Karl T. W. Weierstrass

Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (escrito Weierstrass cuando no está disponible el carácter "ß" ) (Ostenfeld 1815-1897) fue un matemático alemán que se suele citar como el «padre del análisis moderno».

A él se deben definiciones actuales de continuidad, límite y derivada de una función, que siguen vigentes hoy en día.

K. WeiertrassEstudió matemáticas en la Universidad de Münster. Era

conocido como profesor de instituto, cuando en 1854 publicó su trabajo sobre las funciones abelianas que causó sensación en la comunidad matemática.

Poco después, en 1856, ya era profesor de la Universidad de Berlín.

Los cursos que impartió durante más de 30 años atrajeron a numerosos matemáticos de toda Europa.

Discípulos suyos fueron Georg Cantor, Ferdinand Georg Frobenius, Wilhelm Killing, Leo Königsberger, Carl Runge, Sofia Kovalévskaya, M. Planck y D. Hilbert.

K. Weierstrass Entre otras , desarrolló una teoría aritmética de los números

reales, y aunque no publicó mucho, su influencia fue enorme y sus conferencias magistrales fueron difundidas por toda Europa por sus numerosos discípulos.

También realizó aportes en convergencia de series, en teoría de funciones periódicas, funciones elípticas, convergencia de productos infinitos, cálculo de variaciones, análisis complejo, etc

Acometió la tarea de revisar radicalmente los conceptos fundamentales del Análisis y a este fin dedicó algunos de sus cursos.

K. WeierstrassLlevó a sus últimas consecuencias el proceso de aritmetización del Análisis.

(alejamiento de la geometría)Estaba convencido de que el Análisis debía ser liberado de los razonamientos

geométricos y de los conceptos intuitivos de espacio tiempo y movimiento y debía estar fundamentado sobre los números enteros positivos.

Una variable es sólo el símbolo que sirve para designar cualquier elemento del conjunto de valores que se le puede atribuir .

Una variable continua es aquella cuyo conjunto de valores no tiene puntos aislados.

Él tradujo por medio de desigualdades y de valores absolutos las definiciones verbales de límite y de continuidad dadas por Cauchy y Bolzano.

K. WeierstrassLa definición de límite, tal como fue recogida por H. Heine (1821-1881)en sus notas es la

siguiente:“Se dice que L es el límite de la función f(x) para x=a si, dado cualquier ε, existe un δ₀ tal

que para 0<δ<δ₀, la diferencia f(a±δ)-L es menor en valor absoluto que ε”.Si tenemos ahora en cuenta que la definición de límite es el fundamento de las

definiciones de continuidad, derivada, integral y los distintos tipos de convergencia, comprenderemos hasta qué punto con esta definición nos hemos liberado por fin del sentido mágico de los infinitésimos .

K. WeierstrassAsí por ejemplo, esta clarificación le permitió probar un conjunto de resultados que

estaban entonces sin demostrar tales como: el teorema del valor medio, el teorema de Bolzano-Weierstrass y el teorema de

Heine-Borel.Curiosamente la letra griega ε que usaba Cauchy con un significado de “error”, se

ha convertido en el paradigma de la precisión en nuestras actuales definiciones heredadas de Weiertrass.

El rigor continúa su andaduraLa nueva formulación de los conceptos será todavía más formal y

rigurosa, y paralelamente mucho menos intuitiva.

Para seguir avanzando será igualmente necesario acabar de una vez con las distinciones entre número y cantidad.

Se hace imprescindible precisar el concepto de número real:Faltaba codificar una propiedad fundamental de los números

reales, la que ahora llamamos completitud y entonces se llamaba propiedad de continuidad.

En 1872 se publicaron dos trabajos, uno de G. Cantor y otro de R. Dedekind, en los que, a partir del sistema de los números racionales, cada autor desarrollaba una construcción matemática de los números reales.

Julius Wilhelm Richard Dedekind

Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831 - 1916), matemático alemán, nació en Brunswick.

En 1848 entró en el Colegium Carolinum de su ciudad natal, y en 1850, con sólidos conocimientos de matemáticas en la Universidad de Gotinga.

