fait que le chaos polynomial de Legendreutilise n’est pas optimal quand le parametre d’entree du modele probabiliste suit une loi bimodale,contrairement a ce qui est obtenu dans le cas ou le parametre d’entree suit une loi uniforme (figure2.20(a)). Enfin, on remarque que pour les deux modeles probabilistes, l’estimateur d’erreur convergevers un meme palier tres proche de la valeur de l’estimateur obtenue dans le cas deterministe.

59

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 1 2 3 4

SSFEM - maillage 11616 elementsSSFEM - maillage 46000 elements

(a) Loi uniforme

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 1 2 3 4 5 6

SSFEM - maillage 11616 elementsSSFEM - maillage 46000 elements

(b) Loi bimodale

FIGURE 2.20 – Erreur εssfem en fonction du maillage elements finis et de l’ordre de troncature p duchaos de polynomial – 1 variables aleatoire µ1(θ) dans le modele probabiliste magnetostatique.

2.8.3.b Influence du nombre de points de quadrature sur l’estimateur

L’etude precedente realisee avec la SSFEM suppose que l’erreur sur la dimension aleatoire est uni-quement due a l’ordre p de troncature du chaos polynomial de Legendre. En effet, pour un ordre donne,la SSFEM conduit a une valeur de l’erreur minimale. La resolution du meme probleme probabiliste avecla methode NISP, en plus de l’ordre de troncature p du chaos, est aussi entache de l’erreur de quadratureintroduite par le schema numerique d’integration. Dans cette partie, on va etudier a l’aide de l’estima-teur stochastique l’effet de la precision du schema de Gauss-Legendre sur l’erreur globale du modeleprobabiliste magnetostatique. Cette etude est realisee avec les deux modeles probabilistes decrits dansla section precedente (modele dont l’entree aleatoire µ1(θ) est uniforme et un modele ou µ1(θ) suit laloi bimodale). Sur la figure 2.21(a) sont representes les resultats de la NISP, ou un schema de Gauss-Legendre a 3 points et un autre a 4 points sont employes pour estimer les coefficients de projection,obtenus en fonction de l’ordre p de troncature du chaos et pour µ1(θ) uniforme sur [25, 75]. On constatea partir de ces resultats que le schema de Gauss-Legendre a 3 points de quadrature n’est suffisant quepour un ordre maximal p = 2. L’utilisation de ce schema pour des chaos polynomiaux tronques a p ≥ 3

induit des erreurs de quadrature impliquant la remonte de l’erreur globale. L’augmentation du nombre depoints de quadrature de 3 a 4 a pour effet l’annulation de ces erreurs de quadrature puisque l’estimateurconverge vers un palier proche de l’erreur deterministe. On conclut a partir de ces resultats que le schemade Gauss-Legendre a 3 points de quadrature est adapte pour une representation spectrale a l’ordre p = 2

des champs aleatoires et admissiblesB(x, θ)ad etH(x, θ)ad. Une representation spectrale d’ordre pluseleve requiere l’augmentation du nombre de points de quadrature dans le schema d’integration.

Ces conclusions sont accentuees par les resultats obtenus avec une variable aleatoire bimodale (cf. figure2.21(b)). En consequence, l’ordre du developpement du chaos polynomial doit etre en accord avec lenombre de points de quadrature. Un ordre trop eleve avec un nombre de points de quadrature faible peutconduire a une degradation de la solution.

60

2.99

2.995

3

3.005

3.01

1 2 3 4

NISP - 3 pointsNISP - 4 points

(a) Loi uniforme

3

3.02

3.04

3.06

3.08

1 2 3 4 5 6 7 8

NISP - 5 pointsNISP - 6 pointsNISP - 7 pointsNISP - 8 points

(b) Loi bimodale

FIGURE 2.21 – Erreur εnisp en fonction du nombre de points de quadrature et de l’ordre de troncaturep du chaos de polynomial – 1 variables aleatoire µ1(θ) dans le modele probabiliste magnetostatique.

2.8.3.c Comparaison de la SSFEM et de la NISP en terme de precision

Cette fois-ci, nous allons comparer la precision de la methode SSFEM et la methode NISP, pourchaque ordre p de troncature du chaos polynomial de Legendre, a l’aide de l’estimateur d’erreur sto-chastique. Pour ce faire, nous considerons toujours les deux modeles probabilistes magnetostatiquesmais pour differents nombres de variables aleatoires (un modele probabiliste dont les entrees sont uni-formes et un autre avec des entrees bimodales). Le cout numerique excessif de l’estimateur d’erreur 5

limite cette comparaison au maillage elements finis a 11616 elements. Le critere d’arret du solveuriteratif BiCG de la SSFEM est fixe a 10−9. Le nombre de points de quadrature du schema de Gauss-Legendre dans la methode NISP est fixe a 6 sur chaque dimension aleatoire dans le cas ou les entreessont uniformes, et fixe a 10 sur chaque dimension aleatoire si les entrees suivent la loi bimodale.

Le critere de comparaison retenu est la valeur algebrique εnisp−εssfem : difference des erreurs calculeespar l’estimateur a posteriori via les deux methodes SSFEM et NISP. Bien evidemment, une valeur po-sitive εnisp − εssfem implique que l’erreur de la NISP est plus importante que l’erreur de la SSFEM, etdonc une meilleure precision de la SSFEM. Inversement, une valeur negative de εnisp − εssfem impli-querait en toute logique que la NISP est plus precise que la SSFEM. Ce dernier resultat n’est pas viablepuisque pour une discretisation donnee, la SSFEM conduit a une erreur εssfem la plus faible possible.

Sur la figure 2.22, est trace l’indicateur εnisp − εssfem pour les deux modeles probabilistes. Dans lesdeux cas et pour differents nombres de variables aleatoires, on verifie que la SSFEM offre une meilleureprecision que la NISP (car l’indicateur est toujours positif quelque soit l’ordre p). Cet avantage estd’autant important que le nombre de variables aleatoires dans le modele croit. Au regard de l’estima-teur d’erreur stochastique, nous verifions bien que la SSFEM est plus precise que la NISP sur ces deux

5. Apres avoir fixe l’ordre pin de troncature des M permeabilites aleatoires µ(θ) et l’ordre p∗in de troncature des inverses(reluctivites ν(θ)), l’evaluation de l’estimateur stochastique necessite de parcourir

(M+pinpin

)×(M+p∗inp∗in

)×(M+pp

)fois le

maillage elements finis.

61

modeles probabilistes. L’ecart entre la SSFEM est la NISP d’autant plus observable que l’ordre de tron-cature du chaos est faible. Ainsi, on s’assure que la SSFEM minimise toujours (quelque soit l’ordre p)l’erreur quadratique entre la solution exacte du modele probabiliste et son approximation recherchee.Au contraire de la NISP pour qui les coefficients de projection dans le chaos sont toujours les memesquelque soit l’ordre de troncature de p, c’est-a-dire que les coefficients de projection ne dependent pasde p. On note toutefois que les deux solutions (SSFEM et NISP) tendent vers la meme erreur pour desordres p eleves, ce qui est confirme par l’etat de l’art (resultat Sudret).

1e-08

1e-07

1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

0 1 2 3 4

1 variable aleatoire2 variables aleatoires3 variables aleatoires4 variables aleatoires

(a) Lois uniformes

1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

0 1 2 3 4 5 6

1 variable aleatoire2 variables aleatoires3 variables aleatoires4 variables aleatoires

(b) Lois bimodales

FIGURE 2.22 – Evolution du (εnisp − εssfem) en fonction de l’ordre p de troncature du chaos de Le-gendre, du nombre de variables aleatoires (µi(θ), i ∈ [1, 4]) et en fonction des lois des permeabilitesaleatoires.

2.9 Conclusions du chapitre

Dans ce chapitre, nous avons presente les methodes permettant de propager les incertitudes au tra-vers des modeles numeriques. Dans un premier temps, nous avons decrit les methodes dites statistiquesbasees sur un echantillonnage de la dimension aleatoire pour estimer les moments statistiques des gran-deurs aleatoires d’interet. Ensuite, nous avons fait un etat de l’art des methodes dites spectrales permet-tant d’acceder a une representation fonctionnelle des grandeurs aleatoires d’interet. L’espace fonctionneldu chaos polynomial dans lequel sont developpees les grandeurs aleatoires a ete synthetiquement intro-duit en rappelant la technique de construction de polynomes multidimensionnel orthogonaux. La miseen œuvre de la methode des elements finis stochastiques (SSFEM) a ete decrite plus en detail dans le casde problemes magnetoharmoniques, et des indications sur celle-ci ont ete donnees dans le cas statique.Plus particulierement, nous avons explicite la forme tensorielle de la matrice de raideur obtenue apresl’application de la methode de Galerkin. Nous avons aussi decrit la strategie de vectorisation du produitmatrice-vecteur, essentielle pour l’adaptation des solveurs iteratifs deja utilises dans le cas deterministeet ainsi pour reduire le cout memoire de ces solveurs. Dans le cadre des approches non intrusives, nousavons decrit la methode de projection spectrale non intrusive NISP et rappele les differentes techniquespouvant etre appliquees pour calculer les coefficients de projection des grandeurs d’interet dans le chaos

62

polynomial. Ainsi, dans une premiere optique de comparaison entre la SSFEM et la NISP, le schemade quadrature base sur une tensorisation complete des schemas d’integration unidimensionnels (Gauss-Legendre) est utilise avec la NISP. Au regard de la precision, on a confirme avec l’estimateur d’erreurstochastique, construit par extension de l’estimateur deterministe base sur la non verification des loisde comportement, que la SSFEM est toujours plus precise que la NISP. L’etude du nombre de produitsmatrice-vecteur revele un accroissement exponentiel des couts numeriques des deux methodes spectralesNISP et SSFEM telles que presentees a ce stade. Ces couts numeriques sont d’autant plus importants queles tailles des espaces de discretisation des deux dimensions, spatiale et aleatoire, augmentent. Plus par-ticulierement, un choix a priori d’un nombre eleve de points de quadrature du schema de quadrature dansla methode NISP peut rendre celle-ci impraticable, notamment dans les modeles probabilistes possedantun grand nombre de parametres d’entree aleatoires. A contrario, un faible nombre de points de qua-drature dans le schema de quadrature conduirait a une representation spectrale erronee de la grandeurd’interet aleatoire telle que observee avec l’estimateur d’erreur stochastique.

63

64

Chapitre 3

Amelioration des performances de la NISPet de la SSFEM

Les deux methodes spectrales NISP et SSFEM, telles que presentees dans le chapitre 2, s’averenttres couteuses en temps de calcul lorsqu’elles sont appliquees a des problemes de grandes dimensions(spatiale et aleatoire). Nous proposons dans ce chapitre des techniques permettant d’ameliorer les perfor-mances de ces approches. Premierement, nous exposerons les cubatures (schemas de quadrature creux)imbriquees permettant de doter la NISP de schemas d’integration adaptatifs permettant de reduire lenombre d’appels au modele deterministe. Ensuite, nous decrirons les approches que nous proposonspour etablir des solveurs iteratifs performants permettant de rendre la SSFEM competitive par rapportaux methodes non intrusives telles que la NISP.

3.1 Algorithme adaptatif isotrope pour la NISP

3.1.1 Definitions et introduction

Dans la section 2.6.3, nous avons vu que pour construire la forme spectrale 2.20 de la grandeurd’interet, la methode de projection spectrale non intrusive requiere l’estimation de P integrales multidi-mensionnelles s’ecrivant sous la forme suivante :

yα =

∫∫...

∫gα(ξ)f(ξ)dξ (3.1)

avec gα(ξ) =M(ξ)Ψα(ξ). On a aussi introduit dans la section 2.6.3.a, du chapitre 2, la forme generaledes schemas de quadrature multidimensionnels Q permettant de calculer ces coefficients de projection.Elles s’ecrivent comme :

yα ≈ Q(gα) = U1n1⊗ ...⊗ UMnM =

n1∑i1=1

...

nM∑iM=1

gα(ξ1i1 , . . . , ξ

MiM

)

M∏j=1

wjij (3.2)

ou U ini est le schema de quadrature unidimensionnel a ni points associe a la dimension i, ξij et wij sontrespectivement les points et les poids de U ini . La grille de calcul de la quadrature U ini composee des nipoints de quadrature ξij

nij=1 est notee Gini .

65

Definition 1 : (niveau de quadrature)Soit ` : N∗ −→ N∗ une fonction qui associe a l’entier q le nombre `(q) de points de quadrature pourU i`(q). Par la suite, on entend par une grille de calcul Gi`(q), sur la dimension i et de niveau q, l’ensemble

des `(q) points ξij`(q)j=1 de quadrature associee au schema unidimensionnel U i`(q).

Exemple 1 :La fonction `(q) definie pour les schemas de quadrature de Gauss est l’application lineaire `(q) =

q, ∀q ∈ N∗. Le schema de Gauss-Legendre de niveau q = 1 est associe a la grille de calcul G`(1)

contenant l’unique point 0, et celui de niveau q = 2 est associe a G`(2) = −0.577, 0.577.

Par la suite, on suppose que U i`(0) = 0 (sa grille de calcul Gi`(0) = ∅) et on introduit ∆iq comme une

difference des quadratures unidimensionnelles U i`(q) et U i`(q−1). On ecrit alors :

∆iq = U i`(q) − U

i`(q−1) (3.3)

Si ξijl(q)j=1 et wij

l(q)j=1 sont respectivement les points et les poids de quadrature du schema U i`(q) associe

a la dimension i et ξijl(q−1)j=1 et wij

l(q−1)j=1 sont ceux du schema U i`(q−1), alors le schema ∆i

q conduit ala difference des resultats des schemas de quadrature obtenus par U i`(q) et U i`(q−1) :

∆iq(gα(ξ)) = U i`(q)(gα(ξ))− U i`(q−1)(gα(ξ)) =

`(q)∑j=1

gα(ξij)wij −

`(q−1)∑j=1

gα(ξij)wij (3.4)

Cette derniere relation montre clairement que le calcul de ∆iq(gα(ξ)) necessite l’evaluation de la fonction

gα(ξ), au plus, en `(q) + `(q− 1) points. Finalement, en adoptant la definition (3.3), la quadrature mul-tidimensionnelle construite par tensorisation complete de M quadratures unidimensionnelles de memeniveau q, peut etre reformulee de la maniere suivante [40] :

QMq = U1`(q) ⊗ ...⊗ U

M`(q) =

∑‖K‖∞≤q

(∆1k1 ⊗ ...⊗∆M

kM

)=

∑‖K‖∞≤q

∆K (3.5)

Dans cette relation, la sommation est effectuee pour tout K, M -uplet d’entiers k1, . . . , kM , dont laplus grande composante est au maximum egale a q. On designe par IMq = K ∈ NM , ‖K‖∞ ≤ ql’ensemble des M -uplets intervenant dans le schema de quadrature multidimensionnel. Dans le casde la relation (3.5), #(IMq ) = `(q)M . Aussi, on note par GMq la grille de calcul de la quadraturemultidimensionnelle Qq. Elle est construite par :

GMq = G1`(q) × . . .× G

M`(q) (3.6)

Hypothese 1 :On suppose que les grilles de calcul unidimensionnelles Gi`(q), q = 1, 2 . . . , qmax sont imbriquees, c’est-a-dire : Gi`(q) ⊂ G

i`(q+1) pour tout q = 1, . . . , (qmax − 1).

Cette hypothese implique que le schema de quadrature ∆iq necessite l’evaluation de la fonctionnelle

gα(ξ) uniquement en les `(q) points de la schema U i`(q). En effet, la grille de calcul Gi`(q−1) du schemaU i`(q−1) est inclue dans la grille Gi`(q) du schema U i`(q) d’apres l’hypothese. Par extension, le schema

66

multidimensionnel QMq , construit a partir des schemas unidimensionnels imbriques, est lui aussi im-brique. L’introduction de la notion d’imbrication est tres utile pour le developpement d’algorithmesadaptatifs pour le calcul d’integrale. On comprend bien que lors d’une incrementation graduelle du ni-veau d’integration q de k a k + 1, l’ensemble des simulations deterministes obtenues aux points de lagrille GMk seront reutilisees pour construire la grille GMk+1. Ainsi, dans le cas unidimensionnel, le pas-sage du niveau q = k d’integration au niveau q = k+1 ne requiere plus que `(k+1)− `(k) simulationsdeterministes.

Un premier algorithme adaptatif permettant de construire la reponse spectrale du modele M avec lamethode NISP est donne dans la figure 3.1. Cet algorithme requiere, apres l’initialisation de q a 0, dechoisir de maniere a priori l’ordre p de troncature du chaos polynomial et un critere d’arret ε de la qua-drature adaptative. Dans cette procedure adaptative, le schema d’integration adaptatif est teste avec uncritere d’arret portant sur un seul coefficient de projection identifie avec le M -uplet α∗. Apres conver-gence, la quadrature multidimensionnelle obtenue est ensuite appliquee aux autres termes du chaospolynomial. Bien evidemment, le α∗ choisi doit assurer que la grille de calcul GMq , construite apresconvergence de l’algorithme, permet de verifier la condition de convergence |ynewα∗ − yoldα∗ |/ynewα∗ ≤ ε

pour l’ensemble des coefficients de projection dans le chaos. Un choix possible du α∗ est de prendrele coefficient de projection d’ordre le plus eleve dans le chaos, c’est-a-dire celui associe au polynomemultidimensionnel d’ordre p. Comme a ete signale precedemment, l’interet d’utiliser une quadraturemultidimensionnelle imbriquee reside dans le fait que, a chaque iteration k de l’algorithme, les simu-lations deterministes supplementaires a faire sont celles requises par ∆K , avec K ∈ IMq \IMq−1. Lessimulations deterministes effectuees a l’iteration k− 1 sont reutilisees pour construire la grille de calculGMq a l’iteration k de l’algorithme.

Fixer a priori :- l’ordre p- critere d’arret ε

Initialiser q a 0

Choisir α∗ (uncoefficient de

projection)

yoldα∗ = 0

Calcul de ynewα∗

|ynewα∗ − yoldα∗ |ynewα∗

≤ ε

Calcul des

autres yα

Simulations deterministes

aux points de quadrature

GMq \GMq−1

Incrementer qet mettre :

yoldα∗ = ynewα∗

Oui

Non

FIGURE 3.1 – Algorithme adaptatif isotrope pour la projection spectrale non intrusive.

3.1.2 Determination de l’ordre de troncature du CP

L’algorithme precedent suppose que l’on connaisse a priori l’ordre maximum du degre de developpementdu chaos polynomial. Nous proposons ici une methode permettant d’estimer implicitement l’ordre p et

67

d’ameliorer ainsi l’efficacite de l’algorithme adaptatif presente dans la figure 3.1.

Supposons que l’on connaisse l’ordre exacte de troncature pex dans le chaos polynomial de la reponsealeatoire Y (ξ) du modeleM(ξ). On ecrit donc :

Y (ξ) =∑

β∈SMpex

yβΨβ(ξ) (3.7)

Supposons que la quadrature unidimensionnelle U i`(q) de niveau q est exacte pour les polynomes uni-dimensionnels d’ordre au plus pex. Par consequent, la quadrature multidimensionnelle QMq de niveau qest exacte pour les polynomes multidimensionnels dont toutes les composantes sont de degre inferieurou egal a pex. On peut donc estimer de maniere exacte l’integrale E [Ψβ(ξ)] si la composante maximalede β est inferieure ou egale pex (si le polynome Ψβ(ξ) est d’ordre pex). Ainsi, le schema de quadraturemultidimensonnel QMq est exacte pour estimer E [Y (ξ)].

