khoa luan tot_nghiep_cong_momen_trong_co_hoc_luong_tu_0565
TRANSCRIPT
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
A. Më §Çu
1. Lý do chän ®Ò tµi.
Nh chóng ta ®· biÕt “vËt lÝ h¹t c¬ b¶n” lµ mét chuyªn ngµnh hÑp
cña m«n vËt lÝ, trong ®ã ®i s©u vµo nghiªn cøu tÝnh chÊt, c¸c quy
luËt t¬ng t¸c cña h¹t c¬ b¶n vµ ph¶n h¹t cña chóng. Khi ®i s©u vµo thÕ
giíi h¹t c¬ b¶n tøc lµ ta ®· nãi tíi thÕ giíi h¹t vi m«. V× vËy lÝ thuyÕt cæ
®iÓn sÏ bÞ thay thÕ bëi lÝ thuyÕt lîng tö vµ ®îc dïng nh mét c«ng cô
kh¸ tèt ®Ó nghiªn cøu h¹t c¬ b¶n.
Theo gi¶ thiÕt cña Borh vÒ lîng tö hãa quü ®¹o th× m«men xung
lîng cña ®iÖn tö chuyÓn ®éng quanh h¹t nh©n chØ cã thÓ nhËn c¸c
gi¸ trÞ gi¸n ®o¹n lµ mét béi sè nguyªn cña h .
Trong phÇn luËn v¨n nµy ta sÏ thÊy gi¶ thiÕt cña Borh lµ hÖ qu¶
cña c¸c tiªn ®Ò cña c¬ häc lîng tö. §Ó thÊy râ ®iÒu ®ã ta nghiªn cøu
lÝ thuyÕt lîng tö vÒ m«men xung lîng. Trong ®ã ®Ó h×nh dung mét
c¸ch cô thÓ vÒ trÞ riªng cña to¸n tö m«men xung lîng ta cã thÓ tr×nh
bµy mét c¸ch th« s¬ trªn h×nh vÏ. Nhng c¸ch tr×nh bµy trªn h×nh vÏ chØ
®Ó hiÓu mét c¸ch trùc quan, kh«ng thÓ coi lµ c¸ch biÓu diÔn chÝnh
x¸c vÒ m«men xung lîng. V× vËy ®Ó hiÓu mét c¸ch chÝnh x¸c vÒ
m«men xung lîng ta ®i xÐt hÖ hai h¹t, bá qua t¬ng t¸c gi÷a chóng lµm
thay ®æi m«men xung lîng th× m«men xung lîng cña hÖ b»ng tæng
m«men xung lîng cña tõng h¹t. Vµ ®Ó ®i ®Õn ®îc ®iÒu ®ã ta dïng
quy t¾c céng m«men xung lîng, céng m«men spin nãi riªng vµ céng
m«men nãi chung.
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 1
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
Tuy nhiªn, trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ lÜnh héi phÇn lÝ thuyÕt
nãi chung vµ vËt lÝ lîng tö nãi riªng th× viÖc gi¶i bµi tËp vËt lÝ gi÷ vai
trß quan träng bëi lÏ chØ cã thÓ gi¶i bµi tËp khi ®· hiÓu cÆn kÏ phÇn
lÝ thuyÕt vÒ chóng.
V× nh÷ng lý do trªn ®©y, t«i ®· chän ®Ò tµi “Céng m«men trong
c¬ häc lîng tö”. Sau ®ã ¸p dông gi¶i mét sè bµi tËp vÒ céng m«men.
2. Môc ®Ých vµ nhiÖm vô nghiªn cøu
Nghiªn cøu quy t¾c céng m«men xung lîng quü ®¹o, m«men c¬
häc riªngcña mét h¹t víi hai bËc tù do, m«men xung lîng cña hÖ hai h¹t
kh«ng t¬ng t¸c.
3. §èi tîng vµ ph¹m vi nghiªn cøu
T×m hiÓu vÒ m«men xung lîng quü ®¹o, m«men c¬ häc riªng,
m«men xung lîng toµn phÇn, céng m«men xung lîng cña c¸c h¹t.
Dïng cho hÖ h¹t kh«ng t¬ng t¸c.
4. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu
Dïng ph¬ng ph¸p to¸n cho vËt lÝ: To¸n tö, gi¶i ph¬ng tr×nh hµm
riªng vµ trÞ riªng.
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 2
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
Ch¬ng 1: Céng m«men xung lîng
1.1 M«men xung lîng
1.1.1 To¸n tö m«men xung lîng
Theo c¬ häc cæ ®iÓn mét h¹t chuyÓn ®éng trªn quü ®¹o víi
xung lîng p , b¸n kÝnh vect¬ r , sÏ cã m«men xung lîng prL ∧= . Nh
vËy to¸n tö m«men xung lîng cña h¹t prL ˆˆˆ ∧= . Hay: )(ˆ ∇∧−= riL h vµ
c¸c to¸n tö h×nh chiÕu m«men xung lîng cña h¹t cã d¹ng :
∂∂−
∂∂−=−=
∂∂−
∂∂−=−=
∂∂−
∂∂−=−=/
xy
xyz
zx
zxy
yz
yzx
yxipypxL
xzipxpzL
zyipzpyL
h
h
h
ˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆ
Cßn to¸n tö b×nh ph¬ng m«men xung lîng : 2222 ˆˆˆˆzyx LLLL ++=
Sau ®©y ta nªu lªn mét vµi hÖ thøc giao ho¸n gi÷a c¸c to¸n tö
m«men xung lîng víi nhau vµ gi÷a b×nh ph¬ng m«en xung lîng víi
chóng:
0]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[
ˆ]ˆ,ˆ[;ˆ]ˆ,ˆ[;ˆ]ˆ,ˆ[222 ===
===
zyx
yxzxzyzyx
LLLLLL
LiLLLiLLLiLL hhh
§Ó thuËn tiÖn ngêi ta ®a vµo c¸c to¸n tö:
yx LiLL ˆˆˆ ±=±
C¸c to¸n tö nµy tu©n theo c¸c hÖ thøc sau:
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 3
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
zzzz
z
z
LLLLLLLLL
LLL
LLL
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆ],ˆ[
ˆ2]ˆ,ˆ[
222 hh
h
h
++=−+=
±=
=
+−−+
±−
−+
1.1.2 TrÞ riªng cña to¸n tö m«men xung lîng
a. TrÞ riªng cña to¸n tö h×nh chiÕu m«men xung lîng lªn ph¬ng Oz
§Ó thuËn tiÖn ta dïng täa ®é cÇu. Trong täa ®é cÇu
ϕ∂∂−= hiLzˆ
Gäi ψ lµ hµm riªng t¬ng øng víi trÞ riªng zL cña to¸n tö zL
Th× ph¬ng tr×nh cho hµm riªng vµ trÞ riªng: ψψ zz LL =ˆ
Gi¶i ph¬ng tr×nh nµy ta t×m ®îc thµnh phÇn phô thuéc vµoϕ
cña ψ cã d¹ng: ( )
= ϕψ ϕ zLi
hexp
VËy ( )ϕθψ ,,r lµ mét h»ng sè nh©n víi hµm mò trªn, h»ng sè nµy
nãi chung cã thÓ phô thuéc vµo c¸c täa ®é θ&r
( ) ( )
= ϕψ θϕθ zrr Li
Ch
exp,,,
Chó ý r»ng khi ϕ thay ®æi π2 th× l¹i trë vÒ ®iÓm cò. Muèn
cho ψ lµ mét hµm ®¬n trÞ th× ( ) ( )πϕϕ ψψ 2+= .
