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Bryan R.V Siviany C.M Francela R.S Funcion Logarıtmica

Funcion LogarıtmicaIntroduccion a la Matematica MA0123

Bryan R.VSiviany C.MFrancela R.S

18 Octubre 2013


Contexto Historico.

Los logaritmos se inventaron alrededor de 1590 por John Napier(1550-1617) y Jobst Burgi (1552-1632). Su enfoque de los logaritmosera muy diferente al nuestro, se basaba en la relacion entre secuenciasaritmeticas y geometricas y no en la actual como funcion inversa(recıproca) de las funciones exponenciales.


Las tablas de Napier, publicadas en 1614, contenıan los llamadoslogaritmos naturales y eran algo difıciles de usar. Un profesor londinense,Henry Briggs, se intereso en las tablas y visito a Napier, Briggs convirtiolas tablas de Napier en las tablas de logaritmos comunes que fueronpublicadas en 1617.

Su importancia para el calculo fue inmediatamente reconocida yalrededor de 1650 se imprimıan en lugares tan lejanos como China.Dichas tablas siguieron siendo una poderosa herramienta de calculo hastael advenimiento de las calculadoras manuales de bajo precio alrededor de1972.


Definicion.

La funcion logarıtmica con base b, b ∈ R+, b 6= 1, la funcionf : R+ −→ R, definida por f(x) = logb x, donde:

logb x = y ⇔ by = x.Logaritmo de un numero (x) es el exponente (y) al que hay que elevar labase (b) para que nos de dicho numero (x), el numero x debe serpositivo x > 0.

logb x, see lee logarıtmo en base b de x.


Caracterısticas

Criterio:La funcion logarıtmica es una funcion cuyo criterio es de la formaf(x) = logb x, con b ∈ R+, b > 1 y x > 0 . Se lee logarıtmo base b dex. logb x = y ⇔ by = x

Dominio: R+.Codominio: R.Rango o Ambito: R.Sea f : R+ −→ R, f(x) : logb x


Monotonıa.

Teorema.La funcion logarıtmica f : R+ → R tal que f(x) = logb x, conb ∈ R+, b 6= 1, entoncesi) Si b > 1 f es creciente.ii) Si 0 < b < 1 f es decreciente.


Sea f : R+ → R con f(x) = logb xi) Si b > 1.

Sean x1, x2 ∈ R+ tal que x1 < x2

f(x1) = y1 ⇔ logb x1 = y1 ⇔ by1 = x1 yf(x2) = y2 ⇔ logb x2 = y2 ⇔ by2 = x2

Luego by1 < by2 , como b > 1⇔ y1 < y2

⇔ f(x1) < f(x2)


Intervalos· Si b > 1, f es estrictamente creciente.Nota: en el caso de la funcion logarıtmica es concava hacia arriba.


· Si 0 < b < 1, f es estrictamente decreciente.Nota: en el caso de la funcion logarıtmica es concava hacia abajo.


BiyectividadDecimos que una funcion f : A ⊂ R −→ R es monotona si y solo si escreciente en A o decreciente en A. La funcion logarıtmica cumple loanterior dicho ya que f : R+ −→ R y esta es creciente o decreciente,entonces es monotona.Por el teorema que dice ”Si f definida en A ⊂ R es una funcionmonotona, entonces, considerando su ambito B como su codominio,existe la funcion inversa f−1 : B ⊂ A”.Como la funcion logarıtmica es monotona, y su rango es igual alcodominio(f : R+ −→ R), entonces existe la funcion inversa. Por lotanto, la funcion logarıtmica es biyectiva.


Inversa

Una funcion y su inversa cumplen las propiedades:f−1(f(x)) = x, ∀x ∈ Df y f(f−1(x)) = x, ∀x ∈ Df−1

La inversa de la funcion logarıtmica f(x) = loga x es la funcionexponencial f−1(x) = ax.Si f(x) = loga x⇔ f−1(x) = ax, entonces:A) (f ◦ f−1)(x) = f(f−1(x)) = loga(f

−1(x)) = loga ax = x, con x ∈ R

B) (f−1 ◦ f)(x) = f−1(f(x)) = af(x) = aloga x = x, con x > 0∴ loga a

x = aloga x


Intersecciones con los ejesInterseccion con el eje ”y”: no tiene.Intrseccion con el eje ”x”: (1, 0).