Inversement, si une quadrature QMq de niveau q estime de maniere exacte E [Y (ξ)], sachant que les qua-dratures unidimensionnelles U i`(q) sont exactes pour des polynomes unidimensionnels d’ordre au plusp, alors on peut esperer representer Y (ξ) comme une combinaison lineaire de polynomes multidimen-sionnels de degre au plus p. On va donc considerer dans l’algorithme illustre par la figure 3.1 un schemade quadrature adaptatif sur la moyenne yα=0 pour connaıtre la regularite de la reponse aleatoire Y (ξ).Il est clair que la grille de calcul GMq construite avec l’adaptativite sur la moyenne ne va pas etre exactepour le calcul des coefficients de projection autres que la moyenne, (yα pour tout α /∈ SMp \0).

Critere d’arret ε

Initialiser q a 0

Calcul de

ynew0

|ynew0 − yold0 |ynew0

≤ ε

Deduire l’ordre de troncature

popt a partir de l’exactitude de la

grille GMq

Simulations

deterministes sur les

points GMq \GMq−1

Incrementer qet mettre :

yold0 = ynew0

Deduire le niveau qopt pour que

QMqopt soit exacte pour des

polynomes multidimensionnels

d’ordre au plus 2popt

Calculs deterministes

supplementaires requis par ∆K ,

pour toutK ∈ IMqopt\IMq

Calcul des

autres yα

Oui

Non

FIGURE 3.2 – Algorithme adaptatif isotrope pour la projection spectrale non intrusive – determinationautomatique de l’ordre de troncature.

68

Il est toutefois possible de connaıtre implicitement le niveau du schema de quadrature multidimensionnelpouvant estimer l’ensemble des coefficients de projection yα. En effet, si β∗ est le M -uplet correspon-dant au polynome multidimensionnel d’ordre maximal dans l’expression (3.7) et α∗ correspondant auxpolynomes d’ordre maximal dans le chaos polynomial, alors le niveau qex recherche est tel que la grilleGMqex soit exacte pour estimer E [Ψβ∗Ψα∗ ]. Les etapes de la methode proposee sont illustrees sur la figure3.2.

Dans cet algorithme, on parlera plutot d’un ordre de troncature adapte popt au lieu d’exact pex, carla precision de l’integration sur la moyenne y0 depend bien entendu du critere d’arret ε. Apres avoiridentifie l’ordre de troncature popt, le chaos polynomial avec lequel on travaille est lui aussi tronque al’ordre popt. Ainsi, le terme a integrer d’ordre maximal Ψβ∗Ψα∗ est d’ordre egale 2popt.

Finalement, l’application de la methode NISP ne necessite plus de choisir au prealable l’ordre de tron-cature p du chaos polynomial ni de fixer a priori le niveau du schema de quadrature multidimensionnel,ceux-ci sont calcules implicitement par l’algorithme. Cependant, la valeur du critere d’arret ε peut sen-siblement influer sur les performances de la procedure adaptative. Une valeur tres restrictive ( 1ď− 9)de ε peut conduire a un schema d’integration d’ordre tres eleve, et donc a un nombre tres important desimulations deterministes. Inversement, une valeur elevee de ε ( 1ď−6) peut conduire a des ordres detroncature tres faibles et donc a des resultats peu precis. L’autre point delicat de cet algorithme reside ensa condition de convergence |ynew0 − yold0 |/ynew0 . Si la grandeur d’interet aleatoire Y (ξ) ne possede pasune certaine regularite (discontinuites ou fortes variabilites), alors il peut s’arreter sans toutefois bienestimer E [Y (ξ)Ψα(ξ)]. Cependant, on peut imaginer des strategies permettant de passer outre cettedifficulte. Comme par exemple forcer la procedure adaptative en incrementant une ou plusieurs fois leniveau q apres l’arret de l’adaptativite. Des lors que les modeles numeriques que nous avons etudiesdans nos travaux sont suffisamment reguliers par rapport aux parametres d’entree, l’algorithme adaptatifconverge toujours.

3.1.3 Quadratures imbriquees

Nous venons de montrer qu’une prodedure adaptative ne pouvait etre efficace que si des schemas dequadrature imbriques etaient employes. Cette partie traite des quadratures imbriquees dont la definitiona ete precedemment introduite dans l’hypothese 1 de la section ci-dessus. Les schemas de quadratureverifiant la condition d’imbrication, Gi`(q) ⊂ G

i`(q+1) pour tout q = 1, . . . , (qmax − 1), et les plus do-

cumentes dans la litterature sont : schema des trapezes [53] [26], Clenshaw-Curtis [21] [22] [26] etGauss-Patterson [62, 73]. La quadrature des trapezes, en depit de sa simplicite de construction, est trespeu precise. Pour integrer exactement un polynome de degre au plus n + 1 il necessite 2n points dequadrature. Il est donc peu efficace pour integrer de maniere exacte des polynomes d’ordre eleve.

A noter que les quadratures de Gauss presentees dans la section 2.6.3 du chapitre 2 ne sont, bienevidemment, pas imbriquees. En effet, la grille de niveau q = 1 et celle de niveau q = 2 donnees dansl’exemple 1 (page 66) ne verifie pas la condition d’imbrication i.e. 0 6⊂ −0.577,+0.577. Par lasuite, on decrira les schemas de quadrature imbriques les plus communement utilises dans la litterature.

Dans la suite, nous allons presenter des schemas imbriques de quadrature qui peuvent etre utilises pourapprocher l’integrale d’une fonction donnee sur l’intervalle [−1, 1] (Pour des intervalles differents, ilsuffit de faire un changement de variables).

69

3.1.3.a Schema de Clenshaw-Curtis

Plus generalement, les schemas utilisant des grilles de points equidistants ne sont pas adaptes pourintegrer des polynomes d’ordre eleve [26], il est plus judicieux de travailler avec des schemas dontles points de quadrature ont tendance a se concentrer sur les bords de l’intervalle d’integration lorsquel’ordre du polynome a integrer est grand. Le schema de Clenshaw-Curtis possede cette derniere ca-racteristique. Il est beaucoup plus precis que les trapezes. En effet, avec n points de quadrature, il estexacte pour les polynomes d’ordre au plus n− 1. Les points du schema de Clenshaw-Curtis sont expli-cites. Ils sont donnes par les maximums des polynomes de Chebychev et la formule donnant ses poidspeut etre trouvee dans [53], page 130. Le schema de Clenshaw-Curtis ainsi construit est imbrique, deprecision meilleure que les trapezes mais moindre que celle offerte par les schemas de Gauss qui, onle rappelle, avec n points, integre exactement les polynomes d’ordre au plus 2n − 1. On va maintenantdecrire plus en details la quadrature de Gauss-Patterson, qui est imbriquee et de meilleure precision quela quadrature de Clenshw-Curtis.

3.1.3.b Schema de Gauss-Patterson

La formule de Gauss-Patterson est construite par extension de la formule de Gauss-Legendre enajoutant recursivement des points intercales entre les abscisses du precedent schema pour au final obtenirdes formules de quadrature imbriquees. C’est Kronrod [52] [27] qui s’etait interesse en premier a lamethode. Il a etendu le schema de Gauss-Legendre de n points a un schema de 2n + 1 points (ajout den+ 1 points) de telle maniere a obtenir un schema exacte pour des polynomes de degre 3n+ 1 si n estpair et de degre 3n+ 2 si n est impair. La validite de la methode repose sur le corollaire suivant :

Toute formule de quadrature a n points peut etre etendue en une formule a 2n+ 1 points, de degred’exactitude egal a 3n+ 1 si n est pair et 3n+ 2 si n est impair.

Demonstration :Soit Fn+1(x) un polynome de degre n + 1 dont les racines sont les n + 1 points additionnels de lanouvelle formule de quadrature. Tout polynome de degre 3n+ 1 peut etre exprime comme :

P3n+1(x) = Q2n(x) + Fn+1(x)Ln(x)

n∑k=0

ckxk (3.8)

ouQ2n(x) est un polynome general de degre 2n que l’on peut toujours integrer par une formule a 2n+1

points, Ln(x) le polynome de Legendre de degre n.En prenant Fn+1(x) comme des polynomes de Stieltjes qui, par definition, verifient∫ 1

−1Fn+1(x)Ln(x)xkdx = 0 k = 0 . . . n (3.9)

Alors par integration de (3.8), on montre qu’on peut integrer exactement le polynome P3n+1 d’ordre3n + 1 avec uniquement 2n + 1 points. Dans le cas ou n est impair (3n + 2 est impair), le polynomeP3n+2 est integre de maniere exacte sur l’intervalle [-1,1] (integrale nulle) car le polynome P3n+2 estune fonction impaire et que la formule de quadrature est symetrique sur l’intervalle [-1,1].

70

Pour la formule de Gauss-Legendre, les points de quadrature additionnels sont reels, symetriques et sontdans l’intervalle d’integration. Ils sont les racines des polynomes de Stieltjes qui verifient (3.9). Les poidsassocies aux nouveaux points sont tous positifs.Patterson a reitere le schema de Kronrod recursivementpour obtenir une suite de k formules de quadrature imbriquees. Il a construit les polynomes Gk(x) dedegre 2k−1(n+ 1), k ≥ 1 verifiant la relation suivante :

∫ 1

−1Pn(x)Gk(x)

( k−1∏i=1

Gi(x))xjdx = 0 pour j = 0, 1 . . . 2k−1(n+ 1)− 1 (3.10)

Les polynomes Gk(x) sont construits de la maniere suivant : initialisation du premier polynome aG1(x) = Fn+1(x) et on construit lesGj(x) par le procede d’orthogonalisation de Gram-Schmitt en pre-nant comme fonctions poids Pn(x)

∏j−1i=1 Gi(x). Ainsi, les 2k(n+1)−1 points de cette nouvelle formule

de quadrature sont les racines du polynome de Legendre d’ordre n et les racines des Gj(x), j = 1, .., k.Le degre d’exactitude de la k-ieme formule de quadrature est (3.2k−1 − 1)(n + 1) + n, du moins entheorie. A noter que cette extension n’est pas faisable pour toutes les formules de Gauss-Legendre. Eneffet, pour le schema de Gauss-Legendre a 2 points on ne peut construire que 4 nouvelles (extensions)quadratures. Toutefois, pour le schema de Gauss-Legendre a 3 points, on peut construire k = 5 quadra-tures unidimensionnelles et atteindre jusqu’a 127 points pour un degre d’exactitude maximal de 191. Demaniere generale, la grille unidimensionnelle initiale du schema de Gauss-Patterson Q1

2 est prise egaleau schema de Gauss Legendre a 3 points, et la l-eme grille unidimensionnelle Q1

l est la (l − 2)-emeextension de Patterson. Pour un niveau q ≥ 2 donne, correspond une grille a 2q − 1 points pour undegre d’exactitude de 3 · 2q−1 − 1 pour tout l ≥ 2. Pour rester coherent avec les notations precedenteset ainsi debuter les niveaux a 1 et non plus a 2, on definit en pratique la quadrature de Gauss-Pattersonde niveau q = 1 comme la quadrature a un point x1 = 0. Ainsi, la fonction `(q) qui relie chaque niveauq au nombre de points dans la quadrature et introduite dans l’hypothese 1 est definie pour le schemaimbrique de Gauss-Patterson comme :

∀q ∈ N∗, `(q) = 2q − 1 (3.11)

On dispose ainsi d’un schema de quadrature unidimensionnel imbrique de precision superieure a cellede Clenshaw Curtis sans toutefois atteindre celle des formule de Gauss. En effet, avec n points, on peutintegrer exactement un polynome de degre n−1 avec Clenshaw Curtis, un polynome de degre au moins(3n−1)/2 avec Gauss-Patterson et un polynome de degre 2n−1 avec les schemas de Gauss classiques.

Illustration : On part du schema de Gauss-Legendre a 3 points (n = 3) represente sur la figure 3.3.

FIGURE 3.3 – Schema de Gauss-Legendre unidimensionnel a 3 points.

71

On applique a ce schema la methode de Kronrod. On ajoute donc n+ 1 points pour obtenir une formulede quadrature a 7 points. Les 4 points additionnels representes en rouge sur la figure 3.4 sont les racinesdu polynome initial G1(x) = F4(x) (polynome de Stieltjes d’ordre 4).

FIGURE 3.4 – Formule de Gauss-Patterson a 7 points.

On applique encore une fois la methode Kronrod en ajoutant 8 points qui sont les racines du polynomeG2(x) d’ordre 22−1(3 + 1). Les racines de G1(x) sont deja considerees dans la grille precedente d’oul’imbrication des formules de Gauss-Patterson. On obtient ainsi une formule a 15 points representeedans la figure 3.5.

FIGURE 3.5 – Formule de Gauss-Patterson a 15 points.

3.1.4 Cubature de Smolyak

Jusqu’a present, la quadrature multidimensionnelle QMq de niveau q et de dimension M considereedans les procedures adaptatives 3.1 et 3.2 de la NISP est pleine car la tensorisation des quadraturesunidimensionnelles est complete, c’est-a-dire, que tous les ∆K (tous les M -uplets K de IMq ) sont prisen compte dans la relation (3.5) pour construire QMq . Neanmoins, on peut remarquer que la taille de lagrille de calcul GMq associee a QMq est egale a `(q)M , et on observe ainsi une evolution exponentielledu nombre de points de simulations deterministes a effectuer dans la NISP.L’algorithme de Smolyak [85] permet de surmonter cette difficulte en considerant uniquement un nombrereduit de quadratures partielles ∆K dans la definition (3.5) du schema multidimensionnel QMq . Cetterestriction est telle que la norme des M -uplets |K| =

∑Mi=1 ki soit inferieure a q +M − 1. La quadra-

ture multidimensionnelle, appelee cubature, possede un nombre de reduit de points de quadrature parrapport a ce qu’on aurait obtenu avec une tensorisation complete. La construction de Smolyak peut etreformalisee comme :

QMq =∑

|K|≤q+M−1

(∆1k1 ⊗ ...⊗∆M

kM

)=

∑|K|≤q+M−1

∆K (3.12)

De maniere generale, la grille de calcul donnee par cet algorithme s’ecrit, pour ∀q ∈ N∗ :

GMq =⋃

|K|≤q+M−1

(G1`(k1) × . . .× G

M`(kM )

)(3.13)

Plus particulierement, si les quadratures unidimensionnelles U i`(ki) sont imbriquees alors la grille GMqobtenue avec Smolyak se simplifie a :

GMq =⋃

|K|=q+M−1

(G1`(k1) × . . .× G

M`(kM )

)(3.14)

72

Dans le tableau 3.1, on a represente l’evolution du nombre de points de quadrature (taille de la grille)de la cubature de Smolyak construite avec un schema unidimensionnel de Clenshaw-Curtis et de celleissue de la construction par tensorisation de Gauss-Legendre.

Smolyak-Clenshaw Curtis Gauss Legendre

M q Nombre Exacte pour un Nombre Exacte pour unde points polynome d’ordre de points polynome d’ordre

2 1 5 3 4 52 13 5 9 73 29 7 16 9

10 1 21 3 1024 52 221 5 59049 73 1581 7 1048576 94 8801 9 9765625 11

TABLE 3.1 – Evolution du nombre de points de Smolyak et de Gauss Legendre tensorise.

En comparant, pour le meme ordre d’exactitude, les deux formules on voit que la formule de Gauss-Legendre tensorielle necessite 1048576 points de quadrature pour integrer exactement un polynomed’ordre 9 en dimension 10, alors qu’il en faut seulement 8801 pour le schema de Smolyak applique aClenshaw-Curtis.

Un exemple de grilles obtenues en dimension 2 par Smolyak-ClenshawCurtis et par le schema de GaussLegendre tensoriel est donne dans la figure 3.6.

(a) Smolyak-ClenshawCurtis 321 points (b) Gauss Legendre 4225 points

FIGURE 3.6 – Grilles obtenues pour 65 points sur chaque dimension.

On voit nettement que la grille de Smolyak est creuse et que celle de Gauss Legendre est pleine et cecipour un meme degre d’exactitude.

Comme le schema unidimensionnel de Gauss-Patterson est plus precis que celui de Clenshaw-Curtis,on peut toutefois affirmer que Smolyak associe a Gauss-Patterson est plus precis que Smolyak associeau schema de Clenshaw-Curtis. Sur les figures 3.7, 3.8 et 3.9, sont representees les grilles de calcul de

73

Smolyak-Patterson et de Gauss-Legendre en 2 dimensions pour le meme nombre de points sur chaquedimension, en l’occurrence 7, 15 et 63 points par dimension.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

’nodes’

(a) Smolyak-Patterson 17 points

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

’nodes’

(b) Gauss Legendre 49 points

FIGURE 3.7 – Grilles obtenues pour 7 points sur chaque dimension.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

’nodes5’

(a) Smolyak-Patterson 49 points

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

’nodes’

(b) Gauss Legendre 225 points

FIGURE 3.8 – Grilles obtenues pour 15 points sur chaque dimension.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

’nodes’

(a) Smolyak-Patterson 321 points

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

’nodes’

(b) Gauss Legendre 3969 points

FIGURE 3.9 – Grilles obtenues pour 63 points sur chaque dimension.

74

3.2 Algorithme adaptatif anisotrope pour la NISP

La procedure adaptative decrite dans la figure 3.2 est dite isotrope puisque la grille multidimension-nelle GMq est construite a partir de schemas unidimensionnels ayant tous le meme niveau q. Ainsi, lesM dimensions d’integration du schema QMq sont discretisees de maniere identiques. Par consequent, onimagine bien que si la fonction a integrer gα(ξ) est tres reguliere sur quelques dimensions d’integrationet qu’elle est moins reguliere sur d’autres, alors l’ensemble des dimensions d’integration seront toutesdiscretisees de la meme maniere. Ceci pourra donc generer un surplus de points de quadrature (donc desimulations deterministes) sur les dimensions ou la regularite est forte.

Toujours en vue d’ameliorer les performances de l’algorithme adaptatif donne dans la figure 3.2, onproposera un algorithme anisotrope, c’est-a-dire ou les dimensions d’integration sont discretisees demaniere differentes suivant la regularite de l’integrant gα(ξ). On introduira dans un premier temps, lanotion de cubature generalisee nous permettant de construire des schemas d’integration multidimension-nels creux a partir de schemas unidimensionnels U i`(qi) de differents niveaux qi. Ensuite, on construiranotre algorithme adaptatif anisotrope a partir d’une generalisation de l’algorithme isotrope vu dans lasection precedente.

3.2.1 Cubature generalisee adaptative

La cubature de Smolyak presentee dans (3.12) est basee sur la condition |K| ≤ q+M −1. La cuba-ture generalisee est basee sur la condition d’admissibilite qui est definie par [Ajout reference Gurstner] :

Definition 2 :Un ensemble de M -uplet I = K ∈ NM\0, . . . , 0 est dit admissible si et seulement si : ∀K ∈I,K − ej ∈ I, pour tout j : 1 ≤ j ≤M, et ou ej est un vecteur de taille M verifiant :ej(i) = δij , pour tout i : 1 ≤ i ≤M .

La cubature generalisee QMI s’ecrit comme :

QMI =∑|K|∈I

(∆1k1 ⊗ ...⊗∆M

kM

)=∑|K|∈I

∆K (3.15)

La construction d’une procedure adaptative anisotrope consiste donc a enrichir l’ensemble I de M -uplets judicieusement choisis et verifiant la condition d’admissibilite [Ajout reference adaptaniso]1001[6].

3.2.2 Algorithme adaptatif anisotrope

L’algorithme adaptatif anisotrope permettant de construire la reponse polynomiale de y(ξ) est representedans la figure (3.10). Il est constitue des etapes suivantes :

♣ Etape 1 : La premiere etape de l’algorithme est l’etape d’initialisation. On se donne un critered’arret ε > 0, on initialise l’ensemble admissible I a l’ensemble vide et le M -uplet Kelm (elmsignifie erreur locale maximale ) par 1 . . . 1. On se donne un ensemble J de M -uplet ini-tialement egal au singleton Kelm et un vecteur εloc de taille egale au cardinal de J et dont lapremiere composante est egale a 1.

