BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANGMatematikamemegangperananpentingdalampengembanganilmupe

ngetahuan yang lain. Ilmuinibertujuanuntukmerangsangdanmengembangkansertameningkatkancaraberpikirkritis, logis, dankreatifparapesertadidik.

Kongruensimerupakanbahasateoribilangankarenapembahasanteoribilanganbertumpukongruensi.Bahasakongruensiinidiperkenalkandandikembangkanoleh Karl Friedrich Gauss, matematisi paling terkenaldalamsejarah, padaawalabadsembilanbelas, sehinggaseringdisebutsebagaiPangeranMatematisi (The Prince of Mathematici-ans).

Padatahapawal, pengertiankongruensisudahtercantumdalamkurikulumSekolahDasar, dandiajarkan di SekolahDasardalambentukbilangan jam ataubilanganbersisa.Penggunaandenganmenggunakangambar jam dirasakanbermanfaatkarenapesertadidikdapatmengenaladanyasistembilangan jam duaan, sistembilangan jam tigaan, sistembilangan jam empatan, dan seterusnya.

B.RUMUSAN MASALAH1. Apa yang dimaksud dengan kongruensi?2. Sebutkan definisi-definisi dan teorema-teorema yang terdapat dalam

kongruensi?3. Apa saja yang termasuk ke dalam sifat-sifat kongruensi?4. Apa yang dimaksud dengan sistem residu modulo n?5. Apa yang dimaksud dengan fungsi Euler?6. Apa yang dimaksud dengan Kongruensi Linear?7. Apa yang dimaksud dengan Kongruensi Kuadratis?

1

C.TUJUAN MAKALAHMakalah ini dimaksudkan untuk memenuhi tugas yang diberikan oleh pak Fakhrul Jamal

S.Pd serta menambah pengetahuan kita tentang berbagai hal yang terdapat dalam Kongruensi.

D. MANFAAT MAKALAH

1. Untuk mengetahui arti dari Kongruensi.2. Untuk mengetahui definisi-definisi dan teorema-teorema yang

terdapat dalam kongruensi.3. Untuk mengetahui apa saja yang termasuk ke dalam sifat-sifat

kongruensi.4. Untuk mengetahui tentang sistem residu modulo n.5. Untuk mengetahui tentang fungsi Euler.6. Untuk mengetahui tentang Kongruensi Linear.7. Untuk mengetahui tentang Kongruensi Kuadratis.

2

BAB II

PEMBAHASAN

1. Pengertian Kongruensi

Kongruensi merupakan bahasa teori bilangan karena pembahasan teori bilangan

bertumpu kongruensi. Bahasa kongruensi ini diperkenalkan dan dikembangkan oleh Karl

Friedrich Gauss, matematisi paling terkenal dalam sejarah, pada awal abad sembilan belas,

sehingga sering disebut sebagai Pangeran Matematisi (The Prince of Mathematici-ans).

Istilah yang digunakan dalam kongruensi sedikit berbeda yaitu bilangan jam atau bilangan

bersisa. Perhatikan bahwa dalam himpunan jam empatan, yang dilambangkan dengan J4,

maka dapat ditulis J4 = {0, 1, 2, 3}. Bilangan-bilangan bulat yang lain nilainya dapat

direduksi menjadi 0, 1, 2, dan 3 yaitu sisa bilangan dibagi 4. Misalkan 10 dapat direduksi

menjadi 2, karena jika 10 dibagi 4 maka hasil baginya 2 dan sisanya 2. Demikian juga 21

dapat direduksi menjadi 1, karena jika 21 dibagi 4 maka hasil baginya 5 dan sisanya 1. Dari

proses mendapatkan sisa pembagian ini dapat dikembangkan konsep dan teori kongruensi

sebagai berikut:

10 ≡ 2, karena jika 10 dibagi 4 maka bersisa 2

21 ≡ 1, karena jika 21 dibagi 4 maka bersisa 1, atau dapat dinyatakan:

10 ≡ 2 karena 10-2 = 8 dan 8 habis dibagi 4

21 ≡ 1 karena 21-1 = 20 dan 20 habis dibagi 4

3

1.2 Definisi dan Sifat-sifat Kongruensi

Definisi 1.2

Ditentukan a, b, n ∈ Z dan n ¿ 0, maka a disebut kongruen dengan b modulo n, ditulis

sebagai a ≡ b (mod n), jika (a-b) habis dibagi oleh n, yaitu n│a – b. a tidak kongruen dengan

b modulo n, ditulis a ≢ b (mod n), jika (a-b) tidak habis dibagi n, yaitu n ∤ (a-b).

