SKRIPSI

KETIDAK-KOMPLITAN GEODESIK SEBAGAI INDIKATOR

SINGULARITAS RUANG - WAKTU

Romy Hanang Setya Budhi

99/128946/PA/07864

Departemen Pendidikan Nasional

Universitas Gadjah Mada

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamYogyakarta

2005

SKRIPSI

KETIDAK-KOMPLITAN GEODESIK SEBAGAI INDIKATOR

SINGULARITAS RUANG - WAKTU

Romy Hanang Setya Budhi

99/128946/PA/07864

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh

derajat Sarjana S1 Program Studi Fisika pada Jurusan Fisika

Departemen Pendidikan Nasional

Universitas Gadjah Mada

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamYogyakarta

2005

SKRIPSI

KETIDAK-KOMPLITAN GEODESIK SEBAGAI INDIKATORSINGULARITAS RUANG - WAKTU

Romy Hanang Setya Budhi

99/128946/PA/07864

Dinyatakan lulus ujian skripsi oleh tim penguji

pada tanggal 11 Juli 2005

Tim Penguji

Dr.rer.nat. M. Farchani Rosyid Dr. H. Karyono, SU.

Pembimbing I Penguji I

Dr. Mirza Satriawan

Penguji II

Karya ini kupersembahkan

buat Robb-ku tercinta

yang menjanjikan kejayaan bagi orang - orang yang berjalan di

jalannya.

Juga kepada ’para sahabatku’

yang telah terbang di seberang jalan.

Hari ini kuturut langkah kalian, tapi suatu saat kelak akan kuretas

jalan baru yang lebih baik dari sekarang.

iii

(Al Quran) ini adalah penerang bagi seluruh manusia dan petunjuk serta

pelajaran bagi orang - orang yang bertakwa. Janganlah kamu bersikap lemah dan

janganlah (pula) kamu bersedih hati, padahal kamulah orang - orang yang paling

tinggi (derajatnya) jika kamu orang - orang yang beriman.

(Ali Imran : 138 - 139)

Hai orang - orang yang beriman, jika datang kepadamu orang fasik yang

membawa berita, maka periksalah dengan teliti agar kamu tidak menimpakan suatu

musibah pada suatu kaum tanpa mengetahui keadaannya yang menyebabkan kamu

menyesal atas perbuatan itu.

(Al-Hujurat : 6)

iv

PRAKATA

Segala puji bagi Allah robb sekalian alam yang tiada ilah selain-Nya, yang

menciptakan dan mengatur segala sesuatu sesuai dengan kehendak-Nya. Dia lah yang

menganugerahkan nikmat akal kepada manusia agar dengannya digunakan sebagai

penimbang. Juga semoga kesejahteraan dan keselamatan terlimpah kepada hamba

dan Rasul-Nya yaitu Rasullullah SAW dan keluarganya, beserta sahabat dan orang-

orang yang mengikuti Beliau sampai akhir jaman.

Penulis patut bersyukur kepada Allahta’ala, karena hanya atas kehendak-

Nya saja tulisan ini dapat diselesaikan. Juga atas bantuan berbagai pihak yang telah

memberikan dukungan kepada kami, tidak lupa penulis mengucapkan terima kasih

yang sedalam-dalamnya. Ucapan terima kasih ini kami tujukan kepada:

1. Ayah dan Ibu tercinta, yang selalu memberikan kepercayaan penuh dan selalu

mendukung setiap langkah kami.

2. Dr. rer. nat. M. Farchani Rosyid, yang telah dengan sabar membimbing kami

sedari awal. Membukakan wacana - wacana baru dan memulihkan warna dasar

yang hampir hilang pada diri kami dan memberikan ruang seluas - luasnya

untuk mengekspresikan diri.

3. Dra, Dwi Satya Palupi, M.Si, yang telah banyak memberikan dorongan moril

kepada kami terutama pada awal - awal penulisan.

4. Semua staf program studi fisika yang telah membimbing selama masa perkuli-

ahan.

5. Teman-teman kami fisika angkatan 1999 dan teman-teman diskusi pada kelas-

kelas teori dan kelas matematik yang telah berkenan berbagi pustaka dan men–

diskusikan banyak hal dengan kami.

v

vi

6. Dan semua pihak yang belum disebutkan di atas tetapi telah terlibat dalam pro–

ses penulisan ini.

Akhirnya, penulis berharap agar tulisan ini dapat menyumbangkan sesuatu

pada dunia fisika teori. Penulis menyadari bahwa tidak ada manusia yang lepas dari

kealpaan, oleh karena itu kami mohon maaf atas kesalahan yang ada dalam tulisan

ini.

Yogyakarta, 4 Juli 2005

Penulis

DAFTAR ISI

Halaman Judul i

Halaman Pengesahan ii

Halaman Persembahan iii

Halaman Motto iv

PRAKATA v

INTISARI xi

I PENDAHULUAN 1

1. Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Tujuan Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3. Ruang Lingkup Kajian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II ANALISIS PADA MANIFOLD LICIN 4

1. Manifold Licin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Vektor Singgung, Kovektor dan Tensor Pada Manifold . . . . . . . . 8

3. Kongruensi dan Derivatif Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4. Koneksi dan Kelengkungan Pada Manifold . . . . . . . . . . . . . . . 24

5. Manifold Pseudo-Riemannan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6. Submanifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7. Teorema Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

8. Integrasi Pada Manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

vii

viii

III TEORI RELATIVITAS UMUM 48

1. Manifold Ruang-Waktu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2. Medan - Medan Materi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3. Syarat Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4. Sedikit Tentang Singularitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5. Contoh Singularitas Pada Beberapa Solusi Medan Einstein . . . . . . 54

a. Ruang Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

b. Ruang Robertson - Walker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6. Singularitas: Pendefinisian dan Pemecahannya . . . . . . . . . . . . 61

IV SIGNIFIKANSI KELENGKUNGAN 64

1. Variasi Geodesik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2. Titik - Titik Berkonjugasi Pada geodesik . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3. Titik Fokal Submanifold Sepanjang Geodesik . . . . . . . . . . . . . 80

4. Variasi Fungsional Panjang dan Energi Kurva . . . . . . . . . . . . . 86

5. Titik Konjugasi Pada Geodesik Komplit . . . . . . . . . . . . . . . . 99

V STRUKTUR KAUSAL PADA RUANG-WAKTU 107

1. Orientabilitas Waktu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2. Kondisi - Kondisi Kausalitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3. Wilayah Kegayutan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4. Sifat Kausalitas Stabil Pada Ruang waktu Yang Hiperbolis Global . . 128

5. Eksistensi Geodesik Pada Ruang-waktu yang Kausal . . . . . . . . . 132

VI SINGULARITAS RUANG - WAKTU 136

VIIPENUTUP 147

1. Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

ix

2. Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

A RUANG TOPOLOGIS 156

1. Identifikasi Topologi dan Pemetaan Kontinyu . . . . . . . . . . . . . 156

2. Interior, Klosure dan Bounderi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

3. Ruang Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

4. Ketersambungan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5. Kekompakan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

DAFTAR GAMBAR

II.1 (Uα, φα) dan(Uβ, φβ) salingC∞ - rukun apabilaφα φ−1β dan

φβ φ−1α masing - masing merupakan pemetaan licin. . . . . . . . . . 6

III.1 Perluasan Kruskal untuk ruang-waktu Schwarzschild . . . . . . . . . 57

IV.1 Lingkaran besar (great circle) atau lingkaran yang melalui kutub -

kutub permukaan bolaS2 merupakan geodesik. Geodesik - geodesik

yang berasal dari suatu titik akan bertemu kembali pada kutub yang

berlawanan dengannya. Oleh karena itu, kutub-kutubS2 merupakan

dua titik yang saling berkonjugasi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

IV.2 Titik γ(b) menjadi titik fokal dari submanifoldΣ di bawah medan

variasiξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

V.1 Sifat Lipschitzan setiap kurva kausal. . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

V.2 Bidang ruang Minkowski(R2,−dx0 ⊗ dx0 + dx1 ⊗ dx1) yang dibatasi

oleh batas-batasx0 = 1 danx0 = 0 dapat mempunyai kurva bak-

waktu tertutup ketika batas - batasnya saling disambung membentuk

ruang-waktuS1 × R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

V.3 D+S danH+(S) dari himpunan akronalS yang mengandung bagian

null dan bagian bak-ruang pada ruang Minkowski yang sebagian daer-

ahnya dibuang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

x

INTISARI

KETIDAK-KOMPLITAN GEODESIK SEBAGAI INDIKATOR

SINGULARITAS RUANG - WAKTU

Oleh :

Romy Hanang Setya Budhi

99/128946/PA/07864

Telah dilakukan kajiansingularitas pada ruang-waktu relativitas umummelalui studi ketidak-komplitan geodesik pada sembarang manifold Lorentzian. Di-tunjukkan bahwa ruang-waktu yang memenuhi syarat energi tertentu, mempunyaistruktur kausalitas global yang realistis secara fisis dan mempunyai subhimpunanyang memenuhi syarat topologis tertentu akan selalu mengijinkan geodesik kausalyang tidak komplit. Kajian singularitas pada manifold Lorentzian berdimensi empatakan menghasilkan singularitas pada ruang-waktu relativitas umum.

xi

xii

ABSTRACT

GEODESICS INCOMPLETENESS AS INDICATION OF THE

SPACETIME SINGULARITY

By

Romy Hanang Setya Budhi

99/128946/PA/07864

The spacetime singularity of general relativity in the general Lorentzianmanifolds has been studied through thegeodesics incompletenessconcept. Everyspacetime which is required to satisfy certain energy condition, having realistic glob-al causality structure and contain subset which is required by certain topological con-dition will admit incomplete causal geodesics. So, the dimension restriction on thefour is just singularity in the general relativity spacetime.

BAB I

PENDAHULUAN

1. Latar Belakang

Dalam upaya menyingkap kaidah yang dianut oleh fenomena - fenomena

alamiah, kalangan fisikawan teori mengajukan berbagai macam model hukum alam

berdasarkan data - data empiris yang telah dimiliki. Sejauh ini dikenal tiga macam

pemodelan yaitu model fisis, model matematis dan model metafisis. Dalam prak-

teknya, model - model matematis lebih operasional sehingga lebih banyak diman-

faatkan dalam sains daripada model lainnya.

Model - model hukum alam sesungguhnya tidak identik dengan hukum alam

sendiri. Model - model tersebut hanyalah merupakan pendekatan (aproksimasi),

oleh karena itu derajat akurasi suatu model sangat berkaitan dengan kedekatannya

terhadap hukum alam yang dimodelkan. Gejala alamiah mempunyai struktur yang

sangat kompleks sehingga sangat sulit menyajikan gambaran fenomena - fenome-

na alamiah secara utuh. Diperlukan proses eleminasi terhadap hal - hal yang tidak

relefan pada fenomena alamiah yang akan dimodelkan. Proses eleminasi tersebut

disebut sebagai prosesidealisasi. Idealisasi suatu gejala alamiah akan menghasilkan

sistem fisis, yaitu gejala alamiah yang telah mengalami pereduksian secara propor-

sional. Selanjutnya yang dimaksud dengan model matematik adalah hasil penafsiran

terhadap suatu sistem fisis secara matematis sebagai proses semantika matematisnya.

Kedekatan suatu model dengan gejala - gejalah alamiah yang diwakili tentu saja sa–

ngat bergantung dengan proses idealisasi yang dilakukan. Makin sedikit hal - hal yang

dieleminasi, semakin akurat model tersebut. Hanya saja hal ini harus dibayar mahal

dengan kompleksitas matematis (Mathematical Complexity) yang lebih abstrak, lebih

1

2

general dan lebih formal.

Relasi yang sangat kuat antara matematika dengan fisika dapat dilihat pada

penggunaan geometri differensial pada relativitas umum, hampir - hampir antara ke-

duanya tidak dapat saling dibedakan. Postulat-postulat dalam fisika dalam pemodelan

dapat dianggap sebagai aksioma - aksioma dalam cabang matematika yang digunakan

sebagai model [Kriele , 2001]. Hanya saja penggunaan geometri differensial dalam

relativitas umum masih terlihat kurang optimal. Seperti dapat dilihat pada buku-buku

teks relativitas yang ditemukan pada perpustakaan - perpustakaan di lingkungan kam-

pus UGM, sebagian besar masih membatasi pada penggunaan geometri differensial

berbasis koordinat atau berbahasa lokal sehingga sering melibatkan diskusi tentang

efek perubahan sistem koordinat pada objek - objek tensor yang sebenarnya hanya

dapat dilakukan pada saat domain antara kedua sistem koordinat saling bersesuaian

yaitu saat jacobian transformasinya tidak lenyap [Isham , 1999]. Oleh karena itu,

seringkali sifat-sifat global suatu model tidak dapat dilihat secara memadai. Untuk

mengantisipasi masalah tersebut, diperlukan pembahasan yang tidak gayut terhadap

sistem koordinat yang dipakai. Geometri diffferensial yang memakai sudut pandang

ini biasa disebut sebagai geometri differensial modern atau analisa global. Analisa

global, sekarang ini mempunyai lapangan aplikasi yang luas. Semisal dalam mekani-

ka klasik, medan Yang - Mills, model sigma nonlinear, teori supersting,quantum

gravitydan sistem medan nonlinear pada teori partikel elementer modern.

Berkaitan dengan masalah singularitas dan eksistensinya dalam teori relati–

vitas umum, Hawking dan Ellis telah mendiskusikannya secara panjang lebar dalam

bukunya: "The large scale structure of space-time". Pengaruh analisa global dalam

buku tersebut terasa sangat kental. Hanya saja, pembatasan pembahasan hanya pa-

da manifold Lorentzian berdimensi empat agak mengurangi selera pada penikmat

matematika. Oleh karena itu, dengan tetap mengikuti ide utama dalam pendefinisian

3

singularitas: ketidak-komplitan geodesik, penulis berusaha menyajikan ulang per-

masalahan singularitas pada manifold Lorentzian berdimensi sembarang yang meme–

nuhi syarat - syarat ruang-waktu relativitas umum.

2. Tujuan Penulisan

Adapun tujuan yang hendak dicapai dalam skripsi ini adalah :

1. Merumuskan model ruang-waktu relativitas umum dalam geometri differensial

global.

2. Mendiskusikan kemungkinan menunjukkan eksistensi singularitas melalui kon-

sep ketidak-komplitan geodesik kausal pada ruang-waktu relativitas umum.

3. Mendiskusikan kemungkinan perluasan topik - topik bahasan ke sembarang

manifold Lorentzian sehingga dengan demikian dapat diterapkan pada bidang

lain yang memakai area matematik yang sama. Memakai sudut pandang ini,

singularitas pada ruang-waktu relativitas umum hanyalah merupakan pemba–

tasan bidang kajian pada manifold lorentzian yang berdimensi empat.

3. Ruang Lingkup Kajian

Kajian skripsi ini dititikberatkan pada aplikasi analisa global dalam memo-

delkan singularitas dalam ruang-waktu. Oleh karenanya bahasa penyampaian yang

digunakan akan lebih banyak menggunakan bahasa formal matematika. Untuk be-

berapa kajian yang sudah terlalu familiar dalam buku -buku teks geometri diffe–

rensial modern, pembuktian - pembuktian akan sesedikit mungkin diberikan. Perlu

ditekankan pula bahwa topik kajian ini adalah ruang-waktu yang masih diasumsikan

kontinyu dan tidak memperhitungkan efek kuantum padanya.

BAB II

ANALISIS PADA MANIFOLD LICIN

Pada bab ini akan dipaparkan fakta - fakta geometri differensial secukupnya

yang diperlukan dalam pembahasan manifold ruang-waktu. Fakta - fakta geometris

ini muncul secara alamiah sebagai akibat bahwa ruang-waktu merupakan manifold

licin. Sebagian besar notasi pada bab ini diambil dari [Kriele , 2001]. Karena topik

- topik ini sangat umum dijumpai pada buku - buku teks geometri differensial maka

bukti - bukti sesedikit mungkin ditampilkan.

1. Manifold Licin

Sebelumnya akan diperkenalkan pemetaan proyeksi dariRn keR yang dilam-

bangkan denganP i.

P i(x1, · · · , xn

):= xi (II.1)

Untuk setiap(x1, · · · , xn) ∈ Rn.

Definisi II.1 ( Fungsi licin)

Pemetaanf :U ⊂ Rn → Rm dikatakan kontinyu jikaf i(p) := P i f(p); i =

1, 2, · · · ,m semuanya kontinyu untuk setiapp ∈ U . f dikatakanlicin atauC∞ -

differentiabel padaU jika setiapf i mempunyai turunan parsial untuk semua orde

padaU terhadap sistem koordinat padaRn.

Definisi II.1 di atas sama saja dengan mengatakan bahwaf licin jika determi-

nan Jacobiannya pada setiap titikp ∈ U yang didefinisikan sebagai

4

5

f ′(p) = [Difj(p)] =

D1f

1 · · · Dnf1

. . . . . . . . . . . . . . . . .

D1fm · · · Dnf

m

(p)

(II.2)

denganDifj := ∂fj

∂xi , tidak lenyap untuk1 ≤ i ≤ n dan1 ≤ j ≤ m.

SelanjutnyaC∞ - differentiabel akan disebut licin atau differensiabel saja.

Definisi II.2 (Manifold topologis berdimensi m )

Manifold X adalah ruang topologis yang Hausdorff, tersambung dan berbasis ter-

cacah(countable basis) serta terdapat homeomorfismeφp:Ux → W ⊂ Rm, ∀p ∈ X

denganUp ⊂ X adalah lingkungan bagip danW subhimpunan terbuka diRm.

Selanjutnyaφ disebutpemetaan koordinat, xi = P iφ(p) disebutfungsi koordinat

di p dan pasangan(Up, φp) disebutsistem koordinatdi p ∈ X

Definisi II.3 (Struktur licin)

Struktur licin (C∞ - structure) pada manifold topologisX adalah himpunan semua

sistem koordinatU = (Uα, φα) sedemikian rupa memenuhi

1. Uα merupakan liput (cover) bagiX , yaitu dipenuhi⋃

α Uα = X ,∀α ∈ A,A =

1, 2, . . .

2. Untuk setiap pasanganα, β ∈ A ,(Uα, φα) dan (Uβ, φβ) salingC∞ - rukun

(C∞-compatible), yaituφα φ−1β dan φβ φ−1

α masing - masing merupakan

pemetaan licin.

3. U maksimal menurut kriteria 2, dalam artian jika(U, φ) suatu sistem koordi-

nat padaX yang memenuhi sifatC∞ - rukun dengan setiap unsur diU maka

(U, φ) ∈ U

6

Gambar II.1: (Uα, φα) dan(Uβ, φβ) salingC∞ - rukun apabilaφα φ−1β dan

φβ φ−1α masing - masing merupakan pemetaan licin.

Definisi II.4 ( Manifold licin )

Manifold licin adalah manifold topologis yang dilengkapi dengan suatu struktur

licin. Selanjutnya, manifold licin akan cukup disebut sebagai manifold saja dan akan

dilambangkan denganM.

Dengan demikian suatu manifold topologis dapat mempunyai lebih dari satu

manifold licin atau tidak ada sama sekali, tergantung dari seberapa banyak struktur

licin yang bisa dibangun padanya. Sebagai contoh, permukaan bola di ruangRn+1

yaitu Sn, (ditunjukkan oleh John Milnor) mempunyai28 struktur licin yang berbeda

untukn = 7, 2 struktur untukn = 10 dan 992 struktur untukn = 11 [Qoquereauex

, 1988]. Berikut ini akan diberikan beberapa contoh untuk menentukan suatu him-

punan adalah suatu manifold atau bukan

1. Ruang EucledianRn dilengkapi sruktur licinU = (Rn, Id) denganId: Rn →

Rn pemetaan identitas adalah suatu manifold.

7

2. Titik - titik (x, y) di R2 yang memenuhi

y =

a x ≥ 0

0 x ≤ 0

−b x ≥ o

adalah himpunan yang bukan manifold karena tidak tersambung dan tidak Haus-

dorff di x = 0.

3. Permukaan bola berjari - jari satu satuanSm dilengkapi dengan struktur licin

(Sm − n , Pn) , (Sm − s , Ps) dengann = (0, 0, · · · , 1) dans =

(0, 0, · · · ,−1) danPn, Ps masing - masing projeksi stereografik darin dan

s, merupakan manifold.

4. Permukaan kubus diRn yang dibangkitkan oleh metrikdk =∑n

i=i |xi| bukan-

lah manifold licin karena tidak terdapat homeomorfisme denganRm saat diam-

bil xj = dk.

5. Subhimpunan terbukaV dariM dengan struktur licin

UV =(V ∩ Uα, φα|V ∩Uα

)|(Uα, φα) ∈ U

denganφα|V ∩Uα

pemetaanφα yang dibatasi padaV ∩Uα danU adalah struktur

licin padaM, merupakan manifold yang disebutsubmanifold terbuka dari

M.

6. Grup linier umum yaitu himpunanGl (n,R) yang beranggotakan semua ma-

triksn×n nonsingular berunsur riil merupakan manifold sebagai akibat adanya

diffeomorfisme denganR− 0 melalui fungsi determinan.

8

Definisi II.5 ( Pemetaan licin)

DiandaikanM danN manifold licin. JikaF :M→N adalah pemetaan dari mani–

foldM ke manifoldN , makawakilan lokal menurut sistem koordinat(U, φ) di M

dan (V, ψ) di N adalahψ F φ−1:φ (U) → ψ (V ). F dikatakan licin dip ∈ M

jika terdapat wakilan lokal bagiF yang licin dip. F dikatakan licin jikaF licin pada

setiap titikp ∈M.

Keberadaan struktur licin menjamin differensiabilitas pemetaan antar mani-

fold terjadi secara global sebagai akibat sifat maksimal yang dimiliki oleh struktur

licin pada kedua manifold. Dalam hal ini jikaF licin, bijektif dan F−1 juga licin,

makaF disebutdiffeomorfisme dan kedua manifold dikatakan saling salingdiffeo-

morfis. Diffeomorfisme adalah relasi ekuivalen antar manifold, dalam artian setiap

manifold yang saling diffeomorfis mempunyai struktur yang sama dan bisa saling

menggantikan.

2. Vektor Singgung, Kovektor dan Tensor Pada Manifold

Konsep vektor singgung (tangent vector) erat kaitannya dengan pendefinisian

’pergeseran infinitisimal’ pada suatu titik suatu manifold. Pada permukaan di ruang

Rn, ruang singgung adalah subruang linier dariRn yang ortogonal dengan vektor

normal permukaan. Hanya saja manifold tidak selalu ’ terbenam ’ dalam ruangRn,

dengan demikian pendefinisian ruang singgung perlu mengambil esensi yang lebih

dalam dari ruang vektor. Pendefinisian ini biasanya diambil dari konsep ’ turunan

berarah dari suatu fungsi’ dan ’vektor kecepatan dari kurva singgung’. Dari konsep

turunan berarah (directional derivative) dari fungsi bernilai riil,v dikatakan turunan

berarah darif di titik p jika dipenuhiv(f) = ∇f(p) • v sehingga dapat dikatakan

vektor singgung adalah fungsional licin bernilai riil yang bekerja pada fungsif .

JikaM manifold, himpunan fungsi bernilai riil licin padaM hendak ditu–

9

liskan sebagaiC∞ (M). Dilengkapi perkalian dan penjumlahan fungsi yaituf +

g (p) := f(p) + g(p) danf · g(p) := f(p)g(p), C∞ (M) membentuk aljabar komu-

tatif di atas lapangan riil.C∞ (M) bisa dipersempit menjadiC∞(p) yaitu himpunan

semua kelas ekuivalensi dariC∞ (M) di suatu lingkunganp yaituUp melalui relasi

ekuivalenf ∼= g ⇐⇒ f(q) = g(q),∀q ∈ Up. Kelas - kelas ekuivalensi ini biasa

disebut sebagaibenih ( germ).

Definisi II.6 ( Vektor singgung )

JikaMmanifold danp ∈M , yang disebut sebagaivektor singgungpadap adalah

fungsional bernilai riilv:C∞(p) → R sedemikian rupa memenuhi sifat

1. ( Linieritas) v(af + bg) = av(f) + bv(g)

2. (Leibnizan) v(fg)(p) = v(f)g(p) + f(p)v(g)

∀a, b ∈ R;∀f, g ∈ C∞ (p)

Vektor singgung padap ∈ M membentuk ruang vektor di atas lapangan riil

dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan sebagai(v + w)(f) =

v(f) + w(f), (av)(f) = av(f);∀a ∈ R, f ∈ C∞(p). Selanjutnya ruang vektor

singgung padap akan ditulis sebagaiTpM.

Definisi II.7 MisalkanI adalah interval terbuka padaR. Pemetaan licinα: I →M

disebutkurva licin padaM . Jika diambilt ∈ I danp ∈ α(t0) dapat didefinisikan

pemetaanα(t0):C∞(p) → R sebagaiα(t0)(f) := d

dt(f α)(t0);∀f ∈ C∞(p). α(t0)

menyatakan vektor kecepatanα di t0 atau vektor singgung kurvaα di titik t0.

Karenaα(t0) memenuhi syarat Leibnizan dan linearitas terhadap aljabarC∞(p)

maka jelas bahwaα′(t0) ∈ TpM

10

Teorema II.1 Jika (U, φ) adalah sistem koordinat padap ∈ M, dengan fungsi ko-

ordinat xi = P i φ; i = 1, 2, · · · ,m maka∂/∂xi |p yang didefinisikan sebagai

∂/∂xi |p(f) = ∂/∂xi(f φ−1)(φ(p)) merupakan basis bagiTpM, sehingga dimensi

TpM = dimensiM. Basis ruang singgung yang berhubungan sistem koordinat ini

disebut sebagai basis Gaussan.

Selanjutnya dapat difahami bahwa ruang singgung yang dibangun oleh derivatif

pada aljabarC∞(p) dan vektor singgung kurva - kurva licin di suatu titik tak bisa

dibedakan melalui kaitan isomorfismev(f)(p) := d/dt(f α) |t=t0 = α(to)(f)

Teorema II.2 Jika F pemetaan licin dari manifoldM danN maka dapat diim-

bas suatu pemetaanF∗p:TpM → TF (p)N yang didefinisikan olehF∗p(v)(g) :=

v(g F ); g ∈ C∞(F (p)) dan merupakan isomorfisme jika dan hanya jika dapat dite-

mukan diffeomorfisme lokal antara lingkunganp dan lingkunganF (p). Pemetaan

yang diimbas ini biasa disebut sebagaidifferensial dari pemetaanF di p ataupush

forward. Jika kemudian terdapat pemetaan licinG dari manifoldN ke manifoldO

maka akan dipenuhi aturan komposisi atau dalil rantai(G F )∗p = G∗F (p) F∗p

Tentu saja apabila terdapat diffeomorfisme diantaraM danN , differensial

pemetaanF akan menyebabkan ruang singgung padaM diimpor keseluruhan keN

sehingga yang mungkin adalah bahwa jika dua manifold saling diffeomorfis maka

dimensi keduanya sama tetapi tidak selalu sebaliknya.

Misalkan pada titikp ∈ M ditemukan sistem koordinat(U, φ) dan (V, ψ),

berdasarkan teorema II.1 dapat disusun basis padaTpM yang berbentuk∂/∂xi

menurut(U, φ) dan∂/∂x′j

menurut(V, ψ). Untuk setiapv ∈ TpM dapat di–

nyatakan sebagai kombinasi linier kedua basis

v =m∑

i=1

vi∂/∂xi =m∑

j=1

v′j∂/∂x′j (II.3)

11

Dengan menganggapψ φ−1 sebagai pemetaan antar manifold, maka dapat ditun-

jukkan adanya aturan transformasi komponen vektor singgung yang berbentuk

v′j =m∑

i=1

vi∂x′j/∂xi (II.4)

Vektor singgung dalam buku - buku teks fisika biasa disebut sebagaivektor kontrava–

rian .

Jikaf ∈ C∞(p) maka dengan menggunakan teorema II.2 dapat disusun pemetaan

f∗p:TpM→ Tf(p)R, v 7→ f∗p(v)

yang diberikan oleh

f∗p(v)(x) = v(x f) (II.5)

∀v ∈ TpM. KarenaTf(p)R dibentang oleh basis tunggal∂/∂x|f(p) diperoleh

f∗p(v) = v(f) ∂/∂x|f(p) (II.6)

Melalui pemetaan ini dapat disusun fungsional linier yang bekerja padaTpM

dfp:TpM→ R

dfp(v) := v(f);∀v ∈ TpM

yang linier padaTpM .

Definisi II.8 Kovektor atau vektor kovarian adalah suatu pemetaan linierω:TpM→

R. Himpunan semua kovektor padapmerupakan ruang jodoh (dual space) dariTpM

dan dinyatakan denganT ∗pM.

12

Dapat mudah dilihat bahwadf adalah unsur dariT ∗pM. Jikadf dandg elemen

T ∗pM, maka dapat didefinisikan operasi(αdf + βdg) (v) := αv(f) + βv(g);α, β ∈

R; v ∈ TpM. Dalam suatu sistem koordinat lokalx1, . . . , xn, dapat ditemukan

∂/∂xi|p ∈ TpM yang tindakannya terhadapxj dinyatakan sebagai∂/∂xi|p (xj) =

dxi(∂/∂xi|p

)= δj

i . Hal ini menunjukkan bahwadxi|p membentuk basis padaT ∗pM

yang disebutbasis jodoh(dual basis) bagi basis∂/∂xi|p.

Simpulan II.1 T ∗pM merupakan ruang vektor riil dengan basis pada suatu koordi-

nat lokalx1, . . . , xn, mempunyai basisdxi|p

. Dengan demikian dimensi(TpM)

= dimensi(T ∗pM

)= dimensi(M).

Perilaku unsur - unsur diT ∗pM yang diimbas oleh pemetaan kontinyu antar

manifold dinyatakan oleh teorema berikut

Teorema II.3 JikaF :M→Nsuatu pemetaan licin, dapat diimbas suatu pemetaan

F ∗f(p):T

∗f(p)N → T ∗pM yang disebutpull backberikut

F ∗f(p) (θ) (v)|p := θ (F∗pv)|F (p)

∀θ ∈ T ∗f(p)N ; v ∈ TpM. ApabilaG:N → O licin, maka pemetaan licinG F

mengimbas komposisi

(G F )∗GF (p) = F ∗F (p) G∗

GF (p)

Seperti halnya pada sembarang ruang vektorV yang bersama ruang vektor

jodohnya dapat disusun ruang tensor pada ruang vektor tersebut, maka padaTpM

dapat disusun ruang tensor padanya. Berikut ini didefinisikan tensor pada sembarang

ruang vektorV , jadi untuk mengetahui tensor padap ∈ M cukup dilakukan pergan-

tianV = TpM.

13

Definisi II.9 (Tensor)

Misalkan V ruang vektor di atas lapanganK dan V ∗ menyatakan ruang vektor

jodohnya. Tensor -(s, r) pada ruang vektorV adalah suatu pemetaan

θ:V × . . .× V︸ ︷︷ ︸s − faktor

×V ∗ × . . .× V ∗︸ ︷︷ ︸r − faktor

→ K

yang linier pada setiap argumennya.θ disebut sebagai tensor tipe(s, r) atau tensor

r kontravarian dans kovarian. Ruang yang beranggotakan semua tensor(s, r) di–

nyatakan sebagaiT rs (V ). Didefinisikan untuk kondisi khususT 0

0 (V ) := K.

Sebagai contoh ruang tensor adalahT 01 (V ) = V ∗ danT 1

0 (V ) = V . Oleh

karena itu dalam konteks ruang tensor, kadang ruang singgung dan jodohnya masing

- masing biasa dinyatakan denganT 01 (V ) danT 1

0 (V ). Di antara dua tensor dengan

tipe berbeda mungkin untuk dikombinasikan menjadi tensor tipe yang lebih tinggi

melalui operasi produk tensor

Definisi II.10 (Produk tensor)

Andaikanθ ∈ T rs (V ) danψ ∈ T q

p (V ). Produk tensorθ ⊗ ψ adalah tensorθ ⊗ ψ ∈

T r+qs+p (V ) yang memenuhi

θ ⊗ ψ(v1, . . . , vs, w1, . . . , wp, υ

1, . . . , υr, ω1, . . . , ωq)

:= θ(v1, . . . , vs, υ

1, . . . , υr)ψ(w1, . . . , wp, ω

1, . . . , ωq)

untuk semuav, w ∈ V danυ, ω ∈ V ∗. Dapat dibuktikan bahwa produk tensor ini

bersifat assosiatif.

Berbekal operasi perkalian terhadap skalar

(aθ)(v1, . . . , vs, υ

1, . . . , υr)

:= a.θ(v1, . . . , vs, υ

1, . . . , υr)

14

serta jumlahan

θ+ψ(v1, . . . , vs, υ

1, . . . , υr)

:= θ(v1, . . . , vs, υ

1, . . . , υr)+ψ

(v1, . . . , vs, υ

1, . . . , υr)

maka jelas bahwaT rs (V ) merupakan ruang vektor diatas lapanganK. Jikae1, . . . , en

basis padaV dan θ1, . . . , θn basis jodohnya, maka basis padaT rs (V ) dapat di-

ungkapkan sebagai

θi1 ⊗ . . .⊗ θis ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejr

(II.7)

∀i1, . . . , is, j1, . . . , jr ∈ 1, . . . , n ;n = dimensi(V )

Setiap unsurψ ∈ T rs (v) dapat dinyatakan dalam jumlahan linier basis di atas

ψ = ψj1...jr

i1...jsθi1 ⊗ . . .⊗ θis ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejr (II.8)

dengan

ψj1...jr

i1...js:= ψ

(ei1 , . . . , eis , θ

j1 , . . . , θjr)

(II.9)

Hal ini berartiT rs (V ) merupakan ruang vektor di atasK dengan dimensinr+s. Ungka-

pan pada persamaan II.9 biasa disebut sebagai komponen tensor menurut basis II.7.

Berikut ini didefinisikan beberapa operasi penting pada tensor

1. Kontraksi

Misalkan ψ ∈ T rs (V ) dan e1, . . . , en,θ1, . . . , θn pasangan basis, dapat

didefinisikan operasi kontraksi antarar kontravarian dans kovarian padaψ

sebagai

C rsψ(v1, . . . , vs−1, υ

1, . . . , υr−1)

15

:= ψ

v1, . . . , ei︸︷︷︸argumen ke−s

, . . . , vs−1, υ1, . . . , θi︸︷︷︸

argumen ke−r

, . . . , υr−1

(II.10)

Operasi ini bebas terhadap pemilihan basis. Dapat dilihat, aksi operasi kon-

traksi pada suatu tensor adalah menurunkan indeks atas dan indeks bawahnya

masing - masing satu. Misalkanφ ∈ T rs (V ) danψ ∈ T p

q (V ), terhadap produk

tensor kontraksi bersifat

(C r

sφ)⊗ ψ = C r

s (φ⊗ ψ)

φ⊗(C p

qψ)

= Cr+ps+q (φ⊗ ψ)

2. Simetrisasi dan antisimetrisasi

Misalkanψ ∈ T 0p (V ) sembarang permutasi1 σp ∈ Sp didefinisikan

σpψ (v1, . . . , vp) := ψ(vσp(1), . . . , vσp(p)

)kemudian

(a) SimetrisasidariT 0p (V ) dinyatakan sebagai

Sym:T 0p (V ) → T 0

p (V )

1Permutasi merupakan pemetaanσp: i1, . . . , ip → i1, . . . , ip;σp i1, . . . , ip =

iσp(1), . . . , iσp(p)

. himpunan semua permutasi seperti ini membentuk struktur

grupSp yang homeomorfis dengan grup(−1, 1 , .) melalui

Sign(σp) = 1

untuk permutasi genap danSign(σp) = −1

untuk permutasi ganjil

16

Sym(ψ) = 1/p!∑

σp∈Sp

σpψ (II.11)

(b) AntisimetrisasidariT 0p (V ) dinyatakan sebagai

Alt:T 0p (V ) → T 0

p (V )

Alt(ψ) = 1/p!∑

σp∈Sp

Sign(σp)σpψ (II.12)

Tensorψ ∈ T 0p (V ) dikatakan simetris jikaψ = Symψ dan antisimetris jika

ψ = Altψ. Pendefinisian yang sama dapat dilakukan untuk simetrisasi dan

antisimetrisasi padaψ ∈ T p0 . Simetrisasiψ ∈ T 0

p bila diungkapkan dalam kom-

ponen basis dinyatakan dengan lambangψ(i1,...,ip) dan untuk antrisimetrisasinya

dinyatakan denganψ[i1,...,ip]. Jika diinginkan beberapa suku tidak diikutkan

dalam permutasi, bisa diberikan tanda|| pada suku tersebut. Cacah permu-

tasinya berkurang menurut beberapa banyak suku tetap tersebut. Sebagai con-

toh misalkanψ ∈ T 04 makaψ(i,|j|,|k|,l) = 1/2! [ψijkl + ψljki] .

Ruang tensorT 0p (V ) antisimetris memegang peranan penting dalam analisis

manifold licin, di antaranya dalam teori integrasi dan teori sistem differensial.

Definisi II.11 (Forma-p)

Tensorψ ∈ T 0p (V ) dengan sifatAltψ = ψ akan disebut dengan forma-p. Ruang vek-

tor yang beranggotakan semua forma-p dinyatakan denganΛp(V ) = Alt(T 0

p (V )).

Produk tensor⊗mengimbas produk∧ yang disebut sebagaiproduk eksterior

( wedge product)

∧: Λp(V )× Λq(V ) → Λp+q(V )

(ω, η) 7→ ω ∧ η :=(p+ q)!

p!q!Alt (ω ⊗ η)

17

yang bersifat bilinear assosiatif dan antisimetris. Dengan memakai produk eksterior

dimungkinkan untuk menyusun basis pada ruangΛp(V ) menggunakan unsur - un-

surV ∗. Berikut ini disajikan lemma yang memudahkan pengungkapan unsur ruang

Λp(V ) dalam basisnya.

Lemma II.1 Misalkanω1, · · · , ωp ∈ V ∗ danσp ∈ Sp

1. ω1 ∧ · · · ∧ ωp = sign(σp)ωσp(1) ∧ · · · ∧ ωσp(p)

2. ω1 ∧ · · · ∧ ωp =∑

σp∈Spsign(σp)ω

σp(1) ⊗ · · · ⊗ ωσp(p)

3. ω1 ∧ · · · ∧ ωp = 0 jika dan hanya jikaω1, · · · , ωp gayut linier.

Teorema II.4 Jikae1, · · · , en , θ1, · · · , θn pasangan basis jodoh maka himpunan

θi1 ∧ · · · ∧ θip

1≤i1<···<ip≤n

membentuk basis pada ruangΛp(V ). Dengan demikian dimensiΛp(V ) =(

np

)=

n!(n−p)!p!

Di samping produk eksterior yang berguna untuk mengkombinasikan bebera-

pa forma, dapat disusun operasi yang menurunkan indeks jenisnya. Operasi ini dise-

butproduk interior (interior product) yang merupakan pemetaan

y:V × Λp(V ) → Λp−1(V )

(v, ω) 7→ vyω : (ω1, · · · , ωp−1) 7→ ω(v, ω1, · · · , ωp−1)

dan didefinisikan untukp = 0, vyω = 0.

Kemudian akan dikenalkan medan tensor pada manifold yaitu suatu pemetaan

yang bernilai tensor. Berbagai struktur geometris dan fisis dapat memakai konsep ini

sebagai model.

18

Definisi II.12 (Medan tensor)

Ruang vektor yang beranggotakan semua pemetaan licin

φ:M→⋃

p∈M

T rs (TpM)

denganφ(p) ∈ T rs (TpM) ; ∀p ∈ M disebut sebagai medan tensor -(r, s) dan akan

dinyatakan denganT rs (M).

Suatu medan tensorT 10 (M) biasa disebut sebagai medan vektor karena perti-

tiknya berhubungan dengan vektor singgung, kemudian medan tensorT 01 (M) biasa

disebut sebagai medan kovektor karena pertitiknya berhubungan dengan kovektor,

sedangkan medan tensorT 0p (M) yang antisimetris pada setiap pertukaran indeksnya

biasa disebut sebagai forma differensial tipe-p atau cukup disebut forma-p, dengan

forma-0 sebagai fungsi pada manifold dan forma-1 sebagai medan kovektor. Suatu

U ⊂M yang berhubungan dengan sistem koordinatximenyebabkan ruang tensor

T rs (TpM) dibentang oleh basis yang diperoleh dari produk tensor∂/∂xi dandxi

pada setiapp ∈ U . Dengan demikian jelas dapat dibentuk medan vektor basis yang

dihasilkan dari sistem koordinat Gaussan padaU . Misalkanφ suatu medan tensor,

maka ungkapannya dalam sistem koordinat lokal dapat dituliskan sebagai

φ(p) = φi1...irj1...js

(p)dxj1 ⊗ . . .⊗ dxjs ⊗ ∂/∂xi1 ⊗ . . .⊗ ∂/∂xir (II.13)

Berikut ini disajikan lemma yang memudahkan identifikasi medan tensor pada mani-

fold [Lee , 1997]

Lemma II.2 (Lemma karakterisasi medan tensor)

19

Suatu pemetaan

φ: T 10 (M)× . . .× T 1

0 (M)︸ ︷︷ ︸s−faktor

×T 01 (M)× . . .× T 0

1 (M)︸ ︷︷ ︸r−faktor

→ C∞ (M)

merupakan medan tensor anggotaT rs (M) jika dan hanya jika multilinier atasC∞ (M).

