kgt.at.ua · 2 МiНiСТЕРСТВО ОСВiТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ...

2

МIНIСТЕРСТВО ОСВIТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД «КРАСНОДОНСЬКИЙ ПРОМИСЛОВО-ЕКОНОМІЧНИЙ КОЛЕДЖ»

Розглянутоi на засiданнi ЗАТВЕРДЖУЮ:

циклової комісії гуманітарних та Заступник директора з фундаментальних дисциплін навчальної роботи

i рекомендовані до затвердження. ____________ О.Л.Юрова Голова циклової комісії 2011 р

Т.О. Матвєєва 2011 р.

ВИЩА МАТЕМАТИКА Методичнi вказівки та контрольні завдання для студентів спецiальностi 5.05030103 «Експлуатація і ремонт гірничого електромеханічного обладнання та автоматичних пристроїв»; 5.03050401 «Економіка підприємства» заочної форми навчання

Викладач: Приліпа Г.С.

Краснодон

3

ЗМІСТ 1. Вступ с. 4

2. Теми для самопроробки с. 5

3. Література с. 6

4. Методичнi рекомендації до контрольної роботи с. 7

5. Загальні рекомендації студенту-заочнику по роботі над курсом вищої математики. с.25

6. Варіанти контрольних завдань с. 27

7. Завдання до контрольної роботи с. 28

8. Українсько-російський словник термінів з дисципліни „Вища математика ” c.37 9. Питання до іспиту с. 39

4

Вступ Мета дисципліни - ознайомити студентів з основами математичного апарату,

необхідного для розв’язування теоретичних і практичних задач економіки; виробити

навички математичного дослідження прикладних задач, прищепити студентам

уміння самостійно вивчати навчальну літературу з математики та її прикладних

питань.

Курс “ Вища математика” повинен, перш за все, розвивати, поглиблювати,

розширювати деякі теми i питання, що вивчалися в основному курсі.

Зміст цього курсу i окремих його тем визначається шляхом вивчення потреб

спеціальної підготовки та професійної діяльності молодих спецiалiстiв для даної

групи спеціальностей.

Потреби спеціальної підготовки визначаються перед усім потребами базових

предметів, якi становлять теоретичну основу спеціальної підготовки студентів. Їх

особливістю є фундаментальність явищ i процесів, що розглядаються в них,

кількісний характер закономірностей, якi вивчаються.

Основними завданнями, що мають бути вирішені у процесі викладання

дисципліни, є надання студентам знань з основних розділів вищої математики;

визначень, теорем, правил; доведення основних теорем; та формування початкових

умінь:

- здійснення дій над векторами, матрицями, обчислення визначників;

- розв'язання систем лінійних рівнянь;

- дослідження форм і властивостей прямих та площин, кривих та

поверхонь другого порядку;

- знаходження границі ступенево-показникових функцій;

- дослідження функції за допомогою диференціальних числень;

- здійснювання інтегральних числень.

5

Теми для самопроробки. Тема 1. Матриці та визначники. Матриці, види матриць, операції над матрицями. Визначники, властивості

визначників. Обернена матриця, обчислення оберненої матриці Тема 2. Системи лінійних рівнянь

Системи лінійних рівнянь та їх рішення матричним методом, за формулами Крамера, методом Джордано — Гауса

Тема З. Метод координат. Відстань між 2 точками. Ділення відрізка у данному відношенні. Паралельний

перенос осей координат. Поворот осей координат. Рівняння лінії на площині. Кут між 2 прямими. Коло та його рівняння. Еліпс та його рівняння. Дослідження форми еліпса по рівнянню. Гіпербола та її рівняння. Дослідження форми гіперболи по її рівнянню. Парабола та її рівняння. Дослідження форми параболи по її рівнянню. Паралельний перенос параболи.

Тема 4. Застосування похідної та інтегралу. Поняття про похідну. Похідна алгебраїчної суми, добутка та частки. Похідна

складеної функції. Формули диференціювання. Геометричний зміст похідної. Друга похідна та й фізичний зміст. Знаходження похідних функцій.

Дослідження функції за допомогою похідної. Зростання та спадання функції Знаходження інтервалів монотонності.

Екстремум функції Знаходження екстремума. Точка перегибу графіка функцiї Рішення задач на максимум та мінімум. Побудова графіків функцій.

Невизначений інтеграл. Диференціал функції. Невизначений інтеграл та його Диференціал функції.

Таблиця основних інтегралів. Засоби інтегрування (заміни змінної, по часткам). Рішення вправ на знаходження інтегралу.

Визначений інтеграл. Визначений інтеграл та його геометричний зміст. Основні властивості

визначеного інтеграла. Формула Ньютона - Лейбниця. Засоби обчислення визначеного інтегралу. Наближені методи обчислення інтегралу. Обчислення площ фігур та об’ємів тіл за допомогою визначеного

інтеграла. Обчислення площ фігур. Обчислення об’ємів. Площа поверхні обернення.

6

Література з вищої математики, що є у бібліотеці коледжу.

№ п/п ЛІТЕРАТУРА

ОСНОВНА ЛІТЕРАТУРА

1 Сборник задач по математике для техникумов на базе средней школы: Учеб. пособие для техникумов/ О.Н.Афанасьева и др.-М.: Наука, 1987- 208 с

2 Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы – 2-е издание, перераб. и доп.-М.: Наука, 1989.

3 Алгебра и начала анализа ч.I,II. учебник для техникумов/ под ред. Г.Н.Яковлева.-М.:Наука,1978

4

Міхайленко В.М., Федоренко Н.Д. алгебра та геометрія для економістів: Навчальний посібник. Вид.3-є.-К.:Вид-во Європ.ун-ту фінансів, інформ. систем, менеджм. і бізнесу,2000

5 Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів. Вища математика.-К.:Національна академія управління,1999

6 Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика:Підручник.-К.:Либідь, 1996

7

Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/Н.Ш.Кремер, Б.А. Путко, И.М.Тришин, М.Н.Фридман; Под ред.проф.Н.Ш.Кремера.-2-е изд., перераб. и доп.-М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1998

8 Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч.: Учебное пособие для втузов- 5-е изд.,испр.-М.: Высш.шк.,1999

9 Вища математика: основні розділи:Підручник:У двох книгах. Книга 1/ за ред. Г.Л.Кулініча.-К.:Либідь,1995

ДОВІДНИКИ

1 Куринной Г.Ч. Математика:Справочник.-Харьков: Фолио; Ростов н/Д: Феникс,1997

2 Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средних учебных заведений.- 4-е изд., испр. и доп.-М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1988

7

Методичні рекомендації до контрольної роботи. Перш ніж приступити до виконання контрольної роботи, потрібно проробити презентацію “Математика з нуля”, в якій ви повторите тему 1 “Функції i обчислення” i придбаєте навички в роботі на мікрокалькуляторі.

Зразок рішення завдання № 1

Вирішити систему лінійних рівнянь алгебри: методом Крамера; методом Гауса; матричним методом.

Вирішити систему рівнянь за правилом Крамера:

.872

,1353

,42

321

321

321

xxx

xxx

xxx

а) Обчислюємо визначника матриці системи, розкладаючи його по першому рядку

.33311)9(2)16(1

172

353

121

Оскільки він не рівний нулю, то система рівнянь має єдине рішення. б) Обчислюємо визначників

,33471252)16(4

178

351

124

1

х

,33221)9(4)25(1

182

313

141

2

х

.33314222)47(1

872

153

421

3

х

в) По формулах Крамера знаходимо рішення системи рівнянь

.13333;1

3333;1

3333 3

32

21

1

хххххх

Відповідь: (1; 1; 1)

Вирішити методом Гауса систему:

8

.253

;342

;1342

zyx

zyx

zyx

Перехід від однієї матриці до іншої записуватимемо за допомогою знаку еквівалентності ~:

~

7750

5500

3421

~

2513

1342

3421

~

2513

3421

1342

.

110057

5710

3421

~

5500

7750

3421

~

По одержаній матриці виписуємо перетворену систему:

.1

;57

57

;342

z

zy

zyx

Тоді 1z ;

057

57

57

57

zy ;

14314023423 zyx . Відповідь: (-1; 0; 1).

Вирішити систему рівнянь матричним способом:

.253

;342

;1342

zyx

zyx

zyx

Позначимо матриці:

513

421

342

A – коефіцієнти при невідомих;

9

zyx

X – стовпець невідомих;

231

B – стовпець вільних членів.

Тоді систему можна записати матричним способом: АХ = У, де BAX 1 . Знайдемо зворотну матрицю 1A .

а) обчислимо визначника матриці:

;25

513

421

342

||

A

б) знайдемо доповнення, алгебри елементів матриць:

;651

4211

A ;7

53

4112 A ;5

13

2113

A

;1751

3421

A

;153

3222 A ;10

13

4223

A

;1042

3431

A

;541

3232 A

.021

4233

A

Тоді зворотна матриця має вигляд

0105

517

10176

2511A ,

отже

203)10(15

2)5(311721031716

251

231

0105

517

10176

251X

.101

250

25

251

Звідки:

10

.1

;0

;1

101

z

y

x

zyx

Відповідь: (-1; 0; 1).