Fue alumno del matemático Moritz Abraham Stern, y del físico Wilhelm Weber.

Su tesis doctoral (1852), fue supervisada por Gauss, que lo consideró su último alumno.

Su correspondencia con otros matemáticos resultó fructífera y estimulante.

J. Richard Dedekind Hacia 1856 nuestro hombre encontró el que sería su principal campo de

trabajo. Escucha las lecciones de Dirichlet sobre “teoría de números”, famosas por haber puesto el contenido de las Disquisitiones arithmeticae de Gauss al alcance del “gran público” matemático, y las discute minuciosamente con su maestro.

Estudia los trabajos de Abel y Galois, a resultas de lo cual imparte un curso sobre álgebra superior y teoría de Galois. Concibe la teoría directamente en términos de extensiones de cuerpos, estudia cuidadosamente las relaciones entre dichas extensiones y los grupos de las ecuaciones, y pone en segundo plano el estudio de las soluciones de ecuaciones.

Pero Dedekind no llegó a publicar ese manuscrito cuidadosamente redactado, y de hecho tardó mucho (demasiado) en publicar contribuciones importantes.

La razón de no publicar venía en buena medida de lo exigente que era Dedekind a la hora de juzgar sus logros, cosa quizá normal en alguien que había conocido en persona a Gauss y Riemann.

R. DedekindEl trabajo de Dedekind sobre fundamentos del número estaba íntimamente ligado con su investigación en álgebra y teoría de números. Este tipo de interacción es distintiva de su obra, y precisamente es lo que le condujo a dar con nociones fundamentales que tenían a la vez la generalidad necesaria para reconstruir todo el edificio de la matemática pura. Igual que veía el álgebra en términos de estructuras (esencialmente cuerpos o subestructuras de cuerpos) y morfismos, acabó reduciendo el concepto de número a conjuntos y aplicaciones. Nacía así, en paralelo con las novedosas contribuciones de Cantor, el enfoque conjuntista de los fundamentos. Lo característico y muy original de Cantor fue su fantástico viaje de exploración de lo que él llamaba transfinito; pero en lo relativo a reformular la matemática dentro del enfoque conjuntista, Dedekind fue más lejos y además se anticipó.

R. Dedekind El primer paso fundamental en esa dirección lo dio Dedekind en 1858, que

insatisfecho porque hasta entonces la teoría de límites se apoyaba en evidencias geométricas ideó la definición de los números reales mediante cortaduras,.

Dedekind advirtió que las propiedades de densidad de los números racionales permitirían definir los reales y demostrar rigurosamente que dicho conjunto es continuo: “La recta es continua porque entre dos puntos de ella sólo hay puntos de la misma recta.

De este modo, podía demostrar con rigor que toda sucesión estrictamente creciente y acotada de reales tiene por límite un número real.

Sólo en 1872, teniendo que escribir algo para un volumen de homenaje a su padre, Dedekind sacó sus notas del cajón y publicó “Continuidad y números irracionales”, un artículo magistral.

Al comienzo del artículo manifiesta su propósito de reducir los números reales a la aritmética, eliminando así todo contenido geométrico en la idea de número real.

Idea de DedekindSe preguntaba Dedekind: ¿En qué consiste la propiedad de la continuidad? “el problema es indicar una característica precisa de la continuidad que pueda servir como base para deducciones válidas”. Para explicar lo que él hizo vamos a partir de una recta. Elegido un punto como origen y un segmento como unidad, podemos hacer corresponder a cada número racional un punto de esa recta, pero Cualquier punto que corresponda con un segmento de longitud inconmensurable con la unidad elegida no puede ser representado por un número racional:Los números racionales no son suficientes para describir numéricamente "el continuo“, ya que dejarían"huecos“.