BiÕn ®æi ®¬n gi¶n ta thu ®îc hmLz = víi m = 0; ;....2;1±±
Tõ ®ã suy ra r»ng trÞ riªng cña zL lµ mét sè nguyªn lÇn h .
b. TrÞ riªng cña b×nh ph¬ng m«men xung lîng
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 4
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
V× hiÖu 2222 ˆˆˆˆyxz LLLL +=− b»ng to¸n tö cña mét ®¹i lîng vËt lÝ d¬ng
x¸c ®Þnh 022 ≥+ yx LL . Cho nªn øng víi mçi gi¸ trÞ cho tríc cña b×nh ph-
¬ng m«men xung lîng L2 th× tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ riªng kh¶ dÜ Lz ph¶i tháa
m·n bÊt ®¼ng thøc:
022 ≥− zLL ⇔ 22 LLL z ≤≤−
Nh vËy, c¸c gi¸ trÞ kh¶ dÜ cña Lz bÞ giíi h¹n bëi cËn trªn vµ cËn
díi. Ta kÝ hiÖu l lµ sè nguyªn t¬ng øng víi gi¸ trÞ lín nhÊt cña
hlLz =max)( .
Do ®ã: 0,..., 10 =±± lψψψ , cßn ( ) 01 =+± lψ
Tõ ±±±± ±=−= LLLLLLL zzzˆˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[ h
Nªn ±±± ±= LLLLL zzˆˆˆˆˆ h
T¸c dông ±LLz ˆˆ lªn mψ ta ®îc mmzmz LLLLL ψψψ ±±± ±= ˆˆˆˆˆ h
Hay: ( ) ( ) mmmz LmLmLLL ψψψψ ±±±± ±=±= ˆ1ˆˆˆˆ hhh
víi mψ lµ hµm øng víi gi¸ trÞ riªng hm cña zL
Tõ ®©y suy ra r»ng mLψ±ˆ lµ hµm riªng t¬ng øng víi trÞ riªng
( )h1±m cña to¸n tö zL .
V× mψ lµ hµm riªng øng víi trÞ riªng hm cña zL , cho nªn:
mmz mL ψψ h=ˆ ; ( ) 11 1ˆ±± ±= mmz mL ψψ h
Bëi vËy: 1ˆ
±± = mmL ψψ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 5
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
NÕu m = l th× 0ˆ1 == ++ llL ψψ (V× tr¹ng th¸i øng víi m > l lµ kh«ng
cã)
T¸c dông 2L lªn lψ ta cã :
( ) llllzlzll llllLLLLL ψψψψψψψ 222222 10ˆˆˆˆˆ hhhh +=++=++= +−
Nh vËy trÞ riªng cña to¸n tö b×nh ph¬ng m«men xung lîng lµ
l(l+1) 2h , víi l lµ c¸c gi¸ trÞ nguyªn d¬ng, kÓ c¶ gi¸ trÞ 0. Víi mét gi¸ trÞ
cña l ®· cho th× m cã nhiÒu gi¸ trÞ. Nh trªn ®· nãi l lµ gi¸ trÞ lín nhÊt
cña m, mÆt kh¸c hai híng gi÷a trôc cña z lµ t¬ng ®¬ng nhau vÒ mÆt
vËt lÝ nªn víi mçi gi¸ trÞ cña l l¹i cã mét gi¸ trÞ kh¸c tr¸i dÊu. Nh vËy m
cã thÓ cã c¸c gi¸ trÞ nguyªn tõ +l ®Õn -l :
m = +l, l-1, l-2,...,-l tÊt c¶ cã (2l+1) gi¸ trÞ.
1.1.3 PhÐp céng m«men xung lîng.
§Ó h×nh dung mét c¸ch cô thÓ vÒ trÞ riªng cña to¸n tö
m«men xung lîng ta cã thÓ tr×nh bµy mét c¸ch th« s¬ trªn h×nh vÏ:
z
h2
h
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 6
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
O h6
-h
-2h
Vect¬ m«men xung lîng cã ®é dµi : h)1( += llL . H×nh chiÕu cña
vect¬ nµy lªn trôc z cã ®é lín ®¹i sè lµ : L z= mh víi m = +l; l-1;…;-l.
Nh vËy L kh«ng thÓ ®Þnh híng tïy ý trong kh«ng gian, nã chØ cã thÓ
®Þnh híng nh thÕ nµo ®Ó h×nh chiÕu cã gi¸ trÞ nh trªn.
VÝ dô : H×nh vÏ trªn cña L øng víi l = 2
( )
hh
hh
2;;0
61
±±==+=
zL
llL
Trªn mÆt ph¼ng h×nh vÏ L chØ cã thÓ cã 5 c¸ch ®Þnh híng
kh¸c nhau (ë nöa bªn ph¶i cña trôc z). NÕu ta quay h×nh vÏ quanh trôc
z th× ®îc c¸c híng cã thÓ cã cña L trong kh«ng gian.
B©y giê, ta xÐt hÖ gåm hai h¹t cã m«men xung lîng lÇn lît lµ
21;LL NÕu ta bá qua t¬ng t¸c cña hai h¹t lµm thay ®æi m«men xung l-
îng th× m«men xung lîng cña hÖ L = 21 LL + . NÕu biÕt sè lîng tö l1,
m1, l2, m2 x¸c ®Þnh m«men xung lîng 21;LL th× ta cã thÓ suy ra c¸c sè
lîng tö l, m x¸c ®Þnh m«men xung lîng L . C¸ch suy ra c¸c sè lîng tö l,
m gäi lµ phÐp céng m«men xung lîng trong c¬ häc lîng tö.
Ta cã : Lz = L1z+ L2z
Hay: 2121 mmmmmm +=⇔+= hhh
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 7
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
Mµ gi¸ trÞ cùc ®¹i cña m1 lµ l1 ; cña m2 lµ l2. Nªn gi¸ trÞ cùc ®¹i
cña m lµ (l1+l2). Ta cã thÓ hiÓu mét c¸ch th« s¬ r»ng ®©y lµ trêng hîp
21;LL cïng híng. Trêng hîp hai vect¬ Êy ngîc híng th× l = 21 ll − .
Cßn trêng hîp kh¸c l cã gi¸ trÞ nguyªn trong kho¶ng gi÷a hai gi¸
trÞ trªn. Tøc lµ : l = l1 + l2 ; l1 + l2 - 1 ; ....; 21 ll − .
1.2 Lý thuyÕt lîng tö vÒ m«men xung lîng.
1.2.1 Lîng tö hãa m«men xung lîng.
Quy t¾c lîng tö hãa m«men xung lîng :To¸n tö b×nh ph¬ng
m«men xung lîng toµn phÇn 2J cña h¹t vi m« cã trÞ riªng lµ j( j +1 ) 2h .
Trong ®ã j lµ sè kh«ng ©m nguyªn hoÆc b¸n nguyªn.
To¸n tö h×nh chiÕu cña m«men xung lîng toµn phÇn lªn trôc z
cã gi¸ trÞ riªng lµ Jz = mj h .Víi : mj = +j; j-1;...; -j. Cã tÊt c¶ ( 2j + 1 ) gi¸
trÞ.
TËp hîp (2j + 1) hµm sãng øng víi (2j + 1) trÞ riªng kh¸c nhau cña
zJ vµ víi cïng mét trÞ riªng j( j +1 ) 2h cña 2J ®îc gäi lµ mét ®a tuyÕn.
1.2.2 Quy t¾c céng m«men xung lîng.
XÐt mét hÖ gåm hai h¹t vµ gäi c¸c to¸n tö m«men xung lîng cña
chóng lµ )2()1( ˆ,ˆ JJ . Gi¶ sö gi÷a hai h¹t kh«ng cã t¬ng t¸c. Khi ®ã h¹t thø
i (i =1, 2) Cã thÓ ®îc diÔn t¶ b»ng (2ji +1) hµm sãng )(i
j iiµψ víi c¸c
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 8
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
gi¸ trÞ x¸c ®Þnh cña c¸c b×nh ph¬ng m«men xung lîng vµ h×nh chiÕu
cña nã lªn trôc Oz:
)(2)()(2 )1(ˆ i
jii
i
j
i
iiiijjJ µµ ψψ h+=
)()()(ˆ i
ji
i
j
i
z iiiiJ µµ ψµψ h=
Víi : iiii jjj ++−−= ,....,1,µ . Tøc lµ : ii j≤µ
HÖ hai h¹t nh vËy ®îc m« t¶ b»ng (2j1 + 1) (2j2 + 1) tÝch trùc tiÕp
cña hai hµm sãng )2()1(
2211 µµψψ jj .
