kis-benedek agnes otv os lor and tudom anyegyetem termeszettudom anyi kar kis-benedek agnes...
TRANSCRIPT
![Page 1: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/1.jpg)
Eotvos Lorand Tudomanyegyetem
Termeszettudomanyi Kar
Kis-Benedek Agnes
Szimmetrikus es periodikus
szerkezetek merevsege
Alkalmazott matematikus MSc
Operaciokutatas szakirany
Szakdolgozat
Temavezeto:
Jordan Tibor, tanszekvezeto egyetemi tanar
Operaciokutatasi Tanszek
Budapest, 2012
![Page 2: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/2.jpg)
Tartalomjegyzek
Bevezeto 1
1. Altalanos grafmerevsegi bevezeto 3
1.1. Alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Grafmerevseg jellemzese d = 2 eseten . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Henneberg-tıpusu muveletek 9
2.1. Szimmetrikus szerkezetek - bevezeto . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. C3 a sıkban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1. Muveletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2. Sıkbeli szerkezetek alapteteleinek analogiaja . . . . . . . 13
3. Fix racsu es ”cone” (kupos) szerkezetek 22
3.1. A generikus merevseghez szukseges kombinatorikus modell . . . 22
3.2. Merevsegi tetelek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3. Algoritmusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.1. Algoritmus annak eldontesere, hogy ρ(G) trivialis-e . . . 30
3.3.2. Ross-graf merev komponenseinek meghatarozasa . . . . 31
3.3.3. cone-Laman graf merev komponenseinek meghatarozasa 32
Γ = Z/3Z specialis eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Γ = Z/kZ altalanos eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4. Matroidelmeleti megkozelıtes 35
4.1. Hanyadosgraf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
ii
![Page 3: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/3.jpg)
TARTALOMJEGYZEK iii
4.2. d-periodikus graf - merevsegi bevezeto . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3. Matroidok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3.1. Matroidelmeleti bevezeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3.2. Matroidok es merevseg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5. Friss eredmenyek 43
5.1. Tukorszimmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2. Tukorszimmetria es Dieder-csoport . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Irodalomjegyzek 45
![Page 4: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/4.jpg)
Koszonetnyilvanıtas
Ezuton szeretnem megkoszonni a temavezetomnek, Jordan Tibornak az ut-
mutatasokat es hasznos tanacsokat, valamint hogy segıtett kozelebbrol megis-
merkedni ezzel a szerteagazo, erdekes temakorrel, es rendelkezesemre bocsa-
totta a legfrissebb eredmenyeket.
iv
![Page 5: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/5.jpg)
Bevezeto
A szerkezetek merevsegenek vizsgalata szamos kulonbozo alkalmazasi teruleten
felmerulo problema. Jelen szakdolgozat a periodikus es szimmetrikus szerkeze-
tek merevseget targyalja, amelyet szinten tobb valos eletbeli problema motival,
ugy mint a feherjek, kristalyszerkezetek es zeolitok vizsgalata.
A feherjek szerkezetenek vizsgalata termeszetesen nagy jelentoseggel bır
biokemiai szempontbol. A feherjeszerkezetek reprezentalhatok mechanikus
szerkezetkent, kulonbozo korlattıpusokat hasznalva a kovalens kotes, hidrogen
kotes, sohidak es torzios szogek modellezesehez. A kotesek altal alkotott
halozat elemzesere, a flexibilis es merev reszek meghatarozasara grafelmeleti
technikakat alkalmaznak.
Az algoritmusnak meg kell szamolnia a szabadsagi fokokat ebben a halo-
zatban, es azonosıtania kell a merev es rugalmas reszstrukturakat a feherjeben,
beleertve a tulkorlatozott regiokat, melyekben tobb kotes van, mint az a me-
revseg eleresehez szukseges, valamint az alulhatarozott regiokat, melyek nem
merevek, azaz kotes-elfordulasok lehetsegesek. Az extra korlatozasok szama
vagy a megmaradt kotes-forgatas szabadsagi fokok szama egy reszstrukturaban
szamszerusıti a relatıv merevseget/flexibilitast, es biztosıt egy rugalmassagi
indexet minden kotesre. Ezt a szamıtasi eljarast eloszor uvegszeru anyagok
analızisere hasznaltak. Megkozelıtoleg egymillioszor gyorsabb, mint a mole-
kularis dinamikai szimulacio, es egyetlen statikus haromdimenzios struktura
analızisekent meri a protein fo- es oldallancainak alapveto rugalmassagat. A
termeszetben gyakori a szabalyossag, szimmetria, es a kristalykapcsolatok is
1
![Page 6: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/6.jpg)
BEVEZETO 2
befolyasoljak a rugalmassagot. Ezt a feherjek vizsgalatakor is figyelembe kell
venni.
Egy olyan nagyobb molekulat, amely ket azonos kisebb molekula ossze-
kapcsolodasaval keletkezik, dimernek nevezunk. A ket osszekapcsolodo mo-
lekula energiaminimalizalasi okokbol forgasszimmetrikusan kapcsolodik, es a
molekula valtozasai is megorzik a szimmetriat. A dimerek gyakori alloszterikus
feherjek, mint peldaul a triptofan represszor, amely a DNS-hez kotodve gatolja
a triptofantermelest. A triptofan a 20 standard feherjealkoto aminosav egyike,
az alvashoz szukseges neurotranszmitterek eloanyaga.
1. abra. Zeolitok. [24]
A forgasszimmetrikus anyagokon kıvul mas szabalyos elrendezodesu anya-
gok is vannak, mint peldaul a periodikus kristalyszerkezetek, perovszkit, kvarc,
aluminoszilikatok (pl. keramiakeszıteshez) es zeolitok.
A zeolitok kristalyos mikroporozus szerkezetek, melyeket szamos terule-
ten hasznalnak, peldaul molekulaszurokent, szagelszıvoknal, mososzergyartas-
nal, takarmanykiegeszıtoknel, udıtoitalok adalekanyagakent, az urkutatasban,
es szamos mas helyen.
Manapsag a szintetikus zeolitok a legfontosabb katalizatorok a petrolke-
miai finomıtokban. Jelentos erofeszıtesek iranyultak uj zeolitok szintetizalasa-
ra specialis porusgeometriaval.[19], [24], [18]
Igy nem meglepo, hogy a merevsegi kerdeskor ezen aga igen aktıv kutatasi
teruletnek szamıt.
![Page 7: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/7.jpg)
1. fejezet
Altalanos grafmerevsegi
bevezeto
A kovetkezokben vegig rud-csuklo tıpusu szerkezeteket targyalunk. Eloszor
bevezetem az alapveto grafmerevsegi fogalmakat, valamint roviden ismertetem
az alapveto teteleket.
A fogalmak tetszoleges d dimenzios terben ertelmezhetok, de a merevseg
tesztelese, illetve eloallıtasi tetelek d > 2 eseten nem ismertek.
1.1. Alapfogalmak
A rud-csuklo szerkezeteket ugy kepzelhetjuk el, hogy a graf elei merev rudak,
mıg a graf csucsai olyan csuklok, melyek menten a rudak szabadon elfordul-
hatnak, de termeszetesen a graf altal adott strukturat, vagyis a kapcsolodast
az elek es csucsok kozott vegig meg kell orizni mozgas kozben.
1.1.1. Definıcio. Legyen G = (V,E) egy graf, es legyen p : V → Rd a pontok
egy elhelyezese a d-dimenzios terben. Az eleknek a pontokat osszekoto, egymast
esetleg metszo egyenes szakaszok felelnek meg. Ekkor azt mondjuk, hogy a
(G, p) szerkezet a G graf egy realizacioja Rd-ben.
1.1.2. Definıcio. A (G, q) szerkezet ekvivalens a (G, p) szerkezettel, ha a
3
![Page 8: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/8.jpg)
FEJEZET 1. ALTALANOS GRAFMEREVSEGI BEVEZETO 4
megfelelo elek hossza a ket realizacioban ugyanaz, vagyis minden uv ∈ E-re
|p(u)− p(v)| =|q(u)− q(v)| teljesul.
1.1.3. Definıcio. A (G, q) szerkezet kongruens a (G, p) szerkezettel, ha bar-
mely ket pont tavolsaga a ket realizacioban ugyanannyi, vagyis |p(u)− p(v)| =|q(u)− q(v)| teljesul minden u, v ∈ V -re.
1.1. abra. A ket szerkezet ekvivalens, de nem kongruens R2-ben.
1.1.4. Definıcio. A (G, p) szerkezet merev, ha letezik ε > 0, hogy minden
olyan (G, p)-vel ekvivalens (G, q) szerkezetre, ahol ∀u ∈ V -re |p(u)− q(u)| < ε
teljesul, arra (G, q) kongruens is (G, p)-vel.
1.1.5. Definıcio. (G, p) folytonos mozgasa (G, q)-ba: olyan Pv(t) fuggvenyek
(v ∈ V , t ∈ [0, 1]), melyekre teljesulnek a kovetkezok:
• ∀v ∈ V -re Pv(0) = p(v), Pv(1) = q(v);
• ∀uv ∈ E, ∀t ∈ [0, 1]-re |Pu(t)− Pv(t)| = |Pu(0)− Pv(0)|;
• ∀v ∈ V , ∀t ∈ [0, 1]-re Pv(t) folytonos.
1.1.6. Tetel. [12] (G, p) pontosan akkor merev, ha barmely folytonos mozgasa
csak vele kongruens szerkezetbe viheti.
![Page 9: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/9.jpg)
FEJEZET 1. ALTALANOS GRAFMEREVSEGI BEVEZETO 5
1.1.7. Definıcio. (G, p) infinitezimalis mozgasa alatt olyan u : V → Rd
fuggvenyt ertunk, hogy ∀vi, vj ∈ V -re (u(vi) − u(vj))(p(vi) − p(vj)) = 0 tel-
jesul.
Ez intuitıven azt jelenti, hogy a szerkezet pontjainak adunk egy kis
kezdosebesseget, es ezen iranyokkal infinitezimalisan deformaljuk az egesz szer-
kezetet.
1.1.8. Definıcio. A (G, p) szerkezet merevsegi matrixat jelolje R(G, p). Ez
egy |E|×d|V | meretu matrix, melyben minden elhez tartozik egy sor, es minden
csucshoz tartozik dimenzioszamnyi oszlop. Az uv el sorat jelolje R(G, p)uv,
ebben a sorban minden u-tol es v-tol kulonbozo pozıcioban 0, az u-hoz tartozo
reszen p(u)− p(v), a v-hez tartozo reszen pedig p(v)− p(u) all:(. . . 0 u1 − v1 . . . ud − vd 0 . . . 0 v1 − u1 . . . vd − ud 0 . . .
)1.1.9. Megjegyzes. Az u pontosan akkor infinitezimalis mozgasa (G, p)-nek,
ha R(G, p) · u = 0.
1.1.10. Megjegyzes. Ha figyelembe vesszuk, hogy R(G, p) magtereben biz-
tosan szerepelni fognak a trivialis mozgasok (eltolas es forgatas), a kovetkezo
felso becslest kapjuk: |V | ≥ d + 2 eseten rang(R(G, p)) ≤ d|V | −(d+1
2
), mıg
|V | ≤ d+ 2 eseten rang(R(G, p)) ≤(|V |
2
).
1.2. abra. Merev, de nem infinitezimalisan merev R2-ben.
![Page 10: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/10.jpg)
FEJEZET 1. ALTALANOS GRAFMEREVSEGI BEVEZETO 6
1.1.11. Definıcio. (G, p) infinitezimalisan merev, ha rang(R(G, p)) = d|V |−(d+1
2
)vagy rang(R(G, p)) =
(|V |2
).
1.1.12. Tetel. [20],[12] Ha (G, p) infinitezimalisan merev, akkor merev.
(Fordıtva nem feltetlenul igaz!)
1.1.13. Tetel. [20],[12] Ha (G, p) ”kelloen altalanos helyzetu”, vagyis generi-
kus (p koordinatainak halmaza algebrailag fuggetlen Q felett), akkor mar igaz,
hogy (G, p) pontosan akkor infinitezimalisan merev, ha merev.
Bar egy szerkezet merevsege fugg a realizaciotol, a fenti tetel kovetkezme-
nyekepp nem csak szerkezetek, de grafok merevsegerol is van ertelme beszelni.
Egy adott graf majdnem minden realizacioja hasonlokepp viselkedik merevsegi
szempontbol.
1.1.14. Definıcio. A G graf merev, ha letezik infinitezimalisan merev (G, p)
realizacioja.
1.2. Grafmerevseg jellemzese d = 2 eseten
A sıkban ismert a merev grafok jellemzese, letezik rajuk eloallıtasi tetel, vala-
mint hatekony algoritmus a merevseg tesztelesere. A jellemzeshez szukseg van
a fuggetlenseg fogalmanak bevezetesere.
1.2.1. Definıcio. A (G, p) szerkezet fuggetlen, ha R(G, p) sorai linearisan
fuggetlenek.