EstrategiaAntes de revelar una característica precisa de la continuidad previene al lector,“Muchos de mis lectores quedarán grandemente disgustados al saber que con una vulgar observación se revela el secreto de la continuidad”. ¿Cuál es esa vulgar observación? “Todo punto de una recta la divide en dos partes disjuntas:la parte A, formada por los puntos de la recta que están a su izquierda, y la parte B, formada por los puntos de la recta que están a su derecha. El propio punto podemos incluirlo bien en A ó en B”.Una cortadura de Q es un par (A. B), donde A y B son dos conjuntos no vacíos de números racionales tales que Q = A U B, y tal que todo número de A es menor que todo número de B y A no tiene máximo. Todo racional r produce una cortadura (A,B) dada por A = {x єQ : x < r} , B = {x єQ : x ≥ r}.Pero en la recta racional hay muchas cortaduras que no están producidas por números racionales. El par (A,B) A = {x єQ: x² < 2}, B = {x єQ : 2≤x² } define una cortadura de Q que no está producida por ningún número racional

Idea genialDada una cortadura, " Todos los puntos de la recta se dividen en dos clases tales que todo

punto de la primera clase queda a la izquierda de todo punto de la segunda clase,

Entonces existe uno, y sólo un punto que produce esta división ...“El conjunto de los números reales es (en esencia) el conjunto de

todas las cortaduras sobre Q,

R queda caracterizado como un cuerpo de números dotado de un orden lineal continuo (el cuerpo Q era analizado también con toda precisión, pero sin usar el término “denso”).

La idea que subyace es que la recta es continua porque entre dos puntos de ella sólo hay puntos de la misma recta.

R. DedekindEl descubrimiento de que todos los números reales son deducibles a partir de propiedades de los números racionales, empleando sólo teoría de conjuntos, debió tener un efecto muy poderoso sobre él. R. Dedekind creía (ingenuamente) que la teoría de conjuntos no era más que una parte de la lógica elemental. Al pensar de esa manera llegó al convencimiento de que –como escribió en 1888– “la aritmética”, pero también “el álgebra y el análisis”, son “sólo una parte de la lógica”. Nacía así, hacia 1872, el programa logicista en fundamentos de la matemática. Para establecerlo era necesario dar una teoría totalmente rigurosa de los números naturales, basada sólo en la teoría de conjuntos y aplicaciones.R. Dedekind se puso manos a la obra durante los años 1870, y publicó sus resultados en el librito ¿Qué son y para qué sirven los números? (1888), una obra que hizo época, según dijo el propio Hilbert.

¿Qué son y para qué sirven los números?Para preparar esa teoría de los números naturales, cuyo nivel de

rigor alcanzado  fue altísimo, R. Dedekind empezaba su libro presentando una teoría elemental pero general de conjuntos:

Un sistema S se llama infinito cuando es semejante a una parte propia de sí mismo; en caso contrario, se dice que S es un sistema finito.

La equipotencia entre el todo y una parte, que ya desde Galileo se había considerado la gran paradoja del infinito, se convertía simplemente en definición de conjunto infinito.

Estudiaba luego la teoría de aplicaciones, precisa el significado de las operaciones elementales de la teoría de conjuntos, y da la definición general de función entre conjuntos abstractos, generalizando así la dada por Dirichlet para funciones reales.

¿Qué son y para qué sirven los números?Hay un punto (afortunadamente sólo uno) donde su enfoque no resultó aceptable

a la vista de las antinomias: el intento de demostrar que existe un conjunto infinito.

Las paradojas arruinaron la interpretación logicista de esos resultados, pero no el desarrollo teórico mismo, que fue reincorporado dentro de la teoría axiomática de conjuntos.

Para quienes entendieron esa obra de Dedekind, y comprendieron sus conexiones con el álgebra y el análisis, los conjuntos y las aplicaciones se convertían en las piedras básicas con las que se construía todo el edificio de la nueva matemática estructural.

Una de estas personas fue Hilbert, que –como hemos descubierto recientemente– fue partidario del logicismo de Dedekind hasta 1900 o algo más.

Precisamente Hilbert escribió que el enfoque de Dedekind, con su idea de fundar lo finito en lo infinito, resultaba “deslumbrante y cautivador”.

 

George Cantor

George Cantor (1845 San Petersburgo-1918) fue un matemático alemán, el primero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos (cardinales y ordinales).La relación personal y epistolar con su gran amigo R. Dedekind fue decisiva para el desarrollo de la teoría de conjuntos .

