Klasična mehanika- vježbe

***

Sadržaj

Uvod 1

1. Matematički uvod 21.1 Vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Derivacija i integral vektorskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Cilindrični i sferni koordinatni sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Kinematika 8

3. Newtonovi postulati. Rad, energija i jednostavni oblici sila. 10

4. Harmonijski oscilator 154.1 Slobodni oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Prigušeni oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.3 Prisilno titranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5. Gravitacija i centralne sile 18

6. Inercijski i neinercijski sustavi 20

Literatura 21

ii

Uvod

***

1

Matematički uvod

Vektori

1.1. Pronađite grafički i numerički rezultantu slijedećih pomaka: ~A− 10 metara sjeve-rozapadno, zatim ~B− 20 metara pod kutom od 30◦ od istoka prema sjeveru i na kraju~C− 30 metara južno.

Rješenje:...

1.2. Pronađite kut između dijagonala četverokuta s vrhovima u točkama (0, 0), (3, 2), (4, 6), (1, 3).

Rješenje:...

1.3. Izračunajte površinu trokuta s vrhovima u točkama A(2, 3, 5), B(4, 2,−1), C(3, 6, 4).

Rješenje:...

1.4. Izračunaj volumen paralelopipeda sa stranicama~A = 3~ex − 1~ey~B = 1~ey + 2~ey

2

1. MATEMATIČKI UVOD 3

~C = 1~ex + 5~ey + 4~ez

Rješenje:...

Zadaci za vježbu

1.5. Ako je ~A = 3~ex − ~ey + 2~ez i ~B = 2~ex + 3~ey − ~ez izračunaj ~A · ~B i ~A× ~B.

1.6. Ako je~A = 1~ex + 1~ey

~B = 2~ex − 3~ey + 1~ey~C = 4~ey − 3~ez

izračunaj ( ~A× ~B)× ~C i ~A× ( ~B × ~C).

1.7. Odredite koji vektor ima za početnu točku (2, -1, 3), a za konačnu (3, 2, -4) iizračunajte njegovu duljinu.

1.8. Koristeći se vektorima dokažite kosinusov poučak.

1.9. Pronađite jedinični vektor koji je okomit na ravninu koju čine vektori ~A = 3~ex −2~ey + 4~ez i ~B = 1~ex + 1~ey − 2~ez

Derivacija i integral vektorskog polja

1.10. Zadani su vektori~A = sin q ~ex + cos q ~ey + q~ez

~B = cos q ~ex − sin q ~ey − 3~ez

1. MATEMATIČKI UVOD 4

~C = 2~ex + 3~ey − 1~ezIzračunajte

d

dq[ ~A× ( ~B × ~C)]|q=0

Rješenje:...

1.11. Izračunajte ∫ 2

1~A(u)du

ako je ~A(u) = (3u2 − 1)~ex + (2u− 3)~ey + (6u2 − 4u)~ez

Rješenje:...

1.12. Izračunajte linijski integral ∫C

~V d~r

za~V (3x− 2y)~ex + (y + 2z)~ey + x2~ez

(a) po krivulji(0, 0, 0)→ (0, 1, 0)→ (0, 1, 1)→ (1, 1, 1)

(b) po pravcu koji spaja ishodište i točku (1, 1, 1)

Rješenje:...

1.13. Zadano je vektorsko polje

~V = (2xy + z3)~ex + (x2 + 2y)~ey + (3xz2 − 2)~ez

Izračunajte funkciju s koja zadovoljava relaciju ~V = ~∇s.

Rješenje:...

1. MATEMATIČKI UVOD 5

1.14. Provjerite Gaussov teorem za vektorsko polje~V = y2~ex + (2xy + z2)~ey + 2yz~ez

gdje je volumen integracije kocka brida 1 s vrhom u ishodištu i bridovima paralelnimakoordinatnim osima.

Rješenje:...

1.15. Provjerite Stokesov teorem za vektorsko polje~V = (2xz + 3y2)~ey + 4yz2~ez

gdje je površina integracije kvadrat stranice 1 s vrhom u ishodištu.

Rješenje:...