Contoh:

7 ¿ 2 ( mod 5), karena 5│(7-2)

34 ¿ 4 ( mod 10), karena 10│(34-4)

17 ¿ 1 ( mod 4), karena 4│(17-1)

6 ≢ 1 (mod 4), karena 4 ∤ (6-1)

11 ≢ 4 (mod 9), karena 9 ∤ (11-4)

Teorema 1.2.1

Ditentukan a,b,c, d dan x ∈ Z, maka kongruensi memenuhi sifat-sifat:

a. Refleksif, yaitu: a ¿ a (mod n), ∀ a ∈ Z

Bukti: a ¿ a (mod n), sebab a-a = 0 maka n│0. n ¿ 0,

Contoh:

12│0 maka 12│15 – 15, sehingga 15 ¿ 15 (mod 12)

b. Simetris, yaitu: a ¿ b (mod n) maka b ¿ a(mod n)

Bukti: Menurut definisi berarti n│a-b, sedangkan menurut definisi keterbagian n│a-b, dapat

dinyatakan sebagai (a-b) = tn, t ∈ Z.

(a-b) = tn ⇔ -(a-b) = -t⇔ (b-a) = (-t)n, -t ∈ Z⇔ n│(b-a) atau b ¿ a (mod n)

4

Contoh: 53¿ 5 (mod 4) maka 4│53-5 ⇔ 4│48

Karena 4│48 maka 4│-48⇔4│5-53, sehingga 5¿ 53 (mod 4)

c. Transitif, yaitu Jika a ¿ b (mod n) dan b ¿ c (mod n), maka a ¿ c (mod n)

Bukti: a ¿ b (mod m) berarti m │(b-a)

b ¿ c (mod m) berarti m │(b-c)

Menurut dalil keterbagian

m │(b-a) dapat dinyatakan dengan a-b = t1m

m │(b-c) dapat dinyatakan dengan b-c = t2m

(a-c) = (t1+t2)m

untuk t1,t2 ∈ Z

Jadi m │(a-c) atau a ≡ c(mod m)

Contoh: 35 ≡ 25 (mod 5) maka 5 | 35 – 25 ⟺ 5 | 10.

25 ≡ 15 (mod 5) maka 5 | 25 – 15 ⟺ 5 | 10.

Karena 5 | 35 – 25 dan 5 | 25 – 15 maka 5 | 35 – 15 ⟺ 5 | 10

Sehingga 35 ≡ 15 (mod 5)

d. Jika a ≡ b (mod n) maka ax ≡ bx (mod n), dengan x ∈ Z.

Bukti: a ≡ b (mod n) → n | (a-b) → n | (a-b)x → n | (ax-bx) → ax | bx(mod n)

Contoh: 30 ≡ 2 (mod 7) maka 2.30 ≡ 2.2 (mod 7) ⟺ 60 ≡ 4 (mod 7)

e. Jika a ≡ b (mod n) dan c ≡ d (mod n) maka a + c ≡ b + d (mod n).

Bukti: a ≡ b (mod n) → n | (a-b)

c ≡ d (mod n)→ n | (c-d)

{n | (a-b) dan n | (c-d)}→ n |{( a-b) + (c-d)} → n |{(a+c)-(b+d)}

→ (a+c) ≡(b+d) (mod n)

Contoh: 17 ≡ 5 (mod 6) dan 79 ≡ 25 (mod 6) maka 17 + 79 ≡ (5 + 25) (mod 6)

Sehingga 96 ≡ 30 (mod 6)

5

+

f. Jika a ≡ b (mod n) dan c ≡ d (mod n) maka ac ≡ bd (mod n).Bukti: a ¿ b (mod n) berarti n │(a-b)

c ¿ d (mod n) berarti n │(c-d)

Menurut dalil keterbagian

n │(b-a) dapat dinyatakan dengan a-b = t1n

n │(c-d) dapat dinyatakan dengan c-d = t2n

⇔ (a-b)c = (t1n)c, c ∈Z atau (ac – bc) = (t1n)c, c ∈Z

⇔ (c-d)b = (t2n)b, b ∈Z atau (cb – db) = (t2n)b, b ∈Z

(ac-bd) = (t1m)c + (t2m)b, a,b ∈Z.⇔ (ac-bd) = (t1c + t2b)m, (t1c + t2b) ∈Z.

atau m │(ac – bd ) atau (ac) ≡ (bd) (mod m)