Juga pemetaan

φ: T 10 (M)× . . .× T 1

0 (M)︸ ︷︷ ︸s−faktor

×T 01 (M)× . . .× T 0

1 (M)︸ ︷︷ ︸r−faktor

→ T 10 (M)

diimbas oleh medan tensor anggotaT r+1s (M) jika dan hanya jika multilinier atas

C∞ (M)

Teorema II.2 dan II.3 dapat diperluas pemakaiannya pada tensor sembarang.

Misalkan g:M → N suatu diffeomorfisme lokal danψ ∈ T rs (N ), didefinisikan

pemetaanpull backyang memetakan setiap elemenT rs (N ) keT r

s (M) sebagai

g∗ψ(v1, . . . , vs, ω1, . . . , ωs) := ψ

((g∗(v1)), . . . , (g∗(vs)), (g

−1)∗(ω1), . . . , (g−1)∗(ωs))

(II.14)

sedangkanpush forwardpadaψ ∈ T rs (M) untuk dibawa keT r

s (N ) didefinisikan

sebagai

g∗ψ =(g−1)∗ψ (II.15)

Lemma II.3 Untuk setiap diffeomorfisme lokalg:M→N dan semua medan tensor

φ, ψ ∈ T rs (M) dipenuhi sifat

g∗(αψ + βφ) = αg∗ψ + βg∗φ

g∗(φ⊗ ψ) = g∗φ⊗ g∗ψ

20

g∗C rsψ = C r

sg∗ψ

MisalkanMmanifold licin berdimensi-n, himpunanT rsM =

⋃p∈M T r

s (TpM)

secara alamiah membawa struktur licin yang diimbas dariM. Andaikan(Uα, ϕα)

sitim koordinat pada titikp, dapat didefinisikan pemetaan

ψα:⋃

p∈M

T rs (TpM) → ϕα(U)× Rnrns

φp 7−→ (ϕα(p), (φi1,···,ir(α)j1,···,js

))

di manaφi1,···,ir(α)j1,···,js

merupakan komponen tensorφp menurutϕα(p). Jelas bahwa se-

tiapψq ∈ T rs (TqM) berada pada paling sedikit satu di antara himpunan - himpunan

T rs U =

⋃p∈Uα

T rs (TpM). Apabila sistem koordinat(Uα, ϕα) dinyatakan dengan

(x1, · · · , xn) dan(Uβ, ϕβ) dengan(y1, · · · , yn), setiap vektor singgungv ∈ TpM da-

pat dituliskan denganv =∑n

i=1 viα∂

ix =

∑ni=1 v

iβ∂

iy dengan transformasi antar kom-

ponen kooardinatvjα =

∑ni=1 v

iβ

∂(ϕα(ϕβ)−1)j

∂iy

atau dengan kata lainvα = Dϕαβ(vβ)

denganDϕαβ menyatakan(ϕα (ϕβ)−1)∗. Begitu juga dengan forma-1 ω, komponen

- komponennya akan terhubung melaluiωα = ωβD(ϕαβ)−1. Dengan argumentasi

yang sama, komponen komponen tensorφi1,···,ir(α)j1,···,js

danφi1,···,ir(β)j1,···,js

terhubung melalui

φk1,···,kr

(α)l1,···,ls =∑

1≤i1,···,ir≤n1≤j1,···,js≤n

φi1,···,ir(β)j1,···,js

(Dϕαβ)k1i1· · · (Dϕαβ)kr

ir

× (D(ϕαβ)−1)j1l1· · · (D(ϕαβ)−1)js

ls

Oleh karena itu komponen - komponenφα danφβ dari tensorφp menurut(Uα, ϕα)

dan(Uβ, ϕβ) terhubung oleh isomorphisme linierDαβ. Dengan demikian pemetaan

ψα ψ−1β :ψβ(T r

s Uα ∩ T rs Uβ) → ψα(T r

s Uα ∩ T rs Uβ)

21

(y, (φβ)) 7−→ ψα ψ−1β (y, (φβ)) = (ϕαβ(y),Dαβ(ϕβ))

merupakan diffeomorfisme. Hal ini berarti himpunanT rsM secara alamiah meru-

pakan manifold licin berdimensinr+s. Manifold ini biasa disebut sebagai bundel

tensor (tensor bundle). Bundel tensorTM = T 10M disebut sebagai bundel singgung

(tangent bundle), sedangkan bundel tensorT ∗M = T 01M disebut sebagai bundel

kotangen (cotangent bundle).

Bundel tensor adalah salah satu contoh dari suatu bundel vektor atas suatu

manifold, yaitu manifold licinE bersama dengan pemetaan surjektif licinπ: E →M

yang memenuhi:

1. Untuk setiapp ∈ M, himpunanEp = π−1(p) ⊂ E (disebutfiber E atasp)

memiliki suatu struktur ruang vektor riil.

2. Untuk setiapp ∈ M, terdapat lingkunganU dari p di M dan suatu diffeo-

morfismeΦ: π−1(U) → U × Rk sedemikian rupa sehingga diagram berikut

komutatif:

U

π−1(U)Φ

U × Rk

π π1

-

+

QQ

QQQs

denganπ1 menyatakan proyeksi ke faktor pertamaπ1(p, v) = p. PembatasanΦ

atasEp merupakan isomorfisme linier dariEp kep × Rk ∼= Rk

Manifold E biasa disebut sebagai ruang total dari bundel,M sebagai basis

danπ sebagai proyeksinya. Untuk lebih ringkasnya, bundel vektorE atas basisM

dengan proyeksiπ akan dilambangkan dengan(E , π,M). Setiap pemetaanΦ seper-

ti yang terdefinisi diatas disebut sebagai trivialisasi lokal atasU , Jika terdapat suatu

trivialisasi lokal yang terdefinisi pada seluruh manifold basisM (disebut trivialisasi

22

global), dikatakanE menjadi bundel trivial. JikaU ⊂ M terbuka, dapat dibuktikan

pembatasan proyeksiE|U = π−1(U) juga merupakan bundel vektor. Pemetaan kon-

tinyu σ:M→ E sedemikian rupa sehinggaπ σ = IdM disebut sebagaisectiondari

E . Zero sectionmerupakanζ:M→ E yang didefinisikan olehζ(p) = 0 ∈ Ep untuk

setiapp ∈ M. Sebagai suatu pemetaan,supportdari sectionσ didefinisikan sebagai

klosure dari himpunanp ∈M|σ(p) 6= 0. Pada bundel tensor,sectionmerupakan

bahasa lain untuk mengungkapkan medan tensor pada manifold basis. Himpunan

sectionσ1, · · · , σk sedemikian rupa sehinggaspan σ1(p), · · · , σk(p) = Ep untuk

setiapp ∈ U ⊂M dikatakan sebagai suatu kerangka (frame) padaE .

3. Kongruensi dan Derivatif Lie

Pada setiap kurva licin, dapat selalu dibangun medan vektor sepanjang kur-

va dengan nilai - nilainya pada titik sepanjang kurva berupa vektor singgung. Hal

sebaliknya apakah bisa terjadi?. Teorema berikut menjamin keberadaannya [Kriele ,

2001].

Teorema II.5 MisalkanM manifold licin,V medan vektor padaM. Pada setiap

p ∈ M terdapat suatuI ⊂ R dan kurva licinγp: I → M yang memenuhi kondisi

γp(0) = p dan γ(t) = Vγ(t)

JikaVp 6= 0 maka terdapat suatu lingkunganU dari (0, p) ∈ R×M sedemikian rupa

sehingga pemetaanF :U → M; (t, q) → Ft(q) = γq(t) dapat didefinisikan dengan

baik.

Pemetaanq → Ft(q) merupakan suatu diffeomorfisme lokal untuk setiapt dengan

inverse diberikan olehF−t.

Jika t, s cukup kecil akan dipenuhiFt Fs = Fts.

Kurva γ seperti di atas disebut sebagaikurva integral dari medan vektor

V , sedangkanFt disebut sebagaialiran (flow) ataukongruensi dari V . Dengan

23

demikian, dapat dikatakan bahwa setiap medan vektor dapat selalu membangkitkan

kongruansi atau himpunan kurva licin yang tidak saling beririsan dan melalui setiap

titik pada lingkungan lokal tertentu.

Diffeomorphime lokal pada aliran suatu medan vektor dapat digunakan untuk

membangun derivasi suatu medan tensor2.

Definisi II.13 ( Derivatif Lie)

Misalkanp ∈ M, ψ medan tensor,U medan vektor danFt aliran dari U , derivatif

Lie ψ olehU dinyatakan dalam

LUψ(x) :=

((d

dt

)t=0

F ∗t ψ

)(p)

dengan(d/dt)t=0 menyatakan derivatif biasa .

Derivatif lie berguna dalam mengukur perubahanψ sepanjangU . Dengan

memakai lemma II.3 dapat mudah dibuktikan bahwa derivatif lie merupakan suatu

derivasi. Apabila diterapkan pada fungsi licinf dan medan vektorV diperoleh

LUf = U(f) (II.16)

2 Derivasi adalah suatu pemetaanD yang memetakan medan - medan tensor ke medan - medantensor dengan sifat - sifat

• D (T rs (M)) ⊂ T r

s (M)

• D (φ⊗ ψ) = D (φ)⊗ ψ + φ⊗D (ψ)

• D komut terhadap kontraksi.

Dua derivasi dikatakan bersesuaian jika mereka bersesuaian terhadap medan - medan vektor danfungsi. JikaD, D, D derivasi maka komutator[

D, D]

:= D D − D D

juga merupakan derivasi. Dipenuhi pula identitas Jacobi[D,[D, D

]]+[D,[D, D

]]+[D,[D,D

]]= 0

24

(LUV )(f) = U V (f)f − V U(f) (II.17)

Mengingat medan vektor dapat dipandang sebagai derivasi di atas fungsi licin, maka

persamaan II.17 bisa dipandang sebagai komutator pada medan vektor. Kita nyatakan

[U, V ] = LUV . Identitas Jacobi pada medan vektor berakibat dipenuhinya relasi

L[U,V ] = [LU ,LV ]. Dua medan vektorU danV dikatakan rukun jika derivatif lie-nya

lenyap, secara geometri dapat ditafsirkan bahwa aliran antara keduanya saling rukun.

Sebagai contoh, medan basis koordinat yaitu himpunan medan vektor yang menjadi

basis ortogonal bagi sembarang medan vektor pada suatu lingkungan, merupakan

salah satu himpunan medan vektor yang saling rukun. Pada teori fisika konsep tentang

derivatif Lie berguna untuk menyatakan konsep tentang invariansi medan tensor di

bawah aksi medan vektor tertentu [Schutz , 1980]. Medan tensorψ invarian di bawah

U jika LUψ = 0 yaitu saatF ∗t ψ = ψ. Yang menarik di sini, himpunan semua medan

vektor yang menyebabkan medan tensorψ ternyata membentukaljabar Lie yaitu

ruang vektor yang tunduk di bawah operasi komutasi. Kita bisa memilih unsur-unsur

pada aljabar Lie tersebut yang saling bebas linier. Karena pada setiap aljabar Lie dapat

ditemukan subset medan koordinat Gaussan yang membentangnya, maka penentuan

medan vektor bebas linier dari aljabar Lie tersebut sama saja dengan menentukan

sistem koordinat yang medan basis koordinatnya membuatψ invarian.

4. Koneksi dan Kelengkungan Pada Manifold

Dalam sembarang manifold, untuk menentukan turunan suatu medan vektor

dilakukan dengan membandingkan nilai medan vektor tersebut di suatu titik dengan

nilainya di titik yang lain. Oleh karena itu masalahnya adalah bagaimana memband-

ingkan dua vektor singgung yang hidup dalam ruang singgung yang berbeda. Diper-

lukan suatu cara untuk membandingkan nilai medan vektor pada tempat yang berbeda

atau secara mudahnya diperlukan suatu koneksi (connection) antara ruang singgung.

25

Definisi II.14 (Koneksi)

Koneksi adalah suatu pemetaan

∇: T 10 (M)× T 1

0 (M) → T 10 (M)

∇ (U, V ) = ∇UV

sedemikian rupa sehingga memenuhi sifat - sifat :

1. ∇UV linier atasC∞ (M) padaU

∇fU+gWV = f∇UV + g∇WV ; f, g ∈ C∞ (M)

2. ∇UV linier atasR padaV

∇U (aV + bW ) = a∇UV + b∇UW ; a, b ∈ R

3. ∇ memenuhi aturan produk

∇UfV = U(f)V + f∇UV ; f ∈ C∞ (M)

Torsi dari∇ adalah medan tensor

(U, V ) → Tor(U, V ) = ∇UV −∇VU − [U, V ]

koneksi∇ dikatakan bebas torsi jika dipenuhiTor = 0.

Biasanya∇UV disebut turunan kovarianV sepanjangU . Pada suatu titikp,

nilai∇UV hanya bergantung pada nilaiU di p dan nilaiV di sekitarp yaitu∇UV |p =

26

∇UpV . Oleh karena itu dapat ditafsirkan sebagai turunanV sepanjang arah vektor

singgungUp. Dalam sistem koordinat lokal, misalkan kita nyatakan∂/∂xi := ∂xi

dan∇∂xi∂xj

:= Γkij∂xk

maka suatu koneksi yang bebas torsi memenuhi sifatΓkij =

Γkji. Komponen koneksiΓa

bc biasa disebut simbol Christoffel. TransformasiΓcab antar

sistem koordinat koordinat lokalxi kexi memenuhi

Γedf =

∂xe

∂xh

∂2xh

∂xf∂xd+∂xe

∂xh

∂xa

∂xd

∂xb

∂xfΓc

ab (II.18)

Dengan memakai persamaan ini apabila diketahui suatu sistem koordinat tertentu pa-

da manifold, dapat selalu ditemukan sistem koordinat lokal lain denganΓcab = 0.

Misalnya saja apabila suatu sistem koordinat lokalxamempunyaiΓcab, transformasi

sistem koordinat kuadratik berbentukxa = xa+1/2Aabcx

bxc denganAabc simetris pada

b danc akan menyebabkan dipenuhinya persamaanΓcab = Γc

ab+Acab, dengan demikian

pemiliahanAcab = −

(Γc

ab

)akan menyebabkanΓc

ab = 0 pada sistem koordinat lokal

xa.

Sembarang medan vektorU, V akan memenuhi

∇UV = ∇U i∂xi

(V j∂xj

)= U i∇∂xi

(V j∂xj

)= U i

[(∂xiV j)∂xj

+ V jΓkij∂xk

]= U i

[∂xiV k + V jΓk

ij

]∂xk

(II.19)

Menggunakan lemma karakterisasi tensor,∇UV dapat dipandang sebagai∇V (U, .)

dengan∇V ∈ T 11 (M). Oleh karena itu,∇ merupakan pemetaanT 1

0 M → T 11 M.

Pemetaan ini disebut sebagai turunan kovarian pada medan vektor. Secara lokal,

∇V dapat dituliskan sebagai∇V = V i;j dx

j ⊗ ∂xidenganV i

;j = ∂xiV k + V jΓk

ij.

Karena∇f = df , maka turunan kovarian pada suatu medan kovektor juga dapat

27

didefinisikan. Misalkan diambilω ∈ T 01 denganω(V ) = f , maka diperoleh∇Uf =

∇Uω(V ) = ∇ω(V, U). Ungkapan lokalnya dinyatakan dengan∇ω = ωi;j dxi⊗ dxj

denganωi;j = ∂xiωj + ωkΓ

kij. Adanya turunan kovarian pada fungsi, medan vek-

tor dan medan kovektor memungkinkan untuk mendefinisikan turunan kovarian pada

sembarang medan tensor. Perluasan∇ sebagai turunan kovarian pada sembarang

medan tensor dapat dilakukan dengan memakai sifat - sifat derivasi pada catatan kaki

(2)

Lemma II.4 (Tindakan koneksi atas medan tensor)

Misalkan(M,∇) manifold dengan koneksi, akan terdapat perluasan tunggal untuk

∇ jika dikenakan pada medan tensor sembarang

∇: T rs (M) → T r

s+1 (M) ; ψ → ∇ψ

yang diberikan oleh

∇ψ(U, V 1, · · · , V s, ω1, · · · , ωr) = ∇Uψ(V 1, · · · , V s, ω1, · · · , ωr)

Pada ruang medan forma-p, yaitu Ωp(M∣∣ω ∈ T 0

p (M), Alt(ω) = ω ) dapat

disusun pemetaan tunggal yang dapat digunakan untuk menaikkan indek medan for-

ma. Pemetaan ini disebut turunan eksterior (exterior derivative).

d: Ωp(M→ Ωp+1(M; ω 7→ dω

yang secara lokal dinyatakan dengan

dω =∑

1≤i1<···<ip≤n

d(ωi1···ip) ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxip

28

yang memenuhi sifat

1. d d = 0,

2. d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)pω ∧ dη untuk semuaω ∈ Ωp(M) danη ∈ Ωq(M),

3. Untukf ∈ Ω0(M), df berhubungan dengan differensial biasa pada fungsi

4. Komutatif terhadappull back: F ∗(dω) = d(F ∗ω).

Dari sifat terakhir berakibat dipenuhinya hubunganLV dω = dLV ω. Oleh karena

itu, derivatif Lie sembarang medan forma dapat dinyatakan sebagaiLV ω = V ydω +

d(V ydω). Hubungan ini memungkinkan untuk mengungkapkan turunan eksterior

dalam bahasa yang bebas koordinat.

Proposisi II.1 Misalkanω ∈ Ωp(M) danV0, · · · , Vp medan vektor. Maka turunan

eksterior dariω dapat dinyatakan dengan

dω(V0, · · · , Vp) =

p∑i=0

(−1)iLVi(ω(V0, · · · , Vi, · · · , Vp))

+∑

0≤i<j≤p

(−1)i+jω(LViVj, V0, Vi, · · · , Vj, · · · , Vp)

=

p∑i=0

(−1)iVi(ω(V0, · · · , Vi, · · · , Vp))

+∑

0≤i<j≤p

(−1)i+jω([Vi, Vj], V0, Vi, · · · , Vj, · · · , Vp)

dimana tanda(.) menyatakan medan vektor dibuang.

Telah disebutkan di atas bahwa nilai turunan kovarian pada suatu titik hanya

bergantung pada nilai medan vektor pada lingkungan titik tersebut. Dapat dilakukan

pembatasan lingkungan pada medan vektor, misalnya saja pembatasan hanya pada

sepanjang kurva . Pada kondisi tersebut, medan vektor yang bersesuaian dikatakan

29

sebagai medan vektor sepanjang kurva. selanjutnya didefinisikan turunan kovarian

sepanjang kurva.

Definisi II.15 Misalkan∇ koneksi,t → γ(t) suatu kurva dant → V (t) medan

vektor sepanjang kurvaγ didefinisikan

1. Turunan kovarianV sepanjang kurvaγ dinyatakan sebagaiV (t) = ∇γ(t)V (t) =(ddtV a(t) + Γa

bcVc(t)γb(t)

)∂a. Medan vektorV (t) dikatakan mengalami trans-

port paralel sepanjangγ jika ∇γ(t)V (t) = 0

2. Kurva prageodesik merupakan kurvaγ yang memenuhi sifat∇γ γ || γ, suatu

prageodesik dikatakan geodesik apabila∇γ γ = 0

3. Geodesik dikatakan komplit jika didefinisikan pada semuat ∈ R

Setiap prageodesik dapat dijadikan geodesik dengan mengganti parameter kur-

vanya. Misalkan parameter prageodesik dinyatakan dengant, maka dengan menggan-

ti parameter menjadit′ = at + b akan diperoleh geodesik. parameter pengganti ini

disebut sebagai parameter affine (affine parameter). Poin 1 pada definisi di atas me-

nunjukkan bahwa pada setiap medan vektor selalu bisa ditemukan suatu kurva menu-

rut suatu koneksi sedemikian rupa menurut kurva tersebut medan vektor sepanjang

kurva terlihat parallel.

Simpulan II.2 Geodesik merupakan kurva paling ’lurus’ menurut koneksinya.

Karena kelurusan geodesik tersebut, maka pada teori relativitas, geodesik di-

gunakan untuk model lintasan gerak materi yang tidak dipercepat atau bebar dari

pengaruh luar.

Secara lokal persamaan geodesik dapat dinyatakan dengan sistem persamaan

orde duaγa + Γabcγ

bγc = 0, yang penyelesaiannya dapat diperoleh dengan mereduksi

30

persaman tersebut menjadi dua sistem persamaan differensial orde satuddtγa = va dan

ddtva = −Γa

bcvbvc. Dengan demikian penyelesaiannya ditentukan dengan syarat batas

(p, v) |p ∈M, v ∈ TpM. Hal ini berarti, pada setiap titik pada manifold dapat

dibangun berkas - berkas geodesik yang secara tepat ditentukan oleh setiap vektor

singgung pada titik tersebut. Masing - masing berkas geodesik ini dilambangkanγv

denganv menyatakan kecepatan geodesik pada titikp.

Definisi II.16 Misalkan(M,∇) manifold dengan koneksi. Pemetaan

expp:TpM→M; v 7→ expp(v) := γv(1)

disebut sebagai pemetaan eksponensial dari∇.

Pemetaan ini bersifat licin dan homogen:expp(tv) = γtv(1) = γv(t). Pemetaan

ini merupakan diffeomorfisme antara lingkungan terbuka padaTpM yang memuat

vektor nol dan suatu lingkungan terbuka diM. Ambil U lingkungan terbuka titik0

di TpM danU lingkungan terbuka titikp, misalkanv = ddt

(tv) |t=0 ∈ T0TpM maka

(expp)∗(v) =

(d

dtexpp(tv)

)∣∣∣∣t=0

=

(d

dtγtv(1)

)∣∣∣∣t=0

=

(d

dtγv(t)

)∣∣∣∣t=0

= v

Dengan demikian(expp)∗ isomorfis, karena ituexpp suatu diffeomorfisme. Jika di-

ambil e1, · · · , en sebagai basis padaTpM dan menyatakanv = viei, dapat diper-

oleh lingkungan dari0 ∈ TpM yang berbentukBr(0) =v∣∣∣√∑n

a=1(va)2 < r

.

Pemetaanexpp: Br(0) → Br(p) := expp(Br(0)) merupakan diffeomorfisme untukr

yang cukup kecil. Menggunakan diffeomorfisme ini, dapat didefinisikan suatu sistem

koordinatxa(q) := (exp−1p (q))a padaBr(p). Koordinat ini disebut sebagai sistem

koordinat normal. Bersama dengan sistem koordinat normal,Br(p) disebut sebagai

lingkungan normal dari titikp. Dapat dilihat, karenaγ = 0 pada lingkungan normal,

maka komponen simbol ChristoffelΓabc = 0. Karena pada setiap titik selalu dapat

31

ditemukan lingkungan normalnya, maka dapat diatur suatu lingkungan yang menye-

babkan setiap titiknya dihubungkan oleh geodesik tunggal yang sepenuhnya berada

di dalam lingkungan tersebut. Lingkungan seperti ini disebut sebagai lingkungan

normal konvek atau cukup disebut sebagai lingkungan konvek. Dalam lingkungan

konvek, geodesik berperan sebagai ’garis lurus’ tunggal yang menghubungkan setiap

titik dalam lingkungan tersebut dan tetap di dalamnya sehingga bersesuaian dengan

ide tentang lingkungan konvek yang dikenal dalam ruangRn.

Jika didefinisikan∇VW = ∇VW − 12

˜Tor(V,W ) dengan∇ koneksi sem-

barang dan ˜Tor adalah torsi dari∇. Dapat diketahui bahwa˜Tor(W,W ) = 0 untuk

semuaW , sehingga∇ dan∇ mempunyai geodesik yang sama. Tapi jika kita tam-

bahkan sembarangS ∈ T 12 (M) yang anti simetris pada bagian kovariannya pada

∇, ¯Tor menurut∇ + S memenuhi ¯Tor = 2S 6= 0. Oleh karena itu dapat disim-

pulkan bahwa untuk setiap koneksi, selalu terdapat koneksi bebas torsi tunggal yang

mempunyai geodesik yang sama dengannya.

Berikutnya didefinisikan kuantitas pada sembarang manifold yang memberikan

ukuran yang membedakannya dengan ruangRn. Pada manifoldRn dipenuhi hubun-

gan

∇X∇YZ −∇Y∇XZ = ∇[X,Y ]Z

untukX, Y, Z sembarang medan vektor. Dengan hubungan seperti ini kita nyatakan

bahwaRn bersifat datar dan persamaan diatas dianggap sebagai kriteria ’kedataran’.

Secara umum tidak setiap manifold memenuhi kriteria kedataran, sehingga tidak da-

pat dikatakan datar. Akan terdapat suatu medan tensorR: T 01 (M) × T 0

1 (M) ×

T 01 (M) → T 0

1 (M) yang didefinisikan sebagai

R (U, V )W = ∇U∇VW −∇V∇UW −∇[U,V ]W (II.20)

32

Medan tensor ini disebut sebagai medan tensor kelengkungan atau medan tensor Rie-

mann. Medan tensor ini memenuhi sifat -sifat

1. Identitas Bianchi kedua

(∇UR)(V,W ) + (∇VR)(W,U) + (∇WR)(U, V ) = 0

2. Jika∇ bebas torsi, makaR memenuhi pula identitas Bianchi Pertama

R(U, V )W +R(V,W )U +R(W,U)V = 0

3. Serta simetriR(U, V ) = −R(V, U)

5. Manifold Pseudo-Riemannan

Untuk dapat mendefinisikan panjang suatu kurva maupun sudut di antara dua

buah vektor, manifold memerlukan struktur tambahan. Struktur tambahan ini harus

bersifat sepertiinner productpada ruangRn. Berhubungan dengan setiap ruang

singgung pada manifold struktur ini merupakaninner productantar vektor - vektor,

sehingga merupakan tensor tipe-(0, 2). Medan tensor yang berhubungan dengannya

biasa disebut sebagai medan metrik atau cukup disebut metrik saja dan akan dilam-

bangkan dengang .

Definisi II.17 Manifold pseudo-Riemannan(M, g) merupakan manifold riilM yang

dilengkapi dengan medan tensorg yang simetris dan tak merosot non-degenerate di

mana - mana.g(U, V ) akan dilambangkan pula sebagai〈U, V 〉.

33

Jika(M, g) berdimensin dan diambili, j, v ∈ 1, · · · , n dan didefinisikan

(ηv)ij =

−1 jika i = j ≤ v

1 jika i = j > v

0 lainnya

maka terdapatv sedemikian rupa sehingga pada setiapx ∈M dapat ditemukan basis

e1, · · · , en padaTxM yang memenuhi

g(ei, ej) = (ηv)ij (II.21)

dikatakang mempunyaisignature(

r suku︷ ︸︸ ︷−, · · · ,−,

(n−v) suku︷ ︸︸ ︷+, · · · ,+) dan menyebutr sebagai in-

deks darig. Basise1, · · · , en yang menyebabkan dipenuhinya persamaan II.21

disebut sebagai basis ortonormal dan medan basis koordinat lokalE1, · · · , En yang

berhubungan dengan basis ortonormal pada setiap titiknya disebut sebagai kerangka

ortonormal. Dengan menggunakan prosedur ortogonalisasi Schmidt pada medan ba-

sis lokal dapat dibuktikan kerangka lokal ortonormal ini selalu ada pada setiap titik

pada manifold. Manifold pseudo-Riemannan berindeks satu biasa disebut dengan

manifold Lorentzian. Manifold ini merupakan model ruang-waktu dalam teori rela-

tivitas.

Semisal terdapat dua manifold pseudo-Riemannan(M, g) dan(M, g

). Su-

atu diffeomorfismeϕ dariM keM dikatakan isometri jikaϕ∗g = g. Ditinjau suatu

kurvaγ, jika transport paralel sepanjangγ merupakan isometri maka dipenuhi

0 = ∇γ(t)(g(U, V ))

= (∇γ(t)g)((U, V ))−⟨∇γ(t)U, V (t)

⟩−⟨U(t),∇γ(t)V

⟩= (∇γ(t)g)((U, V ))

34

berakibat∇γ(t)g = ∇g(γ(t)) = 0 atau∇g = 0, sebaliknya jika∇g = 0 maka

dipenuhi∇γ(t) 〈U(t), V (t)〉 =⟨∇γ(t)U, V (t)

⟩+⟨U(t),∇γ(t)V

⟩= 0 yang berarti

〈U, V 〉 bebas terhadapt, oleh karena itu dapat disusun teorema berikut ini

Proposisi II.2 Misalkan (M, g) manifold pseudo-Riemannan, maka∇g = 0 jika

dan hanya jika transport paralel merupakan isometri.

∇g = 0 berakibat untukU, V,W medan vektor dipenuhi

U 〈V,W 〉 = 〈∇UV,W 〉+ 〈V,∇UW 〉 . (II.22)

Bersama dengan permutasi siklisnya, koneksi bebas torsi∇ akan dipenuhi persamaan

Koszul

〈∇UV,W 〉 =1

2(U 〈V,W 〉+ V 〈U,W 〉 −W 〈U, V 〉

− 〈U, [V,W ]〉+ 〈V, [W,U ]〉 − 〈W, [V, U ]〉) (II.23)

Dapat dilihat bahwa suku bagian kanan persamaan di atas tidak gayut terhadap konek-

si, dengan demikian dapat disajikan teorema berikut

Teorema II.6 Misalkan(M, g) manifold pseudo-Riemannan riil, maka terdapat su-

atu koneksi∇ bebas torsi tunggal yang memenuhi∇g = 0. Koneksi seperti ini

disebut sebagai koneksi Levi - Cevita.

Secara lokal dengan mengambil〈∂i, ∂j〉 = gij dan∇∂i∂j = Γm

ij∂m akan dipenuhi

[∂i, ∂j] = 0 dan mengakibatkan persamaan Koszul menjadi

〈∇∂i∂j, ∂l〉 =

1

2(∂i 〈∂j, ∂l〉+ ∂j 〈∂l, ∂i〉)− ∂l 〈∂i, ∂j〉 (II.24)

35

atau

Γmijgml =

1

2(∂igjl + ∂jgil − ∂lgij) (II.25)

karenag non-degeneratif maka dapat disusun invers darinya. Semisal inversgij di–

nyatakan dengangij maka dapat diperoleh

Γkij =

1

2gkl (∂igjl + ∂jgil − ∂lgij) (II.26)

SukuΓkij biasa disebut sebagai simbol Christoffel yang merupakan komponen koneksi

Levi - Cevita pada sistem koordinat lokal.

Berhubungan dengan tensor kelengkunganR, dapat didefinisikan beberapa

jenis tensor kelengkungan:Ric(u, v) := tr(R(., u)v) yang disebut dengan tensor

Ricci dan bagian antisimetrisnyaF (u, v) = 1n(Ric(u, v)− Ric(v, u)). Jika∇ meru-

pakan koneksi bebas torsi, keduanya terkait melalui hubunganF = − 1ntr(R(., .)).

Kelengkungan skalar darig dinyatakan sebagai fungsiScal := tr(Ric). Dan ke-

lengkungan sektional di titikp sebagai fungsi

K:G2(TpM) → R, span ux, vx 7→〈R(ux, vx)ux, vx〉〈ux, ux〉 〈vx, vx〉

− 〈ux, vx〉2

denganG2(TpM) menyatakan himpunan semua subruang berdimensi dua dariTpM.

Kelengkungan seksional bebas dari pemilihan basis pada subruang.

Di bawah metrikg, tensor kelengkunganR memenuhi beberapa simetri

1. 〈R(U, V )W,T 〉 = −〈R(U, V )T,W 〉

2. 〈R(U, V )W,T 〉 = 〈R(W,T )U, V 〉

Karena metrik pada manifold pseudo-Riemannian nondegeneratif di mana-

mana, maka dapat didefinisikan suatu isomorphisme kanonis antara vektor dan forma-

36

1. Misalkan padaTpM, dapat didefinisikangp(v, w) = v[(w). Ini menunjukkan

pemetaan(.)[:TpM→ T ∗pM merupakan suatu isomorphisme. Dengan menyatakan

invers isomorphisme dengan(.)]:T ∗pM → TpM, isomorphisme ini dapat diperluas

pada sembarang medan tensor. Sebelumnya dapat diperoleh identitas(v[)] = v dan

(ϕ])[ = ϕ untuk semuav ∈ TpM danϕ ∈ T ∗pM. Untuk sembarangψ ∈ T rs (TpM)

dapat didefinisikan :

(.)[jk :T rs (TpM) → T r−1

s+1 (TpM), ψ 7→ ψ[jk

ψ[jk (vi1 , · · · , vis , ϕj1 , · · · , vjk

, · · ·ϕjr) := ψ(vi1 , · · · , vis , ϕj1 , · · · , (vjk

)[jk , · · ·ϕjr)

Juga

(.)]ik :T rs (TpM) → T r+1

s−1 (TpM), ψ 7→ ψ]ik

ψ]ik (vi1 , · · · , ϕik , · · · , vis , ϕj1 , · · · , ϕjr) := ψ(vi1 , · · · , (ϕik)]ik , · · · , vis , ϕ

j1 , · · · , ϕjr)

menggunakan identitas(v[)] = v dan(ϕ])[ = ϕ, dapat disimpulkan

ψ(vi1 , · · · , vis , ϕj1 , · · · , ϕjr) = ψ[jk (vi1 , · · · , vis , ϕ

j1 , · · · , (ϕjk)]jk , · · ·ϕjr)

= ψ]ik (vi1 , · · · , (vik)[ik , · · · , vis , ϕ

j1 , · · · , ϕjr)

Dapat dilihat, komposisi dua operasi] saling komutatif :(ψ]ik )]il = (ψ]il )]ik begi-

tu juga untuk operasi[. Tetapi komposisi kedua jenis operasi tersebut tidak saling

komutatif. Mengingat sifat operasi ini, dapat didefinisikan tensor kovarian total dari

ψ ∈ T rs (TpM) sebagaiψ[ ∈ T 0

r+s(TpM), yaitu tensorψ yang dikenai seluruh operasi

]ik yang mungkin padanya tanpa membedakan urutannya. Juga tensor kontravarian

total dariψ sebagaiψ[ ∈∈ T r+s0 (TpM), yaitu tensorψ yang mendapatkan seluruh

operasi]jkyang mungkin padanya. Isomorphisme(.)] dan(.)[ biasa disebut sebagai

37

"menaikkan dan menurunkan indeks". Istilah ini dimotivasi oleh ungkapannya dalam

notasi indeks abstrak. Dalam notasi ini, dituliskan(g])ab = gab, (v[)a = gabva := va,

dan (ϕ])a = gabϕb := ϕa. Pendefinisian tensor kovarian dan kontravarian total

memungkinkan untuk mendefinisikan forma bilinier padaT rs (TpM) yang bersifat

simetrik dan nondegeneratif

g[rs

]:T r

s (TpM)× T rs (TpM) → R

(ψ, φ) 7−→ C11 · · ·Cr+s

r+sψ] ⊗ φ[

6. Submanifold

Karenapush-forwardsuatu pemetaan licinF pada suatu titik adalah " pen-

dekatan linier terbaik"F di dekat titik tersebut, Beberapa sifat tertentu dariF dapat

dipelajari dari struktur tersebut. Di antaranya adalah sifat - sifat bayangan pemetaan

berdasarkan rank (dimensi bayangan) pemetaan. Rank pemetaan licinF :M→N di

p ∈ M adalah rank dari pemetaan linierF∗:TpM→ TpN . JikaF mempunyai rank

yang sama di setiap titik, dikatakan rank pemetaanF konstan. PemetaanF dengan

rank yang konstan dikatakan sebagaiimmersionjika F∗ injektif di setiap titik (atau

ekuivalen dengan rankF= dim(M)), atau dikatakansubmersionjika F∗ surjektif di

setiap titik (atau ekuivalen dengan rankF= dim(N )). Bayangan pemetaanimmer-

sion M = F (M) yang dilengkapi dengan topologi dan struktur licin sedemikian

rupa sehingga pemetaanF :M→ M suatu diffeomorfis dikatakan sebagaiimmersed

submanifold. Suatu jenis pemetaanimmersionyang penting adalahimbedding, yaitu

immersioninjektif yang juga merupakan homeomorfisme antaraM denganM se-

bagai subruang topologis dariN . Bayangan pemetaanimbeddingdisebut sebagai

imbeddedsubmanifold. ApabilaM⊂ N , pemetaan inklusi menjadiimbeddinglicin

38

yang menyebabkanM menjadiimbeddedsubmanifold dariN . Secara lokal, pada

setiap titik padaM terdapat lingkungan yang menyebabkanF menjadiimbedding

pada lingkungan tersebut.

Diberikan sebuah manifold pseudo - Riemannan(M, g) dan submanifold (im-

mersed) f : Σ →M. JikaT 01 (f) menyatakan himpunan medan vektor padaf(Σ) dan

T 01 (Σ) menyatakan himpunan medan vektor padaΣ, maka untukU, V ∈ T 0

1 (Σ) ,

X, Y ∈ T 01 (f) dan∇ koneksi Levi - Cevita padaM akan dipenuhi

1. ∇f∗Uf∗V −∇f∗V f∗U = f∗ [U, V ]

2. d 〈X,Y 〉 (U) = 〈∇f∗UX, Y 〉+ 〈X,∇f∗UY 〉.

Pada setiap titikf(x) ∈ M , ruangTf(x)M akan terpecah menjadi jumlahan

langsung ortogonalTf(x)M = f∗TxΣ⊕ (TxΣ)⊥ dengan(TxΣ)⊥ :=v ∈ Tf(x)M

|g(v, w) = 0,∀w ∈ f∗TxΣ melalui proyeksiv 7→ v> ∈ f∗TxΣ dan v 7→ v⊥ ∈

(TxΣ)⊥ s.r.sv = v> + v⊥. Secara alamiahΣ memperoleh medan metrik warisan

dari (M, g) yang berbentukf ∗g. Apabila f ∗g nondegeneratif, submanifold yang

dibangkitkan olehf akan disebut sebagai submanifold nondegeneratif.Hypersurface

nondegeneratif merupakan submanifold nondegeneratif berkodimensi satu.

Melalui pemecahan ruang, maka untukU, V ∈ T 01 (Σ) memenuhi∇f∗Uf∗V =

(∇f∗Uf∗V )> + (∇f∗Uf∗V )⊥. Dapat dibuktikan bahwa koneksi∇ yang diperoleh

melaluif∗∇UV := (∇f∗Uf∗V )> merupakan koneksi Levi - Cevita pada(Σ, f∗g) dan

tensorII(U, V ) := (∇f∗Uf∗V )⊥ yang disebut sebagai tensorshapemerupakan tensor

simetris. Melalui keduanya dapat diperoleh beberapa hubungan

1. Persamaan Gauss

f ∗(RΣ(U, V )W,X

)= 〈R(U, V )W,X〉+ 〈II(U,X), II(V,W )〉

− 〈II(U,W ), II(V,X)〉

39

2. Persamaan Codazzi

(R(f∗U, f∗V )f∗W )⊥ = (∇f∗UII)⊥ (V,W )− (∇f∗V II)

⊥ (U,W )

Untuk U, V,W,X ∈ T 01 (Σ) , R tensor kelengkungan pada(M, g) danRΣ tensor

kelengkungan pada(Σ, f∗g). Terhadap senbarangN medan vektor sepanjangΣ

sedemikian rupa sehinggaNx ∈ (Tf(x)Σ)⊥, dipenuhi persamaan Weingarten

∇f∗VN = (∇f∗VN)⊥ − 〈II(V, .), N〉]

untuk semuaU medan vektor padaΣ an]menyatakan operasi kenaikan indeks menu-

rut metrik imbasf ∗g.

Rata - rata tensorshapepada suatu titik diberikan oleh medan vektor ke-

lengkungan rata - rataH yang didefinisikan oleh

Hp :=1

dim(Σ)

dim(Σ)∑i=1

f ∗g(ei, ei)II(ei, ei)

dengane1, · · · , edim(Σ)

basis ortonormal padaTpM. Tentu saja medan vektor ini

bebas terhadap pemilihan basis.

Untuk setiap kurvaγ: [a, b] → Σ dann ∈ (Tγ(a)Σ)⊥, akan terdapat medan

vektorN sepanjangf γ yang berhubungan dengan transport paralel normal vektor

n dengan sifat

1. N(a) = n,

2. N(t) ∈ (Tγ(t)Σ)⊥ untuk setiapt ∈ [a, b],

3. dan(∇f∗γN)⊥ = 0.

