kata pengantar · 2017. 1. 13. · modul peluang matematika sma kelas xi 1 kata pengantar segala...
TRANSCRIPT
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 1
KATA PENGANTAR
Segala puji syukur bagi Allah SWT yang senantiasa melimpahkan rahmat dan
karunia-Nya. Sebaik-baiknya shalawat serta salam semoga Allah SWT limpahkan
kepada Nabi Besar Muhammad SAW, beserta seluruh keluarga dan sahabatnya.
Apapun yang tergelar dialam semesta ini adalah rahmat-Nya sehingga penulis dapat
menyelesaikan makalah yang berjudul Peluang.
Modul ini membahas mengenai materi Peluang. Penulis menuliskannya
dengan mengambil dari beberapa sumber baik dari buku maupun dari internet dan
membuat gagasan dari beberapa sumber yang ada tersebut.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu
dalam penyelesaian modul ini, sehingga tersusun makalah yang sampai di hadapan
pembaca pada saat ini dan semoga modul ini mampu menjadi salah satu acuan
dalam memberikan kemudahan untuk memahami maupun
mengimplementasikannya. Atas segala kebaikan yang diberikan, mudah-mudahan
Allah SWT menganugrahi pahala yang besar pada hari ketika harta atau pun
keturunan tidak bermanfaat, kecuali mereka yang datang menghadap Allah SWT
dengan kalbu yang bersih.
Penulis menyadari sepenuhnya modul ini masih banyak kekurangan. Oleh
karenanya sangat diharapkan bagi pembaca untuk menyampaikan saran atau kritik
yang bersifat membangun demi tercapainya makalah yang lebih baik untuk
selanjutnya.
Yogyakarta, Desember 2016
Penyusun
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 2
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ........................................................................................................ 1
DAFTAR ISI ....................................................................................................................... 2
GLOSARIUM ..................................................................................................................... 3
PETA KONSEP .................................................................................................................. 4
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................................... 5
A. Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar ................................................................. 5
B. Deskripsi ................................................................................................................. 6
C. Pengalaman Belajar ................................................................................................ 6
D. Waktu ...................................................................................................................... 7
E. Prasyarat .................................................................................................................. 7
F. Petunjuk Penggunaan Modul .................................................................................. 7
G. Tujuan Akhir ........................................................................................................... 8
H. Cek Penguasaan Kompetensi Inti ........................................................................... 8
BAB II PEMBELAJARAN ................................................................................................ 9
A. Peluang suatu Kejadian ........................................................................................... 9
B. Kejadian Majemuk ................................................................................................ 12
1. Peluang komplemen suatu kejadian ...................................................................... 13
2. Peluang Dua Kejadian Saling Lepas ..................................................................... 14
3. Peluang Dua Kejadian yang Saling Bebas ............................................................ 16
4. Peluang Kejadian Bersyarat .................................................................................. 19
BAB III EVALUASI ........................................................................................................ 22
RANGKUMAN ................................................................................................................ 27
KUNCI JAWABAN ......................................................................................................... 29
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................................... 35
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 3
GLOSARIUM
Frekuensi
Relatif
Hasil bagi antara banyak hasil kejadian dari banyaknya
percobaan
Kejadian Sembarang himpunan bagian dari ruang sampel
Kejadian
Bersyarat
Munculnya kejadian pertama mempengaruhi peluang
munculnya kejadian kedua
Kejadian
Saling Bebas
Munculnya kejadian pertama tidak mempengaruhi peluang
munculnya kejadian kedua
Kejadian
Saling Lepas
Kejadian yang tidak mempengaruhi kejadian lainnya
kejadian
sederhana
Kejadian yang hanya memuat satu titik sampel
Komplemen
Percobaan Kegiatan atau proses yang dilakukan hingga memperoleh suatu
hasil pengukuran, perhitungan, atau pengamatan.
Ruang
Sampel
Himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu
percobaan, yang dilambangkan dengan huruf S.
Titik sampel Setiap anggota pada ruang sampel
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 4
PETA KONSEP
Masalah otentik
Peluang
Peluang komplemen
suatu kejadian
Peluang kejadian
saling bebas
Peluang kejadian
saling lepas
Peluang kejadian bersyarat
Peluang kejadian majemuk
KATA KUNCI:
Frekuensi Relatif
Titik Sampel
Percobaan
Kejadian
Titik Sampel Ruang Sampel
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 5
BAB I
PENDAHULUAN
A. Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar
Kompetensi Inti:
3. Memahami, menerapkan, menganalisis dan mengevaluasi pengetahuan
faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa
ingintahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan
humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan,
dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta
menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik
sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
4. Mengolah, menalar, menyaji, dan mencipta dalam ranah konkret dan
ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di
sekolah secara mandiri serta bertindak secara efektif dan kreatif, dan
mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.
