Kinematika1

Oleh : Abdurrouf2

0.1 Tujuan

Setelah mempelajari bab ini, diharapkan peserta dapat memahami pengertian berbagaigerak, yaitu gerak lurus, gerak parabola, dan gerak melingkar, serta mampu menerapkan

konsep gerak untuk memecahkan problem gerak pada kehidupan riil.

0.2 Ringkasan

Kinematika adalah cabang fisika yang membahas gerak tanpa memperhatikan (gaya) penye-babnya. Yang menjadi titik tekan pada kinematika adalah lintasan benda sebagai fungsi waktu.Pada kinematika, didefinisikan tiga besaran pokok, yaitu

• Posisi, r = (x, y, z), yang melambangkan kedudukan suatu benda pada saat tertentu,relatif terhadap titik acuan yang dipilih.

• Kecepatan, v = drdt

=(

dxdt

, dydt

, dzdt

), adalah perubahan posisi terhadap waktu

• Percepatan, a = dvdt

= d2rdt2

=(

d2xdt2

, d2ydt2

, d2ydt2

), adalah perubahan percepatan terhadap

waktu

Berdasarkan bentuk lintasannya, gerak dapat dibedakan atas

• Gerak lurus: yaitu gerak dengan lintasan berupa garis lurus. Gerak lurus terbagi atas

– gerak lurus beraturan (GLB): jika percepatannya nol

– gerak lurus berubah beraturan (GLBB): jika percepatannya konstan

– gerak lurus berubah tak beraturan (GLBTB): jika percepatannya tidak konstan

• Gerak melingkar: yaitu gerak dengan lintasan berupa lingkaran. Gerak melingkar terbagiatas

– gerak melingkar beraturan (GMB): jika percepatan sudutnya nol

1Disampaikan pada training of trainer (ToT) untuk guru-guru fisika SMA se-Jawa Timur, di Hotel Orchid,Batu, Malang, pada tanggal 18 Agustus - 2 September 2010

2Dr. rer. nat. Abdurrouf, S.Si., M.Si., adalah staf pengajar di Jurusan Fisika FMIPA UB. Saat ini juga tercatatsebagai Pembina Olimpiade Bidang Studi Fisika Tingkat Propinsi Jawa Timur. Penulis juga aktif di kegiatan CIBI.

1

– gerak melingkar berubah beraturan (GMBB): jika percepatan sudutnya konstan

– gerak melingkar berubah tak beraturan (GMBTB): jika percepatan sudutnya tidakkonstan

• Gerak parabola: yaitu gerak dengan lintasan berupa parabola. Gerak parabola merupakankombinasi GLB dalam arah horizontal (sumbu-x) dan GLBB dalam arah vertikal (sumbu-y)

Berikut diuraikan secara singkat, beberapa persamaan tentang gerak di atas.

• Gerak lurus beraturan (GLB)

Misalkan benda bergerak seoanjang sumbu−x, maka

– a = 0 (ciri utama GLB)

– v =∫

adt = konstan (tetapan gerak)

– x =∫

vdt = x0 + v0t

• Gerak lurus berubah beraturan (GLBB)

Misalkan benda bergerak seoanjang sumbu−x, maka

– a = konstan (tetapan gerak dan ciri utama GLBB)

– v =∫

adt = v0 + at

– x =∫

vdt = x0 + v0t + 12at2

– v2 = v20 + 2a (x− x0)

• Gerak lurus berubah tak beraturan (GLBTB)

Misalkan benda bergerak seoanjang sumbu−x, maka

– a = f(t) (ciri utama GLBTB)

– v =∫

adt =∫

f(t)dt

– x =∫

vdt =∫ ∫

f(t) dt dt

• Gerak melingkar beraturan (GMB)

Misalkan benda bergerak melingkar pada bidang xy dengan jari-jari r dan arah putaranberlawanan dengan arah jarum jam. Besaran angulernya adalah

– α = 0 (ciri utama GMB)

2

– ω =∫

αdt = konstan (tetapan gerak)

– θ =∫

ωdt = θ0 + ωt

Sedangkan besaran linier yang terkait adalah

– r = r cos θx + r sin θy

– v = ω × r (kecepatan tegak lurus jari-jari)

– a = ω × (ω × r) = −ω2rr = −v2

rr (percepatan menuju pusat lingkaran)

• Gerak melingkar berubah beraturan (GMBB)

Misalkan benda bergerak melingkar pada bidang xy dengan jari-jari r dan arah putaranberlawanan dengan arah jarum jam. Besaran angulernya adalah

– α = konstan (tetapan gerak dan ciri utama GMB)