Contoh: 13 ≡ 3 (mod 5) dan 7 ≡ 2 (mod 5) maka 13.7 ≡ 3.2 (mod 6)Sehingga 91 ≡ 6 (mod 5)

g. Jika a ≡ b (mod n) maka ac ≡ bc (mod nc), dengan c ∈ Z.Bukti: a ≡ b (mod n)→ n | (a-b)→ nc | (a-b)c → nc | (ac-bc)→ ac≡ bc(mod n)Contoh: 23 ≡ 5 (mod 6) ⟺ 23.3 ≡ 5.3 (mod 6.3) ⟺ 92 ≡ 15 (mod 18)h. Jika a ≡ b (mod n) dan d | n maka a ≡ b (mod d).Bukti: a ≡ b (mod n) → n │(a-b)

{d | n dan n │(a-b)}→ d│(a-b)→ a ≡ b (mod n)Contoh: 33 ≡ 9 (mod 12) dan 3 | 12 maka 33 ≡ 9 (mod 3)

Teorema 1.2.2

Ditentukan f adalah suatu fungsi polinomial dengan koefisien-koefisien bulat.

Jika a ≡ b (mod n), maka f(a) ≡ f(b) (mod n).

Bukti:

Ambil suatu polinomial f(x) = p0xn + p1xn-1 + ... + pn dengan pi (i = 1, 2, 3, ..., n) adalah

bilangan-bilangan bulat, maka:

6

+

f(a) = p0an + p1an-1 + ... + pn dan

f(b) = p0bn + p1bn-1 + ... + pn

sehingga:

f(a) – f(b) = p0 (an – bn) + p1 (an-1 – bn-1) + ... + pn-1 (a – b)

Selanjutnya:

{a ≡ b (mod n) dan a ≡ b (mod n)} ⟶ a2 ≡ b2 (mod n) ⟶ n | (a2 – b2)

{a ≡ b (mod n) dan a2 ≡ b2 (mod n)} ⟶ a3 ≡ b3 (mod n) ⟶ n | (a3 – b3)

n | (a4 – b4), n | (a5 – b5), n | (a6 – b6), ..., n | (an – bn)

Karena:

n | (a – b) ⟶ n | pn-1 (a – b)

n | (a2 – b2) ⟶ n | pn-2 (a2 – b2)

n | (a3 – b3) ⟶ n | pn-3 (a3 – b3)

.

.

.

n | (an – bn) ⟶ n | p0 (an – bn)

Jadi: n | {p0 (an – bn) + p1 (an-1 – bn-1) + ... + pn-2 (a2 – b2) + pn-1 (a – b)}

atau n | {f(a) – f(b)} ⟶ f(a) ≡ f(b) (mod n)

Contoh:

7

1. f(x) = x2 - 3x +¿ 5

5 ≡ -3(mod n) sebab 2 | {5 - (-3)} atau 2 | (5+3) atau 2 | 8

f(5) = 52 – 3.5 + 5 = 15

f(5) – f(-3) = 15 – 15 = -8

2 | -8 ⟶ 2 | {f(5) – f(-3)} ⟶ f(5) ≡ f(-3)(mod 2)

2. g(x) = 2x – x2 + 4x + 1

-2 ≡ 1 (mod 3) sebab 3 | (-2 – 1) atau 3 | -3

g(-2) = 2(-2)3 – (-2)2 + 1 = -27

g(1) = 2(1)3 – (1)2 + 1 = 6

g(-2) – g(1) = -27 – 6 = -33

3 | -33 ⟶ 3 | {g(-2) – g (1)} ⟶ g(-2)≡ g(1)(mod 3)

Teorema 1.2.3

Ditentukan a, b, x, y ∈ Z, dengan m > 0 maka:

1) ax ≡ ay (mod n) ⟺ x ≡ y (mod n

(a ,n))

Contoh:Karena (4,6) = 2 maka 6x ≡ 6y (mod 4) dapat dinyatakan sebagai:

x ≡ y (mod 4(4,6)) ⟺ x ≡ y (mod 2)

2) ax ≡ ay (mod n) dan (a,n) = 1 ⟺ x ≡ y (mod n)

Contoh:

42 ≡ 14 (mod 2) maka 2 | 42 – 14Karena 42 = 7.6 dan 14 = 7.2 dan 42 ≡ 14 (mod 2) maka 7.6 ≡ 7.2 (mod 2), sehingga:6 ≡ 2 (mod 2)