1.2.2. Definıcio. A G = (V,E) graf fuggetlen, ha letezik fuggetlen realizaci-
oja.
1.2.3. Megjegyzes. Ha G = (V,E) fuggetlen, akkor |E| ≤ 2|V | − 3. (Ez az
R(G, p) rangjara vonatkozo felso becsles d = 2 esetben.)
G pontosan akkor merev, ha letezik benne 2|V | − 3 elszamu fuggetlen reszgraf.
Ez egy ritka tanu a merevsegre.
![Page 11: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/11.jpg)
FEJEZET 1. ALTALANOS GRAFMEREVSEGI BEVEZETO 7
1.2.4. Definıcio. G = (V,E) ritka, ha ∀X ⊆ V , |X| ≥ 2-re i(X) ≤ 2|X| − 3,
ahol i(X) jeloli a feszıtett elek szamat.
1.2.5. Lemma. Ha G = (V,E) fuggetlen, akkor ritka.
A merev grafok jellemzesehez szuksegunk lesz ket kiterjesztesi muveletre
a grafon.
1.2.6. Definıcio. A masodfoku kiterjesztes jelentse azt, hogy egy uj csucsot
veszunk a grafhoz, es osszekotjuk ket regi csuccsal. A harmadfoku kiterjesztes
pedig jelentse azt, hogy egy uj csucsot veszunk a grafhoz, valasztunk a regi
csucsok kozul ket olyat, amelyek kozt vezet el, ezt az elt toroljuk, majd az uj
csucsot osszekotjuk ezzel a ket regi csuccsal, es meg egy harmadikkal.
1.2.7. Lemma. Legyen adott a G graf es annak egy p realizacioja a sıkon. Ha
a masodfoku kiterjesztesben szereplo harom csucs nincs egy egyenesen, akkor
a muvelet megorzi a fuggetlenseget. Ha a harmadfoku kiterjesztesben szereplo
harom regi csucs nem kollinearis, valamint az uj csucs rajta van a torolt el
vegpontjainak egyenesen, ez a muvelet is megorzi a fuggetlenseget.
1.3. abra. Masod-, illetve harmadfoku kiterjesztes. (A harmadfoku kiterjesztes
nem az emlıtett merevseget megorzo modon szerepel az abran.)
1.2.8. Lemma. Ha a G graf ritka, |V (G)| ≥ 3, elvegezheto a masod- vagy a
harmadfoku kiterjesztes inverz muvelete a ritkasag megorzese mellett.
![Page 12: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/12.jpg)
FEJEZET 1. ALTALANOS GRAFMEREVSEGI BEVEZETO 8
1.2.9. Tetel. (Laman-tetel) [14] G ritka ⇐⇒ G fuggetlen.
1.2.10. Tetel. (Henneberg-fele eloallıtasi tetel) [3] G pontosan akkor mini-
malisan merev (mas szoval izosztatikus), ha megkaphato egyetlen elbol masod-
es harmadfoku kiterjesztesekkel.
1.2.11. Definıcio. Az X = (X1, . . . , Xt), Xi ⊆ V , |Xi| ≥ 2 halmaz egy
fedese G = (V,E)-nek, ha ∪ti=1E(Xi) = E. A fedes erteke pedig V al(X ) =∑ti=1(2|Xi| − 3).
A kovetkezo tetel ad egy Co-NP jellemzest.
1.2.12. Tetel. Lovasz-Yemini tetel [13] A fuggetlen elhalmazok merete es a
fedesek erteke kozott a kovetkezo egyenloseg teljesul:
max {F : F ⊆ E ritka} = min {V al(X ) : X fedes}.
1.2.13. Megjegyzes. Eleg un. vekony fedesekre minimalizalni, vagyis ame-
lyekre teljesul az |Xi ∩Xj| ≤ 1 egyenlotlenseg.
A merevseg tesztelesere, illetve maximalis ritka halmaz szamıtasara lete-
zik O(n2) futasideju algoritmus, mely a futas soran vegig fenntart egy optimalis
fedest.
1.2.14. Definıcio. Egy G graf 3Fa2 partıcioja azt jelenti, hogy az elhalmazt
harom eldiszjunkt fara partıcionaljuk, melyekre teljesul az, hogy a graf minden
pontjat pontosan ket darab fa tartalmazza.
Egy 3Fa2 partıciot megfelelonek (proper) nevezunk, ha a diszjunkt faknak
nincsenek nemtrivialis reszfai, melyek ugyanazt a csucshalmazt feszıtik.
1.2.15. Tetel. (Crapo tetele) [15] Egy G graf pontosan akkor generikusan
izosztatikus, ha van megfelelo (proper) 3Fa2 partıcioja.
-
![Page 13: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/13.jpg)
2. fejezet
Henneberg-tıpusu muveletek
Erdekes kerdes, hogy szimmetrikus szerkezetek es nem feltetlenul szimmetrikus
mozgasok eseten megfogalmazhatok-e a korabbi sıkbeli tetelekkel analog allı-
tasok. Ebben a fejezetben a 2π/3-szogu forgatas esetet targyalom.
2.1. Szimmetrikus szerkezetek - bevezeto
2.1.1. Definıcio. A (G, p) d-dimenzios szerkezet szimmetria operacioja olyan
x izometriaja a ternek, hogy valamely α ∈ Aut(G) eseten ∀v ∈ V -re x(p(v)) =
p(α(v)) teljesul.
Ezek csopotjat a kompozıciora nezve a (G, p) szerkezet pont csoportjanak
nevezzuk.
Jelolje C3 a 2π/3-as forgatast, C3 pedig a csoportjat. Adott S d-dimenzios
szimmetriacsoport es adott G graf eseten R(G,S) jelenti G azon d-dimenzios
realizacioit, ahol S (nem feltetlenul valodi) reszcsoportja a graf pont cso-
portjanak. Maskepp megfogalmazva R(G,S) tartalmaz minden (G, p) realizaci-
ot, amihez letezik Φ : S → Aut(G) lekepezes, hogy
(*) ∀v ∈ V (G) es ∀x ∈ S eseten x(p(v)) = p(Φ(x)(v)).
A fenti osszefuggest kielegıto szerkezetet Φ-tıpusunak nevezzuk, es a
Φ-tıpusu R(G,S)-beli realizaciok halmazat R(G,S,Φ)-vel jeloljuk.
9
![Page 14: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/14.jpg)
FEJEZET 2. HENNEBERG-TIPUSU MUVELETEK 10
2.1. abra. Izosztatikus szerkezetek a sıkon C3 pont csoporttal. Az elso szer-
kezet a haromszog prizma graf egy realizacioja R(G,C3,Φ)-ben, ahol Φ(C3) =
(v1v2v3)(v4v5v/). A masodik szerkezet a K3,3 graf egy realizacioja R(G,C3,Ψ),
ahol Ψ(C3) = (v1v2v3)(v4v5v6).
2.1.2. Definıcio. Tekintsuk a G = (V,E) graf ponthalmazan a Kn = (V,E ′)
teljes grafot, tovabba az S szimmetriacsoportot a Φ : S → Aut(G) lekepezessel.
A (G, p) ∈ R(G,S,Φ) szerkezet (S,Φ)-generikus, ha R(Kn, p) tetszoleges resz-
matrixanak determinana akkor es csak akkor 0, ha minden olyan p′-re 0, ami
kielegıti (*)-t.
Intuitıven ez azt jelenti, hogy egy ilyen realizacio az Sv = {Φ(x)(v)|x ∈ S}szimmetria orbitok reprezentansainak elhelyezese generikus pozıciokba. (A
tobbi csucs helyzete ebbol mar egyertelmu.)
2.1.3. Definıcio. Adott a G graf, S szimetriacsoport, illetve a hozza tar-
tozo Φ : S → Aut(G) lekepezes. G-t (S,Φ)-generikusan infinitezimalisan
merevnek (fuggetlennek, izosztatikusnak) nevezzuk, ha G minden realizacioja,
ami (S,Φ)-generikus, infinitezimalisan merev (fuggetlen, izosztatikus).
2.1.4. Tetel. [10] Legyen G egy graf, S szimmetriacsoport, Φ : S → Aut(G)
lekepezes olyan, hogy R(G,S,Φ) 6= ∅. Ekkor a kovetkezok ekvivalensek:
• ∃ infinitezimalisan merev (fuggetlen, izosztatikus) (G, p) ∈ R(G,S,Φ) szer-
kezet;
• G minden (S,Φ)-generikus realizacoja infinitezimalisan merev (fuggetlen,
izosztatikus).
![Page 15: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/15.jpg)
FEJEZET 2. HENNEBERG-TIPUSU MUVELETEK 11
2.2. C3 a sıkban
A tovabbiakban tekintsuk az origo kozeppontu, 2π/3 szogu forgatast a sıkban.
2.2.1. Muveletek
2.2.1. Definıcio. Adott a G graf, valamint a Φ : C3 → Aut(G) lekepezes, es
(G, p) ∈ R(G,C3,Φ). A (v, p(v)) csuklot C3 fixalja Φ-re nezve, ha Φ(C3)(v) = v.
A fixalt csuklok szama (G, p)-ben jΦ(C3).
2.2.2. Megjegyzes. Ha (v, p(v)) (G, p) ∈ R(G,C3,Φ)-beli csuklot C3 fixalja Φ-re
nezve, akkor C3(p(v)) = p(Φ(C3)(v)) = p(v), azaz v a C3 forgatas kozeppont-
jaban fekszik.
2.2.3. Tetel. [2] Adott a G graf, Φ : C3 → Aut(G) homomorfizmus, (G, p)
egy izosztatikus szerkezet R(G,C3,Φ)-ben, tovabba a p(v) pontok feszıtsek ki R2-et.
Ekkor G teljesıti a Laman-felteteleket es jΦ(C3) = 0.
A tetel bizonyıtasa a szimmetrikus Maxwell-egyenlosegbol olvashato ki.
Bovebben lasd: [2].
2.2.4. Definıcio. [23] Adott G graf, v1, v2 ∈ V (G), v1 6= v2, C3 = {Id, C3, C23}
a sıkban, Φ : C3 → Aut(G) homomorfizmus. Vegyunk harom uj u1, u2, u3
pontot, valamint a kovetkezo eleket:
u1v1, u1v2, u2Φ(C3)(v1), u2Φ(C3)(v2), u3Φ(C23)(v1), u3Φ(C2
3)(v2).
Ezt a muveletet (C3,Φ) ponthozzaadasnak nevezzuk.
2.2.5. Definıcio. [23] Adott a G graf, v1, v2, v3 ∈ V (G) paronkent kulonbozok,
v1v2 ∈ E(G), C3 = {Id, C3, C23} a sıkban, Φ : C3 → Aut(G) homomorfizmus, es
v1, v2 nem lehetnek fixek Φ(C3)-ra nezve. Vegyunk harom uj u1, u2, u3 pontot,
toroljuk a v1v2,Φ(C3)(v1v2),Φ(C23)(v1v2) eleket, valamint huzzuk be a kovetkezo
uj eleket: u1vi, u2Φ(C3)(vi), u3Φ(C23)(vi), ahol i = 1, . . . , 3. Ezt a muveletet
(C3,Φ) elfelosztasnak nevezzuk.
![Page 16: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/16.jpg)
FEJEZET 2. HENNEBERG-TIPUSU MUVELETEK 12
2.2.6. Definıcio. [23] Adott a G graf, v0 ∈ V (G), C3 = {Id, C3, C23} a sıkban,
Φ : C3 → Aut(G) homomorfizmus, v0 nem fix Φ(C3)-ra nezve. Vegyunk harom
uj u1, u2, u3 pontot, valamint a kovetkezo uj eleket:
u1u2, u2u3, u3u2, u1v0, u2Φ(C3)(v0), u3Φ(C23)(v0).
Ezt a muveletet (C3,Φ) haromszog-kiterjesztesnek nevezzuk.
2.2.7. Megjegyzes. A fenti harom muvelet mindegyike vegrehajthato masod-
es harmadfoku kiterjesztesek sorozatakent is, tehat megorzik a Laman-tulaj-
donsagot. A ponthozzaadas jol lathatoan harom darab masodfoku kiterjesztes
szimmetrikusan elvegezve. Az elfelosztas harom darab harmadfoku kiterjesztes
szimmetrikusan elvegezve. A haromszog-kiterjeszteshez ugy juthatunk el, ha
eloszor u1-et masodoku kiterjesztessel hozzakapcsoljuk v1-hez es v2-hoz. Ezutan
u2-t harmadfoku kiterjesztessel kapcsoljuk u1-hez, v2-hoz es v3-hoz az u1v2 el
torlesevel, vegul u3-at szinten harmadfoku kiterjesztessel hozzakapcsoljuk u1-
hez, u2-hoz es v3-hoz az u2v3 el torlesevel.
2.2. abra. Ponthozzaadas, elfelosztas es haromszog-kiterjesztes.
