1

KINEMATIKA

Kinematika je grana mehanike u kojoj proučavamo opšta geometrijska svojstva kretanja tela, ne vodeći računa o materijalnosti tela, kao ni o silama koje proizvode ova kretanja.

U kinematici, kao i u statici, razmatramo samo kruta tela za koje pretpostavljamo da ne menjaju svoj oblik, odnosno da se ne deformišu.

Svako telo možemo posmatrati kao da je sastavljeno iz velikog broja malih delića (ako su dimenzije male, možemo ih zanemariti i dolazimo do pojma tačke).

Obično je lakše ispitati kretanje pojedinih tačaka tela nego kretanje celog tela, stoga se zakonitosti izlažu sledećim redom:

• kinematika tačke, • kinematika krutog tela.

Pod kretanjem nekog tela podrazumevamo promenu položaja tela u toku vremena, a u odnosu na druga tela u prostoru.

Kretanje nekog tela je poznato ako možemo u svakom trenutku vremena odrediti položaj tela u odnosu na usvojeni osnovni koordinatni sistem.

U kinematici vreme (𝑡𝑡) usvajamo za nezavisno promenljivu veličinu, dok sve ostale promenljive veličine, brzinu, ubrzanje i druge, razmatramo kao veličine zavisne od vremena. Vreme računamo od početnog trenutka (𝑡𝑡 = 0) – po dogovoru, a razliku između dva trenutka vremena nazivamo vremenski razmak ili interval.

Putanja ili trajektorija je geometrijsko mesto položaja koje zauzima pokretna tačka pri svom kretanju u odnosu na usvojeni osnovni koordinatni sistem.

Putanja može biti prava linija (pravolinijsko kretanje) ili kriva linija (krivolinijsko kretanje). Ako tačka u jednakim vremenskim intervalima prelazi jednake odsečke putanje, odnosno jednake puteve, kretanje tačke je ravnomerno ili jednoliko. U obratnom slučaju, kretanje je neravnomerno ili promenljivo.

Veličine i jedinice

1. Vreme 𝑡𝑡[𝑠𝑠] 2. Pređeni put 𝑠𝑠[𝑚𝑚]

3. Brzina 𝜐𝜐 = �̇�𝑠 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑�𝑚𝑚𝑑𝑑�

4. Ubrzanje 𝑎𝑎 = �̇�𝜐 = �̈�𝑠 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

= 𝑑𝑑2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑2

�𝑚𝑚𝑑𝑑2�

5. Ugaona brzina i broj obrtaja • položaj [𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟]

• ugaona brzina 𝜔𝜔 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

= �̇�𝜑 = �𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑� ; �1

𝑑𝑑�

• broj obrtaja u minuti 𝑁𝑁 �𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑜𝑜𝑟𝑟𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

� ; � 1𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

�

• broj obrtaja u sekundi 𝑛𝑛 = 𝑁𝑁60�𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑜𝑜𝑟𝑟

𝑑𝑑� ; �1

𝑑𝑑�

• veza između broja obrtaja i ugaone brzine 𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋𝑛𝑛 = 𝜋𝜋𝑁𝑁30