3) x ≡ y (mod n1) dan x ≡ y (mod n2) ⟺ x ≡ y ( mod [n1, n2] )

Contoh:

Jika 2x ≡ 2y (mod 5) maka x ≡ y (mod 5)Jika 4x ≡ 4y (mod 6) maka x ≡ y (mod 3)

8

Definisi 1.2.4

Jika x ≡ y (mod n), maka y disebut residu dari x modulo n

Definisi 1.2.5

Suatu sistem {x1, x2, x3, …, xn} disebut sistem residu yang lengkap modulo n jika dan hanya

jika untuk setiap y (0 ≤ [y] < n) ada satu dan hanya satu xi (1 ≤ i < n) sehingga y ≡ xi (mod n)

atau xi ≡ y (mod n).

Contoh:

{6, 7, 8, 9, 10} adalah suatu sistem residu yang lengkap modulo 5, karena untuk setiap y (0 ≤

[y] < 5) ada satu dan hanya satu xi ∈ {6, 7, 8, 9, 10}, sehingga :

10 ≡ 0 (mod 5); 9 ≡ 4 (mod 5); 8 ≡ 3 (mod 5); 7 ≡ 2 (mod 5); dan 6 ≡ 1 (mod 5).

Misal diberikan kongruensi 5 ¿ 2 (mod 3).

Bilangan-bilangan bulat yang bersisa 2 jika dibagi 3 adalah

2, (2 ± 3), (2 ±2.3), (2 ±3.3), (2 ±4.3), ...... , (2 ± (m-1).3),

= 2, 5, 8, 11, 14, ....

= ....., -10, -7, -4, -1, 2, .....

Himpunan bilangan:

{ ...., -10, -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, ..... }

disebut sebagai himpunan residu (kongruen) 2 modulo 3 yang dilambangkan dengan [ 2 ],

sehingga:

[ 2 ] = { ...., -10, -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, ..... }

Untuk modulo 3 terdapat tiga himpunan residu, yaitu:

[ 0 ] = { ...., -12, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, .... }

9

[ 1 ] = { ...., -11, -8, -5, -2, 1, 4, 7, 8 , ..... }

[ 2 ] = { ...., -10, -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, ..... }

Ketiga himpunan residu modulo 3 membentuk suatu klas residu modulo 3 yaitu

{ [ 0 ], [ 1 ], [ 2 ] }

Dengan demikian untuk sebarang n ∈ Z dan n > 0, terdapat (n-1) himpunan residu modulo m

dan kelas residu modulo m yang mempunyai (n-1) anggota, yaitu:

{ [ 0 ], [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ], ..... , [ n-1 ] }

Dengan demikian untuk sebarang x,r ∈ Z dan 0 ¿ r < n, maka nilai-nilai x yang memenuhi

hubungan x ≡ r (mod n) membentuk barisan aritmatika sebagai berikut:

....., r-4n, 2-3n, r-2n, 2-n, r, r+n, r+2n, r+3n, .....

Teorema 1.2.6

Jika x ≡ y (mod n), maka (x,n) = (y,n)

Bukti: Karena x ≡ y (mod n) berarti n│(x - y)

Berdasarkan teorema sebelumnya dalam keterbagian, sehingga:

{(x,n)│n dan n│(x – y)}⟶ (x,n)│(x – y)

{(x,n)│x dan (x,n)│(x – y)}⟶ (x,n)│y.

{(x,n)│n dan (x,m)│y}⟶ (x,n) adalah pembagi persekutuan n dan y.

⟶ (x,n)│(y,n).

Dengan jalan yang sama dapat ditunjukkan bahwa:

(y,n) | (x,n)

10

{(x,n) | (y,n), (y,n) | (x,n), (x,n) > 0, dan (y,n) > 0} ⟶ (x,n) = (y,n)

1.3 Sistem Residu Tereduksi Modulo nDefinisi 1.3Suatu himpunan bilangan bulat {x1, x2, …, xk) disebut suatu sistem residu tereduksi modulo n

jika dan hanya jika:

1. (x1, n) = 1 untuk setiap 1 ≤ i < k.

2. xi≡ yj (mod n) untuk setiap i ≠ j, dengan 1 ≤ i < k dan 1 ≤ j < k.