2.2.8. Definıcio. [23] Adott a G graf, C3 = {Id, C3, C23} a sıkban, Φ : C3 →
Aut(G) homomorfizmus. A G grafnak egy (C3,Φ) 3Fa2 partıcioja olyan spe-
cialis {E(T0), E(T1), E(T2)} 3Fa2 partıcio, melyben ∀i ∈ {1, 2, 3}-ra megko-
veteljuk, hogy Φ(C3)(Ti) = Ti+1 teljesuljon modulo 3. (Ez egy 3Fa2 partıcio
faforgatasi tulajdonsaggal.)
![Page 17: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/17.jpg)
FEJEZET 2. HENNEBERG-TIPUSU MUVELETEK 13
2.2.2. Sıkbeli szerkezetek alapteteleinek analogiaja
2.2.9. Tetel. [7] Legyen G egy izosztatikus graf a sıkban, es legyen v egy har-
madfoku csucsa, melynek szomszedai: w1, w2, w3. Ekkor a v torlesevel keletkezo
grafban ki lehet valasztani w1, w2 es w3 kozul ket olyat, hogy kozejuk behuzva
egy elt az uj G′ graf is izosztatikus legyen.
A kovetkezo definıcio altalanosıtja a szerkezet fogalmat.
2.2.10. Definıcio. Legyen G egy graf, V (G) = {v1, . . . , vn}. Egy R2-beli keret
egy olyan (G, p, q) harmas, melyre p : V (G) → R2, q : E(G) → R2 \ {0}lekepezesek olyanok, hogy minden vivj ∈ E(G)-re letezik λij ∈ R2, melyre
p(vi)− p(v − j) = λijq(vivj). (λij = 0 is lehetseges.)
2.2.11. Definıcio. A (G, p, q) keret altalanosıtott merevsegi matrixa R2-ben
a kovetkezo:
R(G, p, q) =
...
0 . . . 0 q(vivj) 0 . . . 0 −q(vivj) 0 . . . 0...
2.2.12. Definıcio. Azt mondjuk, hogy a (G, p, q) keret fuggetlen, ha R(G, p, q)
sorai linearisan fuggetlenek.
2.2.13. Megjegyzes. Ha a (G, p, q) keret fuggetlen es vivj ∈ E(G) eseten
p(vi) 6= p(vj), akkor a (G, p) szerkezet is fuggetlen.
2.2.14. Tetel. [23] Legyen G egy legalabb harom pontu graf, C3 = {Id, C3, C23}
a sıkban, Φ : C3 → Aut(G) homomorfizmus. A kovetkezok ekvivalensek:
• (A) R(G,C3,Φ) 6= ∅ es G (C3,Φ)-generikusan izosztatikus;
• (B) |E(G)| = 2|V (G)|−3, i(X) ≤ 2|X|−3 minden X ⊆ V (G), |X| ≥ 2
eseten, tovabba jΦ(C3) = 0;
![Page 18: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/18.jpg)
FEJEZET 2. HENNEBERG-TIPUSU MUVELETEK 14
• (C) ∃(K3,Φ0) = (G0,Φ0), (G1,Φ1), . . . , () = (G,Φ) konstrukciosorozat,
amelyre Gi+1 a fent definialt harom muvelet valamelyikevel kaphato meg
Gi-bol, Φi+1|V (Gi) = Φi, tovabba Φi+1(C3)|u1,u2,u3 = (u1u2u3), ahol a
harom uj pontot u1, u2, u3 jeloli;
• (D) G-nek van egy megfelelo (proper) (C3,Φ) 3Fa2 partıcioja.
Bizonyıtas:
(A) ⇒ (B): A 2.2.3 tetel eppen ezt mondja ki.
(B) ⇒ (C) Ez az irany teljes indukciot hasznalva esetvizsgalattal veze-
theto le, felhasznalva a graf (hagyomanyos ertelemben vett) Henneberg-felepı-
tesere vonatkozo ismereteket.
A Φ : C3 → Aut(G) letezese es jΦ(C3) = 0 miatt |V (G)| ≡ 0 modulo 3. A
legkisebb ilyen graf a K3, amelyhez nemtrivialis Φ tartozik. Az alapeset tehat
kesz. Tegyuk fel, hogy n pontig tudjuk, hogy igaz az allıtas, es tekintsunk egy
|(V (G)| = n+ 3 pontu grafot.
Ha ennek a grafnak van v masodfoku pontja, akkor mar csak az kell,
hogy v, Φ(C3)(v) es Φ(C23)(v) (egymastol kulonbozo masodfoku) pontok kozt
nem vezet el. Ha vΦ(C3)(v) ∈ E(G), akkor a szimmetria miatt ez a harom
pont egy haromszoget alkot, mely nem kapcsolodik a graf tobbi reszehez, tehat
G nem lehet Laman-tulajdonsagu:
|E(G−{v,Φ(C3)(v),Φ(C23)(v)})| = |E(G)|−3 = 2|V (G)|−6 = 2|V (G−
{v,Φ(C3)(v),Φ(C23)(v)})|.
Tehat a v, Φ(C3)(v),Φ(C23)(v) pontok olyanok, hogy az o torlesuk utan
keletkezo grafban a Laman-feltetel megorzodik, az indukcio miatt letezik a
tetelbeli konstrukciosorozat, es ok a ponthozzaadas muvelettel adhatok a graf-
hoz a sorozat utolso elemekent.
Ha a G grafnak nincs masodfoku pontja, akkor a Laman-feltetel garan-
talja, hogy van harmadfoku pontja, jelolje ezt ismet v.
Negy esetet kell megkulonboztetnunk v, Φ(C3)(v), Φ(C23)(v) elhelyezke-
deset tekintve:
![Page 19: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/19.jpg)
FEJEZET 2. HENNEBERG-TIPUSU MUVELETEK 15
• (1) nem vezet koztuk el, de mindharman ugyanazzal a harom ponttal
szomszedosak;
• (2) nem vezet koztuk el, de barmely kettonek van kozos szomszedja;
• (3) nem vezet koztuk el, es szomszedjaik is kulonbozoek;
• (4) vΦ(C3)(v) ∈ E(G) (ekkor harmadik szomszedaik kulonbozoek, mivel
nincs a forgatas altal fixalt pont).
2.3. abra. Negy kulonbozo eset a harmadfoku pont elforgatottjainak es
szomszedainak kapcsolatara.
Az (1) esetben a 2.2.9 Tetel miatt v leemelheto oly modon, hogy szomsze-
dai kozul kettot ellel kotunk ossze, es v-t toroljuk (a harmadfoku kiterjesztes
Henneberg-muvelet inverzekent), valamint ugyanezt vegrehajthatjuk sorban
Φ(C3)(v)-re es Φ(C23)(v)-re is, vagyis a szomszedait paronkent osszekotjuk,
mıg v-t es kepeit toroljuk. Ekkor a Laman-feltetel megorzodik. Indukcioval
erre a grafra letezik a kıvant konstrukciosorozat, es befejezo lepeskent meg egy
elfelosztasra lesz szuksegunk, hogy visszakapjuk G-t.
A (2) es (3) esetben a 2.2.9 Tetel miatt szintjen leemelheto v oly modon,
hogy szomszedai kozul kettot osszekotunk, legyenek ezek v1 es v2. v elforgatott-
jaival ugyanezt megtesszuk (de ott nem feltetlenul a szimmetrikus szomszedok
koze kerul el). Igy a G0 grafhoz jutunk. H ⊆ G0−{v1, v2} reszgrafra igaz lesz a
kovetkezo: |E(H)| ≤ 2|V (H)|−4. Sot, ha G′ jeloli a G grafbol v es elforgatott-
jai torlesevel kapott grafot, minden H ⊆ G′-re, ahol v1, v2 ∈ H, ugyanez igaz.
![Page 20: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/20.jpg)
FEJEZET 2. HENNEBERG-TIPUSU MUVELETEK 16
Illetve mivel G′ invarians a forgatasra, minden olyan H reszgrafra is teljesul az
osszefugges, amely tartalmazza Φ(C3)(v1)-t es Φ(C3)(v2)-t, vagy Φ(C3)2(v1)-
t es Φ(C3)2(v2)-t. Ki fog derulni, hogy {v1, v2}, {Φ(C3)(v1),Φ(C3)(v2)} es
{Φ(C3)2(v1),Φ(C3)2(v2)} diszjunkt parok.
Tegyuk fel, hogy {v1, v2} = {Φ(C3)(v1),Φ(C3)(v2)}. Ekkor v1 = Φ(C3)(v2)
es v2 = Φ(C3)(v1), amibol kovetkezik, hogy v2 = Φ(C3)(v1) = Φ(C3)2(v2), de ez
ellentmond annak, hogy nincs a forgatas altal fixalt pont. A tobbire ugyanıgy.
Definialjuk a kovetkezo grafot:
G = G′ + {{v1, v2}, {Φ(C3)(v1),Φ(C3)(v2)}, {Φ(C3)2(v1),Φ(C3)2(v2)}}.Ez kielegıti a Laman-felteteleket.
|E(G)| = |E(G′)|+ 3 = |E(G)| − 6 = 2|V (G)| − 9 = 2|V (G)| − 3 rogton
adodik.
Tegyuk fel, hogy letezik H ⊆ G′, v1, v2,Φ(C3)(v1),Φ(C3)(v2) ∈ V (H) es
|E(H)| = 2|V (H)| − 4. Φ(C3)(H)-t es Φ(C3)(H)-t is tekinthetjuk, hasonlo
tulajdonsagokkal. Legyen H ′ = H ∪ Φ(C3)(H). Ekkor |E(H ′)| = |E(H)| +|E(Φ(C3)(H))| − |E(H ∩ Φ(C3)(H))| ≥ 2|V (H)| − 4 + 2|V (Φ(C3)(H)| − 4 −(2|V (H ∩ Φ(C3)(H))| − 4) = 2|V (H ′)| − 4, mert H ∩ Φ(C3)(H) reszgrafja
G′-nek, es tartalmazza Φ(C3)(v1)-t es Φ(C3)(v2)-t. H ′ szinten tartalmazza
oket, ezert |E(H ′)| = 2|V (H ′)| − 4. Hasonlo igaz H ′′ = H ′ ∩ Φ(C3)2(H)-
ra, |E(H ′′)| = 2|V (H ′′)| − 4, raadasul H ′′ invarians a forgatasra es nincs fix
pontja, vagyis eleinek es csucsainak szama 3-mal oszthato. Ez ellentmond
|E(H ′′)| = 2|V (H ′′)| − 4-nek.
Tehat mindenH ⊆ G′-re, ahol v1, v2,Φ(C3)(v1),Φ(C3)(v2), arra |E(H)| ≤2|V (H)|−5 teljesul. (A forgatassal kapott alıtasok igazak G′ invarianciaja mi-
att.) Mar csak azt kell megmutatni, hogy ez sem teljesulhet egyenloseggel,
ha H meg Φ(C3)2(v1),Φ(C3)2(v2)-t is tartalmazza. Indirekt tegyuk fel, hogy
letezik H, ami egyenloseggel teljesıti. Akkor H elforgatottjaira ugyanez igaz.
Legyen H ′ = H ∪ Φ(C3)(H). Ekkor |E(H ′)| = |E(H)| + |(EΦ(C3)(H)| −|E(H∩Φ(C3)(H)| ≥ 2|V (H)|−5+2|V (Φ(C3)(H)|−5−(2|V (H∩Φ(C3)(H))|−5) = 2|V (H ′)| − 5, mivel H ∩ Φ(C3)(H) is reszgrafja G′-nek, es tartalmazza
v1, v2-t es Φ(C3)(v2),Φ(C3)(v2)-t. Igy |E(H ′)| = 2|V (H ′)| − 5. Hasonlo igaz
![Page 21: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/21.jpg)
FEJEZET 2. HENNEBERG-TIPUSU MUVELETEK 17
H ′′ = H ′∪Φ(C3)(H)-ra. Csakhogy H ′′ invarians a forgatasra, nincs fix pontja,
es ıgy pontjainak es eleinek szama 3-mal oszthato, ami ellentmond a kapott
egyenlosegnek.
Tehat G teljesıti a Laman-felteteleket, es ıgy az indukcios feltetel fel-
hasznalva, valamint egy elfelosztast vegrehajtva keszen vagyunk.
A (4) esetben v-t es kepeit torolve Laman-grafhoz jutunk, amelynek
az indukcio szerint letezik megfelelo konstrukciosorozata, ıgy utolso lepeskent
elvegezhetjuk a haromszog-kiterjesztes muveletet.
(C) ⇒ (D): Ismet pontszam szerinti indukciot alkalmazunk. K3 eseten
a harom fa a harom kulonbozo elbol all. Raadasul ha egy el a T1 faban van,
elforgatottja legyen a T2 faban, mıg annak elforgatottja a T3 faban. Ezt a
faforgatasi tulajdonsagot vegig megorizzuk. (Ha egy uj elrol eldontjuk, hogy a
Ti fahoz kapcsolodjon, mert valamely vegpontjaba mar vezet Ti-beli el, akkor
az elforgatottjaba szuksegkepp vezet Ti+1-beli, tehat ez a tulajdonsag nem
kerul osszeutkozesbe azzal, hogy fakat epıtunk, vagyis osszefuggo reszgrafokat.)