N ini dapat ditulis sebagaiN(t) = P⊥γ|[a,t)n. Ini menunjukkan eksistensi medan vek-

tor yang normal sepanjangΣ. Medan vektor semacam ini dengan panjang satu satuan

40

akan disebut dengan medan vektor normal atau normal saja. Misalkan terdapat medan

vektor normaln dengan〈n,n〉 = ±1, operator yang berhubungan dengan komponen

tensorshapesepanjangn yaitu Sn dengan tindakan〈Snu, v〉 = 〈II(u, v),n〉 dise-

but akan sebagai operatorshapedan dengan proyeksi ortogonalπn: (TpΣ)⊥ → Rn

didefinisikan bentuk dasar kedua (second fundamental form) kn menurutn sebagai

πn(II(u, v)) = k(u, v)n. Karena padaimmersed hypersurfacemedann bersifat

tunggal, operatorshapedan bentuk dasar kedua menjadi berbentuk sederhana, yaitu

Snu = ∇f∗un yang self adjoint terhadapg dank(u, v) = −〈∇f∗un, f∗v〉 〈n,n〉. Be-

gitu juga kelengkungan rata - ratanya menjadiHp = 1n−1

tr(kp). Dalam kasusΣ ⊂M

suatuimmersedatau imbeddedsubmanifold, analisis menjadi lebih mudah karena

medan vektor padaΣ adalah medan vektor padaM yang dibatasi padaΣ melalui

push-forwardpemetaan inklusi, sedangkan forma-1 padaΣ hanyalah forma-1 pada

M yang dibatasi aksinya pada ruang singgungΣ.

Salah satuimbeddedsubmanifold yang menarik adalah manifold dengan batas

(boundary). Secara formal didefinisikan sebagai berikut:

Definisi II.18 Pasangan(M, ∂M) dikatakan sebagai manifold dengan batas apa-

bila terdapat suatu manifoldM berdimensin dan suatu imbeddingi:M → M

sedemikian rupa sehingga

1. Batas topologis∂i(M) adalah submanifold berdimensin − 1 dari M yang

diffeomorfis terhadap∂M)

2. Sistem koordinat(U , ϕ) di M denganU ∩ i(M) 6= 0 memenuhi

ϕ(U ∩ i(M)) = y ∈ ϕ(U) |yn > 0

Mudahnya dikatakan, manifold berbatas adalahimbeddedsubmanifold tertutup yang

secara lokal homeomorfis denganHn := (x1, · · · , xn) ∈ Rn |xn ≥ 0. Manifold

41

jenis ini muncul dalam masalah integrasi permukaan suatu forma differensial.

7. Teorema Frobenius

JikaN merupakan submanifold dariM, TpN ⊂ TpM untuk setiapp ∈ N .

Oleh karena ituTN ⊂ TM sehinggaTN dikatakan sebagai subbundel dariTM.

Difinisi subbundel vektor yang lebih tepat diberikan sebagai berikut

Definisi II.19 MisalkanE bundel vektor atasM dengan proyeksiπ. Suatu bundel

vektorF atasN dikatakan sebagai subbundel vektor dariE jika F merupakan sub-

manifold dariE danN submanifold dariM sedemikian rupa sehingga

1. π|F :F → N mendefinisikan struktur bundel vektor dengan manifold basisN .

2. Fq subruang vektor dariEq untuk semuap ∈ N .

Tetapi kondisi cukup dan perlu apa yang diperlukan agar setiap subbundel berhubun-

gan dengan suatu submanifold ?, pertanyaan ini dijawab oleh teorema Frobenius.

Definisi II.20 Subbundel vektorE dari TM dikatakan integrabel (integrable) jika

komutator dua sectionU, V padaE juga merupakan section padaE.

Manifold integral dariE adalah submanifoldN dariM denganTN ⊂ E. Manifold

integralN dikatakan maksimal jikaTpN = Ep untuk setiapp ∈ N .

MisalkanE subbundel vektor berdimensik dari TM, V1, · · · , Vk kerangka lokal

padaE danU, V merupakansectionpadaE, maka akan terdapatαi, βi sehingga

keduasectiondapat dituliskan denganU =∑k

i=1 αiVi danV =

∑ki=1 β

iVi. Dapat

diperoleh

[U, V ] = (U(βi)− V (αi))Vi + αiβj [Vi, Vj]

oleh karena itu, kondisi cukup dan perlu bagi integrabilitas adalah[Vi, Vj] ∈ E.

42

Lemma II.5 Subbundel vektorE berdimensik dari TM bersifat integrabel jika dan

hanya jika terdapat kerangka lokalV1, · · · , Vk dari E sedemikian rupa sehingga

[Vi, Vj] ∈ E untuk setiapi, j.

Teorema II.7 (Teorema Frobenius Bentuk Kontravarian)

MisalkanE subbundel licin dariTM, maka melalui setiapp ∈M secara lokal akan

terdapat manifold integralNp dariM jika dan hanya jikaE integrabel danNp gayut

licin terhadapp.

Ketika semua manifold integral maksimal berdimensik dikumpulkan menjadi satu,

akan diperoleh dekomposisiM. Dekomposisi ini disebut sebagai foliasi (foliation)

[Lee , 2000]. Lebih tepatnya, foliasi berdimensik atas manifoldM yang berdimen-

si n adalah himpunan semua himpunan semuaimmersedsubmanifold tersambung

berdimensik saling asing yang gabungannya adalahM dan sedemikian rupa sehing-

ga pada setiapp ∈ M terdapat sistem koordinat(U , ϕ) sedemikian rupa sehingga

irisan setiap anggota foliasi (yang disebutleaf) denganU merupakan k-slice, yaitu

S ⊂ U yang mempunyai ungkapan dalam sistem koordinat

ϕ(S) =xi∣∣xk+1 = ck+1, · · · , xn = cn; ck+1, · · · , cn konstanta

.

Teorema di atas dapat juga diungkapkan dalam bentuk kovarian, Misalkan

V1, · · · , Vk merupakan kerangka untukE dan Vk+1, · · · , Vn menyatakan kom-

plemennya dalamM. Menggunakaan basis jodohnya, maka dapat dinyatakanE =⋂ni=k+1 kern(ωi). Untuk mengungkapkan integrabilitasE, didefinisikan hal berikut

Definisi II.21 Himpunan forma-1 dengan cacah berhingga dan bebas linier pertitik

disebut sebagai sistem Pfaffian. Sistim Pfaffian dikatakan integrabel jika subbundel

vektorE =⋂

i kern(ωi) integrabel.

43

Hal yang harus dipenuhi apabilaωi |i = k + 1, · · · , n menjadi kerangka

jodoh (coframe) dari komplemenVj |j = 1, · · · , k adalahωi(Vj) = 0, serta

dωi(Vk, Vl) = −ωi([Vk, Vl])

Oleh karena itu integrabilitasE dapat dinyatakan dengandωi ∧ ωk+1 ∧ · · · ∧ ωn = 0

untuk semuai ∈ k + 1, · · · , n.

Teorema II.8 (Teorema Frobenius Bentuk Kovarian)

Misalkanωi sistem Paffian yang memenuhi kondisidωi ∧ ωk+1 ∧ · · · ∧ ωn = 0 untuk

semuai ∈ k + 1, · · · , n. Akan terdapat koordinat(x1, · · · , xn) dan suatu fungsiωia

dengan

ωi = ωij

(x1, · · · , xn

)dxj; j ∈ k + 1, · · · , n

ManifoldN = q ∈M|xj(q) = xj(p), j ∈ k + 1, · · · , n adalah manifold in-

tegral maksimal dariE =⋂n

i=k+1 kern(ωi).

8. Integrasi Pada Manifold

Sepanjang suatu segmen kurva dalamM dapat didefinisikan integral garis

medan kovektor. Segmen kurva maksudnya adalah kurva kontinyuγ: [a, b] → M

dengan domain suatu interval kompak. Lebih khusus lagi adalah kurva licin sepotong

sepotong yaitu segmen kurva yang mempunyai subdivisi - subdivisi berhinggaa =

a0 < a1 < · · · < ak = b sedemikian rupaγ∣∣[ai,ai+1] licin. Didefinisikan integral

medan kovektorω licin atasγ sebagai

∫γ

ω =k−1∑i=0

∫[ai,ai+1]

γ∗ω (II.27)

44

Dapat dibuktikan integral ini bebas parametrisasi. Ambil diffeomorfismeϕ: [c, d] →

[a, b], maka

∫γ

ω =

∫[c,d]

(γ ϕ)∗ω =

∫[c,d]

ϕ∗γ∗ω

=

∫[a,b]

γ∗ω =

∫γ

ω

Teorema II.9 (Teorema Fundamental Integral Garis)

Misalkanf fungsi licin padaM danγ: [a, b] → M segmen kurva licin sepotong -

sepotong, maka ∫γ

df = f(γ(b))− f(γ(a))

Teorema di atas menunjukkan bahwa integral garis suatu medan kovektor yang da-

pat ditulis sebagai differensial suatu fungsi licin akan dapat dihitung secara eksak.

Dengan alasan ini, suatu medan kovektor dikatakan eksak (exact) jika terdapat suatu

fungsi licin sehingga medan covektor tersebut dapat dituliskan sebagai differensial

fungsi tersebut. Fungsi licin tersebut disebut sebagai potensial dari medan kovektor.

Potensial tersebut tidaklah tunggal, karena fungsi dengan beda sembarang konstanta

dengan fungsi yang lama akan mempunyai differensial yang sama.

Untuk mendefinisikan integrasi pada manifold, diperlukan konsep yang dise-

but sebagai orientasi. Suatu manifold riil berdimensin dikatakan berorientasi ji-

ka terdapat forma-n yang tidak lenyap di mana - mana. Jelasnya akan terdapat

dua kelas ekuivalen dari forma-n tersebut, yaitu :fν |f ∈ C∞(M,R+ − 0)

dan−fν |f ∈ C∞(M,R+ − 0). Bersama dengan salah satu kelas ekuivalensi

tersebut, manifold tersebut dikatakan sebagai manifold berorientasi. DalamRn, ke–

dua kelas ekuivalensi ini biasa disebut sebagai orientasi ’putar kanan’ dan orientasi

’putar kiri’. Orientabilitas manifold dapat pula diungkapkan melalui sifat atlasnya

: manifold dikatakan berorientasi jika dan hanya jika mempunyai atlas(Uk, ϕk)

45

sedemikian rupa untuk setiapp ∈ Ua ∩ Ub differensialD(ϕa ϕ−1b )p: Rn → Rn

mempunyai determinan positif. Cara ini dapat diturunkan dari sifat - sifat forma-n di

bawah transformasi sistem koordinat dalam atlas.

Semisalω adalah orientasi padaM, maka pada suatuhypersurfaceΣ dapat di-

turunkan suatu orientasi warisan. MisalkanE1, · · · , En−1 medan basis padaΣ dan

n medan normal sepanjangΣ, makan, E1, · · · , En−1merupakan medan basis pada

M. Oleh karena itu dapat diturunkan orientasi padaΣ sebagai forma-(n − 1) yang

berbentukωΣ := nyω sepanjangΣ. Hal yang serupa dapat diterapkan pada manifold

berbatas. JikaM manifold berbats,∂M merupakanimbedded hypersurfacepada

M. Di bawah sistem koordinat lokal(U , ϕ), ∂M dicirikan olehslicedenganxn = 0.

Menutup∂M dengan sistem koordinat(Uα, ϕα) dan mendefinisikan medan vektor

lokal berarah keluarNα = −∂/∂xn |Uα∩∂M yang dapat dijadikan medan vektor glo–

bal licinN dengan bantuanpartition of unityfα3 subordinat atas liputUα ∩ ∂M

pada∂M yaituN =∑

α fαNα. Orientasi∂M menurutN dapat diberikan dengan

(Nyω) |∂M

Pada manifold Pseudo-Riemannian, forma differensial yang memberikan ori-

entasi dapat dinyatakan secara tunggal dari metriknya. forma ini disebut sebagai for-

ma volumeµM =√|det((gij)1≤i,j≤n)|dx1 ∧ · · · ∧ dxn dengan(x1, · · · , xn) sistem

koordinat berorientasi positif.

Definisi II.22 MisalkanM manifold riil berdimensin berorientasi danω forma-n

kontinyu dengan support yang kompak. Integrasiω padaU ⊃ supp(ω) menurut

sistem koordinat(U , ϕ) didefinisikan dengan

∫(U ,ϕ)

ω =

∫(U ,ϕ)

ω1···ndx1 ∧ · · · ∧ dxn =

∫ϕ(U)

ω1···n ϕ−1dx1 · · · dxn

3Dapat dilihat pada Lampiran A

46

Difinisi ini bebas pemilihan sistem koordinat, oleh karena itu menggunakan atlas

berorientasi(Uα, ϕα) denganUα mempunyai klosure kompak danpartition of unity

fα subordinat atasUα dapat didefinisikan integrasiω ke seluruhM sebagai

∫Mω :=

∑α

∫(Uα,ϕα)

fαω

Teorema II.10 (Teorema Stokes)

Misalkan(M, ∂M) manifold riil kompak berorientasi dengan batas danω forma-

(n−1) padaM. Diasumsikandω danω integrabel padaM dan∂Mmaka dipenuhi

∫∂M

ω =

∫Mdω

Berikutnya dengan mendefinisikan operasi divergensi medan tensorψ ∈ T rs (M)

pada manifold pseudo-Riemanian(M, g) sebagaidiv: T rs (M) → T r−1

s (M) sebagai

divψ(λ1, · · · , λr−1, v1, · · · , vs) :=n∑

a=1

(∇Eaψ)(θaλ1, · · · , λr−1, v1, · · · , vs)

dimanaE1, · · · , En dan θ1, · · · , θn sepasang medan basis orthonormal saling

berjodoh, dapat diturunkan teorema Gauss dari teorema Stokes diatas

Teorema II.11 (Teorema Gauss)

Misalkan(M, g) manifold pseudo-Riemannian,U medan vektor danV ⊂ M sub-

set terbuka dengan batas∂V. Diasumsikan∂V submanifold yang licin dan terda-

pat medan vektorn sepanjang∂V dengang(v, n) = 0 untuk setiapv ∈ T∂V dan

g(n,n) = η ∈ −1, 1 maka akan diperoleh

∫V(div(U))µM = η

∫∂V〈n, U〉µ∂V

47

Teorema ini dapat diperoleh karenaLUµM = (div(U))µM untuk setiapU medan

vektor padaM. Oleh karena itui: ∂V → M akan memberikani∗(UyµM) =

η 〈U,n〉nyµM = η 〈n, U〉µ∂V

BAB III

TEORI RELATIVITAS UMUM

Pada bab ini akan disajikan model matematik ruang-waktu (Space - time)

relativitas umum dan sejumlah postulat untuk membangun relativitas umum secara

lengkap. Akan ditunjukkan keberadaan singularitas fisis dalam beberapa contoh ru-

ang - waktu relativitas umum kemudian akan didiskusikan pendefinisian singularitas

yang lebih umum berikut metode yang dapat digunakan untuk mendeteksi singulari-

tas pada sembarang ruang - waktu relativitas umum.

1. Manifold Ruang-Waktu

Model matematik yang dipakai ruang-waktu – himpunan kejadian (events)

yang mungkin – dalam teori relativitas umum adalah suatu pasangan(M, g), de–

nganM menyatakan manifold licin berdimensi empat yangHausdorffdan tersam-

bung (connected), sedangkang menyatakan metrik lorentzian padaM. Dua model

(M, g) dan(M′, g′) dikatakan saling ekuivalen jika terdapat isometri di antara mere-

ka yaitu terdapat suatu diffeomorfismeΘ:M → M′ yang mengimbasΘ∗g = g′.

Himpunan yang beranggotakan semua model ruang - waktu yang ekuivalen dengan

(M, g) membentuk kelas ekuivalensi yang dilambangkan dengan[(M, g)]. Dalam

praktriknya, cukup dipakai salah satu anggota atau wakilan dari kelas eqivalensi terse-

but. Sebagai contoh apabila dimiliki suatu medan vektorU pada(M, g) maka grup

lokal berparameter satuφt yang dibangkitkan olehU dapat mengimbas pemetaan

φ∗tg. Dalam kasus dimanaφ∗tg = g dapat dikatakanφt membangkitkan isometri pada

M dang dikatakan invarian oleh transformasi atau pemetaanφt. Model(M, g) akan

ekuivalen dengan(M, φ∗tg). Medan vektor pembangkit grup lokal berparameter satu

tersebut biasa disebut sebagai medan Killing.

48

49

Dengan keberadaan medan metrikg maka pada setiapp ∈ M , vektor - vek-

tor singgungv ∈ TpM, v 6= 0 terbagi atas tiga kelas yaitu vektor bak-waktu (time-

like vector) jika gp(v, v) < 0 , bak-ruang (spacelike vector) jika gp(v, v) > 0 dan

null atau bak cahaya (lightlike) jika gp(v, v) = 0. Kurva dalam manifold dengan

vektor singgung pada setiap titiknya berupa vektor bak-waktu secara fisis mewakili

trayektori partikel bermassa. Kurva semacam ini biasa disebut sebagai kurva bak-

waktu. Kurva null yaitu kurva yang vektor singgungnya pada setiap titiknya meru-

pakan vektor null secara fisis mewakili trayektori partikel tidak bermassa, luxon mis-

alnya. Kurva bak-ruang sementara tidak didefinisikan karena menyalahi prinsip rela-

tivitas khusus yang hanya mengakomodasi partikel-partikel berkecepatan kurang atau

sama dengan kecepatan cahaya. Kurva dikatakan sebagai kurva kausal apabila vek-

tor singgung sepanjang kurva merupakan vektor bak-waktu atau vektor null. Partikel

jatuh bebas mengambil jenis kurva khusus yang berupa kurva geodesik untuk menun-

jukkan bahwa pada setiap titik trayektori partikel tidak mengalami percepatan akibat

pengaruh luar selain akibat geometri ruang - waktu.

2. Medan - Medan Materi

Isi materi ruang-waktu – sebagai contoh medan elektromagnetik, medan gra–

vitasi dan lain-lain – dinyatakan dalam berbagai medan padaM yang memenuhi per-

samaan - persamaan tensor. Koneksi padaMmerupakan koneksi bebas torsi menurut

g. Medan - medan materi yang ada akan dinyatakan dengan medan - medan tensor

Ψ(i). Indeks(i) menyatakan nomor medan materi. Medan - medan materi memenuhi

tiga postulat berikut ini [Hawking dan Ellis , 1973]

1. Kausalitas lokal

MisalkanU merupakan lingkungan tempat terjadinya persamaan medan.U su-

atu lingkungan normal konvek (convex normal neighbourhood) jika dan hanya

50

jika untuk setiap pasanganp, q ∈ U sinyal dapat dikirim di antarap dan q

melalui kurva kontinyu yang termuat seluruhnya dalamU dengan jenis kurva

berupa kurva - kurva bak-waktu atau null. Sinyal dikatakan berasal darip ke q

atau dariq kep tergantung pada arah waktu dalamU . Pembahasan lebih lanjut

tentang kausalitas diberikan pada bab berikutnya.

2. Kelestarian energi dan momentum lokal.

Terdapat medan tensor simetrik yang disebut sebagai medan tensor energi-

momentumT ∈ T 02 (M) yang gayut metrik, medan materi serta turunan ko-

variannya dan memenuhi sifat - sifat

(a) T lenyap padaU jika dan hanya jika medan - medan materi lenyap pada

U

(b) T bebas divergensi

div(T ]) = 0 (III.1)

Jika medan metrikg mengijinkan keberadaan medan Killingξ, persamaan III.1

dapat memberikan persamaan kelestariaan. Tetapi sebelumnya ditunjukkan

medan vektorT (ξ, .)[ = T ](ξ[, .) bebas divergensi. KarenaT simetris dan

bebas divergensi serta medan Killingξ memenuhi∇ξ[(U, V )+∇ξ[(V, U) = 0

untuk semua medan vektorU danV , maka dalam pasangan basis ortogonal

Ei danθi diperoleh

div(T (ξ, .)]

)= div

(T ](ξ[, .)

)=

(div(T ])

)(ξ[) +

∑j

T ](∇Ei

ξ[j, θ

j)

(III.2)

MisalkanΣtt∈R menjadi foliasi padaM dengan medan normalnt , danW

subset terbuka denganW∩Σt tersambung untuk semuat. Didefinisikan subset

51

Wt1,t2 sebagai⋃

t∈[t1,t2]W ∩ Σt dan batas yang tidak termuat dalamΣt1 ∪ Σt2

sebagaiWtime Jika terdapat medan Killingξ dansupp(T ) ∩W = ∅ maka dari

⟨nt, T (ξ, .)]

⟩(ntyµM) (V1, . . . , Vn−1)

=⟨nt, T (ξ, .)]

⟩µM(nt, V1, . . . , Vn−1)

= −(T (ξ, .)]yµM

)(V1, . . . , Vn−1) (III.3)

dapat diperoleh menggubakan teorema Stokes

∫∂W

⟨nt, T (ξ, .)]

⟩ntyµM =

∫Σt2∩Wt1,t2

⟨nt2 , T (ξ, .)]

⟩nt1yµM

−∫

Σt1∩Wt1,t2

⟨nt1 , T (ξ, .)]

⟩nt2yµM (III.4)

=

∫Wd(⟨nt, T (ξ, .)]

⟩(ntyµM)

)=

∫W−divT (ξ, .)]µM

= 0 (III.5)

Dari persamaan III.4 dapat diperoleh

∫Σt2∩Wt1,t2

⟨nt2 , T (ξ, .)]

⟩nt1yµM =

∫Σt1∩Wt1,t2

⟨nt1 , T (ξ, .)]

⟩nt2yµM(III.6)

yang menunjukkan kuantitas∫

Σt

⟨nt, T (ξ, .)]

⟩ntyµM bebas dari pemilihan pa-

rametert. Dapat ditafsirkan bahwa fluk total komponen - komponen tensor

energi-momentumT menurut medan Killingξ pada suatu permukaan tertutup

adalah nol. Jika medan metrik tidak datar , tidak selalu dapat ditemukan medan

Killing pada manifold, akan tetapi dengan memilih koordinat normal pada su-

atu titik maka persamaan kelestarian masih bisa terjadi. Dengan demikian dapat

dikatakan bahwa kelestarian energi-momentum selalu bisa diambil pada suatu

52

area kecil pada manifold ruang-waktu.

3. Persamaan medan

Relasi antara geometri ruang-waktu dengan medan materi yang menjadi isi

ruang-waktu dinyatakan dalam persamaan medan Einstein

Ric− 1

2Scalg + Λg = 8πT (III.7)

Λ merupakan koefisien yang disebut konstanta kosmologi. Teori Newton tidak

dapat diperoleh untuk pendekatan medan lemah dan gerak lambat jikaΛ 6= 0,

akan tetapi apabilaΛ diambil mendekati nol pendekatan ini masih bisa di-

lakukan. konstanta ini diajukan oleh Einstein untuk memperoleh ruang - waktu

yang homogen, isotropik dan statis, kecilnya nilaiΛ akan memberikan kon-

tribusi cukup relevan hanya pada skala yang sangat luas . Hanya saja sejak tera-

matinya pergeseran merah Hubble (1929) yang menunjukkan adanya ekspansi

jagat - raya, konstanta ini kemudian diabaikan. Awalnya konstanta ini dia-

jukan untuk merujukkan relativitas umum dengan konsepsi Mach tentang in-

ersia [Gasperini , 1985]: kesetaraan gaya gravitasi dan gaya inersia. Karena

grafitasi dihasilkan oleh materi, maka gaya inersia haruslah dapat dibangkitkan

oleh keberadaan materi. Ditunjukkan oleh Minkowski, terdapat solusi untuk

Tab = 0 danΛ = 0 sebagai ruang datar yang mengijinkan semua gaya iner-

sianya meskipun tidak ada materi yang membangkitkannya. Einstein meyakini,

dengan mengambilΛ positif tidak akan ada penyelesaian untuk ruang kosong.

Akan tetapi De Sitter menunjukkan kemungkinan adanya ruang lengkung tanpa

keberadaan materi sehingga berkontradiksi dengan prinsip Mach. Oleh karena

itulah Einstein membatalkan suku ini.

53

3. Syarat Energi

Untuk mewakili materi nyata cukup beralasan untuk menganggap tensor e–

nergi momentum memenuhi pertidaksamaan tertentu. Salah satunya adalah harapan

agar rapat energi lokal yang diukur oleh pengamat lokal bersifat nonnegatif.

Definisi III.1

1. Syarat energi lemahdipenuhi jikaT (v, v) ≥ 0 untuk semua vektor kausal

v ∈ TpM, p ∈M.

2. Syarat energi dominandipenuhi jika semua vektor bak-waktuv ∈ TxM, x ∈

M memenuhiT (v, v) ≥ 0 danT (v, .) kausal.

3. Syarat energi kuatdipenuhi jika untuk semua vektor kausalv ∈ TxM, x ∈M

memenuhi syaratRic(v, v) ≥ 0.

4. Sedikit Tentang Singularitas

Topik utama skripsi ini adalah singularitas. Tetapi, sebelumnya perlu diperje-

las pengertian singularitas, keberadaannya dan peranannya dalam fisika. Singularitas

sebenarnya muncul pada tataran matematis. Secara umum, singularitas menunjukkan

kegagalan suatu pemetaan untuk mempunyai balikan atau invers pemetaan. Muncul-

nya singularitas suatu pemetaan menimbulkan akibat yang bermacam - macam. Di

antaranya adalah dalam konteks fungsi bernilai riil, singularitas berkaitan dengan di-

vergensi nilai fungsi itu di suatu titik. Yakni divergen dalam artian bahwa nilai fungsi

itu pada titik yang bersangkutan mempunyai nilai menuju ke∞. Padahal∞ bukan

bagian dari bilangan riil. Oleh karena itu titik divergen menunjukkan titik yang kehi-

langan nilai fungsi. Dalam fisika, kevalidan suatu teori akan diuji dengan eksperimen

54

- eksperimen yang melibatkan pengukuran - pengukuran dengan hasil bilangan ri-

il. Oleh karena itu konsep singularitas fisis dapat diadopsi dari konsep singularitas

matematis yang terjadi pada fungsi - fungsi bernilai riil, di antaranya adalah konsep

divergensi nilai fungsi.

Medan tensor mempunyai komponen - komponen yang tergantung pada pemi–

lihan basis. Kadang meskipun suatu tensor mempunyai komponen yang divergen pa-

da suatu basis tertentu, tapi pada basis yang lain mungkin saja tidak. Oleh karena

itu perlu dilakukan peralihan sistem koordinat agar tidak ada lagi komponen yang

divergen. Singularitas yang dapat dilenyapkan dengan transformasi koordinat dise-

but sebagai singularitas semu. Medan skalar atau fungsi licin pada suatu manifold

mempunyai sifat yang berbeda; sekali divergen pada suatu wilayah, maka medan

skalar tersebut tetap divergen pada sistem koordinat apapun. Divergensi semacam

ini tidak akan lenyap hanya dengan transformasi koordinat. Singularitas yang tidak

bisa dilenyapkan semacam ini disebut sebagai singularitas sejati. Sebagai contoh,

singularitas yang terjadi pada medan metrik atau medan kelengkungan mungkin da-

pat dihilangkan dengan pemilihan basis koordinat yang cocok, akan tetapi medan

skalar yang dapat dibentuk dari kedua medan tensor tersebut mungkin tetap mem-

punyai singularitas. Beberapa contoh singularitas pada penyelesaian medan Einstein

berikut diskusi tentang pendefinisian singularitas yang lebih rinci untuk model ruang

relativitas umum akan diberikan pada subbab selanjutnya.

5. Contoh Singularitas Pada Beberapa Solusi Medan Einstein

a. Ruang Schwarzschild . Ruang waktu ini merupakan penyelesaian eksak per-

tama persamaan medan Einstein yang ditemukan oleh Karl Schwarzschild (1916)

untuk medan statis bersimetri bola yang merupakan pendekatan untuk medan gravi-

tasi di luar benda bersimetri bola yang diam tanpa rotasi. Ruang - waktu dikatakan

55

statis bila mengijinkan keberadaan grup isometri berparameter satuφt dengan orbit

kurva bak-waktu dan terdapathypersurfacebak-ruangΣ yang ortogonal sepanjang

orbit isometri tersebut. Dengan kata lain terdapat medan vektor Killing bak-waktuξ

yang memenuhi

dξ[ ∧ ξ[ = 0 (III.8)

Secara lokalΣ terlabeli oleh ’koordinat waktu’ di bawah isometriφt menjadiΣt yang

mempunyai metrik bebas terhadap koordinatt. Kemudian ruang - waktu dikatakan

bersimetri bola jika mengijinkan subgroup isometri dariSO(3) dengan orbit berupa

permukaan bola duaS2. IsometriSO(3) dapat ditafsirkan sebagai rotasi, sehingga ru-

ang semacam ini mempunyai metrik yang invarian terhadap rotasi. Setelah diberikan

syarat ruang vakum dan datar asimtotik medan metriknya dapat dituliskan dalam sis-

tem koordinat(t, r, θ, ϕ) sebagai

g = −(1− 2m

r)dt2 + (1− 2m

r)−1dr2 + r2dΩ2 (III.9)

dengan

dΩ2 = dθ2 + sin2 θdϕ2 (III.10)

Medan metrik ini mempunyai singularitas pada daerahr = 0 danr = 2m

yang dapat muncul karena salah satu di antara dua hal berikut

1. Singularitas semu yang muncul karena kegagalan sistem koordinat yang di-

pakai untuk meliputi daerah singularitas, untuk menghilangkannya diperlukan

sistem koordinat baru yang masih dalam struktus licin yang sama dan mampu

melingkupi daerah singularitas.

56

2. Singularitas fisis sesungguhnya. Keberadaannya dapat diperiksa dengan menghi-

tung kelengkungan skalar semisalg[

13

](R,R) = RijklRijkl. Pada daerah sin-

gularitas kelengkungan skalar dapat menjadi tak berhingga, juga perlu ditun-

jukkan bahwa singularitas tersebut berada pada suatu parameter affine berhing-

ga dari geodesik ruang tersebut.

Perhitungan skalar kelengkungan menunjukkan

I(r) = g

[1

3

](R,R) = RijklRijkl =

48m2

r6(III.11)

dengan demikian daerahr = 0 merupakan daerah singularitas nyata dan daerah

r = rg = 2m merupakan daerah singularitas semu yang dapat dilenyapkan de–

ngan menggunakan sistem koordinat yang cocok. Untuk membuang daerah singular

ini, dapat dilakukan perluasan melalui manifold asal(M, g) ke manifold nonsingular

(M, g) yang memuat manifold asal sebagai subhimpunannya dang bersesuaian den-

gang ketika dibatasi padaM. Kruskal (1960) melakukan perluasan sistem koordinat

melalui transformasi

X =(

rrg− 1)1/2

exp (r/2rg) cosh( t2rg

)

T =(

rrg− 1)1/2

exp (r/2rg) sinh( t2rg

)

r > rg (III.12)

X =(1− r

rg

)1/2

exp (r/2rg) sinh( t2rg

)

T =(1− r

rg

)1/2

exp (r/2rg) cosh( t2rg

)

r < rg (III.13)

Dengan menggunakan sistem koordinat ini metrik Schwarzschild menjadi berbentuk

g = −4r3g

rexp (−r/rg)(dT

2 − dX2) + r2(dθ2 + sin2 θdϕ2) (III.14)

Dapat dilihat bahwag tidak lagi singular padar = rg. Kondisi r > rg

57

sekarang ekuivalen dengan|X| > |T | sehingga daerahI danI ′ isometrik terhadap

r > rg dalam koordinat asli(t, r) Sedangkan daerahII dan II dimana|X| < |T |

tetapi dibatasi oleh hiperbolaX2 − T 2 = 1 yang berhubungan denganr = 0 akan

isometrik dengan daerahr < rg.

Gambar III.1: Perluasan Kruskal untuk ruang-waktu Schwarzschild

Jika didefinisikan arah waktu masa depan pada koordinat(T,X) sebagaiT

naik dan keluar jikaX naik, maka berkas cahaya ke masa depan akan melewati dae–

rah r = rg hanya jika keluar dari daerahII ′ dan hanya jika masuk ke daerahII.

Perilaku geodesik radial pada daerahII danII ′ saling berlawanan, partikel yang be-

rada dalam areaII akan selalu berada di dalam dan tidak pernah bisa keluar, sehingga

area ini biasa disebut sebagai lubang hitam (Black holes). Sedangkan pada areaII ′

karena arah waktu yang berlawanan dengan arah waktu areaII maka sifat trayektori

partikelnya berlawanan, semua partikel yang berada di dalam area ini akan dipak-

sa untuk keluar. Area ini biasa disebut sebagai lubang putih (White holes). Sekali

58

pertikel dariI masuk keII maka selamanya tidak pernah keluar. Oleh karena itu,

permukaanr = rg berperilaku seperti membran semipermeabel, permukaan ini dise-

but horizon peristiwa masa depan. Sedangkan permukaanr = rg yang membatasi

I danII ′ disebut horizon peristiwa masa lalu. Secara fisis keberadaan lubang hitam

lebih bisa diterima karena berhubungan dengan keruntuhan gravitasi.

b. Ruang Robertson - Walker . Sangat sulit membuat model jagat raya hanya

dengan mengandalkan data - data observasi yang telah dimiliki. Hal ini dikarena

dalam pengamatan porsi semesta yang teramati hanyalah sebagian kecil saja dan

berasal dari data - data masa lalu semesta. Untuk itu diperlukan asumsi - asumsi

yang lebih bersifat holistik untuk membantu memodelkan semesta dalam skala luas.

berikut ini akan dibahas model semesta yang bersifat homogen dan isotropik.

Ruang - waktu dikatakan homogen spasial jika di mana - mana terlihat sama.

Secara matematis berarti terdapat himpunanhypersurfaceberparameter satuΣt yang

memfoliasi ruang - waktu sedemikian rupa sehingga untuk setiapt akan terdapat

isometrig yang membawa titikp ∈ Σt ke titik q ∈ Σt. Sedangkan ruang - waktu

dikatakan isotropik spasial jika tidak ada arah yang diistimewakan. Secara matema-

tis, dikatakan isotropik spasial di suatu titikp jika terdapat medan vektor pengamat

U sedemikian rupa sehingga terdapat isimetrig yang membuatp tetap tetapi merotasi

vektor s1 ke s2 untuk s1, s2 ∈ U⊥p . Seorang pengamat berparamatert pada ruang

waktu isotropik spasial akan melihat bahwa setiap titik pada permukaanhypersur-

facesaatt konstan akan terlihat eqivalen, oleh karena ituhypersurfacetersebut akan

mempunyai kelengkungan sama. Sedangkan dua pengamat padahypersurfaceterse-

but akan mengamati kejadian serupa, oleh karena itu kondisi isotropis akan cukup

untuk membangkitkan homogenitas [Kriele , 2001].

Dua ruang berkelengkungan sama dengan dimensi dan tanda metrik yang

sama akan isometrik secara lokal, sehingga dapat dipilih ruang - ruang wakilan un-

59

tuk setiap nilai kelengkungan. Katakanlahk menyatakan kelengkunganhypersurface

Riemannan tiga dimensi, maka untukk > 0 dapat diwakili denganS2 berjejarik,

R3 untukk = 0 danH2 hiperbola berjejarik untukk < 0. Dengan melabeli setiap

hypersurfacedengan waktu wajarτ secara lokal metrik ruang waktu akan mengambil

bentuk [Wald , 1984]

g = −dτ 2 + a(τ)2

dψ2 + sin2 ψ(dθ2 + sin2 θdϕ2)

dx2 + dy2 + dz2

dψ2 + sinh2 ψ(dθ2 + sinh2 θdϕ2)

(III.15)

Tiga bentuk dalam kurung persamaan diatas berkaitan dengan tiga kemungkinan ben-

tuk geometri spasial yang diambil. Bentuk umum metrik diatas biasa disebut sebagai

metrik Robertson - Walker. Dengan demikian, asumsi homogenitas dan isotropi akan

mengimbas tiga kemungkinan bentuk geometri spasial dan fungsi positifa(τ). Fungsi

ini mencirikan sifat dinamis ruang - waktu ini , bentuk eksplisitnya dapat ditentukan

melalui persamaan medan Einstein dengan memasukkan energi - momentum yang

sesuai.

Dengan memasukkan tensor energi-momentum fluida sempurna

T = (ρ+ p)U [ ⊗ U [ + pg

akan diperoleh persamaan evolusi umum

3a2/a2 = 8πρ− 3k/a2

3a/a = −4π(ρ+ 3p) (III.16)

Dimanak = +1 untuk bola tiga,k = 0 untuk ruang datar dank = −1 untuk hiper-

boloida. ketikaρ > 0 danp ≥ 0 jagat raya tidak boleh statis. Persamaan III.16

60

menunjukkana < 0, jadi semesta harus selalu mengembang(a > 0) atau menyusut

(a < 0). Skala jarak antar pengamat isotropik akan selalu berubah, tetapi tidak mem-

punyai pusat ekspansi atau kontraksi yang khusus. Semisal jarak (yang terukur oleh

permukaan homogen) antara dua pengamat isotropik pada saatτdinyatakan sebagai

R, maka rata - rata perubahanR adalah

v :=dR

dτ=R

a

da

dτ= HR (III.17)

dimanaH(τ) = a/a disebut sebagai konstanta Hubble. Persamaan ini disebut sebut

sebagai persamaan Hubble. JikaR cukup besar,v dapat lebih besar dari kecepatan

cahaya. Tetapi hal ini tidak menyalahi prinsip relativitas umum dan khusus karena

yang teramati adalah kecepatan relatif lokal antara dua obyek pada kejadian yang

sama, bukan menyatakan kecepatan obyek secara global. Persamaan III.17 di atas

telah teramati melalui eksperimen pergeseran merah spektrum dari galaksi - galaksi.

Semerta mengembang,a > 0 menunjukkan ekspansi yang dilakukan makin

lama makin cepat. Dari waktu sekarang, saat waktuH−1 = a/a yang lalu haruslah

dipunyai a = 0 . Hal ini berarti pada saatH−1 yang lalu, semesta diawali dari

keadaan singular. Jarak semua ’titik dalam ruang’ nol, sehingga rapat materi dan

kelengkungan ruang menjadi takberhingga. Keadaan singular semesta ini disebut

sebagai ledakan besar (big bang). Tidak terdapat cara alamiah untuk memperluas

manifold ruang - waktu dan metriknya melewati singularitas ledakan besar. Karena

struktur ruang - waktu sendiri singular pada ledakan besar, maka secara fisis maupun

matematis tidak relefan untuk menanyakan keadaan semesta ’sebelum’ ledakan besar.

61

6. Singularitas: Pendefinisian dan Pemecahannya

Sebagaimana telah dibahas pada subbab sebelumnya, terdapat dua jenis singu-

laritas fisis : singularitas semu dan sejati. Singularitas sejati tidak dapat dihilangkan

hanya dengan transformasi koordinat hal ini menunjukkan tidak ada satupun sistem

koordinat yang melingkupi titik singularitas sejati sehingga titik - titik singularitas ini

bukanlah bagian dari manifold ruang - waktu. Untuk itu, titik - titik singularitas sejati

dapat dibuang sehingga dapat terbentuk manifold yang tidak komplit.

Dalam manifold Riemannian, kekomplitan dapat dinyatakan dari kekomplitan

metrik (m-completeness) dan kekomplitan geodesik (g-completeness). kekomplitan

metrik disusun dari fungsi jarak antar dua titik pada manifold. Apabilag metrik pada

M danγ: I →M kurva darip ke q, panjang kurva dinyatakan sebagai

L(γ) =

∫I

√g(γ, γ)dt. (III.18)

Fungsi jarak pada manifold Riemannian didefinisikan sebagai

ρ(p, q) = infγ∈Γ

L(γ) (III.19)

denganΓ menyatakan himpunan semua kurva darip ke q. (M, g) dikatakanm-

completejika setiap barisan Cauchy menurut fungsi jarakρ konvergen ke suatu titik

padaM. Barisan Cauchy adalah barisanxn padaM yang tak berhingga banyak

anggotanya sedemikian rupa sehingga untuk semuaε > 0 danN ∈ 1 . . . , n

dipenuhiρ(xr, xs) < ε, ∀r, s > N . Sedangkan(M, g) dikatakang-completejika

setiap geodesik dapat diperluas ke seluruh parameter affinenya. Karena sama - sama

dibentuk dari metrikg, dapat ditunjukkan kedua kekomplitan ini ekuivalen (Teorema

Hopf - Rinow).