3. Jika (y, n) = 1 maka y ≡ xi (mod n) untuk i = 1, 2, …, k dan (0 ≤ [y] < n).

Contoh:

{1, 5} adalah suatu sistem residu tereduksi modulo 6, karena

a. (1, 6) = 1 dan (5, 6) = 1

b. 5 ≡ 1 (mod 6);

c. (7, 6) = 1 maka 7 ≡ 1 (mod 6)

(11, 6) = 1 maka 11 ≡ 1 (mod 6)

(13, 6) = 1 maka 13 ≡ 1 (mod 6)

Sistem residu tereduksi modulo n dapat diperoleh dari sistem residu lengkap modulo n

dengan mengambil atau membuang unsur-unsurnya yang tidak relative prima dengan n.

Misalkan {- 14, - 3, 17, 44, 91} adalah sistem residu yang lengkap modulo 6. Unsur-unsur

sistem residu yang lengkap modulo 6 yang tidak relative prima dengan 6 adalah – 3, -14, dan

44. Karena (- 3, 6) = 3 ≠ 1, (- 14, 6) = 2 ≠ 1, dan (44, 6) = 2 ≠ 1. Unsur-unsur yang tidak

relative prima dengan 6 dibuang atau dikeluarkan, maka diperoleh 17 dan 91 sehingga {17,

91} merupakan sistem residu tereduksi modulo 6.

Berdasarkan contoh di atas, jelaslah bahwa suatu sistem residu tereduksi modulo m

dapat diperoleh dengan cara menghapus beberapa anggota sistem residu lengkap modulo m

yang tidak relatip prima dengan m. Selanjutnya dapat diperhatikan bahwa semua sistem

residu tereduksi modulo m akan mempunyai banyak anggota yang sama, yaitu suatu bilangan

yang biasanya disimbulkan dengan fungsi θ -Euler.

1.4 Fungsi Euler

Definisi 1.4

11

Ditentukan n ∈ Z. Fungsi ϕ Euler dari n adalah banyaknya residu di dalam sistem residu

tereduksi modulo n dan dinyatakan dengan ϕ(n).

Contoh:

ϕ (2) = 1 (yaitu bilangan 1)

ϕ (3) = 2 (yaitu bilangan 1 dan 2)

ϕ (4) = 2 (yaitu bilangan 1 dan 3)

ϕ (5) = 5 (yaitu bilangan 1, 2, 3, dan 4)

ϕ (p) = p – 1 (untuk sebarang bilangan prima p)

Perhatikan bahwa himpunan {1, 2, 3, 4} adalah suatu sistem residu tereduksi modulo

5. Jika unsur-unsur {1, 2, 3, 4} dikalikan dengan sebarang bilangan relative prima dengan 5,

misalnya 3 dan 4 maka {3, 6, 9, 12} dan {6, 12, 18, 24}. Masing-masing himpunan itu adalah

suatu sistem residu tereduksi modulo 5. Misalkan A = {3, 6, 9, 12} maka 6 ≡ 1 (mod 5); 9 ≡

4 (mod 5); dan 12 ≡ 2 (mod 5). Ini berarti untuk setiap xi ∈ A, xi ≡ y (mod 5), dengan y = 1,

2, 3, 4. Karena (3, 5) = 1; (6, 5) = 1; (9, 5) = 1; dan (12, 5) = 1, maka (x i, 5) = 1, ∀ xi∈ A.

Dan 3 ≡ 6 (mod 5); 3 ≡ 9 (mod 5); 6 ≡ 9 (mod 5); dan 3 ≡ 12 (mod 5). Sehingga xi≡ yj (mod

n) untuk setiap i ≠ j, (i = 1, 2, 3, 4 dan j = 1, 2, 3, 4). Dengan demikian A = {3, 6, 9, 12}

adalah suatu sistem residu tereduksi modulo 5.

Teorema 1.4.1 (Dalil Euler)

Jika (a,n) = 1, maka aθ (n) ¿ 1 (mod n)

Tentukan 0 ¿ x < 5 sedemikiam sehingga 9101 ¿ x (mod 5)

Jawab. Untuk m = 5, maka θ (5) = 4 sehingga

94 ¿ x (mod 5) ¿ 1 (mod 5)

9101 = 9100.9 1¿ (94)25.9 (mod 5)¿ 9 (mod 5)¿ 4 (mod 5)

diperoleh x = 4.

1.5 Kongruensi Linear

Definisi 1.5

Kongruensi linear ax ≡ b (mod n), dengan a, b, n ∈ Z, a ≠ 0 dan n > 0 disebut kongruensi

linear.