Trong nhiÒu trêng hîp ngêi ta l¹i quan t©m ®Õn m«men xung l-
îng toµn phÇn cña hÖ. To¸n tö m«men xung lîng toµn phÇn vµ h×nh
chiÕu cña nã lªn trôc Oz lµ:
)2()1( ˆˆˆ JJJ +=
)2()1( ˆˆˆzzz JJJ +=
B×nh ph¬ng m«men xung lîng toµn phÇn vµ h×nh chiÕu cña nã
lªn trôc Oz cã trÞ riªng lµ j( j+1) 2h vµ hµ víi j≤µ .
VÊn ®Ò ®Æt ra lµ j b»ng bao nhiªu vµ c¸c hµm riªng t¬ng øng
cã d¹ng nh thÕ nµo?
Tríc hÕt, ta thÊy r»ng tÝch )2()1(
2211 µµψψ jj lµ hµm riªng cña zJ øng
víi trÞ riªng: hµ = ( )h21 µµ +
V× : )2()1(
2211
ˆµµψψ jjzJ = )ˆˆ( )2()1(
zz JJ + )2()1(
2211 µµψψ jj
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 9
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
= )ˆ( )1()1()2(
1122 µµ ψψ jzj J + )ˆ( )2()2()1(
2211 µµ ψψ jzj J
= ( )h21 µµ + )2()1(
2211 µµψψ jj
Nhng c¸c tÝch )2()1(
2211 µµψψ jj l¹i kh«ng ph¶i lµ hµm riªng cña 2J . V×
sù cã mÆt cña 2 )2()1( ˆˆ JJ lµm cho )2()1(2
2211
ˆµµψψ jjJ ≠ cosnt
)2()1(
2211 µµψψ jj
Tuy nhiªn tõ c¸c tÝch )2()1(
2211 µµψψ jj cã thÓ lËp ®îc tæ hîp tuyÕn tÝnh
®ång thêi lµ hµm riªng cña zJJ ˆ,ˆ 2 , kÝ hiÖu lµ µφ jjj 21
2J µφ jjj 21 = j( j+1) 2h µφ jjj 21
zJ µφ jjj 21 = hµ µφ jjj 21
V× gi¸ trÞ lín nhÊt cña 21,µµ lµ j1, j2 nªn 21max jj +=µ khi vµ chØ
khi { }2211 , jj == µµ . Hµm sãng hai h¹t t¬ng øng duy nhÊt lµ )2()1(
2211 jjjj ψψ .
§ã còng chÝnh lµ tr¹ng th¸i øng víi gi¸ trÞ m«men xung lîng toµn phÇn
j = 21max jj +=µ . VËy 212121 jjjjjj ++φ = )2()1(
2211 jjjj ψψ .
Gi¸ trÞ tiÕp theo cña µ lµ 1max −µ = 121 −+ jj , khi
{ }1, 2211 −== jj µµ , hoÆc { }2211 ,1 jj =−= µµ . Hµm sãng hai h¹t t¬ng øng
lµ )2(
1
)1(
2211 −jjjj ψψ , hoÆc )2()1(
1 2211 jjjj ψψ − . Tõ hai hµm nµy, cã thÓ lËp hai tæ
hîp ®éc lËp tuyÕn tÝnh, mét tæ hîp cho j = 21 jj + , øng víi hµm sãng
1212121 −++ jjjjjjφ , cßn tæ hîp kia cho j= 121 −+ jj , øng víi hµm sãng
11 212121 −+−+ jjjjjjφ .
Ta quy íc r»ng .21 jj ≥ . Cø mçi lÇn gi¶m ®i mét ®¬n vÞ l¹i xuÊt
hiÖn thªm hµm sãng míi cho tíi khi 21 jj −=µ . Gi¸ trÞ nµy cña µ cã
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 10
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
thÓ nhËn ®îc trong (2j2 +1) trêng hîp { }21 ,µµ ={ }21, jj − ; { }1,1 21 +−− jj ;
……..; { }221 ,2 jjj − , øng víi (2j2 +1) hµm sãng hai h¹t )2()1(
2211 jjjj −ψψ ;
)2(
1
)1(
1 2211 +−− jjjj ψψ ;....; )2()1(
2 22211 jjjjj ψψ − .
Tõ (2j2 +1) hµm sãng nµy cã thÓ lËp (2j2 +1) tæ hîp ®éc lËp
tuyÕn tÝnh cho j = 21 jj + , 121 −+ jj ,...,j1 - j2 lÇn lît øng víi 212121 jjjjjj −+φ ,
212121 1 jjjjjj −−+φ ,…, 212121 jjjjjj −−φ .
Víi c¸c gi¸ trÞ tiÕp theo cña µ mµ µ≤− 12 jj < j1 - j2, tøc lµ
νµ −−= 21 jj víi ν lµ c¸c sè nguyªn trong kho¶ng 0 < ( )212 jj −≤ν , sè c¸c
tr¹ng th¸i kh«ng t¨ng thªm mµ vÉn b»ng (2j2 +1) ®ã lµ: { }21 ,µµ =
{ }21 , jj −−ν , { }1,1 21 +−−− jj ν ,...,{ }221 ,2 jjj −−ν , øng víi hµm sãng hai h¹t
lµ )2()1(
2211 jjjj −− ψψ ν , )2(
1
)1(
1 2211 +−−− jjjj ψψ ν ,…,)2()1(
2 22211 jjjjj ψψ ν−− . Tõ (2j2 +1) hµm sãng
nµy cã thÓ lËp (2j2 +1) tæ hîp ®éc lËp tuyÕn tÝnh cho j = 21 jj + ,
121 −+ jj ,...,j1 - j2, lÇn lît øng víi 212121 jjjjjj −+φ , 212121 1 jjjjjj −−+φ ,…,
212121 jjjjjj −−φ .
Gi¶m tiÕp µ mét ®¬n vÞ ta cã 112 −−= jjµ . Sè tr¹ng th¸i t¬ng
øng gi¶m ®i 1 so víi trêng hîp νµ −−= 21 jj võa xÐt ë trªn. §ã lµ 2j2 tr¹ng
th¸i cã : { }21 ,µµ ={ }221 ,12 jjj −−+ , { }1,22 221 +−−+ jjj ,…,{ }1, 21 −− jj , øng víi
2j2 hµm sãng hai h¹t )2()1(
12 22211 jjjjj −−+− ψψ , )2(
1
)1(
22 22211 +−−+− jjjjj ψψ ,…,)2(
1
)1(
2211 −− jjjj ψψ .
Tõ 2j2 hµm sãng nµy cã thÓ lËp 2j2 tæ hîp ®éc lËp tuyÕn tÝnh cho j =
21 jj + ,..., j1 - j2+1, lÇn lît øng víi 1122121 −−+ jjjjjjφ , 11 122121 −−−+ jjjjjjφ ,…,
11 122121 −−+− jjjjjjφ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 11
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
B¾t ®Çu tõ gi¸ trÞ 112 −−= jjµ mçi lÇn µ gi¶m ®i mét ®¬n vÞ
th× sè tr¹ng th¸i còng gi¶m ®i 1 cho tíi khi 21 jj −−=µ , øng víi mét tr¹ng
th¸i duy nhÊt { }2211 , jj −=−= µµ . VËy 212121 jjjjjj −−+φ = )2()1(
2211 jjjj −− ψψ .
Khi .12 jj ≥ , c¸c lËp luËn ë trªn vÉn ®óng , ta chØ cÇn lµm phÐp
ho¸n vÞ j1 ↔ j2
Tãm l¹i, víi j1, j2 cho tríc ,tõ c¸c tÝch )2()1(
2211 µµψψ jj , ta cã thÓ lËp ®îc
c¸c tæ hîp ®éc lËp tuyÕn tÝnh lµ c¸c hµm sãng µφ jjj 21 cña c¸c tr¹ng
th¸i riªng cña hÖ hai h¹t cã m«men xung lîng toµn phÇn J vµ h×nh
chiÕu cña nã Jz.
