Persamaan Gelombang Seismik

Kelompok 3

Oleh

Ahmad Gifari. A (1215051003)Agus Priyono (1215051002)

Dimas Putra Suendra (1215051018)Dimas Triyono (1215051019)Restilla Valeria (1215051046)

Gelombang Seismik

Gelombang Seismik merupakan rambatan energi yang disebabkan karena adanya gangguan di dalam kerak bumi, misalnya adanya patahan atau sesar. Energi ini akan merambat ke seluruh bagian bumi dan dapat terekam olehseismometer.Gelombang seismik dibedakan menjadi dua, yaitu :1.   Gelombang Badan (Body Wave)2.   Gelombang Permukaan (Surface Wave)

1.   Gelombang Badan (Body Wave)

Gelombang yang merambat melalui bagian dalam bumi. Gelombang badan merupakan gelombang yang tiba sebelum gelombang permukaan yang dipancarkan oleh gempa bumi. Gelombang inimemiliki frekuensi yang lebih tinggi daripada gelombang permukaan.Gelombang badan dibedakan menjadi dua, yaitu :• Gelombang P (Primer wave)• Gelombang S (Sekunder wave)

Gelombang P (Primer wave)

Gelombang P merupakan gelombang longitudinal, dimana arah pergerakan partikel akan searah dengan arah rambat gelombang.

Kecepatan gelombang P dapat mencapai 4-6 km per detik, tergantung dari sifat batuan yang dilaluinya. Gelombang ini adalah gelombang yang pertama kali tiba di sebuah stasiun seismik.

Gelombang S (Sekunder wave)

Gelombang S merupakan gelombang transversal, dimana arah pergerakan pertikel akan tegak lurus dengan arah rambat gelombang.

Kecepatan gelombang S ini mencapai 3-4 km per detik. Gelombang ini lebih lambat dibandingkan dengan gelombang P dan hanya mampu bergerak melalui batuan padat, serta tidak bisa melewati media cair.

2.   Gelombang Permukaan (Surface Wave)

Gelombang yang rambatannya hanya melalui kerak bumi.Gelombang ini memiliki frekuensi yang lebih rendah dibandingkan dengan gelombang badan. Gelombang permukaan dibedakan menjadi dua, yaitu :• Gelombang Love• Gelombang Reyleigh

Gelombang Love

Gelombang Love adalah gelombang geser (S wave) yang terpolarisasi secara horizontal dan tidak menghasilkan perpindahan vertikal. Gelombang love terbentuk karena interferensi konstruktif dari pantulan –pantulan gelombang seismik pada permukaan bebas. Gelombang ini merambat dengan kecepatan 2 3/4 km/s. Pergerakan partikel gelombang love sejajar dengan permukaan tetapi tegak lurus dengan arah rambatnya. Gelombang love lebih cepat daripada gelombang Rayleigh dan lebih dulu sampai pada seismograph.

Gelombang Reyleigh

Gelombang Rayleigh adalah gelombang yang lintasan gerak partikelnya menyerupai ellips. Dihasilkan oleh gelombang datang P dan gelombang S yang berinteraksi pada permukaan bebas dan merambat sejajar dengan permukaan tersebut. Gerakan partikelnya ke belakang (bawah maju atas mundur) dan gelombang ini menjalar melalui permukaan media yang homogen. Gelombang Rayleigh merambat dengan kecepatan sekitar 2 1/4 mil sehingga menimbulkan efek gerakan tanah yang sirkuler dan hasilnya tanah akan bergerak naik turun seperti ombak di laut.