62

Apa yang terjadi pada manifold Lorentzian sungguh berbeda. Topologi metrik

tidak dibangun secara alamiah pada manifold. Oleh karena itu, untuk menguji kekom-

plitan pada manifold hanya perlu diuji kekomplitan geodesiknya. Berdasar geode-

siknya, tentu saja kekomplitan geodesik dapat dibagi atas tiga jenis : bak-waktu,

bak-ruang dan null. Kekomplitan ketiga geodesik tersebut saling bebas satu den-

gan yang lain akan tetapi ketika suatu titik pada manifold dibuang, semua geodesik

yang melintasi titik tersebut menjadi terputus. Pembuangan titik singularitas ekuiva–

len dengan ketidak komplitan geodesik. Di sisi yang lain geodesik bak-ruang tidak

terdefinisi pada relativitas. Oleh karena itu dapat diadopsi sudut pandang tentang si–

ngularitas ruang - waktu sebagai berikut : "Kekomplitan geodesik null dan bak-waktu

adalah syarat minimum agar ruang - waktu dikatakan bebas singularitas ". Dengan

demikian , ruang - waktu dikatakan singular jika geodesik null atau bak-waktunya

tidak komplit. Secara fisis ketidak komplitan geodesik bak-waktu menunjukkan ke-

mungkinan hilangnya sejarah suatu pengamat jatuh bebas setelah atau sebelum suatu

interval affine yang berhingga. Meskipun parameter affine tidak dapat ditafsirkan se-

bagai waktu pribadi pada geodesik null, akan tetapi ketidak komplitan geodesik null

dapat dianggap sebagai petunjuk hilangnya sejarah partikel - partikel tidak bermassa.

Salah satu keuntungan menggunakan kriteria ketidak komplitan geodesik ada–

lah dapat dicakupnya singularitas kelengkungan. Singularitas kelengkungan berkai-

tan dengan ide besar tak berhingganya kelengkungan didekat singulariatas. Kon-

sep ’dekat’ titik singularitas dapat dinyatakan dengan parameter affine yang makin

mendekati batas atasnya, sedangkan konsep ’besar tak berhingga’ dapat dinyatakan

melalui basis ortogonal sepanjang geodesik. Dengan cara seperti ini , dapat dilakukan

pengelompokan singularitas berdasarkan kelakuan medan kelengkungan dan polinom

skalarnya sepanjang geodesik yang tidak komplit yaitu singularitas kelengkungan

skalar (scalar curvature singularity) apabila kelengkungan beserta polinom skalarnya

63

singular sepanjang geodesik, Singularitas kelengkungan paralel (parallelly propagat-

ed curvature singularity) apabila kelengkungan dan turunannya singular sepanjang

geodesik menurut basis paralel sepanjang geodesik tetapi polinom skalarnya tidak

singular dan terakhir, singularitas non kelengkungan (non - curvature singularity)

jika kelengkungan beserta polinom skalarnya tidak singular. Cara serupa dapat di–

terapkan untuk kuantitas fisis yang lain. Agar manifold ruang - waktu dapat dijamin

menghimpun semua titik regularnya, manifold perlu disyaratkaninextendible, yaitu

tidak isometrik dengan subset dari ruang - waktu yang lain.

Ide teorema - teorema singularitas yang akan diturunkan didasarkan atas ide

berikut: Kelengkungan ruang - waktu dapat ditafsirkan sebagai gaya tidal yang menim-

bulkan percepatan relatif antara geodesik bak-waktu atau null yang berdekatan. De–

ngan memasukkan syarat energi tertentu pada kedua jenis geodesik tersebut, dapat di-

harapkan kongruensi geodesik - geodesik tersebut konvergen kesuatu titik. Titik kon-

vergensi sepanjang geodesik tersebut disebut titik konjugasi (atau titik fokal jika kon-

gruensi geodesik tersebut dibuat ortogonal pada suatu submanifold). Dalam mani–

fold Riemannian, keberadaan titik konjugasi sepanjang geodesik dapat menyebabkan

geodesik gagal menjadi kurva berpanjang maksimum (terpendek) yang menghubung–

kan antara dua titik karena akan selalu dapat ditemukan kurva lain yang diperoleh

dari hasil variasi kecil melewati titik konjugasi pada geodesik yang lebih pendek

dari geodesik berkonjugasi tersebut [Lee , 1997]. Akan ditunjukkan, dalam manifold

Lorentzian sifat - sifat geodesik tersebut berlaku serupa dengan sedikit modifikasi.

Disisi yang lain, persyaratan - persyaratan struktur kausal global tertentu dalam ru-

ang - waktu dapat menyebabkan keberadaan kurva - kurva bak-waktu atau null yang

mempunyai panjang maksimum. Dengan menggunakan dua hasil yang saling kon-

tradiktif ini, dapat dibangun beberapa teorema singularitas.

BAB IV

SIGNIFIKANSI KELENGKUNGAN

Pada bab ini akan dibahas pengaruh kelengkungan ruang - waktu terhadap

kongruensi geodesik bak-waktu dan null. Akan ditunjukkan bahwa rata - rata pe-

rubahan ekspansi kongruensi (persamaan Raychaudhuri) memegang peranan penting

dalam membangkitkan titik konjugasi kongruensi geodesik. Arti penting titik konju-

gasi akan dapat ditafsirkan setelah konsep variasi fungsional panjang dan fungsional

energi suatu kurva diberikan. Untuk topik - topik yang belum melibatkan teori rela-

tivitas umum secara langsung, akan diberikan penjelasan yang bersifat umum yakni

dalam konteks manifold Lorentzian dengan dimensi sembarang.

1. Variasi Geodesik

Salah satu cara yang mungkin dilakukan untuk mengukur medan gravitasi

adalah dengan mengukur percepatan relatif yang dialami oleh dua benda jatuh be-

bas. Karena sejarah partikel bebas diwakili dengan geodesik bak-waktu atau geodesik

null, maka perlu diselidiki kebiasaan kongruensi geodesik bak-waktu dan geodesik

null yang dipengaruhi oleh kelengkungan ruang-waktu. Kongruensi adalah himpunan

kurva pada suatu lingkungan sedemikian rupa sehingga setiap titik pada lingkungan

tersebut hanya dilintasi oleh satu kurva saja. Apabila dihubungkan dengan suatu

medan vektor, kongruensi merupakan himpunan kurva integral yang dibangkitkan

oleh medan vektor tersebut. Jenis kongruensi dan kelicinannya tentu saja gayut ter-

hadap jenis serta kelicinan medan vektor pembangkitnya.

Sebelumnya akan didefinisikan konsep tentang variasi geodesik. Variasi geode-

sik adalah suatu pemetaan licinf : (−δ, δ) × (a, b) → M; (s, t) 7→ f(s, t) ∈ M

sedemikian rupa sehingga kurvat 7→ f(., t) merupakan geodesik. Medan vektor ke-

64

65

cepatan kurva geodesik ini akan dinyatakan denganft := f∗∂t dan medan vektor

kecepatan sepanjang kurvas 7→ f(s, .) sebagaifs := f∗∂s yang dapat ditafsirkan

sebagai medan vektor yang membangkitkan variasi pada geodesik. Karena kurva

f(., t) geodesik maka dipenuhi∇ftft = 0. Dan karena[∂t, ∂s] = 0, maka dipenuhi

[ft, fs] = [f∗∂t, f∗∂s] = f∗ [∂t, ∂s] = 0 atau∇ftfs = ∇fsft. Oleh karena itu sepan-

jang variasi geodesik, medan tensor kelengkungan memenuhi persamaan

R (fs, ft) ft = ∇fs∇ftft −∇ft∇fsft −∇[ft,fs]ft

= −∇ft∇fsft

= −∇ft∇ftfs (IV.1)

Turunan kovarian sepanjang suatu medan vektor hanya gayut terhadap nilai medan

vektor tersebut. Oleh karena itu,fs dapat digantikan dengan sembarang medan vek-

tor J yang merupakan perluasanfs pada lingkungan tempat variasi geodesik didefi–

nisikan

∇ft∇ftJ +R (J, ft) ft = 0 (IV.2)

Medan vektorJ sembarang yang memenuhi persamaan seperti ini disebut sebagai

medan Jacobi. Apabila dilakukan pembatasan pada geodesik tunggalγ := f(0, t),

keberadaan medan JacobiJ sepanjang geodesik akan menyebabkan geodesikγ men-

galami variasi titik menjadif(s, t) . Karena alasan ini medan Jacobi sepanjang geode-

sik J|s=0 = fs(0, .) disebut sebagai medan vektor variasi. Medan Jacobi pada geode-

sik γ: (a, b) →M akan memenuhi

∇γ∇γJ +R (J, γ) γ = 0 (IV.3)

66

Andaikanc ∈ (a, b) dan dipenuhi syarat awalJ(c) = v,∇γJ(c) = w denganv, w ∈

Tγ(c)M. Menggunakan medan basis ortonormalEi yang paralel sepanjangγ dapat

dituliskanJ(t) = J i(t)Ei dan persamaan IV.3 dapat dinyatakan menjadi

J i +RijklJ

j γkγl = 0 (IV.4)

yang merupakan sistem persamaan differensial orde dua linier darin buah fungsiJ i.

Dengan melakukan substitusiV i = J i akan merubah persamaan menjadi persamaan

differensial orde satu dari2n fungsiJ i, V i dengan penyelesaiannya ditentukan oleh

syarat batasJ(c) = v danV (c) = w. Syarat batas tersebut menjamin keberadaan dan

ketunggalan penyelesaian medan Jacobi di atas [Lee , 1997].

Mengadopsi pendekatan Newton, pengamatγ danf(s, .) berada dalam ruang

rehat yang sama dan dipisahkan oleh vektorsJ i, yakni mengingat penderetan Taylor

f i(s, t) = f i(0, t) + sJ i(t) +O(s2)

Jikam adalah massa dari pengamatf(s, .) maka gaya gravitasi yang dialamif(s, .)

yang diakibatkan olehγ adalahF = −msJ . Tanda minus muncul karena arah gaya

berlawanan denganJ . Beralih ke sudut pandang relativitas umum, gaya tidal yang

bekerja antara pengamat jatuh bebasγ yang bermassam danJ diberikan olehF =

−m∇γ∇γJ = mR (J, γ) γ. Dengan demikian, gaya tidal yang dirasakan menuju

pengamatγ mempunyai komponen

⟨F,− 1√

〈J, J〉J

⟩= − m√

〈J, J〉〈R(J, γ)γ, J〉 (IV.5)

Persamaan di atas menunjukkan bahwa kelengkungan seksional bidang yang diben-

tang olehJ, γ bertanda non-positif. Karena hal di atas merupakan manifestasi dari

67

sifat medan gravitasi yang selalu tarik - menarik, maka dapat definisikan hal berikut

Definisi IV.1 Padap ∈M gravitasi dikatakan bersifat tarik-menarik ke segala arah

jika dan hanya jika kelengkungan seksional seluruh bidang bak-waktu padaTpM

bertanda non-positif.

Terhadap pengamat tunggalγ, rata - rata gaya tidal yang dirasakan akibat gaya tidal

ke segala arah diberikan oleh integrasi gaya tidal ke segala arah di atas kulit bola

Sn−2. Untukn = 4 diperoleh

= −3m

4π

∫S2⊂TpM

〈R(., γ)γ, .〉µS2

= −3m

4π

∫ π/2

−π/2

∫ 2π

0

〈R(cos θ(cosϕe1 + sinϕe2) + sin θe3, γ)γ,

cos θ(cosϕe1 + sinϕe2) + sin θe3 〉 cos θdϕdθ

= −3m

4π

∫ π/2

−π/2

(π cos3 θ 〈R(e1, γ)γ, e1〉+ π cos3 θ 〈R(e2, γ)γ, e2〉

+2π cos θ sin2 θ 〈R(e3, γ)γ, e3〉) cos θdθ

= −3∑

i=1

〈R(ei, γ)γ, ei〉 = −Ric(γ, γ) (IV.6)

Persamaan di atas memberikan motivasi untuk menyebutRic(v, v) ≥ 0 untuk setiap

vektor kausalv sebagaisyarat konvergensi kausal. Berhubungan masalah syarat

energi, syarat konvergensi kausal yang tidak terpenuhi ketika materi memenuhi syarat

energi lemah adalah syarat energi kuat.

2. Titik - Titik Berkonjugasi Pada geodesik

Definisi IV.2 Dua titik p, q ∈M dikatakan saling berkonjugasi jika terdapat geode-

sik γ yang menghubungkanp dan q sedemikian rupa sehingga suatu medan Jacobi

sepanjangγ yang tidak nol, lenyap pada kedua titik tersebut.

68

Mudahnya dikatakanp danq berkonjugasi bila terdapat geodesik yang berde–

katan beririsan pada kedua titik tersebut. Salah satu contoh sederhana adalah per-

mukaan bola pada geometri Riemann: kedua kutubnya merupakan titik - titik yang

saling berkonjugasi.

Gambar IV.1: Lingkaran besar (great circle) atau lingkaran yang melalui kutub -kutub permukaan bolaS2 merupakan geodesik. Geodesik - geodesik yang berasaldari suatu titik akan bertemu kembali pada kutub yang berlawanan dengannya. Olehkarena itu, kutub-kutubS2 merupakan dua titik yang saling berkonjugasi.

Apabila geodesikγ: [a, b] → M dibangkitkan dari pemetaan eksponensial

expp(tup) denganup ∈ TpM maka setiap vektorvp ∈ TupTpM ≈ TpM melalui

variasi geodesikf(s, t) = expp (t(up + svp)) dapat dibangkitkan medan Jacobi yang

berbentukJ = exp(t(up + svp))∗∂s dengan∇γ(a)J = vp. Medan variasifs = J|s=0

adalahJvp(t) = dds

∣∣s=0

expp t(up + svp) = (expup)∗vp yang menunjukkan setiapvp

dipetakan satu - satu sepanjang geodesik. Karenavp dapat dipilih sembarang, maka

69

pada titik - titik konjugasi pemetaan(expup)∗ akan gagal mempunyai rank maksimal.

Oleh karena itu dapat disusun kesimpulan berikut

Simpulan IV.1 Misalkanγ: [a, b] →M geodesik tanpa titik konjugasi. Untuk setiap

pasangan vektorvγ(a) ∈ Tγ(a)M dan vγ(b) ∈ Tγ(b)M akan terdapat medan Jacobi

tunggalJ sepanjangγ denganJ(a) = vγ(a) danJ(b) = vγ(b)

Simpulan IV.2 Dua titik p, q dikatakan saling berkonjugasi jika dan hanya jika ter-

dapatup ∈ TpM sedemikian rupa sehinggaexp(up) = q dan expup:TupTpM →

Texp(up)M gagal mempunyai rank maksimal.

Berikut disajikan beberapa lemma yang sangat membantu dalam pembahasan

- pembahasaan berikutnya

Lemma IV.1 Misalkanγ: [a, b] → M geodesik danJ, J dua medan Jacobi yang

lenyap padat0 ∈ [a, b] dipenuhi hubungan⟨∇γJ, J

⟩=⟨∇γ J , J

⟩.

Bukti: Dengan menggunakan simetri⟨R(J, γ)J , γ

⟩=⟨R(J , γ)J, γ

⟩dapat ditun-

jukkan bahwa∇γ

(⟨∇γJ, J

⟩−⟨∇γ J , J

⟩)= 0 atau

(⟨∇γJ, J

⟩−⟨∇γ J , J

⟩)konstan sepanjang geodesik. TetapiJ(t0) = J(t0) = 0 sehingga kondisi di atas

dipenuhi.

Lemma IV.2 Misalkanξ(t) medan vektor sepanjang geodesikγ: [a, b] →M dengan

ξ(t) ‖ γ(t),∀t ∈ [a, b].

1. ξ merupakan medan vektor Jacobi sepanjangγ jika dan hanya jika∃α, β ∈ R

sedemikian rupa sehinggaξ(t) = (αt+ β)γ(t)

2. JikaJ medan Jacobi sepanjangγ maka pernyataan - pernyataan berikut saling

ekuivalen

(a) 〈J(t), γ(t)〉 = 0,∀t ∈ [a, b]

70

(b) terdapatc, d ∈ [a, b] dengan〈J(c), γ(c)〉 = 0 dan〈J(d), γ(d)〉 = 0

(c) terdapatc ∈ [a, b] dengan〈J(c), γ(c)〉 = 0 dan⟨∇γ(t)J, γ(t)

⟩= 0.

Bukti:

1. Jikaξ(t) || γ(t),∀t ∈ [a, b] maka dapat ditulisξ(t) = ϕ(t)γ(t) dan sebagai

medan Jacobi memenuhiR(ξ(t), γ(t))γ(t) = R(ϕ(t)γ(t), γ(t))γ(t) = 0, se-

hingga∇γ∇γξ(t) = 0. Hal ini berakibatϕ(t) = 0, yang menunjukkanϕ(t)

fungsi linier darit. Sebaliknya jika dapat dinyatakanξ(t) = (αt+β)γ(t) maka

ξ jelas merupakan medan Jacobi sepanjangγ.

2. Seperti di atas, didefinisikanϕ(t) = 〈J(t), γ〉. Akan dipenuhi∇γ∇γϕ = 0

yang menunjukkanϕ linier terhadapt. Katakanlahϕ(t) = αt + β, den-

gan demikian jika 2a dipenuhi maka 2b dipenuhi. Berikutnya karenaϕ =

α =⟨∇γ(t)Jγ(t)

⟩, jika dipenuhi 2c dapat ditunjukkan 2a juga dipenuhi, yaitu

α = β = 0. Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan kondisi 2b berakibat

2c.

Lemma berikut menunjukkan bahwa komponen normal dan paralel medan Jacobi

sepanjang geodesik juga merupakan medan Jacobi.

Lemma IV.3 Misalkanγ: [a, b] → M geodesik bak-waktu atau bak-ruang danJ

medan Jacobi sepanjangγ. Proyeksi ortogonalJ> sepanjangγ danJ⊥ sepanjang

γ⊥ juga merupakan medan Jacobi sepanjangγ.

Bukti: Diasumsikan〈γ, γ〉 = η ∈ −1, 1makaJ> = η 〈J, γ〉 γ. Karenaγ geodesik,

akan dipenuhi

∇γJ> = η∇γ 〈J, γ〉 γ = η 〈∇γJ, γ〉 γ = (∇γJ)>

71

Dengan demikian

∇γ∇γJ> = (∇γ∇γJ)> (IV.7)

KarenaJ> || γ makaR(J>, γ

)γ = 0 dan dari simetrinya diperoleh(R(J, γ)γ)> = 0,

sehingga

∇γ∇γJ> = ∇γ∇γJ

> +R(J>, γ

)γ

= (∇γ∇γJ)> + (R(J, γ)γ)>

= (∇γ∇γJ + (R(J, γ)γ))> = 0 (IV.8)

Dengan demikianJ> tampak sebagai medan Jacobi.

Memakai persamaan IV.8 danJ⊥ = J − J>, akan diperoleh

∇γ∇γJ⊥ = ∇γ∇γJ (IV.9)

sertaR(J⊥, γ)γ = R(J, γ)γ. Sehingga dipenuhi hubungan

∇γ∇γJ⊥ +R(J⊥, γ)γ = ∇γ∇γJ +R(J, γ)γ = 0 (IV.10)

yang menunjukkan bahwaJ⊥ merupakan medan Jacobi.

Pada geodesik null,γ normal terhadap dirinya sendiri. Oleh karena itu ter-

dapat kesulitan dalam mengidentifikasi ruang normal sepanjangγ. Tetapi mengingat

bagian singgung medan JacobiJ> = (αt + β)γ hanya menunjukkan perubahan pa-

rameter pada geodesik, maka bagian ini kurang begitu penting berkaitan dengan sifat

- sifat medan Jacobi secara umum. Mengingat keadaan ini, pembahasan mengenai

medan Jacobi dapat diperumum melingkupi medan Jacobi pada geodesik bak-waktu,

72

bak-ruang serta null sekaligus dengan memperkenalkan konsep ruang faktor atau ru-

ang kelas ekuivalensi pada ruang normal sepanjang geodesik. Misalkan ruang normal

sepanjang geodesikγ(t) dinyatakan sebagai(γ(t))⊥, akan didefinisikan suatu relasi

antara anggota ruang normal sebagai berikut

v ∼ w ↔ ∃α ∈ R sedemikian rupa sehinggaw = v + αγ; ∀v, w ∈ (γ(t))⊥

Dengan memilihα, dapat ditunjukkan baahwa relasi di atas merupakan relasi ekui–

valensi karena memenuhi sifat - sifat: reflektif(v ∼ w), simetris(v ∼ w → w ∼ v)

dan transitif(v ∼ w,w ∼ u → v ∼ u). Setiap unsur pada ruang normal yang

ekuivalen denganv melalui relasi ekuivalensi tersebut dinyatakan dalam suatu kelas

ekuivalensi[v]. Himpunan semua kelas ekuivalensi pada(γ(t))⊥ akan disebut sebagai

ruang faktor[γ(t)]⊥ =

[v]∣∣∣v ∈ (γ(t))⊥

.

Tidak terdapat satu unsurpun dalam ruang normal yang berada dalam dua

kelas ekuivalensi yang berbeda. Oleh karena itu pada hakikatnya, penggunaan re-

lasi ekuivalensi digunakan untuk memecah ruang normal menjadi beberapa bagian

yang saling asing. Pada geodesik bak-ruang dan bak-waktu, dipenuhi hubungan

[γ(t)]⊥ = (γ(t))⊥ sebagai akibat tidak satupun unsur pada ruang normal yang dapat

dinyatakan sebagai jumlahan suatu vektor normal dengan vektor singgung geodesik.

Dimensi ruang faktornya tentu saja menjadin− 1. Sedangkan pada geodesik null,γ

normal atas dirinya sendiri. Dengan demikian ruang faktor pada geodesik null akan

berdimensin − 2 dan setiap vektor yang paralel terhadap vektor singgung geodesik

akan berada dalam satu kelas ekuivalensi dengan vektor nol[(αt+ β)γ(t)] = [0].

Menggunakan operasi biner+: [γ(t)]⊥×[γ(t)]⊥ → [γ(t)]⊥ ; [v]+[w] = [v+

w] dan perkalian dengan bilangan riil·: R×[γ(t)]⊥ → [γ(t)]⊥ ; α·[v] = [αv], ruang

faktor [γ(t)]⊥ mempunyai struktur ruang vektor atas lapangan riil. Lazimnya ruang

vektor, pada ruang faktor[γ(t)]⊥ dapat didefinisikan tensor. Tentu saja, tensor yang

73

dibangun akan mempunyai hubungan dengan tensor pada ruang normal sepanjang

geodesik.

Definisi IV.3 Misalkanγ: [a, b] → M geodesik dant ∈ [a, b]. Didefinisikan pula

[γ]⊥ =⋃

t∈[a,b] [γ(t)]⊥. Pemetaan

[A](t): [γ(t)]⊥ × . . .× [γ(t)]⊥ ×([γ(t)]⊥

)∗× . . .×

([γ(t)]⊥

)∗→ R

sepanjangγ dan multilinier akan disebut sebagai kelas tensor sepanjangγ.

Setiap pasangan basisei danθj dalam(γ(t))⊥ memenuhi kondisi〈ei, γ(t)〉 = 0

dan⟨θj, γ[(t)

⟩]= 0. Oleh karena itu, dipenuhi hubunganA(v + αγ(t)) = A([v]) =

A(v) danA(ϕ + αγ[(t)) = A([ϕ]) = A(ϕ). Hal ini menunjukkan adanya hubungan

saling mengimbas antara tensorA pada saat(γ(t))⊥ dan kelas tensor[A] saattmelalui

hubungan

[A]([v1], . . . , [vs], [ϕ

1], . . . , [ϕr])

= A(v1, . . . , vs, ϕ

1, . . . , ϕr)

. ϕi didefinisikan oleh[ϕi]([v] = ϕi(v),∀v ∈ (γ(t))⊥, denganϕi(γ) = 0.

Melalui cara ini, turunan kovarian sepanjang geodesik serta metrik pada ruang

faktor dapat didefinisikan.

Lemma IV.4 Jika A ∈ [A] medan tensor sepanjang geodesikγ, dapat didefinisikan

[A] := [∇γA] serta metrik[g]: [γ]⊥ × [γ]⊥ → R, [v], [w] 7−→ [g] ([v], [w]) :=

g(v, w) yang positif definite pada geodesik null.

Bukti: Untuk menunjukkan bahwa eksistensi tensor tersebut, perlu ditunjukkan sifat

konsistensi tensor. Sebagai turunan, konsistensi[∇γA] cukup diuji pada fungsi, medan

vektor dan forma saja. Terhadap fungsi, hal ini trivial. Sedangkan untuk semua forma

74

ϕ yang memenuhiϕ(γ) = 0 akan dipenuhi

(∇γ(t)ϕ

)(V (t) + f(t)γ(t)) = ∇γ(t) (ϕ (V (t) + f(t)γ(t)))− ϕ ((V (t) + f(t)γ(t)))

= ∇γ(t) (ϕ (V (t)))− ϕ(∇γ(t)V (t) + df(γ(t))γ(t)

+f∇γ(t)γ(t))

= ∇γ(t) (ϕ (V (t)))− ϕ(∇γ(t)V (t)

)= ∇γ(t)ϕ(V (t))

Sedangkan untuk medan vektorV (t) sepanjangγ diperoleh

[∇γ(t) (V (t) + f(t)γ(t))

]=

[∇γ(t)V (t) + df(γ(t))γ(t) + f∇γ(t)γ(t)

]=

[∇γ(t) (V (t))

]dengan demikian telah dibuktikan konsistensinya. Sedangkan untuk metrik

[g] ([V (t) + f(t)γ], [W (t) + h(t)γ]) = g(V (t),W (t)) + g(f(t)γ,W (t))

+g(h(t)γ, V (t)) + g(f(t)γ, h(t)γ)

= g(V (t),W (t)) = [g]([V (t)], [W (t)])

Pada geodesik null apabila dipilih basis ortonormalE1, . . . , En yang paralel se–

panjangγ dengang(E1, E1)(t) = −1 sedemikian rupa sehingga dapat dituliskan

γ(t) = E1 +E2 tentulah[γ(t)]⊥ dibentang olehE3, . . . , En yang merupakan basis

bak-ruang, dengan demikian[g] positif definite.

Menggunakan Lemma karakterisasi medan tensor, dapat dibangun kelas ten-

sor berikut

Lemma IV.5 Terdapat operator[R]: [γ(t)]⊥ → [γ(t)]⊥ , [v] 7−→ [R(v, γ)γ]

75

Bukti: karenaR(γ, γ)γ = 0 maka

R(., γ)γ ((V (t) + f(t)γ(t))) = R(V (t) + f(t)γ(t), γ)γ

= R(V (t), γ)γ

= R(., γ)γ ([V (t)])

menunjukkan[R] = [R(., γ)γ)] well defined.

Selanjutnya akan dicari suatu kelas tensor yang berpadanan dengan medan

vektor Jacobi. Medan tensor ini mudah ditentukan dengan menggunakan bantuan

sembarang medan vektor paralel sepanjang geodesik dengan nilai di(γ)⊥. Misalkan

terdapat medan tensorA: (γ)⊥ → (γ)⊥ sepanjang geodesik yang berpadanan dengan

kelas tensor[A], serta suatu medan vektorV (t) paralel sepanjang geodesik dengan

nilai di (γ)⊥ sedemikian rupa sehingga suatu medan vektor JacobiJ dapat dinyatakan

sebagaiJ(t) = AV (t) . Tentu saja dipenuhi

0 = ∇γ∇γ(AV ) +R(AV, γ)γ

= (∇γ∇γA)V + 2(∇γA)(∇γV )

+A(∇γ∇γV ) +R(AV, γ)γ

= (∇γ∇γA+R(A, γ)γ) (V )

= [(∇γ∇γA] + [R(A, γ)γ)] ([V ])

=([A]

+ [R] [A])

([V ])

Definisi IV.4 Kelas tensor Jacobi adalah kelas tensor[A]: [γ]⊥ → [γ]⊥ sepanjangγ

yang memenuhi[A]

+ [R] [A] = 0

Sebaliknya jika[A] kelas tensor Jacobi danV (t) medan vektor paralel sepanjang

geodesik dengan nilai di(γ)⊥, dapat ditunjukkan[AV (t)] merupakan medan Jacobi.

76

Paparan di atas dapat disimpulkan sebagai berikut

Simpulan IV.3 MisalkanV (t) medan vektor paralel sepanjang geodesik dengan ni-

lai di (γ)⊥, kelas tensor[A]: [γ]⊥ → [γ]⊥ sepanjangγ merupakan kelas tensor Jacobi

jika dan hanya jika terdapat medan tensorA sepanjang geodesik yang mengimbas[A]

dan mempunyai sifatJ(t) = AV (t) merupakan medan Jacobi.

Kesimpulan di atas menunjukkan bahwa medan vektor Jacobi berpadanan satu - satu

dengan suatu kelas medan Jacobi sepanjang medan vektor paralel sepanjang geodesik.

Tetapi karakter medan vektor paralel tidak menyumbang apapun sepanjang geode-

sik, oleh karena itu karakter kelas tensor Jacobi akan setara dengan medan Jacobi

yang diwakilinya. Ungkapan keberadaan titik - titik berkonjugasi sepanjang geodesik

menurut kelas tensor Jacobi dinyatakan melalui lemma berikut.

Lemma IV.6 Titik - titik γ(c) danγ(d) berkonjugasi sepanjang geodesikγ: [a, b] →

M jika dan hanya jika suatu kelas tensor Jacobi[A] yang memenuhi kondisi[A](c) =

[0] dan [A](c) = Id menjadi Singular di titikd.

Bukti: MisalkanJ(t) = AV (t) medan Jacobi, dari definisi titik -titik berkonjugasi

diperoleh bahwaJ(c) = J(d) = 0. Syarat batas dic mengakibatkanV (c) = ∇γJ(c)

sedangkan dari paralelitasV , diperoleh bahwa〈V, γ〉 konstan sepanjang geodesik.

KarenaV (c) 6= 0 makaV (d) 6= 0. Oleh karena itu padad dipenuhiJ(d) =

A(d)V (d) = 0, sehinggaA(d) singular. Sebaliknya jikaγ(d) bukan titik yang

berkonjugasi terhadapγ(c) makaJ(d) = A(d)V (d) 6= 0 sehinggaA(d) regular.

Definisi IV.5 Untuk sembarang kelas tensor[B] sepanjang geodesik, adjoint[B]

menurut[g] akan dinyatakan dengan[B]∗

77

Lemma berikut menunjukkan bahwa geodesik yang mengijinkan titik - titik

berkonjugasi, mempunyai kelas tensor[A][A]−1 yang dibangun dari kelas tensor Ja-

cobi yang bersifatself-adjointpada daerah titik yang bukan titik konjugasi.

Lemma IV.7 Apabila suatu kelas tensor Jacobi[A] sepanjang geodesikγ: [a, b] →

Mmemenuhi kondisi[A](t0) = [0] padat0 ∈ [a, b] maka sepanjang geodesik dengan

[A](t) regular, kelas tensor[A][A]−1 bersifat self-adjoint.

Bukti: MisalkanV,W medan vektor paralel sepanjangγ dengan nilai di(γ)⊥, dengan

menggunakan simetri pada〈R(., γ)γ, .〉 dapat ditunjukkan bahwa

∇γ (〈AV,∇γAW 〉 − 〈∇γAV,AW 〉) = 0

Apabila saatt0 dipenuhiA(t0) = 0, maka〈AV,∇γAW 〉 = 〈∇γAV,AW 〉. Pada

sembarangt yang mengijinkanA regular akan dipenuhi

⟨∇γAA

−1V,W⟩(t) =

⟨∇γA(A−1V ), A(A−1W )

⟩(t)

=⟨A(A−1V ),∇γA(A−1W )

⟩(t)

=⟨V,∇γAA

−1W⟩(t)

Misalkan pada geodesikγ: [a, b] →M dibangunn−1 buah variasi licin yang

berbentuk

f : Rn−1 × R →M, (s1, . . . , sn−1, t) 7−→ f(s1, . . . , sn−1, t).

Untuk setiap geodesikt 7−→ f(s1, . . . , sn−1, t) akan dipenuhi〈ft, ft〉 ∈ 1,−1 dan

pada saatt = a, vektor - vektor singgungfs1 , . . . , fsn−1 , ft saling bebas linier.

78

Dengan demikian medan vektorU := ft(s1, . . . , sn−1, t) merupakan medan vektor

yangwell defineddidekatγ(a). Turunan kovarianU mempunyai beberapa pengaruh

geometrik pada kongruensi geodesik. Fungsiθ = div(V ) mengukur divergensi atau

rata - rata ekspansi geodesik - geodesik yang saling berdekatan. kemudian fungsi

ω[ = dU [ mengukur rotasi infinitisimal kongruensi danσ bagian simetris dari∇U

yang bebas trace mengukur distorsi volume infinitisimal geodesik - geodesik yang

berdekatan [Kriele , 2001]. Saat(s1, . . . , sn−1) = 0, informasi yang berkaitan dengan

kelas tensor Jacobi dapat ditampilkan

Sebagai medan Jacobi,f is memenuhi

∇ft

⟨f i

s, ft

⟩=⟨∇ftf

is, ft

⟩=⟨∇f i

sft, ft

⟩= 0

karena pada titikt = a 〈fsi(0, . . . , 0, a), γ(a)〉 = 0 maka〈fsi(0, . . . , 0, t), γ(a)〉 = t

untuk semuat ∈ [a, b] menunjukkan bahwafsi(0, . . . , o, t) ∈ (γ(t))⊥ pada semua

i dant. ApabilaE1, . . . , En−1 menyatakan medan basis ortonormal pada(γ(t))⊥

sepanjang geodesik dan suatu medan tensorA: (γ(t))⊥ → (γ(t))⊥ sepanjang geode-

sik yang memetakanEi ke fsi(0, . . . , 0, t), tentunya[A] menjadi kelas tensor Jacobi

dan memenuhi

(∇γA)A−1fsi = (∇γA)Ei = ∇γ (AEi) = ∇ftfsi = ∇fsift = ∇fsi

U

Dengan demikian, karena medan vektorfs1 , . . . , fsn−1membentang(γ(t))⊥, dapat

disimpulkan bahwa∇vU = (∇γA)A−1v untuk semuav ∈ (γ(t))⊥. Hal ini mem-

berikan motivasi untuk mendefinisikan hal berikut.

Definisi IV.6 Semisal[A] kelas tensor Jacobi sepanjang geodesikγ, didefinisikan

1. Ekspansi dari[A] sebagaiθ = tr([A][A]−1

)= (det([A])).

det([A])

79

2. Vortisitas dari[A] sebagaiω(t) = 1/2([A][A]−1 −

([A][A]−1

)∗)3. Shear sebagaiσ(t) = 1/2

([A][A]−1 +

([A][A]−1

)∗)− θ(t)

rId

denganr = n − 1 untuk geodesik bak-waktu dan bak-ruang sertar = n − 2

untuk geodesik null.

Lemma IV.8 (Persamaan Raychaudhuri)

Jika [A] kelas tensor Jacobi, maka ekspansi dari[A] memenuhi

θ = −Ric(γ, γ)− tr(ω2)− tr(σ2)− θ2

r

denganr = n− 1 pada geodesik bak-waktu danr = n− 2 pada geodesik null

Bukti: Karena[A] kelas tensor Jacobi maka

([A][A]−1

).

= [A][A]−1 + [A](−[A]−1[A][A]−1

)= −[R]−

([A][A]−1

)2

dengan memperkenalkan medan basis ortonormalE1, . . . , En. Dipilih En bak-

waktu sedemikian rupa sehinggaγ = En untuk geodesik bak-waktu,γ = En−1

untuk geodesik bak-ruang danγ = En + En−1 untuk geodesik null akan diperoleh

bahwatr([R]) = Ric(γ, γ) sehingga dipenuhi

θ =(tr([A][A]−1)

).

= tr([A][A]−1

).

= −[R]−([A][A]−1

)2

= −Ric(γ, γ)− tr

((ω + σ +

θ

rId

)2)

= −Ric(γ, γ)− tr

(ω2 + σ2 +

θ2

r2Id+

2

r(ω + σ) + ωσ + σω

)

Dari definisi, dapat diperolehtr(ω) = tr(σ) = tr(ωσ) = tr(σω) = 0. Dengan

80

demikian dapat diperoleh persamaan Raychaudhuri

Dengan memakai lemma IV.6 terlihat bahwa pada titik konjugasi, ekspansi

mengalami divergensi. Sedangkan apabila ekspansi divergen makaA singular. Oleh

karena itu dapat diambil suatu kriteria bahwa suatu titik sepanjang geodesik menjadi

titik konjugasi jika dan hanya jika ekspansi dititik tersebut divergen. Memakai krite-

ria ini dapat diberikan suatu proposisi yang menunjukkan keberadaan sepasang titik

berkonjugasi sepanjang geodesik.

Proposisi IV.1 Misalkan pada geodesikγ: [a, b] → M , ekspansiθ(t0) < 0 dan

dipenuhiRic(γ, γ) ≥ 0 sepanjang geodesik, maka akan terdapat sepasang titik

berkonjugasi pada geodesik.

Bukti: Karena sepanjang titik yang tidak berkonjugasi kelas tensor[A][A]−1 bersifat

self adjoint, maka dapat diperolehω = 0 dan tr(σ2) ≥ 0. Apabila ditambahkan

syaratRic(γ, γ) ≥ 0, persamaan Raychaudhuri akan memenuhiθ ≤ − θ2

rdengan

penyelesaian1θ(t)

≥ 1θ(t0)

+ t−t0r

. Pengambilanθ(t0) < 0 sebagai syarat batas berakibat

pada saat mendekatit = t0 − rθ0

, θ(t) → −∞. Dengan demikian, terdapat suatu titik

konjugasi diantaraγ(t0) danγ(t0 − rθ0

) sepanjang geodesik.

3. Titik Fokal Submanifold Sepanjang Geodesik

Dapat dibangun suatu variasi geodesik yang ortogonal terhadap suatu sub-

manifold. Keberadaan variasi ini memungkinkan untuk mendefinisikan konsep yang

serupa dengan konsep titik konjugasi sepanjang suatu geodesik tunggal.

Lemma IV.9 MisalkanΣ submanifold dariM danγ: [a, b] →M geodesik dengan

γ(a) ∈ Σ, γ(a) ∈ (Tγ(a)Σ)⊥. Medan vektorξ sepanjang geodesik merupakan medan

vektor variasi pada suatu variasif : (−ε, ε)× [a, b] →M terhadap geodesik ortogo-

nal γ jika dan hanya jikaξ memenuhi sifat - sifat berikut

81

1. ξ medan Jacobi

2. ξ(a) ∈ Tγ(a)Σ

3. 〈∇γξ(a), v〉+ 〈II(ξ(a), v), γ(a)〉 = 0 untuk semuav ∈ Tγ(a)Σ

Bukti: Misalkanf variasi pada geodesik ortogonal danξ medan variasinya maka sifat

1 dipenuhi olehξ. kemudian karena setiapf(s, a) ∈ Σ maka sifat 2 dipenuhi pula.

Menggunakan sifat yang dimiliki oleh setiap medan variasi∇γξ = ∇ftfs = ∇fsft

berakibat setiap medan vektorV yang menyinggungΣ

〈∇γξ, V 〉 = 〈∇fsft, V 〉 = ∇fs 〈ft, V 〉 − 〈ft,∇fsV 〉

= −〈ft, II(fs, V )〉 .

dengan demikian sifat 3 dipenuhi.

Sebaliknya dapat dibuktikan bahwa medan vektorξ yang memenuhi ketiga

sifat di atas membangkitkan variasi geodesik ortogonal terhadap submanifold. Am-

bil µ: (−ε, ε) → Σ sebagai kurva pada submanifold denganµ(0) = ξ(a) dan su-

atu medan vektorV sepanjangµ yang memenuhiV (s)⊥Tµ(s)Σ danV (0) = γ(0).

Didefinisikan variasi geodesikf(s, t) := exp(tV (s)). Padaf(0, s) dipenuhifs(0, s) =

ξ(a) = µ(0).Variasi ini mempunyai medan variasiξ jika dan hanya jikafs(0, a) =

ξ(a) dan∇γ(a)fs = ∇γ(a)ξ dan karena∇γ(a)fs = ∇fsft = ∇µ(0)V,maka harus diatur

agar dipenuhi kondisi∇µ(0)V = ∇γ(a)ξ , V perlu dipilih. Salah satu diantaranya

adalahV (s) = P⊥µ|[0,s]γ(a) + sP⊥

µ|[0,s]

(∇γ(a)ξ

)⊥, Dengan memilihV (s) ini , ξ(t)

akan menjadi medan variasi padaf(s, t) = exp(tV (s)) = γV (s)(t).

Lemma di atas memberikan variasi geodesik sejenis. Tetapi jikaγ adalah

geodesik null, sifat tersebut tidak selalu terjamin. Diperlukan syarat tambahan agar

variasi geodesik yang dihasilkan memberikan geodesik null. Diasumsikanf suatu

variasi pada geodesik null danξ medan variasinya , maka persaman〈ft, ft〉 = 0

82

berakibat∇fs 〈ft, ft〉 = 〈∇fsft, ft〉 = 〈∇ftfs, ft〉 = 0, sehingga⟨∇γ(a)ξ, γ(a)

⟩= 0.

Padahal〈ξ(a), γ(a)〉 = 0 dengan demikian⟨∇γ(t)ξ, γ(t)

⟩= 0 berlaku untuk semua

t ∈ [a, b]. Hal ini menunjukkan bahwa jikaξ medan variasi padaf makaξ ortogonal

sepanjang geodesik null.