J = ( )1+jj ; Jz = µ
Víi jj ≤≤− µ , j lÊy c¸c gi¸ trÞ c¸ch nhau mét ®¬n vÞ mµ gi¸ trÞ lín nhÊt
lµ
(j1 + j2), cßn gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 21 jj −
212121 ;...;1; jjjjjjj −−++=
Víi mçi gi¸ trÞ cña j cã (2j+1) tr¹ng th¸i, øng víi c¸c gi¸ trÞ kh¸c
nhau cña [ ]2121 , jjjj +−∈µ .
Sè c¸c hµm víi tÊt c¶ gi¸ trÞ kh¶ dÜ cña j lµ:
( ) ( )1212)12( 21
21
21
++=+∑+=
−=jjj
jjj
jjj
chÝnh b»ng sè c¸c tÝch )2()1(
2211 µµψψ jj víi gi¸ trÞ kh¶ dÜ cña 21 ,µµ .
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 12
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
C¸c hÖ sè µ
µµj
jjC 2211 quy íc lµ thùc trong c¸c tæ hîp tuyÕn tÝnh :
µφ jjj 21 ∑+=
=21
2211µµµ
µµµ
j
jjC )2()1(
2211 µµψψ jj
C¸c hÖ sè µ
µµj
jjC 2211 gäi lµ hÖ sè Clebsh-Gordan, c¸c hÖ sè nµy
x¸c ®Þnh phÇn ®ãng gãp cña c¸c hµm kh¸c nhau )2()1(
2211 µµψψ jj . Vµ c¸c hÖ
sè nµy cho bëi b¶ng riªng.
C¸c kÕt qu¶ trªn ®©y gäi lµ quy t¾c céng m«men xung lîng.
C¸c lËp luËn trªn còng cã thÓ ¸p dông cho hµm sãng mét h¹t víi
hai bËc tù do kh¸c nhau : bËc tù do chuyÓn ®éng quü ®¹o víi m«men
xung lîng quü ®¹o vµ bËc tù do spin. B©y giê, L ®ãng vai trß cña )1(J
, S ®ãng vai trß cña )2(J vµ : SLJ ˆˆˆ += lµ to¸n tö m«men xung lîng toµn
phÇn cña h¹t cã spin.
Trong trêng hîp h¹t cã spin 1/2 vµ ë tr¹ng th¸i cã l 0≠ th× j = l +1/2
hoÆc l -1/2.
NÕu hÖ vËt lÝ gåm nhiÒu h¹t vi m« cïng chuyÓn ®éng trong tr-
êng xuyªn t©m th× m«men xung lîng toµn phÇn J cña c¶ hÖ sÏ ®îc
hîp thµnh tïy theo c¸c d¹ng t¬ng t¸c. Trong trêng hîp t¬ng t¸c spin-quü
®¹o cña mçi h¹t m¹nh h¬n so víi t¬ng gi÷a c¸c h¹t víi nhau th×: ∑=
=1
ˆˆi
iJJ
víi iii SLJ ˆˆˆ +=
NÕu ngîc l¹i th× : J = L + S víi ∑=
=1
ˆˆi
iLL , ∑=
=1
ˆˆi
iSS .
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 13
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
1.3 Bµi tËp
Bµi 1: X¸c ®Þnh nh÷ng gi¸ trÞ cã thÓ cã cña m«men tõ cña
nguyªn tö ë tr¹ng th¸i D3 ?
Bµi gi¶i:
Ta cã m«men tõ : ( ) ( )SJm
eSL
m
eS
m
eL
m
eM +=+=+=
22
22
To¸n tö m«men tõ : ( ) JGJJ
SJ
m
eSJ
m
eM ˆˆˆ1
ˆ
ˆˆ
2ˆˆ
2ˆ
2=
+=+=
Víi :
++−= 1
ˆ2
ˆˆˆ
2ˆ
2
222
J
SLJme
G . Do ®ã tri riªng cña G lµ :G =g.m
e
2
trong ®ã: 1)1(2
)1()1()1( ++
+−+++=jj
llssjjg
VËy trÞ riªng cña to¸n tö m«men tõ lµ: )1(.. += jjgM Bµ
víi: m
eB 2
=µ lµ Mannhªt«n Bo
Theo gi¶ thiÕt tr¹ng th¸i cña nguyªn tö lµ D3 nªn 2s + 1=3 vµ l =
2
Hay: s =1; l = 2. Vµ theo quy t¾c céng m«men ta cã:
j = l +s; l +s-1;l - s = 3; 2; 1.
Víi j =3 th× M1 = Bµ3
8
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 14
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
Víi j =2 th× M2= Bµ6
7
Víi j =1 th× M3 = Bµ2
1
Bµi 2: M«men tõ cña nguyªn tö ë tr¹ng th¸i FD 54 , b»ng 0. X¸c
®Þnh m«men cña nã trong c¸c tr¹ng th¸i ®ã?
Bµi gi¶i:
Theo bµi 1 ta cã c«ng thøc tÝnh m«men tõ cña nguyªn tö :
M = g. Bµ . )1( +jj = 0 (1)
trong ®ã : 1)1(2
)1()1()1( ++
+−+++=jj
llssjjg
+) Víi nguyªn tö ë tr¹ng th¸i D4 th× 2
3=s ; l = 2. Thay vµo (1) ta ®îc: j
2
1=
VËy m«men xung lîng toµn phÇn : 2
3=J
+) Víi nguyªn tö ë tr¹ng th¸i F5 th× s = 2, l = 3.
T¬ng tù trªn ta t×m ®îc 6=J
Bµi 3: H·y chØ ra c¸c tr¹ng th¸i cã thÓ cã cña m«men toµn phÇn
trong c¸c tr¹ng th¸i DPS 431 ,, ?
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 15
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
Bµi gi¶i:
+) Tr¹ng th¸i S1 cã nghÜa lµ s = 0, l = 0 .
M«men xung lîng toµn phÇn : )1( += jjJ ,
víi j = l + s,l + s-1,…, sl− = 0
VËy ta cã tr¹ng th¸i 0
1S .
+) Tr¹ng th¸i P3 cã nghÜa lµ s = 1, l = 1. t¬ng tù trªn cã j = 0, 1,
2
VËy ta cã tr¹ng th¸i kh¶ dÜ : ,03P ,1
3P ,23P
+) T¬ng tù trªn: Tr¹ng th¸i D4 cã c¸c tr¹ng th¸i kh¶ dÜ:
2
7
4
2
5
4
2
3
4
2
1
4 ,,, DDDD
Bµi 4: Cã thÓ tån t¹i nh÷ng tr¹ng th¸i nµo ®èi víi hai electron
sau:
a) ns vµ n’s c) ns vµ n’d
b) ns vµ n’p d) np vµ n’p
Bµi gi¶i:
a) Víi hai electron ns vµ n’s th× l1 = l2 = 0 ; s1 = s2 = 2
1
Nªn: M«men xung lîng quü ®¹o cña hÖ hai electron 21 LLL +=
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 16
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
M«men xung lîng riªng cña hÖ hai electron 21 SSS +=
trong ®ã : )1( += llL ; l = l1 + l2; l1 + l2 -1;….; 21 ll − = 0
)1( += ssS s = s1 + s2; s1 + s2 -1;….; 21 ss − = 1; 0
M«men xung lîng toµn phÇn: J = SL + .
Víi : )1( += jjJ ; j = l + s,l + s-1,…, sl −
NÕu s = 0 th× j = 0; nÕu s = 1 th× j = 1
VËy tån t¹i nh÷ng tr¹ng th¸i kh¶ dÜ: 0
1S vµ 1
3S
b) T¬ng tù c©u (a) ta cã sè lîng tö l vµ s cña hÖ hai electron trªn
lµ : l =1,s = 0; 1
NÕu s = 0 th× j = 1 ,øng víi tr¹ng th¸i ,11P
NÕu s = 1 th× j = 0; 1; 2 ,øng víi c¸c tr¹ng th¸i kh¶ dÜ sau: ,03P
,13P ,2
3P
c) Lµm t¬ng tù trªn ta ®îc kÕt qu¶: ,21D ,1
3D ,23D ,3
3D
d) KÕt qu¶: 0
1S ; ,11P ,2
1D ,13S ,0
3P ,13P ,2
3P ,13D ,2
3D ,33D
Bµi 5: X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ kh¶ dÜ cña m«men xung lîng quü
®¹o cña hÖ gåm 1 electron d vµ 1 electron f?