Kompetensi Dasar:
3.4 Mendeskripsikan dan menentukan peluang kejadian majemuk (peluang
kejadian-kejadian saling bebas, saling lepas, dan kejadian bersyarat)
dari suatu percobaan acak
4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang kejadian
majemuk (peluang, kejadian-kejadian saling bebas, saling lepas, dan
kejadian bersyarat)
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 6
B. Deskripsi
C. Pengalaman Belajar
Dalam modul ini anda akan mempelajari tentang materi Peluang.
Ketentuan belajar menggunakan modul ini tergantung dari disiplin dan
ketekunan Anda dalam memahami dan mematuhi petunjuk penggunaan modul.
Belajar dengan menggunakan modul ini dilakukan secara mandiri atau
berkelompok dengan teman Anda ketika dalam jam pelajaran.
Dalam modul ini tidak semua materi dijelaskan secara rinci, sehingga
Anda disarankan untuk mencari sumber-sumber lain untuk mempelajari modul
ini karena modul ini bukan satu-satunya sumber belajar. Penyajian modul ini
diawali dari mengaitkan materi dengan masalah dalam kontekstual kemudian
dijelaskan dengan uraian materi yang disertai dengan gambar, latihan dan
kesimpulan.
Melalui pembelajaran materi peluang, siswa memperoleh pengalaman belajar:
1. Berdiskusi, bertanya dalam menemukan konsep dan prinsip peluang
melalui pemecahan masalah autentik yang bersumber dari fakta dan
lingkungan.
2. Berkolaborasi memecahkan masalah otentik dengan pola interaksi edukatif.
3. Berpikir tingkat tinggi dalam menyelidiki, memanipulasi, dan
mengaplikasikan konsep dan prinsip-prinsip peluang dalam memecahkan
masalah otentik.
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 7
D. Waktu
E. Prasyarat
F. Petunjuk Penggunaan Modul
Waktu penggunaan modul ini digunakan pada saat materi Peluang yang ajarkan
di kelas XI SMA/MA. Waktu pelaksanaannya membutuhkan 2× pertemuan.
Untuk mempelajari materi barisan dan deret, Anda harus terlebih dahulu
menguasai materi aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan
kombinasi.
1. Perhatikan langkah-langkah dalam setiap contoh sehingga
mempermudah dalam memahami konsep pola bilangan, barisan
maupun deret.
2. Apabila ada soal latihan, kerjakanlah soal-soal tersebut sebagai
latihan untuk persiapan evaluasi.
3. Jawablah tes formatif dengan jelas sesuai dengan kemampuan Anda.
Jika Anda masih ragu-ragu dengan jawaban yang Anda peroleh,
Anda bisa melihat kunci jawaban formatif yang sesuai.
4. Kerjakan soal-soal yang ada pada evaluasi.
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 8
G. Tujuan Akhir
H. Cek Penguasaan Kompetensi Inti
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1. Siswa mampu Mendeskripsikan dan menentukan peluang kompelemen
suatu kejadian.
2. Siswa mampu Mendeskripsikan dan menentukan peluang kejadian-
kejadian saling bebas
3. Siswa mampu Mendeskripsikan dan menentukan saling lepas
4. Siswa mampu Mendeskripsikan dan menentukan kejadian bersyarat)
5. Siswa mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang
kompelemen suatu kejadian.
6. Siswa mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang
kejadian-kejadian saling bebas
7. Siswa mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan saling lepas.
8. Siswa mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan kejadian
bersyarat.
Apakah siswa sudah memahami materi ini? Jika siswa sudah memahami
materi ini maka siswa bisa mengerjakan latihan soal menentukan peluang
kejadian majemuk (peluang, kejadian-kejadian saling bebas, saling lepas, dan
kejadian bersyarat), Menyelesaikan masalah yang berkaitan dalam kehidupan
sehari-hari.
Jika siswa sudah bisa mengerjakan latihan soal maka pembelajaran bisa
dilanjutkan ke materi selanjutnya.
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 9
BAB II
PEMBELAJARAN
Alternatif Penyelesaian
Siswa Bu Mumu harus memilih 7 soal lagi dari 12 soal sisa (mengapa) dan untuk
mengetahui banyak cara memilih soal tersebut ditentukan dengan menggunakan
kombinasi (beri alasannya), yaitu:
𝐶712 =
12!
(12 − 7)! 7!=
12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7!
(5 × 4 × 3 × 2 × 1) × 7!= 729 𝑐𝑎𝑟𝑎
Kita telah membahas suatu hasil yang mungkin terjadi pada suatu percobaan,
bukan? Himpunan dari semua hasil tersebut disebut dengan ruang sampel dan hasil
yang mungkin terjadi dari suatu percobaan disebut dengan kejadian. Jadi, jelas
bahwa kejadian adalah anggota dari ruang sampel.