Зразок рішення завдання № 2 (ЕРГО) Знайти модуль и аргумент комплексних чисел iz 11 и iz 312 та обчислити суму, різницю, добуток, частку в алгебраїчній формі. Зобразити числа на комплексній площині. Записати числа в тригонометричній та показовій формі.

Рішення. Зобразим числа у комплексній площині. При цьому числу iz 11 буде

відповідати точка 1;11 M , числу iz 312 - точка 3;12M .

Для знаходження модуля та аргументу чисел будемо користуватися

формулами:

22 yxzr та

.0,0 при,arctg

,0,0 при,arctg

,0 при,arctg

arg

yxxy

yxxy

xxy

z

Отримаємо: 211 22

11 zr , 4

341

1arg 11

arctgz ,

23122

22 zr , 31

3arg 22

arctgz .

Аби перейти від алгебраїчної форми запису комплексного числа до тригонометричної та показової будемо користуватися формулою:

sincos irz и irez . Отримаємо:

43sin

43cos21

iz ,

11

43

1 2i

ez ,

3sin

3cos22

iz ,

31 2i

ez .

Зразок рішення завдання № 2 (ЕП) Обчислити границі функцій.

а) Знайти 327

155

2

xx

xxlim .

Рішення. Насамперед, перевіримо, чи застосовні до даного дробу теореми про межі, або ми маємо справу з невизначеністю. Для цього знайдемо межі чисельника й знаменника дробу. Функції 15 2 x і 327 5 xx є нескінченно більшими. Тому,

15 2x

xlim ,

327 5 xx

xlim .

Отже, маємо справа з невизначеністю виду

.

Для розкриття цієї невизначеності й використанні теореми про межу відносини двох функцій виділимо в чисельнику й у знаменнику x в старшій для чисельника й знаменника ступеня як співмножник і скоротимо дріб.

.limlimlim 070

327

15

327

15

32715

54

53

545

535

5

2

xx

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

Відповідь. 0.

б) Знайти 863214

2

2

2

xx

xxxlim .

Рішення. Для розкриття невизначеності

00 в цьому випадку, потрібно

розкласти чисельник і знаменник на множники й скоротити дріб на загальний множник.

.limlimlim 9

42162

416

42162

00

863214

222

2

2

x

xxxxx

xxxx

xxx

Відповідь. -9.

Знайти 863214

2

2

1

xx

xxxlim .

Рішення. Для обчислення даної межі підставимо значення 1x у функцію, що коштує під знаком межі. Одержимо,

31545

8161321141

863214

2

2

2

2

1

xx

xxxlim .

12

Відповідь. -3.

в) Знайти 2

2

0

11x

xx

lim .



помножити чисельник і знаменник на вираження, сполучене чисельнику, а потім скоротити дріб на загальний множник.

.limlimlim21

1111

1111

0011

22

2

022

22

02

2

0

xx

x

xx

xx

xx

xxx

Відповідь. 21 .

г) Знайти xkx

x

sinlim0

.



виділити першу чудову межу: .sinlim 10

A

AA

.sinlimsinlim kkkx

kxkxkx

xx

1

00

00

Відповідь. k д) Знайти

21

1

xtgxx

lim .

Рішення. Для розкриття невизначеності 0 в цьому випадку, потрібно добуток перетворити в частку, тобто невизначеність 0 звести до

невизначеності

00 або

.

.

sinlim

coslim

coslim

,,

coslim,sin

cos

sinlimlim

y

y

y

y

y

yyxy

xy

xxxприx

x

x

xxtgx

yyy

xxx

2221

210

1

00

2

1112

2

2102

1

000

111

Виділяємо першу чудову межу, тобто, множимо чисельник і знаменник на

2 . Одержуємо,

2

2

1

22

20

y

y

y sinlim .

13


е) Знайти x

x xx

11lim .

Рішення. Для розкриття невизначеності 1 в цьому випадку, потрібно

виділити другу чудову межу: ex

x

x

11lim .

.limlimlimlimlim 21

212

21

21

111

2111111

11

ee

xxxx

xx x

x

xxx

x

x

x

x

x

x

xx

Відповідь. 2e .

ж) Знайти .lim 21

253

x

xx

Рішення. Для розкриття невизначеності 1 в цьому випадку, потрібно

виділити другу чудову межу: e

1

01lim .

.limlim,,

lim 3331

0

1

02

1

231523

022

53 eyyyyx

xyx y

yy

yx

x

Відповідь. 3e .

Знайти .lim 21

2553

x

xx

Рішення. Підставимо значення 25

x у функцію, що коштує під знаком межі.

Одержимо,

.lim425

255

25353

222

51

21

25

xx

x


Зразок рішення завдання № 3

Спочатку побудуємо креслення. Побудуємо в прямокутної декартовой системі координат крапки )3;2( А , )1;5(B , )4;3( C . Побудуємо відрізки AB й BC .

14

Рис. 1

Добудуємо отриманий малюнок до паралелограма й нанесемо на

креслення висоту BK.

Рис. 2

1) Складемо рівняння прямій AD. а) Попередньо знайдемо рівняння прямій BС. Рівняння прямої, що

проходить через крапки );( 111 yxM й );( 222 yxM , має вигляд

12

1

12

1

yyyy

xxxx

(1)

x

O

B

A

C

y

E

x

O

K

B

A

C

D

y

15

За умовою )1;5(В , )4;3( С . Підставимо координати крапок В й С у

рівняння (1): 14

1535

yx , тобто

51

25

yx .

Запишемо отримане рівняння в загальному виді, тобто у вигляді 0 CByAx . Для цього в останнім рівнянні позбудемося від знаменників

)1(2)5(5 yx і проведемо перетворення, переносячи всі рівності, що складають 02325 yx у 02325 yx ліву частину: або .

З цього рівняння виразимо y : 2352 xy ; 223

25

xy . Одержали

рівняння виду bkxy - рівняння з кутовим коефіцієнтом. б) Скористаємося тим фактом, що протилежні сторони

паралелограма паралельні. Складемо шукане рівняння прямій AD як рівняння прямої, що проходить через крапку А паралельно прямої ВС .

Рівняння прямої, що проходить через дану крапку );( 00 yxМ в даному напрямку, має вигляд

)( 00 xxkyy (2) де напрямок визначається кутовим коефіцієнтом k .

Умова паралельності двох прямих bkxy і 11 bxky має вигляд 1kk (.3)

За умовою задачі )3;2( А , пряма 223

25: xyВС . Підставимо

координати крапки А в рівняння (2): )2(3 xky . Тому що пряма AD паралельна прямій BC , то в силу формули (3) їхні кутові коефіцієнти збігаються. Кутовий коефіцієнт прямої BC дорівнює

25 , отже, рівняння

прямої AD має вигляд )2(253 xy .

Запишемо рівняння прямої AD в загальному виді. Для цього розкроєм дужки й всіх доданків перенесемо в ліву частину рівності: 08

25

yx .

Помножимо обидві частину рівності на (-2) і одержимо загальне рівняння прямої AD : 01625 yx .

Запишемо рівняння прямої AD у вигляді з кутовим коефіцієнтом. Для цього виразимо y із загального рівняння: 8

25

xy .

2) Складемо рівняння висоти BK , проведеної з вершини B на сторону AD як рівняння прямої, що проходить через крапку B перпендикулярно прямої AD .

Умова перпендикулярності двох прямих bkxy і 11 bxky має вигляд

1

1k

k (4)

16

Підставимо координати крапки В в рівняння (3.2): )5(1 xky . Тому що висота BK перпендикулярна прямій AD , той їхній кутовий коефіцієнти зв'язані співвідношенням (4). Кутовий коефіцієнт прямої AD дорівнює

25 ,

отже, кутовий коефіцієнт висоти BK дорівнює 52

й рівняння прямої BK

має вигляд )5(521 xy . Запишемо рівняння висоти BK в загальному

виді: 01552 yx . Запишемо це ж рівняння у вигляді з кутовим

коефіцієнтом: 352

xy .

3) Знайдемо довжину висоти BK як відстань від крапки В до прямої AD . Відстань d від крапки );( 000 yxM до прямої 0 CByAx являє собою

довжину перпендикуляра, опущеного із крапки на пряму й визначається формулою

22

00

BA

CByAxd

(5)

Тому що BK перпендикулярно AD , то довжина BK може бути знайдена за допомогою формули (5). За умовою )1;5(B , пряма AD визначається рівнянням 01625 yx . У силу формули (5) довжина висоти

BK дорівнює 425

7

)2(5

16125522

d =

297 .