I. Persamaan Momentum

Pada bab sebelumnya (stress and strain) serta perpindahan medan-medan arah berada dalam keseimbangan statis dan tidak berubah terhadap waktu. Meskipun begitu, karena gelombang seismik adalah fenomena yang bergantung pada waktu serta dipengaruhi oleh kecepatan dan percepatan yang kita butuhkan untuk menghitung efektivitas momentum. Dalam hal ini kita menggunakannya bersamaan hukum Newton (F= m.a)

Berdasarkan gaya-gaya yang bekerja pada sistem kubus koordinat yang memiliki nilai (X1, X2, X 3) dari gaya tersebut dapat dihitung secara integral dan diferensial. “Gaya yang ada di setiap permukaan kubus memberikan hasil dari nilai fraksi vektor dan hasil luar permukaannya”. Sebagai contoh, gaya yang ada di bidang normal pada X1, kita dapat memperoleh :

di mana F adalah vektor gaya, t adalah vektor traksi, dan τ adalah stres tensor. Pada lapisan homogen gaya total pada kubus tidak menerima gaya yang berlawanan arah, maka F(-x1 ) = -F (x1).

Gaya total hanya digunakan apabila gradien spasial terjadi pada medan stress. Pada hal ini, gaya total dan bidang normal X1 adalah:

gaya pada (X2, X 3) diintegral kan terhadap arah gaya yang ada di depannya sehingga menghasilkan , hasil dari fraksi vektor dan luas permukaan.

Dan kita dapat menggunakan cara penyusunan dan penjumlahan untuk menunjukkan gaya total sebagai medan stress, yaitu:

....... (3.3)

Dalam hal ini, kemungkinan ada gaya keseluruhan permukaan pada kubus berbanding dengan volume nya, maka :

...... (3.4)

Massa dari hasil diferensial memperoleh rumus yaitu :

....... (3.5)

Dengan mensubtitusi persamaan (3.3) dan persamaan (3.5) ke hukum Newton F= m.a dan menghilagkan dx1, dx2, dx3, maka kita akan memperoleh :

...... (3.6)

Rumus ini adalah rumus asas persamaan seismologi yang dinamakan rumus “persamaan momentum”

Gaya total terdiri dari pengaruh gravitasi dan pengaruh sumber gaya. Dan dalam hal ini gravitasi adalah faktor terpenting pada frekuensi sangat rendah di metode seismologi.

Adapun persamaan gaya pada lapisan homogen, yakni:

Dimana gelombang seismik menentukan perambatan keluar dari daerah sumber yang menghasilkan solusi untuk pemodelan bola dunia, memprediksi pergerakan bawah permukaan di lokasi tertentu juga pada jarak tertentu dari sumber yang disebut dengan seismogram sintesis.

II. Persamaan Gelombang seismik

Pada penyeesaian persaman 3.7,dibutuhkan hubungan antara stress dan strain, jadi dapat menghasilkan τ terhadap peubahan /perpindahan u. Garis panjang,sifat isotropik,hubungan stress dan strain

Dimana λ dan μ adalah parameter lame dari strain tensor yang di jabarkan sebagai

Mensubstitusi ke eij pada persamaan 3.9, diperoleh:

Persamaan 3.2 dan 3.10 berhubungan dengan persamaan perpindahan dan persamaan stress.Persamaan ini sering digunakan secara langsung untuk pemodelan perambatan gelombang pada perhitungan komputasi dengan penerapan teknik diferensial. Metode ini stress (tekanan) dan perpindahan dihitung berdasarkan rangkaian titik-titik pada pemodelan dan spasial diturunkan mendekati nilai turunannya. Keuntungan terbesar dari pembatasan penurunan adalah supaya lebih mudah dan mampu untuk pemodelan bumi secara lebih kompleks. Bagamanapun,persamaan-persamaan tersebut terlalu sulit untuk dihitung dan tidak semestinya fisika mempelajari perbedaan karakter jenis-jenis geombang.

