km-modellek középiskolás fokon · tartalom 1 bevezetés 2 fibonacci–demográfia 3...
TRANSCRIPT
KM-modellek középiskolás fokon
Simonovits András
MTA KRTK KTI, BME MI
2018. szeptember 30.
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 1 / 34
Tartalom
1 Bevezetés
2 Fibonacci–demográfia
3 Közepek–optimalizálás
4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása
5 Jelzáloghitelek
6 Regresszió és PPP
7 Következtetések
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 2 / 34
Bevezetés
Bevezetés
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 3 / 34
Bevezetés
Motiváció
A középiskolai matematikai szakkörökben kevés az alkalmazás,
s az is szinte csak fizikaA közgazdasági alkalmazások is fontosak és érdekesekezt próbálom megmutatni az eloadásban
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 4 / 34
Bevezetés
Motiváció
A középiskolai matematikai szakkörökben kevés az alkalmazás,s az is szinte csak fizika
A közgazdasági alkalmazások is fontosak és érdekesekezt próbálom megmutatni az eloadásban
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 4 / 34
Bevezetés
Motiváció
A középiskolai matematikai szakkörökben kevés az alkalmazás,s az is szinte csak fizikaA közgazdasági alkalmazások is fontosak és érdekesek
ezt próbálom megmutatni az eloadásban
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 4 / 34
Bevezetés
Motiváció
A középiskolai matematikai szakkörökben kevés az alkalmazás,s az is szinte csak fizikaA közgazdasági alkalmazások is fontosak és érdekesekezt próbálom megmutatni az eloadásban
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 4 / 34
Bevezetés
Mire jók a közgazdasági modellek?
Segítenek az eligazodásban (térkép)
Sok kis modell jobb mint egy nagy modellA közgazdaságtanban domináns a statikus és optimalizáló modellÖnérdek és ideológia fontosabb mint a biológiában (bárdarwinizmus az USA közoktatásában problematikus)Idonként dinamizálunk és gyakran lemondunk az optimalizálásról
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 5 / 34
Bevezetés
Mire jók a közgazdasági modellek?
Segítenek az eligazodásban (térkép)Sok kis modell jobb mint egy nagy modell
A közgazdaságtanban domináns a statikus és optimalizáló modellÖnérdek és ideológia fontosabb mint a biológiában (bárdarwinizmus az USA közoktatásában problematikus)Idonként dinamizálunk és gyakran lemondunk az optimalizálásról
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 5 / 34
Bevezetés
Mire jók a közgazdasági modellek?
Segítenek az eligazodásban (térkép)Sok kis modell jobb mint egy nagy modellA közgazdaságtanban domináns a statikus és optimalizáló modell
Önérdek és ideológia fontosabb mint a biológiában (bárdarwinizmus az USA közoktatásában problematikus)Idonként dinamizálunk és gyakran lemondunk az optimalizálásról
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 5 / 34
Bevezetés
Mire jók a közgazdasági modellek?
Segítenek az eligazodásban (térkép)Sok kis modell jobb mint egy nagy modellA közgazdaságtanban domináns a statikus és optimalizáló modellÖnérdek és ideológia fontosabb mint a biológiában (bárdarwinizmus az USA közoktatásában problematikus)
Idonként dinamizálunk és gyakran lemondunk az optimalizálásról
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 5 / 34
Bevezetés
Mire jók a közgazdasági modellek?
Segítenek az eligazodásban (térkép)Sok kis modell jobb mint egy nagy modellA közgazdaságtanban domináns a statikus és optimalizáló modellÖnérdek és ideológia fontosabb mint a biológiában (bárdarwinizmus az USA közoktatásában problematikus)Idonként dinamizálunk és gyakran lemondunk az optimalizálásról
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 5 / 34
Bevezetés
Mitol jó egy modell/2?
Friedmann (1953): rossz feltevések⇒ jó elorejelzés
Öttalálatos lottó: 2× 2 = 5?
Koopmans (1957): segít a megértésbenOlyan mint a térkép: londoni metróséma 1930 – kétévi elozetesvita1972: elso londoni utamon belvárosi tapasztalat:1 megálló = 2 percKertvárosi meghívás: 20 állomás = 60 perc⇒ 20 perces késésMásra használtam mint amire alkalmas volt
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 6 / 34
Bevezetés
Mitol jó egy modell/2?
Friedmann (1953): rossz feltevések⇒ jó elorejelzésÖttalálatos lottó: 2× 2 = 5?
Koopmans (1957): segít a megértésbenOlyan mint a térkép: londoni metróséma 1930 – kétévi elozetesvita1972: elso londoni utamon belvárosi tapasztalat:1 megálló = 2 percKertvárosi meghívás: 20 állomás = 60 perc⇒ 20 perces késésMásra használtam mint amire alkalmas volt
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 6 / 34
Bevezetés
Mitol jó egy modell/2?
Friedmann (1953): rossz feltevések⇒ jó elorejelzésÖttalálatos lottó: 2× 2 = 5?
Koopmans (1957): segít a megértésben
Olyan mint a térkép: londoni metróséma 1930 – kétévi elozetesvita1972: elso londoni utamon belvárosi tapasztalat:1 megálló = 2 percKertvárosi meghívás: 20 állomás = 60 perc⇒ 20 perces késésMásra használtam mint amire alkalmas volt
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 6 / 34
Bevezetés
Mitol jó egy modell/2?
Friedmann (1953): rossz feltevések⇒ jó elorejelzésÖttalálatos lottó: 2× 2 = 5?
Koopmans (1957): segít a megértésbenOlyan mint a térkép: londoni metróséma 1930 – kétévi elozetesvita
1972: elso londoni utamon belvárosi tapasztalat:1 megálló = 2 percKertvárosi meghívás: 20 állomás = 60 perc⇒ 20 perces késésMásra használtam mint amire alkalmas volt
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 6 / 34
Bevezetés
Mitol jó egy modell/2?
Friedmann (1953): rossz feltevések⇒ jó elorejelzésÖttalálatos lottó: 2× 2 = 5?
Koopmans (1957): segít a megértésbenOlyan mint a térkép: londoni metróséma 1930 – kétévi elozetesvita1972: elso londoni utamon belvárosi tapasztalat:1 megálló = 2 perc
Kertvárosi meghívás: 20 állomás = 60 perc⇒ 20 perces késésMásra használtam mint amire alkalmas volt
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 6 / 34
Bevezetés
Mitol jó egy modell/2?
Friedmann (1953): rossz feltevések⇒ jó elorejelzésÖttalálatos lottó: 2× 2 = 5?