Tegyuk fel, hogy n pontig igaz az allıtas, es lassuk be V (G) = n+3-ra. A konst-
rukciosorozat G-t megelozo elemet jelolje G′. Kulon esetekkent vizsgaljuk,
hogy G eloallıtasahoz mi volt az utolso muvelet.
Ha az utolso muvelet ponthozzaadas, egy uj pont eleit ugy rakhatjuk be
ket kulonbozo faba, hogy megnezzuk a ket szomszedjat, es mivel mindketten
ket-ket faban vannak benne, ki tudunk valasztani ket kulonbozo fat az uj pont
eleinek szamara. Ha az egyik uj pont eleinel dontottunk, elforgatottjainak
tudunk ugy valasztani, hogy fennmaradjon a fenti faforgatasi tulajdonsag.
Ha az utolso muvelet elfelosztas, akkor egy uj pont harom elet kell ket
kulonbozo faba beosztani. Az uj pont harom szomszedja kozul ketto G′-ben
szomszedos volt, de a koztuk levo elt a muvelet soran toroltuk. Az uj pont
ezen ket regi ponthoz kapcsolodo ele tehat megkaphatja a torolt el tıpusat.
Az uj pont harmadik elehez ket lehetseges fatıpus tartozhat, ezek kozul az
egyiket meg biztos nem hasznaltuk el, tehat tudunk valasztani minden elhez
![Page 22: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/22.jpg)
FEJEZET 2. HENNEBERG-TIPUSU MUVELETEK 18
megfelelo fat. Az uj pont elforgatottjainak valasszuk ugy a cımkezeset, hogy
fennmaradjon a faforgatasi tulajdonsag.
Ha az utolso muvelet haromszog-kiterjesztes volt, mindharom uj pont
egy-egy regi ponthoz kapcsolodik, es itt kihasznaljuk, hogy vegig fenntartottuk
a faforgatasi tulajdonsagot. Ugyanis emiatt ha az egyik uj es az egyik G′-beli
pontot osszekoto el tıpusa Ti lett, az elforgatottja Ti+1-beli, annak az elforga-
tottja pedig Ti+2-beli lesz (modulo 3 szamolva). Ezek utan vegyunk egy olyan
elet, mely ket uj pont kozt vezet. Ennek az elnek a tıpusat a vegpontjaihoz
kapcsolodo ket el tıpusatol fuggoen szabadon megvalaszthatjuk, es a faforgatas
szabalyainak megfeleloen a tobbi mar adodik.
Vagyis G-nek is letezik (C3,Φ) 3Fa2 partıcioja.
(D) ⇒ (A): Crapo eredeti eredmenyere Tay adott egy bizonyıtast, ame-
lyhez hasonlo megkozelıtes hasznalhato ennek az iranynak a belatasara.
Tegyuk fel, hogy {T0, T1, T2} egy megfelelo (C3,Φ) 3Fa2 partıcio. A 2.1.4
alapjan elegendo talalni egy (G, p) ∈ R(G,C3,Φ)-t, ami izosztatikus. Mivel az
elhalmaz harom fa unioja, |E(G)| = 2|V (G)| − 3. Igy eleg olyan p realizaciot
talalni, amelyre (G, p) ∈ R(G,C3,Φ) fuggetlen.
Legyen a0 = (0, 0), a1 = (1, 0) es a2 = (12,√
32
). Jelolje Vi azon pontok
halmazat, melyek nincsenek benne Ti-ben. Ekkor (G, p, q) legyen a kovetkezo:
p(v) = ai, ha v ∈ Vi;
q(e) =
a2 − a1 = (−1
2,√
32
) , ha e ∈ E(T0)
a0 − a2 = (−12,−√
32
) , ha e ∈ E(T1)
a1 − a0 = (1, 0) , ha e ∈ E(T2)
A hozza tartozo R(G, p, q)-t modosıtsuk ugy, hogy felcsereljuk az oszlo-
pait: a paratlanadik oszlopokat vesszuk elore egymas utan (sorrendjuket nem
modosıtva), majd a parosadik oszlopokat (sorrendjuket szinten nem modosıt-
va). Ezutan ha szukseges, csereljuk fel a sorokat is ugy, hogy eloszor a T0-
beli elek, aztan a T1-beli elek, aztan pedig a T3-beli elek sorai kovetkezzenek.
Ezek a muveletek nem befolyasoljak a sorok osszefuggoseget, ıgy eleg a kapott
R′(G, p, q) matrix sorainak fuggetlenseget belatni R(G, p, q) sorainak fugget-
![Page 23: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/23.jpg)
FEJEZET 2. HENNEBERG-TIPUSU MUVELETEK 19
lensegehez. Jelolje az e elhez tartozo sort Fe.
−12
12
√3
2−√
32
......
−12
12
√3
2−√
32
−12
12
−√
32
√3
2...
...
−12
12
−√
32
√3
2
1 −1 0 . . . 0...
.... . .
...
1 −1 0 0
Indirekt tegyuk fel, hogy
∑e∈E(G) αeFe = 0, ugy hogy αe 6= 0 valamely
e ∈ E(G)-re.
Tegyuk fel, hogy αe 6= 0 valamely e ∈ T2-re. Mivel T2 fa, ∃vs ∈ V (T2),
amelyre∑
e∈E(T2) = C 6= 0. A 3Fa2 partıcio tulajdonsagai miatt vs-nek benne
kell lennie valamelyik masik faban is, tegyuk fel, hogy ez T1. Ekkor ∀e ∈ T0-ra
(Fe)s = 0, (Fe)|V (G)|+s = 0. Az indirekt felteves miatt∑
e∈E(T1) αe(Fe)s =
−C. Ekkor viszont a matrix specialis alakja miatt∑
e∈E(T1) αe(Fe)|V (G)|+s =∑e∈E(G) αe(Fe)|V (G)|+s = −
√3C 6= 0. Tehat ebben az esetben ellentmondasra
jutunk, vagyis minden e ∈ E(T2)-re αe = 0. Torolhetjuk a T2-nek megfelelo
sorokat R′(G, p, q)-bol, es eleg a maradekrol belatni a fuggetlenseget. Ez
megteheto a matrix alkalmas bazistranszformacioja utan a fentihez hasonlo
erveket alkalmazva.
A kovetkezo teendo (G, p, q) pontjainak szimmetrikus szethuzasa. Tegyuk
fel, hogy |Vi| ≥ 2. Mivel {T0, T1, T2} egy megfelelo partıcio, < V0 > ∩Ti nem
osszefuggo valamely i ∈ {1, 2}-re. Tegyuk fel, hogy i = 2-re nem osszefuggo,
ekkor az elforgatottjaik, azaz < V1 > ∩T0 es < V2 > ∩T1 szinten nem
lesznek osszefuggoek. Legyen A a < V0 > ∩T2 egy osszefuggo komponensenek
csucshalmaza. Legyen t ∈ R, pt : V (G)→ R2, qt : E(G)→ R2 a kovetkezo:
![Page 24: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/24.jpg)
FEJEZET 2. HENNEBERG-TIPUSU MUVELETEK 20
pt(v) =
(−1
2t,−
√3
2t) , ha v ∈ A
(1 + t, 0) , ha v ∈ Φ(C3)(A)
(12(1− t),
√3
2(1 + t)) , ha v ∈ Φ(C3)2(A)
p(v) , kulonben.
qt(e) =
(1 + 12t,√
32t) , ha e ∈ EA,V1\Φ(C3)(A)
(1 + 32t,√
32t) , ha e ∈ EA,Φ(C3)(A)
(−12− t,
√3
2) , ha e ∈ EΦ(C3)(A),V2\Φ(C3)2(A)
(−12− 3
2t,√
32
(1 + t)) , ha e ∈ EΦ(C3)(A),Φ(C3)2(A)
(−12(1− t),−
√3
2(1 + t)) , ha e ∈ EΦ(C3)2(A),V0\A
(−12,−√
32−√
3t , ha e ∈ EΦ(C3)2(A),A
q(e) , kulonben.
, ahol EX,Y jelenti az X es Y koztes eleinek szamat valamely X, Y ⊆V (G) diszjunkt halmazokra.
Ekkor (G, p, q) = (G, p0, q0). Ha t′-t valtozonak tekintjuk, a (G, pt′ , qt′)
pontosan akkor linearisan osszefuggo (R[t′] folott), ha minden |E(G)|×|E(G)|-s reszmatrix deteminansa azonosan 0. Ezek t′-ben polinomialisak, ıgy azon
t′-k halmaza, amelyekre R(G, pt′ , qt′) sorai nem linearisan fuggetlenek, egy F
varietast alkotnak, amelynek komplementere ha nemures, suru nyılt halmaz.
Mivel t = 0 /∈ F , majdnem minden t-re a matrix sorai linearisan fuggetlenek
lesznek, azaz letezik t0 6= 0, amire (G, pt0 , qt0) keret fuggetlen. Az eljarast
folytatva eljutunk egy olyan (G, p, q) kerethez, amelyben minden uv ∈ E(G)-
re p(u) 6= p(v). Igy a 2.2.13 miatt (G, p) egy fuggetlen szerkezet R(G,C3,Φ)-ben.
Vagyis a tetelt belattuk. �
2.2.15. Megjegyzes. Az elozo tetelhez hasonlo eredmenyek ismertek C∈-re,
ami a π-szogu forgatas csoportja, valamint CS-re, ami a tukrozes csoportja.
Sejtes, hogy C2v-re es C3v-re is levezetheto ilyen tıpusu tetel, de komplikaltabb
modon. [22]
Schulze eredmenyei olyan szempontbol gyengebbek, mint a periodikus
eset hasonlo eredmenyei, hogy csak izosztatikus szerkezetekrol szol, viszont
olyan szempontbol erosebbek, hogy ezek olyan szerkezetekrol is informaciot
![Page 25: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/25.jpg)
FEJEZET 2. HENNEBERG-TIPUSU MUVELETEK 21
adnak, amiktol nem koveteljuk meg a szimmetriat, csak epp mellekesen szim-
metrikusak.
![Page 26: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/26.jpg)
3. fejezet
Fix racsu es ”cone” (kupos)
szerkezetek
Ebben a fejezetben olyan R2-beli specialis grafok merevsegenek tesztelesere
adunk algoritmusokat, melyekhez szimmetriara, illetve periodikussagra vonat-
kozo extra feltetelek is tartoznak.
3.1. A generikus merevseghez szukseges kombinatorikus
modell
A szerkezet specialis strukturaja miatt nem az egesz szerkezetet, hanem az un.
szınezett grafot vizsgaljuk a fejezet soran.
3.1.1. Definıcio. Legyen G = (V,E) egy veges iranyıtott multigraf, tovabba
legyen adva egy hozza tartozo γ = (γij)ij∈E, γij ∈ Γ csoport. A (G, γ) part
szınezett grafnak nevezzuk.
Egy adott periodikus vagy szimmetrikus szerkezethez tartozo szınezett
grafot ugy konstrualhatunk meg, hogy a pont-orbitokat osszehuzzuk pontokka,
az el-orbitokat osszehuzzuk elekke, tovabba a pont-orbitok es el-orbitok inci-
denciajat megtartva az eleket tetszoleges modon megiranyıtjuk. Ez egy veges
grafreprezentaciojat adja a pont-orbitoknak es el-orbitoknak. Egy ij ∈ E
22
![Page 27: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/27.jpg)
FEJEZET 3. FIX RACSU ES ”CONE” (KUPOS) SZERKEZETEK 23
elhez tartozzon egy cımke vagy szın, amit ugy kapunk meg, hogy felemeljuk
az ij elt az eredeti graf egyetlen olyan ij eleve, melynek tove egy i-hez tartozo
kivalasztott i reprezentanselem. Ekkor az ij el feje γijj, ahol j a j valasztott
reprezentanseleme. Ez a γij lesz az ij el szıne.
Ez a graf az egyes orbitokrol egy-egy csucsot tartalmaz, es a cımkezett
elek mutatjak a teljes szerkezet strukturajat. Ennek a fogalomnak a bevezeteset
az a teny indokolja, hogy a grafhoz kapcsolodo extra periodicitasi/szimmetria
feltetelek miatt bizonyos csucsok kenytelenek egyutt mozogni.
3.1. abra. Periodikus szerkezet es egy hozza tartozo szınezett graf.
3.1.2. Megjegyzes. Fix racsu periodikus szerkezetre Γ = Z2; mıg k ≥ 2 egesz
”cone” (kupos) grafra Γ = Z/kZ.
