kelas xii sma bahasa matematika pangarso yuliatmoko
TRANSCRIPT
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
1/138
i k
k
l
h
Pangarso YuliatmokoDewi Retno Sari S
MATEMATIKAMATEMATIKAUntuk Sekolah Menengah Atas& Madrasah AliyahUntuk Sekolah Menengah Atas& Madrasah AliyahXIIXII BahasaBahasa
PUSAT PERBUKUANDepartemen Pendidikan Nasional
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
2/138
M a t e m a t i k a
Pangarso YuliatmokoDewi Retno Sari S
X II Pr o g r a m B a h a s a
SMA/MA
Pusat Perbukuan
Departemen Pendidikan Nasional
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
3/138
i i
Penulis:
Pangarso YPangarso YPangarso YPangarso YPangarso Yu l ia tmokou l ia tmokou l ia tmokou l ia tmokou l ia tmoko
Dewi Retno Sari SDewi Retno Sari SDewi Retno Sari SDewi Retno Sari SDewi Retno Sari S
Editor:
Enik YEnik YEnik YEnik YEnik Yuliatinuliatinuliatinuliatinuliatin
Penata Letak Isi:
SudaryantoSudaryantoSudaryantoSudaryantoSudaryanto
Desainer Sampul:
Adi WahyonoAdi WahyonoAdi WahyonoAdi WahyonoAdi Wahyono
Ilustrator:
SusantoSusant oSusantoSusant oSusantoSumber Ilustrasi Cover:
CD ImageCD ImageCD ImageCD ImageCD Image
Ukuran Buku
17,6 25 cm17,6 25 cm17,6 25 cm17,6 25 cm17,6 25 cm
Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional
Dilindungi Undang-undang
Hak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasionaldari Penerbit Karya Mandiri Nusantara, PT
MatematikaMatematikaMatematikaMatematikaMatematikaUntuk SMA/MA KUntuk SMA/MA KUntuk SMA/MA KUntuk SMA/MA KUntuk SMA/MA Kelas XII Program Bahasaelas XII Program Bahasaelas XII Program Bahasaelas XII Program Bahasaelas XII Program Bahasa
510.07YUL YULIATMOKO, Pangarso
m Matemat ika : untuk Sekolah Menengah Atas dan Madrasah Aliyahkelas XII program bahasa/Pangarso Yuliatmoko, Dewi Retno Sari S ;editor Enik Yuliatin. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan
Nasional, 2008.
viii, 128 hlm. : ilus. ; 25 cm.Bibliografi : hlm.125Indeks.
ISBN 979-462-911-11. Matematika-Studi dan Pengajaran I. Judul
II. Dewi Retno Sari S III. Yuliatin, Enik
Diterbitkan oleh Pusat Perbukuan
Departemen Pendidikan NasionalTahun 2008
Diperbanyak oleh ...
http://belajaronlinegratis.com
bukubse@belajaronlinegratis com
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
4/138
i i i
Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karunia-Nya,
Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2008, telah
membeli hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluaskan
kepada masyarakat melalui situs internet (website) Jaringan Pendidikan Nasional.
Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan
telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk
digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional
Nomor 34 Tahun 2008.
Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/
penerbit yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen
Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh
Indonesia.
Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departemen
Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak,
dialihmediakan, atau difotokopi oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang
bersifat komersial harga penjualannya harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan
oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku teks pelajaran ini akan lebih mudah diakses
sehingga siswa dan guru di seluruh Indonesia maupun sekolah Indonesia yang berada
di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini.
Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para siswa
kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami
menyadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran
dan kritik sangat kami harapkan.
Jakarta, Juli 2008
Kepala Pusat Perbukuan
Kata Sambutan
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
5/138
i v
Puji syuku r k ami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa
atas rahmat-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan buku ini. Buku
ini kami tujukan untuk membantu siswa-siswi SMA Kelas XII Program
Bahasa untuk dapat belajar secara mandir i dalam mempersiapkan
dir i sebagai generasi penerus bangsa, dan secara umu m agar dapat
membantu suksesnya pendidikan nasional dalam rangka
mencerdaskan kehidu pan bangsa.
Di k elas ini k alian kembali belajar m atematik a. Agar k alian
mu dah mempelajarinya, buk u ini disajik an dengan bahasa yang
sederhana dan komun ikatif. Setiap kajian dilengkapi tu gas dengan
arahan kegiatan dan tugas yang sesuai dengan kehidupan sehar i-
hari agar kalian dapat menghubungkan antara konsep dan
penerapannya. Setipa akhir bab juga dilengkapi dengan uji kompetensi
yang bisa mengevaluasi kemampuan kalian dalam memahami materi
yang sudah dijelaskan. Materi yang diberi tanda (**) dimaksudkansebagai pengayaan un tuk siswa.
Ucapan terima kasih kami sampaikan kepada semua pihak yang
tekah membantu terselesaikannya buku ini sehingga dapat disajikan
kepada siswa. Namu n demikian buku ini pastilah t ak lu put dari
kekurangan-keku rangan. Oleh karena itu berbagai macam perbaikan
termasuk saran dan kri tik dari pembaca sangat kami harapkan demi
kesempurnaan buku ini.
Tim Penyusun
Kata Pengantar
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
6/138
v
Pet a Konsep mempermudah
alur berpikir dan pemahaman
materi sehingga lebihsistematis.
Petunjuk Penggunaan Buku
Kata Kunci berisi kata-kata
pent in g dalam set iap bab yang
nantinya mempermudah dalammengingat bahan ajar yang
dibahas.
Apersepsi , mengantarkan siswa kepada
materi yang akan dipelajari. Berisiur aian singkat, contoh penerapan, dan
prasyarat yang haru s dikuasai.
In fomedia berisi pengetahuan
um um atau wawasan yang
berkaitan dengan materi yangdibahas.
Sudut Matemat ika berisi
kegiatan yang menuntutkemampuan analisis dan sikap
kritis siswa.
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
7/138
v i
Kegiatan menulis disajikan sebagai tugas
yang dapat mengungkap kemampuan analisis
siswa.
Latihan setiap akhir subbab disajikan untuk menguji
kemampuan siswa setiap subbabnya.
Rangkuman merupakan intisari materi sehingga
memudahkan siswa mengingat inti dari materi.
Uji Kompetensi disajikan untuk meningkatkan
kemampuan siswa memahami materi satu bab dan
sebagai latihan dalam satu bab.
Refleksi disajikan untuk mengungkap kesan
siswa setelah mempelajari suatu bab.
Latihan Semester pada tiap akhir
semester untuk menguji kemampuan
siswa dalam satu semester.
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
8/138
v i i
Daftar Simbol
Not asi Ket erangan Halam an
> Lebih dar i atau sama dengan 2, 7, 8, 9
< Kurang dari atau sama dengan 2, 7, 8, 9
> Lebih dar i 2, 93, 95
< Kurang dar i 2, 93, 95
a b
c d
, Mat r ik s 25, 27, 29, 30, 31, 32, 34,
35, 40, 45, 51, 52, 55, 57,
58, 59, 62, 63
a b
c d
l imn Limit n menuju tak hingga 96, 97
At Transpose matr iks 29, 34
| A| Determinan matr iks A 51, 52, 53, 59, 65
I Mat r iks ident i tas 30
A-1 Invers matr iks A 55, 57, 59, 60
Un
Suku ke-n 81, 82, 85, 86, 90, 100
b Beda bar isan ar itmet ika 81, 82, 90
a Suku per tama bar isan 81, 82, 86, 90, 97
r Rasio bar isan geometr i 85, 86, 93, 97, 103
Sn
Jumlah n suku per tama deret 90 , 93, 97
Sigma, jumlah dar i 100,101
| | Harga mu t lak , n i lai mut lak 95
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
9/138
v i i i
3
1
Daftar Isi
Kata Sambutan - iiiKata Sambutan - iiiKata Sambutan - iiiKata Sambutan - iiiKata Sambutan - iii
Kata PengantarKata PengantarKata PengantarKata PengantarKata Pengantar - iv- iv- iv- iv- iv
Petunjuk Penggunaan BukuPetunjuk Penggunaan BukuPetunjuk Penggunaan BukuPetunjuk Penggunaan BukuPetunjuk Penggunaan Buku -v-v-v-v-v
Daftar SimbolDaftar SimbolDaftar SimbolDaftar SimbolDaftar Simbol -vii-vii-vii-vii-vii
Daftar IsiDaftar IsiDaftar IsiDaftar IsiDaftar Isi - viii- viii- viii- viii- viii
Program LinearProgram LinearProgram LinearProgram LinearProgram Linear - 1- 1- 1- 1- 1
A. Sistem Pertidaksamaan LinearDua Variabel - 2
B. Merancang ModelMatematika Masalah ProgramLinear - 11
Rangkuman - 18
Uji KompetensiUji KompetensiUji KompetensiUji KompetensiUji Kompetensi - 20- 20- 20- 20- 20
Barisan dan DeretBarisan dan DeretBarisan dan DeretBarisan dan DeretBarisan dan Deret ----- 7979797979
A. Barisan - 80
B. Deret - 89
C. Anuitas - 110
Rangkuman - 115
Uji KompetensiUji KompetensiUji KompetensiUji KompetensiUji Kompetensi - 117- 117- 117- 117- 117
Latihan SemesterLatihan SemesterLatihan SemesterLatihan SemesterLatihan Semester 22222 - 1- 1- 1- 1- 12222222222
2
MatriksMatriksMatriksMatriksMatriks - 23- 23- 23- 23- 23
A. Pengertian Matriks - 24
B. Operasi Aljabar Matriks - 35
C. Determinan dan Invers
Matriks - 51Rangkuman - 67
Uji KompetensiUji KompetensiUji KompetensiUji KompetensiUji Kompetensi - 68- 68- 68- 68- 68
Latihan Semester 1 - 73Latihan Semester 1 - 73Latihan Semester 1 - 73Latihan Semester 1 - 73Latihan Semester 1 - 73
Daftar PustakaDaftar PustakaDaftar PustakaDaftar PustakaDaftar Pustaka - 125- 125- 125- 125- 125
IndeksIndeksIndeksIndeksIndeks - 126- 126- 126- 126- 126
GlosariumGlosariumGlosariumGlosariumGlosarium - 127- 127- 127- 127- 127
KunciKunciKunciKunciKunci - 128- 128- 128- 128- 128
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
10/138
Bab
1Program
Linear
Dalam bab ini terdapat beberapa kata kunci yang perlu kalian ketahui.
1. Per t idak samaan l inear 3. Bentuk objekt if2. Ni lai optimum 4. Fungsi tu juan
Peta konsep berikut memudahkan kalian dalam mempelajari seluruh materipada bab ini.
Salah satu ukuran untuk menentukan baik tidaknya suatu model matematis
adalah kemampuan model tersebut membuat prediksi. Apabila sebuah model
matematis dapat membantu membuat suatu prediksi yang lebih baik, maka prediksi
yang dihasilkan akan sangat berarti. Dengan prediksi yang tepat maka seorang
pialang bisa mendapatkan laba maksimum dalam melaksanakan kegiatannya.
Berikut ini akan kalian pelajari salah satu cara yang dapat digunakan untuk
mengoptimumkan suatu model matematika dari masalah-masalah yang mungkin
dialami oleh para pelaku produksi dalam kehidupan.
Program Linear SistemPertidaksamaan
SistemPertidaksamaan
Linear D ua VariabelPada Program Lin ear
Penyelesaian
PtLDV
PenyelesaianSPtLDV
Model matematika
Nilai optimum
menentukan
mempelajari
menentukan
1B a b 1 Program Linear
sebagai d asar
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
11/138
Matematika XII SMA/MA Program Bahasa2
Dalam mempelajari pokok bahasan program linear ini, caramenentukan himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaanlinear dua peubah merupakan prasyarat yang harus dikuasai. Olehkarena itu perlu dipelajari kembali sistem pertidaksamaan linear
berikut.
A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua VariabelPertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang peubah
bebasnya berbentuk linear (pangkat satu). Kalian tentu masih ingatbentuk -bentuk di bawah in i.