Berikutnya, kita akan mencoba menemukan konsep peluang dengan
mengamati kaitannya dengan frekuensi relatif setiap kemungkinan hasil yang
Masalah
Bu Mumun, seorang guru matematika di Sleman. Suatu ketika dia ingin
memberikan tugas kepada siswa yang sangat rajin dan memiliki daya tangkap
di atas ratarata teman satu kelasnya. Dia mempersiapkan 15 soal matematika
berbentuk essai. Namun dari 15 soal itu, Bu Mumun hanya meminta si anak
mengerjakan 10 soal, tetapi harus mengerjakan soal nomor 7, 12, dan 15.
Berapa banyak pilihan yang dimiliki anak itu?
A. Peluang suatu Kejadian
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 10
terjadi pada percobaan. Dengan demikian, kamu dianjurkan melakukan beberapa
percobaan pada kegiatan di bawah ini.
Lakukanlah kegiatan melempar sebuah koin sebanyak 120 kali bersama dengan
temanmu. Lakukanlah kegiatan ini secara bertahap, dan tuliskan hasil percobaan
dalam tabel berikut:
Tahap Banyak
Pelemparan BMSG BMSA
𝐵𝑀𝑆𝐺
𝐵𝑃
𝐵𝑀𝑆𝐴
𝐵𝑃
(i) (ii) (iii) (iv) (v) (iv)
I 20 8 12 8
20
12
20
II 40
III 60
IV 80
V 100
VI 120
Keterangan:
BMSG adalah Banyak Muncul Sisi Gambar
BMSA adalah Banyak Muncul Sisi Angka
BP adalah Banyak Percobaan
Diskusikan dengan temanmu beberapa pertanyaan berikut:
a) Sebelum melakukan percobaan, buatlah dugaanmu, apakah banyak (frekuensi)
muncul sisi gambar relatif sama (frekuensi) muncul sisi angka?
b) Jika pelemparan koin tersebut dilakukan 20 sampai 120 kali, buatlah dugaanmu
terhadap perbandingan frekuensi muncul gambar dan angka?
c) Benarkah dugaan bahwa data pada kolom iii dan iv, diperoleh hasil yang relatif
sama?
Mari Berkegiatan!
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 11
d) Benarkah dugaan bahwa data pada kolom v dan vi, diperoleh hasil yang relatif
sama, dan nilai perbandingan banyak muncul gambar atau angka dengan
banyak percobaan mendekati 1
2 ?
Misalkan banyak percobaan melambungkan sebuah koin adalah 20 kali dan
diperoleh hasil frekuensi muncul gambar adalah 8 kali dan muncul angka adalah 12
kali. Dalam percobaan ini, frekuensi relatif muncul sisi gambar adalah 8 dari 20 kali
percobaan, ditulis fr (G) = 8
20. Frekuensi muncul sisi angka adalah 12 dari 20 kali
percobaan, ditulis fr (A) = 12
20.
Berdasarkan pengamatan terhadap frekuensi relatif suatu kejadian pada sub-
bab 2 dan kegiatan 1 dan kegiatan 2 di atas, peluang suatu kejadian adalah
pendekatan nilai frekuensi relatif dari kejadian tersebut, dapat dirumuskan sebagai
berikut:
Misalkan suatu percobaan dilakukan sebanyak n kali. Jika kejadian E muncul
sebanyak k kali (0 < k < n), maka frekuensi relatif kejadian E ditentukan dengan
rumus:
𝑓𝑟 (𝐸) =𝑘
𝑛
Jika nilai n mendekati tak-hingga maka nilai 𝑘
𝑛 cenderung konstan mendekati
nilai tertentu. Nilai tertentu ini adalah nilai peluang munculnya kejadian E.
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 12
Jika beberapa kejadian-kejadian dasar dihubungkan, maka kejadian-kejadian
majemuk yang meliputi komplemen, gabungan, dan irisan dapat dibentuk.
1. Titik sampel atau hasil yang mungkin terjadi peda sebuah
percobaan.
2. Kejadian (E) adalah hasil yang mungkin terjadi atau
kumpulan hasil yang mungkin terjadi dari suatu
percobaan.
3. Ruang sampel (S) adalah himpunan semua hasil dari suatu
percobaan.
4. Kejadian (𝐸𝑐) adalah himpunan bagian dari ruang sampel
yang tidak memuat kejadian E. (𝐸𝑐 dibaca komplemen E)
DEFINISI 1
Peluang suatu kejadian E adalah hasil bagi banyak hasil dalam E
dengan banyak anggota ruang sampel S dari suatu percobaan,
ditulis:
𝑃(𝐸) =𝑛(𝐸)
𝑛(𝑆)
n (E) : banyak anggota E.
n (S) : banyak anggota ruang sampel.