Koopmans (1957): segít a megértésbenOlyan mint a térkép: londoni metróséma 1930 – kétévi elozetesvita1972: elso londoni utamon belvárosi tapasztalat:1 megálló = 2 percKertvárosi meghívás: 20 állomás = 60 perc⇒ 20 perces késés
Másra használtam mint amire alkalmas volt
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 6 / 34
Bevezetés
Mitol jó egy modell/2?
Friedmann (1953): rossz feltevések⇒ jó elorejelzésÖttalálatos lottó: 2× 2 = 5?
Koopmans (1957): segít a megértésbenOlyan mint a térkép: londoni metróséma 1930 – kétévi elozetesvita1972: elso londoni utamon belvárosi tapasztalat:1 megálló = 2 percKertvárosi meghívás: 20 állomás = 60 perc⇒ 20 perces késésMásra használtam mint amire alkalmas volt
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 6 / 34
Bevezetés
Londoni metróséma részlete
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 7 / 34
Fibonacci–demográfia
Fibonacci számoktól a demográfiáig
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 8 / 34
Fibonacci–demográfia
Fibonacci-sorozat/1
Nyulak szaporodása, 1202
Fn+2 = Fn + Fn+1, n = 1,2,3, . . .
Kezdoértékek: F0 = 1, F1 = 1Elso tagok: 2, 3, 5, stbzárt képlet: pl. számtani sorozatnál an = an−1 + d ⇒ an = a0 + nd
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 9 / 34
Fibonacci–demográfia
Fibonacci-sorozat/1
Nyulak szaporodása, 1202
Fn+2 = Fn + Fn+1, n = 1,2,3, . . .
Kezdoértékek: F0 = 1, F1 = 1
Elso tagok: 2, 3, 5, stbzárt képlet: pl. számtani sorozatnál an = an−1 + d ⇒ an = a0 + nd
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 9 / 34
Fibonacci–demográfia
Fibonacci-sorozat/1
Nyulak szaporodása, 1202
Fn+2 = Fn + Fn+1, n = 1,2,3, . . .
Kezdoértékek: F0 = 1, F1 = 1Elso tagok: 2, 3, 5, stb
zárt képlet: pl. számtani sorozatnál an = an−1 + d ⇒ an = a0 + nd
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 9 / 34
Fibonacci–demográfia
Fibonacci-sorozat/1
Nyulak szaporodása, 1202
Fn+2 = Fn + Fn+1, n = 1,2,3, . . .
Kezdoértékek: F0 = 1, F1 = 1Elso tagok: 2, 3, 5, stbzárt képlet: pl. számtani sorozatnál an = an−1 + d ⇒ an = a0 + nd
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 9 / 34
Fibonacci–demográfia
Fibonacci-sorozat/2
Euler (1740) zseniális ötlete: Fn = ϕλn alakban, ϕ 6= 0
Behelyettesítve a rekurzióba:
ϕλn+2 = ϕλn + ϕλn+1, n = 2,3, . . .
Rendezve
λ2 = λ+ 1⇒ λ1,2 =1±√
52
Két különbözo megoldás tetszoleges lineáris kombinációja:Fn = ϕ1λ
n1 + ϕ2λ
n2 eloállítja az összes lehetséges megoldást:
Kezdoértékek:
F0 = ϕ1 + ϕ2 = 1, F1 = ϕ1λ1 + ϕ2λ2 = 1
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 10 / 34
Fibonacci–demográfia
Fibonacci-sorozat/2
Euler (1740) zseniális ötlete: Fn = ϕλn alakban, ϕ 6= 0Behelyettesítve a rekurzióba:
ϕλn+2 = ϕλn + ϕλn+1, n = 2,3, . . .
Rendezve
λ2 = λ+ 1⇒ λ1,2 =1±√
52
Két különbözo megoldás tetszoleges lineáris kombinációja:Fn = ϕ1λ
n1 + ϕ2λ
n2 eloállítja az összes lehetséges megoldást:
Kezdoértékek:
F0 = ϕ1 + ϕ2 = 1, F1 = ϕ1λ1 + ϕ2λ2 = 1
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 10 / 34
Fibonacci–demográfia
Fibonacci-sorozat/2
Euler (1740) zseniális ötlete: Fn = ϕλn alakban, ϕ 6= 0Behelyettesítve a rekurzióba:
ϕλn+2 = ϕλn + ϕλn+1, n = 2,3, . . .
Rendezve
λ2 = λ+ 1⇒ λ1,2 =1±√
52
Két különbözo megoldás tetszoleges lineáris kombinációja:Fn = ϕ1λ
n1 + ϕ2λ
n2 eloállítja az összes lehetséges megoldást:
Kezdoértékek:
F0 = ϕ1 + ϕ2 = 1, F1 = ϕ1λ1 + ϕ2λ2 = 1
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 10 / 34
Fibonacci–demográfia
Fibonacci-sorozat/2
Euler (1740) zseniális ötlete: Fn = ϕλn alakban, ϕ 6= 0Behelyettesítve a rekurzióba:
ϕλn+2 = ϕλn + ϕλn+1, n = 2,3, . . .
Rendezve
λ2 = λ+ 1⇒ λ1,2 =1±√
52
Két különbözo megoldás tetszoleges lineáris kombinációja:Fn = ϕ1λ
n1 + ϕ2λ
n2 eloállítja az összes lehetséges megoldást:
Kezdoértékek:
F0 = ϕ1 + ϕ2 = 1, F1 = ϕ1λ1 + ϕ2λ2 = 1
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 10 / 34
Fibonacci–demográfia
Fibonacci-sorozat/2
Euler (1740) zseniális ötlete: Fn = ϕλn alakban, ϕ 6= 0Behelyettesítve a rekurzióba:
ϕλn+2 = ϕλn + ϕλn+1, n = 2,3, . . .
Rendezve
λ2 = λ+ 1⇒ λ1,2 =1±√
52
Két különbözo megoldás tetszoleges lineáris kombinációja:Fn = ϕ1λ
n1 + ϕ2λ
n2 eloállítja az összes lehetséges megoldást:
Kezdoértékek:
F0 = ϕ1 + ϕ2 = 1, F1 = ϕ1λ1 + ϕ2λ2 = 1
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 10 / 34
Fibonacci–demográfia
3-nemzedékes demográfia
Idoszakok (15 év): t = 0,1,2, . . .