75

♣ Etape 2 : Dans cette etape, l’ensemble admissible I est actualise en y ajoutant le M -uplet Kelm

selectionne dans l’etape 3, et l’indicateur de l’erreur globale, note εglo, est lui calcule en som-mant l’ensemble des erreurs locales εloc correspondant aux M-uplets presents dans l’ensemble J .L’erreur locale associee a K est definie comme la variation relative de la moyenne y0 calculeeavec la cubature associee a l’ensemble admissible I et avec la cubature associee a l’ensembleI = I ∪ K. En d’autres termes, c’est la contribution relative du schema de quadrature ∆K auschema multidimensionnel QMI .

♣ Etape 3 : Si l’erreur globale n’est pas suffisamment petite, l’indice Kelm correspondant a lacontribution la plus significative parmi lesM -uplets contenus dans J est retiree de l’ensemble J .De plus, les indicesK voisins deKelm et verifiant la condition d’admissibilite de I sont rajoutesa J . Les erreurs locales correspondant aux K voisins de Kelm sont calculees en estimant lescontributions des quadratures partielles ∆K .

♣ Etape 4 : Cette derniere etape est realisee une fois que la convergence de l’algorithme est atteintei.e. εglo ≤ ε. A partir de la cubature generalisee QMI ainsi construite, on deduit les ordres detroncature sur chaque dimension stochastique. Puis, le niveau optimal d’integration sur chaque di-rection d’integration est deduit et, eventuellement, des calculs deterministes supplementaires sonteffectues. Enfin, l’ensemble des coefficients de projection yα sont calcules. Une fois la cubatureQMI construite, une procedure d’interpolation est realisee afin de deduire l’expression approcheede la reponse aleatoire Y (ξ) dans le chaos polynomial.

Critere d’arret ε

Initialiser : I = ∅,

Kelm = 1 . . . 1,

J = Kelm et

εloc(1) = 1

I = I ∪ Kelmεglo =

#(J )∑l=1

εloc(l)εglo ≤ ε

Deduire l’ordre de troncature

piopt pour chaque dimension i,

1 ≤ i ≤M a partir de la

cubature generalise construite

QMI

Calculer les indicesadmissibles voisins deKelm :K = voisinageKelm.

Calculer les erreurs localesassociees a ces indicesK

Ajouter ces indices a J :

J = J ∪ K

Retirer de J leM -upletKelm

ayant l’erreur localemaximale.

J = J \Kelm

Deduire le niveau qiopt de

dimension pour que QMI soit

exacte pour des polynomes

multidimensionnels d’ordre au

plus 2piopt, pour 1 ≤ i ≤M

Calculs deterministes

supplementaires si la cubature

QMI n’est pas suffisante pour

integrer les polynomes d’ordre

au plus 2piopt

Calcul de l’ensemble des

coefficients de projection yα

Oui

Non

FIGURE 3.10 – Algorithme adaptatif anisotrope pour la projection spectrale non intrusive.

76

3.2.3 Construction de la base du chaos polynomial

L’application de la cubature generalisee QMI obtenue avec l’algorithme adaptatif anisotrope, decritdans la figure 3.10, pour calculer l’ensemble des coefficients de projection yα, avec α ∈ SMp , va induiredes erreurs de quadrature sur un certain nombre de coefficients de projection. Autrement dit, la cubatureQMI n’est pas toujours exacte pour le calcul des integrales E [Y (ξ)Φα] pour certainsα de SMp . Ainsi parexemple, si la reponse du modele est de la forme Y (ξ1, ξ2) = ξ2

1 +ξ22 alors sa representation exacte dans

le chaos polynomial est de la forme Y (ξ1, ξ2) = y0 + y1ψ1(ξ1) + y2ψ1(ξ2) + y3ψ2(ξ1) + y4ψ2(ξ2) oules ψi sont les polynomes unidimensionnels d’ordre i. L’application de l’algorithme adaptatif anisotropenous conduit a un schema de cubature QMI qui estime de maniere exacte les coefficients y0, y1, y2, y3 ety4. Cependant, si la reponse est recherchee dans le chaos polynomial d’ordre 2, donc s’ecrivant comme :Y (ξ1, ξ2) = y0 + y1ψ1(ξ1) + y2ψ1(ξ2) + y3ψ2(ξ1) + y4ψ2(ξ2) + y5ψ1(ξ1)ψ1(ξ2), alors la cubatureQMI n’est pas exacte pour le terme y5. Par consequent l’application de QMI pour calculer y5, terme nulen theorie, introduirait des erreurs de quadrature dans l’expression de Y (ξ1, ξ2). Cet exemple montrebien que l’espace chaos polynomial doit etre construit a partir de l’exactitude de la cubature generaliseeconstruite par l’algorithme adaptatif.

On designe par Pq l’ensemble des polynomes unidimensionnels de degre au plus 3 · 2q−1 − 1, c’est-a-dire, l’ensemble des polynomes pouvant etre integres exactement avec un schema de Gauss-Patterson deniveau q. Novak et Ritter [69] ont montre que la construction classique de Smolyak, donnee dans (3.12),est exacte pour les polynomes appartenant a l’ensemble PMq definit par :

PMq =∑

|K|=q+M−1

(Pk1 ⊗ ...⊗ PkM ) (3.16)

De toute evidence, cette relation peut aussi etre exprimee sous la forme suivante :

PMq =∑

|K|≤q+M−1

(Pk1 ⊗ ...⊗ PkM ) (3.17)

Cette derniere relation nous permet de deduire que la cubature generalisee QMI est exacte sur l’espacedes polynomes :

PMI =∑K∈I

(Pk1 ⊗ ...⊗ PkM ) (3.18)

Finalement, pour construire le nouveau chaos polynomial sur lequel sera developpe la reponse aleatoirey(ξ), on commence par creer l’ensemble des M -uplet α correspondant a un chaos polynomial d’ordrepmaxopt , avec pmaxopt = max(piopt), i = 1, . . . ,M . Puis, on retient uniquement les M -uplets α correspon-dant aux polynomes Ψα ∈ PMI .

3.2.4 Exemple d’illustration

On va illustrer l’algorithme adaptatif anisotrope sur le calcul de l’integrale suivant :∫ 1

−1

∫ 1

−1e−ξ

21+2sgn(ξ2)dξ1dξ2

77

La fonction e−ξ21+2sgn(ξ2), tracee dans la figure 2.5(a) du chapitre 2, possede une discontinuite en 0 sur

la dimension ξ2. Les etapes de l’algorithme adaptatif anisotrope applique pour estimer cette integralesont reportees dans la figure 3.11.

L’etape d’initialisation est representee sur les figures (a) ou l’upletKelm et l’ensemble J sont initialisesa (1, 1). Lors de la premiere iteration, l’ensemble admissible I est enrichi de l’uplet Kelm = (1, 1)

(figure (b)) et J des voisins de Kelm (figure (d)). A noter que lors de la selection des voisins de (1, 1),l’uplet (2, 2) n’est pas considere car celui-ci ne verifie pas la condition d’admissibilite de I (I ne contientpas les uplets (1, 2) et (2, 1)). A la deuxieme iteration de la procedure adaptative, l’uplet ayant une erreurlocale maximale est (1, 2). Cet uplet est ensuite ajouter a I et retire de J . L’ensemble J est completepar les voisins deKelm = (1, 2) qui verifient la condition d’admissibilite sur I (figure (f)).

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

Dim

ensi

onξ 2

Dimension ξ1

Kelm

(a) Ensemble J

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

Dim

ensi

onξ 2

Dimension ξ1

(b) Ensemble admissible I

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6D

imen

sionξ 2

Dimension ξ1

Kelm

(c) Voisins deKelm

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

Dim

ensi

onξ 2

Dimension ξ1

Kelm

(d) Ensemble J

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

Dim

ensi

onξ 2

Dimension ξ1

(e) Ensemble admissible I

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

Dim

ensi

onξ 2

Dimension ξ1

Kelm

(f) Voisins deKelm

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

Dim

ensi

onξ 2

Dimension ξ1

Kelm

(g) Ensemble J

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

Dim

ensi

onξ 2

Dimension ξ1

(h) Ensemble admissible I

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

Dim

ensi

onξ 2

Dimension ξ1

Kelm

(i) Voisins deKelm

78

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

Dim

ensi

onξ 2

Dimension ξ1

Kelm

(j) Ensemble J

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

Dim

ensi

onξ 2

Dimension ξ1

(k) Ensemble admissible I

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

Dim

ensi

onξ 2

Dimension ξ1

Kelm

(l) Voisins deKelm

FIGURE 3.11 – Principales etapes de l’algorithme adaptatif anisotrope pour integrer e−ξ21+2sgn(ξ2) sur

[−1, 1]2.

Apres convergence de l’algorithme adaptatif, l’ensemble des uplets admissibles contenus dans I etdefinissant la cubature generalisee sont representes dans la figure 3.12.

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

Dim

ensi

onξ 2

Dimension ξ1

FIGURE 3.12 – Cubature generalisee construite pour integrer e−ξ21+2sgn(ξ2) sur [−1, 1]2.

A partir de l’ensemble admissible I represente sur la figure 3.12, on deduit que le niveau d’integrationsur la dimension ξ1 est egal a q1 = 3 et le niveau d’integration sur la dimension ξ2 vaut q2 = 6. Lesordres optimaux correspondant sont p1

opt = 3 · 2q1−1 − 1 = 11 et p2opt = 3 · 2q2−1 − 1 = 95.

On definit donc P13 l’ensemble des polynomes unidimensionnels de variable ξ1 et P2

6 ceux de variablesξ2. Le polynome de degre maximal dans P1

3 est ψ11(ξ1) et celui de P16 est ψ95(ξ2). Ainsi, le chaos

polynomial construit est :

CMp = (P13\P1

2 ) ∪ (P12 ⊗ P2

4 ) ∪ (P26\P2

4 ) (3.19)

En considerant ce chaos polynomial, il faut s’assurer que la grille de calcul correspondant a l’ensembleI est exacte pour estimer les integrales d’ordres maximum E

[Y (ξ1, ξ2)ψ11(ξ1)

], E[Y (ξ1, ξ2)ψ95(ξ2)

]et E

[Y (ξ1, ξ2)ψ5(ξ1)ψ23(ξ2)

], c’est-a-dire, l’integrale E

[ψ11(ξ1)2

]sur la dimension ξ1, l’integrale

E[ψ95(ξ2)2

]sur la dimension ξ2 et les integrales de couplage des deux dimensions E

[ψ5(ξ1)ψ11(ξ1)ψ23(ξ2)

]79

et E[ψ5(ξ1)ψ23(ξ2)ψ95(ξ2)

]. Bien evidemment, pour integrer exactement ces integrales d’ordres eleves,

la grille de calcul obtenue n’est pas suffisante. Par consequent, il faut enrichir l’ensemble admissible Ide maniere a obtenir un nouvel ensemble I tel que represente sur la figures 3.13.

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7

Dim

ensi

onξ 2

Dimension ξ1

FIGURE 3.13 – Cubature generalisee enrichie.

A noter toutefois que cette etapes d’enrichissement de I n’est souvent pas realisee en pratique. Eneffet, les ordres optimaux qiopt sont souvent tronques a une valeur maximale donnee, ceci afin d’eviterd’alourdir les couts numeriques de post-traitement stochastique.

80

3.3 Solveur pour la SSFEM

On a vu dans le chapitre 2 que la resolution du probleme probabiliste avec la methode de la SSFEMest tres couteux en terme de temps de calcul et de memoire vive. En effet, meme en exploitant la structuretensorielle de la matrice du systeme lineaire a resoudre, le nombre d’iterations des solveurs iteratifs et lecout memoire croıt avec la taille des espaces de discretisation des dimensions spatiale et aleatoire.

On rappelle que dans cette partie, on cherche a resoudre le systeme complexe symetriqueAsX = B

par la methode iterative du BiCG decrite dans la section 2.7.5 du deuxieme chapitre et que la matriceAs est donnee par la relation (2.46). On introduit les matrices Sλi , λ ∈ ν, σ, de taille P + 1 et definiespar :

Sλi = Sλi − λm

i IP+1 (3.20)

ou IP+1 = diag(1, 1, . . . , 1) est la matrice identite de taille P + 1 et λm

i est la valeur moyenne duparametre aleatoire associe au sous domaine Di. La definition (3.20) nous permet de reecrire la matriceAs sous la forme suivante :

As = (IP+1 ⊗A0) +

M∑d=1

(Sνd ⊗Hνd + Sσd ⊗Hσ

d ) (3.21)

avec A0 une matrice de taille N (de meme taille que la matrice deterministe) obtenue en fixant lesvaleurs des parametres d’entree a leurs valeurs moyennes.

Dans la litterature, differents travaux se sont interesses a la construction de methodes plus effi-cace pour resoudre le systeme lineaire AsX = B [18, 41]. L’une des approches utilisees est d’adapterles algorithmes iteratifs classiques de resolution a la forme tensorielle de la matrice As [37, 41, 74]et d’ameliorer la convergence de ces algorithmes en utilisant les techniques de preconditionnement desystemes lineaires. Dans la meme optique de reduction du cout de resolution du probleme SSFEM, plu-sieurs auteurs suggerent d’appliquer les methodes iteratives de resolution basees sur le partitionnementde la matrice du systeme lineaire [18, 31, 81]. D’autres travaux de recherches se sont atteles exhiber denouvelles bases de discretisation de la dimension aleatoire dans le but d’obtenir une matrice de raideursous forme diagonale par bloc ou meme de reduire la taille de ce systeme. Cette derniere approche re-cense l’ensemble des methodes de reduction de modeles ou de bases reduites [67,68,84] et les methodesde discretisation sur des bases de polynomes doublement orthogonaux [5, 25].

Dans cette these, trois approches sont etudiees en vue de diminuer le cout numerique de la methode dela SSFEM. Premierement, on analysera l’apport de deux preconditionneurs en terme de reduction dunombre d’iterations du solveur iteratif BiCG. Ensuite, nous proposerons une strategie d’acceleration deconvergence du solveur iteratif basee sur la methode iterative de Gauss-Jacobi par blocs.

3.3.1 Methodes de preconditionnement

Les performances des methodes iteratives dependent de leur taux de convergence ou du nombredu produit matrice/vecteur effectue. Cette convergence est intiment liee aux proprietes spectrales de lamatrice du systeme lineaire. La technique de preconditionnement consiste a transformer cette matricesous forme particuliere dans le but d’ameliorer les proprietes de la matrice, et ainsi ameliorer le taux de

81

convergence des methodes iteratives de resolution. Plus clairement, le systeme Ax = b et le systemeP−1(A)Ax = P−1(A)B, si la matrice P−1(A) existe, possedent la meme solution x mais leursconvergences dependent respectivement des proprietes de deux matrices differentesA et P−1(A)A.Le choix ideal pour P (A) est de prendre P (A) = A, mais numeriquement, calculer P−1(A) = A−1

est au moins plus couteux que de resoudre directement le systeme Ax = b. Toute la difficulte de latechnique du preconditionnement reside dans le choix de la matrice P (A). Le meilleur preconditionneurP (A) est celui qui approche le mieux la matriceA, qui se calcule aisement et dont le cout memoire estreduit (de structure creuse).Il existe un nombre important de preconditionneurs dans la litterature dont les performances dependenttoutes, plus au moins, du probleme deterministe etudie. Les plus populaires sont certainement le precondi-tionneur diagonal et le preconditionneur de Cholesky incomplet. Le preconditionneur diagonal, aussi ditde Jacobi, consiste a prendre P (A) = diag(A). Dans certains problemes, le preconditionneur dia-gonal offre des performances tres remarquables et inegalees de par le faible cout de son calcul et deson stockage. Dans d’autres applications, comme par exemple dans les problemes magnetoharmoniquesexprimes en formulation (A − ϕ), il est souvent le seul applicable de par la singularite de la matricedes systemes lineaires a resoudre. Le preconditionneur LU ou factorisation incomplete de Choleskyconsiste a decomposer la matrice A en un produit d’une matrice triangulaire inferieure L et d’une ma-trice triangulaire superieure U . Ainsi, le produit z = P−1(A)y, avec y vecteur connu, est effectue encalculant un vecteur y tel que Ly = y (methode de descente) et puis en resolvant Uz = y (methodede remonte). La liste des techniques de preconditionnement est longue et non exhaustive. Nous nouslimiterons dans notre etude a l’application du preconditionneur diagonal, au preconditionneur SSOR,au preconditionneurs AINV et NKP que nous allons decrire par la suite. Ce dernier est tres adapte auxsystemes s’ecrivant sous la forme de sommes de produits tensoriels.

3.3.1.a Preconditionneur SSOR

La methode de preconditionnement SSOR (symetric successive over relaxation) est originalementproposee par Evans [32] et Axelsson [2] dans les annees 70. Cette methode est basee sur la decompositionde la matrice symetrique (hermitienne dans le cas complexe)A sous la forme :

A = L+D +LT (3.22)

ou L est la partie triangulaire inferieure deA etD sa diagonale.Considerant cette decomposition, Le preconditionneur P (A) de la matriceA est donne par :

P (A) =1

w(2− w)(D + wL)D−1(D + wLT ), 0 ≤ w ≤ 2 (3.23)

Cette construction offre l’avantage d’etre facile a obtenir car celle-ci ne requiert que les elements dela matrice A. De plus, le produit z = P−1(A)y necessite uniquement la resolution de deux systemestraingulaires (D + wL)z = w(w − 2)y et (I + wD−1LT )z = z.

3.3.1.b Preconditionneur AINV

R. Ghanem et R. Kruger ont propose dans [41] de resoudre le systeme d’equations issu d’un problemed’elasticite a parametres aleatoires avec le gradient conjugue preconditionne. Ces auteurs ont remarque

82

que la matrice As est a diagonale dominante par bloc si la variabilite des entrees aleatoires n’est pastres importante. En effet, le spectre de I ⊗A0, diagonale de As, est plus grand que celui des matrices∑

i(Sνi ⊗Hν

i +Sσi ⊗Hσi ). De ce fait, ils ont propose de preconditionner le systeme d’equations par une

matrice diagonale par bloc P (As)jk = P (A0)E[ΨαjΨαk

], ou la matrice P (A0) est construite avec

une factorisationLincU inc incomplete. Comme suggere dans [41], on prendra comme preconditionneurdu systeme lineaire AsX = B la matrice P = IP+1 ⊗ A0. Ainsi, l’inverse de P s’ecrit : P−1 =

A−10 ⊗ IP+1 . Il est donc evident que les performances du preconditionnement par IP+1 ⊗A0 dependent

de la qualite du preconditionneur deA0.L’interet pour les preconditionneurs bases sur la construction d’une approximation creuse de l’inversede A0 est de plus en plus grandissante ces dernieres annees [9, 17]. Ces preconditionneurs offrent destaux de convergence semblables a ceux obtenus avec les techniques de factorisations completes. LeAINV (Approximation inverse) stabilise est un preconditionneur factorisant la matriceA0 en un produitde matrices creuses. Cette technique proposee par M. Benzi dans [8] est basee sur une orthogonalisa-tion complete (A-orthogonalisation) des vecteurs de la base unitaire. Explicitement, le AINV stabiliseconstruit la factorisation suivante deA0 :

A−10 ≈ ZD−1ZT (3.24)

avec Z une matrice creuse, orthogonale et triangulaire superieure et D une matrice diagonale. Cetteconstruction est en fait une approximation creuse de la decomposition A0 = LDLT c’est-a-dire queZ est une approximation creuse de LT . La construction de la matrice creuse Z et la diagonale deD esteffectuee avec l’algorithme 3.25 decrit dans [8] mais adapte au cas ouA0 est complexe.