3.1.3. Definıcio. Azokat a mozgasokat tekintjuk megengedett folytonos moz-
gasoknak, amelyek megorzik a csucs-el kapcsolatokon es a rudak hosszan kıvul
az adott periodicitasi, ill. szimmetria felteteleket is.
3.1.4. Definıcio. Egy fix racsu szerkezet merev, ha az egyetlen megengedett
mozgas az eltolas; mıg egy kupszerkezetet akkor hıvunk merevnek, ha az egyetlen
megengedett mozgas a kozeppont koruli forgatas.
3.1.5. Definıcio. Egy szimmetrikus/periodikus szerkezet minimalisan merev,
ha merev, de barmely el-orbit rudjainak eltavolıtasa utan mar nem az.
![Page 28: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/28.jpg)
FEJEZET 3. FIX RACSU ES ”CONE” (KUPOS) SZERKEZETEK 24
3.2. Merevsegi tetelek
A kovetkezokben az ilyen tıpusu grafok merevsegenek vizsgalatahoz szukseges
definıciok es tetelek szerepelnek. A tovabbiakban jelolje n a pontok, m pedig
az elek szamat a grafban.
3.2.1. Definıcio. Legyen a G ciklikus terebol Γ-ba kepezo ρ fuggveny a kovet-
kezo: ρ(C) =∑
ij∈C,elore-el γij −∑
ij∈C,hatra-el γij, ahol C fix bejarasu kor
G-ben.
3.2.2. Definıcio. ρ(G′) jeloli G′ Γ-kepet, amit trivialisnak nevezzuk, ha min-
den G′ altal feszıtett C kor ρ(C) kepe az identitas. Kulonben nemtrivialis.
Jelolje n a G graf csucsainak, m pedig az eleinek szamat.
3.2.3. Tetel. [8] Egy generikus fix racsos szerkezet a hozzarendelt (G, γ) szı-
nezett graffal minimalisan merev ⇐⇒(1) m = 2n− 2;
(2) ∀ G′ nemures reszgrafra, amelynek pontszama n′, elszama m′, es trivialis
a Z2-kepe, teljesul a kovetkezo: m′ ≤ 2n′ − 3;
(3) ∀ G′ nemures reszgrafra, amelynek pontszama n′, elszama m′, es nemtri-
vialis a Z2-kepe, teljesul a kovetkezo: m′ ≤ 2n′ − 2.
Azokat a grafokat, melyek teljesıtik a tetelben szereplo harom feltetelt,
Ross-grafoknak hıvjuk. Ha csak a (2) es (3) feltetelek teljesulnek, a graf Ross-
ritka.
3.2.4. Definıcio. A 3.2.3 alapjan a maximalisan merev reszszerkezet altalanos
fix racsu szerkezetben megfelel azon G-beli maximalis reszgrafnak, ahol m′ =
2n′ − 2. Ezeket nevezzuk (G, γ) merev komponenseinek.
3.2.5. Tetel. [9] Egy generikus ”cone” (kupos) szerkezet a hozzarendelt szı-
nezett graffal minimalisan merev ⇐⇒(1) m = 2n− 1;
![Page 29: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/29.jpg)
FEJEZET 3. FIX RACSU ES ”CONE” (KUPOS) SZERKEZETEK 25
(2) ∀ G′ nemures reszgrafra, amelynek pontszama n′, elszama m′, es trivialis
a Z/kZ-kepe, teljesul a kovetkezo: m′ ≤ 2n′ − 3;
(3) ∀ G′ nemures reszgrafra, amelynek pontszama n′, elszama m′, es nemtri-
vialis a Z/kZ-kepe, teljesul a kovetkezo: m′ ≤ 2n′ − 1.
Az ilyen grafokat nevezzuk cone-Laman-grafoknak. (A Ross-grafokkal
analog modon, csak epp 2n′ − 2 helyett 2n′ − 1-gyel.)
A Ross- es cone-Laman grafok matroidcsaladok. [9]
3.2.6. Lemma. [8] Legyen (G, γ) egy szınezett graf. ρ(G) trivialis ⇔ G min-
den T feszıto erdojere ρ trivialis minden T altal indukalt alapkorre.
Kovetkezzenek a (k, l)-ritkasaggal kapcsolatos alapfogalmak. ([16]) Ezek
a (k, l)-ritkasagi fogalmak a megfelelo matroid alapfogalmainak felelnek meg,
ez indokolja az elnevezeseket is.
3.2.7. Definıcio. A (k, l)-ritkasag azt jelenti, hogy m′ ≤ kn′ − l teljesul min-
den reszgrafra. Ha m = kn− l, a graf (k, l)-graf.
3.2.8. Definıcio. A (k,l)-kor olyan graf, ami nem (k, l)-ritka, de barmely elet
elhagyva mar az. Ezek mindig (k, l − 1)-grafok, es a megfelelo matroid koreit
alkotjak.
3.2.9. Definıcio. A G graf (k, l)-bazisa alatt olyan maximalis G′ reszgrafot
ertunk, amely (k, l)-ritka. A definıcio megfelel a matroid bazis fogalmanak.
3.2.10. Definıcio. Ha a G′ graf (k, l)-bazis, ij ∈ E(G) − E(G′), akkor a
0(k, l)-alapkor ij-re es G′-re az egyetlen (k, l)-kor G′ + ij-ben.
3.2.11. Megjegyzes. Egy graf ”(2, 3)-” tulajdonsagu ⇔ Laman-graf.
A kesobbi algoritmusokhoz felhasznaljuk a ”pebble game”-et, amely egy
egyszeru es elegans kombinatorikus modszer, csupan a graf iranyıtasanak meg-
felelo valtoztatasat hasznalja. A (k,l)-”pebble game” segıtsegevel O(1) ido
ellenorizni, hogy egy ij el feszıtett-e valamely (k, l)-komponensben. O(n2)
ido frissıteni a komponenseket, ha egy G + ij (k, l)-ritka. Tovabba O(n) ido
szukseges adott (k, l)-ritka grafra alapkor szamıtasahoz.
![Page 30: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/30.jpg)
FEJEZET 3. FIX RACSU ES ”CONE” (KUPOS) SZERKEZETEK 26
3.2.12. Definıcio. (Legkisebb kozos os faban) Legyen T r-gyokeru fa, i, j ∈V (T ). Ekkor i es j legkisebb kozos ose T -ben az a csucs, ahol az egyertelmu
i→ r-ut es a j → r-ut eloszor talalkoznak.
Ez O(n) eloprocesszalas utan O(1) idoben szamıthato. (Bovebben: [4].)
3.2.13. Lemma. [21] Legyen G egy graf, es tegyuk fel, hogy a Laman-korok
G-ben eldiszjunktak. Ekkor minden G-beli Laman-bazisra ugyanaz az alapkor,
es minden Laman-kor G-ben egy alapkor.
Bizonyıtas: Legyen G egy Laman-bazisa L. A matroidtulajdonsag miatt
minden Laman-kor egyuttal Laman-alapkor L-re, vagy eloall kor eliminacios
lepesekkel. Az eldiszjunktsagra vonatkozo felteves miatt a masodik eset nem
fordulhat elo, tehat az allıtas igaz, mivel L-t tetszolegesen valasztottuk. �
3.2.14. Lemma. [21] Legyen (G, γ) egy szınezett graf, es tegyuk fel, hogy G
egy (2, 2)-graf. (G, γ) Ross graf ⇔ G-ben minden L Laman-bazisra a Laman-
kor minden ij ∈ E − E(L)-re nemtrivialis Z2-keppel rendelkezik.
Bizonyıtas: (G, γ) legyen a felteteleknek megfelelo. Figyeljuk meg, hogy
minden G-beli G′ (2, 2)-blokknak tartalmaznia kell Laman-kort, ugyanis egy
G′-beli Laman-bazis nem tartalmazhatja az osszes elt, mert tul sok van. De
ha barmely G′ (2, 2)-blokknak trivialis a Z2-kepe, akkor a reszgrafjainak is az,
aminek tartalmaznia kell Laman-kort. Emiatt (G, γ) pontosan akkor Ross-
graf, ha minden Laman-kornek nemtrivialis a Z2-kepe.
Meg azt kell belatnunk, hogy minden Laman-kor helyett eleg csak a
Laman-alapkorokre megkovetelnunk a nemtrivialitast. A Laman-korok (2, 2)-
blokkok G-ben, es nem tartalmazhatnak kisebb (2, 2)-blokkokat. Mivel G
(2, 2)-graf, ıgy a G-beli (2, 2)-blokkok kozul barmely kettore igaz az, hogy vagy
eldiszjunktak, vagy (2, 2)-blokkban metszik egymast. Ebbol kovetkezik, hogy
a Laman-korok, amik nem tartalmaznak kisebb (2, 2)-blokkot, eldiszjunktak,
vagyis a 3.2.13 alapjan az allıtas igaz. �
![Page 31: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/31.jpg)
FEJEZET 3. FIX RACSU ES ”CONE” (KUPOS) SZERKEZETEK 27
3.2.15. Lemma. [21] Legyen (G, γ) egy szınezett graf Γ = Z/kZ csoporttal,
es tegyuk fel, hogy G (2, 2)-kor. (G, γ) pontosan akkor cone-Laman graf, ha
barmely elt eltavolıtva G-bol Ross-grafot kapunk.
Bizonyıtas: Ha letezik olyan el, melynek torlese utan nem Ross-grafot
kapunk, akkor ez a graf tartalmaz trivialis kepu reszgrafot, amely nem Laman-
ritka. Mivel ez az eredeti G grafnak is reszgrafja, G nem lehet cone-Laman.
Tehat az allıtas balrol jobbra iranya igaz.
Legyen G′ egy (2,2)-blokk G-ben. Mivel G (2,2)-kor, G 6= G′. Legyen
ij ∈ E(G) − E(G′), ekkor a feltetel miatt G − ij Ross-graf, tehat G′-nek
nemtrivialis a Γ-kepe. Mivel G′ tetszoleges volt, az allıtas masik iranya is igaz.
�
3.2.16. Lemma. [21] Legyen G egy (2, 1)-graf. Ekkor a (2, 2)-korok G-ben
eldiszjunktak.
3.2.17. Lemma. [21] Legyen G egy (2, 1)-graf, G′ pedig Laman-kor G-ben.
Ekkor G′-t vagy tartalmazza egy (2, 2)-kor vagy G′ Laman-alapkor.
Bizonyıtas: Legyen L egy tetszoleges Laman-bazis. Terjesszuk ki egy
R (2,2)-bazissa. Ha G′ eldiszjunkt minden (2,2)-kortol, akkor resze R-nek.
Minden Laman-kor alapkor L-re nezve, tehat ekkor G′ Laman-alapkor.
Tegyuk fel, hogy G′ metsz egy G′′ (2,2)-kort, a metszetuket jelolje G∩,
az uniojukat G∪. Mivel G′ (2,2)-graf, a kovetkezot kapjuk:
2|V (G∩)|−2 ≥ |E(G∩)| = 2|V (G′)|−2+2|V (G′′)|−1−|E(G∪)| ≥ 2|V (G′)|−2 + 2|V (G′′)| − 1− 2|V (G∪)|+ 1 = 2|V (G∩)| − 2.
Mivel minden megfelelo G′ graf Laman-ritka, G′ ∩ G′′ = G′-t kapjuk,
twhat G′ egy (2,2)-kor. �
3.2.18. Lemma. [21] Legyen (G, γ) egy szınezett graf. (G, γ) cone-Laman
graf ⇔(1) G egy (2, 1)-graf;
(2) minden G-beli R (2, 2)-bazisra az ij ∈ E(G)−E(R) ellel kapott G′ alapkor
barmely elet eltavolıtva Ross-grafot kapunk;
(3) minden L Laman-bazisra G-ben a Laman-alapkor Γ-kepe nemtrivialis.
![Page 32: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/32.jpg)
FEJEZET 3. FIX RACSU ES ”CONE” (KUPOS) SZERKEZETEK 28
Bizonyıtas: Eleg belatni, hogy minden Laman-kor Γ-kepe nemtrivialis.
A 3.2.17 alapjan ket tıpus van: amelyek nem metszenek mas Laman-kort,
tehat Laman-alapkorok valamely Laman-bazisra, illetve amelyek (2, 2)-korok
reszgrafjai, ezek pedig eldiszjunktak a 3.2.16 miatt. Ezek utan a 3.2.15 lemma-
bol megkapjuk a kıvant allıtast. �
A kovetkezo lemmakhoz szuksegunk lesz egyG-hez tartozoG iranyıtatlan
graf definialasara. A G grafot ugy kapjuk G-bol, hogy minden csucsot harom
peldanyban veszunk fel, es az ij iranyıtott, γ szınu elnek megfeleloen behuzunk
az uj grafban harom uj elt: ikjk+γ (k = 0, 1, 2) modulo 3 szamolva.