6. Ugaono ubrzanje �̇�𝜔 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

= �̈�𝜑 = 𝑑𝑑2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑2

= �𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑2� ; � 1

𝑑𝑑2�

2

Koordinatni sistemi

1. Dekartov pravougli koordinatni sistem (ortogonalni koordinatni sistem)

𝑟𝑟 = �𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2

2. Polarno – cilindrični koordinatni sistem

𝜌𝜌 = �𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2

𝜑𝜑 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎 tg 𝑦𝑦𝑥𝑥

𝑧𝑧 = 𝑧𝑧

𝑥𝑥 = 𝜌𝜌 cos𝜑𝜑

𝑦𝑦 = 𝜌𝜌 sin𝜑𝜑

3

3. Sferni koordinatni sistem

𝜌𝜌 = 𝑟𝑟 sin𝜃𝜃 =�𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2

𝑥𝑥 = 𝜌𝜌 cos𝜑𝜑 = 𝑟𝑟 sin𝜃𝜃 cos𝜑𝜑

𝑦𝑦 = 𝜌𝜌 sin𝜑𝜑 = 𝑟𝑟 sin𝜃𝜃 sin𝜑𝜑

𝑧𝑧 = 𝑟𝑟 cos 𝜃𝜃

𝑟𝑟 = �𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 = �𝜌𝜌2 + 𝑧𝑧2

𝜃𝜃 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎 tg 𝜌𝜌𝑧𝑧

𝜃𝜃 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎 tg �𝑥𝑥2+𝑦𝑦2 𝑧𝑧

4. Prirodni koordinatni sistem

4

𝑇𝑇 – tangenta na putanju

𝑁𝑁 – glavna normala u pravcu poluprečnika usmerena ka središtu krivine putanje

𝐵𝐵 – binormala – upravna na pravce 𝑀𝑀𝑇𝑇 i 𝑁𝑁𝑀𝑀

𝑇𝑇 i 𝑁𝑁 obrazuju ravan krivine (oskulatorna ravan)

𝑁𝑁 i 𝐵𝐵 obrazuju normalnu ravan

𝐵𝐵 i 𝑇𝑇 obrazuju rektifikacijsku ravan

Prirodni koordinatni sistem je vezan za tačku 𝑀𝑀 i menja se sa njom.

Određivanje brzine i ubrzanja tačke u Dekartovom koordinatnom sistemu

𝑥𝑥 – pređeni put po 𝑥𝑥 osi

𝑦𝑦 – pređeni put po 𝑦𝑦 osi

𝜐𝜐𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑

= �̇�𝑥 – brzina tačke po 𝑥𝑥 osi

𝜐𝜐𝑦𝑦 = 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑

= �̇�𝑦 – brzina tačke po 𝑦𝑦 osi

𝜐𝜐 = �𝜐𝜐𝑥𝑥2 + 𝜐𝜐𝑦𝑦2 – ukupna brzina tačke

𝑎𝑎𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑

= 𝑑𝑑�̇�𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑

= 𝑑𝑑2𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑2

– ubrzanje tačke po 𝑥𝑥 osi

𝑎𝑎𝑦𝑦 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑

= 𝑑𝑑�̇�𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑

= 𝑑𝑑2𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑2

– ubrzanje tačke po 𝑥𝑥 osi

𝑎𝑎 = �𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎𝑦𝑦2 – ukupno ubrzanje tačke

5

Zadatak 1: Kretanje tačke određeno je jednačinama

𝑥𝑥 = 8𝑡𝑡 − 4𝑡𝑡2

𝑦𝑦 = 6𝑡𝑡 − 3𝑡𝑡2

(𝑥𝑥,𝑦𝑦 – u metrima, 𝑡𝑡 – u sekundama)

Odrediti trajektoriju (putanju), brzinu i ubrzanje tačke.

Rešenje:

Trajektorija (putanja)

Brzina

Ubrzanje

𝑥𝑥 = 8𝑡𝑡 − 4𝑡𝑡2 /∙ 3 𝑦𝑦 = 6𝑡𝑡 − 3𝑡𝑡2 /∙ (−4)

𝜐𝜐𝑥𝑥 = �̇�𝑥 = 8 − 8𝑡𝑡 = 8(1 − 𝑡𝑡) 𝜐𝜐𝑦𝑦 = �̇�𝑦 = 6 − 6𝑡𝑡 = 6(1 − 𝑡𝑡)

𝑎𝑎𝑥𝑥 = �̈�𝑥 = 8 𝑎𝑎𝑦𝑦 = �̈�𝑦 = 6

3𝑥𝑥 = 24𝑡𝑡 − 12𝑡𝑡2 −4𝑦𝑦 = −24𝑡𝑡 + 12𝑡𝑡2

𝜐𝜐 = �𝜐𝜐𝑥𝑥2 + 𝜐𝜐𝑦𝑦2

𝑎𝑎 = �𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎𝑦𝑦2

3𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = 0

𝜐𝜐 = ��8(1 − 𝑡𝑡)�2 + �6(1 − 𝑡𝑡)�2

𝑎𝑎 = �82 + 62

𝑦𝑦 =34𝑥𝑥

𝜐𝜐 = �64(1 − 𝑡𝑡)2 + 36(1 − 𝑡𝑡)2

𝑎𝑎 = √64 + 36

𝜐𝜐 = �100(1 − 𝑡𝑡)2

𝑎𝑎 = √100

𝜐𝜐 = 10(1 − 𝑡𝑡) �𝑚𝑚𝑠𝑠�

𝑎𝑎 = 10 �

𝑚𝑚𝑠𝑠2�

S obzirom da je ubrzanje konstantno, ovo kretanje je ravnomerno promenljivo kretanje.