Algorithme 3.3.1

Initialiser Z(0)i = ei, 1 ≤ i ≤ N

Pour i = 1, . . . , N

Pour j = i, i+ 1, . . . , N

d(i−1)j =

(Z

(i−1)j ,Ai

)FinPour j = i+ 1, . . . , N

Z(i)j = Z

(i−1)j −Z(i−1)

i (d(i−1)j /d

(i−1)i )

FinFinZ = [Z1, . . . ,ZN ];D = diag(d1, . . . , dN )

(3.25)

Au final, une maniere de preconditionner la matrice As, issue du probleme stochastique resolu avec lamethode de la SSFEM, est d’utiliser le solveur BiCG preconditionne avec la matrice P−1 = IP+1 ⊗(ZD−1ZT ).

3.3.1.c Preconditionneur NKP

Le preconditionneur AINV decrit dans la section 3.3.1.b est construit en effectuant deux approxi-mations. En effet, on a premierement suppose que IP+1 ⊗A0 ≈ As, puis dans un second temps on a

83

suppose que (ZTDZ) ≈ A0. Dans cette partie, on cherche une meilleur approximation de la matriceAs en utilisant la methode Nearest Kronecker Product (NKP) consistant a approcher une somme deproduits de Kronecker par un simple et unique produit de Kronecker.

On cherche donc une matriceR ∈ R(P+1)×(P+1) et une matriceQ ∈ CN×N telles que :

‖As −R⊗Q‖F ≈ 0 (3.26)

ou ‖ · ‖F est la norme de Frobenius. En supposant queQ etR s’ecrivent sous la forme :

R = IP+1 +M∑i=1

αiSνi +

2M∑i=M+1

αiSσi , α ∈ R2M (3.27)

Q = A0 +M∑i=1

βiHνi +

2M∑i=M+1

βiHσi , β ∈ R2M (3.28)

alors le probleme (3.26) est un probleme de minimisation non lineaire a 4M parametres s’ecrivant (cf.l’annexe B) :

minα,β

f(α,β) (3.29)

ou la fonction de minimisation f(α,β) est donnee par (cf. l’annexe B) :

f(α,β) = Tr(SH)− 2αT SHβ + (αT Sα)(βT Hβ) (3.30)

avec α ∈ R2M+1, β ∈ RM ∈ R2M+1 s’ecrivant :

αT = (1,αT ) et βT = (1,βT )

Les matrices H et S sont des matrices reelles symetriques de taille (2M + 1) definies par (B.10) et(B.11).

Par la suite, le preconditionneur NKP refere au preconditionneur P (As) = P (R) ⊗ P (Q). Lepreconditionnement deQ sera realise en utilisant les methodes de preconditionnement decrites precedemmentet P (R) est calcule en construisant le pseudo-inverse deR car la matriceR est generalement singuliere.Dans nos applications, le pseudo-inverse deR est construit avec la methode de decomposition en valeurssingulieres consistant a factoriserR comme :

R = UσV T (3.31)

ou U et V sont deux matrices orthogonales de taille P + 1 et σ = diag(σ1 . . . σP+1) une matricediagonale de taille P + 1 contenant les valeurs singulieres de R. En notant σ la matrice diagonale dontles valeurs diagonales sont egales a 1/σi si σi 6= 0 et egales a 0 si σi = 0, le pseudo-inverse P (R)

est simplement donne par UT σV . A noter que la construction de P (R) est negligeable devant celle deP (Q) car P + 1 << N .

3.3.2 Methodes iteratives par bloc

Ces approches, aussi connues sous methodes de partitionnement, visent a reformuler le systemelineaire a resoudreAsX = B en un systeme iteratif de la forme :

(S∗ ⊗H∗)X(i) = B − T (i) (3.32)

84

avec S∗ une matrice carree reelle de taille P +1 etH∗ une matrice carree complexe symetrique de tailleN . Le vecteur T (i) est de taille N ∗ P . A chaque iteration i, il est calcule par :

T (i) =[As − (S∗ ⊗H∗)

]X(i−1) (3.33)

Le vecteur solution X est obtenu apres stagnation des iteres X(i),i = 1, ..., imax. Dans [18], la matriceH∗ est prise egale a A0 et S∗ egale a la matrice diagonale diag(E [Ψ0ΨαΨα] ,α ∈ SMp ). Si lespolynomes Ψα forment une base orthonormee alors S∗ serait la matrice identite de taille P + 1. Avecce choix de S∗ et H∗, la methode ainsi obtenue est appelee methode Gauss-jacobi par bloc . Lamethode de Gauss-Jacobi par blocs est utilisee dans [31] pour resoudre un probleme stochastique dediffusion acoustique et dans [43] comme preconditionneur du solveur FETI base sur la decomposition dedomaines. Differentes autres possibilites de partitionnement deAs sont decrites et comparees dans [81].

Dans nos travaux, nous nous focalisons sur le partitionnement conduisant a la methode de Gauss-Jacobipar bloc. Ainsi, resoudre (3.32), pourX(0) donne, revient a resoudre de maniere iterative le systeme :

(A0 ⊗ IP+1)X(i) = B −[ M∑d=1

(Sνd ⊗Hνd + Sσd ⊗Hσ

d )]X(i−1) (3.34)

(A0 ⊗ IP+1)X(i) = Y (i−1) (3.35)

A chaque iteration, le vecteur inconnuX(i) est calcule en resolvant un systeme lineaire de taille N ×N ,de matriceA0 et a plusieurs seconds membres :

A0U = V (3.36)

ou U et V sont definies par : X(i) = vec(U) et Y (i−1) = vec(V ). Le vecteur residu r(i) a chaqueiteration est donne par :

r(i) = A0X(i) −B (3.37)

=(A0 ⊗ IP

)X(i) +

( M∑i=1

(Sνi ⊗Gi + S

σi ⊗Hi

))X(i) −B (3.38)

=( M∑i=1

(Sνi ⊗Gi + S

σi ⊗Hi

))(X(i) −X(i−1)) (3.39)

Cette methode iterative est arretee des que ε(i) = ‖ri‖2/‖B‖2 est suffisamment petit.

En pratique, la convergence des premiers modes (solutions X(i)(1 + j ∗ N : j ∗ N + N), j =

1, . . . ,(M+2

2

)) est tres rapides. Cependant, la convergence des modes superieurs est tres difficile du

fait qu’il sont de faible amplitude par rapport a la moyenne X(i)(1 : N). Pour s’affranchir de cette dif-ficulte, nous avons implemente une strategie d’ elimination qui consiste a prendre un critere d’arretlocal (pour chaque mode) moins severe pour les modes de tres faibles amplitude devant la moyenne.Nous avons donc defini des criteres d’arret associes a chaque mode j ∈ [0, P ] comme :

ε(i)j =

‖r(i)j ‖2

‖ri−1j ‖2

∗‖X(i)

j ‖2‖Xi

0‖2(3.40)

85

3.4 Application et comparaison

Cette partie traite de l’application numerique des ameliorations decrites dans ce chapitre. Les per-formances des deux methodes NISP, dotee du schemas adaptatif isotrope et anisotrope, et la SSFEM,equipee de solveurs BiCG preconditionnes et Gauss-Jacobi par blocs, seront compares sur le cas testmagnetoharmonique decrit dans la figure 2.7. Le maillage retenu est beaucoup plus fin que celui desetudes 2.8.2 et 2.8.3. Il est compose de 209.088 elements finis, conduisant dans le cas deterministe aresoudre des systemes a N = 238.790 inconnues en formulation A − ϕ et a N = 88.953 inconnuesen formulation T − Ω. Le modele probabiliste est construit a chaque fois pour 3, 4, 5 et 6 variablesaleatoires uniformes en entree. Le tableau 3.2 ci-dessous decrit pour chaque cas les variables aleatoiresutilisees. Par la suite, nous designerons par 3 variables aleatoires les variables labellisees dans le 3.2par 1,2 et 3. Aussi, nous referons par 4 variables aleatoires aux variables aleatoires notees dans letableau 3.2 par 1, 2, 3 et 4, et ainsi de suite.

Variable aleatoire Type Borne inferieure Borne superieure

1 permeabilite 25 75

2 conductivite 25ď4 75ď4

3 permeabilite 25 75

4 conductivite 25ď4 75ď4

5 permeabilite 25 75

6 conductivite 25ď4 75ď4

TABLE 3.2 – Type et intervalle de variabilite des variables aleatoires uniformes considerees dans le castest.

De maniere similaire a ce qui est fait dans le deuxieme chapitre, la comparaison du cout numerique desmethodes sera donnee en terme de produits matrice-vecteur de meme taille que le probleme deterministe.Cet indicateur (produit matrice-vecteur) traduit un comportement numerique plus general des methodescomparees. En effet, cet indicateur ne depend ni des performances de la machine de calcul ni de sescapacites en memoire vive.

3.4.1 Resultats de la NISP

On commence par comparer la methode NISP, basee sur un schema de quadrature multidimension-nel construit par tensorisation du schema unidimensionnel de Legendre a 4 points de quadrature, et lamethode NISP avec un schema adaptatif isotrope decrit dans la figure 3.2 et anisotrope tel que dansfigure 3.10. L’ordre de troncature du chaos polynomial est fixe a p = 4 pour les deux cas : schematensorise et schema adaptatif (l’ordre maximal des algorithmes adaptatifs est aussi fixe a p = 4).Comme les algorithmes adaptatifs decrits precedemment requierent une grandeur scalaire cible 1 , lacomparaison sera realisee pour les deux cas ; cas ou la grandeur cible des algorithmes adaptatifs est la

1. Cela est necessaire pour le critere d’erreur et pour orienter l’adaptativite dans le cas anisotrope

86

partie imaginaire =(Φ(θ)) du flux aleatoire Φ(θ), et le cas ou la cible est la partie reelle <(φ(θ)).

3.4.1.a Adaptativite sur la partie imaginaire =(Φ(θ)) du flux

De maniere similaire au chapitre 2, la comparaison est realisee sur le cout numerique de chaquemethode que l’on mesure par le nombre de produits matrice-vecteur de tailleN , avecN est le nombre dedegres de liberte deterministes. La figure 3.14 montre que le cout numerique de la NISP appliquee avecun schema multidimensionnel de Gauss-Legendre construit par tensorisation (notee NISP-tensorise)evolue exponentiellement en fonction du nombre de variables aleatoires uniformes dans le modele pro-babiliste magnetoharmonique. Ce constat est conforme aux conclusions du chapitre 2. Contrairement a lamethode NISP-tensorise, le nombre de produits matrice-vecteur de la NISP appliquee avec les schemasadaptatifs, bases sur les grilles creuse de Gauss-Patterson, augmente de maniere lineaire en fonction dunombre de variables aleatoires. On remarque toutefois que le schema adaptatif anisotrope (NISP-iso) etschema adaptatif anisotrope (NISP-aniso) offrent des couts numeriques tres similaires. Cette derniereremarque se justifie au fait que la partie imaginaire =(Φ(θ)) du flux aleatoire Φ(θ) est influencee paraussi bien par les permeabilites que par les conductivites du noyau metallique telle que observe sur ladensite de probabilite de =(φ) montree sur les figures 2.12(b) et 2.13(b) du chapitre 2.

0

0.5ď6

1ď6

1.5ď6

2ď6

2.5ď6

3 4 5 6

Nom

bre

depr

odui

tsm

atri

ce-v

ecte

ur

Nombre de variables aleatoires

NISP-tensoriseNISP-iso

NISP-aniso

FIGURE 3.14 – Cout numerique de la NISP avec adaptativite sur =(Φ(θ)) en fonction du nombre devariables aleatoires.

3.4.1.b Adaptativite sur la partie reelle <(Φ(θ)) du flux

Cette fois-ci, la grandeur aleatoire cible des algorithmes adaptatifs est la partie reelle <Φ(θ)) duflux aleatoire Φ(θ). Ici, les resultats de la NISP-tensorise et de la NISP-iso sont les memes que ceuxreportes sur la figure 3.14, car avec ces deux approches aucune grandeur physique n’est privilegiee. Telque observe sur sa densite de probabilite montree sur les figures 2.12(a) et 2.13(a) du chapitre 2, la

87

partie reelle <(Φ(θ)) du flux aleatoire Φ(θ) est peu sensible aux conductivites du noyau de metallique.Par consequent, l’algorithme adaptatif anisotrope conduit a des niveaux plus eleves sur les dimensionsaleatoires associees aux permeabilites et a des niveau plus faibles sur les dimensions aleatoires associeesaux conductivites. Il en resulte un gain de 60% en cout numerique par rapport au schema adaptatifisotrope.

0

0.5ď6

1ď6

1.5ď6

2ď6

2.5ď6

3 4 5 6

Nom

bre

depr

odui

tsm

atri

ce-v

ecte

ur

Nombre de variables aleatoires

NISP-tensoriseNISP-iso

NISP-aniso

FIGURE 3.15 – Cout numerique de la NISP avec adaptativite sur <(Φ(θ)) en fonction du nombre devariables aleatoires.

3.4.2 Resultats de la SSFEM

On va maintenant analyser le cout de la SSFEM avec les differentes techniques de resolution et depreconditionnement. On vise donc a identifier la methode de resolution et de preconditionnement quinous permettra d’avoir des performances de la SSFEM equivalentes a celles de la NISP.

3.4.2.a Apports du preconditionnement

Dans un premier temps, nous reprenons le solveur BiCG preconditionne diagonal applique dansle chapitre 2 et nous comparerons le cout numerique de la SSFEM lorsque differents preconditionneurs(NKP, AINV, SSOR) sont appliques pour resoudre le probleme magnetoharmonique decrit dans la figure2.7 et pour differents nombres de variables aleatoires. Ensuite, la methode du Gauss-Jacobi par blocsdecrite dans la section 3.3.2 est appliquee avec et sans strategie d’elimination. Nous commencons parl’etude de l’apport des preconditionneurs AINV et NKP au solveur iteratif BiCG. On rappelle ici que lesolveur BiCG considere est le meme que celui decrit dans la section 2.7.5, page 47, preconditionne par lamatriceP = R⊗Q, avecR une matrice reelle carree de tailleP+1 etQ une matrice complexe carree detaille N . On designera par la suite SSFEM-BiCG-Diag la methode SSFEM dotee de solveur BiCG

88

preconditionne par la matrice P = I ⊗ diag(A0), avec diag(A0) la diagonale de la matrice A0. Ondesignera aussi par SSFEM-BiCG-SSOR la methode SSFEM dotee de solveur BiCG preconditionnepar la matrice P = I ⊗ Pssor(A0), avec Pssor(A0) designe le preconditionneur SSOR de A0 tel quedonne par la relation (3.23). Le terme SSFEM-BiCG-AINV lui refere au cas ou le preconditionneurretenu est P = I ⊗ (ZTDZ), avec A0 = ZTDZ construit tel que decrit dans 3.3.1.b et le terme SSFEM-BiCG-NKP a la SSFEM resolue avec le BiCG preconditionne par P = R ⊗Q, ou R etQ sont obtenues avec l’approximation de la somme de produits de Kronecker de matrices (cf. section3.3.1.c).

Nous appliquons ces trois methodes au meme modele probabiliste de la magnetoharmonique auquel estappliquee la methode NISP dans les deux sections precedentes. Les resultats obtenus sont resumes sur lafigure 3.16. Ces resultats montrent que la resolution du probleme SSFEM, pour differents nombre de va-riables aleatoires, avec le BiCG preconditionne avec des preconditionneurs autres que le diagonal permetde reduire sensiblement les couts numeriques de la SSFEM. Plus particulierement, le preconditionneurNKP permet de reduire les couts de plus 50%. Cependant, on constate toujours une evolution expo-nentielle du nombre de produits matrice-vecteur en fonction du nombre de variables aleatoires dans lemodele probabiliste.

0

500000

1ď6

1.5ď6

2ď6

2.5ď6

3 4 5 6

SSFEM-BiCG-DiagSSFEM-BiCG-SSORSSFEM-BICG-AINV

SSFEM-BiCG-NKP

Nom

bre

depr

odui

tsm

atri

ce-v

ecte

ur

Nombre de variables aleatoires

FIGURE 3.16 – Cout numerique de la SSFEM en fonction du nombre de variables aleatoires.

3.4.2.b Solveur iteratif Gauss-Jacobi par bloc

Nous allons proceder maintenant a l’etude des performances du solveur iteratif Gauss-jacobi parbloc decrit dans la section 3.3.2. Nous denoterons par SSFEM-GJ ce solveur iteratif par bloc.Avant de discuter des resultats de cette methode de resolution, nous nous assurons que la strategie dited’elimination permettant d’accelerer la convergence iterative de l’algorithme n’affecte pas la qualite dela solution obtenue. Pour ce faire, nous considerons le cas magnetostatique et nous calculons a l’aide

89

de l’estimateur d’erreur stochastique l’erreur εssfembicg de la methode SSFEM lorsque le systeme lineaireAsX = B resultant est resolu avec le BiCG et l’erreur εssfemgj obtenu avec la methode iterative par blocde Gauss-Jacobi. Les traces de de la difference εssfemgj − εssfembicg en fonction de l’ordre p de troncaturedu chaos polynomial et du nombre de variables aleatoires est raporte sur la figure 3.17. Ces resultatsmontrent que l’ecart entre les deux solutions, celle de la SSFEM resolue avec le BiCG et celle de la SS-FEM resolue avec le Gauss-Jacobi par bloc, croit en fonction de l’ordre p et du nombre M de variablesaleatoires dans le modele probabiliste. Ceci est du au fait que plusM et p sont grands, plus le nombre demodes de la solution stochastique auxquelles est applique le critere d’arret donne par la relation (3.40)est grand. Cependant, les ecarts εssfemgj −εssfembicg obtenus restent relativement faibles (inferieurs a 1ď−5),ils sont du meme ordre que ceux observes entre la NISP et la SSFEM dans le chapitre 2 (cf. page 61).On suppose par la suite que la methode de resolution iterative de Gauss-jacobi par bloc auquelle estappliquee cette strategie d’arret iteratif offre des resultats acceptables par rapport la resolution par leBiCG.

1ď− 9

1ď− 8

1ď− 7

1ď− 6

1ď− 5

0 1 2 3 4

εssfem

gj

−εssfem

bicg

Ordre de troncature p

1 variable aleatoire2 variable aleatoire4 variable aleatoire

FIGURE 3.17 – Evolution de (εssfemgj − εssfembicg ) en fonction de l’ordre de troncature p du chaos et dunombre de variables aleatoires.

Nous allons maintenant confronter les couts numeriques de Gauss-Jacobi par bloc a ceux du BiCGpreconditionne pour differents nombres de variables aleatoires. Sur la figure 3.18 est represente lenombre de produits matrice-vecteur de taille similaire au probleme deterministe de chaque methodeet pour un nombre de variables aleatoires allant de M = 3 a M = 6. On observe sur cette figure queles couts de la methode iterative de Gauss-Jacobi par bloc (notee SSFEM-GJ) evoluent lineairementavec la dimension aleatoire du probleme, contrairement a ceux obtenu avec le BiCG ou l’evolution estexponentielle. Le cout de Gauss-Jacobi par bloc dans un probleme a 6 variables aleatoires est equivalentau cout de la BiCG pour un probleme a 4 variables aleatoires.

90

0

500000

1ď6

1.5ď6

2ď6

2.5ď6

3 4 5 6

Nom

bre

depr

odui

tsm

atri

ce-v

ecte

ur

Nombre de variables aleatoires

SSFEM-BiCG-DiagSSFEM-BiCG-AINVSSFEM-BiCG-NKP

SSFEM-GJ-DiagSSFEM-GJ-AINV

FIGURE 3.18 – Cout numerique de la SSFEM en fonction du nombre de variables aleatoires.