– ω =∫

αdt = ω0 + αt

– θ =∫

ωdt = θ0 + ωt + 12αt2

– ω2 = ω20 + 2α (θ − θ0)

Sedangkan besaran linier yang terkait adalah

– r = r cos θx + r sin θy

– v = ω × r (kecepatan tegak lurus jari-jari)

– a = ω × (ω × r) + α× r = −ω2rr + αrθ = −v2

rr + αrθ

(v2

rdikenal sebagai percepatan sentripetal dan menuju pusat lingkaran, sedang αr

dikenal sebagai percepatan tangensial dan arahnya tegak lurus r, pada garis sing-gung lingkaran)

• Gerak parabola

Gerak parabola merupakan kombinasi antara GLB dalam arah mendatar (sumbu-x) danGLBB dalam arah vertikal (sumbu-y). Jika benda dilepaskan dengan kecepatan awal v0

dengan sudut elevasi α terhadap bidang horizontal, maka didapatkan:

– vx = v0.x = v0 cos α

– x =∫

vxdx = x0 + v0 cos αt

– vy = v0,y − gt = v0 sin α− gt

– y =∫

vydt = y0 + v0 sin αt− 12gt2

3

Jika benda dilepaskan dari titik pusat koordinat (x0 = 0, y0 = 0), maka didapatkan kon-disi ekstrim, yaitu:

– ketinggian maksimum diperoleh ketika vy = 0 atau tmaks = v0 sin αg

– ketinggian vertikal maksimum diperoleh ketika t = tmaks sehingga ymaks =v20 sin2 α

2g

– jarak horizontal maksimum diperoleh ketika t = 2tmaks sehingga xmaks =v20 sin 2α

g

0.3 Contoh Soal dengan Penyelesaian

1. Soal OSK tahun 2006 : GLB

Seorang berjalan menuruni sebuah tangga eskalator yang sedang bergerak turun memer-lukan waktu 1 menit. Jika kecepatan berjalannya diduakalikan maka memerlukan waktu40 detik. Berapa waktu yang diperlukan jika orang tersebut relax (diam)?

Penyelesaian

Ketika orang tersebut bergerak dengan kecepatan vomaka persamaan geraknya adalah

s1 = (ve + vo) 60,

di mana ve adalah kecepatan eskalator. Ketika orang tersebut bergerak dengan kecepatan2vo, maka persamaan geraknya adalah

s2 = (ve + 2vo) 40.

Karena s1 = s2, maka(ve + vo) 60 = (ve + 2vo) 40,

di mana didapatkan vo = ve. Jika orang tersebut diam, maka persamaan geraknya adalah

s3 = vet.

Karena s3 = s1, maka dapat diperoleh

(ve + vo) 60 = vet.

Selanjutnya dengan memanfaatkan fakta bahwa vo = ve, maka didapatkan t = 120 s.

2. Soal OSK tahun 2006: GLBB - gerak jatuh bebas

Sebuah koin dijatuhkan ke dalam sebuah sumur. Jika waktu total dari koin mulai dijatuhk-an sampai terdengar bunyi pantulan bahwa koin telah menyentuh permukaan air adalah

4

T , dan kecepatan gelombang suara v serta percepatan gravitasi g, nyatakan kedalamanpermukaan air sumur dalam T , v, dan g.

Penyelesaian

Waktu total T yang dicatat adalah jumlahan dari waktu jatuh (yaitu waktu yang dibutuhk-an benda untuk jatuh bebas dari pengamat mencapai dasar sumur) dan waktu naik (yaituwaktu yang dibutuhkan bunyi untuk bergerak lurus beraturan dari dasar sumur mencapaipengamat). Dengan demikian

T = tjatuh benda + tnaik bunyi

=

√2h

g+

h

v.

Persamaan di atas dapat ditulis sebagai persamaan kuadrat dalam variabel h sebagai ber-ikut

gh2 −(2Tvg − 2v2

)h + T 2v2g = 0.

Solusi dari persamaan tersebut adalah

h1,2 = Tv +v2

g

1±√

1 +2gT

v

.

Perhatikan bahwa masing suku pada sisi kanan memiliki dimensi panjang (hal ini me-rupakan salah satu cara untuk mengecek kebenaran solusi yang didapatkan). Solusi diatas memiliki 2 nilai yang mungkin, dan dua-duanya benar secara matematis. Sekalipundemikian, secara fisis hanya ada satu solusi yang benar. Untuk itu kita perhatikan sukukanan. Jika benda jatuh dengan laju konstan sama dengan kecepatan bunyi v, maka jaraksumur kedalaman sumur seharusnya Tv. Karena benda bergerak lebih pelan dari bunyi,maka kedalaman sumur harus lebih besar dari Tv. Itu berarti suku v2

g

(1±

√1 + 2gT

v

)harus bernilai positif. Selanjutnya, karena

√1 + 2gT

v≥ 1, maka solusi yang benar secara

fisis adalah

h = Tv +v2

g

1 +

√1 +

2gT

v

.