Létszámok: lányok (xt ), fiatal anyák (xt−1), idosebb anyák (xt−2)Szülési egyenlet: xt = f1xt−1 + f2xt−2, f1, f2 > 0, kezdetiértékek: x−1, x0
Zárt alakú megoldás: xt = ξ1λt1 + ξ2λ
t2
ahol p(λ) = λ2 − f1λ− f2 = 0Stacionárius népesség: xt = x0, t = 1,2, . . .feltétele: λ2 = 1, azaz f1 + f2 = 1, továbbá λ1 = −f2Oszcillálva konvergens, mert −1 < λ1 < 0 < λ2 = 1:
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 11 / 34
Fibonacci–demográfia
3-nemzedékes demográfia
Idoszakok (15 év): t = 0,1,2, . . .Létszámok: lányok (xt ), fiatal anyák (xt−1), idosebb anyák (xt−2)
Szülési egyenlet: xt = f1xt−1 + f2xt−2, f1, f2 > 0, kezdetiértékek: x−1, x0
Zárt alakú megoldás: xt = ξ1λt1 + ξ2λ
t2
ahol p(λ) = λ2 − f1λ− f2 = 0Stacionárius népesség: xt = x0, t = 1,2, . . .feltétele: λ2 = 1, azaz f1 + f2 = 1, továbbá λ1 = −f2Oszcillálva konvergens, mert −1 < λ1 < 0 < λ2 = 1:
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 11 / 34
Fibonacci–demográfia
3-nemzedékes demográfia
Idoszakok (15 év): t = 0,1,2, . . .Létszámok: lányok (xt ), fiatal anyák (xt−1), idosebb anyák (xt−2)Szülési egyenlet: xt = f1xt−1 + f2xt−2, f1, f2 > 0, kezdetiértékek: x−1, x0
Zárt alakú megoldás: xt = ξ1λt1 + ξ2λ
t2
ahol p(λ) = λ2 − f1λ− f2 = 0Stacionárius népesség: xt = x0, t = 1,2, . . .feltétele: λ2 = 1, azaz f1 + f2 = 1, továbbá λ1 = −f2Oszcillálva konvergens, mert −1 < λ1 < 0 < λ2 = 1:
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 11 / 34
Fibonacci–demográfia
3-nemzedékes demográfia
Idoszakok (15 év): t = 0,1,2, . . .Létszámok: lányok (xt ), fiatal anyák (xt−1), idosebb anyák (xt−2)Szülési egyenlet: xt = f1xt−1 + f2xt−2, f1, f2 > 0, kezdetiértékek: x−1, x0
Zárt alakú megoldás: xt = ξ1λt1 + ξ2λ
t2
ahol p(λ) = λ2 − f1λ− f2 = 0Stacionárius népesség: xt = x0, t = 1,2, . . .feltétele: λ2 = 1, azaz f1 + f2 = 1, továbbá λ1 = −f2Oszcillálva konvergens, mert −1 < λ1 < 0 < λ2 = 1:
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 11 / 34
Fibonacci–demográfia
3-nemzedékes demográfia
Idoszakok (15 év): t = 0,1,2, . . .Létszámok: lányok (xt ), fiatal anyák (xt−1), idosebb anyák (xt−2)Szülési egyenlet: xt = f1xt−1 + f2xt−2, f1, f2 > 0, kezdetiértékek: x−1, x0
Zárt alakú megoldás: xt = ξ1λt1 + ξ2λ
t2
ahol p(λ) = λ2 − f1λ− f2 = 0
Stacionárius népesség: xt = x0, t = 1,2, . . .feltétele: λ2 = 1, azaz f1 + f2 = 1, továbbá λ1 = −f2Oszcillálva konvergens, mert −1 < λ1 < 0 < λ2 = 1:
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 11 / 34
Fibonacci–demográfia
3-nemzedékes demográfia
Idoszakok (15 év): t = 0,1,2, . . .Létszámok: lányok (xt ), fiatal anyák (xt−1), idosebb anyák (xt−2)Szülési egyenlet: xt = f1xt−1 + f2xt−2, f1, f2 > 0, kezdetiértékek: x−1, x0
Zárt alakú megoldás: xt = ξ1λt1 + ξ2λ
t2
ahol p(λ) = λ2 − f1λ− f2 = 0Stacionárius népesség: xt = x0, t = 1,2, . . .
feltétele: λ2 = 1, azaz f1 + f2 = 1, továbbá λ1 = −f2Oszcillálva konvergens, mert −1 < λ1 < 0 < λ2 = 1:
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 11 / 34
Fibonacci–demográfia
3-nemzedékes demográfia
Idoszakok (15 év): t = 0,1,2, . . .Létszámok: lányok (xt ), fiatal anyák (xt−1), idosebb anyák (xt−2)Szülési egyenlet: xt = f1xt−1 + f2xt−2, f1, f2 > 0, kezdetiértékek: x−1, x0
Zárt alakú megoldás: xt = ξ1λt1 + ξ2λ
t2
ahol p(λ) = λ2 − f1λ− f2 = 0Stacionárius népesség: xt = x0, t = 1,2, . . .feltétele: λ2 = 1, azaz f1 + f2 = 1, továbbá λ1 = −f2
Oszcillálva konvergens, mert −1 < λ1 < 0 < λ2 = 1:
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 11 / 34
Fibonacci–demográfia
3-nemzedékes demográfia
Idoszakok (15 év): t = 0,1,2, . . .Létszámok: lányok (xt ), fiatal anyák (xt−1), idosebb anyák (xt−2)Szülési egyenlet: xt = f1xt−1 + f2xt−2, f1, f2 > 0, kezdetiértékek: x−1, x0
Zárt alakú megoldás: xt = ξ1λt1 + ξ2λ
t2
ahol p(λ) = λ2 − f1λ− f2 = 0Stacionárius népesség: xt = x0, t = 1,2, . . .feltétele: λ2 = 1, azaz f1 + f2 = 1, továbbá λ1 = −f2Oszcillálva konvergens, mert −1 < λ1 < 0 < λ2 = 1:
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 11 / 34
Közepek–optimalizálás
Közepektol a hasznosságmaximalizálásig
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 12 / 34
Közepek–optimalizálás
Mértani közép legfeljebb akkora, mint a számtaniközép
Két pozitív valós szám: x , y
G(x , y) =√
xy , A(x , y) =x + y
2
Ismert, hogy G(x , y) ≤ A(x , y)
és egyenloség pontosan akkor, ha x = y
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 13 / 34
Közepek–optimalizálás
Mértani közép legfeljebb akkora, mint a számtaniközép
Két pozitív valós szám: x , y
G(x , y) =√
xy , A(x , y) =x + y
2
Ismert, hogy G(x , y) ≤ A(x , y)
és egyenloség pontosan akkor, ha x = y
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 13 / 34
Közepek–optimalizálás
Mértani közép legfeljebb akkora, mint a számtaniközép
Két pozitív valós szám: x , y
G(x , y) =√
xy , A(x , y) =x + y
2
Ismert, hogy G(x , y) ≤ A(x , y)
és egyenloség pontosan akkor, ha x = y
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 13 / 34
Közepek–optimalizálás
Mértani közép legfeljebb akkora, mint a számtaniközép
Két pozitív valós szám: x , y
G(x , y) =√
xy , A(x , y) =x + y
2
Ismert, hogy G(x , y) ≤ A(x , y)
és egyenloség pontosan akkor, ha x = y
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 13 / 34
Közepek–optimalizálás
Hasznosságfüggvény maximalizálása adottjövedelemnél
Két termék (x , y) csomagja G(x , y) örömet okoz a fogyasztónak
(Egységnyi árak melletti) költségvetési korlát: x + y = m > 0G(x , y) feltételes maximuma kk mellett?