6

Zadatak 2: Kretanje tačke određeno je jednačinama

𝑥𝑥 = 4 cos 2𝑡𝑡 + 3 sin 2𝑡𝑡

𝑦𝑦 = 3 cos 2𝑡𝑡 − 4 sin 2𝑡𝑡

(𝑥𝑥,𝑦𝑦 – u metrima, 𝑡𝑡 – u sekundama)

Odrediti trajektoriju (putanju), brzinu i ubrzanje tačke u trenutku kada je 𝑡𝑡 = 𝜋𝜋[𝑠𝑠]

Rešenje:

Trajektorija (putanja)

𝑥𝑥 = 4 cos 2𝑡𝑡 + 3 sin 2𝑡𝑡 /∙ 4 𝑦𝑦 = 3 cos 2𝑡𝑡 − 4 sin 2𝑡𝑡 /∙ 3

𝑥𝑥 = 4 cos 2𝑡𝑡 + 3 sin 2𝑡𝑡 /∙ 3 𝑦𝑦 = 3 cos 2𝑡𝑡 − 4 sin 2𝑡𝑡 /∙ (−4)

4𝑥𝑥 = 16 cos 2𝑡𝑡 + 12 sin 2𝑡𝑡 3𝑦𝑦 = 9 cos 2𝑡𝑡 − 12 sin 2𝑡𝑡

3𝑥𝑥 = 12 cos 2𝑡𝑡 + 9 sin 2𝑡𝑡 −4𝑦𝑦 = −12 cos 2𝑡𝑡 + 16 sin 2𝑡𝑡

4𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 25 cos 2𝑡𝑡

3𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = 25 sin 2𝑡𝑡

cos 2𝑡𝑡 =4𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦

25

sin 2𝑡𝑡 =

3𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦25

Dobijene jednačine kvadrirati i sabrati

sin2 2𝑡𝑡 + cos2 2𝑡𝑡 = �3𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦

25�2

+ �4𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦

25�2

1 =(3𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦)2

252+

(4𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦)2

252

252 = 9𝑥𝑥2 − 24𝑥𝑥𝑦𝑦 + 16𝑦𝑦2 + 16𝑥𝑥2 + 24𝑥𝑥𝑦𝑦 + 9𝑦𝑦2

252 = 25𝑥𝑥2 + 25𝑦𝑦2

𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 25

Brzina Ubrzanje �̇�𝑥 = −4 sin 2𝑡𝑡 ∙ 2 + 3 cos 2𝑡𝑡 ∙ 2 �̇�𝑦 = −3 sin 2𝑡𝑡 ∙ 2 − 4 cos 2𝑡𝑡 ∙ 2

�̈�𝑥 = −8 cos 2𝑡𝑡 ∙ 2 − 6 sin 2𝑡𝑡 ∙ 2 �̈�𝑦 = −6 cos 2𝑡𝑡 ∙ 2 + 8 sin 2𝑡𝑡 ∙ 2

Kada je 𝑡𝑡 = 𝜋𝜋[𝑠𝑠]:

�̇�𝑥 = −8 sin 2𝜋𝜋 + 6 cos 2𝜋𝜋 �̇�𝑦 = −6 sin 2𝜋𝜋 − 8 cos 2𝜋𝜋

�̈�𝑥 = −16 cos 2𝜋𝜋 − 12 sin 2𝜋𝜋 �̈�𝑦 = −12 cos 2𝜋𝜋 + 16 sin 2𝜋𝜋

�̇�𝑥 = 6 �̇�𝑦 = −8

�̈�𝑥 = −16 �̈�𝑦 = −12

𝜐𝜐 = ��̇�𝑥2 + �̇�𝑦2 𝑎𝑎 = ��̈�𝑥2 + �̈�𝑦2

𝜐𝜐 = �62 + (−8)2 𝑎𝑎 = �(−16)2 + (−12)2

𝜐𝜐 = √36 + 64 = √100 𝑎𝑎 = √256 + 144 = √400

𝜐𝜐 = 10 �𝑚𝑚𝑠𝑠� 𝑎𝑎 = 20 �

𝑚𝑚𝑠𝑠2�

7

Zadatak 3: Date su jednačine kretanja tačke

𝑥𝑥 = 3𝑡𝑡 − 1

𝑦𝑦 = 3𝑡𝑡2 − 2𝑡𝑡

(𝑥𝑥,𝑦𝑦 – u metrima, 𝑡𝑡 – u sekundama)

Odrediti trajektoriju (putanju), brzinu i ubrzanje tačke u trenutku kada je 𝑡𝑡 = 1[𝑠𝑠]

Rešenje:

Trajektorija (putanja)

Brzina

Ubrzanje

𝑥𝑥 = 3𝑡𝑡 − 1 (1) 𝑦𝑦 = 3𝑡𝑡2 − 2𝑡𝑡 (2)

�̇�𝑥 = 3 �̇�𝑦 = 6𝑡𝑡 − 2

�̈�𝑥 = 0 �̈�𝑦 = 6

Iz (1): 3𝑡𝑡 = 𝑥𝑥 + 1

𝑡𝑡 =𝑥𝑥 + 1

3

Za 𝑡𝑡 = 1[𝑠𝑠]

Iz (2) i (1):

𝑦𝑦 = 3 �𝑥𝑥 + 1

3�2− 2

𝑥𝑥 + 13

�̇�𝑥 = 3

�̇�𝑦 = 6 ∙ 1 − 2

�̈�𝑥 = 0 �̈�𝑦 = 6

𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 1

9−

2𝑥𝑥 + 23

�̇�𝑥 = 3

�̇�𝑦 = 4

𝑎𝑎 = ��̈�𝑥2 + �̈�𝑦2

𝑦𝑦 =𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 1

3−

2𝑥𝑥 + 23

𝜐𝜐 = ��̇�𝑥2 + �̇�𝑦2

𝑎𝑎 = �02 + 62

𝑦𝑦 =𝑥𝑥2 − 1

3

𝜐𝜐 = �32 + 42

𝑎𝑎 = √0 + 36 = √36

𝜐𝜐 = √9 + 16 = √25

𝑎𝑎 = 6 �𝑚𝑚𝑠𝑠2�

𝜐𝜐 = 5 �𝑚𝑚𝑠𝑠�

8

Zadatak 4: Date su jednačine kretanja tačke

𝑥𝑥 =𝑎𝑎2�𝑒𝑒𝑘𝑘𝑑𝑑 + 𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑑𝑑�

𝑦𝑦 =𝑏𝑏2�𝑒𝑒𝑘𝑘𝑑𝑑 − 𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑑𝑑�

(𝑥𝑥,𝑦𝑦 – u metrima, 𝑡𝑡 – u sekundama)

Odrediti:

a) jednačinu trajektorije pokretne tačke b) projekcije brzine i ubrzanja na ose Dekartovog koordinatnog sistema

Rešenje:

a)

�𝑒𝑒𝑘𝑘𝑑𝑑 + 𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑑𝑑� =2𝑥𝑥𝑎𝑎

�𝑒𝑒𝑘𝑘𝑑𝑑 − 𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑑𝑑� =2𝑦𝑦𝑏𝑏

Sledeći korak predstavlja kvadriranje ove dve jednačine:

𝑒𝑒2𝑘𝑘𝑑𝑑 + 2 ∙ 𝑒𝑒𝑘𝑘𝑑𝑑 ∙ 𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑑𝑑 + 𝑒𝑒−2𝑘𝑘𝑑𝑑 =4𝑥𝑥2

