kma / ngm f. ježek - old.fst.zcu.cz · definice kubické spline křivky přímá definice kubická...
TRANSCRIPT
![Page 2: KMA / NGM F. Ježek - old.fst.zcu.cz · Definice kubické spline křivky Přímá definice Kubická spline křivka je dána vektorovou funkcí Její složky jsou po částech kubické](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040418/5d64ac4388c9937d238b8c36/html5/thumbnails/2.jpg)
ObsahFergusonova kubikaDefinice spline křivkyZákladní rovnice kubické spline křivkyOkrajové podmínky
![Page 3: KMA / NGM F. Ježek - old.fst.zcu.cz · Definice kubické spline křivky Přímá definice Kubická spline křivka je dána vektorovou funkcí Její složky jsou po částech kubické](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040418/5d64ac4388c9937d238b8c36/html5/thumbnails/3.jpg)
Fergusonova kubika Základní segment kubické uniformní spline křivkyDáno:
počáteční a koncový boduniformní parametrizacetečné vektory v počátečním a koncovém bodě
1 , +ii PPrr
1 , +′′ ii PPrr
1 , 1 +== + itit ii
![Page 4: KMA / NGM F. Ježek - old.fst.zcu.cz · Definice kubické spline křivky Přímá definice Kubická spline křivka je dána vektorovou funkcí Její složky jsou po částech kubické](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040418/5d64ac4388c9937d238b8c36/html5/thumbnails/4.jpg)
Fergusonova kubika Rovnice Fergusonovy kubiky:
Bázové funkce)()( )()( )( 312110 itFPitFPitFPitFPtP iiii −′+−′+−+−= ++
rrrrr
233
232
231
230
)(2)(
32)(
132)(1,0
kkkFkkkkF
kkkFkkkF
k
−=
+−=
+−=
+−=
>∈<
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
F0 F
1
F2
F3
![Page 5: KMA / NGM F. Ježek - old.fst.zcu.cz · Definice kubické spline křivky Přímá definice Kubická spline křivka je dána vektorovou funkcí Její složky jsou po částech kubické](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040418/5d64ac4388c9937d238b8c36/html5/thumbnails/5.jpg)
Fergusonova kubika
![Page 6: KMA / NGM F. Ježek - old.fst.zcu.cz · Definice kubické spline křivky Přímá definice Kubická spline křivka je dána vektorovou funkcí Její složky jsou po částech kubické](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040418/5d64ac4388c9937d238b8c36/html5/thumbnails/6.jpg)
Lagrangeova a spline interpolace
Globální – Lagrangeova interpolace
Spl
ine
inte
rpol
ace
•Globální interpolace•Stupeň závisí na počtu opěrných bodů•Globální „mimika“
•Interpolace po částech (spline)•Stupeň nezávisí na počtu opěrných bodů•Lokální „mimika“
![Page 7: KMA / NGM F. Ježek - old.fst.zcu.cz · Definice kubické spline křivky Přímá definice Kubická spline křivka je dána vektorovou funkcí Její složky jsou po částech kubické](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040418/5d64ac4388c9937d238b8c36/html5/thumbnails/7.jpg)
„Spline stroj“
Spline je „matematický model chovánípružného laťkového křivítka“
![Page 8: KMA / NGM F. Ježek - old.fst.zcu.cz · Definice kubické spline křivky Přímá definice Kubická spline křivka je dána vektorovou funkcí Její složky jsou po částech kubické](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040418/5d64ac4388c9937d238b8c36/html5/thumbnails/8.jpg)
Definice kubické spline křivkyDáno:
Opěrné body interpolační křivky (rovinné nebo prostorové), jejich polohové vektory značíme
ParametrizaceOkrajové podmínky (jedna z následujících variant)
vetknutívolné koncekřivka je uzavřená
nPPr
Lr
,,0
nttt <<< L10
nPP ′′rr
a 0
oPP nrrr
=′′=′′ 0
![Page 9: KMA / NGM F. Ježek - old.fst.zcu.cz · Definice kubické spline křivky Přímá definice Kubická spline křivka je dána vektorovou funkcí Její složky jsou po částech kubické](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040418/5d64ac4388c9937d238b8c36/html5/thumbnails/9.jpg)
Definice kubické spline křivkyDefinice pomocí spline funkce