Bµi gi¶i :
Gäi 21 ,LL lµ m«men xung lîng quü ®¹o cña electron d vµ f
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 17
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
Ta cã: )1( 111 += llL ; )1( 222 += llL , víi l1 =2; l2 = 3
Gäi L lµ m«men xung lîng quü ®¹o cña hÖ
Th×: 21 LLL += ; )1( += llL
víi l = l1 + l2; l1 + l2 -1;….; 21 ll − = 5; 4; 3; 2; 1
VËy ta cã c¸c gi¸ trÞ kh¶ dÜ cña L :
+) l = 5 th× 30=L
+) l =4 th× 52=L
+) l = 3 th× 32=L
+) l = 2 th× 6=L
+) l = 1 th× 2=L
Gäi lµ gãc hîp bëi 21 ,LL th×
αcos2 21
2
2
2
1
2 LLLLL ++= αcos⇔ =21
2
2
2
1
2
2 LL
LLL −−
Hay: ( ) ( ) ( )
( ) ( )1 1 2 2
2 1 1 2
1 1 1cos
2 1 1
l l l l l l
l l l lα
+ − + − +=
+ +
Víi l =1 th× 05,160=α 2L L L L
2L
Víi l =2 th× 0135=α
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 18
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
Víi l =3 th× 07,110=α 1L
Víi l =4 th× 023,83=α
Víi l =5 th× 045=α
Bµi 6: H¹t cã Spin b»ng 1/2 chuyÓn ®éng trong trêng xuyªn
t©m. T×m hµm sãng mµ nã ®ång thêi lµ hµm riªng cña .ˆ,ˆ,ˆ 22 JLJ z ?
Bµi gi¶i:
Ta viÕt ZJ díi d¹ng ma trËn:
−∂∂−
+∂∂−
=
−
+
∂∂−=
−
+
=+=
2
10
02
1
10
01
210
01
10
01
210
01ˆˆˆˆ
ϕ
ϕ
ϕ
i
i
i
LSLJ ZZzZ
Ta l¹i cã:
( )σ2
ˆ
ˆˆ2ˆˆˆˆˆ 222
2
=
++=+=
S
SLSLSLJ
Nªn:
( )
−+−
=
−
+
−+
=
++==
zyx
yxz
z
z
y
y
x
x
zzyyxx
LLiL
LiLL
L
L
Li
Li
L
L
LLLLSL
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆ0
0ˆ
0ˆ
ˆ0
0ˆ
ˆ0
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2
σσσσ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 19
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
Cßn:
+
+=
+
=+
22
22
2222
43ˆ0
043ˆ
10
01
43
10
01ˆˆˆ
L
L
LSL
Nªn
−+
++=++=
+
−
z
z
LLL
LLLSLSLJ
ˆ43ˆˆ
ˆˆ43ˆ
ˆˆ2ˆˆˆ22
22
222
trong ®ã : yx LiLL ˆˆˆ ±=±
Hµm sãng ψ ®îc viÕt díi d¹ng ma trËn:
=
2
1
ψψ
ψ
Ph¬ng tr×nh cho hµm riªng vµ trÞ riªng cña zJ :
ψψ zz JJ =ˆ
Hay:
=
−∂∂−
+∂∂−
2
1
2
1
2
10
02
1
ψψ
ψψ
ϕ
ϕ m
i
i
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 20
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
⇔
=−∂∂−
=+∂∂−
222
111
21
21
ψψψϕ
ψψψϕ
mi
mi
+=
∂∂
−=
∂∂
⇔
22
11
2
1
2
1
ψψϕ
ψψϕ
mi
mi
Thµnh phÇn phô thuéc vµo ϕ cña 21 ,ψψ cã d¹ng
− ϕ
2
1exp mi
hoÆc
+ ϕ
2
1exp mi
Nªn nghiÖm ( )θψ ,11 rf=
− ϕ
2
1exp mi ; ( )θψ ,22 rf=
+ ϕ
2
1exp mi
trong ®ã f1, f2 lµ hµm tïy ý cña θ,r
V× ψ còng lµ hµm riªng cña 2L nªn ta cã:
( ) ( )( ) ( )
=
=
+
−
ϕθ
ϕθ
ψψ
ψ,
,
2
1,
2
2
1,
1
2
1
ml
ml
YrR
YrR
trong ®ã: R1(r), R2(r) lµ hµm b¸n kÝnh, m lµ sè b¸n nguyªn. B©y
giê ta ph¶i chän R1(r), R2(r) sao cho ψ ®ång thêi lµ hµm riªng cña 2J :
ψψ 22ˆ JJ =
Hay : ( )
+=
2
12
2
12 1ˆψψ
ψψ
jjJ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 21
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
⇔
−+
++
+
−
z
z
LLL
LLL
ˆ43ˆˆ
ˆˆ43ˆ
22
22
( ) ( )( ) ( )
+
−
ϕθ
ϕθ
,
,
2
1,
2
2
1,
1
ml
ml
YrR
YrR
= ( )12 +jj
( ) ( )( ) ( )
+
−
ϕθ
ϕθ
,
,
2
1,
2
2
1,
1
ml
ml
YrR
YrR
Tõ ®©y ta cã :
( ) ( ) ( ) ( )ϕθϕθϕθ ,1,ˆ,ˆ43ˆ
2
1,
1
2
2
1,
2
2
1,
1
22
−+−−+=+
++
mlmlmlz YRjjYRLYRLL
( ) ( ) ( ) ( )ϕθϕθϕθ ,1,ˆ,ˆ43ˆ
2
1,
2
2
2
1,
1
2
1,
2
22
+−+++=+
−+
mlmlmlz YRjjYRLYRLL
Do −+ LL ˆ,ˆ kh«ng phô thuéc vµo r nªn chóng chØ t¸c ®éng lªn
hµm ( )ϕθ,Y
MÆt kh¸c :
( )( ) 1,, 1ˆ++ ++−= mjmj mjmjJ ψψ
( )( ) mjmj mjmjJ ,1, 1ˆ ψψ ++−=+−
NÕu ®Æt 0ˆ =S th× LJ ˆˆ = khi ®ã ta t×m ®îc :
( ) ( )( ) 1',', 1'',ˆ++ ++−= mlml YmlmlYL ϕθ
( ) ( )( ) ',1', 1'',ˆmlml YmlmlYL ++−=+− ϕθ
Víi m’=m- 1/2 th× : ( )2
1,
2
2
2
1, 2
1,ˆ
−+− −
+=
mlmlYmlYL ϕθ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 22
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
Ta cã :
( ) ( )ϕθϕθ ,2
1,ˆ
2
1,
2
1, −−
−=
mlmlz YmYL
( ) ( )ϕθϕθ ,2
1,ˆ
2
1,
2
1, ++
+=
mlmlz YmYL
( ) ( ) ( )ϕθϕθ ,1,ˆ2
1,
2
2
1,
2
±±+=
mlmlYllYL
Tõ c¸c biÓu thøc trªn ta cã :
( ) ( )
( ) ( )
=
+−+−++−
+
=−
++
+++−+
041
1121
02
1
4
111
21
2
2
2
2
2
1
RmjjllRml
RmlRmjjll
§Ó hÖ ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm kh«ng tÇm thêng th× ®Þnh
thøc c¸c hÖ sè ph¶i b»ng 0.
Tõ ®ã ta t×m ®îc:2
1±= lj .