G(x , y) ≤ A(x , y) = m/2
tehát a max: x∗ = y∗ = m/2
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 14 / 34
Közepek–optimalizálás
Hasznosságfüggvény maximalizálása adottjövedelemnél
Két termék (x , y) csomagja G(x , y) örömet okoz a fogyasztónak(Egységnyi árak melletti) költségvetési korlát: x + y = m > 0
G(x , y) feltételes maximuma kk mellett?
G(x , y) ≤ A(x , y) = m/2
tehát a max: x∗ = y∗ = m/2
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 14 / 34
Közepek–optimalizálás
Hasznosságfüggvény maximalizálása adottjövedelemnél
Két termék (x , y) csomagja G(x , y) örömet okoz a fogyasztónak(Egységnyi árak melletti) költségvetési korlát: x + y = m > 0G(x , y) feltételes maximuma kk mellett?
G(x , y) ≤ A(x , y) = m/2
tehát a max: x∗ = y∗ = m/2
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 14 / 34
Közepek–optimalizálás
Hasznosságfüggvény maximalizálása adottjövedelemnél
Két termék (x , y) csomagja G(x , y) örömet okoz a fogyasztónak(Egységnyi árak melletti) költségvetési korlát: x + y = m > 0G(x , y) feltételes maximuma kk mellett?
G(x , y) ≤ A(x , y) = m/2
tehát a max: x∗ = y∗ = m/2
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 14 / 34
Közepek–optimalizálás
Hasznosságfüggvény maximalizálása adottjövedelemnél
Súlyozott hasznosság, nem egységnyi árak
Két termék (x , y) csomagja U(x , y) = xαy1−α örömet okoz afogyasztónak (0 < α < 1)
Két termék (x , y) csomagja U(x , y) = xαy1−α örömet okoz afogyasztónak (0 < α < 1)
(p és q árak melletti) költségvetési korlát: px + qy = m > 0U(x , y) feltételes maximuma kk mellett?Trükközve:
x∗ =αmp, y∗ =
(1− α)mq
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 15 / 34
Közepek–optimalizálás
Hasznosságfüggvény maximalizálása adottjövedelemnél
Súlyozott hasznosság, nem egységnyi árakKét termék (x , y) csomagja U(x , y) = xαy1−α örömet okoz afogyasztónak (0 < α < 1)
Két termék (x , y) csomagja U(x , y) = xαy1−α örömet okoz afogyasztónak (0 < α < 1)
(p és q árak melletti) költségvetési korlát: px + qy = m > 0U(x , y) feltételes maximuma kk mellett?Trükközve:
x∗ =αmp, y∗ =
(1− α)mq
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 15 / 34
Közepek–optimalizálás
Hasznosságfüggvény maximalizálása adottjövedelemnél
Súlyozott hasznosság, nem egységnyi árakKét termék (x , y) csomagja U(x , y) = xαy1−α örömet okoz afogyasztónak (0 < α < 1)
Két termék (x , y) csomagja U(x , y) = xαy1−α örömet okoz afogyasztónak (0 < α < 1)
(p és q árak melletti) költségvetési korlát: px + qy = m > 0U(x , y) feltételes maximuma kk mellett?Trükközve:
x∗ =αmp, y∗ =
(1− α)mq
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 15 / 34
Közepek–optimalizálás
Hasznosságfüggvény maximalizálása adottjövedelemnél
Súlyozott hasznosság, nem egységnyi árakKét termék (x , y) csomagja U(x , y) = xαy1−α örömet okoz afogyasztónak (0 < α < 1)
Két termék (x , y) csomagja U(x , y) = xαy1−α örömet okoz afogyasztónak (0 < α < 1)
(p és q árak melletti) költségvetési korlát: px + qy = m > 0
U(x , y) feltételes maximuma kk mellett?Trükközve:
x∗ =αmp, y∗ =
(1− α)mq
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 15 / 34
Közepek–optimalizálás
Hasznosságfüggvény maximalizálása adottjövedelemnél
Súlyozott hasznosság, nem egységnyi árakKét termék (x , y) csomagja U(x , y) = xαy1−α örömet okoz afogyasztónak (0 < α < 1)
Két termék (x , y) csomagja U(x , y) = xαy1−α örömet okoz afogyasztónak (0 < α < 1)
(p és q árak melletti) költségvetési korlát: px + qy = m > 0U(x , y) feltételes maximuma kk mellett?