1. 2x 4; pertidaksamaan linear satu peubah2. 3x + y < 0; pertidaksamaan linear dua peubah
3. x 2y 3; pertidaksamaan linear dua peubah4. x + y 2z > 0; pertidaksamaan linear tiga peubah
Dalam bab ini kita hanya akan mempelajari pertidaksamaanl i nea r dengan dua peubah . Gabungan da r i dua a tau l eb ihpertidaksamaan linear dua peubah disebut sistem pertidaksamaanlinear dua peubah.
Contoh sistem pertidaksamaan lineardua peubah adalah sebagai berikut.
3x+ 8y 24 ,x+ y 4,x 0,y 0.
1. Daerah Him punan Penyelesaian Per t idaksamaan L in ear DuaPeubah
Penyelesaian suatu pertidaksamaan linear dua peubah adalahpasangan berurut (x,y) yang memenuhi pertidaksamaan lineartersebut. Himpunan penyelesaian tersebut dinyatakan dengansuatu daerah pada bidang kartesius (bidang XOY) yang diarsir.
Un tuk l eb ih memahami dae rah h impunan penye lesa ianpertidaksamaan linear dua peubah, pelajari contoh-contoh berikut.
C ontoh 1.1Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear dibawah ini.
a. 2x+ 3y 12 c. 4x 3y< 12b. 2x- 5y> 20 d. 5x+ 3y 15
Sudut Matematika
Meningkatk an Sik ap
Kr i t i s S iswa
Apakah perbedaan linierdan linear? Jelaskan.
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
12/138
3B a b 1 Program Linear
Penyelesaian:
a. Mula-mula d iluk is gar is 2x + 3y = 12 dengan menghubungkantitik potong garis dengan sumbu X dan sumbu Y.Titik potong garis dengan sumbu Xberarti y = 0, diperoleh x =6 (titik (6,0)).Titik potong garis dengan sumbu Yberarti x = 0, diperoleh y =4 (titik (0,4)).Garis 2x+ 3y = 12 tersebut membagi bidang kartesius menjadidua bagian. Untuk menentukan daerah yang merupakanhimpunan penyelesaian dilakukan dengan mengambil salahsatu t i t ik uj i dar i salah satu sisi daerah. Misalkan diambilt i t i k (0 ,0 ) , kemud ian d isubst i tus ikan ke per t idaksamaansehingga diperoleh:
2 0 + 3 0 < 12
0 < 12
Jadi 0 > 12 salah, ar t inya t idak d ipenuhi sebagai daerahpenyelesaian.
Jadi , daerah penyelesaiannya adalah daerah yang t idakmemuat titik (0,0), yaitu daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini.
b. Mu la-mula d iluk is gar is 2x 5y = 20 dengan menghubungkantitik potong garis di sumbu Xdan sumbu Y.Titik potong garis dengan sumbu X y = 0, diperoleh x = 10(titik (10,0))Titik potong garis dengan sumbu Y x = 0, diperoleh y = 4(titik (0,4))Garis 2x 5y = 20 tersebut membagi bidang kartesius menjadidua bagian. Untuk menentukan daerah yang merupakanhimpunan penyelesaian dilakukan dengan mengambil titik ujidar i sa lah satu sis i daerah. Misalkan d iambi l t i t ik (0,0) ,kemud ian d i subs t i tus i kan ke pe r t i daksamaan seh ingga
diperoleh:2 0 5 0 > 200 > 20 (salah), artinya tidak dipenuhi.
Y
4
0 6X
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
13/138
Matematika XII SMA/MA Program Bahasa4
Jadi , daerah penyelesaiannya adalah daerah yang t idakmemuat titik (0,0), yaitu daerah yang diarsir pada gambar disamping.
c . Mu la-mula d iluk is gar is 4x 3y = 12 dengan menghubungkantitik potong garis di sumbu Xdan sumbu Y.
Titik potong garis dengan sumbu Xmaka y = 0 diperoleh x = 3(titik (3,0))Titik potong garis dengan sumbu Ymaka x= 0 diperoleh y = 4(titik (0,4))Garis 4x 3y = 12 tersebut membagi bidang kartesius menjadidua bag ian . Untuk menentukan daerah yang merupakanhimpunan penyelesaian dilakukan dengan mengambil salahsatu t i t ik uj i dar i salah satu sisi daerah. Misalkan diambilt i t i k (0 ,0 ) , kemud ian d isubst i tus ikan ke per t idaksamaansehingga diperoleh:
4 0 3 0 < 120 < 12 (benar) , ar t in ya d ipenuhi sebagai daerah
penyelesaian.Jadi , daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memu attitik (0,0), yaitu daerah yang diarsir pada gambar di bawah.
Y
0
-4
10 X
2x5
y=20
Sudut Matematika
Meningkatk an Sik apKr i t i s S iswa
Menurut kalian, selain
digunakan dalam bidang
ekonomi, digunakan dalambidang apakah program
linear itu?
Y
X
4x-3
y=12
3
-4
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
14/138
5B a b 1 Program Linear
d. Mula-mula d iluk is gar is 5x + 3y = 15 dengan menghubungkantitik potong garis di sumbu Xdan sumbu Y.Titik potong garis dengan sumbu Xmaka y = 0, diperoleh x= 3(titik (3,0))
Titik potong garis dengan sumbu Ymaka x= 0, diperoleh y = 5(titik (0,5))Garis 5x+ 3y = 15 tersebut membagi bidang kartesius menjadidua bagian. Untuk menentukan daerah yang merupakanhimpunan penyelesaian dilakukan dengan mengambil salahsatu t i t ik uj i dar i salah satu sisi daerah. Misalkan diambilt i t i k (0 ,0 ) , kemud ian d isubst i tus ikan ke per t idaksamaansehingga diperoleh:
5 0 + 3 0 < 150 < 15 (benar), artinya dipenuhi.
Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memu attitik (0,0), yaitu daerah yang diarsir pada gambar di samping.
Berdasarkan contoh d i a tas, cara menentukan h impunan
penyelesaian pertidaksamaan linear dengan dua peubah dapatdilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Lu k i sl ah gar is ax + by = c pada bidang kartesius dengan
menghubu ngkan tit ik potong garis pada sum bu Xdi t i t ik (c
a,0 )
dan pada sumbu Ydi titik (0,c
b).
2 . Sel id ik i sebuah t i t ik u j i yang ter letak d i luar gar is denganca r a m e n yu b s t i t u s i ka n n ya p a d a p e r t i d a ksa m a a n . J i kapertidaksamaan dipenuhi (benar), maka daerah yang memuattit ik t ersebut m eru pakan daerah him punan penyelesaian. Jik apertidaksamaan tidak dipenuhi (salah), maka daerah yang tidak
memuat titik uji merupakan daerah himpunan penyelesaian.
Y
X30
55x+3y=15
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
15/138
Matematika XII SMA/MA Program Bahasa6
Kegiatan Menulis 1.1
L a t i h a n 1.1
b> 0
Daerah himpunan
p e n y e l e s a i a n
berada di bawah
garis ax+ by = c
Daerah himpunan
p e n y e l e s a i a n
berada d i a tas
garis ax+ by = c
b< 0
Daerah himpunan
p e n y e l e s a i a n
berada di atas garis
ax+ by= c
Daerah himpunan
p e n y e l e s a i a n
berada di bawah
garis ax+ by = c
b= 0
Daerah himpunan
p e n y e l e s a i a n
berada di ki ri garis
x = c/a
Daerah himpunan
p e n y e l e s a i a n
berada d i kanan
garis x = c/a
Pert idaksamaan
ax+ by < c
ax+ by > c
Lukiskan daerah himpunan penyelesaian setiap pert idak-samaan l inear ber ikut.
1. x> 1 6. 2x+ 7y> 14
2. y < -3 7. x 3y < 93. x+ y > 4 8. 2x+ 5y> 104. 2xy < 2 9. 2x+ y < 45. 3x+ 2y< 6 10. 8x+ 3y> 48
2. Daerah Penyelesaian Sist em Perti daksamaan Linear
a. Menentuk an Daerah Penyelesa ian S istem Per t idak samaanL inear
Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear duapeubah adalah himpunan titik-titik (pasangan berurut (x,y)) dalam
bidang kartesius yang memenuhi semua pertidaksamaan lineardalam sistem tersebu t. Sehingga daerah him punan penyelesaiannya
Setelah mempelajari contoh di atas, cara menentukan daerahhimpunan penyelesaian tanpa titik uji secara cepat dapatdilihat pada tabel di bawah.
Dari tabel di atas, apa yang dapat kalian simpulkan?
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
16/138
7B a b 1 Program Linear
m e r u p a ka n i r i sa n h i m p u n a n - h i m p u n a n p e n ye l e sa i a n d a r ipertidaksamaan dalam sistem pertidaksamaan linear dua peubahitu. Agar kalian lebih mudah dalam memahami daerah penyelesaiandari sistem pertidak-samaan linear dua peubah, perhatikan contoh-
contoh di bawah ini.
C ontoh 1.2Ten tukan dae rah h impunan penye lesa ian da r i s i s tempertidaksamaan berikut.a. 3x+ 5y< 15 b. x+ y 6
x> 0 2x+ 3y 12 y > 0 x 1
y 2
Penyelesaian:
a. Mula-mula gambar gar is 3x+ 5y =15, x= 0, dan y =0Untuk 3x+ 5y < 15
Pilih titik (0,0), kemudian substitusikan ke pertidaksamaansehingga diperoleh:
3 0 + 5 0 < 15
0 < 15 (benar), artinya dipenuhiJadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuattitik (0,0)
Un tuk x > 0, p i l ih t i t ik (1,1) kemudian d isubst i tusikan kepertidaksamaan sehingga diperoleh:1 > 0 (benar), artinya dipenuhi.
Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuattitik (1,1)
Un tu k y > 0 , p i l ih t i t i k (1 ,1 ) kemud ian subst i tus ikan ke
pertidaksamaan sehingga diperoleh:1 > 0 (benar), arti nya dipenuh i.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuattitik (1,1).
Daerah h impunan penye-lesa ian s i s tem pe r t i dak -samaan merupakan i r isandari k etiga daerah h impu nanpenye lesa ian pe r t i dak -samaan di atas, yaitu sepert iterlih at pada gambar berik utini (daerah yang diarsir).
0
Y
3
5 X
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
17/138
Matematika XII SMA/MA Program Bahasa8
b. Mula-mula gambar gar is x+ y=6, 2x+ 3y= 12, x= 1, dan y= 2 .Untuk x + y < 6, pilih titik (0, 0), kemudian substitusikan kepertidaksamaan sehingga diperoleh:
1 0 + 1 0 < 6
0 < 6 (benar), artinya dipenuhi.
Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuattitik (0,0).
Untuk 2x + 3y < 12, pilih titik (0,0), kemudian substitusikanke pertidak-samaan sehingga diperoleh:
2 0 + 3 0 < 12
0 < 12 (benar), artinya dipenuhi.
Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuattitik (0,0).
Untuk x > 1, p i l ih t i t ik (2,1) kemudian d isubst i tusikan kepertidaksamaan sehingga diperoleh 2 > 1 (benar), art inya
dipenuhi.Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuattitik (2,1).
Un tu k y > 2 , p i l ih t i t i k (1 ,3 ) kemud ian subst i tus ikan kepertidak samaan sehi ngga dip eroleh 3 > 2 (benar), art in yadipenuhi.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuattitik (1,3).
Daerah himpunan penyelesaiansistem pertidaksamaan tersebutmerupakan i r i san dar i ke t iga
daerah himpunan penyelesaianpertidaksamaan di atas, yangseperti terlihat pada gambar disamping (daerah yang diarsir)
Y
6
4
2
0 6X
Kegiatan Menulis 1.2Berdasa r con toh d i a tas , baga imana langkah - langkahmenentukan daerah himpunan penyelesaian dari sebuahsistem pertidaksamaan linear dua peubah?