4) Знайдемо рівняння діагоналі BD як рівняння прямій, що проходить через крапки B й E , де E - середина відрізка AC . а) Якщо );( 11 yxА й );( 22 yxC , те координати крапки );( 00 yxЕ - середини відрізка AC , визначаються формулами

2

210

xxx

221

0yyy

(6)

За умовою )3;2( A , )4;3( C . У силу формул (6) маємо: 25

232

0

x ,

27

243

0

y . Отже )27;

25( E .

б) Тому що крапка перетинання діагоналей є їхньою серединою, то крапка E (середина відрізка АС ) є крапкою перетинання діагоналей і діагональ BD проходить через крапку E .

Скористаємося рівнянням (1). За умовою )1;5(B , )27;

25( E . У силу

формули (1) рівняння прямій BE (діагоналі BD ) має вигляд: 1

27

1

525

5

yx

17

або

291

255

yx . Запишемо це рівняння в загальному виді: 04059 yx .

Запишемо це ж рівняння у вигляді з кутовим коефіцієнтом: 859

xy .

5) Знайдемо тангенс кута між діагоналями BD й AC . а) Знайдемо рівняння діагоналі AC як рівняння прямій, що

проходить через дві дані крапки.

Скористаємося рівнянням (1). За умовою )3;2( A , )4;3( C . Отже,

343

232

yx . Загальне рівняння діагоналі AC має вигляд 01 yx ,

рівняння з кутовим коефіцієнтом – вид 1 xy , кутовий коефіцієнт 1k прямої AC дорівнює 1 .

б) Рівняння діагоналі BD має вигляд 859

xy , її кутовий коефіцієнт

59

2 k .

в) Тангенс кута між прямими 11 bxky й 22 bxky визначається формулою

21

12

1 kkkktg

Отже, 27

54

514

)1(591

)1(59

tg . Звідси

27arctg .

Зразок рішення завдання №4 До кривих другого порядку ставляться еліпс (мал.3), гіпербола (мал. 4 й

5), парабола (мал. 6-9). Приведемо малюнки й канонічні рівняння цих кривих.

Еліпс 12

2

2

2

by

ax

Рис. 3

(0,-b)

(0,b)

(a,0)

O x

y

(-a,0) O

18

Гіпербола 12

2

2

2

by

ax Гіпербола 12

2

2

2

by

ax .

Рис. 4 Рис. 5 Парабола pxy 22 Парабола pxy 22

Рис. 6

Рис. 7

(0,b)

(0,-b)

(-a,0)

x

y

(a,0)

(0,-b)

(0,b)

(-a,0)

x

y

(a,0)

O

y

x

2px

O

y

x

2px

19

Парабола pyx 22 Парабола pyx 22

Рис. 8

Рис. 9

Приведемо приклади рішення задачі №3. Приклад 1. Привести рівняння кривої другого порядку

082164 22 yxyx до канонічного виду й побудувати криву. Рішення. Для приведення рівняння кривій другого порядку до канонічного виду

застосовують метод виділення повного квадрата. Згрупуємо доданки, що містять поточні координати. Коефіцієнти при 2x

й 2y винесемо за дужки: 08)2()4(4 22 yyxx . Виділимо повний квадрат: 01168)12()44(4 22 yyxx . Звідси

25)1()2(4 22 yx . Розділимо обидві частини рівності на 25:

125

)1(25

)2(4 22

yx . Запишемо отримане рівняння в канонічному виді:

125

)1(

425

)2( 22

yx .

Виконаємо паралельний перенос осей координат по формулах

0

0

yyYxxX . При такому перетворенні початок координат переноситься в

крапку ),( 00 yx , рівняння еліпса приймає канонічний вид 12

2

2

2

bY

aX .

O

y

x

2py

O

y

x

2py

20

У нашому прикладі 20 x , 10 y , 25

a , 5b .

Отже, розглянуте рівняння визначає еліпс із центром у крапці )1;2(С й

півосями 25 й 5 .

-2

1

0,5

6

-4,5

-4

х

y

Рис. 10

Приклад 2. Привести рівняння кривої другого порядку 012164 2 yxx до канонічного виду й побудувати криву.

Рішення. Як й у попередньому прикладі, згрупуємо доданки, що містять поточні

координати: 012)4(4 2 yxx . У дужках виділимо повний квадрат: 01216)44(4 2 yxx ;

152)2(4 2 yx . Звідси )2

15(21)2( 2 yx .

Виконаємо заміну змінних

2152

yYxX

. Після цього перетворення

рівняння параболи приймає канонічний вид YX212 , вершина параболи в

системі координат Oxy розташована в крапці )2

15;2( C .

Рис. 11

Зразок рішення завдання №5

Обчислити похідні даних функцій: 1). xxy x ctg4 4 32cos .

y

-2

215

х

21

Рішення.

xxxxxxxy xx

243

41

2cos43

2cos

sin1ctg

432)2sin(4ln4ctg4

xx

xxxx

2

4 3

42cos

sin4ctg32sin4ln42

.

2). xxy 52ctg . Рішення. Прологарифмуємо обидві частини рівності

xxy 52ctglnln .

2

2sin1

2ctg1)2ln(ctg151

2 xxxxy

y.

x

xxxxx

xxyy x

4sin4)2ln(ctg)2(ctg5

2sin2cos2)2ln(ctg5 5 .

3). 12

sin 3

xxy .

Рішення.

2

32

331

)12(2)12(1

1231

12cos

12sin

xxx

xx

xx

xxy

23

23

23

23

)12(3112

12cos

)12(112

31

12cos

xx

xxx

xxx

xx .

4). Знайти похідну функції, заданій неявно 0333 xyyx .

Рішення. Диференціюючи, маємо ;0;0)(333 2222 yxyyyxyxyxyyx

.0)( 22 xyyyx

.2

2

yxyxy


Дослідити функцію 2)1( 2

xxy та побудувати її графік.

Розв’язання. 1. Область існування функції: 2,02 xx , або );2()2;( x .

2. Точки перетину графіка з осями координат: а) 1,0 xy , тобто 0;1 ;

22

б) 21;0 yx , тобто

21;0 .

3. Періодичність функції: Функція неперіодична. Парність, непарність функції: Функція загального вигляду. 4. Точки розриву функції, характер їх розриву: точкою розриву є точка

2x . Дослідимо характер розриву, знайдемо односторонні границі:

2

)1(lim,2)1(lim

2

22

2

22 x

xxx

xx

xx

.

Отже, 2x є точкою розриву другого роду. Пряма 2x є вертикальна асимптота.

5. Дослідження функції за допомогою першої похідної (монотонність, екстремальні точки):

а) 22

2

)2()5)(1(

)2()1()2)(1(2

xxx

xxxxy .

б) Знайдемо екстремальні точки, розв’язавши рівняння:

0)2(

)5)(1(,0)( 2

xxxxy ,

де 5,1 21 xx — стаціонарні точки. в) Знайдемо проміжки зростання, спадання функції, розв’язавши нерівність:

0)2(

)5)(1(2

xxx

Отже, при );5()1;( x функція зростає, а при

)5;2()2;1( x функція спадає. 11 x - точка 0)1(,max max y ; 52 x - точка 12)5(,min min y

6. Дослідження функції за допомогою другої похідної (опуклість, угнутість, точки перегину)

а) Знайдемо y :

32

2

)2(18

)2(54

xx

xxy .

б) Знайдемо проміжки угнутості, опуклості, розв’язавши нерівність

0,0 yy :

max min + + – –

5 2 1

– +

2

23

0)2(

18,0)2(

1833

xx.

Отже, при )2;(x крива опукла, а при );2( x крива угнута. 7. Знаходимо асимптоти графіка функції: а) 2x — вертикальна асимптота; б) Для визначення похилої асимптоти bkxy знайдемо:

1)2(

)1(lim)(lim2

xx

xxxfk

xx;

4214lim

2)1(lim)(lim

2

x

xxxxkxxfb

xxx.

Отже, 4 xy — похила асимптота. 8. Для наочності заповнюємо таблицю: х (–∞;–1) –1 (–1;2) 2 (2;5) 5 (5;+∞) у’ + 0 – не існує 0 + у 0 12 у’’ – – не існує + + у max min 9. За допомогою таблиці будуємо графік функції:

О

12

2 5 х

у

-4 4 -1

24


1. Засоби інтегрування

1. cxxxdxdxxdxxdxxx 33

55

35535

2424

2

cxcttdt

dxxdtxt

xdxx 3

2

3

3

2

5ln31ln

31

31

35

5

3. vduuvudv Приклади:

cxecexedxexeev

dxedvdxduxu

dxxe xxxxxx

xx 1

2. Визначений інтеграл

b

a

aFbFab

xFdxxf

Приклад:

21363

3164

314

14

3

3332

xdxx

Зразок рішення завдання №8 Обчислити площу фігури, обмеженою кривими 2)( xxf і 2227)( xxg .

Для того, щоб накреслити рисунок, необхідно знайти координати точки

перетину кривих )(xf та )(xg , в яких )()( xgxf :

3;9;273;227 2222 xxxxx .