Kubická spline křivka je dána vektorovou funkcíSložky této vektorové funkce jsou kubickými spline funkcemi parametru a splňují okrajovépodmínky
>∈< nttttP , ),( 0
r
![Page 10: KMA / NGM F. Ježek - old.fst.zcu.cz · Definice kubické spline křivky Přímá definice Kubická spline křivka je dána vektorovou funkcí Její složky jsou po částech kubické](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040418/5d64ac4388c9937d238b8c36/html5/thumbnails/10.jpg)
Definice kubické spline křivkyPřímá definice
Kubická spline křivka je dána vektorovou funkcíJejí složky jsou po částech kubické polynomySplňuje interpolační podmínky:Splňuje okrajové podmínky:Je třídy , tedy má spojité derivace do druhého řádu
>∈< nttttP , ),( 0
r
niPtP ii ,,0 ,)( Lrr
==
2C
![Page 11: KMA / NGM F. Ježek - old.fst.zcu.cz · Definice kubické spline křivky Přímá definice Kubická spline křivka je dána vektorovou funkcí Její složky jsou po částech kubické](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040418/5d64ac4388c9937d238b8c36/html5/thumbnails/11.jpg)
Definice kubické spline křivkyParametrizace spline křivky
uniformní(konstantní krok parametru)
neuniformníchordálová (krok parametru je úměrný vzdálenosti)
obloukem („nerealizovatelný ideál“) – rovnoměrný pohyb…..
1,,0 ,11 −==−+ nitt ii L
1,,0 |,||)()(| 11 −=−≈− ++ nitttPtP iiii Lrr
![Page 12: KMA / NGM F. Ježek - old.fst.zcu.cz · Definice kubické spline křivky Přímá definice Kubická spline křivka je dána vektorovou funkcí Její složky jsou po částech kubické](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040418/5d64ac4388c9937d238b8c36/html5/thumbnails/12.jpg)
Základní rovnice kubické spline křivky
Výpočet kubického uniformního splinu:určíme tečné vektory ve všech uzlech, tj.
generujeme jednotlivé Fergusonovy obloukynPP ′′r
Lr
,,0
3P′r
0P′r
1P′r
2P′r
4P′r
5P′r
6P′r
0P
1P2P
3P 4P
5P
6P
![Page 13: KMA / NGM F. Ježek - old.fst.zcu.cz · Definice kubické spline křivky Přímá definice Kubická spline křivka je dána vektorovou funkcí Její složky jsou po částech kubické](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040418/5d64ac4388c9937d238b8c36/html5/thumbnails/13.jpg)
Základní rovnice kubické spline křivky
Základní vztah pro uniformní kubický spline (zajišťuje spojitost do druhéderivace):
Vztah je odvozen na základě výpočtu podmínek pro dotyk dvou Fergusonových kubik při spojitosti až do druhé derivace
1,,1 ),(34 1111 −=−=′+′+′ −++− niPPPPP iiiii Lrrrrr
![Page 14: KMA / NGM F. Ježek - old.fst.zcu.cz · Definice kubické spline křivky Přímá definice Kubická spline křivka je dána vektorovou funkcí Její složky jsou po částech kubické](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040418/5d64ac4388c9937d238b8c36/html5/thumbnails/14.jpg)
Okrajové podmínky Vetknutí – doplnění dvou triviálních rovnic (je znám vektor první derivace v počátečním a koncovém bodě)Volné konce
Uzavřená křivka - cykličnost)(32
)(32
11
0110
−− −=′+′
−=′+′
nnnn PPPP
PPPPrrrr
rrrr
)(34
)(34
1001
110
−− −=′+′+′
−=′+′+′
nnn
nn
PPPPP
PPPPPrrrrr
rrrrr
![Page 15: KMA / NGM F. Ježek - old.fst.zcu.cz · Definice kubické spline křivky Přímá definice Kubická spline křivka je dána vektorovou funkcí Její složky jsou po částech kubické](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040418/5d64ac4388c9937d238b8c36/html5/thumbnails/15.jpg)
Spline – příklady (3D)
0
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0
5
10
15
20
−20
24
68
10
2
4
6
8
10
12
14
16
180
5
10
15
20
25
Chordálová parametrizaceChordálová parametrizace Silně neuniformní parametrizacet=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 20 21];
Silně neuniformní parametrizacet=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 20 21];
Velký kro
k parametru