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
18/138
9B a b 1 Program Linear
b. Menentuk an Sis tem Per t idak samaan j i ka Daerah HimpunanPenyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua PeubahD ike tahu i
Ca r a m e n e n tu ka n d a e r a h h i m -punan penye lesa ian da r i s i s temper t idaksamaan l inear dua peubahtelah dipelajari sebelumnya. Sekarangbagaimana menentukan sistem per-t idaksamaan j i ka daerah h impunanpenyelesaiannya yang diketahui? Untukitu simaklah beberapa contoh di bawahin i .
C ontoh 1.3Daerah yang diarsir di bawah ini merupakan daerah himpunanpenyelesaiaan dar i suatu sistem per t idaksamaan l inear dua
peubah. Tentukanlah sistem pertidaksamaan tersebut.
a. b.
Penyelesaian:
a. Garis l1 melalui titik (2,0) dan (0,2), persamaan garis l1adalah:
1 22 2
x yx y
Garis l2
melaui titik (1,0) dan (0,2), persamaan garis l2
adalah:
1 2 21 2
x yx y
Dari gambar terlihat bahwa daerah himpunan penyelesaian(yang diarsir) berada di bawah garis l
1, di atas garis l
2, di kanan
sumbu Y, dan di atas sumbu X. Sistem pertidaksamaannyaadalah:x+ y < 2, 2x+ y > 2, x> 0, dan y > 0
Y
X210
l2 l1
2
0
-1
2 4X
l2
l1
4
Y
S is tem pe r t i daksamaan
linear merupakan ir isan daribeberapa pertidaksamaan
linear.
Infomedia
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
19/138
Matematika XII SMA/MA Program Bahasa10
b. Gar is l1
melalui titik (4,0) dan (0,4), persamaan garis l1
adalah:
1 44 4
x yx y
Garis l2 melalui tit ik (2,0) dan (0,1), persamaan garis l2 adalah:
1 2 22 1
2 2
x yx y
x y
Dari gambar terlihat bahwa daerah himpunan penyelesaian(yang diarsir) berada di bawah garis l
1, di atas garis l
2, di kanan
sumbu Y, dan di atas sumbu X. Sistem pertidaksamaannyaadalah:
x+ y < 4, x 2y < 2, x> 0, dan y > 0
Kegiatan Menulis 1.3Setelah mempelajari contoh di atas, coba kalian simpulkanlangkah-langkah menentukan sistem pertidaksamaan j ikadaerah himpunan penyelesaiannya yang diketahui?
L a t i h a n 1.21. Tentuk an daerah h impunan penyelesa ian dar i s istem
pertidaksamaan berikut.a. 3x+ 8y> 24, x+ y > 4, x > 0 dan y > 0b. x+ y > 3, x+ 2y > 4, x> 1, dan y > 0c. x+ 2y < 8, 4x+ 3y < 24, x> 0, dan y > 1d. 2x+ y < 40, x+ 2y < 40, x> 0, dan y > 0e. x+ 2y > 10, x+ y > 8, dan xy > -4f. x+ 3y> 30, 5x+ y > 50, dan 5x+ 3y > 90g. x+ y > 5, 0 < y < 3, dan x> 0h . 1 < x< 4 dan 0 < y < 4i . x+ y < 20, 0 < y < 10, dan x> 0j . yx> 4, 2x+ y < 8, 0 < x< 6, dan y > 0
2. Ten t u k a n si s t em p er t i d a k s a m a an y an g h i m p u n a npenyelesaiannya adalah daerah yang diarsir pada gambar -gambar di bawah ini.
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
20/138
11B a b 1 Program Linear
a. c.
b. d.
B. Merancang Model Matematika Masalah Program LinearPada awalnya program linear dikembangkan oleh W.W. Leontife,
seorang ahli ekonomi, yang berupa analisis dari metode input-output(metode masukan dan keluaran). Kemudian dilanjutkan Hitchock(1941) dan Koopmans (1947) yang mempelajari m asalah tr ansportasi.Selanjutnya G.B. Dantzig (1948) memperkenalkan sebuah metodeyang dapat digunakan untu k menentu kan solusi optim um yang serin gdisebut dengan metode simpleks.
Dalam sebuah perusahaan sering menggunakan program linearini untuk menyelesaikan masalah pengoptimalan yang merekahadapi, seperti pemaksimalan keuntungan, peminimuman biayaproduksi dan sebagainya. Misalkan sebuah perusahaan roti inginmemproduksi dua jenis roti. Setiap jenis roti memerlukan bahantepung dan mentega. Jenis roti I membutuhkan 200 gram tepung
dan 75 gram mentega, sedang jenis roti II membutuhkan 100 gramtepung dan 50 gram mentega. Jika tersedia 100 kg tepung dan 25 kg
Y
3
2
2 3
Y
0X
4
2
2 4
Y
4
0
-2
2 6
-2 0 6X
-2
-6
Y
X
X
0
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
21/138
Matematika XII SMA/MA Program Bahasa12
mentega berapa roti jenis I dan jenis II yang dapat dibuat supayamemperoleh jumlah yang sebanyak-banyaknya, sedang untuk bahanyang lain cukup tersedia?
Contoh di atas adalah salah satu persoalan yang menyangkutprogram linear. Untuk menyelesaikan masalah tersebut, soal harusditerjemahkan lebih dahulu dalam model matematika.
1 . Model Mat em at i k a
Dalam menyelesaikan masalah yang menyangkut programl inear , mode l matemat ika sangat d ibu tuhkan. Da lam mode lmatematika nantinya akan terlihat fungsi tujuan dan fungsi batasan.Fungsi tu juan adalah fungsi yang menunjukkan sasaran dar ipengoptimalan yang mungkin dicapai berdasar batasan-batasan yangada. Agar kalian lebih memahami tentang model matematika dancara pembuatannya perhatikan beberapa contoh berikut ini.
C ontoh 1.4a. Seorang pedagang sepeda ingin m embeli sepeda balap dan
sepeda motor sebanyak 25 bu ah un tu k persediaan. Harga sebuahsepeda balap Rp1.500.000,00 dan sepeda motor Rp8.000.000,00 .Jika modal yang dimil iki Rp100.000.000,00 buatlah modelmatematika dari permasalahan tersebut.
b. Ali menjual es krim dalam termos yang paling banyak memuat500 bungkus. Harga es krim jenis I Rp2.000,00 dan jenis IIRp1.000,00. Jika modal yang tersedia Rp1.100.000,00 dan labamasing-masing jenis es krim Rp200,00 dan Rp250,00 buatlahmodel matematika untuk permasalahan tersebut.
c . Makanan A d ibuat dar i 4 ons tepung dan 2 ons mentega,sedangkan makanan B dibuat dari 3 ons tepung dan 3 ons
mentega. Pengusaha makanan mempunyai 6 kg tepung dan4,5 kg mentega. Jika harga makanan A Rp5.000,00 per buahdan makanan B Rp3 .000 ,00 pe r buah , ten tukan mode lmatematika dari permasalahan tersebut.
Penyelesaian:
Untuk memudahkan dalam membuat model matematika daripermasalahan di atas, terlebih dahulu disusun dalam sebuah tabelyang menggambarkan unsur-unsur yang ada.
a. Misalkan banyaknya sepeda balap yang mungkin dibeli x buahdan sepeda motor ybuah, dengan demik ian t abel pemodelannyaditunjukkan sebagai berikut.
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
22/138
13B a b 1 Program Linear
Sepeda SepedaModal
Pertidak-Balap (x) Mot or (y) sam aan
Harga (dalam 15 80 1000 15x+ 80y 0y > 0, dengan x, y cacah.
b. Misalkan banyaknya es kr im jen is I yang mungkin d i jua l xbuah dan es krim jenis II y buah. Tabel pemodelannya sebagaiberikut.
Es k r i m Es K ri mModal
Pertidak-Jen i s I Jeni s I I sam aan
(x) (y)
Harga(dalam 2.000 1.500 1.100.000 2000x+1500yr ibu an) 0y > 0,(syarat nonnegatif)Dengan fungsi tujuan memaksimumkan 200x + 150y; x, y cacah.
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
23/138
Matematika XII SMA/MA Program Bahasa14
c. Misalkan banyaknya makanan A yang mungkin dibuat x buahdan makanan B y buah. Tabel pemodelan masalahnya sebagaiberikut.
Bahan Mak an an A Mak an an B Per sed i aan Per t i dak -(x) (y) Bah an sam aan
Tepung 4 ons 2 ons 60 ons 4x+ 2y< 6 0
Mentega 3 ons 3 ons 45 ons 3x+ 3y< 4 5
Har ga Rp5.000,00 Rp3.000,00 5.000x+3.000y
Model matematika dari permasalahan tersebut adalah:4x+ 2y< 603x+ 3y< 45Karena banyak makanan tidak mungkin negatif maka harusditambahkan syarat nonnegatif yaitu:x, y > 0(syarat nonnegatif)
Dengan fungs i tu juan memaksimumkan 5 .000x + 3.000y;x, y cacah.
2 . Ni l ai Opt im um Suatu Fungsi Objek t i f
a . Penger t i an Fungsi Objek t i f
Dari Contoh 1.4b, diperoleh model matematika sebagai berikut.
2.000x+ 1.500y< 1.100.000x+ y< 500
. . . . (1)x> 0
y > 0(syarat nonnegatif)dengan fungsi tu juan memaksimumkan 200x + 150y . . . (2);x, y cacah.
Persamaan (1) disebut fungsi batasan atau fungsi kendala,sedang persamaan (2) disebut fungsi tujuan.
Coba kalian baca lagi Contoh 1.4, m ana yang merupakan fun gsibatasan dan mana yang merupakan fungsi tujuan?
Dari contoh-contoh d i atas terdapat fu ngsi yang dioptim um kan(dimaksimumkan atau diminimumkan). Fungsi yang demikian itusering disebut dengan fungsi objektif. Jadi secara umum bentukobjektif dapat ditulis sebagai berikut.
ax+ by . . . . (3)
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
24/138
15B a b 1 Program Linear
b. Menen tukan Ni l a i Op t imum Fungsi Objek t i f
Dalam menentukan nilai optimum dari suatu fungsi objektifpada umumnya sering menggunakan metode grafik dan metodesimpleks. Metode grafik sering digunakan untuk menyelesaikanmasalah program linear dua peubah, karena metode grafik relatifmudah dan leb ih prakt is. Sedangkan metode simpleks padaumumnya digunakan untuk memecahkan masalah program lineartiga peubah atau lebih. Karena kita mempelajari program lineardua peubah maka metode yang digunakan adalah metode grafik.
Langkah-langkah yang harus ditempuh dalam menyelesaikanpersoalan program linear dengan menggunakan metode grafikadalah sebagai berikut.
1 ) Mengubah soa l cer i t a men jad i model matemat ik a denganmengident i f ikasi fungsi batasan atau kendala dan fungsitujuannya.
2) Menggambar semua gar is yang merupakan fungsi kendaladalam koordinat kartesius.
3) Menentuk an daerah himpu nan penyelesaian yang memenuhisemua fungsi kendala dengan mengarsir daerah himpunanpenyelesaian tersebut.
4) Menentukan ni lai optimum dari fungsi tujuan yang diketahui.
Dalam menetukan nilai optimum ini dapat dilakukan dengandua cara yaitu dengan metode titik sudut dan metode garis selidik.
C ontoh 1.5Dari Contoh 1.4c, diperoleh model matematika sebagai berikut.4x+ 2y< 603x+ 3y< 45
x, y > 0(syarat nonnegatif)dengan fu ngsi t uju an 5.000x + 3.000y ; x, y cacah.Tentu kan n ilai xdan ysehingga bentuk 5.000x+ 3.000y, maksimum .
Penyelesaian:
Cara I (menggambar semua pertidaksamaan)
Langkah 1
Dari soal telah diketahui model matematikanya sebagai berikut.4x+ 2y< 603x+ 3y< 45x, y > 0
dengan fu ngsi t uju an 5.000x + 3.000y ; x, y cacah.
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
25/138
Matematika XII SMA/MA Program Bahasa16
Langkah 2
Menggambar semua garis dar i fungsikendala.