L’apport du preconditionneur AINV a la methode iterative de Gauss-Jacobi par rapport au preconditionneurdiagonal n’est pas consequent du fait que la convergence de chaque bloc (systemes lineaires de taillesimilaire au probleme deterministe) preconditionne diagonal est relativement rapide et que le gainen terme d’iterations obtenu avec le AINV est reduit par le cout de construction et d’utilisation dupreconditionneur AINV (multiplication par Z et ZT ).

3.4.3 Comparaison des couts numeriques de la SSFEM et de la NISP

A ce stade, nous avons vu que les schemas d’integration adaptatifs evitent a la NISP l’effet de ladimension stochastique, c’est-a-dire que les couts numeriques n’evoluent plus exponentiellement avecle nombre de variables aleatoires M dans le modele probabiliste. De meme, la methode iterative deGauss-Jacobi par bloc permet une reduction considerable des couts de resolution du systeme lineaireAsX = B issu de la methode SSFEM. Il est interessant de noter a partir de la figure 3.19 que la methodeiterative de Gauss-Jacobi par bloc de la SSFEM, basee sur la strategie dite d’elimination, offre desperformances assez comparables avec le schema adaptatif anisotrope. Elles sont meilleures que celles duschema l’adaptatif anisotrope lorsque l’adaptation est realisee sur la partie imaginaire =(Φ(θ)) du flux,et elles sont legerement inferieures a celles obtenues avec l’adaptatif anisotrope lorsque l’adaptativiteest effectuee sur la partie reelle <(Φ(θ)) du flux magnetique.

91

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

3 4 5 6

Nom

bre

depr

odui

tsm

atri

ce-v

ecte

ur

Nombre de variables aleatoires

NISP-aniso→<(Φ)NISP-aniso→=(Φ)

SSFEM-GJ-DiagSSFEM-GJ-AINV

FIGURE 3.19 – Comparaison des couts numeriques de la SSFEM et de la NISP en fonction du nombrede variables aleatoires.

3.5 Conclusions du chapitre

Au cours de ce chapitre, sont decrites differentes techniques visant a reduire les couts numeriquesdes deux methodes spectrales de propagation d’incertitudes SSFEM et NISP. Des procedures adapta-tives permettant de construire des schemas de quadrature creux ont ete presentes. Ces algorithmes ex-ploitent la propriete d’imbrication des quadratures unidimensionnelles de Gauss-Patterson pour estimerde maniere adaptative les integrales multidimensionnelles resultant du calcul des coefficients de projec-tion determinant la reponse spectrale du modele probabiliste en approche NISP. De plus, l’informationrelative a la regularite de reponse aleatoire, tiree a partir de la cubature construite pour l’estimation de lamoyenne de la reponse aleatoire, est exploitee pour proposer une forme polynomiale implicite de cettereponse aleatoire, permettant ainsi de deduire l’ordre optimal de troncature dans chaos polynomial.

Concernant la SSFEM, l’apport de plusieurs preconditionneurs pour la reduction du cout numerique dela resolution du systeme lineaire ont ete etudies. Ces preconditionneurs permettent de reduire sensible-ment le cout de la methode de resolution iterative BiCG par rapport au preconditionnement diagonal.Cependant, une evolution exponentielle du nombre de produits matrice-vecteur, de taille similaire auprobleme deterministe, subsiste toujours pour le solveur BiCG. Neanmoins, l’utilisation de la techniquede partitionnement de matrices de Gauss-Jacobi conduit a un solveur iteratif par bloc plus efficace quele BiCG. Les performances de cette methode de resolution par bloc sont comparables a celles obtenuesavec les algorithmes adaptatifs et anisotropes de la NISP. Cette resolution par bloc permet aussi uneeventuelle distribution des calculs a l’image de ce qui peut etre realise avec la NISP.

92

Chapitre 4

Controle Non Destructif par courants deFoucault des generateurs de vapeur

Dans ce chapitre, nous allons appliquer les deux methodes spectrales NISP et SSFEM presenteesdans les chapitres 3 et 4 sur un probleme industriel de grande taille, en l’occurrence, le controle nondestructif par courants de Foucault (CND-CF) des generateurs de vapeur (GV) d’une centrale nucleaire.L’objectif de l’etude est d’utiliser ces deux methodes de quantification d’incertitudes afin de construireun modele probabiliste permettant de representer l’effet de la variabilite des proprietes materiaux, consti-tuant le dispositif industriel, sur les grandeurs d’interet ou indicateurs d’anomalie.

4.1 Inspection des GV par CND-CF

Le controle non destructif est un ensemble de techniques utilisees pour quantifier et s’assurer del’integrite des materiaux utilises dans les installations industrielles. Il existe plusieurs procedes d’ins-pection des installations, chacun adapte a une problematique bien specifique. La technique du CNDpar courants de Foucault est tres bien adaptee au controle en surface de materiaux conducteurs (entres petites profondeurs). La technique du CND s’appuie sur la detection des modifications des lignesde courants induits provoquees par la presence de variations des proprietes electriques et magnetiques(inclusion d’une fissure), ou par un changement geometrique du milieu conducteur inspecte. Une ou plu-sieurs bobines emettrices alimentees par un courant alternatif de frequence f cree un champ magnetiquealternatif dans la piece conductrice a inspecter. Il y apparait alors des courants induits, ceux-ci generentun champ magnetique dit secondaire. Ce champ secondaire contient une information sur la repartitiondes lignes de courant et donc sur la structure du milieu inspecte. Ce champ est alors capte par une ouplusieurs bobines receptrices (qui peuvent etre aussi les bobines emettrices). Les tensions induites dansles bobines receptrices sont alors traitees pour extraire l’information souhaitee.

Dans une centrale nucleaire, la chaudiere nucleaire chauffe un fluide (eau pressurisee) qui circule ausein d’un circuit primaire ferme. L’echange de chaleur entre le fluide du circuit primaire et du circuitsecondaire s’effectue dans le generateur de vapeur (GV), un echangeur forme de plusieurs milliers detubes metalliques maintenus par des plaques entretoises appelees TSP. Le controle de ces tubes estindispensable, car leur integrite assure qu’il n’y aura pas de transfert de matiere radioactive et previent

93

une baisse de pression dans le circuit primaire. La detection de ces defauts est plus particulierementcomplexe a certains endroits du GV. Les zones de transition de dudgeonnage ou zones a variation desdiametres des tubes presentent des difficultes du fait de la variation d’entrefer et du phenomene debasculement de la sonde. La detection de fissures est aussi delicate dans les zones proches de la TSP.En effet, la TSP est une plaque disposant de passages appeles foliages autour de chaque tube, commerepresente dans la figure 4.1(b), et qui permettent au fluide secondaire de circuler. Les signaux mesurespar les sondes autour de ces passages folies sont alteres par la plaque entretoise, d’une part, et parfois pardes depots de corrosion (magnetite) s’accumulant dans ces passages. Le colmatage des passages foliespar la magnetite est aussi une source de risque pouvant toucher a l’integrite des GV.

(a) Generateur de vapeur (b) Plaque de support des tubes

FIGURE 4.1 – Tubes et plaque de support dans un generateur de vapeur.

Dans une demarche de qualification de ces risques, EDF met en œuvre ce procede automatise decontrole non destructif par courants de Foucault [39, 64]. Plusieurs types de sondes sont exploitees parEDF dans ses etudes. On trouve par exemple les sondes differentielles telles que les sondes tournantestransverses (STT) et les sondes tournantes longues, qui sont particulierement adaptees au controle destubes des GV dans les centrales nucleaires [65, 66]. Le colmatage des foliages, probleme industrielleetudie dans nos travaux, peut etre detecte en utilisant une sonde SAX formee de deux bobines circulairesidentiques ayant le meme axe de revolution. La grandeur d’interet est alors la difference des flux entreles deux bobines. La procedure consiste a introduire la sonde differentielle SAX dans un tube generateurde vapeur et de faire un balayage en longueur du tube, et en parcourant la plaque TSP dans le sens de lalargeur (figure 4.2). Lors du deplacement de la sonde, la difference de flux (valeur complexe) en regimesinusoıdale, relevee entre les deux bobines, varie en norme et en phase. Le signal obtenu est usuellementrepresente en placant la partie reelle en abscisse et la partie imaginaire en ordonnee. La courbe obtenueest appelee signature frequentielle ou Lissajou. La figure (4.3) illustre les courbes Lissajou pouvant etreobtenues avec la technique CND-CF utilisant la sonde SAX. De part la symetrie du probleme, on observeune symetrie du signal en absence de magnetite. En presence de magnetite dans les foliages (colmatagecomplet des foliages par la magnetite), un gonflement du lobe gauche du signal est observe.

94

Pour evaluer cette methode de detection, un modele numerique de l’ensemble sonde - tube - TSP

a ete developpee au sein d’EDF R&D. Ce modele sera decrit plus en details dans la section suivante.

(a) Generateur de vapeur (b) Plaque de support des tubes

FIGURE 4.2 – Principe de detection par CND-CF du colmatage des foliages.

(a) Sans colmatage (b) Avec colmatage

FIGURE 4.3 – Signaux Lissajou obtenus avec la sonde SAX (figures issues de [64]).

4.2 Modele elements finis deterministe

Le maillage elements finis du modele CND-CF utilise dans cette etude est represente sur la figure4.4. Il est constitue de 1419948 elements. Le nombre total d’inconnues spatiales (inconnues associeesaux nœuds et aux aretes du maillage) est de N = 1789946 inconnues en formulation (A − ϕ), etest de N = 1020410 inconnues en formulation (T − Ω). La plaque TSP est modelisee en utilisantla methode des impedances de surface. Cette methode permet de realiser des maillages surfaciques(elements triangulaires) pouvant prendre en compte les effets des courants induits qui s’operent dansune epaisseur tres faible de la plaque TSP. On evite, ainsi, de mailler l’ensemble du volume de la plaqueet nous permet donc de reduire substantiellement la taille du maillage. Comme montre sur la figure 4.4,

95

les surfaces maillees sont celle perpendiculaires a l’axe du tube GV car les courants induits n’existentque sur ces deux facettes, et l’epaisseur de ces surfaces depend evidemment de la frequence, de laconductivite et de la permeabilite de la TSP.

Sonde 1Sonde 1

Sonde 2Sonde 2

TSP : Surface d’impØdanceTSP : Surface d’impØdance

Tube GV conducteurTube GV conducteur

-Tube

-Sonde(2 bobines)

-@@@@@@@@R

HHHHH

HHHHHH

HHj

Maillage surfaciquede la plaque TSP

FIGURE 4.4 – Modele elements finis du probleme CND-CF.

Le colmatage considere dans notre etude est complet sur une epaisseur de 5mm d’un seul cote de laplaque tel que illustre dans la figure 4.5. En d’autres termes, les quatre passages folies sont obstrues parla magnetite d’une epaisseur de 5mm du bas cote de la TSP.

Colmatage 4Colmatage 4

Colmatage 3Colmatage 3

Colmatage 2Colmatage 2

Colmatage 1Colmatage 1

TSP : Surface d’impØdanceTSP : Surface d’impØdance

-Magnetite

-

Maillage surfaciquede la plaque TSP

FIGURE 4.5 – Colmatage des passages folies sur 5mm en profondeur.

96

L’etude est mono-frequentielle : les deux bobines sont alimentees avec un courant de 1mA et excitesa la frequence f = 100kHz. A noter que chaque bobine est constituee de 70 tours. Pour chaque positionde la sonde dans le tube, les grandeurs complexes calculees sont les flux Φ1 et Φ2 a travers les deuxbobines et leur difference Φ1 − Φ2. A noter que un seul et meme maillage elements finis est utilisequelque soit la position de la sonde. En effet, la technique du pas bloque permet de nous affranchir del’etape de remaillage pour chaque nouvelle position de la sonde.

En pratique, pour s’affranchir de l’interpretation des courbes Lissajou (figures 4.3 quipeuvent devenirtres difficile a interpreter), le CEIDRE propose d’utiliser le ratio SAX Sr : un indicateur scalaire per-mettant de mesurer le niveau du colmatage. Le ratio Sr est defini comme le ratio entre le differentield’amplitude entre =(∆Φ)in, la partie imaginaire du ∆Φ en entree de la plaque entretoise, et =(∆Φ)out,la partie imaginaire du ∆Φ en sortie de la plaque entretoise. Plus precisement, on l’ecrit comme :

Sr =|=(∆Φ)in −=(∆Φ)out|

=(∆Φ)in(4.1)

avec =(∆Φ)in et =(∆Φ)out sont tels que representes dans la figure 4.6 ci-dessous.

-9

-6

-3

0

3

6

9

0 10 20 30 40 50 60

Trac

ede=

(∆Φ

)[e

n10−11

Wb]

Position du capteur

6

=(∆Φ)in

?

Entree de la TSP

6

=(∆Φ)out

?

Sortie de la TSP

FIGURE 4.6 – Partie imaginaire du signal ∆Φ obtenue sans colmatage et dans le cas deterministe –illustration du calcul du ratio SAX Sr.

97

4.3 Etude stochastique

Les caracteristiques physiques de la magnetite a l’origine du colmatage, a savoir la permeabilitemagnetique et la conductivite electrique, ne sont pas connues car il est difficile de disposer directementde cette matiere. Des travaux ont ete menes au L2EP sur des echantillons fournis par le CEIDRE quiont montre la variabilite des proprietes electromagnetiques de la magnetite et ont permis de degagerles intervalles de variabilite. Par la suite, on cherche a quantifier la variabilite du signal ∆Φ, pour uneposition du capteur donnee, lorsque les proprietes physiques de la magnetite et de la plaque TSP varientuniformement. On rappelle que le colmatage par la magnetite est suppose uniformement reparti sur uneprofondeur de 5mm dans les quatre passages folies.

4.3.1 Modele probabiliste

Le modele probabiliste de notre etude est constitue du modele element finis CND-CF decrit precedemmentavec quatre parametres d’entree aleatoires suivant des lois uniformes independantes sur les intervallesdonnes dans le tableau 4.1.

Variable aleatoire Type de loi Borne inferieure Borne superieure

σm de la magnetite uniforme 45 75

µmr de la magnetite uniforme 1.3 2.7

σp de la plaque TSP uniforme 17ď5 18ď5

µpr de la plaque TSP uniforme 60 100

TABLE 4.1 – Type et variabilite des variables aleatoires considerees dans le probleme du CND-CF.

Dans cette application, nous nous limitons a la formulation (A − ϕ). Pour chacune des positions ducapteur dans le tube, le probleme stochastique regi par le systeme d’equation (1.68) et donne en page 22(et en prenant les lois de comportement relatives a la magnetite et a la plaque TSP comme aleatoires)est resolu avec les deux methodes NISP et SSFEM pour obtenir les formes spectrales des grandeursd’interets (parties imaginaires et parties reelles de ∆Φ(θ)i, pour tout i ∈ [0 : 50]). A noter que leratio SAX aleatoire Sr(θ) est exploite en post-traitement, c’est-a-dire que a partir des representationsspectrales des ∆Φ(θ)i sur l’ensemble des positions i du capteur dans le tube.

Notre demarche de calcul est resumee sur la figure 4.7 ci-dessous.

4 variablesstochastiques

ξ = (ξ1, ξ2, ξ3, ξ4)

∈ [0, 1]4

Modelisation desparametres :σm(ξ), µm(ξ)

σp(ξ), µp(ξ)

Resoudre le probleme

magnetoharmonique

pour chaque position i

du capteur

Calcul de

Φi1(ξ), Φi2(ξ)

pour chaque

position i

Calcul de

Sr(ξ)

FIGURE 4.7 – Modele probabiliste pour le calcul des flux et du ratio SAX Sr aleatoires.

98

Concernant l’approche SSFEM, le chaos polynomial de Legendre considere est tronque de manierea priori a l’ordre p = 4, et le methode de resolution appliquee pour resoudre les systemes lineairesresultant est la methode iterative de Gauss-Jacobi par blocs decrite dans le deuxieme chapitre. Pourla NISP, l’ordre du developpement dans le chaos polynomial est identifie automatiquement par l’algo-rithme adaptatif anisotrope equipant la NISP.

4.3.2 Traitement des incertitudes sur les impedances de surface

La prise en compte des incertitudes sur lois de comportement des domaines modelises par lesimpedances de surface est naturelle via les approches non intrusives. Le traitement de celles-ci avec laSSFEM est plus delicat. Avant de decrire plus amplement cette difficulte et sa resolution, commenconspar presenter le cas deterministe.

4.3.2.a Cas deterministe

Comme cela a ete signale en debut de chapitre, dans les zones conductrices ou du fait l’effet de peau,les phenomenes electromagnetiques sont concentres a la surface, il est possible d’utiliser un modelesurfacique ou on impose des conditions d’impedance sur les bords. Les details de cette formulationpeuvent etre trouves dans [10,51]. On note par la suiteM zs le nombre de sous-domaines ou sont definiesles impedances de surface. Au final et dans le cas deterministe, la matrice du systeme lineaire a resoudres’ecrit :

A =

M−Mzs∑d=1

Gd(µd, σd) +

M∑d=M−Mzs

jwKzs

d Z11d Kzs

d Z12d

Kzsd Z21

d

Kzsd

jwZ22d

(4.2)

ouGd est la matrice introduite dans la page 16 et le coefficient d’impedance Kzsd est donne par :

Kzsd =

1 + j√2w

√σdµd

(4.3)

Les blocs matriciels Z sont donnes par :

(Z11d

)ij

=

∫Γzs

(w1i × n) · (w1

j × n) dγ

(Z12d

)ij

=

∫Γzs

rotw0i · (w1

j × n) dγ

(Z21d

)ij

=

∫Γzs

(w1i × n) · rotw0

j dγ(Z22d

)ij

=

∫Γzs

(rotw0i · rotw0

j ) dγ

ou on rappelle que w1i et w0

1 representent les fonctions formes associees aux aretes et nœuds du maillageelements finis.

99

4.3.2.b Cas stochastique

Supposons maintenant que les lois de comportement des domaines modelises par les impedancesde surface sont aleatoires, c’est-a-dire que µd et σd, pour d ∈ [M − M zs,M ], sont des variablesaleatoires independantes. Dans la mesure ou sur les domaines de variation des permeabilites relativeset des conductivites l’hypothese consistant a considerer le champ electromagnetique comme surfaciqueest valide, il est toujours possible d’utiliser l’approche par impedances de surface. Dans ce cas, Kzs

d estune variable aleatoire a valeurs complexes. La mise en œuvre des impedances de surface dans le casnon intrusif s’effectue naturellement puisque le modele deterministe est mis en oeuvre pour des valeursdonnees des conductivites et des permeabilites des milieux conducteurs. Pour la SSFEM, cette appli-cation n’est pas si immediate compte tenu du fait que l’impedance de surface met en jeu une relationnon lineaire de la conductivite et de la permeabilite. On montre aisement dans le cas de la SSFEM quela matrice du systeme lineaire a resoudre, issue de la discretisation du probleme magnetoharmonique,s’ecrit comme suit :

As =M−Mzs∑d=1

(Sνd ⊗Hνd + Sσd ⊗Hσ

d ) +M∑

d=M−Mzs

SKzs

d ⊗Hzsd (4.4)

ou les matrices Hνd et Hσ

d sont celles introduites dans la relation (2.45) de la page 46, et les matricesSνd et Sσd ont ete explicitees dans la section 2.7.4 du chapitre 2. La matriceHzs

d s’ecrit :

Hzsd =

Z11d Z12

d

Z21d Z22

d

(4.5)

Theoriquement, la matrice SKzs

d s’ecrit comme :

(SKzs

d )ij = E[Ψαi(θ)Ψαj (θ)K

zsd (θ)

], ∀(i, j) ∈ [1, P + 1]2 (4.6)

Numeriquement, pour expliciter la matrice SKzs

d on peut utiliser le developpement dans le chaos po-lynomial de la variable aleatoire Kzs

d (θ). Si les lois de probabilite de µd(θ) et σd(θ) sont classiques,il en est pas le cas pour celle de Kzs

d (θ). Plus precisement, la deduction de la representation dans lechaos polynomial de Kzs

d (θ) a partir de celles de µd(θ) et σd(θ) n’est pas evidente. En effet, meme sile rapport σ(θ)

µ(θ) peut etre approche par σ(θ)ν(θ), en determinant l’approximation ν(θ) = 1/µ(θ) sur lechaos polynomial, le calcul de la racine carre

√σ(θ)ν(θ) pose des difficultes numeriques.