Ehhez tartozik egy π : G → G termeszetes fedolekepezes, ami ik-t i-be,
ikjk+γ-t ij-be viszi. A fedolekepezes definıcio szerint olyan folytonos lekepezes,
amelyre veve a kepter egy elemet, annak letezik olyan nyılt kornyezete, amely-
nek oskepe eloall paronkent diszjunkt nyılt halmazok uniojakent ugy, hogy π
minden ilyen nyılt halmazt homeomorf modon kepez le. Ez szemleletesen azt
jelenti, hogy a G grafot ratekerjuk G-re. A π−1 az i folotti ”fiber”, vagyis i
oskepeinek halmaza.
3.2.19. Lemma. [21] Legyen (G, γ) Z/3Z-szınezett graf, G′ ⊆ G. Ekkor
ha G′ Z/3Z-kepe trivialis, akkor π−1(G′) megegyezik a G′ harom diszjunkt
peldanyaval. Ha G′ Z/3Z-kepe nemtrivialis, akkor π−1(G′) osszefuggo.
3.2.20. Lemma. [21] (G, γ) Z/3Z-szınezett graf. Ha G Laman-ritka, akkor
(G, γ) cone-Laman-ritka.
Bizonyıtas: A bizonyıtas kontrapozitıv modon tortenik, tegyuk fel, hogy
(G, γ) nem cone-Laman-ritka. Legyen G′ ⊆ G, ekkor ket esetet kell megkulon-
boztetni.
Eloszor tegyuk fel, hogy G′ kepe trivialis es m′ ≥ 2n′− 2. A 3.2.19 miatt
π−1(G′) harom diszjunkt masolata G′-nek, de ekkor ellentmondast kapunk,
mert ekkor G nem lesz Laman-ritka.
A masodik eset az, hogy G′ kepe nemtrivialis es m′ ≥ 2n′. A 3.2.19 miatt
π−1(G′) osszefuggo es megegyezik a G′ orbitjaival, ıgy 3n′ pontja es legalabb
![Page 33: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/33.jpg)
FEJEZET 3. FIX RACSU ES ”CONE” (KUPOS) SZERKEZETEK 29
6n′ ele van, ami szinten ellentmondasra vezet. �
3.2.21. Lemma. [21] Legyen (G, γ) egy Z/3Z-szınezett graf. Ha a G nem
Laman-ritka, akkor (G, γ) nem cone-Laman-ritka.
Bizonyıtas: A bizonyıtas ismet kontrapozitıv modon tortenik. Tegyuk
fel, hogy G nem Laman-ritka. Ekkor tartalmaz egy G′
Laman-kort, legyen Oaz orbitja. Ismet ket esetet kulonboztetunk meg.
Eloszor tegyuk fel, hogyO harom peldanyu masolataG′-nek. Ekkor π(O)
is egy masolata G′-nek trivialis keppel, ami megserti a cone-Laman-ritkasagot,
tehat ebben az esetben az allıtas igaz.
A masik eset az, hogy O osszefuggo, ıgy ∀γ ∈ {0, 1, 2}-re αγ(G′) es
αγ+1(G′) metszete nemures. Legyen A = G ∩ α1(G
′). Minden paronkenti
metszet izomorf A-val. Legyen B = G′ ∩ α1(G
′) ∩ α2(G
′). Ekkor |E(O)| =
3|E(G′)|−3|E(A)|+|E(B)|. Mivel G
′Laman-kor, A es B is Laman-ritkak. Igy
a fenti egyenloseg jobb oldala akkor minimalis nemures A es B eseten, ha A es
B (2,3)-szorosak. Emiatt O-nak ketszer annyi ele van, mint pontja. A 3.2.19
lemma miatt π(O) kepe nemtrivialis, tehat megserti a cone-Laman-ritkasagot,
vagyis az allıtas igaz. �
3.2.22. Lemma. [21] Legyen (G, γ) egy Z/3Z-szınezett graf. G′ ⊆ G egy
cone-Laman merev komponens ⇔ π−1(G′) egy szimmetrikus (2,3)-komponense
G-nek.
Bizonyıtas: Kovetkezik a 3.2.20 es 3.2.21 lemmakbol. �
3.2.23. Lemma. [21] Legyen (G, γ) egy szınezett graf, Γ = Z/3Z. (G, γ)
cone-Laman ⇔ G Laman-graf.
Sot, (G, γ) merev komponensei megfelelnek G merev komponenseinek.
Bizonyıtas: Kovetkezik a 3.2.20, 3.2.21 es 3.2.22 lemmakbol. �
Tegyuk fel, hogy G osszefuggo, T feszıtofa r gyokerrel. Pi jeloli az r-bol
i-be vezeto utat T -ben.
![Page 34: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/34.jpg)
FEJEZET 3. FIX RACSU ES ”CONE” (KUPOS) SZERKEZETEK 30
3.2.24. Definıcio. (ρ Γ-kepe) A ρ Γ-kepet jelolje σij, amit definialjunk a
kovetkezokepp. Eloszor szamıtsuk ki az r gyokerponthoz tartozo ertekeket:
σri =∑
jk∈Pi,elore−el γjk−∑
jk∈Pi,hatra−el γjk. Ezutan megadhatjuk a tobbi pont-
parhoz tartozo ertekeket: legyen σij = σri − σrj, ha j ∈ Pi. Ha σji-t mar
definialtuk, σij = −σji.
3.2.25. Lemma. Legyen (G, γ) osszefuggo szınezett graf, T gyokeres feszıtofa,
ij ∈ E(G) − E(T ), es legyen i es j legkisebb kozos ose a faban x. Ha C az
ij-vel vett alapkor T -re, ρ(C) = σxi + γij − σjx.
3.2.26. Lemma. Legyen (G, γ) osszefuggo. Letezik O(n+m) algoritmus an-
nak eldontesere, hogy ρ(G) Γ-kepe trivialis-e.
3.3. Algoritmusok
Az elmeleti hatter utan kovetkezzenek a fo kerdeseket megoldo algoritmusok.
([21])
Harom fo problemat szeretnenk algoritmikusan kezelni: a merevseg tesz-
teleset, nem merev graf maximalis merev reszgrafjanak meghatarozasat, va-
lamint egy graf maximalis reszgrafjanak kereseset adott fuggetlen hosszkorla-
toknak megfeleloen.
3.3.1. Algoritmus annak eldontesere, hogy ρ(G) trivialis-e
A kovetkezo algoritmus segıtsegevel ellenorizhetjuk, hogy ρ(G) trivialis-e.
Input: (G, γ).
Lepesek:
• T gyokeres feszıto fa keresese.
• σri kiszamıtasa ∀ i ∈ V (G)-re.
![Page 35: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/35.jpg)
FEJEZET 3. FIX RACSU ES ”CONE” (KUPOS) SZERKEZETEK 31
• ∀ij ∈ E(T )-re T -beli alapkor kepenek szamıtasa.
Output: Ha letezik alapkor, amelynek kepe nemtrivialis, akkor ρ(G) nem
trivialis. Kulonben ρ(G) trivialis.
Az algoritmus helyessege kovetkezik a 3.2.6 lemmabol, hiszen az algorit-
mus epp egy feszıtofa alapkoreit vizsgalja meg.
Futasido: A feszıto fa keresese O(m) idot vesz igenybe. σri kiszamıtasa
O(n) ido alatt tortenik. Az alapkor kepenek szamıtasa O(n + m) idoben
tortenik, mert ennyi idot vesz igenybe a fabeli legkisebb kozos osok megha-
tarozasa, utana pedig koronkent O(1) ido szukseges. Tehat osszesen O(n+m)
ido alatt er veget az algoritmus.
3.3.2. Ross-graf merev komponenseinek meghatarozasa
A kovetkezo algoritmus segıtsegevel meghatarozhatjuk egy Ross-graf merev
komponenseit.
Input: (G, γ).
Algoritmus: A ”pebble game”-et fogjuk hasznalni (2,2)- es (2,3)-ritka grafokra
parhuzamosan.
Kezdeskent inicializaljuk egyenkent a (2,2)- es (2,3)-komponenseket.
Ezutan ∀ij ∈ E(G)-re:
• Ha ij-t feszıti egy (2,2)-komponens a (2,2)-ritka grafban, eldobjuk ij-t,
es a kovetkezo ellel folytatjuk.
• Ha nem feszıti egyik (2,3)-komponens sem, adjuk hozza az altalunk
epıtett (2,2)- es (2,3)-ritka grafokhoz is, es frissıtsuk a komponenseket.
• Kulonben hasznaljuk a (2,3)-”pebble game”-et a legkisebb G′ (2,3)-blokk
azonosıtasara, ami ij-t feszıti. Hozzaadjuk G′-hoz ij-t es kiszamıtjuk a
![Page 36: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/36.jpg)
FEJEZET 3. FIX RACSU ES ”CONE” (KUPOS) SZERKEZETEK 32
Z2-kepet. Ha trivialis, eldobjuk ij-t, es a kovetkezo ellel folytatjuk.
• Ha nemtrivialis, ij-t a (2,2)-ritka grafhoz adjuk es frissıtjuk a kompo-
nenseit.
Az outputot a (2,2)-ritka graf (2,2)-komponensei adjak.
A matroidtulajdonsag garantalja, hogy a moho megkozelıtes jo eredmenyt
ad. Definıcio szerint egy Ross-graf merev komponensei pontosan a (2,2)-
komponensek. Az elso lepes biztosıtja, hogy egy (2,2)-ritka grafot tartunk
fent, a masodik es harmadik lepes helyesseget a 3.2.14 lemmabol latjuk, mivel
uj (2,2)-blokkok letrejottekor az szukseges, hogy nemtrivialis Z2-keppel ren-
delkezzenek. Az utolso lepes pedig biztosıtja, hogy minden lepesben frissıtsuk
a merev komponenseket.
Futasido: Az elso ketto, valamint az utolso lepes osszesen O(n2) idot vesz
igenybe az algoritmus futasa soran. A harmadik lepesO(n) idobe telik, es mivel
Θ(m) iteracioban hajtjuk vegre, vegul egy O(nm)-es, futasidot kapunk, vagyis
az algoritmus O(n3) futasideju.
3.3.1. Megjegyzes. Ha csak azt akarjuk eldonteni, hogy a graf merev-e, le-
allhatunk az elso olyan elnel, amit el kell dobnunk. Emiatt, mivel O(n) elunk
van, a futasido O(n2) lesz.
3.3.3. cone-Laman graf merev komponenseinek meghatarozasa
Γ = Z/3Z specialis eset
A kovetkezo algoritmusok segıtsegevel meghatarozhatjuk egy cone-Laman graf
merev komponenseit.
Eloszor nezzuk azt a specialis esetet, amikor Γ = Z/3Z.
Input: (G, γ).
![Page 37: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/37.jpg)
FEJEZET 3. FIX RACSU ES ”CONE” (KUPOS) SZERKEZETEK 33
• A korabban emlıtett G megkonstrualasa.
• (2,3)-”pebble game” hasznalataval G merev komponenseinek meghataro-
zasa.
Output: A G szimmetrikus merev komponenseinek megfelelo G-beli resz-
graf.
Az algoritmus helyessege a 3.2.23 lemmabol azonnal kovetkezik.
A futasido O(n2).
Γ = Z/kZ altalanos eset
Most tekintsuk az altalanos esetet, vagyis legyen Γ = Z/kZ.
Input: (G, γ) es k.
Output: a (2,1)-komponensek az altalunk epıtett (2,1)-ritka grafban.
Algoritmus: Kezdenek (2,1)-, (2,2)- es (2,3)-”pebble game”.
Aztan ∀ ij ∈ E(G)-re:
• Ha ij-t feszıti egy (2,1)-komponens a (2,1)-ritka grafban, eldobjuk ij-t,
es a kovetkezo ellel folytatjuk.
• Ha ij-t nem feszıti egyik (2,3)-komponens sem, ij-t hozzaadjuk mindha-
rom ritka grafhoz, amit epıtunk, majd frissıtjuk a komponenseket, es a
kovetkezo ellel folytatjuk.
• Ha ij-t nem feszıti egyik (2,2)-komponens sem, ellenorizzuk, hogy a
Laman-alapkornek a (2,3)-ritka grafban nemtrivialis-e a Z/kZ-kepe. Ha
nem, eldobjuk ij-t. Kulonben ij-t hozzaadjuk a (2,1)- es (2,2)-ritka
grafokhoz es frissıtjuk a komponenseket.
• Kulonben ij-t nem feszıti egy (2,1)-komponens sem. Megkeressuk azt a
G′ minimalis (2,2)-blokkot, ami feszıti ij-t, es ellenorizzuk, hogy G′ + ij
![Page 38: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/38.jpg)
FEJEZET 3. FIX RACSU ES ”CONE” (KUPOS) SZERKEZETEK 34
Ross-graffa valik-e barmely el eltavolıtasa utan. Ha igen, ij-t hozzaadjuk
a (2,1)-grafhoz. Kulonben eldobjuk.
A helyesseg bizonyıtasa a Ross-graf esetehez hasonloan tortenik a 3.2.18
lemma alapjan.