Jika kita substitusikan persamaan (3.10) ke (3.7) diperoleh

Bahwa dapat kita lakukan notasi vektornya

Sekarang kita gunakan vektor identitas

Untuk mengubah rumus menjadi lebih baik, maka dijadikan

Lalu mensubstitusikannya ke rumus persamaan (3.12),maka diperoleh

Ini adalah salah satu bentuk persamaan gelombang seismik. Bagian sebelah kanan termasuk gradien dalam parameter lame dan bernilai tidak sama dengan 0 (nol) ketika material yang dilalui gelombang tidak homogen. Sebagian besar pemodelan bumi yang sederhana menggunakan perhitungan seismogram sintetik termasuk gradien. Bagaimana pun juga “faktor gradien pada persamaan ini sangat kompleks dan sulit untuk diselesaikan secara tuntas” Dengan demikian, pada saat mempraktekan metode seismogram sintetik menghilangkan teori ini, dan menggunakan 1 ataupun 2 penurunan rumus yang hampir mendekati.

Metode seismogram sintetik Pertama

jika kecepatan hanya bekerja di kedalaman tertentu,kemudian dapat dijadikan pemodelan janis lapisan yang homogen, dengan masing-masing lapisan tidak bergeadien berdasarkan parameter lame, mka kondisi ini menuju nilai sama dengan 0 (nol) Solusi yang lainnya, dengan dihubungkannya masing-masing lapisan dengan memperhitungkan koefisien pantulan dan koefisien transisi padagelombang dikedua bagian yang memisahkan lapisan satu dengan lapisan yang lainnya. 

Hasil dari penurunan gradien kecepatan dapat dijadikan contoh berdasarkan model pondasi (lapisan terbawah) dengan banyaknya lapisan tipis. Semakin meningkatnya jumlah lapisan-lapsan, maka dapat ditunjukkan tinggi lapisan tersebut (semakin bnyak lapisan yg dibutuhkan pada frekuensi tinggi).pendekatan ini berbasis untuk banyak teknik komputer dalam memprediksi pergerakan seismik dari model bumi satu dimensi. Kondisi ini ialah motede lapisan homogen. Secara keseluruhan penjabaran tersebut berguna untuk mempelajari penyebaran gelombang dari rendah menuju gelombang frekuensi yang sedang. Frekuensi yang tinggi relatif tidak efisien karena angka ketelitian yang besar dari lapisan sehingga menyebabkan ketidak akuratan pemodelan.

Kedua

dapat dilihat dari kekuatan/besarnya nilai gradien (1/ω) dimana ω adalah frekuensi, dan saat frekuensi tinggi akan bernilai nol.penafsiran ini dibuat berdasarkan metode teori sinar, dimana penjelasannya bahwa frekuensi yang cukup tinggi itu 1/ ω ialah bernilai tidak penting. Maka itu, penafsiran frekuensi ini akan berhenti jika gradien kecepatan menjadi bernilai cukup tinggi. ketidak samaan kecepatan antara daerah dangkal tidak bisa ditaksir secara langsung, akan tetapi ketidak selarasann dapat ditambah bersamaan dengan nilai panduan dan koefisien perpindahan. Perbedaan antara lapisan homogen dan pendekatan teori sinar sangatlah penting. Jika kita menghilangkan gradien, persamaan momentum untukk menentukan media homogen menjadi

Rumus tersebut adalah bentuk dasar dari persamaan gelombang seismik spada media yang bersifat homogen dan bentuk dasar ini banyak digunakan pada metoda seismogram gelombang sintetik. Dengan begitu penjelasan tersebut mengabaikan gradien gravitasi dan kecepatan yang dihubungkan dengan garis lurus pada pemodelan bumi isotropik. Persamaan tersebut digunakan untuk mencari geolombang p dan gelombang s. rumus (3.16) dengan menggunakan identitas vektor ∇ . (∇ x ψ)= 0 , diperoleh rumus :

Atau :

Dimana kecepatan gelombang primer (α) diperoleh dari :

Dari persamaan (3.16) dan mensubtitusikan idntitas vektor, maka diperoleh:

Bila di subtitusikan dengan persamaan (3.13) rumus di atas akan menjadi:

Atau :

Dimana kecepatan gelombang sekunder (ß) diperoleh dari rumus :

Dari persamaan (3.19) dan (3.23) maka kita dapat tulis kembali persamaan gelombang elastis pada persamaan (3.16) terhadap kecepatan gelombang p dan s :