On suppose que l’on dispose du developpement sous la forme (2.50) de σd(θ) et de celui de νd(θ) sousla forme (C.7). Les coefficients rα, pour tout α ∈ SMp∗in , du developpement dans le chaos polynomialde la variable aleatoire r(θ) = σd(θ)νd(θ) sont donnes par la relation (C.6) (cf. annexe C). Ainsi, pourdeterminer le developpement dans le chaos de Kzs

d (θ), il suffit de calculer√r(θ). On a alors :

E[Kzsd (θ)2Ψγ

]=j

wE [r(θ)Ψγ ] , ∀γ ∈ SMp∗in (4.7)

On ecrivant Kzsd (θ) comme :

Kzsd (θ) =

1 + j√2w

∑α∈SM

p∗in

kαΨα(θ) (4.8)

100

alors la relation (4.7) devient :

∑α∈SM

p∗in

∑β∈SM

p∗in

kαkβE [ΨαΨβΨγ ] = rγE[Ψ2γ

], ∀γ ∈ SMp∗in (4.9)

On constate a partir de cette derniere relation que la determination des coefficients kα, caracterisant ledeveloppement dans le chaos polynomial de la variable aleatoire Kzs

d (θ), revient a resoudre le problemenon lineaire (4.9). Cependant, la resolution du probleme (4.9) peut etre tres difficile. En effet, le nombrede coefficients inconnues kα peut augmenter tres rapidement en fonction du developpement de σd(θ) etνd(θ), et aussi les algorithmes de resolution non lineaires peuvent conduire a une solution physiquementnon admissible (valeurs negatives de Kzs

d (θ)). Dans notre probleme du CND-CF, la forme spectrale(4.8) de Kzs

d est obtenue par projection conduisant a estimer les coefficients kα du developpement (4.8)de maniere suivante :

kα =

√2w

(1 + j)

E [Kzsd (θ)Ψα]

E [Ψ2α]

(4.10)

c’est-a-dire, par :

kα =E[√

σ(θ)µ(θ)Ψα

]E [Ψ2

α](4.11)

En pratique, on prend un ordre de troncature p∗in de l’expression (4.8) tres eleve (p∗in ≥ 20), et un

large plan d’experience est utilise pour estimer les integrales E[√

σ(θ)µ(θ)Ψα

]. Cette derniere demarche

d’approximation du developpement dans le chaos deKzs(θ)d, verifiant la relation (4.9), par l’expressiondans le chaos obtenue avec la methode de projection a ete validee sur des cas simples.

4.4 Resultats de la SSFEM

4.4.1 Analyse de la variabilite

Un plan d’experience utilisant la methode de l’hypercube latin est utilise pour generer un ensemblede realisations a partir des expressions polynomiales de ∆Φ(ξ(θ))i obtenues avec la methode SSFEMdes flux calcules pour chaque position i du capteur dans le tube. Les parties imaginaires=(∆Φ(ξ)) et lesparties reelles <(∆Φ(ξ)) de ces realisations sont respectivement reportees sur la figure 4.8 et la figure4.9.

101

-15

-10

-0.5

0

0.5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50

Rea

lisat

ions

de=

(∆Φ

)[1

0−

11

Wb]

Position du capteur

FIGURE 4.8 – Realisations des parties imaginaires des flux complexes aleatoires calculees avec la SS-FEM.

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50

Rea

lisat

ions

de<

(∆Φ

)[1

0−

11

Wb]

Position du capteur

FIGURE 4.9 – Realisations des parties reelles des flux complexes aleatoires calculees avec la SSFEM.

On observe une forte variabilite de la grandeur aleatoire =(∆Φ(ξ)) aux positions situees a l’entreede la plaque TSP (positions entre 10 et 25) et une faible variabilite a la sortie de celle-ci (positionsentre 35 et 50). Cette observation est encore plus remarquable sur la figure 4.10, ou la moyenne etl’ecart-type de la partie imaginaire de ∆Φ sont reportees en fonction de la position du capteur dans letube GV. On peut supposer donc que les parametres d’entree aleatoires du modele probabiliste les plusinfluents (contribuant le plus a la variabilite de =(∆Φ)) sont ceux associes aux proprietes physiques dela magnetite puisque la variabilite est essentiellement localisee a l’entree de la plaque TSP, c’est-a-direou se situe la zone de bouchage par la magnetite.

102

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 10 20 30 40 50

Mom

ents

de=

(∆Φ

)[e

n10−

11

Wb]

Position du capteur

Moyenne de =(∆Φ)Ecart-type de =(∆Φ)

FIGURE 4.10 – Moyenne et ecart-type de la partie imaginaire du ∆Φ en fonction de la position ducapteur dans le tube GV.

On s’interesse maintenant a la partie reelle <(∆Φ(θ)) de la difference des flux aleatoires ∆Φ(θ). Onconstate a partir de la figure 4.11, ou la moyenne et l’ecart-type de <(∆Φ(θ)) sont representes enfonction de la position du capteur dans le tube GV, que la variabilite est globalement plus faible que cequi est observe pour la partie imaginaire =(∆Φ(θ)).

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 10 20 30 40 50

Mom

ents

de<

(∆Φ

)[e

n10−

11

Wb]

Position du capteur

Moyenne de <(∆Φ)Ecart-type de <(∆Φ)

FIGURE 4.11 – Moyenne et ecart-type de la partie reelle du ∆Φ en fonction de la position du capteurdans le tube GV.

103

On constate toutefois un accord entre les deux grandeurs (partie reelle et imaginaire) pour ce qui est dela localisation de la plus forte variabilite, elle est toujours situee a proximite de la magnetite (entree dela plaque TSP se trouvant virtuellement entre la position 10 et la position 25).

En conclusion, on peut donc supposer a travers ces analyses que c’est la variabilite des proprietes phy-siques de la magnetite, eventuellement le couplage entre la variabilite de ces dernieres avec la variabilitedes proprietes physique de la TSP, qui contribuent a la variabilite du signal aleatoire (partie reelle etimaginaire du flux aleatoire). En vue d’identifier plus precisement les parametres aleatoires influentset les niveaux de leurs contributions a la variabilite de la grandeur complexe et aleatoire ∆Φ(θ), il estnecessaire de faire une etude de sensibilite via une decomposition de la variance.

4.4.2 Analyse de la sensibilite

L’analyse de sensibilite nous permet de hierarchiser les parametres aleatoires suivant l’importancede leurs effets sur la grandeur aleatoire d’interet. Plus clairement, elle permet de repondre a la questionsuivante : Quel sera l’effet sur une grandeur d’interet si chaque parametre aleatoire d’entree devie de savaleur moyenne ?. Une maniere de repondre a cette question, et donc de faire une analyse de sensibilite,est d’appliquer la methode de decomposition de variance (methode ANOVA) ou de Sobol [86].La decomposition de Sobol de la grandeur d’interet aleatoire Y (ξ) consiste a ecrire :

Y (ξ) = Y0 +∑

1≤i≤MYi(ξi) +

∑1≤i<j≤M

Yij(ξi, ξj) + · · ·+ Y1...M (ξ), (4.12)

ou Y0 = E [Y (ξ)]. La decomposition est unique [49, 88] si E [Y1...l(ξk)] = 0, pour tout k ∈ [1, l] etl ∈ [1,M ]. Ainsi, les termes de la decomposition sont orthogonaux terme a terme et leur integrale pourchaque argument est nulle. Sous l’hypothese de l’independance des variables aleatoires, on montre quela variance totale var[Y ] de Y (θ) peut s’ecrire sous la forme suivante :

var[Y ] =∑

1≤i≤Mvar[Y ]i +

∑1≤i<j≤M

var[Y ]ij + · · ·+ var[Y ]1...M (4.13)

ou var[Y ]i...j representent les variances partielles ou conditionnelles definies comme :

var[Y ]i...j =

∫. . .

∫Y 2i...j(ξi, . . . , ξj)dξi . . . ξj (4.14)

La variance partielle var[Y ]i...j exprime la contribution des variables aleatoires ξi, . . . , ξj a la variabilitetotale de la reponse Y (θ) au modeleM. De part l’orthogonalite de la decomposition (4.12), la variancetotale var[Y ] de Y est donnee par la somme des variances partielles var[Y ]i...j . Ainsi, les indices deSobol du premier ordre peuvent etre calcules de la maniere suivante :

Si =var[Y ]ivar[Y ]

,∀i ∈ [1,M ] (4.15)

De plus, si la reponse aleatoire Y (θ) peut etre developpee dans le chaos polynomial comme :

Y (θ) =∑α∈SMp

yαΨα(θ) (4.16)

104

alors les indices de Sobol du premier ordre peuvent etre obtenus directement a partir du developpement(4.16) par :

Si =1

var[Y ]

∑α∗∈SMp

y2α∗ (4.17)

avec α∗ qui verifie la condition suivante :

M∑k=1

α∗k −α∗i = 0 (4.18)

Cette derniere relation traduit le fait que les coefficients consideres dans (4.17) sont ceux correspondantaux M -uplets dont l’unique composante non nulle est celle de la i-ieme position.

Nous allons maintenant estimer les indices de Sobol du premier ordre des grandeurs aleatoires=(∆Φ) et <(∆Φ) pour l’ensemble des positions du capteur. Ces indices de sensibilite nous permet-tront de degager le(s) parametre(s) influent(s) sur les deux grandeurs d’interet. Sur la figure 4.12 sontrepresentes les indices de sensibilite du premier ordre en fonction de la position du capteur dans le tubeGV. Ces indices sont calcules a partir du developpement dans le chaos polynomial de la partie imaginairedu ∆Φ obtenue en chaque position du capteur.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 10 20 30 40 50

σm

µm

σp

µp

Indi

ces

deSo

bold

upr

emie

rord

re

Position du capteur

FIGURE 4.12 – Indices de Sobol (× 100) sur la partie imaginaire du ∆Φ en fonction de la position ducapteur.

On note que dans les zones de calcul des grandeurs d’interet du ratio SAX a l’entree de la plaqueentretoise (situee a la position 15) et a la sortie de la meme plaque (autour de la position 45) lespermeabilites jouent un role preponderant. La permeabilite de la magnetite a l’entree est a l’originede presque la totalite de la variabilite, et la permeabilite de la plaque quant a elle est le seul facteurexpliquant la variabilite en sortie. Nous remarquons par ailleurs que la variabilite de la partie imaginaire

105

=(∆Φ) apparait principalement l’entree de la plaque entretoise. De plus, les traces des variances par-tielles rassembles dans la figure 4.13 confirment que seul la variabilite de la permeabilite de la magnetitecontribue fortement a la variabilite de =(∆Φ). On conclue donc que la variabilite du ratio SAX Sr seraitessentiellement expliquee par celle de la permeabilite de la magnetite.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 10 20 30 40 50

Var

ianc

espa

rtie

lles

sur=

(∆Φ

)en

10−

21

Web

er

Position du capteur

σm

µm

σp

µp

FIGURE 4.13 – Variances partielles sur la partie imaginaire du ∆Φ en fonction de la position du capteur.

Les indices de Sobol pour la partie reelle du ∆Φ sont reportes sur la figure 4.14 et les variancespartielles sont reportees sur la figure 4.15. On note ici que, en plus de la permeabilite de la magnetite,celle de la plaque a aussi une influence importante a l’entree et sortie de la plaque.

106

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 10 20 30 40 50

σm

µm

σp

µp

Indi

ces

deSo

bold

upr

emie

rord

re

Position du capteur

FIGURE 4.14 – Indices de Sobol (× 100) sur la partie reelle du ∆Φ en fonction de la position du capteur.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 10 20 30 40 50

Var

ianc

espa

rtie

lles

sur<

(∆Φ

)en

10−

21

Web

er

Position du capteur

σm

µp

σp

µp

FIGURE 4.15 – Variances partielles sur la partie reelle du ∆Φ en fonction de la position du capteur.

4.4.3 Ratio SAX

Comme nous l’avons montre dans la figure 4.7, le ratio SAX est calcule en post-traitement apresavoir construit les representations dans le chaos polynomial de ∆Φ(θ) pour l’ensemble des positionsdu capteur dans le tube GV. Pour determiner les moments statistiques et la densite de probabilite duratio SAX Sr, nous avons utilise un plan d’experience LHS sur lequel nous evaluons les meta-modeles

107

de ∆Φ(θ) pour l’ensemble des positions du capteur. On observe sur le tableau 4.2 que la moyenne etl’ecart-type de Sr(θ) sont correctement estimes meme avec un plan d’experience de taille reduite. Cesdeux grandeurs nous permettent de deduire que le coefficient de variabilite du ratio SAX Sr(θ) a 17%.On observe une stabilisation de l’asymetrie et de l’aplatissement de la densite de Sr(θ) pour des plansd’experience de tailles superieures a 100000. Par la suite, on fixe la taille du plan d’experience LHS a1000000 points.

Taille du plan d’experience Moyenne Ecart-type Asymetrie Aplatissement

1000 0.595 0.103 -1.182 3.530

10000 0.595 0.103 -1.184 3.535

100000 0.595 0.103 -1.185 3.538

1000000 0.595 0.103 -1.185 3.539

TABLE 4.2 – Moments statistiques du ratio SAX Sr(θ) en fonction de la taille du plan d’experience.

La densite de probabilite du ratio SAX Sr(θ) est representee sur la figure 4.16 ci-dessous.

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7Ratio SAX

FIGURE 4.16 – Densite de probabilite du ratio SAX Sr(θ) obtenue avec la SSFEM.

4.5 Resultats de la NISP

Ici, La methode NISP a ete mise en œuvre uniquement avec l’algorithme adaptatif anisotrope decritdans la section 3.2, page 75. La grandeur cible consideree pour l’adaptativite est la partie imaginaire de∆Φ(θ) car la formule (4.1) donnant le ratio SAX ne fait intervenir que =(∆Φ(θ)). L’influence du critered’arret εglo de la procedure adaptative, illustree par la figure 3.10, sur la qualite des resultats obtenus aete etudiee pour les valeurs suivantes : 1.ď− 3, 1.ď− 5 et 1.ď− 7.

108

De la meme maniere que pour la SSFEM, les moments statistiques du ratio SAX Sr(θ) sont obtenus apartir des representations dans le chaos polynomial des ∆Φi(θ), pour i = 0 a i = 50, en generant avec leplan d’experience LHS a N = 1000000 points, N courbes de =(∆Φ(θ)). Les evolutions de la moyennede Sr(θ), de son ecart-type, de son asymetrie et son aplatissement en fonction du critere d’arret εglo

sont rassembles dans le tableau ci-dessous. On observe sur ce tableau que la moyenne et l’ecart-typede Sr(θ) n’evoluent pas de maniere significative avec la diminution de εglo. Le coefficient de variationde Sr(θ) vaut 15%. Concernant l’asymetrie et l’aplatissement de Sr(θ), la diminution de εglo induit defaibles variations monotones de ceux-ci.

Critere d’arret Moyenne Ecart-type Asymetrie Aplatissement

1.ď− 3 0.598 0.093 -0.837 2.645

1.ď− 5 0.598 0.093 -0.839 2.659

1.ď− 7 0.598 0.093 -0.871 2.761

TABLE 4.3 – Moments statistiques du ratio SAX Sr(θ) obtenus avec la NISP pour differents criteresd’arret de l’algorithme adaptatif anisotrope.

La figure 4.17 represente la densite de probabilite du ratio SAX Sr(θ) obtenue avec les trois criteresεglo. On remarque a partir de cette courbe un aplatissement de la densite avec la diminution de εglo,conformement a ce qui est observe dans le tableau 4.3.

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7Ratio SAX

εglo = 1ď− 3εglo = 1ď− 5εglo = 1ď− 7

FIGURE 4.17 – Densites de probabilite du ratio SAX Sr en fonction du critere d’arret εglo de l’algo-rithme anisotrope de la NISP.

L’etape d’interpolation, c’est-a-dire d’identification des ordres optimaux sur les differentes dimen-sions stochastiques a partir de la grille de calcul obtenue, conduit a la construction de chaos polyno-miaux, correspondant a chaque position du capteur, a partir des ordres donnes sur la figure 4.18.

109

0

1

2

3

4

5

6

0 10 20 30 40 50Position du capteur

Ord

red’

inte

rpol

atio

n

σm

µm

σp

µp

FIGURE 4.18 – Evolution de l’ordre d’interpolation sur chaque dimension stochastique en fonction dela position du capteur.

Il est clairement montre sur la figure 4.18 que la dimension stochastique, la plus adaptee, est cellecorrespondant a la permeabilite aleatoire de la magnetite. On observe ainsi une correlation certaine avecles resultats de l’analyse de sensibilite realisee avec la SSFEM.

La taille des chaos polynomiaux obtenus avec les differents criteres d’arret εglo sont donnes sur lafigure 4.19. Sur les positions a faible variabilite de la partie imaginaire =(∆Φ(θ)) (entre la position 0et 11, et la position 31 et 50), la taille du chaos n’evolue pas avec la diminution du critere d’arret εglo.Cependant, sur les positions comprises entre la position 12 et la position 30, la taille du chaos polynomialaugmente avec la diminution de εglo.

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50

εglo = 1ď− 3εglo = 1ď− 5εglo = 1ď− 7

Position du capteur

Nom

bre

depr

odui

tsm

atri

ce-v

ecte

ur

FIGURE 4.19 – Evolution du la taille du chaos polynomial en fonction de la position du capteur.

110

4.6 Comparaison NISP vs SSFEM

Dans cette partie, les resultats obtenus avec les deux methodes spectrales SSFEM et NISP serontcomparees en terme de precision et de cout numerique. Pour la NISP, les resultats reportes par la suitesont ceux obtenus avec un critere d’arret εglo egal a 1ď− 7.Sur les figures 4.20 et 4.21 sont reportes respectivement la partie imaginaire et la partie reelle de ∆Φ(θ)

avec les deux methodes SSFEM et NISP. Sur ces figures, on observe une correspondance parfaite entreles moyennes (de =(∆Φ(θ)) et de <(∆Φ(θ))) obtenues avec les deux methodes, et pour l’ensemble despositions du capteur dans le tube GV.

-1e-10

-5e-11

0

5e-11

1e-10

1.5e-10

2e-10

0 10 20 30 40 50Position du capteur

Moyenne =(∆Φ) – SSFEMMoyenne =(∆Φ) – NISP

FIGURE 4.20 – Moyenne de la partie imaginaire =(∆Φ(θ)) obtenue avec la SSFEM et la NISP.

-1.5e-10

-1e-10

-5e-11

0

5e-11

1e-10

1.5e-10

2e-10

0 10 20 30 40 50Position du capteur

Moyenne <(∆Φ) – SSFEMMoyenne <(∆Φ) – NISP

FIGURE 4.21 – Moyenne de la partie reelle <(∆Φ(θ)) obtenue avec la SSFEM et la NISP..