Sebaliknya jika medan vektorξ memenuhi ketiga sifat pada lemma di atas,

dan ortogonal sepanjangγ maka dapat dibuktikan terdapat variasi sepanjang geodesik

null yang bermedan variasiξ. Seperti sebelumnya, dibangun kurvas 7−→ µ(s) ∈ Σ

denganµ(0) = γ(a) dan µ(0) = ξ(a). Perlu dipilih V sepanjangµ yang mem-

punyai sifat〈V (s), V (s)〉 = 0. Untuk itu dipilih medan vektor sepanjang kurvaµ

s 7−→ W (s) ∈ Tγ(a)M denganW (0) = γ(a) dan〈W (s),W (s)〉 = 0. Ditentukan

V (s) = P⊥|[0,s]W (s), makaV (s)⊥Σ dan∇µ 〈V (s), V (s)〉 = 2 〈∇µV (s), V (s)〉 =

2⟨(∇µV (s))⊥ , V (s)

⟩= 0 yang berakibat〈V (s), V (s)〉 = 0,∀s. Oleh karena itu

f(s, t) = exp(tV (s)) merupakan variasi bagiγ. Agar W bersesuaian denganξ,

haruslah dapat dipenuhi∇ftfs(0, a) = ∇γξ. Karena(∇ftfs)(0,a) = (∇µV (s))(0,a) =(ddsW (s)

)|s=0

+(∇γ(a)ξ

)⊥, maka dengan memilih

(ddsW (s)

)|s=0

=(∇γ(a)ξ

)>dapat

diatur sehingga∇ftfs(0, a) = ∇γξ.

Dengan demikian dapat disusun lemma berikut

Lemma IV.10 misalkanξ medan vektor sepanjang geodesik nullγ memenuhi sifat

- sifat 1, 2, dan 3 pada lemma IV.9 di atas, terdapat suatu variasi padaγ yang or-

togonal pada submanifoldΣ dengan medan variasiξ jika dan hanya jika dipenuhi

〈ξ(t), γ(t)〉 = 0,∀t

kedua lemma di atas menunjukkan hubungan saling membangkitkan antara

medan vektor yang memenuhi syarat -syarat tertentu dengan suatu variasi geodesik

yang ortogonal terhadap suatu submanifold. Keberadaan variasi geodesik ini menjadi

alasan untuk membuat konsep yang setara dengan konsep titik - titik berkonjugasi pa-

da geodesik tunggal. Titik ini disebut sebagai titik fokal suatu submanifold sepanjang

83

geodesik. Kondisi yang harus dipenuhi adalah lenyapnya medan vektor pembangkit

variasi pada titik sepanjang geodesik yang menjadi titik fokal.

Gambar IV.2: Titikγ(b) menjadi titik fokal dari submanifoldΣ di bawah medanvariasiξ

Definisi IV.7 MisalkanΣ ⊂ M submanifold danγ: [a, b] → M geodesik dengan

γ(a) ∈ Σ, γ(a) ∈(Tγ(a)Σ

)⊥. Titik γ(c) disebut titik fokal dari submanifoldΣ sepan-

jang geodesik jika terdapat medan Jacobi sepanjang geodesik dengan sifat

1. J(a) ∈ Tγ(a)Σ, J(c) = 0

2. 〈∇γJ(a), v〉+ 〈II(J(a), v), γ(a)〉 = 0 untuk setiapv ∈ Tγ(a)Σ.

Definisi ini merupakan perluasan dari definisi titik - titik berkonjugasi karena keti-

ka submanifold direduksi menjadi titik sepanjang geodesik, maka syarat kedua pada

definisi di atas hilang dan menjadi definisi titik - titik berkonjugasi. Menggunakan

sifat kedua pada definisi di atas dapat diperoleh lemma yang setara dengan lemma

IV.1.

84

Lemma IV.11 Jika J1, J2 medan Jacobi sepanjang geodesikγ: [a, b] → M ortogo-

nal terhadap submanifoldΣ yang memenuhi kondisiJi(a) ∈ Tγ(a)Σ dan〈∇γJi(a), v〉+

〈II(Ji(a), v), γ(a)〉 = 0 untuk setiapv ∈ Tγ(a)Σ dan i ∈ 1, 2, makaJ1, J2 akan

memenuhi ⟨∇γ(t)J1, J2(t)

⟩=⟨∇γ(t)J2, J1(t)

⟩.

untuk semuat ∈ [a, b]

Misalkanξ(t) medan Jacobi yang membangkitkan variasi geodesik yang or-

togonal terhadap suatu submanifold. Medan Jacobi ini dapat dihubungkan dengan

medan tensorA: (γ)⊥ → (γ)⊥ yang membangkitkan kelas tensor Jacobi[A] serta

medan vektor paralelV (t) = Pγ[a,t]v sepanjang geodesik dengan nilai di(γ)⊥ melalui

hubunganξ(t) = AV (t). Padaγ(a) dipenuhi

〈∇γξ(a), v〉+ 〈II(ξ(a), v), γ(a)〉 = 0

atau

∇γξ(a) = −〈II(ξ(a), .), γ(a)〉] (IV.11)

∀v ∈ Tγ(a)Σ. Hal ini menunjukkan∇γξ(a) dapat dinyatakan sebagai fungsi dari

ξ(a). Dengan demikian, untuk menyatakanξ(t) secara lengkap cukup diketahuiξ(a)

sebagai syarat batasnya. Pengambilanξ(a) = V (a) = v akan menyebabkan[A](a) =

Id.

Seperti yang telah disebutkan dalam subbab tentang submanifold, Setiap medan

vektorU pada submanifoldΣ dan medan vektorN sepanjangΣ sedemikian rupa se-

85

hinggaN(x) ∈ (TxΣ)⊥, untuk semuax ∈ Σ memenuhi

∇VN = (∇VN)⊥ − 〈II(V, .), N〉] . (IV.12)

Oleh karena itu, pengambilan syarat agar geodesik bersifat ortogonal terhadap sub-

manifold dan Pembatasanξ sebagai medan vektor padaΣ memberikan

∇ξγ = (∇ξγ)⊥ − 〈II(ξ, .), γ〉] . (IV.13)

Tetapi sebagai medan variasi,ξ memenuhi hubunganLγξ = 0. Oleh karena itu

persamaan di atas dapat dirubah dalam bentuk

∇γξ = (∇γξ)⊥ − 〈II(ξ, .), γ〉] . (IV.14)

Dengan mengambilξ(t) = AV (t) akan diperoleh

(∇γA)V = (∇γAV )⊥ − 〈II(AV, .), γ〉] . (IV.15)

(∇γA)V = −〈II(AV, .), γ〉] . (IV.16)

sehingga dipenuhi[A] = −[〈II(A, .), γ〉]]. Apabila sepanjang geodesik terdapat titik

fokal dari submanifold, menggunakan lemma IV.7 dapat diharapkan kelas tensorθ :=

1/2([A][A]−1 +

([A][A]−1

)∗)akan menjadiθ = [A][A]−1 = −[〈II(Id, .), γ〉]].

Apabila Ei |i = 1, . . . ,m;m = dim(Σ) menyatakan medan vektor basis padaΣ,

ekspansiθ sepanjangΣ akan memenuhi

θ = tr(θ) = tr([A][A]−1) (IV.17)

= −m∑

i=1

[〈II(Ei, Ei), γ〉]]

86

= −m 〈Hx, γ〉]

= −m 〈Hx, γ〉 (IV.18)

x ∈ Σ. Oleh karena itu dapat disusun proposisi yang setara dengan proposisi IV.1.

Bukti - bukti proposisi diberikan dengan jalan yang sama.

Proposisi IV.2 MisalkanRic(γ, γ) ≥ 0 sepanjang geodesikγ: [a, b] → M yang

ortogonal pada submanifoldΣ dan medan vektor kelengkungan rata - rataH padaΣ

memenuhi⟨Hγ(a), γ(a)

⟩:= c > 0, maka akan terdapat titik fokal dariΣ sepanjang

γ sebelumγ(a+ 1/c).

4. Variasi Fungsional Panjang dan Energi Kurva

Panjang kurvaγ: [a, b] → M pada sembarang manifold pseudo-Riemann

dinyatakan dengan

L(γ) :=

∫ b

a

√|g(γ(t), γ(t))| dt

Oleh karena itu pada manifold Riemann selalu dapat ditentukan kurva terpendek tung-

gal antara dua titik yang ternyata adalah geodesik. Akan tetapi ketika indek metriknya

tidak nol, tidak ada kurva terpendek ataupun kurva terpanjang yang menghubungkan

dua titik karena selalu dapat ditemukan kurva null antara dua titik tersebut selalu dapat

ditemukan pula kurva bak-ruang dengan panjang sembarang. Dibatasi pada manifold

Lorentzian, pada subbab ini akan ditunjukkan adanya kurva berpanjang maksimum

pada kelas kurva kausal kemudian akan dicari hubungannya dengan keberadaan titik

fokal dari suatu submanifold sepanjang geodesik kausal. Pembahasan subbab ini juga

berguna untuk memberikan penafsiran terhadap keberadaan titik konjugasi atau titik

fokal sepanjang geodesik.

Untuk keperluan ini akan dipelajari masalah pengekstriman panjang pada him-

87

punan kurva berparameter satuf(s, t): (−ε, ε) × [a, b] → M, (s, t) 7−→ f(s, t)

yang titik - titik ujungnya diperumum dengan dibatasi submanifold tanpa batasΣ1,Σ2.

Syarat batas yang harus dipenuhi adalahf(s, a) ∈ Σ1 danf(s, b) ∈ Σ2 untuk semua

s. Agar lebih umum, variasi yang dilakukan menggunakan variasi kontinyu dan licin

sepotong - sepotong dalam artian sebagian besar bagian kurva kurva variasi yang di-

hasilkan bersifat licin tetapi pada beberapa tempat dimana kurva gagal untuk licin

akan diberi kelonggaran untuk minimal bersifat kontinyu.

Definisi IV.8 Misalkanγ: [a, b] →M kurva yang menghubungkan submanifold ter-

bukaΣ1,Σ2.

Variasi kontinyu,f(s, t): (−ε, ε)× [a, b] →M, (s, t) 7−→ f(s, t) dikatakan

licin sepotong - sepotong jika terdapatt1, . . . , tk ∈ (a, b) sedemikian rupa sehingga

segmen kurvaf ||(−ε,ε)×[ti,ti+1] bersifat licin. Untuk mudahnya variasi ini akan cukup

disebut variasi kontinyu, sedangkan medan vektor variasi licin sepotong - sepotong

ξ(t) := (fs)|s=0 sepanjangγ akan cukup disebut sebagai medan vektor variasi.

Pada sembarang medan vektorV sepanjangγ dant0 ∈ [a, b] kita definisikan

∆V (t0) := limt→t0,t>t0

V (t)− limt→t0,t<t0

V (t)

V dikatakan kontinyu dit0 jika dan hanya jika∆V (t0) = 0.

Untuk melihat keekstriman kurva diperlukan perhitungan pada turunan perta-

ma dan keduaL(f(s, .)) terhadaps.

Lemma IV.12 (Variasi Fungsional Panjang I)

Misalkanγ: [a, b] → M kurva licin sepotong - sepotong dengant1, . . . , tk ∈ (a, b)

menyatakan titik - titik dimanaγ gagal untuk licin,η = sign(〈γ, γ〉) dan f(s, t)

88

sebagai variasi kontinyu padaγ. Maka derivatifL menuruts diberikan oleh

(d

dsL(f(s, .))

)|s=0

= − η

∫ b

a

⟨∇γ

(γ√|〈γ, γ〉|

), ξ

⟩dt

−k∑

i=1

⟨∆

(γ(ti)√

|〈γ(ti), γ(ti)〉|

), ξ(ti)

⟩

− η

⟨(γ√|〈γ, γ〉|

), ξ

⟩b

a

∣∣∣∣∣∣Bukti: Hal ini dapat diperoleh karena dipenuhi

d

ds

√η 〈ft, ft〉 = η

⟨ft√

η 〈ft, ft〉,∇fsft

⟩= η

⟨ft√

η 〈ft, ft〉,∇ftfs

⟩

= η∇ft

⟨ft√

η 〈ft, ft〉, fs

⟩− η

⟨∇ft

(ft√

η 〈ft, ft〉

), fs

⟩

Pembatasan padas = 0 memberikanfs = ξ danft = γ. Dengan demikian dapat

diperoleh

(d

dsL(f(s, .))

)|s=0

=

∫ b

a

η∇γ

⟨γ√

η 〈γ, γ〉, ξ

⟩dt−

∫ b

a

η

⟨∇γ

(γ√

η 〈γ, γ〉

), ξ

⟩dt

Tetapi karena pada setiap interval[ti−1, ti] dipenuhi

∫ ti

ti−1

η∇γ

⟨γ√

η 〈γ, γ〉, ξ

⟩dt = η

⟨lim

t→ti,t<tiη

γ(t)√〈γ(t), γ(t)〉

, ξ(ti)

⟩

− η

⟨lim

t→ti,t>ti−1

γ(t)√η 〈γ(t), γ(t)〉

, ξ(ti−1)

⟩

Pengambilan ke seluruh interval[a, b] dengant0 = a dantk+1 = b akan memberikan

hasil sesuai dengan lemma.

Sebagaimana dapat dilihat, variasi ini mengandung faktor√η 〈γ, γ〉 sebagai

89

penyebut. Oleh karena itu tidak mungkin menggunakan variasi fungsional panjang

untuk sembarang kurva dengan medan vektor singgung mengandung vektor null pa-

da salah satu titiknya. Disamping itu kondisi(

ddsL(f(s, .))

)|s=0

= 0 tercapai jika dan

hanya jikaγ merupakan kurva prageodesik yang licin dan ortogonal terhadap ke–

dua submanifold. Ini berarti, syarat perlu agar kurva menjadi kurva terpanjang yang

menghubungkanΣ1 danΣ2 adalah kurva prageodesik licin dan ortogonal terhadap

submanifoldΣ1,Σ2. Karena fungsional panjang bebas terhadap reparametrisasi kur-

va, parameter kurva dapat diambil sembarang. Lebih mudahnya diambil parameter

sedemikian rupaη ∈ −1, 1. Menggunakan parameter ini, syarat perlu sebagai

kurva prageodesik dapat digantikan dengan syarat perlu sebagai kurva geodesik.

Apabila komplemen ortogonal sembarang medan vektorV sepanjang pra-

geodesikγ sepanjangγ dinyatakan sebagaiV ⊥, akan dipemenuhi

(∇γV )⊥ = ∇γ(V⊥) (IV.19)

menggunakan persamaan ini, dapat diturunkan turunan kedua fungsional panjang

berikut

Lemma IV.13 (Variasi Fungsinal Panjang II)

Misalkanγ geodesik bak-ruang atau geodesik bak-waktu dengan variasi kontinyu

f(s, t). Apabilaη = 〈γ, γ〉 ∈ −1, 1 dant1, . . . , tk ∈ (a, b) menyatakan titik - titik

dimanaf(s, .) gagal untuk licin . Maka derivatif keduaL menuruts diberikan oleh

(d2

ds2L(f(s, .))

)|s=0

= η

∫ b

a

(⟨(∇γξ)

⊥, (∇γξ)⊥⟩+ 〈R(ξ, γ)ξ, γ〉)dt

+ η⟨(∇fsfs)|s=0 , γ

⟩∣∣ba

= − η

∫ b

a

(⟨∇γ∇γξ

⊥ +R(ξ⊥, γ)γ, ξ⊥⟩)dt

90

− η

k∑i=1

⟨∆(∇γξ)

⊥(ti), ξ⊥(ti)

⟩+ η

⟨(∇fsfs)|s=0 , γ

⟩∣∣ba

Untuk kurva - kurva null, ekstrimasi kurva dapat dilakukan melalui fungsional

energiE(γ) :=∫ a

b12〈γ(t), γ(t)〉 dt yang gayut terhadap parametrisasi kurva. Apabila

diambilg =√〈γ(t), γ(t)〉 danf = 1 dengan menggunakan pertidaksamaan Schwarz

diperoleh

(∫f.g dt

)2

≤∫f 2dt.

∫g2dt

Oleh karena itu berlakuL(γ)2 ≤ 2tE(γ). Persamaan dipenuhi jika dan hanya jika

g konstan atau jika dan hanya jikat sebanding dengan fungsional panjang. Dengan

demikian kurva - kurva dengan kecepatan konstan akan mempunyai karakter variasi

yang identik jika ditinjau dari fungsional panjang ataupun dengan fungsional ener-

gi. Hubungan antaraE(γ) danL(γ) di atas menunjukkan ekuivalensi analisa kurva

dengan menggunakan kedua bentuk tersebut.

Lemma IV.14 (Variasi Fungsional Energi I)

Misalkanγ: [a, b] → M kurva licin sepotong - sepotong dengant1, . . . , tk ∈ (a, b)

titik - titik dimana γ gagal untuk licin danf(s, t) sebagai variasi kontinyu padaγ

dengan medan variasiξ. Maka derivatifE menuruts diberikan oleh

(d

dsE(f(s, .))

)|s=0

=

∫ b

a

〈∇γ γ, ξ〉 dt+i=1∑k

〈∆γ(ti), ξ(ti)〉+ 〈γ, ξ〉|ba

Dengan demikian(

ddsE(f(s, .))

)|s=0

= 0 jika dan hanya jikaγ merupakan

kurva geodesik licin dan ortogonal terhadap kedua submanifold. Hal ini menunjukkan

kurva yang mengekstrimkan energi tentu juga mengekstrimkan fungsional panjang,

91

tetapi tidak sebaliknya.

Lemma IV.15 (Variasi Fungsional Energi II)

Misalkanγ: [a, b] → M geodesik.f(s, t) variasi kontinyu pada geodesik dengan

t1, . . . , tk ∈ (a, b) menyatakan titik - titik dimanaf(s, .) gagal untuk licin, maka

turunan keduaE terhadaps diberikan oleh

(d2

ds2E(f(s, .))

)|s=0

=

∫ b

a

(〈∇γξ,∇γξ〉+ 〈R(ξ, γ)ξ, γ〉)dt

+⟨(∇fsfs)|s=0 , γ

⟩∣∣ba

= −∫ b

a

(〈∇γ∇γξ +R(ξ, γ)γ, ξ〉)dt

−k∑

i=1

〈∆∇γξ(ti), ξ(ti)〉

+⟨(∇fsfs)|s=0 , γ

⟩∣∣ba

Lemma IV.9 memungkinkan untuk menggantikan suku⟨(∇fsfs)|s=0 , γ

⟩∣∣ba

de–

ngan〈IIΣ2(ξ(b), ξ(b)), γ(b)〉 − 〈IIΣ1(ξ(a), ξ(a)), γ(a)〉. Dapat lebih mudah dilihat,

bahwa(

ddsL(f(s, .))

)|s=0

dan(

ddsE(f(s, .))

)|s=0

merupakan bentuk kuadratik pada

ruang semua medan variasi sepanjang geodesik. Kedua bentuk kuadratik ini dapat

dikaitkan dengan bentuk - bentuk bilinier simetris pada ruangTΣ1,Σ2γ yaitu ruang se-

mua medan vektor licin sepotong - sepotong sepanjang geodesik yang menyinggung

Σ1 di a dan menyinggungΣ2 di b. Didefinisikan

1. Bentuk indeks energi sebagaiIE,γΣ1,Σ2

: TΣ1,Σ2γ × TΣ1,Σ2γ → R

IE,γΣ1,Σ2

(ξ1, ξ2) :=

∫ b

a

(〈∇γξ1,∇γξ2〉+ 〈R(ξ1, γ)ξ2, γ〉)dt

+ 〈IIΣ2(ξ1(b), ξ2(b)), γ(b)〉 − 〈IIΣ1(ξ1(a), ξ2(a)), γ(a)〉

Untuk semua jenis geodesik

92

2. Bentuk indeks panjang sebagaiIL,γΣ1,Σ2

: TΣ1,Σ2γ × TΣ1,Σ2γ → R

IL,γΣ1,Σ2

(ξ1, ξ2) := η

∫ b

a

(⟨∇γξ

⊥1 ,∇γξ

⊥2

⟩+ 〈R(ξ1, γ)ξ2, γ〉)dt

+ η 〈IIΣ2(ξ1(b), ξ2(b)), γ(b)〉 − η 〈IIΣ1(ξ1(a), ξ2(a)), γ(a)〉

Untuk geodesik bak-ruang dan bak-waktu denganη = 〈γ, γ〉 ∈ −1, 1

Berkaitan dengan titik fokal submanifold sepanjang geodesik, salah satu sub-

manifold dapat direduksi menjadi titik ujung geodesik. Selanjutnya, geodesik yang

akan dibahas akan dibatasi pada geodesik bak-waktu dan geodesik null saja.

Dapat dilihat bahwa bentuk indeks panjang hanya gayut dengan komponen

normalTΣ,γ(b)γ sepanjang geodesik. Misalkanγ geodesik bak-waktu tanpa titik kon-

jugasi, sepanjangγ dapat disusun medan vektor basisji |i = 1, · · · , n− 1 pada ru-

angγ⊥(t) yang masing - masing merupakan medan Jacobi. Apabila terdapat medan

JacobiV danW ∈ TΣ,γ(b)γ, ungkapannya menurut basisji dapat dinyatakan seba-

gaiV = aiji denganai konstan danW = f iji denganf fungsi sepanjang geodesik.

Bentuk indek panjang kedua medan vektor ini memenuhi

IL,γΣ,γ(b)(V, V ) = η

∫ b

a

⟨aiji, a

iji⟩dt+ η

⟨V, aiji

⟩(b)

= η⟨V, aiji

⟩(b)

dan

IL,γΣ,γ(b)(W,W ) = η

∫ b

a

⟨f iji, f

iji

⟩dt+ η

⟨W, f iji

⟩(b)

ApabilaV (b) = W (b) makaf i(b) = ai, oleh karena ituIL,γΣ,γ(b)(W,W )−IL,γ

Σ,γ(b)(V, V ) =

η∫ b

a

⟨f iji, f

iji

⟩dt. Karenaji bak-ruang sepanjang geodesik, maka suku terakhir

persamaan akan bertanda non-positif. Dengan demikian dapat diperoleh hubungan

93

IL,γΣ,γ(b)(W,W ) ≤ IL,γ

Σ,γ(b)(V, V ). Persamaan dipenuhi jika dan hanya jikaf i = 0. kare-

na f i = 0 danf i(b) = ai berimplikasif(t) = a untuk semuat, ini setara dengan

V = W . Dengan demikian dapat disusun lemma berikut

Lemma IV.16 Misalkan padaγ: [a, b] → M geodesik bak-waktu ortogonal ter-

hadap submanifoldΣ di γ(a) yang tidak mempunyai titik fokal dariΣ. Setiap medan

JacobiV dan medan vektor licin sepotong - sepotongW yang masing - masing meny-

inggungΣ di γ(a) dan dipenuhiV (b) = W (b) maka dipenuhi

IL,γΣ,γ(b)(W,W ) ≤ IL,γ

Σ,γ(b)(V, V )

Persamaan terjadi jika dan hanyaV = W .

Tanpa melibatkan medan JacobiV pada lemma di atas, Dapat dilihat bahwa sem-

barang medan vektor licin sepotong - sepotong sepanjang geodesikW yang lenyap

pada titikγ(b) akan negatif semi-definite. Hal yang sama terjadi jikaγ(b) merupakan

titik fokal dari Σ.

Simpulan IV.4 Misalkan padaγ: [a, b] → M geodesik bak-waktu ortogonal ter-

hadap submanifoldΣ di γ(a), Jikaγ tidak mempunyai titik fokal atau hanya mempun-

yai titik fokal padaγ(b) maka untuk setiapW ∈ TΣ,γ(b)γ memenuhiIL,γΣ,γ(b)(W,W ) ≤

0.

Proposisi IV.3 Misalkan γ: [a, b] → M geodesik bak-waktu yang ortogonal ter-

hadap submanifoldΣ di γ(a), makaΣ mempunyai titik fokal pertama dic ∈ (a, b)

jika dan hanya jika bentuk indeksIL,γΣ1,γ(b) gagal untuk menjadi semi - definite.

Bukti: Menggunakan kesimpulan IV.4, maka kegagalanIL,γΣ1,γ(b) menjadi semi-definite

merupakan suatu indikasi bagi keberadaan titik fokal pada interval(a, b). Seba-

liknya jika terdapat titik fokal pertama dariΣ di c ∈ (a, b). Akan terdapat medan

94

JacobiJ yang menyinggungΣ di γ(a) dan lenyap diγ(c). KarenaJ ditentukan

melalui syarat batasJ,∇γJ pada suatu titik sepanjang geodesik, maka tentulah

limt→c∇γJ(t) 6= 0. Didefinisikan medan vektor licin sepotong - sepotong

V (t) =

J(t) t ∈ [a, c]

0 t ∈ (c, b]

akan memenuhi∆∇γV (c) = − limt→c∇γJ(t) 6= 0. Menggunakan medan vektor

sepanjang geodesikW yang memenuhi

W (a) = W (b) = 0, 〈W (t), γ(t)〉 = 0, 〈W (c),∆∇γV (c)〉 > 0

akan dapat diperoleh

IL,γΣ1,γ(b)(V + δW, V + δW ) = IL,γ

Σ1,γ(b)(V, V ) + 2δIL,γΣ1,γ(b)(V,W )

+δ2IL,γΣ1,γ(b)(W,W )

= −2ηδ 〈W (c),∆∇γV (c)〉+ δ2IL,γΣ1,γ(b)(W,W )

Pengambilanδ > 0 yang cukup kecil akan mengakibatkansign(IL,γΣ1,γ(b)(V+δW, V+

δW ) = sign(−ηδ). KarenaW dapat digantikan dengan−W , maka dapat ditun-

jukkanIL,γΣ1,γ(b) gagal menjadi semi-definite.

MengingatIE,γΣ1,γ(b) mempunyai bentuk yang serupa denganIL,γ

Σ1,γ(b) pada

bagian normal medan vektor sepanjang geodesik, maka dapat dibuat proposisi yang

lebih luas dari proposisi di atas

Proposisi IV.4 MisalkanIE,γ,⊥Σ1,γ(b) menyatakan bentuk bilinierIE,γ

Σ1,γ(b) yang dibatasi

padaγ⊥ denganγ: [a, b] → M geodesik kausal yang ortogonal terhadap submani-

fold Σ di γ(a), makaΣ mempunyai titik fokal pertama dic ∈ (a, b) jika dan hanya

95

jika bentuk indeksIE,γ,⊥Σ1,γ(b) gagal untuk menjadi semi - definite.

Bukti: Seperti sebelumnya, jika sepanjangγ tidak terdapat titik fokal tentulah ter-

dapat himpunan medan Jacobi bebas linierji |i = 1, · · · , n sepanjang geodesik.

Pemilihanji |i = 1, · · · , n saling ortogonal denganjn = γ untuk geodesik bak-

waktu sertaji |i = 1, · · · , n− 2 saling ortogonal denganjn = γ yang memenuhi

〈jn−1, jn〉 = −1, 〈jn−1, jn−1〉 = 〈jn, jn〉 = 0 untuk geodesik null, memungkinkan

untuk menulis setiap medan JacobiV dan medan vektorW yang licin sepotong-

potong sepanjang geodesik sebagaiY = aiji denganai konstan danX = f iji dengan

fi fungsi sepanjang geodesik. PengambilanV (b) = W (b) mengakibatkan

IE,γ,⊥Σ1,γ(b)(V, V ) =

∫ b

a

⟨aiji, a

iji⟩dt+

⟨V, aiji

⟩(b)

=⟨V, aiji

⟩(b)

dan

IE,γ,⊥Σ1,γ(b)(W,W ) =

∫ b

a

⟨f iji, f

iji

⟩dt+

⟨W, f iji

⟩(b)

dengani = 1, · · · , n−1 untuk geodesik bak-waktu dani = 1, · · · , n−2 untuk geode-

sik null. ApabilaV (b) = W (b) makaf i(b) = ai, oleh karena ituIE,γ,⊥Σ1,γ(b)(W,W )−

IE,γ,⊥Σ1,γ(b)(V, V ) =

∫ b

a

⟨f iji, f

iji

⟩dt. Karenaji bak-ruang sepanjang geodesik

bak-waktu serta bak-ruang atau null sepanjang geodesik null, maka suku terakhir

persamaan akan bertanda non-positif. Dengan demikian dapat diperoleh hubungan

IE,γ,⊥Σ1,γ(b)(W,W ) ≥ IE,γ,⊥

Σ1,γ(b)(V, V ). Persamaan dipenuhi jika dan hanya jikaV = W .

Dengan demikian jika titik fokal yang ada sepanjang geodesik hanya padaγ(b) atau

tidak ada sama sekali akan menyebabkan dipenuhinya bentuk indeksIE,γ,⊥Σ1,γ(b) ≥ 0.

Bukti sebaliknya sama dengan proposisi sebelumnya.

Indeks panjang dan energi beserta variasinya berguna untuk menemukan jenis

96

variasi kurva yang diinginkan berikut perbandingan panjang dengan kurva sebelum-

nya. Salah satu contohnya adalah kemungkinan menemukan kurva variasi berjenis

bak-waktu yang sedekat mungkin dari geodesik null jika geodesik null tersebut mem-

punyai titik fokal.

Untuk menemukan jenis kurva tersebut, cukup dicari medan vektor variasinya.

Jika terdapat titik fokal padac ∈ (a, b), indeksIE,γ,⊥Σ1,γ(b) akan gagal menjadi semi-

definite. Ekspansi Taylor terhadapE(fs, .) mengharuskand2

ds2E(fs, .) |s=0 < 0 agar

diperoleh kurva bak-waktu. Apabila dinyatakanfs(0, t) = ξ dan(∇fsfs)|s=0 = A,

salah satu yang mungkin adalah dengan memilih〈∇γ∇γξ +R(ξ, γ)γ, ξ〉) > 0 dan

〈∇γξ, ξ〉. + 〈∇γA, γ〉 < 0. A tidak bisa dipilih secara bebas karena diγ(a) dipenuhi

A⊥ = II(ξ, ξ). Karena setiap medan JacobiJ pada geodesik null bersifat bak-ruang

maka pada interval[a, c+ δ] denganδ ∈ (0, b− c), akan terdapat medan vektor bak-

ruangU(t) satu satuan dan fungsiϕ: [a, b] → R yang positif pada interval(a, c) dan

negatif pada interval(c, c + δ) sedemikian rupaJ(t) = ϕ(t)U(t). ξ dapat dipilih

berbentukξ = (ψ + ϕ)U denganψ: [a, c+ δ] → R fungsi positif. Dari

〈∇γ∇γξ +R(ξ, γ)γ, ξ〉) = (ψ + ϕ)(ψ + ψ(〈∇γ∇γU +R(U, γ)γ, U〉)

padat ∈ [a, c+δ], pemilihanλ1 > 0 sedemikian rupa sehinggaψ(t) = λ1(eλ2t−eλ2a)

mengakibatkan

ψ + ψ(〈∇γ∇γU +R(U, γ)γ, U〉 = ψ((λ2)2 + (〈∇γ∇γU +R(U, γ)γ, U〉) + λ1(λ2)

2eλ2a

Jikaλ2 > 0 dan memenuhi((λ2)2 + (〈∇γ∇γU +R(U, γ)γ, U〉) > 0 maka

〈∇γ∇γξ +R(ξ, γ)γ, ξ〉) = (ψ + ϕ)(ψ + ψ(〈∇γ∇γU +R(U, γ)γ, U〉)

≥ λ1(λ2)2eλ2a > 0

97

Dengan menyatakanλ1 = −ϕ(c+δ)

(eλ2(c+δ)−eλ2a)dapat diperoleh beberapa kondisi berikut:

ψ(a) = 0, ϕ + ψ(c + δ) = 0 danϕ + ψ(t) > 0 untuk semuat ∈ [a, c]. Dengan

demikian medan variasiξ memenuhi beberapa kondisi:ξ(a) = J(a), ξ(c + δ) = 0

dan〈∇γ∇γξ +R(ξ, γ)γ, ξ〉) > 0 untuk semuat ∈ (a, c+ δ).

Untuk menentukanA, perlu dilihat syarat batas padaγ(a) ∈ Σ. Akan terdapat

basise1, · · · , en−1 pada(γ(a))⊥ sedemikian rupa

1. en−1 = γ(a)

2. spane1, · · · , edim(Σ)

= Tγ(a)Σ

3. 〈ei, ek〉 = δik untuk semuai ∈ e1, · · · , en−2 dank ∈ e1, · · · , en−1.

Diambil en ∈ Tγ(a)Σ vektor null yang memenuhi〈en, en−1〉 = −1 dan 〈en, ei〉 =

0 untuk semuai ∈ e1, · · · , en−2. Apabila en(t) menyatakan transport paralelei

sepanjang geodesik untuk semuai ∈ e1, · · · , en, akan terdapatΞk sedemikian rupa

dapat dinyatakanII(ξ(a), ξ(a)) =∑n

k=dim(Σ)+1 Ξkek. Apabila diambil

A(t) =n−1∑

k=dim(Σ)+1

c+ δ − t

c+ δ − aΞkek − µ(t)en,

dimana

µ(t) = (〈II(ξ(a), ξ(a)), γ(a)〉+⟨ξ(a),∇γ(a)ξ

⟩)c+ δ − t

c+ δ − a−⟨ξ(t),∇γ(t)ξ

⟩yang memenuhi kondisiµ(a) = 〈II(ξ(a), ξ(a)), γ(a)〉 = −Ξn dan µ(c + δ) =

12∇γ(c+δ) 〈ξ, ξ〉 = (ϕ + ψ)(ϕ + ψ)(c + δ) = 0, akan dipenuhi kondisiA(a) =

II(ξ(a), ξ(a)) danA(c+ δ) = 0 serta

〈∇γA, γ〉 =

⟨n−1∑

k=dim(Σ)+1

∇γ

(c+ δ − t

c+ δ − aΞkek

−∇γ (µ(t)en) , en−1

⟩= µ

98

= −〈II(ξ(a), ξ(a)), γ(a)〉+

⟨ξ(a),∇γ(a)ξ

⟩c+ δ − a

−∇γ

⟨ξ(t),∇γ(t)ξ

⟩Dengan demikian

〈∇γA, γ〉+∇γ 〈∇γξ, ξ〉 = −〈II(ξ(a), ξ(a)), γ(a)〉+

⟨ξ(a),∇γ(a)ξ

⟩c+ δ − a

Karena suku

〈II(ξ(a), ξ(a)), γ(a)〉+⟨ξ(a),∇γ(a)ξ

⟩= 〈∇fsfs, ft〉 |(a,0) +

⟨ξ(a),∇γ(a)ξ

⟩= −〈ft,∇ftfs〉 |(a,0) +

⟨ξ(a),∇γ(a)ξ

⟩= −ϕ(a)ϕ(a) + ϕ(a)(ψ(a) + ϕ(a))

= ϕ(a)ψ(a) ≥ 0

tentu 〈∇γA, γ〉 + ∇γ 〈∇γξ, ξ〉 < 0. keberadaanξ danA sepanjang geodesik null

sesuai dengan syarat - syarat di atas cukup untuk membangkitkan variasi kurva bak-

waktu.

Simpulan IV.5 Jika pada geodesik nullγ: [a, b] → M terdapat titik fokal padac ∈

(a, b) maka akan terdapat kurva bak-waktu yang cukup dekat denganγ.

Simpulan IV.6 Jika pada geodesik bak-waktuγ: [a, b] →M terdapat titik fokal pa-

da c ∈ (a, b) maka akan terdapat variasi padaγ yang menghasilkan kurva lebih

panjang dariγ .

Bukti: Keberadaan titik fokal padaγ dicirikan oleh kesemi-definitan indeks panjang

IL,γΣ1,γ(b). Misalkanξ−, ξ+ medan variasi yang memenuhi hubunganIL,γ

Σ1,γ(b)(ξ+, ξ+) >

0 danIL,γΣ1,γ(b)(ξ−, ξ−) < 0. Dapat dibangkitkan variasif± padaγ oleh medan vektor

variasiξ±. Ekspansi TaylornyaL(f±(s, .)) = L(γ)+1/2s2IL,γΣ1,γ(b)(ξ±, ξ±)+O(s2).

99

Oleh karena itu, dapat ditemukan variasi yang menghasilkan kurva yang lebih pan-

jang dan yang lebih pendek dari kurvaγ.

5. Titik Konjugasi Pada Geodesik Komplit

Proposisi IV.1 tidak selalu dapat diterapkan pada sembarang geodesik. Untuk

geodesik yang komplit diperlukan beberapa lemma tambahan yang dapat menjamin

eksistensi titik - titik konjugasi sepanjang geodesik.

Lemma IV.17 Apabila [A] dan [B] dua kelas tensor Jacobi sepanjang geodesikγ,

maka kelas tensor[A]∗[B]− [A]∗ ˙[B] paralel sepanjang geodesik.

Bukti: Menggunakan sifatself-adjointdari [R] diperoleh

∇γ( ˙[A]∗)[B]− [A]∗ ˙[B]) = ¨[A]

∗[B]− [A]∗ ¨[B]

= −([R][A])∗[B]− [A]∗[R][B]

= −[A]∗[R]∗[B] + [A]∗[R][B] = 0

Dengan demikian˙[A]∗)[B]− [A]∗ ˙[B] paralel sepanjang geodesik.

Apabila tidak terdapat titik konjugasi sepanjang geodesikγ |[t0,∞), maka kelas

medan Jacobi[A] yang dinyatakaan secara tunggal melalui syarat batas[A](t0) = 0

dan [A](t0) = Id akan nonsingular sepanjang geodesik, kecuali padat0. Meng-

gunakan medan kerangkaEi

∣∣i = 1, · · · , r : r = dim([γ]⊥)

dapat dibangun kelas

medan[C] berikut

([C][v])i := [A]ij(t)

∫ t

t

(([A]∗[A])−1)jk(s)[v]

kds

100

Tentu saja[C](t) = 0. Dapat ditunjukkan kelas tensor ini merupakan kelas tensor

Jacobi, karena

([C][v])i = [A]ij(t)

∫ t

t

(([A]∗[A])−1)jk(s)[v]

kds− [A]ij(t)(([A]∗[A])−1)jk(s)[v]

k

= ([A][A]−1[C][v]− ([A]∗)−1[v])i

serta

[C][v] = [A][A]−1[C][v]− [A][A]−1[A][A]−1[C][v]

+[A][A]−1([A][A]−1[C]− [A]∗)[v] + ([A]∗)−1[A]∗([A]∗)−1[v]

= [A][A]−1[C][v] + ([A][A]−1 − ([A][A]−1)∗)([A]∗)−1[v]

= [A][A]−1[C][v]

Dengan demikian

[C] + [R][C] = [A][A]−1[C] + [R][A][A]−1[C]

= ([A] + [R][A])[A]−1[C] = 0

Apabila terdapat kelas tensor Jacobi[Bt] yang memenuhi syarat batas[Bt](t) =

0 dan[Bt](t0) = Idmaka persamaan[C] = [Bt] tercapai jika dan hanya jika dipenuhi

kondisi batas yang sama, diantaranya[Bt](t) = [C](t) dan[Bt](t) = [C](t). Syarat

batas pertama sudah dipenuhi sedangkan syarat batas kedua terpenuhi pula karena

[C](t) = −([A]∗)−1(t) dan menggunakan lemma IV.17 diperoleh˙[A]∗[B]−[A]∗ ˙[B] =

( ˙[A]∗[B] − [A]∗ ˙[B])(t0) = Id maka padat dipenuhi( ˙[A]

∗[B] − [A]∗ ˙[B])(t) = Id =

−[A]∗ ˙[B](t) atau ˙[B](t) = −([A]∗)−1(t) = [C](t). Hal ini menunjukkan[Bt] dapat

101

dinyatakan sebagai

[Bt] = [A](t)

∫ t

t

(([A]∗[A])−1)(s)ds

Dapat ditunjukkanlimt→∞[Bt] ada jika untuka < t0 segment geodesikγ: [a,∞) →

M tidak bertitik konjugat serta nonsingular untuk setiapt > t0. Jikalimt→∞[Bt] ada,

maka tentulah dapat ditentukan secara tunggal melalui syarat bataslimt→∞[Bt](t0)

dan limt→∞[Bt](t0). Untuk syarat batas pertama,limt→∞[Bt](t0) = Id;∀t ∈ R.