Zadaci za vježbu

1.16. Ako je φ = xy + yz + zx i ~A = x2y~ex + y2z~ey + z2x~ez izračunaj

(a) ~A · ~∇φ(b)φ~∇ · ~A(c)(~∇φ)× ~A

u točki (3, -1, 2).

1.17. Ako je φ = x2y − 3xz2 + 2xyz pokažite da je rotacija gradijenta ovog skalarnogpolja nula.

1.18. Ako je ~A = (2x2−yz)~ex+(y2−2xz)~ey+x2z3~ez pokažite da je divergencija rotacijeovog vektorskog polja nula.

1.19. Provjeri Gaussov teorem za vektorsko polje ~V = xy~ex + 2yz~ey + 3zx~ez gdje jevolumen integracije kocka brida 2 s vrhom u ishodištu.

1. MATEMATIČKI UVOD 6

1.20. Provjeri Stokesov teorem za vektorsko polje ~V = xy~ex + 2yz~ey + 3zx~ez gdje jepovršina integracije trokut sa slike.

Cilindrični i sferni koordinatni sustav

1.21. Izračunaj površinu kruga polumjera R koristeći pravokutni koordinatni sustav.

Rješenje:...

1.22. Koristeći cilindrični koordinatni sustav izračunaj volumen valjka polumjera bazeR i visine H.

Rješenje:...

1.23. Koristeći cilindrični koordinatni sustav izračunaj volumen stožca polumjera bazeR i visine H.

Rješenje:...

1. MATEMATIČKI UVOD 7

1.24. Koristeći sferni koordinatni sustav izračunaj volumen sfere polumjera R.

Rješenje:...

1.25. Koristeći sferni koordinatni sustav, izračunajte volumen manjeg od dva dijela kojase dobiju presjecanjem sfere polumjera R i ravnine udaljene za D od središta sfere.

Rješenje:...

Zadaci za vježbu

1.26. Provjerite Gaussov teorem za vektorsko polje

~V = r2~er

gdje je volumen integracije sfera polumjera R sa središtem u ishodištu.

1.27. Provjerite Gaussov teorem za vektorsko polje

~V = ρ(2 + sin2 φ)~eρ + ρ sinφ cosφ~eφ + 3z~ez

Područje integracije je četvrtina valjka visine 5 i polumjera baze 2 u prvom kvadrantu.

Kinematika

2.1. Čestica se giba duž krivulje koja je zadana sa

~r = 3e−2t~ex + 4 sin 3t ~ey + 5 cos 3t~ez

(a) izračunajte brzinu i akceleraciju u bilo kojem trenutku.(b) izračunajte iznos brzine i akceleracije u t = 0

Rješenje:...

2.2. Čestima ima akceleraciju danu s:

~a = 2e−t~ex + 5 cos t ~ey − 3 sin t ~ez

Ako se čestica nalazi u točki (1, -3, 2) u trenutku t = 0 i giba se brzinom (4, -3, 2),izračunajte brzinu i položaj čestice u bilo kojem trenutku.

Rješenje:...

2.3. Čestica se giba po putanji danoj vektorom položaja

~r = cosωt ~ex + sinωt ~ey

gdje je ω neka konstanta. Pokažite da je brzina čestice okomita vektoru položaja, daje akceleracija usmjerena prema ishodištu i ima iznos proporcionalan udaljenosti odishodišta i da je ~r × ~v konstantan. Opišite ovo gibanje.

8

2. KINEMATIKA 9

Rješenje:...

Zadaci za vježbu

2.4. Vektor položaja čestice dan je izrazom

~r = a cosωt ~ex + b sinωt ~ey + ct2

uz koji uvjet se iznos akceleracije čestice ne mijenja s vremenom?

2.5. Izračunaj tangencijalno i normalno ubrzanje čestice koja se giba po krivulji

~r = a cosωt ~ex + b sinωt ~ey

2.6. Čestica se giba duž krivulje

~r = (t2 + t) ~ex + (3t− 2) ~ey + (2t3 − 4t2) ~ez

Izračunaj brzinu i akceleraciju u bilo kojem trenutku. Izračunaj iznos brzine i akceleracijeza t = 2.