2227)( xxg

2)( xxf

-3 3 х

у

25

Оскільки функції )(xf і )(xg парні, можна розглянути відрізок 3;0 , а

площу подвоїти.

Тоді ;))()((2)()(2)(3

0

3

0

3

0

dxxfxgdxxfdxxgAS

0

33

0

33

0

2

3654)327(2)( xxdxxAS 108)03(2)03(54 2 кв. од.

Обчислити об’єм тіла, утвореного прямими 0, yxy і 3x при їх

обертанні навколо осі абсцис.

3

0

23

0

2 )( dxxdxxfV

9331

33

0

3

x куб. од.

Загальні рекомендації студенту-заочнику по роботі над курсом вищої

математики.

Посібник є методичним керівництвом для вивчення загального курсу вищої математики студентами-заочниками економічних та інженерно-технічних спеціальностей. Навчальний матеріал містить список літератури по кожній темі, розбір типового варіанта контрольної роботи й двадцять варіантів контрольної роботи з кожної теми.

Основною формою навчання студента-заочника є самостійна робота над навчальним матеріалом, що складається з наступних елементів: вивчення матеріалу по підручниках, рішення задач, самоперевірка, виконання контрольних робіт. У допомогу заочникам коледж організує читання лекцій, практичні заняття й лабораторні роботи. Крім того, студент може звертатися до викладача з питаннями для одержання усної або письмової консультації. Вказівки студентові по поточній роботі даються також у процесі рецензування контрольних робіт. Однак студент повинен пам'ятати, що тільки при систематичній і завзятій самостійній роботі допомога коледжу виявиться досить ефективною. Завершальним етапом вивчення курсу вищої математики є здача іспиту відповідно до навчального плану.

3 0

у

х

у = х

26

У процесі вивчення курсу математики студент повинен виконати

контрольну роботу, головна мета якої - надати студентові допомогу в його роботі. Рецензія на цю роботу дозволяє студентові судити про ступінь засвоєння їм відповідного курсу; указує на наявні в нього пробіли, на бажаний напрямок подальшої роботи; допомагає сформулювати питання для постановки перед викладачем.

Не слід приступати до виконання контрольного завдання, не вирішивши достатньої кількості задач по матеріалі, що відповідає завданню. Досвід показує, що найчастіше невміння вирішити ту або іншу задачу контрольного завдання викликається тим, що студент не виконав цю вимогу.

Контрольні роботи повинні виконуватися самостійно. Несамостійне виконання роботи не дає можливості викладачеві вказати недоліки в його роботі, у засвоєнні матеріалу, у результаті чого студент не здобуває необхідних знань і може виявитися непідготовленим до іспиту.

При виконанні й оформленні контрольних робіт необхідно дотримувати наступні вказівки:

1. Номер варіанта дорівнює номеру шифру студента. 2. Заповніть титульний лист. 3. Контрольна робота виконується чорною пастою на форматі паперу А4. 4. Кожне завдання слід виконувати з нового листа. 5. Завдання слід виконувати тільки з одного боку кожного листа 6. Умови завдань записувати повністю. 7. Рішення задач слід розташувати у порядку номерів, указаних у завданні,

номера задач указуються перед умовами. 8. Якщо необхідно, креслення виконувати олівцем за допомогою

інструментів для креслення. 9. Всі розрахунки мають бути приведені в контрольній роботі. 10. Рішення кожної задачі повинне доводити до відповіді, необхідного

умовою. У проміжних обчисленнях не слід уводити наближені значення корінь, числа й т.п.

11. Отримана відповідь варто перевіряти способами, що випливають із істоти даної задачі.

12. Якщо роботу відправлено на доробку, необхідно виконати роботу над помилками на окремих листах, які прикріпити до роботи.

13. В кінці роботи навести список використаної літератури.

27

Варіанти контрольних завдань № шифру

Номера задач контрольної роботи

1 1 21 41 61 81 101 121 141 2 2 22 42 62 82 102 122 142 3 3 23 43 63 83 103 123 143 4 4 24 44 64 84 104 124 144 5 5 25 45 65 85 105 125 145 6 6 26 46 66 86 106 126 146 7 7 27 47 67 87 107 127 147 8 8 28 48 68 88 108 128 148 9 9 29 49 69 89 109 129 149 10 10 30 50 70 90 110 130 150 11 11 31 51 71 91 111 131 150 12 12 32 52 72 92 112 132 151 13 13 33 53 73 93 113 133 152 14 14 34 54 74 94 114 134 153 15 15 35 55 75 95 115 135 154 16 16 36 56 76 96 116 136 155 17 17 37 57 77 97 117 137 156 18 18 38 58 78 98 118 138 157 19 19 39 59 79 98 119 139 158 20 20 40 60 80 100 120 140 159 21 2 24 46 68 90 112 134 160 22 4 26 48 70 92 114 136 151 23 6 28 50 72 94 116 138 152 24 8 30 52 74 96 118 140 148 25 10 32 54 76 98 120 122 142 26 12 34 56 78 100 102 124 147 27 14 36 58 80 82 104 126 153 28 16 38 60 62 84 106 128 156 29 18 40 42 64 86 108 130 158 30 20 22 44 66 88 110 132 149 31 1 21 41 61 81 101 121 141 32 2 22 42 62 82 102 122 142 33 3 23 43 63 83 103 123 143 34 4 24 44 64 84 104 124 144 35 5 25 45 65 85 105 125 145 36 6 26 46 66 86 106 126 146 37 7 27 47 67 87 107 127 147 38 8 28 48 68 88 108 128 148 39 9 29 49 69 89 109 129 149 40 10 30 50 70 90 110 130 150 41 11 31 51 71 91 111 131 150 42 12 32 52 72 92 112 132 151 43 13 33 53 73 93 113 133 152 44 14 34 54 74 94 114 134 153 45 15 35 55 75 95 115 135 154 46 16 36 56 76 96 116 136 155 47 17 37 57 77 97 117 137 156 48 18 38 58 78 98 118 138 157 49 19 39 59 79 98 119 139 158 50 20 40 60 80 100 120 140 159 51 2 24 46 68 90 112 134 160 52 4 26 48 70 92 114 136 151 53 6 28 50 72 94 116 138 152 54 8 30 52 74 96 118 140 148 55 10 32 54 76 98 120 122 142 56 12 34 56 78 100 102 124 147 57 14 36 58 80 82 104 126 153 58 16 38 60 62 84 106 128 156 59 18 40 42 64 86 108 130 158 60 20 22 44 66 88 110 132 149

28

Завдання до контрольної роботи. Завдання 1. Розв’язати систему лінійних рівнянь матричним засобом, за формулами Крамера та методом Гауса.

1.

12437342

zyxzyxzyx

2.

13572

52433432

zyxzyxzyx

3.

247242559572

zyxzyx

zyx

4.

2

942032

zyzyxzyx

5.

743165321743

zyxzyxzyx

6.

6623

6536422

zyxzyxzyx

7.

10442963

22543

zyxzyxzyx

8.

344

42322

321

321

321

xxxxxx

xxx

9.

1142311243

142

zyxzyx

zyx

10.

7423532134

zyxzyxzyx

11.

325642

123

zyxzyx

zyx

12.

722

113432

zyxzyxzyx

13.

623132732

zyxzyxzyx

14.

926243

12423

zyxzyxzyx

15.

344

42322

zyxzyx

zyx

16.

103292531423

zyxzyxzyx

17.

1132132523

zyxzyxzyx

18.

346512542233

zyxzyxzyx

19.

1234115428423

zyxzyxzyx

20.

02

831542

zyxzyxzyx

Завдання 2.(ЕРГО) Знайти модуль и аргумент комплексних чисел та обчислити суму, різницю, добуток, частку в алгебраїчній формі. Зобразити числа на комплексній площині. Записати числа в тригонометричній та показовій формі.

21. 1z = i21 , 2z = i24 . 22. 1z = i44 , 2z = i22 .

29

23. 1z = i43 , 2z = i34 24. 1z = i7 , 2z = i71 .

25. 1z = i3 , 2z = i31 . 26. 1z = i247 , 2z = i724 .

27. 1z = i34 , 2z = i43 . 28. 1z = i44 , 2z = i32 .

29. 1z = i22 , 2z = i88 . 30. 1z = i23 , 2z = i55 .

31. 1z = i43 , 2z = i43 . 32. 1z = i232 , 2z = i333 .

33. 1z = i34 , 2z = i71 . 34. 1z = i33 , 2z = i2 .

35. 1z = i33 , 2z = i34 . 36. 1z = i322 , 2z = i23 .

37. 1z = i1 , 2z = i3 . 38. 1z = i65 , 2z = i22 .

39. 1z = i44 , 2z = i23 . 40. 1z = i33 , 2z = i31

Завдання 2. (ЕП) Обчислити границі функцій.

21. а)123249lim 5

45

xx

xxx

; б) 107

5112lim 2

2

2

xx

xxx

; в) 112345lim

1

xx

x; г) 2

3

25lim2

xx

x.