Trong trêng hîp 2
1+= lj ta ®îc :
021
21
21
21 =+−+++
−+− RmlmlRml
021
21
21
12 =+−+++
++− RmlmlRml
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 23
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
Nªn : )(21 21
2121
rRmlR
ml
mlR ++=
+−
++= )(12 2
1
2121
rRmlR
ml
mlR +−=
++
+−=
Trong trêng hîp 2
1−= lj . T¬ng tù trªn ta ®îc:
2
11 +−= mlR R(r) ;
2
12 ++−= mlR R(r)
Nh vËy th× hµm sãng ( )ϕθψ ,,,, rmjl cña h¹t cã d¹ng:
)(),,(,,2
1,
rRrmll
=+
ϕθψ
+−
++
+
−
),(21
),(21
2
1,
2
1,
ϕθ
ϕθ
ml
ml
Yml
Yml
)(),,(,,2
1,
rRrmll
=−
ϕθψ
++−
+−
+
−
),(21
),(21
2
1,
2
1,
ϕθ
ϕθ
ml
ml
Yml
Yml
Bµi 7: Gäi zyx JJJ ˆ,ˆ,ˆ lµ c¸c to¸n tö thµnh phÇn cña to¸n tö J
tháa m·n c¸c hÖ thøc giao ho¸n sau:
zxyyx JiJJJJ ˆˆˆˆˆ =− (1)
xyzzy JiJJJJ ˆˆˆˆˆ =− (2)
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 24
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
yzxxz JiJJJJ ˆˆˆˆˆ =− (3)
zyx JJJ ˆ,ˆ,ˆ lµ nh÷ng to¸n tö Hermite
1) Chøng minh r»ng:
a) [ ]xJJ ˆ,ˆ 2 = [ ]yJJ ˆ,ˆ 2 = [ ]zJJ ˆ,ˆ 2 = 0
b) [ ]±JJ z ˆ,ˆ = ±± J
c) [ ]−+ JJ ˆ,ˆ = zJ2
2) T×m trÞ riªng cña zJJ ˆ,ˆ 2 ?
3) T×m trÞ riªng cña SJ ˆˆ ?
Bµi gi¶i:
1)a) Nh©n tr¸i vµ ph¶i hai vÕ ph¬ng tr×nh (1) víi xJ , råi céng
vÕ víi vÕ ta ®îc:
( ) ( )xzzxxyyx JJJJiJJJJ ˆˆˆˆˆˆˆˆ 22 +=− (4)
Nh©n tr¸i vµ ph¶i hai vÕ ph¬ng tr×nh (2) víi zJ råi céng vÕ víi
vÕ ta ®îc :
( ) ( )zxxzzyyz JJJJiJJJJ ˆˆˆˆˆˆˆˆ 22 +−=− (5)
HiÓn nhiªn r»ng:
( ) 0ˆˆˆˆ 22 =− yyyy JJJJ (6)
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 25
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
Céng (4), (5), (6) ta ®îc:
[ ]yJJ ˆ,ˆ 2 = 0
Tîng tù ta còng chøng minh ®îc:
[ ]yJJ ˆ,ˆ 2 = [ ]zJJ ˆ,ˆ 2 = 0
b) Ta cã : [ ] ( )yxzz JiJJJJ ˆˆˆˆ,ˆ +=+ - ( ) zyx JJiJ ˆˆˆ +
= ( )zyyzzxxz JJJJiJJJJ ˆˆˆˆˆˆˆˆ −+−
= ( )xy JiiJi ˆˆ −+ = +L
T¬ng tù ta cã: [ ]−JJ z ˆ,ˆ = −− J
c) Ta cã : [ ]−+ JJ ˆ,ˆ = ( )( )yxyx JiJJiJ ˆˆˆˆ −+ - ( )( )yxyx JiJJiJ ˆˆˆˆ +−
= ( )xyyx JJJJi ˆˆˆˆ2 −−
= zJ2
2) Theo c©u (1a) th× zJJ ˆ,ˆ 2 giao ho¸n nªn chóng cã chung hµm
riªng.
Gäi mψ lµ hµm riªng cña zJ t¬ng øng víi trÞ riªng m :
mmz mJ ψψ =ˆ
MÆt kh¸c: [ ] zzz JJJJJJ ˆˆˆˆˆ,ˆ ±±± −= ⇔ ±JJ z ˆˆ = [ ] zz JJJJ ˆˆˆ,ˆ ±± + =
zJJJ ˆˆˆ±± +±
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 26
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
T¸c dông ±JJ z ˆˆ cho bëi ph¬ng tr×nh trªn lªn hµm mψ ta ®îc:
±JJ z ˆˆ mψ = mzm JJJ ψψ ˆˆˆ±± +±
Hay: mmmz JmJJJ ψψψ ±±± ±= ˆ)(ˆ)ˆ(ˆ mJm ψ±±= ˆ)1(
Nh vËy mJ ψ±ˆ lµ hµm riªng cña zJ øng víi trÞ riªng )1( ±m . C¸c
gi¸ trÞ kÕ tiÕp cña m c¸ch nhau mét ®¬n vÞ (m-1); m; (m+1).
Gäi j lµ sè lîng tö ®Æc trng cho ®é lín cña 2
jJ ; mjψ lµ hµm riªng
cña zJJ ˆ,ˆ 2
Ta cã: ''
22 ''ˆjjmmjJjmJmj δδ=⟩⟨
''''ˆjjmmz mjmJmj δδ=⟩⟨
LÊy yÕu tè ma trËn hai vÕ ph¬ng tr×nh: 2222 ˆˆˆˆyxz JJJJ +=− vµ sö
dông tÝnh chÊt ®ñ cña vect¬ riªng: 1''''''
=⟩ ⟨∑jm
jmjm . Ta ®îc:
−⟩⟨ mjJmj 2ˆ =⟩⟨ mjJmj z
2ˆ ⟩⟨ mjJmj x
2ˆ ⟩⟨+ mjJmj y
2ˆ
⇔ 222 mJ j − ⟩⟩ ⟨⟨= ∑ mjJjmjmJmj xjm
xˆ''''ˆ
''
⟩⟩ ⟨⟨+ ∑ mjJjmjmJmj yjm
yˆ''''ˆ
''
V× yx JJ ˆ,ˆ lµ nh÷ng to¸n tö Hermite nªn += xx JJ ˆˆ , += yy JJ ˆˆ vµ
⟩⟨ mjJjm xˆ'' ⟩⟨= +mjJjm x
ˆ'' *''ˆ ⟩⟨= jmJmj x
⟩⟨ mjJjm yˆ'' ⟩⟨= +mjJjm y
ˆ'' *''ˆ ⟩⟨= jmJmj y
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 27
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
Nªn : 222 mJ j − { } 0''ˆ''ˆ''
22
≥⟩⟨+⟩⟨=∑jm
yx jmJmjjmJmj
22
jj JmJ ≤≤−⇒
Ký hiÖu mmax = m1; mmin = m2, khi ®ã kh«ng tån t¹i nh÷ng tr¹ng th¸i
mµ
m = m1 + 1; m2 - 1. §iÒu ®ã cã nghÜa r»ng:
0ˆ111== ++ mjmJ ψψ
0ˆ122== −− mjmJ ψψ
MÆt kh¸c : =⟩⟨ jmJjm 1
2
1⟩++⟨ +− jmJJJJjm zz 1
2
1ˆˆˆˆ
V× : 0ˆ1
=+ jmJ ψ nªn 0ˆˆ11 =⟩⟨ +− jmJJjm .Do ®ã: Jj
2 = m1(m1 + 1) 2
.
T¬ng tù trªn ta còng cã: Jj2 = m2(m2 - 1) 2 .
Nªn m1(m1 + 1) = m2(m2 - 1)⇔ m2 = m1 + 1 hoÆc m2 = -m1.
Mµ m2 < m1. Suy ra nghiÖm tháa m·n lµ m2 = - m1.
Ta quy íc j lµ sè lîng tö ®Æc trng cho ®é lín cña 2
jJ . Mµ 2
jJ chØ
phô thuéc vµo m1 nªn ta ®Æt m1 = j. Khi ®ã m cã tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ tõ -j
®Õn +j. C¸c gi¸ trÞ liªn tiÕp cña m c¸ch nhau mét ®¬n vÞ : -j; -j+1;
-j+2; ....; j
VËy cã (2j + 1) gi¸ trÞ cã thÓ cã cña m.