Newtonovi postulati. Rad, energija i jed-nostavni oblici sila.

3.1. Čestica mase 2 giba se u polju sile

~F = 24t2~ex + (36t− 16)~ey − 12t~ez

Ako čestica u početnom trenutku miruje u ishodištu, pronađite putanju čestice u bilokojem trenutku.

Rješenje:...

3.2. Izračunajte rad obavljen gibanjem čestice u polju sile

~F = x2~ex + (2xz − y)~ey + z~ez

a) duž pravca (0, 0, 0)→ (2, 1, 3)b) duž krivulje zadane sa x = 2q2, y = q, z = 4q2 − q, q = 0→ 1.

Rješenje:...

3.3. Pokažite da je polje sile

~F = (y2z3 − 6xz2)~ex + 2xyz3~ey + (3xy2z2 − 6x2z)~ez

konzervativno i izračunajte pripadajuću potencijalnu energiju.

10

3. NEWTONOVI POSTULATI. RAD, ENERGIJA I JEDNOSTAVNI OBLICI SILA.11

Rješenje:...

3.4. Čestica se giba po osi x u polju potencijalne energije

Ep(x) = x2(6− x)

Pronađite položaje ravnoteže i odredite njihovu stabilnost. Kolika je vrijednost poten-cijalne energije u tim točkama?

Rješenje:...

3.5. Odredite položaje lokalnih ekstrema potencijalne energije

Ep(x, y) = 4xy − x4 − y4

Rješenje:...

3.6. Čestica (ili tijelo) klizi niz kosinu nagiba α. Ako je koeficijent trenja između česticei kosine µ, izračunajte akceleraciju, brzinu i položaj nakon vremena t. U početnomtrenutku čestica miruje na vrhu kosine.

Rješenje:...

3.7. Čestica mase m giba se duž x - osi tako da se u početnom trenutku t = 0 nalaziu ishodištu i ima brzinu v0. Na česticu djeluje sila koja se suprotstavlja gibanju i imaiznos proporcionalan kvadratu brzine. Izračunajte brzinu, položaj i akceleraciju česticeu bilo kojem trenutku.

Rješenje:...

3. NEWTONOVI POSTULATI. RAD, ENERGIJA I JEDNOSTAVNI OBLICI SILA.12

3.8. Tijelo mase m ovješeno je dvjema nerastezljivim nitima duljina a i b o strop. Ovje-sišta niti su međusobno udaljena za c. Pronađite napetosti niti izražene preko a, b ic.

Rješenje:...

Zadaci za vježbu

3.9. Čestica se giba duž x - osi u polju sile s potencijalom

V = 12kx

2 k > 0

Odredite točke i tip ravnoteže.

3.10. Izračunajte obavljeni rad pri pomicanju čestice u polju sile

~F = (2x− y + z)~ex + (x+ y − z2)~ey + (3x− 2y − 4z)~ez

ako je gibanje ograničeno na kružnu putanju polumjera 3 sa središtem u ishodištu.

3.11. Čestica se giba pod djelovanjem sile

~F = 20~ex − 30~ey + 15~ez

duž ravne crte od točke A do točke B s vektorima položaja ~rA = 2~ex + 7~ey − 3~ez i~rB = 5~ex − 3~ey − 6~ez. Izračunajte obavljeni rad.

3.12. Uslijed djelovanja sile ~F , čestica mase 4 giba se duž krivulje ~r = (3t2 − 2t)~ex +t3~ey − t4~ez. Izračunaj rad koje obavi polje pri pomicanju čestice iz točke t=1 u t=2.

3.13. Čestica mase m giba se pod utjecajem polja sile

~F = a (sinωt ~ex + cosωt ~ey) .

3. NEWTONOVI POSTULATI. RAD, ENERGIJA I JEDNOSTAVNI OBLICI SILA.13

Ako čestica u početku miruje u ishodištu, dokaži da je rad obavljen nad česticom dovremena t dan s izrazom:

W = a2

mω2 (1− cosωt)

3.14. Pokaži da je polje sile

~F = (y2 − 2xyz3)~ex + (3 + 2xy − x2z3)~ey + (6z3 − 3x2yz2)~ez

konzervativno i pronađi potencijal toga polja. Izračunaj rad obavljen ako se česticapremjesti iz točke (2, -1, 2) u (-1, 3, -2).