George CantorLa manera en que Cantor llegó a interesarse por los problemas

del infinito es ciertamente curiosa. En 1869 el joven Cantor llega a la pequeña Universidad de Halle para obtener su Habilitación (con una Tesis en Teoría de números).

Allí conoce a H. Heine (1821-1881), quien le introduce en un problema en el que llevaba tiempo trabajando: la unicidad de la representación de una función por medio de series trigonométricas.

En una serie de artículos publicados en 1870 y 1871, Cantor logró probar la unicidad de representación cuando la serie trigonométrica convergía puntualmente, salvo a lo más en un conjunto finito de puntos de un intervalo de periodicidad.

Obviamente, la respuesta es negativa si no converge en ningún punto del intervalo,

De los racionales a los realesLuego, se trataba de saber en qué tipo de conjuntos infinitos (si había

alguno) podría no haber convergencia sin que ello evitase una respuesta afirmativa al problema.

Esto llevó a Cantor a plantearse el estudio y posible clasificación de los subconjuntos infinitos de números reales.

Y para ello tuvo que comenzar estableciendo una noción rigurosa de número real.

En 1872 aparece su famoso trabajo en Mathematische Annalen en el que construye el conjunto de los números reales clasificando las distintas sucesiones de Cauchy de números racionales.

Demuestra las propiedades fundamentales, incluyendo la completitud, y comienza el estudio riguroso de conjuntos arbitrarios de números reales.

En una carta a Dedekind, de fecha 29 de noviembre de 1873, Cantor afirmaba, sin incluir prueba alguna, que los racionales positivos y, más generalmente, el conjunto de las sucesiones finitas de enteros positivos, podía ponerse en correspondencia biyectiva con los enteros positivos, y preguntaba si eso mismo se podía hacer con los números reales.

Conjuntos equipotentesR. Dedekind le respondió, a vuelta de correo, que en su opinión nada se

oponía a ello, y añadió, con demostración incluida, que el conjunto de los números algebraicos (números reales que son raíces de alguna ecuación polinómica con coeficientes enteros ) que incluye a Q es también biyectivo al de los enteros positivos.

Tras su trabajo sobre los reales, el interés de Cantor derivó hacia los problemas del infinito y el continuo, con objeto de precisar la idea de tamaño y elaborar una teoría de comparación de conjuntos infinitos, que se encuentra dispersa en muchos trabajos.

Cantor establece como idea central de su teoría la noción de conjunto: Como una colección de objetos bien definidos que la mente puede

concebir como un todo y decidir si un objeto dado pertenece o no a ella. Introduce la idea de equivalencia de conjuntos por medio de la

existencia de una biyección entre ellos. Para Cantor (como para Bolzano y Dedekind), un conjunto es infinito si

puede ponerse en correspondencia biyectiva con un subconjunto propio.

Números trascendentesEn un trabajo posterior considera al menos dos clases de infinitos: el de los números naturales y el de números reales.Había logrado demostrar que el conjunto de números reales no es numerable (no existe una biyección de él con N). Dado que el conjunto de los números algebraicos sí se puede poner en correspondencia biyectiva con el de los números naturales, dedujo un teorema de Liouville que afirma la existencia de infinitos números no algebraicos (números trascendentes )Demostrar que un número concreto es trascendente es muy difícil. Era conocida la trascendencia del número e, demostrada por Charles Hermite en 1 873 y Ferdinand Lindemann logró probar la trascendencia de π en 1882 (demostrando así que el problema de la cuadratura del círculo no tenía solución).

G. CantorCantor prueba que los racionales es el conjunto infinito con menor

potencia (todo número racional es algebraico), y que la potencia de R y de R^n es la misma para cualquier entero positivo n (este resultado sorprendió tanto a Cantor que cuando se lo comunicó

a su amigo Dedekind en 1877, escribió “¡lo veo, pero no lo creo!”). Cantor introduce los números transfinitos o cardinales transfinitos con

la siguiente idea:Por el mismo proceso que podemos abstraer la idea de número 5 c0m0

la clase de todos los conjuntos equipotentes a un conjunto cualquiera con cinco elementos.