22. а) xxx

xxx 5103

647lim 23

23

; б) 149

7132lim 2

2

2

xx

xxx

;в) 314

2lim2

x

xx

; г)

23

2

2

1 141lim

x

x xxxx

.

23. а) 23523lim 4

24

xx

xxx

б) 8

128403lim2

2

xxx

x; в)

2321lim

4

xx

x; г)

x

x xx 5

1 110310lim

.

24. а) xxx

xxx 5102

64lim 23

23

;б) 4312lim 2

2

1

xx

xxx

; в) 38 231lim

xx

x

; г) 3

5

114lim4

xx

xx

.

25. а) 68523lim 4

23

xx

xxx

; б) 10

10515lim2

0

xxx

x; в)

xxx

x

20

39lim ; г) 11

32lim0

xx

x.

26. а) 323136lim 5

25

xx

xxx

; б) 65352lim 2

2

2

xx

xxx

;в) 31221lim

5

xx

x;г)

x

x xxxx

1

2

2

1 1203763lim .

27. а) xxx

xxx 4103

64lim 23

23

; б) 565143lim 2

2

5

xx

xxx

; в) 8

26lim 3

3

2

x

xx

;г)7

1 1513213lim

x

x xx .

28. а) 135

24lim 23

3

xx

xxx

; б) 3165372lim 2

2

51

xx

xxx

;в) 12332lim

3

xx

x; г)

14

2

2

1 335285lim

x

x xxxx .

30

29. а) 1

11lim 3

33

x

xxx

;б) 232253lim 2

2

5,0

xx

xxx

;в) x

xx

121lim

0

; г) 124

32lim1

xx

xx

.

30. а) 43

23lim8

4

xx

xx

; б) 428lim

3

2

xx

x;в)

25132lim

1

xx

x; г)

2/

1 4512lim

x

x xx

.

31. а) 2143lim

23

xx

xxx

; б) 372384lim 2

2

3

xx

xxx

; в) 1

23lim2

1

xxx

x; г) 1

54

2lim0

xx

xx

.

32. а) 2

22lim22

xxx

x; б)

1523925lim 2

2

5

xx

xxx

;в) x

xxx

11lim2

0

;

г)63

2 5676lim

x

x xx .

33. а) 532

36lim 2

2

xx

xxx

; б) 9312lim

2

1

xxx

x;в)

25

3lim23

x

xx

; г) 134lim

0

xx

xx

.

34. а) 2

22

233lim

xxx

x; б)

48lim 2

3

2

x

xx

;в) 314

2lim2

x

xx

; г) 134lim

0

xx

xx

.

35. а) 162

37lim 2

2

xx

xxx

; б) 331lim

3

1

xx

x; в)

26 3615lim

xx

x

; г) 225

76lim0

xx

xx

.

36. а)

2

2

4

2lim x

x

xx

; б) 7612lim 2

2

7

xx

xxx

;;в) 49

23lim 27

x

xx

; г) 422

53lim3

x

x

xx

.

37. а) 43132lim 2

2

xxxx

x; б)

8212lim 2

2

2

xx

xxx

; ;в) 38 231lim

xx

x

; г)

x

x xxxx

2

13lim 2

2

3.

38. а) 32125lim 2

3

xxxx

x; б)

223lim

2

2

xxx

x;в)

30 1111lim

xx

x

; г) 63

26

25lim0

xx

xx

.

39. а) 14

23lim 2

2

xxxx

x; б)

265lim 2

2

2

xx

xxx

; в) 3

14lim3

x

xx

; г) 24

3lim1

xx

xx

.

31

40. а)5212lim 4

3

xxxx

x; б)

25103lim 2

2

2

x

xxx

;в)4

31lim2

22

2

x

xxxx

;г)x

x xxxx

23

12lim 2

2

3.

Завдання 3. Дані три послідовні вершини паралелограму. Не знаходячи координати вершини D, знайти:

1) рівняння сторони AD; 2) рівняння висоти BK, опущеної з вершини В на сторону AD; 3) довжину висоти BK; 4) рівняння діагоналі BD; 5) тангенс кута між діагоналями паралелограму.

Записати загальні рівняння знайдених прямих. Побудувати малюнок.

41) А(1;2), В(-1;3),С(-4;-2) 42) А(-1;2), В(1;-3),С(4;0) 43) А(-3;2), В(2;3),С(-1;-2) 44) А(3;-2), В(-4;3),С(-1;6) 45) А(-3;-2), В(1;0),С(-1;5) 46) А(-2;2), В(1;-3),С(5;0) 47) А(1;2), В(-2;1),С(-4;-5) 48) А(1;-2), В(-2;3),С(5;7) 49) А(1;-2), В(3;-3),С(7;2) 50) А(-1;-2), В(5;3),С(0;6) 51) А(5;3), В(2;1),С(3;-5) 52) А(2;-2), В(1;4),С(-3;-2) 53) А(-3;1), В(4;-2),С(0;-5) 54) А(-3;0), В(1;-2),С(4;5) 55) А(3;-3), В(-4;3),С(1;6) 56) А(3;-2), В(1;-1),С(0;5) 57) А(-1;1), В(1;3),С(5;-2) 58) А(-1;-1), В(-2;1),С(3;2) 59) А(1;-2), В(-2;3),С(3;1) 60) А(2;-2), В(3;1),С(-1;2)

Завдання 4. Встановити, яка лінія задана даним рівнянням, та привести його до канонічного виду. Зробити малюнок.

61) 026492 22 yxyx 62) 08464 22 yxyx 63) 01824 2 yxy 64) 058623 22 yxyx 65) 0323218169 22 yxyx 66) 0105 2 yxx 67) 031649 22 yxyx 68) 0396894 22 yxyx 69) 01623 2 yxy 70) 01110425 22 yxyx 71) 0143649 22 yxyx 72) 01105 2 yxy 73) 0168424 22 yxyx 74) 013168164 22 yxyx 75) 082 2 yxx 76) 075,484 22 yxyx 77) 0368101625 22 yxyx 78) 0962 yxx 79) 025,292494 22 yxyx 80) 0321832916 22 yxyx

32

Завдання 5.

81. ;4tg23 32sin xxy x ;)(ctg ln xxy ;2

12lnx

xy

.0)cos(sin yxxy

82. );4ln(3 2arcsin xxy x ;2tg ln xxy ;3

12sinx

xy

.0cos)sin( xyyxx

83. ;2

sin32 43tg xxy x ;ctg sin xxy ;12

cos 3

xxy

.03 2 xye xy

84. ;2

cos22 43arctg xxy x ;ctg tg xxy ;12

tg 3

xxy

.032

2

xye xy

85. ;ctg4 4 32cos xxy x ;sin2xxy ;

12tg

x

xy

.02sin2 yxyx

86. ;tg34 4 22arccos xxy x ;ctg2xxy ;

12cos

x

xy

.012sin2 xyxy

87. ;2sin5 3 2ctg 2xxy x ;arccos

2xxy ;112cos

xxy

.0)arctg( 2 xyxy

88. ;2

cos25 3 2arctg 2 xxy x ;2sin 3xxy ;212ctg

xxy

.02tg 2 yxyx

89. ;2

cos323

xxeyxtg

;2ctg 5xxy ;12

sin 3

xxy

.0arccos 2 yxy

90. ;2

sin42arctg xxey

x

;2tg cos xxy ;12

tg 3

xxy

.0arccos 2

xyyx

33

91. ;2tg26 4cos 2xxy x ;

2sin2 xxy ;12ln 3

xxy

.0arcsin 2

yx

xy

92. ;2ln36 3arccos xxy x ;12 tg xxy ;12cos 3x

xy

.0sin 22

yxyx

93. ;2

ctg22 3cos xxy x ;1322xxy ;

21arcsin

xxy

.0sintg yxyx

94. ;2

cos22 3arcsin xxy x ;3sin2xxy ;

21ctg

xxy

.0costg xyxy

95. ;2tg6 4 313sin xxy x ;2

cos2ctg xxy

;

12ln 3

xxy

.0122

yxe yx

96. ;12ln6 4 33arctg xxy x ;2ctg cos xxy ;32

tg 3

xxy

.0sin 2 xyyx

97. ;2sin4 33ctg

xxyx

;3tg3xxy ;

112cos

xxy

.0sin2cos xyxy

98. ;2cos4 3 22arctg

xxyx

;2tg23xxy ;

112ctg

xxy

.0cossin xyxy

99. ;3

ctg43 312cos xxy x ;2ln2xxy ;

11arccos

xxy

.032 xye yx

100. ;3sin3 4 32arccos xxy x ;2ln tg xxy ;11cos 3

xxy

.03tg3

yxexy

34

Завдання 6. У задачах 101–120 дослідити дані функції методами диференціального числення і побудувати їх графіки.