3.15. Na česticu djeluju sile ~F1 = 2~ex+a~ey−3~ez, ~F2 = 5~ex+c~ey+b~ez, ~F3 = b~ex−5~ey+7~ez,~F4 = c~ex−6~ey+a~ez. Pronađite silu koja bi morala djelovati na česticu da bi rezultantnasila na tijelo bila nula.

3.16. Potencijal čestice koja se giba u xy ravnini je

Ep = 2x2 − 5xy + 3y2 + 6x− 7y .

Izračunaj točke za koje je čestica u ravnoteži.

3.17. Čestica se giba duž x osi pod djelovanjem polja sile s potencijalom Ep = sin 2πx.Pronađi točke ravnoteže i njihovu stabilnost.

3.18. Predmet se pravocrtno kliže na ravnoj podlozi. Ako mu je početna brzina v0, azaustavi se nakon x0, pokaži da je koeficijent trenja dan s

µ = v20

2gx0.

3.19. Masa m miruje na horizontalnom komadu drveta. Jedan kraj drveta se polakopodiže sve dok se masa ne krene klizati. Ako je u tom trenu kut koji drvo zatvara spodlogom α, pokaži da je koeficijent trenja dana s

µ = tgα .

3.20. Čestica mase m gibase se po paraboličnoj žici čija je formula c z = x2, gdje je ckonstanta. Ako je koeficijent trenja µ, pronađi najvišu udaljenost iznad x osi za koju ječestica u ravnoteži.

3. NEWTONOVI POSTULATI. RAD, ENERGIJA I JEDNOSTAVNI OBLICI SILA.14

3.21. Projektil se ispali s vrha kosine kuta α niz kosinu, tako da početna brzina zatvarakut γ s kosinom. Pretpostavljajući da projektil udari u kosinu, pokaži da je domet dans

R = 2v20sin γ cos(γ − α)

g cos2α

3.22. Top ima domet Rmax. Pokaži da je dostignuta visina u tom slučaju Rmax/4, avrijeme leta

√Rmax

2g .

3.23. Projektil se ispali s dna kosine, nagiba α, početnom brzinom v0 i pod nagibom βu odnosu na horizontalu. Pokaži da je domet projektila uz kosinu

R = 2v20sin(β − α) cos β

g cos2α.

Harmonijski oscilator

Slobodni oscilator

4.1. Čestica mase 2 giba se duž x - osi pod djelovanjem sile ~F = −8x~ex. Ako se upočetnom trenutku čestica nalazi u x = 20 s brzinom v = 0, izračunajte položaj čestice,brzinu, amplitudu i period.

Rješenje:...

Prigušeni oscilator

4.2. Čestica mase 5 giba se pod djelovanjem povratne sile ~F = −40x~ex. Na česticudjeluje i prigušna sila koja se suprotstavlja gibanju čestice i proporcionalna je brzini~FO = −20v~ex. Ako se u početnom trenutku čestica nalazi u x = 20 s brzinom v = 0,izračunajte položaj čestice u bilo kojem trenutku i dugo nakon početka gibanja.

Rješenje:...

15

4. HARMONIJSKI OSCILATOR 16

Prisilno titranje

4.3. Gibanje čestice duž x - osi dano je jednadžbom

x+ 4x+ 8x = 20 cos 2t

Ako čestica započne gibanje iz stanja mirovanja u točki x = 0 pronađite položaj i brzinučestice u bilo kojem trenutku.

Rješenje:...

4.4. Tjerani oscilator ima jednadžbu gibanja

x+ 9x = 8 sinωt

s početnim uvjetima x = 0 i v = 0. Pronađite položaj oscilatora u bilo kojem trenutku.

Rješenje:...