Trükközve:x∗ =
αmp, y∗ =
(1− α)mq
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 15 / 34
Közepek–optimalizálás
Hasznosságfüggvény maximalizálása adottjövedelemnél
Súlyozott hasznosság, nem egységnyi árakKét termék (x , y) csomagja U(x , y) = xαy1−α örömet okoz afogyasztónak (0 < α < 1)
Két termék (x , y) csomagja U(x , y) = xαy1−α örömet okoz afogyasztónak (0 < α < 1)
(p és q árak melletti) költségvetési korlát: px + qy = m > 0U(x , y) feltételes maximuma kk mellett?Trükközve:
x∗ =αmp, y∗ =
(1− α)mq
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 15 / 34
Közepek–optimalizálás
Idobeli általánosítás-1
U transzformációja additív fv-nyé: V (x , y) = α log x + β log y ,α, β > 0
x fiatal fogyasztás, y idos fogyasztás,leszámítolt életpálya hasznosság: V (x , y) = log x + δ log y ,0 < δ < 1Életpálya költségvetés (R kamattényezo): Rx + y = Rm,idoskorban nincs jövedelem
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 16 / 34
Közepek–optimalizálás
Idobeli általánosítás-1
U transzformációja additív fv-nyé: V (x , y) = α log x + β log y ,α, β > 0x fiatal fogyasztás, y idos fogyasztás,
leszámítolt életpálya hasznosság: V (x , y) = log x + δ log y ,0 < δ < 1Életpálya költségvetés (R kamattényezo): Rx + y = Rm,idoskorban nincs jövedelem
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 16 / 34
Közepek–optimalizálás
Idobeli általánosítás-1
U transzformációja additív fv-nyé: V (x , y) = α log x + β log y ,α, β > 0x fiatal fogyasztás, y idos fogyasztás,leszámítolt életpálya hasznosság: V (x , y) = log x + δ log y ,0 < δ < 1
Életpálya költségvetés (R kamattényezo): Rx + y = Rm,idoskorban nincs jövedelem
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 16 / 34
Közepek–optimalizálás
Idobeli általánosítás-1
U transzformációja additív fv-nyé: V (x , y) = α log x + β log y ,α, β > 0x fiatal fogyasztás, y idos fogyasztás,leszámítolt életpálya hasznosság: V (x , y) = log x + δ log y ,0 < δ < 1Életpálya költségvetés (R kamattényezo): Rx + y = Rm,idoskorban nincs jövedelem
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 16 / 34
Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása
Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 17 / 34
Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása
Árindexálás: növekedési ütem, 2010–2018, HU
Év GDPnöv. ütem
Nettóbérnöv. ütem
Nyugdíjnöv. ütem
Helyette-sítés
t 100(gyt −1) 100(gv
t −1) 100(gbt − 1) bt/vt
2010 0,7 1,8 –0,9 0,6512011 1,8 2,4 1,2 0,6472012 –1,7 –3,4 0,1 0,6702013 1,9 3,1 4,5 0,6782014 3,7 3,2 3,2 0,6752015 2,9 4,3 3,5 0,6682016 2,1 7,4 1,4 0,6312017 4,1 10,2 3,0 0,5832018* 4,0 8,0 2,0 0,55
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 18 / 34
Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása
Árindexálás évjárati makromodellje
Feltevések: Minden nettókereset az életkortól független, egyetlentípus: vt = gvt−1, g > 1
Kezdo nyugdíj: bt = βvt−1, β valorizációs szorzó, pl. 40 évszolgálati idore 0,8k évvel korábban nyugdíjba vonuló nyugdíja:
bt−k = βvt−k−1, k = 1, . . . ,T − 1
Átlagos nyugdíj (T éves állomány):
bt =bt + · · ·+ bt−T+1
T= β
vt−1 + · · ·+ vt−T
T
Helyettesítési arány:
γ =bt
vt= β
g−1 + · · ·+ g−T
T= β
1− g−T
T (g − 1)
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 19 / 34
Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása
Árindexálás évjárati makromodellje
Feltevések: Minden nettókereset az életkortól független, egyetlentípus: vt = gvt−1, g > 1Kezdo nyugdíj: bt = βvt−1, β valorizációs szorzó, pl. 40 évszolgálati idore 0,8
k évvel korábban nyugdíjba vonuló nyugdíja:
bt−k = βvt−k−1, k = 1, . . . ,T − 1
Átlagos nyugdíj (T éves állomány):
bt =bt + · · ·+ bt−T+1
T= β
vt−1 + · · ·+ vt−T
T
Helyettesítési arány:
γ =bt
vt= β
g−1 + · · ·+ g−T
T= β
1− g−T
T (g − 1)
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 19 / 34
Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása
Árindexálás évjárati makromodellje
Feltevések: Minden nettókereset az életkortól független, egyetlentípus: vt = gvt−1, g > 1Kezdo nyugdíj: bt = βvt−1, β valorizációs szorzó, pl. 40 évszolgálati idore 0,8k évvel korábban nyugdíjba vonuló nyugdíja:
bt−k = βvt−k−1, k = 1, . . . ,T − 1
Átlagos nyugdíj (T éves állomány):
bt =bt + · · ·+ bt−T+1
T= β
vt−1 + · · ·+ vt−T
T
Helyettesítési arány:
γ =bt
vt= β
g−1 + · · ·+ g−T
T= β
1− g−T
T (g − 1)
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 19 / 34
Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása
Árindexálás évjárati makromodellje
Feltevések: Minden nettókereset az életkortól független, egyetlentípus: vt = gvt−1, g > 1Kezdo nyugdíj: bt = βvt−1, β valorizációs szorzó, pl. 40 évszolgálati idore 0,8k évvel korábban nyugdíjba vonuló nyugdíja:
bt−k = βvt−k−1, k = 1, . . . ,T − 1
Átlagos nyugdíj (T éves állomány):
bt =bt + · · ·+ bt−T+1
T= β
vt−1 + · · ·+ vt−T
T
Helyettesítési arány:
γ =bt
vt= β
g−1 + · · ·+ g−T
T= β
1− g−T
T (g − 1)
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 19 / 34
Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása
Árindexálás évjárati makromodellje
Feltevések: Minden nettókereset az életkortól független, egyetlentípus: vt = gvt−1, g > 1Kezdo nyugdíj: bt = βvt−1, β valorizációs szorzó, pl. 40 évszolgálati idore 0,8k évvel korábban nyugdíjba vonuló nyugdíja:
bt−k = βvt−k−1, k = 1, . . . ,T − 1
Átlagos nyugdíj (T éves állomány):
bt =bt + · · ·+ bt−T+1
T= β
vt−1 + · · ·+ vt−T
T
Helyettesítési arány:
γ =bt
vt= β
g−1 + · · ·+ g−T
T= β
1− g−T
T (g − 1)
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 19 / 34
Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása
Helyettesítési arány – Bérnövekedési ütem
T = 20 év, β =0,8, állandó reálbér-növekedési ütem
Bérnövekedésiütem 100(g−1)
0 1 2 3 4 5
Helyettesítésiarány γ = b/v
0,800 0,722 0,654 0,595 0,544 0,498
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 20 / 34
Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása
Reálbér-ugrás
Arányosan zuhan, majd kúszik fölfelé az egyensúlyi járulékkulcsHU: 2016: 10+22= 32%, 2017: 10+17=27%, 2018:10+14,5=24,5% stb. ?