Tãm l¹i ta cã:
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 28
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
mjmjz mJ ψψ =ˆ ; víi: m = -j; -j+1; -j+2; ....; j
mjjmj JJ ψψ 22ˆ = ; víi: 22 )1( += jjJ j
3) T×m trÞ riªng cña SJ ˆˆ .
ThËt vËy:
( )( )
)ˆˆˆ(2
1
ˆˆˆˆ2
1
ˆˆˆˆˆˆˆˆ
222
2222
LSJ
SSLJ
SSLSSLSJ
−+=
+−−=
+=+=
C¸c to¸n tö zJJSL ˆ,ˆ,ˆ,ˆ 222 giao ho¸n víi nhau nªn chóng cã chung
hµm riªng jlsm jψ . Víi mj = -j; -j + 1;-j + 2;…;j.
Ta cã : SJ ˆˆ jlsm jψ ( ){ })1()1(1
2
1 2 +−+++= llssjj jlsm jψ
Do ®ã trÞ riªng cña SJ ˆˆ lµ: ( ){ })1()1(12
1 2 +−+++ llssjj .
*) TiÕp theo t×m c¸c gi¸ trÞ cña j khi cho l; s?
Ta cã: Jz =Sz + Lz = (ms +m) = mj .
)1(
)1(
+=
+=
ssS
llL
Vµ Lz = m ; Sz = ms trong ®ã: mmax = l; ms max = s.
Nªn mj max = l + s =jmax .
C¸c gi¸ trÞ cã thÓ cã cña j lµ :l+s; l+s-1; …;l+s-q = jmin.
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 29
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
B©y giê cÇn x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña q = ?
C¸c to¸n tö zz SLSL ˆ,ˆ,ˆ,ˆ 22 giao ho¸n víi nhau nªn chóng cã chung
hµm riªng slsmmψ . Trong ®ã : m = -l; -l+1; …;l vµ ms = -s; -s+1;…;
s.
Nh vËy øng víi mét gi¸ trÞ cña l cã (2l+1) gi¸ trÞ cña m; øng víi
mét gi¸ trÞ cña s cã (2s+1) gi¸ trÞ cña ms.
Nªn øng víi mét gi¸ trÞ cña l; s sÏ cã (2l+1)(2s+1) hµm sãng
slsmmψ .
Ta h·y chØ ra r»ng víi mét gi¸ trÞ cña l; s sÏ cã (2l+1)(2s+1) hµm
sãng jlsm jψ víi mäi gi¸ trÞ cña mj vµ j kh¸c nhau. §Ó thÊy râ ®iÒu ®ã ta
biÓu diÔn nh÷ng cÆp gi¸ trÞ m, ms vµ mj, j b»ng b¶ng sau:
m ms mj = m+ms j
l s l+s l+s
− 1l
l
−s
s 1
−+−+1
1
sl
sl
−++
1sl
sl
−−2
1
l
l
l
−−
s
s
s
1
2
−+−+−+
2
2
2
sl
sl
sl
−+−+
+
2
1
sl
sl
sl
. . . .
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 30
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
. . . .
. . . .
Nh vËy: øng víi mj = l+s cã mét hµm slsmmψ vµ mét hµm
jlsm jψ
øng víi mj = l+s-1 cã hai hµm slsmmψ vµ hai hµm
jlsm jψ
øng víi mj = l+s-2 cã ba hµm slsmmψ vµ ba hµm
jlsm jψ .
MÆt kh¸c, øng víi mét gi¸ trÞ cña j cã (2j +1) gi¸ trÞ cña j. Nªn sè
hµm jlsm jψ khi l, s ®· cho vµ mj, j thay ®æi lµ:
( ) =+∑+==
=
sljj
jj
jmax
min
12 (2l+1)(2s+1) ,
Tõ jmin = l+s-q ®Õn jmax = l+s cã q+1 sè h¹ng, ta cã:
( ) =+∑+==
=
sljj
jj
jmax
min
12 +∑max
min
2j
j
j ∑max
min
1j
j
)1()1(2
12 maxmin +++++= qq
jj
2
min
2
minmin
minmax
)1(
)1)(1(
)1)(1(
jsl
jsljsl
jjq
−++=+++−++=
+++=
Nªn =−++ 2
min
2)1( jsl (2l+1)(2s+1) ⇔ jmin = ± ( l - s ).
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 31
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
C¸c gi¸ trÞ cña j 0≥ nªn jmin sl−= .
VËy nh÷ng gi¸ trÞ cã thÓ cã cña j khi l, s ®· cho lµ:
j = l+s; l+s-1; …; sl−
KÕt luËn : TrÞ riªng cña SJ ˆˆ lµ: ( ){ })1()1(12
1 2 +−+++ llssjj ,
trong ®ã: j = l+s; l+s-1; …; sl−
Ch¬ng 2: M«men c¬ häc riªng
2.1 To¸n tö spin cña electron
Phï hîp víi nguyªn lÝ chung cña c¬ häc lîng tö, spin cña electron
ph¶i ®îc biÓu diÔn b»ng to¸n tö tuyÕn tÝnh Hermite. Chóng ta kÝ
hiÖu c¸c to¸n tö h×nh chiÕu spin lªn mét trôc täa ®é lÇn lît lµ zyx SSS ˆˆ,ˆ , .
C¸c to¸n tö nµy ph¶i tháa m·n c¸c hÖ thøc giao ho¸n:
yyxxz
xyzzy
zxyyx
SiSSSS
SiSSSS
SiSSSS
ˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆ
=−
=−
=−
(1)
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 32
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
H¬n n÷a vÕt chiÕu spin lªn mét ph¬ng bÊt k× chØ cã thÓ nhËn
hai gi¸ trÞ: 2
± . Do ®ã nh÷ng to¸n tö nµy ph¶i ®îc biÓu diÔn b½ng
nh÷ng ma trËn vu«ng cÊp hai, bëi v× chØ cã ma trËn vu«ng cÊp hai
míi cã 2 gi¸ trÞ riªng.
Ta ®Æt:
zzyyxx SSS σσσ ˆ2
ˆ,ˆ2
ˆ,ˆ2
ˆ === (2)
Víi ®iÒu kiÖn c¸c to¸n tö zyx σσσ ˆ,ˆ,ˆ ph¶i ®îc biÓu diÔn bëi c¸c
ma trËn vu«ng h¹ng hai vµ cã trÞ riªng lµ 1± .
Thay (1) vµo (2) ta ®îc hÖ thøc ®èi víi zyx σσσ ˆ,ˆ,ˆ nh sau:
yzxxz
xyzzy
zxyyx
i
i
i
σσσσσσσσσσσσσσσ
ˆ2ˆˆˆˆ
ˆ2ˆˆˆˆ
ˆ2ˆˆˆˆ
=−=−=−
V× c¸c gi¸ riªng cña iσ ( i= x,y,z) b»ng ±1, cho nªn gi¸ trÞ riªng
cña 2ˆiσ ph¶i b»ng 1. Nªn c¸c ma trËn nµy ph¶i cã d¹ng:
=
=
=10
01ˆ;
10
01ˆ;
10
01ˆ 222
zyx σσσ
C¸c to¸n tö zyx σσσ ˆ,ˆ,ˆ còng tháa m·n c¸c hÖ thøc ph¶n giao ho¸n:
0ˆˆˆˆ
0ˆˆˆˆ
0ˆˆˆˆ
=+=+=+
zxxz
yzzy
xyyx
σσσσσσσσσσσσ
Dùa vµo c¸c hÖ thøc ë trªn ta cã thÓ t×m ®îc d¹ng têng minh cña
ma trËn zyx σσσ ˆ,ˆ,ˆ mµ ta gäi lµ c¸c ma trËn Pauli:
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 33
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
−
=
−=
=10
01ˆ,
0
0ˆ,
01
10ˆ
zyx i
iσσσ
Khi ®ã d¹ng cña c¸c to¸n tö h×nh chiÕu Spin trong biÓu diÔn ZS
- chÐo cã d¹ng:
0 1ˆ ˆ1 02 2
0ˆ ˆ02 2
1 0ˆ ˆ0 12 2
x x
y y
Z z
S
iS
i
S
σ
σ
σ
= = ÷
−
= = ÷
= = ÷−
B»ng phÐp tÝnh ®¬n gi¶n ta t×m ®îc biÓu thøc cña to¸n tö b×nh
ph¬ng m«men Spin 2S :
ISSSS zyxˆ
2
11
2
1
10
01
4
3ˆˆˆˆ 222222
+=
=++=
trong ®ã : I lµ ma trËn ®¬n vÞ cÊp 2. Nh vËy gi¸ trÞ riªng cña
b×nh ph¬ng m«men Spin lµ: 22
2
11
2
1
+=S
§a vµo c¸c sè lîng tö s vµ ms lÇn lît x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña b×nh
ph¬ng Spin vµ h×nh chiÕu Spin:
( )
sz mS
ssS
=+= 22 1
Víi ms= -s,-s+1,…..+s.