111

La comparaison des ecart-types est quand a elle reportee sur les figures 4.22 et 4.23. Sur ces figures,on remarque un ecart entre les ecart-types de =(∆Φ(θ)) et de <(∆Φ(θ))) aux positions comprisesentre 14 et 22, c’est-a-dire aux endroits ou une forte variabilite est obtenue. En absence de solution dereference, il est bien evidemment difficile de conclure quand a la precision des deux approches SSFEMet NISP.

0

1e-11

2e-11

3e-11

4e-11

5e-11

0 10 20 30 40 50Position du capteur

Ecart-type =(∆Φ) – SSFEMEcart-type =(∆Φ) – NISP

FIGURE 4.22 – Ecart-type de la partie imaginaire =(∆Φ(θ)) obtenu avec la SSFEM et la NISP..

0

5e-12

1e-11

1.5e-11

2e-11

0 10 20 30 40 50Position du capteur

Ecart-type <(∆Φ) – SSFEMEcart-type <(∆Φ) – NISP

FIGURE 4.23 – Ecart-type de la partie reelle =(∆Φ(θ)) obtenu avec la SSFEM et la NISP..

112

En comparant les traces de la densite de probabilite du ratio SAX Sr(θ), on observe sur la figure 4.24un ecart sur la forme des deux densites obtenus avec la SSFEM et NISP. Cet ecart entre les differencesobservees sur le trace de la densite et le trace de la moyenne et ecart-type de =(∆(Φ(θ))) s’expliquepar le fait que le calcul du ratio SAX est altere par la somme des ecarts observes a la position 16 et laposition 20 sur la figure 4.22. A noter aussi la difference du coefficient de variabilite obtenues avec lesdeux methodes SSFEM et NISP (17% avec la SSFEM et 15% avec la NISP).

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7Ratio SAX

NISP (εglo = 1ď− 7)SSFEM

FIGURE 4.24 – Densite de probabilite du ratio SAX Sr obtenue avec la SSFEM et avec la NISP.

Enfin, on s’est interesse a l’evolution du cout numerique des deux methodes pour l’ensemble despositions du capteur. Les couts numeriques des deux methodes, indiques en terme de nombre de produitsmatrice-vecteur de taille similaire au probleme deterministe, sont donnes sur la figure 4.25.

Le cout numerique de la SSFEM reporte est legerement superieur a celui de la methode NISP. Cette re-marque s’explique par le fait que le preconditionneur applique avec la methode de Gauss-Jacobi est celuide Jacobi, alors qu’on avait montre dans le chapitre 3 que les preconditionneurs AINV et NKP peuventencore diminuer ce cout numerique. De plus, nos applications numeriques du chapitre 2 montrent unleger avantage des algorithmes adaptatifs anisotropes par rapport a la methode de resolution iterative parbloc de la SSFEM. Nous n’avons pas pu appliquer les preconditionneurs NKP ou AINV a ce problemecar le cout memoire requis par ces derniers accentue sensiblement le cout memoire requis par la SSFEM.

113

0

50000

100000

150000

200000

0 10 20 30 40 50

Cout numerique SSFEMCout numerique NISP

Position du capteur

Nom

bre

depr

odui

tsm

atri

ce-v

ecte

ur

FIGURE 4.25 – Couts numeriques de la SSFEM et NISP en terme du nombre de produits matrice-vecteurde la meme taille que le probleme deterministe.

4.7 Conclusion du chapitre

Au travers de ce chapitre, nous avons mis en oeuvre les deux methodes spectrales auxquelles ons’etait interesse tout au long de cette these, a savoir la methode NISP et la methode SSFEM, sur un casindustriel du controle non destructif par courants de Foucault. Plus particulierement, nous avons etudiel’influence des variabilites des parametres physiques de la magnetite, source de colmatage des passagesfolies dans les plaques entretoises, et ceux de la plaque entretoise TSP. Au cours de cette etude, nousavons mis en evidence la predominance de la variabilite de la permeabilite de la magnetite dans celledu ratio SAX, indicateur de colmatage des passages folies. Du point de vue precision, une differenceentre les resultats des deux methodes SSFEM et NISP est observee. Plus particulierement, nous avonsconstater que les faibles erreurs obtenues sur les signaux (parties imaginaires de la difference des fluxentre les deux bobines constituant le capteur) peuvent alterer grandement la precision du ratio SAX. Dupoint de vue couts numeriques, la methode NISP est plus performante que la SSFEM a l’image de ce quiest observe dans le deuxieme chapitre. Cependant, cette derniere conclusion n’est pas generalisable auxcas ou plusieurs parametres d’entree du modele probabiliste sont influents sur la sortie.

114

Conclusion generale

Ces travaux de these ont eu pour objectifs d’etudier et de comparer, dans un contexte industriel, deuxmethodes de propagation d’incertitudes dites spectrales lorsque les incertitudes sont portees uniquementpar les lois de comportement dans le cas d’un modele numerique base sur la methode des elements finis.Les deux methodes probabilistes etudiees sont : la Non Intrusive Spectral Projection, une approchequalifiee de non intrusive car elle ne necessite pas de modifications informatiques du code numerique decalcul, et la Spectral Stochastic Finite Element Method, methode plutot intrusive. Elles s’appuient toutesles deux sur une representation fonctionnelle selon la dimension aleatoire a l’aide du chaos polynomial.Avec la methode NISP, la representation dans le chaos polynomial est mise en œuvre en projetant lasolution numerique aleatoire de la grandeur d’interet sur la base des polynomes orthogonaux formantle chaos polynomial. Les coefficients de cette projection sont determines en calculant des integralesmultidimensionnelles. La resolution des problemes de l’electromagnetisme avec la SSFEM est realisee,apres avoir etabli la forme faible au moyen des residus ponderes, en appliquant la methode de Galerkinsimultanement sur la dimension spatiale et sur la dimension stochastique. L’espace de discretisationde la dimension spatiale considere est l’ensemble des fonctions de Whitney, et celui sur la dimensionstochastique est l’ensemble des polynomes orthogonaux constituant le chaos polynomial.

Dans un cadre statique, la comparaison du point de vue precision est realisee via un estimateurd’erreur stochastique a posteriori base sur le principe de la non verification de la loi de comportementmagnetique. La solution obtenue avec la formulation en potentiel scalaire Ω et celle obtenue avec laformulation en potentiel vecteur A, pour un maillage elements finis donne et un ordre de troncaturep du chaos polynomial, sont utilisees pour estimer la distance entre les champs exacts et les champsmoyens donnes par les deux solutions duales en potentiel. Nos applications numeriques ont montre quela methode SSFEM est plus precise que la methode NISP. Ce resultat est conforme a la theorie puisquela SSFEM minimise, pour tout ordre de troncature de la representation spectrale, l’erreur quadratiqueentre la solution approchee et la solution exacte. Ceci contraste avec la NISP ou les coefficients dela forme spectrale ne dependent pas de l’ordre de troncature. De plus, la qualite de la solution de laNISP est conditionnee par la precision du schema de quadrature utilise pour l’estimation des integralesmultidimensionnelles.

L’utilisation des algorithmes adaptatifs dans la methode NISP et des methodes de resolution parbloc comme solveur de systemes lineaires dans la SSFEM conduit a une reduction importante des coutsnumeriques. Les algorithmes adaptatifs exploitent la propriete d’imbrication des quadratures unidimen-sionnelles de Gauss-Patterson, pour estimer de maniere adaptative les integrales multidimensionnelles

115

resultant du calcul des coefficients de projection, determinant la reponse spectrale du modele proba-biliste en approche NISP. De plus, l’information relative a la regularite de reponse aleatoire, tiree apartir de la cubature construite pour l’estimation de la moyenne de la reponse aleatoire, est exploiteepour proposer une forme polynomiale implicite de cette reponse aleatoire, permettant ainsi de deduirel’ordre optimal de troncature dans le chaos polynomial. Concernant la SSFEM, l’apport de plusieurspreconditionneurs pour la reduction du cout numerique de la resolution du systeme lineaire ont eteetudies. Ces preconditionneurs permettent de reduire sensiblement le cout de la methode de resolutioniterative BiCG par rapport au preconditionnement diagonal. Cependant, une evolution exponentielle dunombre de produits matrice-vecteur, de taille similaire au probleme deterministe, subsiste toujours pourle solveur BiCG. Neanmoins, l’utilisation de la technique de partitionnement de matrices de Gauss-Jacobi conduit a un solveur iteratif par bloc plus efficace que le BiCG. Les performances de cettemethode de resolution par bloc sont comparables a celles obtenues avec les algorithmes adaptatifs etanisotropes de la NISP.

Le tableau 4.4 resume les avantages et inconvenients des deux methodes de propagation des incerti-tudes NISP et SSFEM. Nous resumons cette comparaison en 5 points :

• Du point de vue precision numerique, la methode NISP perd un peu de sa precision lorsqu’elle estdotee des algorithmes adaptatifs car ceux-ci n’adaptent que sur une seule et unique grandeur cible.Les autres grandeurs, qu’elles soient globales ou locales, peuvent etre mal calculees. La methodeiterative de resolution Gauss-Jacobi par bloc avec laquelle est resolu le systeme lineaire issu dela SSFEM peut alterer legerement la precision de la SSFEM. En effet, la strategie d’eliminationnous permettant de reduire les couts numeriques introduit une erreur sur les modes elimines.

• Concernant le cout numerique, l’algorithme adaptatif anisotrope rend la methode NISP tres avan-tageuse devant la SSFEM, du moins sur nos applications numeriques considerees. Cependant, cetavantage est tres relatif. Il depend fortement du comportement du modele probabiliste vis a visdes parametres d’entree aleatoires. En effet, le cout de l’algorithme adaptatif anisotrope, tel quepresente dans ce memoire, serait tres faible si la surface de reponse n’est pas lisse (fortementnon reguliere) sur nombre reduit de dimensions stochastiques. Inversement, si le modele proba-biliste est non regulier sur un nombre important de dimensions stochastiques, alors la grille decalcul construite serait fortement pleine, et donc le cout de calcul serait tres eleve. De plus, lecout numerique de la NISP depend de la grandeur cible retenue pour l’algorithme adaptatif car laregularite du modele probabiliste etudie est differente selon chaque grandeur globale. A l’inverse,le cout numerique de la SSFEM ne depend d’aucune grandeur, puisque cette methode ne requiereaucune grandeur cible.

• Si la methode NISP, lorsqu’elle dotee d’un schema de quadrature tensorise, offre une large possibi-lite de distribuer les simulations deterministes, la disposition de cette methode au calcul distribueest reduite lorqu’elle est appliquee avec les algorithmes adaptatifs. Ceci se justifie par le fait que lagrille de calcul construite par tensorisation est connue de maniere a priori et que les points de cettegrille sont parfaitement independants, donc les simulations deterministes peuvent etre effectueessimultanement sur differents processeurs. Alors que, lorsque l’algorithme adaptatif anisotrope est

116

utilise, il n’est pas possible de prevoir l’orientation de l’adaptativite de maniere a priori. Ainsi, iln’est possible de distribuer que les simulations deterministes associees aux points de la grille decalcul requis a chaque etape de l’adaptativite. Dans le cas de la SSFEM, la methode de resolutioniterative Gauss-Jacobi par bloc permet de distribuer les calculs. En effet, a chaque iteration del’algorithme iteratif du Gauss-Jacobi, on peut distribuer P simulations deterministes.

• L’utilisation d’un schema adaptatif conduit a adapter la discretisation en fonction d’un criterequi est souvent une grandeur globale comme le flux par exemple. Ceci peut conduire a unerepresentation erronee des autres grandeurs globales et des grandeurs locales.

NISP SSFEM

schema adaptatif adaptatif solveur BiCG Gauss-Jacobi

tensorise isotrope anisotrope par bloc

Precision numerique ? ? ? ?? ?? ? ? ? ??

Cout numerique −−− ?? ? ? ? −− ??

Calcul distribue ? ? ? ?? ?? −−− ??

Grandeurs globales ? ? ? −− − ? ? ? ? ? ?

Grandeurs locales −−− −−− −−− ? ? ? ? ? ?

TABLE 4.4 – Comparaison de la precision, cout numerique et adequation au calcul distribue desmethodes de propagation des incertitudes NISP et SSFEM.

De part cette description des avantages et inconvenients des deux methodes NISP et SSFEM, lamethode qui nous semble la plus adaptee au traitement des problemes a taille industrielle est la methodeSSFEM, meme si celle-ci est legerement plus couteuse en terme de cout de calcul comme nous l’avonsmontre dans notre application CND. Par ailleurs, dans l’etude probabiliste menee dans le chapitre 4,nous avons conclu a la necessite d’ameliorer la connaissance de la permeabilite de la magnetite en vuede reduire la variabilite du ratio SAX.

Perspectives

Comme perspectives a ces travaux, nous estimons necessaire de travailler sur la diminution des coutsde calcul de la methode SSFEM, en vue d’etre appliquee a des problemes de taille encore plus grande(corps humain par exemple), et de travailler sur l’amelioration du modele probabiliste du CND.

117

• Perspectives relatives a l’aspect numerique :

– Developpement d’estimateurs d’erreur nous permettant de lier le degre de discretisation spatialeet de discretisation stochastique. En effet, comme nous l’avons vu dans le deuxieme chapitre,pour une erreur de discretisation spatiale donnee, il existe un ordre de troncature du chaospolynomial a partir duquel l’erreur globale ne diminue plus. Ces estimateurs d’erreur peuventaussi nous permettre de considerer differents ordres de troncature du chaos polynomial sur lesinconnues spatiales. Par exemple, dans notre application du controle non destructif, ceci nouspermettra de considerer des ordres de troncature eleves sur les inconnues spatiales situees surdes zones proches de la magnetite et de la TSP, et de considerer des ordres de troncature faiblesdans les regions situees loin de la magnetite et de la TSP. Cette approche permet a terme dereduire la dimension stochastique du probleme traite et ainsi reduire ses couts de resolution.Ces estimateurs seront aussi utiles pour piloter et orienter les algorithmes adaptatifs de la NISP.

– Utilisation des technique de reduction de modeles telles que la Stochastic Reduced Basis Me-thods [84], la PGD,...etc afin de construire le vecteur solution initial de la methode iterative deGauss-Jacobi par bloc.

• Perspectives liees a l’aspect applicatif :

– Caracterisations experimentales des materiaux (magnetite et TSP) du probleme CND en vue demieux modeliser les donnees d’entree aleatoires du modele probabiliste. Plus particulierement,il faut ameliorer les connaissances sur la variabilite de la permeabilite de la magnetite dansl’objectif de rendre les predictions de bouchage plus realistes.

– Aussi, prendre en compte la forme et le niveau du bouchage des foliages qui sont souventrencontres dans les generateurs de vapeur. Pour ce faire, les techniques de propagation d’incer-titudes portees par la geometrie [57] doivent etre mises en oeuvre.

118

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124

Annexe A

Polynomes orthogonaux

A.1 Chaos polynomial

Le developpement dans le chaos polynomial est a l’origine introduit par Wiener [89] comme unegeneralisation du developpement en serie de Fourier. Ghanem et Spanos [42] l’ont applique en mecaniquepour resoudre les equations aux derivees partielles stochastiques. Wiener utilisait les polynomes de Her-mite multidimensionnels et comme indeterminees des variables aleatoires gaussiennes centrees reduitesafin de developper les processus aleatoires de second ordre i.e. de variance finie.

A.1.1 Chaos de Hermite

Soit un espace probabilise (Θ,F ,P), ou Θ est l’espace des aleas, F une σ-algebre sur Θ et P unemesure de probabilite. Considerant un vecteur aleatoire ξ(θ) = (ξ1(θ), . . . , ξM (θ)) de M variablesaleatoires independantes (θ representant l’alea). Les densites de probabilites des ξi si elles existent sontnotees fξi . On note L2(Θ) l’espace de Hilbert muni du produit scalaire (X,Y ) =def E[XY ] i.e. L2(Θ)

est l’espace des variables aleatoires a variance finie.

Le developpement dans le chaos de Wiener ou dans le chaos de Hermite consiste a representer lesprocessus aleatoires X(θ) de L2(θ) sous la forme :

X(θ) = c0H0 +

∞∑i=1

ciH1(ξi(θ)) +

∞∑i=1

i∑j=1

cijH2(ξi(θ), ξj(θ)) +

∞∑i=1

i∑j=1

j∑k=1

cijkH3(ξi(θ), ξj(θ), ξk(θ)) + . . . (A.1)

L’expression A.1 peut etre reecrite sous la forme simplifiee suivante

X(θ) =

∞∑i=0

aiHi(ξ(θ)) (A.2)

Les Hi(x), i ∈ N sont les polynomes de Hermite multidimensionnels introduits dans la section 2.1.1a indeterminees gaussiennes centrees reduites. Le developpement ci-dessus se revele adapte et optimal

125

pour des processus stochastiques gaussiens et pour quelques classes de processus non gaussiens [42,92].Le probleme d’un tel developpement est que la taille de la base du chaos (nombre de polynomes mul-tidimensionnels Hi) augmente geometriquement avec le nombre M de variables aleatoires et du degremaximum p choisi. le nombre de polynomes constituant cette base est egal a P = Cpp+M .

A.1.2 Chaos generalise

En general, le developpement en chaos polynomial de Hermite des processus non gaussiens offreune convergence non optimale (non exponentielle) et faible. Pour traiter une entree aleatoire de natureplus generale, on introduit le chaos de Wiener-Askey qui consiste en une generalisation du chaos Wienerou de Hermite.

Le chaos polynomial generalise est base sur le schema de Wiener-Askey [91] decrit dans le tableauA.1. Dans le schema de Wiener-Askey, les polynomes orthogonaux de Hermite, Legendre, Laguerre,Jacobi et Laguerre generalise sont utilises pour modeliser les effets des variables aleatoires continuesdecrites respectivement par la loi normale, uniforme, exponentielle, beta et la loi gamma. Ces polynomesorthogonaux ainsi selectionnes sont optimaux pour ces types de distribution du moment que le produitscalaire associe a la fonction poids et les intervalles de definition correspondent a la densite de probabilitede ces distributions continues.

Des representations sur des bases de chaos generalises permettent de bien representer les differentes loisde probabilite introduites dans la modelisation [87, 91].

Distribution Densite Polynome fonction poids Support

Normale 1√2πe−x22 Hermite Hn(x) e

−x22 [−∞,+∞]

uniforme 12 Legendre Pn(x) 1 [−1, 1]

Beta (1−x)α(1+x)β

2α+β+1mmmmJacobi P (α,β)

n (1− x)α(1 + x)β [−1, 1]

Exponentielle e−x Laguerre Ln(x) e−x [0,+∞]

Gamma xαe−x

γ(α+1) Laguerre Generalise L(α)n xαe−x [0,+∞]

TABLE A.1 – Schema de Wiener Askey.

En pratique, on est souvent amene a travailler sur un ensemble de parametres incertains decrits pardes variables aleatoires de differents types. Pour construire le chaos generalise, le choix du type des po-lynomes orthogonaux monodimensionnels Pαi (expression 2.17) dependra alors de la variable aleatoireassociee. En d’autres termes, les polynomes monodimensionnels a prendre doivent etre orthononaux parrapport a la densite de probabilite de la variable aleatoire associee suivant le schema de Wiener-Askeydecrit dans le tableau A.1.