Langkah 3M e n e n tu ka n d a e r a h h i m p u n a npenyelesaian, sehingga diperoleh daerahyang diarsir.
Langkah 4
Menentukan nilai optimum fungsi tujuan5.000x+ 3.000y, sebagai berikut.
Cara I (dengan met ode t i t ik sudut )
T i t i k F= 5.000x + 3.000y
(0,0) 5.000(0) + 3.000(0) = 0
(15 ,0) 5.000(15) + 3.000(0) = 75.000(0,15) 5.000(0) + 3.000(15) = 45.000
Berdasarkan hasil pada perhitungan tabel di atas nilai maksimumfungsi objektif 5.000x + 3.000y adalah 75.000 dan dicapai dititik(15,0). Dari sini dapat disimpulkan agar pembuat roti memperolehpendapatan yang paling besar, maka dia harus membuat 15 buahmakanan A dan tidak memproduksi makanan B.
Cara II (metode garis selidik)
Cara lain untuk menentukan nilaioptimum suatu program linear adalah
menggunakan ga r i s se l i d i k . Ga r i ssel id ik (k) d ibuat dar i fungsi tu juanp rog ram l i nea r te r sebu t . Denganmenggeser-geser garis tersebut padat i t i k p o j o k - t i t i k p o j o k d a e r a hpenyelesaian sistem pertidaksamaanlinear tersebut.
Dari soal di atas dapat dibuat tabelsebagai berikut.
Cara ini dil aku kan dengan menggambar
ga r i s 5 .000 x + 3 .000 y = k u n t u k
bebe rapa n i l a i k , seh ingga gar is
te r sebu t meny inggung dae rahhimpunan penyelesaian dengan nilai k
30
15
5
0 3 15
g2
g1 g3
Y
X
30
15
0 15
Y
X
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
26/138
17B a b 1 Program Linear
K egiat an M enul i s 1.4
L a t i h a n 1.3
Coba kal ian simpulkan langkah-langkah menentukan ni laioptimum dengan menggunakan garis selidik! Bagaimana untukmasalah meminimumkan?
1. Sebuah pesawat penumpang mempunyai tempat duduk
tidak lebih dari 50 penumpang yang terdir i atas dua kelas.Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasimaksimum 30 k g dan untu k kelas ekonomi maksimum 20kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi 1.000 kg. Hargat ike t ke las u tama Rp150.000,00 dan ke las ekonomiRp100.000,00. Agar pendapatan dar i penjualan t iketmaksimum, tentukan banyaknya tempat duduk untukmasing-masing kelas yang harus tersedia.
2. Untu k menghasi lkan barang A seharga Rp2.000,00 perbuah diperluk an bahan baku 30 kg dan waktu k erja mesin18 jam. Sedangkan ba rang B yang juga be rha rgaRp2.000,00 memerlu kan bahan baku 20 kg dan waktu kerja
mesin 24 jam. Tentukan nilai maksimum produk selama720 jam dan jik a bahan bak u yang tersedia 750 k g.
terbesar. Misalkan k = 15.000 sehingga diperoleh persamaan garis
5.000x+ 3.000y = 15.000 atau 5x+ 3y = 15. Kemudian gambarkan
garis tersebut pada gambar di atas, dari gambar tampak lebih dari
satu titik pada garis tersebut yang menyinggung daerah himpunan
penyelesaian. Oleh karena i tu gar is 5x + 3y = 15 kita geser
ke kanan. Misa lkan k = 45.000, m aka persamaan gar is menjadi
5x + 3y= 45 dan diwakili oleh garis g2pada gambar. Tampak m asih
terdapat lebih satu titik pada garis tersebut yang menyinggung
daerah penyelesaian. Kemudian garis 5x + 3y = 45 kita geser lagi
menjadi garis g3, yang menyinggung daerah penyelesaian di (15,0)
dengan persamaan 5x + 3y = 75. Artinya, bentuk objektif tersebut
akan maksimum u ntuk x = 15 dan y = 0 dengan nilai maksimum5.000(15) + 3.000(0) = 75.000.
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
27/138
Matematika XII SMA/MA Program Bahasa18
3. Luas daerah park i r 360 m 2. Luas rata-rata untuk sebuahmobil 6 m 2 dan sebuah bus 24 m 2. Daerah tersebut hanyamemuat tidak lebih dari 30 kendaraan. Tentukan jumlah
uang maksimum yang dapat diperoleh tukang parkir jikab iaya park i r sebuah mob i l Rp500,00 dan un tuk busRp1.000,00.
4. Den ga n m en ggu n a ka n d u a m a cam te n da , 70 o r an gpramuka mengadakan kemah. Tenda per tama dapatmenampun g 7 orang, harganya Rp20.000,00. Tenaga keduahanya menampung dua orang saja harganya Rp4.000,00.Banyaknya tenda yang d ibu tuhkan t i dak l eb ih da r i19 buah. Berapa jumlah tenda pertama dan kedua yangharus dibeli agar pengeluaran seminim mungkin? Berapabiaya minimal untuk membeli tenda?
5. Seorang pedagang beras membeli beras jenis I dengan
harga Rp2.000,00/ kg dan beras jenis II Rp3.000,00/ kg.Uang yang dimiliki pedagang tadi sebesar Rp500.000,00.Jika kiosnya hanya memuat 200 kg beras dan bila dijuallagi mendapat unt un g unt uk jenis I Rp200,00/ kg danunt ung jenis II Rp250,00/ kg, berapa laba maksimu m yangdiperoleh pedagang itu?
R a n g k u m a n1. Langkah- langk ah menentuk an h impu nan penyelesaian
pertidaksamaan linear dengan dua peubah:
a . Lu k isl ah gar is ax+ by= cpada bidang k artesius denganmenghu-bungkan titik potong garis pada sumbu X di
t i t ik ( ca
,0) dan pada sumbu Ydi titik (0, cb
).
RefleksiBuatlah rangkuman dari internet atau sumber lain berkaitan
dengan mater i program l inear ini . Buatlah dalam bentuklaporan.
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
28/138
19B a b 1 Program Linear
b. Sel idiki sebuah t i t ik uj i dengan cara mensubsti tusi-kannya pada pertidaksamaan. Jika pertidaksamaandipenu hi, m aka daerah yang memu at tit ik uji tersebut
merupakan daerah himpunan penyelesaian.2. Daerah himpunan penyelesaian ax + bx < c, untuk:
a. b > 0, daerah himpunan penyelesaian berada di bawahgaris ax+ by= c.
b. b < 0, daerah himpunan penyelesaian berada di atasgaris ax+ by = c.
c. b = 0, daerah himpunan penyelesaian berada di kirigaris ax+ by = c.
3. Daerah himpunan penyelesaian ax + bx > c, untuk:
a. b > 0, daerah himpunan penyelesaian berada di atasgaris ax+ by= c.
b. b < 0, daerah himpunan penyelesaian berada di bawah
garis ax+ by= c.
c. b = 0, daerah himpunan penyelesaian berada di kanangaris ax+ by= c.
4. L an g k ah - l a n gk a h d a l a m m e n yel esa i k a n p er s oa l anprogram linear dengan metode grafik, yaitu:
a. Mengubah soal cerita menjadi model matematika.
b. Menggambark an semua garis yang merupakan fungsikendala dalam koordinat kartesius.
c . Menentuk an daerah h impunan penyelesaian yangmemenuhi semua fungsi kendala dengan mengarsirdaerah himpunan penyelesaian tersebut.
d. Menentuk an n i lai opt imum dar i fungsi tu juan yangdiketahui .
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
29/138
Matematika XII SMA/MA Program Bahasa20
A. Ber i l ah t anda si lang (X) pada huruf a, b, c, d, atau e yangkalian anggap benar.
1 . Da er a h h i m p u n a n p en yel esai an x 0 , y 0 , x + y 8 ,2x+ 5y 10, x, y R. Maka nilai maksimum untu k x+ 2ypadahimpunan penyelesaian tersebut adalah . . . .a. 20 d. 5b. 16 e. 4c. 8
2. Daerah himpunan penyelesaian untuk 2x+ y 40 , x+ 2y 40 ,
x
0, y
0 adalah berupa . . . .a. t rapesium d. segi t igab. persegi panjang e. persegic. segi em pat
3. Daerah yang diarsir pada gambar disamping adalah himpunan jawabandari . . . .
a. {(x,y) | x 0, y 0, x+ 2y 2, 3x+ 4y 12 }
b. {(x,y) | x 0, y 0, x+ 2y 2, 3x+ 4y 12 }c. {(x,y) | x 0, y 0, x+ 2y 2, 3x+ 4y 12 }d. {(x,y) | x 0, y 0, x+ 2y 2, 3x+ 4y 12 }e. {(x,y) | x 0, y 0, x+ 2y 2, 3x+ 4y 12}
4. Daerah penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan:3x+ 8y 24x+ y 4x 0 dan y 0x, y R adalah . . . .a. I d. IVb. I I e. Vc. III
Y
3
1
0 2 4X
I
I I
I I I
IV
V
x+ y= 43x+ 8y= 24
X
Y
U j i K o m p e t e n s i
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
30/138
21B a b 1 Program Linear
5. Titik berikut ini yang merupakan anggota himpu nan penyelesaiandari sistem pertidaksamaan linear: x + 3y 30, 5x + y 50 dan5x+ 3y 90 adalah . . . .a. (10,12) d. (20,3)
b. (5,20) e. (25,2)c. (15,5)
6 . Ni lai m in imum dar i 2x + 3y pada himpunan penyelesaian darisistem pertidaksamaan linear x + y 3 dan x + 2y 6 adalah. . . .a. 3 d. 7b. 5 e. 8c. 9
7. Suatu masalah dalam program l inear setelah diter jemahkanke dalam model matematika adalah sebagai berikut: x + y 12,x + 2y 16, x 0 dan y 0. Ji ka fungsi objekt if 2x + 5y = k,maka nilai optimum adalah . . . .
a. 52 d. 24b. 40 e. 12c. 36
8. Sebuah lapangan parki r dapat memuat sebanyak-banyaknya15 mobil. Setiap tempat parkir 3 mobil, hanya dapat dipakaiparkir untuk sebuah bus saja. Jika banyaknya mobil x danbanyaknya bus y, maka model matematika dari persoalantersebut di atas adalah . . . .a. x 0, y 0; x+ 3y 15b. x 0, y 0; x+ 2y 15c. x 0, y 0; 3x+ y 15d. x 0, y 0; 3xy 15
e. x 0, y 0; x 3y 159.
Jika segi l ima OABCD merupakan himpunan penyelesaianprogram l inear, maka m aksimu m fungsi sasaran x+ 3y terletakdi titik . . . .a. O d. Cb. A e. Dc. B
A (6,0)
B (5,3)
C (2,5)
D (0,3)
O
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
31/138
Matematika XII SMA/MA Program Bahasa22
10. Suatu perusahaan tas dan sepatu memerlu kan 4 un sur x dan6 unsur y per minggu u ntu k masing-masing hasil produk sinya.Setiap tas memerlukan 2 unsur x dan 2 unsur y. Bila setiaptas untung Rp3.000,00 dan setiap sepatu untung Rp2.000,00,
maka banyak tas dan sepatu yang dihasilkan per minggu agardiperoleh untung yang maksimal adalah . . . .a. 3 tasb. 4 tasc. 2 sepatud. 3 sepatue . 2 tas dan 1 sepatu
B. Jawablah pert anyaan-pert anyaan di bawah in i dengan benar.
1. Untuk membuat ku e tersedia ter igu sebanyak 1.750 gr dan1.200 gr mentega. Untuk membuat k ue A diperlu kan 5 gr t erigu
dan 3 gr mentega, sedangkan untuk kue B diperlukan 5 grmentega dan 4 gr terigu. Direncanakan akan dibuat x buahkue A dan y buah kue B. Tentukan model matematika daripersoalan tersebut.
2. Minuman A yang harganya Rp2.000,00 per botol dijual denganlaba Rp400,00 per botol, sedang minuman B yang harganyaRp1.000,00 per botol dijual dengan laba Rp300,00 per botol.Seorang pedagang minuman punya modal Rp800.000,00 dankiosnya maksimum dapat menampung 500 botol minuman.Tentukan banyaknya minuman yang harus d ia jua l agarkeuntungannya maksimal.