Futasido: Minden iteracio O(n3) idot vesz igenybe, ıgy az algoritmus
futasideje O(n5) lesz.
![Page 39: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/39.jpg)
4. fejezet
Matroidelmeleti megkozelıtes
Ez a fejezet mas szemszogbol vizsgalja a merevsegi kerdeskort, eloterbe kerul a
merevseg mogott meghuzodo matroidstruktura. Malestein es Theran adott egy
tetelt generikus periodikus szerkezetek minimalis merevsegerol ([8]), melynek
egy Shin-ichi Tanigawatol szarmazo rovidebb, matroidelmeleti bizonyıtasat is-
mertetem ebben a fejezetben ([1]).
4.1. Hanyadosgraf
Az alabbi fejezetben a hanyadosgraffal foglalkozunk, amely megfelel az elozo
fejezet szınezett graf fogalmanak.
4.1.1. Definıcio. [8] Egy d-periodikus graf alatt olyan (G,Γ) part ertunk,
ahol G = (V,E) egyszeru vegtelen graf, minden pont foka veges, Γ ⊂ Aut(G)
pedig a d-rangu automorfizmusok egy szabad Abel-csoportja fixpont nelkul, veges
sok pont-orbittal (es kovetkezeskepp veges sok el-orbittal). Γ a periodicitasi
csoportja vagy periodicitasi racsa G-nek.
4.1.2. Definıcio. [8] Ekkor a G/Γ = (V/Γ, E/Γ) hanyadosgraf az elozo fe-
jezetben mar ismertetett szınezett graffal azonos.
Legyen φ : G → G/Γ fedo lekepezes es ρ : H1(G/Γ) → Γ szurjektıv
homeomorfizmus φ-hez, ahol H1(G/Γ) a G/Γ elso homologia csoportja egesz
35
![Page 40: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/40.jpg)
FEJEZET 4. MATROIDELMELETI MEGKOZELITES 36
egyutthatokkal (amely azonosıthato a G/Γ ciklikus terrel). Minden informacio
a fedo lekepezesrol (es fedo terrol) elkodolhato G/Γ-ba v reprezentalo csucs
fixalasaval minden [v] palyarol.
4.1.3. Definıcio. Egy digrafot Γ-gain grafnak (eleresi grafnak) hıvunk, ha
minden [e] ossze van kapcsolva egy γ[e] elemmel a Γ csoportbol, ugy hogy ∀[e]-re γ[e] = −γ[e] teljesul, ahol [e] jeloli [e] megfordıtottjat.
4.1.4. Megjegyzes. G/Γ gain-graf.
4.1.5. Megjegyzes.∏
[e]∈C γ[e] fuggetlen a reprezentalo csucsok valasztasatol
minden G/Γ-beli C korre.
4.2. d-periodikus graf - merevsegi bevezeto
Jelolje τ(Rd) a d-dimenzios euklideszi ter eltolascsoportjat.
4.2.1. Definıcio. Egy d-periodikus (G,Γ) graf elhelyezese Rd-ben egy olyan
p : V → Rd es π : Γ → τ(Rd) fuggvenypar, ahol p injektıv lekepezes, amely
minden csucshoz egy pontot rendel, π injektıv homomorfizmusa Γ-nak, tovabba
p es π kielegıti a periodicitast:
∀v ∈ V -re es ∀γ ∈ Γ-ra teljesul p(γv) = π(γ)(p(v)).
Az ıgy kapott rud-csuklo szerkezet: (G,Γ, p, π).
4.2.2. Definıcio. Egy elhelyezes l : E → R sulyokat indukal a grafon: legyen
l(uv) = p(u) es p(v) tavolsaga.
4.2.3. Definıcio. (G,Γ) realizacioja l sulyokkal egy olyan (p, π) elhelyezes,
ami l-t indukalja, azaz a kovetkezo rendszer megoldasa a periodikussag mellett:
∀e = uv ∈ E-re < p(v)− p(u), p(v)− p(u) >= l(e)2.
Az egyszeruseg kedveert γ1, . . . , γd bazist valasztva megfeleltetjuk Γ-t
Zd-vel. Minden γ ∈ Γ egyertelmuen kifejezheto a kovetkezokeppen: γ =∑dk=1 c
kγγk, ahol ckγ ∈ Z. Legyen cγ = (c1
γ, . . . , cdγ) ∈ Zd.
![Page 41: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/41.jpg)
FEJEZET 4. MATROIDELMELETI MEGKOZELITES 37
Minden π-nek megfeleltetheto egy d×d-es M ∈ GL(d) matrix µ1, . . . , µd
oszlopvektorokkal a kovetkezo osszefugges alapjan:
π(γ) =∑d
k=1 ckγπ(γk) =
∑dk=1 c
kγµk = Mcγ.
Tehat a periodicitas miatt p egyertelmuen meghatarozott, ha minden
csucspalyarol valasztunk egy reprezentalo csucsot, es megadjuk a hozza tartozo
pontot. Igy minden csucspalyara az elhelyezesek tere azonosıthato (Rd)V/Γ ×GL(d)-vel. A realizacios teret leıro egyenletek rendszere a kovetkezo:
< p(γ[e]v)− p(u), p(γ[e]v)− p(u) >= l(e)2, [e] = [u][v] ∈ E/Γ.
Mivel p(γ[e]v) = p(v)+π(γ[e]) = p(v)+Mce, ahol ce = cγ[e] , ez kifejezheto
az alabbi modon:
(∗) < p(v) +Mce − p(v), p(v) +Mce − p(u) >= l(e)2, [e] = [u][v] ∈ E/Γ.
4.2.4. Definıcio. A (G,Γ) l sulyok melletti R realizacios tere a fenti egyen-
loseget kielegıto elhelyezesek altere.
4.2.5. Definıcio. R/E(d) definialja a C konfiguracios teret, amely az E(d)
euklideszi ter kvociens tere.
4.2.6. Definıcio. Egy periodikus szerkezetet merevnek mondunk, ha az elhe-
lyezese izolalt pont C-ben.
4.2.7. Definıcio. A (G,Γ; p, π) periodikus szerkezet infinitezimalis mozgasai-
nak tere R erintotere (p, π)-ben.
Feltesszuk, hogy (p, π) sima, ıgy differencialas utan a kovetkezot kapjuk:
< p(v) +Mce − p(u), p(v) + Mce − p(u) >= 0, [e] = [u][v] ∈ E/Γ-ra.
4.2.8. Definıcio. Ha p kibovıtheto Rd egy infinitezimalis izometriajava, p-t
trivialisnak nevezzuk.
4.2.9. Definıcio. A szerkezet infinitezimalisan merev, ha minden lehetseges
infinitezimalis mozgas trivialis.
![Page 42: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/42.jpg)
FEJEZET 4. MATROIDELMELETI MEGKOZELITES 38
4.2.10. Definıcio. Az R merevsegi matrix egy |E/Γ| × (d|V/Γ|+ d2)-matrix,
amely a (∗)-hoz tartozik.
4.2.11. Tetel. [1] (G,Γ, ; p, π) infinitezimalisan merev ⇔ R rangja d|V/Γ|+d2 −
(d+1
2
).
4.2.12. Definıcio. Az R(G,Γ) generikus d-merevsegi matroid a merevsegi
matrix sormatroidja generikus elhelyezes mellett.
4.3. Matroidok
4.3.1. Matroidelmeleti bevezeto
4.3.1. Definıcio. Egy µ : 2E → Z fuggvenyt polimatroid fuggvenynek neve-
zunk, ha µ(∅) = 0, µ nemcsokkeno, tovabba szubmodularis, azaz teljesul ra a
kovetkezo egyenlotlenseg:
µ(X) + µ(Y ) ≥ µ(X ∩ Y )µ(X ∪ Y ).
(E, µ)-t polimatroidnak hıvjuk.
µ indukal E-n egy matroidot, melyben azon F ⊆ E-k lesznek fuggetlenek,
amelyeknek minden F ′ reszhalmazara µ(F ′) ≥ |F ′| teljesul.
Legyen µ(F ) = max{∑
e∈F x(e)|x : F → R,∀F ′ 6= ∅∑
e∈F ′ x(e) ≤µ(F ′)}. Ez nemcsokkeno szubmodularis fuggveny, es atırhato a kovetkezokepp:
µ(F ) = min{∑
1≤i≤k f(Fi)|{F1, . . . , Fk} partıcioja F − nek}.(E, µ) egy PM(µ) polimatroidot indukal.
Vezessuk be a linearisan reprezentalhato polimatroidok fogalmat. Legyen
E veges halmaz, valamint tartozzon minden e ∈ E-hez egy Ae ∈ Rd linearis
alter. Vezessuk be a dim : 2E → Z fuggvenyt a kovetkezokeppen: dim(F ) =
dim{Ae|e ∈ F}.
4.3.2. Megjegyzes. (E, dim) egy polimatroidot alkot.
![Page 43: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/43.jpg)
FEJEZET 4. MATROIDELMELETI MEGKOZELITES 39
4.3.3. Definıcio. Ha (E, µ) polimatroid izomorf (E, dim) polimatroiddal va-
lamely {Ae}-re, akkor az egy linearis polimatroid.
4.3.4. Megjegyzes. Linearis polimatroidok osszege is linearis polimatroid.
4.3.5. Definıcio. Legyen A az Rd linearis altereinek egy veges halmaza. Kor-
latozzuk A-t egy H generikus hipersıkra (H = {x ∈ Rd| < a, x >= 0} valamely
a ∈ Rd-re, ahol a koordinatai algebrailag fuggetlenek Q folott). Ezt a muveletet
Dilworth-csonkolasnak nevezzuk.
4.3.6. Tetel. [13] A legyen Rd linearis altereinek egy csaladja, H pedig egy
generikus hipersık Rd-ben.
Ekkor dim{A∩H|A ∈ A} = min{∑k
i=1(dim{A|A ∈ Ai}− 1}, ahol a minimu-
mot A minden {A1, . . . ,Ak} partıciojan nezzuk.
4.3.2. Matroidok es merevseg
Tekintsuk a d-periodikus G grafot fedo transzformacios Γ csoporttal, es a kap-
csolodo ρ : H1(G/Γ)→ Γ lekepezessel. Lattuk, hogy Γ megfeleltetheto Zd-vel.
Minden F j E-t azonosıtsuk F j E/Γ-val, amely az F altal indukalt G/Γ-
beli reszgraf. Ekkor tekinthetjuk H1(F ) → H1(G/Γ) → Γ-t, egybefuzeset a
befoglalasnak es φ-nek. Jelolje dF a H1(F ) kepenek rangjat Γ-ban.
Tekintsuk a g(F ) = nF − ωF , g : 2E/Γ → Z fuggvenyt, ahol nF jeloli
az F -beli pontorbitok szamat, es ωF jeloli az F -beli osszefuggo komponensek
szamat. Ez a G/Γ grafikus matroidjanak rangfuggvenye.
Vezessuk be a kovetkezo fuggvenyt: f(F ) = nF −ωF +dF , f : 2E/Γ → Z.
Ez nemcsokkeno, szubmodularis fuggveny, tovabba ∀e ∈ E/Γ-ra f(e) ≤ 1, ıgy
indukal egy M(f) = (E, f) matroidot.
Bevezethetunk egy masik G ′ matroidot is E/Γ-n, amely linearis, es min-
den [e] ∈ E/Γ-t egy (n + d)-dimenzios vektor reprezental, amelynek elso n
erteke a reprezentalo csucsokkal, utolso d erteke pedig Γ bazisaval van megfelel-
tetve. Az uv elhez tartozo sorban a v-nek megfelelo pozıcioban 1, u-nak
megfelelo pozıcioban -1, a tobbi csucs helyen 0, γi-nek megfelelo pozıcioban
pedig ci(e) all. Az ezen vektorokbol allo, G-t reprezentalo matrixot jelolje R:
![Page 44: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/44.jpg)
FEJEZET 4. MATROIDELMELETI MEGKOZELITES 40
Ruv = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0,−1, 0, . . . , 0, c1(e), . . . , cd(e)).
4.3.7. Lemma. A kovetkezok ekvivalensek G/Γ = (V/Γ, E/Γ)-ra: barmely
F j E/Γ-ra
• (a) F fuggetlen M(f)-ben;
• (b) Barmely maximalis F ′ erdore F -ben {ρ(C(F ′, e)) ∈ Zd|e ∈ F − F ′}linearisan fuggetlen Rd-ben;
• (c) F fuggetlen G ′-ben.
Bizonyıtas:
(a) ⇒ (b): Ha (b) nem lenne igaz, akkor |F − F ′| > dF valamely F ′
erdore. Mivel |F | = |F ′|+ |F − F ′| > (nF − ωF ) + df , ellentmondasra jutunk,
hiszen a feltetel szerint |F | = f(F ) = nF − ωF + df -nek kellene teljesulnie.
(b)⇒ (c): Minden e ∈ F\F ′-re vegyuk az RF -beli sorokat es osszegezzuk.