ExempleSoit X(θ) = ξ1(θ), ξ2(θ), ξ3(θ) un vecteur de 3 variables aleatoires. On suppose ξ1 est une va-

riable aleatoire qui suit la loi normale, ξ2 est une variable aleatoire uniforme sur [0, 1] et ξ3 est une

126

variable aleatoire qui suit la loi Beta. Sur la premiere dimension stochastique, on choisit les polynomesde Hermite unidimensionnels hn car ils sont orthogonaux par rapport a la loi normale 1√

2πe−x

2/2. Laseconde dimension stochastique, d’apres le schema de Wiener-Askey, on lui associe les polynomes deLegendre unidimensionnels Ln qui sont orthogonaux par rapport a la densite de probabilite d’une loiuniforme. Enfin, sur la troisieme dimension on utilise les polynomes de Jacobi unidimensionnels quel’on note Jn.

Les premiers polynomes Ψi de la base du chaos generalise sont alors definis par :

Ψ0(θ) = h0(ξ1(θ))L0(ξ2(θ))J0(ξ3(θ))

Ψ1(θ) = h1(ξ1(θ))L0(ξ2(θ))J0(ξ3(θ))

Ψ2(θ) = h0(ξ1(θ))L1(ξ2(θ))J0(ξ3(θ))

Ψ2(θ) = h0(ξ1(θ))L0(ξ2(θ))J1(ξ3(θ))

...

Le developpement de toute fonction Y (X(θ)) ayant comme indeterminee le vecteur X(θ) le chaosgeneralise s’ecrit :

Y (X((θ)) =∑α∈NM

aαΨα(θ) (A.3)

A.1.3 Polynomes de Hermite

Les polynomes de Hermite Hn, n = 0, 1, . . . , p sont une classe de polynomes orthogonauxverifiant la relation d’orthogonalite :∫

RHn(x)Hm(x)w(x)dx = δnm (A.4)

Ils peuvent etre definis de plusieurs manieres. On les associe souvent a la fonction poids gaussiennew(x) = e−x

2ou w(x) = e−x

2/2 suivant les auteurs et les domaines (mathematiques ou physique).Ces definitions conduisent tout naturellement a des familles de polynomes differentes mais qui restentequivalentes. En effet, un simple changement de variable permet de passer d’une ecriture a une autre.Pour des considerations numeriques (precision numerique et facilite d’implementation), on choisit detravailler avec des polynomes de Hermite normalises. Pour cela, on considere comme fonction poids ladensite normalew(x) = 1√

2πe−x

2/2 definie sur l’intervalle R. Les polynomes de HermiteHn normalisessont alors les solutions de l’equation differentielle suivante

H′′n(x)− xH ′n(x) + nHn(x) = 0 (A.5)

La formule de Rodrigues nous conduit a la relation de recurrence suivante

Hn+1(x) = x

√1

n+ 1Hn(x)−

√n

n+ 1Hn−1(x) (A.6)

avec H0(x) = 1 et H1(x) = x.Pour toute variable gaussienne centree reduite ξ, les polynomes de Hermite verifient la propriete suivante

E [Hi(ξ)Hj(ξ)Hk(ξ)] =(Hi(ξ), Hj(ξ)Hk(ξ)

)w

=

127

√i!j!k!

( i+j−k2 )!( j+k−i2 )!(k+i−j2 )!

si i+ j + k est pair et |i− j| ≤ k ≤ i+ j

0 sinon

(A.7)

ou E [X] est l’esperance mathematique de la variable aleatoire X

A.1.4 Polynomes de Legendre

Les polynomes orthogonaux de Legendre Ln, n = 0, 1, . . . , p sont classiquement associes a lafonction poids w(x) = 1 definie sur l’intervalle [-1,1]. Par un changement de variable et un procedede normalisation similaire a celui applique aux polynomes de Hermite permet de definir de nouveauxpolynomes de Legendre normalises et associes a la densite uniforme sur [0, 1]. Ces derniers verifient larelation d’orthogonalite suivante : ∫

[0,1]Ln(x)Lm(x)dx = δnm (A.8)

Ces polynomes sont lies par la relation de recurrence suivante :

Ln+1(x) = (2x− 1)

√(2n+ 1)(2n+ 3)

n+ 1Ln(x)− n

√(2n+ 3)/(2n− 1)

(n+ 1)Ln−1(x) (A.9)

avec L0(x) = 1 et L1(x) =√

3(2x− 1). Les polynomes de Legendre ainsi definis sont orthonormalisessur la densite uniforme [0, 1]. Pour toute variable aleatoire uniforme ξ, les polynomes de Legendreverifient la propriete suivante :

E [Li(ξ)Lj(ξ)Lk(ξ)] =(Li(ξ), Lj(ξ)Lk(ξ)

)w

=

[i/2]∑n=0

[j/2]∑m=0

[k/2]∑l=0

αnml

[ i−n−1∏p=0

(2(i−n−p)−1

) j−m−1∏p=0

(2(j−m−p)−1

) k−l−1∏p=0

(2(k−l−p)−1

)](A.10)

avec

αnml =(−1)n+m+l

2n+m+ln!m!l!(i− 2n)!(j − 2m)!(k − 2l)!(i+ j + k + 1− 2(n+m+ l)

)

Remarque : Un lien direct existe entre les points de collocation et les poids du schema de Gaussconstruit avec des polynomes de Legendre definis sur [−1, 1] et ceux du schema construit avec despolynomes definis sur [0, 1]. Les nouveaux poids s’obtiennent en divisant ceux de la definition classiquepar 2 (wi = w

′i/2), et les racines ou les points de collocation sont obtenus par xi = (x

′i + 1)/2. la meme

correction s’impose pour les poids et points de du schema de Gauss utilisant les polynomes de Hermitedefinis par A.6. Les poids s’obtiennent par wi = w

′i/√π et les points de collocation par xi =

√(2)x

′i.

128

Dans la suite, on va donner un exemple de construction d’une base de polynomes a deux dimen-sions et de degre au plus 3 a partir des polynomes monodimensionnels de Hermite (la fonction poidsselon les deux dimensions est une gaussienne). Les premiers polynomes monodimensionnels de Hermites’ecrivent :

h0(x) = 1

h1(x) = x

h2(x) =1√2

(x2 − 1)

h3(x) =1√6

(x3 − 3x)

Le premier polynome bidimensionnel correspondant a l’uplet (0, 0) est : Ψ0(x1, x2) = h0(x1)h0(x2) =

1

Le second correspondant a l’uplet (1, 0) est : Ψ1(x1, x2) = h1(x1)h0(x2) = x1

Le troisieme polynome associe a (0, 1) est : Ψ2(x1, x2) = h0(x1)h1(x2) = x2

Dans le tableau A.2, sont reportes l’ensemble des polynomes constituant la base polynomiale bi-dimensionnellede Hermite de degre au plus 3.

indice j degre p uplet αj Polynomes multidimensionnels Ψj

0 0 (0, 0) Ψ0(x1, x2) = 1

1 1 (1, 0) Ψ1(x1, x2) = x1

2 1 (0, 1) Ψ2(x1, x2) = x2

3 2 (2, 0) Ψ3(x1, x2) = 1√2(x2

1 − 1)

4 2 (1, 1) Ψ4(x1, x2) = x1x2

5 2 (0, 2) Ψ5(x1, x2) = 1√2(x2

2 − 1)

6 3 (3, 0) Ψ6(x1, x2) = 1√6(x3

1 − 3x1

7 3 (2, 1) Ψ7(x1, x2) = 1√2x2(x2

1 − 1)

8 3 (1, 2) Ψ8(x1, x2) = 1√2x1(x2

2 − 1)

9 3 (0, 3) Ψ9(x1, x2) = 1√6(x3

2 − 3x2)

TABLE A.2 – Polynomes de Hermite bi-dimensionnels.

On verifie bien que le nombre de polynomes dans la base est egal a C33+2 = 10.

129

130

Annexe B

Complements sur l’approximation d’unesomme de produits de Kronecker

On cherche deux matricesR ∈ R(P+1)×(P+1) etQ ∈ CN×N telles que :

min ‖M∑i=1

(Si ⊗Hi)−R⊗Q‖2F ≈ 0 (B.1)

avec ‖X‖2F = Tr(XX∗) pour X ∈ CN×N , ou Tr(X) est la trace de X et X∗ = XT . Dans [44], on

a montre que si les deux matricesR etQ sont donnees sous la forme :

R =M∑i=1

αiSi, α ∈ RM (B.2)

Q =

M∑i=1

βiHi β ∈ RM (B.3)

alors le probleme est un probleme de minimisation non lineaire. Il s’ecrit :

min ‖M∑i=1

(Si ⊗Hi)−R⊗Q‖2F = minα,β

f(α,β) (B.4)

avec :

f(α,β) =∑i

∑j

Tr(SiSj) Tr(H iHj)− 2∑i

∑j

∑k

αjβk Tr(SiSj) Tr(H iHk)

+(∑

i

∑j

αiαj Tr(SiSj))(∑

i

∑j

βiβj Tr(H iHj)) (B.5)

La forme de f(α,β) est obtenue en developpant la norme de Frobenius (B), en considerant S∗ = S

(car c’est matrice reelle et symetrique) etH∗ = H , et en utilisant les proprietes suivantes :

– Tr(XY ) = Tr(Y X)

– Tr(X + Y ) = Tr(X) + Tr(Y )

– (X ⊗ Y )∗ = X∗ ⊗ Y ∗

131

– Tr(X ⊗ Y ) = Tr(X) Tr(Y )

– (X1 ⊗ Y1)(X2 ⊗ Y2) = (X1X2)⊗ (Y1Y2)

En notant : (H)ij = Tr(H iHj) et (S)ij = Tr(SiSj), la fonction a minimiser s’ecrit alors :

f(α,β) = Tr(SH)− 2αT SHβ + (αT Sα)(βT Hβ) (B.6)

Dans notre cas, les matricesR etQ sont recherchees sous les formes :

R = IP+1 +M∑i=1

αiSνi +

2M∑i=M+1

αiSσi (B.7)

Q = A0 +

M∑i=1

βiHνi +

2M∑i=M+1

βiHσi (B.8)

On montre dans ce cas, par substitution, que la fonction de minimisation s’ecrit :

f(α, β) = Tr(SH)− 2αT SHβ + (αT Sα)(βT Hβ) (B.9)

Les matrices H et S sont donnees sous les formes suivantes :

H =

Tr(A0A0) Tr(A0Hν1 ) . . . Tr(A0H

νM ) Tr(A0H

σ1 ) . . . Tr(A0H

σM )

Tr(Hν1A0) Tr(H

ν1H

ν1 ) . . . Tr(H

ν1H

νM ) Tr(H

ν1H

σ1 ) . . . Tr(H

ν1H

σM )

......

. . ....

.... . .

...Tr(H

νMA0) Tr(H

νMH

ν1 ) . . . Tr(H

νMH

νM ) Tr(H

νMH

σ1 ) . . . Tr(H

νMH

σM )

Tr(Hσ1A0) Tr(H

σ1H

ν1 ) . . . Tr(H

σ1H

νM ) Tr(H

σ1H

σ1 ) . . . Tr(H

σ1H

σM )

......

. . ....

.... . .

...Tr(H

σMA0) Tr(H

σMH

ν1 ) . . . Tr(H

σMH

νM ) Tr(H

σMH

σ1 ) . . . Tr(H

σMH

σM )

(B.10)

S =

Tr(IP+1IP+1) Tr(Sν1 ) . . . Tr(SνM ) Tr(Sσ1 ) . . . Tr(SσM )

Tr(Sν1) Tr(S

ν1S

ν1 ) . . . Tr(S

ν1S

νM ) Tr(S

ν1S

σ1 ) . . . Tr(S

ν1S

σM )

......

. . ....

.... . .

...Tr(S

νM ) Tr(S

νMS

ν1 ) . . . Tr(S

νMS

νM ) Tr(S

νMS

σ1 ) . . . Tr(S

νMS

σM )

Tr(Sσ1 ) Tr(S

σ1S

ν1 ) . . . Tr(S

σ1S

νM ) Tr(S

σ1S

σ1 ) . . . Tr(S

σ1S

σM )

......

. . ....

.... . .

...Tr(S

σM ) Tr(S

σMS

ν1 ) . . . Tr(S

σMS

νM ) Tr(S

σMS

σ1 ) . . . Tr(S

σMS

σM )

(B.11)

et les vecteurs α ∈ R2M+1, β ∈ RM ∈ R2M+1 s’ecrivent :

αT = (1,αT ) et βT = (1,βT )

132

De maniere generale, le nombre de variables aleatoires des problemes traites et la taille du chaospolynomial sont negligeables devant le nombre d’inconnues deterministes i.e. M << N et P << N .De ce fait, le cout numerique de la construction de l’approximation NKP est de l’ordre (2M+1)2 le coutde Tr(A0A0). Le cout numerique de Tr(A0A0) est au plus egal au cout du produit matrice-vecteur detaille N , avec N la taille de A0 ou le nombre d’inconnues spatiales. On estime donc le cout numeriquede la construction NKP a, au plus, (2M + 1)2 produit matrice-vecteur de taille N . Cependant, souventles matrices Hν

i et Hσj possede une structure plus creuse que celle de A0. En effet, les matrice Hν

i

et Hσj sont le resultat d’un assemblage sur le sous domaine Di et A0 est obtenue par assemblage sur

l’ensemble du domaine d’etude D.

133

134

Annexe C

Variables aleatoires reelles, operations etdeveloppement de variables aleatoire

classiques

C.1 Introduction aux probabilites

Soit Θ l’ensemble des resultats possibles d’une experience aleatoire et θ l’evenement elementaire decette experience. On appelle une tribu F ou une σ-algebre un ensemble de parties de Θ satisfaisant lesproprietes suivantes :

– F n’est pas un ensemble vide.– F est stable par complementaire, i.e. ∀E ∈ F , complement(E) ∈ F .– F est stable par union denombrable, i.e. si ∀Ei ∈ F , pour tout i ∈ N, alors

⋃iEi ∈ F .

L’ensemble des elements de F sont appeles les evenements . L’espace (Θ,F ,P) forme de l’en-semble Θ, d’une tribu F sur Θ et d’une mesure de probabilite P telle que P(Θ) = 1 est dit espaceprobabilise.

Definition :On appelle X une variable aleatoire reelle si X : Θ → R est une application telle que l’imagereciproque par X de tout intervalle est un evenement (element de la tribu F).

Si l’on ne considere que des evenements lies a la variable aleatoire X alors il est plus judicieux detravailler sur l’espace probabilise (R,B(R),PX) au lieu de l’espace (Θ,F ,P). Ici B(R) est une tribuborelienne (plus petite tribu de R contenant tous les ensembles ouverts de R). PX est la mesure deprobabilite de la variable aleatoire X sur R,B(R) telle que :

∀B ∈ B(R), PX(B) = P (X−1(B))

PX est la loi ou distribution de probabilite de X . Cette derniere relation implique que le tirage aleatoired’un element θ ∈ Θ selon la loi P est equivalent au tirage d’un reel x ∈ R selon la loi PX .

135

C.2 Variables aleatoires classiques dans le chaos polynomial

Pour certains types de variables aleatoires classiques, on dispose d’une expression analytique dudeveloppement en polynomes de Hermite ou Legendre. Par la suite, les polynomes Hi referent auxpolynomes unidimensionnels de Hermite et les polynomes Li aux polynomes unidimensionnels de Le-gendre.

C.2.1 Variable aleatoire normale dans le chaos de Hermite

Une variable aleatoire normale de moyenne E [X] et de variance var[X] se decompose sous laforme :

X(θ) = E [X]H0(ξ(θ)) + var[X]H1(ξ(θ))

C.2.2 Variable aleatoire lognormale dans le chaos de Hermite

Une variable aleatoire lognormale X de moyenne µ et de variance σ2, c’est-a-dire que X = eZ avecZ une variable aleatoire gaussienne de moyenne m et de variance v definie par :

m = ln(µ)− 1

2ln(1 +

σ2

µ2)

v = ln(1 +σ2

µ2)

admet un developpement analytique sous forme (A.2), et les coefficients ai s’ecrivent :

∀i ∈ N, ai =vi/2

i!em+v/2

C.2.3 Variable aleatoire uniforme dans le chaos de Hermite

Soit X une variable aleatoire uniforme sur un segment [a, b]. Les coefficients du developpement deX dans le chaos polynomial de Hermite sont donnes par :

a0 =a+ b

2

a2i+1 = (−1)ib− c

22i+1√πi!(2i+ 1)

a2i = 0

C.2.4 Variable aleatoire uniforme dans le chaos de Legendre

Une variable aleatoire uniforme sur [a, b] se decompose dans le chaos de Legendre sous la forme :

X(θ) =a+ b

2L0(θ) +

b− a2√

3L1(ξ(θ))

Quand la densite de probabilite de X est connue et qu’il n’existe pas de formule analytique pour lecalcul des coefficients du developpement, on utilise la methode de projection spectrale decrite dans lechapitre 2.

136

C.3 Operations sur des variables aleatoires developpees dans le chaos

Par la suite, on designe par CMpin le chaos polynomial de dimension M et d’ordre pin. Les polynomesΨ du chaos polynomial sont indexes par les M-uplets appartenant a l’ensemble SMpin . Soit a(θ) unevariable aleatoire pouvant etre developpee dans le chaos polynomial CMpin sous la forme :

a(θ) =∑

α∈SMpin

aαΨα(θ) (C.1)

avec aα des coefficients deterministes.

C.3.1 Somme de deux variables aleatoires

Soit a(θ) et b(θ) deux variables aleatoires admettant un developpement dans chaos polynomialsous la forme (C.2). On note la variable aleatoire c(θ) = a(θ) + b(θ) la somme de a(θ) et b(θ). Ledeveloppement en serie de c(θ) dans le chaos polynomial s’ecrit :

c(θ) =∑

α∈SMpin

(aα + bα)Ψα(θ) (C.2)

C.3.2 Produit de deux variables aleatoires

Soit a(θ) et b(θ) deux variables aleatoires admettant un developpement dans chaos polynomial sousla forme (C.2). On cherche la variable aleatoire c(θ) = a(θ)b(θ) s’ecrivant sous la forme

c(θ) =∑

α∈SMp∗in

cαΨα(θ) (C.3)

Par projection de Galerkin de c(θ) sur le chaos polynomial, on ecrit :

E [c(θ)Ψγ ] = E [a(θ)b(θ)Ψγ ] , ∀γ ∈ SMp∗in (C.4)

cγE [Ψγ ]2 =∑

α∈SMp∗in

∑β∈SM

p∗in

aαbβE [ΨαΨβΨγ ] (C.5)

d’ou :

cγ =1

E [Ψγ ]2

∑α∈SM

p∗in

∑β∈SM

p∗in

aαbβE [ΨαΨβΨγ ] (C.6)

C.3.3 Inverse d’une variable aleatoire

On cherche une variable aleatoire b(θ) s’ecrivant dans le chaos polynomial comme :

b(θ) =∑

α∈SMp∗in

bαΨα(θ) (C.7)

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telle que, pour tout θ ∈ Θ, on verifie :a(θ)b(θ) = 1 (C.8)

Une maniere de determiner les coefficients bα est d’appliquer la projection de Galerkin de l’equation(C.8) sur l’espace CMp∗in comme decrite dans [28]. On ecrit donc :

E [a(θ)b(θ)Ψγ ] = E [Ψγ ] , ∀γ ∈ SMp∗ (C.9)

En substituant l’expression (C.2) de a(θ) et l’expression (C.7) de b(θ) dans la relation (C.9), lescoefficients bα qui determinent l’inverse de a(θ) de maniere unique sont solutions du systeme lineairesuivant : ∑

α∈SMpin

∑β∈SM

p∗in

aαbβ E [ΨαΨβΨγ ] = E [Ψγ ] , ∀γ ∈ SMp∗

Comme montre dans [36], l’ordre p∗in auquel est tronque le developpement dans le chaos de lavariable aleatoire b(θ) est tel que : P ∗ = 2P , avec P =

(M+pinpin

)et P ∗ =

(M+p∗inp∗in

).

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