3. Ten t u k a n si st em p er t i d ak -
samaan yang memenuhi daerahyang d ia rs i r pada gambar d isamping.
Y
9
5
0 3 4X
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
32/138
Bab
2Ma t r i k s
Dalam bab ini terdapat beberapa kata kunci yang perlu kalian ketahui.
1. Transpose 3. Inver s2. Deter m inan 4. Ordo
Peta konsep berikut memudahkan kalian dalam mempelajari seluruh materipada bab ini.
23
Seringkali kita berbelanja secara borongan tanpa terlebih dahulu mengetahuiharga untuk masing-masing barang. Di waktu lain terkadang kita mengulangimelakukan hal tersebut. Masalah ini bisa kita selesaikan dengan memanfaatkan
penggunaan matriks. Dengan matriks, kita dapat menyusun harga dan jumlah
barang-barang sebagai kombinasi baris dan kolom dalam matriks. Dengan sedikit
operasi matr iks, ki ta akan dapat menentukan harga masing-masing barang.
Bagaimana hal itu bisa dilakukan? Agar dapat menjawab masalah-masalah seperti
itu, pelajari materi matriks beriku ini. Kenalilah bagaimana matriks dengan sifat
dan operasinya, determinan, invers, serta penerapannya.
B a b 2 Matriks
Matr iks Pengertian Matrik s
Determinan danInvers Matriks
Ordo
Kesamaan Matriks
Operasi AljabarMatr iks
Matriks Transpose
Penjumlahan
Pengurangan
Perkalian
Determinan
Invers
Penerapan
mencakup
meliputi
mencakup
menjabarkan
menjabarkan
menentukan
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
33/138
24 Matematika XII SMA/MA Program Bahasa
A . Pengertian MatriksInformasi seringkali disajikan dalam berbagai model. Sebagai
contoh, hasil sementara Liga Indonesia 2005 disajikan dalam tabelber ikut.C ontoh 2.1
Sumber: Suara Merdeka, 11 April 2005.
C ontoh 2.2Jumlah siswa kelas XII yang tidak masuk pada hari Jumat, 25Maret 2008.
K el as Sak i t Izi n Tanpa Ket erangan
IIIA 0 4 2
IIIB 1 2 0
IIIC 2 5 3
IIID 3 1 1
Kalian tentu ingat bagaimana membaca data dalam tabel.Pelajari pul a bagaimana menyaji kan data dalam tabel. Kedua materii tu akan sangat membantu kal ian mempelajar i mater i matr iks.Sebagai penerapan, bacalah materi bagaimana menyelesaikan
sistem persamaan linear dua variabel.
Liga Indonesia 2005Klasemen sementaraWilayah I
1. Persi j a 7 6 0 1 15/ 6 182. Ar em a 6 4 1 1 14/ 4 133. Persib 5 4 0 1 9/ 4 134. PSMS 7 3 2 2 10/ 8 115. PSIS 7 3 2 2 9/ 7 116. PSDS 7 3 2 2 13/ 14 117. Persi k ota 5 3 1 1 9/ 6 10
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
34/138
25B a b 2 Matriks
baris ke-1
baris ke-2
baris ke- i
kolom k e-1
kolom ke-2
kolom ke-j
C ontoh 2.3Koefisien dari variabel dalam suatu sistem persamaan.
Per sa m aan Koef i si en dar i x Koefisien dari y
3x+ 4y = 5 3 4
3x 6y = 7 2 6
Apabila judu l k olom dua baris tersebut d ihil angkan dan susunanbi langan dibatasi dalam tanda kurung, maka disebut m a t r i k s.Matriks dari Contoh 2.1, 2.2, dan 2.3 adalah sebagai berikut.
7 6 0 1
6 4 1 1
5 4 0 1
7 3 2 2
7 3 2 2
7 3 2 2
5 3 1 1
0 0 2
1 4 0
2 5 3
3 1 1
62
43
Setiap bilangan dalam matriks disebut elemen atau unsurmatriks yang letaknya ditentukan oleh baris dan kolom di manaunsur tersebut berada. Misalnya dalam Contoh 2.3, angka 4 adalahunsur pada bar is per tama dan kolom kedua. Sebuah matr iksseringkali dinyatakan dengan huruf besar (kapital).
Misalnya:
3 4
2 6A
M a t r i k s adalah susunan b i langan dalam bentuk persegipanjang yang disusun dalam baris dan k olom.
Bentuk umum suatu matriks:
11 12
21 22 2
1 2
ij
j
i i ij
a a a
a a aA
a a a
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
35/138
26 Matematika XII SMA/MA Program Bahasa
Kegiatan Menulis 2.1
Dari siswa kelas XII di sekolah kalian, susunlah tabel jumlahsiswa berdasarkan jenis kelamin dari masing-masing kelas!Susunlah matriks dari tabel tersebut. Berapa banyak barisdan k olomnya?
L a t i h a n 2.1
1 . D iber i kan mat ri ks:
2 8 7 10 17
3 0 9 6 15
4 3 1 16 2
1 5 12 4 14
P
a. Berapa banyak baris dan kolomnya?b. Sebutkan elemen-elemen pada:
1) baris ke-3 3) baris ke-52) kolom ke-4 4) kolom ke-1
c. J ika aij mewakili elemen-elemen yang berbeda di bariske-i dan kolom ke-j, sebutkan elemen-elemen:1) a
324) a
24
2) a23 5) a333) a42 6) a11
2. Untuk matr iks-matr iks di bawah ini , berapa banyak barisdan kolomnya?
a. 5,0,3,1 d.
01
10
b.
0652
2130e.
3
1
0
c.
252
143
021
f.
196562121040
104731
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
36/138
27B a b 2 Matriks
3. Suatu industr i rumah yang membuat dua jenis kue yaitukue I dan kue II. Untuk menghasilkan kue I diperlukan52 kg tepung, 90 butir telur, dan 14 kg gula. Sedangkan
untu k membuat k ue II diperluk an 46 kg tepung, 82 butirtelur, dan 10 kg gula. Nyatakan uraian tersebut dalambentuk matriks kemudian tentukan ukuran matriks danmasing-masing elemennya.
4 . Untuk set iap sis tem persamaan d i bawah in i , tu l i slahmatriks koefisien variabelnya.a. 3a 5b= 12 c. 7a+ 2b= 20
2a+ 4b= 9 7b= 14b. 3a 12b= -4
a 6b= 185. Car i lah contoh-contoh in formasi yang d isaj ikan dalam
bentuk matriks dalam surat kabar atau majalah.6. Tul is lah tabel ber iku t dalam bentuk matr iks! Sebutkan
banyak baris dan k olomnya.Resep biskuit (berat dalam satuan 25 gram dan susudalam sendok makan)
Gandum Men t ega Gu l a Susu Tel ur
Bisku it mentega 12 4 4 0 0
Biskuit biasa 8 0 1 2 1
1. Or do Mat r ik s
Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dikutioleh banyaknya kolom.
0 1 0 11 0
= 0 0 2 = 1 2 3 = 2 =3 5
0 3 0 5
P B D E
Ordo matriks P adalah 3 3, karena terdiri atas 3 baris dan 3kolomOrdo matriks B adalah 1 3, karena terdiri atas 1 baris dan 3kolomOrdo matriks D adalah 3 1, karena terdiri atas 3 baris dan 1
kolomOrdo matriks E adalah 2 2, karena terdiri atas 2 baris dan 2kolom.
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
37/138
28 Matematika XII SMA/MA Program Bahasa
Apabila banyaknya baris dalam suatu matriks sama denganbanyaknya kolom, matriks tersebut disebut matr iks persegi . Eadalah matriks persegi berordo 2.
L a t i h a n 2.21. Seb u t k a n or d o da ri m a t r i k s b er i k u t d an t en t u k a n
banyaknya elemen.
a.
6
7
9
4
2
c.
454623
1002
711
b.
20316
54321d.
803
712
501
2. Ber i lah contoh dari matr iks-matr iks ber ikut .a. A berordo 3 3 d. Dberordo 2 5b. Bberordo 2 3 e. Eberordo 3 3c. Cberordo 4 2 f. Fberordo 4 4
3. Matr ik s B dan D pada contoh masing-masing disebutmatrik s baris dan kolom. Apakah perbedaannya?
Unt uk soal nomor 4 sam pai dengan 5, perhati kan perist i waber iku t .
Seorang Sosiolog melakukan survei tentang hubungan sosialantara lima orang siswa. Kepada mereka diajukan pertanyaan:Dengan siapa akan nonton f i lm dan kepada siapa akanmeminjamkan uangnya? Hasilnya dinyatakan pada matriks Pdan Q berikut ini (1 artinya ya, 0 artinya tidak).
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
38/138
29B a b 2 Matriks
dengan dengan
A B C D E A B C D E
A 0 1 1 1 1 A 0 0 0 1 1
B 0 0 1 1 1 B 1 0 0 1 0
C 1 0 0 1 0 C 0 0 0 1 0
D 0 1 1 0 1 D 1 1 0 0 1
E 1 0 0 1 0 E 0 1 1 0 0
P Q
4. a . Berapakah ordo masing-masing matr iks?b. Apakah jen is kedua matr iks?
5. a. Apakah A suka ke b ioskop dengan B? Apakah B sukapergi ke bioskop dengan A?
b. Dengan siapa D senang pergi menonton?c. Apa maksud dari O pada baris ke-4 dan kolom ke-3
pada matrik s Q?
d. Mengapa unsur pada diagonal utama matrik s di atas nol?
2 . Macam - m acam Mat r i k s
Berikut ini akan dijelaskan beberapa macam matriks. Setiapjeni s mat r ik s memi lik i ci r i -c i r i tertent u .a. Su at u m at rik s A
mndisebut matriks persegi bila m = n.
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...
n
n
n n
n n nn
a a a
a a aA
a a a
Dalam hal ini a11
, a22
, a33
, , ann
disebut unsur-unsur di agonal .Ordo dari A
nnadalah n.
Contoh matriks persegi berordo 3:
33
1 3 1
2 2 1
1 3 2
A
b. Matr iks ska la r didefinisikan sebagai matriks persegi yang
berordo 1. Contoh matriks skalar Radalah R= 2 .Suatu matr iks disebut matr iks d iagona l bi la unsur-unsurselain unsur diagonalnya adalah nol.
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
39/138
30 Matematika XII SMA/MA Program Bahasa
L a t i h a n 2.3
Contoh matriks diagonal D berordo 4 :
4 4
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 00 0 0 1
D
c . Suatu mat ri ks d isebut matr iks satuan atau matr iks i dent i tasbila unsur-unsur diagonalnya bernilai 1 dan unsur yang lainbernilai 0.
Contoh matriks satuan Iberordo 5:
5 5
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
I
d. Matriks segitiga atas adalah m atrik s persegi yang unsur-u nsur
di bawah diagonalnya adalah nol. Sedangkan matr iks segit igabawah ada lah matr iks perseg i yang unsur -unsur d i a tasdiagonalnya nol.
Contoh matriks segitiga atas A berordo 3:
4 1 1
0 2 3
0 0 1
A
Matriks segitiga bawah B berordo 4:
1 0 0 0
0 3 0 0
1 4 6 0
3 2 4 1
B
Tentukan x, y, dan z agar matr iks-matr iks ber ikut samadengan transposnya.
a.
1
0 2 3
3 1
x z
A
y
c.
0 2 0 2
1 3 4 4 2
2 4 5 2 0
0 4 3 2 7
2 0 7 0
x x
C z
y
y
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
40/138
31B a b 2 Matriks
b.
1 1 2 4
1 0 1
1 2 62 1 3 1
z
zB
xy x
3 . K esam aan Mat r i k s
Dua buah matriks A dan Bdik atakan sama, apabila:a. Or don ya sam ab. Elemen-elemen yang seletak pada kedua matrik s tersebut ju ga
sama.Perhatikan dua matriks berikut.