DEFINISI 2
B. Kejadian Majemuk
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 13
1. Peluang komplemen suatu kejadian
Untuk memahami pengertian komplemen suatu kejadian, simaklah
percobaan berikut ini.
Setumpuk kartu yang berjumlah 8 kartu diambil sebuah kartu secara acak.
Ruang sampelnya adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Jika kejadian terambilnya
kartu bernomor ganjil dinyatakan dengan A, yaitu A = {1, 3, 5, 7}, maka
kejaidan terambilnya kartu bukan bernomor ganjil dinyatakan dengan Ac yaitu
Ac = {2, 4, 6, 8}. Kejadian terambilnya kartu bernomor ganjil. Dapat
disimpulkan:
Bila anda perhatikan percobaan di atas, himpunan komplemen suatu
kejadian A adalah himpunan anggota S yang tidak termasuk himpunan A yang
dinyatakan dengan Ac=S-A. sehingga peluang Ac dapat dihitung dengan
( )( )
( )
cc n A
P An S
Hubungan antara A, komplemen A, dan S adalah:
A + Ac = S
n(A) + (Ac) = S
n(A) + (Ac) = n(S)
P(A) + P(Ac) = 1
Komplemen suatu kejadian A adalah kejadian dari tidak terjadinya
kejadian A.
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 14
Lima belas kartu diberi nomor 1, 2, 3, … 15, kemudian diambil kartu
secara acak. Tentukan bahwa kartu yang terambil adalah bukan kartu bilangan
prima!
Jawab :
Ruang sampel 𝑆 = {1, 2, 3, 4, … , 15}, 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑛(𝑆) = 15
E = Kejadian terambil kartu dengan bilangan prima =
{2, 3, 5, 7, 11, 13}, 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑛(𝐸) = 6.
𝑃(𝐸) =𝑛(𝐸)
𝑛(𝑆)=
6
15=
2
5
𝑃(𝐸𝐶) = 1 −2
5=
3
5
Jadi, peluang terambilnya kartu bukan bilangan prima adalah 3
5.
2. Peluang Dua Kejadian Saling Lepas
Dalam diagram venn, dua kejadian A dan B saling lepas jika kejadian ini
tidak memiliki irisan atau ditulis A ∩ B = ∅ atau n(A ∩ B)=0. Peluang
gabungan dua kejadian A atau B ditulis P(A ∪ 𝐵) diturunkan sebagai berikut.
Jika Ac adalah komplemen dari A, maka peluang kejadian Ac
ditentukan dengan
P(Ac) = 1 – P(A)
Dimana P(A) = peluang kejadian A
P(Ac)= peluang komplemen kejadian A
Contoh 1
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 15
( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
n A BP A B
n S
n A n B n A B
n S
n A n B n A B
n S n S n S
P A P B P A B
Gambar Kedudukan dua buah himpunan
Jika A dan B adalah dua kejadian saling lepas, maka A ∩ 𝐵 = ∅ adalah
kejadian saling lepas, maka A ∩ 𝐵 = ∅ atau n(A ∩ B)=0 sehingga diperoleh
P(A ∪ 𝐵)=P(A) + P(B). untuk kejadian tidak saling lepas, P(A ∪ 𝐵)=P(A) +
P(B) - P(A∩ 𝐵)
Peluang dari dua kejadian A atau B :
a. Untuk kejadian A dan B saling lepas : P(A ∪ 𝐵)=P(A) + P(B)
b. Untuk kejadian A dan B tidak saling lepas :
P(A ∪ 𝐵)=P(A) + P(B) - P(A ∩ 𝐵)
Dua kejadian saling
lepas, A ∩ 𝐵 = ∅ atau
n(A ∩ B)=0
Dua kejadian saling
lepas, A ∩ 𝐵 ≠ ∅ atau
n(A ∩ B) ≠ 0
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 16
Sebuah kartu diambil dari seperangkat kartu bridge. Tentukan peluang yang
terambil adalah kartu skop atau kartu As!
Jawab:
Jumlah kartu dari seperangkat kartu bridge adalah 52, maka 𝑛(𝑆) = 52
A = Kejadian terambilnya satu kartu sekop → 𝑛(𝐴) = 13
B = Kejadian terambilnya satu kartu As→ 𝑛(𝐵) = 4
Kejadian terambilnya kartu As skop, maka n(A ∩ B) = 1
Peluang terambilnya kartu skop atau As adalah :
P(A ∪ 𝐵)=P(A) + P(B) - P(A ∩ 𝐵)
=13
52+
4
52−
1
52
=16
52=
4
13
3. Peluang Dua Kejadian yang Saling Bebas
Dua kejadian yang saling bebas artinya kejadian yang satu tidak
mempengaruhi kejadian yang lain, atau kejadian yang satu tidak bergantung
dengan kejadian yang lain. Untuk lebih memahaminya, perhatikan contoh
berikut.