101) 21

x

xy 102) x

xy 163

103) 2

3

41

xxy

104) xx

xy21

2

105) 2

3

)1(2

xxy 106)

xxy 12

107) 2

3

1 xxy

108) 21

12

xxy

109) 1

43

2

xxy 110) 23 x

xy

111) 212

xxy

112)

xxy 33

113) x

xy 42 114)

1322

x

xxy

115) 52

x

xy 116) 3)3(82

xxy

117) 2)2(2

x

xy 118) 2)2(23

xxy

119) 1

22

x

xy 120) 4

16 2

xxy

Завдання 7. Знайти невизначені інтеграли 121. а)

dxx

xx3 2

2 332 b) 4

3

1 xdxx c) dxxx ln

122. a)

dx

xx2

43143 2

b) 22 )13( x

xdx c) xdxxcos

123. a) dxx

xx

2

132 b) 22 )15( xxdx c) 2

lnx

dxx

124. a)

dxxxx 2

3 2

b) xxdx3sin

cos c) dxx x2

125. a)

dxx

xx3 2

2 342 b) 22

2

)43( xdxx c) xdx3arcsin

126. a) dx

xxxx 322

b)

53)2(

23

2

xxdxxx c) dxx x32

35

127. a)

dx

xxx

333 2 1 b)

52 3

2

xdxx c) dx

xxx

11ln

128. a) dxx

xxxx

3

324 6753 b) 4 2 3x

xdx c) dxx

x3

ln

129. a) dx

xx

2

2)34( b) )12(cos 22 xxdx c) xdx2ln

130. a) dxxxx

4

3 2 12 b) 3 2sincos

xxdx c) xdxx ln4

Обчислити визначені інтеграли

131. a) 2

0

2)2( dxx b) 3

0

34 16 dxxx

132. a) 2

0

sin2

xdx b)

4

232 )1(x

xdx

133. a) dxxx )2( 24

0

b)

2

02)sin3(

cos

xxdx

134. a) 2

1

2 12 dxx

x b)

1

03 3

2

78 xdxx

135. a)

1

1

2 )35( dxxx b)

2

05

4

4xdxx

136. a) 4

0

cos2

xdx b) 3

0

2325 dxxx

137. a)

8

13 2

13 dxx

b) 1

0

13

dxx x

138. a) 2

13

1dxx

x b)

2

03 2)78(

cos

xxdx

139. a)

1

1

2 )2( dxx b)

2

142 )42( x

xdx

140. a) 1

0

)( dxxx b)

2

03

2

29 xdxx

Завдання 8. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями. Зробити креслення.

141) 22 2, xyxy ; 142) xyxxy 4,42 ; 143) 0,8,32 xyxy ; 144) xyxy 4,4 22 ;

36

145) 22 8, xyxy ; 146) xyxy 2,2 23 ; 147) xyxxy 2,22 ; 148) xxyxxy 4,4 22 ; 149) 8,0,32 xyxy ; 150) xyxxy 3,32

Обчислити об’єм тіла, утвореного оберненням навколо осі Ох фігури, обмеженої указаними лініями. Зробити креслення. 151. xyxy 5,5 22 152. 3,2 yxxy

153. xyxy 4,4 22 . 154. 7,6 yxxy

155. xyxy 3,3 22

Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Оу фігури, обмеженої лініями. Зробити креслення. 156. .6,0,0,6 yyx

xy 157. .4,

41 2 yxy

158. .0,4,3 xxyxy 159. .14

22

yx 160. .0,9,3 xxyxy

37

Українсько-російський словник термінів з дисципліни „Вища математика ”

„А”

Аргумент функції - аргумент функции Асимптота – асимптота

„В” Відрізок - отрезок Величина – величина

„Г” Границя – предел

„Д” Диференціал - дифференциал Диференціальне числення - дифференциальное исчисление Диференціювання - дифференцирование Ділення – деление Добуток – произведение Доповнення - дополнение Дотична – касательная

„Е” Екстремум – экстремум

„З” Зворотна - обратная Зростання функції - возрастание функции

„І” Інтеграл визначений - интеграл определённый Інтеграл невизначений - интеграл неопределённый Інтегрування - интегрирование

„К” Коло - окружность Корінь - корень Криволінійна трапеція - криволинейная трапеция Критична крапка - критическая точка Кутовий - угловой

38

„М” Матриця - матрица Миттєва швидкість - мгновенная скорость Метод інтервалів - метод интервалов Механічний зміст - механический смысл Мішаний – смешанный Множення - умножение

„Н” Найбільше значення - наибольшее значение Найменше значення - наименьшее значение Нерівність - неравенство Нескінченно мала - бесконечно малая Непарний – нечетный.

„О” Область значень - область значений Обчислити - вычислить Одиничне коло - единичная окружность Оборотна - обратимая Область визначення - область определения

„П” Парний - чётный Показова - показательная Площина - плоскость Площа - площадь Первісна - первообразная Перетворення - преобразование Приріст – приращение Прискорення - ускорение Похідна - производная Пряма - прямая

„Р” Радіан - радиан Рівняння – уравнение

„С” Сума - сумма Спадання функції – убывание функции

«Т» Транспонована – транспонированная Точка перегину – точка перегиба

„Ф”

Формула зведення - формула приведения

39

ЗАВДАННЯ ДО ІСПИТУ

I Рівень.

1. Сума матриць А=

63

42 та В=

1632 дорівнює:

а)

79

70 ; б)

7970 ; в)

7974 ; г)

6974 .

2. Добуток матриць А=

061283015

та В=

01

1 дорівнює:

а)

21

7; б)

55

6; в)

556

; г)

0117

.

3. Визначник матриці А=

103221


а) 48; б) -48; в) -40; г) -52.

4. Алгебраїчне доповнення елемента 21a матриці А=

29311675


а) -47; б) 43; в) -45; г) -43. 5. Абсолютна величина вектора 4;0;3a дорівнює: а) 4; б) -5; в) 5; г) 12 . 6. Векторний добуток векторів 2;1;4 a та 1;2;3 b

дорівнює:

а) kji 533 ; б) kji 523 ; в) kji 524 ; г) kji 323 . 7. Рівняння прямої, яка проходить через точки А(-1; 3) та В(3; -2) має вид: а)

53

41

ух ; б)

53

51

ух ; в)

13

41

ух ; г) 53

41

ух .

8. Рівняння гіперболи має вид 12516

22

ух , тоді її півосі дорівнюють:

а) a=3 , b=4 ; б) a=4 , b=5; в) a=5 , b=4; г) a=4 , b=3.

9. Чому дорівнює матриця С=2А+В, якщо А=

41

32 та В=

1603 ?

40

а)

7467 ; б)

7467 ; в)

7327 ; г)

76

47 .

10. Добуток двох матриць А=

232102

та В=

12


а)

7715

64; б)

777467

; в)

771465

; г)

7715

62.

11. Мінор елемента 33a матриці А=

19861643921

дорівнює:

а) 9; б) 10; в) -2; г) -8.

12. Визначник А=102611232

дорівнює:

а) 37; б) 39; в) 42; г) 33. 13. Знайдіть координати вектора АВ , якщо А(2; -1; 4), В(6; -3; 5). а) (4; -2; 1); б) (4; -4; 9); в) (-4; 2; -1); г) (-4; -4; 1). 14. Скалярний добуток векторів )3;2( a та )3;5(b

дорівнює:

а) 0; б) 1; в) 2; г) 3. 15. Рівняння прямої, яка проходе через точку А(2; 1) та 2;1n має вид: а) 042 ух ; б) 092 ух ; в) 02 ух ; г) 042 ух .

16. Координати фокусів еліпсу, який заданий рівнянням 159

22

ух , дорівнюють:

а) 0;6 ; б) 0;3 ; в) 0;5 ; г) 0;2 .

17. Різниця матриць А=

232451 та В=

221


а)

014

1326 ; б)

011

1326 ; в)

0111326 ; г)

0111326 .

18. Знайти добуток двох матриць ТВА , якщо А=

211102 та В= 321 .

а)

55 ; б) 55 ; в)

55 ; г) 55 .


110021331

дорівнює:

а) 4; б) 3; в) -4; г) 2.

41

20. Знайдіть координати вектора MN , якщо М(-2; 3; 0), N(2; -1; 3). а) (0; 4; 3); б) (4; -4; 3); в) (4; -4; -3); г) (0; -4; -3). 21. Рівняння прямої, яка відсікає на координатних осях відрізки а=2, b=4 має вигляд

а) 124

ух ; б) 142

ух ; в) 1

42

ух ; г) 142

22

ух .

22. Мішаний добуток векторів 2;1;1 a , 1;1;2 b , 11;2c дорівнює: а) -6; б) 6; в) 5; г) 7. 23. Косинус кута між векторами AB та AC , де

)5,4,4();2,1,1();3,2,2( CBA дорівнює: а) cos ; б) cos ; в) 2

1cos ; г) 4/cos .