3 1 0 3 1 0= dan =
2 6 4 2 6 4
A B
Karena A dan Badalah matriks berordo 2 3 dan setiap u nsurseletak sama, maka A = B.
Perhatikan juga matriks Pdan Qdi bawah ini.
- 5 3 1= dan =
2 + 2 5
x yP Q
x y . Jika P= Q tentuk an nilai x dan y.
Dengan menggunakan sifat kesamaan matriks diperoleh P = Q.
5 3 1
2 2 5
x y
x y
. Dari kesamaan tersebu t diperoleh x - y = 3
dan x + y = 5. Dengan menggunakan eliminasi y diperoleh:
3
5
2 8
4
x y
x y
x
x
Nilai x = 4 jika disubstitusikan ke persamaan x - y = 3 diperoleh:
3
4 3
4 3
1
x y
y
y
y
Jadi diperoleh nilai x= 4 dan y = 1
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
41/138
32 Matematika XII SMA/MA Program Bahasa
Kegiatan Menulis 2.2
L a t i h a n 2.4
D u a b u a h m a t r i k s11 12 11 12
21 22 21 2 2
= dan =a a b b
A Ba a b b
dikatakan sama jik a a11
= b11
, a12
= b12
, a21
= b21
, dan a22
= b22
.
Coba kalian diskusikan bahwa:
Jika diberikan
11
2
2 4
A dan
3 2
3 4
44
2
B , maka berlaku A = B.
1. Manakah dari matr iks ber ikut yang sama?
= 1 2 3A = 3 2 1E = 1 2 3I
2=
-1B
2=
1F
1=
2J
2=1
C 1 2=3 4
G -1 -2=-3 -4
K
1 3=
2 4D
1 2=
3 4H
-1=
2L
2. Ten tu kan n il ai a dan b dalam kesamaan matriks berikutin i .
a.3 1 6 1
1 2 1 8
a
be.
2
3
35 92
b b
aa
b.2 3 6 2 3
5 4 5 4 2
a
b af.
13
2
84
b
a
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
42/138
33B a b 2 Matriks
c.4 3 4 12
5 2 5 9
a
b
d. 4 5 6 7 20 15 a a b a b
3. Ten tu kan n il ai a, b, c, dan d dari matriks berikut.
a.
2 3 2 3
5 4 6 5 4 2
6 11 4 11
a b
a
b c c b
b.2 2 3
3 3 3 2 3
a b c a b
d c
4. Tentu kan j ika dik etahui A = B.
1 1
3cos sin 2 2= dan =
-sin cos 1 1- 3
2 2
A B
4 . Mat r i k s T r an spo se
Suatu matriks berordo m n dapat disusun menjadi sebuahmatrik s berordo n mdengan m embalik baris dan k olomnya. Matrik sini disebut matr iks transpos.
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m n
m m mn
a a ... a
a a ... a
A
a a ... a
matriks transposnya adalah
11 21 1
12 22 2
1 2
m
mt
n n mn
a a ... a
a a ... a A A
a a ... a
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
43/138
34 Matematika XII SMA/MA Program Bahasa
L a t i h a n 2.5
Dari suatu matr ik s A dapat dibentu k matr ik s baru dengan menu liskanbaris 1 sebagai kolom 1, baris 2 sebagai kolom 2, dan seterusnya.Matriks baru ini disebut matriks transpose dari A, dilambangkanA atau At (baca transpose matriks A).
t
1 21 3 5
Apabila = 3 4 maka =2 4 6
5 6
A A.
1. a. Per h at i k an m at r i k s p ad a L at i han 2 .1 n om or 5 .Tentukan matriks trans-posenya.
b. Apakah informasi yang disajikan matr iks transpos inisama dengan informasi semula?
2. Diketahu i dua matr iks, yai tu
6 4 6 16= dan =
8 10 12 10
xP Q
ya. Tentukan transpose dari matr iks Q.b. Tentukan transpose dar i matr iks P.c. J ika P= Qt, maka tentuk an nilai x dan y.
3 . D iketahu i dua mat r iks
a. Tentukan transpose dar i matr iks P.b. J ika Pt = Q, carilah nilai a, b, c, d, e, dan f.
Kegiatan Menulis 2.3De n g a n ka ta - ka ta m u se n d i r i , j e l a ska n ke l e b i h a n d a nkekur angan penyajian informasi m enggunak an m odel matri ks.
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
44/138
35B a b 2 Matriks
B . Operasi Aljabar Matriks
1 . Pen j um l ah an M at r i k s
Bono dan Yani adalah dua orang sahabat dekat, akan tetapibersaing ketat dalam pelajaran matematika. Perhatikan nilai rata-rata kedua siswa ini.
Ulangan 1 Ulangan 2 Total
Bono Yan i Bono Yan i Bono Yan i
Matematika 82 78 75 80 157 158
Bahasa Inggris 68 72 70 78 138 150
Dalam bentuk matriks data di atas menjadi:
150138
158157
7870
8075
7268
7882
Metode mengombin asik an matr ik s ini di sebut penjuml ahan matr i ks.
Apabila A dan Badalah du a matrik s berordo sama, penjumlahanA dan B, A + B diperoleh dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang seletak.
C ontoh 2.41.
2 3 3 5 2 3 3 ( 5) 5 2
5 6 6 1 5 ( 6) 6 1 1 7A B
2.2 3 4 2 4 3
5 2 5 2
2 3
7
x y y x y y
x y x x y x
x
y
K egiat an M enul i s 2.4Coba kal ian buktikan apakah dalam penjumlahan matr iksberlaku sifat komutatif dan asosiatif?1 . D iketah u i m at r ik s:
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
45/138
36 Matematika XII SMA/MA Program Bahasa
L a t i h a n 2.6
-4 6 7 3 0 1
= 2 -1 = 2 1 dan = -5 6
5 2 5 2 3 2
A B C
Tentukan:a. A + B c. B+ Cb. A + C d. A + B+ C
2. J ika7 4 2 5 10
2 3 2 8 1
a b a
a b, maka tentukan
nilai adan b.
3. D iketah u i m at r ik s:
3 1 6
2 8
6 4 2
x
A x y
z
2 1 4 3
3 5 11 5
4 7 3 2
x
B y
y
7 5 -9
= 5 9 3
-2 -3 -5
C
Tentukan nilai x, y, zbila A + B = C.
4. Dik etahu i
0 5 3 2 4 8, , dan
4 1 1 7 2 5A B C .
Tunjukkan bahwa:a. A + B= B+ Ab. (A + B) + C= A + (B+ C)
5. Diber ikan penjumlahan matr iks sebagai ber iku t.
4 2 12 4 4 10 4
2 6 8 6 8
x y y x y
y x y x
Tentukan nilai x dan y.6. Matr iks yang semua unsurnya adalah 0, disebut matr iks
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
46/138
37B a b 2 Matriks
nol atau 0.a . D ib er ikan m at ri k s
4 2 4 2
dan5 3 5 3
x
R Sy
Tentukan nilai x dan y agar R+ S= 0.b. Dik et ah ui
4 1 0 2, ,
2 3 1 1A B .
1 0 0 0, dan
1 2 0 0C O
Hitunglah:1) a. A + D d. O+ A
b. B+ O e. O+ Bc. C+ O f. O+ C
2) a. A + B+ Ob. B+ C+ Oc. O+ A + B+ C
2 . Pen gu r an gan Mat r i k s
Kita telah mengetahui bahwa apabi la a dan b merupakanbilangan nyata, maka a b = a + (b). Dengan cara yang sama,karena setiap matr iks memil iki negati f, ki ta dapat menulis A +(B) sebagai A B. Dengan demik ian , sua tu ma t r i ks dapa t
dikurangkan dari matriks lain.
AB = A + (B)
Untuk mengurangkan matriks B dari A, jumlahkan negatif Bkepada A.
C ontoh 2.5Hitunglah operasi pengurangan matriks berikut ini.
a.
a b e f
c d g h
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
47/138
38 Matematika XII SMA/MA Program Bahasa
b.
830
127
543
052
c. 135582
Penyelesaian:
a.
a b e f a e b f
c d g h c g d h
b.2 5 0 7 2 1 2 ( 7) 5 ( 2) 0 1
3 4 5 0 3 8 3 0 4 3 5 8
5 7 1
3 1 3
c. 453153852135582
C ontoh 2.6J ika
3 2 7 5
4 0 6 1
x y
z w, tentukan matriks
x y
z w.
Penyelesaian:
3 2 7 5
4 0 6 1
3 2 7 5
4 0 6 1
3 7 2 54 3
4 6 0 1
10 1
x y
z w
x y
z w
x yx y
z w
z w
4 3Jadi, matriks
10 1
x y
z w.
Syara t agar dua matr iks
dapat diju mlah dan dikurang-
kan adalah ordonya harus
sama.
Infomedia
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
48/138
39B a b 2 Matriks
L a t i h a n 2.71. Hitunglah operasi pengurangan matr iks ber ikut ini .
a.
33
22
52
14
b.
031
204
310
123
c.
10
23
05
11
26
35
2. Tentu kan a, b, c, dan d j ika:
6 5 0 2
3 1 1 3
a b
c d
3 . J i ka d iketahu i mat r iks:
2 0 6 3 5 -3 -1 1 1
= -5 3 1 = -8 10 1 = 0 -5 -3
6 2 2 5 9 2 7 2 2
A B C
a. Tentu kan:1) A BC 4) AB2) A (B+ C) 5) BC3) (A + B) C 6) (A B) C
b. Apakah pernyataan berikut benar?1) AB= BA 3) A (BC) = (A B) C2) BC= CB
4. Ten tu kan m at ri k s A yang memenuhi persamaan:
6 0 -2 -4 12 8=
12 -4 10 0 8 -16A
5. Ten tu kan n il ai x, y, z, dan w dari persamaan:
2 2 2 10 0 0
2 5 20 2 3 42 0 0
x y w y
y y
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
49/138
40 Matematika XII SMA/MA Program Bahasa
6. Car i lah n i lai -n i lai p, q, r, dan spada tiap persamaan beri kutin i .
a.
2 1 1 2 3 1
3 2 3 5 3 4
p r
h s
b.1
1 2 5 032
3 1 2 83 1 2
p r
q s
3. Perkal ian Bi langan Real dengan Mat r ik s
Untuk x bilangan real, telah kita ketahui bahwa x + x = 2x,x + x + x = 3x, dan seterusnya. Sekarang akan kita selidiki dalam
operasi matriks. Misal diberikan matriks a cAb d
.
+ + 2 2+ = + = =
+ + 2 2
a c a c a a c c a c A A
b d b d b b d d b d
Dengan pengertian 2A = A + A, maka diperoleh:
2 22 2
2 2
a c a c A A A
b d b d
dan
3
3 3
3 3
a c a c a c A A A A
b d b d b d
a + a + a c + c + c
b + b + b d + d + d
a c
b d
Dengan demikian kita mendapatkan definisi perkalian bilangannyata dengan matriks.
Apabila k adalah bilangan nyata dan A adalah matriks, makakA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-
masing u nsur A dengan k.
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
50/138
41B a b 2 Matriks
C ontoh 2.7Diketahui matr ik s
3 -1=
4 5A .
Tentukan:a. 2A b. 3A
Penyelesaian:
a.
3 1 2 3 2 ( 1) 6 22 2
4 5 2 4 2 5 8 10A
atau
2
3 1 3 1
4 5 4 5
6 2
8 10
A A A
b.
3 1 3 3 3 ( 1) 9 33 3
4 5 3 4 3 5 12 15A
atau
3A = A + A + A =
54
13
54
13
54
13
=3 3 3 1 ( 1) ( 1)
4 4 4 5 5 5
=
1512
39
C ontoh 2.8Jika
-3 2=
1 0A , tentukan hasil kali dari:
a. 2Ab. 2At
Penyelesaian:
a.
3 2 2 ( 3) 2 2 6 42 2
1 0 2 1 2 0 2 0A
b.
3 1 2 ( 3) 2 1 6 22 2 2 0 2 2 2 0 4 0
tA
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
51/138
42 Matematika XII SMA/MA Program Bahasa
L a t i h a n 2.8
C ontoh 2.9Tentukan a, b, c, dan d dari persamaan berikut.