Sekeping mata uang dan sebuah dadu dilempar secara bersamaan sebanyak
satu kali. Berapa kali peluang munculnya angka pada mata uang dan bilangan
genap pada mata dadu?
Jawab:
Misal C : kejadian munculnya angka
D : kejadian munculnya bilangan genap
Sc : ruang sampel mata uang
Contoh 2
Mari Berkegiatan!
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 17
Sd : ruang sampel mata dadu
C = {A}, n(C) = 1
Sc = {A, G}, n(Sc) = 2
P(C) = ( ) 1
( ) 2
n C
n Sc
D = {2, 4, 6}, n(D) = 3
Sd = {1,2,3,4,5,6}, n(Sd) = 6
P(D) = ( ) 3 1
( ) 6 2
n D
n Sd
P(C ∩ 𝐷) =P(C)×P(D)
=1 1
2 2
=1
2
Alternative penyelesaian
Untuk menentukan ruang sampelnya, dapat digunakan tabel berikut ini.
Tabel 1. Tabel ruang sampel.
Mata uang
Mata dadu
1 2 3 4 5 6
A
G
(A, 1)
(G, 1)
(A, 2)
(G, 2)
(A, 3)
(G, 3)
(A, 4)
(G, 4)
(A, 5)
(G, 5)
(A, 6)
(G, 6)
Banyak anggota ruang sampel, n(S) = 12
Sehingga ( ) 3 1
( ) 0, 25( ) 12 4
n C DC D
n S
Jadi, peluang munculnya angka pada mata uang dan bilangan genap pada mata
dadu adalah 0,25.
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 18
Berdasarkan contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa:
Peluang antara dua kejadian saling bebas dapat ditentukan dengan:
Pada percobaan melempar sebuah mata uang logam dan sebuah dadu bersama-
sama satu kali, tentukan peluang munculnya gambar pada uang logam dan
munculnya mata dadu satu pada dadu!
Jawab :
𝐴 = kejadian munculnya gambar pada percobaan melempar mata uang logam
𝐵 = kejadian munculnya mata dadu satu pada percobaan melempar dadu
Kejadian 𝐴 dan 𝐵 adalah kejadian yang saling bebas karena kejadian pertama
tidak memengaruhi peluang munculnya kejadian kedua.
Ruang sampel 𝑆 = {(𝐺, 1), (𝐺, 2), … , (𝐺, 6), (𝐴, 1), (𝐴, 2), … , (𝐴, 6)} →
𝑛(𝑆) = 12
𝐴 = {(𝐺, 1), (𝐺, 2), … , (𝐺, 6)} → 𝑛(𝐴) = 6
𝐵 = {(𝐺, 1), (𝐴, 1)} → 𝑛(𝐵) = 2
Kejadian C dan D disebut dua kejadian yang saling bebas jika
kejadian C tidak terpengaruhi oleh kejadian D atau kejadian D
tidak terpengaruh oleh kejadian C.
Jika kejadian C dan kejadian D saling bebas maka berlaku
P(C ∩ 𝐷) =P(C) × P(D)
Dimana P(C ∩ 𝐷) : peluang irisan kejadian C dan D
P(C) :peluang kejadian C
P(D) :peluang kejadian D
Jika P(C ∩ 𝐷) ≠ P(C) × P(D), maka kejadian C dan D tidak saling
bebas.
Contoh 3
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 19
𝐴 ∩ 𝐵 = {(𝐺, 1)} → 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 1
𝑃(𝐴) =6
12=
1
2
𝑃(𝐵) =2
12=
1
6
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝑆)
= 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵)
=1
2×
1
6=
1
12
Jadi, peluang munculnya gambar pada uang logam dan munculnya mata dadu
satu pada dadu adalah 1
12.
4. Peluang Kejadian Bersyarat
Pengertian kejadian bersyarat dapat anda pahami melalui percobaab
berikut. Misalkan pada percobaan melempar dadu bersisi enam sebanyak satu
kali, akan ditentukan kejadian munculnya mata dadu angka ganjil jika
disyaratkan kejadian munculnya mata dadu prima terlebih dulu.
Mula-mula ruang sampelnya adalah S = {1,2,3,4,5,6}. Dengan syarat
bahwa kejadian munculnya mata dadu angka prima terjadi dulu, ruang
sampelnya menjadi {2, 3, 5}. Dalam ruang sampel yang baru tersebut, kejadian
munculnya mata dadu angka ganjil adalah {3, 5}. Kejadian ini disebut kejadian
bersyarat. Secara umum dapat dinyatakan bahwa:
Dari contoh percobaan di atas, kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi
terlebih dahulu dapat ditulis 𝐴|𝐵. Sebaliknya, jika kejadian B dengan syarat
kejadian A terjadi lebih dulu, maka ditulis 𝐵|𝐴.