𝑎𝑎2

𝑒𝑒2𝑘𝑘𝑑𝑑 − 2 ∙ 𝑒𝑒𝑘𝑘𝑑𝑑 ∙ 𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑑𝑑 + 𝑒𝑒−2𝑘𝑘𝑑𝑑 =4𝑦𝑦2

𝑏𝑏2

𝑒𝑒2𝑘𝑘𝑑𝑑 + 2 + 𝑒𝑒−2𝑘𝑘𝑑𝑑 =4𝑥𝑥2

𝑎𝑎2

𝑒𝑒2𝑘𝑘𝑑𝑑 − 2 + 𝑒𝑒−2𝑘𝑘𝑑𝑑 =4𝑦𝑦2

𝑏𝑏2

𝑒𝑒2𝑘𝑘𝑑𝑑 + 𝑒𝑒−2𝑘𝑘𝑑𝑑 =4𝑥𝑥2

𝑎𝑎2− 2

𝑒𝑒2𝑘𝑘𝑑𝑑 + 𝑒𝑒−2𝑘𝑘𝑑𝑑 =4𝑦𝑦2

𝑏𝑏2+ 2

Vidimo da su dobijene jednačine jednake, tako da možemo napisati:

4𝑥𝑥2

𝑎𝑎2− 2 =

4𝑦𝑦2

𝑏𝑏2+ 2

4𝑥𝑥2

𝑎𝑎2−

4𝑦𝑦2

𝑏𝑏2= 4

𝑥𝑥2

𝑎𝑎2−𝑦𝑦2

𝑏𝑏2= 1

9

b)

Projekcije brzina:

�̇�𝑥 =𝑎𝑎2𝑘𝑘𝑒𝑒𝑘𝑘𝑑𝑑 − 𝑘𝑘𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑑𝑑 =

𝑎𝑎2𝑘𝑘�𝑒𝑒𝑘𝑘𝑑𝑑 − 𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑑𝑑� =

𝑎𝑎2𝑘𝑘 ∙

2𝑦𝑦𝑏𝑏

=𝑎𝑎𝑘𝑘𝑏𝑏𝑦𝑦

�̇�𝑦 =𝑏𝑏2𝑘𝑘𝑒𝑒𝑘𝑘𝑑𝑑 + 𝑘𝑘𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑑𝑑 =

𝑏𝑏2𝑘𝑘�𝑒𝑒𝑘𝑘𝑑𝑑 + 𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑑𝑑� =

𝑏𝑏2𝑘𝑘 ∙

2𝑥𝑥𝑎𝑎

=𝑏𝑏𝑘𝑘𝑎𝑎𝑥𝑥

Projekcije ubrzanja:

�̈�𝑥 =𝑎𝑎2𝑘𝑘2𝑒𝑒𝑘𝑘𝑑𝑑 + 𝑘𝑘2𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑑𝑑 =

𝑎𝑎2𝑘𝑘2�𝑒𝑒𝑘𝑘𝑑𝑑 + 𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑑𝑑� =

𝑎𝑎2𝑘𝑘2 ∙

2𝑥𝑥𝑎𝑎

= 𝑘𝑘2𝑥𝑥

�̈�𝑦 =𝑏𝑏2𝑘𝑘2𝑒𝑒𝑘𝑘𝑑𝑑 − 𝑘𝑘2𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑑𝑑 =

𝑏𝑏2𝑘𝑘2�𝑒𝑒𝑘𝑘𝑑𝑑 − 𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑑𝑑� =

𝑏𝑏2𝑘𝑘2 ∙

2𝑦𝑦𝑏𝑏

= 𝑘𝑘2𝑦𝑦

10

Prirodni način definisanja kretanja

Ubrzanje tačke se definiše na sledeći način:

𝑎𝑎 = �𝑎𝑎𝑁𝑁2 + 𝑎𝑎𝑇𝑇2

gde je:

- 𝑎𝑎𝑇𝑇 tangencijalno ubrzanje tačke (tangencijalna komponenta ubrzanja tačke), sa pravcem tangente na krivinu kretanja i intenzitetom:

𝑎𝑎𝑇𝑇 =𝑟𝑟𝜐𝜐𝑟𝑟𝑡𝑡

=𝑟𝑟2𝑠𝑠𝑟𝑟𝑡𝑡2

=�̇�𝑥 ∙ �̈�𝑥 + �̇�𝑦 ∙ �̈�𝑦

𝜐𝜐

- 𝑎𝑎𝑁𝑁 normalno ubrzanje tačke (normalna komponenta ubrzanja tačke), sa pravcem normale na krivinu kretanja, sa smerom ka centru krivine i intenzitetom

𝑎𝑎𝑁𝑁 =𝜐𝜐2

𝑅𝑅𝑘𝑘=�̇�𝑥 ∙ �̈�𝑦 − �̈�𝑥 ∙ �̇�𝑦

𝜐𝜐

𝑅𝑅𝑘𝑘 – poluprečnik krivine kretanja

𝑅𝑅𝑘𝑘 =𝜐𝜐2

|𝑎𝑎𝑁𝑁| =𝜐𝜐3

�̇�𝑥 ∙ �̈�𝑦 − �̈�𝑥 ∙ �̇�𝑦

11

Zadatak 5: Kretanje tačke dato je parametarskim jednačinama:

𝑥𝑥 = 4 + 4 sin 𝑡𝑡

𝑦𝑦 = 4 cos 𝑡𝑡

(𝑥𝑥,𝑦𝑦 – u centimetrima, 𝑡𝑡 – u sekundama)

Odrediti:

a) jednačinu putanje tačke b) brzinu, ubrzanje i prirodne komponente ubrzanja u trenutku 𝑡𝑡 = 𝜋𝜋[𝑠𝑠].

Rešenje:

a) Iz prve jednačine dobijamo:

4 sin 𝑡𝑡 = 𝑥𝑥 − 4

sin 𝑡𝑡 =𝑥𝑥 − 4

4

a iz druge:

cos 𝑡𝑡 =𝑦𝑦4

Kada te dve jednačine kvadriramo i saberemo sledi:

sin2 𝑡𝑡 + cos2 𝑡𝑡 = �𝑥𝑥 − 4

4�2

+ �𝑦𝑦4�2

1 =(𝑥𝑥 − 4)2

16+𝑦𝑦2

16

(𝑥𝑥 − 4)2 + 𝑦𝑦2 = 16

b)

Brzina Ubrzanje �̇�𝑥 = 4 cos 𝑡𝑡 �̇�𝑦 = −4 sin 𝑡𝑡 �̈�𝑥 = −4 sin 𝑡𝑡

�̈�𝑦 = −4 cos 𝑡𝑡

U trenutku kada je 𝑡𝑡 = 𝜋𝜋[𝑠𝑠]

�̇�𝑥 = −4 �̇�𝑦 = 0 �̈�𝑥 = 0

�̈�𝑦 = 4

𝜐𝜐 = ��̇�𝑥2 + �̇�𝑦2 𝑎𝑎 = ��̈�𝑥2 + �̈�𝑦2

𝜐𝜐 = �(−4)2 + 02 = √16 𝑎𝑎 = �02 + 42 = √16

𝜐𝜐 = 4 �𝑎𝑎𝑚𝑚𝑠𝑠� 𝑎𝑎 = 4 �

𝑎𝑎𝑚𝑚𝑠𝑠2�

12

Vrednosti prirodnih komponenti ubrzanja su:

𝑎𝑎𝑇𝑇 =�̇�𝑥 ∙ �̈�𝑥 + �̇�𝑦 ∙ �̈�𝑦

𝜐𝜐

𝑎𝑎𝑇𝑇 =(−4) ∙ 0 + 0 ∙ 4

4

𝑎𝑎𝑇𝑇 = 0 �𝑎𝑎𝑚𝑚𝑠𝑠2�

𝑎𝑎𝑁𝑁 =�̇�𝑥 ∙ �̈�𝑦 − �̈�𝑥 ∙ �̇�𝑦

𝜐𝜐

𝑎𝑎𝑁𝑁 =(−4) ∙ 4 − 0 ∙ 0

4

𝑎𝑎𝑁𝑁 =−16

4

𝑎𝑎𝑁𝑁 = −4 �𝑎𝑎𝑚𝑚𝑠𝑠