24. Центр гіперболи, яка задана рівнянням 133

52 22

ух знаходиться у

точки з координатами: а) (3; -2); б) (2; 3); в) (2; -3); г) (-2; -3).

25. Знайти добуток А , якщо =-3, А=

642103

2321

.

а)

18126309623

; б)

18126339623

; в)

18126309623

; г)

18126309

623.

26. Якщо А=

120321 та В=

5021

32, тоді ВА дорівнює:

а)

12

224 ; б)

12

24 ; в)

12

224 ; г)

12224 .



а) -7; б) -10; в) -14; г) -12.

28. Мінор елемента 31а матриці А=

81521611813326226

дорівнює:

а) -16; б) 20; в) 16; г) -22. 29. Вектор-нормалі прямої 01932 ух має координати: а) (2; -3); б) (3; 2); в) (-3; -2); г) (2; 19).

42

30. Чому дорівнює тангенс кута А, якщо

21

43

ACAB kтаk ?

а) 21

; б) -2; в) 2; г) 21 .

31. Скалярний добуток векторів 6;1;2 а та 1;0;3 b дорівнює: а) -7; б) 0; в) -12; г) 12. 32. Яку криву другого порядку задає рівняння 01444812169 22 ухух ? а) гіперболу; б) коло; в) еліпс; г) параболу. 33. Якого розміру буде матриця ВАС , якщо

35А та

23В ?

а) 33 ; б) 52 ; в) 25 ; г) 67 .

34. Обчислити добуток TNM , якщо

212102

M та 32 N .

а) 444 ; б)

444

; в) 444 ; г)

44

4.


045123012

дорівнює:

а) -3; б) -13; в) 3; г) 13.

36. Алгебраїчне доповнення елемента 23b матриці 603

1785911

324B дорівнює:

а) -10; б) 6; в) -6; г) -817. 37. Знайдіть координати вектора MN , якщо M(2; -2; -1) та N(3; -1; 0). а) (-1; -1; -1); б) (-1; 1; -1); в) (1; -1; 1); г) (1; 1; 1). 38.Знайти скалярний добуток kjia 743 та kjib 252 а) 0; б) 1; в) 2; г) 3. 39. Рівняння прямої, яка має 2;1р та проходе через точку А=(5; 3) має вигляд: а) 01254 ух ; б) 0132 ух ; в) 0223 ух ; г) 095 ух . 40. Рівняння параболи має вигляд 3162 2 ху . Які координати має її вершина? а) (2; 3); б) (-3; 2); в) (3; 2); г) (-3; -2).

43

41. Різниця матриць А=

394201

та В=

823523

дорівнює:

а)

5111324

; б)

571324

; в)

571724

; г)

11117722

.

42. Добуток ВА , де

2162

А та

4063

В дорівнює:

а)

143126 ; б)

143126 ; в)

1431212 ; г)

141126 .

43. Визначник 250141


а) -1; б) 1; в) 23; г) 13.

44. Алгебраїчне доповнення елемента 11b матриці

240011


а) -2; б) -6; в) 2; г) 4. 45. Абсолютна величина вектора 0;12;9АВ дорівнює: а) 11; б) 12; в) 14; г) 15. 46. Рівняння прямої, яка проходе через точки А (3; – 4) та В (4; 5) має вигляд: а) 0319 ух ; б) 0319 ух ; в) 0319 ух ; г) 0319 ух . 47. Обчислити скалярний добуток векторів 0;3;2 а та 23;1b

а) -11; б) 11; в) -7; г) 7. 48. Ексцентриситет гіперболи повинен бути… а) 10 ; б) 1 ; в) 1 ; г) 0 .

49. Обчислить А , якщо 3 , А=

03251321 .

а)

09683963 ; б)

09615

3963 ; в)

096153963 ; г)

396153963 .

50. Добуток двох матриць А=

232102

та В=

12


а)

7715

64; б)

777467

; в)

771465

; г)

7715

62.

44


110021331

дорівнює:

а) 4; б) 3; в) -4; г) 2.

52. Алгебраїчне доповнення елемента 23b матриці 603

1785911


а) -10; б) 6; в) -6; г) -817. 53. Абсолютна величина вектора 4;0;3a дорівнює: а) 4; б) -5; в) 5; г) 12 . 54. Чому дорівнює тангенс кута А, якщо

21

43

ACAB kтаk ?

а) 21

; б) -2; в) 2; г) 21 .

55. Скалярний добуток векторів 6;1;2 а та 1;0;3 b дорівнює: а) -7; б) 0; в) -12; г) 12.

56. Рівняння гіперболи має вид 12516

22

ух

, тоді її півосі дорівнюють:

а) a=3 , b=4 ; б) a=4 , b=5; в) a=5 , b=4; г) a=4 , b=3.

57. Похідна функції xxxy 35

32

51 має вигляд:

а) 21 xy ; б) 22 1 xy ; в) 12 xy ; г)

22 1 xy . 58. Рух точки відбувається за законом 320

31

51)( 35 ttttS . Чому дорівнює

швидкість руху точки за 2 с після початку руху? а)42; б)41; в)40; г)39. 59. Частинна похідна

xz функції 52 34 yxyxz має вигляд:

а) 123 3 yxxz ; б) 12

хxz ; в) yx

xz 24 3 ; г) хx

xz 24 3 .

60. Похідна функції 3 232 xxxf має вигляд:

а) 3

41xx

xf ; б) 3

21xx

xf ; в) 3

61xx

xf ; г) 3

21xx

xf .

61. Границя 10010

45lim 23

3

xxxx

x дорівнює:

45

а)5; б)251 ; в)

21 ; г)

52 .

62. Частинна похідна yz функції 52 34 yxyxz має вигляд:

а) 232 yxyz

; б) 23yу

yz

; в) 132 2

yxyz ; г) 23 34 yх

yz

.

63. Похідна функції xxy cos має вигляд: а) xxxy sincos ; б) xxy sin ; в) xy cos ; г) xy sin1 .

64. Рух точки відбувається за законом 2731


прискорення руху точки за 2 с після початку руху?

65. Границя 2216lim 4

24

xxx

x дорівнює:

а)31 ; б)

21 ; в)

21 ; г) 2 .

66. Область визначення функції )2lg(672 xxxy дорівнює: а) );6[]1;3( ; б );6[]0;2( ; в) );6[]1;2( ; г) )8;6[]1;2( .

67. Границя хxx

x 42lim 5

6

дорівнює:

а)21

; б)0; в)2; г) .

68. Область визначення функції )7lg(232 xxxy дорівнює: а) );2[]1;6( ; б) );2[]1;7( ; в) );1[]2;7( ; г) );3[]1;7( . 69. Рух точки відбувається за законом 320

31


прискорення руху точки за 2 с після початку руху? а)36; б)30; в)40; г)44. 70. Частинна похідна

xz функції yyxz 22 має вигляд:

а) 24xyxz

; б) xy

xz 4 ; в) 12 2

xyxz ; г) 22xy

xz

.



прискорення руху точки за 2 с після початку руху? а)5; б)14; в)16; г)7.

72. Границя 1

12lim 2

2

1

xxx

x дорівнює:

46

а)0; б)-2; в)1; г)-1.

73. Похідна функції xxxy 35

32

51 має вигляд:

а) 21 xy ; б) 22 1 xy ; в) 12 xy ; г) 22 1 xy . 74. Похідна функції 3542)( 23 xxxxf при даному значенні аргументу

)2(f дорівнює: а) 4; б) 3; в) 2; г) 1.

75. Область визначення функції 1

)1ln(

x

xy дорівнює:

а) 1/Rx ; б) );1( x ; в) );1()1;1( x ; г) );1()1;( x .

76. Похідна функції ххху 21 64 має вигляд:

а) х

хху 164 53 ; б) х

хху 164 53 ;

в) х

хху2

164 53 ; г) х

хху 164 53 .

77. dxx11 дорівнює:

а) cx

10

10

; б) cx

12

12

; в) cx 1011 ; г)12

12x

78. dxx )2( дорівнює:

а) cx 21 ; б) cxx 2

2

2

; в) cx

2

2

; г) xx 22

2

79. dxx

7 дорівнює:

а) x14 ; б) cx

27 ; в) cx

7

2 ; г) cx 14


а) cx 65

61 ; б) cx 6

7

61 ; в) cx

6

7 67

; г) cx

76 6

7

81. xdxtg2 дорівнює:

а) cx cosln21 ; б) cx 2cosln

21 ; в) c

x

4cos2

12 ; г) cx sinln

21

81. 2

1

2 )1( dxx дорівнює:

а) 3

10 ; б) 7

10 ; в) 323 ; г)

322

82. Яка з показаних формул має зміст:

47

а) a

o

a

adxxfdxxf )(2)( ; б) dxxgxfdxxgxf )()())()(( ;

в) b

a

c

a

b

cdxxfdxxfdxxf )()()( ; г)

b

a

baxkFdxxkf )()(

83. Який метод інтегрування слід застосувати для обчислення xdxх arccos : а) метод заміни змінної; б) метод інтегрування тригонометричних функцій; в) метод інтегрування частинами; г) правильної відповіді не має. 84. Об’єм тіла обертання навколо осі Ох фігури обмеженої лініями

0,1,0, xxyey x дорівнює: а) )1( 2 е ; б) )1(2 2е ; в) );(

22 ее

г) ).1(2

2 е


а) cx 89 ; б) cx 1010 ; в) cx

9

9

; г) cx

10

10

.