Kejadian bersyarat adalah kejadian munculnya suatu kejadian
A jika disyaratkan kejadian munculnya kejadian B terlebih
dahulu.
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 20
Bagaimana cara menghitung peluang kejadian bersyarat? Untuk
mengetahuinya simaklah penjelasan berikut.
a. Dalam ruang sampel mula-mula S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dengan n(S) = 6.
Diketahui kejadian munculnya mata dadu angka ganjil, missal A, adalah
{1, 3, 5} dengan n(A) = 3 maka ( ) 3
( )( ) 6
n AP A
n S .
Kejadian munculnya mata dadu prima, misal B adalah {2, 3, 5} dengan
n(B) = 3 maka ( ) 3
( )( ) 6
n AP B
n S .
b. Diperoleh ruang sampel yang baru, B = {2, 3, 5} dengan n(B) = 3.
Kejadian bersyarat A B = {3, 5} mana n( A B ) = 2. Peluang kejadian
bersyarat A B adalah:
( ) 2( )
( ) 3
n A BP A B
n S
c. Dari hasil-hasil perhitungan diatas dapat diketahui bahwa:
( ) ( ) ( )P A B P B P A B
2 3 2
6 6 3
Berdasarkan uraian percobaan di atas, secara umum dapat disimpulkan bahwa
Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi terlebih
dulu ditentukan oleh ( )P A B =( )
( )
P A B
P B
dengan P(B) ≠ 0.
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi terlebih
dulu ditentukan dengan ( )P B A = ( )
( )
P A B
P A
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 21
Dalam sebuah kotak terdapat 4 bola merah dan 2 bola putih. Jika diambil 2
bola satu per satu tanpa dikembalikan, tentukan peluang bola yang terambil
itu berturut-turut bolat merah dan putih!
Jawab :
𝐴 = kejadian terambilnya bola merah.
𝐵 = kejadian terambilnya bola putih.
Jumlah bola sebelum pengambilan pertama adalah 4 bola merah + 2 bola
putih = 6 bola.
Peluang terambilnya 1 bola merah pada pengambilan pertama adalah :
𝑃(𝐴) =4
6=
2
3
Jumlah bola sebelum pengambilan kedua adalah 3 merah + 2 putih = 5 bola.
Peluang terambilnya 1 bola putih dengan syarat bola merah sudah diambil
ditulis 𝑃(𝐵|𝐴) =2
5.
Jadi, peluang terambilnya berturut-turut bola merah dan putih adalah
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵|𝐴) =2
3×
2
5=
4
15
Contoh 4
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 22
BAB III
EVALUASI
1. Di sebuah kelas di SMA PGRI, terdiri dari 30 orang siswa. Pada kelas
tersebut akan dipilih 3 orang sebagai pengurus kelas yang menjabat sebagai
ketua kelas, wakil ketua, dan sekretaris. Berapa banyak cara pemilihan yang
mungkin terjadi?
2. Ada 4 orang anak laki-laki dan 2 orang anak perempuan duduk
mengelilingi meja bundar. Berapa banyak cara duduk yang dapat disusun?
3. Dalam sebuah acara terdapat 10 orang yang saling berjabat tangan, berapa
kali jabat tangan yang terjadi dalam acara tersebut?
4. Seorang siswa diminta mengerjakan 8 dari 10 soal ulangan, tetapi nomor 1
sampai dengan nomor 5 harus dikerjakan. Berapa banyaknya pilihan yang
dapat diselesaikan siswa tersebut?
5. Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, jika A adalah kejadian
munculnya bilangan genap dan B munculnya bilangan prima, nyatakan
berikut ini dalam sebuah himpunan:
a. Ruang sampel
b. Kejadian A
c. Kejadian B
6. Sebuah kantong berisi 4 bola merah dan 6 bola putih. Dari kantong itu
diambil dua buah bola secara acak. Hitunglah peluang yang terambil itu
kedua-duanya bukan bola merah?
Test Kognitif
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 23
7. Sebuah kantong terdiri 4 bola merah, 3 bola putih, dan 3 bola hitam.
Diambil sebuah bola secara acak, tentukan peluang terambil bola merah
atau hitam?
8. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya mata dadu
ganjil dengan syarat munculnya mata dadu prima lebih dahulu?
9. Peluang lulusan PNJ dapat bekerja pada suatu perusahan adalah 0,75. Jika
seorang lulusan mendaftarkan pada 24 perusahaan, maka berapakah dia
dapat diterima oleh perusahaan?
10. Sebuah dadu dilemparkan sebanyak satu kali. Pada pelemparan tersebut
S adalah ruang sampel
A adalah kejadian muncul mata dadu angka ganjil
B adalah kejadian muncul mata dadu kurang dari 3
Tentukan 𝑃(𝐴), 𝑃(𝐵)!