1. tétel. Elsorendu differenciaegyenlet a helyettesítési arányra (deT -edrendu paraméterkésleltetés)
γt =γt−1
gt+ β
1−G−1t−1
gt,
aholGt =
vt
vt−T=
bt+1
bt−T+1
halmozott bérszorzó = legfrissebb/legrégebbi nyugdíjarány
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 21 / 34
Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása
Reálbér-ugrás
Arányosan zuhan, majd kúszik fölfelé az egyensúlyi járulékkulcsHU: 2016: 10+22= 32%, 2017: 10+17=27%, 2018:10+14,5=24,5% stb. ?1. tétel. Elsorendu differenciaegyenlet a helyettesítési arányra (deT -edrendu paraméterkésleltetés)
γt =γt−1
gt+ β
1−G−1t−1
gt,
aholGt =
vt
vt−T=
bt+1
bt−T+1
halmozott bérszorzó = legfrissebb/legrégebbi nyugdíjarány
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 21 / 34
Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása
Dinamikus helyettesítési arányok
Keresetnövekedési ütem: vt = gtvt−1, [t0 − 1, t0 + 1]-ben 8%,egyébként 2%.
Év Helyettesítés Év Helyettesítés0 0,654 . . . . . .1 0,618 10 0,5972 0,585 15 0,6223 0,557 18 0,6364 0,563 . . . . . .
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 22 / 34
Jelzáloghitelek
Forint- és deviza alapú jelzáloghitelek
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 23 / 34
Jelzáloghitelek
Forintalapú jelzáloghitel
D0 hitel, törlesztés t = 1,2, . . . ,T évben, Bt részlettel, R > 1kamattényezovel
Jelenérték: PV = B1R−1 + · · ·BT R−T
Állandó részlet: B1 = · · · = BT = B,Mértani sorozat összegképlete:
D0 = BR−1 1− R−T
1− R−1
azazB(T ,R) =
D0(R − 1)
1− R−T
B(T ,R) függvény T -ben nem lineáris, aszimptotikusan csökkenD(R − 1)-reR-ben sem lineáris, és nagyon gyorsan no D/T -rol
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 24 / 34
Jelzáloghitelek
Forintalapú jelzáloghitel
D0 hitel, törlesztés t = 1,2, . . . ,T évben, Bt részlettel, R > 1kamattényezovelJelenérték: PV = B1R−1 + · · ·BT R−T
Állandó részlet: B1 = · · · = BT = B,Mértani sorozat összegképlete:
D0 = BR−1 1− R−T
1− R−1
azazB(T ,R) =
D0(R − 1)
1− R−T
B(T ,R) függvény T -ben nem lineáris, aszimptotikusan csökkenD(R − 1)-reR-ben sem lineáris, és nagyon gyorsan no D/T -rol
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 24 / 34
Jelzáloghitelek
Forintalapú jelzáloghitel
D0 hitel, törlesztés t = 1,2, . . . ,T évben, Bt részlettel, R > 1kamattényezovelJelenérték: PV = B1R−1 + · · ·BT R−T
Állandó részlet: B1 = · · · = BT = B,
Mértani sorozat összegképlete:
D0 = BR−1 1− R−T
1− R−1
azazB(T ,R) =
D0(R − 1)
1− R−T
B(T ,R) függvény T -ben nem lineáris, aszimptotikusan csökkenD(R − 1)-reR-ben sem lineáris, és nagyon gyorsan no D/T -rol
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 24 / 34
Jelzáloghitelek
Forintalapú jelzáloghitel
D0 hitel, törlesztés t = 1,2, . . . ,T évben, Bt részlettel, R > 1kamattényezovelJelenérték: PV = B1R−1 + · · ·BT R−T
Állandó részlet: B1 = · · · = BT = B,Mértani sorozat összegképlete:
D0 = BR−1 1− R−T
1− R−1
azazB(T ,R) =
D0(R − 1)
1− R−T
B(T ,R) függvény T -ben nem lineáris, aszimptotikusan csökkenD(R − 1)-reR-ben sem lineáris, és nagyon gyorsan no D/T -rol
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 24 / 34
Jelzáloghitelek
Forintalapú jelzáloghitel
D0 hitel, törlesztés t = 1,2, . . . ,T évben, Bt részlettel, R > 1kamattényezovelJelenérték: PV = B1R−1 + · · ·BT R−T
Állandó részlet: B1 = · · · = BT = B,Mértani sorozat összegképlete:
D0 = BR−1 1− R−T
1− R−1
azazB(T ,R) =
D0(R − 1)
1− R−T
B(T ,R) függvény T -ben nem lineáris, aszimptotikusan csökkenD(R − 1)-reR-ben sem lineáris, és nagyon gyorsan no D/T -rol
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 24 / 34
Jelzáloghitelek
Forintalapú jelzáloghitel
D0 hitel, törlesztés t = 1,2, . . . ,T évben, Bt részlettel, R > 1kamattényezovelJelenérték: PV = B1R−1 + · · ·BT R−T
Állandó részlet: B1 = · · · = BT = B,Mértani sorozat összegképlete:
D0 = BR−1 1− R−T
1− R−1
azazB(T ,R) =
D0(R − 1)
1− R−T
B(T ,R) függvény T -ben nem lineáris, aszimptotikusan csökkenD(R − 1)-re
R-ben sem lineáris, és nagyon gyorsan no D/T -rol
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 24 / 34
Jelzáloghitelek
Forintalapú jelzáloghitel
D0 hitel, törlesztés t = 1,2, . . . ,T évben, Bt részlettel, R > 1kamattényezovelJelenérték: PV = B1R−1 + · · ·BT R−T
Állandó részlet: B1 = · · · = BT = B,Mértani sorozat összegképlete:
D0 = BR−1 1− R−T
1− R−1
azazB(T ,R) =
D0(R − 1)
1− R−T
B(T ,R) függvény T -ben nem lineáris, aszimptotikusan csökkenD(R − 1)-reR-ben sem lineáris, és nagyon gyorsan no D/T -rol
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 24 / 34
Jelzáloghitelek
Devizaalapú jelzálog
Svájci frank (*) sokkal alacsonyabb kamattényezo: R∗
Frank-törlesztés
B∗(T ,R∗) =D∗
0(R∗ − 1)
1− R−∗T
Minden évben átváltják frankról forintra, átváltási kulcs: Et
B(T ) = B∗(T ,R∗)Et , D0 = E0D∗0
Közömbös, hogy HUF vagy CHF, ha R = R∗Et/Et−1 = RValóságban: 2004 és 2009-ben R > R (CHF jobb mint HUF),aztán fordítvaReálkamattényezo és reálárfolyam: rt = Rt/pt és Et = E∗
t Pt/P∗t
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 25 / 34