4 8
212 16
a b
c d
Penyelesaian:
4 8 2 2
12 16 2 2
a b
c d
2a = 4 2c = 12a = 2 c = 6
2b = 8 2d = 16b = 4 d = 8
1. Suatu pabrik ban memproduksi dua jenis ban dengan tigaukuran. Pada bulan Oktober seorang pengecer membelienam belas ban jenis 1 ukuran 15 inci, dua puluh empatban jenis 1 ukuran 16 inci, delapan jenis 1 ukuran 17inci, delapan ban jenis 2 ukuran 15 inci, dua belas banjeni s 2 ukuran 16 inci , dan empat ban jeni s 2 ukuran 17inci. Pada bulan November, pengecer tersebut memesandua belas ban jenis 1 ukur an 15 inci, tiga puluh dua jenis1 ukuran 16 inci, enam belas ban jenis 1 ukuran 17 inci,
dua belas ban jenis 2 ukuran 15 inci, dan dua puluh banjeni s 2 ukuran 16 inci .a. Buatlah matr iks pemesanan ban pada bulan Oktober
dan November. Berilah label baris dan kolomnya.b. Berapakah jumlah masing-masing jenis dan uku ran
yang d ipesan se lama dua bu lan i n i? Bua t lahmatriksnya dan berilah label baris dan kolomnya.
c. Misal selama kuar ta l ke-4 (Oktober November Desember ) pengece r te r sebu t se tu ju un tukmemesankan ban seperti pada matriks di bawah ini.
15 16 17
Jenis 1 40 52 36Jenis 2 28 32 16
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
52/138
43B a b 2 Matriks
Buatlah matriks yang menunjukkan berapa masing-masing jenis ukuran ban yang harus dipesan padab u l a n De se m b e r u n tu k m e m e n u h i p e r se tu j u a n
tersebut?d . Pa da b u l a n Ok to b er t a h u n b er i ku tn ya , p en gecer
tersebut memesan dua kal i dar i jumlah masing-m a s i n g j e n i s / u k u r a n yan g d i p esan O k t o b ersebelumnya. Pesanan bulan November t iga kal ipesanan November sebelumnya. Buatlah matriks yangmenunjukkan jumlah pesanan kedua bulan tersebut.
2. D iketah ui m at ri ks B =
143
102
251
, tentukan:
a. 5B c. 5Bt e.21 B
b. 5B d. Bt f. 2 (B+ Bt)
3. Dik etahu i A =
02
21
13
dan B =
431
502, tentuk an:
a. 2B c. 2At+ 3Bt
b. 5At d. 2Bt+ 5A4. Tentu kan a, b, c, dan d dari persamaan berikut.
a.
12 4 10 4 6 2 21
9 1 9 0 8 0 62
a c
b d
b.
2 3 8 6 4 01- = 3
2 3 20 36 2 62
a b
c d
5. D iketah ui m at ri ks A = (1 2 3), B= (3 2 1), dan C= (2 1 0).Tentukan:a. 2A B+ 3C c. (2A 2B) + (3A + 2B)
b. (2
1AB) + 3 (B+ C) d. 4C 2 (A + B)
6. J ika d iber ikan persamaan
1 0 2 8 2 24
2 4 1 4 0 6K ,
tentukan matr iks K.
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
53/138
44 Matematika XII SMA/MA Program Bahasa
7. J ika
6 4
-1 - 5 = 3 - 3
0 -2
B B , tentukan matriks B.
8. J ika6 12 30
2 310 6 24
a b , tentukan nilai a dan b.
4 . Per k al i an Mat r i k s
Perhatikan tabel berikut ini. Tabel 1 menunjukkan pembelianbuah-buahan oleh seorang ibu dalam dua minggu berturut-turut.Tabel 2 menunjukkan harga masing-masing jenis buah per kilogramdalam ribuan.
Tabel 1 Tabel 2
Mem bel i (k g) J er uk Pi san g Bu ah Har ga (r ibuan ) per kg
Minggu ke-1 3 1 Jeru k 8
Minggu ke-2 2 2 Pisang 5
Dengan mengalikan harga per k ilogram dengan berapa k ilogramyang dibeli, kita peroleh:
Total harga buah untuk minggu pertama = (3 8) + (1 5) =24 + 5 = 29 ribu. Dalam bentuk matriks, perhitungannya adalahsebagai berikut.
( i) Total harga minggu pertama (dalam ribu an)
8
3 1 3 8 1 5 24 5 295
Yang berarti harganya 29 ribu.
(ii ) Total harga min ggu kedua diberik an oleh:
8
2 2 2 8 2 5 16 10 265
Yang berarti pengeluaran untuk beli buah adalah 26 ribu.
(iii ) Biaya beli bu ah selama dua min ggu adalah:
3 1 8 3 8 1 5 24 5 292 2 5 2 8 2 5 16 10 26
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
54/138
45B a b 2 Matriks
Metode menggabungkan dua matriks ini disebut perka l ianmatr iks. Aturannya adalah kalikan baris dengan kolom dan jumlahkanhasilnya.
Misal diberikan matriks
2 2a bAc d
dan
2 1xBy
Hasil kali AB didefinisikan oleh persamaan:
2 12 2 2 1
a b x ax + by =
c d y cx + dy
Perhatikan juga perkalian matriks berikut ini!
1 3 1 1
3 1
2 3 2 13 1
dan
x
a b c y = ax +by +cz
z
xa b c ax +by +cz y =
d e f dx +ey + fz z
Nampak hasil kali ada hanya jika banyak kolom matriks di kirisama dengan banyak baris matriks yang di kanan.
Perkal ian matr iks A dan B di tu l iskan AB terdefinisi hanyajika banyaknya bar is m atr ik s Bsama dengan banyakn ya kolommatriks A.
C ontoh 2.10Jika
1 2 1 3= dan =
5 -4 2 4A B , maka tentukan:
a. AB
b. BA
Gambar 2.1 Ilustrasi perkalian matriks
1,1 1,2 1, 1,1 1,2 1, 1,1 1,2 1,
2,1 2,2 2, 2,1 2,2 2, 2,1 2,2 2,
,1 ,2 , ,1 ,2 , ,1 ,2 ,
n k k
n k k
m m m n n n n k m m m k
m n n k m k
a a a b b b c c c
a a a b b b c c c
a a a b b b c c c
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
55/138
46 Matematika XII SMA/MA Program Bahasa
Penyelesaian:
a.
1 2 1 3 1 1 2 2 1 3 2 4
5 4 2 4 5 1 ( 4 2) 5 3 ( 4 4)
1 4 3 8 5 11
5 8 15 16 3 1
AB
b.1 3 1 2 1 1 3 5 1 2 3 ( 4 )
2 4 5 4 2 1 4 5 2 2 4 ( 4 )
1 15 2 1 2 16 1 0
2 20 4 16 22 1 2
B A
C ontoh 2.11
J ika
1 2 -4 -3
= dan =3 4 -2 -1A B , maka tentukan:
a. 2 (AB) b. (2A)B
Penyelesaian:
a.
1 2 -4 -3 -4 - 4 -3 - 22 ( ) = 2 = 2
3 4 -2 -1 -1 2 - 8 -9 - 4
-8 -5 -1 6 -1 0= 2 =
-2 0 -1 3 -4 0 -2 6
AB
b.
1 2 -4 -3 2 4 -4 -3(2 ) = 2 =
3 4 -2 -1 6 8 -2 -1
-8 - 8 -6 - 4 -16 -10= =
-24 - 16 -18 - 8 -40 -26
A B
C ontoh 2.12Diketahui
1 0 5 8= dan =
0 1 6 2I A
a. Hitu nglah IA = AI.b. Apakah AI= IA = A?
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
56/138
47B a b 2 Matriks
Penyelesaian:
a.
1 0 5 8 5 + 0 8+ 0 5 8= = =
0 1 6 2 0 + 6 0 + 2 6 2
5 8 1 0 5 + 0 0 + 8 5 8= = =
6 2 0 1 6 + 0 0+ 2 6 2
IA
AI
b. Dari jawaban a, terbukti bahwa AI = IA = A
26
85
26
85
26
85
C ontoh 2.13Jika
2 1=
1 2A , tentukan:
a. A2 b. A3
Penyelesaian:
a. 2 =
2 1 2 1=
1 2 1 2
4 +1 2+2=
2+2 1+4
5 4=
4 5
A A A
b.3
=
2 1 5 4=
1 2 4 5
10 +4 8 +5 14 13= =
5 +8 4+10 13 14
A A A A
C ontoh 2.14Jika
2 1= 1 2A , tentukan A
3 2A + A.
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
57/138
48 Matematika XII SMA/MA Program Bahasa
Penyelesaian:
3 2 1 5 4 14 13= =
1 2 4 5 13 14
2 1 4 22 = 2 =
1 2 2 4
A
A
Jadi, A3 - 2A + A adalah:
14 13 4 2 2 1 12 12+ =
13 14 2 4 1 2 12 12
C ontoh 2.15Diketahui A =
2 3
5 7
, tentukan nilai A2-I.
Penyelesaian:
A2 =2 3 2 3 4 9
5 7 5 7 25 49
A2 - I =4 9 1 0
25 49 0 1
=3 9
25 48
Adakah proses yang salah pada penyelesaian di atas? Prosespenghitungan A2 di atas salah, yang benar adalah sebagai berikut .
22 3 2 3 2 3
5 7 5 7 5 7
4 15 6 21
10 35 15 49
19 27
45 64
Sehingga A2- I =19 27 1 0
45 64 0 1
=18 27
45 63
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
58/138
49B a b 2 Matriks
K egiat an M enul i s 2.5
L a t i h a n 2.9
Apakah ber laku si fa t komutat i f da lam perkal ian matr iks?
Jelaskan.
1. Hi tunglah perkalian matr iks d i bawah in i .
a.
2
1
21
18
b.
126
205
314
215
321
c.
45
35
40
50
5234
0423
1534
d. 2143
e.
111
033
140
201
152
51023
41410
2. Jika2 3 1 1 6
5 4 2 1 3
a b
b b, tentukan nilai a dan b.
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
59/138
50 Matematika XII SMA/MA Program Bahasa
3.
1 2 3 -1 -1 2 5= , = , = dan D =
2 1 0 1 2 4 -2A B C
a. Hi tu nglah:
1) AB 7) A(BC)
2) AC 8) (AB)(AC)
3) AD 9) A2 2B+ C
4) BC 10) 2A3 3C+ B
5) (2A)B 11) 2A2 + B
6) A(2B) 12 ) B2 + C2 2AB
b. Sel id ik i apakah :
1) AB = BA
2) BC = CB
3) (AB)C = A(BC)
4) (3A)B =3AB
5) A(B + C) = AB + AC
6) (B + C) A = BA + AC
7) AD + AD = A(D + D) = A(2D)
4. Misalk an3 2 2 3 48
2 3 3 2 108
x x x y z
y y x y x
Hitun glah ni lai x, y, dan z, j ika:a. x, y, dan z bilangan aslib. x, y, dan z bilangan riil
5. D i k et ah u i
1 0 2 2 1= dan =
1 3 -1 -3 2P Q , t e n t u k a n
hasil kali dari:
a. PQ
b. QP
c. Pt Q
d. P Qt
e. Pt Qt
6. J ika
1 -6 1 1 0 0
= 5 7 0 dan = 0 1 0
-3 2 2 0 0 1
P I
a. Hitu nglah PIdan IP.
b. Apakah PI= IP= P?
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
60/138
51B a b 2 Matriks
C . Determinan dan Invers Matriks1 . Det er m i nan M at r i ksa . Det er m i n a n Ma t r i k s or d o 2 2
Jika diberikan matriks A =
a b
c d, maka determinan matriks
A dituliskan | A| dan dirumusk an dengan:
| A| =a b
c d= ad bc
C ontoh 2.16Diketahui matriks A =
68
97. Hitunglah determinan matriks A.
Penyelesaian:
det A = | A| =68
97= 7 6 9 8 = 42 72 = 30
C ontoh 2.17Diketahui matriks B =
5 4
4 12
x x
. Hit unglah determinan matrik s B.