Sedangkan untuklimt→∞[Bt](t0), ditentukan sebagai berikut

Menggunakan[A](t0) = Id, maka untuk setiap[v] ∈ [γ(t0)]⊥ akan memenuhi

[g]([Bt](t0)[v], [v]) = δil[A]ij(t0)

∫ t

t

(([A]∗[A])−1)jk(s)[v]

k[v]lds− [g](([A]∗)−1)[v], [v])

=

∫ t

t

δil(([A]∗[A])−1)ik(s)[v]

k[v]lds− [g](([A]∗)−1)[v], [v])

Untuk setiapt+ > t−

[g]([Bt+ ](t0)[v], [v])− [g]([Bt− ](t0)[v], [v]) =

∫ t−

t+

δil(([A]∗[A])−1)ik(s)[v]

k[v]lds

=

∫ t−

t+

[g]((([A]∗[A])−1)(s)[v], [v])ds

Karena[g] poisitif definite dan

[g]((([A]∗[A])−1)(s)[v], [v]) = [g]((([A]∗[A])−1)(s)[v], ([A]∗[A])([A]∗[A])−1[v])

= [g]([A](([A]∗[A])−1)(s)[v], [A]([A]∗[A])−1[v])

maka[g]([Bt+ ](t0)[v], [v]) − [g]([Bt− ](t0)[v], [v]) merupakan suku yang positif def-

inite. Hal ini menunjukkan fungsit → [g]([Bt](t0)[v], [v]) merupakan fungsi yang

102

monoton naik. Menggunakan kesemi-definitan dari bentuk indeksIE,γ,⊥γ(a),γ(t) dan

menerapkan pada medan vektor Jacobi licin sepotong - sepotong

J(t) =

Ba(t)Pγ|[t,t0] t ∈ [a, t0]

Bt(t)Pγ|[t0,t] t ∈ (t0, t]

Segment interval geodesik[a, t] tidak mempunyai titik konjugasi jika dan hanya jika

IE,γ,⊥γ(a),γ(t) ≥ 0

IE,γ,⊥γ(a),γ(t) =

∫ t

a

(〈∇γJ,∇γJ〉+ 〈R(J, γ)J, γ〉)dt

= −∫ t

a

(〈∇γ∇γJ +R(J, γ)γ, J〉)dt−⟨∆∇γ(t0)J, J(t0)

⟩= −

⟨Bt(t0)v,Bt(t0)v

⟩+⟨Ba(t0)v,Ba(t0)v

⟩= −[g]

([Bt](t0)[v], [Bt](t0)[v]

)− [g]

([Ba](t0)[v], [Ba](t0)[v]

)= −[g]

([Bt](t0)[v], [v]

)− [g]

([Ba](t0)[v], [v]

)

yang berakibat

[g]([Ba](t0)[v], [v]

)= lim

t→∞[g]([Bt](t0)[v], [v]

)

Hal ini berarti, bila terdapat kelas tensor Jacobi[B] yang merupakanlimt→∞[Bt], ma-

ka [B] akan memenuhi syarat batas[B](t0) = Id dan[B](t0) = [Ba]. [B] kemudian

dapat dinyatakan dengan

[B](t) = [A](t)

∫ ∞

t

(([A]∗[A])−1)(s)ds

103

Misakan[v] ∈ [γ(t)]⊥ danV medan vektor paralel sepanjangγ denganV (t) =

v maka

[g]([A]−1[B][v], [v]) =

∫ ∞

t

[g]((([A]∗[A])−1)[V ](s), [V ](s)

)ds

=

∫ ∞

t

[g]([A]([A]∗[A])−1[V ](s), [A]([A]∗[A])−1[V ](s)

)ds

> 0

Berimblikasi[A]−1[B](t) nonsingular. Dengan demikian, karenaB terdiri dari kom-

pisisi dua kelas tensor non singular, maka[B] juga nonsingular.

Simpulan IV.7 Jika geodesikγ tidak mempunyai titik konjugasi, maka dari setiap

kelas tensor Jacobi[A] yang memenuhi syarat batas[A](t0) = 0 dan [A](t0) = Id

dapat dibangun kelas tensor Jacobi[Bt] yang memenuhi kondisi[Bt](t) = 0 dan

[Bt](t0) = Id serta mempunyai limit[B] = limt→∞[Bt] yang nonsingular untuk

setiapt > t0.

Keberadaan[B] = limt→∞[Bt] merupakan petunjuk bahwa[Bt] terdefinisi pada

semuat > t0. Dengan cara serupa apabilaγ |(−∞,t0] tidak mempunyai titik konju-

gasi, maka dari kelas tensor Jacobi[A] yang memenuhi syarat batas[A](t0) = 0 dan

[A](t0) = Id dapat dibangun kelas tensor Jacobi

[Bt] = [A](t)

∫ t

t

(([A]∗[A])−1)(s)ds

yang memenuhi[Bt](t) = 0 dan [Bt](t0) = Id yang terdefinisi untuk semuat ∈

(−∞, t0].

Selanjutnya akan ditunjukkan, bahwa[Bt] yang terdefinisi pada[t0,∞)

akan membangkitkan titik konjugasi dariγ(t) apabila memenuhi suatu syarat. Apa-

bila Ric(γ(t), γ(t)) ≥ 0 untuk semuat, persamaan Raychaudhuri memenuhi per-

104

tidak samaanθ ≤ −θ2

ratau 1

θ[Bt](t)

≥ 1θ[B

t](t0)

+ t−t0r

. Karena[Bt](t0) = Id ma-

ka θ[Bt](t0) = tr([A](t0)). Syarat[t0,∞) tanpa titik konjugasi akan menyebabkan

θ[Bt](t0) ≥ 0. Karena ketikaθ[Bt]

(t0) > 0 akan terdapatt1 = t0 − rθ[B

t](t0)

< t0 yang

menjadi titik konjugasi dariγ(t) sedangkanθ[Bt](t0) = 0 menyebabkanθ[Bt]

(t) = 0

untuk semuat. Hal yang serupa terjadi jika pada interval(−∞, t0] diasumsikan

tidak mempunyai titik konjugasi. Syarat tersebut mengakibatkanθ[Bt](t0) ≤ 0 karena

pengambilanθ[Bt](t0) < 0 membangkitkan titik konjugasi padat1 = t0− r

θ[Bt](t0)

> t0

terhadapγ(t).

Simpulan IV.8 Pada geodesik komplitγ terdapat himpunan

J± :=

[A]

∣∣∣∣[A](t0) = Id, tr([A](t0))≥≤

0

(IV.20)

yang membangkitkan titik berkonjugasi.

Proposisi IV.5 Misalkanγ geodesik kausal komplit. Jika sepanjang geodesik ter-

penuhi kondisiRic(γ(t), γ(t)) ≥ 0 untuk semuat dan terdapatt0 ∈ R sedemikian

rupa sehingga pemetaan

R: (γ(t0)⊥ → (γ(t0)

⊥ , v 7→ Rv := R(v, γ)γ

tidak sama dengan nol, makaγ mengandung sepasang titik berkonjugasi.

Bukti: JikaR(., γ(t0))γ(t0) 6= 0, simetri padaR berakibat operator[R] tidak lenyap

pula di t0. Akan ditunjukkan bahwa kondisi di atas mengakibatkan setiap[A] ∈ J±

akan memenuhidet[A](t) = 0 untuk t<>t0 atau menyatakan divergensi ekspansiθ.

Misalkan[A] ∈ J−. Karenaσ self adjoint, tr(σ2) ≥ 0 yang menyebabkan persamaan

Raychaudhury memenuhi pertidak-samaanθ ≤ −θ2/r. Jikat1 > t0 denganθ(t1) <

0, akan dipenuhi pertidak-samaan1θ(t)

≥ 1θ(t1)

+ t−t1r

untuk setiapt ≥ t1. Oleh karena

105

itu, ekspansiθ(t) akan divergen dit2 = t1 − rθ(t1)

. Sebaliknya jika tidak terdapat

t1 > t0 denganθ(t1) < 0, makaθ(t) = 0 ntuk semuat ≥ t0. Padahal dari persamaan

Raychaudhuryσ = 0 sehingga[A][A]−1 = 0 juga padat ≥ t0. Karena([A][A]−1). =

−[R] − ([A][A]−1)2, makaR(., γ)γ = 0 padat ≥ t0. Ini kontradiksi dengan asumsi

semula, sehingga asumsiR(., γ)γ 6= 0 pada titikt0 berakibat keberadaan titikt1 > t0

denganθ(t1) < 0. Bukti untuk[A] ∈ J+ diberikan dengan cara yang sama.

Proposisi IV.6 Misalkanγ geodesik kausal komplit. Jika sepanjang geodesik ter-

penuhi kondisiRic(γ(t), γ(t)) ≥ 0 untuk semuat dan terdapatt0 ∈ R sedemikian

rupa sehinggaγcγdγ[aRb]cd[eγf ](t0) 6= 0 makaγ mengandung sepasang titik berkon-

jugasi.

Bukti: Cukup ditunjukkan bahwa kondisiγcγdγ[aRb]cd[eγf ](t0) 6= 0 mengakibatkan

keberadaan pemetaan

R: (γ(t0))⊥ → (γ(t0))

⊥ ; v 7→ Rv := R(v, γ)γ

tidak sama dengan nol, konsekuensi berikutnya mengikuti proposisi sebelumnya.

Jikaγ bak-waktuγcγdγ[aRb]cd[eγf ](t) 6= 0, maka begitu jugaγc(t)γd(t)Rbcde 6=

0. Oleh karena itu untuk setiapξ ∈ (γ(t))⊥, pemetaanR(ξ, γ(t))γ(t) 6= 0.

Misalkanγ null danγcγdγ[aRb]cd[eγf ](t) 6= 0. Dipilih basisei padaTγ(t)M

sedemikian rupa sehinggaen = γ(t) dan〈ei, ej〉 = δij, 〈ei, er〉 = 0, 〈er, es〉 = δrs− 1

untuk setiapi, j ∈ 1, · · · , n− 2 danr, s ∈ n− 1, n− 2. Berhubungan dengan

basis ini, diperoleh pasangan jodohγa = δan danγa = −δn−1

a . Akibatnya

4γcγdγ[aRb]cd[eγf ](t) = 4δn−1[a Rb]nn[eδ

n−1f ]

= δn−1a Rbnneδ

n−1f − δn−1

b Ranneδn−1f

+ δn−1b Rannfδ

n−1e − δn−1

a Rbnnfδn−1e

106

Jika ungkapan di atas tidak lenyap, makaa ataub harus sama dengann − 1 begitu

jugae atauf . Semisalb = f = n− 1, maka ungkapan di atas menjadi

δn−1a R(n−1)nne −Ranne +Rann(n−1)δ

n−1e − δn−1

a R(n−1)nn(n−1)δn−1e

yang akan lenyap jikan ∈ a, e. Oleh karena itu, ungkapanγcγdγ[aRb]cd[eγf ](t)

berakibata, e ∈ 1, · · · , n− 2 danRanne 6= 0. Tetapi ini berakibat pemetaan

R(., γ)γ: (γ(t))⊥ → (γ(t))⊥ tidak lenyap.

Kondisi terkhir ini biasa disebut dengansyarat generisitas kausal. Kondisi

ini bersifat teknis saja, karena himpunan medan metrik yang memenuhi syarat energi

kuat menjadidensebagi himpunan medan metrik yang memenuhi syarat energi kuat

dan syarat generisitas sekaligus [Kriele , 2001].

BAB V

STRUKTUR KAUSAL PADA RUANG-WAKTU

1. Orientabilitas Waktu

Dalam fisika, terdapat konsep tentang arah waktu termodinamika lokal yang

diberikan oleh arah kenaikan entropi suatu sistem termodinamika. Pada setiap titik

selalu bisa didefinisikan lingkungan seperti itu, oleh karena itu, beralasan untuk mem-

bagi vektor - vektor kausal pada suatu titik menjadi dua himpunan yang saling asing;

yaitu himpunan vektor yang dikatakan berarah ke masa depan (future directed) se-

bagai vektor - vektor yang searah dengan orientasi waktu dan vektor - vektor yang

berarah ke masa lalu (past directed) yang berlawanan arah dengan orientasi waktu–

nya. Apabila pembagian ini dapat dilakukan pada keseluruhan manifold, dikatakan

manifold mempunyai orientasi waktu. Pembagian seperti ini hanya bisa dilakukan bi-

la dapat didefinisikan medan vektor bak - waktu global kontinyu yang tidak lenyap di

mana - mana. Ruang - waktu yang tidak mempunyai orientasi waktu akan mempunyai

masalah dalam mengidentifikasi arah gerak waktunya.

Definisi V.1 Manifold Lorentzian(M, g) dikatakan berorientasi waktu jika dan hanya

jika terdapat medan vektor bak-waktu global yang tidak lenyap di mana - mana.

Misalkan terdapat medan vektor bak-waktu globalV pada manifold, vektor kausal

w ∈ TpM dikatakan berarah ke masa depan jikagp(V (p), w) > 0 dan dikatakan

berarah ke masa lalu jikagp(V (p), w) < 0.

Contoh sederhana ruang-waktu yang berorientasi waktu adalah ruang-waktu

Minkowski (M, g) =(Rn+1,−dx0 ⊗ dx0 +

∑nk=1 dx

k ⊗ dxk), orientasi waktunya

diberikan oleh medan vektorV = ∂∂x0 . Dengan menggunakan orientasi waktu terse-

but, dapat dibuat kerucut bertumpuk yang disebut kerucut cahaya pada setiap titiknya.

107

108

Kerucut cahaya tersebut membagi ruang Minkowski menjadi tiga dae–rah; yaitu daer-

ah waktu masa depan, daerah waktu masa lalu dan daerah bak-ruang.

Keberadaan orientasi waktu memungkinkan untuk membuat hubungan sebab

- akibat antar kejadian dalam ruang - waktu.

Definisi V.2 MisalkanA,U ⊂M

1. Kurvaγ dikatakan kurva bak-waktu (atau null, kausal) berarah ke masa depan

(atau ke masa lalu) jikaγ(t) merupakan vektor bak-waktu (atau null, kausal)

berarah ke masa depan (atau ke masa lalu) pada setiapt.

2. • Masa depan kronologis dari subhimpunanA relatif terhadap subhim-

punanU adalah himpunan titik - titikp ∈ M yang dapat diraih dengan

kurva bak-waktuγ ⊂ U dariA kep. Himpunan ini dilambangkan dengan

I+ (A,U).

• Masa depan kausal dari himpunanA relatif terhadap himpunanU adalah

himpunan titik - titikp ∈ M yang dapat diraih dengan kurva kausal

γ ⊂ U dari A kep. Himpunan ini dilambangkan denganJ + (A,U).

• Horismon masa depan himpunanA relatif terhadap himpunanU sebagai

E+ (A,U) := J + (A,U)− I+ (A,U)

Batasan untuk masa lalu kronologisI− (A,U) dan masa lalu kausalJ − (A,U)

diberikan dengan cara yang serupa. JikaU = M, I+ (A,U) cukup ditulis

denganI+ (A) dan jikaA = p, I+ (A,U) dapat ditulis denganI+ (p,U)

dan sebagainya.

Berikut ini ditunjukkan beberapa sifat topologis pada himpunan - himpunan

kausal yang telah disebutkan di atas

109

Lemma V.1 Apabilap ∈ M danU lingkungan terbuka bagip makaI+ (p,U) ter-

buka.

Bukti: Misalkanq ∈ I+ (p,U) danγ ⊂ U kurva bak-waktu darip ke q. Apabila

dipilih sistim koordinat(x0, · · · , xn) padaU danV ⊂ U lingkungan kompak dariq

yang cukup kecil. Karena kekompakanV, setiapr ∈ γ ∩ U akan terdapatα > 0

sedemikian rupa sehingga garis lurus bak-waktuγ dari r ke q serta sembarang garis

lurus γ dari r dengan∠(γ, γ) < α akan memenuhisup 〈 ˙γ(t), ˙γ(t)〉 |γ(t) ∈ V <12sup 〈γ(t), γ(t)〉 |γ(t) ∈ V < 0. Oleh karena ituγ(t) semuanya bak-waktu dalam

V. Karena garis - garis ini memenuhi semua lingkungan dariq, makaI+ (p,U) ter-

buka.

J + (p,U) tidak selalu tertutup relatif terhadapU . Akan tetapi, akan dapat

ditunjukkan bahwa pemilihanU yang cukup kecil akan membuatJ + (p,U) manjadi

tertutup relatif terhadapU .

Simpulan V.1 MisalkanU terbuka danA sembarang subset dariU , maka

I+ (A,U) = I+(I+ (A,U) ,U

)= I+

(J + (A,U) ,U

)= J +

(I+ (A,U) ,U

)⊂ J + (A,U) = J +

(J + (A,U) ,U

)Bukti: Hal ini jelas karena setiap kurva bak-waktu adalah kurva kausal, tetapi tidak

sebaliknya.

Menggunakan lemma V.1, tentu saja himpunanI+ (A) :=⋃

p∈A akan terbu-

ka, sehingga inklusiI+ (A) ⊂ J + (A) mengakibatkanI+ (A) ⊂ int (J + (A)). Se-

baliknya karenaint (J + (A)) terbuka, maka akan terdapatq ∈ I− (A)∩int (J + (A)).

Oleh karena itup ∈ I+ (q) ⊂ I+ (J + (A)) = I+ (A) atauint (J + (A)) ⊂ I+ (A).

Dengan demikian tentulahI+ (A) = int (J + (A)).

Simpulan V.2 I+ (A) = int (J + (A)).

110

Lemma berikut menunjukkan struktur kausalitas lokal pada sembarang mani-

fold Lorentzian sama dengan Manifold Minkowski.

Lemma V.2 Pada setiap lingkungan konveksU dari setiap titikp ∈ M memenuhi

kondisi

1. q ∈ I+ (p,U) (atauJ + (p,U) ) jika dan hanya jikaq = expp(v) dimanav

vektor bak-waktu (atau kausal) berarah kemasa depan dip.

2. J + (p,U) = I+ (p,U).

Bukti: MisalkanU menyatakan lingkungan konveks titikp, akan terdapat geode-

sik tunggalγ yang menghubungkanp dengan setiapq ∈ I+ (p,U). Tetapi karena

∇γ 〈γ, γ〉 = 2 〈∇γ γ, γ〉 = 0, γ tidak mengalami perubahan kelas kausalitas. Ini

berarti∀q ∈ I+ (p,U) dapat dinyatakanq = expp(v) denganv vektor bak-waktu

berarah kemasa depan dip. Hal yang serupa dapat diterapkan untuk himpunan vek-

tor kausal. Karena vektor kausal diTpM merupakan klosur dari himpunan vektor

bak-waktu makaJ + (p,U) = I+ (p,U).

Simpulan V.3 Jika q ∈ E(p,U) dapat diraih menggunakan kurva kausalγ yang

bukan kurva geodesik null, maka titik tersebut dapat diraih menggunakan kurva bak-

waktu.

Bukti: Dalam suatu lingkungan konveksU , kurva kausalγ(t) ⊂ U yang bukan geode-

sik null selalu dapat divariasi menjadi kurva bak-waktuµ(t, s) = expγ(t)(sε(t)V (t))

denganV (t) orientasi waktu danε(t) fungsi positif sepanjangγ(t). Katakanlah

γ(0) = p danγ(1) = q, agar diperoleh variasi dengan titik tetap,ε(t) akan memenuhi

kondisi ε(0) = 0 dan ε(1) = 0. Karena untuk sembarang kurva kausalγ yang

menghubungkan dua titik pada manifold bersifat kompak, sembarang liput padaγ

dapat dipilih subliput yang menjadi liput padaγ. Artinya, sepanjangγ dapat diliput

111

dengan lingkungan konveks. Menggunakan variasi seperti yang telah disebutkan di

atas, makaγ dapat divariasi menjadi kurva bak-waktu.

Untuk menentukan struktur kausalitas global, kurva - kurva kausal tidak boleh

hanya menghubungkan titik - titik dalam lingkungan konvek yang sama saja, akan

tetapi harus diperluas ke sembarang titik pada manifold. Untuk keperluan itu, akan

diperkenalkan jenis kurva kausal dengan derajat differensiabilitas terendah

Definisi V.3 Kurva kontinyuγ ⊂M dikatakan kausal (atau bak-waktu) dan berarah

ke masa depan (atau ke masa lalu) jika pada setiapp ∈M terdapat suatu lingkungan

normal konveksCp sedemikian rupa sehingga setiap pasangan titik yang berbeda

q, r ∈ γ ∩ Cp dapat dihubungkan oleh kurva kausal (atau bak-waktu) yang kontinyu

dalamCp .

Lemma berikut menunjukkan, setiap kurva kausal kontinyu memenuhi syarat Lips-

chitz sehingga licin hampir dimana - mana.

Lemma V.3 Pada setiapp ∈ M, akan terdapat lingkungan konveksCp dengan sis-

tem koordinat lokal(x0, · · · , xn−1) dan suatu konstanta riilk > 0 sedemikian rupa

sehingga setiap kurva kausalγ dalamCp dapat diparametrisasikan dengant = x0

dan pertidak samaan

√√√√n−1∑a=0

(γa(t)− γa(s))2 ≤ k |t− s|

terpenuhi untuk setiapt, s.

Bukti: MisalkanCp mempunyai klosur kompak dengandx0 bak-waktu dandxi bak-

ruang untuki ∈ 1, · · · , n− 1. KarenaCp kompak, akan terdapat konstantak0 >

0 sedemikian rupa semua vektor kausal juga kausal menurut metrik datark0dt2 +∑n−1

i=1 (dxi)2. Misalkanµ kurva kausal kontinyu denganµ(t) = γ(t) danµ(s) = γ(s)

112

. Khususnyaµ dapat dipilih sehingga dipenuhik0 = k0(µ0)2 ≥

∑n−1i=1 ((µi)2. Jika

Gambar V.1: Sifat Lipschitzan setiap kurva kausal.

basis standarRn dinyatakan dengan(e0, · · · , en−1) dan‖vaea‖ =√∑n−1

a=0(va)2, akan

dipenuhi

‖γa(t)ea − γa(s)ea‖ = ‖µa(t)ea − µa(s)ea‖ =

∥∥∥∥∫ t

s

µa(τ)dτea

∥∥∥∥≤

∫ t

s

‖µa(τ)ea‖ dτ ≤√

1 + k0(t− s)

Berikutnya perlu didefinisikan ciri - ciri kurva yang mungkin untuk "berhen-

ti" atau "menuju ketak berhinggaan" atau hanya "berputar - putar" sekitar suatu ling–

kungan. Konsep ini dapat dinyatakan lebih tepat memakai ide tentang titik ujung (end

point) suatu kurva. Kurva licin bertitik ujung mungkin gagal diperpanjang menjadi

kurva licin tetapi mungkin diperpanjang menjadi kurva kontinyu dengan menyam-

bung kurva licin dengan titik ujung yang sama.

113

Definisi V.4 Suatu titikp dikatakan titik ujung masa depan (masa lalu) dari kurva

kausal kontinyu berarah ke masa depan (atau ke masa lalu)γ(t) jika untuk setiap

lingkunganUp dari titik p terdapat suatu nilait0 sedemikian rupa sehinggaγ(t) ∈ Up

untuk setiapt > t0 (atau t < t0). Kurva kausal tanpa titik ujung masa depan (atau

masa lalu) disebut future inextensible (atau past inextensible).

Dapat dibangun topologi pada himpunan semua kurva kontinyu yang akan

disebut dengan topologi-C0, yaitu topologi yang dibangun dengan menggunakan ba-

sis topologi yang berupa himpunan - himpunan kurva

O(U) := γ |γ ⊂ U ; U terbuka diM .

yaituO(U) menyatakan himpunan kurva - kurva di dalam suatu lingkungan terbuka

U ⊂ M. Suatu kurva kontinyuµ dalam suatu lingkungan terbukaV =⋃n

i=1 Ui akan

dapat dinyatakan sebagaiµ =⋃n

i=1 γi denganγi menyatakan suatu kurva kontinyu di

dalam lingkunganUi. Dengan menggunakan topologi tersebut, dimungkinan untuk

mendefinisikan konvergensi barisan kurva. Barisan kurvaγii∈N, dikatakan konver-

gen keγ apabila setiap lingkunganV dariγ akan terdapat suatui0 ∈ N sedemikian ru-

paγi ⊂ V untuk setiapi > i0. Kurvaγ ini disebut kurva limit atau kurva konvergensi

dari barisanγii∈N. Kondisi dengan syarat yang lebih lemah diberikan untuk kurva

kluster atau kurva akumulasi.γ dikatakan sebagai kurva kluster dari barisanγii∈N

jika pada setiap lingkungan dariγ terdapat subbarisan dariγii∈N yang mempunyai

mempunyai kurva limitγ. Dengan demikian setiap kurva limit adalah kurva klus-

ter tetapi tidak sebaliknya. Titik limit dari barisan kurva dapat didefinisikan dengan

mengumpulkan titik - titik pada setiap barisan kurvaγii∈N yang mempunyai nilai

parameter yang sama.

Lemma V.4 Andaikanλi menyatakan barisan kurva kausal future inextendible

114

yang mempunyai titik limitp, akan terdapat kurva kausalλ yang future inextendible

melaluip yang menjadi kurva kluster dari barisan kurva tersebut.

Bukti: Dipilih suatu lingkungan konveksUp dari p. Selanjutnya didefinisikanBp(r)

sebagai bola terbuka berpusat dip berjari - jari r menurut suatu matrik Riemannian

padaUp. Kekompakan∂Bp(r) akan menyebabkan barisan kurvaλi yang konvergen

kep akan mempunyai suatu subbarisanλi∩Bp(r) yang konvergen pada suatu titik

q ∈ ∂Bp(r). Apabila jari - jari bola terbuka disusutkan menjadiε = α.r, α ∈ (0, 1),

dengan menggunakan prosedur yang sama akan dapat diperoleh subbarisan kurvaλij

= λi ∩ Bp(ε) yang konvergen keq(ε) ∈ ∂Bp(ε). Klosur dari∪εq(ε)

akan menghasilkan kurvaλ yang melaluip. Misalkan pj(ε), qj(ε) ∈ λij dengan

pj(ε) → p danqj(ε) → q(ε), Karenaqj(ε) ∈ J +(pj(ε), Bp(ε)), maka akan terda-

pat vektor kausalvj denganexppj(ε)(vj) = qj(ε). Titik limit v dari himpunan vektor

vj sedemikian rupa sehinggaexpp(v) = q haruslah kausal, karena himpunan vektor

kausal bersifat tertutup. Oleh karena itu,q(ε) ∈ J +(p(ε), Bp(ε)). Dengan demikian

λ adalah kurva kausal.

2. Kondisi - Kondisi Kausalitas

Meskipun secara lokal semua ruang - waktu mempunyai struktur kausalitas

yang sama dengan ruang Minkowski, hal ini tidak selalu terjamin berlaku secara glo–

bal. Ruang waktuS1×R3 yang dibentuk dengan membuat pemetaan identitas antara

x0 = 0 danx0 = 1 padahyperplaneruang Minkowski akan mempunyai kurva bak-

waktu tertutup yang dibangkitkan oleh medan vektor∂∂x0 , padahal ruang Minkows-

ki sendiri tidak mempunyai struktur seperti ini. Secara umum, ruang - waktu yang

mengijinkan kurva kausal tertutup tidak dapat dianggap sebagai ruang - waktu yang

realistis secara fisis. Seseorang yang kembali ke masa lalu dan membunuh dirinya

yang lain dimasa itu akan mempunyai masalah dengan eksistensi dirinya. Paradok

115

inilah yang menyebabkan ruang - waktu yang mengijinkan kurva kausal tertutup di-

anggap tidak realistis, tetapi secara matematis tidak ada argumentasi untuk menolak

eksistensinya.

Gambar V.2: Bidang ruang Minkowski(R2,−dx0 ⊗ dx0 + dx1 ⊗ dx1) yang dibatasioleh batas-batasx0 = 1 danx0 = 0 dapat mempunyai kurva bak-waktu tertutupketika batas - batasnya saling disambung membentuk ruang-waktuS1 × R

Definisi V.5

Himpunan kesalahan kronologi (chronology violating set) adalah himpunan

titik - titik p ∈ M yang padanya dapat ditemukan kurva bak-waktu tertutup yang

melaluinya. Sedangkan himpunan kesalahan kausalitas (causality violating set) dibe–

rikan oleh himpunan titik - titikp ∈M yang padanya dapat ditemukan kurva kausal

tertutup yang melaluinya.

Kondisi kronologis (atau kondisi kausalitas) terpenuhi pada(M, g) jika him-

punan kesalahan kronologi (atau himpunan kesalahan kausalitas) kosong. Ruang-

waktu yang memenuhi kondisi kronologis (atau kausalitas) disebut ruang-waktu yang

kronologis (atau ruang-waktu kausal).

Lemma V.5 Setiap unsurp dalam himpunan kesalahan kronologis (atau kesalahan

kausalitas) dapat dinyatakan sebagaip ∈ I+ (p)∩ I− (p) (atauJ + (p)∩J − (p)).

116

Bukti: Jikap unsur dalam himpunan kesalahan kronologis, tentulahp ∈ I+ (p) dan

terdapat kurvaγ yang menghubungkanp danq. Tetapi karenaγ kompak, akan ter-

dapatri ∈ γ sedemikian rupari+1 ∈ I+ (ri) dan lingkungan - lingkunganI+ (ri)

mengkover seluruhγ. Dengan demikian terdapat kurva bak-waktu darip ke q. argu-

mentasi yang sama diterapkan untuk memperoleh kurva bak-waktu dariq kep. Oleh

karena itup ∈ I+ (p) ∩ I− (p). Hal yang sama dapat diterapkan pada himpunan

kesalahan kausalitas.

Ruang waktu yang memenuhi kondisi kausalitas tetapi mengijinkan keber-

adaan kurva kausal yang "hampir" berpotongan juga tidak dapat dikatakan realis-

tis. Sedikit gangguan pada medan metriknya akan menyebabkan terjadinya kesala-

han kausalitas. Sifat ini untuk mengungkapkan stabilitas ruang-waktu dalam mem-

pertahankan bentuknya di bawah gangguan kecil. Dengan demikian, ruang-waktu

yang "berdekatan" mempunyai sifat - sifat yang sama dengan ruang-waktu terse-

but. "Kedekatan" ruang-waktu tersebut terungkap dalam tingkat deferensiablitas him-

punan medan metrik pada ruang-waktu. Medan metrikg dikatakan medan metrik-Cr

denganr ≥ 0 jika dapat didifferensialkan hingga derajat ke-r. KatakanlahLorr(M)

menyatakan himpunan semua medan metrik Lorentzian yang differensiabel hingga

derajat ke-r. g, g ∈ Lorr(M) dikatakan saling "berdekatan" apabila mempunyai

nilai yang berdekatan hingga derajat differensial ke-r. Untuk lebih mudahnya, stabil-

itas ruang-waktu berikut hanya akan diungkapkan dalam tingkat kedekatan terendah

yaitu kedekatan nilainya saja. Dengan demikian padaLor0(M) dapat disusun suatu

lingkungan tebuka padag ∈ Lor0(M) sebagaiUδ(g) := g ∈ Lor0(M) ||g − g| < δ

; denganδ:M→ (0,∞). DalamLor0(M) secara alamiah dapat didefinisikan relasi

partial ordering< yang dinyatakan sebagai berikut:g < g jika dan hanya jika setiap

vektor kausal menurutg adalah vektor bak-waktu menurutg.

Definisi V.6

117

Ruang waktu(M, g) dikatakan kausal kuat (strongly causal) jika pada setiap

p ∈M, dapat ditemukan suatu lingkunganU dari p sedemikian rupa sehingga tidak

terdapat kurva kausal yang melewatiU lebih dari sekali.

Ruang waktu(M, g) dikatakan kausal stabil (stably causal) jika terdapatg ∈

Lor0(M) sedemikian rupa sehinggag < g dan(M, g) memenuhi kondisi kausal.

Dengan demikian, pada ruang-waktu yang kausal stabil dengang < g dapat

disusungλ ∈ Lor0(M) yang dinyatakan dengangλ = g + λ2(g − g) untukλ ∈ [0, 2]

yang masing- masing mengijinkan ruang waktu kausal.

Lemma V.6 Sembarang ruang-waktu yang kausal stabil mengijinkan "fungsi waktu"

(fungsi kontinyu yang mempunyai nilai makin besar sepanjang kurva kausal berarah

ke masa depan).

Bukti: Menggunakan ukuran volumeµ padaMmenurutg sedemikian rupa sehingga

µ[M] = (µM) < ∞, dapat didefinisikan suatu fungsit−λ (p) := µ[I−λ (p)] dengan

I−λ (p) menyatakan masa lalu kronologis titikp menurutgλ. Jelast−λ (p) merupakan

fungsi yang naik sepanjang kurva kausal berarah ke masa depan, akan tetapi tidak

selalu berubah secara kontinyu. Salah satu upaya agar didapat suatu fungsi kontinyu

adalah dengan membuat reratat−λ (p) pada suatu interval nilaiλ. Sebelumnya ukuran

volume dinormalkan menjadiµ[M] = 1 sehingga0 < t−λ (p) < 1,∀p ∈ M. Rerata

fungsi diberikan oleh

t(p) =

∫ 1

0

t−λ (p)dλ.

Karena setiapt−λ (p) naik sepanjang kurva kausal berarah ke masa depan, maka begitu

jugat(p). Diambil suatu lingkungan konveksB darip denganµ[B] < ε/2, ε ∈ (0, 1).

Akan dapat ditemukan suatu lingkunganV darip sehingga

I−λ (V ,B) ∩ ∂B ⊂ I−λ+ε/2(p,B) ∩ ∂B, λ ∈ [0, 1]

118

yang berakibat

I−λ (q,M)− B ⊂ I−λ+ε/2(p,M)− B, ∀q ∈ V , λ ∈ [0, 1]

Sehingga

t−λ (q) ≤ t−λ+ε/2(p) + ε/2, ∀q ∈ V .

yang memberikan reratat(q) ≤ t(p) + ε ∀q ∈ V. Ini menunjukkant(p) memenuhi

sifat upper semi-continous. LingkunganV dapat ditentukan karena beberapa alasan

berikut: a) untuk0 ≤ λ < λ′ ≤ 2 akan terdapat suatu lingkunganV [λ, λ′] dari p

sedemikian rupa sehingga

I−λ (V [λ, λ′],B) ∩ ∂B ⊂ I−λ′(p,B) ∩ ∂B (V.1)

Tentu sajaV [λ, λ′] tidak tunggal, dan setiap lingkungan darip yang berada didalam-

nya juga akan memenuhi persamaan V.1. b) Jikaλ < λ1 < λ′1 < λ′ makaV [λ1, λ′1]

juga memenuhi persamaan V.1. c) Bila diambiln ≥ 2/ε, maka lingkungan terbuka

darip yang didefinisikan denganV :=⋂2n

i=0 V [ i2n, i+1

2n] dapat diambil sebagaiV [λ, λ′]

untuk setiapλ, λ′ dengan1n≤ λ′ − λ, λ ∈ [0, 1], khususnyaλ′ = λ + ε/2. Sifat

lower semi-continouspadat(p) yaitut(q) > t(p)+ε, ∀q ∈ V dapat dipenuhi karena

keberadaan lingkunganV yang memenuhi

I−λ (p,B) ∩ ∂B ⊂ I−λ+ε/2(q,B) ∩ ∂B, ∀q ∈ V , λ ∈ [0, 1]

Karena mempunyai limit batas atas dan batas bawah yang sama, maka telah dapat

dibuktikan kekontinyuant(p).

Lemma V.7 Ruang-waktu yang mengijinkan suatu "fungsi temporal" (yaitu fungsi

yang gradiennya bak-waktu di mana-mana dan berarah ke masa lalu) merupakan

119

ruang-waktu yang kausal stabil.

Bukti: Katakanlahf adalah suatu fungsi temporal, danγ kurva bak-waktu berarah ke

masa depan.Gradf = ∇f akan memenuhig(γ,∇f) > 0 atauγ(f) > 0. Dengan

demikianf mempunyai nilai yang terus naik sepanjangγ, sehingga tidak mungkin

nilai f kembali ke nilai awalnya. Ini berarti(M, g) bersifat kronologis. Penormalan

terhadap∇f yaitu g(∇f,∇f) = −1 akan menyebabkang dapat dinyatakan sebagai

g = −df⊗df+h, denganhmerupakan pembatasang pada bundel ortogonal terhadap

∇f dandf = (∇f)[. Kemudian didefinisikangλ = −λdf ⊗ df + h, λ > 0. Oleh

karena ituf masih merupakan fungsi temporal menurutgλ dangλ mengijinkan ruang-

waktu yang bersifat kausal karenag = g1 < gα, untukα > 1.

Berpatokan pada lemma V.6 dan lemma V.7 diperoleh kesimpulan berikut ini.

Simpulan V.4 Ruang-waktu(M, g) kausal stabil jika dan hanya jika mengijinkan

fungsi waktu.

Hubungan antara kausal stabil dan kausal kuat dinyatakan dalam simpulan di

bawah ini.

Simpulan V.5 Kausal stabil berakibat kausal kuat.

Bukti: Apabila kausal stabil dipenuhi, maka ruang - waktu dengan medan metrik

yang pada setiap titiknya mempunyai kerucut cahaya lebih lebar dari medan metrik

awal tetap tidak mengijinkan kurva bak-waktu tertutup. Oleh karena itu ruang - waktu

dengan medan metrik awal tentulah juga tidak mengijinkan kurva bak-waktu tertutup.

3. Wilayah Kegayutan

Untuk menampung gagasan tentang determinisme dalam teori relativitas umum,

diperlukan konsep tentang identifikasi himpunan kejadian yang dapat diramalkan dari

120

himpunan suatu kejadian tertentu yang berlaku sebagai syarat batas suatu kejadian

dalam ruang - waktu. Detail permasalahan ini tertuang dalam masalah Cauchy untuk

relativitas umum. Untuk ringkasnya, subbab ini hanya mengambil inti permasala-

hannya saja yaitu bagaimana cara mengidentifikasi semua kejadian dalam ruang-

waktu yang mutlak ditentukan oleh suatu syarat batas tertentu. Dapat dibayangkan,

daerah penyelesaian dari suatu kejadian dengan syarat batas batas tertentu haruslah

merupakan himpunan kejadian yang seluruh sinyalnya terdaftar pada syarat batas.

Katakanlah himpunan kejadian syarat batas itu dinyatakan denganA, maka suatu ke-

jadianp ∈ I+(A) tapi bukan berada dalam daerah penyelesaian mempunyai makna

suatu kejadian yang tidak dipengaruhi oleh syarat batasA. Dengan demikian tidak se-

tiap unsur dalam himpunan kronologis dariAmerupakan berada dalam daerah penye-

lesaian, akan tetapi tidak sebaliknya. Untuk lebih tepatnya, akan didefinisikan hal -

hal berikut

Definisi V.7 SubhimpuanS ⊂ M disebut akronal jika tidak terdapat kurva bak-

waktu yang beririsan dengannya lebih dari sekali:I+(S) ∩ S = ∅.

1. Bibir (edge) dari himpunan acronalS adalah himpunan titik titikp ∈ S yang

setiap lingkunganU-nya dapat ditemukan kurva bak-waktuγ dalamU yang

menghubungkan titik - titikp+ ∈ I+(p,U) danp− ∈ I−(p,U) denganγ ∩S =

∅. Bibir dari S akan dilambangkan denganBibir(S).

2. Wilayah kegayutan (domain of dependence) masa depan (atau masa lalu) dari

suatu himpunan akronalS adalah himpunan semua titikp ∈ M sedemikian

rupa sehingga setiap kurva kausal past inextensible (atau future inextensible)

yang melaluip akan beririsan denganS. Himpunan ini dilambangkan dengan

D+(S) (atauD−(S)). HimpunanD(S) = D+(S) ∪ D−(S) disebut sebagai

wilayah kegayutan total atau Cauchy development dariS.

121

Mudahnya dikatakan, himpunan akronal adalah himpunan yang setiap titiknya

tidak terdapat pemisahan waktu satu dengan yang lain. Dengan demikian dapat

dikatakan mewakili semesta pada suatu saat. Hal ini dimotifasi oleh lemma berikut

Lemma V.8 Jika S himpunan akronal tertutup denganBibir(M) = ∅ makaS

adalah hypermanifold Lipschizan.

Bukti: JikaS tertutup, makaS = S. Bibir(S) = ∅ berakibat setiap pasangan titik

q+ ∈ I+(S) danq− ∈ I−(S) akan dapat terhubung oleh kurva bak-waktuγ hanya

jika γ ∩ S 6= ∅. Tetapi karenaS akronal, makaγ hanya akan mengirisS sekali,

katakanlah pada titikp ∈ S. Apabila dibangun lingkungan konvekUp berpusat pada

titik p yang secara lokal dinyatakan oleh sistem koordinat(x1, · · · , xn) denganγ kur-

va integral dari ∂∂x1 , berakibat setiap titikr ∈ Up ∩S dapat ditandai dengan koordinat

(0, x2, · · · , xn). JadiUp∩S secara lokal homeomorfis terhadapRn−1. Di samping itu,

lemma V.3 menunjukkanS Lipschitzan. Oleh karena itu, sepanjangS dapat dibangun

atlas yang menunjukkanS suatuhypersurfaceLipschitzan.