Jelzáloghitelek
Devizaalapú jelzálog
Svájci frank (*) sokkal alacsonyabb kamattényezo: R∗
Frank-törlesztés
B∗(T ,R∗) =D∗
0(R∗ − 1)
1− R−∗T
Minden évben átváltják frankról forintra, átváltási kulcs: Et
B(T ) = B∗(T ,R∗)Et , D0 = E0D∗0
Közömbös, hogy HUF vagy CHF, ha R = R∗Et/Et−1 = RValóságban: 2004 és 2009-ben R > R (CHF jobb mint HUF),aztán fordítvaReálkamattényezo és reálárfolyam: rt = Rt/pt és Et = E∗
t Pt/P∗t
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 25 / 34
Jelzáloghitelek
Devizaalapú jelzálog
Svájci frank (*) sokkal alacsonyabb kamattényezo: R∗
Frank-törlesztés
B∗(T ,R∗) =D∗
0(R∗ − 1)
1− R−∗T
Minden évben átváltják frankról forintra, átváltási kulcs: Et
B(T ) = B∗(T ,R∗)Et , D0 = E0D∗0
Közömbös, hogy HUF vagy CHF, ha R = R∗Et/Et−1 = RValóságban: 2004 és 2009-ben R > R (CHF jobb mint HUF),aztán fordítvaReálkamattényezo és reálárfolyam: rt = Rt/pt és Et = E∗
t Pt/P∗t
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 25 / 34
Jelzáloghitelek
Devizaalapú jelzálog
Svájci frank (*) sokkal alacsonyabb kamattényezo: R∗
Frank-törlesztés
B∗(T ,R∗) =D∗
0(R∗ − 1)
1− R−∗T
Minden évben átváltják frankról forintra, átváltási kulcs: Et
B(T ) = B∗(T ,R∗)Et , D0 = E0D∗0
Közömbös, hogy HUF vagy CHF, ha R = R∗Et/Et−1 = R
Valóságban: 2004 és 2009-ben R > R (CHF jobb mint HUF),aztán fordítvaReálkamattényezo és reálárfolyam: rt = Rt/pt és Et = E∗
t Pt/P∗t
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 25 / 34
Jelzáloghitelek
Devizaalapú jelzálog
Svájci frank (*) sokkal alacsonyabb kamattényezo: R∗
Frank-törlesztés
B∗(T ,R∗) =D∗
0(R∗ − 1)
1− R−∗T
Minden évben átváltják frankról forintra, átváltási kulcs: Et
B(T ) = B∗(T ,R∗)Et , D0 = E0D∗0
Közömbös, hogy HUF vagy CHF, ha R = R∗Et/Et−1 = RValóságban: 2004 és 2009-ben R > R (CHF jobb mint HUF),aztán fordítva
Reálkamattényezo és reálárfolyam: rt = Rt/pt és Et = E∗t Pt/P∗
t
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 25 / 34
Jelzáloghitelek
Devizaalapú jelzálog
Svájci frank (*) sokkal alacsonyabb kamattényezo: R∗
Frank-törlesztés
B∗(T ,R∗) =D∗
0(R∗ − 1)
1− R−∗T
Minden évben átváltják frankról forintra, átváltási kulcs: Et
B(T ) = B∗(T ,R∗)Et , D0 = E0D∗0
Közömbös, hogy HUF vagy CHF, ha R = R∗Et/Et−1 = RValóságban: 2004 és 2009-ben R > R (CHF jobb mint HUF),aztán fordítvaReálkamattényezo és reálárfolyam: rt = Rt/pt és Et = E∗
t Pt/P∗t
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 25 / 34
Jelzáloghitelek
13.1. táblázat. Magyar és svájci idosorok
Év Reálárfolyam Év Reálárfolyam2004 150,4 2009 140,72005 149,6 2010 164,82006 140,7 2011 182,72007 127,4 2012 161,72008 143,5 2013 159,3
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 26 / 34
Jelzáloghitelek
13.4. táblázat. A svájci hitelek tündöklése és bukása(a GDP százalékában)
Év Összeshitel
Svájcihitel
Év Összeshitel
Svájcihitel
2003 10,7 0,5 2009 28,9 20,12004 12,6 1,8 2010 30,7 21,52005 15,3 5,0 2011 29,2 19,72006 18,5 9,0 2012 24,2 14,32007 21,8 12,9 2013 22,2 12,62008 27,4 19,2
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 27 / 34
Regresszió és PPP
Regresszió és vásárlóero
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 28 / 34
Regresszió és PPP
Regressziós egyenes
Közkeletu bölcsesség (1960): testtömeg = testmagasság – 100
Tudományosan: (xi)ni=1 és (yi)
ni=1 két idosor
Hogyan lehet magyarázni X -szel Y -t?Legkisebb négyzetek módszere (Gauss, 1809): keressünk olyan(α, β) párt, amelyre
n∑i=1
(yi − α− βxi)2 → min .
xi = xi − EX , yi = yi − EX segítségével a parabolaminimumhelyének képlete:
β∗ =
∑ni=1 xi yi∑ni=1 x2
i, α∗ = EY − β∗EX .
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 29 / 34
Regresszió és PPP
Regressziós egyenes
Közkeletu bölcsesség (1960): testtömeg = testmagasság – 100Tudományosan: (xi)
ni=1 és (yi)
ni=1 két idosor
Hogyan lehet magyarázni X -szel Y -t?Legkisebb négyzetek módszere (Gauss, 1809): keressünk olyan(α, β) párt, amelyre
n∑i=1
(yi − α− βxi)2 → min .
xi = xi − EX , yi = yi − EX segítségével a parabolaminimumhelyének képlete:
β∗ =
∑ni=1 xi yi∑ni=1 x2
i, α∗ = EY − β∗EX .
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 29 / 34
Regresszió és PPP
Regressziós egyenes
Közkeletu bölcsesség (1960): testtömeg = testmagasság – 100Tudományosan: (xi)
ni=1 és (yi)
ni=1 két idosor
Hogyan lehet magyarázni X -szel Y -t?
Legkisebb négyzetek módszere (Gauss, 1809): keressünk olyan(α, β) párt, amelyre
n∑i=1
(yi − α− βxi)2 → min .
xi = xi − EX , yi = yi − EX segítségével a parabolaminimumhelyének képlete:
β∗ =
∑ni=1 xi yi∑ni=1 x2
i, α∗ = EY − β∗EX .
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 29 / 34
Regresszió és PPP
Regressziós egyenes
Közkeletu bölcsesség (1960): testtömeg = testmagasság – 100Tudományosan: (xi)
ni=1 és (yi)
ni=1 két idosor
Hogyan lehet magyarázni X -szel Y -t?Legkisebb négyzetek módszere (Gauss, 1809): keressünk olyan(α, β) párt, amelyre
n∑i=1
(yi − α− βxi)2 → min .
xi = xi − EX , yi = yi − EX segítségével a parabolaminimumhelyének képlete:
β∗ =
∑ni=1 xi yi∑ni=1 x2
i, α∗ = EY − β∗EX .