Zadaci za vježbu

4.5. Pokažite da je harmonička sila konzervativna i izračunajte pripadnu potencijalnuenergiju.

4.6. Čestica se giba jednolikom kutnom brzinom ω po kružnici polumjera R. Pokaži daprojekcija položaja čestice na promjer kružnice oscilira periodom 2π/ω.

4.7. Čestica se giba kao slobodni harmonijski oscilator. Ako je njena akceleracija A naudaljenosti D od položaja ravnoteže, dokaži da je period titranja dan s 2π

√DA .

4.8. Riješi jednadžbu x + 2x + 5x = 0 s početnim uvjetima x(0) = 5 i x(0) = −3.Protumačite rezultate.

4. HARMONIJSKI OSCILATOR 17

4.9. Uteg an okomitoj opruzi giba se po slijedećoj jednadžbi:

x+ 16x = 7 cos 2t

gdje je x udaljenost od položaja ravnoteže, a ω > 0 konstanta. Ako su u t = 0: x = 5 ix = 2 pronađi položaj utega u bilo kojem trenutku.

Gravitacija i centralne sile

Zadaci za vježbu

5.1. Izračunaj gravitacijsku silu između tankog štapa jednolike gustoće i duljine 2l ičestice mase m iznad njegovog središta.

5.2. Izračunaj gravitacijsku silu između tankog štapa jednolike gustoće i duljine 2l ičestice mase m iznad jednog njegovog kraja.

5.3. Izračunaj gravitacijsku silu između tankog štapa jednolike gustoće i beskonačne du-ljine i čestice mase m na udaljenosti s od njega (iskoristi rezultate iz prošla dva zadatka).

5.4. Izračunaj gravitacijsku silu između prstena polumjera R, jednolike gustoće i masekoja se nalazi iznad njegovog središta.

5.5. Izračunaj gravitacijsku silu između diska polumjera R, jednolike gustoće i masekoja se nalazi iznad njegovog središta.

5.6. Izračunaj gravitacijsku silu između beskonačno velike ploče jednolike gustoće i masekoja se nalazi na nekoj visini iznad nje (koristiti rezultat iz prošlog zadatka).

5.7. Izračunaj gravitacijsku silu između sferne ljuske polumjera R ako

1. čestica mase m se nalazi unutar sferne ljuske.

2. čestica mase m se nalazi izvan sferne ljuske.

18

5. GRAVITACIJA I CENTRALNE SILE 19

5.8. Izračunaj gravitacijsku silu između sfere polumjera R ako

1. čestica mase m se nalazi unutar sfere.

2. čestica mase m se nalazi izvan sfere.

5.9. Za prethodne zadatke izračunajte potencijal i provjerite relaciju ~F = −~∇V

5.10. Kroz središte Zemlje probije se tunel. Ako ispustimo tijelo u njega, pokaži da senjegovo gibanje može promatrati kao titranje slobodnog harmonijskog oscilatora.

5.11. Izračunaj pripadajuću potencijalnu energiju polju centralne sile:

1. ~F = −K 1r3 r

2. ~F = ( αr2 + β

r3 )r

3. ~F = Krr

4. ~F = r√r

5. ~F = sin πr r

5.12. Nađi potencijalnu energiju za česticu koja se giba u polju sile

~F = −K r

r2 .

Koliki rad obavi sila pri pomicanju čestice s točke na krugu polumjera a na neku točkuna krugu polumjera b (b > a)?

Inercijski i neinercijski sustavi

Zadaci za vježbu

6.1. Dokaži da centrigualna sila koja djeluje na česticu mase m na Zemljinoj površini jevektor usmjeren od Zemlje okomito na os rotacije i iznosa mω2sin λ gdje je λ kolatituda.

6.2. Gdje je centrifugalna sila na Zemlji najveća, a gdje najmanja?

20

Literatura

Glumac, Zvonko. Klasična mehanika - kratak uvod.

Goldstein, H. Poole, C. Safko J. Classical Mechanics. Addison-Wesley

Spiegel, M. R. Theory and Problems of Theoretical Mechanics. McGraw-Hill, 1967.

Wells, D. A. Theory and Problems of Lagrangian Dynamics. McGraw-Hill, 1967.

21