Dado un conjunto A, por doble abstracción de la naturaleza de sus elementos y del posible orden en que estén dados, podemos asociar a cada conjunto A un objeto matemático, card(A) que se llama su número cardinal potencial

Conjuntos transfinitosEl potencial es el mismo para todos los conjuntos

equipotentes a A. Cuando A es finito, card(A) es el número de elementos

de A.La potencia de los conjuntos numerables (infinitos) la

rcpresentó Cantor por la primera letra del alfabeto hebreo לא.

La potencia de la recta real y de cualquier intervalo no vacío y no reducido a un punto, la representa por c y la llama la potencia del continuo.

No hay parto sin dolor La novedad de los conceptos y técnicas empleadas y los sorprendentes

resultados obtenidos, que contradecían muchas ideas arraigadas sobre el “tamaño” de distintos conjuntos, hizo que las teorías de Cantor despertaran la oposición e incluso la hostilidad de muchos matemáticos contemporáneos.

Entre ellos destaca la figura de L. Kronecker (1823-1891), muy influyente en la época , que pasó incluso del ataque científico al ataque personal. Lo que le produjo a Cantor una crisis nerviosa y una profunda depresión entre 1884 y 1887.

En fin, en 1895 y 1897 aparecieron en Mathematische Annalen sus dos principales trabajos sobre la teoría de conjuntos, con una exposición sistemática y moderna de la misma.

Al parecer, Cantor retrasó la publicación del segundo artículo, esperando incluir una prueba de la hipótesis del continuo, que él mismo había formulado.

La hipótesis del continuo viene a decir: No existen conjuntos cuyo tamaño esté comprendido estrictamente entre el

de los enteros y el de los números reales.

George Cantor

Hoy en día, la comunidad matemática reconoce plenamente su trabajo, y admite que significa un salto cualitativo importante en el raciocinio lógico. Le reconoce así mismo como el creador de la Teoría de conjuntos.

Murió en una clínica psiquiátrica, aquejado de una enfermedad maníaco-depresiva (Trastorno Bipolar) provocada por sus intentos de comprobar matemáticamente la Hipótesis del continuo.

A pesar de las reticencias iniciales, poco a poco se fue consolidando la idea de que la Teoría de Conjuntos podía ser la base sobre la cual construir toda la Matemática.

Una sólida fundamentación de la Teoría de Conjuntos, proporcionaría la ansiada base firme sobre la que asentar toda la Matemática.

Pero…vuelven las paradojasSi A es un conjunto con n elementos, hay

exactamente 2^n subconjuntos de A (incluyendo el vacío y el total). Esto es, el cardinal del conjunto formado por todos los subconjuntos de A es estrictamente mayor que el de A.

Cantor demostró la validez de este hecho para cualquier conjunto no necesariamente finito: el cardinal del conjunto de las partes de un conjunto A es estrictamente mayor que el de A.

Si U es el conjunto de todos los conjuntos, el conjunto de sus partes es un subconjunto de U y, por tanto, ¡su cardinal no puede ser mayor que el de U!

Temas para el control de 29 de abril de la asigTenatura “Historia de las Matemáticas I” (Análisis matemático) hasta el tema X.1. La matemática griega: concepto de la matemática como

ciencia deductiva. Discusión sobre la existencia de elementos últimos indivisibles

2. La matemática griega: concepto de la matemática como ciencia deductiva. Método de Eudoxo de Cnido. Ejemplo de uso.

3. Estado del Cálculo en el siglo XVII. P. Fermat.4. El nacimiento del Cálculo. I. Newton. Coincidencias con G.

Leibniz.5. El nacimiento del Cálculo. G. Leibniz. Coincidencias con I.

Newton.6. Situación del Cálculo en el siglo XVIII. L. Euler.7. Uso y abuso del Cálculo. J. Lagrange.8. El siglo XIX. A. Cauchy9. El rigor y la axiomática. R. Dedekind.