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 29 / 34
Regresszió és PPP
Regressziós egyenes
Közkeletu bölcsesség (1960): testtömeg = testmagasság – 100Tudományosan: (xi)
ni=1 és (yi)
ni=1 két idosor
Hogyan lehet magyarázni X -szel Y -t?Legkisebb négyzetek módszere (Gauss, 1809): keressünk olyan(α, β) párt, amelyre
n∑i=1
(yi − α− βxi)2 → min .
xi = xi − EX , yi = yi − EX segítségével a parabolaminimumhelyének képlete:
β∗ =
∑ni=1 xi yi∑ni=1 x2
i, α∗ = EY − β∗EX .
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 29 / 34
Regresszió és PPP
Mitol függ egy pénz vásárlóereje?
Balassa–Samuelson (1964/1965) Nyitott gazdaság két szektora:
külkereskedelemben részt vesz (TV), nem vesz részt (hajvágás)piaci árfolyam: kiegyenlíti a TV árát a két országban: 300 EUR =96 eFtde a hajvágás 20 EUR> 10 EUR = 3200 FtSejtés: minél fejlettebb egy ország, annál magasabb az árszintje?P = α + βY + e
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 30 / 34
Regresszió és PPP
Mitol függ egy pénz vásárlóereje?
Balassa–Samuelson (1964/1965) Nyitott gazdaság két szektora:külkereskedelemben részt vesz (TV), nem vesz részt (hajvágás)
piaci árfolyam: kiegyenlíti a TV árát a két országban: 300 EUR =96 eFtde a hajvágás 20 EUR> 10 EUR = 3200 FtSejtés: minél fejlettebb egy ország, annál magasabb az árszintje?P = α + βY + e
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 30 / 34
Regresszió és PPP
Mitol függ egy pénz vásárlóereje?
Balassa–Samuelson (1964/1965) Nyitott gazdaság két szektora:külkereskedelemben részt vesz (TV), nem vesz részt (hajvágás)piaci árfolyam: kiegyenlíti a TV árát a két országban: 300 EUR =96 eFt
de a hajvágás 20 EUR> 10 EUR = 3200 FtSejtés: minél fejlettebb egy ország, annál magasabb az árszintje?P = α + βY + e
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 30 / 34
Regresszió és PPP
Mitol függ egy pénz vásárlóereje?
Balassa–Samuelson (1964/1965) Nyitott gazdaság két szektora:külkereskedelemben részt vesz (TV), nem vesz részt (hajvágás)piaci árfolyam: kiegyenlíti a TV árát a két országban: 300 EUR =96 eFtde a hajvágás 20 EUR> 10 EUR = 3200 Ft
Sejtés: minél fejlettebb egy ország, annál magasabb az árszintje?P = α + βY + e
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 30 / 34
Regresszió és PPP
Mitol függ egy pénz vásárlóereje?
Balassa–Samuelson (1964/1965) Nyitott gazdaság két szektora:külkereskedelemben részt vesz (TV), nem vesz részt (hajvágás)piaci árfolyam: kiegyenlíti a TV árát a két országban: 300 EUR =96 eFtde a hajvágás 20 EUR> 10 EUR = 3200 FtSejtés: minél fejlettebb egy ország, annál magasabb az árszintje?P = α + βY + e
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 30 / 34
Regresszió és PPP
Árszint–fejlettség
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 31 / 34
Következtetések
Következtetések
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 32 / 34
Következtetések
Következtetések
A közgazdasági modellezés érdekes és fontos
Öt jelenséget modelleztünk:1. demográfia,2. hasznosságmaximalizálás,3. nyugdíjmodellek4. jelzálogmodellek és5. árszint–fejlettségSok egyebet is fogunk modellezniés fölkészülünk a további modellezésre
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 33 / 34
Következtetések
Következtetések
A közgazdasági modellezés érdekes és fontosÖt jelenséget modelleztünk:1. demográfia,2. hasznosságmaximalizálás,3. nyugdíjmodellek4. jelzálogmodellek és5. árszint–fejlettség
Sok egyebet is fogunk modellezniés fölkészülünk a további modellezésre
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 33 / 34
Következtetések
Következtetések
A közgazdasági modellezés érdekes és fontosÖt jelenséget modelleztünk:1. demográfia,2. hasznosságmaximalizálás,3. nyugdíjmodellek4. jelzálogmodellek és5. árszint–fejlettségSok egyebet is fogunk modellezni
és fölkészülünk a további modellezésre
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 33 / 34
Következtetések
Következtetések
A közgazdasági modellezés érdekes és fontosÖt jelenséget modelleztünk:1. demográfia,2. hasznosságmaximalizálás,3. nyugdíjmodellek4. jelzálogmodellek és5. árszint–fejlettségSok egyebet is fogunk modellezniés fölkészülünk a további modellezésre
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 33 / 34
Következtetések
Kimaradt témák
játékelmélet
ciklusokprofitmaximalizáláskáoszáltalános egyensúlyelméletegyütt élo nemzedékek modelljevalószínuség-számítás és biztosítás
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 34 / 34
Következtetések
Kimaradt témák
játékelméletciklusok
profitmaximalizáláskáoszáltalános egyensúlyelméletegyütt élo nemzedékek modelljevalószínuség-számítás és biztosítás
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 34 / 34
Következtetések
Kimaradt témák
játékelméletciklusokprofitmaximalizálás
káoszáltalános egyensúlyelméletegyütt élo nemzedékek modelljevalószínuség-számítás és biztosítás
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 34 / 34
Következtetések
Kimaradt témák
játékelméletciklusokprofitmaximalizáláskáosz
általános egyensúlyelméletegyütt élo nemzedékek modelljevalószínuség-számítás és biztosítás
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 34 / 34
Következtetések
Kimaradt témák
játékelméletciklusokprofitmaximalizáláskáoszáltalános egyensúlyelmélet
együtt élo nemzedékek modelljevalószínuség-számítás és biztosítás
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 34 / 34
Következtetések
Kimaradt témák
játékelméletciklusokprofitmaximalizáláskáoszáltalános egyensúlyelméletegyütt élo nemzedékek modellje
valószínuség-számítás és biztosítás
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 34 / 34
Következtetések
Kimaradt témák
játékelméletciklusokprofitmaximalizáláskáoszáltalános egyensúlyelméletegyütt élo nemzedékek modelljevalószínuség-számítás és biztosítás
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 34 / 34