Berikut ini akan dibuktikan beberapa sifat topologis yang penting dariD+(S)

Lemma V.9 p ∈ D+(S) jika dan hanya jika setiap kurva bak-waktu past inextensi-

ble darip beririsan denganS

Bukti:

• Semisal himpunan semua titik yang setiap kurva bak-waktupast inextensible

dari p beririsan denganS akan dinyatakan denganD+(S). Jikap ∈ D+(S)

makap ∈ D+(S). Dengan demikianD+(S) ⊂ D+(S). Tetapi jika q ∈

M − D+(S), maka akan terdapat lingkunganUq dari titik q sedemikian rupa

sehinggaUq ∩ S = ∅, oleh karena itu akan terdapat kurvapast inextensibleµ

dariq yang tidak beririsan denganS. Apabilar ∈ µ∩I−(q,Uq) makaI+(q,Uq)

akan menjadi lingkungan terbuka bagiq diM−D+(S). SehinggaM−D+(S)

122

tebuka atauD+(S) tertutup. Akan tetapi karenaD+(S) merupakan himpunan

tertutup terkecil yang memuatD+(S), tentulahD+(S) ⊂ D+(S).

• Untuk yang sebaliknya akan ditunjukkan dengan kontradiksi. Misalkanp ∈

D+(S) terdapat lingkunganVp dari p denganVp ∩ D+(S = ∅, Dari r ∈

I−(p,Vp) akan terdapat kurva kausalγ yangpast inextensibledarir yang tidak

beririsan denganS. Misalkanyi barisan dalamγ yang tidak konvergen ke-

sembarang titik denganyn+1 ∈ I−(yn) danWn ∩Wn+1 = ∅ untuk setiapWi

lingkungan konveks bagiyi. Melalui barisanzk di M dengan

zn+1 ∈ I+(yn+1,Wn+1) ∩ I−(zn,M−S)

akan dapat dibangun kurva bak-waktupast inextensibleyang melaluizk dari

p yang tidak beririsan denganS. Oleh karena itup /∈ D+(S). Ini kontradiksi

dengan asumsi semula yang menyatakanp ∈ D+(S). Oleh karena itu mestinya

jika p ∈ D+(S) makaVp ∩ D+(S 6= ∅ untuk setiap lingkunganVp, atau

D+(S) ⊂ D+(S).

Lemma V.10 int[D+(S)] = I−(D+(S)) ∩ I+(S)

Bukti :

• Misalkanγ kurva kausalpast inextensibledengan titik ujung masa depan di

p = x0, Jikap ∈ int[D+(S)], akan terdapat lingkunganOp dari p sedemikian

rupaOp ⊂ D+(S). Dengan demikian dariq ∈ Op akan dapat ditemukan kurva

bak-waktupast inextensibleberarah ke masa depan yang beririsan denganS

sehinggaq ∈ I+(S). Karena hal ini berlaku untuk setiapq ∈ Op, makaOp ⊂

I+(S).

123

• Selanjutnya akan dibuktikanI−(D+(S)) ∩ I+(S) ⊂ int[D+(S)]. Jika p ∈

I−(D+(S)) ∩ I+(S), akan terdapatq ∈ D+(S) ∩ I+(p). Misalkanγ kurva

bak-waktu darip ke q. Jika p /∈ D+(S), akan terdapat kurvaµ yang past

inextensibleberujung masa depan dip dan tidak melaluiS. Penyambungan

µ danγ akan mempenyai titik ujung masa depan diq danpast inextensible.

Kurvaγ akan beririsan denganS di suatu titik, katakanlahr. Karenar ∈ I+(p)

danp ∈ I+(S), makar ∈ I+(S). Ini berarti akan terdapat kurva bak-waktu

dengan titik ujung masa depan diq ∈ I+(r) yang beririsan denganS dua kali,

jadi kontradiksi dengan akronalitasS.

Serupa dengan lemma di atas, dapat ditunjukkan berlaku pula

1. int[D−(S)] = I+(D−(S)) ∩ I−(S)

2. int[D(S)] = I−(D+(S)) ∩ I+(D−(S)).

Berkaitan dengan batas - batas daerah yang dapat diprediksi dari data - data

yang diketahui dariS, didefinisikan hal berikut

Definisi V.8 Batas masa depan dariD+(S) yaituH+(S) = D+(S) − I−(D+(S))

disebut sebagai horizon Cauchy masa depan. Untuk horizon Cauchy masa lalu

H−(S) didefinisikan dengan cara serupa.

Karena berasal dari irisan dua himpunan tertutupD+(S) danM−I−(D+(S)), maka

H+(S) selalu tertutup. Juga karenaI−(H+(S)) ⊂ I−(D+(S)) ⊂ M − H+(S),

jadi I−(H+(S))∩H+(S) = ∅ ini menunjukkanH+(S) akronal. Sebagaimana dapat

dilihat pada gambar V.3 di bawah,H+(S) akan beririsan denganS jika S mempunyai

Bibir atauS mempunyai bagian null. Sifat lainnya diberikan di bawah ini

Lemma V.11

124

1. Bibir(H+(S)) = Bibir(S)

2. H(S) = ∂D(S)

(Bukti):

1. MisalkanUi merupakan lingkungan - lingkungan bagiq ∈ Bibir(H+(S)),

Untuk setiapUi akan terdapat titik - titikpi ∈ I−(q,Ui) danri ∈ I+(q,Ui)

yang dapat dihubungkan oleh kurvaλi ⊂ Ui denganλi ∩H+(S) = ∅. Karena

H+(S) = D+(S) − I−(D+(S)), makaλi ∩ D+(S) = ∅. Juga karenaq ∈

D+(S), makaI−(q) ⊂ I−(D+(S)) ⊂ I−(S) ∩ D+(S). Oleh karena itu,pi

harus berada dalamI−(S). Juga setiap kurva bak-waktu yangpast inextensible

dari q haruslah beririsan denganS. Oleh karena itu, untuk setiapUi terdapat

suatu titik diS dari q danpi atauUi ∩ S 6= ∅. Oleh karena ituq ∈ S. Tetapi

karenaλi tidak beririsan denganS, makaq ∈ Bibir(S). Bukti sebaliknya

serupa dengan cara di atas.

2. Jelas dari definisi∂D(S) = D(S)− int[D(S)].

Dengan demikian dapat disusun proposisi berikut yang menunjukkan hubu–

ngan antara himpunan akronal tertutup dengan horizon Cauchy masa depannya.

Proposisi V.1 MisalkanS himpunan akronal tertutup, makaH+(S) dibangkitkan

oleh geodesik null yang past inextendible atau mempunyai titik ujung masa lalu di

Bibir(S).

(Bukti): Diasumsikanp ∈ H+(S) tetapi p /∈ Bibir(S), maka akan terdapat dua

kemungkinan yaitup ∈ I+(S) ataup ∈ S tetapip /∈ Bibir(S).

Dalam kasusp ∈ I+(S), karenap /∈ I−(D+(S)) tentu untuk setiapq ∈

I+(p) akan terdapat kurva kausal dariq yangpast inextensibledan tidak beririsan

125

Gambar V.3:D+S danH+(S) dari himpunan akronalS yang mengandung bagiannull dan bagian bak-ruang pada ruang Minkowski yang sebagian daerahnya dibuang

denganS. Misalkanqi barisan dalamI+(p) yang konvergen kep danλi barisan

kurva kausalpast inextensibleyang setiapλi-nya melaluiqi. Karenap menjadi titik

limit dari λi, akan terdapat kurva kluster kausalλ past inextensibleyang melalui

p. Jika diasumsikanλ memasukiI+(S) ∩ I−(D+(S)) ⊂ D+(S, maka akan terda-

pat beberapaλi denganλi ∩D+(S) 6= ∅ yang kontradiksi dengan asumsi awal yang

menyatakanλi tidak beririsan denganS. Oleh karena ituλ juga gagal beririsan de–

nganS. Juga karenaI+(p) ⊂ I−(D+(S)) = I−(D+(S)). Hal ini berarti dalam

I+(S), λ merupakan kurva kausalpast inextensibleyang gagal untuk memasuki

I−(p) sehinggaλ haruslah suatu geodesik null. Selanjutnya jikaλ ∩ I+(S) gagal

beririsan denganS, dapat dikonstruksi kurva bak-waktu yang berarah ke kemasa lalu

dari p dengan sifat serupa. Tetapi hal ini mustahil karenap ∈ D+(S). Jadi tentulah

λ ∩ I+(S) ⊂ D+(S). Sehinggaλ ∩ I+(S) ⊂ H+(S). Dengan demikian setiap

p ∈ H+(S)∩ I+(S) dilalui oleh geodesik null berarah ke masa lalu yang seluruhnya

126

berada dalamH+(S).

Oleh karena itu, apabilaBibir(S) kosong, makaH+(S) merupakanhyper-

surfaceakronal Lipschitzan yang dibangkitkan oleh geodesik null yangpast inex-

tendible. Himpunan akronal tertutup tanpaBibir seperti ini disebut sebagai per-

mukaan Cauchy parsial (partial Cauchy surface). ApabilaD(S) = M, suatu per-

mukaan Cauchy parsial disebut sebagai permukaan Cauchy global (global Cauchy

surface) atau permukaan Cauchy saja. Akan ditunjukkan nanti, permukaan Cauchy

merupakanhypersurfacebak-ruang yang setiap kurva kausal yang menghubungkan

masa depan dan masa lalu kronologisnya hanya dapat melaluinya tepat sekali saja.

Ruang waktu(M, g) yang mengijinkan keberadaan permukaan Cauchy disebut seba-

gai ruang - waktu yang hiperbolis global (globally hyperbolic spacetime).

Simpulan V.6 JikaM tersambung, maka suatu himpunan akronal tertutupΣ akan

menjadi permukaan Cauchy jika dan hanya jikaH(Σ) = ∅

Bukti: JikaH(Σ) = ∂D(Σ) = ∅makaD(Σ) = int[D(Σ)] = D(Σ). Oleh karena itu,

D(Σ) menjadi terbuka sekaligus tertutup.M akan tersambung jika dan hanya jika

subset terbuka sekaligus tertutupnya adalah∅ danM sendiri. PadahalD(Σ) ⊃ Σ 6= ∅

oleh karena ituD(Σ) = M. Sebaliknya jikaΣ permukaan Cauchy, makaD(Σ) = M

danBibir(Σ) = ∅. KarenaM tersambung, makaD(Σ) akan terbuka sekaligus

tertutup. Oleh karena itu∂D(σ) = H(Σ) = ∅.

Lemma V.12 Setiap kurva kausal inextendible akan beririsan dengan permukaan

CauchyΣ ,I+(Σ) danI−(Σ).

Bukti: dari kesimpulan V.6, jelas bahwaΣ menjadi permukaan Cauchy jika dan

hanya jika∂D(Σ) = ∅. Oleh karena itu cukup dibuktikan apakah setiap kurva

kausal yang melewati titik - titikint[D(Σ)] akan melewatiΣ ,I+(Σ) danI−(Σ).

127

Mi–salkanγ menyatakan kurva kausalpast inextendibledengan titik ujung masa de-

pan diq = q0 ∈ int[D+(Σ)], h menyatakan medan metrik Riemannan pada mani–

fold M dan didefinisikan suatu lingkungan dari setiapp ∈ M menuruth sebagai

Bε(p) := p ∈M|dh(p, p) < ε dengandh(p, p) = inf L(λ) |λ kurva darip ke p.

Dengan kata lain,Bε(p) menyatakan titik - titik yang dapat diraih daripmenggunakan

geodesik menuruth yang mempunyai panjang kurang dariε. Misalkanqi ⊂ γ

denganqi+1 ∈ J −(qi) menyatakan barisan tanpa titik akumulasi di masa laluγ.

apabila dinyatakanr0 ∈ I+(q0) ∩ int[D+(Σ)], maka akan dapat ditemukan titik

r1 ∈ I−(r0) ∩ I+(q0, B1(q0)). Berturut - turut akan dapat dibangun barisanri

yang memenuhi hubunganri ∈ I−(ri−1) ∩ I+(qi, B 1i(qi)) yang dapat dihubungkan

dengan kurva bak-waktuµ ⊂ I+(γ). Karenar0 ∈ int[D+(Σ)], µ haruslah beririsan

denganΣ di suatu titik, katakanlah dir. Ini berarti akan terdapatqj ∈ I+(r) yang

menunjukkanI+(γ) ∩ Σ 6= ∅. Bukti untukq ∈ int[D−(Σ)] diberikan dengan cara

serupa.

Menggunakan lemma di atas dapat dibangun suatu proposisi tentang kriteria

permukaan Cauchy

Proposisi V.2 MisalkanΣ menyatakan himpunan akronal tertutup tanpaBibir, Σ

menjadi permukaan Cauchy jika dan hanya jika setiap geodesik null yang inextendible

beririsan denganΣ ,I+(Σ) danI−(Σ).

Bukti: Bagian " hanya jika " telah dibuktikan dalam lemma V.12 di atas. Bagian "jika"

akan dibuktikan dengan kontrapositif. MisalkanΣ gagal menjadi permukaan Cauchy,

maka paling tidak akan terdapat salah satu diantaraH+(Σ) danH−(Σ) tidak kosong.

KatakanlahH+(Σ) 6= ∅, maka karenaBibir(Σ) = ∅ tentulah setiapp ∈ H+(Σ)

akan dilewati oleh suatu geodesik null yang seluruhnya berada dalamH+(Σ). Ini

merupakan konsekuensi dari proposisi V.1. Oleh karena itu, geodesik null tersebut

selamanya tidak pernah memasukiI−(Σ).

128

4. Sifat Kausalitas Stabil Pada Ruang waktu Yang Hiperbolis Global

Menggunakan kekompakan himpunan kurva kontinyu yanginextensible, da–

pat ditunjukkan bahwa ruang - waktu yang hiperbolis global memenuhi kondisi kausal-

itas stabil.

Lemma V.13 Misalkan(M, g) hiperbolis global, maka(M, g) kausal kuat.

Bukti: jika (M, g) hiperbolis global dengan permukaan CauchyΣ, maka keberadaan

kurva kausal tertutup akan mengirisΣ lebih dari sekali, oleh karena akronalitasΣ

akan disalahi. Dengan demikian setiap ruang-waktu yang hiperbolis global akan

memenuhi kondisi kausalitas. Berikutnya, semisal pada titikp ∈ I+(Σ) kondisi

kausal kuat disalahi sedangkanp merupakan titik limit dari barisan titikpi, ma-

ka akan terdapat lingkungan konveksU ⊂ I+(Σ) dari p dan himpunan lingkungan

Oα ⊂ U |Oα lingkungan daripα ∈ U sedemikian rupa sehingga untuk setiapOα

dapat ditemukan kurva bak-waktu berarah ke masa depanλα yang bermula diOα,

meninggalkanU dan berakhir diOα. Lemma V.4 mengakibatkan dapat ditemukannya

kurva kausalλ yang melaluip. Meskipunλα extendible, tetapiλ akaninextendible

atau tertutup. Agar akronalitasΣ tidak disalahi, tidak ada satupunλα yang memasuki

I−(Σ), begitu jugaλ. Tetapi ini bertentangan dengan lemma V.12, oleh klarena itu

kausalitas kuat tidak mungkin disalahi dip ∈ I+(Σ). Pada kasusp ∈ I−(Σ) dan

p ∈ Σ diberikan dengan cara serupa. Terakhir, karena ruang-waktu yang hiperbolis

global memenuhiM = I+(Σ) ∪ Σ ∪ I−(Σ), maka tentulahM kausal kuat

ApabilaC(p, q) menyatakan himpunan kurva kausal kontinyu berarah ke masa

depan yang berasal darip menuju q, disusun topologi warisan padaC(p, q) dari

topologi-C0 yang dikemukakan sebelumnya. Basis topologi pada topologi warisan ini

berbentukO(U) ⊂ C(p, q) yang didefinisikan olehO(U) := λ ∈ C(p, q) |λ ⊂ U

untuk setiapU subhimpunan terbuka yang mengandung titikp danq. Pembatasan

129

(M, g) yang kausal akan menyebabkanC(p, q) bersifat Hausdorff dansecond count-

able.

Lemma V.14 Misalkan(M, g) hiperbolis global danp, q ∈ M, makaC(p, q) kom-

pak

Bukti: KarenaC(p, q) second countablemaka cukup dibuktikan bahwa setiap barisan

kurvaλn dalamC(p, q) mempunyai kluster kurva. MisalkanΣ adalah permukaan

cauchy bagiM, apabila diambilp, q ∈ D−(Σ), akan terdapat kurvafuture inex-

tendibleλ yang menjadi kuva kluster dariλn padaM− q. Karena tidak satupunλi

yang memasukiI+(Σ), makaλ juga tidak mungkin memasukinya. Oleh karena itu,

q akan menjadi titik ujung masa depan dariλ atauλ akan tetapinextensible. Tetapi

jika λ akan tetapinextensible, λ haruslah beririsan denganΣ danI+(Σ). Ini berarti

λ tidak mungkininextensible. Dengan demikianλ denganq sebagai titik ujungnya

merupakan kurva kluster dariλn. Argumentasi yang sama dapat diterapkan pada

p, q ∈ D+(Σ). Apabila q ∈ I+(Σ) danp ∈ D−(Σ), barisan kurvaλn dalam

C(p, q) akan mempunyaiλ kurva kluster yang melaluip berarah ke masa depan dan

beririsan denganI+(Σ). Apabila dipilih suatu titikr ∈ λ∩I+(Σ) dan mengekstraksi

subbarisanλn

dari λn yang konvergen pada kurvaλ

∣∣[p,r] , pembuanganp akan

menyebakan barisanλn

menjadipast inextensiblediM− p. oleh karena itu akan

terdapat kurvaλ yang melaluiq dan memasukiI−(Σ) serta menjadi kurva kluster dariλn

. λ haruslah melewatir karenar merupakan titik konvergensi dari

λn

, juga

agarλ tidak selalu berada dalamI+(r) ⊂ I+(Σ). Dengan demikian penyambungan

segment kurvaλ dari p ke r dan kurvaλ dari r ke q akan menjadi kurva kluster dari

barisan kurvaλn

Menggunakan kekompakanC(p, q), dapat ditunjukkan berlaku hal berikut

Proposisi V.3 Misalkan(M, g) ruang-waktu yang hiperbolis global danp, q ∈ M,

makaJ +(p) ∩ J −(q) kompak.

130

Bukti: Cukup ditunjukkan setiap barisanri dalamJ +(p)∩J −(q) mempunyai titik

kluster. Misalkanλj barisan kurva dalamC(p, q) yang setiapλi-nya melalui salah

satu titikri. KarenaC(p, q), akan terdapat kurvaλ yang menjadi kurva kluster dari

λj. Tentu sajaλ kompak karena merupakan bayangan dari interval tertutup pada

R. Dapat ditemukan suatu lingkunganU dari λ sedemikian rupaU kompak. Dalam

U , akan terdapatN sedemikian rupa sehinggaλn ⊂ U untuk setiapn > N . Dengan

demikian dalamU akan terdapat subbarisanrn. KarenaU kompak, akan terdapat

titik kluster r ∈ U dari rn. Jika r /∈ λ, ini kontradiksi dengan asumsi awalλ

sebagai kluster kurva darirn. Oleh karena itur ∈ λ ⊂ J +(p) ∩ J −(q).

Pembatasanp hanya pada sepanjangΣ saja akan menyebabkan dipenuhinya

proposisi di bawah ini

Proposisi V.4 Misalkan(M, g) hiperbolis global dengan permukaan CauchyΣ. Apa-

bila q ∈ D+(Σ), makaJ +(Σ) ∩ J −(q) kompak.

Puncak dari hubungan antara sifat hiperbolis global dengan kausalitas stabil

dinyatakan oleh proposisi di bawah ini.

Proposisi V.5 (Geroch (1970))

Ruang-waktu hiperbolis global(M, g) akan bersifat kausal stabil. Selanjutnya dapat

dipilih suatu fungsi waktuf sedemikian rupa sehingga saatf konstan merupakan

suatu permukaan CauchyΣ. Oleh karena ituM akan homeomorfis denganR× Σ.

Bukti: Untuk membuktikan(M, g) akan bersifat kausal stabil, cukup ditunjukkan

eksistensi fungsi waktu pada(M, g) (simpulan V.4). Seperti bukti pada lemma V.6,

diambil suatu ukuranµ padaM yang berhingga. Untuk setiapp ∈ M didefinisikan

t+(p) := µ[J +(p)] yang akan mempunyai nilai makin turun sepanjang kurva kausal

berarah ke masa depan. Akan ditunjukkan sifat hiperbolis global menyebabkant+(p)

kontinyu padaM sehingga tidak perlu direrata seperti pada lemma V.6.

131

Diambil suatu kurva kausalλ padaM. semisalr ∈ λ danxn menjadi barisan tak

berhingga padaλ yang berada pada masa lalur dan didefinisikanF := ∩nJ +(xn).

Apabila diasumsikant+(p) tidakupper semi-continouspadaλ di r, tentu akan terda-

pat suatu titikq ∈ F − J +(r) sehinggar /∈ J −(q). Tetapi setiapxn ∈ J −(q)

sehinggar ∈ J −(q), yang berarti bahwaJ −(q) tidak tertutup. Padahal dalam

ruang-waktu hiperbolis globalJ +(p) ∩ J −(q) akan tertutup∀p, q ∈ M, karena

merupakan subset kompak dalam ruang yang Hausdorff. Misalkan dapat ditemukan

suatu titik s ∈ J +(p) tetapi s /∈ J +(p). Apabila dipilih q ∈ I+(s), maka ten-

tunyas ∈ J +(p) ∩ J −(q) tetapis /∈ J +(p) ∩ J −(q). Ini kontrasiksi dengan sifat

J +(p) ∩ J −(q) yang seharusnya tertutup. Ini berarti untuk setiapp ∈ M yang

hiperbolis global,J +(p) akan selalu tertutup. Begitu juga himpunanJ −(p). Hanya

saja, telah dibuktikan apabilat+(p) tidak upper semi-continouspadaλ di r maka

J −(q) tidak tertutup untuk suatu titikq ∈ F − J +(r). Kontradiksi ini menun-

jukkan t+(p) merupakan fungsi yangupper semi-continoussepanjang kurva kausal

berarah ke masa depan. Sifatlower semi-continouspada fungsi tersebut dapat di-

tentukan dengan cara serupa. Oleh karena itu,t+(p) merupakan fungsi yang kon-

tinyu. Dengan cara serupa didefinisikan fungsi kontinyut−(p) := µ[J −(p)]. Ke-

dua fungsi tersebut memenuhilims→a t−(γ(s)) = 0 dan lims→b t

+(γ(s)) = 0 sep-

anjang kurva kausalinextendibleγ: (a, b) → M. Ini berarti, setiap kurva kausal

inextendibleakan beririsan dengan himpunan akronal saat suatu fungsi yang didefi–

nisikan dengant(p) = t−(p)t+(p)

konstan. t(p) konstan merupakan permukaan Cauchy,

karena merupakanhypersurfaceLipschitzan pula.Apabila diambil medan vektor bak-

waktuV yang membangkitkan orientasi waktu, dapat didefinisikan suatu pemetaan

β: tkonstan→M yang menjodohkan titik - titik padaM dengan titik saattkonstan

menggunakan kurva integral dariV . Sehingga dapat didefinisikan suatu homeomor-

fismeψ:M → R × S, p → (log t(p), β(p)) denganS menyatakan permukaan

132

Cauchy saattkonstan.

Homeomorfisme ruang-waktu hiperbolis global(M, g) dengan produk karte-

sis antaraR dengan permukaan Cauchy pada proposisi di atas ternyata dapat di–

tingkatkan lagi menjadi diffeomorfis. Upaya ini telah dilakukan oleh Bernal dan

Sanchez dengan membuat prosedur memperlicin fungsi waktu padaM. Oleh kare-

na itu pada ruang-waktu yang hiperbolis global dapat dinyatakan sebagaislice dari

permukaan Cauchy licin dan mengijinkan dekomposisi licin pada medan metriknya

[Sanchez , 2005].

5. Eksistensi Geodesik Pada Ruang-waktu yang Kausal

Proposisi V.6 MisalkanM memenuhi syarat kausal danp, q ∈ M denganq ∈

J +(p), akan terdapat geodesik kausal darip ke q yang mempunyai panjang lebih

besar atau sama dengan sembarang kurva kausal darip keq.

Untuk membuktikannya, perlu dianalisa perilaku unsur - unsur dalamC(p, q).

Karena setiap kurva kausal selain geodesik null dapat didekati dengan himpunan kur-

va bak-waktu, maka himpunan kurva bak-waktu darip ke q yang differensiableC1

yang dilambangkan denganC(p, q) dapat ditunjukkan sebagai dense bagiC(p, q).

Lemma V.15 ApabilaM memenuhi syarat kausal, maka fungsional panjangL up-

per semi-continous padaC(p, q) menurut topologi-C0

Bukti: Misalkanγ ∈ C(p, q) dengan〈γ, γ〉 = −1 danU menjadi lingkungan dari

γ yang berasal dari gabungan berhingga himpunan konveks danγ menyatakan per-

luasanγ pada lingkungan tersebut yanginextendible. KarenaM kausal, makaγ

tidak diijinkan beririsan dengan dirinya sendiri. Oleh karena itu,U dapat dipilihsim-

ply connected. Diambil medan vektor basisE0(t), · · · , En−1(t) yang ortonormal

sepanjangγ denganE0 = γ. Pemetaanf :V ⊂ Rn → U , (t, x1, · · · , xn−1) 7→

133

expγ(t)

(∑n−1i=1 x

iEi(t))

merupakan diffeomorfisme lokal di dekatγ. U danV dapat

dipilih cukup kecil sehinggaf menjadi diffeomorfisme.

KarenaC(p, q) ⊂ C(p, q), cukup dibuktikan fungsional panjangL upper

semi-continouspadaC(p, q). Misalkanγ unsur dariC(p, q) danµ kurva bak-waktu

yang menghubungkanp danq dan termuat dalam lingkunganγ yang telah disebutkan

sebelumnya. Karenadt(µ(t)) = 1, makaµ(t) = ∇t+v(t)〈∇t,∇t〉 denganv(t) menyatakan

medan vektor yang ortogonal terhadap∇t. Akibatnya

−gµ(t)(µ, µ) = −(

1

〈∇t,∇t〉

)2 (gµ(t)(∇t,∇t) + gµ(t)(v(t), v(t))

)≤ −

(1

〈∇t,∇t〉

)2 (gµ(t)(∇t,∇t)

)≤ −

(1

gµ(t)(∇t,∇t)

)

Tetapi karena−gγ(t)(γ, γ) = −gγ(t)(∇t,∇t) = 1 dan r 7→ gr(∇t,∇t) kontinyu,

maka untuk suatuε > 0 cukup kecil sehingga padaU dipenuhi−1−ε < g(∇t,∇t) <

−1 + ε sehingga−gµ(t)(µ, µ) ≤ 11−ε

= − 11−ε

gγ(t)(γ, γ) sehinggaL(µ) ≤ 11−ε

L(γ).

Karenaµ ∈ C(p, q) sembarang, makaL upper semi-continouspadaC(p, q)

Bukti proposisi V.6: Ketika C(p, q) = ∅ tetapiC(p, q) 6= ∅, makap danq

akan terhubung oleh geodesik null patah dan tidak ada kurva kausal lain selain kurva

geodesik null patah. Sebaliknya jikaC(p, q) 6= ∅, akan terdapat kurva kausalγ darip

ke q yang panjangnya lebih atau sama dengan kurva lainya. Tetapi dalam lingkungan

konveks, kurva kausal berpanjang maksimal yang menghubungkan dua titik dalam

lingkungan tersebut adalah suatu geodesik kausal. Karena Lipsichtzan, sepanjangγ

akan selalu dapat dibangun lingkungan - lingkungan konveks. Oleh karena itu, apabi-

la γ mempunyai panjang lebih dari kurva lainnya, tentulahγ adalah suatu geodesik.

134

Karena fungsi kontinyu dari sembarang ruang kompak keR akan mempu–

nyai nilai maksimum dan minimum, maka pada rung-waktu hiperbolis global,L yang

upper semi-continousakan mempunyai maksimum diC(p, q). DalamC(Σ, q) yang

dilengkapi dengan fungsional panjangL = inf L(γ) |γ ∈ C(p, q), ∀p ∈ Σ juga

mengalami hal yang sama. Bersama dengan hasil pada bab sebelumnya yang me–

nyatakan: Secara lokal, kurva berpanjang maksimal yang menghubungkan antara

suatuhypersurfacedan sebuah titik adalah geodesik bak-waktu ortogonal terhadap

hypersurfacedan tidak mempunyai titik konjugasi antarahypersurfacedan titik terse-

but, maka dapat disimpulkan hal - hal berikut.

Simpulan V.7

1. Dalam ruang-waktu hiperbolis global, kurva berpanjang maksimal yang meng–

hubungkan titik - titikp, q ∈M denganq ∈ J +(p) adalah geodesik bak-waktu

yang tidak mempunyai titik konjugasi.

2. Jika Σ permukaan Cauchy, danq ∈ D+(Σ), maka akan terdapat geodesik

bak-waktu berpanjangL yang tidak memuat titik fokal antaraΣ danq.

Kondisi yang lebih renggang diberikan pada ruang-waktu yang kausal kuat

yaitu dengan mengganti permukaan Cauchy dengan sembaranghypersurfacebak-

ruang akronal. KarenaC(p, q) tidak selalu kompak, maka kemaksimalanL tidak

ditentukan olehC(p, q).

Simpulan V.8

1. Pada ruang-waktu kausal kuat, apabila diijinkan nilai maksimal pada fung-

sional panjang maka kurva geodesik bak-waktu tanpa titik konjugasi yang meng–

hubungkanp, q ∈M denganq ∈ J +(p) mempunyai panjang maksimal dalam

C(p, q).

135

2. MisalkanS hypersurface bak-ruang akronal licin pada ruang-waktu kausal ku-

at danq ∈ D+(S). Apabila diijinkan nilai maksimal pada fungsional panjang

maka geodesik ortogonal terhadapS menujuq yang tidak memuat titik fokal

mempunyai panjang maksimal dalamC(S, q).

Karena geodesik null tanpa titik konjugasi tidak dapat mengalami deformasi menjadi

kurva bak-waktu, akan dapat diperoleh kesimpulan berikut

Simpulan V.9 Misalkan (M, g) ruang-waktu hiperbolis global danS suatu sub-

manifold bak-ruang yang kompak, orientabel dan berkodimensi2. Maka setiapp ∈

∂I+(S) dilintasi oleh geodesik null berarah ke masa depan berasal dariS dan or-

togonal terhadapnya serta tidak memuat titik fokal antaraS danp.

BAB VI

SINGULARITAS RUANG - WAKTU

Setelah menyiapkan sejumlah perangkat yang diperlukan pada bab - bab se-

belumnya, berikut ini akan dibuktikan sejumlah teorema singularitas menurut sudut

pandang ketidak-komplitan geodesik. Baik geodesik null maupun geodesik bak-

waktu. Teorema- teorema ini didasarkan pada teorema - teorema singularitas yang

telah ditemukan oleh Hawking dan Penrose.

Teorema pertama berikut menunjukkan bahwa jika ruang-waktu bersifat hiper-

bolis global dan suatu ketika terlihat mengalami ekspansi ke segala arah, maka dapat

ditunjukkan bahwa jagat raya bermula dari suatu keadaan singular pada suatu selang

waktu berhingga di masa lalu.

Teorema VI.1

Misalkan (M, g) ruang-waktu yang hiperbolis global dan syarat energi kuat ter-

penuhi oleh materi. Apabila pada(M, g) terdapat permukaan CauchyΣ bak-waktu

licin (paling tidakC2) dengan kelengkungan rata - rata⟨Hγ(a), γ(a)

⟩:= c > 0 untuk

setiap geodesik bak-waktuγ denganγ(a) ∈ Σ, maka setiap kurva bak-waktu berarah

ke masa lalu dariΣ tidak komplit.

Bukti: Untuk membuktikan teorema ini, akan dikenakan kontraposisi. Semisal terda-

pat kurva bak-waktu berarah ke masa laluλ mempunyai panjang lebih besar dari1c,

danp menyatakan titik sepanjangλ pada jarak1c

dariΣ. Menurut simpulan V.8 akan

terdapat geodesik tanpa titik fokal antaraΣ danp serta panjang maksimum. Tetapi

ini kontradiksi dengan proposisi IV.2 yang menyatakanγ harus mempunyai titik fokal

antaraΣ danp. Oleh karena itu, seharusnya tidak ada satu kurva bak-waktu berarah

ke masa lalu yang dapat mempunyai panjang yang lebih dari1c.

136

137

Ide utama teorema di atas adalah adanya kontradiksi antara sifat hiperbolis

global dan ekspansi kongruensi geodesik akibat dipenuhinya syarat energi kuat. Per-

syaratan sifat hiperbolis global pada teorema di atas dapat saja digantikan dengan

sifat kausal kuat. Hanya saja permukaan Cauchy harus dibayar dengan keberadaan

hypersurfaceakronal yang kompak. Ini berarti, jagat raya yang secara spasial tertu–

tup dan memenuhi syarat energi kuat akan mempunyai riwayat singularitas pada masa

lalunya.

Teorema VI.2

Misalkan(M, g) ruang-waktu kausal kuat yang memenuhi syarat konvergensi bak-

waktu dan syarat energi kuat. Akan terdapat paling tidak sebuah geodesik bak-waktu

berarah ke masa lalu tidak komplit, apabilaM mengandung hypersurface akronal

bak-ruangS yang licin, kompak dan tanpaBibir dengan⟨Hγ(a), γ(a)

⟩> 0 untuk

setiapγ(a) ∈ S danγ kongruensi geodesik bak-waktu berarah ke masa lalu normal

terhadapS.

Bukti: MisalkanC := sup⟨Hγ(a), γ(a)

⟩dan setiap geodesik bak-waktuinex-

tendibleberarah ke masa lalu dariS mempunyai panjang lebih dari1/C. Berdasarkan

teorema VI.1, setiap geodesik bak-waktu tersebut harus meninggalkanint[D(S)]

karena(int[D(S)], g) bersifat hiperbolis global. Kemudian akan beririsan dengan

batas masa lalu dariD(S) yaituH−(S) sebelum mencapai panjang lebih dari1/C.

Mi–salkanp ∈ H−(S) dan γ merupakan geodesik bak-waktu ortogonal terhadap

S yang melaluip. Tentu saja akan terdapat barisan kurvaλi ⊂ C(S, p) yang

memenuhilimi→∞ L(λi) = L(γ). Dipilih qi ∈ λi denganqi 6= p sedemikian rupa

qi konvergen kep. Karenaqi ∈ I+(p) tentunyaqi ∈ int[D−(S)]. Oleh karena

itu, berdasarkan simpulan V.7 akan dapat ditemukan geodesikγi ortogonal terhadap

S menujuqi yang memaksimumkan panjang setiap kurva dalamC(S, qi). Misalkan

ri = γi ∩ S danpi = γi ∩H−(S). KarenaS kompak, makari akan konvergen ke

138

r = γ ∩ S. Kegayutan geodesik terhadap titik yang dilalui dan vektor singgungnya

akan menyebabkanp menjadi titik limit dari barisanpi. Oleh karena ituH−(S)

bersifat kompak. Misalkantimenyatakan sembarang barisan dalam parameter kur-

va kausalλ′(t) ⊂ H−(S). KarenaH−(S) kompak, tentunyaλ′(ti) akan mempun-

yai titik akumulasi dalamH−(S). Oleh karena itu setiap kurva kausal dalamH−(S)

akan bersifatextendible. Hanya saja syaratBibir(S) = ∅ akan menyebabkanH−(S)

memuat suatu geodesik nullfuture inextendible(proposisi V.1). Dengan demikian

terjadi kontradiksi dengan kekompakan dariH−(S).

Dua teorema sebelumnya menunjukkan ketidak-komplitan geodesik bak-waktu

dalam konteks kosmologi. Teorema berikut menunjukkan ketidak komplitan geode-

sik null dalam konteks keruntuhan gravitasi. Secara historis, teorema berikut meru-

pakan teorema singularitas pertama yang ditunjukkan oleh Penrose [Penrose , 1965].

Dalam masalah keruntuhan bintang, Penrose menunjukkan bahwa sekali bintang men-

capai radius permukaan Schwartzschild ( permukaanr = 2m) maka selamanya tidak

akan mampu membesar lagi. Meskipun permukaan Schwartzschild terdifinisi hanya

pada solusi simetri speris sempurna, tetapi dapat ditunjukkan hal yang serupa da-

pat terjadi pada sembarang sistem yang mempunyai kondisi awal mendekati simetri

speris sempurna. permukaan Schwartzschild tersebut mewakili suatu permukaan bak-

ruang tertutup berkodimensi dua yang kongruensi dua geodesik nullnya konvergen

ke masa depan. Karena tidak satupun yang mempunyai kecepatan melebihi cahaya,

maka materi apapun dalam permukaan tersebut selamanya akan terperangkap. Per-

mukaan seperti ini akan disebut sebagaiClosed trapped surface.

Definisi VI.1 Closed trapped surface adalah submanifold bak-ruangT yang licin

dan kompak sedemikian rupa sehingga kedua kongruensi null-nya negatif sepanjang

submanifold.

MisalkaneAA=1,···,n−2 basis ortogonal padaTpT dan medan vektor null be-

139

rarah ke masa depanN−, N+ ortogonal sepanjangT dengan〈N±, N±〉 = 0 dan

〈N−, N+〉 = −1. Menggunakan basiseA, N−(p), N+(p), setiap vektorv ∈ TpM

mengalami dekomposisiv = vAeA + v−N− + v+N+ denganvA = 〈v, eA〉 dan

v± = −〈v,N∓〉. Medan kelengkungan rata- rataH padap dapat dinyatakaan dengan

Hp = 1n−2

∑n−2A=1 II(eA, eA). DekomposisiHp memberikan

Hp =1

n− 2

n−2∑A=1

(−〈II(eA, eA), N−〉N+ − 〈II(eA, eA), N+〉N−)

=1

n− 2

n−2∑A=1

(−〈∇eAeA, N−〉N+ − 〈∇eA

eA, N+〉N−)

=1

n− 2

n−2∑A=1

(−〈∇eAN−, eA〉N+ − 〈∇eA

N+, eA〉N−)

=1

n− 2(tr(χ−)N+ + tr(χ+)N−)

denganχ± = ∇N [∓ adalah bentuk dasar kedua padaT . JadiT menjadiClosed

trapped surfacejika dan hanya jika ekspansi nullθ± = tr(χ±) = gAB(χ±)AB kedu-

anya negatif padaT .

Teorema VI.3

Ruang-waktu(M, g) tidak dapat mempunyai geodesik null komplit jika memenuhi:

1. Ric(w,w) ≥ 0, ∀w vektor null

2. Terdapat permukaan Cauchy tidak kompakΣ

3. Terdapat closed trapped surfaceT

Bukti: MisalkanC := sup θ−, θ+ dan setiap geodesik null berarah ke masa depan

dari T mempunyai panjang affine lebih dari atau sama dengann−2C

. Dapat didefin-

isikan suatu pemetaanf+: T × [0, n−2C

] → M dengan mengambilf(q, a) sebagai

140

suatu titik padaM pada saat parameter affinet = a sepanjang kongruensi geode-

sik null yang dibangkitkan olehN+ dari T . Menggunakan cara serupa, pemetaan

f−: T × [0, n−2C

] →M yang dibangkitkan olehN− didefinisikan. KarenaT × [0, n−2C

]

kompak dan pemetaanf± kontinyu, maka bayangaan darif± dan gabungannya yaitu

A = f+

T × [0, n−2

C]∪ f−

T × [0, n−2

C]

juga akan kompak. Oleh proposisi IV.2

dan simpulan V.9, tentunya∂I+(T ) ⊂ A dan karena∂I+(T ) tertutup, maka da–

pat disimpulkan bahwa∂I+(T ) juga kompak. Berikutnya akan ditunjukkan bahwa

kekompakan∂I+(T ) kontradiksi dengan kekompakanΣ.

Memakai medan vektorV yang membangkitkan orientasi waktu padaM,

dapat diketahui bahwa setiap kurva integral yang dibangkitkan olehV akan tepat

beririsan sekali denganΣ dan∂I+(T ) akibat akronalitas kedua himpunan tersebut.

Oleh karena itu dapat didefinisikan pemetaan kontinyuψ: ∂I+(T ) →M. Misalkan

S := ψ[∂I+(T )], pembatasanψ: ∂I+(T ) → S akan menjadikannya suatu homeo-

morfisme. Oleh karena itu, karena∂I+(T ) kompak,S juga akan kompak. Sebagai

subset kompak dariΣ, tentu jugaS bersifat tertutup. Berikutnya, karena∂I+(T )

Lipschitzan, makaS akan menjadi subset terbuka dariΣ. Hanya saja, ruang-waktu

hiperbolis globalM homeomorpis terhadapR× Σ. Oleh karena itu, apabilaM ter-

sambung,Σ juga bersifat tersambung pula. Sehingga himpunan terbuka sekaligus

tertutup padaΣ hanyalahΣ dan∅. Ini berartiS adalahΣ sendiri yang menunjukkan

kontradiksi dengan asumsi awal, karenaΣ tidak kompak tetapiS kompak.