86. dxx )2

11(2

дорівнює:

а) cx

6

3

; б) 6

113xx ; в) cxx

611

3

; г) cxx 11

87. xdx

2cos2 дорівнює:

а) ctgx ; б) cctgx 2 ; в) ctgx 2 ; г) cx 2sin2 ; 88. dxx дорівнює:

а) cx 2 ; б) cx

21 ; в) cx

2

3 23

; г) cx

32 2

3

89. dxx )1cos( дорівнює: а) cx )1sin( ; б) cx )1sin( ; в) cx sin ; г) cx sin ; 90.

3

2

33 dxx дорівнює:

а) 195; б) 4

195 ; в) 3

195 ; г) 2

195

91. Яка з поданих формул не має змісту: а)

b

acxfdxxf )()( ; б) cxFdxxf )()( ;

в) b

ax dxxfV )(2 ; г) )0)((,)( b

axfdxxfS

92. Який метод інтегрування слід застосувати для обчислення 2

1

52 )87( dxxx а) метод інтегрування заміною змінної у визначеному інтегралі; б) безпосереднє інтегрування; в) метод інтегрування заміною змінної; г) метод інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

48

93. Площа фігури обмеженої лініями у=х2, х=3, у=0, х=4 дорівнює: а)

337 ; б)

338 ; в)

339 ; г)

330


а) cx 23 ; б) 4

4x ; в) cx

4

4

; г) cx

2

2

95. dxx )12( дорівнює:

а) 2; б) cxx 2 ; в) cxx

2

2

; г) cx 24

96. xdx11 дорівнює:

а) cx ln ; б) cx ln11 ; в) cx

211 2

; г) cx

2

2


а) cx 33 ; б) cx

34 3

4

; в) cx

43 3

4

; г) 3

4 34

x

98. 42xdx дорівнює:

а) cxarctg 2 ; б) cxarctg 2

2 ; в) cxarctg 221 ; г) cxarctg

221

99. 1

0


а) 72 ; б)

31 ; в)

76 ; г)

73 .

100. Яка з поданих фігур є криволінійною трапецією? а) б) в) г)

101. Яка з поданих формул має зміст: а)

b

acxFdxxf )()( ; б)

b

abfafdxxf )()()( ;

в) b

aafbfdxxf )()()( ; г)

b

aaFbFdxxf )()()(

102. Площа фігури обмеженої лініями у=х3, х=1, х=2 та віссю Ох дорівнює: а) 4; б)

413 ; в)

433 ; г)

434


а) cx

8

8

; б) cx 67 ; в) 8

8x ; г) cx

6

6

49

104. dxx )31( 2 дорівнює:

а) cx 6 ; б) cx 13 ; в) cxx 3 ; г) cxx 3

3

105. dxx 2

2 дорівнює:

а) cx

1 ; б) cx

2 ; в) cx

32 3

; г) cx

2


а) cx

45 5

4

; б) cx

65 5

6

; в) cx

56 5

6

; г) cx

6

6

107. 0


а) 2ln2

12ln

1 ; б)

2ln2

2ln1

; в) 2ln

12ln2

1 ; г)

2ln1

2ln1

108. Яка з поданих формул має зміст: а)

b

a

b

avduuvudv ; б) vduuvudv ;

в) b

a

b

a

ba udvvuvdu ; г)

b

a

b

a

ba vduvuudv

109. Площа якої фігури обчислюється за формулою

b

adxxfxf ))()(( 12 :

а) б) в) г)

110. Площа фігури обмеженої лініями у=2х2, у=0, х=1, х=2 дорівнює: а)

2ln3 ; б)

2ln4 ; в)

2ln2 ; г)

2ln1 .

50

II Рівень.

1. Рівняння прямої лінії на площині. 2. Коло, його рівняння і властивості. 3. Еліпс, його рівняння і властивості. 4. Гіпербола, її рівняння і властивості. 5. Парабола, її рівняння і властивості. 6. Визначення матриці. Дії над матрицями. 7. Визначники 2-го і 3-го порядки. Властивості визначників. 8. Мінор, алгебраїчне доповнення. 9. Обернена матриця і її знаходження. 10. Системи лінійних рівнянь. Формули Крамера. 11. Рішення систем рівнянь методом Гауса і матричним методом. 12. Функціональна залежність. Способи завдання функції. Основні

властивості функцій. 13. Похідна, її фізичне, геометричне і економічне значення. 14. Формули диференціювання. 15. Складна функція. Знаходження похідних складних функцій. 16. Зростання і убування функції. Ознаки зростання і убування функції. 17. Екстремуми функції. Теорема Ферма (необхідна ознака екстремуму). 18. Достатня ознака існування екстремуму. 19. Опуклість і угнутість кривої. Точка перегину. Необхідні і достатні

умови існування точки перегину. 20. Побудова графіків і функцій по характерних точках. 21. Задачі на максимум і мінімум. 22. Функції багатьох змінних. Частинні похідні функцій. 23. Первісна функція і невизначений інтеграл. 24. Властивості невизначеного інтеграла. 25. Таблиця найпростіших інтегралів. 26. Основні методи інтегрування. 27. Визначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца. Основні властивості

визначеного інтеграла. 28. Методи обчислення визначеного інтеграла. 29. Геометричне і економічне значення визначеного інтеграла. 30. Обчислення площ плоских фігур і об’ємів тіл обертання за допомогою

визначеного інтеграла.

51

III Рівень.

1. Розв'язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь

34022

34

zyxzyx

zyx

по

формулам Крамера. 2. Розв'язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь

872,1353,42

zуxzуxzуx

матричним методом.

3. Розв'язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь

253;342;1342

zyxzyxzyx

методом Гауса. 4. Знайти скалярний добуток векторів ba

23 и ba 65 , якщо

baba

,,6,4 .

5. При якому значенні вектори kjia 2 и kjib

23

перпендикулярні. 6. Дані вершини трикутника: )2;2(A , )8;2( B та )2;6( C . Скласти

рівняння медіан трикутника. 7. Дані вершини трикутника: )1;0(A , )5;6(B та )1;12( C . Скласти

рівняння висоти трикутника, проведеної з вершини C . 8. Дані вершини трикутника А(1; -1), В(-3; 1), С(3; 3). Обчислити

довжину висоти АМ. 9. Дані вершини трикутника А(0; -3), В(4; 6), С(-1; -2). Знайти

величину кута В. 10. Звести рівняння кривої другого порядку 0712422 xyx до

канонічного вигляду, побудувати лінію і знайти її параметри. 11. Дана гіпербола 16х2-25у2=400. Визначити довжини осей, координати

фокусів, ексцентриситет. Зробити креслення.

12. Знайти область визначення функції 2

13arcsin321

xxy .

13. Знайти асимптоти функції 42

3

xxy .

14. Знайти похідну функції .lnaxaxy

52

15. Знайти рівняння дотичної до графіка функції 12 xxy у точці

0x =1.

16. Знайти швидкість точки, рух якої описується рівнянням t

s

1

1ln ,

наприкінці третьої та десятої секунд.


51)( 35 ttttS . Знайти

швидкість та прискорення руху точки за 2 с після початку руху.

18. Знайти інтервали зростання і спадання функції: 212)(

xxxf

.

19. Дослідити функцію на екстремум: .884152)( 23 xxxxf

20. Знайти найбільше та найменше значення функції 22

10102

xxxy на

відрізку 2;1 . 21. Знайти інтервали угнутості й опуклості, та точки перегину кривої, яка

задана рівнянням 12683 234 xxxy .

22. Обчислити невизначений інтеграл dxx

x cos61

sin.

23. Обчислити невизначений інтеграл dxxxx 2cos)57( 2 .

24. Обчислити визначений інтеграл 1

0

dxxe x.

25. Обчислити визначений інтеграл

3

049 x

dxx.

26. Обчислити площу фігури, обмеженою кривими 2)( xxf і

2227)( xxg .

27. Знайти площу фігури, обмеженої кривими 4;3;3 xx

yxy .

28. Знайти площу фігури, обмеженої кривими )0(0;cos;sin xxxyxy .

29. Обчислити об’єм тіла обертання, обмеженого лініями 2

2xy , 0x ,

22y навколо осі 0у.

53

30. Функція маргінальних витрат фірми має вигляд xxV 02,02,30)( . Знайти зростання загальних витрат, коли виробництво зросте з 1000 до 2000 одиниць.

kgt.at.ua · 2 МiНiСТЕРСТВО ОСВiТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ...

Documents