Potensial

Perpindahan vektor berhubungan dengan potensial skalar gelombang primer (Ø) dan potensial vektor gelombang sekunder (ψ), dan dihubungkan dengan teorema Helmholtz :

Kemudian kita akan mendapat :

Dan :

Dan diperoleh persamaan hasil dari 3.18 dan 3.22, yaitu :

Untuk mencari nilai gelomban g p di peroleh dari persamaan gelombang skalar Ø dan untuk mencari gelombang s diperoleh dari persamaan gelombang vektor ψ

Gelombang Bidang

Persamaan gelombang bidang ini di pengaruhi oleh perpindahan arah perambatan gelombang yang arah ortogonalnyamenuju arah perambatannya yang bernilai konstan, sebagai contoh, gelombang bidang merambat sepanjang garis x, diperoleh rumus :

 Berdasarkan sumber gelombang menjadi cukup datar bahwa sebuah gelombang datar perkiraan menjadi berlaku secara lokal. Selain itu, banyak teknik untuk pemecahan persamaan gelombang seismik menyebabkan cepatnya menyelesaikan masalah sebagai suatu jumlah gelombang datar dari sudut perambatan yang berbeda. Sering ketergantungannya waktu adalah dari hilangnya persamaan oleh berubahnya wilayah frekuensi. Di dalam hal ini pemindahan untuk sebuah frekuensi sudut tertentu w dapat dinyatakan di

polarisasi od p and s waves

Mempertimbangkan gelombang P datar menyebarkan di arah x. Dari (3.28) kita punya :

Solusi umum dari rumus di atas dapat ditulis

Dimana sebuah tanda minus sesuai dengan perambatan di +x arah dan sebuah tanda jumlah menandakan pereambtan di –x arah. Karena , maka

Gerakan partikel untuk menyelaraskan gelombang p di jelaskan di angka 3.2.Sekarang mempertimbangkan sebuah gelombang s datar menyebarkan di positive arah x. Potensial vector menjadi

Gerak arah dalam y dan z, tegak lurus terhadap arah propagasi. Partikel gelombang s sering dibagi menjadi dua komponen : gerak dalam bidang pertikal melalui vektor propagasi (gelombang sv) dan gerakan horisontal dalah arah tegak lurus terhadap bidang ini (gelombang sh). grak adalah geser murni tanpa perubahan volume (maka ddinamakan gelombang geser). Gerak partikel untuk gelombang geser harmonik terpolarisasi dalam arah vertikal (gelombang sw) diilustrasikan pada gambar 3.2.

gelombang bulat

Solusi lain untuk persamaan gelombang skalar (3.28) untuk poteensial gelombang p φ adalah mungkin jika kita asumsikan simetri bola. Laplacian operator adalah

Dimana kita telah menurunkan turunan sudut karena simetri bola. Menggunakan ungkapan ini dalam (3.28), kita memiliki

Solusi untuk persamaan ini luar titik r = 0 dapat dinyatakan

Dikatakan bahwa ini identik dengan persamaan gelombang bidang (3.30), kecuali untuk faktor dari 1/r. Penyebaran gelombang ke dalam dan keluar ditentukan oleh + dan – tanda masing-masing. Karena pernyataaan ini biasanya digunakan untuk model gelombang memancar jauh dari sumber titik. Solusi propagasi dalam biasanya diabaikan. Dalam hal ini istilah 1/r merupakan kekurangan pada pada amplitudo gelombang dengan jangkauan. Faktor penyebaran geometris yang akan kita cari lebih lanjut dalam bab 6.

Persamaan (3.43) bukan solusi yang dibenarkan untuk (3.42) di r=0. Namun dapat ditunjukan (e.g. akin dan richards, 4.1) bahwa (3.43) adalah solusi untuk persamaan gelombang homogen.

Kita akan kembali ke persamaan ini ketikankita membahas sumber gempa dalam bab 9.

Terima kasih