3. Soal OSK tahun 2009: GLBB - gerak jatuh bebas

(12 poin) Sebuah keran yang bocor mempunyai air yang menetes turun secara teratur(tetes air jatuh tiap suatu selang waktu yang sama, T ) dalam sebuah medan gravitasikonstan. Pada suatu saat, sebuah tetes air (namakan tetes 1) sudah berada pada jarak 16a

dari keran (dengan a sebuah konstanta). Di atasnya ada 3 tetes air (namakan tetes 2, tetes3 dan tetes 4) yang jatuh terturut-turut setelah tetes 1 dan ada satu tetes (namakan tetes

5

5) yang baru persis akan terlepas dari keran. Tentukan posisi tetes air 2, 3, dan 4 saat itu(dihitung relatif terhadap keran). Nyatakan jawaban anda hanya dalam konstanta a.

Penyelesaian

Karena tetes ke-5 tepat akan jatuh, berarti tetes ke-1 sudah jatuh selama t1 = (5− 1)T =

4T , sehinggapersamaan geraknya adalah

16a =1

2g(4T )2 = 8gT 2,

sehingga didapatkan

T 2 =2a

g.

Berikutnya dapat dihitung posisi dari tetes ke-2, 3, 4, dan 5, sebagai berikut

• Tetes ke-2: y2 = 12g(3T )2 = 9

2gT 2 = 9a

• Tetes ke-3: y3 = 12g(2T )2 = 2gT 2 = 4a

• Tetes ke-4: y2 = 12g(T )2 = 1

2gT 2 = a

• Tetes ke-4: y2 = 12g(0.T )2 = 0

4. Gerak parabola

Seorang pemanah melepaskan panah dengan kecepatan 45 m/s pada sudut 500 diatas ho-rizontal. Temannya berdiri dengan jarak 150 m melempar apel ke atas dengan kecepatanawal tertentu. Bila panah tersebut bisa mengenai apel pada saat apel berada di puncak,tentukan.

a. kecepatan awal apel

b. waktu apel sampai terkena panah

Penyelesaian

Waktu yang dibutuhakan anak panah untuk mencapai apel adalah

t =d

v0 cos α=

150

45 cos 500= 5, 19 s.

Pada selang tersebut, apel mencapai ketinggian

y = ymaks = v0 sin 500 × 5, 19− 1

210× 5, 192s.

Untuk menempuh jarak tersebut, apel membutuhkan kecepatan awal

v2f − v2

i = −2gymaks,

6

di mana untuk vf = 0, diperoleh vi = 30, 3 m/s. Untuk menempuh jarak tersebut, apelmembutuhkan waktu

t =vi

g= 3.03 s.

5. Soal OSK tahun 2006: Gerak parabola

Seorang pemain ski melompat dengan sudut 370 dan laju v0 = 10 m/s, kemudian Iamendarat dan menempuh jarak sejauh l pada bidang miring (lihat gambar). Jika sudutkemiringan bidang 450; tentukan jarak l yang ditempuh. (asumsikan g = 10 m/s2 dansin 370 = 0, 6)

Penyelesaian

Sudut elevasi adalah α = 370 dengan kemiringan bidang β = 450. Kita pakai koordinatbaru, di mana sumbu-x adalah arah permukaan bidang l, sedang sumbu-y tegak lurus per-mukaan bidang. Dalam koordinat tersebut, benda akan mengalami percepatan gravitasidi kedua sumbu, sbb

gx = g sin β (1)

gy = g cos β. (2)

Dalam koordinat baru, sudut elevasi diukur terhadap bidang miring dan besarnya adalah

γ = α + β. (3)

Sekarang kita tinjau titik dengan ketinggian maksimum ymaks , di mana

vy = v0 sin γ − gytmaks = 0,

yang memberikan kita

tmaks =v0 sin γ

gy

.

7

Untuk mencapai jarak horizontal maksimum l, diperlukan waktu tempuh 2tmaks sehingga

l = v0 cos γ

(2v0 sin γ

gy

)+

1

2gx

(2v0 sin γ

gy

)2

=v2

0 sin 2γ

gy

+2gxv

20 sin2 γ

g2y

= v20

(sin 2γ

gy

+2gx sin2 γ

g2y

)

Dengan memasukkan persamaan (1-3), diperoleh

l =v2

0

g

(sin 2(α + β)

cos β+

2 sin2(α + β)

cos β cot β

).