Teorema VI.4 (Hawking dan Penrose (1970))

Ruang-waktu(M, g) tidak dapat mempunyai geodesik kausal komplit jika memenuhi:

1. Syarat energi kuat dan generisitas.

2. Kondisi kronologis .

3. Terdapatnya salah satu di antara hal berikut

141

(a) Closed trapped surface

(b) Himpunan akronal kompak tanpaBibir

(c) Terdapat titikp ∈ M sedemikian rupa sehingga setiap geodesik null be-

rarah ke masa lalu (atau ke masa depan) darip mempunyai ekspansi

negatif sepanjang geodesik.

Teorema di atas merupakan kesimpulan dari proposisi di bawah ini

Proposisi VI.1 Tiga keadaan berikut tidak mungkin terjadi secara bersamaan:

1. Setiap geodesik kausal inextendible memuat sepasang titik berkonjugasi.

2. Ruang-waktu(M, g) bersifat kausal kuat.

3. Terdapat suatu himpunan akronalS sedemikian rupa sehinggaE+(S) atau

E−(S) kompak

Bukti bahwa proposisi VI.1 setara dengan teorema VI.4:

Sebelumnya diasumsikan(M, g) bergeodesik kausal komplit dan kronologis.

Syarat energi kuat dan generisitas mengharuskan keberadaan sepasang titik konju-

gasi pada setiap geodesik kausalinextendible, berarti tidak mungkin terdapat geode-

sik kausalinextendiblemaksimal. Akibatnya, kausalitas kuat harus terjadi. Karena

apabila tidak, maka akan terdapat geodesik null akronalinextendiblepadaM.

Jika (M, g) memuatClosed trapped surfaceT , maka himpunanE+(T ) ⊂

∂J +(T ) merupakan himpunan yang dibangkitkan oleh geodesik null. Geodesik -

geodesik tersebut ortogonal terhadapT dan menurut definisiClosed trapped surface,

masing - masing akan mempunyai titik fokal. KarenaT kompak danE+(T ) dibang–

kitkan oleh geodesik null tanpa titik fokal, makaE+(T ) juga akan kompak.

Jika (M, g) memuat suatu himpunan akronalS kompak tanpaBibir, maka

E+(S) = S. Ini karenaE+(S) = J +(S) − I+(S) dan setiap unsur padaE+(S)

142

akan dilalui oleh geodesik null yang beririsan denganBibir(S). Oleh karena itu,

himpunanE+(S) juga kompak.

Untuk membuktikan proposisi VI.1 akan diberikan melalui alur berikut: Mi–

salkan kondisi 1, 2 dan 3 pada proposisi VI.1 terpenuhi dan tanpa mengurangi pe-

rumuman akan diambilE+(S) kompak. Akan ditunjukkan bahwaH+(E+(S)) tidak

kompak atau kosong. Setiap medan vektor kausalU haruslah mempunyai kurva in-

tegralγ inextendileberarah ke masa depan dalamD+(E+(S)). Kurva integral ini

digunakan untuk memetakanE+(S) keH+(E+(S)) yang mengakibatkanH+(E+(S)

bersifat kompak juga. cara yang sama digunakan pada masa laluE+(S)∩J −(γ) un-

tuk mengkonstruksi kurva kausalinextendibleµ yang keseluruhannya termuat dalam

D(E+(S)). Kurva tersebut kemudian dipakai untuk mengkostruksi suatu geodesik

kausal maksimalinextendibleyang berkontradiksi dengan 1. Untuk keperluan terse-

but diperlukan pembuktian beberapa hal berikut:

1. H+(E+(S)) ⊂ H+(∂J +(S)).

2. H+(E+(S)) bersifat tidak kompak atau kosong.

3. Terdapat kurva bak-waktuinextendibleberarah ke masa depanγ ⊂ D+(E+(S)).

4. Akan terdapat kurvainextendibleberarah ke masa laluλ ⊂ D−(E+(F )) dengan

F := E+(S) ∩ J −(γ).

5. Akan terdapat geodesik kausalinextendibletanpa titik konjugasi dalamD(E−(F )).

Lemma VI.1 Untuk setiap himpunan akronal tertutupS, dipenuhi inklusiH+(E+(S)) ⊂

H+(∂J +(S)).

Bukti: Misalkanp ∈ H+(E+(S)) − H+(∂J +(S)). Dari E+(S) ⊂ ∂J +(S) dapat

diperolehD+(E+(S)) ⊂ D+(∂J +(S)) sehinggap ∈ I−(D+(∂J +(S)). Apabila

143

diambilq ∈ I+(p)∩D+(∂J +(S)). Pertama akan ditunjukkan bawaI+(p)∩I−(q)

tidak beririsan dengan∂J +(S). Semisal terdapat suatu titikr ∈ ∂J +(S)∩I+(p)∩

I−(q), maka himpunan terbukaI−(r) merupakan lingkungan bagip ∈ H+(E+(S))

dan tentunya akan beririsan denganD+(E+(S)) karena setiap kurva bak-waktuin-

extendibleberarah ke masa lalu dengan titik ujung masa depan diD+(E+(S)) akan

beririsan denganE+(S) ⊂ ∂J +(S). Akibatnya akan dapat ditemukan suatu titik

r′ ∈ I−(r) ∩ ∂J +(S) ⊂ I−(∂J +(S)) ∩ ∂J +(S). Ini kontradiksi dengan akronal-

itas ∂J +(S). Berikutnya karenaI + (p) ∩ I−(q) tidak beririsan dengan∂J +(S)

dan I−(q) lingkungan terbuka bagip ∈ H+(E+(S)), akan dapat ditemukan kur-

va bak-waktupast inextendibleγ yang punya titik ujung masa depan diq dan tidak

beririsan denganE+(S). Tetapi karenaq ∈ D+(∂J +(S)), makaγ akan beririsan

denganD+(∂J +(S)) di suatu titik, katakanlahs. Misalkanµ merupakan pembang–

kit D+(∂J +(S)) yang mempunyai titik ujung masa depan dis, makaµ akanpast

inextendibleatau mempunyai titik ujung diBibir(S). Dapat ditunjukkan kedua ka-

sus tersebut membawa suatu kontradiksi dengan asumsi semula. Untuk kasus perta-

ma, semisalµ akanpast inextendibledan tidak beririsan denganS. Karenaγ bak-

waktu dan mempunyai titik ujung masa depan diD+(∂J +(S)), maka akan beririsan

de–nganint[D+(∂J +(S)], sehinggaγ beririsan denganI−(∂J +(S)). Jadiµ ⊂

∂J +(S) yang menunjukkan kontradiksi dengan akronalitas∂J +(S). Kasus berikut-

nya, jika terdapat suatu titikr′ ∈ Bibir(S) yang beririsan denganµ, Titik tersebut

akan berada dalamS pula, karenaS tertutup. Dengan demikian,µ termuat dalam

J +(S) yang berakibatr′ ∈ J +(S) ∩ J +(S) = E+(S) yang berkontradiksi dengan

keberadaanγ.

Lemma VI.2 MisalkanS himpunan akronal tertutup sedemikian rupa sehinggaJ +(S)

kausal kuat, makaH+(E+(S)) tidak kompak atau kosong.

Bukti: MisalkanH+(E+(S)) tidak kosong tetapi kompak. KarenaJ +(S) kausal

144

kuat,H+(E+(S)) akan diliput oleh sejumlah berhingga lingkungan koveksUi yang

berklosure kompak sedemikian rupa tak satupunUi yang beririsan dengan kurva

kausal lebih dari sekali. Misalkanr1 ∈ H+(E+(S)) danUi(1) menjadi salah satu

lingkungan konveks denganr1 ∈ Ui(1). Menggunakan lemma VI.1, akan terdapat

suatu titikp1 ∈ J +(S) ∩ (Ui(1) − D+(∂J (S))). Berdasarkan lemma V.9, akan ter-

dapat kurva bak-waktupast inextendibleα1 melalui p1 yang tidak beririsan dengan

D+(∂J (S))). Karenaα1 tidak beririsan dengan∂J +(S), maka akan termuat dalam

int[∂J +(S)] = I+(S). Kurvaα1 meninggalkanUi(1) karena kekompakannya. Akan

terdapat suatu titikq1 ∈ α1 − Ui(1) ⊂ I+(S). Misalkanβ1 menyatakan kurva bak-

waktu berarah ke masa lalu dariq1 keS. KarenaS ⊂ E+(S) danE+(S) suatuhyper-

surfaceakronal, makaβ1 akan beririsan denganD+(E+(S)) dan jugaH+(E+(S)).

Misalkanr2 ∈ βH+(E+(S)) danUi(2) menyatakan salah satu lingkungan konveks

yang memuatr2. Lingkungan - lingkungan konveksUi(1) danUi(2) keduanya berbe-

da karenar2 ∈ J −(r1) dan tidak satupunUi dilewati kurva kausal lebih dari sekali.

Dengan induksi dapat dibangun sejumlah tak berhingga lingkungan saling asingUi

yang berkontradiksi dengan asumsi kekompakanH+(E+(S)).

Lemma VI.3 MisalkanS himpunan akronal tertutup sedemikian rupa sehinggaJ +(S)

kausal kuat dan semisalE+(S)) kompak. Akan terdapat kurva bak-waktu inextendible

berarah ke masa depanγ yang keseluruhannya berada dalamD+(E+(S)).

Bukti: Misalkan V merupakan medan vektor pembangkit orientasi pada(M, g).

KarenaE+(S) hypersurfaceakronal, setiap kurva bak-waktu berarah ke masa depan

dengan titik ujung masa lalu diE+(S) akan berawal dalamint[D+(E+(S))]. Jika se-

tiap kurva integral dariV beririsan denganH+(E+(S)) setelah sebelumnya beririsan

denganE+(S), akan diperoleh suatu pemetaan kontinyuϕt: E+(S) → H+(E+(S)).

Pemetaan ini bersifat surjektif karena oleh lemma V.9 setiap kurva bak-waktupast

inextendibleyang beririsan dengan horizon peristiwa suatu himpunan tertutup harus

145

beririsan dengan himpunan dengan himpunan tersebut. KarenaE+(S) kompak, ma-

kaH+(E+(S)) juga kompak yang kontradiksi dengan lemma VI.2. Oleh karena itu,

paling tidak terdapat satu buah kurva integralγ dari V yangfuture inextendibledan

termuat dalamint[D+(E+(S))].

Lemma VI.4 Misalkan(M, g) ruang-waktu kausal kuat bergeodesik kausal komplit

yang setiap geodesik kausal inextendible mempunyai sepasang titik konjugasi. Mi–

salkanS himpunan akronal tertutup denganE+(S) kompak danγ kurva bak-waktu

inextendible berarah ke masa depan dalamD+(E+(S)). Akan terdapat kurva inex-

tendible berarah ke masa laluλ ⊂ D−(E−(F )) denganF := E+(S) ∩ J −(γ).

Bukti: Pertama akan ditunjukkan suatu inklusiE−(F ) ⊂ F ∪ ∂J −(γ). Misalkan

p ∈ E−(F ) − F . Jika terdapat suatu titikp′ ∈ I−(p) ∩ E+(S), makaI+(p′) akan

menjadi lingkungan darip yang beririsan denganI−(E+(S)) yang berkontradiksi

dengan akronalitas dariE+(S). Oleh karena itu mestinyaI−(p) ∩ E+(S) = ∅. Jika

x ∈ I−(γ) maka akan terdapat suatu titikr ∈ I−(γ)∩I+(p). Misalkanµ kurva bak-

waktu yang menghubungkanp danγ yang melaluir. Kurva ini harus beririsan dengan

E+(S) karenaγ ⊂ D+(E+(S)) danI−(p) ∩ E+(S) = ∅. Karena titik perpotongan

ini berada dalamE+(S) ∩ I−(γ) ⊂ F , dapat diperolehp ∈ I−(F ) yang kontradiksi

dengan asumsip ∈ E−(F ). Oleh karena itu, diperolehp ∈ J −(F ) − I−(γ) ⊂

J −(γ))−I−(γ) = ∂J −(γ) yang berakibat dipenuhinya pulaE−(F ) ⊂ F ∪∂J −(γ).

HimpunanF merupakan irisan dari suatu himpunan tertutup dan suatu him-

punan yang kompak, sehingga bersifat kompak. Karenaγ future inextendible, semua

generator bagi∂J −(γ) haruslah jugafuture inextendible. Semisalβi barisan gene–

rator E−(F ). KarenaF kompak, akan terdapat kurva limitfuture inextendibledari

βi, katakanlahβ. Asumsi semula mengatakan generator ini tidak boleh akronal, ja-

di kontradiksi dengan akronalitas∂J −(γ). Oleh karena itu,E−(F ) bersifat kompak

dan selanjutnya dapat diterapkan lemma VI.3.

146

Lemma VI.5 Misalkan C ⊂ M kompak. JikaD+(C) memuat suatu kurva bak-

waktuγ yang inextendible berarah ke masa depan danD−(C)∩J −(γ) memuat suatu

kurva bak-waktuλ yang inextendible berarah ke masa lalu. MakaD(C) memuat

suatu geodesik kausal inextendible tanpa titik konjugasi.

Bukti: Misalkanqi barisan dalamγ yang tidak mempunyai titik akumulasi sedemi–

kian rupaqi+1 ∈ I+(qi). Dipilih suatu barisanpi dalamλ sedemikian rupaqi ∈

I+(pi) dan pi ∈ I+(pi+1). Untuk setiapi disusun suatu kurva kausalµi yang

menghubungkanpi danqi. Karena berada dalam himpunan hiperbolis global, kurva

tersebut dapat digantikan segmen geodesik maksimalµi. Misalkanµ(0) ∈ C, ma-

ka garis(R+ − 0).µi(0) |i ∈ N mempunyai titik akumulasi dalam ruang arah

kausal atasC, karena ruang tersebut kompak. Setiap geodesikinextendibleµ dengan

µ(0) ∈ ` merupakan kurva limit dari barisanµi. Karena setiap kurva limit dari

geodesik maksimal juga bersifat maksimal, maka kurvaµ tidak mempunyai sepasang

titik konjugasi.

Bukti proposisi VI.1: Cukup diambilC = E−(F )

BAB VII

PENUTUP

1. Kesimpulan

Dari uraian - uraian yaang telah disampaikan sebelumnya, dapat disimpulkan

beberapa hal berikut.

1. Model matematik untuk ruang-waktu relativitas umum adalah pasangan(M, g)

denganM menyatakan himpunan seluruh kejadian yang mungkin terjadi pa-

da alam semesta. Dalam konteks ini,M merupakan manifold licin berdi-

mensi empat yang Hausdorff dan tersambung serta dilengkapi medan metrik

Lorentziang. Agar dapat menampung seluruh titik regular, perlu dipersyaratkan

pula (M, g) sebagai ruang-waktu yanginextendibleyaitu ruang-waktu yang

tidak isometris terhadap subset ruang-waktu yang lain. Isi materi dalam ruang-

waktu memenuhi tiga postulat: kausalitas lokal, kelestarian energi dan mo-

mentum lokal serta persamaan medan Einstein. Kiranya pembatasan dimensi

tidaklah terlalu diperlukan. Oleh karena itu ruang-waktu relativitas umum da-

pat diperluas menjadi manifold Lorentzian sembarang yang memenuhi syarat-

syarat di atas, kecuali pembatasan dimensi.

2. Singularitas dapat terbagi dalam dua kelompok besar yaitu singularitas semu

yang muncul karena kegagalan sistem koordinat yang dipakai untuk mendeskrip-

sikan nilai suatu kuantitas dan singularitas sejati yang menyatakan singulari–

tas nilai kuantitas tersebut pada tataran global. Oleh karena itu, pendeskripsian

singularitas yang terbaik adalah dengan menggunakan analisa global, sehing-

ga singularitas semu yang hanya merupakan perilaku lokal dapat diabaikan.

Analisa singularitas menggunakan kekomplitan geodesik (g-completeness) di-

147

148

dasarkan pada kenyataan bahwa apabila titik - titik singularitas sejati dibuang,

terbentuklah suatu manifold yang tidak komplit.

3. Hubungan antara syarat konvergensi bak-waktu dan ekspansi kongruensi geode-

sik termuat dalam dua proposisi berikut:

(a) Misalkanγ: [a, b] → M geodesik kausal danΣ hypersurfacebak-ruang

jika γ bak-waktu danΣ submanifold bak-ruang berkodimensi-2 jikaγ

null denganγ(a) ∈ (Tγ(a)Σ)⊥. JikaRic(γ(t), γ(t)) ≥ 0 untuk setiap

t ∈ [a, b] dan medan vektor kelengkungan rata-rataH padaΣ memenuhi

〈Hγa, γ(a)〉 =: c > 0, maka akan terdapat titik fokal dariΣ sepanjangγ

sebelumγ(a+ 1/c).

(b) Misalkanγ geodesik kausal komplit danRic(γ(t), γ(t)) ≥ 0 untuk setiap

t serta terdapatt0 sedemikian rupa sehingga pemetaan

R: (γ(t0))⊥ → (γ(t0))

⊥, v 7→ Rv := R(v, γ)γ

tidak sama dengan nol, makaγ mengandung titik konjugasi

4. Keberadaan titik fokal atau titik konjugasi sepanjang geodesik kausal dapat

ditafsirkan oleh dua proposisi berikut

(a) Jika pada geodesik nullγ: [a, b] →M terdapat titik fokal padac ∈ (a, b)

maka akan terdapat kurva bak-waktu yang cukup dekat denganγ.

(b) Jika pada geodesik bak-waktuγ: [a, b] → M terdapat titik fokal pada

c ∈ (a, b) maka akan terdapat variasi padaγ yang menghasilkan kurva

lebih panjang dariγ .

5. Sifat- sifat kurva berpanjang maksimum dalam ruang kausal kuat dan hiperbolis

global dinyatakan dalam proposisi berikut

149

(a) Dalam ruang-waktu hiperbolis global, kurva berpanjang maksimal yang

menghubungkan titik - titikp, q ∈M denganq ∈ J +(p) adalah geodesik

bak-waktu yang tidak mempunyai titik konjugasi.

(b) JikaΣ permukaan Cauchy danq ∈ D+(Σ), maka akan terdapat geodesik

bak-waktu berpanjangL yang tidak memuat titik fokal antaraΣ danq.

(c) Pada ruang-waktu kausal kuat, jika fungsional panjang mengijinkan ni-

lai maksimal maka kurva geodesik bak-waktu tanpa titik konjugasi yang

menghubungkanp, q ∈ M denganq ∈ J +(p) mempunyai panjang mak-

simal dalamC(p, q).

(d) MisalkanS hypersurfacebak-ruang akronal licin pada ruang-waktu kausal

kuat danq ∈ D+(S). Jika fungsional panjang mengijinkan nilai maksi-

mal maka geodesik ortogonal terhadapS menujuq yang tidak memuat

titik fokal mempunyai panjang maksimal dalamC(S, q).

6. Menggunakan beberapa proposisi yang dipaparkan pada nomor 3 dan nomor 5

di atas, dapat disusun empat buah teorema

(a) Misalkan(M, g) ruang-waktu yang hiperbolis global dan syarat energi

kuat terpenuhi oleh materi. Apabila pada(M, g) terdapat permukaan

CauchyΣ bak-waktu licin (paling tidakC2) dengan kelengkungan rata

- rata⟨Hγ(a), γ(a)

⟩:= c > 0 untuk setiap geodesik bak-waktuγ dengan

γ(a) ∈ Σ, maka setiap kurva bak-waktu berarah ke masa lalu dariΣ tidak

komplit.

(b) Misalkan(M, g) ruang-waktu kausal kuat yang memenuhi syarat kon-

vergensi bak-waktu dan syarat energi kuat. Akan terdapat paling tidak

sebuah geodesik bak-waktu berarah ke masa lalu tidak komplit, apabila

M mengandunghypersurfaceakronal bak-ruangS yang licin, kompak

150

dan tanpaBibir dengan⟨Hγ(a), γ(a)

⟩> 0 untuk setiapγ(a) ∈ S danγ

kongruensi geodesik bak-waktu berarah ke masa lalu normal terhadapS.

(c) Ruang-waktu(M, g) tidak dapat mempunyai geodesik null komplit jika

memenuhi syarat konvergensiRic(w,w) ≥ 0, ∀w vektor null, mem-

punyai permukaan Cauchy tidak kompakΣ dan mempunyaiclosed trapped

surfaceT

(d) Ruang-waktu(M, g) tidak dapat mempunyai geodesik kausal komplit ji-

ka memenuhi syarat energi kuat dan generisitas, kronologis dan mempu–

nyai salah satu diantara tiga syarat berikut:

i. Closed trapped surface

ii. Himpunan akronal kompak tanpaBibir

iii. Terdapat titikp ∈ M sedemikian rupa sehingga setiap geodesik null

berarah ke masa lalu (atau ke masa depan) daripmempunyai ekspan-

si negatif sepanjang geodesik.

2. Saran

Kiranya masih banyak persoalan yang belum dapat dituntaskan dan memer-

lukan penelitian lanjutan bagi pembaca yang tertarik terjun pada bidang kajian ini

diantaranya:

1. Dalam skripsi ini, sebagian kuantitas yang diteliti diasumsikan sampai ke tingkat

differensiabilitas licin. Padahal hal ini tidak selalu terpenuhi. Oleh karena

itu derajat differensiabilitas terendah kuantitas - kuantitas tersebut masih perlu

diteliti.

2. Pembahasan pada Bab IV dan Bab V dapat dikatakan murni matematik dan

membuka peluang penelitian lebih lanjut dalam matematik dan terapan fisikanya.

151

Diantaranya adalah penentuan distribusi titik konjugasi sepanjang geodesik da–

lam manifold Pseudo-Riemannian dan kaitannya dengan indeks Morse. Meski–

pun penelitian tentang manifold Riemannan dapat dikatakan sangat berlimpah,

penelitian di bidang manifold Pseudo-Riemannian masih sangat sedikit dite-

mukan. Padahal sifat-sifat manifold Riemannian tidak sepenuhnya terpenuhi

dalam manifold Pseudo-Riemannan. Mengingat manifold Pseudo-Riemannan

lebih umum dari Riemannan, prospek terapannya dalam berbagai bidang khusus-

nya fisika tentu akan lebih luas.

3. Penelitian tentang batas singularitas – pengasumsian titik - titik singularitas se-

bagai himpunan yang membentuk batas dari manifold terbuka – juga belum

cukup berhasil. Sudah hampir empat puluh tahun upaya ini dilakukan melalui

berbagai sudut pandang yang berbeda, diantaranya:geodesics boundaryoleh

Geroch (1968),bundle boundaryoleh Schmidt (1971),causal boundaryoleh

Geroch, Kronheimer dan Penrose (1972) sertaabstact boundaryoleh Scott

dan Szekeres (1994). Ini menunjukkan adanya peluang penelitian lebih lan-

jut dalam bidang penelitian singularitas .

DAFTAR PUSTAKA

Abraham, R dan Marsden, J., 1978,Foundations of Mechanics, The Ben-

jamin/Cumming Publishing Company, Inc, London.

Anderson, J.L., 1967,Principle of Relativity Physics, Academic Press Inc., New

York.

Bartle, R.G., 1964,The Element of Real Analysis: Second Edition, John Willey and

Sons., New York.

Bergmann, P.G., 1964,Gravitational collapse, Phys. Rev. Letters 12, 139 (1964).

Bernal dan Sanchez., 2003,On Smooth Cauchy Hypersurfaces and Geroch’s Splitting

Theorem, arXiv : gr-qc/0306108 v2 26 Jul 2003.

Bernal dan Sanchez., 2004,Smooth Globally Hyperbolic Splitting and Temporal

Functions, arXiv : gr-qc/0404084 v1 20 Apr 2004.

Bernal dan Sanchez., 2005,Smoothness of Time Functions and Metric Splitting

of Globally Hyperbolic Spacetimes, Commun. Math. Phys.(2005) Digital Object

Identifier (DOI) 10.1007/s00220-005-1346-1.

Bishop, R.L dan Crittenden, R.J., 1964,Geometry of Manifold, Academic Press, New

York.

Budic, Isenberg, Lindblom, Yasskin., 1978,On the Determination of Cauchy Surfaces

from Intrinsic Properties, Commun. Math. Phys. 61, 87 - 93 (1978).

Carmeli, M., 1982,Classical Fields : General Relativity and Gauge Theory, John

Wiley and Sons, Canada.

152

153

Choquet - Bruhat dan Geroch, R., 1969,Global Aspect of The Cauchy Problem in

General Relativity, Commun. Math. Phys. 14, 329 - 335 (1969).

Do Carmo, M., 1993,Riemannian Geometry, Birkhauser, Boston.

De Felice, F dan Clarke, C.J.S., 1995,Relativity on Curved Manifold, Cambridge

University Press, New York.

Einstein, A., 1950,The Meaning of Relativity, Princeton University Press, New Jer-

sey.

Erkekoglu, Garcia-Rio, Kupeli ., 2003,On Level Sets of Lorentzian Distance Func-

tion, General Relativity and Gravitation, Vol 35, No 9, Sept 2003.

Fraleigh, J.B., 1994,A First Course in Abstract Algebra, 5-th Edition, Addition -

Wesley Pub.Com., California.

Friedman, M., 1983,Foundation of Space-time Theory: Relativistic Theory and Phi-

losophy of Science, Princeton University Press, New Jersey.

Parrado, G dan Senovilla, J., 2005,Causal Structures and Causal Boundaries,

arXiv:gr-qc/0501069 v1 24 jan 2005, www.xxx.land.gov .

De Sabbata,V dan Gasperini,M., 1985,Introduction to Gravitation, World Scientific

Publishing Co Pte Ltd, Singapore.

Galloway, G.J., 1985,Null Geometry and the Einstein Equation, Department of Ma–

thematics University of Miami.

Hawking dan Sachs., 1974,Causally Continous Spacetimes, Commun. Math.

Phys.35, 287 - 296(1974).

154

Hawking, S.W dan Ellis, G.F.R., 1997,The Large Scale Structure of Spacetime,

Chambridge University Press, New York.

Isham, C.J., 1999,Modern Differential Geometry for Physicics, Second Edition,

World Scientific Publishing Co.Pte.Ltd., Singapore.

Kobayashi dan Nomizu, 1963,Foundations of Differential Geometry Volume 1, Inter-

science Publishers, London.

Kobayashi dan Nomizu, 1969,Foundations of Differential Geometry Volume 2, Inter-

science Publishers, London.

Kriele, M., 2001,Spacetime: Foundation of General Relativity and Differential Ge-

ometry, Springer - Verlag, Berlin.

Lawden, D.F., 1982,An Introduction to Tensor, Relativity and Cosmology, 3-rd Edi-

tion, John Wiley and Sons.Ltd., New York.

Lee, J.M., 1997,Riemannian Manifolds : An Introduction to Curvature, Springer-

Verlag, Berlin.

Lee, J.M., 2000, Introduction to Smooth Manifold,

http://www.math.washington.edu/ lee.

Lerner, D., 1973,The Space of Lorentzian Metrics, Commun. Math. Phys.32, 19 - 38

(1973).

Munkres, J.R., 1975,Topology : A First Course, Prentice - Hall, Englewood Cliffs,

New Jersey.

Naber, G.L., 1997,Topology, Geometry and Gauge Theory : Foundations, Springer -

Verlag, New York.

155

Naber, G.L., 2000,Topology, Geometry and Gauge Theory : Interactions, Springer -

Verlag, New York.

Penrose, Roger., 1965,Gravitational Collapse and Spacetime Singularity, Phys. Rev.

Letters 14, 57 (1965).

Qoquereauex, R., 1988,Riemannian Geometry, Fibre Bundles, Kaluza-Klein Theo-

ries and All That . . ., World Scientific publishing Co.Ltd, Teaneck.

Rosyid, M.F., 2002,Mekanika Kuantum: Model Matematis Bagi Fenomena Alam

Mikroskopis., segera terbit.

Sanchez, Miguel., 2005,Causal Hierarchy of Spacetimes, Temporal Functions and

Smoothness of Geroch’s Splitting. A Revision, arXiv : gr-qc/0411143 v2 15 Feb

2005.

Schutz, Bernard F., 1980,Geometrical Methods of Mathematical Physics, Cambridge

University Press Cambridge.

Wald, Robert M., 1984,General Relativity, The Univercity of Chicago Press, Chica-

go.

Warner, F.W., 1983,Foundation of Differentiable Manifold and Lie Groups, Springer

- Verlag, New York

Wasserman, R.H., 1992,Tensors and Manifolds With Application to Mechanics and

Relativity, Oxford University Press, Oxford.

Weinberg, S., 1972,Gravitation and Cosmology : Principles and Application of Gen-

eral Theory of Relativity, John Wiley and Sons, New York.

LAMPIRAN A

RUANG TOPOLOGIS

Topologi muncul dari usaha memperumum sifat - sifat kekontinyuan fungsi

pada garis riil dan ruang Eucledian. Melalui cabang matematika ini seseorang dapat

mengatur sifat - sifat ruang sedemikian rupa sehingga satu dengan yang lainnya dapat

dikatakan sama dan dapat saling mewakili. Berikut ini disajikan beberapa hal yang

berkaitan dengan topologi, pembahasan selengkapnya dapat dilihat pada [Munkres ,

1975].

1. Identifikasi Topologi dan Pemetaan Kontinyu

Definisi A.1 (Ruang Topologis)

Topologi pada himpunanX adalah himpunanτ := U ⊂ X yang setiap unsurnya

memenuhi sifat - sifat :

1. ∅, X ∈ τ

2. Irisan berhingga unsur - unsurτ juga unsur dariτ

3. Gabungan senbarang unsur - unsurτ juga unsur dariτ

HimpunanX dilengkapi denganτ disebut sebagairuang topologisdan biasa di–

nyatakan dengan pasanganX, τ. SetiapU ∈ τ disebut sebagai subhimpunan

terbuka dariX menurutτ danV ⊂ X dikatakan subhimpunan tertutup dariX jika

X − V ∈ τ .

Dapat mudah dilihat bahwa∅, X adalah himpunan yang terbuka sekaligus

tertutup menurut setiap topologi padaX. Suatu subhimpunanUx dikatakan seba-

156

157

gai lingkungan terbuka darix ∈ X jika Ux merupakan subhimpunan terbuka yang

memuatx.

Pada setiapA ⊂ X dapat disusun topologi padaA yang disebut topolo-

gi warisan dariX yang berbentukτA := A ∩ U |U ∈ τ . Subhimpunan(A, τA)

dilengkapi dengan topologi warisan disebut sebagai subruang topologis dari(X, τ).

Misalkan(X, τX)dan(Y, τY ) dua ruang topologis. Pada produk kartesis an-

tara kedua ruang yang dinyatakan sebagaiX × Y := (x, y) |x ∈ X, y ∈ Y dapat

disusun topologi yang berbentuk

τX×Y :=⋃

(U, V ) |(U1, V1) ∪ (U2, V2) := (U1 ∪ U2, V1 ∪ V2)

untuk setiapU1, U2 ⊂ τX ;V1, V2 ⊂ τY .

Suatu pemetaanf : (X, τX) → (Y, τY ) dikatakan kontinyu jikaf−1(O) :=

x ∈ X |f(x) ∈ O ∈ τX , untuk semuaO ∈ τY . Jikaf kontinyu, bijektif dan mem-

punyai invers yang kontinyu, makaf dikatakan homeomorphisme antara(X, τX) dan

(Y, τY ). Homeomorphisme merupakan relasi ekuivalensi yang menjadi ukuran antar

ruang topologis untuk dapat dikatakan saling identik.

2. Interior, Klosure dan Bounderi

Dalam ruang topologis(X, τ), setiap subhimpunan dariX mempunyai inte-

rior (interior), klosure (closure) dan boundari (boundary) yang didefinisikan sebagai

berikut

Definisi A.2

MisalkanA ⊂ X , x ∈ X danNx menyatakan lingkungan titikx. Interior dari A

adalah himpunanInt[A] := x ∈ X |∃Nx, Nx ⊂ A. Klosure dariA adalah him-

158

punanA := x ∈ X |∀Nx, Nx ∩ A 6= ∅ dan boundari dariA adalah himpunan

∂A := x ∈ X |∀Nx, Nx ∩ A 6= ∅, Nx ∩ (X − A) 6= ∅

Hubungan antara ketiga himpunan di atas dinyatakan sebagai berikut:

Int[A] ⊂ A ⊂ A, ∂A = A− Int[A], ∂A = A ∩X − A = ∂(X − A)

Karena setiap subhimpunan terbuka merupakan lingkungan bagi unsur - unsurnya,

jika U ⊂ A danU terbuka makaU ⊂ Int[A]. Akibat yang lebih jauh adalahInt[A]

merupakan subhimpunan terbuka terbesar padaX yang termuat olehA. JikaF ter-

tutup danA ⊂ F makaA ⊂ F . Padahal jikax /∈ A makax /∈ F , oleh karena ituA

merupakan himpunan tertutup terkecil yang memuatA.

3. Ruang Hausdorff

(X, τ) dikatakan ruang Hausdorff jika untuk setiap pasangan titiknya masing

- masing mempunyai lingkungan yang saling asing. Ruang(Rn, dn) yaitu ruangRn

yang dilengkapi dengan metrik Euclediandn merupakan contoh ruang Hausdorff.

Setiap titikx ∈ Rn mempunyai lingkungan terbukaBε(x) yang berupa bola terbuka

berpusat dix dengan jejariε. Dengan mengatur jejari bola terbuka tersebut, di antara

setiap dua unsurRn dapat disusun lingkungan yang saling asing. Ada beberapa sifat

ruang Hausdorff yang penting, di antaranya adalah bahwa setiap himpunan unsur

berhingga dari rung tersebut bersifat tertutup, termasuk juga singleton. Sifat penting

lainnya adalah ketunggalan titik limit setiap barisan dalam ruang Hausdorff.

159

4. Ketersambungan

Definisi A.3 Ruang topologis(X, τ) dikatakan tersambung (connected) jika tidak

mungkin disusun dua subhimpunan terbuka yang saling asing dan gabungannya sama

denganX. Subhimpunan - subhimpunan seperti ini biasa disebut separasi padaX.

Beberapa sifat penting ruang tersambung diantaranya adalah:

1. (X, τ) tersambung jika dan hanya jika subhimpunan terbuka dan sekaligus ter-

tutupnya hanyalahX, ∅.

2. JikaA subhimpunan tersambung dari himpunan tersambungX, makaA berada

pada salah satu bagian separasi dariX.

3. MisalkanA subhimpunan tersambung dari himpunan tersambungX, jika A ⊂

B ⊂ A, makaB tentu juga tersambung.

4. Bayangan ruang tersambung di bawah pemetaan kontinyu juga bersifat tersam-

bung.

5. Produk kartesis antara dua ruang tersambung bersifat tersambung juga.

Dapat mudah dilihat bahwaR bersifat tersambung, oleh karena ituRn juga bersifat

tersambung. Ketersambungan padaRn berimplikasi pada teorema yang sangat dike-

nal pada kalkulus berikut ini

Teorema A.1 ( Teorema nilai tengah )

Misalkan f :X → Y pemetaan kontinyu diantara ruang tersambungX ke ruang

berorde ( ordered space). Jikaa dan b dua anggotaX danr unsurY dengan nilai

diantara f(a) dan f(b) maka terdapat suatu unsurX misalkanc, sedemikian rupa

sehingga dipenuhif(c) = r.

Teorema nilai tengah pada kalkulus adalah salah satu kasus khusus dari teorema ini.

160

5. Kekompakan

Definisi A.4

Misalkan (X, τ) suatu ruang topologis danA ⊂ X. Suatu himpunanOα ⊂ τ

dikatakan liput terbuka (open cover) padaA jika gabungan dari anggota - anggota

OαmemuatA. HimpunanUα ⊂ Oα yang juga merupakan liput terbuka pada

A disebut subliput terbuka.A dikatakan kompak (compact) jika setiap liput terbuka

darinya mempunyai subliput terbuka dengan unsur berhingga (finite ).

Berikut ini beberapa sifat - sifat penting ruang kompak

1. Bayangan ruang kompak dibawah pemetaan kontinyu bersifat kompak.

2. Setiap subhimpunan tertutup dari ruang kompak bersifat kompak.

3. Setiap subhimpunan kompak dari ruang Hausdorff bersifat tertutup.

4. Misalkanf :X → Y kontinyu bijektif, jikaX kompak danY Hausdorff maka

f homeomorphis.

5. (Teorema Tychonoff)

Produk kartesis berhingga antara ruang - ruang kompak bersifat kompak.

Beberapa sifat kekompakan padaRn diantaranya

1. A ⊂ Rn kompak jika dan hanya jika tertutup dan terbatas (bounded) dalam

metrik Eucledian atau metrik bujur sangkar.

2. (Teorema nilai maksimum dan minimim)

Misalkanf :X → Y kontinyu denganY himpunan berorde. JikaX kompak

maka terdapata dan b unsurX sedemikian rupa sehinggaf(a) ≤ f(x) ≤

f(b); ∀x ∈ X.

161

Berikutnya dikenalkan ide konvergensi barisan yang lebih umum. Suatu barisan

xn pada ruang topologis(X, τ) dikatakan konvergen ke titikx jika untuk setiap

lingkungan terbukaO dari x, terdapatN sedemikin rupa sehinggaxn ∈ O untuk

setiapn > N . Dalam kondisi seperti inix dikatakan sebagai titik limit dari barisan

tersebut. Dapat mudah dilihat bahwa kondisi konvergensi barisan padaRn dapat di-

cakup dengan ide konvergensi di atas. Dalam topologi umum jikay titik limit dari

xn, mungkin untuk menemukan subbarisanyn sedemikian rupayn juga kon-

vergen key. Tetapi ekstraksi subbarisan seperti ini mungkin hanya jika(X, τ) bersifat

tercacah pertama (first countable), yaitu jika untuk setiapp ∈ X terdapat himpunan

subhimpunan terbuka tercacahOn sedemikian rupa sehingga setiapOp lingkungan

terbuka darip memuat paling sedikit satu dari unsurOn. Persyaratan yang lebih

ketat disebut sebagai ketercacahan kedua (second countability): terdapat himpunan

subhimpunan terbuka tercacah sedemikian rupa sehingga setiap subhimpunan terbu-

ka dapat dinyatakan sebagai gabungan dari unsur himpunan tersebut. Relasi penting

antara kekompakan dan konvergensi barisan dinyatakan oleh teorema berikut

Teorema A.2 (Teorema Bolzano - Weierstrass)

Misalkan(X, τ) ruang topologis danA ⊂ X. JikaA kompak maka setiap barisan

xn padaA mempunyai suatu titik limit padaA. Sebaliknya jika(X, τ) second

countable dan setiap barisan dalamAmempunyai titik limit padaA, makaA bersifat

kompak. Jadi(X, τ) second countable danA kompak jika dan hanya jika setiap

barisan dalamA mempunyai suatu subbarisan yang konvergen padaA.

Terakhir diperkenalkan ide tentang sifat parakompak (paracompactness).

Definisi A.5 (Parakompak)

Misalkan (X, τ) ruang topologis danOα menjadi liput terbuka padaX. Suatu

liput terbukaVβ disebut pemurnian (refinemant) dariOα jika untukVβ terdapat

162

suatuOα sedemikian rupa sehinggaVβ ⊂ Oα. Liput Vα dikatakan berhingga

secara lokal (locally finite) jika∀x ∈ X mempunyai lingkungan terbukaW sehingga

sejumlah berhingga saja dariVα yang memenuhiW ∩ Vα 6= ∅. Himpunan topologis

(X, τ) dikatakan parakompak jika setip liput terbukaOα dari X mempunyai suatu

locally finite refinementVβ.

Dapat ditunjukkan bahwa sembarang himpunan topologis yanglocally com-

pact – yaitu himpunan yang setiap titiknya mempunyai lingkungan dengan klosur

yang kompak – dan dapat dinyatakan sebagai gabungan tercacah subhimpunan sub-

himpunan kompak akan bersifat parakompak. Manifold adalah contoh ruang parakom-

pak. Oleh karena itu, manifold dapat diliput dengan himpunan sistem koordinat

(Uα, ϕα) yang tercacah danlocally finite serta setiapUα bersifat kompak. Sifat

parakompak manifold menyebabkan keberadaan suatupartition of unity. Misalkan

Oα menyatakan liput terbuka yanglocally finitepada manifold, suatupartition of

unity subordinat padaOα adalah himpunan fungsi-fungsi licinfα sedemikian

rupa sehingga

1. Support darifα = supp(fα) yaitu klosur himpunan dimanafα lenyap, termuat

dalamOα.

2. 0 ≤ fα ≤ 1.

3.∑

α fα = 1

Dapat ditunjukkan setiap liput terbukaOα yang locally finite pada manifold de–

ngan setiapOα kompak akan mengijinkan suatupartition of unitysubordinat atasnya

[Kobayashi dan Nomizu , 1963]. Keberadaanpartition of unitypada manifold mengi-

jinkan pengglobalan hasil-hasil yang bersifat lokal, sehingga dapat dibuktikan bahwa

setiap manifold akan selalu mengijinkan metrik Riemannian. Keberadaanpartition

of unity juga memungkinkan untuk mendefinisikan integrasi pada manifold.