Penyelesaian:
det B= | B| =5 4
4 12x x = 5 12x 4 4x= 60x 16x= 44x
L a t i h a n 2.101. Tentukan determinan dari matr iks ber ikut .
a.
1 0=
0 1A d.
10 -2=
1 2 8D
b.
5 2=
3 1B e.
1 -5=
9 -12E
c.
2 -3=
-1 5C
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
61/138
52 Matematika XII SMA/MA Program Bahasa
2. D iketah ui m at ri ks
8 8=
8 8P . Tentukan determinan dari
matr iks P.
3 . Hi tunglah determinan matr iks
0 1=
1 2Q .
4. B i la m at r i ks
12 9
2 1
aR
a, h i t u n g l a h d e te r m i n a n
matr iks R.
b. Det er m i n a n Ma t r i k s Or d o 3 3
Kita telah mempelajari bagaimana menentukan determinan
mat ri ks persegi ordo 2 dan sekarang akan dibahas determinan m atrik spersegi ordo 3.
Misalkan matrik s A =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
.
Untu k m enentu kan determi nan matrik s ordo 3 3, dapat dil akuk andengan meletakkan lagi elemen-elemen kolom pertama dan keduadi belakang kolom ketiga kemudian dioperasikan sebagai berikut.
det A = | A| =
11 12 13 11 12 13 11 12
21 22 21 22 21 22
31 3231 32 33 31 32 33
23 23
a a a a a a a a
a a a a a a a a a aa a a a a a
= a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a32a13a22a31a11a23a32a12 a21a33
C ontoh 2.18
Diketahui matriks A =
1 2 3
3 1 1
2 2 1
.
Hitunglah determinan matriks A.
() () ()
(+) (+) (+)
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
62/138
53B a b 2 Matriks
Penyelesaian:
det A =
1 2 3 1 2
3 1 1 3 1
2 2 1 2 2
= 2 5 2 + 1 1 1 + 2 3 4 2 5 1 2 1 4 1 3 2= 1 + 4 + 18 6 2 6 = 9
Untuk menentukan determinan matr iks ordo 3 3 dapat jugadengan menggunakan determinan matr iks ordo 2 2 sebagaiberikut.
det A = | A| =
11 12 13
22 2321
31 32 33
a a a
a a a
a a a
= a11 a22 a33 + a12a23a31 + a13 a21a32 a13 a22a31 a11 a23a32 a12 a21a33
= a11 a22 a33 a11a23a32 + a12 a23a31 a12 a21a33 + a13 a21a32 a13 a22a31
= a11 (a22 a33 a23a32 ) a12 (a21 a33 a23 a31) + a13 (a21a32 a22 a31)
= a1122 23
32 33
a a
a a a1221 23
31 33
a a
a a + a1321 22
31 32
a a
a a
= (1)1+1 a113332
2322
aa
aa
+ (1)1+2a123331
2321
aa
aa
+ (1)1+3a133231
2221
aa
aa
Cara tersebu t menggun akan elemen baris pertama.
Selain penjabaran di atas, dengan cara yang sama dapat di jabark ansebagai berikut.
A = (1)1+2 a123332
2321
aa
aa
+ (1)2+2a223331
1311
aa
aa
+ (1)3+2a322321
1311
aa
aa
Cara tersebut menggunakan elemen kolom kedua.
Dengan cara yang sama, masih dapat dijabarkan untuk elemenpada baris atau kolom yang lain . Apakah hasilnya sama?
(+)(+) (+)
() () ()
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
63/138
54 Matematika XII SMA/MA Program Bahasa
L a t i h a n 2.11
C ontoh 2.19
Diketahui
205
112
431
B .
Tentukan determinan dari matriks B dengan menggunakan elemenkolom kesatu.Jawab:
| B| =
205
112
431
= (1)1+1(1)20
11+ (1)2+1 (2)
20
43+ (1)3+1 (5)
11
43
= 1(2 0) + 2(6 0) + (5)(3 + 4)= 2 12 + 5 = 9
1. Tentukan determinan dar i matr iks ber ikut .
a.
3 5 1
2 0 41 1 2
A c. C =
1 2 3
0 0 0
1 2 3
b.
1 2 1
2 1 2
1 1 2
B d. D =
1 0 3
2 0 2
3 0 1
2. Dari pekerjaan nomor 1c dan 1d di atas, apakah kesimpulankal ian?
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
64/138
55B a b 2 Matriks
2 . I nver s Mat r i k s
a . Pen ger t i a n I n ver s Ma t r i k s
M i sa l
1 0= dan =0 1
a bA Ic d
. A p a b i l a ke d u a n ya k i t a
kalikan, maka didapat:
dan
1 0
0 1
1 0
0 1
a b a b IA = = = A
c d c d
a b a b AI = = = A
c d c d
Jadi, IA = AI= A.
Karena itu matriks I disebut mat r i ks i den t i tas untuk perkal ianmatriks 2 2.
Perhatikan uraian berikut.
Misal
3 5 2 -5= dan =
1 2 -1 3A B , maka diperoleh:
3 5 2 -5 6 - 5 -15 +15 1 0= = =
1 2 -1 3 2 - 2 -5 + 6 0 1
2 -5 3 5 6 - 5 10 -10 1 0= = =
-1 3 1 2 -3 + 3 -5 + 6 0 1
A B
B A
Jadi, AB = BA = I.
Karena itu Bdisebut in vers perk al ian dari A dan dilambangkandengan A1. Demikian juga, A disebut in vers perk al ian dari B dandilambangkan dengan B1. Dengan demikian kita peroleh definisisebagai berikut.
Apabila A dan B adalah matriks persegi dengan ordo yangsama, sedemikian hingga berlaku AB = BA = I, maka B adalahinvers dari A dan A invers dari B.
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
65/138
56 Matematika XII SMA/MA Program Bahasa
L a t i h a n 2.12
C ontoh 2.20D i k e t a h u i m a t r i k s
7 -4 -1 4= dan =
2 -1 -2 7A B . Apakah A
merupakan invers dari B?Penyelesaian:
7 -4 -1 4 -7 + 8 28 - 2 8 1 0= = =
2 - 1 -2 7 -2 + 2 8 - 7 0 1
-1 4 7 - 4 -7 + 8 4 - 4 1 0= = =
-2 7 2 -1 -1 4 +1 4 8 - 7 0 1
AB
BA
Jadi, AB= BA = I. Sehingga A merup akan invers Bdan Bmerupakaninvers A.
1. Tentukan hasi l perkal ian matr iks ber ikut (simpulkan apayang kalian peroleh).
a.
12
13
32
11dan
32
11
12
13
b.
41
92
21
94dan
21
94
41
92
2. Manakah yang merupakan invers satu sama lain?
a.
7 -5 3 0= dan =
4 -3 1 2C D
b.
1 5-8 -1 0 1 6 1 6
= d an =5 15 2
- -3 2 4
B C
3. Dik etahu i
7 9 4 -9= dan =
3 4 -3 7A B .
a. Hitung ABdan BA. c. Tentukan A1
dan B1
.b. Apakah AB= BA = I? d. Apakah A = B1dan B= A1.
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
66/138
57B a b 2 Matriks
b. Rumus Invers Ma t r i k s Bero rdo 2 2
J ika
a bA
c d, maka dengan definisi invers matriks A adalah
A1sehingga A A1= I, diperoleh:
1 1 1 , 0.| | | |
d b d b A ad bc
c a c a A ad bc
Buk t i :
Misal
dana b p q
A Bc d r s
= A1
AA1=1 0
0 1
a b p q
c d r s
Dengan definisi perkalian dua matriks,
diperoleh
1 0
0 1
1 0
0 1
a b p q
c d r s
ap br aq bs
cp dr cq ds
Selanjutnya akan dicari nilai p, q, r, dan s.
Dengan menggunakan eliminasi r diperolehap + br =1 d adp + bdr = d cp + dr =0 b bcp + bdr = 0
(ad-bc)p = d
p =
Dengan menggunakan eliminasi p diperoleh:ap + br =1 c acp + bcr = c cp + dr =0 a acp + adr = 0
(bc - ad) r = c
r =
= -
Sudut Matematika
Meningkatk an S ikapKr i t is S iswa
Syarat matriks tidak punya
invers adalah nilai
determinannya 0 (nol).
Mengapa? Jelaskan dengan
kata-kata kalian sendiri.
-
-
d
ad bc
c
bc cd c
ad bc
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
67/138
58 Matematika XII SMA/MA Program Bahasa
Dengan menggunakan eliminasi s diperoleh:aq + bs =0 d adq + bds = 0cq + ds =1 b acq + bds = b
(ad - bc) q = -b
q =
Dengan menggunakan eliminasi q diperoleh:aq + bs =0 s acq + bcs = 0cq + ds =1 a acq + ads = a
(bc - ad) s = -a
s =
s =
Jadi diperoleh , , ,d b c a p q r s ad bc ad bc ad bc ad bc
Sehingga
1 d bB =
c aad bc .
C ontoh 2.21J ika
8 2=
12 3A , tentukan invers dari matriks A.
Penyelesaian:
| A| = ad bc= 24 24 = 0
A tidak mempunyai invers.
C ontoh 2.22Tentukan invers matriks
1 2=
3 4B .
Penyelesaian:
1
| | 4 6 2
2 14 21
3 13 12
2 2
B ad bc
B
-
-
bad bc
a
bc ad
a
ad bc
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
68/138
59B a b 2 Matriks
K egiat an M enul i s 2.6
C ontoh 2.23
Tentukan C1 j ika
1 3
2 2
3 1
2 2
C
.
Penyelesaian:
1
1 3 4| | 1
4 4 4
1 3 1 3
1 2 2 2 2
1 3 1 3 1
2 2 2 2
C ad bc
C
Mengapa matriks A pada Contoh 2 .21 tidak mempunyai in vers?
c. Rumus Invers Ma t r i k s Bero rdo 3 3 (**)
Sebelum dibahas tentang menentukan invers matriks denganordo 3 3, perlu diingat kembali cara menentukan invers matriksordo 2 2 dengan menggunakan rumus berikut.
1 1 1a b d b d b A Ac d c a c a A ad bc
maka
Misal:
11 3 7 3 7 31
2 7 2 1 2 11A A
maka
Selain cara di atas, ada cara lain untuk menentukan invers,yaitu dengan cara meredusir A ke I.
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
69/138
60 Matematika XII SMA/MA Program Bahasa
Salah satu cara mencari invers matriks ordo (3 3) adalahsebagai berikut.
Misal A =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a amaka A1 =
1
det A Adjoin A.
Adjoin A = Adj A =
2221
1211
3231
1211
3231
2221
2321
1311
3331
1311
3331
2321
2322
1312
3332
1312
3332
2322
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
C ontoh 2.24
Diketahui A =
5 4 8
3 3 5 .
2 2 4
Tentukan:a . determinan A b. Adj (A) c. invers A
Penyelesaian
a. det A =
5 4 8 5 4
3 3 5 3 3
2 2 4 2 2
det A = (60 + 40 48) (48 + 50 48)det A = 2
b. Adj (A) =
3 5 4 8 4 8
2 4 2 4 3 5
3 5 5 8 5 8
2 4 2 4 3 5
3 3 5 4 5 4
2 2 2 2 3 3
-
8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko
70/138
61B a b 2 Matriks
L a t i h a n 2.13
Adj (A) =
2 0 4
22 4 49
12 2 27
c. A1 =1
det A Adj
(A) =
2 0 41
22 4 492
12 2 27
A1 =
12
1
2
1 0 2
11 2 24
6 1 13
1. Lengkapi bukti rumus invers matr iks berordo 2.
2. Tentukan invers dar i matr iks ber ikut .
a.
2 -3=
4 1
A c.
3 4=
-1 2
C
b.
2 3=
4 5B
3. Jika
2 3 8 5= dan =
1 5 3 2A B .
tentukan:a. A1 e. A Bb. B1 f. (A