2.2 Bµi tËp
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 34
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
Bµi 1: Chøng minh r»ng cã thÓ ®o ®ång thêi b×nh ph¬ng Spin
vµ h×nh chiÕu Spin lªn mét trôc.
Bµi gi¶i:
M«men c¬ häc riªng hay spin lµ ®¹i lîng vËt lÝ ®Æc trng cho h¹t
®îc biÓu diÔn b»ng to¸n tö S víi c¸c to¸n tö h×nh chiÕu zyx SSS ˆ;ˆ;ˆ tháa
m·n c¸c hÖ thøc giao ho¸n:
zxyyx SiSSSS ˆˆˆˆˆ =− (1)
xyzzy SiSSSS ˆˆˆˆˆ =− (2)
yzxxz SiSSSS ˆˆˆˆˆ =− (3)
Tõ (1) ta nh©n vµo ph¶i vµ tr¸i 2 vÕ víi yS sau ®ã céng vÕ víi
vÕ ta ®îc:
( )zyyzxyyx SSSSiSSSS ˆˆˆˆˆˆˆˆ 22 +=− (4)
Tõ (3) ta nh©n vµo ph¶i vµ tr¸i 2 vÕ víi zS sau ®ã céng vÕ víi
vÕ ta ®îc:
( )zyyzzxxz SSSSiSSSS ˆˆˆˆˆˆˆˆ 22 +−=+−
Hay: ( )xyyzxzzx SSSSiSSSS ˆˆˆˆˆˆˆˆ 2 +=− (5)
HiÓn nhiªn: 0ˆˆˆˆ 22 =− xxxx SSSS (6)
Céng (4) (5) (6) ta ®îc 0ˆˆˆˆ 22 =− xx SSSS hay 0]ˆ,ˆ[ 2 =xSS
Chøng minh t¬ng tù: 0]ˆ,ˆ[ 2 =ySS ; 0]ˆ,ˆ[ 2 =zSS
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 35
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
Nh vËy: 0]ˆ,ˆ[ 2 =iSS , víi i =x,y,z.
Hay cã thÓ ®o ®îc ®ång thêi b×nh ph¬ng spin vµ h×nh chiÕu
spin trªn cïng mét trôc.
Bµi 2: Chøng minh c¸c ma trËn pauli lµ nh÷ng ma trËn ph¶n
giao ho¸n
Bµi gi¶i
Ta xÐt ®¹i lîng: ( )xyyxi σσσσ ˆˆˆˆ2 + . Cã thÓ viÕt l¹i nh sau:
( )( ) ( )
0
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆ2ˆˆˆ2ˆˆˆˆ2
22
=
−+−=
−+−=+=+
yzyzyyzyzy
yzzyyyyzzy
xyyxxyyx iii
σσσσσσσσσσ
σσσσσσσσσσσσσσσσσσ
Nh vËy: 0ˆˆˆˆ =+ xyyx σσσσ hay { } 0ˆ,ˆ =yx σσ
T¬ng tù ta còng chøng minh ®îc: { }{ } 0ˆ,ˆ
0ˆ,ˆ
==
xz
zy
σσσσ
Nh vËy ta nãi r»ng c¸c ma trËn Pauli tháa m·n c¸c hÖ thøc ph¶n
giao ho¸n
Bµi 3: T×m gi¸ trÞ riªng cña tÝch v« híng 21ˆˆ SS cña hai electron
khi spin cña chóng lµ song song vµ ®èi song.
Bµi gi¶i
To¸n tö spin cña hÖ hai electron : 21ˆˆˆ SSS += (1)
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 36
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
trong ®ã :
( )( )
( ) 22
2
22
2
2
2
11
2
1
1
1
1
+=+=+=
ssS
ssS
ssS
B×nh ph¬ng hai vÕ cña (1) vµ chó ý : 1221ˆˆˆˆ SSSS = ta cã
2
ˆˆˆˆˆ
2
2
2
1
2
21
SSSSS
−−=
C¸c to¸n tö 2
2
2
121ˆ,ˆ,ˆˆ SSSS giao ho¸n víi 2S nªn chóng cã chung
hµm riªng ψ
( ) ( ) ( ){ }ψ
ψψ
1112
2
ˆˆˆˆˆ
2211
2
2
2
2
1
2
21
+−+−+=
−−=
ssssss
SSSSS
§èi víi electron th× : s1 = s2 = 2
1
Khi ®ã gi¸ trÞ riªng cña 21ˆˆ SS lµ ( )
−+
23
12
2
ss
Khi spin cña hai electron lµ ®èi song th× s = 1. Nªn trÞ riªng cña
21ˆˆ SS lµ
4
2
Khi spin cña hai electron lµ song song th× s = 0. Nªn trÞ riªng
cña 21ˆˆ SS lµ
4
3 2− .
Bµi 4: H¹t cã spin b»ng bao nhiªu nÕu c¸c to¸n tö h×nh chiÕu
spin cña nã cã d¹ng 32,1ˆ,ˆ,ˆ βββ === zyx SSS
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 37
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
Trong ®ã ( ) ( ) ++++ −=−=+= βββββββββββ 321 ,2
,2
1 i
Víi
=
= +
010
001
000
,
000
100
010
ββ
Bµi gi¶i:
Ta cã:
( ) ( )( )
I2
2
.2)(2
)(2
1
2
1
22
2222
3
2
2
2
1
==
−++=
−+−−+=++
+
+++++
++++
ββββββββββββ
βββββββββββ
víi I lµ ma trËn ®¬n vÞ
MÆt kh¸c l¹i cã :
( ) ISSSS zyx
22
3
2
2
2
1
22222 2ˆˆˆˆ =++=++= βββ
Vµ ( ) 22 1 += ssS
Do dã s =1. Hay spin cña h¹t b»ng 1
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 38
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
C. KÕT LUËN
Trong phÇn luËn v¨n nµy t«i ®· bíc ®Çu t×m hiÓu ®îc lÝ thuyÕt
lîng tö vÒ m«men xung lîng vµ m«men spin. Tõ ®ã ®a ra ®îc quy t¾c
céng m«men xung lîng.
§· ¸p dông ®îc lÝ thuyÕt lîng tö vÒ m«men xung lîng, quy t¾c
céng m«men xung lîng cho hÖ hai h¹t kh«ng t¬ng t¸c ®Ó lµm mét sè
bµi tËp vÒ céng m«men xung lîng, m«men spin.
Tuy nhiªn, do thêi gian ®äc,t×m hiÓu vµ nghiªn cøu luËn v¨n cßn
Ýt nªn t«i cha ®a ra ®îc quy t¾c céng m«men xung lîng cho hÖ nhiÒu
h¹t hoÆc hÖ c¸c h¹t t¬ng t¸c.
NÕu cã thêi gian nhiÒu h¬n n÷a th× luËn v¨n cña t«i sÏ hoµn
thiÖn h¬n. KÝnh mong sù ®ãng gãp ý kiÕn cña c¸c thÇy c«.
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 39
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 40