Asıntota: La funcion logarımica posee asıntota vertical x = 0, cuandox −→ 0+, f(x) −→ ±∞.x = 0A) Si b > 1, entonces x −→ 0+ se tiene que logb x −→ −∞.B) Si 0 < b < 1, entonces x −→ 0+ se tiene que logb x −→ +∞.


Propiedades de los logaritmos.A)loga(xy) = loga x+ loga y.

B)loga

(x

y

)= loga(x÷ y) = logb x− loga y.

C)loga xn = n · loga x.

D) loga x =logb x

logb a⇔ b > 0; b 6= 1.

Pruebe que:A)loga x

1n = 1

n · loga x.

B) logan√x =

loga x

n.

C)logb b = 1.D)logb 1 = 0.


Notas en la resolucion de ecuaciones exponenciales aplicandologarıtmos:Recordemos las relaciones:a) logb x = a⇔ ba = xb) logb x = logb y ⇔ x = y

bx = a

log bx = log a

x · log b = log a

x =log a

log b.


Funcion logaritmo natural.Sea x un numero real positivo. La funcion logaritmo natural, denotadapor ln x, se define:ln x = y ⇔ ey = x. (ln x se lee ”logaritmo natural de x”).Las funciones inversas cumplen:f(f−1(x)) = x y f−1(f(x)) = x.Como (x) = ex y f−1(x) = ln x son inversas una de la otra, podemosconcluir que:ln ex = x y eln x = x.

a) y = e2x−5

ln y = In e2x−5

ln y = 2x− 5

5 + ln y = 2x

1

2(5 + ln y) = x


b) Si se depositan P dolares al 8 por 100 de interes, compuesto de formacontinua, ¿Cuanto tiempo tardara en doblarse el capital?

Pe0,08t = 2P

e0,08t = 2

0, 08t = ln 2

t =ln 2

0, 08≈ 8, 66


Ejercicios:A)log2 8 + log3 27 + log5 125 =

B)1

2log2 36 + log2

(2

3

)=

C)1

2log2 A+ log2 B − log2 C − log2 D =

D)log3

(A2 ·B5 ·

√C

D3

)=

E)

(x√x

3√

x2 · y · z5

)=


f(x) : − log2(x+ 1)− 2


f(x) :log3(x) + 1

2


| log2(x− 3) + 2 |


Contextos extra-matematicos: 1.Sitios para desperdicios peligrosos deacuerdo con cifras seleccionadas de 1981 a 1995, el numero de sitios masprofundos para desechos peligrosos en Estados Unidos se aproxima con lafuncion definida por:

f(x) = 11.34 + 317.01 log2 x


donde x = 1 corresponde a 1981, x = 2 a 1982, y asısucesivamente.(Fuente: Agencia para la proteccion del medio ambiente).Use la funcion para aproximar el numero de sitios en 1984.

x = 4 En el siguiente paso se sustituye la x por 4 que es el valor segun lasecuencia que se le asigna a 1984.

f(x) = 11.34 + 317.01 log2 4

= 11.34 + 317.01 · 2= 645.36

Use la funcion para aproximar el numero de sitios en 1988.


En el siguiente paso se sustituye la x por 8 que es el valor segun lasecuencia que se le asigna a 1984.

f(x) = 11.34 + 317.01 log2 8

= 11.34 + 317.01 · 3= 962.37


2.El terremoto de Lima de 1940 tuvo una magnitud de 8,2 ¿Que tanintenso fue el terremo de Ica del 15 de agosto del 2007 del 7,9 conrespecto al de Lima en 1940?Para resolver la siguiente problema aplicaremos la formula

M = log

(I

I0

), donde M es la magnitud, I es la intensidad del

terremoto y I0 es la intensidad de un terremoto estandar de referencia.


3.Cuando se degrada el 90% del valor inicial de la kriptonita roja deja deser peligrosa para superman. Cuando la kriptonita lleque a las 15 horas lequedara la mitad de vida y la radioactividad inicial es igual a I0. Elmodelo para la degracion radioactiva es : N(t) = I0(2

kt), donde N(t)representa la cantidad de material radioactivo restante, t representa eltiempo en horas (hrs) y el 2 que representa la mitad de vida (vida media)de la kriptonita.¿Por cuanto tiempo estara en peligro superman?


Campos cientıficos.

1. Psicologıa.2. Geologıa.3. Geografıa y estadıstica.4. Astronomıa.6. Fısica.6. Intensidad de sonido.7. Quımica.


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