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 24
LEMBAR KEGIATAN SISWA
(LKS)
1. Petunjuk kerja
a. Diskusikan soal-soal berikut dengan anggota kelompok masing-
masing dan tulis jawaban dari masing-masing soal pada tempat yang
telah disediakan.
b. Jika ada yang kurang jelas tanyakan kepada guru
2. Soal
Ambil kartu yang ada di atas meja kemudian catat pada tabel kartu apa
saja yang terambil dengan menuliskan nomor kartunya pada kolom
merah atau hitam!
No. Percobaan ke- Kartu yang Terambil
Merah Hitam
1 Percobaan ke-1
2 Percobaan ke-2
3 Percobaan ke-3
4 Percobaan ke-4
5 Percobaan ke-5
Test Psikomotorik
Nama Anggota :
1. …………………………
2. …………………………
3. …………………………
4. …………………………
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 25
6 Percobaan ke-6
7 Percobaan ke-7
8 Percobaan ke-8
9 Percobaan ke-9
10 Percobaan ke-10
11 Percobaan ke-11
12 Percobaan ke-12
13 Percobaan ke-13
14 Percobaan ke-14
15 Percobaan ke-15
16 Percobaan ke-16
17 Percobaan ke-17
18 Percobaan ke-18
19 Percobaan ke-19
20 Percobaan ke-20
Misalkan:
Kejadian terambilnya kartu merah = 𝐴
Kejadian terambilnya kartu berangka ganjil = 𝐵
i. Ruang sampel (𝑆) =
{… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … }
ii. Banyak ruang sampel = 𝑛(𝑆) = ⋯
iii. Banyak kejadian 𝐴 = 𝑛(𝐴) = ⋯
iv. Banyak kejadian 𝐵 = 𝑛(𝐵) = ⋯
𝑃(𝐴) =𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝐴
𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑟𝑢𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙=
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)=
…
…= ⋯
𝑃(𝐵) =𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝐵
𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑟𝑢𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙=
𝑛(𝐵)
𝑛(𝑆)=
…
…= ⋯
𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) =…
…+
…
…=
…
…= 𝑃(𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 26
Diagram Venn:
Inilah yang disebut dengan kejadian saling lepas.
𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵) =…
…×
…
…=
…
…= 𝑃(𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝐵)
= 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Diagram Venn:
Inilah yang disebut dengan kejadian saling bebas.
𝐴 𝐵
𝐴 𝐵
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 27
RANGKUMAN
1. Peluang suatu Kejadian
Peluang suatu kejadian E adalah hasil bagi banyak hasil dalam E dengan
banyak anggota ruang sampel S dari suatu percobaan, ditulis:
2. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Jika diketahui kejadian A maka komplemen kejadian A dinotasikan dengan A1
atau Ac dan peluang dari Ac ditulisP (Ac) dengan rumus:
Catatan:
P (Ac) = peluang kejadian Komplemen A
P (A) = peluang kejadian A
3. Peluang Dua Kejadian yang Saling Lepas
Dua kejadian dengan tidak ada satu pun elemen dari keduanya sama (tidak
mungkin terjadi secara bersamaan) disebut kejadian saling lepas. Dalam notasi
himpunan dua kejadian saling lepas jika dipenuhi:
Catatan:
Peluang kejadian A atau B yang saling lepas BAP
( )( )
( )
n EP E
n S
n (E) : banyak anggota E.
n (S) : banyak anggota ruang sampel.
P (Ac) = 1 – P (A)
𝐴⋂𝐵 = ∅ atau 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 0
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 28
P (A) = peluang kejadian A
P (B) = peluang kejadian B
4. Peluang Dua Kejadian Saling Bebas
Kejadian A dan Bdisebut bebas jika dan hanya jika:
Catatan:
Peluang kejadian A dan B
P (A) = peluang kejadian A
P (B) = peluang kejadian B
5. Peluang Kejadian Bersyarat
Kejadian bersyarat adalah kejadian munculnya suatu kejadian A jika
disyaratkan kejadian munculnya kejadian B terlebih dahulu
BAP
( ) P A B P C P D
Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi terlebih dulu
ditentukan oleh ( )P A B =( )
( )
P A B
P B
dengan P(B) ≠ 0.
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi terlebih dulu
ditentukan dengan ( )P B A = ( )
( )
P A B
P A
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 29
KUNCI JAWABAN
1. Diketahui:
𝑛 = 30 orang
𝑘 = 3 (Ketua kelas, wakil ketua, dan sekretaris)
Ditanyakan:
Banyaknya cara pemilihan yang mungkin terjadi
Jawab:
𝑃(𝑛, 𝑘) =𝑛!
(𝑛 − 𝑘)!
𝑃(30,3) =30!