(Ahol RF jeloli az R F -nek megfelelo reszet.) Az ıgy kapott vektorban az
elso |V | koordinata nulla, mıg az utolso d koordinata ρ(C(F ′, e)). Ez e-
nek megfelelo sort csereljuk le ezzel a vektorral minden e ∈ F\F ′-re. Igy
R megvaltozott, es blokkonkent vizsgalhato. A bal felso blokk F incidencia
matrixa, ami pontosan akkor sor-fuggetlen, ha F egy erdo. A bal kozepso blokk
nulla. A jobb kozepso blokk tartalmazza ρ(C(F ′, e))-t minden e ∈ F\F ′-re, es
ez a blokk a feltetel szerint fuggetlen. Tehat az allıtas igaz.
(c) ⇒ (a): Vegyunk egy nemures I ⊆ F halmazt, es tekintsuk a hozza
tartozo sorok reszmatrixat. A matrix magjanak dimenzioja legalabb (n−nF )+
(ωF + (d− dF ), ezert |I| ≤ n+ d− [(n− nF ) + ωF + (d− dF )] = nF − ωF + dF
megtartja az RF sor-fuggetlenseget. �
Igy M(f) linearis polymatroid, amelyben minden e ∈ E/Γ megfelel egy
egydimenzios vektorternek, ahol a vektorok a korabban emlıtett Re vektor αe-
szeresei:
Ae = {(0, . . . , 0, αe, 0, . . . , 0,−αe, 0, . . . , 0, c1(e)αe, . . . , cd(e)αe)|αe ∈ R}.
![Page 45: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/45.jpg)
FEJEZET 4. MATROIDELMELETI MEGKOZELITES 41
Tekintsuk a ketdimenzios szerkezeteket:
4.3.8. Definıcio. (G,Γ) minimalisan merev, ha merev, de barmely el-orbitjat
elhagyva mar nem az.
4.3.9. Tetel. [8] (G,Γ) 2-periodikus grafra R(G,Γ) = M(2f − 1). Azaz
(G,Γ) generikusan minimalisan merev ⇐⇒ hanyadosgrafjara teljesulnek a ko-
vetkezok: m = 2n+ 1 es minden F j E/Γ-ra |F | ≤ 2(nF − ωF + dF )− 1.
Bizonyıtas: Tekintsuk a PM(2f) = (E, 2f) polimatroidot. PM(f) =
M(f) = (E, f)-nek van {Ae} linearis reprezentacioja, es ıgy PM(2f)-nek is
van, megpedig Ae ⊕ Ae ⊆ (R)2n+4. Csereljuk fel a koordinatak sorrendjet,
fesuljuk ossze oket: az elso vektor i-edik koordinataja utan a masodik Ae
vektor i-edik koordinataja kovetkezzen.
Vegyunk egy generikus (p, π) elhelyezest, es definialjuk a H ⊆ R2n+4
hipersıkot a kovetkezokepp:
H = {(x1, y1, . . . , xn, yn, z1, w1, z2, w2)|∑
[i]∈V/Γ < p(i), (−yi, xi) > +∑
1≤i≤d <
µi, (−wi, zi) >= 0}.Figyeljuk meg, hogy (Ae ⊕Ae)∩H egy egydimenzios linearis ter. Tehat
R(G,Γ) megkaphato PM(2f)-bol Dilworth-csonkolassal. Azt kapjuk 4.3.6
felhasznalasaval, hogy:
dim{(Ae ⊕ Ae) ∩H | e ∈ E/Γ} =
min{∑
i(dim{Ae ⊕ Ae | e ∈ Fi} − 1) | {F1, . . . , Fk} partıcioja F -nek} =
min{∑
i(2 dim{Ae | e ∈ Fi} − 1) | {F1, . . . , Fk} partıcioja F -nek} =
min{∑
i(2f(Fi)− 1) | {F1, . . . , Fk} partıcioja F -nek},
ami F rangja PM(2f − 1)-ben. Igy R(G,Γ) = PM(2f − 1).
Mivel barmely e-re 2f(e) − 1 ≤ 1, PM(2f − 1) valoban martoid, es
R(G,Γ) =M(2f − 1). �
A periodikus szerkezeteket ugy is meg lehet kozelıteni, mint a hanyados-
graf elhelyezeset egy toruszon. Az elozo fejezetben lattunk eredmenyeket fix
torusz esetere [21], ebben a fejezetben pedig teljesen valtoztathato toruszra
![Page 46: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/46.jpg)
FEJEZET 4. MATROIDELMELETI MEGKOZELITES 42
[8]. Azonban az is ertelmes kerdes, hogy mi a helyzet, ha a torusz reszlegesen
valtoztathato. Ezt az atomi mozgasok idobeli skalazasa motivalja. Ha a torusz
x-iranyba valtoztathato, akkor letezik egy Henneberg-tıpusu karakterizacio.
4.3.10. Tetel. [17] Egy szınezett graf generikusan minimalisan merev reszben
valtoztathato toruszon ⇔ eloallıthato egyetlen hurokelbol gain-megorzo Henne-
berg-muveletekkel.
![Page 47: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/47.jpg)
5. fejezet
Friss eredmenyek
Az alabbiakban szerepel nehany uj osszefugges, amely a 2. fejezetben is-
mertetett eredmenyek es a hanyadosgraf kapcsolatarol szol.
5.1. Tukorszimmetria
5.1.1. Tetel. [22] Legyen (GS, p) tukorszimmetrikus generikus szerkezet. Ek-
kor (GS, p) pontosan akkor minimalisan merev, ha GS (2, 3)-kritikus, nincs fix
pontja, es pontosan egy fix ele van.
A fix el feltetel es a hanyadosgraf kapcsolata kovetkezik. Jelolje GS a
tukorszimmetrikus grafot, G pedig a hanyadosgrafjat. Ha GS-nek egy fix ele
van, akkor |VS| = 2|V | es |ES| = 2|E| − 1.
5.1.2. Allıtas. [11] Ha GS (2,3)-kritikus es egy fix ele van, akkor G (2,1)-
kritikus, egy hurokele van, es teljesul ∀X ⊆ E identitashalmazra, hogy |X| ≤2|V (X)| − 3.
Az allıtas megfordıtasa nem igaz.
5.1.3. Allıtas. [11] G (2,1)-kritikus, egy hurokele van, es teljesul ∀X ⊆ E
identitashalmazra, hogy |X| ≤ 2|V (X)|−3⇔ |E| = 2|V |−3, G (2,2)-ritka, de
ha X ⊆ E minden orbitbol legfeljebb egy pontot fed, akkor |X| ≤ 2|V (X)| − 3.
43
![Page 48: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/48.jpg)
FEJEZET 5. FRISS EREDMENYEK 44
5.1. abra. Pelda arra, mikor az 5.1.2 allıtas masodik fele teljesul, de az elso
nem.
5.2. Tukorszimmetria es Dieder-csoport
A szimmetrikus Henneberg-muveletek soran az eredeti merevsegi matrix es
az orbitmatrix rangja is megorzodik, ıgy Schulze eredmenyei atdolgozhatok a
gain-grafok nyelvere. A kovetkezo eredmenyek errol szolnak:
Definialhato a CS tukroszimmetriara es a h-hoz tartozo Dh Dieder-cso-
portra egy ritkasagfogalom, hasonloan a 3. fejezet Ross-ritkasag es cone-
Laman-ritkasag fogalmahoz. Tovabba ebbol egy elszamra vonatkozo feltetellel
kaphato a CS-szoros, illetve Dh graf, hasonloan a 3. fejezet Ross-graf es cone-
Laman-graf fogalmahoz. A CS-szoros, illetve Dh grafokra letezik Henneberg-
tıpusu karakterizacio. [6]
5.2.1. Tetel. [6] (G,Φ) egy CS-szimmetrikus merev szerkezet hanyadosgrafja
⇔ (G,Φ)-nek van CS-szoros reszgrafja.
5.2.2. Tetel. [6] (G,Φ) egy Dh-szimmetrikus merev szerkezet hanyadosgrafja
⇔ (G,Φ)-nek van Dh-szoros reszgrafja.
![Page 49: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/49.jpg)
Irodalomjegyzek
[1] Shin-ichi Tanigawa, A Note on the Generic Rigidity of Periodic Frame-
works, (kezirat), (2011).
[2] B. Schulze, Combinatorial and geometric rigidity with symmetry con-
straints, Ph.D. thesis, York University, Toronto, Canada, (2009).
[3] L. Henneberg, Die Grapische Statik der starren Systeme, Leipzig, (1911).
[4] D. Harel, R. E. Tarjan, Fast algorithms for finding nearest common ances-
tors, SIAM J. Comput., 13:338-355, (1984).
[5] E. Ross, B. Schulze, W. Whiteley, Finite motions from periodic frameworks
with added symmetry, International Journal of Solids and Structures 48,
1711-1729, (2011).
[6] T. Jordan, V. E. Kaszanitzky, Shin-ichi Tanigawa, Gain-Sparsity and Sym-
metric Rigidity in the Plane, kezirat, (2012).
[7] T.-S. Tay, W. Whiteley, Generating isostatic frameworks, Topol. Struct.
11, 21-69, (1985).
[8] J. Malestein, L. Theran, Generic combinatorial rigidity of periodic frame-
works, arXiv:1008.1837v3, (2010).
[9] J. Malestein, L. Theran, Generic rigidity of frameworks with orientation-
preserving crystallographic symmetry, arXiv:1108.2518v2, (2012).
45
![Page 50: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/50.jpg)
IRODALOMJEGYZEK 46
[10] B. Schulze, Injective and non-injective realizations with symmetry, Con-
tributions to Discrete Mathematics, Volume 5, Number 1, 59-89, (2009).
[11] Kaszanitzky Viktoria, kezirat, (2012).
[12] B. Jackson, Notes on the Rigidity of Graphs, Levico Conference Notes,
22-26 October (2007).
[13] L. Lovasz, Y. Yemini, On generic rigidity in the plane, SIAM Journal on
Algebraic and Discrete Methods, 3:91–98, (1982).
[14] G. Laman, On graphs and rigidity of plane skeletal structures, J. Engi-
neering Math. 4, 331-340, (1970).
[15] H. Crapo, On the generic rigidity of plane frameworks, Inst. Nat. Rech.
en Informatique et Automatique (INRIA), No. 1278, (1990).
[16] A. Lee, I. Streinu, Pebble game algorithms and sparse graphs, Discrete
Math., 308(8):1425-1437, (2008).
[17] A. Nixon, E. Ross, Periodic Rigidity on a Variable Torus Using Inductive
Constructions, arXiv:1204.1349, (2012).
[18] Schulze, A. Sljoka, W. Whiteley, Protein Flexibility of Dimers: Do Sym-
metric Motions Play a Role in Allosteric Interactions?, AIP Conference
Proceedings of AMMCS, (2011).
[19] D. J. Jacobs, A. J. Rader, L. A. Kuhn, M. F. Thorpe, Protein Flexibility
Predictions Using Graph Theory, PROTEINS: Structure, Function, and
Genetics 44:150–165, (2001).
[20] B. Roth, Rigid and flexible frameworks, Amer. Math. Monthly 88 (1981),
no. 1, 6–21.
[21] M. Berardi, B. Heeringa, J. Malestein, L. Theran, Rigid components in
fixed-lattice and cone frameworks, Proceedings of the 23rd Annual Cana-
dian Conference on Computational Geometry, Toronto, Ontario, Canada,
August 10-12, (2011).
![Page 51: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/51.jpg)
IRODALOMJEGYZEK 47
[22] B. Schulze, Symmetric Laman theorems for the groups C2 and CS, The
electronic journal of combinatorics, 17, (2010).
[23] B. Schulze, Symmetric Versions of Laman’s Theorem, Discrete and Com-
putational Geometry (2009), arXiv:0907:1958.
[24] A. Sartbaeva, S. A. Wells, M. M. J. Treacy, M. F. Thorpe, The flexibility
window in zeolites, Nature Materials 5, 962 - 965, (2006).
[25] R. Conelly, P. W. Fowler, S. D. Guest, B. Schulze, W. J. Whiteley, When
is a symmetric pin-joined framework isostatic?, Int. J. Solids Struct. 46,
762-773, (2009).
![Page 52: Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062414/5d18080e88c993fd3f8bf96b/html5/thumbnails/52.jpg)
NYILATKOZAT
Név:
ELTE Természettudományi Kar, szak:
ETR azonosító:
Szakdolgozat címe:
A szakdolgozat szerzőjeként fegyelmi felelősségem tudatában kijelentem, hogy a
dolgozatom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és
idézések standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a
megfelelő idézés nélkül nem használtam fel.
Budapest, 20 _______________________________
a hallgató aláírása
Kis-Benedek Ágnes
Alkalmazott matematikus Msc
KIAPACT.ELTE
Szimmetrikus és periodikus szerkezetek merevsége
12.05.30.