Kita masukkan nilai numerik α = 370, β = 450, v0 = 10 ms−1, serta g = 10 ms−2,didapatkan l ≈ 31, 5845 m.

Catatan: Nilai sin2(α + β) dan sin 2(α + β) dapat dihitung sebagai berikut

sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α

cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

sin 2(α + β) = 2 sin(α + β) cos(α + β).

0.4 Soal Latihan

1. Soal OSK tahun 2008: GLBB - elevator

Sebuah elevator naik ke atas dengan percepatan a. Saat ketinggian elevator terhadap tanahadalah h dan kecepatannya adalah v (anggap t = 0), sebuah bola dilempar vertikal ke atasdengan laju vb relatif terhadap elevator. Percepatan gravitasi adalah g.

(a) Hitung waktu yang diperlukan bola (t1) untuk mencapai ketinggian maksimum re-latif terhadap bumi! (1 poin)

(b) Hitung ketinggian maksimum bola relatif terhadap tanah! (2 poin)

(c) Hitung percepatan bola relatif terhadap kerangka elevator! (1 poin)

(d) Hitung waktu yang diperlukan bola (t2) untuk mencapai ketinggian maksimum re-latif terhadap elevator! (2 poin)

(e) Hitung ketinggian maksimum bola relatif terhadap elevator! (1 poin)

(f) Kapan bola kembali menyentuh elevator? (2 poin)

8

2. Soal OSP tahun 2004: GLBB

Accelerometer sederhana (alat untuk mengukur percepatan) dapat dibuat dengan caramengisi sebuah bejana bengkok dengan cairan (lihat gambar). Selama bergerak ke kiridengan percepatan tetap a, ketinggian permukaan cairan pada lengan kiri h1 dan keting-gian permukaan pada lengan kanan h2. Tentukan percepatan a pada kondisi seperti ini.Asumsikan diameter bejana jauh lebih kecil dari h1 maupun h2.

3. Gerak Parabola

Carilah sudut lemparan sedemikian sehingga ketinggian maksimum sebuah proyektil sa-ma dengan jangkauan horizontalnya! (Jawab: α = tan−1 4 = 760)

4. Gerak Parabola

Seseorang menendang bola dari tepi atap rumah dengan arah sejajar horizontal. Bolatersebut nyemplung ke kolam renang dan terdengar suara kecemplung setelah 3.0 s ke-mudian. Bila ketinggian rumah 40 m, berapa kecepatan awal bola (Anggap kecepatansuara adalah 343 m/s)

5. Gerak Parabola

Sebuah kaleng bekas dilemparkan keluar jendela gedung. Kaleng tersebut mempunyaikecepatan awal 8.0 m/s dan membentuk sudut 200 di bawah horizontal. Kaleng tersebutmenyentuh tanah dalam waktu 3.0 s.

(a) Berapa jarak horizontal dari gedung sampai tempat dimana kaleng tersebut menyen-tuh tanah?

(b) Berapa ketinggian awal bola ketika dilemparkan?

6. Paduan gerak

Suatu kelereng dijatuhkan bebas mulai dilepas di A dari tabung AB yang condong θ0

terhadap mendatar. Supaya kelereng dapat jatuh keluar dari lubang bawah B dan tanpamenyentuh pipa, carilah percepatan mendatar tabung yang harus diberikan! (Jawab: a =

gtan θ

)

9

7. Paduan gerak

Dua titik zat A dan B masing-masing berjarak L m. Titik zat A bergerak menuju keB dengan kecepatan awal v m/s dan dipercepat a m/s2. Setelah 2 sekon kemudian, B

bergerak menuju A dengan kecepatan awal 3v m/s dan diperlambat beraturan −a m/s2.Kapan dan di mana mereka saling bertemu? (Jawab: Keduanya bertemu setelah titikA bergerak sejauh sA = 6Lv2+16avL+24v3+76av2+32a2v+aL2+4a2L+4a3

32v2+32av+8a2 dengan waktu tempuhtA = L+6v+2a

4v+2a)

8. Paduan gerak

Bola A dijatuhkan dari puncak sebuah bangunan. Pada saat yang sama bola B dilem-parkan vertikal ke atas dari tanah. Ketika bola bertumbukan, keduanya sedang bergerakdalam arah berlawanan, dengan laju bola A dua kali laju bola B. Pada berapa bagian daribangunan tumbukan itu terjadi? (Jawab: Keduanya bertemu pada saat bola B mencapai23

tinggi gedung, atau hB = 23h)

10

9. Paduan gerak

Ketika sebuah mobil bergerak dengan laju v1 membelok dari sebuah pojok, pengemudimelihat mobil lain pada jarak d di depan, yang bergerak pada arah yang sama denganlaju lebih rendah v2. Jika percepatan maksimum yang dapat ditimbulkan rem pengemudiadalah a, tunjukkan bahwa jarak d harus lebih besar dari (v1−v2)2

2asupaya tumbukan dapat

dihindari.