(30 − 3)!
=30 × 29 × 28 × 27!
27!
= 24.360 cara
Jadi, banyaknya cara memilih yang mungkin terjadi ada 24.360 cara.
2. Diketahui:
𝑛 = 6 orang (4 anak laki-laki dan 2 anak perempuan)
Ditanyakan:
Banyak cara duduk yang dapat disusun
Jawab:
Dengan menggunakan permutasi siklis:
𝑃 = (𝑛 − 1)!
𝑃 = (6 − 1)!
= 5!
= 120 cara
Test Kognitif
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 30
3. Diketahui:
𝑛 = 10
𝑘 = 2 (setiap jabat tangan pasti 2 orang)
Ditanyakan:
Berapa kali jabat tangan yang terjadi
Jawab:
𝐶(𝑛, 𝑘) = 𝑛!
(𝑛 − 𝑘)! 𝑘!
𝐶(8,2) = 10!
(10 − 2)! 2!
=10!
8! 2!
=10 × 9 × 8!
8! 2!
= 45 kali
Jadi, banyaknya jabat tangan yang terjadi sebanyak 45 kali.
4. Diketahui:
𝑛 = 5 (nomor 1-5 harus dikerjakan)
𝑘 = 3
Ditanyakan:
Banyaknya pilihan soal yang dapat dipilih siswa
Jawab:
𝐶(𝑛, 𝑘) = 𝑛!
(𝑛 − 𝑘)! 𝑘!
𝐶(5,3) = 5!
(5 − 3)! 3!
=5!
2! 3!
=5 × 4 × 3!
2! 3!
= 10
Jadi, banyaknya pilihan yang dapat diselesaikan siswa ada 10.
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 31
5. Diketahui:
Sebuah dadu dilempar
A munculnya bilangan genap
B munculnya bilangan prima
Jawab:
a. 𝑆 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b. 𝐴 = {2, 4, 6}
c. 𝐵 = {2, 3, 5}
6. Diketahui:
Misalkan 𝐸 adalah kejadian terambilnya 2 bola merah
Misalkan 𝐸𝑐 adalah kejadian yang terambil kedua-duanya bukan bola merah.
Ditanyakan:
Peluang yang terambil kedua bukan bola merah
Jawab:
𝑃(𝐸) =𝐶(4,2)
𝐶(10,2)
4!
2!2!10!
2!8!
2
5
Sehingga untuk 𝐸𝐶 berlaku:
𝑃(𝐸𝑐) = 1 − 𝑃(𝐸)
𝑃(𝐸𝑐) = 1 −2
15
=13
15
Jadi, banyaknya peluang yang terambil kedua-duanya bukan bola merah yaitu
13
15.
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 32
7. Diketahui:
𝑛 = 4 + 3 + 3 = 10
Dari 10 bola diambil 1 bola.
A = kejadian terambil bola merah.
B = kejadian terambil bola hitam.
Ditanyakan:
Peluang terambil bola merah atau hitam?
Jawab:
Bola merah ada 4, sehingga peluang terambil bola merah
𝑃(𝐴) =4
10
Bola hitam ada 3, sehingga peluang terambil bola hitam
𝑃(𝐵) =3
10
Peluang terambil bola merah atau hitam;
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴)
=4
10+
3
10
=7
10
Jadi, peluang terambilnya bola merah atau hitam yaitu 7
10.
8. Diketahui:
Misalkan A adalah kejadian munculnya angka prima
𝐴 = {2, 3, 5}
Misalkan B adalah kejadian munculnya angka ganjil
𝐵 = {1, 3, 5}
𝑆 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
𝑛(𝑆) = 6
Ditanyakan:
Peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya mata dadu
prima lebih dahulu
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 33
Jawab:
Peluang munculnya mata dadu angka prima
( )( )
( )
n AP A
n S
3
6
1
2
Sehingga irisannya 𝐴 ∩ 𝐵 = {3, 5} dengan 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 2
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝑆)
=2
6=
1
3
Menentukan peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya
kejadian mata dadu prima terlebih dahulu;
𝑃(𝐴|𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴)
1
31
2
1
2
Jadi, peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya mata dadu
prima lebih dahulu yaitu 2
3.
9. Diketahui:
𝑃(𝐴) = 0,75
𝑛 = 24
𝐹ℎ(𝐴) = 𝑛 × 𝑃(𝐴)
= 24 × 0,75 = 18 perusahaan
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 34
10. Diketahui:
Sampel 𝑆 = {1,2,3,4,5,6} 𝑛(𝑆) = 6
Ditanyakan:
𝑃(𝐴)𝑑𝑎𝑛 𝑃(𝐵)
𝑃(𝐴) = 3
6 dan 𝑃(𝐵) =
2
6
MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI 35
DAFTAR PUSTAKA