12

Contoh:

Kongruensi linear 7x ≡ 3 (mod 12) mempunyai selesaian yaitu x = 9 + 12r, untuk r ∈ Z,

karena 7.9 = 63 ≡ 3 (mod 12) dan x = 9 adalah satu dan hanya satu harga sistem residu

lengkap modulo 12, yaitu: {0, 1, …, 11} yang memenuhi 7x ≡ 3 (mod 12).

Teorema 1.5.1

Jika (a, n) ≡ 1 maka kongruensi linear ax ≡ b (mod n) memiliki selesaian yaitu x = b .aϕ (n )−1

Contoh:

Selesaikan bahwa 7x ≡ 5 (mod 24)

Jawab:

Karena (7, 24) = 1, maka 7x ≡ 5 (mod 24) mempunyai selesaian adalah x ≡5.7ϕ (24 )−1 (mod

24), karena ϕ(24) = 8, maka dapat diperoleh bahwa:

x ≡5.78−1 (mod 24) ⟺ x ≡5.77 (mod 24)

⟺ x ≡ 5.(72)3.7 (mod 24)

⟺ x ≡ 5.13.7 (mod 24), karena 72≡ 1 (mod 24)

⟺ x ≡ 35 (mod 24)

⟺ x ≡ 11 (mod 24)

Teorema 1.5.2

Jika (a, n) = d maka kongruensi linear ax ≡ b (mod n) memiliki selesaian maka d | b. jika d | b

maka kongruensi linear ax ≡ b (mod n) mempunyai d selesaian.

Contoh:

1. Selesaikan bahwa 3x ≡ 5 (mod 6).

Jawab:

(3, 6) = 3 = d, karena 3 | 5 maka 3x ≡ 5 (mod 6) tidak ada selesaian.

2. Selesaikan bahwa 3x ≡ 2 (mod 5).

Jawab:

(3, 1) = 1 = d, karena 1 | 2 maka 3x ≡ 2 (mod 5) mempunyai satu selesaian yaitu : x ≡ 4

(mod 5).

13

3. Selesaikan bahwa 6x ≡ 4 (mod 8).

Jawab:

(6, 8) = 2 = d, karena 2 | 4 maka 6x ≡ 4 (mod 8) mempunyai dua selesaian yaitu : x ≡ 2

(mod 8) dan x ≡ 6 (mod 8).

1.6 Kongruensi Kuadratis

Kongruensi kuadratis memiliki bentuk umum:

ax2 + bx + c ≡ 0 (mod n), dengan n ≠ 0, n adalah bilangan prima ganjil, dan (a, n) = 1. Karena

(a, n), maka kongruensi linear at ≡ 1 (mod n), mempunyai satu selesaian, karena (a, n) = 1.

Ini berarti a mempunyai invers perkalian t modulo n sehingga at ≡ 1 (mod n).

ax2 + bx + c ≡ 0 (mod n)

tax2 + tbx + tc ≡ 0 (mod n)

1.x2 + tbx + tc ≡ 0 (mod n)

x2 + tbx + tc ≡ 0 (mod n)

dengan mengambil p = tb dan q = tc, maka x2 + tbx + tc ≡ 0 (mod n) dapat dinyatakan

menjadi x2 + px + q ≡ 0 (mod n)

Contoh:

1. Selesaikan 4x2 – 9x + 5 ≡ 0 (mod 17)

Jawab:

4x2 – 9x + 5 ≡ 0 (mod 17)

4.13x2 – 9.13x + 5.13 ≡ 0 (mod 17) (karena 13 invers perkalian dari 4)

52x2 – 117x + 65 ≡ 0 (mod 17)

x2 + 2x + 14 ≡ 0 (mod 17).

Karena 2 ialah invers perkalian dari 9, karena 2.9 = 18 ≡ 0 (mod 17), maka kongruensi

diubah menjadi

x2 + 2.1x + (2.9)2 – (2.9)2 + 14 ≡ 0 (mod 17).

x2 + 2.(2.9)x + (2.9)2 – (2.9)2 + 14 ≡ 0 (mod 17).

x2 + 2.18x + (18)2 - (18)2 + 14 ≡ 0 (mod 17).

(x + 18)2≡ [(18)2 – 14] (mod 17).

(x + 1)2≡ (12 – 14) (mod 17).

(x + 1)2≡ - 13 (mod 17).

14

(x + 1)2≡ 4 (mod 17)

(x + 1) ≡ 2 (mod 17) ⟺ x ≡ 1 (mod 17)

(x + 1) ≡ -2 (mod 17) ≡ 15 (mod 17) ⟺ x ≡ 14 (mod 17)

15

16