10. Paduan gerak

Mesin sebuah mobil disein sehingga bisa menghasilkan percepatan maksimum a, danperlambatan maksimum 2a. Mobil harus menempuh jarak yang pendek L, dengan sya-rat mobil berawal dari keadaan diam di awal lintasan dan diam di akhir lintasan. Supayamaktu tempuh yang dibutuhkan T bernilai minimum, maka mobil harus bergerak diperce-pat di awal lintasan, dan dilanjutkan dengan perlambatan di akhir lintasan. Setelah berapabagian dari L, pengendara harus memindahkan kakinya dari pedal gas ke rem, dan berapabagian dari waktu untuk perjalanan itu telah berlalu di titik tersebut? (Jawab: mobil harusdiperlambat setelah menempuh 2/3 jarak total dengan waktu tempuh 2/3 waktu tempuhtotal, atau S1 = 2

3L dan t1 = 2

3T )

11

11. Paduan gerak

Sebuah peluru A ditembakkan dengan sudut elevasi α1. Setelah waktu T , peluru B di-tembakkan dari tempat yang sama dengan sudut elevasi α2. Jika kecepatan awal keduapeluru sama yaitu vo, hitung waktu sela antara kedua tembakan T agar kedua peluru ber-tumbukan di udara! (Jawab: T = 2vo(cos α1−cos α2)

cos α1+cos α2)

12. Paduan gerak

Suatu mobil bergerak dari keadaan diam dan dipercepat dengan percepatan α. Setelahselang waktu tertentu, mobil kemudian diperlambat dengan perlambatan β hingga ber-henti. Jika waktu total adalah t, hitung kecepatan maksimum yang dapat dicapai olehmobil tersebut. Hitung juga jarak total yang ditempuh oleh mobil. (Jawab: vmaks = αβt

α+β

dan s = αβt2

2(α+β)= 1

2vmakst)

13. Soal OSN tahun 2000: Paduan gerak

Sebuah mobil bergerak dari keadaan diam dengan percepatan α selama waktu t. Mobilkemudian bergerak dengan kecepatan konstan. Setelah itu mobil diperlambat denganpercepatan β selama waktu 1

2t. Jika kecepatan rata-rata mobil itu v, hitung berapa lama

mobil bergerak dengan kecepatan tetap? .

12

14. Soal OSN tahun 2000: Paduan gerak

Pada gerak peluru, berapa percepatan di titik tertinggi (abaikan gesekan udara dan angin)?

(a) Nol

(b) g

(c) tidak dapat ditentukan

15. Soal OSN tahun 2000: Paduan GLB + GMB

Seorang berada di ujung meja berputar. Kemudian ia menjatuhkan sebuah paku. Gam-barkan lintasan paku dari saat mulai dijatuhkan hingga mengenai tanah.

16. Soal OSN tahun 2000: Paduangerak

Sebuah kotak dengan tutup terbuka bergerak dengan kecepatan konstan. Kemudian huj-an turun vertikal sehingga kotak terisi air. Selama air mengisi kotak apa yang terjadi(bertambah, berkurang atau tetap) dengan:

(a) laju kotak dan isinya

(b) momentum kotak dan isinya

(c) energi kinetik kotak dan isinya

17. Soal OSN tahun 2000: Paduan gerak

Pada soal di atas, setelah kotak terisi penuh air, hujan berhenti. Bagian bawah kotakdilubangi sehingga air mengalir keluar kotak. Apa yang terjadi (bertambah, berkurangatau tetap) dengan:

(a) laju kotak dan isinya

(b) momentum kotak dan isinya

(c) energi kinetik kotak dan isinya

18. Soal OSN tahun 2000: Paduan gerak

Sebuah tank bergerak horizontal dengan V1 relatif terhadap pengamat yang diam, kemu-dian tank tersebut menembakkan peluru dengan kecepatan V2 relatif terhadap tank dengansudut θ terhadap V1 (V2 =

√2V1). Pada saat tank menembakkan peluru, sebuah target

13

yang terletak pada jarak mendatar X di depannya jatuh bebas dari ketinggian H diukurdari posisi mula-mula peluru jika peluru mengenai target. Hitung H

X(nyatakan dalam θ).

14